人教版2024-2025学年六年级数学上册第一单元分数乘法-简便计算篇【十四大考点】(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年六年级数学上册第一单元分数乘法-简便计算篇【十四大考点】(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-15 20:50:45 | ||
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文档简介
第一单元分数乘法-简便计算篇【十四大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元分数乘法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 5
【典型例题1】乘法分配律。 5
【典型例题2】乘法分配律变式。 6
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 7
【考点四】简便计算其四：添加因数1。 8
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 9
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 10
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 11
【典型例题1】带分数化加式。 11
【典型例题2】带分数化减式。 12
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 12
【典型例题1】分数化减式。 12
【典型例题2】分数化加式。 12
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 13
【典型例题1】整数化加式。 13
【典型例题2】整数化减式。 14
【典型例题3】整数化倍式。 14
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 15
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 16
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 17
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 18
【典型例题1】其一。 19
【典型例题2】其二。 20
【典型例题3】其三。 20
【典型例题4】其四。 21
【典型例题5】其五。 21
【典型例题6】其六。 22
【考点十四】分数乘法与定义新运算。 23
【第三篇】典型例题篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。
【方法点拨】
1.乘法交换律。
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
能简算的要简算。
×（）×11
【对应练习3】
简便计算。
×2.4×（） ×（×0.3）×
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。
【方法点拨】
乘法分配律。
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
（＋）×2019×2020
【对应练习3】
简便计算。
（＋）×13×16
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
乘法分配律逆运算。
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
×34＋17×
【对应练习3】
简便计算。
【考点四】简便计算其四：添加因数1。
【方法点拨】
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
37×＋64×0.75－
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。
【方法点拨】
分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
×＋×
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。
【方法点拨】
观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
【典型例题1】带分数化加式。
简便计算。
24× 20×25
【对应练习1】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习3】
简便计算。
20× 33× 21×
【典型例题2】带分数化减式。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
14×10 25×8
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】分数化减式。
简便计算。
×27
【典型例题2】分数化加式。
简便计算。
×17
【对应练习1】
简便计算。
×13 ×13
【对应练习2】
简便计算。
×13 ×25
【对应练习3】
简便计算。
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。
【方法点拨】
当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】整数化加式。
简便计算。
【典型例题2】整数化减式。
简便计算。
200×
【典型例题3】整数化倍式。
简便计算。
93×
【对应练习1】
简便计算。
101×
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习3】
简便计算。
52× 1001× 199×
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊
【方法点拨】
多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【对应练习1】
简便计算。
（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊
【方法点拨】
分析已知条件，列出乘法算式。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊
【方法点拨】
在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法
1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B；
2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。
【方法点拨】
1.裂项法。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。
2.常用裂项法公式。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。
【典型例题1】其一。
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：( )。
（2）( )。
（3）探究并计算：( )。
（4）计算：
【对应练习1】
简便计算。
＋＋
【对应练习2】
简便计算。
【典型例题2】其二。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
+++…+
【典型例题3】其三。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题4】其四。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题5】其五。
简便计算。
【对应练习】
计算。
【典型例题6】其六。
计算。
。
【对应练习】
计算。
【考点十四】分数乘法与定义新运算。
【方法点拨】
1.定义新运算。
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
2.解题方法。
解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。
3.注意事项。
（1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如： 、▲、 、◎等，它们并不表示实际意义。
