2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 7 题型分类
一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不
等式的解集．
二、二次函数图象、方程及不等式的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
有两个相等的实数根
解不等式 有两个不相等的实数根 没有
求方程 y＝0 的解 b
y＞0 或 y x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 实数根2a
＜0 的步 画函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞
骤 0)的图象
得等的集不 y＞0 {x|x＜x1_或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R
式解 y＜0 {x|x1＜x＜x2}
三、常用数集及表示符号
1.不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？
此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2.类比“方程 x2＝1 的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式 x2>1 的解集及其含义
是什么？
不等式 x2>1 的解集为{x|x<－1 或 x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不
等式成立．
3.若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？
ìa > 0,
结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则 í 解得 a ，所以不
1+ 4a < 0,
存在 a 使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R.
四、不等式解法
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
ax＋b
0( 0) {ax＋b＞0(＜0) ax＋b＜0(＞0)＞ ＜ 法一：cx＋d cx＋d＞0 或{cx＋d＜0
(其中 a，b，c，d 为常数) 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
{ax＋b ≥ 0( ≤ 0) ax＋b ≤ 0( ≥ 0)法一：ax＋b ax＋d＞0 或{cx＋d＜0
≥0(≤0)
cx＋d {（ax＋b）（cx＋d） ≥ 0（ ≤ 0）法二： cx＋d ≠ 0
ax＋b < k
＞k( ≥ k )(其中 k 为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式cx＋d ≤ k
2．(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0 {a > 0 a < 0Δ < 0 {Δ < 0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 若 ax2＋bx＋c≤k 恒成立 ymax≤k
y＝ax2＋bx＋c 若 ax2＋bx＋c≥k 恒成立 ymin≥k
（一）
一元二次不等式的解法
1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零
取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.
2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正.
（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系
数为正的形式.
(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与 0 的关系.
(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
题型 1：解不含参数的一元二次不等式
1-1．（2024 高一下·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式：
(1) -x2 + x 3x +1；
(2) x2 - 2x > 2x2 + 2 .
1-2．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）不等式 2x 2 + x -1 < 0 的解集为（ ）
ìx 1 ü ì 1 ì 1 üA． í - < x <1 B． íx x < - 或2 2 > 1}
C． íx -1 < x < D． x x < -1或 1 >
2 2
1-3．（2024 高一·全国·单元测试）不等式 - x2 + 3x +10 > 0的解集为（ ）
A．{x | -2 < x < 5}
B．{x | x < -2或x > 5}
C．{x | -5 < x < 2}
D．{x | x < -5或x > 2}
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）解下列不等式：
(1) 2x2 + 5x - 3 < 0；
(2) -3x2 + 6x 2；
x + 5 1
(3) ；
x - 3 2
(4) x -1 x - 2 < x 2x - 5 + 3
(5) 2x2 + x - 3 > 0
(6) -4x2 + 4x -1 0
(7) x2 - 4x + 4 > 0；
(8) -3x2 + 5x - 2 > 0；
(9) 2x2 + 7x + 3 > 0；
(10) 2x2 < x -1.
1-5．（2024 高三·全国·专题练习）解下列不等式：
(1) -3x2 + 6x 2
(2) 9x2 - 6x +1 > 0
(3) x2 < 6x -10
(4) -1 < x2 + 2x -1 2
题型 2：解含有参数的一元二次不等式
2-1．（2024 高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 x - 2 x - a 0
1
2-2．（2024 高一上·山东菏泽·期末）若 t >1，则关于 x 的不等式 t - x x - ÷ > 0的解集是（ ）
è t
ì
A． íx |
1
< x < tü ìx | x 1 B． í < 或 x > t C． x | x < t 1ü ì 1üt 或 x >t t D． íx | t < x < t
1
2-3．（2024 · 2高二上 河北邯郸·期中）解不等式 x - a + ÷ x +1 < 0 a 0 .
