1.2 集合间的基本关系 8 题型分类
一、子集、真子集、集合相等的相关概念
1、子集：如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A B(或
B A)，读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)．
2、真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真
子集。记作 A B 或(B A)
【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
【特别提醒】
符号“∈”与“ ”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
二、空集
1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2.规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
【思考】{0}与 表示同一集合吗？
提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素 0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
三、集合关系的性质
1.任何一个集合都是它本身的子集，即 A A.
2.对于集合 A，B，C，①若 A B，且 B C，则 A C；②若 A B，B C，则 A C.
3.若 A B，A≠B，则 A B.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论 A＝ 和 A≠ 两种情
况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
四、Venn 图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
（一）
集合间的关系判断
1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行
区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.
2、判断集合关系的方法.
（1）观察法：一一列举观察.
（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或 Venn 图.
提醒：若 A B 和 A B 同时成立，则 A B 更能准确表达集合 A，B 之间的关系.
题型 1：判断集合间的关系
1-1．（2024 高一·江苏·假期作业）设集合M = 1,2,3 ， N = 1 ，则下列关系正确的是（ ）
A． N M B． N M
C． N M D． N M
【答案】D
【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.
【详解】因为M = 1,2,3 ， N = 1 ，则 N M .
故选：D.
1-2．（2024·北京东城·二模）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，则（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
【答案】A
【分析】用列举法写出集合 A，利用集合间的基本关系判断．
【详解】 A = {x N | -1< x < 5} = {0,1,2,3,4}，B = {0,1,2,3,4,5}，则A B .
故选：A.
ì 1 ü n 1
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合M = íx x = m + ,m Z ， N =
ìx x = - ,n Zü
6 í 2 3
，
P ìx x p 1= í = + , p Z
ü
2 6
，则 M、N、P 的关系满足（ ）
A．M = N P B．M N = P C．M N P D． N P M
【答案】B
【分析】先将集合 M、N、P 化简成统一形式，然后判断即可．
M ì 1 ü ì 6m +1 ü ì 3 × 2m +1 ü【详解】 = íx x = m + ，m Z = íx x = ，m Z = x x = ，m Z ，
6
í
6 6
N ìx x n 1
ì 3 n -1 +1 ü
= í = - ，n Z
ü
= íx x
ì 3k +1 ü= ，n Z = íx x = ，k Z2 3 ， 6 6
P ìx x p 1 p Zü ìx x 3p +1 ü= í = + ， = = ，p Z ，
2 6
í
6
所以M N = P .
故选：B．
1-4 2024 · · A = x x = a2 * 2．（ 高一 全国 单元测试）设集合 +1, a N ，B = y y = b + 4b + 5,b N * ，则集合A
与 B 的关系是 ．
【答案】 B A
2 * *
【分析】先由题意得到B = y y = (b +1) +1,b N ，由b+1 2,b N ，而 a N * ，即可得出结果.
2 * 2 *
【详解】因为B = y y = b + 4b + 5,b N = y y = (b +1) +1,b N ，
A = x x = a2 +1, a N * ，
显然b+1 2,b N*，而 a N * ，
所以 B 中元素都属于A ，而A 中元素 2 B，
所以 B A .
【点睛】本题主要考查集合包含关系的判定，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
（二）
子集、真子集
1、求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
2、子集、真子集个数有关的 4 个结论
假设集合 A 中含有 n 个元素，则有
(1)A 的子集的个数有 2n个．
(2)A 的非空子集的个数有 2n－1 个．
(3)A 的真子集的个数有 2n－1 个．
(4)A 的非空真子集的个数有 2n－2 个．
题型 2：求集合的子集、真子集
2-1．（2024 高一·江苏·课后作业）设 A＝{1，2}，B＝{x|x A}若用列举法表示，则集合 B 是 .
【答案】{ ，{1}，{2}，{1,2}}
【解析】由集合 A 及集合 B 中元素与 A 的关系知 B 是由 A 集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合 B
即可.
【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x A}，
则集合 B 中的元素是集合 A 的子集： ，{1}，{2}，{1,2}，
所以集合 B＝{ ，{1}，{2}，{1,2}}，
故答案为：{ ，{1}，{2}，{1,2}}.
2-2．（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合 = { , , , }的所有非空真子集的元素之和为 2023，则
+ + + = .
【答案】289
【分析】写出集合A 的非空真子集，得到7 + 7 + 7 + 7 = 2023，求出 + + = 289.
【详解】因为集合 = { , , , }的所有非空真子集为：
{ },{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }，
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }，
所以有7 + 7 + 7 + 7 = 2023 7( + + + ) = 2023 + + + = 289.
故答案为：289
2-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）集合 a,b 的所有真子集为 ．
【答案】 ， a ， b
【分析】根据真子集的定义写出集合 a,b 的所有真子集即可．
【详解】解：集合 a,b 的所有真子集为： ， a ， b ，
故答案为： ， a ， b ．
2-4．（2024 高一上·山东济宁·期中）已知集合 A = x | x2 + 2x - a = 0 ，若 a = 3，请写出集合 A 的所有子集．
【答案】 ， -3 ， 1 ，{ 3,1}．
【分析】解集合 A 中的方程，得到集合 A，由子集的定义写出所有子集.
a = 3 A = x | x2【详解】当 时， + 2x - 3 = 0 = -3,1 ，
集合 A 的所有子集有 ， -3 ， 1 ，{ 3,1}．
题型 3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数
3-1．（2024·陕西咸阳·三模）设集合 A = {x N * | -1< x 3}，则集合 A 的真子集个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题意列举出集合A 中的元素，再用真子集个数公式 2n -1（ n 为集合中元素个数）计算即可．
【详解】因为 A = {x N * | -1< x 3}，
所以 A = {1,2,3}，
所以集合 A 的真子集个数是 23 -1 = 7 ，
故选：B．
3-2．（2024 高一上·全国·课后作业）集合 A = x x - 7 < 0, x N* 6 *，则 B = {y | N , y A}y 的子集的个数为
（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】D
【分析】先求出A ，再找出A 中 6 的正约数，可确定集合 B ，进而得到答案．
【详解】集合 A = {x | x - 7 < 0， x N*} = x | x < 7, x N* = {1,2,3,4,5,6 ,
B = {y | 6 N*, y A} = 1,2,3,6
y ，
故 B 有 24 = 16 个子集.
故选：D．
3-3．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合 A = x -1< x < 3, x Z ，则集合A 的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】先求出集合A 中包含的元素个数，再求真子集个数.
【详解】集合 A = x -1< x < 3, x Z = 0,1, 2 ，
所以集合A 的真子集个数为： 23 -1 = 7 .
故选：B.
3-4．（2024 高三·全国·对口高考）若集合 A 满足{1,2} A {1,2,3,4,5}，则集合 A 所有可能的情形有（ ）
A．3 种 B．5 种 C．7 种 D．9 种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论 A 所含元素的可能性即可.
【详解】由{1,2} A {1,2,3,4,5}，可知集合 A 必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能： 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,2,3,4 , 1,2,3,5 , 1, 2,4,5 七种可能.
故选：C
3-5．（2024·河南开封·三模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x x = ab,a,b A ，则集合 B 的真子集个数是
（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到集合 B ，然后根据集合 B 中元素的个数求集合 B 的真子集个数即可.
【详解】由题意得B = -1,0,1 ，所以集合 B 的真子集个数为 23 -1 = 7 .
故选：C.
题型 4：根据子集、真子集个数求参数
ì 1 ü
4-1 2．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合 A = x x + mx 0 ，B = í- ,m -1 ，且 A B 有 4 个子集，则实数m
3
的最小值是 .
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根据 A B 的子集个数，得到 A B 元素个数，分m -1
1
> - 和m -1
1
< - 讨论，进而得到实数 m 的
3 3
取值范围.