（2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。
【典型例题】
定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。
【对应练习1】
定义新运算：设，求。
【对应练习2】
定义新运算：若，则( )。
【对应练习3】
定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。
第一单元分数乘法-简便计算篇【十四大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元分数乘法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 6
【典型例题1】乘法分配律。 6
【典型例题2】乘法分配律变式。 7
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 8
【考点四】简便计算其四：添加因数1。 10
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 11
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 13
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 16
【典型例题1】带分数化加式。 16
【典型例题2】带分数化减式。 18
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 18
【典型例题1】分数化减式。 19
【典型例题2】分数化加式。 19
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 20
【典型例题1】整数化加式。 20
【典型例题2】整数化减式。 20
【典型例题3】整数化倍式。 21
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 23
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 24
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 26
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 28
【典型例题1】其一。 29
【典型例题2】其二。 31
【典型例题3】其三。 32
【典型例题4】其四。 33
【典型例题5】其五。 34
【典型例题6】其六。 35
【考点十四】分数乘法与定义新运算。 36
【第三篇】典型例题篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。
【方法点拨】
1.乘法交换律。
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
【典型例题】
简便计算。
【答案】
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【对应练习2】
能简算的要简算。
×（）×11
【答案】
【对应练习3】
简便计算。
×2.4×（） ×（×0.3）×
【答案】
×2.4×（）
＝×2.4×
＝××2.4×
＝（×）×（2.4×）
＝×1.8
＝0.2
×（×0.3）×
＝×（×0.3）×
＝（×）×（0.3×）
＝×0.4
＝1.5
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。
【方法点拨】
乘法分配律。
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
解析：
×5.4
＝×5.4－×5.4
＝4.2－0.9
＝3.3
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝18＋20－15
＝23
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。
解析：
【对应练习1】
简便计算。
解析：
5×（＋）×8
＝5××8＋5××8
＝24＋15
＝39
【对应练习2】
简便计算。
（＋）×2019×2020
解析：
（＋）×2019×2020
＝×2019×2020＋×2019×2020
＝2019＋2020
＝4039
【对应练习3】
简便计算。
（＋）×13×16
解析：
（＋）×13×16
＝×13×16＋×13×16
＝80＋
＝
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
乘法分配律逆运算。
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝22
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝15×1
＝15
【对应练习2】
简便计算。
×34＋17×
解析：
×34＋17×
＝2＋2
＝4
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝60
【考点四】简便计算其四：添加因数1。
【方法点拨】
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝75
【对应练习3】
简便计算。
37×＋64×0.75－
解析：
37×＋64×0.75－
＝37×＋64×－
＝（37＋64－1）×
＝100×
＝75
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。
【方法点拨】
分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。
【典型例题】
简便计算。
解析：
【对应练习1】
简便计算。
×＋×
解析：；；
【对应练习2】
简便计算。
解析：5；；
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。
【方法点拨】
观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。
【典型例题】
简便计算。
【答案】648
【分析】把分数化为小数，然后将73.8拆分为61.3＋2.8，然后根据乘法分配律，将算式变为，再根据乘法分配律，将算式变为，然后计算括号里面的加法，再把2.8拆分为4×0.7，再根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】先将拆分为，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法，进而计算括号外面的乘法，将的被减数和减数同时减去6进行简算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
【答案】
【分析】先根据乘法分配律，将算式变为，然后去掉小括号，根据带符号搬家，将算式变为，然后运用括号以及减法的性质，将算式变为，算式中减去9个，加上9个8，据此将算式变为，然后计算小括号里面的结果，再将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行计算即可。
【详解】
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
【典型例题1】带分数化加式。
简便计算。
24× 20×25
解析：；；
【对应练习1】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）72
【分析】（1）先把带分数改写成，再把拆成，把给分数，这样算式变成，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（2）先把带分数、改写成、，再把拆成、把拆成，都把给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）（2）把带分数改写成“整数＋真分数”的形式，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习3】
简便计算。
20× 33× 21×
解析：；；18
【典型例题2】带分数化减式。
简便计算。
解析：
29×＋39×＋49＋59
＝（30－）×＋（40－）×＋（50－）×＋（60－）×
＝20－＋30－＋40－＋50－
＝（20＋30＋40＋50）－（＋）－（＋）
＝139－1
＝137
【对应练习】
简便计算。
14×10 25×8
解析：；148；203
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】分数化减式。