è a
2-4．（2024 高一上·全国·课后作业）解关于 x 的不等式 x2 - 2mx + m +1 > 0 .
2-5．（2024 高一上·全国·课后作业）解下列关于 x 的不等式： ax2 - (a +1)x +1< 0 ( a R ).
2-6．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）若关于 x 的不等式 2ax2 - 4x < ax - 2只有一个整数解，则实数 a 的取值
范围是（ ）
1
A． < a 1 B．1< a < 2 C．1 a < 2 D．-1 < a < 1
2
2-7．（2024 2高一·全国·专题练习）不等式 ax - a + 2 x + 2 0 a < 0 的解集为（ ）
A．{x |
2
x 1} B．{x |1 x
1
}
a a
{x | x 2 2C． 或x 1} D．{x | x 1或x }
a a
（二）
三个“二次”之间的关系及应用
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式
的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来
解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
(3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次
不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系.
题型 3：由不等式的解集求参数
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）若不等式 ax2 - x - c > 0的解集为 x -3 < x < 2 ，则函数 y = ax2 + x - c的
图象与 x 轴的交点为（ ）
A． 3,0 和 -2,0 B． -2,0
C． 3,0 D．-2和3
3-2．（2024 高一上·湖南郴州·期末）已知关于 x 的一元二次不等式 x2 - 3x + 2 < 0的解集为{x∣m < x < n}，则
m + n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
ì 1 1ü
3-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知不等式 ax2 + bx +1 > 0 的解集为 íx - < x < ，解不等式 22 3 bx - 5x - a 0
的解集为
3-4．（2024 高一·全国·专题练习）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是{x | x < -1或x > 2}，则不等式
bx2 + ax - c 0的解集是（ ）
A．{x | -1 x 2} B．{x | x -1或x 2}
C．{x | -2 x 1} D．{x | x -2或x 1}
3-5．（2024 高一下·河南·阶段练习）已知 , , ∈ ，且 a 0，关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为
(-3,2)，则关于 x 的不等式 cx2 + ax + b > 0的解集为（ ）
1 1 1 1
A． - , ÷ B． - ,
è 3 2 ÷ è 2 3
1- ,- 1 1 1 C． ÷ ,+ ÷ D． - , - ÷ U , + ÷
è 3 è 2 è 2 è 3
（三）
分式不等式的解法
（1）解分式不等式的策略:
f x f x
对于形如 > 0 < 0 的不等式可等价转化为
f x g x > 0 < 0 来解决;对于形如: 0 0 的g x g x
不等式可等价转化为 f x g x 0 0 来解决.
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边
为零，然后再用上述方法求解．
题型 4：解分式不等式
x + 2
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）不等式 > 2的解集为 .
x -1
ì 2 - 3x ü
4-2．（2024 高一·全国·专题练习）已知全集U = R ，集合 A = íx 1 ，B = x 2x - 5 3 ，则
x - 4
AI B = ， AU B = .
x - 5
4-3．（2024·天津河西·模拟预测）设 x R ，则“ > 0 ”是“ x -1 < 4 ”的（ ）
2 - x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1- x
4-4．（2024 高一·全国·专题练习）不等式 0的解集为（ ）
2 + x
A．{x | -2 x 1} B．{x | x < -2或x 1}
C．{x | -2 < x 1} D．{x | x -2或x 1}
（四）
不等式恒成立问题
1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，b＝0，c>0；当 a≠0 时，
ìa > 0,
í
D < 0,
2．不等式 ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，b＝0，c<0；当 a≠0 时，
ìa < 0,
í
D < 0,
题型 5：不等式恒成立问题
5-1．（2024 高一上·江苏淮安·期末）任意 x -1,1 x2 x 1，使得不等式 - + m恒成立.则实数m 取值范围是
2
（ ）
m 1
1
A． B．m
1
ì üC．
4 4 í4
D．m 2
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）不等式 ax2 - ax + a +1 > 0对"x R 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 0, + B． 0, +
4 4
C． - , - ÷ 0, + D． - , - ÷ 0, + )
è 3 è 3
5-3．（2024· 2贵州安顺·模拟预测）若命题“ $x0 R ， x0 - 2x0 - a < 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． - , -1 B． - ,1 C． 1, + D． -1, +
5-4．（2024 高一·全国·单元测试）若不等式 a(1+ x) x2 + 3对于 x [0,+ )恒成立，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．[0,3] B．[0,2] C． (- , 2] D． (- ,3]
（五）
一元二次方程的实根分布问题
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，
所对应的二次函数图象的开口方向.
