2024-2025学年山东省泰安市泰安二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间任意四个点、、、，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有( )
A. ，共线 B. ，共线
C. ，，共面 D. ，，不共面
3.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A. B.
C. D.
4.已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
5.已知，向量在向量上的投影向量为，则等于( )
A. B. C. D.
6.空间四边形中，，，则，的值是( )
A. B. C. D.
7.如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中不正确的是( )
A. 平面
B.
C.
D. 平面平面
8.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A. B.
C. D.
10.设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式不正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在平行六面体中，，，若，，则( )
A.
B.
C. ，，三点共线
D. ，，，四点共面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
13.已知，，三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，那么______．
14.已知所在平面外一点到三顶点的距离都相等，则在平面内的射影是的______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四面体中，设，，，为的重心，以为空间基底表示向量，．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
如图所示，已知在长方体中，，，为的中点，为的中点计算：
；
；
．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．
19.本小题分
如图，已知平行六面体的底面是菱形，且，
证明：；
当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.外心
15.解：由为的重心可知为的中点，
所以，

16.证明：连接，由已知，，为线段的中点，
可得四边形是平行四边形，是平行四边形，
设，连接，则是的中点，
为线段的中点，，
平面，平面，
平面；
是平行四边形，，
平面，平面，，
，
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，，
，平面，
而平面，平面平面．
17.解：以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，，，
所以，故．
，，，，
所以，所以．
，，，所以．
18.解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，．
．
证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，，，四点共面．
19.证明：如图，连接、和交于，连接
四边形是菱形，
，．
又，，
≌，
，
，分
又，，
平面，
又平面，
分
当时，能使平面．
，
，
又，
由此可推得D.
三棱锥是正三棱锥．分
设与相交于．
，且：：，
：：．
又是正三角形的边上的高和中线，
点是正三角形的中心，
平面，
即平面分
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