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第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线几何性质的应用
学习任务目标
1．理解直线与双曲线的位置关系．(直观想象、逻辑推理)
2．会利用双曲线的性质求弦长．(数学运算、逻辑推理)
问题式预习
01
知识点 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线____，直线与双曲线__________．
平行
相交于一点
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ＞0 直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线____；
Δ＝0 直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线____；
Δ＜0 直线与双曲线__________，此时称直线与双曲线____．
有两个公共点
相交
有一个公共点
相切
没有公共点
相离
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B
D
[微训练]
1．已知双曲线的方程为x2－y2＝1，过P(－1，0)的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
任务型课堂
02
任务一 直线与双曲线的位置关系
任务二 弦长及中点弦问题
任务三 双曲线的方程及应用
2(满足10，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝.又因为e>1，所以1任务一 直线与双曲线的位置关系
1．(2022·全国甲卷(文))记双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，则满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值为________．
解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．
由得－＜k＜且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
解：由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点．
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．
故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点．
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
解：由得k＜－或k＞，
此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线没有公共点．
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【类题通法】
求直线与双曲线的位置关系的策略
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑消元后所得一元二次方程的根的判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2) 直线与双曲线只有一个公共点时，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
任务二 弦长及中点弦问题
1．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
1
2
3
4
B 解析：设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．由题意知c＝3，所以a2＋b2＝9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得.
又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，又a2＋b2＝9，得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是＝1.
1
2
3
4
3 解析：易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，所以直线AB的方程为y＝(x＋2)，与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以|AB|＝·＝×＝3.
2．若过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的直线，交双曲线于A，B两点，则弦AB的长为________．
1
2
3
4
2 解析：由消去y，得x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝－2.
又＝0，所以当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y＝－.所以|AB|＝＝2.
3．直线＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为________．
1
2
3
4
解：(方法一)由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1.
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．
1
2
3
4
1
2
3
4
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1＋x2＝.
因为A(3，－1)为MN的中点，
所以＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意．
所以所求直线MN的方程为y＝－，即3x＋4y－5＝0.
1
2
3
4
(方法二)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为M，N均在双曲线上，所以
两式相减，得.所以.
因为点A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
所以kMN＝.
经验证，该直线MN存在．
所以所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
【类题通法】
解决弦长和中点弦问题的方法
(1)解决弦长问题和中点弦问题时，我们要注意一元二次方程根与系数的关系、弦长公式和中点坐标公式的应用，也可以考虑应用点差法．
(2)弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝＝.
提示：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－＝1.
任务三 双曲线的方程及应用
[探究活动]
已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，且.
探究1：求双曲线C的方程．
提示：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由得x2－2mx－m2－2＝0，判别式Δ＝8m2＋8>0.
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.
探究2：已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
C 解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＝1.若a>0，b>0，则曲线为椭圆，故A不正确．关于B，D，由椭圆位置知直线斜率a应满足a>0.而B，D中直线斜率均为负值，故B，D不正确．由C可知a>0，b<0，故C正确．
[评价活动]
1．直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab(ab≠0)在同一平面直角坐标系中的位置可能是( )
A B C D
解：因为双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为＝1.所以c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4.所以b2＝1.所以双曲线的方程为－y2＝1.
2．已知双曲线＝1的右焦点为(2，0)．
(1)求双曲线的方程；
解：因为a＝，b＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
令x＝－2，则y＝±.
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|＝.
记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，
则S＝.
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【类题通法】
利用设而不求的方法解决直线与圆锥曲线相交问题的步骤
(1)设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(2)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于x的一元二次方程．
(3)结合一元二次方程根与系数的关系可求x1＋x2，x1x2，从而弦长问题、参数取值范围问题等都可以根据x1＋x2，x1x2应满足的条件解决．
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第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
学习任务目标
1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、数学运算)
2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(数学抽象、数学运算)
问题式预习
01
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 _______________________ _______________________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦距 ____________
范围 ______或____，y∈R ______或____，x∈R
对称性 对称轴：______；对称中心：________
顶点 _______________________ ________________________
轴 实轴：线段____，长：__；虚轴：线段____，长：__；实半轴长：_，虚半轴长：_
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
y≤－a
y≥a
坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
离心率 e＝∈___________
渐近线 y＝±x y＝±
(1，＋∞)
知识点二 双曲线的中心和等轴双曲线
1．双曲线的中心
双曲线的________叫做双曲线的中心．
2．等轴双曲线
______________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝____．
对称中心
实轴和虚轴等长
B 解析：因为e＝，所以e2＝，所以.故选B.
[微训练]
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D 解析：对于A，双曲线的方程为＝1，其中b＝3，虚轴长为6，故A错误；对于B，双曲线的方程为＝1，其中a＝2，b＝3，则c＝，则焦距为2，故B错误；
对于C，离心率为e＝，故C错误；
对于D，渐近线方程为y＝±x，即2x±3y＝0，故D正确．故选D.