题型 6：一元二次方程的实根分布问题
6-1．（2024 高一· 2全国·专题练习）已知方程 x - 2a +1 x + a a +1 = 0 的两根分别在区间 0,1 ， 1,3 之内，
则实数 a的取值范围为 ．
6-2．（2024 高一上· 2江苏徐州·阶段练习）方程 x - 2 - a x + 5 - a = 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围
是 ．
6-3．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）若一元二次方程 kx2 + 3kx + k - 3 = 0的两不等实根都是负数，求实数
k 的取值范围为 .
6-4．（2024 2高二下·四川资阳·开学考试）已知 f x = ax + 2a + 3 x +1- a.
(1)求证：a = 0 是关于 x 的方程 f x = 0有解的一个充分条件；
(2)当 > 0时，求关于 x 的方程 f x = 0有一个正根和一个负根的充要条件．
6-5．（2024 高一下·河北保定·阶段练习）若一元二次方程 ax2 - 2x - 4 = 0（ a不等于 0）有一个正根和一个负
根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a > 0 B． a > 2 C． a >1 D． a > -1
（六）
解不等式应用题的步骤
题型 7：一元二次不等式的实际应用
7-1．（2024 高二上·山东枣庄·阶段练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12
万元/辆，年销售量为 10000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆
车投入成本增加的比例为 （0 < x <1），则出厂价相应地提高比例为 ，同时预计年销售量增加的比
例为 ，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润 与投入成本增加的比例 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 应在什么范围内？
7-2．（2024 高二上·山东）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30
盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不
含 400 元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 x （单位：元）的取值范围是（ ）
A． x 10 x <16 B． x 12 x <18
C． x 15 < x < 20 D． x 10 x < 20
7-3．（2024 高一上·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离 s（单位：m）和汽车刹车前的
车速 v（单位：km / h ）之间有如下关系： s
1
= v 1+ v2，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于
20 160
40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为（ ）（精确到 1 km / h ）
A．76 km / h B．77 km / h C．78 km / h D．80 km / h
7-4．（2024 高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的
关系为P =160 - 2x，生产 x 件所需成本为 C（元），其中C = 500 + 30x元，若要求每天获利不少于 1300 元，
则日销量 x 的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45
C．15≤x≤30 D．15≤x≤45
7-5．（2024 高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段
距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速 50 km/h
的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车
的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离 s（单位：m）与车速 x
2
（单位：km/h）之间分别有如下关系： s甲 = 0.01x - 0.1x， s乙 = 0.005x
2 - 0.05x，问：甲、乙两车有无超速
现象？
一、单选题
1．（2024 高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于 x 的不等式 x2 - 4x - 2 - a 0有解，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a a -2 B． a a -2 C． a a -6 D． a a -6
2．（2024 高一上·江苏盐城·期中）已知不等式 ax2 + bx -1 > 0的解集为 (3, 4) ，则 24a + 12b 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1
3．（2024 高一·全国·课后作业）若0 < t <1，则不等式 (x - t) x - ÷ < 0 的解集是（t ）è
1, t ( , t) U 1, 1 1A． ÷ B． - +
÷ C． - , - ÷ U (-t, + )
D
t t t ．
t, ÷
è è è è t
