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1 线段、射线、直线
第2课时 比较线段的长短
课题 第2课时 比较线段的长短
学习目标 1.理解两点间的距离及两点之间线段最短这一基本事实. 2.掌握比较两条线段长短的方法，会比较线段的长短. 3了解尺规作图的意义,会用尺规作线段. 4.理解线段中点的意义,能进行有关线段长度的计算.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 1.如何表示一条线段？它有哪些特点？ 2.把弯曲的河道改直就可以缩短航程．在公园的河面上修建曲折的桥，就能增加观光的路程，你 知道这其中的道理吗？怎样比较两个同学的高矮？你有哪些方法？
新课学习 问题一：线段的基本事实 如图,从A地到C地有四条道路,哪条路最近 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短，简记为“ ” 我们把两点之间线段的_______，叫做两点间的距离 例1下面现象，可以用两点之间线段最短来解释的是（ ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．会场把茶杯摆直 D．弯河道改直 问题二：比较线段的长短 我们同学、筷子等都可以抽象成一条线段，那么你知道 (1) 怎样比较两个同学的高矮 (2) 怎样比较两根筷子的长短？ 比较线段长短有两种方法： 和 . 例2.如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（ ） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 问题三：尺规作图：作一条线段等于已知线段 已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。 【点拨】（1）用“重合法”比较线段长度的实际应用. （2）“尺规”是指没有刻度的直尺和圆规. 例3 已知线段a，b，（a＞b）作一条线段c，使c=a-b 问题四：中点的概念 如图：在点C在线段AB上，且AC=BC，那么AC、BC与AB有什么关系？ 点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，那么点C叫做线段AB的中点， 表示方法有：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 例4如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上，若AD＝3cm，DB＝2cm，求CD的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：因为AD＝3cm，DB＝2cm， 所以 ＝AD+DB＝3+2＝5cm． 因为点C为线段AB的中点， 所以AC ＝ cm． 所以CD＝ ﹣ ＝ cm．
当堂训练 1.下列作图语言中，正确的是（ ） A．画直线AB＝3cm B．延长线段AB到C，使BC＝AB C．画射线AB＝5cm D．延长射线OA到B，使AB＝OA 2.若点B在线段AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为（ ） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 3.已知线段AB＝6cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝2cm，则线段AC的长为（ ） A．4cm B．8cm C．6cm D．8cm或4cm 如图，从学校A到书店B有①②共2条路线，最短的是①号路线，得出这个结论的根据是： ． 5.如图，已知线段AB＝14cm，线段AB上有一点C，且BC等于6cm，D是BC的中点，E是AC的中点． 求（1）AC的长度； （2）EC的长度； （3）ED的长度．
达标测试 1.下列说法正确的（ ） A.连结两点的线段就叫做两点间的距离 B.在所有连结两点的线中直线一定最短 C.线段AB就是表示点A到点B的距离 D.线段AB的长度是点A到点B的距离 2.已知P是线段MN上一点，点Q为NP的中点，若MQ=6，则MP+MN为（ ） A.8 B.10 C.12 D.不能确定 3.如图4，点C是线段AD的中点，点B是线段AC的中点，如果BD=9cm，那么线段AC的长度是________。 4.延长线段AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，并且BC=5cm，则AD的长是________。 5. 如图，已知线段AB=14，在AB上有C.D.M.N四点，且满足AC∶CD∶DB=1∶2∶4，AC=2AM，DB=4DN，求MN的长度。 已知AB.BC是同一条直线上的两条线段，M.N分别是AB.BC的中点，如果AB=12cm，BC=3cm，求线段MN的长。（提示：分两种情况） 如图，A.B.C.D表示四个比较偏僻小村庄，由于各种原因，至今还没有用上电。为了加快经济建设，改变本地区的落后面貌，上级决定在这四个村庄之间修建一座变电站，专门对这四个村庄供电。如果不考虑其它因素，单从节约电线的角度，请为变电站选择适当的位置（画图说明），使供电线路最短。并且用你学过的知识进行论证。
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第2课时 比较线段的长短
1.掌握基本事实:两点之间线段最短。
2.理解两点间距离的意义,能度量和表达两点之间的距离。
3.会比较线段的长短,理解线段的和、差及线段中点的意义。
1.了解“两点之间的所有连线中,线段最短”。
2.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短。
3.能用尺规作一条线段等于已知线段。
