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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
学习任务目标
1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象)
2．能利用圆与圆的位置关系解决简单的实际问题．(数学运算)
问题式预习
01
知识点 圆与圆的位置关系
已知圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)，则两圆的位置关系如下表：
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆的方程组成的方程组的解的情况
外离 _________ __________
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 _____________________ ________________
内切 _______________________ __________
内含 __________________________ __________
d>r1＋r2
没有实数解
|r1－r2|两组不同的实数解
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
没有实数解
C 解析：两圆的方程可分别化为(x－1)2＋y2＝1和x2＋(y＋2)2＝4.两圆的圆心距为，又2－1<<2＋1，所以两圆相交．
[微训练]
1．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
D 解析：由题意得圆心距|C1C2|＝|a|＝5或|a|＝3，得a＝±5或a＝±3.
2．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
C 解析：由
解得或
所以交点坐标为(－1，0)和(0，－1)．
3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1，0)和(0，1) B．(1，0)和(0，－1)
C．(－1，0)和(0，－1) D．(－1，0)和(0，1)
任务型课堂
02
任务一 圆与圆的位置关系的判定
任务二 两圆相切问题
任务三 两圆相交问题
C 解析：圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心为C2(3，4)，半径r2＝4，所以|C1C2|＝＝5.因为r1－r2＝5，所以|C1C2|＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切．
任务一 圆与圆的位置关系的判定
1．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
C 解析：圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心为(3，4)，半径为，依题意，，解得m＝9.故选C.
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解：将圆C1，C2的方程配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝＝a.
3．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0，a＞0.试求a的值，使两圆C1，C2的位置关系分别为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当0<|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
【类题通法】
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
(1)利用圆的标准方程，写出圆心坐标和半径；
(2)计算两圆圆心间的距离d；
(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围，必要时可借助于图形，数形结合．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可得解得或
所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋2＝36.
任务二 两圆相切问题
1．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切，且与直线l：x＋y＝0相切于点M的圆的方程．
解：(方法一)将圆C的方程化为标准方程(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心为(－5，－5)．所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.
设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得解得
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
2．求过点(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程．
(方法二)由题意，所求圆经过点(0，0)和(0，6)，
所以圆心一定在直线y＝3上，又由方法一知圆心在直线x－y＝0上．
所以由得圆心为(3，3)．
所以r＝.
故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
【类题通法】
两圆相切时常用的性质
(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(2)两圆相切时，两圆圆心所在的直线过切点(两圆相交时，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦)．
提示：将圆C1和圆C2的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆心C1(1，3)，半径r1＝，圆心C2(5，6)，半径r2＝4.
又两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|任务三 两圆相交问题
[探究活动]
已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
探究1：圆C1和圆C2的位置关系如何？
提示：将圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2.
探究2：求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
1 解析：两圆的方程作差易知公共弦所在直线的方程为y＝，
如图，由已知得|AC|＝＝2，
所以|OC|＝＝1，所以a＝1.
[评价活动]
1．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为，则a＝________．
解：(方法一)解方程组
得交点坐标分别为(0，2)，(－4，0)．
设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，半径为r，则有
＝r，
解得a＝－3，r＝，因此圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
2．求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程．
(方法二)同方法一，得两已知圆的交点坐标为(0，2)，(－4，0)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,
则有解得
因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
(方法三)设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)．
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0.
因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，
所以－＝0，解得λ＝－2，
因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
【类题通法】
1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆的方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再利用以半径、弦心距和弦长的一半为边长的直角三角形求解．
3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为＝0(λ≠－1)．
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第二章 直线和圆的方程
单元活动构建
提示：k＝tan α或k＝.
任务一 直线的倾斜角与斜率
问题1 任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？
提示：任意一条直线都有倾斜角，但是不一定有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率．
问题2 怎样求直线的斜率？
D 解析：设P(x，y)，则有解得
所以点P的坐标为(1，－5)．
1．已知点M(5，3)，N(－3，2)．若直线PM，PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为( )
A．(－1，5) B． C． D．(1，－5)
－3 解析：由＝y＋2＝tan 135°＝－1，得y＝－3.
2．经过点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
【规律方法】
解决斜率问题的方法
(1)已知倾斜角α求斜率k，利用k＝tan α(α≠90°)求解．
(2)已知两点坐标(x1，y1), (x2，y2),求斜率k,利用k＝(x1≠x2)求解．
提示：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，A2，B2，C2均不为零．
(1)平行：≠；(2)重合：；
(3)相交：≠；(4)垂直：A1A2＋B1B2＝0.