简便计算。
×27
解析：26
【典型例题2】分数化加式。
简便计算。
×17
解析：17
【对应练习1】
简便计算。
×13 ×13
解析：；
【对应练习2】
简便计算。
×13 ×25
解析：；
【对应练习3】
简便计算。
【答案】4025
【分析】把原式化为2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋，，然后运用乘法分配律化为2011＋＋2012＋＋＋，再运用加法交换律和加法结合律进行计算即可。
【详解】
＝2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋
＝2011＋＋2012＋＋＋
＝2011＋2012＋（＋）＋（＋）
＝2011＋2012＋（1＋1）
＝2011＋2012＋2
＝4023＋2
＝4025
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。
【方法点拨】
当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】整数化加式。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】整数化减式。
简便计算。
200×
解析：
200×
＝（201－1）×
＝201×－1×
＝199－
＝
【典型例题3】整数化倍式。
简便计算。
93×
解析：42
【对应练习1】
简便计算。
解析：
101×
解析：
101×
＝（100＋1）×
＝100×＋1×
＝59＋
＝
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先把99拆成98＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（2）先把67拆成68－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习3】
简便计算。
52× 1001× 199×
解析：38；100；178；34
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊
【方法点拨】
多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【答案】
【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。
【详解】×××…××
＝1×
＝
【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
【对应练习1】
简便计算。
（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）
【答案】
【详解】原式=（）×（）×（）×…×( ) ×() ×() ×() ×…×()
=50×()
=
【对应练习2】
简便计算。
解析：
（3）
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
解析：
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
＝2021××××…×
＝1
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊
【方法点拨】
分析已知条件，列出乘法算式。
【典型例题】
简便计算。
解析：
原式=
=
=
=
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】根据减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
【答案】190
【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出，接着将首尾相加，将算式变为，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊
【方法点拨】
在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法
1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B；
2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。
【典型例题】
简便计算。
【答案】
【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。
【详解】令＝A，＝B；
原式＝A×（B＋）－（A＋）×B
＝AB＋A－AB－B
＝A－B
＝×（A－B）
＝×[（）－（）]
＝×[]
＝×1
＝
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。
【详解】假设，
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
【答案】
【详解】（ ++）×（++）﹣（+++）×（+）
＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+）
＝×+（+）×﹣×（+）
＝×
＝.
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。
【方法点拨】
1.裂项法。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。
2.常用裂项法公式。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。
【典型例题1】其一。
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：( )。
（2）( )。
（3）探究并计算：( )。
（4）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；
（4）先拆项，再抵消结果即可求解。
【详解】（1）
＝
＝
【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。
【对应练习1】
简便计算。
＋＋
【答案】
【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。
【详解】＋＋
＝＋＋
＝（－＋－）
＝（）
＝
＝
【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。
【对应练习2】
简便计算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】其二。
简便计算。
解析：
【对应练习】
简便计算。
+++…+
【答案】
【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．
解：+++…+
=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣
=
点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．
【典型例题3】其三。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答。
【对应练习】
简便计算。
【答案】39
【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝39＋
＝39
【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便．
【典型例题4】其四。
简便计算。
解析：
【对应练习】
简便计算。
解析：
【典型例题5】其五。
简便计算。
【答案】
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。
【详解】
＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋
＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）
＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）
＝38＋（1－）
＝38＋
＝
【对应练习】
计算。
【答案】
【详解】原式
【典型例题6】其六。
计算。
。
【答案】
【分析】由于，所以题目中的式子可变形为：
，根据分数裂项变形可得：
，一加一减抵消后可得，最后通分计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握是解题的关键。