4．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）若不等式ax2 + bx + 6 > 0的解集为{x | x < -3或 x > -2}，则（ ）
A． a =1，b = -5 B． a = -1，b = 5
C． a = -1，b = -5 D． a =1，b = 5
3
5．（2024 2高一上·内蒙古包头·期末）若不等式2kx + kx - < 0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围是
8
（ ）
A．-3 < k 0 B．-3 < k < 0
C． k -3或 k 0 D． k < -3或 k 0
6．（2024 高一上·浙江·期中）已知 a > 2，关于 x 的不等式 ax2 - (2 + a)x + 2 > 0的解集为（ ）
ìx x 2< ìx | 2 < x <1ü x x 2<1 x > ü ì 2 üA． í 或a > 1}B． í a C． 或 a D． íx |1 < x < a
7．（2024 高一上·广东肇庆·期中）若命题“ "x (-1,1), x2 - 2x - a > 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a -1 B． a < -1 C． a 3 D． a < 3
8．（2024 高一上·全国·课后作业）已知不等式 8x + 9 < 7和不等式 ax2 + bx > 2的解集相同，则实数 a、b的值
分别为（ ）
A．-8、-10 B．-4、- 9
C．-1、9 D．-1、2
9．（2024 高一上·全国·课后作业）若一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 x | -1< x < 2 ，则一元二次不
等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（ ）
ìx | x 1 1A． í < - x >1
ü ì
或 B． íx | - < x <1
ü
2 2
ì 1 1
C． íx | x < -1
ü ì
或x > D． íx | -1< x <
ü
2 2
1
10．（2024 高一·全国·课后作业）设 a < -1，则关于 x 的不等式 a(x - a) x - ÷ < 0 的解集为（a ）è
A． x | x < a 或 x 1> ü B．{x|x>a}a
x x a x 1< ü ì 1 üC． 或 D． x | x <
a í a
11．（2024 高三下·湖南·阶段练习）若 a < 0，则关于 x 的不等式 (ax -1)(x - 2) > 0的解集为（ ）
ìx 2 x 1 ü ì 1 üA． í < < B． íx < x < 2
a a
C．{x x
1
< 或 x > 2} D．{x x < 2 或 x
1
> }
a a
12 2．（2024 高二下·辽宁·阶段练习）关于 x 的不等式 ax + bx + c > 0 a 0 的解集为 -3,1 ，则不等式
cx2 + bx + a < 0的解集为（ ）
1
A． - ,1
÷ B． - , - 13 1,+ è 3
1-1, 1 C． ÷ D． - , -1 , + 3 3 ÷è è
13．（天津市南开中学滨海生态城学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题）某文具店购进一批新型台
灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决
定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 x
（单位：元）的取值范围是（ ）
A．{x∣15 < x < 20} B．{x∣12 x <18}
C．{x∣10 x < 20} D． x |10 x <16
14．（2024 高一下·河北保定·阶段练习）若$x 0,4 ，使得不等式 x2 - 2x + a > 0成立，则实数 a的取值范围
（ ）
A． a > -1 B． a >1 C． a > 8 D． a > -8
15．（2024 高一上·广东广州·阶段练习）已知关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
16．（2024 高一上·山东临沂·阶段练习）命题 p : $x0 0,+ 2，使得 x0 - lx0 +1 < 0成立.若 p 是假命题，则实
数l 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． 2, +
C． -2,2 D． - ,-2 U 2,+
17．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为R ”的一个必要不充分条件
是（ ）
1
A．0 < a <1 B 0 < < 1． C．0 a 1 D． a < 0或 a >3 3
2
18．（2024 高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于 x 的不等式 ax2 - bx +1 > 0的解集为 - , ÷ m, + ，其中m > 0，
è m
1
则b + 的最小值为（ ）
m
A．4 B． 2 2 C．2 D．1
19．（2024 高三·全国· 2专题练习）若不等式 x - a +1 x + a 0的解集是 -4,3 的子集，则 a 的范围是（ ）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
20．（2024 高一上·四川阿坝·期中）关于 x 的不等式 x2 - (a +1)x + a < 0 的解集中恰有 2 个整数，则实数 a 的
取值范围（ ）
A． (-1,0] [2,3) B．[-2,-1) U (3,4]
C． -2, -1 3,4 D．[-1,0) U (2,3]
21．（2024 2高三上·河南·期末）已知 a > 0，b R ，若 x > 0时，关于 x 的不等式 ax - 2 x + bx - 5 0恒成
