2.2 基本不等式 10 题型分类
一、基本不等式
a + b
1.如果 a>0,b>0, ab ,当且仅当 a = b 时,等号成立.
2
a + b
其中 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab 叫做正数 a,b 的几何平均数.
2
a + b
2
2 .变形:ab≤ ÷ ,a,b∈R,当且仅当 a=b 时,等号成立.
è 2
a+b≥2 ab ,a,b 都是正数,当且仅当 a=b 时,等号成立.
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 与不等式 ab ≤ 成立的条件一样吗?
2
a + b
不一样, a2 + b2… 2ab 成立的条件时 a,b∈R, ab ≤ 成立的条件是 a>0,b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 与不等式 ab ≤ 中“=”成立的条件相同吗?
2
相同.都是当且仅当 a=b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.
x = y 1(1)已知 x,y 都是正数,如果和 x+y 等于定值 S,那么当 时,积 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x,y 都是正数,如果积 xy 等于定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P .
(一)
对基本不等式概念的理解
对基本不等式概念的理解
a + b
(1)基本不等式 ab ≤ (a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.2
(2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:
①定理成立的条件是 a、b 都是正数.
a + b a + b
②“当且仅当”的含义:当 a=b 时, ab ≤ 的等号成立,即 a=b =2 2 ab
;仅当 a=b 时,
a + b a + b
≥ ab 的等号成立,即 = ab a=b.2 2
题型 1:对基本不等式概念的理解
1-1.(2024·宁夏银川·二模)下列不等式恒成立的是( )
x 1A. + 2 B.
x a + b 2 ab
2 2
C a + b a + b
2
. ÷ D. a
2 + b2 2ab
è 2 2
4
1-2.(2024 2高一上·河南·阶段练习)不等式 a + 2 4中,等号成立的条件是( )a
A. a = 4 B. a = 2 C. a = - 2 D. a = ± 2
1-3.(2024 高一上·湖北孝感·阶段练习)下列不等式中正确的是( )
4
A. a + 4 B. x2
3 2 3 a + b+ 2 C. ab D.a x 2 a
2 + b2 4ab
1-4.(2024 高三·全国·专题练习)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处
理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称为无字证明.现
有图形如图所示,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,BC=b,O 为 AB 的中点,以 AB 为直径作半圆,过点 C
作 AB 的垂线交半圆于点 D,连接 OD,AD,BD,过点 C 作 OD 的垂线,垂足为点 E,则该图形可以完成
的无字证明为( )
a + b
A. ≤ ab (a>0,b>0)2
B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
2
C. ab ≥ 1 1+ (a>0,b>0)
a b
a2 + b2 a + bD. ≥ (a>0,b>0)
2 2
1-5.(2024 高一上·上海普陀·期中)下列不等式中等号可以取到的是( )
2 1 1
A. x + 5 + 2 22 B. x + 2 + 2 2x + 5 x + 2
2 1 | x | 3 1C. x + 2 D. + + 2
x2 | x | +3
1-6.(2024 高二上·陕西咸阳·期中)已知 a,b R ,且 ab 0,则下列结论恒成立的是( )
a b
A. a + b 2 ab B. + 2
b a
a b
C. a2 + b2 2ab D. + 2b a
(二)
利用基本不等式比较大小
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最
后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式
时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
题型 2:利用基本不等式比较大小
2-1.(2024 高二下·重庆·期末)阿基米德有句名言:“给我一个支点,我就能撬起整个地球!”这句话说的便是
杠杆原理,即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里预
购买 20 g 黄金,售货员先将10 g的砝码放在天平左盘中,取出 x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将10 g
的砝码放在天平右盘中,取 y g黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将称得的 x g 和 y g黄金交给顾客,则
顾客购得的黄金重量( )
A.大于 20g B.等于 20g C.小于 20g D.无法确定
2-2.(2024 高一上·上海普陀·期中)已知 a,b R ,且 a < b < 0,则下列不等关系中正确的是( )
1 1 b a a + b
A. < B. + > 2 C. > ab D . >
a b a b 2
2-3.(2024 高一上·上海宝山·阶段练习)某城市为控制用水,计划提高水价,现有以下四种方案,其中提价
最多的方案是(其中0 < q < p <1)( )
A.先提价 p% ,再提价 q% B.先提价 q%,再提价 p%
2 2 p + q
C p + q.分两次,都提价 % D.分两次,都提价 %
2 2
2-4.(2024 高一上·江苏镇江·阶段练习)如果0 < a < b,那么下列不等式正确的是( )
ab a + b a ab a + bA. < < a < b B. < < < b
2 2
C. ab < a
a + b
< < b a a + bD. < < ab < b
2 2
2-5.(2024 高三·全国·专题练习)已知 a,b (0,1) 且 a b,下列各式中最大的是 .(填序号)
① a2 + b2 ;② 2 ab ;③ 2ab;④ a + b .
题型 3:利用基本不等式证明不等式
3-1.(2024 高一下·上海嘉定·阶段练习)已知 a,b是实数.
(1)求证: a2 + b2 2a - 2b - 2,并指出等号成立的条件;
(2)若 ab =1,求 a2 + 4b2 的最小值.
3-2.(2024 高一上·陕西榆林·期末)已知 a > 0,b > 0 .
(1)若b
1 b
= 6 - ,求 的最大值;
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ,证明: ab 8 .
3-3.(2024 高一·全国·课后作业)已知 x, y都是正数,且 x y .
y x
求证:(1) + >2x y ;
2xy
(2) < xyx+y .
3-4.(2024 高一·江苏·假期作业)已知 a > 0,b > 0, c > 0,且 a + b + c =1.求证:
a
1 1
+ ÷ +
b +
÷ + c
1
+ ÷≥10.
è a è b è c
bc ca ab
3-5.(2024 高一下·甘肃兰州·期末)已知 a > 0,b > 0, c > 0,求证: + + a + b + c .
a b c
1 1
3-6.(2024 高二下·河南洛阳·阶段练习)已知 > 0,b > 0,且a + b = 1,求证: 1+ ÷ 1+ ÷ 9 .
è a è b
(三)
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
a+b
(1)一正:符合基本不等式 ≥ ab成立的前提条件:a>0,b>0.
2
(2)二定:化不等式的一边为定值.
(3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立.
以上三点缺一不可.
2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解
答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
3.应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造
出符合基本不等式的条件结构..
4.一般地,数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系,但不能定格于某种特殊形式,因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … 2ab的形式可以是 a2 … a + b b2ab - b2 ,也可以是 ab ,还可以是 a + … 2b ,
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等.解题时不仅要利用原来的形式,而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以
a
便应用.
题型 4:基本不等式的直接应用求最值
4-1.(2024 高二下·陕西榆林·期中)已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2,则 ab的最大值为( )
1 1
A. B4 . C.1 D.22
4-2.(2024 高二下·福建·学业考试)已知 nm = 2 ,则m2 + n2 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
4-3.(2024 高一上·全国·课后作业)已知 x < 0 ,则 x + 的最大值为(
x )
1 1
A. 2 B.- C.-2 D.
2 2
4-4.(2024 高三·全国·专题练习) 3 - a a + 6 , -6 < a < 3 的最大值为 .
题型 5:配凑法求最值
2
5-1.(2024 3 + x + x高三·全国·专题练习)当 x > 0时,函数 y = 的最小值为( )
1+ x
A. 2 3 B. 2 3 -1
C. 2 3 +1 D.4
1
5-2.(2024 高三·全国·专题练习)已知0 < x < ,则函数 y = x(1- 2x) 的最大值是( )
2
1 1 1 1
A. B. C4 . D.2 8 9
2
5-3.(2024 · · 2x + x + 3高三 全国 专题练习)函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
2
5-4.(2024 高一上· x + x + 4湖南益阳·阶段练习)已知 x > -1,则函数 y = 的最小值是 .
x +1
4
5-5.(2024·贵州贵阳·模拟预测)若 x > 0,则 x + 的最小值为 .
x +1
2
5-6 2024 · · a >1 a - 3a +11.( 高一上 江苏泰州 阶段练习)已知 ,则 的最小值为 .
a -1
题型 6:常数代换法求最值
1 4
6-1.(2024 高一上·全国·课后作业)已知 a > 0,b > 0,a + b = 2,则 y = + 的最小值是( )
a b
7 9
A. B.4 C. D.5
2 2
x, y 1 26-2.(2024·浙江·模拟预测)已知正实数 满足 x + 2y =1,则 +x +1 y 1的最小值为(+ )
1
A 3+ 2
9 34
. + 2 B. C. D.
2 2 4 15
1 2
6-3.(2024 高一上·江西景德镇·期中)已知 x, y R*,x+2y=1,则 +x y 的最小值( )
A.8 B.9 C.10 D.11
1 9
6-4.(2024·安徽安庆·三模)已知非负数 x, y满足 x + y =1,则 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
6-5.(2024 高一上·重庆长寿·期末)已知正数m n,满足 2m + 3n - mn = 0,则 2m + 3n的最小值为 .
6-6.(2024 高一上·广东梅州·期末)已知 x > 0, y > 0,若 x + 3y + 4xy = 6,则 x + 3y 的最小值为 .
题型 7:消元法求最值
7-1.(2024·重庆·模拟预测)已知 x > 0, y > 0,且 xy + 2x + y = 6,则 2x + y 的最小值为( ).
A.4 B.6 C.8 D.12
7-2.(2024 高一上·四川眉山·阶段练习)设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
7-3.(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10,则 x + y 的最小值为( )
A. 2 2 -1 B. 2 2 C.4 2 D. 4 2 -1
7-4.(2024 高二下·广西北海·期末)若正数 x,y 满足 x - xy + 2 = 0,则 x + y 的最小值是( )
A. 2 2 B. 2 3 C.4 D.6
题型 8:整体化求最值
1 1 xy
8-1.(2024 高三上·陕西榆林·阶段练习)已知 x > 0, y > 0,且 + =x y 4 ,则
x + y 的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8-2.(2024 高二下·安徽·阶段练习)若正实数 x , y
2
满足3x +12y - 2xy = 0,则 x y 的最大值为(+ )
4 1 2 1
A. B. C. D.
27 3 27 27
8-3.(2024 高二下·北京丰台·期末)若 a > 0,b > 0,且 ab = a + b + 3,则 ab的最小值为( )
A.1 B.3 C.9 D.10
(四)
基本不等式的恒成立问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数,转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
题型 9:基本不等式的恒成立问题
2 1
9-1.(2024 高一·江苏·假期作业)若对 x > 0,y > 0,有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立,则
m 的取值范围是( )
A.m 4 B.m > 4
C.m < 0 D.m 8
1 4 y
9-2 2.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)若两个正实数 x, y满足 + =1,且不等式 x + < m - 3mx y 有解,则实数
m
4
的取值范围是( )
A. (-1,4) B. (-4,1)
C. (- , -1) U (4, + ) D. (- ,0) (3, + )
2 1
9-3.(2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知 x > 0, y > 0,且 + =1,若 2x + y > mx y 恒成立,则实数
m 的取值范围是( )
A. - ,9 B.[7, + ∞) C. 9, + D. - ,7
9-4.(2024 高二下·重庆沙坪坝·期末)已知正实数 x,y 满足 2x + 3y - xy = 0,若3x + 2y t 恒成立,则实数 t
的取值范围是( )
A. t 25 B. t < 25 C. t ≤ 24 D. t 24
9-5.(2024 高一上·山东·期中)已知 x > 0, y > 0,且 x + y + xy = 3,若不等式 x + y m2 - m 恒成立,则实
数 m 的取值范围为( )
A. -2 m 1 B.-1 m 2
C.m -2或m 1 D.m -1或m≥ 2
1 4 l
9-6.(2024 高三上·江西·阶段练习)已知 a、b 0, + ,若 + 恒成立,则实数l 的取值范围为
a b a + b
( )
A. 5,+ B. 9, + C. - ,5 D. - ,9
x
9-7.(2024 高三上·山西·阶段练习)若对任意 x > 0, a 恒成立,则 a2 的取值范围是 .x + 3x +1
(五)
利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案.