任务二 两条直线的位置关系
问题1 怎样利用斜率判断两条直线是否平行或垂直？
提示：l1∥l2 k1＝k2；l1⊥l2 k1k2＝－1.
问题2 怎样利用直线方程判断两条直线的位置关系？
－2 解析：因为l1∥l2，所以解得m＝－2.
1．已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0.若l1∥l2，则m＝________．
2x－5y－21＝0 解析：设B(a，b)，则BC边的中点坐标为，代入x＋13y＋5＝0，得＋5＝0.
又5a＋3b－6＝0，解得则点B的坐标为(3，－3)．
因为kAC＝，所以所求直线方程为y＋3＝(x－3)，即2x－5y－21＝0.
2．在△ABC中，已知A(－5，0)，C(0，2)．若BC边所在直线的方程为5x＋3y－6＝0，且BC边上的中线所在直线的方程为x＋13y＋5＝0，则过点B且与直线AC平行的直线的方程为____________．
【规律方法】
1．判断两条直线是否平行时，应先看两条直线的斜率是否存在．若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若都存在，则看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．
2．已知两条直线平行，求直线方程中参数的值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．
问题2 怎样求两条平行直线间的距离？
提示：求两平行直线间的距离的两种思路：
(1) 在其中一条直线上取一点，求点到另一条直线的距离；
(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
任务三 交点与距离问题
问题1 点到直线的距离公式是什么？
提示：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
C 解析：由解得所以点P的坐标为(2，－1)，而直线kx－y＋1＋2k＝0，即k(x＋2)＋1－y＝0，恒过点Q(－2，1)，所以点P到直线kx－y＋1＋2k＝0的距离的最大值为| PQ |＝.
直线x＋y－1＝0与直线x－2y－4＝0交于点P，则点P到直线kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)的最大距离为( )
A． B．2 C．2 D．4
【规律方法】
两点间的距离公式的应用
(1)判断三角形的形状，可以采用数形结合的方法，先大致明确三角形的形状，以确定分析的方向．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否有直角或等角；二是要考虑三边的长度特征，主要考察边长是否相等或满足勾股定理．
(2) 求参数的值或解决与最值、范围有关的问题等，解题时要结合函数知识、图形的几何性质等．
任务四 圆的方程
问题1 圆的标准方程是什么？
提示：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
问题2 圆的一般方程及其条件是什么？
提示：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
解：(方法一)由题易知线段AB的中垂线的方程为x＋y－1＝0，
圆心必在线段AB的中垂线上．
联立解得圆心C(1，0)，半径r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
已知圆C的圆心在直线x＋2y－1＝0上，且圆C经过A(3，0),B(1，－2)两点，求圆C的标准方程．
(方法二)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
【规律方法】
求圆的标准方程的两种思路
(1)待定系数法：设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ，通过三个独立条件解出a，b，r，这种方法体现了方程的思想，是通用方法；
(2)由圆的几何性质求出圆心坐标和半径，然后代入标准方程即可．
任务五 直线与圆、圆与圆的位置关系
问题1 直线与圆有哪些位置关系？怎样判断？
提示：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断．
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由 消元得到的一元二次方程的根的判别式为Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
问题2 当直线与圆相交时，怎样求相交所得弦的长度？
提示：若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l＝2.
问题3 圆与圆有哪些位置关系？怎样判断？
提示：
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程组成的方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 没有实数解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 没有实数解
解：设圆心为(b，2b)，则半径r＝|2b|.
设圆心到直线l2的距离为d，则d＝＝|b|，所以2＝r2－d2，
即4b2－b2＝3，解得b＝±1.所以圆心为(1，2)或(－1，－2)，半径r＝2.
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0.
已知圆C的圆心在直线l1：2x－y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l2：3x－4y＝0被圆C截得的弦长为2，求圆C的一般方程．
【规律方法】
1．求直线与圆相交所得弦的长的方法
设直线的斜率为k(k≠0)，直线与圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2, y2)，则|AB|＝＝
或|AB|＝＝.