4
立，则b + 的最小值为（
a ）
A．2 B． 2 5 C． 4 3 D．3 2
22．（2024 高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切 x [2,3]， y [3,6]，不等式mx2 - xy + y2 0 恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．m 6 B．-6 m 0
C．m 0 D．0 m 6
二、多选题
23．（2024 高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，
现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每
天所赚的利润在320元以上，每件销售价可能为（ ）
A．13元 B．15元 C．17 元 D．18元
2 ìx 1 ü24．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知关于 x 的不等式 ax + bx + c > 0的解集为 í < x <1 ，则下列结论
3
正确的是（ ）
A． a > 0
B． c < 0
C． a + b > 0
D．关于 x 的不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集为 x - 3 < x < -1
25 2．（2024 高一上·全国·单元测试）已知集合 x x + ax + b = 0, a > 0 有且仅有两个子集，则下面正确的是
（ ）
A． a2 - b2 4
B． a2 - b2 4
C．若不等式 x2 + ax - b < 0 的解集为 x1，x2 ，则 x1x2 > 0
D．若不等式 x2 + ax +b < c 的解集为 x1，x2 ，且 x1 - x2 = 4，则 c = 4
26．（2024 高一·全国·单元测试）已知函数 y = ax2 + bx - 3，则下列结论正确的是（ ）
A．关于 x 的不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集可以是 x x>3
B．关于 x 的不等式 ax2 + bx - 3 > 0的解集可以是
C．函数 y = ax2 + bx - 3的图象与 x 轴正半轴可以有两个交点
D．“关于 x 的方程 ax2 + bx - 3 = 0有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a > 0 ”
27．（2024 高一下·四川南充·期中）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x|x -2 或 x 3 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． a < 0 B． ax + c > 0的解集为 x|x < 6
1 1
8a 4b ì üC． + + 3c < 0 D． cx2 + bx + a < 0的解集为 íx | - < x <
2 3
28 2．（2024 高一上·江苏南京·期末）设m 为实数，已知关于 x 的方程mx + m - 3 x +1 = 0 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当m = 3时，方程的两个实数根之和为 0
B．方程无实数根的一个必要条件是m >1
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是0 < m <1
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m < 0
29．（2024 高一上·河南郑州·期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 4}，则下列结
论正确的有（ ）
A． a > 0
B．不等式bx + c > 0的解集为{x∣x < -6}
C． a + b + c > 0
ì 1 1ü
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx∣x < - 或 x >
4 3
30．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）关于 x 的不等式 ax2 + (1- 2a2 )x - 2a < 0的解集中恰有 3 个正整数解，
则 a 的值可以为（ ）
3 7
A．-1 B． C． D．2
2 4
3
31．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）已知关于 x 的不等式 a x2 - 3x + 4 b，下列结论正确的是（
4 ）
A．当 a < b <1时，不等式的解集为
B．当 a = 2时，不等式的解集可以表示为形式 x | c x d
4
C．若不等式的解集恰为 x | a x b ，则b = 0或b =
3
D．若不等式的解集恰为 x | a x b ，则b - a = 4
三、填空题
32．（2024 高三上·上海徐汇·阶段练习）已知 f (x) = x2 + ax + 3 - a ，若 x [-2,2]时， f (x) 0恒成立，则实
数 a的取值范围为 ．
33．（2024 高一·全国·单元测试）已知 f x = x2 - x +1，当 x [-1,2]时，不等式 f x > 2x + m恒成立，则实
数 m 的范围为 ．
1
34．（2024高三· 2全国·专题练习）已知对任意 x R ，x + a - 2 x + 0 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
4
35．（2024 2高一下·福建漳州·期末）不等式 m +1 x - mx + m -1< 0的解集为 ，则m 的取值范围是 .