【对应练习】
计算。
【答案】
【详解】略
【考点十四】分数乘法与定义新运算。
【方法点拨】
1.定义新运算。
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
2.解题方法。
解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。
3.注意事项。
（1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如： 、▲、 、◎等，它们并不表示实际意义。
（2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。
【典型例题】
定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。
【答案】
【分析】定义新运算的一般解题步骤：
（1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。
（2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（3）求解。
观察可知，运算符号前面的分数表示第一个乘数，后面的数表示乘数的个数，且分母从第一个乘数开始依次增加1，分子都是1，据此根据定义新运算的一般解题步骤计算即可。
【详解】△4－△4
【对应练习1】
定义新运算：设，求。
【答案】
【分析】根据题目中所给的公式，这里面a＝，b＝，把这两个数代入到4a－2b＋ab这个公式里即可。
【详解】＝4×－2×＋××
＝－＋
＝
【对应练习2】
定义新运算：若，则( )。
【答案】0.1
【分析】根据题意可知，a＝8，b＝3，c＝，d＝0.2，代入ad－bc的式子中，计算出结果即可。
【详解】8×0.2－3×
＝1.6－1.5
＝0.1
若，0.1。
【点睛】本题考查含有字母式子的求值，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后按照新定义的算式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
【对应练习3】
定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。
【答案】101
【分析】根据所给出的等式：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，找到新的运算法则，由此方法计算x◎7＝37求出x的值，再求出◎（x◎4）的值即可。
【详解】解：x◎7＝37
3x＋4×7＝37
3x＝9
x＝3
◎（x◎4）
＝◎（3◎4）
＝◎（3×3＋4×4）
＝◎25
＝×3＋4×25
＝1＋100
＝101
【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。
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【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元分数乘法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 5
【典型例题1】乘法分配律。 5
【典型例题2】乘法分配律变式。 6
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 7
【考点四】简便计算其四：添加因数1。 8
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 9
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 10
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 11
【典型例题1】带分数化加式。 11
【典型例题2】带分数化减式。 12
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 12
【典型例题1】分数化减式。 12
【典型例题2】分数化加式。 12
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 13
【典型例题1】整数化加式。 13
【典型例题2】整数化减式。 14
【典型例题3】整数化倍式。 14
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 15
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 16
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 17
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 18
【典型例题1】其一。 19
【典型例题2】其二。 20
【典型例题3】其三。 20
【典型例题4】其四。 21
【典型例题5】其五。 21
【典型例题6】其六。 22
【考点十四】分数乘法与定义新运算。 23
【第三篇】典型例题篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。
【方法点拨】
1.乘法交换律。
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
能简算的要简算。
×（）×11
【对应练习3】
简便计算。
×2.4×（） ×（×0.3）×
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。
【方法点拨】
乘法分配律。
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
（＋）×2019×2020
【对应练习3】
简便计算。
（＋）×13×16
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
乘法分配律逆运算。
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
×34＋17×
【对应练习3】
简便计算。
【考点四】简便计算其四：添加因数1。
【方法点拨】
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
37×＋64×0.75－
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。
【方法点拨】
分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
×＋×
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。
【方法点拨】
观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
【典型例题1】带分数化加式。
简便计算。
24× 20×25
【对应练习1】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习3】
简便计算。
20× 33× 21×
【典型例题2】带分数化减式。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
14×10 25×8
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】分数化减式。
简便计算。
×27
【典型例题2】分数化加式。
简便计算。
×17
【对应练习1】
简便计算。
×13 ×13
【对应练习2】
简便计算。
×13 ×25
【对应练习3】
简便计算。
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。
【方法点拨】
当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】整数化加式。
简便计算。
【典型例题2】整数化减式。
简便计算。
200×
【典型例题3】整数化倍式。
简便计算。
93×
【对应练习1】
简便计算。
101×
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【对应练习3】
简便计算。
52× 1001× 199×
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊
【方法点拨】
多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【对应练习1】