题型 10:利用基本不等式解决实际问题
10-1.(2024 高三下·湖南·阶段练习)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为 1800 平方
米的矩形 ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为 2 米的人行通道,则种
植花卉区域的面积的最大值是( )
A.1208 平方米 B.1448 平方米 C.1568 平方米 D.1698 平方米
10-2.(2024 高三·全国·专题练习)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获
得的总利润 y (单位:万元)与机器运转时间 x (单位:年)的关系为 y = -x2 +18x - 25 x N + ,则每台机器为
该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.
10-3.(2024 高一上·江苏扬州·阶段练习)近日,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,为最大程度减少人员
流动,减少疫情发生的可能性,高邮政府积极制定政策,决定政企联动,鼓励企业在国庆期间留住员工在
本市过节并加班追产,为此,高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )
(万元)的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府 x (万元)补贴后,产量将增加到 t = (x + 3)(万
81 42
件).同时波司登制衣有限公司生产 t(万件)产品需要投入成本为 (7t + + 3x)(万元),并以每件 (8 + )
t t
元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间,加班追产所获收益 y (万元)关于政府补贴 x (万元)的表达式;
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时,波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y (万元)最大?
10-4.(2024 高一下·山西太原·阶段练习)某游泳馆拟建一座占地面积为 200 平方米的矩形泳池,其平面图
形如图所示,池深 1 米,四周的池壁造价为 400 元/米,泳池中间设置一条隔离墙,其造价为 100 元/米,泳
池底面造价为 60 元/平方米(池壁厚忽略不计),设泳池的长为 x 米,写出泳池的总造价 f x ,问泳池的长
为多少米时,可使总造价 f x 最低,并求出泳池的最低造价.
10-5.(2024 高一上·湖南岳阳·期末)党的二十大报告指出:我们要推进美丽中国建设,坚持山水林田湖草
沙一体化保护和系统治理,统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化,协同推进降碳、减
污、扩绿、增长,推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展.某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维
护.若乡财政下拨一项专款 400 百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目
五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x (单位:百万元)的函数M x (单位:百万元):
M x 80x= ;处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x (单位:百万元)的函数 N x
20 + x
(单位:百万元): N x 1= x.
4
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为 x (百万元),则两个生态项目五年内带来的收益总和为 y (百万元),写
出 y 关于 x 的函数解析式;
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱,只有持之以恒,才能功在当代,利在千秋.试求出 y 的最大值,并
求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?
一、单选题
a + 4
1.(2024 高二下·北京·期中)设 a > 0,则 a + 的最小值为( )
a
A.5 B.3 C.4 D.9
2.(2024 高一下·河南·期中)已知正实数 a,b 满足 2a + b - 9ab = 0,则a + 2b的最小值为( )
1
A.3 B.1 C.9 D.
3
3.(2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)若正数 x,y 满足 x + y = xy,则 x + 2y 的最小值是( )
A.6 B. 2 + 3 2 C.3+2 2 D. 2+2 3
2 1
4.(2024 高一·全国·专题练习)已知 x>0,y>0,且 + y =1,若 x + 2y > m
2 恒成立,则实数 m 的取值范围
x
是( )
A.m≤-2 2 或 m≥2 2 B.m≤-4 或 m≥2
C.-2<m<4 D.-2 2 <m<2 2
1
5.(2024 高三上·海南海口·阶段练习)当 x > 2时,不等式 x + a恒成立,则实数 a的取值范围是(
x 2 )-
A. - , 2 B.[2, + ∞) C. 4, + D. - , 4
6.(2024 高一上·北京·期末)对任意的正实数 x, y,不等式 x + 4y m xy 恒成立,则实数m 的取值范围是
( )
A. (0,4] B. (0, 2] C. (- , 4] D. (- , 2]
7.(2024 高三上·重庆南岸·阶段练习)为了丰富全校师生的课后学习生活,共建和谐美好的校园文化,重庆
十一中计划新建校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1,该项目由图书陈列区 ABCD(阴影部分)和四周休息区组
成.图书陈列区 ABCD的面积为1000m2 ,休息区的宽分别为 2m 和 5m(如图所示).当校园图书馆精品阅
读区 A1B1C1D1面积最小时,则图书陈列区BC 的边长为( )
A.20m B.50m C.10 10 m D.100m
8.(2024 高二下·河北·期末)“ m > 4 ”是“函数 f x = x m+ x > 0 的最小值大于 4”的( ).
x
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4
9.(2024 高二上·江苏常州·期中)已知函数 f x = x + (x < 0) ,则下列结论正确的是( )x
A. f x 有最小值 4B. f x 有最大值 4 C. f x 有最小值-4 D. f x 有最大值-4
1 1
10.(2024 高一上·江西·阶段练习)已知实数 x 满足0 < x < ,则 y = 8x + 的最大值为( )
2 2x -1
A.-4 B.0 C.4 D.8
8
11.(2024 高三·全国·专题练习)当 x > a 时, 2x + 的最小值为 10,则 a =( )
x - a
A.1 B. 2 C.2 2 D.4
4
12.(2024·北京东城·一模)已知 x > 0,则 x - 4 + 的最小值为( )
x
A.-2 B.0 C.1 D. 2 2
13.(2024 高一上·全国·课后作业)已知0 < x <1,则当 x(5 - 5x)取最大值时, x 的值为( )
5 1 1 3
A. B. C. D.
4 2 3 4
14.(2024 高三下·湖南邵阳·学业考试)已知 a > 0,b > 0, a + b = 6,则 ab的最大值为( )
A.6 B.9 C.12 D.36
15.(2024 高一·全国·课后作业)已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ,那么 c 的最大值为( )
1 1
A.1 B. C 2. D.
2 2 4
a + 6b + 3
16.(2024 高二下·浙江温州·学业考试)已知正数 a,b 满足a + b = 1,则 最小值为(
ab )
A.25 B.19 + 2 6 C.26 D.19
2 1
17.(2024 高一下·河南周口·期末)已知 a > 0,b > 0, + =1,则 a2 + 4b2 的最小值为( )a b
A.8 B.16 C.24 D.32
y 1
18.(2024·湖北·二模)若正数 x, y满足 x + 2y = 2,则 +x y 的最小值为( )
5
A. 2 +1 B. 2 2 +1 C.2 D. 2
a + b 2 1 1
19.(2024 高一·全国·课后作业)已知 a、b 为正实数, A = , = + ,G = ab ,则(
2 H a b )
A.G H A B.H G A
C.G A H D.H A G
20.(湖南省张家界市民族中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题)设0 < a < b,则下列不等
式成立的是( )
ab a + b a + bA. < < a < b B. a < < ab < b
2 2
C. ab
a + b
< a < < b D. a < ab
a + b
< < b
2 2
21.(河南省 TOP 二十名校 2023-2024 学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题)若0 < a < b,则下列不
等式成立的是( )
ab a a + b a + bA. < < < b B. ab < a < b
2 2
C. a < ab
a + b b a a + b< < D. < ab < b
2 2
22.(2024 高一·全国·单元测试)下列不等式恒成立的是( )
A. a + b -2 ab ; B. a + b 2 ab ;
C. a2 + b2 2ab; D. a2 + b2 -2ab .
二、多选题
23.(2024 高一上·广东珠海·期中)以下结论正确的是( )
(x +1)2A.函数 y = 的最小值是 4
x
B.若 a,b R
b a
且 ab > 0,则 + 2
a b
1
C.若 x R x2,则 + 3+ 2 的最小值为 3x + 2
1
D.函数 y = 2 + x + (x < 0)的最大值为 0
x
24.(江苏省南京师范大学附属中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题)设 a,b为正实数,ab = 4,则
下列不等式中对一切满足条件的 a,b恒成立的是( )
2 2 1 1A. a + b 4 B. a + b 8 C. + 1 D.a b a + b 2 2
25.(2024 高三·山东·开学考试)若 a > 0,b > 0.且 a + b = 4 ,则下列不等式恒成立的是( )
1 1
A.0 < B.
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C. + 1 D.
a b a2 + b2
8
26.(2024 高一上·河北邯郸·期末)若 a > 0,b > 0,且 a b,则( )
a + b a2 + b2 a + b a2 + b2A. > B. <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC. > D. <
2 2
27.(2024·河北唐山·模拟预测)已知b < a < 0,则下列不等式正确的是( )
1 1
A.b2 > ab B. a + < b +b a
b a
C + > 2 D a2 1. . + < b2
1
+
a b a b
三、填空题
28.(2024 高三·全国·专题练习)已知0 < < 2,则 x 1- 2x2 的最大值为 .2
29.(2024 高三·全国·专题练习)已知m, n R+ ,若m n - 2 = 9 ,则m + n的最小值为
x + 5 x + 2
30.(2024· ·
天津河西 模拟预测)函数 y = (x > -1)的最小值为 .
x +1
1
31.(2024 高三·全国·课后作业)设 x -2,0 ,则 x + 的取值范围是 .
x
2
32 x - 2x + 4.(2024 高三·全国·专题练习)函数 f x = x > 2 取得的最小值时, x 的值为 .
x - 2
9
33.(2024·陕西榆林·三模)若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立,则 a 的取值范围是 ,a + a -1
的最小值为 .
2
34.(2024 x + x + 3高三·全国·专题练习)函数 y = x > 2 的最小值为 .
x - 2
2x
35.(2024 高一上·上海浦东新·期中)函数 y =
x2
的值域是 .
- x + 4
36.(2024 高二下·广东广州·期中)已知 x 4, y 4,且 x + 4y - xy = 0 ,若不等式 a x + y 恒成立,则 a的
最大值为 .
37.(2024 高一·全国·课后作业)若0 < a <1,0 < b <1, a b,则 a + b , 2 ab ,2ab, a2 + b2 中最大的一
个是 .
四、解答题
4
38.(2024 高一上·江苏南京·阶段练习)(1)求函数 y = x + x >1 的最小值及此时 x 的值;
x -1
2
(2)已知函数 y x + 5x +10= , x -2, + ,求此函数的最小值及此时 x 的值.
x + 2
39.(2024 高三上·甘肃兰州·期中)设 a,b , c均为正数,且 a + b + c =1,证明:
1
(1) a2 + b2 + c2 ;
3
2
(2) a b
2 c2
+ + 1.
b c a2.2 基本不等式 10 题型分类
一、基本不等式
a + b
1.如果 a>0,b>0, ab ,当且仅当 a = b 时,等号成立.
2
a + b
其中 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab 叫做正数 a,b 的几何平均数.
2
a + b
2
2 .变形:ab≤ ÷ ,a,b∈R,当且仅当 a=b 时,等号成立.
è 2
a+b≥2 ab ,a,b 都是正数,当且仅当 a=b 时,等号成立.
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 与不等式 ab ≤ 成立的条件一样吗?
2
a + b
不一样, a2 + b2… 2ab 成立的条件时 a,b∈R, ab ≤ 成立的条件是 a>0,b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 与不等式 ab ≤ 中“=”成立的条件相同吗?
2
相同.都是当且仅当 a=b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.
(1)已知 x,y 都是正数,如果和 x+y 等于定值 S,那么当 x = y 1时,积 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x,y 都是正数,如果积 xy 等于定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P .
(一)
对基本不等式概念的理解
对基本不等式概念的理解
a + b
(1)基本不等式 ab ≤ (a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.2
(2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:
①定理成立的条件是 a、b 都是正数.
a + b a + b
②“当且仅当”的含义:当 a=b 时, ab ≤ 的等号成立,即 a=b = ab ;仅当 a=b 时,2 2
a + b a + b
≥ ab 的等号成立,即 =2 2 ab
a=b.
题型 1:对基本不等式概念的理解
1-1.(2024·宁夏银川·二模)下列不等式恒成立的是( )
x 1A. + 2 B.
x a + b 2 ab
2
C a + b a
2 + b2
. 2 2 ÷ D. a + b 2ab
è 2 2
【答案】D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】解:对于 A 选项,当 x < 0 时,不等式显然不成立,故错误;
对于 B 选项, a + b 2 ab 成立的条件为 a 0,b 0,故错误;
对于 C 选项,当a = -b 0时,不等式显然不成立,故错误;
对于 D
2
选项,由于 a2 + b2 - 2ab = a - b 0,故 a2 + b2 2ab,正确.
