2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙岗实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
3.如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离( )
A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 无法判断
4.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
6.实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是( )
A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量
7.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形中，，点是的中点点从点出发，沿以的速度运动到终点设点运动的时间为，的面积为，图是与之间的函数关系图象，下列判断不正确的是( )
A. B. ，
C. 平行四边形的面积为 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知方程的一个根是，则的值是______．
10.如图，，两地被古城墙阻隔，为测量，两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点，连接，，分别取，的中点，，连接若的长为，则，两地间的距离为______
11.门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分如图所示是一款冰裂纹窗格，图是窗格中的部分图案其中，，，是五边形的个外角，若，则的度数是______
12.已知关于的不等式组只有个整数解，则实数的取值范围是______．
13.如图，正方形边长为，正方形边长为，连接和，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
解方程：
；
．
15.本小题分
先化简，再求值，其中．
16.本小题分
如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点尺规作图的痕迹保留在图中了，连接．
求证：四边形为菱形；
，相交于点，若，，求的长．
17.本小题分
阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：方程的两个实数根分别为，，则，，
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ______， ______；
类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值；
思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值．
18.本小题分
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路已知铺花砖的面积为．
求道路的宽是多少米？
该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？
19.本小题分
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形
在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究．
定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
如图，四边形是等腰梯形，其中，．
性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形：
从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质：
性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质：
判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系
判定：．
任务：
为证明等腰梯形的性质，小颖的思考如下请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法：过点作的平行线，交于点，；
方法：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假：______的梯形是等腰梯形，该命题是______命题．
20.本小题分
【材料背景】
如图，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点就被称为边的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图，正方形网格是由边长为“”的正方形组成，点、、、都在格点上，，点为的中点．
连接、、，请分别作边、的“外展等直点”和，连接、和，则的形状为______；
如图，点、在格点上，请在线段上的格点中任取一点不与点重合，连接、，分别作的边和边的“外展等直点”、，连接、和，请判断的形状，并说明理由．
【应用与拓展】
如图，点、为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，，请直接写出该三角形第三条边的中点的坐标．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.解：，
，
，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，．
15.解：原式
，
当时，原式．
16.证明：由尺规作的角平分线的过程可得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
解：四边形为菱形，，
，，，
在中，，
，
．
17.，；
一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
；
实数，满足，，且，
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
18.解；根据道路的宽为米，根据题意得，
，
整理得：，
解得：舍去，，
答：道路的宽为米．
设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
19.证明：方法：如图，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法：如图，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，
，
，，
；
解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
．
20.点、即为所求，
由图可知，且，
是等腰直角三角形．
选取点如图所示，、即为所求．
参考一：
形状为等腰直角三角形，理由如下：
如图，，
≌，
，且，
为等腰直角三角形．
参考二：
如图，，，，
≌，
，，则，
为等腰直角三角形．
参考三：
如图，，，，
≌，
，，则，
为等腰直角三角形．
由第二问可知为等腰直角三角形，如图则会在上方和下方各有一个点，
过作轴，作于点，于点，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，，
即，，
，，
；
同理可得
综上，三角形第三条边的中点的坐标为，
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