中小学教育资源及组卷应用平台
3 一元一次方程的应用
第1课时 图形问题
课题 第1课时 图形问题
学习目标 1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题. 2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 1.长方形的周长= ，面积= ． 长方体的体积= ， 正方体的体积= ． 圆的周长= ；面积= ． 圆柱的体积= ． 用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖 的圆柱，再变成一个长方体，并思考在此过程中,什么变了？什么没变？
新课学习 问题一：等体积图形问题 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米 1.设水箱的高变为x m，填写下表： 旧水箱新水箱底面半径/m高/m容积/m3
2.你能发现两个水箱之间的关系吗？ 3.根据表格列出方程并求解. 列方程时，关键是找出问题中的等量关系. 列方程解应用题的基本步骤： 审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）； 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程； 解：解所列的方程，求出未知数的值； 检：检查所求解是否符合题意； （7）答：写出答案（包括单位名称）. 问题二： 等周长(或等面积)图形问题 长方形纸片的长是15cm,长宽上各剪去两个宽为3cm的长条，剩下的面积是原面积的．求长方形纸片的原面积． 例1用一根长10 m的铁丝围成一个长方形. (1)使得长方形的长比宽多1.4 m,此时长方形的长、宽各为多少米 面积呢 (2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米 面积呢 它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化 (3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少米 它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化
当堂训练 1.一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（B ） A．x﹣1＝（26﹣x）+2 B．x﹣1＝（13﹣x）+2 C．x+1＝（26﹣x）﹣2 D．x+1＝（13﹣x）﹣2 2.有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ C ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 3.小圆柱的直径是8厘米,高是6厘米,大圆柱的直径是10厘米,并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍,那么大圆柱的高是多少 解：设大圆柱的高是x厘米． π×（）2×x＝2.5×π×（）2×6， 解得x＝9.6． 答：大圆柱的高是9.6厘米． 4.将一个长、宽、高分别为15 cm,12 cm和8 cm的长方形钢块锻造成一个底面边长为12 cm的正方形的长方体零件钢坯,试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大 请你计算比较.
达标测试 1.长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m而长减少了5m,那么面积增加15m2，设长方形原来的宽为xm，所列方程是（ ） A. （x+4）（3x-5）+15=3x2 B. （x+4）（3x-5）-15=3x2 C. （x-4）（3x+5）-15=3x2 D. （x-4）（（3x+5）+15=3x2 2.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm,内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ） A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm 3.三角形的周长是84cm，三边长的比为17：13：12，则这个三角形最短的一边长为 4.一个底面直径6cm，高为50cm的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cmde“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？ （1）本题用来建立方程的相等关系为 （2）设 填表 底面半径高体积锻压前锻压后
（3）列出方程 ，解得方程 。 5.用直径为4cmde圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取 的圆钢。 6.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cmde圆柱，若它的高士xcm，则可列方程 。 7.把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cmde圆钢。求锻造后的圆钢的长。 8.要分别锻造直径70mm，高45mm和直径30mm，高30mm的圆柱形零件毛坯各一个，需要截取直径50mm的圆钢多长？ 9.一捆粗细均匀的钢丝，重量为132kg，剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg，求原来这根钢丝的长度。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第1课时 图形问题
1.能针对具体问题列出方程。
2.能解一元一次方程。
3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
4.建立模型观念。
1.通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题。
2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,认识方程模型的重要性。
3.解决生活中相关的等体积变形和等周长变形问题,使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,列出方程。
重点:分析等量关系,建立方程。
难点:关键是让学生抓住问题变化中的不变量,确定等量关系,列出方程。
采用启发探究式的方法,使学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型,培养观察发现问题的能力以及创新的意识。了解“未知”转化成“已知”的数学思想,培养分析问题、解决问题的能力和严谨、细致的学习态度。
(一)情境导入
请同学们拿出准备好的橡皮泥,先用这块橡皮泥捏一个“瘦长”的圆柱体,然后再让这个“瘦长”的圆柱“变胖”,变成一个又矮又胖的圆柱,然后思考下面的问题:
(1)在你操作的过程中,圆柱由“瘦”变“胖”,圆柱的直径变了吗 圆柱的高呢
(2)在这个变化的过程中,是否有不变的量 是什么没变
(二)新知初探
探究一 形变,体积不变
活动1 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm,12 cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造,计划将它的底面直径减少为6 cm。那么在容积不变的前提下,易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
(2)设新包装的高度为x cm,你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm 3.3 3
