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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离
学习任务目标
1．能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题．(直观想象)
2．能用向量方法解决互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 直线外一点到直线的距离
如图，设＝a，直线l的单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝______________．
B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
＝(0，2，0)，＝(0，1，2)．
所以点A到直线BE的距离为.
[微训练]
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B． C． D．
知识点二 平面外一点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝________．
D 解析：＝(1，2，－4)．又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以P到α的距离为.
[微训练]
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
C 解析：点P到平面OAB的距离d＝＝2.
2．在空间直角坐标系中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
知识点三 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与________的联系，用空间向量表示问题中涉及的__、____、____，把立体几何问题转化为向量问题．
(2)通过________，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题．
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的____结论．
空间向量
点
直线
平面
向量运算
几何
任务型课堂
02
任务一 利用空间向量求点到直线的距离
任务二 利用空间向量求点到平面的距离
任务三 利用空间向量求线面距和平面距
任务一 利用空间向量求点到直线的距离
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A. B．1 C． D．2
A 解析：因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)．
所以点A到直线BC的距离d＝.故选A.
解析：因为m＝，所以.
因为P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)，所以＝(5，0，－1)．所以点P到直线l的距离为.
2．已知m＝为直线l的方向向量.若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为________．
【类题通法】
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，并求相关点的坐标；
(2)求出直线l的方向向量a的坐标及|a|；
(3)求出以直线l上某一特殊点为起点，以点A为终点的向量b的坐标及；
(4)由求点A到直线l的距离．
任务二 利用空间向量求点到平面的距离
1．已知点M(0，1，－2)，平面α过原点，且垂直于向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离为( )
A． B．2 C．6 D．
B 解析：由题可知点M到平面α的距离即为在n上的投影向量的长度．因为M(0，1，－2)，所以＝(0，1，－2)．
所以·n＝0×1＋1×(－2)＋(－2)×2＝－6，
|n|＝＝3.
所以点M到平面α的距离为＝2.故选B.
解：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以＝(0，1，0)，＝(－2，1，1)，＝(－1，－1，2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则所以取z＝1，所以d＝，即点A到平面EFG的距离为.
2．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，
G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)．
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)．设N为ME的中点，求点N到平面D1EF的距离．
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则
取x＝1，得n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量．
所以点M到平面D1EF的距离d＝.
因为N为EM的中点，所以点N到平面D1EF的距离为.
【类题通法】
用向量法求点到平面的距离的四个步骤
任务三 利用空间向量求线面距和平面距
[探究活动]
探究1：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC
＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
提示：以B为原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1
(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以
＝(1，0，1)，＝(0，－1，1)．
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)为平面BC1D的一个法向量．
因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，
所以⊥n.
因为AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.
提示：因为AB1∥平面BC1D，所以直线上任一点
到平面的距离都相等．
设直线AB1到平面BC1D的距离为d，＝(0，1，0)，则d＝.
所以直线AB1到平面BC1D的距离为.
(2)求直线AB1到平面BC1D的距离．
提示：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)．
所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，
＝(－1，0，0)．
设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，1)，
则m⊥，m⊥.
探究2：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离．
即
解得故m＝(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量．
显然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离，即为点A到平面A1C1D的距离，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝.
解：如图，以D为原点，的分别方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E，C.
[评价活动]
如图所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯
形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝
2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离．
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
所以B，所以＝＝.设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，得n＝(1，0，1)是平面ABE的一个法向量．
因为＝(0，0，2)，所以点A1到平面ABE的距离d＝.
因为A1B1∥平面ABE，所以直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，所以直线A1B1到平面ABE的距离为.
【类题通法】
直线到平面的距离、平行平面间的距离，均可以转化为点到平面的距离进行求解，按照如下步骤即可解决相应问题．
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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
学习任务目标
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面平行的有关判定定理．(逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 直线与直线平行
如图，设u1，u2 分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 ______ λ∈R，使得u1＝___．
知识点二 直线与平面平行
如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，
l α，则l∥α _____ u·n＝_．
知识点三 平面与平面平行
如图，设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β ______ λ∈R，使得n1＝___．
u1∥u2
λu2
u⊥n
0
n1∥n2
λn2
[微训练]
1．已知u1＝(1，－1，1)，u2＝(－4，4，－4)分别为两个不重合的平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系为______________．
2．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量u＝(－6，8，2)，则直线l与平面α的位置关系是________．
l α或l∥α 解析：因为u·a＝－12＋16－4＝0，
所以u⊥a，所以l α或l∥α.