【详解】由 A B 有 4 个子集，所以 A B 中有 2 个元素，
所以B I A = B A = x x2，所以 + mx 0 = x - m x 0 ，
ì 1
-m -
ì-m m -1 3
1 2 1 2
所以满足 í 1 m <
，或 ím -1 > - < m 1，
m -1< - 2 3 3 3 3 m -1 0
1 2 2
综上，实数m 的取值范围为 m < ，或 < m 1，
2 3 3
1
故答案为：
2
4-2．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合M = x∣ m +1 x2 - mx + m -1 = 0 恰有 1 个真子集，则m 的取
值是（ ）
A．-1 B 2 3 C 2 3． ．± D 2 3．± 或-1
3 3 3
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得集合M 有且只有一个元素，然后分m +1 = 0与m +1 0讨论，即可得到结
果.
【详解】因为集合M = x∣ m +1 x2 - mx + m -1 = 0 恰有 1 个真子集，则集合M 有且只有一个元素，
当m +1 = 0时，即m = -1，则M = x x - 2 = 0 = 2 ，符合题意；
当m +1 0时，即m -1，则关于 x 的方程 m +1 x2 - mx + m -1 = 0只有一个实数解，
2
则D = m - 4 m +1 m -1 = 4 - 3m2 = 0 2 3，解得m = ± ；
3
m = -1 m 2 3综上所述， 或 = ± .
3
故选：D
4-3 2024· · P = x∣- 2 x < m - m2．（ 四川内江 三模）若集合 , x Z 有 6 个非空真子集，则实数m 的取值范围
为（ ）
A．( 0, 1) B．[0,1) C． (0,1] D．[0,1]
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出集合 P 中元素，再列出不等式求解即得.
【详解】由集合P = x∣- 2 x < m - m2 , x Z 有 6 个非空真子集，得集合 P 中有 3 个元素，为-2, -1,0，
因此0 < m - m2 1，解得0 < m <1，
所以实数m 的取值范围为( 0, 1) .
故选：A
（三）
集合的相等与空集
1、两集合相等常见考法及解法：
(1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知
相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一
致．若均一致，则两集合相等．
(3)证明集合 A与 B相等的常用思路是“证 A B且 B A”．
2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元
素的集合，且规定 .
3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易
错之处是忽视集合 B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为 A B时，则不需要考虑集合 B为空集的特
殊情况．
题型 5：判断集合相等
5-1．（2024 高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = (x, y) x + y =1 , N = y x + y =1 B．M = {1,2}, N = {2,1}
C．M = {(3,2)}, N = {(2,3)} D．M = {1,2}, N = {(1,2)}
【答案】B
【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.
【详解】对 AD，两集合的元素类型不一致，则M N ，AD 错；
对 B，由集合元素的无序性可知，M = N ，B 对；
对 C，两集合的唯一元素不相等，则M N ，C 错；
故选：B
5-2．（24-25 高一上·上海· 3随堂练习）下列集合 x | x = 1 ，{x | x2 1} 1 ìx | 1= = 1ü， ， í 中，有一个与众不
x
同的集合是（ ）．
ì 1 ü
A 3 2． x | x =1 B． x | x =1 C． 1 D． íx | = 1x
【答案】B
【分析】解方程求出各集合，即可得出结论.
3 2
【详解】易知 x | x =1 = 1 ， x | x =1 = ±1 ìx | 1 =1ü， í x = 1 ，
只有 B 表示 ±1 ，其它 A、C、D 均表示 1 ，B 与众不同．
故选：B
5-3．（2024 高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {整数}， N = {整数集}
B．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
C．M = {(x, y) | x + y =1}， N = {(y, x) | x + y =1}
D．M = {1,2}， N = {(1,2)}
【答案】C
【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可.
【详解】A 选项，M = {整数}中的元素是整数， N = {整数集}中的元素是整数集，故不是同一集合；
B 选项，M = {(3,2)}中的元素是(3,2)， N = {(2,3)}中的元素是(2,3)，故不是同一集合；
C 选项，M = {(x, y) | x + y =1}与 N = {(y, x) | x + y =1}都表示直线 x + y =1上的所有点，故是同一集合；
D 选项，M = {1,2}中的元素是数 1，2， N = {(1,2)}中的元素是有序数对 (1, 2)，故不是同一集合；
故选：C.
题型 6：利用集合相等求参数
6-1．（2024 高一上·广东江门·期末）设 a,b R ，P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，则 a - b = .
【答案】-2
【分析】由集合相等的定义，计算集合内的元素.
【详解】P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，则有 a = -1,b =1， a - b = -2 .
故答案为：-2.
6-2．（2024 2高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合 A = 0,1, a ，B = 1,0,3a - 2 ，若 A = B，则 a等于
（ ）
A．1 或 2 B．-1或-2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得 a的值.
【详解】解：因为 A = B，所以 a2 = 3a - 2 ，解得 a =1或 a = 2 .
当 a =1时， a2 =1，与集合元素互异性矛盾，故 a =1不正确.
经检验可知 a = 2符合.
故选：C
【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，是基础题.
6-3．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = x a -1< x < 2a +1 ，B = x x2 - 6x + 5 < 0 ．若 A = B，求实
数 a的值；
【答案】 a = 2
【分析】由一元二次不等式的解法与集合相等的概念求解，
2
【详解】由已知得B = x x - 6x + 5 < 0 = x 1< x < 5
Q A = B
ì a -1 =1
\í ，
2a +1 = 5
解得 a = 2；
题型 7：空集及其应用
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且 M＝ ，则实数 m 的取值范围是 .
【答案】m≥1
【详解】∵M＝ ，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案为 m≥1
ìx + a +1 > 0
7-2．（2024 高二上·上海闵行·开学考试）不等式组 í (a 0) a
ax 0
的解集为 ，则实数 的取值范围
>
是 .
【答案】{a | a -1}
【分析】分 a > 0, a < 0两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论．
ìx + a +1 > 0
【详解】解：∵不等式组 í (a 0)
ax 0
的解集为 ，
>
ìx + a +1 > 0
①当 a > 0时，由 ax > 0求得 x > 0；由 x + a +1 > 0，求得 x > -a -1，故不等式组 í (a 0)
ax
的解集
> 0
为{x | x > 0} ，故不满足条件；
②当 a < 0时，由 ax > 0求得 x < 0 ；由 x + a +1 > 0，求得 x > -a -1，
ìx + a +1 > 0
若 1 ≥ 0，即 a -1时，不等式组 í (a 0)ax 0 的解集为 ，满足条件； >
ìx + a +1 > 0
若-a -1< 0，即0 > a > -1时，不等式组 í (a 0) 的解集为{x | -a -1< x < 0} ax 0 ，不满足条件， >
综上可得实数 a的取值范围是{a | a -1}，
故答案为：{a | a -1}．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
7-3．（2024 高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 x R a x 2 为空集，则实数 a的取值范围是 .
【答案】{a a > 2或 a < -2}
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合 x R a x 2 为空集，所以 a > 2，即 a > 2或 a < -2 .
故答案为：{a a > 2或 a < -2}
7-4．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6 或 x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6 且 x<1}
【答案】D
【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【详解】A 选项：±1 {x R | x2 -1 = 0}，不是空集；B 选项：$7 {x|x>6 或 x<1}，不是空集；
C 选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于 6 又小于 1 的数，
即：{x|x>6 且 x<1}= .
故选：D
7-5．（山西省朔州市平鲁区李林中学 2023-2024 学年高一（平行班）上学期月考一数学试题）下列各式中：
① 0 0,1,2 ；② 0,1,2 2,1,0 ；③ 0,1,2 ；④ = 0 ；⑤ 0,1 = 0,1 ；⑥ 0 = 0 .正确的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则 0,1,2 2,1,0 ，正确；
③空集是任意集合的子集，故 0,1,2 ，正确；
④空集没有任何元素，故 0 ，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故 0,1 , 0,1 为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
7-6．（2024 高一·上海·专题练习）下列六个关系式：① a,b = b, a ；② a,b b, a ；③ = ；
④ 0 = ；⑤ 0 ；⑥ 0 0 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与
集合的关系可判定⑥.
【详解】①正确，集合中元素具有无序性；
②正确，任何集合是自身的子集；
③错误， 表示空集，而 表示的是含 这个元素的集合，所以 = 不成立.
④错误， 表示空集，而 0 表示含有一个元素 0 的集合，并非空集，所以 0 = 不成立；
⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；
⑥正确，由元素与集合的关系知，0 0 ．
故选：C.
