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3 一元一次方程的应用
第3课时 行程问题
课题 第3课时 行程问题
学习目标 1.能分析行程问题中已知数与未知数之间的等量关系，利用路程、时间与速度之间的关系式，列出一元一次方程解应用题. 2.借助“线段图”分析较复杂的问题中的数量关系，利用方程解决实际问题. 3.培养学生分析问题、解决问题的能力.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 复习巩固 1.利用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？ 2.行程问题中的路程、速度和时间之间有什么关系？
新课学习 问题一：追及问题 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟，画出线路图如下： 图中的相等关系是： 根据相等关系，可列出方程： 解得： 即：爸爸追上小明用了 分钟. 这时，爸爸走了 米，离学校还有 米. 例1 A，B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地， 已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，小轿车 到达B地后在原地等货车． （1）求小轿车出发多长时间追上货车？ （2）求小轿车出发后多长时间，两车相距50km？ 【方法归纳】在追及问题中，两人的路程差=两人之间的距离 问题二：相遇问题 甲、乙两人相距 280，相向而行，甲从 A 地每秒走 8 米，乙从 B 地每秒走 6 米，那 么甲出发几秒与乙相遇？ 解：设甲出发后x秒与乙相遇，画图如下： 图中相等关系是： 根据相等关系，可列出方程： 解得： 即：甲出发后 秒与乙相遇. 例2甲、乙两人分别从A，B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行 驶．出发后经4小时两人在C地相遇，相遇后经1小时乙到达A地． （1）乙的行驶速度是甲的几倍？ （2）若已知相遇时乙比甲多行驶了120公里，求甲、乙行驶的速度分别是多少？ 【方法归纳】在相遇问题中，两人的路程和=两人之间的距离 问题三：航行问题 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时.若船在静水中的平均速度是每小时27千米，求水流速度. 【方法归纳】 V顺=V静+V水/风 V逆=V静－V水/风 一架飞机在两个城市之间飞行，顺风飞行时需2.9h，逆风飞行时需3.2h.已知风速为30km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离.
当堂训练 1.甲、乙两人在400m跑道上练中长跑，甲每分钟跑300m，乙每分钟跑260m，两人同地、同时同向起跑，xmin后第一次相遇，x等于（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 2.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km,可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km,则据题意列出的方程是（ ） A． -=+ B. +=- C. -=- D．+10=-5 3.小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而 行．出发后2h两人相遇．相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚回到A地． （1）两人的行进速度分别是多少？ （2）相遇后经过多少时间小强到达A地？ 小明骑自行车的速度是15千米/小时，一天，小明从家出发骑自行车去学校，恰好准时达到， 如果他全程乘坐速度为40千米/小时的公共汽车，则会提前15分钟达到学校． （1）小明家离学校有多少千米； （2）小明乘坐公共汽车上学需要多长时间？
达标测试 父子二人早上去公园晨练，父亲从家出了跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需( ) A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟 2.学校到县城有28千米，除公共汽车以外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，则步行所用时间是( ) 3、 某船顺流而下的速度是20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，则在水中的速度是( )千米/时 A.2 B.4 C.18 D.36 4.一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是( ) A.26 B.62 C.71 D.53 5.环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过 秒两人相遇. 6.甲、乙两站相距36千米，一列慢车从甲站出发，每小时行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时开出，同向而行，快车在后， 小时追上慢车。 7.一列长a千米的队伍以每分钟60千米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程为 千米 8. 在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为25米/秒，若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错车的时间为 秒。 9.某行军纵队以7千米/时的速度行进，队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队伍前送一封信，送到后又立即返回队尾，共用13.2分钟，求这支队伍的长度。 8、甲、乙两人骑自行车同时从相距80千米的两地出发，相向而行，2小时后相遇，已知甲每小时比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小时走多少千米？ 9、小明与小彬骑自行车去郊外游玩，事先决定早8点出发，预计每小时骑7.5千米，上午10时可到达目的地，出发前他们决定上午9点到达目的地，那么每小时要骑多少千米？
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第3课时 行程问题
1.能针对具体问题列出方程。
2.能解一元一次方程。
3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
4.建立模型观念。
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。
2.发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力。
重点:进一步熟练掌握列一元一次方程解应用题的一般方法和步骤,学会用图表分析数量较为复杂的应用题。
难点:用图表分析数量关系较为复杂的应用题,从多角度思考问题,寻找等量关系。
