(共24张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学习任务目标
1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系．(直观想象)
2．会用空间直角坐标系刻画点的位置．
问题式预习
01
知识点一 空间直角坐标系
1．在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做______．这时我们就建立了一个空间直角坐标系____，O叫做____，i，j，k都叫做________，通过每两条坐标轴的平面叫做________，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面．
2．在空间直角坐标系中，让____拇指指向x轴的正方向，____指向y轴的正方向，如果____指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
坐标轴
Oxyz
原点
坐标向量
坐标平面
右手
食指
中指
知识点二 空间直角坐标系中的坐标表示
1．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在____的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点A的______，y叫做点A的______，z叫做点A的______．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作____________．
唯一
A(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
a＝(x，y，z)
[微训练]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴上的点横坐标为0，竖坐标为0. ( )
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，Ozx平面内的点(x,y,z)满足z＝0. ( )
(3)关于坐标平面Oyz对称的两个点的纵、竖坐标相等，横坐标互为相反数． ( )
×
×
√
2．已知点P(1，1，2)，则向量的坐标为( )
A．(1，－1，－2)
B．(－1，－1，－2)
C．(1，1，2)
D．(－1，－1，2)
C 解析：＝i＋j＋2k＝(1，1，2)．故选C.
任务型课堂
02
任务一 空间中点的坐标
任务二 空间中的对称问题
任务三 空间中向量的坐标
任务一 空间中点的坐标
1．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，12，10) D．(4，3，2)
A 解析：设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．
2．如图，在长方体OBCD-O1B1C1D1中，OB＝4，OD＝3，OO1＝5，N为棱CC1的中点，以 为单位正交基底 ，建立空间直角坐标系．
(1)求点O，B，C，D，O1，B1，C1，D1的坐标；
解：由已知，得O(0，0，0)．
因为点B在x轴上，OB＝4，所以＝4i＋0j＋0k.
所以点B的坐标为(4，0，0)．
同理D(0，3，0)，O1(0，0，5)．
又点C在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O，它们在坐标轴上的坐标分别为4，3，0，所以点C的坐标为(4，3，0)．
同理B1(4，0，5)，D1(0，3，5)．
又点C1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为B，D，O1，它们在坐标轴上的坐标分别为4，3，5，
所以点C1的坐标为(4，3，5)．
综上所述，点O(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，3，0)，O1(0，0，5)，B1(4，0，5)，C1(4，3，5)，D1(0，3，5)．
(2)求点N的坐标．
解：由(1)，知C(4，3，0)，C1(4，3，5)，
则C1C的中点坐标为，
即N.
【类题通法】
确定空间直角坐标系中点的坐标的方法
若点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，B，C，则.若点A，B，C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，则点P的坐标为(x，y，z)，且＝(x，y，z)．
任务二 空间中的对称问题
[探究活动]
如图，在平面直角坐标系Oxy中，对称点的坐标特征：
a．点P(m，n)关于x轴的对称点为P1(m，－n)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；
b．点P(m，n)关于y轴的对称点为P2(－m，n)，即纵坐标相等，横坐标互为相反数；
c．点P(m，n)关于原点
的对称点为P3(－m，－n)，
即橫、纵坐标都互为相反数．
探究1：在空间直角坐标系Oxyz中，如何求点P(x，y，z)关于坐标平面Oxy的对称点的坐标？
提示：横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．
探究2：在空间直角坐标系Oxyz中，如何求点P(x，y，z)关于x轴的对称点的坐标？
提示：横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数．
探究3：在空间直角坐标系Oxyz中，如何求点P(x，y，z)关于原点的对称点的坐标？
提示：横、纵、竖坐标均变为原来的相反数．
[评价活动]
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(2，3，2)关于Oxy平面的对称点为( )
A．(2，3，－2) B．(－2，－3，－2)
C．(－2，－3，2) D．(2，－3，－2)
A 解析：因为关于Oxy平面对称的两点，横坐标、纵坐标相等，而竖坐标互为相反数，所以点(2，3，2)关于Oxy平面的对称点为(2，3，－2)．故选A.
2．(多选)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)，下列说法正确的是( )
A．OP的中点坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，2，3)
C．点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)
ACD 解析：利用中点坐标公式可得OP的中点坐标为，故A正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故B错误；点P关于原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故C正确；点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)，故D正确．故选ACD.
【类题通法】
在空间直角坐标系Oxyz中，点P(a，b，c)的几个特殊的对称点的坐标如下：
对称轴或对称中心 对称点坐标
P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c)
y轴 (－a，b，－c)
z轴 (－a，－b，c)
Oxy平面 (a，b，－c)
Oyz平面 (－a，b，c)
Ozx平面 (a，－b，c)
坐标原点 (－a，－b，－c)
任务三 空间中向量的坐标
1．在四面体OABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OB＝2，OC＝1，E是AB的中点．试建立空间直角坐标系，写出向量的坐标．
解：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，根据条件可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，1)，E(1，1，0)．
所以＝－2i－0j－0k＝(－2，0，0)；
＝0i－2j＋k＝(0，－2，1)；
＝i＋j－k＝(1，1，－1)．
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB
的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点．试建立适当的坐
标系，并确定E，F，G三点的坐标及向量的坐标．
解：如图，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系Dxyz.
由于正方体棱长为1，则E.
所以.