（四）
利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具
体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论 A＝ 和 A≠ 两种情况，前
者常被忽视，造成思考问题不全面．
题型 8：利用集合的包含关系求参数问题
8-1．（2024 高一下·上海宝山·期中）已知集合 A = 1 , B = x x2 + 2x + a = 0, x R ，且 ，则实数 a 的值
是 ．
【答案】-3
【分析】根据 A B 得出 x =1是方程 x2 + 2x + a = 0的解，将 x =1代入方程 x2 + 2x + a = 0中进行计算，即可
得出结果.
【详解】因为 A = 1 ，B = x x2 + 2x + a = 0 ， A B ，
所以 x =1是方程 x2 + 2x + a = 0的解，
即12 + 2 1+ a = 0，解得 a = -3 .
经检验， a = -3符合题意，所以 a = -3 .
故答案为：-3 .
8-2．（2024 2 2高二上·广东梅州·期末）已知集合 A = x | x - 3x + 2 0 , B= x | x - a +1 x + a 0
（1）当 A = B 时，求实数 a的值；
（2）当 时，求实数 a的取值范围.
【答案】（1） = 2；（2） 2, +
【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合 A = x |1 x 2 ,化简集合B = x |1 x a ,（1）利
用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.
详解：由 x2 - 3x + 2 0，可得1 x 2，
所以 A = x |1 x 2 ,
由 x2 - (a +1)x + a 0 可得，1 x a
集合B = x |1 x a ,
（1）因为 A = B，所以 a = 2；
（2）因为 A B ，所以 a 2，
即实数 a的范围是[2, + ∞).
点睛：本题主要考查集合相等与集合子集的定义，意在考查对基本概念掌握与理解的熟练程度.
8-3．（2024·吉林·模拟预测）已知集合 A = x N | x < 2 , B = x∣ax -1 = 0 ，若 B A ，则实数 a =（ ）
1 1
A． 或 1 B．0 或 1 C．1 D．
2 2
【答案】B
【分析】先求得合 A = 0,1 ，再分 a = 0和 a 0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
*
【详解】解：由集合 A = x N | x < 2 = 0,1 ，
对于方程 ax -1 = 0，
当 a = 0时，此时方程无解，可得集合B = ，满足 B A ；
1 1
当 a 0时，解得 x = ，要使得 B A ，则满足 =1，可得 a =1，
a a
所以实数 a的值为0 或1.
故选：B.
8-4．（2024 高一·全国· 2 2课后作业）已知集合 A = x∣2x - x - 3 = 0 , B = x∣ax - x - 3 = 0 ，若B A，则实数
a 的取值集合为（ ）
{2} {2,0} ì2, 1 ü {2}U , 1 A． B． C． í -12
D． - -
è 12 ÷
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.
【详解】 A = x∣2x2 - x - 3 = 0 = ì 1, 3- ü 1í ,由于B A，故B = 时，则 a 0且D =1+12a < 0 a < - ，
2 12
若 B 中只有一个元素，
ìΔ =1+12a = 0 a 1① B 中的方程为一元二次方程，则 í = - ，此时B = -6 a 0 ,不合题意，舍去； 12
② B 中的方程为一元一次方程，则 a = 0，则 x = -3，则B = -3 ，此时不符合B A，舍去，
当B = A时，则 a = 2符合题意，
1
综上可知： a = 2或 a < - ，
12
故选：D.
一、单选题
1．（2024 高一上·福建福州·期中）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
【答案】D
【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即
可求解.
【详解】因为集合M = {x N* | -1 x 2} = {1,2}，
对于 A，因为0 M = {1,2}，故选项 A 错误；
对于 B， 是一个集合，且 M ，故选项 B 错误；
对于 C，因为集合M = {1,2}，所以集合{0,1}与集合M 不存在包含关系，故选项 C 错误；
对于 D，因为集合M = {1,2}，任何集合都是它本身的子集，所以{1,2} M ，故选项 D 正确，
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于 A：集合{(a,b)}为点集，含有元素 a,b ，集合{a,b}含有两个元素 a，b ，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故 A 错误；
对于 B：{0,2} Z，故 B 正确；
对于 C： {0}，故 C 正确；
对于 D：因为{0,1} = {1,0}，所以{0,1} {1,0}，故 D 正确；
故选：A
3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中为 的是（ ）
A． 0 B．
C．{x | x2 + 4 = 0} D．{x | x +1 2x}
【答案】C
【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，由集合 0 中有一个元素0 ，不符合题意；
对于 B 中，由集合 中有一个元素 ，不符合题意；
对于 C 中，由方程 x2 + 4 = 0，即 x2 = -4 ，此时方程无解，可得{x | x2 + 4 = 0} = ，符合题意；
对于 D 中，不等式 x +1 2x ，解得 x 1，{x | x +1 2x} = x | x 1 ，不符合题意.
故选：C.
4．（2024 高一上·云南德宏·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若 x A，则 x B
【答案】D
【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果
【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；
B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；
C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；
D 选项，若B A，则 B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则 B 中也没有；故 D 正确.
故选：D.
5．（2024 高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若 A，则 A = ；
④任何集合至少有两个子集．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】A
【分析】根据空集的性质判断即可.
【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；
③空集是任何集合的子集，集合A 不一定等于空集，所以③错；
④空集只有自己本身一个子集，所以④错.
故选：A.
6．（2024 高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式① ；② ；③ 0 ；④ 0 ；
⑤ = 0 ；⑥ ，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：
是 的一个元素，故 ，①正确；
是任何非空集合的真子集，故 、 0 ，②③正确；
没有元素，故0 ，④正确；且 0 、 ，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
7．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据空集的定义和性质判断即可.
【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而
集合{0}含有一个元素 0，故③错误．故正确命题个数为 0.
答案：A.
8．（2024·江苏南京·二模）集合 A = x N 1< x < 4 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】确定 A = 2,3 ，再计算子集个数得到答案.
【详解】 A = x N 1< x < 4 = 2,3 ，故子集个数为 22 = 4 .
故选：B
9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知集合M 满足 2,3 M 1,2,3,4 ，那么这样的集合M 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，利用列举法计数即可.
【详解】∵ 2,3 M 1,2,3,4 ，∴要确定集合 M,只需确定 1 和 4 是否放置在其中，
共有 4 种情况， 2,3 ， 1,2,3 , 2,3,4 , 1,2,3,4 ，
故选：D
10．（2024·全国）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则 a =（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．-1
3
【答案】B
【分析】根据包含关系分a - 2 = 0和 2a - 2 = 0 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 A B ，则有：
若a - 2 = 0，解得 a = 2，此时 A = 0,-2 ，B = 1,0,2 ，不符合题意；
若 2a - 2 = 0 ，解得 a =1，此时 A = 0,-1 ，B = 1, -1,0 ，符合题意；
综上所述： a =1 .
故选：B.
11．（辽宁省朝阳市建平县实验中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）集合 A = x x < -1或
x 3 ，B = x ax +1 0 若B A，则实数 a的取值范围是（ ）
é 1- ,1 é 1 ùA． ê ÷ B． - ,1 3 ê 3 ú
C． - ,1 0, 1+ D é． ê- ,0
÷ 0,1
3
【答案】A
【分析】根据B A，分B = 和B 两种情况讨论，建立不等关系即可求实数 a的取值范围．
【详解】QB A，
\①当B = 时，即 ax +1 0无解，此时 a = 0，满足题意．
②当B 时，即 ax +1 0有解，
当 a > 0时，可得 x
1
- ，
a
ìa > 0
要使B A，则需要 í 1 ，解得0 < a <1．
- < -1
a
1
当 a < 0时，可得 x - ，
a
ìa < 0
1
要使B A，则需要 í 1 ，解得- a < 0，
- 3 3
a
综上，实数 a
é 1
的取值范围是 ê- ,1
．
3 ÷
故选：A．
12．（2024 高三下·北京海淀·开学考试）集合 A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，若B A，则
实数 a的取值范围是（ ）
A． 1 B． 0,1 C． 0 D．
【答案】C
【分析】分 a = 0、 a > 0和 a < 0三种情况讨论，分别求出集合 B ，再根据集合的包含关系求出参数的取值
范围.