故选:D
4
1-2.(2024 高一上· 2河南·阶段练习)不等式 a + 2 4中,等号成立的条件是( )a
A. a = 4 B. a = 2 C. a = - 2 D. a = ± 2
【答案】D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
4 4 4
【详解】由基本不等式可知 a2 + 2 a2 × = 4 22 2 ,当且仅当 a = 2 ,a a a
即 a = ± 2 时等号成立,
故选:D .
1-3.(2024 高一上·湖北孝感·阶段练习)下列不等式中正确的是( )
4
A. a + 4
3 a + b
B. x2 + 2 2
a x2
2 3 C. ab D.
2 a + b 4ab
【答案】B
【解析】A. 由 a < 0时判断; B.直接利用基本不等式求解判断;C. 由 a > 0,b > 0时判断; D.由重要不等式
判断;
4
【详解】A. 当 a < 0时, a + < 0 ,故错误;
a
B. x2 3 2 x2 3 x2
3
+ 2 × 2 = 2 3 ,当且仅当 = 2 ,即 x = ±
4 3时,取等号,故正确;
x x x
a > 0,b > 0 ab a + bC. 当 时, ,故错误;
2
D.由重要不等式得 a2 + b2 2ab,故错误;
故选:B
【点睛】本题主要考查基本不等式的辨析和应用,属于基础题.
1-4.(2024 高三·全国·专题练习)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处
理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称为无字证明.现
有图形如图所示,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,BC=b,O 为 AB 的中点,以 AB 为直径作半圆,过点 C
作 AB 的垂线交半圆于点 D,连接 OD,AD,BD,过点 C 作 OD 的垂线,垂足为点 E,则该图形可以完成
的无字证明为( )
a + b
A. ≤ ab (a>0,b>0)2
B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
2
C. ab ≥ 1 1+ (a>0,b>0)
a b
2 2 a + b
D a + b. ≥ (a>0,b>0)
2 2
【答案】C
a + b
【分析】先明确 , ab 的几何意义,即在图中相对应的线段,根据直角三角形的相似可得相应的比例式,
2
结合不等关系,即可证明A,C选项;由于 a2 + b2 在该图中没有相应的线段与之对应,可判断B,D选项.
【详解】由题意可知 AB = a + b,OA = OB = OD
a + b
= ,
2
CD AC
由RtVACD∽RtVDCB 可知 = ,即CD2 = AC × BC = ab,
BC CD
a + b
所以CD = ab ;在Rt△OCD 中,OD > CD ,即 > ab(a > 0,b > 0)2
a + b
当OD ^ AB时,O,C 点重合, a = b ,此时 = ab(a > 0,b > 0),所以A 错误;
2
CD DE
在Rt△OCD 中,RtVDEC ∽RtVDCO可得 = 即 2 ,
DO CD CD = DE ×OD
CD2DE ab 2ab 2= =
所以 OD a + b
= =
a + b 1 1 ,+
2 a b
ab 1>
由于CD > DE,所以 1 1+ ,
a b
ab 1=
当 a = b时,CD = DE ,此时 1 1+ ,所以C 正确;
a b
由于 a2 + b2 在该图中没有相应的线段与之对应,故B,D中的不等式无法通过这种几何方法来证明,
故选:C.
1-5.(2024 高一上·上海普陀·期中)下列不等式中等号可以取到的是( )
2
A. x + 5
1
+ 2 B x22 . + 2
1
+ 2 2x + 5 x + 2
C. x2
1
+ 2 D. | x | +3
1
+ 2
x2 | x | +3
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
1 1
【详解】解:对于 A,因为 x2 x
2
+ 5 > 0,所以 + 5 + 2 x
2 + 5 × = 2
2 2 ,当且仅当x + 5 x + 5
x2 + 5 1=
2 ,即 x
2 = -4 ,故等号不成立,故 A 不符合;
x + 5
1 1 2 1
对于 B,因为 x2 + 2 > 0 ,所以 x2 + 2 + 2 2 x2 + 2 × 2 = 2,当且仅当 x + 2 = 2 ,即 x2 = -1,x + 2 x + 2 x + 2
故等号不成立,故 B 不符合;
1
对于 C 1 1,因为 x2 > 0,所以 x2 + 2 x22 × 2 = 2
2
,当且仅当 x = 2 ,即 x = ±1时取等号,故 C 符合;x x x
1 1 1
对于 D,因为 x + 3 > 0 ,所以 x + 3+ 2 x + 3 × = 2x 3 x 3 ,当且仅当 x + 3 = x + 3 ,即 x = -2,故+ +
等号不成立,故 D 不符合.
故选:C.
1-6.(2024 高二上·陕西咸阳·期中)已知 a,b R ,且 ab 0,则下列结论恒成立的是( )
a b
A. a + b 2 ab B. + 2
b a
C. a2 + b2
a b
2ab D. + 2b a
【答案】D
【分析】由基本不等式,重要不等式,判断各选项正误即可.
【详解】对于 A 选项,由基本不等式,当 a,b > 0 时,有 a + b 2 ab ,当且仅当 a = b时取等号,故 A 错
误.
b
B a b a b对于 ,当 > 0时,由基本不等式, + 2 × = 2,当且仅当 a = b时取等号.故 B 错误.
a b a b a
C a - b 2对于 ,因 0,则 a2 + b2 2ab,故 C 错误.
b a b a b
对于 D,当 > 0时, + 2 × = 2,当且仅当 a = b时取等号.
a b a b a
b a b b a b a
当 < 0时, + = - - - ÷ -2 - ÷ × - ÷ = -2,当且仅当a = -b时取等号.a b a è a b è a è b
a b
则 ab 0时, + 2 .故 D 正确.
b a
故选:D
(二)
利用基本不等式比较大小
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最
后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式
时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
题型 2:利用基本不等式比较大小
2-1.(2024 高二下·重庆·期末)阿基米德有句名言:“给我一个支点,我就能撬起整个地球!”这句话说的便是
杠杆原理,即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里预
购买 20 g 黄金,售货员先将10 g的砝码放在天平左盘中,取出 x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将10 g
的砝码放在天平右盘中,取 y g黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将称得的 x g 和 y g黄金交给顾客,则
顾客购得的黄金重量( )
A.大于 20g B.等于 20g C.小于 20g D.无法确定
【答案】A
【分析】根据题意设出天平的两臂长,利用杠杆原理,即可解出.
【详解】设天平左臂长为x1,右臂长为 x2,且 x1 x2 ,
ìx 10x= 1
ì10x
\ 1
= xx2 x2
í \
yx1 =10x
, í
2 y 10x
,
= 2
x1
Q x x x y 10x2 10x ,\ + = + 1
10x
> 2 2 ·10x12 1 = 2 10 = 20 ,x1 x2 x1 x2
故选:A.
2-2.(2024 高一上·上海普陀·期中)已知 a,b R ,且 a < b < 0,则下列不等关系中正确的是( )
1 1 b a 2 a + b A. < B. + > C . > ab D. >
a b a b 2
【答案】B
【分析】利用不等式性质判断 ACD,利用基本不等式判断 B.
1 1
【详解】对于 A,因为 a < b < 0,所以 > ,错误;
a b
b a
对于 B,因为 a < b < 0 > 0, > 0 b a b a,所以 ,所以 + 2 × = 2,
a b a b a b
b a 1 b a当且仅当 = = 即 a = b时,等号成立,又 a < b ,所以 + > 2,正确;
a b a b
a + b a + b
对于 C,因为 a < b < 0,所以 < 0, ab > 0,所以 < ab ,错误;2 2
1 1 1 1
对于 D,因为 a < b < 0,所以 < < 0,所以- > - > 0,
b a b a
1 1
又-a > -b > 0
,所以 - ÷ × -a >
- ÷ × -b > 0
即 > ,错误;
è b è a
故选:B.
2-3.(2024 高一上·上海宝山·阶段练习)某城市为控制用水,计划提高水价,现有以下四种方案,其中提价
最多的方案是(其中0 < q < p <1)( )
A.先提价 p% ,再提价 q% B.先提价 q%,再提价 p%
2 2 p + q
C p + q.分两次,都提价 % D.分两次,都提价 %
2 2
【答案】C
【分析】求出每个选项中提价后的水价,结合基本不等式比较大小可得合适的选项.
【详解】设原来的水价为 a,AB 选项中,两次提价后的水价为a 1 + p% 1 + q% ,
2
2 2
C 选项中,两次提价后的水价为 a 1
p + q
+ %÷ ,
è 2 ÷
p + q
2
D 选项中,两次提价后的水价为a 1 + %2 ÷
,
è
2 2 2 2
因为0 < q < p <1,则 p2 + q2 > 2 pq ,则 2 p + q > p + q + 2 pq = p + q 2,
p2 + q2 p + q
2 2 2
所以, > p + q p + q ÷ ,则 > ,2 è 2 2 2
2
2 2 2
即 a 1 p + q + %÷ > a 1 p + q+ % , 2 ÷ 2 ÷è è
2
a 1+ p% 1+ q% < a 1 p + q+ % 由基本不等式可得 ÷ ,
è 2
2
p2 + q2 p + q 2
所以, a 1+ %÷ > a
÷ 1+ %÷ > a 1+ p% 1+ q% .
è 2 è 2
故选:C.
2-4.(2024 高一上·江苏镇江·阶段练习)如果0 < a < b,那么下列不等式正确的是( )
ab a + b a ab a + bA. < < a < b B. < < < b
2 2
C. ab a
a + b
< < < b D. a
a + b
< < ab < b
2 2
【答案】B
ab a + b【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 < ,再结合0 < a < b可得出结果.
2
a + b
【详解】由已知0 < a < b,利用基本不等式得出 ab < ,
2
因为0 < a < b,则 a2 < ab < b2 , a + b < 2b,
a + b
所以 a < ab < b , < b,2
∴ a < ab
a + b
< < b .
2
故选:B
2-5.(2024 高三·全国·专题练习)已知 a,b (0,1) 且 a b,下列各式中最大的是 .(填序号)
① a2 + b2 ;② 2 ab ;③ 2ab;④ a + b .
【答案】④
【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论.
【详解】因为 a,b (0.1) ,所以 a2 < a,b2 < b, a < a ,b < b ,
所以 a2 + b2 < a + b, ab < ab ,当 a b时,
a + b
由基本不等式可知 > ab ,所以
2 a + b > 2 ab
,
由上可知, a + b > 2 ab > 2ab, a + b > a2 + b2 ,所以四个式子中 a + b 最大.
故答案为:④.
题型 3:利用基本不等式证明不等式
3-1.(2024 高一下·上海嘉定·阶段练习)已知 a,b是实数.
(1)求证: a2 + b2 2a - 2b - 2,并指出等号成立的条件;
(2)若 ab =1,求 a2 + 4b2 的最小值.
【答案】(1)证明见解析,当且仅当 a =1,b = -1时,不等式等号成立
(2)4
【分析】(1)作差法证明即可;
(2)构造基本不等式,利用基本不等式解决即可.
【详解】(1)证明:因为 a2 + b2 - (2a - 2b - 2) = a2 + b2 - 2a + 2b + 2
= (a -1)2 + (b +1)2 0,
所以 a2 + b2 2a - 2b - 2,
当且仅当 a =1,b = -1时,不等式中等号成立.
(2) a2 + 4b2 = a2 + (2b)2 2 × a × (2b) = 4ab = 4,
ìa = 2 ìa = - 2
当且仅当 a = 2b,即 í
b 2
或 í
b 2
时,不等式中等号成立.
= = -
2 2
所以 a2 + 4b2 的最小值为 4.
3-2.(2024 高一上·陕西榆林·期末)已知 a > 0,b > 0 .
1 b
(1)若b = 6 - ,求 的最大值;
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ,证明: ab 8 .