简便计算。
（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊
【方法点拨】
分析已知条件，列出乘法算式。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊
【方法点拨】
在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法
1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B；
2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。
【方法点拨】
1.裂项法。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。
2.常用裂项法公式。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。
【典型例题1】其一。
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：( )。
（2）( )。
（3）探究并计算：( )。
（4）计算：
【对应练习1】
简便计算。
＋＋
【对应练习2】
简便计算。
【典型例题2】其二。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
+++…+
【典型例题3】其三。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题4】其四。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题5】其五。
简便计算。
【对应练习】
计算。
【典型例题6】其六。
计算。
。
【对应练习】
计算。
【考点十四】分数乘法与定义新运算。
【方法点拨】
1.定义新运算。
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
2.解题方法。
解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。
3.注意事项。
（1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如： 、▲、 、◎等，它们并不表示实际意义。
（2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。
【典型例题】
定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。
【对应练习1】
定义新运算：设，求。
【对应练习2】
定义新运算：若，则( )。
【对应练习3】
定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。
第一单元分数乘法-简便计算篇【十四大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第一单元分数乘法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数乘法的简便计算和复杂类型的计算。
总体评价
讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十四个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。 4
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。 6
【典型例题1】乘法分配律。 6
【典型例题2】乘法分配律变式。 7
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。 8
【考点四】简便计算其四：添加因数1。 10
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。 11
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。 13
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。 16
【典型例题1】带分数化加式。 16
【典型例题2】带分数化减式。 18
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。 18
【典型例题1】分数化减式。 19
【典型例题2】分数化加式。 19
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。 20
【典型例题1】整数化加式。 20
【典型例题2】整数化减式。 20
【典型例题3】整数化倍式。 21
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊ 23
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊ 24
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊ 26
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 28
【典型例题1】其一。 29
【典型例题2】其二。 31
【典型例题3】其三。 32
【典型例题4】其四。 33
【典型例题5】其五。 34
【典型例题6】其六。 35
【考点十四】分数乘法与定义新运算。 36
【第三篇】典型例题篇
【考点一】简便计算其一：乘法交换律和乘法结合律的运用。
【方法点拨】
1.乘法交换律。
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。
2.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。
【典型例题】
简便计算。
【答案】
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【对应练习2】
能简算的要简算。
×（）×11
【答案】
【对应练习3】
简便计算。
×2.4×（） ×（×0.3）×
【答案】
×2.4×（）
＝×2.4×
＝××2.4×
＝（×）×（2.4×）
＝×1.8
＝0.2
×（×0.3）×
＝×（×0.3）×
＝（×）×（0.3×）
＝×0.4
＝1.5
【考点二】简便计算其二：乘法分配律的运用。
【方法点拨】
乘法分配律。
(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c。
【典型例题1】乘法分配律。
简便计算。
×5.4
解析：
×5.4
＝×5.4－×5.4
＝4.2－0.9
＝3.3
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝18＋20－15
＝23
【典型例题2】乘法分配律变式。
简便计算。
解析：
【对应练习1】
简便计算。
解析：
5×（＋）×8
＝5××8＋5××8
＝24＋15
＝39
【对应练习2】
简便计算。
（＋）×2019×2020
解析：
（＋）×2019×2020
＝×2019×2020＋×2019×2020
＝2019＋2020
＝4039
【对应练习3】
简便计算。
（＋）×13×16
解析：
（＋）×13×16
＝×13×16＋×13×16
＝80＋
＝
【考点三】简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
乘法分配律逆运算。
a×c+b×c=(a+b)×c
a×c-b×c=(a-b)×c。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝22
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝15×1
＝15
【对应练习2】
简便计算。
×34＋17×
解析：
×34＋17×
＝2＋2
＝4
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝60
【考点四】简便计算其四：添加因数1。
【方法点拨】
形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即
A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝75
【对应练习3】
简便计算。
37×＋64×0.75－
解析：
37×＋64×0.75－
＝37×＋64×－
＝（37＋64－1）×
＝100×
＝75
【考点五】简便计算其五：分子、分母交换与拆分。
【方法点拨】