【详解】因为 A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，
当 a = 0时B = ，此时B A，符合题意；
当 a 0时，
B ìx | x 1 ü若 a > 0则 = í - ,a Z ，因为B A，
a
1
所以- < -1，解得0 < a <1，又 a Z ，所以 a ，
a
B ì 1若 a < 0则 =
ü
íx | x - ,a Z ，因为B A，
a
1 3 1所以- ，解得- a < 0，又 a Z ，所以 a ，
a 3
综上可得 a = 0，即实数 a的取值范围是 0 .
故选：C
13．（2024 高一上·贵州遵义·期末）已知集合 A = x |0 x < 5,且 x N ，则集合 A 的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】D
【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有 n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.
【详解】因为 A = x |0 x < 5,且 x N = 0,1,2,3,4 ，可知，集合A 中含有 5 个元素，所以集合A 的子集个
数为 25 = 32 .
故选：D.
14．（2024·山东济南·一模）已知集合 A = x y = x - 2 ，B = x x a ，若 A B ，则 a 的取值范围为
（ ）
A． ≤ 2 B． a 2 C． a 0 D． a 0
【答案】A
【分析】先根据定义域求出 A = x x 2 ，由 A B 得到 a 的取值范围.
【详解】由题意得 x - 2 0，解得 x 2，故 A = x x 2 ，
因为 A B ，所以 ≤ 2.
故选：A
15．（2024 高一下·湖北孝感·开学考试）下面五个式子中：① a a ；② a ；③ a a,b ；
④ a a ；⑤ a b,c, a ，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
【答案】C
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.
【详解】解：①中， a是集合 a 中的一个元素， a a ，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中， a 是 a,b 的子集， a a,b ，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中， a是 b,c,a 的元素，所以⑤正确.
故选：C.
16．（2024 高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知集合 A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，则下列说法正确的是
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
【答案】C
【分析】利用集合间的包含关系，结合数轴法即可得解.
【详解】因为 A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，
所以由数轴法可知 A B .
故选：C．
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合 A = {-2,3,1}，集合B = {3,m2} .若B A，则实数m 的取值集合为
（ ）
A．{1} B．{ 3}
C．{1,-1} D．{ 3, - 3}
【答案】C
【分析】根据 B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.
【详解】由于B A，所以m2 =1 m = ±1，
所以实数 m 的取值集合为{1,-1} .
故选：C
ì 2 ü
18．（2024 高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知集合 A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，则实数 x =（x ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
【答案】A
2
【分析】根据集合的包含关系可得： = 2，解之即可求解.
x
ì 2 ü
【详解】因为集合 A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，
x
2
所以 {0,2,1}
2 2
，且 1，则 = 2，解得： x =1，
x x x
故选：A .
ì 1 ü ì 4 1 ü
19．（2024 高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合 A = íx | x = 2k +1 ,k Z9 ， B = íx | x = k ± ,k Z ， 9 9
则集合 A， B 之间的关系表示最准确的为（ ）
A． A B B．B A C． A=B D． A与 B 互不包含
【答案】C
【分析】对 k 分奇偶进行讨论，即可判断集合 A， B 之间的关系.
【详解】对于集合 A，当 k 2n n Z A ìx | x 4 n 1= 时， = í = + , n Zü ，当 k = 2n -1 n Z 时，
9 9
A 4 1= ìíx | x = n - ,n Z
ü
，所以 A=B .
9 9
故选：C.
20．（2024 高一上·上海杨浦·期末）设 a，b 是实数，集合 A = x x - a <1, x R ， B = x || x - b |> 3, x R ，
且 A B ，则 a- b 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 2, + D． 4, +
【答案】D
【分析】解绝对值不等式得到集合 A, B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】集合 A = x x - a <1, x R = x | a -1 < x < a +1 ，
B = x x - b 3, x R = x | x < b - 3或 x > b + 3
又 A B ，所以 a +1 b - 3或 a -1 b + 3
即 a - b -4或 a - b 4，即 a - b 4
所以 a- b 的取值范围为 4, +
故选：D
21 2．（2024 高一上·上海徐汇·期中）设集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x2 + ax + 2 > 0 ，
Q = x | x2 + x + b > 0 Q = x | x21 ， 2 + 2x + b > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 a，P1是P2的子集，对任意的 b， 1不是 2的子集
B．对任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得P1不是P2的真子集，对任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得P1不是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
【答案】B
【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.
2 2
【详解】解：对于集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x + ax + 2 > 0
可得当m P1，即m2 + am +1 > 0，可得m2 + am + 2 > 0 ，即有m P2，可得对任意 a，P1是P2的子集；
当b = 5 2时，Q1 = x x + x + 5 0 = R ，Q 22 = x x + 2x + 5 0 = R ，可得 1是 2的子集；
当b =1 2时，Q1 = x x + x +1 0 = R ，Q2 = x x2 + 2x +1 0 = {x | x -1且 x R}，可得 1不是 2的子集；
综上有，对任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集.
故选：B.
22．（2024·上海普陀·一模）设集合 A = x x - a =1 ，B = 1, -3,b ，若A B ，则对应的实数对 (a , b ) 有
A．1对 B． 2对 C．3对 D． 4对
【答案】D
【解析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对．
【详解】解：因为集合 A = {x || x - a |= 1}，
所以 A = {a -1， a +1}，
因为 B = {1，-3，b}， A B ，
所以 a -1 =1，或 a -1 = -3，或 a -1 = b，
①当 a -1 =1时，即 a = 2， A = {1，3}，此时可知 B = {1，-3，3}，成立，即 a = 2，b = 3；
②当 a -1 = -3时，即 a = -2 ， A = {-3， -1}，此时可知 B = {1，-3， -1}，成立，即 a = -2 ，b = -1；
③当 a -1 = b时，则 a +1 =1或 -3:
当 a +1 =1时，即 a = 0， A = {-1，1}，此时可知 B = {1，-3， -1}，成立，即 a = 0，b = -1；
当 a +1 = -3时，即 a = -4 ， A = {-5，-3}，此时可知 B = {1，-3， -5}，成立，即 a = -4 ， = 5；
综上所述： a = 2，b = 3，或 a = -2 ，b = -1，或 a = 0，b = -1，或 a = -4 ， = 5，共 4 对．
故选：D．
【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．
二、多选题
23．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，则下列关系正确的是（ ）
A． A = B B． A B C．B A D． B A
【答案】CD
【分析】根据已知集合判断两个集合间关系判断选项即可.
【详解】因为集合 A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，所以根据子集及真子集的定义可知B A, B A .
故选：CD.
ì 1 1 ü
24．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝ í- , ，B＝{x|ax＋1＝0}，且 B A，则实数 a 的取值可能
3 2
为（ ）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
【答案】BCD
ì 1 , 1- ü 1 1【分析】由题得 B＝ í ，{- }，{ }， ，再分四种情况讨论得解.
3 2 3 2
ì 1 1 ü
【详解】由题知 B A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝ í- , .
3 2
ì 1 1
所以 B＝ í- ,
ü 1 1
，{- }，{ }， .
3 2
3 2
ì 1 1 ü
当 B＝ í- , 时，此种情况不可能，所以舍去；
3 2
1
当 B＝{- }
1
时，- a +1 = 0，解得 a＝3；
3 3
1 1
当 B＝{ }时， a +1 = 0，解得 a＝－2；
2 2
当 B＝ 时，a＝0.
综上可得实数 a 的可能取值为 3，0，－2.
故选：BCD.
25．（2024 高一上·四川泸州·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A． = 0
B．若 a Z ，则-a Z
C．集合 y y = 2x, x Q 是无限集
D．集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 4 个
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z，Q的含义，即可求解．
【详解】对于 A： 是指不含任何元素的集合，故 A 错误；
对于 B：若 a Z，则-a Z ，故 B 正确；
对于 C：有理数有无数个，则集合 y y = 2x, x Q 是无限集，故 C 正确；
对于 D：集合 x -1 < x < 2, x N = 0,1 元素个数为 2 个，
故集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 22 = 4个，故 D 正确．
故选：BCD．
26．（2024·广东肇庆·三模）已知集合 A = x R x2 - 3x -18 < 0 ，B = x R x2 + ax + a2 - 27 < 0 ，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 A = B，则 a = -3 B．若 A B ，则 a = -3
C．若B = ，则 ≤ 6或 a 6 D．若 B A时，则-6 < a -3或 a 6
【答案】ABC
【分析】求出集合A ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】 A = x R -3 < x < 6 ，若 A = B，则 a = -3，且 a2 - 27 = -18，故 A 正确.
a = -3时， A = B，故 D 不正确.