4.知道线段中点的定义,会用几何语言表示线段的中点。
重点:比较线段的方法,线段的公理,线段中点的概念。
难点:比较线段的方法以及线段的中点的应用。
由于学生刚开始接触几何语言,用准确的几何语言来表达很困难,所以教学中,要通过鼓励学生大胆地进行口头表达,教师引导再集体补充,逐步规范几何语言的表达,以突破这个难点。再进行适当的练习来巩固相关知识点。整个教学过程以学生动手操作、自主探索为主线,教师适时引导点拨,共同完成教学任务。
(一)情境导入
如图所示,从A地到B地有四条路。
问题1 从A地到B地的四条道路中,哪条路最近 除它们外,能否再修一条从A地到B地的最短道路 如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线。
问题2 从这个现象中,你能得到什么结论
问题3 你还能举出类似的例子吗
(二)新知初探
探究一 线段的基本事实
线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。简单说成,两点之间线段最短。
把两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离。
需要强调两点之间的线段的长度叫两点之间的距离,而不是两点间的线段,线段是图形,线段的长度是数值。
巩固练习
1.高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道,以缩短两地之间的里程,其主要依据是 。
2.
如图所示,河流l两边有两个村庄A,B,现两村要在河上修一座桥,若使桥到两村的距离之和最短,请你通过作图的方法确定建桥的地点M,并说明你的理由。
任务一 意图说明
通过对以上问题的解决,归纳出关于线段的基本事实,培养学生观察、发现问题的能力和归纳总结的能力。
探究二 比较线段的长短
活动1 比较下图哪棵树高 哪支铅笔长 窗框相邻的两条边哪条边长 你是怎么比较的
思考:两位同学想比一下身高,你有比较的方法吗
活动2 如图所示,有两条线段AB,CD,小明想比较它们的长短,请你帮助小明想出比较的办法。
任务二 意图说明
经过师生交流并归纳出线段的大小的比较方法,让学生动手操作更能加深学生的体会,并顺利引出线段中点的定义,这样的设计可以巩固表示方法的掌握。
探究三 作一条线段等于已知线段
活动3 介绍尺规的功能。
直尺的功能:没有刻度的直尺,无法测量具体长度,只能画直线、射线、线段,或者将线段向两方向延长。
圆规的功能:以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;以任意一点为圆心,任意长为半径,画一段弧。
活动4 已知线段AB,请用尺规作一条线段,使A'B'=AB。
微课演示作图步骤,让学生熟悉作图三步骤:
(1)画出射线;(2)度量已知线段;(3)移到射线上。
要求:规范作图,掌握作图的顺序,保留痕迹,要让学生充分感知体会,不要求写作法,只要知道怎么作图,并能大致描述出来即可,但作图要规范。
巩固练习
自己动手作图:已知线段a,b,用尺规作一条线段c,使c=a+b。
任务三 意图说明
让学生自己在动手操作中真正地感受用尺规作图,开始有作图过程的意识,要强调作图顺序的正确,但不作过高要求,利于学生后期的尺规作图。
探究四 线段的中点
活动5 通过折纸,探索线段的中点。
(1)在一张透明纸上画一条线段AB;(2)对折这张纸,使线段AB的两个端点重合;(3)把纸展开铺平,标明折痕点M。
线段的中点定义:点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M叫作线段AB的中点。
用几何语言表示:因为点M是线段AB的中点,AM=BM=AB;AB=2AM=2BM。
任务四 意图说明
以折纸的方法,使学生在动手操作的基础上发现线段的中点问题中所存在的数量关系,在教材中的方法的基础上鼓励学生发现更多的找中点的方法,从而对线段的中点这一重要的数学概念有更好的理解。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
比较线段的长短
比较线段的长短
1.线段的基本事实
2.线段的长短比较
3.两点之间的距离
4.画一条线段等于已知线段
5.线段的中点
6.小结
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第2课时 比较线段的长短
第四章 基本平面图形
1 线段、射线、直线
1.了解“两点之间的所有连线中,线段最短”。
2.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短。
3.能用尺规作一条线段等于已知线段。
4.知道线段中点的定义,会用几何语言表示线段的中点。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
如图所示，从A地到B地有四条路．
问题1：从A地到B地的四条道路中，哪条路最近？除它们外，能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线．
问题2：从这个现象中，你能得到什么结论？
问题3：你还能举出类似的例子吗？
新知初探
贰
新知初探
探究一 线段的基本事实
贰
线段公理：两点的所有连线中，线段最短。简单说成，两点之间线段最短。
两点间的距离：把两点之间的线段的长度，叫作这两点之间的距离。
(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”。
归纳总结
(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身。线段是图形，线段的长度是数值。
新知初探
贰
1. 高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道， 以缩短两地之间的里程，其主要依据是___________ ____.