分数乘分数时，分子与分子之间，分母与分母之间可以交换位置，不影响积的大小，因此在简便计算时，可以考虑将分母或分子拆分，重新组成可以使用乘法分配律的式子。
【典型例题】
简便计算。
解析：
【对应练习1】
简便计算。
×＋×
解析：；；
【对应练习2】
简便计算。
解析：5；；
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点六】简便计算其六：乘法分配律与混合型算式。
【方法点拨】
观察算式特点，结合乘法分配律的使用条件，在简便计算的过程中可能需要多次使用乘法分配律或逆运算。
【典型例题】
简便计算。
【答案】648
【分析】把分数化为小数，然后将73.8拆分为61.3＋2.8，然后根据乘法分配律，将算式变为，再根据乘法分配律，将算式变为，然后计算括号里面的加法，再把2.8拆分为4×0.7，再根据乘法结合律，将算式变为进行简算即可。
【详解】
＝
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＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】先将拆分为，然后根据乘法分配律和减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法，进而计算括号外面的乘法，将的被减数和减数同时减去6进行简算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
【答案】
【分析】先根据乘法分配律，将算式变为，然后去掉小括号，根据带符号搬家，将算式变为，然后运用括号以及减法的性质，将算式变为，算式中减去9个，加上9个8，据此将算式变为，然后计算小括号里面的结果，再将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行计算即可。
【详解】
【考点七】简便计算其七：带分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当带分数不容易化成假分数时，可以将带分数写成整数+真分数或整数-真分数的形式，然后再使用乘法分配律进行简便计算。
【典型例题1】带分数化加式。
简便计算。
24× 20×25
解析：；；
【对应练习1】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）72
【分析】（1）先把带分数改写成，再把拆成，把给分数，这样算式变成，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（2）先把带分数、改写成、，再把拆成、把拆成，都把给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）（2）把带分数改写成“整数＋真分数”的形式，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习3】
简便计算。
20× 33× 21×
解析：；；18
【典型例题2】带分数化减式。
简便计算。
解析：
29×＋39×＋49＋59
＝（30－）×＋（40－）×＋（50－）×＋（60－）×
＝20－＋30－＋40－＋50－
＝（20＋30＋40＋50）－（＋）－（＋）
＝139－1
＝137
【对应练习】
简便计算。
14×10 25×8
解析：；148；203
【考点八】简便计算其八：分数化加式或化减式。
【方法点拨】
当因数是一个分数且接近1时，可以把这个分数拆分成“1+分数”或“1-分数”的形式，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】分数化减式。
简便计算。
×27
解析：26
【典型例题2】分数化加式。
简便计算。
×17
解析：17
【对应练习1】
简便计算。
×13 ×13
解析：；
【对应练习2】
简便计算。
×13 ×25
解析：；
【对应练习3】
简便计算。
【答案】4025
【分析】把原式化为2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋，，然后运用乘法分配律化为2011＋＋2012＋＋＋，再运用加法交换律和加法结合律进行计算即可。
【详解】
＝2011×（1＋）＋2012×（1＋）＋
＝2011＋＋2012＋＋＋
＝2011＋2012＋（＋）＋（＋）
＝2011＋2012＋（1＋1）
＝2011＋2012＋2
＝4023＋2
＝4025
【考点九】简便计算其九：整数化加减式或化倍式。
【方法点拨】
当因数是整数且这个整数接近分母或者与分母成倍数关系时，可以把这个整数拆分，然后再使用乘法分配律。
【典型例题1】整数化加式。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】整数化减式。
简便计算。
200×
解析：
200×
＝（201－1）×
＝201×－1×
＝199－
＝
【典型例题3】整数化倍式。
简便计算。
93×
解析：42
【对应练习1】
简便计算。
解析：
101×
解析：
101×
＝（100＋1）×
＝100×＋1×
＝59＋
＝
【对应练习2】
简便计算。
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先把99拆成98＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（2）先把67拆成68－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
【对应练习3】
简便计算。
52× 1001× 199×
解析：38；100；178；34
【考点十】简便计算其十：连锁约分。＊
【方法点拨】
多个不同分数之间的乘法，可以考虑连锁约分，需要注意寻找约分的数字。
【典型例题】
简便计算。
×××…××
【答案】
【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。
【详解】×××…××
＝1×
＝
【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。
【对应练习1】
简便计算。
（1+）（1-）（1+）（1-）…（1+）（1-）
【答案】
【详解】原式=（）×（）×（）×…×( ) ×() ×() ×() ×…×()
=50×()
=
【对应练习2】
简便计算。
解析：
（3）
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
解析：
2021×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－）
＝2021××××…×
＝1
【考点十一】简便计算其十一：分组简算法。＊
【方法点拨】
分析已知条件，列出乘法算式。
【典型例题】
简便计算。
解析：
原式=
=
=
=
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】根据减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
【答案】190
【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出，接着将首尾相加，将算式变为，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【考点十二】简便计算其十二：换元法（字母代换法）。＊
【方法点拨】
在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法
1. 一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B；
2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。
【典型例题】
简便计算。
【答案】
【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。
【详解】令＝A，＝B；
原式＝A×（B＋）－（A＋）×B
＝AB＋A－AB－B
＝A－B
＝×（A－B）
＝×[（）－（）]
＝×[]
＝×1
＝
【对应练习1】
简便计算。
【答案】
【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。
【详解】假设，
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
【答案】
【详解】（ ++）×（++）﹣（+++）×（+）
＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+）
＝×+（+）×﹣×（+）
＝×
＝.