若 A B ，则 -3 2 + a × -3 + a2 - 27 0且62 + 6a + a2 - 27 0，解得 a = -3，故 B 正确.
当B = 时， a2 - 4 a2 - 27 0，解得 ≤ 6或 a 6，故 C 正确.
故选：ABC．
27．（2024 高一上· 2福建泉州·阶段练习）已知集合 A = x∣ax + 2x + a = 0,a R ，若集合 A 有且仅有 2 个子
集，则 a 的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】根据条件可知集合A 中仅有一个元素，由此分析方程 ax2 + 2x + a = 0为一元一次方程、一元二次方
程的情况，从而求解出 a的值.
【详解】因为集合A 仅有 2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，
当 a = 0时， 2x = 0，所以 x = 0，所以 A = 0 ，满足要求；
当 a 0时，因为集合A 中仅有一个元素，所以D = 4 - 4a2 = 0，所以 a = ±1，此时 A = 1 或 A = -1 ，满足
要求，
故选：BCD.
28．（2024 高一上·河北保定·期中）若集合 A 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x, y} A，
y
则 xy， x + y A，且当 x 0 时， A，则称集合 A 是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
x
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合 A 是“紧密集合”，且 x， y A，则 x - y A
【答案】BC
【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
1
【详解】A 选项：若 x = 2， y =1，而 Z ，故整数集不是“紧密集合”，A 错误；
2
B 选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B 正确；
C 选项：集合 -1,0,1 是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C 正确；
D 选项：集合 A = {-1,0,1}是“紧密集合”，当 x =1， y = -1时， x - y = 2 A，D 错误．
故选：BC.
【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手.
三、填空题
29．（2024 高一上·湖北武汉·期末）已知集合 A = x R | ax2 + 2(a +1)x + a = 0 没有非空真子集，则实数 a 构
成的集合为 .
【答案】 0 ìa a 1 ü í - 2
【分析】根据题意可得集合A 中元素的个数为 1 或 0 个，再分情况讨论即可，注意 a = 0这种情况.
【详解】解：因为集合 A = x R | ax2 + 2(a +1)x + a = 0 没有非空真子集，
所以集合A 中元素的个数为 1 或 0 个，
当集合A 中元素的个数为 1 个时，
若 a = 0，则有 2x = 0，解得 x = 0，符合题意，
1
若 a 0，则有D = 4 a +1 2 - 4a2 = 0，解得 a = - ，2
当集合A 中元素的个数为 0 个时，
ìΔ = 4 a +1 2 - 4a2 < 0 1
则 í ，解得 <
a 0 2
，
1
综上 a = 0或 a - ，
2
即实数 a 构成的集合为 0 ì 1 ü ía a - .
2
故答案为： 0 ì 1 ü ía a - 2 .
30．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x | x 4或 x < -5 ，B = x | a +1 x a + 3 ，若B A，则
实数 a的取值范围 ．
【答案】 a |a < -8或 a 3
【分析】根据B A，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数 a的取值范围.
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使B A，只需 a + 3 < -5或 a +1 4，解得 a < -8或 a 3．
所以实数 a的取值范围 a |a < -8或 a 3 .
故答案为： a |a < -8或 a 3
31．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x x < -1或 x > 4 ，B = x 2a x a + 3 ，若B A，则实数
a的取值范围是 ．
【答案】 a a < -4或 a > 2
【分析】分B = 和B 两种情况讨论，结合B A得出关于实数 a的不等式组，解出即可得出实数 a的
取值范围.
【详解】当B = 时， 2a > a + 3，即 a > 3，满足要求；
ìa + 3 2a ìa + 3 2a
当B 时，根据题意作出如图所示的数轴，可得 ía 3 1 或 + < -
í
2a > 4
，
解得 < 4或 2 < a 3．
综上，实数 a的取值范围为 a a < -4或 a > 2 .
故答案为 a a < -4或 a > 2 .
【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，
结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
32 2．（2024 高一上·湖南湘西·阶段练习）已知集合M = x x + x - 6 = 0 ，N = x mx -1 = 0 ，若 N M ，则
实数 m 的取值构成的集合为___________.
ì
【答案】 í0,
1 , 1- ü
2 3
【分析】先化简集合 M，然后再根据 N M，求出 m 的值，即可求解．
【详解】∵集合M = x x2 + x - 6 = 0 ，
∴集合M = 2, -3 ，
∵ N M ， N = x mx -1 = 0 ，
∴ N = ，或 N = 2 ，或 N = -3 三种情况，
当 N = 时，可得m = 0；
当 N = 2 时，∵ N = x mx -1 = 0 ，∴ x 1 1= = 2，∴ m = ；
m 2
当 N = -3 1 1， x = = -3，∴ m = - ；
m 3
∴ ì
1 1ü
实数 m 的取值构成的集合为 í0, , - ，
2 3
ì
故答案为： í0,
1 , 1- ü
2 3
33．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 M 满足 0,1 M 0,1,3,5,6 则集合 M 的个数为 ．
【答案】7
【分析】直接根据集合的关系列举出集合M 即可得结果.
【详解】因为 0,1 M 0,1,3,5,6 ，
所以M 可以为： 0,1,3 ， 0,1,5 ， 0,1,6 ， 0,1,3,5 ， 0,1,3,6 ， 0,1,5,6 ，
0,1,3,5,6 共计 7 个，
故答案为：7.
34．（2024 2高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且仅有两个子集，则 a的
取值集合为 .
【答案】 0,2,8
【分析】根据题意集合 A 有一个元素，考虑 a = 0和 a 0两种情况，计算得到答案即可.
2
【详解】由题意，集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且仅有两个子集，则集合A 只有一个元素，
当 a = 0时，-8x +1 = 0，解得 x
1
= ，符合题意；
8
当 a 0时，D = 2a -8 2 - 4 2a 1 = 0，解得 a = 2或 a = 8，
a ì
1 ü
当 = 2时， A = x 4x2 - 4x +1 = 0 = í2 ，符合题意，
1
当 a = 8时， A = x 16x2 + 8x +1 = 0 = ì üí- ，符合题意.
4
综上所述， a的取值集合为 0,2,8 .
故答案为： 0,2,8 .
35．（2024 高三·全国·专题练习）已知 A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1 或 x>4}，若 A B ，则实数 a 的
取值范围是 ．
【答案】a<－4 或 a>2
【分析】按集合 A 为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数 a 的取值范围.
【详解】①当 a>3 即 2a>a＋3 时，A＝ ，满足 A B ；.
②当 a 3 即 2a a＋3 时，若 A B ，
ì2a a + 3
则有 ía + 3 -1 2a 4，解得 a<－4 或 2
综上，实数 a 的取值范围是 a<－4 或 a>2.
故答案为：a<－4 或 a>2
36．（2024 高一上·广西玉林·期中）设集合 A={ x - 3 x 2 }，B={x k -1 x 2k +1}，且 A B，则实数 k
的取值范围是 (写成集合形式).
1
【答案】{k | k < -2或- 2 k }
2
【分析】由B A知，集合 B 为 A 的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得 k 的范围.
【详解】由B A知，集合 B 为 A 的非空子集或空集，
ìk -1 -3
即 í2k +1 2 或 k -1 > 2k +1，
k -1 2k +1
2 k 1解得 k < -2或-
2
1
故答案为：{k | k < -2或- 2 k }
2
37．（2024·上海普陀·一模）设非空集合Q M ，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本
身），称Q是M 的偶子集，若集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，则其偶子集Q的个数为 .
【答案】63
【分析】对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.