【答案】(1)9
(2)证明见解析
b 1
【分析】(1)由 = b 运用基本不等式求乘积得最大值;
a a
(2)直接由基本不等式a2 + 9b2 6ab对已知等式进行放缩,证得结果.
【详解】(1)因为b
1 1
= 6 - ,所以b + = 6 .
a a
2
1
b 1 b +
÷
= b a ÷ = 9,a a 2 ÷
è
b 1当且仅当 = , a
1
= ,b = 3时,等号成立,
a 3
b
故 的最大值为 9.
a
(2)证明:因为 a2 + 9b2 + 2ab 2 a2 ×9b2 + 2ab = 8ab,
所以 a2b2 8ab ,又 a > 0,b > 0,
解得 ab 8,
2 6
当且仅当 a = 2 6,b = 时,等号成立.
3
故 ab 8 .
3-3.(2024 高一·全国·课后作业)已知 x, y都是正数,且 x y .
y + x求证:(1) >2x y ;
2xy
(2) < xyx+y .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
x y
【分析】(1)由已知得 >0, >0
y + x 2 y x × = 2
y x ,运用基本不等式得 ,可得证;x y x y
(2)由基本不等式得 x+y 2 xy ,可得证.
x y y x
【详解】(1)Q x>0, y>0 \ >0, >0
y + x 2 y x, ,\ × = 2,由于当且仅当 =y x x y ,即
x = y 时取等号,
x y x y
但 x y
y x
,因此不能取等号,\ + >2x y ;
2xy 2xy
(2)Q x>0, y>0,\ x+y 2 xy ,\ = xyx+y 2 xy ,当且仅当
x = y 时取等号,但 x y ,因此不能取
2xy
等号,\ < xyx+y .
【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明,在运用时注意满足基本不等式所需的条件:“一正二
定三相等”,属于基础题.
3-4.(2024 高一·江苏·假期作业)已知 a > 0,b > 0, c > 0,且 a + b + c =1.求证:
a 1+ + b 1 c 1 ÷ + ÷ + +
÷≥10.
è a è b è c
【答案】证明见解析
b a c a c b
【分析】将证明式子中的 1 用 a + b + c =1代换,整理为 4 + ( + ) + ( + ) + ( + ),根据基本不等式即可
a b a c b c
证明.
【详解】因为 a,b,c 都为正实数,且 a + b + c =1,
1 1 1
所以 (a + ) + (b + ) + (c + )
a b c
(a a + b + c ) (b a + b + c a + b + c= + + + ) + (c + )
a b c
= 4 + (b a+ ) ( c a+ + ) + (c b+ ) b a 4 + 2 × + 2 c a c b× + 2 × = 4 + 2 + 2 + 2 =10,
a b a c b c a b a c b c
1
当且仅当 a = b = c = 时取等号,
3
a 1 1 1所以 +
a ÷
+ b + ÷ + c + ÷≥10.
è è b è c
bc ca ab
3-5.(2024 高一下·甘肃兰州·期末)已知 a > 0,b > 0, c > 0,求证: + + a + b + c .
a b c
【答案】证明见解析
【分析】三次利用基本不等式即可得证.
【详解】∵ a > 0,b > 0, c > 0,
∴ bc ca 2 bc ca+ × = 2c ,
a b a b
bc ca
当且仅当 = ,即 a = b时,等号成立,
a b
bc ab 2 bc ab同理: + × = 2b ca ab 2 ca ab, + × = 2a ,
a c a c b c b c
当且仅当 a = c ,b = c时,等号成立,
bc ca ab
以上三式相加得: 2 + +
a b c ÷
2(a + b + c),
è
当且当且仅当 a = b = c时,等号成立,
bc ca ab
所以 + + a + b + c .
a b c
1 1 1 13-6.(2024 高二下·河南洛阳·阶段练习)已知 > 0 b , > 0,且a + b = 1,求证: + ÷ + ÷ 9 .
è a è b
【答案】证明见解析
1 1 1 1+ + b a【分析】利用a + b = 1把 ÷ ÷ 化为 (2 + )(2 + ),展开利用基本不等式求最值即可证明.
è a è b a b
【详解】因为 > 0,b > 0,a + b = 1,
1 1 1 1 (1 a + b)(1 a + b b a所以 + ÷ + ÷ = + + ) = (2 + )(2 + ) = 5
2a 2b
+ +
è a è b a b a b b a
2b 2a 2b 2a 1
5 + 2 = 9 ,当且仅当 = ,即 a = b = 时等号成立.
a b a b 2
故原题得证.
(三)
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
a+b
(1)一正:符合基本不等式 ≥ ab成立的前提条件:a>0,b>0.
2
(2)二定:化不等式的一边为定值.
(3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立.
以上三点缺一不可.
2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解
答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
3.应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形,构造
出符合基本不等式的条件结构..
4.一般地,数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系,但不能定格于某种特殊形式,因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … a + b b2ab的形式可以是 a2 … 2ab - b2 ,也可以是 ab ,还可以是 a + … 2b ,
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等.解题时不仅要利用原来的形式,而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等,以
a
便应用.
题型 4:基本不等式的直接应用求最值
4-1.(2024 高二下·陕西榆林·期中)已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2,则 ab的最大值为( )
1 1
A. B. C4 .1 D.22
【答案】A
【分析】根据题意,利用基本不等式,即可求解.
【详解】因为 a > 0,b > 0, a + 4b = 2,
1
由基本不等式可得 2 = a + 4b 2 4ab = 4 ab ,可得 ab ,4
1 1
当且仅当 a = 4b,即 a =1,b = 时,等号成立,所以 ab的最大值为 .
4 4
故选:A.
4-2.(2024 高二下·福建·学业考试)已知 nm = 2 ,则m2 + n2 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】m2 + n2 2mn = 4,当且仅当“ m = n ”时取等.
故m2 + n2 的最小值为 4 .
故选:D.
1
4-3.(2024 高一上·全国·课后作业)已知 x < 0 ,则 x + 的最大值为(
x )
1 1
A. 2 B.- C.-2 D.
2 2
【答案】C
x 1 [( x) 1【分析】根据题意化简得到 + = - - + ],结合基本不等式,即可求解.
x -x
1 1 1
【详解】因为 x < 0 ,可得 -x > 0,则 x + = -[(-x) + ] -2 (-x) = -2,
x -x -x
x 1当且仅当- = 时,即 x = -1时,等号成立,
-x
即 x
1
+ 的最大值为-2 .
x
故选:C.
4-4.(2024 高三·全国·专题练习) 3 - a a + 6 , -6 < a < 3 的最大值为 .
9
【答案】 / 4.5
2
【分析】根据题意,由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为-6 < a < 3,所以3- a > 0 , a + 6 > 0,由基本不等式可得
3 - a a 6 3- a + a - 6 9 3+ = ,当且仅当3- a = a + 6,即 a = - 时,等号成立.所以 3- a a + 6 ,
2 2 2
-6 < a < 3 9的最大值为 .
2
9
故答案为: .
2
题型 5:配凑法求最值
5-1 3 + x + x
2
.(2024 高三·全国·专题练习)当 x > 0时,函数 y = 的最小值为( )
1+ x
A. 2 3 B. 2 3 -1
C. 2 3 +1 D.4
【答案】B
y 3+ x + x
2
y 3+ x + x
2 3 3
【分析】使用变量分离,将 = 化为 = = + x = + x +1 -1,使用基本不等式解
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
决.
x > 0 y 3+ x + x
2 3 x 3【详解】因为 ,所以 = = + = + x +1 -1 2 3 × x +1 -1 = 2 3 -1,当且仅当
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
3
= x +1 ,即 x = 3 -1时,等号成立.1+ x
故选:B.
1
5-2.(2024 高三·全国·专题练习)已知0 < x < ,则函数 y = x(1- 2x) 的最大值是( )
2
1 1 1 1
A. B. C D
2 4
. .
8 9
【答案】C
1
【分析】将 y = x(1- 2x)化为 2x(1- 2x),利用基本不等式即可求得答案.
2
1
【详解】∵ 0 < x < ,\1- 2x > 0 ,
2
∴ x(1 - 2x)
1
= 2x(1 2x) 1 [2x + (1- 2x)- ]2 1= ,
2 2 2 8
1
当且仅当 2x =1- 2x 时,即 x = 时等号成立,
4
y = x(1- 2x) (0 x 1 1因此,函数 , < < )的最大值为 ,
2 8
故选:C.
2
5-3.(2024 2x + x + 3高三·全国·专题练习)函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
【答案】1- 2 6 / -2 6 +1
f x 2x
2 + x + 3 2x 3【分析】首先化简可得 = = + +1 = -(-2x 3+ ) +1,由 -x > 0则可以利用基本不等式求最
x x -x
值即可.
【详解】因为 x < 0 ,则 -x > 0,
f x 2x
2 + x + 3 3 3
所以 = = 2x + +1 = -(-2x + ) +1
x x -x
≤ 2 2x 3- - × +1 =1- 2 6 ,
-x
3 6
当且仅当-2x = ,即 x = - 时等号成立,
-x 2
所以 f x 的最大值为1- 2 6 .
故答案为:1- 2 6 .
2
5-4 2024 · · x > -1 y x + x + 4.( 高一上 湖南益阳 阶段练习)已知 ,则函数 = 的最小值是 .
x +1
【答案】3
【分析】将函数化简,分离常数,然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 x > -1,
x2 + x + 4 x +1 2 - (x +1) + 4y 4= = = x +1 + -1
x +1 x +1 x +1
2 x 4+1 -1 = 3
x +1
x 1 4当且仅当 + = ,即 x =1时,等号成立.
x +1
2
y x + x + 4所以函数 = 的最小值是3
x +1
故答案为: 3 .
4
5-5.(2024·贵州贵阳·模拟预测)若 x > 0,则 x + 的最小值为 .
x +1
【答案】3
【分析】利用基本不等式,变形求函数的最小值.
4 4 4
【详解】因为 x > 0,由基本不等式得: x + = x +1+ -1 2 x +1 × -1 = 3,
x +1 x +1 x +1
x 1 4当且仅当 + = ,且 x > 0,即 x =1时等号成立.
x +1
故答案为:3
a25-6 - 3a +11.(2024 高一上·江苏泰州·阶段练习)已知 a >1,则 的最小值为 .
a -1
【答案】5
2
t = a -1 a - 3a +11【分析】利用换元法,令 ,将 转化为关于 t的分式,再利用基本不等式求解最小值即可.
a -1
【详解】令 t = a -1(t > 0),则 a = t +1,
a2 - 3a +11 (t +1)2 - 3(t +1) +11 t 2 - t + 9 9 9
所以 = = = t + -1 9 2 t × -1 = 5,当且仅当 t = ,即 t = 3时取等号,
a -1 t t t t t
a2 - 3a +11
所以 的在最小值为5 .
a -1
故答案为:5 .
题型 6:常数代换法求最值
1 4
6-1.(2024 高一上·全国·课后作业)已知 a > 0,b > 0,a + b = 2,则 y = + 的最小值是( )
a b
7 9
A. B.4 C. D.5
2 2
【答案】C
1 4
a b 2 a + b y = + y =
a + b 1 4
【分析】将 + = 化为 = 1,即可将 变形为 ÷ +2 a b ÷ ,结合基本不等式即可求得答案.2 a b è è
【详解】Qa > 0,b > 0, a + b = 2 ,
a + b
\ =1,
2
y 1 4 a + b 1 4\ = + = +
a b 2 ÷ a b ÷è è
5 b 2a 5 b 2a 5 9
= + + + 2 × = + 2 = (当且仅当b = 2a
4
= 时等号成立),
2 2a b 2 2a b 2 2 3
故选:C
1 2
6-2.(2024·浙江·模拟预测)已知正实数 x, y满足 x + 2y =1,则 +x 的最小值为( )+1 y +1
1
A + 2 B 3+ 2 9
34
. . C. D.
