1.3 集合的基本运算 11 题型分类
一、并集
【思考 1】“x∈A 或 x∈B”包含哪几种情况？
“x∈A 或 x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但 x B；x∈B，但 x A；x∈A，且 x∈B.用
Venn 图表示如图所示．
【思考 2】集合 A∪B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数和？
不等于，A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素个数和．
二、交集
【特别提醒】
交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ 。
三、全集
1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
2.记法：全集通常记作 U.
【思考】全集一定是实数集 R 吗？
全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，
全集为实数集 R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集 Z.
四、补集
对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的
自然语言
集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
图形语言
【特别提醒】
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集
的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合 A 的补集的前提是 A
为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)符号 UA 有三层意思：
①A 是 U 的子集，即 A U；
② CUA表示一个集合，且( CUA ) U；
③ CUA是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且 x A}．
(4)若 x∈U，则 x∈A 或 x∈ CUA，二者必居其一．
五、运算律
(1) 交换律 A B = B A，A B = B A；
(2) 结合律 (A B) C = A (B C)，(A B) C = A (B C)；
(3) 分配律 (A B) C = (A C) (B C)，(A B) C = (A C) (B C)；
(4) 德摩根律 U(A B) = ( UA) ( UB)， U(A B) = ( UA) ( UB).
（一）
并集的运算
1、求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助 Venn 图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
2、集合并集运算应注意：
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．
(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
题型 1：求两个集合的并集
1-1．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知集合 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，则 AU B =（ ）
A． -1,1,2 B． 0,1,2 C． -1,0 D． -1,0,1,2
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，
所以 A B = -1,0,1,2 .
故选：D
1-2．（2024 高一下·浙江·期中）设集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，则 AU B =（ ）
A． -1,3 B． - , 4 C． 0,3 D． -1,4
【答案】D
【分析】由集合的并集即可得出答案.
【详解】集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，
则 AU B = -1,4
故选：D.
1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合 A = x -2 < x < 2 ，B = x 0 < x 3 ，则 AU B =（ ）
A． x -2 < x 3 B． x 0 < x < 2 C． x -2 < x 0 D． x 2 < x < 3
【答案】A
【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.
【详解】根据并集的运算可知， A B = x -2 < x < 2 x 0 < x 3 = x -2 < x 3 .
故选：A.
题型 2：利用并集运算求参数
2-1．（2024 高二下·江西景德镇·期中）设集合M = x - 3 < x < 7 ， N = x 2 - t < x < 2t +1, t R ，若
M N = M ，则实数 t的取值范围为（ ）
t 1 1A． B． < t < 3 C． t≤3 D． t 3
3 3
【答案】C
【分析】根据M N = M ，可得 N M ，再分 N = 和 ≠ 两种情况讨论即可.
【详解】因为M N = M ，所以 N M ，
1
当2 - t 2t +1，即 t 时， N = M ，符合题意；
3
当 ≠ 时，
ì2t +1 7
则 í2 - t -3
1
，解得 < t 3，
3
2t +1 > 2 - t
综上所述实数 t的取值范围为 t≤3 .
故选：C.
2-2．（2024 高三·全国·课后作业）已知集合 A = x - 2 x 7 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且 AU B = A，则
实数 m 的取值范围是 ．
【答案】m 4
【分析】分析可知B A，分B = 、B 两种情况讨论，根据B A可得出关于实数m 的不等式（组），
综合可得出实数m 的取值范围.
【详解】因为 AU B = A，则B A .
当m +1 > 2m -1时，即当m < 2时，B = A，满足题意；
当m +1 2m -1时，即当m≥ 2 时，B ，
ìm +1 -2
由B A可得 í ，解得-3 m 4，此时 2 m 4 .
2m -1 7
综上所述，m 4 .
故答案为：m 4 .
2-3．（2024 高一上·山西晋中·阶段练习）已知 A = {-1， 2}，B = {x | mx +1 = 0}，若 AUB = A，则实数m 的取
值所成的集合是 ( )
ì 1 ü ì 1 ü ì
A． í-1, B． í- ,1 C． í-1,0,
1 ü ì 1
D． í- ,0,1
ü
2
2 2 2
【答案】D
【分析】 AUB = A，可得B A，B = ，{-1}，{2}．对m 分类讨论即可得出．
【详解】Q AUB = A，\B A，\B = ，{-1}，{2}．
m = 0时，B = ，满足条件．
m 0 时，-m +1 = 0，或 2m +1 = 0，
1
解得m =1或- ．
2
1
综上可得：实数m 的取值所成的集合是{0，1， - }2 ．
故选：D
（二）
交集的运算
1、求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所
覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
2、求集合 A∩B 的步骤：
(1)搞清集合 A，B 的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；
(3)把集合 A，B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为 )
题型 3：求两个集合的交集
3-1．（2024 高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合 A = x x - 2 2x +1 0 ，B = x x＜1 ，则 AI B =（ ）
ìx 1 x 1ü ì 1 üA． í - B． íx - x＜1
2 2
ì 1 ü
C．{ |1 ≤ ≤ 2} D． íx x - 2
【答案】B
【分析】先化简集合，再结合集合的交集运算法则进行计算即可.
ì 1 ü
【详解】由题意得， A = x x - 2 2x +1 0 = íx - x 2 ， =2 { | < 1}，
所以 A B
ìx 1 x ü= í - <12
故选：B
3-2．（2024 高二下·四川成都·期末）已知集合 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，则 AI B =（ ）
A． -2,2 B． -2, 3 C． 3,2 D． -2, +
【答案】C
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，则 A B = x 3 < x < 2 .
故选：C
3-3．（2024 高一上·云南红河·期末）设集合 A = x | 0 < x < 4 ，B = 2,3,4,5,6 ，则 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 3,4
C． 2,3,4 D． 1,2,3,4,5,6
【答案】A
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： A B = 2,3 .
故选：A
3-4．（2024·河北承德·模拟预测）已知集合 A = -1,0,1,2,3 ，B = y | y = 2x2 -1, x A ，则 AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1 C． -1,0,1 D． 0
【答案】A
【分析】由已知条件列举法表示出集合 B，由交集的定义即可求出 A B .
【详解】集合 A = -1,0,1,2,3 B = y | y = 2x2， -1, x A = -1,1,7,17 ，
AI B = -1,1 .
故选：A
题型 4：利用交集运算求参数
4-1 2．（2024·山东济宁·二模）已知集合 A = 2,5,m - m ，B = {2,m + 3}，若 AI B = B，则m =（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据 AI B = B得出m + 3 = 5 或m + 3 = m2 - m ，分别求出m 的值，并检验是否满足集合中元素的互
异性，即可得出m 的值．
【详解】因为 AI B = B，
所以m + 3 = 5 或m + 3 = m2 - m ，
当m + 3 = 5 时，即m = 2 ，
则 2 = m2 - m，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当m + 3 = m2 - m 时，m = 3或m = -1，
当m = -1时， 2 = m2 - m，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当m = 3时， A = 2,5,6 ，B = {2,6}满足题意，
所以m = 3，
故选：D．
4-2．（2024 2高二下·甘肃兰州·期末）已知集合 A = 1,2,3 ,B = 2a,a + a ．若 ∩ = {2}，则 a = ．
【答案】-2
【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.
【详解】当 2a = 2时， a =1，此时B = 2,2 不满足集合中元素的互异性，所以 a =1（舍）；
当 a2 + a = 2时，可得a = -2,a = 1（舍），
此时，B = -4,2 ，满足条件，所以 a = -2 ．
故答案为：-2
4-3 2024· · A = x | a < x < a2．（ 陕西商洛 三模）已知集合 +1, a Z ，B = {x | 2 < x < 6}，若 A B = A，则 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.
【详解】由 A B = A，得 A B ，易知集合A 非空，
ìa 2 ìa 2
a2
则 í +1 6 í- 5 a 5 ，
a Z a Z
解得 a = 2．
故选：B.
（三）
补集的基本运算
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
题型 5：求两个集合的补集
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）设全集U = 0,1,2,3,4 ，集合 A = x U x - 2 <1 ，则 U A =（ ）
A． x 1< x < 3 B． x 1< x 3 C． 2 D． 0,1,3,4
【答案】D
【分析】先化简集合 A，然后根据补集的定义即可求解.
【详解】根据集合A 的定义，绝对值的意义可知，逐一带入 x = 0,1,2,3,4到 x - 2 < 1中，
只有 x = 2符合，于是 A = {2}，所以 U A = 0,1,3,4 .
故选：D.
5-2．（2024 高二下·贵州·阶段练习）已知集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，则 AB =（ ）
A． 2,4,5 B． x 2 x < 3或 4 x 5
C． x 2 x 3或 4 x 5 D． x 2 x < 3或 4 < x 5
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合 AB .
【详解】因为集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，故 AB = x 2 x < 3或 4 x 5 .
故选：B.
ì n 1 ü ì n ü
5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合M = íx x = + , n Z ， N = íx x = , n Z ，则 2 4 N
M = （ ）
4
ìx x n , n ZüA． B． í =
2
ì
C． íx x
3n
= ,n Zü D． x x = 2n,n Z
4
【答案】B
1
【分析】根据两集合中的元素特征可知，集合M , N 分别表示的是 4 的奇数倍和整数倍，根据补集运算可知
M 1N 表示的应是 的偶数倍.4
n 1 2n +1 1
【详解】由题意可知， x = + = = 2n +1 , n Z 1，可知集合M 表示的是 的奇数倍，
2 4 4 4 4
而由 x
n
= , n Z 1可知，集合 N 表示的是 4 的整数倍，4
即 N
ì
= M íx x
2n ü ì 2n n ü
= , n Z ，所以 N M = íx x = = , n Z4 4 2
.
故选：B
5-4．（2024 高三上·海南·期末）设全集U = {x Z || x |< 3}，集合 A = {x | x3 - x = 0}，则 U A =（ ）
A． -2,0,2 B． -2,2,3
C． -2,2 D． -3,-2,2,3
【答案】C
【分析】利用补集定义即可求出结果.
【详解】U = {x Z | x < 3} = {x Z | -3 < x < 3} = -2, -1,0,1,2 ，
A = {x | x3 - x = 0} = {x | x(x -1)(x +1) = 0} = -1,0,1 ，
U A = -2,2 .
故选:C.
题型 6：利用补集运算求参数
6-1．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）设集合 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}， U B = {1,2,3,4}，则集合 B＝ ．
【答案】{5,6,7,8}
【分析】首先由A 和 U A求出全集U ，再根据 U B ，即可求出 B ．
【详解】因为 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}，
所以U = A U A = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
又因为 U B = {1,2,3,4}，
所以B = {5,6,7,8}，
故答案为：{5,6,7,8}．
6-2．（2024· 2辽宁鞍山·模拟预测）设全集U = 2,4,a ，集合 A = 4, a + 2 ， U A = a ，则实数 a的值为
（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0 或 2
【答案】A
【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】由集合 A = 4, a + 2 知， a + 2 4，即 a 2，而 U A = a ，全集U = 2,4,a2 ，
ìa2 = a
因此， í ，解得 a = 0，经验证 a = 0满足条件，
a + 2 = 2
所以实数 a的值为 0.
故选：A
6-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集U = {x |1 x 5}, A = {x |1 x < a}，若 U A = {x | 2 x 5}，则 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合U = {x |1 x 5}， A = {x |1 x < a}，
因为 U A = {x | 2 x 5}，可得 a = 2 .
故选：B.
（四）
集合交、并、补集的综合运算
1、解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求
解.在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解.
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补
集的运算.解答过程中要注意边界问题.
2、涉及“B A”或“ B A且 A≠ ”的问题，一定要分 B＝ 和 B≠ 两种情况进行讨论，其中 B＝ 的情况易被
忽略，应引起足够的重视．
3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能
够取到.