2．求两圆公共弦长的方法
(1)解两圆方程组成的方程组得两个交点的坐标，然后由两点间距离公式求得公共弦长；
(2)把两个圆的方程作差得公共弦所在直线的方程，然后解由公共弦所在直线的方程和其中一个圆的方程组成的方程组得两个交点的坐标，最后用两点间的距离公式求得公共弦长．
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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第2课时 直线与圆的位置关系的应用
学习任务目标
1．会用坐标法解决相应的平面几何问题．(逻辑推理)
2．能用直线与圆的方程解决数学问题和实际问题．(数学建模)
3．能解决直线与圆的位置关系的综合问题．(数学运算、逻辑推理)
问题式预习
01
知识点 直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
平面直角坐标系
几何要素
代数
几何结论
B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)．半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，把A(0.8，h)代入得0.82＋h2＝3.62，所以h＝4≈3.5(米)．
[微训练]
1．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
13米 解析：设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，
即r2＝(r－4)2＋62，
解得r＝，
所以拱桥的直径为13米．
2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则桥拱对应圆的直径为________．
任务型课堂
02
任务一 直线与圆的位置关系的实际应用
任务二 直线与圆的方程的综合应用
解：根据题意，以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(40，0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676.
任务一 直线与圆的位置关系的实际应用
1．一艘海监的监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处，船速为10 km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时间约为多少小时？
所以lAB：＝1，
即lAB：3x＋4y－120＝0.
记从点N处开始被监测，到点M处监测结束，
因为点O到直线lAB：3x＋4y－120＝0的距离为|OO′|＝＝24(km)，
所以|MN|＝2＝20(km)．
所以监测时间持续＝2(小时)．
解：如图，以圆弧形桥拱的顶点为原点，以过圆弧形桥拱的顶点的水平直线为x轴，以过圆弧形桥拱的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)．
2．已知一个圆弧形桥拱，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，求水面的宽度．
设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，可设(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝.所以此时的水面宽度|A′B′|＝米．
【类题通法】
直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立平面直角坐标系，根据实际问题求出相关点的坐标，从而建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
提示：可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，所以的最大值为－2＋，最小值为－2－.
任务二 直线与圆的方程的综合应用
[探究活动]
已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
探究1：求的最大值和最小值．
提示：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－1. 所以x＋y的最大值为－1，最小值为－1.
探究2：求x＋y的最大值和最小值．
提示：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过点P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2.
探究3：求过点(3，1)的圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦中最短弦的长．
A 解析：设x＋y＝m，则y＝－x＋m，m可视为直线y＝－x＋m在y轴上的截距，所以x＋y的最大值和最小值即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得m＝±，所以x＋y的最大值为，最小值为－.故选A.
[评价活动]
1．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的取值范围是( )
A． B．[－1，1]
C． D．
2．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离．由此可得f(y)＝的最小值为( )
A．2 B．5
C．8 D．6
B 解析：f(y)＝＋＝＋，所以f(y)表示点P(0，y)到A(4，2)与B(3，1)的距离之和．点A(4，2)关于y轴的对称点为A′(－4，2)，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B＝.故选B.
－2 解析：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为，则村庄外围任意一点到小路的最短距离为－2.
3．设村庄外围所在曲线可用方程 (x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一条小路所在直线可用方程x－y＋2＝0表示，则村庄外围任意一点到小路的最短距离为________．
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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系的判断
学习任务目标
1．理解直线与圆的三种位置关系．(直观想象)
2．会用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有____公共点
相切 只有____公共点
相离 ____公共点
两个
一个
没有
知识点二 直线与圆的位置关系的判断
判断方法 相交 相切 相离
几何法 设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
代数法 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
＜
＝
>
>
＝
<
B 解析：圆心到直线的距离d＝＜1，又直线y＝x＋1不过圆心(0，0)．故选B.