α∥β(或平行)
任务型课堂
02
任务一 利用空间向量判断线线、线面关系
任务二 利用空间向量证明线线、线面平行关系
任务三 利用空间向量证明面面平行
B 解析：当“u ⊥n”时，由于l可能在平面α内，所以无法推出“l∥α”．
当“l∥α”时，必有“l⊥n”．
综上所述，“u ⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B.
任务一 利用空间向量判断线线、线面平行
1．已知n为平面α的一个法向量， u为直线l的一个方向向量，则“u ⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A 解析：因为平面α的一个法向量v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量v2＝－(2，4，2)，所以v2＝－2v1.所以v1∥v2.因为α，β表示不同的平面，所以α∥β.故选A.
2．若α，β表示不同的平面，平面α的一个法向量v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不能确定
【类题通法】
1.若证线线平行，则证两直线的方向向量共线．即设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
2.若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直，即设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0.
任务二 利用空间向量证明线线、线面平行
[探究活动]
探究1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.试判断直线EF与AC1的位置关系．
提示：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在
直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，
C1(0，b，c)，.
所以＝(－a，b，c)，所以.
又FE与AC1不共线，所以直线EF∥AC1.
提示：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，
P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，
N(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)．
探究2：如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，
∠BAC＝90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中
点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.试证明：
MN∥平面BDE.
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，
则所以
不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)为平面BDE的一个法向量．
又＝(1，2，－1)，
可得·n＝0.
因为MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE.
解：因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC，BC，CC1两两垂直，
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
[评价活动]
1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，
AB＝5，AA1＝4.在线段AB上是否存在点D，使得AC1∥
平面CDB1
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，＝(0，4，4)，＝(－3，0，4)．
设点D的坐标为(x，y，0)(0≤x≤3，0≤y≤4)，
则＝(x，y，0)．
设平面CDB1的法向量为m＝(a，b，c)，
则即
令b＝－x，于是m＝(y，－x，x)为平面CDB1的一个法向量．
若AC1∥平面CDB1，
则·m＝0，即－3y＋4x＝0.①
由点D在AB上，得，即4x＋3y＝12.②
由①②可得x＝，y＝2，即D为AB的中点．故在线段AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，此时D是线段AB的中点．
证明：(方法一)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，所以，所以∥，即PQ∥RS.
(方法二)因为，
，所以
，所以∥，即RS∥PQ.
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
【类题通法】
证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算问题．
任务三 利用空间向量证明面面平行
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD
的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，问：是否
存在点Q，使得平面D1BQ∥平面PAO
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)(0≤m≤1)．
(方法一)＝(－1，0，m)，＝(－1，－1，1)，所以∥，即OP∥BD1.
所以OP∥平面D1BQ.
当m＝时，，即AP∥BQ，所以AP∥平面D1BQ.又OP∩AP＝P，所以平面PAO∥平面D1BQ.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
(方法二)，
.
设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则有n1⊥，n1⊥，
所以
取x1＝1，则n1＝(1，1，2)为平面PAO的一个法向量．
易知＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m)．
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则有n2⊥，n2⊥，所以取z2＝1，则n2＝(m，1－m，1)为平面D1BQ的一个法向量．
要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2.
因此，解得m＝，这时点Q的坐标为.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．
求证：(1)FC1∥平面ADE；
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)为平面ADE的一个法向量．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
证明：因为＝(2，0，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．
由n2⊥，n2⊥，得得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)为平面B1C1F的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【类题通法】
证明面面平行的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行；
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习任务目标
1．能用向量语言描述直线和平面．(数学抽象)
2．理解直线的方向向量和平面的法向量，会求平面的一个法向量．(直观想象、数学运算)
问题式预习
01
知识点一 空间中点的向量表示
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量___来表示．我们把向量___称为点P的位置向量．
知识点二 用向量表示直线的位置
取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使＝__________．
条件 已知直线l上一点A及表示直线l方向的向量a(即直线l的________)
形式 在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即
方向向量
＋
A 解析：＝(2，4，6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A.
