2024-2025学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省德州五中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D. 且
2.数据，，，的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是( )
A. B. C. D.
3.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.当时，一次函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.在平面直角坐标系中，直线经过一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
7.用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则的值是( )
A. B. C. D.
8.用配方法解方程，方程可变形为( )
A. B. C. D.
9.如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为( )
A.
B.
C.
D.
10.根据表中的自变量与函数的对应值，可判断此函数解析式为( )
A. B.
C. D.
11.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当最小时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：
；
；
；
若，则．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若是关于的方程的一个根，则的值是______．
14.如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升到，则橡皮筋被拉长了______．
15.如图，为的中位线，点在上，且为直角，若，，则的长为______．
16.如图，在菱形中，，对角线，若过点作，垂足为，则的长为______．
17.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种童装盈利元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价元，可列方程为______．
18.如图，长方形纸片中，，点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.解方程：
．
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知函数．
当 ______时，抛物线有最大值，是______．
当 ______时，随的增大而增大．
该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？
该抛物线与轴交于点______，与轴交于点______写坐标
在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
21.本小题分
已知关于的方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，求的值．
22.本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：；
如果：：，，求菱形的面积．
23.本小题分
现有一条长的绳子．
怎样围成一个面积为的矩形？
能围成一个面积为的矩形吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．
能围成的矩形的最大面积是多少？说明理由．
24.本小题分
阅读理解：我们定义：把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
如图，已知四边形是“等对角四边形”，，，求的度数．
问题解决：
如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”．
拓展应用：
如图，已知在“等对角四边形”中，，，，，求对角线的长．
25.本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为．
求直线的解析式和点的坐标；
若点是第二象限内的直线上的一个动点，当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
探究：当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．
在的条件下，试求一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标，不需证明．
参考答案
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17.
18.或
19.解：，
，
，
则，
或，
解得，；
，
，
则或，
解得，．
20.；；
；
函数的顶点坐标为，
将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得出函数的图象．
和；．
列表：
描点，连线，该抛物线的图象如图：
21.解：关于的方程有两个实数根，
，
．
，是方程的根，
，，，．
，即，
，
，
解得：或．
又，
．
22.证明：四边形是菱形，
．
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
；
解：由知，，，
：：，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得负值已舍，
，，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积是：．
23.解：设围成的矩形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得或舍去，
，
当围成的矩形的长为，宽为时，矩形的面积为；
不能围成一个面积为的矩形，理由如下：
设围成的矩形的长为，则宽为，
由题意得，，
整理得：，
，
原方程无解，
不能围成一个面积为的矩形；
解：能围成的矩形的最大面积是是，理由如下：
设围成的矩形的长为，矩形面积为，则宽为，
由题意得，，
，
当时，最大，最大值为，
能围成的矩形的最大面积是是．
24.解：四边形是“等对角四边形“，，
，
，
，
，
根据四边形内角和定理得，；
在中，为斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是“等对角四边形”；
如图，过点作于，于，
，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
25.解：直线与轴交于点，
，
解得，
一次函数解析式为，
当时，，
；
点的坐标为，
，
是第二象限内的直线上的一个动点．
；
，
当的面积为时，，
解得，
把代入一次函数，
得，
点的坐标为；
由于，，，
当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
当为对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标也为，
；
当为对角线时，同法可得；
当为对角线时，同法可得，
综上， 或 或．
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