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第三章 圆锥曲线的方程
单元活动构建
任务一 圆锥曲线的定义
问题1 椭圆是怎样定义的？
提示：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
问题2 双曲线是怎样定义的？
提示：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
问题3 抛物线是怎样定义的？
提示：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
＝1 解析：如图所示，连接MA.
因为M为线段AP的垂直平分线l上的一点，所以|MP|＝|MA|.
于是|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MP|＝|BP|＝4.
又|BA|＝2，所以点M的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，设其方程为＝1(a>b>0)．由题意知a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
故点M的轨迹方程为＝1.
1．已知点A(1，0)和圆B：(x＋1)2＋y2＝16.P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是________．
3 解析：由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5.
由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则M在右支上，
根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，又|MF1|＝5|MF2|，
所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，而|F1F2|＝2c＝10，
则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，则F1N⊥MF2，
且|F1N|＝，从而.
2．若F1，F2是双曲线＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
【规律方法】
利用定义求椭圆方程
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
提示：
任务二 圆锥曲线的标准方程
问题1 椭圆的标准方程是什么？
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
问题2 双曲线的标准方程是什么？
提示：
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
问题3 抛物线的标准方程是什么？
提示：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
1．已知椭圆C：＝1(m>0，n>0，m≠n)的长轴长为4，离心率为，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1B．＝1或＝1
C．＝1D．＝1或＝1
B 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e.
因为长轴长为4，所以2a＝4，所以a＝2，a2＝4.
因为e＝，所以e2＝，所以b2＝2，
所以当椭圆C的焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为＝1.故选B.
2．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，点M为圆O：x2＋y2＝12与C的一个交点，且|MF|＝3，则抛物线C的标准方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝3x
C．y2＝4x D．y2＝6x
C 解析：设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，M(xM，yM)，准线l的方程为y＝－，连接MO，过点M作MM1⊥l，交y轴于点M2，因为|MF|＝3＝xM＋＝xM＝3－＝yM＝.
在Rt△OMM2中，|M2O|2＋|MM2|2＝
＝12，解得p＝2，所以抛物线
C的标准方程为y2＝4x.故选C.
【规律方法】
1．椭圆方程的一般形式：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，其焦点位置有如下规律：当mn时，焦点在y轴上．在求椭圆的方程时，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值，再写成标准方程即可．
2．求椭圆标准方程的两个基本方法：
(1)定义法：关键在于充分利用平面几何知识，并注意画图分析，充分挖掘题干中所隐含的条件，从而确定动点轨迹是否满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：当已知动点轨迹为椭圆时可以使用待定系数法，其关键是确定椭圆焦点的位置设出椭圆方程，代入已知条件求得椭圆方程中的参数的值．
任务三 圆锥曲线的简单几何性质
问题1 椭圆有哪些简单几何性质？
提示：
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±b，0)，(0，±a)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距 |F1F2|＝2c＝2
对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率 e＝，0问题2 双曲线有哪些简单几何性质？
提示：
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c＝2
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±
问题3 抛物线有哪些简单几何性质？
提示：
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
类型 y2＝2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝
－2py(p>0)
性 质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
类型 y2＝2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝
－2py(p>0)
性 质 顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线是y＝±x，结合双曲线特征得k≥1或k≤－1.
1．直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是__________．
＋y2＝1 解析：由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由>知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．
因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.
2．若椭圆C：＝1(a>b>0)，P1(1，1)，P2(0，1)，，四点中恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_________．
解：因为曲线C上的任意一点P到定点F(1，0)的距离比它到定直线x＝－2的距离小1，所以点P到定点F(1，0)的距离和它到定直线x＝－1的距离相等，所以曲线C为抛物线，且p＝2，故曲线C的方程为y2＝4x.
3．已知曲线C上的任意一点P到定点F(1，0)的距离比它到定直线x＝－2的距离小1.
(1)求曲线C的方程．
证明：易知直线l与x轴不重合，所以可设l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去x，得y2－4my－4＝0，
因此y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
(2)已知A(－1，0)，过点F作直线l与曲线C交于M，N两点．求证：直线AM，AN关于x轴对称．
因为kAM＋kAN＝
＝
＝
＝
＝0，
所以kAM＝－kAN，
即∠FAM＝∠FAN，故直线AM，AN关于x轴对称．
【规律方法】
求椭圆的方程的两种方法
(1)与＝1(a>b>0)离心率＝λ(λ>0) ．
(2)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆的方程可设为＝1(a>b>0，b2＋k>0) ．
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章
末
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第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
学习任务目标
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学建模)
2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(数学建模)
3．明确抛物线标准方程中 p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(数学运算)
问题式预习
01
知识点一 抛物线的定义
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做______．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_______________ _________ _________
抛物线
焦点
准线
y2＝2px(p>0)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_________________ ____________
_______________
_________________
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
2．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2，0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．
y2＝8x 解析：由题可知，动点P到直线x＋2＝0的距离与它到点M(2，0)的距离相等，所以点P的运动轨迹为以(2，0)为焦点的抛物线，故其轨迹方程为y2＝8x.
