湘教版数学九年级数学上册（新） 导学案：3.4《相似三角形判定和性质》

授课目的与考点分析：相似三角形判定和性质
二、授课内容：一、如何证明三角形相似1、证明三角形相似的首选方法是“两个角对 ( http: / / www.21cnjy.com )应相等的两个三角形相似”。找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边D ( http: / / www.21cnjy.com )C的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD 2、有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。例3：已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。相似三角形的几种基本图形：如图：称为“平行线型”的相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。 ( http: / / www.21cnjy.com )(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是学习上的难点所在，应注重加强训练。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式1、证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE2、具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。 ( http: / / www.21cnjy.com )例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）3、倍分关系的转化例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。小结：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取 ( http: / / www.21cnjy.com )“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。1、要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正三角形的条件时效果较好。2、遇平行，想相似（比例）；遇相似（比例），想平行例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQ∥AB，RP∥BC例3、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD 3、线段间等量代换例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG 例5、Rt△ABC中∠C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF小结：应用比例线段证明两直 ( http: / / www.21cnjy.com )线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。练习：1.如图，在平行四边形ABCD中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结．（1）求证：． （2）当时，求的度数． 2、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）；（2）3、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，求证：AD=BF
本次课后作业
教学反思
B
F
E
D
C
A