[微训练]
若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
知识点三 用向量表示平面
(1)通过平面α内的一个定点O和两个向量a和b来确定：
取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使____________________．
条件 已知平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面α内任意一点P，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝______
xa＋yb
＋x＋y
(2)通过平面α内的一个定点A和平面的法向量来确定：
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a叫做平面α的______
确定平面 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合_____________
法向量
[微训练]
已知平面α内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
C 解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则所以
令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2，1，1)．
任务型课堂
02
任务一 空间中直线的方向向量
任务二 平面的法向量
A 解析：因为A在直线上，所以＝(1，2，3)为直线l的一个方向向量，故所有与共线的非零向量都是直线l的方向向量．故选A.
任务一 空间中直线的方向向量
1．若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A． B．
C． D．
A 解析：已知A(0，y，3)和B(－1，2，z)，则＝(－1，2－y，z－3)．
因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，所以可设＝km.
所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－.
所以y－z＝0.故选A.
2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝( )
A．0 B．1 C． D．3
解：(1)因为，所以直线AP的一个方向向量为.
3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
设＝c，M，N，P分别是AA1，
BC，C1D1的中点，以{a，b，c}为空间的一个基底．
(1)求直线AP的一个方向向量；
(2)求直线A1N的一个方向向量；
(2)因为，所以直线A1N的一个方向向量为.
解：因为，所以直线MP的一个方向向量为.
(3)求直线MP的一个方向向量．
【类题通法】
1．已知直线上A，B两点，则与向量共线的非零向量均是直线AB的方向向量．
2．已知直线的方向向量和直线上的两点求参数，只需利用向量共线的坐标表示即可得解．
[探究活动]
探究1：已知平面α经过点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量．
提示：因为平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
解得z＝0，令y＝1，得x＝2，
所以平面α的一个法向量为n＝(2，1，0)．
提示：如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)由于PA⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一
个法向量为(0，0，1)．
(2)由于AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，
所以平面PAB的一个法向量为(0，1，0)．
探究2：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝3，底面ABCD为正方形．试建立适当的空间直角坐标系，分别求下列平面的法向量．
(1)平面ABCD； (2)平面PAB；
提示： (3)因为B(3，0，0)，C(3，3，0)，P(0，0，3)，
所以＝(3，0，－3)，＝(3，3，－3)．
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝0，z＝1，于是平面PBC的一个法向量为n＝(1，0，1)．
(4)由(3)同理可求得平面PCD的一个法向量为m＝(0，1，1)．
(3)平面PBC； (4)平面PCD.
[评价活动]
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC，BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题：
①为平面PAD的一个法向量；
②为平面PAC的一个法向量；
③为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．
其中正确命题的序号是________．
②③④ 解析：①因为底面ABCD是正方形，所以BC∥AD.
由AD 平面PAD知，不是平面PAD的一个法向量，①错误．
②由底面ABCD是正方形，知BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，所以为平面PAC的一个法向量，②正确．
③因为底面ABCD是正方形，所以CD∥AB.
所以为直线AB的方向向量，③正确．
④由底面ABCD是正方形，知BC⊥AB.
因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC.
又PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB.
所以BC⊥平面PAB.
所以直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量，④正确．
故正确命题的序号是②③④.
解析：由题意得＝(－1，1，2)，＝(－3，－1，2)．
设m＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，
则
令y＝－1，则m＝(1，－1，1)，故平面ABC的一个单位法向量是.
2．已知A(3，4，0)，B(2，5，2)，C(0，3，2)，则平面ABC的一个单位法向量是________．
【类题通法】
求平面法向量的步骤
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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角
学习任务目标
1．理解直线与平面所成角的概念．(直观想象)
2．会用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角．(逻辑推理、数学运算)
问题式预习
01
知识点 空间角的向量求法
角 向量求法 与相应向量夹角的关系 范围
异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝______________＝ 与u与v的夹角相等或互补
直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝______________＝ θ＝
|cos〈u，v〉|
|cos〈u，n〉|
角 向量求法 与相应向量夹角的关系 范围
平面与平面的夹角 设平面α，β的法向量分别是n1和n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 与n1与n2的夹角相等或互补
C 解析：二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，又cos〈m·n〉＝，所以m与n所成的夹角为45°，所以二面角的大小为45°或135°.
[微训练]
1．已知m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)分别为两个平面的法向量，则这两个平面所成的二面角的大小为( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
90° 解析：因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥MN.
因为＝·＝0，所以MP⊥MN，即∠PMN＝90°.
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点．若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是________．
3．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝
2BC＝2，M是棱CC1上任意一点．
(1)求证：AM⊥BD；
证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1
＝2AB＝2BC＝2，
所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，M(1，1，m)，
0≤m≤2，所以＝(1，1，m)，＝(－1，1，0)．
因为＝(1，1，m)·(－1，1，0)＝－1＋1＝0，
所以AM⊥BD.