2 2 4 15
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得, x + 2y =1,则 x +1 + 2 y +1 = 4,
1 2 1 1 2
所以 + = + ÷ é x +1 + 2 y +1 ùx +1 y +1 4 è x +1 y +1
1 é5 2(y +1) 2(x +1) ù 1
é
5 2 2(y +1) 2(x +1)
ù 9
= ê + + 4 x +1 y +1 ú ê
+ × = ,
4 x +1 y +1
ú
4
2(y +1) 2(x +1)
当且仅当 = x y
1
= =
x 1 y 1 ,即 时,取得等号,+ + 3
故选:C.
1 2
6-3.(2024 高一上·江西景德镇·期中)已知 x, y R*,x+2y=1,则 +x y 的最小值( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为 x, y R*,x+2y=1,
1 2 1 2 x 2y 1 2y 2x 4 5 2y 2x则 + = + ÷ + = + + + = + +x y è x y x y x y
5 2 2y 2x + × = 9,
x y
2y 2x
当且仅当 = ,即 x
1
= y =
x y 时取等.3
故选:B.
1 9
6-4.(2024·安徽安庆·三模)已知非负数 x, y满足 x + y =1,则 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
【答案】4
【分析】根据题意 x +1+ y + 2 = 4 ,再构造等式利用基本不等式求解即可.
1 9 1 1 9
【详解】由 x + y =1,可得 x +1+ y + 2 = 4, + = + ÷ x +1+ y + 2 x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
1 1 9 y + 2
9 x +1 1 y + 2 9 x +1
= + + + ÷ 10 + 2 × ÷ = 4,当且仅当 y + 2 = 3 x +1 ,即 x = 0, y =1 ÷ 时取等4 è x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
号.
故答案为:4
6-5.(2024 高一上·重庆长寿·期末)已知正数m n,满足 2m + 3n - mn = 0,则 2m + 3n的最小值为 .
【答案】 24
2 3
【分析】根据正数m , n 满足 2m + 3n - mn = 0,可得 + =1,
n m
再由 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 +
÷,利用基本不等式即可求解.
è n m
2 3
【详解】由正数m , n 满足 2m + 3n - mn = 0,可得 + =1,
n m
所以 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 4m 9n 4m 9n + ÷ = + +12 2 × +12 = 24,
è n m n m n m
4m 9n 2 3
当且仅当 = , + =1,即m = 6,n = 4时取等号,
n m n m
所以 2m + 3n的最小值为 24 .
故答案为: 24 .
6-6.(2024 高一上·广东梅州·期末)已知 x > 0, y > 0,若 x + 3y + 4xy = 6,则 x + 3y 的最小值为 .
【答案】3
【分析】先移项,结合基本不等式把积化为和,可求答案
【详解】因为 x > 0, y > 0, x + 3y + 4xy = 6,
所以 4xy = 6 - x + 3y 4,即 x ×3y = 6 - x + 3y ;
3
4 4 x + 3y 2
x ×3y 因为 ÷ ,当且仅当 = 3 时取到等号,3 3 è 2
x + 3y 2
所以 6 - x + 3y ,
3
解得 x + 3y 3或 x + 3y -6(舍)
3
所以当 x = , y
1
= 时, x + 3y 有最小值 3.
2 2
故答案为:3
题型 7:消元法求最值
7-1.(2024·重庆·模拟预测)已知 x > 0, y > 0,且 xy + 2x + y = 6,则 2x + y 的最小值为( ).
A.4 B.6 C.8 D.12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解:已知 x > 0,y > 0,且 xy+2x+y=6,
6 - 2x
y=
x +1
6 - 2x 8 8
2x+y=2x+ =2(x+1) + - 4 4,当且仅当 2 x +1 = , x =1时取等号,
x +1 x +1 x +1
故 2x+y 的最小值为 4.
故选:A
7-2.(2024 高一上·四川眉山·阶段练习)设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】A
1 2 1
【分析】首先由等式把b 转化为 ,再应用常数分离得到 ab = a+1 + - 2,最后应用基本不等式得
a +1 a +1
到最小值.
【详解】由题意b > 0,ab + b =1 b=
1
,所以 ,a +1 > 0,
a +1
2 a2 a +1-1
2
得到 a b a 1= = = +1+ - 2 2 - 2 = 0,
a +1 a +1 a +1
a 1 1当且仅当 + = ,即 a = 0时, 等号成立,则 a2b的最小值为0 .
a +1
故选:A.
7-3.(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10,则 x + y 的最小值为( )
A. 2 2 -1 B. 2 2 C.4 2 D. 4 2 -1
【答案】D
【分析】用 y 表示 x + y 后,根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 x > 0, y > 0,
y +10
由 xy + 2x - y =10 ,得 x = y 2 ,+
x y y +10 8所以 + = + y = + y + 2 -1
8
2 × (y + 2) -1 = 4 2 -1
y 2 y ,+ + 2 y + 2
当且仅当 y = 2 2 - 2时,等号成立.
故 x + y 的最小值为 4 2 -1.
故选:D
7-4.(2024 高二下·广西北海·期末)若正数 x,y 满足 x - xy + 2 = 0,则 x + y 的最小值是( )
A. 2 2 B. 2 3 C.4 D.6
【答案】C
【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
2
【详解】由题设及 x - xy + 2 = 0 ,可得 y = x + .
x
x y x x 2 1 1所以 + = + + = 2 x + ÷ 4 x × = 4,x è x x
1
当且仅当 x = ,即 x =1时,等号成立,此时 y = 3 > 0符合题意.
x
所以 x + y 的最小值为 4.
故选:C.
题型 8:整体化求最值
1 1 xy
8-1.(2024 高三上·陕西榆林·阶段练习)已知 x > 0, y > 0,且 + =x y 4 ,则
x + y 的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
4 x + y = xy 2【分析】先得出 ,再利用基本不等式求解即可.
1 1 xy
【详解】因为 + =x y 4 ,
é x + y 2
2 4
4 x + y = xy 2
ù x + y
所以 ê 2 ÷ ú
= ,
ê è ú 16
所以 x + y 3 64,所以 x + y 4,
当且仅当 x = y = 2时取等号,
所以 x + y 的最小值为 4 .
故选:C.
2
8-2.(2024 高二下·安徽·阶段练习)若正实数 x , y 满足3x +12y - 2xy = 0,则 x y 的最大值为(+ )
4 1 2 1
A. B. C. D.
27 3 27 27
【答案】A
3 12
【分析】根据等式计算得出 + = 2y x ,再结合常值代换求和的最值,计算可得最大值.
3 12
【详解】Q x > 0 , y > 0,3x +12y - 2xy = 0,\ + = 2y x ,
3 12 1 3x 12y 1
\ x + y = x + y 3x 12y 1 27 + ÷ = +12 + 3 + ÷ 2 +15÷ = ,
è y x 2 è y x 2 ÷è y x 2 2
3x 12y 9
当且仅当 =y x ,即 x = 9 ,
y = 时等号成立,
2
2 4
\
x + y 27 .
故选:A.
8-3.(2024 高二下·北京丰台·期末)若 a > 0,b > 0,且 ab = a + b + 3,则 ab的最小值为( )
A.1 B.3 C.9 D.10
【答案】C
【分析】利用基本不等式变形求解.
【详解】∵ a > 0,b > 0,
所以 ab = a + b + 3 2 ab + 3,当且仅当 a = b时等号成立,
( ab - 3)( ab +1) 0,所以 ab 9,当且仅当 a = b = 3时取等号,
故选:C.
(四)
基本不等式的恒成立问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数,转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
题型 9:基本不等式的恒成立问题
2 1
9-1.(2024 高一·江苏·假期作业)若对 x > 0,y > 0,有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立,则
m 的取值范围是( )
A.m 4 B.m > 4
C.m < 0 D.m 8
【答案】D
2 1 2 1
【分析】首先由基本不等式求出 (x + 2y) × ( + ) (x + 2y) × ( + ) m mx y 的最小值,由 x y 恒成立即可求出 的范围.
【详解】因为 x > 0, y > 0,
所以 (x + 2y)
2 1
× ( + ) 2 x 4y x 4y= + + + 2 4 + 2 × = 8,
x y y x y x
当且仅当 2y = x时取等号,
所以m 8,
故选:D.
1 4
9-2.(2024·黑龙江哈尔滨·三模)若两个正实数 x, y满足 + =1 x
y
+ < m2
x y ,且不等式
- 3m有解,则实数m
4
的取值范围是( )
A. (-1,4) B. (-4,1)
C. (- , -1) U (4, + ) D. (- ,0) (3, + )
【答案】C
x y x y 1 4 + = + y【分析】由题意可得
4 4 ÷
+ ÷ ,化简后利用基本不等式可求出 x + 的最小值,然后将问题转
è è x y 4
y
化为m2 - 3m大于 x + 的最小值,从而可求出实数m 的取值范围
4
1 4
【详解】因为两个正实数 x, y满足 + =1x y ,
x y x y 1 4 2 4x y 2 2 4x y所以 + = + ÷ + ÷ = + + + × = 4 ,4 è 4 è x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 =y 4x ,即
x = 2, y = 8时取等号,
y 2
因为不等式 x + < m - 3m有解,
4
y
所以m2 - 3m大于 x + 的最小值,即m2 - 3m > 4,
4
解得m < -1或m > 4 ,
即实数m 的取值范围是 (- , -1) U (4, + ),
故选:C
2 1
9-3.(2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知 x > 0,y > 0,且 + =1,若 2x + y > mx y 恒成立,则实数
m
的取值范围是( )
A. - ,9 B.[7, + ∞) C. 9, + D. - ,7
【答案】A
2 1
【分析】将 2x + y 与 +x y 相乘,展开后利用基本不等式可求得
2x + y 的最小值,即可求得m 的取值范围.
2 1 2 1 2x 2y 2x 2y
【详解】因为 x > 0, y > 0,且 + =1,则 2x + y + ÷ = 5 + + 5 + 2 × = 9x y ,è x y y x y x
当且仅当 x = y = 3时,等号成立,即 2x + y 的最小值为9,
因为 2x + y > m 恒成立,则m < 9 .
故选:A.
9-4.(2024 高二下·重庆沙坪坝·期末)已知正实数 x,y 满足 2x + 3y - xy = 0,若3x + 2y t 恒成立,则实数 t
的取值范围是( )
A. t 25 B. t < 25 C. t ≤ 24 D. t 24
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用,可得答案.
2 3
【详解】由正实数 x,y, 2x + 3y - xy = 0,则 + =1y x ,
即3x + 2y = 3x + 2y 2 3 6x 9 4 6y 13 2 6x 6y + = + + + + × = 25,
è y x
÷
y x y x
6x 6y
当且仅当 = ,即 x = y = 5时,等号成立,则 t 25y x ,
故选:A.
9-5.(2024 高一上·山东·期中)已知 x > 0, y > 0,且 x + y + xy = 3,若不等式 x + y m2 - m 恒成立,则实
数 m 的取值范围为( )
A. -2 m 1 B.-1 m 2
C.m -2或m 1 D.m -1或m≥ 2
【答案】B
【分析】首先根据基本不等式得到 x + y = 2 2,结合题意得到m - m x + ymin min ,即m2 - m 2,再解不
等式即可.
x + y
2
【详解】 xy = 3 x - + y ,当且仅当 x = y =1时等号成立,
4
解得 x + y 2 ,即 x + y = 2min .
因为不等式 x + y m2 - m 恒成立,
所以m2 - m x + y min ,即m2 - m 2,解得-1 m 2 .
故选:B
9-6.(2024 高三上·江西·阶段练习)已知 a、b 0, + 1 4 l,若 + 恒成立,则实数l 的取值范围为
a b a + b
( )
A. 5,+ B. 9, + C. - ,5 D. - ,9
【答案】D
l a b 1 4 【分析】由已知可得出 + + ÷,利用基本不等式可求得实数l 的取值范围.
è a b
1 4
【详解】因为 a、b 0, + ,由已知可得l a + b + ÷,
è a b
1 4 a b b 4a 5 2 b 4a因为 + ÷ + = + + × + 5 = 9,当且仅当b = 2a时等号成立,
è a b a b a b
故实数l 的取值范围为 - ,9 ,
故选:D.
x
9-7.(2024 高三上·山西·阶段练习)若对任意 x > 0, 2 a 恒成立,则 a的取值范围是 .x + 3x +1
【答案】a
1
5
x 1
=
【解析】利用基本不等式求出 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 的最大值,即可得出结果.
x
【详解】Q x > 0 ,
x 1 1 1
\ 2 = =x + 3x +1 x 1
1
+ + 3 52 x 1× + 3 ,当且仅当
x = ,即 x =1时等号成立,
x xx
a 1\ .
