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2 角
第2课时 角的比较与运算
课题 第2课时 角的比较与运算
学习目标 1.掌握比较角的大小的方法，会比较两个角的大小. 2.理解角的平分线的定义，并能借助角的平分线的定义解决问题，理解两个角的和、差、倍、分的意义，会进行角的运算. 3.培养几何想象能力和观察能力，进一步提高观察、分析和抽象的能力.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 1.线段大小的比较有几种方法？ 2.什么是线段的中点？在下图中如何描述线段的中点？
新课学习 问题一：角的比较 你能比较下面两个角的大小吗？有哪些方法？ 角的比较方法： 1.叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一边放在重合边的同侧，就可以比较： 2.度量法，分别度量出它们的度数，然后进行比较 例1把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起． （1）写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D的度数； （2）用“＜”将上述各角连接起来； （3）指出∠A，∠B，∠BCD，∠D中的锐角、钝角和直角． 问题二：角平分线的概念 如图，∠AOB＝35°，∠BOC＝90°，∠BOD=35°，求∠COD和∠EOC的度数． 解：∵∠AOB＝35°，∠BOC＝90°， ∴∠AOC＝35°+90°＝125°． ∴∠EOC180°-125°＝55°， ∴∠COD＝90°﹣35°＝55°． 角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图：OC是∠AOB的平分线，则有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 例2如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C． （1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是 °． （2）完成下列解题过程： 解：如图，因为OP是∠AOB的平分线， 所以∠AOP∠ ． 因为∠AOB＝120°， 所以∠AOP＝ °． 因为∠BOC＝ °． 所以∠AOP＝∠BOC．
当堂训练 1.如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 2.若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是（ ） A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断 3.如图，∠AOB为直角，∠BOC＝20°，OD是∠AOB的平分线，则∠COD的度数为 ． 4.如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD的度数是 ． 5.填空，完成下列说理过程 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． （1）求∠DOE的度数； （2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数． 解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD． 因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠COE∠BOC． 所以∠DOE＝∠COD+（∠AOC+∠BOC）∠AOB＝____°． （2）由（1）可知 ∠BOE＝∠COE＝_____﹣∠COD＝____°， 所以∠AOE＝_____﹣∠BOE＝_____°．
达标测试 1.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ） A．35°B．70°C．110°D．145° 第1题图 第2题图 2. 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ） A．65° B．75° C．85° D．95° 3. 已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=80°，∠BOC=40°，则∠AOC等于（ ） A．40° B．60°或120° C．120° D．120°或40° 4.如图，OB是_____的角平分线；OC是_____的角平分线，∠AOD=______，∠BOD=______度． 第4题图 第5题图 5．如图，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BCO，∠AOB为直角，∠EOD=70°，则∠BOC的度数为_______． 6．∠1=∠A，∠2=∠A，则∠1和∠2的关系是_______． 7.如图，已知∠AOB:∠BOC=3:5，又OD,OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，若∠DOE=60，,求∠AOB和∠BOC的度数. 8.已知∠AOB=45°,∠BOC=30，求∠AOC的度数.
