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第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
学习任务目标
1．掌握点到直线的距离公式．(直观想象)
2．能用公式求点到直线的距离．(数学运算)
问题式预习
01
知识点 点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________．
2．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
A 解析：直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7.
[微训练]
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
D 解析：d＝.
任务型课堂
02
任务一 点到直线的距离
任务二 点到直线的距离公式的应用
任务三 对称问题
± 解析：由点到直线的距离公式可知＝1，所以c＝±.
任务一 点到直线的距离
1．点A(－1，2)到直线y＝2x＋5的距离为________．
解析：y＝2x＋5可化为2x－y＋5＝0，所以点A(－1，2)到直线2x－y＋5＝0的距离d＝.
2．若点M(－2，1)到直线x＋2y＋c＝0的距离为1，则c的值为______．
解：因为N，F(1，0)，易知直线NF的斜率k＝－，故直线NF的方程为y＝－(x－1)，即＝0.
所以点M到直线NF的距离为.
3．已知点M，N，F(1，0)，求点M到直线NF的距离．
【类题通法】
利用点到直线的距离公式时要注意的问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化为一般式．
(2)点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可数形结合求解．
任务二 点到直线的距离公式的应用
[探究活动]
已知点A(－1，2)，B(3，0)，直线l过点M(－2，1)，点A，B到直线l的距离相等．
探究1：直线l的位置满足什么条件？
提示：直线l经过线段AB的中点或与直线AB平行．
提示：(方法一)由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1，1)．
当直线l过线段AB的中点时，因为点M与点C的纵坐标相同，所以直线l的方程为y＝1；
当直线l与AB平行时，其斜率为－，
可得直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
综上，所求直线l的方程为y＝1或x＋2y＝0.
探究2：求出直线l的方程.
(方法二)显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b.
根据条件有
化简得或
所以或
故所求直线l方程为y＝1或x＋2y＝0.
[评价活动]
1．若点(4，a)到直线3y－4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．
.
C 解析：联立直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的方程，得交点A(1，2)，所以点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离d＝(b≠0)．
当且仅当b＝1时取等号，当b＝0时，d＝3＜3，当b<0时，b＋≤－2，0≤d<3<3，故点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为3.
2．设直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点为A，则点A到直线l：x＋by＋2＋b＝0的距离的最大值为( )
A．4 B． C．3 D．
【类题通法】
1. 一个点到过定点的直线的距离的最大值即这个点与定点之间的距离．
2. 利用点到直线的距离公式，可以求未知量的值、范围．
B 解析：设点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(a，b)，
则有解得
故点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0，1)．
任务三 对称问题
1．点(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
x－＋1＝0 解析：在l1上取一点P(0，2)，
设点P关于直线y＝－x＋1的对称点为P′(a，b)，
则解得故点P′(－1，1)．
2．已知直线l1：y＝x＋2，直线l2与l1关于直线y＝－x＋1对称，则直线l2的方程为__________．
联立方程解得l1与直线y＝－x＋1的交点坐标为.
易知直线l2过交点和P′(－1，1)，所以直线l2的斜率为，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即x－＋1＝0.
解：因为直线l1：y＝kx＋4恒过定点P(0，4)，
且P(0，4)关于点M(1，2)的对称点为(2，0)，
此时(2，0)和N(0，－1)都在直线l2上．
可得直线l2的方程为，即x－2y－2＝0，
所以点M到直线l2的距离d＝.
3．若直线l1：y＝kx＋4与直线l2关于点M(1，2)对称，当l2经过点N(0，－1)时，求点M到直线l2的距离．
【类题通法】
1.点P(a，b)，P′(m，n)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则
2.直线关于直线对称的问题，可以转化为已知直线上的点关于直线对称的问题．
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第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
学习任务目标
1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．(数学运算)
2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(直观想象)
问题式预习
01
知识点 两直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝
0，即点P的坐标是方程组___________________的解．
B 解析：解方程组得
所以l1与l2的交点坐标为.
[微训练]
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点坐标是( )
A． B． C． D．
A 解析：过点A(－2，5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点坐标为.