2．已知双曲线的方程为＝1，则下列关于该双曲线的说法正确的是( )
A．虚轴长为4 B．焦距为2
C．离心率为 D．渐近线方程为2x±3y＝0
(－4，0)，(4，0) 解析：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4，0)，(4，0)．
3．双曲线－y2＝1的顶点坐标是________．
任务型课堂
02
任务一 根据双曲线的方程研究其几何性质
任务二 由双曲线的几何性质求双曲线的方程
任务三 求双曲线的离心率
BC 解析：因为双曲线方程为x2－＝1，所以a＝1，b＝.所以该双曲线的焦点坐标，故A错误；渐近线方程为y＝±x，故B正确；离心率e＝，故C正确；实轴长2a＝2，故D错误．
任务一 根据双曲线的方程研究几何性质
1．(多选)已知双曲线的方程为x2－＝1，则( )
A．焦点坐标为(±1，0) B．渐近线方程为y＝±x
C．离心率为 D．实轴长为2
B 解析：对于椭圆＝1，a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝，焦距2c＝8，焦点为(－4，0)，(4，0)，顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，－3)．
对于双曲线＝1，a＝2，b＝2，c＝4，则离心率e＝，焦距2c＝8，焦点为(0，4)，(0，－4)，顶点为.
综上可知，椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦距．故选B.
2．下列关于椭圆＝1与双曲线＝1的说法正确的是( )
A．有相同的离心率 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
【类题通法】
1. 已知双曲线的方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a，b，利用c2＝a2＋b2求出c，再根据定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程.
2. 已知双曲线的标准方程＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)，求双曲线的渐近线方程时，直接将标准方程等号右边的1改为0，即可得出渐近线方程．
提示：＝1.
任务二 由双曲线的几何性质求双曲线的方程
[探究活动]
探究1：已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的虚轴长为8，右顶点(a，0)到双曲线的一条渐近线的距离为.你能求出双曲线的方程吗？
提示：(方法一)当焦点在x轴上时，由于.
故可设方程为＝1，
将(2，－2)代入，得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知，故可设方程为＝1，
将(2，－2)代入，得a2＝2.
所以所求双曲线方程为＝1.
探究2：试求过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线的标准方程．
(方法二)因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将(2，－2)代入，得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，即＝1.
B 解析：右焦点为F(3，0)，所以双曲线的焦点在x轴上，且c＝3.又离心率为，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5.故双曲线C的标准方程为＝1.故选B.
[评价活动]
1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则双曲线C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
＝1 解析：设所求双曲线的方程为＝λ(λ≠0)．
因为点M(3，－2)在双曲线上，所以＝λ，即λ＝－2.
所以双曲线的标准方程为＝1.
2．与双曲线＝1有相同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程为____________．
【类题通法】
1. 若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可表示为＝λ(λ≠0)．
2. 与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
任务三 求双曲线的离心率
1．已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C.若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C．2 D．2
1
2
3
4
B 解析：不妨设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由已知，得点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为且F1(－c，0)．由AC⊥BF1知＝0.又，可得2c2－＝0.又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或.
又e>1，所以e＝.
1
2
3
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解：点(4，－2)在渐近线y＝－x上，所以－2＝－×4，所以＝2，所以e＝.
2．已知双曲线＝1(a>0，b>0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，求该双曲线的离心率．
1
2
3
4
解：由双曲线的一条渐近线方程为y＝x得，则该双曲线的离心率e＝.
3．已知双曲线＝1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y＝，求该双曲线的离心率．
1
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【类题通法】
求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．
(2)若已知a，b，则可直接利用e＝求解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程rc2＋s·ac＋t·a2＝0(r，s，t为常数，且r≠0)，则方程两边同时除以a2转化为关于e的方程re2＋s·e＋t＝0进而求解．
1
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第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习任务目标
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学建模)
2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算)
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这________叫做双曲线的焦点，______________叫做双曲线的焦距．
差的绝对值
两个定点
两焦点间的距离
B 解析：动点到两定点的距离的差为常数4，而常数小于两定点之间的距离，故点P的轨迹为双曲线的一支．
[微训练]
1．已知F1(3，0)，F2(－3，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
B 解析：根据双曲线的定义，乙 甲，但甲D 乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
2．已知平面内的定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点二 双曲线的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 _____________________ _____________________
a，b，c的关系 c2＝______
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a2＋b2
C 解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24.对焦点位置进行分类讨论可知选项C正确．故选C.
[微训练]
1．已知a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1或＝1 D．＝0或＝0
解析：双曲线的方程可化为＝1，所以a2＝1，b2＝1，c2＝a2＋b2＝2，所以c＝，因为焦点在x轴上，所以右焦点坐标为.