高/cm 12 14.52
体积/cm3 π×(3.3)2×12 π×32×14.52
(3)根据等量关系,你能列出怎样的方程
设新包装的高度为x cm。根据等量关系,列出方程: π×2×12=π×2·x 。
解这个方程,得x= 14.52 。
因此,易拉罐的高度变为 14.52 cm。
追问1 你能否测出一个苹果的体积
追问2 如果给大家一个带有容积刻度且能放下一个苹果的水杯,你想到办法了吗
任务一 意图说明
用实物引入,形象直观,能激发学生探究新知的兴趣,让学生尽快参与到教学中来,为本节课做好铺垫。让学生在变化的过程中挖掘不变量,从而找到等量关系,列出方程。建议:对于圆柱的体积要重点分析,使同学们理解并熟练掌握,特别是对于π不能随意取近似值,而应根据要求决定是否取近似值,注意与小学的区别。
探究二 形变,周长不变
活动2 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形。
(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m,那么此时长方形的长、宽各为多少米
(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m,那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比,面积有什么变化
(3)如果该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化
讨论:解决这道题的关键是什么 从解这道题中你有何收获和体验。
小结:解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时,长方形的周长不变,始终是铁丝的长度(10 m),由此便可建立等量关系;同时我们也发现,虽然长方形的周长不变,但改变长方形的长和宽时,长方形的面积却在发生变化,而且大家发现长和宽越接近面积就越大。
巩固练习
1.一个圆柱体,半径增加到原来的3倍,而高变成原来的,则变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的(B)
A.2倍 B.3倍 C.6倍 D.8倍
2.将一灌满水的直径为40 cm,高为60 cm的圆柱形水桶A里的水全部灌于另一半径为30 cm的圆柱形水桶B里。问这时水桶B里的水的高度是多少厘米 若设水的高度是x cm。下面方程正确的是(C)
A.π×40×60=π×30x B.π2×60x=π×302
C.π2×60=π×302x D.π×402×60=π×302x
任务二 意图说明
有了“分析问题,探究新知”环节作铺垫,找出问题中等量关系比较容易,教师要注意组织学生对“解题感悟”的反思和提升,对于学生在解题过程中出现的列式计算问题,教师应及时指出并加以纠正。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
一元一次方程的应用
图形问题
1.情境导入 2.等量关系 3.巩固练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
第 1 课时 图形问题
第五章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
1.通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题。
2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,认识方程模型的重要性。
3.解决生活中相关的等体积变形和等周长变形问题,使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,列出方程。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
h
r
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变.
=
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
新知初探
贰
新知初探
探究一 形变，体积不变
贰
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm。那么在容积变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
新知初探
贰
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
体积/cm3
(2)设新包装的高度为xcm,你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程
3.3
3
12
π×(3.3) ×12
π×3 ×x
x
新知初探
贰
追问1你能否测出一个苹果的体积？
追问2如果给大家一个带有容积刻度且能放下一个苹果的水杯，你想到办法了吗？
π×(3.3) ×12=π×3 ×x
14.52
14.52
新知初探
探究二 形变，周长不变
贰
例题 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
解：（1）设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x＋1.4）m．
根据题意，得[x＋（x＋1.4）]×2＝10．
解得x＝1.8．x＋1.4＝1.8＋1.4＝3.2．
此时长方形的长和宽分别为3.2 m、1.8 m．
新知初探
贰
（2）使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
解：（2）设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x＋0.8） m．
根据题意，得[x＋（x＋0.8）]×2＝10．
解得x＝2.1．x＋0.8＝2.1＋0.8＝2.9．
此时长方形的长和宽分别是2.9 m和2.1 m．
它围成的长方形的面积为2.1×2.9＝6.09（m2），而（1）中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76（m2）．
此时长方形的面积比（1）中面积增大6.09－5.76＝0.33（m2）．
新知初探
贰
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
解：（3）设正方形的边长为x m．
根据题意，得4x＝10，
解得x＝2.5.
正方形的边长为2.5 m，它所围成的面积为2.5×2.5＝6.25（m2），比（2）中面积增大6.25－6.09＝0.16（m2）．
讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验．
巩固练习
新知初探
贰
1.一个圆柱体，半径增加到原来的3倍，而高变成原来的，则变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．8倍
B
2.将一灌满水的直径为40cm、高为60cm的圆柱形水桶A里的水全部灌于另一半径为30cm的圆柱形水桶B里．问这时水桶B里的水的高度是多少厘米？若设水的高度是 x cm．下面方程正确的是（ ）
B
A
B
C
D
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1．用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长为多少米？设长方形的宽为x米，可列方程为（ ）．
A．x＋（x＋0.6）＝5.2 B．x＋（x－0.6）＝5.2
C．2（x＋x＋0.6）＝5.2 D．2[x＋（x－0.6）]＝5.2
C
2.如图所示“L”形图形的面积为9cm2，如果b=4cm,那么a= cm.