题型 7：利用集合的交并补运算求集合
7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集U = -1,0,1,2,3 ，集合 A = -1,0, 2 ，B = 0,1 ，则 U A U B =
（ ）
A． 2 B． 3 C． -1,1,2,3 D． -1,0,1,2
【答案】B
【分析】根据集合运算的定义计算．
【详解】由已知 U A = {1,3}， U B = {-1,2,3}，
所以 U A U B = {3}，
故选：B．
7-2．（2024·天津南开）已知集合 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，求 R (A B)， R (AI B)，( R )
∩ ， AU R B .
【答案】答案见解析.
【分析】直接利用集合的交、并、补运算即可求解
【详解】因为 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 A B = x 2 < x <10 ,所以 R A B = x | x 2或x 10 ；
因为 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 A B = x 3 x < 7 ,所以 R A B = x | x < 3或x 7 ；
因为 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 R A = x | x < 3或x 7 ，所以 R A B = x | 2 < x < 3或7 x <10 ；
因为 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 R B = x | x 2或x 10 ，所以 A R B = x | x 2或3 x < 7或x 10 .
7-3．（2024·天津）设集合U = {x N | 0 < x 8}， S = {1,2,4,5}，T = {3,5,7}，则 S I ( UT ) =
A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
【答案】A
【详解】因为 UT = 1,2,4,6,8 ，所以 S I ( UT ) = {1,2,4}，选 A．
题型 8：利用集合的交并补集运算求参数范围
8-1．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = x a < x < a +1 ，B = x - 2 x 0 .
(1)若 a =1，求 AU B ；
(2)已知 R B I A = ，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) x - 2 x 0或1< x < 2
(2) -2, -1
【分析】（1）根据并集定义直接求解即可；
（2）根据补集定义可得 R B ，由交集结果可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）当 a =1时， A = x 1 < x < 2 ，又B = x - 2 x 0 ，
\ A B = x - 2 x 0或1< x < 2 .
（2）由题意知： RB = x x < -2或 x > 0 ，
ìa -2Q R B I A = ，\ía 1 0，解得：-2 a -1， +
即实数 a的取值范围为 -2, -1 .
8-2．（2024 高三上·山西·阶段练习）设集合 A = {x∣x < 2或 x 4}, B = x∣a x a +1 ，若 R A I B = ，则
a的取值范围是（ ）
A．a 1或 a > 4 B． a <1或 a 4
C． a <1 D． a > 4
【答案】B
【分析】先求出 R A，根据 R A I B = ，可求得结果.
【详解】由集合 A = {x∣x < 2或 x 4}，得 R A = {x∣2 x < 4}，又集合B = x∣a x a +1 且 R A I B = ，
则 a +1< 2 或 a 4，即 a <1或 a 4 .
故选：B.
8-3．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = {x | a -1 x a +1}，B
x - 5
= ìíx | 0
ü
.
x + 3
(1)若 a = -3，求 AU B ；
(2)已知B R A = R ，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) A B = {x | -4 x 5}
(2){a | -2 < a 4}
【分析】（1）解不等式求得集合 B ，由此求得 AU B .
（2）先求得 R A，然后根据B R A = R 列不等式组，由此求得 a的取值范围.
x - 5 ì x - 5 x + 3 0
【详解】（1） 0
x + 3 í
，解得-3 < x 5 .
x + 3 0
因为 a = -3，所以 A = {x | -4 x -2}，
又因为B = {x | -3 < x 5}，所以 A B = {x | -4 x 5}．
（2）依题意， R A = {x | x < a -1或 x > a +1}，
ìa -1 > -3
由于B R A = R ，所以 ía 1 5 ，解得-2 < a 4， +
所以 a的取值范围为{a | -2 < a 4}．
（五）
Venn 图的应用及集合的新定义问题
1、韦恩图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集
合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
2、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过
程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性
质的一些条件．
题型 9：韦恩图的应用
9-1．（2024 高一上·四川泸州·期末）设全集U 及集合M 与 N ，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M N B．M N
C． U M I N D． U M U N
【答案】D
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为 U M U N ．
故选：D．
9-2．（2024 高一下·湖北黄冈·期中）设集合 A = {x | -1 x 2}，B = {x | 0 x 4}，则Venn 图阴影区域表示
的集合是（ ）
A．{x | 0 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 0 x 4} D．{x |1 x 4}
【答案】A
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，Venn 图阴影区域表示的集合是 A B ,
所以 AI B = {x | -1 x 2}I{x | 0 x 4} = {x | 0 x 2} .
故选：A.
9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合M = 1,2,3,4,5 ，N = {1,3,5,7,9}，且M ，N 都是全集U 的子集，
则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2,4} B．{1,3,5}
C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}
【答案】C
【分析】依题意图中阴影部分表示的集合为 N M I N ，根据交集、补集的定义计算可得.
【详解】因为M = 1,2,3,4,5 ， N = {1,3,5,7,9}，
所以M N = 1,3,5 ，图中阴影部分表示的集合为 N M I N ，
所以 N M I N = 7,9 .
故选：C
题型 10：容斥原理
10-1．（2024 高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，
参加比赛的同学中，参加田赛的有17人，参加径赛的有 23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】结合 Venn 图即可求解.
【详解】由题可得参加比赛的学生共有 30 人，
设参加田赛的学生为集合 A，参加径赛的学生为集合 B ，
则 card(A) =17 ， card(B) = 23， card(A B) = 30，
如图，因为 card(A B) = card(A) + card(B) - card(A B)，
所以田赛和径赛都参加的学生人数为17 + 23- 30 =10 .
故选：C.
10-2．（2024 高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用 card A 表示有限集合
A 中元素的个数.例如， A = a,b,c ，则 card A = 3 .容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有 A, B,C 三类，
那么， card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC .某
校初一四班学生 46 人，寒假参加体育训练，其中足球队 25 人，排球队 22 人，游泳队 24 人，足球排球都
参加的有 12 人，足球游泳都参加的有 9 人，排球游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？（教
材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.
【详解】设集合 A = {参加足球队的学生}，
集合B = {参加排球队的学生}，
集合C = {参加游泳队的学生}，
则 card A = 25,card B = 22,card C = 24 ，
card AI B =12,card B IC = 8,card AIC = 9
设三项都参加的有 x 人，即 card AI B IC = x， card AU B UC = 46，
所以由 card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC
即 46 = 25 + 22 + 24 -12 -8 - 9 + x ，
解得 x = 4，
三项都参加的有 4 人，
故选：C.
10-3．（2024 高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴
趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占 90％，对物理感兴趣的占 56％，对历史感兴趣的
占 74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
【答案】C
【分析】根据公式 card A B = card A + card B - card A B 列方程求解即可.
【详解】对物理感兴趣的同学占 56％，对历史感兴趣的同学占 74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为 x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是 56％＋74％－x，
所以 56％＋74％－x＝90％，
解得 x = 40％，
故选：C.
题型 11：集合新定义问题
11-1．（2024 高一上·湖南·期中）已知集合P = {1,3,4,6,8,9}，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一
个元素m 都乘 (-1)m 再求和，例如 A = {3,4,6}，则可求得和为 (-1)3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 = 7 ，对 P 所有非
空子集，这些和的总和为（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
【答案】B
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加
【详解】因为元素1，3， 4，6 ，8，9在集合 P 的所有非空子集中分别出现 25次，
则对 P 的所有非空子集中元素m 执行乘 (-1)m 再求和，
5 1
则这些和的总和是 2 é (-1) 1+ (-1)
3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 + (-1)8 8 + (-1)9 9 ù =160．
故选：B.
ì x 2 ü
11-2．（2024 高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算： A B = í x, y A, B .若集合
2 y
A ì= B = x N 1 < x < 4 ，C = í x, y y 1 x 5ü= - + ，则 A B C = （6 3 ）
A． B． 4,1 ì 1, 3 ü ì 4,1 , 6, 2 üC． í ÷ D．2 í ÷ è è 3
【答案】D
【分析】由题意可得 A = B = 2,3 2，从而可得 x = 4或 x = 6， y =1或 y = ，再根据新定义得
3
A B ì 2 = 2 ü 1 5í 4,1 , 4, ÷ , 6,1 ,3 6, ÷ ，再代入 y = - x + 验证即可得答案. è è 3 6 3
【详解】因为 A = B = 2,3 x x，所以 = 2或 = 3,
2 2
2 2
所以 x = 4或 x = 6， = 2 或 = 3,y y
y 1 2 A B ì 4,1 , 4, 2 , 6,1 , 6, 2 ü所以 = 或 y = ，\ =
3 í 3 ÷ 3 ÷
，
è è
1 5 2
代入 y = - x + 验证得点 4,1 , 6, ÷在该直线上，6 3 è 3
故 A B IC ì= 2 üí 4,1 , 6, ÷ .
è 3
故选：D.
11-3．（2024 高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合A 和 B ，我们把集合 x∣x = a + b, a A,b B 记作
A* B .若集合 A = 0,1 , B = 0,-1 ，则 A* B 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】计算 A* B = 0, -1,1 ，得到元素个数.
【详解】 A = 0,1 , B = 0,-1 ，则 A* B = 0, -1,1 ，则 A* B 中元素的个数为3
故选：C
11-4．（2024 高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，
A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”．已知集合B = -7, -3, -1,1,2,3,4,5,6,7,13 ，则 B 的“小
和数”为 ， B 的“大和数”为 ．
【答案】 30 30720
【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合 B 的 211个子集，分为M 与M ，其中
M U M = B ，M I M = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为 B 的“小和数”，即可求解.
【详解】根据题意， B 的“小和数”为-7 + -3 + -1 +1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +13 = 30 ，
集合 B 共有 11 个元素，则一共有 211个子集，
对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M U M = B ，M I M = ，
且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为 B 的“小和数”，
211
这样的子集对共有 = 210 个，
2
其中当M = B时，M = ，则子集对有 210 -1，
10
则 B 的“大和数”为 2 -1 30 + 30 = 30720 .
故答案为：30；30720
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合 A = a,5 - a, 4 ，B = 3,2a +1 ， A B = 2,3,4,5 ，则 a =（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据并集的结果，分类讨论当2a +1 = 2、 2a +1 = 5时集合 A、B 的情况，即可求解.
【详解】 A = {a,5 - a, 4}, B = {3,2a +1}, AU B = {2,3,4,5}，
1
当2a +1 = 2 1 9即 a = 时， A = { , , 4}, B = {3,2}，不符合题意；
2 2 2
当 2a +1 = 5即 a = 2时， A = {2,3,4}, B = {3,5}，此时 A B = {2,3,4,5} .
所以 a = 2 .
故选：B.
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，且 M，N 都是全集 U 的
子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． x | - 3 x 1 B． x | -3 x 1 C． x | -3 x < - 3 D． x |1 < x 3
【答案】C
【分析】根据韦恩图可得阴影部分表示 N U M ，进而即得.
【详解】由韦恩图可知阴影部分表示 N U M ，
∵ M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，
∴ N U M = x -3 x < - 3 ．
故选：C.
3．（2024 高二下·湖南·期中）已知全集U = R ，集合 A = x Z 0 < x 2 ，B = -1,0,1,2,3 ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． -2,0 B． -2,3 C． -2,0,2 D． -2,0,3
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】全集为 U，集合 A = -2, -1,1,2 ，B = -1,0,1,2,3 ， A B = -1,1,2 , A B = -2,-1,0,1,2,3 ,图中
阴影部分表示是 AU B 去掉 A B 的部分，故表示的集合是 -2,0,3 ．
故选：D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知全集U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 , B = 3,4,5 ，则 U A U B =（ ）
A．U B． 1,2,4,5 C． 3 D．
【答案】D
【分析】由补集的定义求出 U A， U B ，再由交集的定义即可求解.