【考点十三】简便计算其十三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。
【方法点拨】
1.裂项法。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。
2.常用裂项法公式。
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥。
【典型例题1】其一。
观察下列等式：
，，，
请将以上三个等式两边分别相加得：
。
（1）猜想并写出：( )。
（2）( )。
（3）探究并计算：( )。
（4）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；
（4）先拆项，再抵消结果即可求解。
【详解】（1）
＝
＝
【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。
【对应练习1】
简便计算。
＋＋
【答案】
【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。
【详解】＋＋
＝＋＋
＝（－＋－）
＝（）
＝
＝
【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。
【对应练习2】
简便计算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【典型例题2】其二。
简便计算。
解析：
【对应练习】
简便计算。
+++…+
【答案】
【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．
解：+++…+
=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣
=
点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．
【典型例题3】其三。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答。
【对应练习】
简便计算。
【答案】39
【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝39＋
＝39
【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便．
【典型例题4】其四。
简便计算。
解析：
【对应练习】
简便计算。
解析：
【典型例题5】其五。
简便计算。
【答案】
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。
【详解】
＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋
＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）
＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）
＝38＋（1－）
＝38＋
＝
【对应练习】
计算。
【答案】
【详解】原式
【典型例题6】其六。
计算。
。
【答案】
【分析】由于，所以题目中的式子可变形为：
，根据分数裂项变形可得：
，一加一减抵消后可得，最后通分计算即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】此题考查了分数连续相加求和与分数裂项求和的变形，主要是掌握是解题的关键。
【对应练习】
计算。
【答案】
【详解】略
【考点十四】分数乘法与定义新运算。
【方法点拨】
1.定义新运算。
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
2.解题方法。
解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。
3.注意事项。
（1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如： 、▲、 、◎等，它们并不表示实际意义。
（2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。
【典型例题】
定义新运算：已知△3＝，△2＝。求△4－△4的值。
【答案】
【分析】定义新运算的一般解题步骤：
（1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。
（2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（3）求解。
观察可知，运算符号前面的分数表示第一个乘数，后面的数表示乘数的个数，且分母从第一个乘数开始依次增加1，分子都是1，据此根据定义新运算的一般解题步骤计算即可。
【详解】△4－△4
【对应练习1】
定义新运算：设，求。
【答案】
【分析】根据题目中所给的公式，这里面a＝，b＝，把这两个数代入到4a－2b＋ab这个公式里即可。
【详解】＝4×－2×＋××
＝－＋
＝
【对应练习2】
定义新运算：若，则( )。
【答案】0.1
【分析】根据题意可知，a＝8，b＝3，c＝，d＝0.2，代入ad－bc的式子中，计算出结果即可。
【详解】8×0.2－3×
＝1.6－1.5
＝0.1
若，0.1。
【点睛】本题考查含有字母式子的求值，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后按照新定义的算式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
【对应练习3】
定义新运算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝( )。
【答案】101
【分析】根据所给出的等式：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，找到新的运算法则，由此方法计算x◎7＝37求出x的值，再求出◎（x◎4）的值即可。
【详解】解：x◎7＝37
3x＋4×7＝37
3x＝9
x＝3
◎（x◎4）
＝◎（3◎4）
＝◎（3×3＋4×4）
＝◎25
＝×3＋4×25
＝1＋100
＝101
【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。
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