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第2课时 角的比较与运算
能比较角的大小。
1.会使用度量法和叠合法比较两个角的大小。
2.理解角的平分线的定义,并能借助角的平分线的定义解决问题。
3.培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。
重点:角的大小比较的方法,角的平分线的定义。
难点:角的平分线的几何语言表达及运用。
在课堂教学活动过程中,教师作为学生学习的组织者、引导者与合作者,注意突出学生的数学实践活动,变“教学”为“导学”,利用多媒体课件,增强了教学的直观性,提高了课堂效率。在教学中尽力引导学生成为知识的发现者,把教师的点拨和学生解决问题结合起来,为学生创设情境,鼓励学生亲自动手实践、在实践中发现知识,培养学生的创新精神和实践能力。
(一)情境导入
还记得怎样比较线段的长短吗 类似地,你能比较角的大小吗 与同伴进行交流。
(二)新知初探
探究一 角的比较
活动1 1.回忆两个线段是如何比较大小的。
2.直接呈现问题:锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系,那么一般的两个角(可能都是锐角)如何比较它们的大小呢
3.练习,请同学们在准备好的纸片上任意画一个角,再与小组其他同学所画的角比较一下大小,并按顺序排列。说说是怎样比较的。
通过类比,学生很容易总结出角的比较有两种方法:一是度量法(利用量角器),二是叠合法。
追问1 使用叠合法比较角的大小必须注意哪些细节
追问2 角的大小与两边画出部分的长短是否相关
小结:(1)度量法;(2)叠合法。
注意:叠合法步骤为①将两个角的顶点及一边重合;
②另一条边放在重合边的同侧;
③由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。
追问3 两个角的大小关系有几种 你能用图形和符号表示吗
画出图形,并用符号表示(如图所示),指出两个角的大小关系有且仅有三种情况。
∠AOB<∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' ∠AOB>∠A'O'B'
尝试·思考
例题 根据右图,求解下列问题:
(1)比较∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE的大小,
并指出其中的锐角、直角、钝角、平角。
(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小。
(3)小亮通过折叠的方法,使OD与OC重合,OE落在∠BOC的内部,所以∠BOC>∠DOE。你能理解这种方法吗
(4)请在图中画出小亮折叠的折痕OF,∠DOF与∠COF有什么大小关系
解:(1)∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE。∠AOB是锐角,∠AOC是直角,∠AOD是钝角,∠AOE是平角。
(2)∠BOC>∠DOE。
(3)能理解,小亮用的是叠合法。
(4)画图略,∠DOF=∠COF。
任务一 意图说明
引导学生类比线段的比较方法,从中得出角的比较也有两种方法:一种是用量角器量出每个角的度数,再进行比较,叫作“度量法”;第二种是将两个角叠合进行比较,叫作“叠合法”,通过动画的演示,让学生观察发现并总结用叠合法比较角的大小。
探究二 角平分线
活动2 由上一环节例题∠AOC与∠COE的关系,和相应的动画演示,引入角的平分线的概念并明晰。
定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线。
如图所示,用几何语言表述:
因为OC是∠AOB的角平分线,
所以∠AOC=∠BOC=∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。
任务二 意图说明
考虑到学生思维的连续性,借助已经发现的∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,引导学生认识OC的特殊性,从而引出角平分线的概念,并及时板书“角平分线”。目的是依然从例题入手引出角的平分线,从而自然过渡到本环节。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
角的比较与运算
角的比较与运算
1.角的比较方法 3.角平分线
2.例题解析 4.角平分线的几何语言
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第2课时 角的比较与运算
第四章 基本平面图形
2 角
1.会使用度量法和叠合法比较两个角的大小。
2.理解角的平分线的定义,并能借助角的平分线的定义解决问题。
3.培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
成功永远属于肯攀高峰的人
!
选择从哪一面上山会感觉到舒缓呢？
新知初探
贰
新知初探
探究一 角的比较
贰
合作探究
类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
结论：
角的大小比较：度量法、叠合法
新知初探
贰
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那么∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
O'
C
D
新知初探
贰
(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小。
例题：根据右图，求解下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF与∠COF有什么大小关系？
(3)小亮通过折叠的方法，使OD与OC重合,OE落在∠BOC的内部,所以∠BOC>DOE。你能理解这种方法吗
新知初探
贰
解：（1）∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，
∠AOB为锐角，∠AOC为直角，∠AOD为钝角，∠AOE为平角；
（2）∠BOC＞∠DOE；
（3）能理解，如图所示，因为折叠使OD与OC重合，OE落在∠BOC的内部的OE′处，
所以∠DOE＝∠COE′，
又因为∠BOC＞∠COE′，
所以∠BOC＞∠DOE；
（4）如图所示，OF为所作，∠DOF＝∠COF。
新知初探
贰
在上一环节例题中，∠AOC与∠COE的关系都是直角且相等，射线OC把∠AOC平分。对于一般角，分成两角的过程如下：
探究二 角平分线
新知初探
贰
从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC ＝∠BOC = ∠AOB
或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC
几何语言
C
O
B
A
角平分线的定义：
新知初探
贰
巩固练习： 如图所示，已知点O为直线AB上一点，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数。
[解析] 首先应确定∠MON的转化问题：
∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到∠MOC＋∠CON＝ ∠AOB。
在有关角的计算中，几何图形与等式的性质同时使用，问题会迎刃而解。
新知初探
贰
解：因为点A，O，B在一条直线上，
所以∠AOB＝180°.
因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°，
又因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，
所以∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC.
所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC)＝×180°＝90°.