【详解】因为U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 ， U A = 4，5 ，
B = 3,4,5 ， U B = 1,2 ，
故 U A U B = .
故选：D.
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知 A = 1,2,a + 3 , B = a,5 ，若 AU B = A，则 a =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据并集的知识求得 a .
【详解】由于 AU B = A，所以 a + 3 = 5, a = 2，
此时 A = 1,2,5 , B = 2,5 ，满足 AU B = A .
故选：C
6．（2024 高三下·湖南·阶段练习）已知集合U = 1,2,3,4,5,6 ， A = 2,4,6 ，B = 1,2,3,6 ，则 AI U B
（ ）
A． 3 B． 6 C． 4 D． 2,3,4,6
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义求解即可.
【详解】由题可得 U B = 4,5 ，则 AI U B = 4 .
故选：C.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集R ，集合 A = x∣0 x 6 , B = {x∣x > 5}，则 RB A = （ ）
A．{x∣0 x < 5} B． x∣0 x 5 C．{x∣x < 6} D． x∣x 6
【答案】B
【分析】根据题意，由交集，补集的运算，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得， R B = x∣x 5 ，所以 R B A = x∣0 x 5 ；
故选：B.
8．（2024 高二下·天津河北·期末）设全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合 A = -2,-1 ，集合B = -2, -1,0,1 ，则
U A B =（ ）
A． -2, -1 B． -2, -1,2
C． 0,1 D． -2, -1,0,1,2
【答案】C
【分析】根据集合的运算法则求解即可.
【详解】因为U = -2,-1,0,1,2 ， A = -2,-1 ，
所以 U A = 0,1,2 ，
又B = -2, -1,0,1 ，
所以 U A B = 0,1 ，
故选：C.
9．（2024·山东烟台·二模）已知集合 A = x x < 3 ，B = x x = 2k ,k Z ，则 AI B =（ ）．
A． -2,2 B． -2,0,2
C． -2, -1,1,2 D． -2, -1,0,1,2
【答案】B
【分析】先求出集合A ，再利用集合的运算即可求出结果.
【详解】因为 A = x x < 3 ，由 x < 3，解得-3 < x < 3，即 A = x -3 < x < 3 ，又B = x x = 2k ,k Z ，所
以 AI B = -2,0,2 ，
故选：B.
10．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）设集合 A = 0,1,2,3 ，B = 2,3,4,5 ，则 AI B =（ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3 D． 3,4
【答案】B
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】由题， A B = 2,3 .
故选：B
11．（2024 高二下·北京海淀·期末）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，则 AI B =（ ）
A． 0 B． -1,0
C． 0,1 D． -1,0,1
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求得集合 A B .
【详解】因为集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，则 A B = -1,0 .
故选：B.
12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合M , N ，满足M = M N ，则（ ）
A． B． N M C． N M D．M N
【答案】B
【分析】由集合的包含关系判定即可.
【详解】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故 C、D 错误，而M = M N 说明 N 中元素
都在集合M 中，故 N M .
故选：B.
13．（2024·天津）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，则 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
【答案】A
【分析】对集合 B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由 U B = {3,5}，而 A = {1,3}，
所以 U B U A = {1,3,5} .
故选：A
14．（2024 高二下·广西· *期中）已知集合 A = {-1,0,1,2}，B = x∣-1< x < 2, x N ，则 AU B 中的元素个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由题设 B = 1 ，所以 AU B = {-1,0,1,2}，故其中元素共有 4 个．
故选：B
15．（2024·四川成都·模拟预测）设集合 A = x N -1 x 2 ，B = -2, -1,0,1 ，则 AI B =（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1 C． 0,1 D． 1
【答案】C
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为 A = x N -1 x 2 = 0,1,2 ，又B = -2, -1,0,1 ，
所以 A B = 0,1 .
故选：C
16．（2024 高一上·江西景德镇·期中）集合 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，则 AU B =（ ）2
A 1． | 2 < ≤ 8 B．{ |0 < ≤ 10}
C 1 1． | D．2 ≤ < 8 | 2 < ≤ 10
【答案】B
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，所以 AU B = { |0 < ≤ 10}.2
故选：B.
17．（2024 2高三上·辽宁沈阳·期中）设全集U = 2,3,m + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，则m =（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．-4
【答案】B
【分析】根据题意可确定m2 + m - 2=4，求得 m 的值，检验后确定答案.
【详解】由题意全集U = 2,3,m2 + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，
可得m2 + m - 2=4，解得m = -3或m = 2 ，
当m = -3时， | m +1|= 2，则 A = 2,2 不合题意，
m = 2 时， A = 2,3 ， U A = 4 ，符合题意，故m = 2 ，
故选：B.
18．（2024 高三·全国·专题练习）如图， I 是全集，A ， B ，C 是 I 的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）
A． A B C B． A C I B
C． A B IC D．B C I A
【答案】B
【分析】
根据集合的运算判断各选项对应的区域，由此判断结论.
【详解】如图所示，对于 A， A B C 对应的是区域 1；
对于 B， A C I B 对应的是区域 2；
对于 C， A B IC 对应的是区域 3；
对于 D，B C I A 对应的是区域 4．
故选：B．
19．（2024·辽宁朝阳· 2模拟预测）设全集U = -2,-1,0,1,2 ， A = x x -1 = 0 ，B = x x -1 x - 2 = 0 ，则
图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． -1,1,2 B． -2, -1,0,2
C． 1 D． -2,0
【答案】D
【分析】首先求出集合A 、 B ，图中阴影部分为 U AU B ，根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】由 x2 -1= 0，解得 x =1或 x = -1，所以 A = x x2 -1 = 0 = 1,-1 ，
由( 1)( 2) = 0，解得 x =1或 x = 2，所以B = x x -1 x - 2 = 0 = 1,2 ，
所以 A B = -1,1,2 ，又U = -2,-1,0,1,2 ，则图中阴影部分为 U AU B = -2,0 .
故选：D
20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集 = ，若集合 A = x 2x - 3 < 0 ，B = 0,2,3 ，则 U A B =（ ）
A． 0 B． 0,2 C． 2,3 D． 3
【答案】C
【分析】根据题意，将集合A 化简，然后结合集合的运算即可得到结果.
【详解】因为 A = x 2x - 3 < 0 ，即 A = - , 3 ÷，且B = 0,2,3 ，
è 2
3
则 A =
é
U ê ,+
÷，所以 U A B = 2,3 .
2
故选:C
21．（2024·北京房山·二模）已知集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 ，则（ ）
A． A B = x -2 x < 3 B． A B = x -2 x < 3
C． A B = x -1 < x < 2 D． A B = x x < 3
【答案】B
【详解】根据题意，将集合 B 化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.
【解答】因为集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 = x -2 x 2 ，
所以 A B = x -1 < x 2 ，故 AC 均错误；
A B = x -2 x < 3 ，故 B 正确，D 错误．
故选：B．
22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合 A = x x - 2 > 0 ，B = x -1< x < 4 ，则集合 AU B =（ ）
A． -1,4 B． x x > 2
C． -1,4 D． -1, +
【答案】D
【分析】根据集合并集概念课直接得到.
【详解】 A = x x - 2 > 0 = x x > 2 ，
A B = x x > 2 x -1< x < 4 = x x > -1
故选：D.
23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合M = x -1 < x 3, x Z ， N = -1,0,1,2 ，则M I N = （ ）
A． x -1< x 2 B． -1,0,1,2 C． 0,1,2 D． -1,0,1,2,3
【答案】C
【分析】化简集合M ，根据交集的定义求解即可.
【详解】因为M = x -1 < x 3, x Z ，
所以M = 0,1, 2,3 ，又 N = -1,0,1,2 ，
所以M I N = 0,1,2 .
故选：C.
24．（2024·浙江·二模）若集合M = x 2x > 3 ， N = 1,2,3,4 ，则M I N = （ ）
A． 1,2 B． 3,4
C * *． x 1 < x < 5, x N D． x 1 x 4, x N
【答案】C
3
【分析】求得集合M = {x | x > }，根据集合的交集运算可得答案.
2
【详解】由题意得M = x 2x > 3 3= ì üíx x ， N = 1,2,3,4 ，
2
故M N = 2,3,4 = x 1< x < 5, x N* ，
故选：C
25．（2024 高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合 A = {-1,1}，B = {x | mx =1}，且 AU B = A，则m 的值为
（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-1或0 D．1或-1或 2
【答案】C
【分析】利用 A B = A B A，讨论三种情况，分别求得m 的值即可．
【详解】Q A B = A,∴B A
\B = ； B = {-1}； B = {1}
当B = 时，m = 0
当B = {-1}时，m = -1
当B = {1}时，m =1
故m 的值是 0；1；-1
故选：C．
【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的子集，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．
26．（2024·全国·三模）如图所示的 Venn 图中，A 、 B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集
合．若 A = x x = 2n +1,n N,n 4 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，则 A B = （ ）
A． 2,4,6,1 B． 2,4,6,9 C． 2,3,4,5,6,7 D． 1,2,4,6,9
【答案】D
【分析】分析可知 A B = x x A B , x A B ，求出集合A 、 AU B 、 A B ，即可得集合 A B .
【详解】由韦恩图可知， A B = x x A B , x A B ，
因为 A = x x = 2n +1,n N,n 4 = 1,3,5,7,9 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，
则 AU B = 1,2,3,4,5,6,7,9 ， AI B = 3,5,7 ，因此， A B = 1,2,4,6,9 .
故选：D.
27．（2024 高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有 26 名学生参加数学竞赛，25
名学生参加物理竞赛，23 名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名，只参加数、物两
科的有 6 名，只参加物、化两科的有 8 名，只参加数、化两科的有 5 名．若该班学生共有 51 名，则没有参
加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有
参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有 26 名学生参加数学竞赛，25 名学生参加物理竞赛，23 名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有 7 名，只参加数、化两科的有 5 名，
只参加数、物两科的有 6 名，只参加物、化两科的有 8 名，
所以单独参加数学的有 26 - 6 + 7 + 5 = 8人，
单独参加物理的有 25 - 6 + 7 + 8 = 4 人，单独参加化学的有 23- 5 + 7 + 8 = 3，
故参赛人数共有8 + 4 + 3 + 6 + 7 + 8 + 5 = 41人，
没有参加任何竞赛的学生共有51- 41 =10 人.
故选：D.
28．（2024 高一上·四川绵阳·期末）如果全集U = {x N * | x < 5}，M = {1,2}，则 U M =
A． B．{1,2} C．{3,4} D．{0,3, 4}
【答案】C
【分析】首先确定集合 U，然后求解补集即可.
【详解】由题意可得：U = 1,2,3,4 ，结合补集的定义可知 U M = 3,4 .
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
ì kp p ü ì
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合M = íx | x = + , k Z ，集合 N = íx x
kp p
= - , k Z ü ，则
4 4 8 4
（ ）
A．M N = B． C． N M D．M N = M
【答案】B
【分析】先分析集合 M、N，得到 ，再对四个选项一一判断.
ì kp p ü ì p
【详解】M = íx | x = + , k Z = íx | x = k +1 , k p Zü = ìíx | x = 2k + 2 , k Zü ，
4 4 4 8
N ìx | x kp p= = - , k Zü = ìx | x p= k - 2 , k Züí .
8 4
í
8
因为 2k + 2可以表示偶数，列举出为 L- 2,0，2，4，6L ，而 k - 2 可以表示全部整数.
所以
对于 A：M N = M .故 A 错误；
对于 B、C： .故 B 正确；C 错误；
对于 D：M N = N .故 D 错误.
故选：B
30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合 A = x Z -2 < x <1 , B = 0,1,2 ，则 AU B =（ ）
A． (-2,1) B．{-1,0}
C． (-2, 1] {2} D．{-1,0,1,2}
【答案】D
【分析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.