本节课研究的是时间、速度、路程问题,对学生来说比较熟悉,就是在涉及两个人的时间、速度问题上找出题目中的等量关系,这个时候教师不要急于求成,要结合图形,甚至可以让学生演示追赶问题和相遇问题,让学生慢慢理解,只有学生理解了,才能解决这一类问题。达到以点带面的目的。
(一)情境导入
速度、路程、时间之间的关系
1.若老鼠的速度是6 m/s,则它5 s跑了 m。
2.若猫的速度是7 m/s,要抓到14 m远处正在吃食物而毫无防备的老鼠需要 s。
3.若老鼠想在4 s内抢在猫前面吃到放在30 m处的奶酪,则它至少每秒钟要跑 m。
(二)新知初探
探究一 追及问题
活动 小明每天早上要到距家1 000 m的学校上学。一天,小明以80 m/min的速度出发,5 min后,小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是,爸爸立即以180 m/min的速度去追小明,并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间 追上小明时,距离学校还有多远
思考: (1)问题中有哪些已知量和未知量
(2)想象一下追及的过程,你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗
(3)你是怎样列出方程的 与同伴进行交流。
设爸爸追上小明用了x min。当爸爸追上小明时,两人所行路程相等,如图所示。
追问 路程、速度和时间三者之间有何关系呢 “线段图”反映了怎样的等量关系
任务一 意图说明
让学生学会用线段图表示出路程,学会分析路程、时间、速度问题,更主要的是通过画图直观地找出题目中的等量关系。在教师点拨引导、学生探究分析过程中,让学生体会列方程解应用题的关键是找等量关系。
探究二 例题解析
例题 小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑,小明每分钟跑260 m,小华每分钟跑300 m,两人起跑时站在跑道同一位置。
(1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑,那么小华用多长时间能追上小明
(2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑,那么小华起跑后多长时间两人首次相遇
分析:本题涉及哪些量 你能画图说明小明和小华跑步的情形吗 在问题(1)和(2)中,两人所走的路程分别有什么关系
解:(1)设小华用x min追上小明,根据等量关系,可列出方程:
260+260x=300x。
解这个方程,得x=6.5。
因此,小华用6.5 min追上小明。
(2)设小华起跑后x min两人首次相遇,根据等量关系,可列出方程:
260x+300x=400-260。
解这个方程,得x=0.25。
因此,小华起跑后0.25 min两人首次相遇。
问题 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么 与同伴进行交流。
小结:用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示:
任务二 意图说明
为突破本节课的重点,将实际问题抽象成数学问题,找出其中的已知量、未知量和等量关系。引导学生把数学问题用线段图来表达,借助线段图分析各个量之间的相互关系,并注意检验方程解的合理性。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
解决行程问题的基本步骤:
问题的已知条件 画出线段图 找出等量关系 列方程并求解 回答
同向追及问题
相向相遇问题甲的路程+乙的路程=总路程
行程问题
1.时间、路程、速度这三个量之间的关系
2.例题解析
3.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
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第3课时 行程问题
第五章 一元一次方程
3 一元一次方程的应用
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。
2.发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
1.若杰瑞的速度是6米/秒，则它5秒跑了________米．
2.若汤姆的速度是7米/秒，要抓到14米远处正在吃食物而毫无防备的杰瑞需要________秒．
3.若杰瑞想在4秒钟内抢在汤姆前面吃到放在30米处的奶酪，则它至少每秒钟要跑________米．
30
2
7.25
速度、路程、时间之间的关系
新知初探
贰
新知初探
探究一 追及问题
贰
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1 000 m的学校上学。一天,小明以80 m/min的速度出发,5 min后,小明的爸爸发现他忘了带语文书,于是,爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时距学校还有多远？
思考：（1）问题中有哪些已知量和未知量？
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
新知初探
贰
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4 min．
（2）180×4=720（m），1000－720=280（m）.
答：追上小明时，距离学校还有280m．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
新知初探
贰
例题 小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析:本题涉及哪些量 你能画图说明小明和小华跑步的情形吗 在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系
探究二 例题解析
新知初探
贰
新知初探
贰
问题：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。
小结：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示：
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.A,B两站间的距离为335 km,一列慢车从A站开往B站,每小时行驶55 km,慢车行驶1小时后,另有一列快车从B站开往A站,每小时行驶85 km.设快车行驶了x小时后与慢车相遇,则可列方程为( )
A.55x+85x=335 B.55(x-1)+85x=335
C.55x+85(x-1)=335 D.55(x+1)+85x=335
D
当堂达标
叁
2.一艘轮船在A,B两个码头之间航行,顺水航行需3 h,逆水航行需5 h.已知水流速度为4 km/h,求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为x km/h,则可列方程为( )
A.3x+4=5x-4 B.3(4+x)=5(4-x)
C.3(x+4)=5(x-4) D.3(x-4)=5(x+4)
C
当堂达标
叁
3.张老师和李老师登一座山,张老师每分钟登高10米,并且先出发30分钟,李老师每分钟登高15米,两人同时登上山顶,求这座山的高度.