2．经过A(－2，5)，B(1，－4)两点的直线l与x轴的交点的坐标是( )
A． B．(－3，0)
C． D．(3，0)
B 解析：联立解得所以交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0，解得a＝－1.
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
任务型课堂
02
任务一 两直线的交点问题
任务二 判断直线的位置关系并求交点坐标
任务三 直线过定点问题
C 解析：解方程组得
任务一 两直线的交点问题
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(3，4)
(2，4) 解析：解方程组得
由题意得得2所以实数m的取值范围是(2，4)．
2．若直线5x＋4y＝8＋m和3x＋2y＝6的交点在第一象限，则实数m的取值范围是________．
3x－2y＋9＝0 解析：(方法一)联立方程
解得即直线l过点(－1，3)．
因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.
3．若直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，则直线l的方程为______________．
(方法二)因为直线x＋y－2＝0与3x－2y＋4＝0不平行，
所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0.
因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
所以≠，解得λ＝.
所以直线l的方程为＝0，即3x－2y＋9＝0.
【类题通法】
过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．
解：解方程组得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
任务二 判断直线的位置关系并求交点坐标
判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
解：方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合．
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
解：方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【类题通法】
两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交．
方法二：两条直线的斜率都存在且斜率不相等．
方法三：两条直线的斜率一个存在，另一个不存在．
任务三 直线过定点问题
[探究活动]
探究1：已知直线 (a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R).
(1)a的值分别为0，1，－1时，得到的直线方程分别是什么？
(2)通过作图、求交点等方法，可以得出(1)中三条直线有什么共同的特征？
提示：(1)分别为x＋y－1＝0，y＝3，2x＋y＋1＝0.
(2)恒过定点(－2，3)．
提示：(方法一)令m＝0，得x＋y－1＝0，①
令m＝1，得4x－y＋2＝0.②
将①②联立得解得
把x＝－代入(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0，
得(3m＋1)××(2m－1)＋3m－1＝0.
所以直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0过定点.
探究2：求证：不论m为何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标．
(方法二)方程可化为(x＋y－1)＋m(3x－2y＋3)＝0.由解得
所以不论m为何实数，直线都过定点.
D 解析：直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，即 a(x－y)＋2x＋y－3＝0，当a变化时，直线l恒过x－y＝0 与2x＋y－3＝0的交点(1，1)．
[评价活动]
1．已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，则直线l过定点( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－2，1) D．(1，1)
(－2，1) 解析：直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0，由
得x＝－2，y＝1，
所以直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过定点(－2，1)．
2．若不论m为何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标是________．
【类题通法】
求直线所过定点的方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得两条直线的方程，两条直线的交点即为所求的定点．
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第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
问题式预习
01
知识点 两点间的距离
1．平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式，|P1P2|＝ ______________________．
2．两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝_______．
|x2－x1|
|y2－y1|
C 解析：由两点间的距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝( )
A．5 B． C． D．4
A 解析：|MN|＝＝5.
2．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
任务型课堂
02
任务一 两点间的距离公式
任务二 利用坐标法进行平面几何计算
任务三 利用坐标法进行平面几何证明
D 解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以|AM|＝.
任务一 两点间的距离公式
1．已知△ABC的顶点为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则边BC上的中线AM的长为( )
A．8 B．13
C．2 D．
D 解析：设A(a，0)，B(0，b)，则即＝.
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为C(1，1)，则|AB|等于( )
A．2 B．
C．4 D．2
2 解析：设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点为P(2，－1)，所以＝－1.所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)．所以|AB|＝.
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
解：(方法一)因为|AB|＝，
|AC|＝，
|BC|＝，
所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以AC⊥AB.
又|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．
任务二 利用坐标法进行平面几何计算
1．已知△ABC的三个顶点分别是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
(1)判断△ABC的形状；
(方法二)因为kAC＝，
则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.
又|AC|＝，
|AB|＝，
所以|AC|＝|AB|.
所以△ABC是等腰直角三角形．
解：△ABC的面积＝＝＝26.
(2)求△ABC的面积．
解：设点P(x，0)，则有|PA|＝，
|PB|＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
即所求点P的坐标为，
且|PA|＝.
