选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.在平面直角坐标系中，理解圆的标准方程的推导过程． 1.数学类比素养和数形结合素养.
2.会判断点与圆的位置关系. 2.数形结合素养.
3.会根据给定条件求圆的标准方程. 3.数形结合素养和数学运算素养.
知新引入
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
温故知新
2.圆的定义：
1. 两点间的距离公式：
平面内两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，
.
平面上到定点的距离等于定长的点的集合
3.在直线方程的学习中，我们都研究了哪些问题？
直线
直线方程
利用直线方程，研究位置关系、距离等问题
平面直角坐标系
代数运算
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
圆的方程
利用圆的方程，研究圆有关的位置关系、几何度量等问题
平面直角坐标系
代数运算
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中， A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为圆上任意一点, A就是以下点的集合
A
M
O
x
y
r
P={M||MA|=r},
根据两点间的距离公式,点M的坐标(x,y)满足的条件可以表示为
,
两边平方，得
.
新知探究
A
M
O
x
y
r
由上述过程可知,若点M(x,y)在 A上,点M的坐标就满足上方程；反过来，若点M的坐标满足上方程，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在 A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆的标准方程(standard equation of thecircle).
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
.
.
圆的几何要素:
圆心（a,b）
半径r
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是什么？
新知探究
练习：
1.说出下列圆的圆心及半径：
⑴ ； ⑵；
⑶； ⑷.
2.写出下列圆的方程：
⑴圆心在(-3,4),半径为； ⑵圆心在原点,半径为3；
⑶圆心在点C(3, -4), 半径为6； ⑷圆心为C(-8,3)，且经过点M(-5,-1).
⑴.
⑵
⑶
⑷
知新探究
【例1】求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
解：
圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上.
(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M2不在这个圆上.
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在这个圆上.
A
x
y
O
M2
M1
初试身手
1.求圆心为C(2，-3) 且经过点A (5，1)的圆的标准方程，并判断M(2,-1)在圆与圆的位置关系.
解：
∵，
(x-2)2+(y+3)2=25.
∵,
∴圆的标准方程为
∴M(2,-1)在圆内.
新知探究
点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？
|PC||PC|=r
|PC|>r
点在圆上
点在圆外
点在圆内
位置关系
图形
几何条件
代数形式
C
P
C
C
P
P
知新探究
拓展：求点P(-2, -3)到圆C: (x-1)2+(y-1)2=4上点的距离d的最大值和最小值.
解：
∵=5>2.
∴ 点P(-2, -3)在圆C外.
如图所示，
,
x
y
O
C(1,1)
P(-2,-3)
M
N
.
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解：
设圆的标准方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2 ①
因为A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是
.
分析：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一直线上，只要确定了a,b,r，圆的标准方程就确定了.
△ABC的外接圆的圆心是三角形的外心，即△ABC三边垂直平分线的交点.
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解：
即
,
观察上面式子，三式两两相减，可以消去a2,b2,r2,得到关于a,b的二元一次方程组
.
解此方程组，得,
代入,得r2=25,
∴△ABC的外接圆的标准方程是
.
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
思考：例2还有没有其它解法？
1.圆心：两条弦的垂直平分线的交点.分别求出线段AB,BC的垂直平分线的方程，再求出它们的交点坐标，即得圆心.
几何法：
2.半径：圆心与圆上一点的距离.求出圆心与这三点中任一点的距离,可得半径.
请大家自己完成.
知新探究
1.待定系数法
求圆的标准方程的方法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2；
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组；
③解——解方程组,求出a,b,r；
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
2.几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
初试身手
①过点（4,0）、（-1,1）和（4,2）三点的圆；
②过点（0,0）、（-1,1）和（4,2）三点的圆；
③过点（0,0）、（4,0）和（4,2）三点的圆；
2.（2022年高考乙卷）过四点（0,0）、（4,0）、（-1,1）和（4,2）中的三点的一个圆的方程为 .
④过点（0,0）、（4,0）和（-1,1）三点的圆．
如果选择三个点，有几种组合方法？你能一一列举出来并求出它们所对应的圆的标准方程吗？
.
.
.
.
新知探究
【例3】已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点，且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求此圆的标准方程．
方法1：设圆心为C的坐标为(a,b),因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，所以
a-b+1=0, ①
因为A,B是圆上两点，所以|CA|=|CB|,
圆的半径,
由①②可得a=-3,b=-2，所以圆心C的坐标是(-3,-2).
根据两点间距离公式，有,
解：
即a-3b-3=0， ②
所以,所求圆的标准方程是.
分析：设圆心为C的坐标为(a,b),由已知条件可知，|CA|=|CB|,且a-b+1=0,由此可求出圆心坐标和半径.
新知探究
【例3】已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点，且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求此圆的标准方程．
方法2：如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1,1),(2,-2)，可得点D的坐标为(),
直线AB的斜率为,
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，
方程组的解,
即x-3y-3=0,
解：
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是
分析：另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法.
解得,所以圆心C的坐标是(-3,-2).
圆的半径,
所以,所求圆的标准方程是.
初试身手
解：
⑴设圆C的标准方程是,
则,
∴圆C的标准方程是．
解得 ,
3.已知圆C过点A(1,0),B(4,0).
⑴若圆C还过点P(6,-2),求圆C的标准方程；
初试身手
解：
⑵由圆C的对称性，可知圆心C的横坐标为,
则圆心C的坐标为(,2),
∴圆C的标准方程是．
∴圆C的半径,
3.已知圆C过点A(1,0),B(4,0).
⑵若圆心C的纵坐标为2，求圆C的标准方程.
课堂小结
1.圆的标准方程
判断方法：
待定系数法：
.
2.点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
几何法，
代数法.
3.求圆的标准方程
联立方程，求圆心和半径.
几何法：
寻找几何关系，求圆心和半径.
作业布置
作业： P85 练习 第2，3,4题
P88 习题2.4 第3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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