(共26张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
学习任务目标
1．掌握直线的两点式方程，了解其适用范围．(直观想象)
2．了解直线的截距式方程的形式、特征及其适用范围．(数学运算)
问题式预习
01
知识点 直线的两点式、截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 __________________________________________________ 斜率存在且不为0
截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b，a≠0，b≠0 斜率存在且不为0，不过原点
D 解析：A中直线方程不包括x＝x1，B中a，b必须强调不为0，C中的b只是直线与y轴交点的纵坐标．故只有D项正确
[微训练]
1．下列说法正确的是( )
A．＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线
B．在x轴和y轴上的截距分别是a，b的直线方程为＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是b
D．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式
＝1 解析：过P1，P2两点的直线的截距式方程为＝1.
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线的方程为______________．
x－y－1＝0 解析：直线的两点式方程为，即x－y－1＝0.
3．过点P1(2，0)，P2(0，3)的直线的截距式方程为____________．
任务型课堂
02
任务一 直线的两点式方程
任务二 直线的截距式方程
任务三 直线方程形式的灵活应用
－2 解析：直线AB的两点式方程，即，所以直线AB的方程为y＋1＝－x＋2.
因为点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
任务一 直线的两点式方程
1．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝______．
3x－y＋9＝0 2x－y＋2＝0 解析：直线AB的两点式方程为，所以直线AC的方程为3x－y＋9＝0.
因为B(2，1)，C(－2，3)，所以kBC＝，所以边BC的垂直平分线的斜率为2.线段BC的中点坐标是，即(0，2)，所以边BC的垂直平分线的方程为y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0.
2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则直线AC的方程为_____，边BC的垂直平分线的方程为_____．
(1)3x＋y－6＝0 (2)x＋2y－7＝0 解析：(1)边BC的中点D的坐标为(2，0)，所以直线AD的方程为，即3x＋y－6＝0.
3．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，3)，B(5，1)，C(－1，－1)．
(1)边BC上的中线AD所在直线的方程为________________；
(2)边AC上的高BH所在直线的方程为________________．
(2)因为kAC＝＝2，BH⊥AC，所以kBH＝－，所以直线BH的方程为y－1＝－(x－5)，即x＋2y－7＝0.
【类题通法】
求直线的两点式方程的步骤
(1)设出直线所经过的两点的坐标；
(2)根据题中的条件，求出点的坐标；
(3)由两点坐标写出直线的方程．
D 解析：依题意可设＝1，把(0，－2)代入方程可得a＝4.
所以直线方程为＝1.
任务二 直线的截距式方程
1．经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距的和为2的直线的方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
解：(方法一)当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0.
设直线方程为y＝kx.
因为过点P(4，3)，所以3＝4k，故k＝.
所以直线方程为y＝x，即3x－4y＝0.
2．已知直线l经过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
当直线l不过原点时，设直线的截距式方程为＝1(a≠0)．
又因为直线过点P(4，3)，所以＝1，所以a＝7.
所以直线方程为＝1，即x＋y－7＝0.
综上可知，直线l的方程为x＋y－7＝0或3x－4y＝0.
(方法二)设直线l的斜率为k，则有y－3＝k(x－4).
令x＝0，得y＝3－4k；令y＝0，得x＝4－.
由直线在两坐标轴上的截距相等，得3－4k＝4－，解得k＝－1或k＝，所以直线方程为y－3＝－(x－4)或y－3＝(x－4).
即直线l的方程为x＋y－7＝0或3x－4y＝0.
【类题通法】
求直线的截距式方程的策略
(1)若问题中涉及直线与坐标轴相交，则求直线方程时可考虑选用截距式，用待定系数法确定其系数即可．
(2)若求直线方程时选用截距式，则必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件，选用直线的截距式方程时，要注意考虑截距为0的情况．
任务三 直线方程形式的灵活应用
[探究活动]
一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，经过点B(－1，6)．
探究1：怎样求入射光线所在直线的方程？
提示：先求点B关于x轴的对称点B′，由A， B′两点坐标可得入射光线所在直线的方程．
探究2：入射光线与反射光线所在直线的斜率有什么关系？你能用哪几种方法求反射光线所在直线的方程？
提示：互为相反数．略
解：设点A(a，0)，B(0，b)，因为线段AB的中点为P(4，1)，
所以即
所以点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，2)．
可得直线l的方程为＝1，整理得x＋4y－8＝0.
[评价活动]
1．已知直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，且线段AB的中点为P(4，1)，求直线l的方程．
解：(方法一)由题意直线l在两坐标轴上的截距均不为0，可设所求直线方程为＝1.
