(共31张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习任务目标
1．掌握空间向量的夹角与长度的概念．(直观想象)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(数学运算)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 空间向量的夹角
1．定义
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的____，记作________．
2．夹角的范围
通常规定，__________________．这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝________．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b________，记作_____．
夹角
〈a，b〉
0≤〈a，b〉≤π
〈b，a〉
互相垂直
a⊥b
[微训练]
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与夹角的大小为________．
60° 解析：因为BC1∥AD1，△AD1C是等边三角形，所以〈〉＝〈〉＝60°.
知识点二 空间向量的数量积、运算律
1．定义
已知两个非零向量a，b，则_______________叫做a，b的数量积，记作a·b，即_____________________．其中，_________________称为向量a在向量b上的投影向量．特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
|a|cos〈a，b〉
2．线面角
如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量______称为向量a在平面β上的________．这时，向量的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
投影向量
3．空间两向量的数量积的性质
向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b ________
共线 同向：a·b＝______
反向：a·b＝______
模 a·a＝______________＝|a|2，
|a|＝________
___|a||b|
夹角
若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a||a|cos〈a，a〉
≤
4．空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)·b＝_________，λ∈R；
(2)a·b＝_____(交换律)；
(3)(a＋b)·c＝___________(分配律)．
λ(a·b)
b·a
a·c＋b·c
[微训练]
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2.若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B 解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
2．下列式子中正确的是( )
A．|a|a＝a2
B．(a·b)2＝a2b2
C．a(a·b)＝b·a2
D．|a·b|≤|a||b|
D 解析：根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.
任务型课堂
02
任务一 空间向量数量积的运算
任务二 利用数量积证明空间中的垂直关系
任务三 利用向量的数量积求夹角和模长
任务一 空间向量数量积的运算
1．(多选)如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列各式中，结果等于－a2的是( )
A．2 B．2
C．2 D．2
AB 解析：2＝－a2；2＝－a2；＝a2；2a2.故选AB.
2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是互相垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A 解析：因为p⊥q，且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则＝________．
a2 解析：＝a2.
任务二 利用数量积证明空间中的垂直关系
1．在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)
垂直 解析：因为＝·＝·＝＝0，所以AD与BC垂直．
证明：如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(a＋b
＋c)，＝c－b，所以·(c－b)＝＝＝0.所以⊥，即OG⊥BC.
2．如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC
＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中
点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.
证明：设＝c，则a·b＝0，
b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
因为＝c＋，＝b－a，＋c，
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
所以·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝＝0，所以⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又因为OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，所以A1O⊥平面GBD.
【类题通法】
用向量法证明空间中垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示关键向量；
(3)结合向量的数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
提示：设每个力大小为|F0|，合力为F，则|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝.
所以|F|＝.
因为|F|＝5 000×10＝50 000(N)，
所以|F0|＝(N)．
(2)每个力最小为多少时，才能提起这块钢筋混凝土构件？
探究2：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为a，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.
(1)求；
提示：因为，
所以2＝2
＝
＝a2＋2·a·a cos 60°＋a2
＝3a2，
所以＝a.
因为＋＝，
所以2＝2
＝
＝a2＋a2＋a2＋a2－a2－a2＝2a2，
所以＝a.
(2)求向量与夹角的余弦值．
提示：因为＝·
＝·＋·
＝
＝a·acos 60°＋a·acos 60°＋a2－a2＝a2，
所以cos〈〉＝.
故向量与夹角的余弦值为.
[评价活动]
如图，在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，
CD上的点，且MB＝2AM，CN＝，求.
解：因为＋＋＝－，所以a2.故＝a.
【类题通法】
1．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤：
(1)分别在两条异面直线上取向量a，b ；
(2)求向量夹角的余弦值cos〈a，b〉；
(3)得出结果，即cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量a的长度|a|表示此距离；
(2)用其他向量表示向量a ；
(3)利用公式a·a＝|a|2，求出|a|.
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第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习任务目标
1．了解空间向量的概念．(数学抽象)
2．掌握空间向量的线性运算．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 空间向量的有关概念
1．定义：在空间，我们把具有____和____的量叫做空间向量．
2．空间向量的长度：空间向量的____叫做空间向量的长度或模．
3．表示法
(1)几何表示法：空间向量用________表示．
(2)字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作____，其模记为|a|或_____．
大小
方向
大小
有向线段
知识点二 几类特殊向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为_的向量 0
单位向量 模为_的向量 |a|＝1或＝1
相反向量 与向量a长度____而方向____的向量 －a
相等向量 方向____且模____的向量 a＝b或
共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相____或____ a∥b
0
1
相等
相反
相同
相等
平行
重合
[微训练]
1．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以各顶点为起点与终点的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C 解析：与向量相等的向量有，共3个．
2．给出下列命题：
①若空间向量a，b满足a＝b，则|a|＝|b|；
②在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，必有；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A 解析：①为真命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，模一定相等；②为真命题，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与的方向相同，模相等，故；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．故选A.
