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第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
学习任务目标
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象)
2．掌握直线的倾斜角与斜率的对应关系．(数学抽象)
3．掌握过两点的直线的斜率公式．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 倾斜角的相关概念
定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，_轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角
当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为___
图示
x
0°
范围 0°≤α<180°
作用 用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的_________，也就表示了直线的方向. 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角
倾斜程度
C 解析：直线x＝1垂直于x轴，因此倾斜角α等于90°.
[微训练]
1．若直线x＝1的倾斜角为α，则α( )
A．等于0° B．等于45°
C．等于90° D．不存在
90°＜α＜180° 解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
知识点二 斜率的概念及斜率公式
1．定义：倾斜角α(α≠90°)的______．
2．记法：k＝_____．
3．斜率与倾斜角的对应关系：
图示
倾斜角α 0° (0°，90°) 90° (90°，180°)
斜率 _ ___________ 不存在 ___________
正切值
tan α
0
(0，＋∞)
(－∞，0)
4．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：
k＝________．
A 解析：直线AB的斜率k＝.
[微训练]
1．若直线l的倾斜角α＝135°，则其斜率k＝( )
A． B． C．－1 D．1
C 解析：k＝tan 135°＝－1.
2．已知点A(1，0)，B(－1，1)，则直线AB的斜率为( )
A．－ B． C．－2 D．2
任务型课堂
02
任务一 直线的倾斜角
任务二 直线的斜率
任务三 直线斜率的应用
D 解析：当α＝90°时，直线的斜率不存在，故A错误；直线斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B错误；α＝0°时，tan α＝0，故C错误；D正确．故选D.
任务一 直线的倾斜角
1．下列说法中，正确的是( )
A．若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则tan α＞0
D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
D 解析：如图，当l的倾斜角大于90°时，倾斜角为90°＋α；当l的倾斜角小于90°时，倾斜角为90°－α.故选D.
2．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
3．如图，大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．以大五角星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线， OO3与x轴的夹角α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A．0° B．1° C．2° D．3°
C 解析：因为O，O3都为五角星的中心点，
所以OO3平分第三颗小五角星的一个角．
由五角星的五个角均为36°，知∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.
【类题通法】
理解直线的倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
B 解析：设B(x，0)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．
任务二 直线的斜率
1．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B.若kAB＝4，则点B的坐标为( )
A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)
C．(2，0) D．(0，－8)
解析：依题意得kAB＝kAC，
即，解得a＝.
2．已知点A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，直线AB与直线AC有相同的斜率，则实数a的值是________．
3．若A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)三点在同一条直线上，则实数k＝________．
6 解析：由题可知kAB＝.
因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，解得k＝6.
任务三 直线斜率的应用
[探究活动]
探究1：如图所示，直线l从l1的位置逆时针旋转到l4的位置.
(1)直线l的倾斜角发生了什么变化？
(2)直线l的斜率发生了什么变化？
提示：(1)倾斜角逐渐增大．
(2)从l1到l2斜率为正，逐渐变大，从l3到l4斜率为负，逐渐变大．
提示：由题意与斜率公式可知直线AM与BM的斜率分别为kAM＝＝1，kBM＝＝－1.
如图所示，直线l相当于绕点M在直线AM与BM
间旋转．当l由AM位置旋转到y轴位置时，倾斜角增
大到90°.又＝1，所以k≥1；当l从y轴位置旋转
到BM位置时，倾斜角大于90°，又kBM＝－1，所以
k≤－1.
综上所述，直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
探究2：过点M(0，－3)的直线l与以点A(3，0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：如图，由题意可知kPA＝＝1.
由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾
斜角之间．又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾
斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
[评价活动]
1．已知点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的倾斜角α的取值范围；
(2)求直线l的斜率k的取值范围．
解：要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
解：(方法一)设点P(x，0)．由光的反射原理知，反射角等于入射角，可得β＝α，如图1.所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线PA的倾斜角(180°－α)互补．因此kAP＝－kBP，即，解得x＝，所以点P的坐标为.
2．一条光线从点A(－2，3)射入，经过x轴上的点P反射后，通过点B(5，7)，求点P的坐标．
(方法二)由题意，易知入射点A(－2，3)关于x轴的对称点为A′(－2，－3)．
由光学知识知，点A′应在反射光线所在的直线上，即A′，P，B三点共线，如图2.设点P(x，0)，从而有kA′P＝kPB，即，解得x＝，所以点P的坐标为.