解：M是棱CC1的中点，故C(1，1，0)，M(1，1，1)，
则＝(1，1，1)，＝(0，1，0)．
设异面直线AM与BC所成角的大小为θ，
则cos θ＝＝，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.
(2)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的
余弦值．
任务型课堂
02
任务一 求直线与直线、直线与平面所成的角
任务二 求平面与平面的夹角
任务三 空间向量的综合应用
任务一 求直线与直线、直线与平面所成的角
1．如图，三棱锥V-ABC的顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
解：由于AC＝BC＝2，D是线段AB的中点，所以C(0，0，0)，
A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．
在Rt△VCD中，CD＝，当θ＝时，VC＝，所以V.
所以＝(－2，0，0)，＝.
所以cos〈〉＝.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)．
又AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点，所以N.
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
证明：，
，
所以＝0.
因此CM⊥SN.
解：.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，
所以·a＝0，
则所以
取y＝1，得a＝(2，1，－2)为平面CMN的一个法向量．
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
因为cos〈a，〉＝，
所以〈a，〉＝π.
所以SN与平面CMN所成的角为π－.
【类题通法】
1．用几何法求异面直线所成的角时，需要通过作平行线将异面直线所成的角转化为平面内直线的夹角，再通过解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线所成的角θ的范围是，而两异面直线的方向向量的夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．
任务二 求平面与平面的夹角
1．如图，在四面体PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
PA＝AC＝1，BC＝，则平面APB与平面PBC的夹角
的余弦值为________．
解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B，C(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(0，0，1)，＝，＝＝(0，－1，1)．
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则
即解得
令x＝1，得m＝为平面PAB的一个法向量．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则即解得
令y′＝－1，得n＝(0，－1，－1)为平面PBC的一个法向量，
所以cos〈m，n〉＝.
设平面APB与平面PBC的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝，
即平面APB与平面PBC的夹角的余弦值为.
解：因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP 平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
2．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD以边AB所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
解：以B为原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G，C，故＝(2，0，－3)，＝＝(2，0，3)．
(2)在(1)的条件下，当AB＝3，AD＝2时，求平面AEG与平面ACG的夹角的大小．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量，
由可得
取z1＝2，可得m＝为平面AEG的一个法向量．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量，由
可得
取z2＝－2，可得n＝为平面ACG的一个法向量．
所以cos〈m，n〉＝.
设平面AEG与平面ACG的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝，
所以平面AEG与平面ACG的夹角的大小为60°.
证明：如图，延长BO交AC于点D，连接OA，PD.
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，
又AO，BO 平面ABC，所以PO⊥AO，PO⊥BO.
又PA＝PB，所以△POA≌△POB，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA.
3．如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，
所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°，
所以∠ODA＝∠OAD，
所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，
所以O为BD的中点．
又E为PB的中点，所以OE∥PD.
又OE 平面PAC，PD 平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
解：过点A作Az∥OP，建立如图的空间直角坐标系．
因为PO＝3，AP＝5，所以OA＝＝4.
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面ACE与平面ABE的夹角的正弦值．
又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以BD＝2OA＝8，则AD＝4，AB＝4，
所以AC＝12，所以A(0，0，0)，O，P，C(0，12，0)．因为E是PB的中点，
所以E，
则＝＝(0，12，0)．
设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝2，则y＝－3，x＝0，所以n＝(0，－3，2)是平面AEB的一个法向量；
设平面AEC的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令a＝，则c＝－6，b＝0，所以m＝是平面AEC的一个法向量．
所以cos〈n，m〉＝.
设平面ACE与平面ABE的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n，m〉|＝，
所以sin θ＝，
即平面ACE与平面ABE的夹角的正弦值为.
【类题通法】
求平面与平面的夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4) 确定平面与平面的夹角的大小．
任务三 空间向量的综合应用
[探究活动]
如图，图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
提示：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
探究1：证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE.
提示：作EH⊥BC，垂足为H.因为EH 平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可得BH＝1，EH＝.以H为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，
探究2：求图2中的平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小．
则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G＝＝(2，－1，0)．设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以可取n＝.又平面BCGE的一个法向量可取为m＝(0，1，0)，所以cos〈n，m〉＝.因此平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小为30°.