2．若双曲线的方程为x2－y2＝1，则它的右焦点坐标为________．
任务型课堂
02
任务一 双曲线定义的应用
任务二 求双曲线的标准方程
任务三 双曲线的应用
任务一 双曲线定义的应用
1．设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点．若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
B 解析：由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝8.又因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点的距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，所以|PF2|＝17.
2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2.由题意知|F1F2|＝2c＝4.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以·sin 60°＝2.
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
1或9 解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2.因为N为PF1的中点，所以ON是△PF1F2的中位线，所以|ON|＝.
因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或|PF2|＝18.
所以|ON|＝1或|ON|＝9.
3．已知双曲线的方程是＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|(O为原点)的大小为________．
【类题通法】
1．双曲线定义的应用要注意三点：
(1)2a是双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值；
(2)2a＜|F1F2|；
(3)焦点所在坐标轴．
2．在焦点三角形PF1F2中，常利用正弦定理、余弦定理或勾股定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立a与|PF1|·|PF2|的联系．
提示：点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值是常数且小于|C1C2|＝6.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
任务二 求双曲线的标准方程
[探究活动]
探究1：已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，你能求出点M的轨迹方程吗？
提示：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)．
把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)．
把点A的坐标代入，得b2＝9，
所以所求双曲线的标准方程为＝1.
探究2：分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
提示：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)经过点(3，0)，(－6，－3)；
提示：因为所求双曲线与双曲线＝1有相同的焦点，
所以可设所求双曲线的方程为＝1(－4＜λ＜16)．
因为双曲线过点，所以＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为＝1.
(3)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点.
解：由一个焦点是(0，－6)，得c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0，6)．
由双曲线定义，得2a＝＝8.
所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝20.
所以所求双曲线的标准方程为＝1.
[评价活动]
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；
解：由题知，所求双曲线满足c＝3，且焦点在y轴上．
设所求的双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)．
将A(4，－5)代入，得25b2－16a2＝a2b2.
又因为b2＝c2－a2，即b2＝9－a2，所以25(9－a2)－16a2＝a2(9－a2)，解得a2＝5或a2＝45(舍)，所以b2＝9－a2＝4.
所以所求的双曲线方程为＝1.
(2)以椭圆＝1短轴上的两个顶点为焦点，且过点A(4，－5)；
解：由题知椭圆的焦点为，相应的两个顶点的坐标为(±4，0)．
所以在双曲线中，c＝4，a＝，所以b2＝9.
又双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线方程为＝1.
(3)以椭圆＝1的焦点为顶点，长轴上的两个顶点为焦点．
【类题通法】
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c的值，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程：＝1或＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定系数即可得到所求方程．
2．当焦点位置不确定时，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．因为它包括焦点在x轴上(m>0，n＜0)和焦点在y轴上(m＜0，n>0)两类情况，此时可以避免分类讨论，从而简化运算．
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解：因为方程＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，所以－1任务三 双曲线的应用
1．已知方程＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是什么？
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解：设点D的坐标为，则点A，D是双曲线的焦点．
连接MD，BD(图略)，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又B是圆x2＋2＝1上的点，圆心为C，
半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1.
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1.
当点M，B在线段CD上时取等号，
即＋1.
2．已知双曲线的方程为x2－＝1.如图，点A的坐标为，B是圆C：x2＋2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
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解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直
角坐标系(图略)．根据题意，得A(－2，0)，B(2，0)，所以
C＝.
因为|MA|－|MB|＝2<＝1的右支．
总费用为a|MB|＋a|MC|＝a(|MB|＋|MC|)．
因为|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|≥|AC|－2＝2－2，当M，A，C三点共线时，等号成立，所以总费用最低为a万元．
3．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，并修建两条公路MB，MC，以便于向B，C两地转运货物．经测算，公路的造价是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少．
4．党的二十大报告指出：“如期实现建军一百年奋斗目标，加快把人民军队建成世界一流军队，是全面建设社会主义现代化国家的战略要求．”为贯彻会议精神，某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到该指挥中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为 340 m/s，相关各点均在同一平面内)
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解：如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020)．
设P(x，y)为袭击位置，则|PB|－|PA|＝340×4＜|AB|.
由双曲线定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线的
左支上，且a＝680，c＝1 020.所以b2＝1 0202－6802＝5×3402.
所以双曲线的方程为＝1(x≤－680).①
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又|PA|＝|PC|，因此点P在直线y＝－x上．
把y＝－x代入①式，得x＝－680.
所以P＝680(m)．
故该枚炮弹的袭击位置在指挥中心北偏西45°方向，距指挥中心680 m处．
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【类题通法】
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)求出双曲线的标准方程；
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．
点击右图进入…
课
后
素
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