【详解】集合Q中只有 2个奇数时，则集合Q的可能情况为： 1,3 、 1,5 、 1,7 、 3,5 、 3,7 、 5,7 ，
共6 种，
若集合Q中只有 4个奇数时，则集合Q = 1,3,5,7 ，只有一种情况，
若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；
若集合Q中只含 2个偶数，则集合Q可能的情况为 2,4 、 2,6 、{4,6}，共3种情况；
若集合Q中只含3个偶数，则集合Q = 2,4,6 ，只有1种情况.
因为Q是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7 ；
若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7 种；
若集合Q中的元素是 2个奇数1个偶数，共6 3 =18种；
若集合Q中的元素为 2个奇数 2个偶数，共6 3 =18种；
若集合Q中的元素为 2个奇数3个偶数，共6 1 = 6种；
若集合Q中的元素为 4个奇数1个偶数，共1 3 = 3种；
若集合Q中的元素为 4个奇数 2个偶数，共1 3 = 3种；
若集合Q中的元素为 4个奇数3个偶数，共1种.
综上所述，满足条件的集合Q的个数为7 + 7 +18 +18 + 6 + 3+ 3+1 = 63 .
故答案为：63 .
38．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知集合 A = {x∣- 3 x 4}, B = {x∣2m -1< x < m +1}，且B A，则实数 m
的取值范围是 .
【答案】 -1, +
【分析】分 B 为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.
【详解】解：分两种情况考虑：
①若 B 不为空集，可得： 2m -1< m +1，
解得：m < 2，
QB A, A = x | -3 x 4 ，
\2m -1 -3且m +1 4，
解得：-1≤m≤3，所以-1 m < 2 ,
②若 B 为空集，符合题意，可得： 2m -1 m +1，
解得：m≥ 2 .
综上，实数 m 的取值范围是 ≥ 1.
故答案为： -1, + .
四、解答题
39．（2024 高一·上海·课后作业）已知集合 A = {x | -2 x 5}, B = {x | m +1 x 2m -1} .
(1)若B A，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围.
【答案】(1){m | m 3}
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分B = 和B 两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合 A B ，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当B = 时，即m +1 > 2m -1，解得m < 2，此时满足B A；
②当B 时，要使得B A，
ìm +1 -2
则满足 í2m -1 5 ，解得 2 m 3，
2m -1 m +1
综上可得，实数m 的取值范围是{m | m 3} .
ìm +1 -2
（2）解：由题意，要使得 A B ，则满足 í2m -1 5 ，此时不等式组无解，
2m -1 m +1
所以实数m 不存在，即不存在实数m 使得 A B .
40．（2024 高一上· 2安徽芜湖·阶段练习）若集合 A = x | x + x - 6 = 0 ，B = {x | mx +1 = 0}，且 B A ，求实数
m 的值.
1
【答案】m
1
= 或m = - 或m = 03 2
【分析】分m = 0和m 0 两种情况讨论，结合已知即可得解.
【详解】 A = x | x2 + x - 6 = 0 = -3,2 ，
当m = 0时，B = A ，
1
当m 0 ì ü 时，B = {x | mx +1 = 0} = í- m
，
因为 B 1 1A ，所以 - = -3或- = 2m ，m
1 1
所以m = 或-3 ，2
m 1
1
综上所述， = 或m = - 或m = 0 .3 2
41．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合M = x -1 x 4 ．
(1)若 N = x m x 2m - 2 ， N M ，求实数m 的取值范围；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) m m 3 ；
ì 5 ü
(2) ím m 52
.
【分析】（1）根据题意，由 N M ，分类讨论当 N = 和 ≠ 两种情况，解不等式即可得出实数m 的取
值范围；
ì2m -1 > m - 6
（2）根据题意，由 ，得出 ím - 6 -1 ，解不等式即可求实数m 的取值范围．
2m -1 4
【详解】（1）解：由题可知M = x -1 x 4 ， N = x m x 2m - 2 ， N M ，
①若 N = ，则m > 2m - 2 ，即m < 2；
ìm 2m - 2
②若 ≠ ，则 í-1 m ，解得： 2 m 3；
2m - 2 4
综合①②，得实数m 的取值范围是 m m 3 ．
（2）解：已知M = x -1 x 4 ， N = x m - 6 x 2m -1 ， ，
ì2m -1 m - 6
则 ím - 6 -1
5
，解得： ≤ m≤52 ，
2m -1 4
m ìm 5 ü所以实数 的取值范围是 í m 52
．
42．（2024 高一上·山西太原· 2 2 2阶段练习）已知集合 A = x | x + 4x = 0 ，B = x | x + 2(a +1)x + a -1 = 0 .
（1）若 A B ，求 a的值；
（2）若B A，求 a的值.
【答案】（1） a =1；（2） a -1或 a =1 .
【分析】（1）由题 A = {-4,0}，集合 B 最多两个元素， A B ，则 A = B，所以集合 B 中的方程两根为-4,0，
即可求解；
（2）分类讨论： B 为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】（1）由题集合 B 最多两个元素， A = {-4,0}， A B ，则 A = B，所以集合 B 中的方程两根为-4,0，
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) > 0 -4=-2(a+1)，即 > 1，由根与系数的关系， 0=a2 -1 ，解得： a =1；
（2）由题B A， B 中最多两个元素，对于方程 x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0
当集合B = 时：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) < 0，即 a < -1时，方程无解，B = ，符合题意；
当集合 B 中只有一个元素时：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) = 0，即 a = -1时，方程的解为 x = 0，B = {0}，符合题意；
当 B 中有两个元素时：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) > 0，即 > 1时，方程有两个不同实根，集合 B 有两个元素，
此时则 A = B，所以集合 B 中的方程两根为 x1 = -4, x2 = 0，由根与系数的关系， -4=-2(a+1)0=a2 -1 ，解得： a =1；
综上所述： a -1或 a =1 .
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合 B 是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中
元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
43．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x x2 - ax + 4 = 0 ，B = 1,4 ，且 A B ，求实数 a 的取值范
围．
【答案】{a∣- 4 < a < 4或 a = 5}
【分析】根据题意分 A = 和 ≠ 讨论，在 ≠ 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.
【详解】由题意知Q A B，若 A = ，则D = a2 - 4 4 < 0，解得-4 < a < 4，
若 ≠ ， D = a2 -16 = 0，解得 a = 4或-4，
当 a = 4时，则方程为 2 4 + 4 = 0，解得 x = 2，此时 A = {2}，不合题意，舍去，
当 a = -4 时，则方程为 x2 + 4x + 4 = 0，解得 x = -2， A = {-2}，不合题意，舍去，
当D > 0，即 a2 -16 > 0，解得 a > 4或 < 4，则由题意知 A = {1,4}，
则 1,4 为方程 x2 - ax + 4 = 0 两根，根据韦达定理得 a =1+ 4 = 5，
综上所述 a的范围是{a∣- 4 < a < 4或 a = 5} .
44．（2024 高一上·福建·阶段练习）已知集合M = x -2 x 5 .
(1)若 N = x m +1 x 2m -1 ， N M ，求实数m 的取值范围；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) m m 3
(2) m 3 m 4
【分析】(1)分 N 为空集和 N 不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2) ，则M 是 N 的子集，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）①若 N = ，则m +1 > 2m -1，即m < 2，此时 N M ；
ìm +1 2m -1
②若 ≠ ，则 í-2 m +1 ，解得 2 m 3 .
2m -1 5
综合①②，得实数m 的取值范围是 m m 3 .
ìm - 6 -2
（2）（2）若 ，则 í ，解得3≤m≤ 42m 1 5 ， -
所以实数m 的取值范围是 m 3 m 4 .
45．（2024 高一·全国·课后作业）设集合 A = x x2 -1 = 0 ，B = {x | x2 - ax + b = 0}，且B ．
(1)若 A B ，求实数 a,b的值；
(2)若 A C ，且C = -1,2m +1,m2 ，求实数m 的值．
【答案】(1) a = 0，b = -1
(2) m = 0或1
【分析】（1）先化简集合A ，再利用集合交集的定义求解即可；
（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】（1）由 x2 -1= 0解得 x = ±1，所以 A = {1, -1}，
因为 A B ，所以1, -1是集合 B 中元素，
ì1- a + b = 0
所以将 x = ±1代入 x2 - ax + b = 0得 í ，解得 a = 01 a b 0 ，
b = -1 .
