(共28张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学习任务目标
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心坐标和半径．(数学运算)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(逻辑推理)
3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．用一般方程表示的圆的圆心和半径
圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 的圆心为____________，
半径为________________．
D2＋E2－4F＞0
3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，
为半径的圆
[微训练]
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
D 解析：圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．故选D.
2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
4 解析：以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4.
知识点二 用待定系数法求圆的方程的步骤
(1)根据题意，选择标准方程或________；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，_____的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三 轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M的 ____是指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的____(集合)．
一般方程
E，F
轨迹方程
轨迹
轨迹
A 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)三点的坐标代入方程，得到方程组解得
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
[微训练]
过A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)三点的圆的方程是( )
A．x2＋y2－7x－3y＋2＝0 B．x2＋y2＋7x－3y＋2＝0
C．x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0 D．x2＋y2－7x＋3y＋2＝0
任务型课堂
02
任务一 圆的一般方程的概念辨析
任务二 求圆的一般方程
任务三 求动点的轨迹方程
A 解析：当a2＋4a2－4＞0时，方程表示圆，化简得－a＋1＞0，解得a＜1.故选A.
任务一 圆的一般方程的概念辨析
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．－2＜a＜ D．－2＜a＜0
(－2，－4) 5 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．
解：(1) (方法一：配方法)原方程等价于(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，因此方程表示点(－1，－1)．
(方法二：公式法)因为D2＋E2－4F＝22＋22－4×2＝0，所以方程表示点，即(－1，－1).
3．判断下列方程分别表示什么图形．
(1)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；
(2)x2＋y2－2x＋4y－6＝0；
(2)原方程等价于(x－1)2＋(y＋2)2＝2，因此方程表示圆心为(1，－2)，半径为的圆．
解：(3)因为D2＋E2－4F＝4a2＋4b2≥0，所以当a＝b＝0时，方程表示原点；当a，b不全为0时，方程表示以(a，0)为圆心，为半径的圆．
(3)x2＋y2－2ax－b2＝0；
(4)3x2＋3y2－2x＋4y－6＝0.
(4)原方程等价于x2＋y2－y－2＝0，配方，得，因此方程表示圆心为，半径为的圆．
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
(2)运用圆的一般方程满足的条件判断，即通过判断D2＋E2－4F是否大于0来确定它是否表示圆．
任务二 求圆的一般方程
1．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的一般方程．
解：设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆C过点A(1，2)，B(3，4)，
所以D＋2E＋F＝－5，①
3D＋4E＋F＝－25.②
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
因为|x1－x2|＝6，所以(x1＋x2)2－4x1x2＝36，即D2－4F＝36.③
由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，或D＝－8，E＝－2，F＝7.
故所求圆C的一般方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为点A，B，C在圆上，
所以解得
所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
所以圆心坐标为(1，－1)，半径为5.
2．已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆的方程、圆心坐标和半径．
【类题通法】
求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心、半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F.
任务三 求动点的轨迹方程
[探究活动]
探究1：已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，你能得出一个关于直角顶点C的结论吗？
(2)顶点C的轨迹是一个完整的圆吗？你能求出顶点C的轨迹方程吗？
提示：(1)点C到AB中点的距离为定长2，因此顶点C在以AB中点为圆心，2为半径的圆上．
(2)不是，是除去x轴上两点的圆．
设AB的中点为D.由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝＝2.
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
提示：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.又kAB＝－3，所以km＝.所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5.
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
探究2：已知圆C经过点A(1，1)，B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
提示：设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5，0)，所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
x2＋y2＝16 解析：设M(x，y)，则，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
[评价活动]
1．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是________．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)，则x＝且y＝，即x′＝2x－4，y′＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x′2＋y′2＝4，
将x′＝2x－4，y′＝2y代入圆的方程，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
故点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
2. 已知定点A(4，0)，点P是圆x2＋y2＝4上一动点，点Q是AP的中点，求点Q的轨迹方程．
【类题通法】
求动点的轨迹方程的常用方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立平面直角坐标系，设出动点坐标，找出动点所满足的条件，并用坐标表示，化简即得轨迹方程．
(2)定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上另一动点的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
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第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学习任务目标
1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3．掌握点与圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到____的距离等于____的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是________和____．
3．圆的标准方程：如图，圆心为A(a，b)，半径为r
的圆的标准方程是___________________．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示圆心在________，半径为r的圆．
定点
定长
圆心坐标
半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
原点
[微训练]
圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是( )
A．(1，－2)，4
B．(1，－2)，2
C．(－1，2)，4
D．(－1，2)，2
D
知识点二 点与圆的位置关系
已知圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则点M与圆的位置关系如下表：
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外 |MA|＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
±2 解析：因为点P在圆x2＋y2＝m2上，所以(－1)2＋2＝4＝m2，所以实数m＝±2.
