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3 一元一次方程的应用
第2课时 古代数学问题
课题 第2课时 古代数学问题
学习目标 能列一元一次求解与古代数学文化有关的实际问题.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出八钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ （2）设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表. 有关量每人出8钱每人出7钱人数x出钱总数物价
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
新课学习 问题一：《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”，下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱：每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？ 若设合伙人数为x人，你能把下表补充完整吗？ 有关量每人出400钱每人出300钱人数x出钱总数物价
例1我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六 竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人 和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的 牧童人数．
当堂训练 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈 三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出 8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ B ） A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4 C．= D．＝ 2.《孙子算经》中有这样一个问题：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．” 津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几 何？”其大意是：一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗？”妇人回答：“家 里来客人了．”津吏问：“有多少客人？”妇人回答：“每二人合用一个饭碗，每三人合用一 个汤碗，每四人合用一个肉碗，共用65个碗．”问：“来了多少客人？”设有x个客人，则 可列方程为（ ） A．2x+3x+4x＝65 B．（x+2）+（x+3）+（x+4）＝65 C． D．（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝65 3.幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《易经》中记载了最早的幻方——九宫图．将9个数 填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一 个未完成的幻方，则x的值是______． x-58-2
4.《孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍，其中有这样一道题，原文如下：今有 木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，间：木长几何？大意为：用 一根绳子去量根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问：木长 多少尺？请用方程解答上述问题． 自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁 荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？
达标测试 1.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则x=（B ） A．38 B．39 C．40 D．41 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马 天可追上慢马. 3.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题，原文如下：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚疼减一半，六朝才得到其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里路？ 4．我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食． （1）如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？ （2）如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？ 5.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中， 一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． （1）列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ （2）假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住 4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20 间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 说明理由．
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第2课时 古代数学问题
1.能针对具体问题列出方程。
2.能解一元一次方程。
3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
4.建立模型观念。
1.培养学生自主理解题意的能力,准确寻找题中的等量关系,正确列出一元一次方程解决简单的中国古代数学名题。
2.在练习中,进一步理解用一元一次方程这个工具解决实际问题的方法。
3.通过对祖国古老数学文化的了解,增强民族自豪感,树立读书的信心。
重点:列一元一次方程解决盈不足问题。
难点:在解决古代数学问题中寻找相等关系并列出方程。
本节课主要是让学生掌握列一元一次方程解决一些古代典型问题。因为一元一次方程解应用题比较抽象,所以在引入本节课题目时,采用了讲述我国古代数学发展的历史,以此来调动学生的民族自豪感,激发学生的学习兴趣。在课堂中,运用表格的方法辅助分析数量关系,让学生感悟各个量之间的关联;通过小组合作、交流展示,积累活动经验。
(一)情境导入
《周髀算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《海岛算经》
我们伟大祖国具有五千年的文明史,在历史的长河中,为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献,尤其在数学领域有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》等古代名著流传于世,如一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题,漂洋过海传到日本等国,对中国古文明史的传播起很大的作用。
(二)新知初探
探究一 “盈不足”问题
活动 《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各几何
题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少
(1)问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
(2)设人数为x,其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表。
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x
出钱总数
物价
(3)根据等量关系,你能列出怎样的方程
设人数为x。
根据等量关系,列出方程: 。
解这个方程,得x= 。
因此,人数为 ,物价为 。
追问 如果设物价为y,你能列出怎样的方程 与同伴进行交流。
任务一 意图说明
通过古代典型的“盈不足”问题,让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,用表格的方式梳理实际问题中复杂的数量关系,积累解决问题的经验和方法。
探究二 例题解析
例题 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。问人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3 400钱;每人出300钱,会多出100钱。合伙人数、金价各是多少
解:设合伙人数为x,则金价可表示为400x-3 400,还可表示为300x-100,根据等量关系,列出方程:
400x-3 400=300x-100。解这个方程,得x=33。
300x-100=9 800。
因此人数为33,金价为9 800钱。
追问1 如果设金价为y,能列出怎样的方程
追问2 《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的较多钱数×人数一剩余钱数,
或物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比,有什么不同 与同伴进行交流。
巩固练习
我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题,其题意为:几个人分银子,若每人分7两,则还剩4两;若每人分9两,则差8两。有多少个人 有多少两银子
任务二 意图说明
利用表格分析题目的数量关系,明确已知量、未知量、等量关系,设未知数,表示各个量,将文字语言转化为符号语言。安排一名同学板书解题过程,强化落实的力度,教师巡视,及时处理发现的问题,同时规范答题的步骤,形成完整的解题过程,分析列方程解应用题的一般思路,做到方法的提升,并能有意识检验解的合理性。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
(1)“盈不足”关键找等量关系
(2)列方程解应用题的步骤
古代数学问题
1.列方程解应用题的一般步骤
2.例题解析
3.巩固练习
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第2课时 古代数学问题
第五章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