[微训练]
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
D 解析：依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为，解得c＝±5.故所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C 解析：对于A，由(x－2)2＋y2＝2，得圆的圆心为(2，0)，半径为r1＝，所以圆心(2，0)到直线x＋y－1＝0的距离为d1＝≠＝r1，圆心(2，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d2＝≠＝r1，所以圆(x－2)2＋y2＝2与直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0均不相切，故A错误；
3．与直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0均相切的圆的方程可能为( )
A．(x－2)2＋y2＝2 B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－2)2＝2
对于B，由x2＋(y－2)2＝2，得圆的圆心为(0，2)，半径为r2＝，所以圆心(0，2)到直线x＋y－1＝0的距离为d3＝≠＝r2，圆心(0，2)到直线x－y＋1＝0的距离为d4＝≠＝r2，所以圆x2＋(y－2)2＝2与直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0均不相切，故B错误；
对于C，由(x－2)2＋(y－1)2＝2，得圆的圆心为(2，1)，半径为r3＝，所以圆心(2，1)到直线x＋y－1＝0的距离为d5＝＝r3，圆心(2，1)到直线x－y＋1＝0的距离为d6＝＝r3，所以圆(x－2)2＋(y－1)2＝2与直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0均相切，故C正确；
对于D，由(x－1)2＋(y－2)2＝2，得圆的圆心为(1，2)，半径为r4＝，所以圆心(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离为d7＝＝r4，圆心(1，2)到直线x－y＋1＝0的距离为d8＝＝0≠＝r4，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝2与直线x＋y－1＝0相切，圆(x－1)2＋(y－2)2＝2与直线x－y＋1＝0不相切，故D错误．故选C.
2 解析：因为圆心到直线的距离d＝，半径r＝2，所以|AB|＝2.
4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离d＞r，即＞.所以m＞2或m＜－2.
5．若直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝_______．
任务型课堂
02
任务一 直线与圆的位置关系的判断
任务二 直线与圆相切的有关问题
任务三 圆的弦长问题
任务一 直线与圆的位置关系的判断
1．(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0，圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
ABD 解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝.
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，
则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．
故选ABD.
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2
C． D．0
B 解析：由圆心到直线的距离等于半径得，所以m＝2.
3．已知直线mx－y－m－1＝0，圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆：
(1)有两个公共点？
(2)只有一个公共点？
(3)没有公共点？
解：(方法一)由mx－y－m－1＝0， y ＝ mx －m－1得代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
所以Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(3)当Δ<0，即－(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(方法二)圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝.
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(3)当d>2，即－(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
【类题通法】
判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．
(3)动直线法：若动直线过定点P，则当点P在圆内时，直线与圆相交；当点P在圆上时，直线与圆相切或相交；当点P在圆外时，直线与圆的位置关系不确定．
任务二 直线与圆相切的有关问题
[探究活动]
探究：过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线．
（1）求此切线的方程．
提示：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线的方程为y＋3＝k(x－4)．
设圆心为C.
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，
即|k＋4|＝.
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线的方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若切线的斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线与圆相切，所以另一条切线的方程是x＝4.
综上，所求切线的方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
提示：圆心C的坐标为(3，1)．
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝.
又|BC|＝r＝1，所以|AB|＝＝4.
所以切线长为4.
（2）求其切线长．
解：由题意，知切线的斜率存在．设切线的斜率为k，则切线的方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.
所以＝5，解得k＝或k＝－.
所以所求切线的方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
[评价活动]
1．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线的方程．
解：(1)设切线的方程为x＋y＋b＝0，则，得b＝1±2，所以切线的方程为x＋y＋1±2＝0.
2．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线的方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(2)设切线的方程为2x＋y＋m＝0，则，得m＝±5，所以切线的方程为2x＋y±5＝0.
解：易知A为切点，因为kAC＝，
所以过点A(4，－1)的切线的斜率为－3，
所以过点A(4，－1)的切线的方程为y＋1＝－3(x－4),
即3x＋y－11＝0.
(3)过点A(4，－1)．
【类题通法】
如果所求切线过已知点M，务必确定点M在圆上还是在圆外．
(1)如果点M在圆上，那么圆心和点M的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，由斜率及点M的坐标可求得切线的方程．
(2)如果点M在圆外，那么过点M的切线有两条，通过设出切线斜率求出的切线可能只有一条，这是因为过点M的另一条切线的斜率不存在．
B 解析：将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l.因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝min＝2＝2，即弦的长度的最小值为2.故选B.
任务三 圆的弦长问题
1．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5 解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25.又r>0，所以r＝5.
2．已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
解：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(方法一)联立方程
消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，x1x2＝，
3．直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交，相交所得的弦长为4，求l的方程．
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
(方法二)如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝＝，
则|OH|＝.
所以，解得k＝或k＝2.
所以直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
【类题通法】
求直线与圆相交所得弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．
(2)弦长公式：如图1，设直线l与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(直线l的
斜率k存在且不为0)．
图1
(3)几何法：如图2，直线l与圆C交于A，B两点．设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，即|AB|＝2.
图2
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