第1章 1.2 空间向量基本定理 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第一章　空间向量与立体几何
1.2　空间向量基本定理
学习任务目标
1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(数学抽象)
2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(数学抽象)
问题式预习
01
知识点一　空间向量基本定理
1．分向量
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的______．
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c______，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．
两两垂直
xi＋yj＋zk
分向量
不共面
xa＋yb＋zc
知识点二　基底
如果三个向量a，b，c______，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝__________，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做______．空间任意三个______的向量都可以构成空间的一个基底．
不共面
xa＋yb＋zc
基向量
不共面
[微训练]
1．在以下3个命题中，真命题的个数是(　　)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
C　解析：命题①②是真命题，命题③是假命题．
2．若向量a，b，c构成空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　)
A．a　　B．b　　C．c　　D．a＋b
C　解析：因为a＝，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝，所以b，p，q共面，故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝，所以a＋b，p，q共面，故a＋b，p，q不能构成空间的一个基底，排除D.故选C.
3．(多选)已知空间中的四个点O，A，B，C,且{}为空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
ACD
知识点三　正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为_，那么这个基底叫做____________，常用{i，j，k}表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝__________．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行________．
两两垂直
1
单位正交基底
xi＋yj＋zk
正交分解
[微训练]
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝c，N是BC的中点，用a，b，c表示为(　　)
A．－a＋b＋　 B．－a＋b＋c
C．－a－b＋c　 D．a－b＋c
A　解析：因为N是BC的中点，所以．故选A.
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥AB1.
证明：设＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
因为＝＋)＝＝(－a＋b＋c)，＝a＋b，
所以(－a＋b＋c)·(a＋b)＝＝0.
所以⊥，即EF⊥AB1.
任务型课堂
02
任务一　基底的判断
任务二　用基底表示空间向量
任务三　空间向量基本定理的应用
任务一　基底的判断
1．若a，b，c构成空间的一个基底，则下列各组向量能构成空间的一个基底的是(　　)
A．a＋b，a－c，b 　 B．c，b＋c，b－c
C．b＋c，a＋b＋c，a 　 D．a，a＋b，a－b
A　解析：对于A，假设a＋b，a－c，b共面，则可设a＋b＝λ(a－c)
＋μb(λ，μ∈R)，则 方程组无解，a＋b，a－c，b不共面，
可以构成空间的一个基底，A正确；
对于B，c＝(b＋c)－(b－c)，所以c，b＋c，b－c共面，不能构成空间的一个基底，B错误；
对于C，b＋c＝(a＋b＋c)－a，所以b＋c，a＋b＋c，a共面，不能构成空间的一个基底，C错误；
对于D，因为a＝(a＋b)＋(a－b)，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成空间的一个基底，D错误．
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋e2－e3.试判断{}能否作为空间的一个基底．
解：假设共面，则存在实数λ，μ使得，所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
因为e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解，
所以不共面，所以{}可以作为空间的一个基底．
【类题通法】
判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①若已知向量中存在零向量，则不能构成基底；若其中一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组．若方程组有解，则共面，不能够成基底；若无解，则不共面，能构成基底．
任务二　用基底表示空间向量
[探究活动]
探究1：某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在某超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高 3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由 “南 1 000 m”“东600 m”“5楼”这三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
(1)请把“人质”的位置用向量e1，e2，e3表示出来．
(2)空间中的任意向量都能用向量e1，e2，e3表示出来吗？
提示： (1) 1 000e1＋600e2＋14e3.
(2)向量e1，e2，e3构成空间的一个基底，可以表示出空间中的任意向量．
探究2：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，试求满足的实数x，y，z的值．
提示：如图，取PC的中点E，连接NE，则－＝＝－.因为
，所以x＝－.
[评价活动]
1．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用a，b，c表示如下向量：
(1)；(2).
解：(1)＝＝(a＋b＋c)．
(2)＝＝c.
2．已知四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.设＝c，E，F分别是PC和PB的中点．
(1)判断a，b，c能否构成空间的一个基底；
解：＝c不共面，能构成空间的一个基底．
(2)若a，b，c可以构成空间的一个基底，用a，b，c表示.
解：如图所示，连接BO，则＝
＝(c－b－a)＝－，
＝－a－，
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋，．
【类题通法】
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，起点相同的三个不共面的向量作为基向量．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点与基向量的起点相同，一般考虑向量的加法，否则考虑向量的减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用向量的数乘运算．
任务三　空间向量基本定理的应用
1．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形)．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，
即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则＝
________．
1　解析：在正八面体ABCDEF中，不共面，P，Q分别为棱AB，AD的中点，
＝cos 60°＝2，
＝0.因为，
＝＝，
所以×2－0＝1.
2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD
是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)以为基底，试表示向量；
(2)求向量的模；
(2)2＝＝2＝＝2，所以向量的模为.
解：(1).
(3)求直线AC1与A1D所成角的余弦值．
解：因为，
所以2＝2
＝
＝4＋1－2×2×1×
＝7，
所以＝.
又因为＝·
＝－＝－2，
所以cos〈〉＝.
所以直线AC1与A1D所成角的余弦值为＝.
3．如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AC＝BC＝AA′，
∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
证明：设＝c，
则|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
因为＝－c＋，所以b2＝0.
所以⊥，即CE⊥A′D.
解：因为＝－a＋c，所以＝＝.
因为＝(－a＋c)·
＝2，所以.
所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
【类题通法】
利用空间向量证明两直线垂直或平行
(1)要证两直线垂直，只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基向量将两直线的方向向量表示出来，随后证明两方向向量的数量积为0.
(2)要证明两直线平行，只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基向量将两直线的方向向量表示出来，而后作相应的运算证明它们共线即可．
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