[微训练]
1．抛物线y＝x2的准线方程是________．
y＝－1 解析：因为y＝x2 x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
任务型课堂
02
任务一 求抛物线的标准方程
任务二 抛物线的定义的应用
任务三 抛物线的实际应用
D 解析：由已知可得双曲线的焦点为.设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝.故选D.
任务一 求抛物线的标准方程
1．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
y2＝－8x或x2＝－y 解析：设抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
将P(－2，－4)分别代入，得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
2．已知抛物线的顶点是原点，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
(2)x2＝10y或x2＝－10y 解析：已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)．由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5.所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
3．(1)准线方程为y＝的抛物线的标准方程为__________；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________．
(1)x2＝－y 解析：因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p＝.所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
【类题通法】
求抛物线的标准方程
(1)待定系数法，步骤如下：
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以避免讨论．
任务二 抛物线的定义的应用
[探究活动]
已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.
探究1：点M到定圆圆心C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离有什么关系？
提示：相等．
探究2：点M的轨迹是什么？求出其轨迹方程．
提示：由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
2 解析：由题意可知点A(3，4)在抛物线的外部，所以|PA|+|PF|的最小值即为A，F两点间的距离．又F为抛物线y2＝4x的焦点，所以F(1，0)，所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝，即的最小值为.
[评价活动]
1．已知点A(3，4)，抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为__________．
解：①当动点M位于y轴右侧或y轴上时，因为动点M到的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．设方程为y2＝2px(p>0)，其中，所以p＝1，故点M的轨迹方程为y2＝2x.
②当动点M位于y轴左侧时，点M的轨迹为x轴的负半轴．
综上所述，点M的轨迹方程为y2＝2x或y＝0(x<0)．
2．若动点M到点F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
【类题通法】
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离．因此，由抛物线定义可以实现点与点的距离与点与直线的距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．求抛物线上一动点到焦点的距离与到抛物线内部另一点的距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
2．某小区计划建造一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4 m，点B到管柱OA所在直线的距离为 2 m，且水流落在地面上以O为圆心，6 m为半径的圆内，则管柱OA的高度为( )
A．2 m B．3 m
C．2.5 m D．1.5 m
1
2
3
4
B 解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意知，喷出的水流的轨迹为一开口向下的
抛物线．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．
因为点C(4，－4)，所以16＝－2p×(－4)，解得
p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y.
因为点A(－2，y0)在抛物线上，所以4＝－4y0，解得y0＝－1.
所以|OA|＝4－|y0|＝3，所以管柱OA的高度为3 m.
故选B.
1
2
3
4
解：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
3．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高 2 m，载货后船露出水面的部分高0.75 m，问：水面上涨到与拱顶相距多远时，小船开始不能通过？
1
2
3
4
当船两侧和拱桥接触时，船不能通过，
因为船宽为4 m，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面的部分高为0.75 m，所以|yA|＋0.75＝2．
所以水面上涨到与拱顶相距2 m时，小船开始不能通过．
1
2
3
4
解：不能．理由如下：建立如图所示的平面直角坐
标系，则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
将点B的坐标代入，得9＝－2p·(－3)．
所以p＝.所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
4．某隧道的截面由抛物线的一段和一个矩形构成，如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现该卡车载一集装箱，集装箱宽3 m，车与集装箱共高4.5 m.问：卡车能否通过此隧道？请说明理由．
1
2
3
4
因为车与集装箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距隧道顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，D′的坐标为(－x0，－0.5)，
则＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
所以|DD′|＝2|x0|＝＜3.故卡车不能通过此隧道．
1
2
3
4
【类题通法】
解决抛物线实际应用问题的五个步骤
(1)建立适当的坐标系；
(2)设出合适的抛物线标准方程；
(3)通过计算求出抛物线的标准方程；
(4)利用抛物线的性质进行计算；
(5)将计算结果还原到实际问题中，从而解决实际问题．
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第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习任务目标
1．掌握抛物线的几何性质．(数学建模)
2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法．(数学运算)
3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦的中点等问题．(数学运算、逻辑推理)
4．能解决直线与圆锥曲线的综合应用问题．(数学运算、逻辑推理)
问题式预习
01
知识点一 抛物线的几何性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
类型 y2＝2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝
－2py(p>0)
性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 ___ ___
顶点 _________
离心率 ____
开口 方向 ____ ____ ____ ____
x轴
y轴
O(0，0)
e＝1
向右
向左
向上
向下
C 解析：由题意，知抛物线方程为x2＝±2py(p>0)，且＝3，即p＝6.因此抛物线方程为x2＝±12y.
[微训练]
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
4 解析：由题意双曲线＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线x＝－上，所以－，解得p＝4.