【详解】由题意可知 A = x Z -2 < x <1 = -1,0 ，又B = 0,1,2 ，
所以 AU B = -1,0 U 0,1,2 = {-1,0,1,2}．
故选：D．
31．（2024·北京西城·二模）有三支股票 A, B,C, 28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.
在不持有A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有C 股票的人数的 2 倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股
票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A
股票.则只持有 B 股票的股民人数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】通过设出只持有A 股票的人数和只同时持有了 B 和C 股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通
过持股的总人数即可求出只持有 B 股票的股民人数.
【详解】由题意，
设只持有A 股票的人数为 X ，
则持有A 股票还持有其它殸票的人数为 X -1 (图中 d + e + f 的和 )，
∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有 B 或C 股票,
∴只持有了 B 和C 股票的人数和为 X (图中b + c部分) .
假设只同时持有了 B 和C 股票的人数为 a ,
∴ X + X -1+ X + a = 28 , 即3X + a = 29 ，
则 X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,
与之对应的 a值为 2,5,8,11,14,17,20,23,26 ,
∵没持有A 股票的股民中，持有 B 股票的人数是持有C 股票的人数的 2 倍
∴ a + b = 2 a + c ，即 X - a = 3c ，
∴ X = 8,a = 5时满足题意，此时 c =1,b = 7 ,
∴只持有 B 股票的股民人数是7 ,
故选：A.
【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A 股
票的人数，利用韦恩图结合条件即得.
二、多选题
32．（2024·北京西城）已知集合 A＝{x|－1＜x≤3}，集合 B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（ ）
A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ R B＝{x|x≤－1 或 x＞2}
D．A∩ R B＝{x|2＜x≤3}
【答案】BD
【分析】先化简集合 B ，利用交集计算判断选项 A，利用并集计算判断选项 B，利用补集和并集判断选项 C，
利用补集和交集计算判断选项 D.
【详解】因为 A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
所以 A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故 A 错误；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故 B 正确；
因为 R B＝{x|x＜－2 或 x＞2}，所以 A∪ R B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2 或 x＞2}＝{x|x＜－2 或 x＞－1}，故 C
错误；
A∩ R B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2 或 x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故 D 正确.
故选：BD.
33．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合 G 关于运算 满足：（1）对任意 a，b G ，都有
a b G ；（2）存在 e G，使得对一切a G，都有a e = e a = a ，则称 G 关于运算 为“融洽集”.现给
出下列集合和运算，其中 G 关于运算 为“融洽集”的是（ ）
A．G = 有理数 ， 为实数的乘法 B．G = 非负整数 ， 为整数的加法
C．G = 偶数 ， 为整数的乘法 D．G = 二次三项式 ， 为多项式的加法
【答案】AB
【分析】根据G 是关于运算 为“融洽集”的定义，逐一分析四个集合及运算是否满足定义，可得答案．
【详解】对于A ，G = 有理数 ， 为实数的乘法满足（1），且存在 e =1满足（2），故G 是关于运算 的
融洽集，\A正确，
对于B，G = {非负整数}， 为整数的加法满足（1），且存在 e = 0满足（2），故G 是关于运算 的融洽集，
\正确，
对于C ，G = {偶数}， 为整数的乘法，若存在 e 满足（2），则 e =1为奇数，与已知矛盾，故G 不是关于运
算 的融洽集，\错误，
对于D ，G = 二次三项式 ， 为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），
故G 不是关于运算 的融洽集，\错误，
故选：AB．
34．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）已知全集U = R ，集合
A = x | -2 x 7 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，则使 A U B 成立的实数 m 的取值范围可能是（ ）
A． m | 6 m 10 B． m | -2 < m < 2
ìm | 1C． í -2 < m < -
ü
D． m | 5 < m 8
2
【答案】BC
【分析】根据B = 和B 分类讨论，求出 m 的取值范围，再判断选项即可.
【详解】①当B = 时，令m +1＞2m -1，得m＜2，此时 U B = R 符合题意；
②当B 时，m +1 2m -1，得m≥ 2 ，
则 U B = x | x < m +1或 x > 2m -1 ，
因为 A U B ，所以m +1＞7或 2m -1＜- 2 ，
1
解得m＞6或m＜- ，
2
因为m≥ 2 ，所以m＞6 .
综上，m 的取值范围为m＜2或m＞6，
故选：BC
35．（2024 高一·全国·课后作业）（多选）满足 1,3 A = 1,3,5 的集合A 可能是
A． 5 B． 1,5 C． 1,3 D． 1,3,5
【答案】ABD
【分析】根据 1,3 A = 1,3,5 分析，集合A 中一定含有元素 5，可能含有 1、3，根据情况选出答案即可
【详解】由 1,3 U 1,3,5 知， A 1,3,5 ，且A 中至少有 1 个元素 5，故选 ABD.
【点睛】本题考查根据集合的并集结果求出某一集合的方法，抓住集合的互异性快速锁定元素 5 集合A 中
必须含有元素是解题关键
36．（2024 高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集 U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}． U A＝{x|ax－1＝0}，则
实数 a 的值为（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
3 5
【答案】ABC
【分析】首先求集合U ，再结合补集的定义，讨论 a = 0和 a 0两种情况，求实数 a的取值范围.
【详解】U＝{3，5}，若 a＝0，则 U A = ，此时 A＝U；
ì1 ü
若 a≠0，则 U A＝ ía
.
1 1
此时 ＝3 或 ＝5，
a a
1 1
∴a＝ 或 a＝ .
3 5
1 1
综上 a 的值为 0 或 或 .
3 5
故选：ABC
37．（2024 高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合
M = {x | x = 6k + 2，k Z}，N = {x | x = 6k + 5，k Z}，P = {x | x = 3k + 2，k Z}，则 （ ）
A．M N B．M N＝P C．M＝P D． PM＝N
【答案】BD
【分析】M = {x | x = 6k1 + 2，k1 Z}，N = {x | x = 6k2 + 5，k2 Z}，P = {x | x = 3k3 + 2，k3 Z}
对 A，由6k1 + 2 = 6k2 + 5 k k
1
1 = 2 + ，等式不成立即可判断；2
对 BCD，当 k3 为奇数时，令 k3 = 2k2 +1，则3k3 + 2 = 6k2 + 5；当 k3 为偶数时，令 k3 = 2k1，则3k3 + 2 = 6k1 + 2
即可判断
【详解】M = {x | x = 6k1 + 2，k1 Z}，N = {x | x = 6k2 + 5，k2 Z}，P = {x | x = 3k3 + 2，k3 Z}，
对 A，由6k1 + 2 = 6k2 + 5 k1 = k
1
2 + ，等式不成立，故M N = ，A 错；2
对 BCD，当 k3 为奇数时，可令 k3 = 2k2 +1，则3k3 + 2 = 6k2 + 5；当 k3 为偶数时，可令 k3 = 2k1，则
3k3 + 2 = 6k1 + 2 .
故M N＝P ，且 N = PM ，BD 对 C 错；
故选：BD
38．（2024 高一上·全国·单元测试）已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的
是（ ）
A．P Q ={1} B．P Q ={1,2,3,4,5,6}
C． U P U Q ={1,2,4,6} D．P I UQ ={3,5}
【答案】ACD
【分析】根据集全的交并补运算求解.
【详解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，
∴ P Q ={1}，P Q ={1,2,3,4,5}.
又 U P ={2,4,6}， U Q ={3,5,6}，
∴ U P U Q ={1,2,4,6}，
P I UQ ={3,5}.
故选：ACD.
39．（广东省东莞市东莞高级中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）设
A = x x2 -8x +12 = 0 ，B = x ax -1 = 0 ，若 AI B = B，则实数 a的值可以是（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
6 2
【答案】ABC
【分析】根据题意可以得到B A，进而讨论 a = 0和 a 0两种情况，最后得到答案.
【详解】由题意， A = 2,6 ，因为 AI B = B，所以B A，
若 a = 0，则B = f ，满足题意；
a 0 B = ì
1 ü 1 1 1 1
若 ，则 í ，因为B A，所以 = 2或 = 6，则 a = 或 a = .
a a a 2 6
1 1
综上： a = 0或 a = 或 a = .
2 6
故选：ABC.
三、填空题
40．（2024 高一上·全国·课后作业）已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | > }．
（1）若 AI B ，实数 a的取值范围是 ．
（2）若 A B A，实数 a的取值范围是 ．
（3）若 A B = B ，实数 a的取值范围是 ．
【答案】 (- , 4) -2, + (- ,-2)
【分析】①根据集合间的运算求实数 a的取值范围；②利用取反思想，先求 A B = A时，实数 a的取值范
围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若 AI B ，得 a < 4，所以实数 a 的取值范围是 (- , 4)；
②因为 A B = A，即 A B ，所以 a < -2，所以若 A B A，则 a -2，
则实数 a 的取值范围是 -2, + ；
③若 A B = B ，即 A B ，所以 a < -2，
则实数 a 的取值范围是 (- ,-2) .
故答案为：① (- , 4)；② -2, + ；③ (- ,-2) .
41．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 < x < 4 ，若 A R B ，则实数 a 的取值
范围为 ．
【答案】 (- ,1]
【分析】由条件根据补集的定义求 R B，再根据子集的定义列不等式求 a 的取值范围．
【详解】因为B = x 1 < x < 4 ，
所以 R B = x x 1或 ≥ 4}，
又 A R B ， A = x x < a ，
所以a 1，
所以 a 的取值范围为 (- ,1] .
故答案为： (- ,1] .
42．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知 A = {x | x2 + px +1 = 0, x R}，若 AI R+ = ，则实数 p 的取值集合
是 .
【答案】 -2, +
【解析】根据 AI R+ = ，得到方程 x2 + px +1 = 0没有正实数解，然后分 A = 和 ≠ 两种情况讨论求解.
【详解】Q A R+ = ，
∴方程 x2 + px +1 = 0没有正实数解，
故A 集合有两种情况：
①若 A = ，则D = p2 - 4 < 0 ，则-2 < p < 2；
ì p2 - 4…0
②若 ≠ ，则方程有两个非正数解，且 0 不是其解，则有： í ，解得 p…2
- p
.
0
综上所述， p > -2，
所以实数 P 的取值范围是 -2, + .
43．（2024 高一上·宁夏·阶段练习）已知集合 A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，若 AU B = A，
则实数 m 的取值范围
【答案】m - ，3
【分析】由 AU B = A得到B A，然后分 B 为空集和不是空集讨论，当 B 不是空集时利用端点值的关系列
不等式求解．
【详解】解：Q A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，
由 AU B = A，
\B A，
①当B = 时，满足B A，
此时m +1 > 2m -1，
∴ m < 2 ；
②当B 时，
QB A，
ìm +1 2m -1
则 ím +1 -2 ，
2m -1 5
解得 2 m 3．
综上，m - ，3 ．
故答案为：m - ，3 ．
44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，则 AU B = ．
【答案】 -1,1,3,5
【分析】由集合的并集的定义求解即可.
【详解】因为集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，
则 AU B = -1,1,3,5 .
故答案为： -1,1,3,5
45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合 A = x, y x - ay + 2 = 0 ，B = x, y ax - 4y + 4 = 0 ，若 AI B = ，
则实数 a 的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.
ìx - ay + 2 = 0
【详解】联立 íax 4y 4 0， - + =
ìx -4a + 8 = a2 - 4
解得 í ，
y 2a - 4=
a2 - 4
若 AI B = ，
则 a 2 - 4 = 0 ，
所以 =± 2.
①当 a = 2时，两个集合的条件都变为 x - 2y + 2 = 0，因此交集不为空集.
②当 a = -2 时，两个集合的条件都变为 x + 2y + 2 = 0和 x + 2y - 2 = 0，所以交集为空集.
故答案为：-2 .
四、解答题
46．（2024 高一上·陕西渭南·期中）已知集合P = x | x < -1或x > 6 ，Q = x |1- m x 1+ m ，全集为R .
