2023-2024学年吉林省长春五十二中九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省长春五十二中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是( )
A. B. C. D.
2.计算的结果，正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母表示粉笔盒的上盖，表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在锐角三角形中，，按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点；作射线，交于点若
，则的大小为( )
B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
8.分解因式： ．
9.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
则的值是______．
10.将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示的位置
摆放．若，则的大小为______度．
11.如图，树在路灯的照射下形成树影，若路灯高米，点、、在同一条直线上，点恰为的中点，则树的高为______米．
12.中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成正方形如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的一个锐角，则______．
13.如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米
三、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
先化简，再求值：，其中．
15.本小题分
如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为、、，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率．
16.本小题分
端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，的平分线交于点，连结．
求证：四边形是菱形．
连结若，，，则的面积是______．
18.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
在图中的线段上找一点，连结，使．
在图中的线段上找一点，连结，使．
在图中的线段上找一点，连结，使．
19.本小题分
为了解我国年个地区的第一季度快递业务收入的情况，收集了这个地区第一季度快递业务收入单位；亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
排在前位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，，
其余个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入单位：亿元
频数
第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，，
排在前位的地区、其余个地区、全部个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前位的地区 其余个地区 全部个地区
平均数单位：亿元
中位数单位；亿元
根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为______．
在下面的个数中，与表中的值最接近的是______填写序号．
根据中的数据，预计这个地区年全年快递业务总收入约为______亿元．
20.本小题分
世界上大部分国家都使用摄氏温度，但仍有一些国家和地区使用华氏温度两种计量之间有如下对应：
摄氏温度
华氏温度
在平面直角坐标系中描出相应的点．
观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式．
求华氏度时所对应的摄氏温度．
华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由．
21.本小题分
问题原型如图，在矩形中，对角线、交于点，以为直径作求证：点、在上．
请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．
发现结论矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．
结论应用如图，已知线段，以线段为对角线构造矩形求矩形面积的最大值．
拓展延伸如图，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以线段为对角线构造矩形，矩形的边与正方形的对角线交于、两点，当的长最大时，矩形的面积为______．
22.本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点，当点不和点重合时，作点关于的对称点设点的运动时间为秒．
______；
求的长．用含的代数式表示
取的中点．
连结、，当点在边上，且时，求的长．
连结，当时，直接写出的值．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数经过点，点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为其中．
求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
当点在轴上时，求点的坐标；
该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分包括、两点的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、，若四边形的边和抛物线有两个交点不包括四边形的顶点，设这两个交点分别为点、点，线段的中点为，当以点、、、或以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：原式
．
当时，
原式
．
15.解：根据题意，列表如下：
共有种等可能的结果，小明两次抽到图案上纪念图章相同的结果有种，
小明两次抽到图案上纪念图章相同．
16.解：设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，
依题意得：，
解得：．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：每袋品牌粽子的价格为元．
17.证明：，
，
平分，
．
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
如图，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
的面积，
18.解：如图中，点即为所．
如图中，点即为所求．
如图中，点即为所求．

19.；
；
．
20.解：如图，
这些点在一条直线上．
设这条直线所对应的的函数表达式为．
将、代入，
得，解得，
这条直线所对应的函数表达式为：；
令，得解得，
华氏度时所对应的摄氏温度为；
有相等的可能，
令解得，
所以华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为．
21.问题原型为的直径，
为的半径，
令，
四边形是矩形，
，，，
，
点、在上；
结论应用如图，连接交于点，过点作于点，
，
由发现结论可知，点在以为直径的圆上，即，
当及时，矩形的面积最大，
矩形的面积最大值为；
拓展延伸如图，连接，设与的交点为，
四边形是正方形，，
，，
点、分别为边、的中点，
，，
四边形为矩形，
由结论应用可知，时，矩形的面积最大为，
此时矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，
在中，，
，
22.．
当时，．
当时，．
当时，，
，
，
，
解得，
此时．
如图中，当时，，此时．
在中，，
∽，
，
，
，，
，关于点对称，
，
，
，
，
如图中，当时，过点作于．
，
，，
，
，
，
，
，
，
经检验是分式方程的解，
综上所述，满足条件的的值为或．
23.解：将点代入抛物线中，
得，
解得：，
抛物线解析式为，
顶点坐标为．
由，
当时，，
解得：，，
抛物线上的点在轴上时，横坐标为其中．
，
，
解得：，
点的坐标为，
；
令，
得，，
，
，
，
点一定在对称轴右侧，
．
如图所示，当点在轴上方，对称轴右侧，
此时，，即时，
根据题意，，
解得，不符合题意，舍去；
当点在轴下方，对称轴右侧，
此时，即时，
依题意，，
解得： 或舍去．
综上所述，．
如图所示，
在轴的上方，且，
，
以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为，
，
，，
当是的中点，如图，
则，
，代入，
即，
解得：舍去或；
同理当为的中点时，如图所示，
，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，
，代入，
即，
解得：或舍去；
如图所示，
设，
则，
以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为，
，
即，
，
，
，
，关于对称，
，
解得：．
综上所述，或或．
第1页，共1页