因为点A(－2，3)在直线上，所以＝1.①
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
所以＝4.②
2．直线l过定点A(－2，3)，并且与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
由①②可得③或④
解③得或
④无解．
故所求直线方程为9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.
(方法二)显然，直线l不垂直于x轴．
设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)(k≠0)．
令x＝0，得y＝2k＋3;
令y＝0，得x＝－－2.
即直线l在两坐标轴上的截距分别为－－2和2k＋3.
由题意，得＝4，
则(2k＋3)＝8或(2k＋3)＝－8.
若(2k＋3)＝8，此时无解．
若(2k＋3)＝－8，
解得k1＝－.
综上可知，直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
【类题通法】
直线方程的灵活应用
直线方程的应用涉及图形的周长、面积、对称等．解题时首先要明确直线方程，然后从不同的角度，分别对直线的斜率、截距等进行分析，注意解题规范．
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第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
学习任务目标
1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般式方程．(逻辑推理)
2．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(数学运算)
问题式预习
01
知识点 直线的一般式方程
1．关于x，y的二元一次方程都表示________．我们把关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为______，在y轴上的截距为_______；当B＝0，A≠0时，在x轴上的截距为；当AB≠0时，在x轴、y轴上的截距分别为___________．
一条直线
Ax＋By＋C＝0
3．直线的一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
(3)x的系数一般不为分数和负数．
(4)虽然直线的一般式方程中有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
A 解析：直线方程化为斜截式为y＝2x－3，所以斜率k＝2.故选A.
[微训练]
1．直线－2x＋y＋3＝0的斜率k＝( )
A．2 B．－2 C． D．－
4 5 解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＝1，在x轴、y轴上的截距分别为4，5.
2．已知直线5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为__________，在y轴上的截距为________．
任务型课堂
02
任务一 直线的一般式方程
任务二 一般形式下的直线平行与垂直问题
任务三 直线方程的综合应用
2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
任务一 直线的一般式方程
1．直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A． B．－5 C． D．－3
D 解析：令y＝0，则x＝－3.
B
(2)直线的斜截式方程为y＝4x＋2，化为一般式方程为4x－y＋2＝0.
3．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；
解： (1) 直线的点斜式方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为＝0.
(4)直线的截距式方程为＝1，
化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1.
解： (3)直线的两点式为，
化为一般式方程为2x＋y－3＝0.
【类题通法】
根据已知条件求直线方程的策略
在求直线方程时，常用的方法是根据给定条件先用直线方程的四种特殊形式之一求出方程，再化为一般式方程，选用策略为：
(1)已知直线的斜率和直线上的点的坐标时，选用点斜式；
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；
(3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式；
(4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式．
提示：(方法一)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行；
②当m≠0时，l1∥l2，需≠，解得m＝2或m＝－3，所以m的值为2或－3.
任务二 一般形式下的直线平行与垂直问题
[探究活动]
探究1：已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，试求m的值．
(方法二)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2.
同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2.
所以m的值为2或－3.
提示：(方法一)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
探究2：当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
(方法二)由题意知直线l1⊥l2.
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
[评价活动]
1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，1)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．2x＋4y－3＝0
B．x－2y－3＝0
C．2x－y－3＝0
D．4x－2y－3＝0
D 解析：因为AC＝BC，结合题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线．
AB的中点为M，斜率kAB＝－，则AB的垂直平分线的斜率k＝2.
则△ABC的欧拉线的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0.
故选D.
2．已知直线l的方程为x＋2y－1＝0，点P的坐标为(1，－2)．
(1)求过点P且与直线l平行的直线方程；
(2)求过点P且与直线l垂直的直线方程．
解： (1)设过点P且与直线l平行的直线方程为x＋2y＋k＝0，则1＋2×(－2)＋k＝0，即k＝3，所以过点P且与直线l平行的直线方程为x＋2y＋3＝0.
(2)设过点P且与直线l垂直的直线方程为2x－y＋b＝0，则2×1－(－2)＋b＝0，即b＝－4.
所以过点P且与直线l垂直的直线方程为2x－y－4＝0.
【类题通法】
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行(垂直)的直线的方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，所以2－a＝0，解得a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，此时直线方程为x＋y＋2＝0.
故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
任务三 直线方程的综合应用
1．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
解：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a≤－1.
故实数a的取值范围为(－∞，－1].
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)．
因为直线EF∥AB，且△CEF的面积是△ABC的面积的，所以E，F分别为边AC，BC的中点，所以E.
2．已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)，直线l平行于AB，分别交AC，BC于点E，F，且△CEF的面积是△ABC的面积的.