当堂达标
叁
4．小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米．
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面的10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
解：
（1）设x秒后两人相遇．根据题意，
得4x＋6x＝100，
解得x＝10．
答：10秒后两人相遇．
（2）设x秒后小明能追上小彬．根据题意，
得6x＝4x＋10，
解这个方程，得x＝5．
答：小明5秒后追上小彬．
课堂小结
肆
课堂小结
肆
问题的已
知条件
解决行程问题的基本步骤：
画出线
段图
找出等
量关系
列方程
并求解
回答
同向追及问题
同地不同时：
同时不同地：
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲路程＝乙路程
相向相遇问题
甲的路程＋乙的路程=总路程
课后作业
基础题：1.课后习题 第 4、5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
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第3课时 行程问题
数学 七年级上册BSD
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1.相遇问题中的等量关系
两者所走的路程和=两者出发前的 。
2.追及问题:两者同向而行,一个在前一个在后,到某一时刻后者追上前者。
主要等量关系:
(1)同地不同时的追及问题:慢者行驶的路程+ =快者行驶的路程;
(2)同时不同地的追及问题:快者行驶的路程- =间隔的路程。
3.流速问题:顺水速度=静水速度+ ;
逆水速度=静水速度- 。
距离
慢者先行的路程
慢者行驶的路程
水流速度
水流速度
课堂互动
知识点:相遇问题与追及问题
解:(1)设x h相遇,则(80+60)x=448。
解得x=3.2。
答:出发后3.2 h相遇。
例题 甲、乙两站间相距448 km,一列慢车从甲站出发,每小时行驶
60 km,一列快车从乙站出发,每小时行驶80 km,则:
(1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇
(2)两车相向而行,慢车先开28 min,快车开出后多少小时两车相遇
(3)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车
解:(3)设出发后m h快车追上慢车,则
80m-448=60m。
解得m=22.4。
答:出发后22.4 h快车追上慢车。
基础题
1.一列长150 m的火车,以每秒15 m的速度通过600 m的隧道,从火车进入隧道口算起,这列火车完全通过隧道所需时间是( )
A.60 s B.30 s
C.40 s D.50 s
2.两辆汽车从相距84 km的两地同时出发相向而行,甲车的速度比乙车的速度快20 km/h,半小时后两车相遇,则甲车速度为( )
A.84 km/h B.94 km/h
C.74 km/h D.114 km/h
D
B
A
4.我国古代数学名著《九章算术》中的一道题:客人的马速度为
12.5 km/h,客人走时忘了带衣服,走了8 h的时候主人才发现,于是拿了衣服骑自己的马去追,追到后将衣服交给客人,原速返回家中时,距客人离开已经过了18 h。
(1)主人追上客人用了多长时间
解:(1)设主人追上客人用了t h,
根据题意,得2t=18-8,
解得t=5。
因此,主人追上客人用了5 h。
(2)主人的马每小时可以行多少千米
解:(2)设主人的马每小时可以行v km,
根据题意,得5v=12.5×(8+5),
解得v=32.5。
答:主人的马每小时可以行32.5 km。
中档题
5.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一,书中记载一道问题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之 ”题意是:快马每天走240里,慢马每天走150里,慢马先走12天,试问快马几天可以追上慢马 若设快马x天可以追上慢马,则下列方程正确的是( )
A.240x+150x=150×12
B.240x-150x=240×12
C.240x+150x=240×12
D.240x-150x=150×12
D
C
素养题
8.(2024贵阳期末)已知:如图数轴上有A,B,C三点,点A和点B间距20个单位长度且点A,B表示的有理数互为相反数,AC=40,数轴上有一动点P从点A出发,以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动,设运动时间为
t s(t>0)。
(1)点A表示的有理数是 ,点C表示的有理数是 ,点P表示的数是 (用含t的式子表示)。
(2)当t= s时,P,B两点之间相距8个单位长度
解:(1)-10 30 -10+2t (2)6或14
(3)若点A,点B和点C与点P同时在数轴上运动,点A以1个单位/秒的速度向左运动,点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动,是否存在常数m,使得mAP+7BP-2CP为一个定值,若存在,请求出m的值以及这个定值;若不存在,请说明理由。
解:(3)存在常数m,使得mAP+7BP-2CP为一个定值。理由如下:
由题意可知,点A表示的数为-10-t,点B表示的数为10+3t,点C表示的数为30+4t,则AP=-10+2t-(-10-t)=3t,BP=10+3t-(-10+2t)=20+t,
CP=30+4t-(-10+2t)=40+2t,mAP+7BP-2CP=3mt+7(20+t)-2(40+2t)=
(3m+7-4)t+60,
因为要使得mAP+7BP-2CP为一个定值,所以3m+7-4=0,解得m=-1。
所以mAP+7BP-2CP=(3m+7-4)t+60=60。
所以m=-1,这个定值为60。
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