【类题通法】
1．空间中向量的坐标：在空间直角坐标系中，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组(x，y，z)使得空间向量a＝xi＋yj＋zk.当{i，j，k}为单位正交基底时，(x，y，z)即为向量a的坐标．也可求出向量两个端点的坐标，进而求出向量的坐标．
2．在空间直角坐标系中，若，则线段AB的中点坐标为．
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第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习任务目标
1．掌握空间向量运算的坐标表示，能用向量的坐标运算解决简单的几何问题．(数学运算)
2．理解空间向量夹角公式、空间两点间的距离公式．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝__________________________
减法 a－b＝__________________________
数乘 λa＝_______________，λ∈R
数量积 a·b＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
[微训练]
(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6)
B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝22
D．5a＝(20，－10，－20)
CD 解析：a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，5a＝(20，－10，－20)，故A，B错误，C，D正确．
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(b≠0)．
名称 向量表示 坐标表示
平行 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b＝0 a·b＝___________________
模 |a|＝ |a|＝
______________
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
[微训练]
1．已知向量a＝(2，－3，5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为( )
A．6，－10
B．－6，10
C．－6，－10
D．6，10
B 解析：因为向量a＝(2，－3，5)与b＝(4，x，y)平行，所以，解得x＝－6，y＝10.故选B.
2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________．
解析：ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝＝_________________________________.
[微训练]
1．已知A(1，1，0)，B(－1，0，2)，则等于( )
A． B．4
C．3 D．
C 解析：因为＝(－2，－1，2)，所以＝＝3.
2．已知点A(x，1，2)，B(2，3，4)，且＝，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．－6或2
C．3或－4 D．6或－2
D 解析：由题意，得2＝(2－x)2＋(3－1)2＋(4－2)2＝2，解得x＝6或－2.故选D.
任务型课堂
02
任务一 空间向量坐标的运算
任务二 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示
任务三 空间向量坐标运算的应用
任务一 空间向量的坐标运算
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|＝( )
A．3 B．2 C． D．5
A 解析：因为a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(1＋2＋6，0＋1＋2，1－1＋0)＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝.
2．已知空间向量a＝(1，0，2)，b＝(－2，1，3)，则a－2b＝_____．
(5，－2，－4) 解析：因为a＝(1，0，2)，b＝(－2，1，3)，所以a－2b＝(1，0，2)－2(－2，1，3)＝(5，－2，－4)．
3．已知空间向量a＝(－2，1，5)，b＝(1，3，－4)，则a·b＝_____．
－19 解析：因为a＝(－2，1，5)，b＝(1，3，－4)，所以a·b＝－2×1＋1×3＋5×(－4)＝－19.
【类题通法】
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，应用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算即可，且要熟练应用下列公式：
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
任务二 空间向量平行、垂直及两向量夹角的坐标表示
[探究活动]
探究1：已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，求向量与的夹角．
提示：因为＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，所以cos〈〉＝，故向量与的夹角为60°.
探究2：已知向量a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)，其中λ与m 为实数．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
提示：由a∥b，得(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
所以解得所以λ＝，m＝3.
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
提示：因为|a|＝，且a⊥c，
所以
化简，得解得λ＝－1.
所以a＝(0，1，－2)．
(1)4 (2)2 解析：(1)因为a∥b，所以b＝λa.
所以解得所以x－y＝4.
[评价活动]
1．已知向量a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)．
(1)若a∥b，则x－y＝________；
(2)若a⊥b，则4x＋3y＝________．
(2)因为a⊥b，所以a·b＝－2＋4x＋3y＝0，即4x＋3y＝2.
解：因为a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，所以a＋b＝(－1，－2，－3)，所以|a＋b|＝.因为(a＋b)·c＝7，所以cos〈a＋b，c〉＝，即a＋b与c的夹角为60°.因为a＝(1，2，3)与a＋b＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120°.
2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝.若(a＋b)·c＝7，求a与c的夹角．
【类题通法】
1．向量平行与垂直问题主要有两种题型：
(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数的值或解决其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程组；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
2．向量夹角的坐标表示比较复杂，可以熟记公式cos〈a，b〉＝，再将坐标代入计算即可．
解：以D为原点，1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，所以＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)．
所以＝(0，1，－1)·(－1，0，－1)＝0＋0＋1＝1，
任务三 空间向量坐标运算的应用
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，利用向量的坐标运算解答下列问题：
(1)求A1B和B1C的夹角；
＝，＝，
所以cos〈〉＝.
因为〈〉∈[0，π]，
所以A1B与B1C的夹角为.
(2)证明：A1B⊥AC1；
(3)求AC1的长．
解：由(2)知＝(－1，1，1)，所以＝，即AC1的长为.
证明：由(1)知＝(0，1，－1)，＝(－1，1，1)，
所以＝0＋1－1＝0，所以A1B⊥AC1.
解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G.
2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．利用空间向量解决下列问题：
(1)求EF与B1C所成的角；
＝(－1，0，－1)，所以·(－1，0，－1)＝×(－1)＋×(－1)＝0.
所以⊥，即EF⊥B1C.
所以EF与B1C所成的角为.
解：因为，所以＝.
又＝，且×(－1)＝，
所以cos〈〉＝，
即EF与C1G所成角的余弦值为.
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
解：因为H是C1G的中点，所以H.
又F，所以FH＝＝.
(3)求F，H两点间的距离．
【类题通法】
1．空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：
(1)求向量的模，|a|＝；
(2)求向量夹角，cos〈a，b〉＝；
(3)证明向量垂直，a·b＝0 a⊥b.
2．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤：
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
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