知识点三 空间向量的线性运算
1．空间向量的加法、减法以及数乘运算
(1)如图1，a＋b＝；
a－b＝；
(2)如图2，当λ>0时，λa＝λ；
当λ＜0时，λa＝λ；
当λ＝0时，λa＝_．
0
2．空间向量的线性运算满足的运算律(其中λ，μ∈R)
交换律：a＋b＝____；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝______．
b＋a
λa＋λb
[微训练]
1．已知在空间四边形ABCD中，＝c，则＝( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
C 解析：＝－a＋b＋c.
2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量表示向量的结果为( )
A．
B．
C．
D．
B 解析：.故选B.
任务型课堂
02
任务一 空间向量的有关概念
任务二 空间向量的线性运算
任务一 空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线未必平行
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若＞
D．相等向量的方向未必相同
A 解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合，故A正确；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定，故B错误；C中，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；D中，相等向量指的是两个向量长度相等且方向相同，故D错误．故选A.
2．如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，以长方体的顶点为向量的起点和终点．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的向量．
(3)写出与向量相等的向量．
(4)写出向量的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)有.
(4)向量的相反向量有.
【类题通法】
1.在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面内向量的相关概念完全一致．因此可以类比平面向量的有关方法解题．
2.判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小与方向，两者缺一不可，相互制约．
任务二 空间向量的线性运算
1．《九章算术》中的“商功”章主要讲述了立体图形体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点．若，则x＋y＋z＝( )
A． B． C．1 D．
A 解析：如图，连接AM，AN，因为＝＝，所以x＋y＋z＝.
2．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
(1)；
解：因为
＝，
又，
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
解：因为
＝
＝
＝，
又，
所以x＝，z＝1.
(2).
3．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)；
解：如图所示，因为＝，所以x＝y＝－.
解：因为，所以.
又因为，所以.
从而有－＝2，
所以x＝2，y＝－2.
(2).
【类题通法】
1.空间向量的加减运算仍然遵循三角形法则和平行四边形法则，在进行加法、减法的运算时，要注意找准向量所在的三角形或平行四边形．
2.向量的加法和减法是互逆运算，在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量．
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第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第2课时 共线向量与共面向量
学习任务目标
1．掌握向量共线的充要条件．(数学运算)
2．掌握共面向量定理及其推论的应用．(直观想象、逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 向量共线的充要条件
1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_____．
2．如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝__．我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的________．这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的________表示，也就是说，直线可以由其上一点和
它的________确定．
a＝λb
λa
方向向量
方向向量
方向向量
[微训练]
有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的有__________．
②③④ 解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①为假命题；∥，且有公共点A，所以A，B，C三点共线，故②为真命题；由于a＝4e1－＝－4b，所以a∥b，故③为真命题；易知④也为真命题．
知识点二 向量共面的充要条件
1．如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l____或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA______平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做________．
2．如果两个向量a，b______，那么向量p与向量a，b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
p＝______．
平行
平行于
共面向量
不共线
xa＋yb
[微训练]
若a，b是平面α内的两个向量，下列命题正确的是( )
A．平面α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R，使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则平面α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D 解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0仍成立，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
任务型课堂
02
任务一 向量共线的充要条件
任务二 向量共面的充要条件的应用
任务一 向量共线的充要条件
1．已知非零向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A 解析：因为＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，所以∥.
因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线．
证明：因为E，H分别是AB，AD的中点，所以
，所以
＝＝，所以∥，且＝.
又点F不在直线EH上，所以四边形EFGH是梯形．
2．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.求证：四边形EFGH是梯形．
【类题通法】
1．利用向量共线的充要条件可以证明三点共线或两直线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合已知图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示．
任务二 向量共面的充要条件的应用
[探究活动]
对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意向量p，都可以写成p＝xa＋yb，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对．
提示：假设p，m，n共面，则存在x，y∈R，使p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
探究1：已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断向量p，m，n是否共面．
提示：因为点M在BD上，且BM＝BD，所以
.
同理.
所以.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面．
探究2：如图，已知矩形ABCD所在的平面和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝AE.求证：向量共面．
[评价活动]
1．(多选)已知O为空间任一点，在下列条件中，使M，A，B，C四点一定共面的是( )
A．B．
C．＝0D．＝0
AC 解析：空间的四点M，A，B，C共面，只需满足，且x＋y＋z＝1.C项可表示为，A，C项满足．故选AC.
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
解：由已知，得，所以＝＋，所以，所以向量共面．
解：由(1)知，向量共面，
又表示三个向量的有向线段过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，
所以点M在平面ABC内．
(2)判断点M是否在平面ABC内．
【类题通法】
对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥，或∥.
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