巩固练习：
两点之间线段最短
2.如图所示，AB+BC＞AC，其理由是___ ___________ 。
两点之间线段最短
3. 如图所示, 河流l两边有两个村庄A、B，现两村要在河上修一座桥, 若使桥到两村的距离之和最短,请你通过作图的方法确定建桥的地点M, 并说明你的理由。
两点之间线段最短
新知初探
探究二 比较线段的长短
贰
比较下图哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？
新知初探
贰
观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？
三组图形中线段a和b的长度均相等
新知初探
贰
思考：1. 两位同学想比一下身高，你有比较的方法吗？
2. 如图所示，有两条线段AB，CD，小明想比较它们的长短，请你帮助小明想出比较的办法。
(1) 度量法
(2) 叠合法
将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上。
用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。
A B
C D
a
b
借助尺规作图的方法
新知初探
贰
C
D
(A)
B
＜
叠合法结论：
B
A
C
(B)
(A)
D
A
B
C
D
B
(A)
B
A
1.若点A与点C重合,点B落在C、D之间,那么AB___CD.
2.若点A与点C重合,点B与点D_____,那么AB=CD.
3.若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB ___ CD.
重合
>
新知初探
贰
探究三 作一条线段等于已知线段
圆规的功能：以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长为半径，画一段弧。
介绍尺规的功能
直尺的功能：没有刻度的直尺，无法测量具体长度，只能画直线，射线，线段，或者将线段向两方向延长。
新知初探
贰
例 如图所示，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。
(1)作射线A'C'；
(2)用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB.
(3)线段A'B'为所求作的线段.
A' C'
B'
A
B
解：作图步骤如下：
新知初探
贰
探究四 线段的中点
说一说
如何找到一条绳子的中点呢？
新知初探
贰
谁可以描述一下线段中点的概念呢？(对照图形)
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，则点M叫做线段AB的中点。
因为M是线段AB的中点
所以线段AM等于线段MB 等于线段 AB 的（或线段AB等于线段AM的2倍等于线段MB的2倍）
中点定义
数学语言：
几何语言：
因为M是线段AB的中点
所以AM= MB = AB
（或AB=2AM=2MB）
新知初探
贰
例 如图所示，在直线上有A，B，C三点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度。
解：因为AB＝4 cm，BC＝3 cm，
所以AC＝AB＋ BC＝7 cm.