(1)求集合 R P ；
(2)若 R P UQ = R P，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) x -1 x 6
(2) - , 2
【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；
(2)由 R P UQ = R P，则Q R P，然后对Q是否为空集进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）QP = x | x -1或x 6 ，
\ R P = x | -1 x 6 .
（2）由 R P UQ = R P得，Q R P，
当Q = 时，由Q = x |1- m x 1+ m ，可得1- m >1+ m，即m < 0；
当Q 时，由Q = x |1- m x 1+ m ，且Q R P，
ì1- m 1+ m
可得 í1- m -1 ，解得0 m 2，
1+ m 6
综上所述，实数 m 的取值范围为 - , 2 .
47．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）在① A B = B ；② AI B = 这二个条件中任选一个，补充到本题
第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 A = x a -1 x a +1 , B = x -1 x 3 .
(1)当 a = 2时，求 AU B ；
(2)若__________，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) x -1 x 3
(2)答案见解析
【分析】（1）求出 A = x 1 x 3 ，根据并集概念求解答案；
（2）根据并集或交集结果得到不等式，求出实数 a的取值范围.
【详解】（1）当 a = 2时，集合 A = x 1 x 3 , B = x -1 x 3 ，所以 A B = x -1 x 3 ；
（2）若选择① A B = B ，则 A B ，
因为 A = x a -1 x a +1 ，所以 ≠ ，又B = x -1 x 3 ，
ìa -1 -1
所以 í ，解得0 a 2 ，所以实数 a的取值范围是 a 0 a 2
a +1 3
若选择②， AI B = ,
因为 A = x a -1 x a +1 ，所以 ≠ ，又B = x∣-1 x 3
所以 a -1 > 3或 a +1< -1，解得 a > 4或 a < -2，
所以实数 a的取值范围是 a a > 4 或 a < -2
ì 1 ü
48．（2024 高三·全国·课后作业）已知全集为R ，集合 A = x 0 < 2x + a 3 ，B = íx - < x < 2 ，若
2
A B = A，求实数 a 的取值范围.
【答案】 -1,1 .
【分析】由 A B = A可得 A B ，由此列出不等式求出 a的取值范围．
【详解】若 A B = A，则 A B ，
A x | 0 ì a 3 - a ü 1∵ = < 2x + a 3 = ìíx - < x ，B = íx - < x < 2ü，
2 2
2
ì a 1
- -
∴ 2 2í ，解得-1 < a 13 a ， - < 2
2
∴实数 a的取值范围是 -1,1 .
49．（2024 高一上·重庆·期末）已知 a R ，集合 A = x x - a 0 ，B = x -1 x 3 .
(1)当 a = 2时，求 A B ， AU B ；
(2)若 A R B ，求 a的取值范围.
【答案】(1) 2,3 ， -1, +
(2) a > 3
【分析】（1）根据集合的交并运算求解；
（2）求出 R B ，根据 A R B 列出 a应满足的条件.
【详解】（1）当 a = 2时， A = 2, + ， AI B = 2,3 ， AU B = -1, + ；
（2） R B = - ,-1 3,+ ， A = a,+ ， A R B ，
∴ a > 3 .
ì 1 ü
50．（2024 高一上·山东临沂·期末）已知集合 A = íx N < x 2 ，B = x R 2ax - 2 0
2
(1)当 a =1时，求 A B ；
(2)若______求实数 a的取值范围.① A B = B ，② A B = A ③ A R B = 从这三个条件选一个填入横线
处，并求 a的取值范围.
【答案】(1) 1,2 ；
(2)无论选哪个条件， a的取值范围都是[1,+ ) .
【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；
（2）根据集合并集、交集、补集的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）当 a =1时， 2x - 2 0 x 1， A = 1,2 ，
因此 AI B = 1,2
（2）若选①： A B = B A B ，
因为 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
当 a > 0时， 2ax - 2 0 x ，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范围为[1,+ )；
a
当 a < 0时， 2ax - 2 0 x
1
，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 2 a
1
，而 a < 0，所以不符合题意，
a 2
故 a的取值范围为[1,+ ) .
若选②： A B = A A B ，
因为 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
当 a > 0时， 2ax - 2 0 x ，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范围为[1,+ )；
a
当 a < 0时， 2ax - 2 0 x
1
，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1 1
所以有 2 a ，而 a < 0，所以不符合题意，
a 2
故 a的取值范围为[1,+ ) .
若选③： A R B = A B
因为 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
当 a > 0时， 2ax - 2 0 x ，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范围为[1,+ )；
a
2ax 2 1当 a < 0时， - 0 x ，因为 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 2 a
1
，而 a < 0，所以不符合题意，
a 2
故 a的取值范围为[1,+ ) .
51．（2024 高一下·江西南昌·期中）已知全集为R ，集合 A = x 2 x 6 ，B = x 3x - 7 8 - 2x ．
(1)求 A B ；
(2)若C = x a - 4 x a + 4 ，且 AI B C ，求 a的取值范围．
【答案】(1) A B = x 3 x 6
(2) 2 a 7
【分析】（1）解不等式可得集合 B ，即可求得 A B ；
（2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）解不等式3x - 7 8 - 2x ，解得 x 3，
所以B = x x 3 ，
所以 A B = x 3 x 6 ；
（2）由（1）得 A B = x 3 x 6 ，
又 AI B C ，
ìa - 4 3 ìa - 4 < 3
则 ía 4 6或 í ，解得
2 < a 7 或 2 a < 7a 4 6 ， + > +
即 2 a 7 .
52．（2024 高一上·北京昌平·期末）已知全集U = R ， A = {x x a - 2 或 x a}， = { |0 < < 5}.
(1)当 a =1时，求 A B ， AU B ， ( U A) I B ；
(2)若 AI B = B，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) A B = x 1 x < 5 ， A B = {x x -1或 x > 0}， ( U A) B = x 0 < x <1
(2) ≥ 7或 a 0
【分析】（1）代入 a =1，再根据交，并，补的定义求解即可；
（2）由 AI B = B得到B A，根据集合的关系可得实数 a 的取值范围.
【详解】（1）当 a =1时， A = {x x -1或 x 1}，
\ U A = x -1 < x <1 ，又 = { |0 < < 5}，
\ A B = x 1 x < 5 ， A B = {x x -1或 x > 0}， ( U A) B = x 0 < x <1 ；
（2）若 AI B = B，则B A，
\a - 2 5或 a 0，
\a 7或 a 0 .
53．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）设集合
A = 1, -1- a,a2 + 3a - 3 , B = x x2 - 2x +1 = 0 ,C = x x2 - a +1 x + a = 0 .
(1)讨论集合 B 与C 的关系；
(2)若 a < 0，且 A C = C ，求实数 a的值.
【答案】(1)答案见解析
1
(2) a = -3或 a = -
2
【分析】（1）解方程得到B,C ，分两种情况，得到B,C 的关系；
（2）根据交集结果得到 ，分类讨论，求出实数 a的值.
【详解】（1）B = 1 ,C = x x -1 x - a = 0 ，
当 a =1时，B = C = 1 ；
当 a 1时，C = 1, a ， B 是C 的真子集.
（2）当 a < 0时，因为 A C = C ，所以 ，所以 1, a A .
当 a2 + 3a - 3 = a 时，解得 a =1（舍去）或 a = -3，此时 A = 1, -3,2 ，符合题意.
1 ì 1 17 ü
当-1- a = a 时，解得 a = - ，此时 A = í1, - , - 符合题意.2 2 4
1
综上， a = -3或 a = - .
2
1
54．（2024 高一上·浙江·期中）已知集合 A =
ì
íx N < x < 4
ü
，B = x ax -1 0 ．请从① A B = B ，②
3
A B = A，③ A R B = 这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
1
(1)当 a = 时，求 A B ；
2
(2)若______，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) A B = 2,3 ；
(2)条件选择见解析， 1, + .
1
【分析】(1)取 a = 化简 B ，化简 A，再根据交集的定义求 A B ；
2
(2)若选①，由 A B = B 可得 A B ，讨论 a的正负，由条件列不等式求 a 的取值范围；若选②，讨论 a的
正负，化简集合 B ，结合条件 A B = A列不等式求 a 的取值范围；若选③，讨论 a的正负，化简集合 B ，
结合条件 A R B = 列不等式求 a 的取值范围.
ì 1 ü
【详解】（1）由题意得， A = íx N < x < 43
= 1,2,3 ．
当 a
1
= 时，B =
ìx 1 x -1 0ü
2 í 2
= x x 2 ，
∴ A B = 2,3 ；
（2）选择①．
∵ A B = B ，∴ A B ，
当 a = 0时，B = ，不满足 A B ，舍去；
1 1
当 a
ì ü
> 0时，B = íx x ，要使 A B ，则 1，解得a 1；
a a
B ìx x 1当 a < 0时， = í
ü 1
，此时 < 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a
综上，实数 a的取值范围为 1, + ．
选择②
∵ A B = A，∴ A B ，
当 a = 0时，B = ，不满足 A B ，舍去；
1 1
当 a
ì ü
> 0时，B = íx x ，要使 A B ，则 1，解得a 1；
a a
B 1= ìx x ü 1当 a<0时， í ，此时 < 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a
综上，实数 a的取值范围为 1, + ．
选择③
∵ A R B = ，∴ A B ，
当 a = 0时，B = ，不满足 A B ，舍去；
1 1
当 a > 0时，B =
ì ü
íx x ，要使 A B ，则 1，解得a 1；
a a
a ì当 < 0时，B = íx x
1
ü 1 ，此时 < 0 ，不满足 A B ，舍去．
a a
综上，实数 a的取值范围为 1, + ．
55．（2024 高一上·河南·阶段练习）已知集合 A = {x | 3 - 2m x 2 + m}，集合B = {x | x2 - 4x + 3 0} .
(1)当m =1时，求 AI B，AU CRB ；
(2)若 AI B = ，求实数m 的取值范围.
【答案】（1） AI B = 1,3 ，AU CRB = {x |1 x 3}（2）m <1
【分析】（1）化简集合 A，B 根据集合交并补运算即可（2）分 A = ， ≠ 两种情况讨论即可求解.
【详解】(1)当m =1时， A = {x |1 x 3}，B = {x | x 1或x 3} ,
所以 AI B = 1,3 ，AU CRB = {x |1 x 3} ,
(2)若 A = ，即3- 2m 2 m 1> + ，则m < ,3
ì3- 2m 2 + m
若 ≠ ，则 í3- 2m >1
1
解得 m <1 ,
3
2 + m < 3
综上: m <1.
【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，分类讨论的思想，属于中档题.
56 2．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合 A= x | x - m+3 x+2 m+1 =0 ，B = x | 2x2 + 3n+1 x+2 = 0 ，
其中m, n R .
（1）若 A B = A，求m, n的值；
（2）若 AU B = A，求m, n的取值范围.
1
【答案】（1） n = -2，m =1或m = - ；
2
ìm R ìm = -2 ìm = 0 ì m
1
= -
（2） í 5 或 或n ( ,1) ín =1 ín 5
或 í 2 .
- = -
3 3 n = -2
【分析】先求得集合A 中元素的可能取值.
（1）根据 A B = A，判断出 x = 2是集合 A, B的元素，由此求得 n 的值，进而求得集合 B ，由此确定m 的
值.
（2）根据 B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定m, n的取值范围.
2
【详解】由 x - m + 3 x + 2 m +1 = x - 2 éx - m +1 ù = 0，解得 x = 2或 x = m +1.