[微训练]
1．已知点P(3，2)和圆 (x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．P是圆心 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P在圆外
C 解析：因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P在圆内．
2．若点P在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________．
任务型课堂
02
任务一 圆的有关概念
任务二 求圆的标准方程
任务三 点与圆的位置关系
任务四 圆的标准方程的应用
A 解析：由圆的标准方程(x＋2)2＋(y－3)2＝5，知圆心为(－2，3)，半径为.
故选A.
任务一 圆的有关概念
1．圆(x＋2)2＋(y－3)2＝5的圆心和半径分别是( )
A．(－2，3)， B．(2，－3)，
C．(－2，3)，5 D．(2，－3)，5
C 解析：圆心为(－2，3)，半径是3的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9.故选C.
2．圆心为(－2，3)，半径是3的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝3
D 解析：根据题意，x≥0，两边同时平方得x2＋y2＝1.由此确定图形为半圆．故选D.
3．方程x＝表示的图形是( )
A．两个半圆 B．两个圆
C．圆 D．半圆
【类题通法】
1．用直接法求圆的标准方程的关键
圆的标准方程由圆心坐标和半径决定，因此求出圆心坐标和半径即可写出圆的标准方程．
2．几种特殊位置的圆的标准方程
特殊位置 标准方程
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2
A 解析：设圆心坐标为(0，b)，由题意知＝1，解得b＝2.
故圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.
任务二 求圆的标准方程
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
A 解析：设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝，从而所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
2．已知一个圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解：(1)因为圆心为(3，4)，设半径为r，
又圆过坐标原点，所以r＝＝5,
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
3．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(3，4)且经过原点；
(2)圆心为(1，1)且与直线x＋y＝4相切；
(2)设圆的半径为r，因为圆与x＋y＝4相切，所以r＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
解：设圆心为(a，b)，半径为r，
由题意得
r＝＝1，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)经过点A(2，0)，B(2，－2)，且以AB为直径；
解：(方法一)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意得即解得
故所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(4)经过点A(3，1)，B(－1，3)，且圆心在直线3x－y－2＝0上．
(方法二)直线AB的斜率k＝，
可知AB的垂直平分线m的斜率为2，AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝2.
因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心是这两条直线的交点．
联立方程解得所以圆心坐标为(2，4)．
又半径r＝，
则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
(方法三)设圆心为C，因为圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a，3a－2)．
又|CA|＝|CB|，故，
解得a＝2，所以圆心为(2，4)，半径r＝|CA|＝.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
【类题通法】
求圆的标准方程常用待定系数法，一般步骤是：
①设——设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程．
解：设圆心的坐标为O(x0，y0)，半径为r，
由题意得得
所以圆心O的坐标为(2，0)．
任务三 点与圆的位置关系
1．已知A(－1，4)，B(5，－4)两点．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)三点与圆的位置关系．
又r＝＝5，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
因为|OC|2＝(5－2)2＋(1－0)2＝10所以点C在圆内．
因为|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2，
所以点D在圆上．
因为|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2，
所以点E在圆外．
解：(1)因为点M(6，9)在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
又a＞0，所以a＝.
2．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
(2)因为|PN|＝，|QN|＝＝3，|PN|＞|QN|，所以点P在圆外，点Q在圆内．所以3＜a＜.
解：易知点A，B，C不共线，设A，B，C三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
把A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入得解得所以A，B，C三点确定的圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
把(－7，－2)代入上述圆的标准方程，方程成立，所以点D在圆上．故A，B，C，D四点共圆．
3．判断A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，D(－7，－2)四点是否共圆．
【类题通法】
判断点(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，只需将(x0，y0)代入圆的标准方程．若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点(x0，y0)在圆内；若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点(x0，y0)在圆上；若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点(x0，y0)在圆外.
提示：如图，易得的最大值为＋2，最小值为
－2.
任务四 圆的标准方程的应用
[探究活动]
设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点．
探究1：的几何意义是什么？
提示：表示点P与点(1，1)间的距离．
探究2：怎样求的最大值、最小值？
1＋ 解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
[评价活动]
1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
解：设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆
心C(0，－4)，半径r＝2，因此表
示点A(－1，－1)与该圆上的点的距离．
因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)
在圆外，如图所示．
而|AC|＝，所以＋r＝－r＝－2.
2．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值．
【类题通法】
与圆有关的最值问题利用数形结合法是解题关键．
(1)设圆上任意一点的坐标为(x，y)，则表示圆上的点到点(a，b)的距离．
(2)求圆外的点到圆上的点的距离的最值，先求该点到圆心的距离，再加减半径长即可．
(3)求圆上的点到一条直线的距离的最值，先求圆心到直线的距离，再根据直线与圆的位置关系，加减半径长．
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