(1)求点E，F的坐标；
解：因为点E，
可得直线l的方程为，
即x－2y＋5＝0.
(2)求直线l的方程．
解：由条件可知直线l的斜率一定存在．
因为直线l过点(－3，4)．
所以设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)．
令x＝0，得y＝3k＋4；令y＝0，得x＝－－3.
所以＝3.
所以9k2＋30k＋16＝0或9k2＋18k＋16＝0，解得k＝－或k＝－.
所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
3．直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过定点A(－3，4)；
解：因为l与直线6x＋y－3＝0垂直，
所以设直线l的方程为x－6y＋m＝0.
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝－m.
所以＝3，解得m＝±6.
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
(2)与直线6x＋y－3＝0垂直．
【类题通法】
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得直线在y轴上的截距，令y＝0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
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第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
学习任务目标
1．了解直线的点斜式方程的推导过程．(逻辑推理)
2．掌握直线的点斜式方程并会应用．(数学运算)
3．掌握直线的斜截式方程，了解截距的概念．(直观想象)
问题式预习
01
知识点一 直线的点斜式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 过点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线
[微训练]
1．直线的方程可表示成点斜式方程的条件是( )
A．直线的斜率存在
B．直线的斜率不存在
C．直线不过原点
D．以上均不正确
A 解析：直线的点斜式方程只能适用于斜率存在的直线．
2．直线y－1＝－2(x＋1)的斜率是( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．2
B 解析：由直线的点斜式方程知k＝－2.
知识点二 直线的斜截式方程
1．直线l在y轴上的截距
直线l与y轴的交点(0，b)的_______叫做直线l在y轴上的截距．
2．直线的斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
斜截式 斜率为k，在y轴上的截距为b y＝kx＋b 斜率存在的直线
纵坐标b
[微训练]
1．直线l：y＝kx＋b如图所示，则k，b满足( )
A．k>0，b>0 B．k<0，b<0
C．k<0，b>0 D．k>0，b<0
B 解析：由题图可知直线的倾斜角为钝角，且直线
在y轴上的截距为负值，故k<0，b<0.
2．直线y＝x－4在y轴上的截距是______________________．
－4 解析：由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4.
任务型课堂
02
任务一 直线的点斜式方程
任务二 直线的截距式方程
任务三 直线的斜截式方程的应用
任务一 直线的点斜式方程
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．
解： (1)由直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，
得直线的点斜式方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，可得直线的点斜式方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝－1.
又因为直线过点P(－2，3)，所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
解：直线 y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.
又点P(3，4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
2．直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程．
解：直线MN的斜率k＝＝0，所以直线MN平行于x轴．
又直线l垂直于直线MN，因此直线l的倾斜角为90°.又直线l过点P(2，－3)，所以直线l的方程为x－2＝0，即x＝2.
3．直线l过点P(2，－3)，且与过点M(－1，2)，N(5，2)的直线垂直，求直线l的方程．
【类题通法】
求直线的点斜式方程的步骤
(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.
任务二 直线的斜截式方程
1．根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解： (1) 直线的斜截式方程为y＝2x＋5.
解：由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到原点的距离为3.
解：因为l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，
所以l的斜率为.
因为l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，所以l在y轴上的截距为2，
所以直线l的方程为y＝x＋2.
2．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直，且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的斜截式方程．
解：设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b.
由已知可得＝3，
即6|b|2＝6，所以b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
3．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
【类题通法】
1. 求直线的斜截式方程，只要确定直线的斜率和直线在y轴上的截距即可，要特别注意截距和距离的区别．
2. 直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的位置就一目了然．因此，在解决直线的位置问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义解决问题．
任务三 直线的斜截式方程的应用
[探究活动]
观察下列各组直线的方程：
(1)l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；
(2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x＋1；
(3)l1：y＝2x＋1，l2：y＝－x＋1.
探究1：(1)(2)中的两条直线分别有怎样的位置关系？
提示：分别是平行、重合．
探究2：(3)中的两条直线有怎样的位置关系？
提示：垂直．
探究3：已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，k1， b1，k2， b2满足什么条件时， l1 与l2平行？重合？垂直？
提示：平行：k1＝k2，b1≠b2，重合：k1＝k2，b1＝b2；垂直：k1k2＝－1.
－ 解析：由题意可知解得a＝－.
[评价活动]
1．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________．
－1 解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
2．若直线l1：y＝－与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝________．
【类题通法】
1．已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
2．若已知两条直线平行或垂直，求直线方程中参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑截距不相等这个条件．
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