（1 2）当 A B = A，所以 x = 2是集合 A, B的元素，所以 2 2 + 3n +1 2 + 2 = 0，解得 n = -2，所以
B = x | 2x2 - 5x 2 1+ = 0 = ìí , 2ü .若m +1 = 2, m =1 1 1，此时 A = 2 ，符合 A B = A .若m +1 = ,m = - ，此时
2 2 2
A ì2, 1 ü 1= í 2 ，符合 A B = A .故 n = -2，m =1或m = - . 2
（2）由于 AU B = A，
5
当B = 时，由判别式得 3n +1 2 - 4 2 2 < 0，解得 n - ,1÷，此时m R .
è 3
2 5 5
当 B 为单元素集时，由判别式得 3n +1 - 4 2 2 = 0，解得 n = - 或 n =1 .当 n = - 时， B = 1 ，要使
3 3
AU B = A，则m +1 =1,m = 0 .当 n =1时，B = -1 ，，要使 AU B = A，则m +1 = -1, m = -2 .
1
当 B 为双元素集时，由（1）知 n = -2，m = - .
2
ìm R ìm = 0 ì 1
综上所述，m, n
ìm = -2 m = -
的取值范围为 í 5 或 或 或 2 .
n (- ,1)
í í 5 í
3
n =1 n = - 3 n = -2
【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论
的数学思想方法，属于中档题.
57．（2024 高一·全国·课后作业）设集合 A = x -1 x 2 ，B = x 2m < x <1 ，C = x x < -1或 > 2}．
(1)若 AI B = B，求实数 m 的取值范围；
(2)若B C 中只有一个整数，求实数 m 的取值范围．
ìm m 1 - ü【答案】(1) í
2
ì
(2) ím
3
- m < -1ü
2
【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答
案；
（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.
【详解】（1）因为 AI B = B，所以B A．
ì2m <1 1 1
①当B 时，由B A，得 í ，解得- m <
2m 1
；
- 2 2
1
②当B = ，即m 时，B A成立．
2
ìm m 1 ü综上，实数 m 的取值范围是 í - ．
2
3
（2）因为B C 中只有一个整数，所以B ，且-3 2m < -2，解得- m < -1，
2
ì 3 ü
所以实数 m 的取值范围是 ím - m < -12
．
58 2024 · · A = x a - 3 x 3a + 2 B = x x2．（ 高一上 辽宁辽阳 期中）已知集合 ， - 2x -8 0 ．
(1)当 a = 0时，求 AU B ， AI RB ；
(2)若 AI B = B，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) A B = x -3 x 4 ， A RB = x -3 x < -2
é2 ,1ù(2)
ê3 ú
【分析】（1）代入得到 A = x -3 x 2 ，计算 RB = x x < -2或 x > 4 ，再计算交集和并集得到答案.
（2）将 AI B = B转换为 ，根据集合的包含关系转化为不等关系计算得到答案.
【详解】（1）当 a = 0时， A = x -3 x 2 ，B = x x2 - 2x -8 0 = x -2 x 4 ，
故 A B = x -3 x 4 ，
RB = x x < -2或 x > 4 ，故 A RB = x -3 x < -2 .
ìa - 3 3a + 2
（2） AI B = B，故 ，需满足 í 3a + 2 4
2 a é2，解得 a 1，即 ê ,1
ù
3 3 ú
.
a 3 2 - -
59．（2024 高一下·四川乐山·阶段练习）设全集U = R ，集合 = { |1 ≤ < 4}， = { |2 ≤ < 3 }.
(1)若 a = -2 ，求 ∩ ，B U A
(2)若 AU B = A，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) ∩ = { |1 ≤ < 4}； ∩ ( ) = { | 4 ≤ < 1或4 ≤ < 5}
é1
(2) ê ,+ ÷ 2
【分析】（1）先代入 a = -2 化简集合 B ，再利用集合的交并补运算即可得到结果；
（2）先由 AU B = A得到B A，再分类讨论B = 与B 两种情况，结合数轴法即可得到所求.
【详解】（1）因为 a = -2 ，所以 = { |2 ≤ < 3 } = { | 4 ≤ < 5}，
又因为 = { |1 ≤ < 4}，U = R ，
所以 ∩ = { |1 ≤ < 4}， = { | < 1或 ≥ 4}，
故 ∩ ( ) = { | 4 ≤ < 1或4 ≤ < 5}.
（2）因为 AU B = A，所以B A，
因为 = { |2 ≤ < 3 }， = { |1 ≤ < 4}，
所以当B = 时，2 ≥ 3 ，解得a 1，此时B A；
当B 时， a <1，
2 ≥ 1 ≥ 1 1
由数轴法得 3 ≤ 4，解得 2 ，故 ≤ < 1； ≥ 1 2
1 1
综上： a ，即 ∈
2 2 , + ∞
.
60．（2024 2高一上·重庆沙坪坝·期中）已知 A = x x - 6x + 5 = 0 ，B = x ax -1 = 0 .
(1)若 a =1，求 A ZB ；
(2)从① AU R B = R ；② AI B = B；③ B R A = 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进
行解答.
问题：若 ，求实数 a的所有取值构成的集合C .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) AI ZB = 5
(2)条件选择见解析，C =
ì0, 1 ,1üí 5
【分析】（1）当 a =1时，求出集合 B 、A ，利用补集和交集的定义可求得集合 A ZB ；
1
（2）选①，分 a = 0、 a 0 ì ü两种情况讨论，在 a = 0时，直接验证即可；在 a 0时，求得B = í ，根据
a
AU R B = R 可得出关于 a的等式，综合可得出集合C ；
选②，分析可知B A，分 a = 0、 a 0两种情况讨论，在 a = 0时，直接验证即可；在 a 0时，求得
B 1= ì üí ，根据B A可得出关于 a的等式，综合可得出集合C ；
a
1
选③，分 a = 0 a 0 ì ü、 两种情况讨论，在 a = 0时，直接验证即可；在 a 0时，求得B = í ，根据B R A = ，
a
可得出关于 a的等式，综合可得出集合C .
【详解】（1）解：当 a =1时，B = x x -1 = 0 = 1 ，
又因为 A = x x2 - 6x + 5 = 0 = 1,5 ，故 AI ZB = 5 .
（2）解：若选①，当 a = 0时，B = ，则 RB = R，满足 AU R B = R ，
1 1
当 a 0 ì ü
1
时，B = í ，若 AU R B = R ，则 =1或5，解得 a =1或 .
a a 5
ì 1 ü
综上所述，C = í0, ,15
；
若选②，Q AI B = B，则B A .
当 a = 0时，B = ，满足B A；
1
当 a 0时，B = ì üí ，因为B A
1
，则 =1
1
或5，解得 a =1或 .
a a 5
C ì0, 1 ü综上所述， = í ,1 ；
5
若选③，当 a = 0时，B = ，满足B R A = ；
1 1
当 a 0 B = ì ü B A = 1 1时，则 í ，因为 R ，则 = 或5，解得 a =1或 .
a a 5
ì 1 ü
综上所述，C = í0, ,15
.
61．（2024 2高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合M = x x + 2x + a = 0 ．
(1)若 M ，求实数 a 的取值范围；
(2)若 N = x x2 + x = 0 且M N ，求实数 a 的值．
【答案】(1) a a 1 ；
(2) a = 0或 a =1 .
【分析】（1）由方程 x2 + 2x + a = 0有实数解，结合判别式得出实数 a 的取值范围；
（2）由M N 得出0 M 或-1 M ，进而得出实数 a 的值．
【详解】（1）由题意得方程 x2 + 2x + a = 0有实数解，
\D = 22 - 4a 0，得a 1，
\实数 a的取值范围是 a a 1 ；
（2）∵ N = x x2 + x = 0 = 0, -1 ，
QM N ，
\ 0 M 或-1 M ，
则 a = 0或 a =1 .
62 2 2．（2024 高一上·陕西西安·期中）设集合 A = 0, -4 , B = x x + 2(a +1)x + a -1 = 0, x R .
1
(1)若 a = - ，求 AU B ；
2
(2)若 AI B = B，求实数 a的取值范围.
ì
【答案】(1) A B = í-4
3 1
，- 0 ü，，
2 2
(2) - , -1 1
1
【分析】（1） a = - ，求得 B ，由并集的定义求解即可.
2
（2）根据 AI B = B得到B A，讨论B = ，B = 0 ，B = -4 ，B = 0, -4 四种情况分别计算得到答
案.
1 B ìx x2 x 3 0, x Rü 3 1【详解】（1）当 a = - 时， = í + - = =
ì ü
2 4 í
- ,
2 2
，
又 A = 0, -4
ì
所以 A B = í-4
3
，- ，0 1 ü， .
2 2
（2）Q AI B = B，
\B A
2
当B = 时，D = 4 a +1 - 4 a2 -1 = 8a + 8 < 0，即 a < -1；
B 0 ì-2 a +1 = 0当 = 时，利用韦达定理得到 í ，解得 a = -1；
a
2 -1 = 0
ì-2 a +1 = -8当B = -4 时，利用韦达定理得到 í 2 ，无解；
a -1 =16
当B =
ì-2 a +1 = -4
0, -4 时， 根据韦达定理得到 í 2 ，解得 a =1 ；
a -1 = 0
综上，实数 a 的取值范围是： - , -1 1
63．（2024 高一上· 2 2贵州毕节·阶段练习）已知集合 A = x x + 4x + 3 = 0 ，B = x x - 2ax + a2 - a - 3 = 0 .
(1)若 a =1，求 A B ；
(2)若 AU B = A，求 a 的取值集合.
【答案】(1) A B = -1
(2) a a -3或 a = -2 .
【分析】（1）化简集合 A,B，直接根据交集运算求解；
（2）讨论判别式，求出集合 B，检验是否满足B A即可求解.
2
【详解】（1）当 a =1时，B = x x - 2x - 3 = 0 = -1,3 .
2
因为 A = x x + 4x + 3 = 0 = -3, -1 ，
所以 A B = -1 .
（2）因为 AU B = A，所以B A .
D = 4a2当 - 4 a2 - a - 3 = 4a +12 < 0时，解得 a < -3，B = ，符合题意；
当D = 4a +12 = 0，即 a = -3时，B = -3 ，符合题意；
当D = 4a +12 > 0，即 a > -3时，B = A = -3, -1 ，
ì -3 + -1 = 2a,
则 í 3 解得 a = -2 . - -1 = a2 - a - 3,
综上，a 的取值集合是 a a -3或 a = -2 .
64．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，B = {x | -m -1< x < -m +1}．
(1)若 ( R A) I B = ，求实数m 的取值范围；
(2)若集合 A B 中仅有一个整数元素，求 AU B ．
【答案】(1) 0,1
(2)答案见解析
ì-1- m -2
【分析】（1）求出集合 A，得到补集，题意得到 í1 m 1 ，即可求解； -
（2）集合 A B 中仅有一个整数元素，由于集合A 中只有两个整数元素：-1和 0，分两种情况，集合 A B
中仅有一个整数元素-1，和仅有一个整数元素0两种情况，求出m 的取值范围，再结合 A = (-2,1) ，分1 < ≤ 2，
-1 < m < 0 与0 m 1三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）Q集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，
\ A = (-2,1)，从而 R A = - ,-2 U 1,+ ，
∵ ( R A) I B = ，B = {x | -m -1< x < -m +1}，
ì-1- m -2
\ í1 m 1 ，解得0 m 1， -
\实数m 的取值范围为 0,1 ；
（2）由（1）知： A = (-2,1) ，B = (-1- m,1- m)，
Q集合 A B 中仅有一个整数元素，由于集合 A 中只有两个整数元素：-1和 0，
ì-1- m < -1
若集合 A B 中仅有一个整数元素-1，则 í ，解得：0 < m < 2，
-1 <1- m 0
ì-1 -1- m < 0
若集合 A B 中仅有一个整数元素 0，则 í1 m 0 ，解得：
-1 < m 0 ，
- >
\-1< m < 2，
当1< m < 2时，-1- m < -2，-1 <1- m < 0，则 A B = (-1- m,1)；
当-1 < m < 0 时，-1 < -1- m < 0，1 < 1- m < 2，则 A B = (-2,1- m) ；
当0 m 1时，-2 -1- m -1，0 1- m 1，则 A B = (-2,1)；
综上所述，当1< m < 2时， A B = (-1- m,1)；
当-1 < m < 0 时， A B = (-2,1- m) ；
当0 m 1时， A B = (-2,1)．1.3 集合的基本运算 11 题型分类
一、并集
【思考 1】“x∈A 或 x∈B”包含哪几种情况？
“x∈A 或 x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但 x B；x∈B，但 x A；x∈A，且 x∈B.用
Venn 图表示如图所示．
【思考 2】集合 A∪B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数和？
不等于，A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素个数和．
二、交集
【特别提醒】
交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ 。
三、全集
1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
2.记法：全集通常记作 U.