5
1
故答案为:a .
5
x 1
=
【点睛】关键点睛:本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键是化简式子 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 利用基本
x
不等式求出最大值.
(五)
利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案.
题型 10:利用基本不等式解决实际问题
10-1.(2024 高三下·湖南·阶段练习)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为 1800 平方
米的矩形 ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为 2 米的人行通道,则种
植花卉区域的面积的最大值是( )
A.1208 平方米 B.1448 平方米 C.1568 平方米 D.1698 平方米
【答案】C
【分析】设 AB = x 米,则可表示出种植花卉区域的面积,结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设 AB = x 米, (x > 0),
1800 7200
则种植花卉区域的面积 S = x - 4 - 2÷ = -2x - +1808.
è x x
7200
因为 x > 0,所以 2x + 2 14400 = 240,当且仅当 x = 60时,等号成立,
x
则 S -240 +1808 =1568,即当 AB = 60米, BC = 30米时,
种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是 1568 平方米,
故选:C
10-2.(2024 高三·全国·专题练习)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获
得的总利润 y (单位:万元)与机器运转时间 x (单位:年)的关系为 y = -x2 +18x - 25 x N + ,则每台机器为
该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.
【答案】8 .
y 25
【分析】由题意可知年平均利润 =18 - x + ÷,然后利用基本不等式求其最值.x è x
x y =18 - x 25 y【详解】每台机器运转 年的年平均利润为 +
x x ÷
,而 x > 0,故 18 - 2 25 = 8,当且仅当 x = 5
è x
时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元.
故答案为:8
【点睛】本题考查基本不等式的应用,较易,在应用基本不等式时注意“=”成立的条件.
10-3.(2024 高一上·江苏扬州·阶段练习)近日,随着新冠肺炎疫情在多地零星散发,为最大程度减少人员
流动,减少疫情发生的可能性,高邮政府积极制定政策,决定政企联动,鼓励企业在国庆期间留住员工在
本市过节并加班追产,为此,高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )
(万元)的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府 x (万元)补贴后,产量将增加到 t = (x + 3)(万
件).同时波司登制衣有限公司生产 t(万件)产品需要投入成本为 (7t
81
+ + 3x) 42(万元),并以每件 (8 + )
t t
元的价格将其生产的产品全部售出.注:收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本.
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间,加班追产所获收益 y (万元)关于政府补贴 x (万元)的表达式;
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时,波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y (万元)最大?
81
【答案】(1) y = 45 - x -
x + 3
(2)6 万元
【分析】(1)依题意求解即可;
81 é 81
(2)由 y = 45 - x - = - ê x + 3 +
ù
ú + 48结合基本不等式求解即可.x + 3 x + 3
42 81 81
【详解】(1) y = 8 + ÷ × t + x -t
7t + + 3x ÷ = t + 42 - 2x - .
è è t t
因为 t = x + 3 ,所以 y = x + 3+ 42 2x 81- - = 45 x 81- -
x + 3 x + 3
81
(2)因为 y = 45 x
81
- - = -
é
ê x + 3 +
ù
ú + 48.x + 3 x + 3
又因为 x 0,20 x 3 81,所以 + > 0, > 0,
x + 3
所以 x 3 81+ + 2 x 81+ 3 =18(当且仅当 x + 3 81= 即x = 6时取“ = ”)
x + 3 x + 3 x + 3
所以 y -18 + 48 = 30
即当 x = 6万元时, y 取最大值 30 万元.
10-4.(2024 高一下·山西太原·阶段练习)某游泳馆拟建一座占地面积为 200 平方米的矩形泳池,其平面图
形如图所示,池深 1 米,四周的池壁造价为 400 元/米,泳池中间设置一条隔离墙,其造价为 100 元/米,泳
池底面造价为 60 元/平方米(池壁厚忽略不计),设泳池的长为 x 米,写出泳池的总造价 f x ,问泳池的长
为多少米时,可使总造价 f x 最低,并求出泳池的最低造价.
【答案】 f (x) = 800
x 225+ ÷ +12000, (x (0, + )),泳池的长设计为 15 米时,可使总造价最低,最低总造
è x
价为 36000 元.
【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式,结合基本不等式即可求解.
200
【详解】因为泳池的长为 x 米,则宽为 米.
x
f (x) 400 2x 2 200= 200则总造价 + ÷ +100 + 60 200(x (0, + )) ,
è x x
整理得到 f (x) = 800
225 x + ÷ +12000 1600 15 +12000 = 36000(x (0,+ )),
è x
当且仅当 x =15时等号成立.
故泳池的长设计为 15 米时,可使总造价最低,最低总造价为 36000 元.
10-5.(2024 高一上·湖南岳阳·期末)党的二十大报告指出:我们要推进美丽中国建设,坚持山水林田湖草
沙一体化保护和系统治理,统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化,协同推进降碳、减
污、扩绿、增长,推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展.某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维
护.若乡财政下拨一项专款 400 百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目
五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x (单位:百万元)的函数M x (单位:百万元):
M x 80x= ;处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x (单位:百万元)的函数 N x
20 + x
1
(单位:百万元): N x = x.
4
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为 x (百万元),则两个生态项目五年内带来的收益总和为 y (百万元),写
出 y 关于 x 的函数解析式;
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱,只有持之以恒,才能功在当代,利在千秋.试求出 y 的最大值,并
求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?
80x 1
【答案】(1) y = - x +100, x 0,400
20 + x 4
(2) y 的最大值为 145(百万元),分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为 60(百万元),340(百
万元).
【分析】(1)由题意可得处理污染项目投放资金为 400 - x百万元,即可求出 N 400 - x ,从而求出 y 关于 x
的函数解析式;
(2)利用基本不等式求出函数的最大值,即可得解.
【详解】(1)解:由题意可得处理污染项目投放资金为 400 - x百万元,
M x 80x N 400 x 1 400 x 100 1则 = , - = - = - x
20 + x 4 4
y 80x 1\ = - x +100 , x 0,400 .
20 + x 4
y 80x 1(2)解:由(1)可得, = - x +100 =180
1 x 1600- -
20 + x 4 4 20 + x
185 1 é x 20 6400 ù 1= - ê + + ú 185 - 20 + x
6400
× =145,
4 20 + x 2 20 + x
6400
当且仅当 20 + x = ,即 x = 60时等号成立,此时 400 - x = 340.
20 + x
所以 y 的最大值为145(百万元),分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60 (百万元),340
(百万元).
一、单选题
a + 4
1.(2024 高二下·北京·期中)设 a > 0,则 a + 的最小值为( )
a
A.5 B.3 C.4 D.9
【答案】A
【分析】先将函数化简,然后利用基本不等式即可求解.
a + 4 4 4
【详解】因为 a > 0,所以 a + = a + +1 2 a × +1 = 5,
a a a
a 4当且仅当 = ,即 a = 2时取等号,
a
a + 4
所以 a + 的最小值为5,
a
故选:A.
2.(2024 高一下·河南·期中)已知正实数 a,b 满足 2a + b - 9ab = 0,则a + 2b的最小值为( )
1
A.3 B.1 C.9 D.
3
【答案】B
1 2
【分析】将条件 2a + b - 9ab = 0转化为 + = 9,然后利用“1 的代换”和基本不等式可得.
a b
1 2
【详解】因为 2a + b - 9ab = 0,变形得 + = 9 .
a b
(a 2b) 1 2+ + 5 2b 2a+ + 2b 2a 1
由题意 a b ÷è a b 5 + 2 4 ,当且仅当 = ,即 a = b =a 2b 1 时,等号成立.+ = = = a b 3
9 9 9
故选:B.
3.(2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)若正数 x,y 满足 x + y = xy,则 x + 2y 的最小值是( )
A.6 B. 2 + 3 2 C.3+2 2 D. 2+2 3
【答案】C
1 1
【分析】对 x + y = xy变形得到 + =1y x ,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数 x,y 满足 x + y = xy,
x + y 1 1
所以 = + =1xy y x ,
x 2y x 2y 1 1 x 2y x 2y所以 + = + + ÷ = + + 3 2 × + 3 = 2 2 + 3,
è y x y x y x
x 2y
= x 2 1, y 2 + 2当且仅当 y x ,即 = + = 时,等号成立,2
所以 x + 2y 的最小值为3+2 2
故选:C
2 1
4.(2024 高一·全国·专题练习)已知 x>0,y>0,且 + y =1,若 x + 2y > m
2 恒成立,则实数 m 的取值范围
x
是( )
A.m≤-2 2 或 m≥2 2 B.m≤-4 或 m≥2
C.-2<m<4 D.-2 2 <m<2 2
【答案】D
【分析】由基本不等式得出 x + 2y 的最小值,进而得出实数 m 的取值范围.
2 1
【详解】∵x>0,y>0 且 + =1x y ,
x 2y (x 2y) 2 1 4 4y x 4y x\ + = + + ÷ = + + 4 + 2 × = 8,
è x y x y x y
4y x
当且仅当 =x y ,即 x=4,y=2 时取等号,
∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2恒成立,
只需(x+2y)min>m2恒成立,即 8>m2,解得-2 2 < m < 2 2 .
故选:D
1
5.(2024 高三上·海南海口·阶段练习)当 x > 2时,不等式 x + a恒成立,则实数 a的取值范围是(
x 2 )-
A. - , 2 B.[2, + ∞) C. 4, + D. - , 4
【答案】D
1
【分析】利用基本不等式可求得 x + 的最小值,由此可得 a的范围.
x - 2
1 1 1
【详解】当 x > 2时, x + = x - 2 + + 2 2 x - 2 × + 2 = 4(当且仅当 x = 3时取等号),
x - 2 x - 2 x - 2
\a 4,即 a的取值范围为 - , 4 .
故选:D.
6.(2024 高一上·北京·期末)对任意的正实数 x, y,不等式 x + 4y m xy 恒成立,则实数m 的取值范围是
( )
A. (0,4] B. (0, 2] C. (- , 4] D. (- , 2]
【答案】C
x + 4y x + 4y
【解析】先根据不等式 x + 4y m xy 恒成立等价于m ÷÷ ,再根据基本不等式求出xy
÷÷ ,即
è min è xy min
可求解.
【详解】解:Q x + 4y m xy ,
即m
x + 4y
xy ,
x + 4y
即m xy ÷
÷
è min
x + 4y x 4 y x 4 y
又Q = + 2 × = 4
xy y x y x
x 4 y
当且仅当“ = ”,即“ x = 2y ”时等号成立,
y x
即m 4,
故m (- , 4] .
故选:C.
7.(2024 高三上·重庆南岸·阶段练习)为了丰富全校师生的课后学习生活,共建和谐美好的校园文化,重庆
十一中计划新建校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1,该项目由图书陈列区 ABCD(阴影部分)和四周休息区组
成.图书陈列区 ABCD的面积为1000m2 ,休息区的宽分别为 2m 和 5m(如图所示).当校园图书馆精品阅
读区 A1B1C1D1面积最小时,则图书陈列区BC 的边长为( )
A.20m B.50m C.10 10 m D.100m
【答案】B
【分析】设BC = xm, AB
1000 m, A B C D S (x 10)(1000则 = 可得阅读区 1 1 1 1面积 = + + 4),展开后利用基本不等x x
式求解即可.
【详解】设BC = xm, x > 0 1000,则 AB = m,
x
A B 1000所以阅读区 1 1C1D1的面积 S = (x +10)( + 4)x
10000
=1040 + 4x +
x
1040 + 2 4x 10000× =1440.
x
当 4x
10000
= ,即 x = 50 时取等号,
x
当校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1面积最小时,则图书陈列区BC 的边长为50m,
故选:B.
m
8.(2024 高二下·河北·期末)“ m > 4 ”是“函数 f x = x + x > 0 的最小值大于 4”的( ).
x
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
m
【详解】解:若m > 4 ,则 f x = x + x > 0 的最小值为
x 2 m > 2 4 = 4
;
f x x m若 = + x > 0 的最小值大于 4,则m > 0,且 2 m > 4,则m > 4 ,
x
故选:C.