又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON，
所以∠MON＝90°。
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1．如图所示，如果∠AOB＝∠COD，那么( )．
A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β
C．∠α＝∠β D．∠α＋∠β＝∠COD
C
A
当堂达标
叁
A
4.如图所示，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是（ ）
A．2α－β B．α－β
C．α＋β D．以上都不正确
3.如图所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠BFE＝( )
A．70° B．65°
C．60° D．50°
B
当堂达标
叁
解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠DOB＝∠AOB， ∠EOB＝∠BOC.
因为∠DOE＝∠DOB＋∠EOB，
所以∠DOE＝∠AOB＋∠BOC＝ (∠AOB＋∠BOC)
＝∠AOC＝×130°＝65°。
5．如图所示，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，且∠AOC＝130°，求∠DOE的度数。
课堂小结
肆
课堂小结
肆
角的比较与运算
比较角的大小
角的平分线
叠合法
度量法
角的平分线的性质
角的计算
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第10题
谢
谢(共20张PPT)
第2课时 角的比较与运算
数学 七年级上册BSD
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预习导学
课堂互动
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素养题
基础题
预习导学
1.角的大小的比较方法: 法、 法。
2.角的平分线:从一个角的顶点引出的一条 ,把这个角分成
的角,这条 叫作这个角的平分线。
度量
度量
射线
两个相等
射线
课堂互动
知识点1:角的和差计算
例1 如图所示,把一副直角三角板拼在一起,则∠ABC的度数为( )
A.70° B.90° C.105° D.120°
[思路点拨] 题目中隐含的三角板各个内角度数是解决本题的关键。
D
知识点2:角的平分线
例2 如图所示,点O是直线AB上一点,射线OD是∠BOC的平分线,若∠BOC=156°,则∠AOD的度数是( )
A.102° B.104° C.106° D.108°
A
基础题
1.如图所示,用同一个三角板比较∠A与∠B的大小,其中正确的是( )
A.∠A>∠B
B.∠A<∠B
C.∠A=∠B
D.没有量角器,无法确定
B
D
3.如图所示是一副三角板拼在一起,则∠ABE的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
D
4.如图所示,O为直线AB上一点,∠COD=100°,∠BOD∶∠AOC=1∶3,则∠BOC的度数为( )
A.110° B.120° C.135° D.140°
B
5.如图所示,点O与量角器中心重合,OA与零刻度线叠合,OB与量角器刻度线叠合,OD是∠BOC的平分线,则∠BOD= 。
55°
6.(2023乐山)如图所示,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为 。
20°
7.如图所示,点O是直线AB上一点,以点O为端点分别作射线OD,射线OC,射线OE,射线OF,若射线OD平分∠AOC,且∠AOC=36°,∠DOE=90°。
(1)求∠COE的度数;
(2)若∠BOF=3∠FOE,求∠EOF的度数。
中档题
8.在平面内,∠AOB=90°,OC在∠AOB的外部,∠COB是锐角,OP平分∠AOC,OQ平分∠COB,若∠COB的度数逐渐变大,则∠POQ变化情况是
( )
A.变大 B.变小
C.保持不变 D.无法确定
9.已知∠AOB=3∠BOC,∠BOC=30°,那么∠AOC= 。
[变式] 已知∠AOB=70°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON= 。
C
120°或60°
20°或50°
10.如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=
90°。
(1)请你数一数,图中小于平角的角有 个。
解:(1)9
(2)求出∠AOD和∠BOD的度数。
(3)请通过计算说明:OE是否平分∠BOC
解:(3)OE平分∠BOC。
因为∠COD=25°,∠DOE=90°,
所以∠COE=∠DOE-∠DOC=90°-25°=65°。
因为∠BOC=130°,
所以∠BOE=∠BOC-∠COE=130°-65°=65°=∠COE。
所以OE平分∠BOC。
素养题
11.(几何直观、推理能力)如图所示,O为直线AD上一点,以O为顶点作∠COE=90°,射线OF平分∠AOE。
(1)如图(1)所示,∠AOC与∠DOE的数量关系为 ;
解:(1)∠AOC+∠DOE=90°
(2)如图(1)所示,如果∠AOC=60°,求∠COF的度数;
(3)若将图(1)中的∠COE绕点O旋转至图(2)的位置,OF依然平分∠AOE,若∠AOC=α,请猜想∠COF的度数(可用α表示),并说明理由。
谢谢观赏！