【思考】全集一定是实数集 R 吗？
全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，
全集为实数集 R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集 Z.
四、补集
对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的
自然语言
集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
图形语言
【特别提醒】
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集
的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合 A 的补集的前提是 A
为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)符号 UA 有三层意思：
①A 是 U 的子集，即 A U；
② CUA表示一个集合，且( CUA ) U；
③ CUA是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且 x A}．
(4)若 x∈U，则 x∈A 或 x∈ CUA，二者必居其一．
五、运算律
(1) 交换律 A B = B A，A B = B A；
(2) 结合律 (A B) C = A (B C)，(A B) C = A (B C)；
(3) 分配律 (A B) C = (A C) (B C)，(A B) C = (A C) (B C)；
(4) 德摩根律 U(A B) = ( UA) ( UB)， U(A B) = ( UA) ( UB).
（一）
并集的运算
1、求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助 Venn 图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
2、集合并集运算应注意：
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．
(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
题型 1：求两个集合的并集
1-1．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知集合 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，则 AU B =（ ）
A． -1,1,2 B． 0,1,2 C． -1,0 D． -1,0,1,2
1-2．（2024 高一下·浙江·期中）设集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，则 AU B =（ ）
A． -1,3 B． - , 4 C． 0,3 D． -1,4
1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合 A = x -2 < x < 2 ，B = x 0 < x 3 ，则 AU B =（ ）
A． x -2 < x 3 B． x 0 < x < 2 C． x -2 < x 0 D． x 2 < x < 3
题型 2：利用并集运算求参数
2-1．（2024 高二下·江西景德镇·期中）设集合M = x - 3 < x < 7 ， N = x 2 - t < x < 2t +1, t R ，若
M N = M ，则实数 t的取值范围为（ ）
1 1
A． t B． < t < 3 C． t≤3 D． t 3
3 3
2-2．（2024 高三·全国·课后作业）已知集合 A = x - 2 x 7 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且 AU B = A，则
实数 m 的取值范围是 ．
2-3．（2024 高一上·山西晋中·阶段练习）已知 A = {-1， 2}，B = {x | mx +1 = 0}，若 AUB = A，则实数m 的取
值所成的集合是 ( )
ì 1 1 1 1
A． í-1,
ü ì ü ì ü ì ü
B． í- ,1 C． í-1,0,2 2 2
D． í- ,0,1
2
（二）
交集的运算
1、求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所
覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
2、求集合 A∩B 的步骤：
(1)搞清集合 A，B 的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；
(3)把集合 A，B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为 )
题型 3：求两个集合的交集
3-1．（2024 高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合 A = x x - 2 2x +1 0 ，B = x x＜1 ，则 AI B =（ ）
ì
A． íx
1 ü ì 1 ü
- x 1
2
B． íx - x＜12
ì 1 ü
C．{ |1 ≤ ≤ 2} D． íx x -
2
3-2．（2024 高二下·四川成都·期末）已知集合 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，则 AI B =（ ）
A． -2,2 B． -2, 3 C． 3,2 D． -2, +
3-3．（2024 高一上·云南红河·期末）设集合 A = x | 0 < x < 4 ，B = 2,3,4,5,6 ，则 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 3,4
C． 2,3,4 D． 1,2,3,4,5,6
3-4．（2024·河北承德·模拟预测）已知集合 A = -1,0,1,2,3 ，B = y | y = 2x2 -1, x A ，则 AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1 C． -1,0,1 D． 0
题型 4：利用交集运算求参数
4-1．（2024·山东济宁·二模）已知集合 A = 2,5,m2 - m ，B = {2,m + 3}，若 AI B = B，则m =（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
4-2．（2024 高二下·甘肃兰州·期末）已知集合 A = 1,2,3 ,B = 2a,a2 + a ．若 ∩ = {2}，则 a = ．
4-3．（2024· 2陕西商洛·三模）已知集合 A = x | a < x < a +1, a Z ，B = {x | 2 < x < 6}，若 A B = A，则 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（三）
补集的基本运算
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
题型 5：求两个集合的补集
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）设全集U = 0,1,2,3,4 ，集合 A = x U x - 2 <1 ，则 U A =（ ）
A． x 1< x < 3 B． x 1< x 3 C． 2 D． 0,1,3,4
5-2．（2024 高二下·贵州·阶段练习）已知集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，则 AB =（ ）
A． 2,4,5 B． x 2 x < 3或 4 x 5
C． x 2 x 3或 4 x 5 D． x 2 x < 3或 4 < x 5
ì n 1 ü ì n ü
5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合M = íx x = + , n Z2 4
， N = íx x = , n Z ，则 M = （4 N ）
ìx x n , n ZüA． B． í =
2
ìx x 3n üC． í = ,n Z D． x x = 2n,n Z
4
5-4．（2024 高三上·海南·期末）设全集U = {x Z || x |< 3}，集合 A = {x | x3 - x = 0}，则 U A =（ ）
A． -2,0,2 B． -2,2,3
C． -2,2 D． -3,-2,2,3
题型 6：利用补集运算求参数
6-1．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）设集合 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}， U B = {1,2,3,4}，则集合 B＝ ．
6-2 2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集U = 2,4,a ，集合 A = 4, a + 2 ， U A = a ，则实数 a的值为
（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0 或 2
6-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集U = {x |1 x 5}, A = {x |1 x < a}，若 U A = {x | 2 x 5}，则 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（四）
集合交、并、补集的综合运算
1、解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求
解.在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解.
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补
集的运算.解答过程中要注意边界问题.
2、涉及“B A”或“ B A且 A≠ ”的问题，一定要分 B＝ 和 B≠ 两种情况进行讨论，其中 B＝ 的情况易被
忽略，应引起足够的重视．
3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能
够取到.
题型 7：利用集合的交并补运算求集合
7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集U = -1,0,1,2,3 ，集合 A = -1,0, 2 ，B = 0,1 ，则 U A U B =
（ ）
A． 2 B． 3 C． -1,1,2,3 D． -1,0,1,2
7-2．（2024·天津南开）已知集合 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，求 R (A B)， R (AI B)，( R )
∩ ， AU R B .
7-3．（2024·天津）设集合U = {x N | 0 < x 8}， S = {1,2,4,5}，T = {3,5,7}，则 S I ( UT ) =
A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
题型 8：利用集合的交并补集运算求参数范围
8-1．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = x a < x < a +1 ，B = x - 2 x 0 .
(1)若 a =1，求 AU B ；
(2)已知 R B I A = ，求实数 a的取值范围.
8-2．（2024 高三上·山西·阶段练习）设集合 A = {x∣x < 2或 x 4}, B = x∣a x a +1 ，若 R A I B = ，则
a的取值范围是（ ）
A．a 1或 a > 4 B． a <1或 a 4
C． a <1 D． a > 4
A {x | a 1 x a 1} B ìx | x - 5 ü8-3．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 = - + ， = í 0 .
x + 3
(1)若 a = -3，求 AU B ；
(2)已知B R A = R ，求实数 a的取值范围.
（五）
Venn 图的应用及集合的新定义问题
1、韦恩图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集
合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
2、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过
程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性
质的一些条件．
题型 9：韦恩图的应用
9-1．（2024 高一上·四川泸州·期末）设全集U 及集合M 与 N ，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M N B．M N
C． U M I N D． U M U N
9-2．（2024 高一下·湖北黄冈·期中）设集合 A = {x | -1 x 2}，B = {x | 0 x 4}，则Venn 图阴影区域表示
的集合是（ ）
A．{x | 0 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 0 x 4} D．{x |1 x 4}
9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合M = 1,2,3,4,5 ，N = {1,3,5,7,9}，且M ，N 都是全集U 的子集，
则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2,4} B．{1,3,5}
C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}
题型 10：容斥原理
10-1．（2024 高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，
参加比赛的同学中，参加田赛的有17人，参加径赛的有 23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
10-2．（2024 高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用 card A 表示有限集合
A 中元素的个数.例如， A = a,b,c ，则 card A = 3 .容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有 A, B,C 三类，
那么， card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC .某
校初一四班学生 46 人，寒假参加体育训练，其中足球队 25 人，排球队 22 人，游泳队 24 人，足球排球都
参加的有 12 人，足球游泳都参加的有 9 人，排球游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？（教
材阅读与思考改编）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10-3．（2024 高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴
趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占 90％，对物理感兴趣的占 56％，对历史感兴趣的
占 74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
题型 11：集合新定义问题
11-1．（2024 高一上·湖南·期中）已知集合P = {1,3,4,6,8,9}，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一
个元素m 都乘 (-1)m 再求和，例如 A = {3,4,6}，则可求得和为 (-1)3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 = 7 ，对 P 所有非
空子集，这些和的总和为（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
ì x 2 ü
11-2．（2024 高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算： A B = í x, y A, B .若集合
2 y
A ì= B = x N 1 < x < 4 ，C = í x, y y 1 x 5ü= - + ，则 A B C = （6 3 ）
A． B． 4,1 ì 1, 3 ü ì 4,1 , 6, 2 üC． í ÷ D．2 í ÷ è è 3
11-3．（2024 高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合A 和 B ，我们把集合 x∣x = a + b, a A,b B 记作
A* B .若集合 A = 0,1 , B = 0,-1 ，则 A* B 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11-4．（2024 高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，
A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”．已知集合B = -7, -3, -1,1,2,3,4,5,6,7,13 ，则 B 的“小
和数”为 ， B 的“大和数”为 ．
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合 A = a,5 - a, 4 ，B = 3,2a +1 ， A B = 2,3,4,5 ，则 a =（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，且 M，N 都是全集 U 的
子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． x | - 3 x 1 B． x | -3 x 1 C． x | -3 x < - 3 D． x |1 < x 3
3．（2024 高二下·湖南·期中）已知全集U = R ，集合 A = x Z 0 < x 2 ，B = -1,0,1,2,3 ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． -2,0 B． -2,3 C． -2,0,2 D． -2,0,3
4．（2024·全国·模拟预测）已知全集U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 , B = 3,4,5 ，则 U A U B =（ ）
A．U B． 1,2,4,5 C． 3 D．
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知 A = 1,2,a + 3 , B = a,5 ，若 AU B = A，则 a =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 高三下·湖南·阶段练习）已知集合U = 1,2,3,4,5,6 ， A = 2,4,6 ，B = 1,2,3,6 ，则 AI U B
（ ）
A． 3 B． 6 C． 4 D． 2,3,4,6
7．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集R ，集合 A = x∣0 x 6 , B = {x∣x > 5}，则 RB A = （ ）