+ + =
（2）因为 A C ，由（1）得1, -1是集合C 中元素，
当 2m +1 =1即m = 0时，此时C = {-1,1,0}符合题意；
当m2 =1时，① m =1，此时C = {-1,3,1}符合题意；
② m = -1，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上m = 0或1.
1
46．（2024 高一上·江苏苏州·开学考试）已知集合 A＝{x|02
实数 a 的取值范围．
1 ù
【答案】实数 a 的取值范围 - , 2 .
è 2 ú
【分析】对 a 是否为零进行讨论，分别满足 B A 列关系，即解得参数范围.
1
【详解】解： a = 0时，A＝R，B＝{x|－ 2
A ìx 1 4 ü= - < x 1 1 4a > 0时， í ，因为 B A，所以- - , 2 ，解得0 < a 2 ，
a a
a 2 a
ì 4 1 ü 4 1 1 1
a < 0时， A = íx x < - ，因为 B A，所以 - , 2 < - ，解得- < a < 0 ，
a a
a 2 a 2
1 ù
故综上可知，实数 a 的取值范围为 - , 2
è 2 ú
.
【点睛】本题考查了集合之间的子集关系，属于中档题.1.2 集合间的基本关系 8 题型分类
一、子集、真子集、集合相等的相关概念
1、子集：如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A B(或
B A)，读作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)．
2、真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真
子集。记作 A B 或(B A)
【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
【特别提醒】
符号“∈”与“ ”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
二、空集
1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2.规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
【思考】{0}与 表示同一集合吗？
提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素 0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
三、集合关系的性质
1.任何一个集合都是它本身的子集，即 A A.
2.对于集合 A，B，C，①若 A B，且 B C，则 A C；②若 A B，B C，则 A C.
3.若 A B，A≠B，则 A B.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论 A＝ 和 A≠ 两种情
况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
四、Venn 图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
（一）
集合间的关系判断
1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行
区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.
2、判断集合关系的方法.
（1）观察法：一一列举观察.
（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或 Venn 图.
提醒：若 A B 和 A B 同时成立，则 A B 更能准确表达集合 A，B 之间的关系.
题型 1：判断集合间的关系
1-1．（2024 高一·江苏·假期作业）设集合M = 1,2,3 ， N = 1 ，则下列关系正确的是（ ）
A． N M B． N M
C． N M D． N M
1-2．（2024·北京东城·二模）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，则（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
M ìx x m 1 ,m Zü N ìx x n 11-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 = í = + ， = í = - ,n Z
ü
，
6
2 3
P ìx x p 1= í = + , p Z
ü
，则 M、N、P 的关系满足（2 6 ）
A．M = N P B．M N = P C．M N P D． N P M
1-4．（2024 高一·全国· 2 * 2单元测试）设集合 A = x x = a +1, a N ，B = y y = b + 4b + 5,b N * ，则集合A
与 B 的关系是 ．
（二）
子集、真子集
1、求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
2、子集、真子集个数有关的 4 个结论
假设集合 A 中含有 n 个元素，则有
(1)A 的子集的个数有 2n个．
(2)A 的非空子集的个数有 2n－1 个．
(3)A 的真子集的个数有 2n－1 个．
(4)A 的非空真子集的个数有 2n－2 个．
题型 2：求集合的子集、真子集
2-1．（2024 高一·江苏·课后作业）设 A＝{1，2}，B＝{x|x A}若用列举法表示，则集合 B 是 .
2-2．（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合 = { , , , }的所有非空真子集的元素之和为 2023，则
+ + + = .
2-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）集合 a,b 的所有真子集为 ．
2-4．（2024 2高一上·山东济宁·期中）已知集合 A = x | x + 2x - a = 0 ，若 a = 3，请写出集合 A 的所有子集．
题型 3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数
3-1．（2024·陕西咸阳·三模）设集合 A = {x N * | -1< x 3}，则集合 A 的真子集个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
6
3-2．（2024 高一上·全国·课后作业）集合 A = x x - 7 < 0, x N* ，则 B = {y | N* , y A}y 的子集的个数为
（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
3-3．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合 A = x -1< x < 3, x Z ，则集合A 的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3-4．（2024 高三·全国·对口高考）若集合 A 满足{1,2} A {1,2,3,4,5}，则集合 A 所有可能的情形有（ ）
A．3 种 B．5 种 C．7 种 D．9 种
3-5．（2024·河南开封·三模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x x = ab,a,b A ，则集合 B 的真子集个数是
（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
题型 4：根据子集、真子集个数求参数
A x x2 mx 0 B ì 1 ü4-1．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合 = + ， = í- ,m -1 ，且 A B 有 4 个子集，则实数m
3
的最小值是 .
4-2．（2024 2高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合M = x∣ m +1 x - mx + m -1 = 0 恰有 1 个真子集，则m 的取
值是（ ）
A 2 3 2 3 2 3．-1 B． C．± D．± 或-1
3 3 3
4-3．（2024·四川内江·三模）若集合P = x∣- 2 x < m - m2 , x Z 有 6 个非空真子集，则实数m 的取值范围
为（ ）
A．( 0, 1) B．[0,1) C． (0,1] D．[0,1]
（三）
集合的相等与空集
1、两集合相等常见考法及解法：
(1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知
相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一
致．若均一致，则两集合相等．
(3)证明集合 A与 B相等的常用思路是“证 A B且 B A”．
2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元
素的集合，且规定 .
3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易
错之处是忽视集合 B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为 A B时，则不需要考虑集合 B为空集的特
殊情况．
题型 5：判断集合相等
5-1．（2024 高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = (x, y) x + y =1 , N = y x + y =1 B．M = {1,2}, N = {2,1}
C．M = {(3,2)}, N = {(2,3)} D．M = {1,2}, N = {(1,2)}
ì 1 ü
5-2．（24-25 · · x | x3 2高一上 上海 随堂练习）下列集合 = 1 ，{x | x =1}， 1 ， íx | = 1 中，有一个与众不
x
同的集合是（ ）．
A． x | x3 =1 B x | x2． =1 C． 1 ìx | 1 = 1üD． í
x
5-3．（2024 高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {整数}， N = {整数集}
B．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
C．M = {(x, y) | x + y =1}， N = {(y, x) | x + y =1}
D．M = {1,2}， N = {(1,2)}
题型 6：利用集合相等求参数
6-1．（2024 高一上·广东江门·期末）设 a,b R ，P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，则 a - b = .
6-2．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合 A = 0,1, a2 ，B = 1,0,3a - 2 ，若 A = B，则 a等于
（ ）
A．1 或 2 B．-1或-2 C．2 D．1
6-3．（2024 2高一·全国·专题练习）已知集合 A = x a -1< x < 2a +1 ，B = x x - 6x + 5 < 0 ．若 A = B，求实
数 a的值；
题型 7：空集及其应用
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且 M＝ ，则实数 m 的取值范围是 .
ìx + a +1 > 0
7-2．（2024 高二上·上海闵行·开学考试）不等式组 í (a 0) 的解集为 ，则实数 aax 0 的取值范围 >
是 .
7-3．（2024 高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 x R a x 2 为空集，则实数 a的取值范围是 .
7-4．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6 或 x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6 且 x<1}
7-5．（山西省朔州市平鲁区李林中学 2023-2024 学年高一（平行班）上学期月考一数学试题）下列各式中：
① 0 0,1,2 ；② 0,1,2 2,1,0 ；③ 0,1,2 ；④ = 0 ；⑤ 0,1 = 0,1 ；⑥ 0 = 0 .正确的个
数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7-6．（2024 高一·上海·专题练习）下列六个关系式：① a,b = b, a ；② a,b b, a ；③ = ；
④ 0 = ；⑤ 0 ；⑥ 0 0 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
（四）
利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具
体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论 A＝ 和 A≠ 两种情况，前
者常被忽视，造成思考问题不全面．
题型 8：利用集合的包含关系求参数问题
8-1 2．（2024 高一下·上海宝山·期中）已知集合 A = 1 , B = x x + 2x + a = 0, x R ，且 ，则实数 a 的值
是 ．
8-2．（2024 2高二上·广东梅州·期末）已知集合 A = x | x - 3x + 2 0 , B= x | x2 - a +1 x + a 0
（1）当 A = B 时，求实数 a的值；
（2）当 时，求实数 a的取值范围.