5
当堂达标
叁
3.把一块长、宽、高分别为5 cm、3 cm、3 cm的长方体木块，浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
解：设水面增高 cm，
根据题意，得
解得，
因此，水面增高约为0.9cm.
当堂达标
叁
解：设长方形的长是x厘米．
根据题意，得2（x＋10）＝10×4＋6×2．
解得x＝16．
因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米．
4．如右图，墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
课堂小结
肆
课堂小结
肆
应用一元一次方程
形变 体积不变
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
形变 周长不变
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5题
谢
谢(共19张PPT)
3 一元一次方程的应用
第1课时 图形问题
数学 七年级上册BSD
栏目导航
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.等体积变化:同一物体外形发生了变化,但变化前后的 不变。
2.等周长变化:同一长度的铁丝围成不同形状的图形, 不变。
3.等面积变化:在拼接、剪切、割补等图形变化过程中,图形变化前后
不变。
体积
周长
面积
课堂互动
知识点1:等体积变化
[思路点拨] 这是一个等体积变形问题,用体积不变可得方程。
例1 一块长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm的长方体橡皮泥,用来捏成一个底面半径为2 cm的圆柱,圆柱的高为多少
知识点2:等周长变化
[思路点拨] 这是一个等周长变形问题,用周长不变可得方程。
例2 有一个围成梯形的篱笆,它的各边长如图所示,为了其他用处,将它改围成一个长方形的篱笆,该长方形篱笆的一边长为10,则与其相邻的另一边长为多少
解:设与其相邻的另一边长为x,
根据题意,得
10+10+10+20=2(x+10)。
解得x=15。
答:与其相邻的另一边长为15。
基础题
1.把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形,则这个正方形与原来的长方形比较( )
A.面积与周长都不变化
B.面积相等,但周长发生变化
C.周长相等,但面积发生变化
D.面积与周长都发生变化
C
2.一个长方形的周长为26 cm,这个长方形的长减少1 cm,宽增加
2 cm,就可成为一个正方形,设长方形的长为x cm,则可列方程( )
A.x-1=(26-x)+2
B.x-1=(13-x)+2
C.x+1=(26-x)-2
D.x+1=(13-x)-2
B
A
4.如图所示,一个尺寸为3×60×4(单位:dm)密封的铁箱中,有3 dm高的液体。当此铁箱竖起来(以3×4为底面)时,箱中液体的高度是
dm。
45
5.如图所示,某同学将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后。再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条。若两次剪下的长条面积正好相等,则每一个长条的面积为 。
150 cm2
6.如图所示,将一张正方形纸板的四角各剪去一个小正方形,折成一个无盖长方体盒子,若折成的长方体盒子的底面边长为30 cm,体积为9 000 cm3,则原正方形纸面的边长为 cm。
50
7.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高多少 放入一个大球呢
解:(1)设一个小球使水面升高x cm,根据题意,得3x=32-26,解得x=2。
设一个大球使水面升高y cm。
由题意,得2y=32-26,解得y=3。
答:放入一个小球水面升高2 cm,放入一个大球水面升高3 cm。
(2)如果要使水面上升到50 cm,应放入大球、小球各多少个
解:(2)设应放入x个大球,则放入(10-x)个小球,
根据题意,得3x+2(10-x)=50-26。
解得x=4,10-x=6。
答:应放入4个大球,6个小球。
中档题
8.一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示),已知瓶子的底面积为
10 cm2,请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是( )
A.80 cm3 B.70 cm3
C.60 cm3 D.50 cm3
9.一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50 cm,40 cm和
30 cm,此时水箱中水面高12 cm,放入一个棱长为20 cm的正方体实心铁块后,水箱中的水面低于铁块的顶面,则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 cm3。
C
2 000
素养题
10.(应用意识)有一个盛水的圆柱体玻璃容器,它的底面直径为12 cm
(容器厚度忽略不计),容器内水的高度为10 cm。
(1)如图(1)所示,容器内水的体积为 cm3(结果保留π)。
解:(1)360π
(2)如图(2)所示,把一根底面直径为 6 cm,高为12 cm的实心玻璃棒插入水中(玻璃棒完全淹没于水中),水面上升的高度是多少
(3)如图(3)所示,若把一根底面直径为 6 cm,足够长的实心玻璃棒插入水中,水面上升的高度是多少
谢谢观赏！