A．{x∣0 x < 5} B． x∣0 x 5 C．{x∣x < 6} D． x∣x 6
8．（2024 高二下·天津河北·期末）设全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合 A = -2,-1 ，集合B = -2, -1,0,1 ，则
U A B =（ ）
A． -2, -1 B． -2, -1,2
C． 0,1 D． -2, -1,0,1,2
9．（2024·山东烟台·二模）已知集合 A = x x < 3 ，B = x x = 2k ,k Z ，则 AI B =（ ）．
A． -2,2 B． -2,0,2
C． -2, -1,1,2 D． -2, -1,0,1,2
10．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）设集合 A = 0,1,2,3 ，B = 2,3,4,5 ，则 AI B =（ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3 D． 3,4
11．（2024 高二下·北京海淀·期末）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，则 AI B =（ ）
A． 0 B． -1,0
C． 0,1 D． -1,0,1
12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合M , N ，满足M = M N ，则（ ）
A． B． N M C． N M D．M N
13．（2024·天津）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，则 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
14．（2024 高二下·广西·期中）已知集合 A = {-1,0,1,2}，B = x∣-1< x < 2, x N* ，则 AU B 中的元素个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2024·四川成都·模拟预测）设集合 A = x N -1 x 2 ，B = -2, -1,0,1 ，则 AI B =（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1 C． 0,1 D． 1
16．（2024 高一上·江西景德镇·期中）集合 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，则 AU B =（ ）2
A 1． | < ≤ 8 B．{ |0 < ≤ 10}2
C 1 1． | 2 ≤ < 8 D． | 2 < ≤ 10
17．（2024 高三上·辽宁沈阳·期中）设全集U = 2,3,m2 + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，则m =（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．-4
18．（2024 高三·全国·专题练习）如图， I 是全集，A ， B ，C 是 I 的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）
A． A B C B． A C I B
C． A B IC D．B C I A
19．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）设全集U = -2,-1,0,1,2 A = x x2， -1 = 0 ，B = x x -1 x - 2 = 0 ，则
图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． -1,1,2 B． -2, -1,0,2
C． 1 D． -2,0
20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集 = ，若集合 A = x 2x - 3 < 0 ，B = 0,2,3 ，则 U A B =（ ）
A． 0 B． 0,2 C． 2,3 D． 3
21．（2024·北京房山·二模）已知集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 ，则（ ）
A． A B = x -2 x < 3 B． A B = x -2 x < 3
C． A B = x -1 < x < 2 D． A B = x x < 3
22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合 A = x x - 2 > 0 ，B = x -1< x < 4 ，则集合 AU B =（ ）
A． -1,4 B． x x > 2
C． -1,4 D． -1, +
23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合M = x -1 < x 3, x Z ， N = -1,0,1,2 ，则M I N = （ ）
A． x -1< x 2 B． -1,0,1,2 C． 0,1,2 D． -1,0,1,2,3
24．（2024·浙江·二模）若集合M = x 2x > 3 ， N = 1,2,3,4 ，则M I N = （ ）
A． 1,2 B． 3,4
C． x 1 < x < 5, x N* D． x 1 x 4, x N*
25．（2024 高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合 A = {-1,1}，B = {x | mx =1}，且 AU B = A，则m 的值为
（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-1或0 D．1或-1或 2
26．（2024·全国·三模）如图所示的 Venn 图中，A 、 B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集
合．若 A = x x = 2n +1,n N,n 4 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，则 A B = （ ）
A． 2,4,6,1 B． 2,4,6,9 C． 2,3,4,5,6,7 D． 1,2,4,6,9
27．（2024 高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有 26 名学生参加数学竞赛，25
名学生参加物理竞赛，23 名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名，只参加数、物两
科的有 6 名，只参加物、化两科的有 8 名，只参加数、化两科的有 5 名．若该班学生共有 51 名，则没有参
加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
28．（2024 高一上·四川绵阳·期末）如果全集U = {x N * | x < 5}，M = {1,2}，则 U M =
A． B．{1,2} C．{3,4} D．{0,3, 4}
ì kp p ü ì kp p ü
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合M = íx | x = + , k Z4 4
，集合 N = íx x = - , k Z ，则
8 4
（ ）
A．M N = B． C． N M D．M N = M
30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合 A = x Z -2 < x <1 , B = 0,1,2 ，则 AU B =（ ）
A． (-2,1) B．{-1,0}
C． (-2, 1] {2} D．{-1,0,1,2}
31．（2024·北京西城·二模）有三支股票 A, B,C, 28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.
在不持有A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有C 股票的人数的 2 倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股
票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A
股票.则只持有 B 股票的股民人数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、多选题
32．（2024·北京西城）已知集合 A＝{x|－1＜x≤3}，集合 B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（ ）
A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ R B＝{x|x≤－1 或 x＞2}
D．A∩ R B＝{x|2＜x≤3}
33．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合 G 关于运算 满足：（1）对任意 a，b G ，都有
a b G ；（2）存在 e G，使得对一切a G，都有a e = e a = a ，则称 G 关于运算 为“融洽集”.现给
出下列集合和运算，其中 G 关于运算 为“融洽集”的是（ ）
A．G = 有理数 ， 为实数的乘法 B．G = 非负整数 ， 为整数的加法
C．G = 偶数 ， 为整数的乘法 D．G = 二次三项式 ， 为多项式的加法
34．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）已知全集U = R ，集合
A = x | -2 x 7 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，则使 A U B 成立的实数 m 的取值范围可能是（ ）
A． m | 6 m 10 B． m | -2 < m < 2
ì
C． ím | -2 < m
1
< - ü D． m | 5 < m 8
2
35．（2024 高一·全国·课后作业）（多选）满足 1,3 A = 1,3,5 的集合A 可能是
A． 5 B． 1,5 C． 1,3 D． 1,3,5
36．（2024 高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集 U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}． U A＝{x|ax－1＝0}，则
实数 a 的值为（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
3 5
37．（2024 高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合
M = {x | x = 6k + 2，k Z}，N = {x | x = 6k + 5，k Z}，P = {x | x = 3k + 2，k Z}，则 （ ）
A．M N B．M N＝P C．M＝P D． PM＝N
38．（2024 高一上·全国·单元测试）已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的
是（ ）
A．P Q ={1} B．P Q ={1,2,3,4,5,6}
C． U P U Q ={1,2,4,6} D．P I UQ ={3,5}
39．（广东省东莞市东莞高级中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）设
A = x x2 -8x +12 = 0 ，B = x ax -1 = 0 ，若 AI B = B，则实数 a的值可以是（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
6 2
三、填空题
40．（2024 高一上·全国·课后作业）已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | > }．
（1）若 AI B ，实数 a的取值范围是 ．
（2）若 A B A，实数 a的取值范围是 ．
（3）若 A B = B ，实数 a的取值范围是 ．
41．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 < x < 4 ，若 A R B ，则实数 a 的取值
范围为 ．
42．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知 A = {x | x2 + px +1 = 0, x R}，若 AI R+ = ，则实数 p 的取值集合
是 .
43．（2024 高一上·宁夏·阶段练习）已知集合 A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，若 AU B = A，
则实数 m 的取值范围
44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，则 AU B = ．
45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合 A = x, y x - ay + 2 = 0 ，B = x, y ax - 4y + 4 = 0 ，若 AI B = ，
则实数 a 的值为 ．
四、解答题
46．（2024 高一上·陕西渭南·期中）已知集合P = x | x < -1或x > 6 ，Q = x |1- m x 1+ m ，全集为R .
(1)求集合 R P ；
(2)若 R P UQ = R P，求实数 m 的取值范围.
47．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）在① A B = B ；② AI B = 这二个条件中任选一个，补充到本题
第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 A = x a -1 x a +1 , B = x -1 x 3 .
(1)当 a = 2时，求 AU B ；
(2)若__________，求实数 a的取值范围.
ì 1 ü
48．（2024 高三·全国·课后作业）已知全集为R ，集合 A = x 0 < 2x + a 3 ，B = íx - < x < 2 ，若
2
A B = A，求实数 a 的取值范围.
49．（2024 高一上·重庆·期末）已知 a R ，集合 A = x x - a 0 ，B = x -1 x 3 .
(1)当 a = 2时，求 A B ， AU B ；
(2)若 A R B ，求 a的取值范围.
A ìx N 1 ü50．（2024 高一上·山东临沂·期末）已知集合 = í < x 2 ，B = x R 2ax - 2 0
2
(1)当 a =1时，求 A B ；
(2)若______求实数 a的取值范围.① A B = B ，② A B = A ③ A R B = 从这三个条件选一个填入横线
处，并求 a的取值范围.
51．（2024 高一下·江西南昌·期中）已知全集为R ，集合 A = x 2 x 6 ，B = x 3x - 7 8 - 2x ．
(1)求 A B ；
(2)若C = x a - 4 x a + 4 ，且 AI B C ，求 a的取值范围．
52．（2024 高一上·北京昌平·期末）已知全集U = R ， A = {x x a - 2 或 x a}， = { |0 < < 5}.
(1)当 a =1时，求 A B ， AU B ， ( U A) I B ；
(2)若 AI B = B，求实数 a 的取值范围.
53．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）设集合
A = 1, -1- a,a2 + 3a - 3 , B = x x2 - 2x +1 = 0 ,C = x x2 - a +1 x + a = 0 .
(1)讨论集合 B 与C 的关系；
(2)若 a < 0，且 A C = C ，求实数 a的值.
ì 1 ü
54．（2024 高一上·浙江·期中）已知集合 A = íx N < x < 4 ，B = x ax -1 0 ．请从① A B = B ，②
3
A B = A，③ A R B = 这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
a 1(1)当 = 时，求 A B ；
2
(2)若______，求实数 a的取值范围．
55．（2024 高一上·河南·阶段练习）已知集合 A = {x | 3 - 2m x 2 + m}，集合B = {x | x2 - 4x + 3 0} .
(1)当m =1时，求 AI B，AU CRB ；
(2)若 AI B = ，求实数m 的取值范围.
56．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合 A= x | x2 - m+3 x+2 m+1 =0 ，B = x | 2x2 + 3n+1 x+2 = 0 ，
其中m, n R .
（1）若 A B = A，求m, n的值；
（2）若 AU B = A，求m, n的取值范围.
57．（2024 高一·全国·课后作业）设集合 A = x -1 x 2 ，B = x 2m < x <1 ，C = x x < -1或 > 2}．
(1)若 AI B = B，求实数 m 的取值范围；
(2)若B C 中只有一个整数，求实数 m 的取值范围．
58．（2024 2高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合 A = x a - 3 x 3a + 2 ，B = x x - 2x -8 0 ．
(1)当 a = 0时，求 AU B ， AI RB ；
(2)若 AI B = B，求实数 a 的取值范围．
59．（2024 高一下·四川乐山·阶段练习）设全集U = R ，集合 = { |1 ≤ < 4}， = { |2 ≤ < 3 }.
(1)若 a = -2 ，求 ∩ ，B U A
(2)若 AU B = A，求实数 a的取值范围.
60．（2024 2高一上·重庆沙坪坝·期中）已知 A = x x - 6x + 5 = 0 ，B = x ax -1 = 0 .
(1)若 a =1，求 A ZB ；
(2)从① AU R B = R ；② AI B = B；③ B R A = 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进
行解答.
问题：若 ，求实数 a的所有取值构成的集合C .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
61．（2024 高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合M = x x2 + 2x + a = 0 ．
(1)若 M ，求实数 a 的取值范围；
(2) N = x x2若 + x = 0 且M N ，求实数 a 的值．
62 2024 · · A = 0, -4 , B = x x2．（ 高一上 陕西西安 期中）设集合 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0, x R .
a 1(1)若 = - ，求 AU B ；
2
(2)若 AI B = B，求实数 a的取值范围.
63．（2024 高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合 A = x x2 + 4x + 3 = 0 B = x x2， - 2ax + a2 - a - 3 = 0 .
(1)若 a =1，求 A B ；
(2)若 AU B = A，求 a 的取值集合.
64．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，B = {x | -m -1< x < -m +1}．
(1)若 ( R A) I B = ，求实数m 的取值范围；
(2)若集合 A B 中仅有一个整数元素，求 AU B ．