8-3．（2024·吉林·模拟预测）已知集合 A = x N | x < 2 , B = x∣ax -1 = 0 ，若 B A ，则实数 a =（ ）
1 1
A． 或 1 B．0 或 1 C．1 D．
2 2
8-4．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x∣2x2 - x - 3 = 0 , B = x∣ax2 - x - 3 = 0 ，若B A，则实数
a 的取值集合为（ ）
A．{2} B．{2,0}
ì 1 ü 1
C． í2, - D．{2}U - , -
12
12 ÷ è
一、单选题
1．（2024 高一上·福建福州·期中）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
2．（2024·宁夏银川·二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中为 的是（ ）
A． 0 B．
C．{x | x2 + 4 = 0} D．{x | x +1 2x}
4．（2024 高一上·云南德宏·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B A，那么，若 x A，则 x B
5．（2024 高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（ ）
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若 A，则 A = ；
④任何集合至少有两个子集．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6．（2024 高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式① ；② ；③ 0 ；④ 0 ；
⑤ = 0 ；⑥ ，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024·江苏南京·二模）集合 A = x N 1< x < 4 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知集合M 满足 2,3 M 1,2,3,4 ，那么这样的集合M 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·全国）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则 a =（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．-1
3
11．（辽宁省朝阳市建平县实验中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）集合 A = x x < -1或
x 3 ，B = x ax +1 0 若B A，则实数 a的取值范围是（ ）
é 1- ,1 é 1A． ê ÷ B． ê- ,1
ù
3 3 ú
C． - ,1 0, + D é 1． - ,0 ÷ 0,1
ê 3
12．（2024 高三下·北京海淀·开学考试）集合 A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，若B A，则
实数 a的取值范围是（ ）
A． 1 B． 0,1 C． 0 D．
13．（2024 高一上·贵州遵义·期末）已知集合 A = x |0 x < 5,且 x N ，则集合 A 的子集的个数为（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
14．（2024·山东济南·一模）已知集合 A = x y = x - 2 ，B = x x a ，若 A B ，则 a 的取值范围为
（ ）
A． ≤ 2 B． a 2 C． a 0 D． a 0
15．（2024 高一下·湖北孝感·开学考试）下面五个式子中：① a a ；② a ；③ a a,b ；
④ a a ；⑤ a b,c, a ，正确的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
16．（2024 高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知集合 A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，则下列说法正确的是
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合 A = {-2,3,1}，集合B = {3,m2} .若B A，则实数m 的取值集合为
（ ）
A．{1} B．{ 3}
C．{1,-1} D．{ 3, - 3}
ì 2 ü
18．（2024 高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知集合 A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，则实数 x =（x ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
ì 1
19．（2024 高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合 A = íx | x = 2k +1 ,k Zü B ìx | x 4 k 1 ， = í = ± ,k Zü ，
9 9 9
则集合 A， B 之间的关系表示最准确的为（ ）
A． A B B．B A C． A=B D． A与 B 互不包含
20．（2024 高一上·上海杨浦·期末）设 a，b 是实数，集合 A = x x - a <1, x R ， B = x || x - b |> 3, x R ，
且 A B ，则 a- b 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 2, + D． 4, +
21．（2024 高一上· 2 2上海徐汇·期中）设集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x + ax + 2 > 0 ，
Q1 = x | x2 + x + b > 0 ，Q2 = x | x2 + 2x + b > 0 ，其中 a， ∈ ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 a，P1是P2的子集，对任意的 b， 1不是 2的子集
B．对任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得P1不是P2的真子集，对任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得P1不是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
22．（2024·上海普陀·一模）设集合 A = x x - a =1 ，B = 1, -3,b ，若A B ，则对应的实数对 (a , b ) 有
A．1对 B． 2对 C．3对 D． 4对
二、多选题
23．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，则下列关系正确的是（ ）
A． A = B B． A B C．B A D． B A
ì 1 , 1- ü24．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A＝ í ，B＝{x|ax＋1＝0}，且 B A，则实数 a 的取值可能
3 2
为（ ）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
25．（2024 高一上·四川泸州·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A． = 0
B．若 a Z ，则-a Z
C．集合 y y = 2x, x Q 是无限集
D．集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 4 个
26 2024· · A = x R x2 - 3x -18 < 0 B = x R x2 + ax + a2．（ 广东肇庆 三模）已知集合 ， - 27 < 0 ，则下列
命题中正确的是（ ）
A．若 A = B，则 a = -3 B．若 A B ，则 a = -3
C．若B = ，则 ≤ 6或 a 6 D．若 B A时，则-6 < a -3或 a 6
27．（2024 2高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合 A = x∣ax + 2x + a = 0,a R ，若集合 A 有且仅有 2 个子
集，则 a 的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
28．（2024 高一上·河北保定·期中）若集合 A 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x, y} A，
y
则 xy， x + y A，且当 x 0 时， A，则称集合 A 是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
x
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合 A 是“紧密集合”，且 x， y A，则 x - y A
三、填空题
29．（2024 2高一上·湖北武汉·期末）已知集合 A = x R | ax + 2(a +1)x + a = 0 没有非空真子集，则实数 a 构
成的集合为 .
30．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = x | x 4或 x < -5 ，B = x | a +1 x a + 3 ，若B A，则
实数 a的取值范围 ．
31．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x x < -1或 x > 4 ，B = x 2a x a + 3 ，若B A，则实数
a的取值范围是 ．
32．（2024 2高一上·湖南湘西·阶段练习）已知集合M = x x + x - 6 = 0 ，N = x mx -1 = 0 ，若 N M ，则
实数 m 的取值构成的集合为___________.
33．（2024 高一·全国·专题练习）已知集合 M 满足 0,1 M 0,1,3,5,6 则集合 M 的个数为 ．
34．（2024 2高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且仅有两个子集，则 a的
取值集合为 .
35．（2024 高三·全国·专题练习）已知 A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1 或 x>4}，若 A B ，则实数 a 的
取值范围是 ．
36．（2024 高一上·广西玉林·期中）设集合 A={ x - 3 x 2 }，B={x k -1 x 2k +1}，且 A B，则实数 k
的取值范围是 (写成集合形式).
37．（2024·上海普陀·一模）设非空集合Q M ，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本
身），称Q是M 的偶子集，若集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，则其偶子集Q的个数为 .
38．（2024 高一上·江苏·专题练习）已知集合 A = {x∣- 3 x 4}, B = {x∣2m -1< x < m +1}，且B A，则实数 m
的取值范围是 .
四、解答题
39．（2024 高一·上海·课后作业）已知集合 A = {x | -2 x 5}, B = {x | m +1 x 2m -1} .
(1)若B A，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围.
40．（2024 2高一上·安徽芜湖·阶段练习）若集合 A = x | x + x - 6 = 0 ，B = {x | mx +1 = 0}，且 B A ，求实数
m 的值.
41．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合M = x -1 x 4 ．
(1)若 N = x m x 2m - 2 ， N M ，求实数m 的取值范围；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求实数m 的取值范围．
42．（2024 高一上·山西太原· 2阶段练习）已知集合 A = x | x + 4x = 0 ，B = x | x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0 .
（1）若 A B ，求 a的值；
（2）若B A，求 a的值.
43．（2024 高一·全国· 2课后作业）已知集合 A = x x - ax + 4 = 0 ，B = 1,4 ，且 A B ，求实数 a 的取值范
围．
44．（2024 高一上·福建·阶段练习）已知集合M = x -2 x 5 .
(1)若 N = x m +1 x 2m -1 ， N M ，求实数m 的取值范围；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求实数m 的取值范围.
45．（2024 高一· 2全国·课后作业）设集合 A = x x -1 = 0 ，B = {x | x2 - ax + b = 0}，且B ．
(1)若 A B ，求实数 a,b的值；
(2)若 A C ，且C = -1,2m +1,m2 ，求实数m 的值．
1
46．（2024 高一上·江苏苏州·开学考试）已知集合 A＝{x|02
实数 a 的取值范围．