2．已知点A(－3，4)，B＝|PB|，并求|PA|的值．
提示：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)(－b则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2
＋(0－a)2＝m2＋a2，|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)
(b－m)＝b2－m2，所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2，所以
|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
任务三 利用坐标法进行平面几何证明
[探究活动]
探究：如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上
异于B，C的任意一点，证明：|AB|2＝|AD|2+|BD|·|DC|.
证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标
原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．
因为2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，所以2＝2|BD|2.
[评价活动]
如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平
面直角坐标系，用坐标法证明：＝2|BD|2.
【类题通法】
利用坐标法解决平面几何问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，建立坐标系的原则主要有两点：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线，可考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将对称中心作为原点；如果图形为轴对称图形，可考虑将对称轴作为坐标轴．
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第二章 直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
学习任务目标
会求两条平行直线间的距离．(数学运算)
问题式预习
01
知识点 两条平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的________的长就是这两条平行直线间的距离．
2．求法：将两条平行直线间的距离转化为点到____的距离．
3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝___________.
公垂线段
直线
解析：l1的方程可化为10x＋24y＋6＝0，所以l1与l2间的距离d＝.
[微训练]
1．两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离为( )
A．5 B． C． D．3
B 解析：利用两条平行直线间的距离公式得d＝.
2．直线l1：5x＋12y＋3＝0与l2：10x＋24y－7＝0间的距离为______．
任务型课堂
02
任务一 两条平行直线间的距离
任务二 两条平行直线间的距离公式的应用
B 解析：y＝x可化为6x－4y＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
任务一 两条平行直线间的距离
1．两条平行直线y＝x与6x－4y＋13＝0间的距离为( )
A． B． C． D．13
C 解析：a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，所以Δ＝1－4c≥0，a＋b＝－1，则这两条直线间的距离d＝.
2．设两条直线的方程分别为x＋y－a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，则这两条直线间的距离是( )
A． B． C． D．无法确定
解：(方法一)在l1上任取一点A(2，1)，则点A到l2的距离即为l1与l2间的距离．
又l2的方程可化为6x＋8y－15＝0，所以d＝.
(方法二)l1的方程可化为3x＋4y－10＝0，
l2的方程可化为3x＋4y－＝0，
所以l1与l2间的距离d＝.
3．求两条平行直线l1：3x＋4y＝10与l2：6x＋8y＝15间的距离．
【类题通法】
求两条平行直线间的距离的两种思路
(1) 将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)直接利用两条平行直线间的距离公式d＝，但必须注意两个直线方程中x，y的系数对应相等．
任务二 两条平行直线间的距离公式的应用
[探究活动]
两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行．
探究1：若已知两条直线l1与l2间的距离为8，怎样求直线l1，l2的方程？
提示：设直线l1：y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋3＝0.因为两直线平行，所以直线l2：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，再利用平行直线间的距离公式求k.
提示：如图，当l1，l2与直线PQ垂直时，l1与l2间的距离最大，且最大值为|PQ|＝＝5.
又l1∥l2，l1与l2之间的距离d>0，所以d∈(0，5].
探究2：直线l1与l2间的距离的取值范围是多少？
B 解析：因为直线x＋2y＋m＝0，即 2x＋4y＋2m＝0，与2x－ny－4＝0平行，所以n＝－4.再根据，所以m＝3 或m＝－7 (舍去)，则m＋n＝3－4＝－1.
[评价活动]
1．已知两条平行直线x＋2y＋m＝0与2x－ny－4＝0间的距离是.若m＞0，则m＋n＝( )
A．0 B．－1 C．1 D．－2
解：由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两条直线为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0.
因为两条平行直线间的距离为，所以，解得C＝11或－15.
2．若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0间的距离为，求C的值．
【类题通法】
常见的距离公式应用问题的解题策略
(1)求最值问题：
①求点到直线的距离的最大值，可转化为求两点间的距离；②求代数式的最值，可根据所求式子的几何意义转化为求点到直线的距离；③利用距离公式求最值时，可将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求直线方程的问题：立足确定直线的几何要素，利用直线方程的各种形式，结合直线间的位置关系，巧设直线方程，在此基础上借助距离公式求解．
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