4
9.(2024 高二上·江苏常州·期中)已知函数 f x = x + (x < 0) ,则下列结论正确的是(
x )
A. f x 有最小值 4B. f x 有最大值 4 C. f x 有最小值-4 D. f x 有最大值-4
【答案】D
【解析】根据基本不等式即可求出.
【详解】解:Q x < 0,\-x > 0,
\ f x = x 4 4+ = - éê -x +
ù
x -x ú -2
4
-x × = -4 ,
-x
4
当且仅当 -x = x ,即 x = -2时取等号,-
\ f x 有最大值-4 .
故选:D.
1
10.(2024 高一上·江西·阶段练习)已知实数 x 满足0 < x < ,则 y
1
= 8x + 的最大值为( )
2 2x -1
A.-4 B.0 C.4 D.8
【答案】B
【分析】由已知得到0 <1- 2x <1,对题中所给的式子进行转化,利用基本不等式求最大值.
1
【详解】由0 < x < 得到-1 < 2x -1 < 0,则0 <1- 2x <1,
2
y = 8x 1+ = 4(2x 1) 1 1- + + 4 = -[4(1- 2x) + ]+ 4 1 -2 4(1- 2x) × + 4 = 0,
2x -1 2x -1 1- 2x 1- 2x
1 1
当且仅当 x = 上式取等号,则 y = 8x + 的最大值为 0.
4 2x -1
故选:B.
x > a 2x 811.(2024 高三·全国·专题练习)当 时, + 的最小值为 10,则 a =( )
x - a
A.1 B. 2 C.2 2 D.4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当 x > a 时
2x 8 8 8+ = 2 x - a + + 2a 2 2 x - a + 2a = 8 + 2a ,
x - a x - a x - a
即8 + 2a =10,故 a =1 .
故选:A.
4
12.(2024·北京东城·一模)已知 x > 0,则 x - 4 + 的最小值为(
x )
A.-2 B.0 C.1 D. 2 2
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值.
4 4 4
【详解】∵ x > 0,∴ x + - 4 2 x - 4 = 0,当且仅当 x = 即 x = 2时等号成立.
x x x
故选:B.
13.(2024 高一上·全国·课后作业)已知0 < x <1,则当 x(5 - 5x)取最大值时, x 的值为( )
5 1 1 3
A. B. C. D.
4 2 3 4
【答案】B
【分析】由 x(5 - 5x) = 5x(1- x) 5 (
x +1- x
× )2,结合等号成立的条件,即可求解.
2
【详解】由0 < x <1,可得1- x > 0,
则 x(5 - 5x) = 5x(1
x +1- x 5 1
- x) 5 × ( )2 = ,当且仅当 = 1 ,即 x = 时取等号,
2 4 2
1
所以 x = 时, x(5 - 5x)取得最大值.
2
故选:B.
14.(2024 高三下·湖南邵阳·学业考试)已知 a > 0,b > 0, a + b = 6,则 ab的最大值为( )
A.6 B.9 C.12 D.36
【答案】B
【分析】根据题意,结合基本不等式,即可求解.
【详解】因为 a > 0,b > 0且 a + b = 6,
a + b
由基本不等式可得 ab ( )2 = 9,当且仅当 a = b = 3时,等号成立,
2
所以 ab的最大值为9 .
故选:B.
15.(2024 高一·全国·课后作业)已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ,那么 c 的最大值为( )
1 1
A.1 B. C 2. D.
2 2 4
【答案】A
【分析】直接利用基本不等式即可得解.
2
【详解】由于 x, y R+ x + y ,所以 c = xy ÷ =1,
è 2
当且仅当 x = y =1时,等号成立,即 c 的最大值为 1,
故选:A.
a + 6b + 3
16.(2024 高二下·浙江温州·学业考试)已知正数 a,b 满足a + b = 1,则 最小值为(
ab )
A.25 B.19 + 2 6 C.26 D.19
【答案】A
a + 6b + 3 4 9
【分析】先进行化简得 = + ,再利用乘“1”法即可得到答案.
ab b a
【详解】因为正数 a,b 满足a + b = 1,
a + 6b + 3 a + 6b + 3a + 3b 4a + 9b 4 9 9 4
所以 = = = + = + a + b
ab ab ab b a a b ֏
9b 4a 9b 4a 9b 4a
=13 + + 13 + 2 × = 25,当且仅当 = ,联立a + b = 1,
a b a b a b
a 3 2即 = ,b = 时等号成立,
5 5
故选:A.
2 1
17.(2024 高一下·河南周口·期末)已知 a > 0,b > 0, + =1,则 2 2 的最小值为( )
a b a + 4b
A.8 B.16 C.24 D.32
【答案】D
2 1
【分析】由题意利用“1”的妙用,可先求出a + 2b的最小值,再由 a + 4b2 a + 2b 2求出答案.
2
【详解】由 a + 2b = a 2 1 4b a 4b a+ 2b + ÷ = + + 4 2 + 4 = 8
è a b a b a b
(当且仅当 a = 4,b = 2时取等号),
2 1
又由 a + 4b2 a + 2b 2(当且仅当 a=4,b=2 时取等号),有 a22 + 4b
2 32,
可得 a2 + 4b2 的最小值为 32.
故选:D.
y 1
18.(2024·湖北·二模)若正数 x, y满足 x + 2y = 2,则 +x y 的最小值为( )
5
A. 2 +1 B. 2 2 +1 C.2 D. 2
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数 x, y满足 x + 2y = 2,
x + 2y
所以 =1.
2
y 1 y x + 2y y x y x
所以 + = + = + +1 2 × +1 = 2 +1 ,
x y x 2y x 2y x 2y
ìx2 = 2y2
当且仅当 í ,即 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 时,取等号,
x + 2y = 2
y 1
当 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 时, +x y 取得的最小值为 2 +1.
故选:A.
a + b 2 1 1
19.(2024 高一·全国·课后作业)已知 a、b 为正实数, A = , = + ,G = ab ,则(
2 H a b )
A.G H A B.H G A
C.G A H D.H A G
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算出H G A .
【详解】因为 a、b 为正实数,
A a + b所以 = ab = G,当且仅当 a = b时,等号成立,
2
2 1 1 1 1 2
= + 2 × = ,所以H ab ,当且仅当 a = b时,等号成立,
H a b a b ab
综上:H G A .
故选:B
20.(湖南省张家界市民族中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题)设0 < a < b,则下列不等
式成立的是( )
a + b
A. ab < < a
a + b
< b B. a < < ab < b
2 2
ab a a + b b a ab a + bC. < < < D. < < < b
2 2
【答案】D
【分析】根据基本不等式的性质,结合作差比较法逐一判断即可.
a + b
【详解】因为0 < a < b,所以 ab < ;
2
a + b a b - a因为 - = > 0,
a + b b a - b- = < 0,
2 2 2 2
a + b
所以 > a,
a + b b a a + b< ,即 < < b,
2 2 2
因为0 < a < b,
所以 ab - a = ab - a2 = a b - a > 0,即 ab > a,
因此 a < ab
a + b
< < b,
2
故选:D
21.(河南省 TOP 二十名校 2023-2024 学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题)若0 < a < b,则下列不
等式成立的是( )
A. ab < a
a + b
< < b B. ab
a + b
< a < b
2 2
a + b
C. a < ab < < b a
a + b
D. < ab < b
2 2
【答案】C
a + b
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 ab < ,再结合0 < a < b可得出结果.
2
a + b
【详解】由已知0 < a < b,利用基本不等式得出 ab < ,
2
因为0 < a < b,则 a2 < ab < b2 , a + b < 2b,
a + b
所以 a < ab < b , < b,2
a ab a + b∴ < < < b .
2
故选:C.
22.(2024 高一·全国·单元测试)下列不等式恒成立的是( )
A. a + b -2 ab ; B. a + b 2 ab ;
C. a2 + b2 2ab; D. a2 + b2 -2ab .
【答案】D
【分析】对于 A、B、C:取特殊值否定结论;对于 D:利用基本不等式直接证明.
【详解】对于 A:取 a = -2 ,b = -1,则 a + b = -3,-2 ab = -2 2 ,此时 a + b < -2 ab .
故 A 错误;
对于 B:取 a = 2,b =1,则 a + b = 3, 2 ab = 2 2 ,此时 a + b > 2 ab .
故 B 错误;
对于 C:取 a = 2,b =1,则 a2 + b2 = 5, 2ab = 4,此时 a2 + b2 > 2ab .
故 C 错误;
2
对于 D:因为 a + b = a2 + 2ab + b2 0 ,所以 a2 + b2 -2ab .
故 D 正确.
故选:D
二、多选题
23.(2024 高一上·广东珠海·期中)以下结论正确的是( )
A y (x +1)
2
.函数 = 的最小值是 4
x
B.若 a,b R
b a
且 ab > 0,则 + 2
a b
1
C.若 x R ,则 x2 + 3+ 2 的最小值为 3x + 2
1
D.函数 y = 2 + x + (x < 0)的最大值为 0
x
【答案】BD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
2
【详解】A.对于函数 y (x +1)= ,当 x < 0 时, y < 0,所以 A 选项错误.
x
B.由于 ab
b
> 0,所以 > 0,
a
> 0,
a b
b a b a b a
所以 + 2 × = 2 = ,a2 = b2,当且仅当 时等号成立,所以 B 选项正确.
a b a b a b
C. x2 3 1 1+ + 2 = x
2 + 2 + 2 +1 2 x2 1+ 2 × 2 +1 = 3,x + 2 x + 2 x + 2
x2 1但 + 2 = 2 无解,所以等号不成立,所以 C 选项错误.x + 2
1 1 1
D. é ù由于 x < 0 ,所以 y = 2 + x + = 2 -
x ê
-x + ú 2 - 2 -x × = 0, -x -x
1
当且仅当-x = , x = -1时等号成立,所以 D 选项正确.
-x
故选:BD
24.(江苏省南京师范大学附属中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题)设 a,b为正实数,ab = 4,则
下列不等式中对一切满足条件的 a,b恒成立的是( )
1 1
A. a + b 4 B. a2 + b2 8 C. + 1 D.a b a + b 2 2
【答案】AC
【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析,从而确定正确选项.
【详解】A 选项,由基本不等式得 a + b 2 ab = 4,当且仅当 a = b = 2时等号成立,A 选项正确.
B 选项, a =1,b = 4时, ab = 4,但 a2 + b2 =17 > 8,B 选项错误.
C 1 1 1 1
1 1
选项,由基本不等式得 + 2 × =1,,当且仅当 = ,a = b = 2时等号成立,C 选项正确.
a b a b a b
D 选项, a =1,b = 4时, ab = 4,但 a + b = 3 > 2 2 ,D 选项错误.
故选:AC
25.(2024 高三·山东·开学考试)若 a > 0,b > 0.且 a + b = 4 ,则下列不等式恒成立的是( )
0 1 1A. < B.
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C. + 1 D.
a b a2
+ b2 8
【答案】CD
【分析】结合基本不等式对选项进行分析,由此确定正确选项.
a + b 2 2ab a + b
2
【详解】 ÷ ,当且仅当 a = b = 2时等号成立,
è 2 2
2 2 2 2
则 ab 4 4 4 a + b ÷ = 或 ÷ ,
è 2 è 2 2
1 1
则 , ab 2, a2 + b2
1 1
8, 2 2 ,ab 4 a + b 8
即 AB 错误,D 正确.
1 1 a + b 4 1
对于 C 选项, + = = 4 =1,C 选项正确.
a b ab ab 4
故选:CD
26.(2024 高一上·河北邯郸·期末)若 a > 0,b > 0,且 a b,则( )
A a + b a
2 + b2 B a + b a
2 + b2
. > . <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC. > D. <
2 2
【答案】BD
【分析】根据作差法结合条件可判断 AB,利用基本不等式可判断 CD.