【类题通法】
1．直线的倾斜角α与斜率k的关系：k＝tan α(α≠90°)．由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率也能求倾斜角．注意倾斜角α的范围为0°≤α<180°.
2．当0°<α<90°时，k>0，且k随着α的增大而增大；当90°<α<180°时，k<0，且k随着α的增大而增大．但当0°<α<180°时，k并不是随着α的增大而增大的．
3．涉及直线与线段有交点的问题，常利用图形结合斜率公式求解．
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第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习任务目标
1．理解两条直线平行和垂直的判断条件．(逻辑推理)
2．会利用斜率判断两条直线是否平行或垂直．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 两条直线平行与斜率之间的关系
已知两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2,则有如下结论:
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ______ ______ 两直线斜率都不存在
图示
k1＝k2
l1∥l2
B 解析：由题意得＝－2，解得m＝－8.
2．下列说法错误的是( )
A．若两条直线斜率相等，则这两条直线平行或重合
B．若l1∥l2，则k1＝k2
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合
[微训练]
1．已知过A(－2，m)和B(m，4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为( )
A．0 B．－8 C．2 D．10
B
知识点二 两条直线垂直与斜率之间的关系
对应关系 直线l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 _________ 直线l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是______
图示
k1k2＝－1
l1⊥l2
C 解析：因为k1·k2＝2×＝－1，所以l1⊥l2.
[微训练]
1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝，则l1与l2( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
解析：因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，所以k2＝.
2．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝－3，l1⊥l2，则k2＝________．
任务型课堂
02
任务一 两直线平行的判定及应用
任务二 两直线垂直的判定及应用
任务三 两直线平行与垂直的综合应用
0或1 解析：若直线AB的斜率不存在，则m＝－2.此时M(0，3)，N(1，1)，其斜率存在，显然直线AB与MN不平行．
若直线AB的斜率存在，因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即，解得m＝0或1.经检验符合题意．
任务一 两直线平行的判定及应用
1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)．若直线AB∥直线MN，则实数m的值为________．
解： (1)k1＝，
k1≠k2，故l1与l2不平行．
2．判断下列各题中的直线l1与l2是否平行．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；
(2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2.
故l1∥l2或l1与l2重合．
解：(3)k1＝＝－1，
则有k1＝k2.
又kAM＝＝－2≠－1，
则A，B，M三点不共线，故l1∥l2.
(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)；
(4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)．
(4)由已知点的坐标，得l1，l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2.
任务二 两直线垂直的判定及应用
[探究活动]
探究1：l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断直线l1与l2是否垂直．
提示：直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
提示：由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5.此时k2＝0.所以l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，
得k1＝.
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5.
探究2：已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)．若l1⊥l2，求a的值．
－ 解析：kAC＝，kBC＝＝1－y.
因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，即(1－y)＝－1，解得y＝－.
[评价活动]
1．已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________．
－1 解析：因为kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
2．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
【类题通法】
利用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：看所给直线上两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
解：由题意，得kAB＝＝1.
所以kAB＝kCD，kBC＝kDA.所以AB∥CD，BC∥DA.
所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，即∠ABC＝90°，所以平行四边形ABCD为矩形．故四边形ABCD为矩形．
任务三 两直线平行与垂直的综合应用
1．已知点A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图．
因为kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC≠－1，即AB与BC不垂直．
所以AB，BC都不可作为直角梯形的直角边．
①若CD是直角梯形的直角边，
则BC⊥CD，AD⊥CD.
因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，所以x＝3.
又因为kAD＝kBC，所以＝0，所以y＝3.
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)．
2．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标．
②若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD.
因为kAD＝，AD⊥AB，所以×3＝－1.①
又因为AB∥CD，kCD＝，所以＝3.②
由①②，解得x＝.
此时AD与BC不平行，故所求点D的坐标为.
综上可知，点D的坐标为(3，3)或.
【类题通法】
1．利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤：
2．利用两直线平行、垂直关系的关键在于正确求出斜率，首先要注意斜率的表达式中含参数时，需要分类讨论；其次要注意直线的斜率不存在时的情况．
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