因为点O是线段AC的中点，
所以OC＝ AC＝3.5 cm，
所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm)。
当堂达标
叁
当堂达标
叁
2.若点P是线段CD的中点，则（ ）
A．CP＝CD B．CP＝PD
C．CD＝PD D．CP＞PD
B
1.下列图形中能比较大小的是（ ）
A．两条线段 B．两条直线
C．直线与射线 D．两条射线
A
当堂达标
叁
3．用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（ ）
A. B. C. D.
C
4．在线段MN上，分别以点M，N为圆心，c为半径画弧，交线段MN于点E，F，如图所示，则线段MF与NE的大小关系是（ ）
A．MF＞NE B．MF＜NE C．MF＝NE D．不能确定
C
当堂达标
叁
5．如图所示，已知AB＝40，C是AB的中点，D是CB上的一点，E是DB的中点，CD＝6，求ED的长．
解：因为C是AB的中点，所以AB＝2BC．
因为AB＝40，所以BC＝20．
因为BD＝BC－CD，CD＝6，所以BD＝14．
因为E是DB的中点，
所以ED＝7。
课堂小结
肆
课堂小结
肆
比较线段的长短
两点之间线段最短
尺规作图
比较线段大小的方法
线段的中点
度量法
叠合法
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4,5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
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第2课时 比较线段的长短
数学 七年级上册BSD
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1.两点之间的所有连线中,线段 ,简单说成: 。两点之间线段的 ,叫作这两点之间的距离。
2.线段的比较方法
(1)度量法:用 两条线段的长度,再比较长短;
(2)叠合法:利用 把线段放在 上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短。如图所示:
最短
两点之间线段最短
长度
刻度尺量出
直尺和圆规
同一条直线
AB=CD AB>CD AB
3.只用 和 画图称为尺规作图。
4.线段中点的定义:一条线段AB被点M分成 的两条线段AM与MB,点M叫作线段AB的 。
没有刻度的直尺
圆规
相等
中点
课堂互动
知识点1:线段的中点
例1 如图所示,C,D是线段AB上两点,若BC=4 cm,AD=7 cm,且D是BC的中点,则AC的长等于 cm。
5
知识点2:线段的基本事实及两点间的距离
例2 点A与点B之间的距离是( )
A.直线AB的长度
B.过A,B两点的直线
C.线段AB的长度
D.连接A,B两点的线段
C
例3 如图所示,把弯曲的河道改直,能够缩短航程,这样做的道理是
。
两点之间线段最短
基础题
1.如图所示,用圆规比较两条线段的大小,正确的是( )
A.AB>AC
B.AB=AC
C.ABD.无法确定
C
2.(2024黔南期末)如图所示,小明家到学校共有四条路,但小明基本上都选择了路线③上学,他这么选择利用的数学依据是( )
A.两点之间线段最短
B.两点之间直线最短
C.两点确定一条直线
D.两点之间弧线最短
A
3.已知:线段a,b,求作:线段AB,使得AB=2a+b,小明给出了四个步骤(画图如图所示):①作一条射线AE;②则线段AB=2a+b;③在射线AE上作线段AC=a,再在射线CE上作线段CD=a;④在射线DE上作线段DB=b;你认为顺序正确的是( )
A.②①③④ B.①③④②
C.①④③② D.④①③②
B
4.如图所示,点M在线段AB上,则下列条件不能确定点M是线段AB中点的是( )
B
5.(易错题)如果A,B,C在同一条直线上,线段AB=6 cm,BC=2 cm,则A,C两点间的距离是( )
A.8 cm B.4 cm
C.8 cm或5 cm D.8 cm或4 cm
D
6.(2024贵阳期末)在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=5 cm,BC=7 cm。如果点O是线段AC的中点,那么线段OB的长度是 cm。
1
7.如图所示,已知AB=10 cm,点E,C,D在线段AB上,且AC=6 cm,点E是线段AC的中点,点D是线段BC的中点。
(1)求BD的长;
(2)求DE的长。
中档题
8.两根木条,一根长10 cm,另一根长12 cm,将它们一端重合且放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离为( )
A.1 cm B.11 cm
C.1 cm或11 cm D.2 cm或11 cm
C
9 cm
10.如图所示,点C,D为线段AB的三等分点,点E为线段AC的中点,若ED=9,求线段AB的长度。
11.如图所示,已知线段a,b,c(a>c),作线段AB,使AB=a+b-c。
解:如图所示。
(1)画射线AE。
(2)在射线AE上顺次截取AC,CD,使AC=a,CD=b。
(3)在线段AD上截取线段DB,使DB=c,则AB=AC+CD-BD=a+b-c,即线段AB为所画线段。
素养题
12.(几何直观)已知点C在线段AB上,且 AC=6,BC=4,点M,N分别是AC,BC的中点。
(1)求线段MN的长度。
(2)如果AC=a,BC=b,其他条件不变,你能猜出MN的长度吗
(3)如果我们这样叙述它:“已知点C与线段AB在同一条直线上,线段AC=6,BC=4,M,N分别是AC,BC的中点,求MN的长度。”结果会有变化吗 如果有,求出结果。
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