2．若双曲线＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
知识点二 直线与抛物线的位置关系
1．已知直线y＝kx+b（k,b∈R）与抛物线y2＝2px(p>0)，联立直线与抛物线的方程，消去y可得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，当k， Δ＝4p2 －8kbp.直线与抛物线的位置关系及判定方法如下表：
位置关系 公共点 判定方法
相交 ____________公共点 k＝0或
相切 ____________公共点 Δ＝0
相离 __公共点 Δ<0
有一个或两个
有且只有一个
无
2．抛物线的焦点弦
已知抛物线y2＝2px(p>0)，设AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则有以下结论：
(1)以AB为直径的圆与准线____；
(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝x1＋x2＋_；
(4)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝，y1y2＝____．
相切
p
－p2
C 解析：设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2.
因为A，B在抛物线上，所以＝8x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，所以＝－4，所以直线AB的方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
[微训练]
1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
8 解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
任务型课堂
02
任务一 抛物线几何性质的应用
任务二 直线与抛物线的位置关系
任务三 直线与圆锥曲线的综合问题
D 解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.
任务一 抛物线几何性质的应用
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A． B．1 C． D．2
4 解析：z＝x2＋y2＋4＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3.因为y2＝4x≥0，所以x∈[0，＋∞)，所以当x＝0时，zmin＝4.
2．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________．
解：由已知得＝2，所以＝4，解得，
即双曲线的渐近线方程为y＝±x.
而抛物线的准线方程为x＝－，于是A，从而△AOB的面积为，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.
3．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．
【类题通法】
抛物线的几何性质在解决与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但又是在解题的过程中容易被忽视的隐含条件．在解题时，应先注意抛物线的开口方向、焦点位置，确定标准方程形式，然后利用条件求解．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．
提示：(方法一)设弦AB的端点坐标为，B(x2，y2)，则有＝8x2，所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，
所以弦AB 所在直线的斜率k＝4.
所以弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
任务二 直线与抛物线的位置关系
[探究活动]
探究1：过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被点Q平分，试求AB所在直线的方程．
(方法二)设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B的纵坐标．
由根与系数的关系得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以k＝4.
所以弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
提示：设直线l：y－1＝k(x－1)，将x＝代入整理得ky2＋2y＋2k－2＝0.
①当k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x，得x＝，直线l与抛物线C只有一个公共点.
②当k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.
由Δ＝0得，k＝，此时l与C有且只有一个公共点；
探究2：已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点？有两个公共点？无公共点？
当k<或k>时，Δ<0，此时l与C无公共点；
当0，l与C有两个公共点．
综上，k<或k>时，l与C无公共点；
k＝或k＝0时，l与C有且只有一个公共点；
解：设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则
②－①并整理得.
又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.
因此抛物线C的方程为y2＝4x.
[评价活动]
1．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，求抛物线C的方程．
证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0.
因为直线y＝x－4与抛物线相交于不同的两点A，B，
所以可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16，y1＝x1－4，y2＝x2－4.
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，所以⊥，即OA⊥OB.
2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，O为原点求证：OA⊥OB.
【类题通法】
直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)．
将直线方程与抛物线方程联立，消去y后得到关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，则
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
任务三 直线与圆锥曲线的综合问题
1．试问是否存在一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
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解：设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，P为线段MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xP＝，yP＝kxP＋m＝，所以kAP＝.
因为AP⊥MN，所以(k≠0)，所以m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l.
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解：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1（m>0,n>0,m≠n），
椭圆过点A(0，－2)，B，
则解得m＝，所以椭圆E的方程为＝1.
2．(2022·全国乙卷(理))已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，两点．
(1)求E的方程；
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证明：由题知A(0，－2)，B，所以AB：y＋2＝x.
①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，即直线的方程为x＝1.
代入＝1，可得M，
将y＝－代入AB方程y＝x－2，可得T，
由得到H.
求得直线HN的方程为y＝x－2，直线恒过点(0，－2)．
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点．
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②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，
可得
且x1y2＋x2y1＝(*)．
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联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)．可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)，
将(0，－2) 代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0，
将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，
显然成立，综上，可得直线HN过定点(0，－2)．
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解：由解得或
所以A(4，4)，B(1，－2)，所以|AB|＝3.
设P(x0，y0)为AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d＝.
3．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
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因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.
所以d＝[9－(y0－1)2].
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝.
因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
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证明：设kAB＝k(k≠0)，因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以kAC＝－k(k≠0)．设AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
4．如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
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因为A(4，2)，B(xB，yB)为直线AB与抛物线的交点，
所以4·xB＝，即xB＝.
以－k代换上式中的k，得xC＝，所以kBC＝
＝
＝.
所以直线BC的斜率为定值．
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【类题通法】
1. 求参数的最值、范围的方法：
①利用一元二次方程根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域，确定参数的取值范围．
2. 圆锥曲线中定点问题的两种解决方法：
①引进参数法：引进动点的坐标或动直线方程中的系数为参数表示变化量，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．
②特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
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