1.培养学生自主理解题意的能力,准确寻找题中的等量关系,正确列出一元一次方程解决简单的中国古代数学名题。
2.在练习中,进一步理解用一元一次方程这个工具解决实际问题的方法。
3.通过对祖国古老数学文化的了解,增强民族自豪感,树立读书的信心。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
《海岛算经》
我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献，尤其在数学领域有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》等古代名著流传于世，如一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，漂洋过海传到日本等国，对中国古文明史的传播起很大的作用。
《周髀算经》
《九章算术》
《孙子算经》
新知初探
贰
新知初探
探究一 “盈不足”问题
贰
《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何
题目大意:几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱;若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少
新知初探
贰
（1）问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
（2）设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表。
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x
出钱总数
物价
x
8x
7x
8x-3
7x+4
新知初探
贰
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程
设人数为x。
根据等量关系，列出方程: 。
解这个方程，得x= 。
因此，人数为 ，物价为 。
追问：如果设物价为y，你能列出怎样的方程 与同伴进行交流。
8x-3=7x+4
7
7
53
新知初探
探究二 例题解析
贰
例题《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金，人出四百，盈三千四百;人出三百，盈一百.问人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱;每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少
新知初探
贰
分析:设人数为x，你能把下来补充完整吗
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数 x
出钱总数
金价
x
400x
300x
400x-3400
300x-100
新知初探
贰
解:设合伙人数为x，则金价可表示为400x-3400,还可表示为300x-100，根据等量关系，列出方程:400x-3400=300x-100
解这个方程，得x=33。
300x33-100=9800。
因此人数为33，金价为9 800钱。
追问1：对于例题，如果设金价为y，能列出怎样的方程
新知初探
贰
追问2：《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的较多钱数×人数一剩余钱数，
或 物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数。
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比，有什么不同 与同伴进行交流。
新知初探
贰
巩固练习：我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：几个人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？
解：设有x人一起分银子，根据题意，得7x+4=9x 8，
解得x=6，
所以银子共有：6×7+4=46（两）
答：银子共有46两．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x,可列方程为（ ）
A．9x+11=6x+16 B．9x-11=6x-16
C．9x+11=6x-16 D．9x-11=6x+16
D
当堂达标
叁
2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
当堂达标
叁
3．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
当堂达标
叁
4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
课堂小结
肆
课堂小结
肆
肆
2.列方程解应用题的步骤
审
设
列
解
验
答
1.“盈不足”关键找等量关系
课后作业
基础题：1.课后习题 第 6、7题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9题
谢
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第2课时 古代数学问题
数学 七年级上册BSD
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盈亏问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人,由于物品和人数都未知,只已知在两次分配中一次是盈(有余),一次是亏(不足);或者两次都盈余,或者两次都亏的数量时,求参加分配的物品总量及人员总数。这类问题称为盈亏问题。也称为盈不足问题。
课堂互动
知识点:古代数学问题——盈亏问题
解:设共有x人,
根据题意,得8x-3=7x+4。解得x=7。
7×8-3=53(元),
因此共有7人,这个物品的价格是53元。
例题 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。则人数、物价各几何 译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,多出3元;每人出7元,还差 4元。则共有多少人,这个物品的价格是多少
基础题
1.“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题:“鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露,看来脚有一百只,几多鸡儿几多兔 ”要解决此问题,可设兔有x只,则所列方程是( )
A.4x+2(36-x)=100
B.2x+4(36-x)=100
C.x+2(36+x)=100
D.2x+2(36-x)=100
A
2.《孙子算经》中记载:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共鹿适尽,则城中家几何 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,则城中有多少户人家 设有x户人家,可列方程为( )
D
3.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空。”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果一间客房住9人,那么就空出一间客房,若设该店有客房x间,则列出关于x的一元一次方程正确的是( )
A.7x-7=9(x-1)
B.7x+7=9(x-1)
C.7x-7=9x-1
D.7x+7=9x-1
B
4.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“林下牧童闹如簇,不知人数不知竹。每人六竿多十四,每人八竿少二竿。”其大意是:“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知有多少人和竹竿。每人6竿,多14竿;每人8竿,少2竿。”若设有牧童x人,根据题意,可列方程为( )
A.6x+14=8x-2 B.6x-14=8x+2
C.6x+14=8x+2 D.6x-14=8x-2
A
5.我国唐代有一位尚书任人唯贤,出题选拔官吏。他说:“有人于黄昏时分在林中散步,无意中听到几个盗贼在分赃,偷的大概是布匹,只听得盗贼说,如果每人分6匹,就余5匹;如果每人分7匹,就差8匹,试问有几个盗贼在分多少匹布 ”设有x个盗贼,则可以列方程为( )
A.6(x+5)=7(x-8)
B.6x+5=7x-8
C.6(x-5)=7(x+8)
D.6x-5=7x+8
B
中档题
6.古代著作《算法统宗》中有这样一个问题:“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤。”其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两,如果每人分九两,则还差半斤(注:此时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)。则这个问题中银子有( )
A.45两 B.46两 C.64两 D.26两
B
7.幻方是一种中国传统游戏,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图。将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,如图所示是一个未完成的幻方,则x的值是 。
6
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣。《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯。津吏问曰:
‘杯何以多 ’妇人曰:‘家有客。’津吏曰:‘客几何 ’妇人曰:
‘二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五。’不知客几何 ”译文:“2人同吃一碗饭,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65个
碗,则有多少客人 ”
素养题
9.(应用意识)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,绳木各长几何 ”原文的意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还余4.5尺,将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺。
(1)绳子、长木各长多少尺
(2)小颖同学对(1)中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验。他分别截取了等长的木头和绳子各两根。先取出木头和绳子各一根,将其浸没在油中,一段时间后取出。从一端点燃后,他发现燃烧完一根木头需要
40 min,燃烧完一根绳子需要10 min。随后,他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子,一段时间后,同时都被风吹灭,这时他发现木头的长是绳子的长的4倍,则第二次木头燃烧的时间为多少分钟
谢谢观赏！