【详解】Qa > 0,b > 0,且 a b,
a2 + b2 (a + b)2 (a - b)2
- = > 0 a + b a
2 + b2
所以 ,即 < ,故 A 错误,B 正确;
2 4 4 2 2
a + b
所以 a + b > 2 ab ,即 ab < ,故 C 错误,D 正确.2
故选:BD.
27.(2024·河北唐山·模拟预测)已知b < a < 0,则下列不等式正确的是( )
1 1
A.b2 > ab B. a + < b +b a
b a
C. + > 2 D. a2
1 b2 1+ < +
a b a b
【答案】ACD
【分析】作差法比较 A、B、D 的大小,利用基本不等式判断 C 即可.
【详解】b2 - ab = b(b - a) > 0,则b2 > ab ,A 对;
a 1+ - (b 1) (a b) a - b+ = - + = (a - b)(1 1+ ) > 0 1,而 a - b > 0,1+ > 0,
b a ab ab ab
1 1 1
所以 a + - (b
1
+ ) > 0,即 a + > b + Bb a , 错;b a
b a b a b , a 0 b a+ 2 × = 2且 > ,仅当 a = b等号成立,而b < a < 0,故 + > 2,C 对;
a b a b a b a b
a2 1 1 b - a 1 1+ - (b2 + ) = a2 - b2 + = (a - b)(a + b - ),而 a - b > 0,a + b - < 0a b ab ab ab ,
a2 1 (b2 1+ - + ) < 0 a2 1+ < b2 1所以 + D .a b ,即 a b , 对
故选:ACD
三、填空题
28.(2024 高三·全国·专题练习)已知0 < < 2,则 x 1- 2x2 的最大值为 .2
2
【答案】
4
2
【分析】变形 x 1- 2x2 = × 2x2 1- 2x2 ,利用基本不等式求解.2
2
【详解】Q0 < x < ,\ x2 > 0,1- 2x2 > 0,
2
2 2
\ x 1- 2x2 2= × 2x2 1 2x2 2 2x2 1 2x2 2 2x +1- 2x 2- = × - × = ,2 2 2 2 4
1
当且仅当 2x2 =1- 2x2 ,即 x = 时等号成立.2
2
故答案为: .
4
29.(2024 高三·全国·专题练习)已知m, n R+ ,若m n - 2 = 9 ,则m + n的最小值为
【答案】8
9
【分析】根据题意,由条件可得 n = + 2,然后结合基本不等式即可得到结果.
m
9
【详解】因为m, n R+ ,且m n - 2 = 9 ,所以 n = + 2,m
9
则m + n = m 9 2 9+ + 2 m × + 2 = 8,当且仅当m = ,即m = 3时等号成立,
m m m
则m + n的最小值为 8.
故答案为:8
x + 5 x + 230 .(2024·天津河西·模拟预测)函数 y = (x > -1)的最小值为 .
x +1
【答案】9
【分析】由题意得 x +1 > 0,原函数表达式可化为关于 x +1的表达式,分离常数,转化为可利用基本不等式
求最值的问题,即可得答案.
【详解】因为 x > -1,则 x +1 > 0,
x2y + 7x +10 (x +1)
2 + 5(x +1) + 4
所以 = =
x +1 x +1
= (x 4+1) + + 5 2 (x +1) 4× + 5 = 9 ,
x +1 x +1
4
当且仅当 x +1 = 即 x =1时等号成立,
x +1
∴已知函数的最小值为 9.
故答案为:9.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题,难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行
配凑,分离常数,转化为可利用基本不等式求最值的问题.
1
31.(2024 高三·全国·课后作业)设 x -2,0 ,则 x + 的取值范围是 .
x
【答案】 - , -2
1
【分析】根据对勾函数的单调性,分别求得 x [-2,-1]和 x -2,0 时 x + 的取值范围,即可得答案.
x
【详解】设函数 f (x) = x
1
+ ,则当 x [-2,-1]时, f (x)
1
= x + 单调递增,此时 f (x) [
5
- ,-2];
x x 2
当 x -1,0 时, f (x) = x 1+ 单调递减,此时 f x - ,-2 ,
x
故 x -2,0 ,则 x 1+ 的取值范围是 - , -2 ,
x
故答案为: - , -2
2
32 2024 · · f x x - 2x + 4.( 高三 全国 专题练习)函数 = x > 2 取得的最小值时, x 的值为 .
x - 2
【答案】4
x2 - 2x + 4 4
【分析】将函数 f x = 化成 x - 2 + + 2的形式,然后用均值不等式可求出答案.
x - 2 x - 2
f x x 4 x 2 4 2 2 4 2 6 4【详解】 = + = - + + + = .当且仅当 x - 2 = ,即 x = 4时,
x - 2 x - 2 x - 2
等号成立.故 f x 的最小值为 6.
故答案为:4
9
33.(2024·陕西榆林·三模)若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立,则 a 的取值范围是 ,a + a -1
的最小值为 .
【答案】 (3, + ) 7
【分析】根据题意,结合二次函数的性质,求得 a > 3,再利用基本不等式,即可求解.
【详解】当 a = 0时,不等式-6x + 3 > 0对 x R 不恒成立,不符合题意(舍去);
当 a 0时,要使得 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立,
ìa > 0
则满足 í ,解得 a > 3,所以实数 a的取值范围为 (3, + ) .
Δ = 36 -12a < 0
9 9
因为 a > 3,可得 a - 3 > 0 ,所以 a + = a -1+ +1 2 9 +1 = 7 ,
a -1 a -1
当且仅当 a = 4时,等号成立,所以 a
9
+ 的最小值为7 .
a -1
故答案为: (3, + );7 .
2
34.(2024 · · x + x + 3高三 全国 专题练习)函数 y = x > 2 的最小值为 .
x - 2
【答案】11
9
【分析】将函数化为 y = x - 2 + + 5,利用基本不等式求其最小值,注意取值条件即可.
x - 2
y (x - 2)
2 + 5(x - 2) + 9 9
【详解】由 = = x - 2 + + 5,又 x - 2 > 0,
x - 2 x - 2
9
所以 y 2 (x 9- 2) × + 5 =11,当且仅当 x - 2 = ,即 x = 5时等号成立,
x - 2 x - 2
所以原函数的最小值为11.
故答案为:11
2x
35.(2024 高一上·上海浦东新·期中)函数 y = 2 的值域是 .x - x + 4
é 2 2ù
【答案】 ê- , 5 3ú
【分析】分 x = 0, x > 0, x < 0三种情况讨论,运用基本不等式求值域.
【详解】当 x = 0时, y = 0
y 2xx 0 = 2 =
2
当 , x - x + 4 x 4-1+ .
x
4
若 x > 0 x 4 4时, + 2 x × = 4,当且仅当 x = ,即 x = 2时等号成立,此时
x x x
y 2 2 2= = 2
x 1 4- + 4 -1 3 ,即0 < y .
x 3
x 0 x 4 é x 4 ù 4 4若 < 时, + = - - + - ê ÷ú -2 -x ×
- ÷ = -4,当且仅当-x = - ,即 x = -2时等号成立,此时x è x è x x
y 2 2 2= 4 = - 2x -1+ -4 -1 5 ,即- y < 0 .
x 5
é 2 2ù
综上所述,函数的值域为 - , .
ê 5 3 ú
é 2 , 2ù故答案为: ê- 5 3 ú
36.(2024 高二下·广东广州·期中)已知 x 4, y 4,且 x + 4y - xy = 0 ,若不等式 a x + y 恒成立,则 a的
最大值为 .
28 1
【答案】 / 9
3 3
【分析】根据 x + 4y - xy = 0 对 x + y 进行消元后,转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【详解】当 x = 4时, x + 4y - xy = 4 + 4y - 4y = 0不成立,所以 x 4 .
由 x + 4y - xy = 0 得 y
x
= .
x - 4
x
因为 x 4, y 4,所以 4 4 x
16
,解得 < ,即 0
4
< x - 4 .
x - 4 3 3
a x y x x x - 4 + 4 4 4所以 + = + = x + = x +1+ = x - 4 + + 5,
x - 4 x - 4 x - 4 x - 4
4 4
令 t = x - 4,则0 < t ,于是 a t + + 5 .
3 t
令 f (t) = t
4 4
+ + 5,0 < t ,则 a f (t) .
t 3 min
4 4
由对勾函数的图象知, f (t)
0, ù 4 28在 ú 上单调递减,故 f (t)3 min
= f 3 ÷
= + 3 + 5 = .
è è 3 3
a 28 28所以 ,即 a的最大值为 .
3 3
28
故答案为: .
3
37.(2024 高一·全国·课后作业)若0 < a <1,0 < b <1, a b,则 a + b , 2 ab ,2ab, a2 + b2 中最大的一
个是 .
【答案】 a + b / b + a
【分析】确定 a + b > 2 ab , 2 ab > 2ab , a + b > a2 + b2 ,得到答案.
【详解】0 < a <1,0 < b <1, a b,则 a + b > 2 ab , 2 ab > 2ab , a + b > a2 + b2 ,
综上所述:最大的一个是 a + b .
故答案为: a + b
四、解答题
4
38.(2024 高一上·江苏南京·阶段练习)(1)求函数 y = x + x >1 的最小值及此时 x 的值;
x -1
2 y x
2 + 5x +10
( )已知函数 = , x -2, + ,求此函数的最小值及此时 x 的值.
x + 2
【答案】(1)函数 y 的最小值为 5,此时 x = 3;(2)函数 y 的最小值为 5,此时 x = 0 .
4
【解析】(1)整理 y = x + = x -1
4
+ +1,利用基本不等式求解即可;(2)令 t = x + 2 t > 0 ,将 x = t - 2
x -1 x -1
4
代入整理得 y = t + +1,利用基本不等式求解即可;
t
【详解】(1)∵ x >1,
∴ y 4= x + = x 4 4-1+ +1 2 x -1 × +1 = 4 +1 = 5,
x -1 x -1 x -1
4
当且仅当 x -1 = 即 x = 3时,等号成立.
x -1
故函数 y 的最小值为 5,此时 x = 3;
(2)令 t = x + 2 t > 0 ,
将 x = t - 2代入得:
t - 2 2 + 5 t - 2y +10 4= = t + +1,
t t
∵ t > 0,
∴ y t 4 4= + +1 2 t × +1 = 4 +1 = 5,
t t
4
当且仅当 t = ,
t
4
即 x + 2 = ,
x + 2
即 x = 0时,等号成立.
故函数 y 的最小值为 5,此时 x = 0 .
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.
39.(2024 高三上·甘肃兰州·期中)设 a,b , c均为正数,且 a + b + c =1,证明:
(1) a2 + b2
1
+ c2 ;
3
2 2 2
(2) a b c+ + 1.
b c a
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)由 a + b + c =1,则 a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1,根据 2ab a2 + b2 ,
2ac a2 + c2 , 2bc b2 + c2 ,即可得证;
2 2 2
(2
a
)根据 + b 2a b, + c 2c c, + a 2c ,即可得证.
b c a
2
【详解】(1)由 a + b + c =1,得 a + b + c = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1,
又由基本不等式可知当 a,b , c均为正数时, 2ab a2 + b2 , 2ac a2 + c2 , 2bc b2 + c2 ,
1
当且仅当 a = b = c = 时,上述不等式等号均成立,
3
所以 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 3a2 + 3b2 + 3c2 ,
即3 a2 + b2 + c2 1,
2
所以 a + b2 c2
1 1
+ ,当且仅当 a = b = c = 时等号成立;
3 3
(2)因为 a,b , c均为正数,
a2 b2 2 1
则 + b 2a , + c 2c c, + a 2c ,当且仅当 a = b = c = 时,不等式等号均成立,
b c a 3
a2 b2 c2
则 + + + b + c + a 2a + 2b + 2c ,
b c a
a2 b2 c2
即 + + a + b + c =1,当且仅当 a
1
= b = c = 时等号成立.
b c a 3
a2 b2 c2
所以 + + 1.
b c a