证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD＝CD＝2，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD.所以PA⊥AB.又PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以AB⊥PC.
[评价活动]
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，PA＝2.
(1)求证：AB⊥PC.
解：存在．取BC的中点E，连接AE，AE⊥BC.
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C，D，P(0，0，2)，B，所以＝＝.设(0(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面ACM与平面ACD的夹角为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
设平面MAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
可取n＝.又m＝(0，0，1)是平面ACD的一个法向量，
所以|cos〈m，n〉|＝＝cos 60°，解得t＝，
所以.
【类题通法】
解决与折叠有关的问题的方法
解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习任务目标
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)
2．能用向量方法证明直线与平面、平面与平面垂直的有关判定定理．(逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 线线垂直
如图，设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 ______ u1·u2＝_．
知识点二 线面垂直
如图，设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则l⊥α _____ λ∈R，使得u＝__．
知识点三 面面垂直
如图，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β _______ n1·n2＝_．
u1⊥u2
0
u∥n
λn
n1⊥n2
0
A 解析：因为a＝－2u，所以a∥u，
所以l⊥α，故选A.
[微训练]
1．已知a＝(2，－4，2)是直线l的方向向量，u＝(－1，2，－1)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
垂直 解析：u1·u2＝0，则α⊥β.
2．已知u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)分别为平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系为________．
任务型课堂
02
任务一 利用空间向量判断位置关系
任务二 应用空间向量证明线线、线面垂直
任务三 利用空间向量证明面面垂直
任务一 利用空间向量判断位置关系
1．若d＝(4，2，3)是直线l的方向向量，n＝(－1，3，0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直
D 解析：显然d与n不平行，因此直线l与平面α不垂直．又d·n＝4×(－1)＋2×3＋3×0＝2，即d与n不垂直，从而直线l与平面α不平行且直线l不在平面α内，故直线l与平面α相交但不垂直．故选D.
B 解析：依题意得＝(1，－2，1)，而＝4－4＋0＝0，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.故选B.
2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与平面ABCD的关系是( )
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
【类题通法】
利用空间向量判断位置关系的方法
(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；
(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
提示：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a.
依题意可得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，
C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，t)(0≤t≤a)，则＝(－a，a，t－a)．
又＝(－a，－a，0)，所以＝a2－a2＝0，
所以⊥，即A1E⊥BD.
任务二 利用空间向量证明线线、线面垂直
[探究活动]
探究1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．试证明：A1E⊥BD.
提示：(方法一)如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
探究2：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长
都为2，D为CC1的中点．试证明：AB1⊥平面A1BD.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)．
所以＝＝＝(－2，1，0)．
因为＝1×(－1)＋2×2＋＝0，
＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，
所以⊥⊥，
即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，BA1 平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD.
(方法二)建系同方法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得平面A1BD的一个法向量为n＝.
又＝，所以n＝，即∥n.
所以AB1⊥平面A1BD.
证明：如图，以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)，所以＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0.
所以⊥⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA.
又CP∩CA＝C，且CP 平面PAC，CA 平面PAC，
故PB1⊥平面PAC.
[评价活动]
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，
P为DD1的中点．求证：PB1⊥平面PAC.
【类题通法】
用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
任务三 利用空间向量证明面面垂直
1．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
证明：(1)PA⊥BD；
证明：取BC的中点O，连接PO.
因为侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，所以PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过
点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立
空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝PB＝PC＝2，所以PO＝.
所以A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P.
所以＝(－2，－1，0)，＝.
因为＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×＝0，
所以⊥，
所以PA⊥BD.
证明：取PA的中点M，连接DM，则M.
因为＝，
所以＝0，
所以⊥，即DM⊥PB.
(2)平面PAD⊥平面PAB.
因为×1＋0×(－2)＋＝0，
所以⊥，即DM⊥PA.
又因为PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB.
因为DM 平面PAD，
所以平面PAD⊥平面PAB.
解：点E为CC1的中点．
理由如下：
设底面ABCD的中心为点O，正方体边长为a，连接A1O，OE.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O，B(a，a，0)，
A1(a，0，a)，E(0，a，t)(0≤t≤a)，则
.
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置．
易知A1O⊥BD.
又平面A1BD⊥平面EBD，
所以A1O⊥平面EBD，所以A1O⊥OE.
又＝(－a，－a，0)，则＝0，
即所以t＝.
所以当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
【类题通法】
1．利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求出两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形中的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
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