ì 1 1ü
36．（2024 高三·全国·专题练习）若关于 x 的不等式 ax2 + bx + 2 > 0的解集为 íx | - < x < ，则 ab
2 3
＝ .
37．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于 x 的不等式mx2 + mx - 4 < 0的解集为
R ；命题乙：关于 x 的方程 x2 - 2mx + m + 20 = 0有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，
求实数m 的取值范围为 ．
38．（2024 2 2高三·全国·专题练习）对"x R, a - 4 x ＋ a＋2 x -1< 0恒成立，则实数 a的范围为 .
39．（2024 高二上·河南新乡·期末）若不等式 (a2 -1)x2 - (a -1)x -1 < 0的解集为 R，则实数 a的取值范围
是 ．
四、解答题
40．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）已知不等式： x2 - ax - 2a2 > 0 .
(1)若 a > 0，求不等式解集；
(2)若 a R ，求不等式解集.
41．（2024 高一上·上海虹口·阶段练习）已知 a R ，求解关于 x 的不等式 ax2 - 2(a +1)x + 4 > 0 .
42．（2024 高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 x2 + ax +1< 0．
43．（2024 高一下·贵州黔东南·期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为 128000m3．根据预测，汛期
*
时水库的进水量 Sn （单位：m3）与天数 n n N 的关系是 Sn = 5000 n(n + t)(n 10)，水库原有水量为
80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水 4000m3；水库水量差最大容量 23000m3 时系统就会自动报警提
醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1 天后就会出现系统自动报
警．
(1)求 t的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续 10 天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理
由．
44．（2024 高三上·宁夏·阶段练习）解关于 x 的不等式 ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
45．（2024 高二·河南濮阳·开学考试）已知关于 x 的函数 f x = ax2 - 3x + 2 ．
(1)当 a =1时，求不等式 f x > 0的解集.
(2)当 a > 0时，求不等式 f x > 5 - ax 的解集.
46．（2024 高二上·全国·专题练习）解关于 x 的不等式 x2 - ax +1 0 .
47．（2024 高三·全国· 2专题练习）解下列关于 x 的不等式 2ax - a + 2 x +1 > 0．
48．（2024 高一·全国·专题练习）解关于 x 的不等式 x2 + 2x + a > 0．
49 2．（2024 高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知 y =x -(a+1)x+a．
(1)当 a = 3时，求不等式 y > 0的解集；
(2)解关于 x 的不等式 x2 - (a +1)x + a 0 ．
50．（2024 2高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = x + 3 - a x + 2 + 2a + b， a，b R .
(1)若关于 x 的不等式 f x > 0的解集为 x x < -4 或 > 2}，求实数 a，b 的值；
(2)若关于 x 的不等式 f x b 在 x 1,3 上有解，求实数 a的取值范围；
(3)若关于 x 的不等式 f x < 12 + b的解集中恰有3个整数，求实数 a的取值范围．
51．（2024 高一· 2 2全国·单元测试）已知二次函数 y = x - 2tx + t -1 t R .
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2 - 2tx + t 2 -1 0；
(2)若关于 x 的方程 x2 - 2tx + t 2 -1 = 0的两个实根均大于-2且小于 4，求实数 t 的取值范围．
52．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于 x 的方程 x2 - 2x + a = 0．
(1)当 a 为何值时，方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？
(2)当 a 为何值时，方程的一个根大于-1且小于 1，另一个根大于 2 且小于 3？
(3)当 a 为何值时，方程的两个根都大于 0？
53．（2024 2高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数 y = 2x - a + 2 x + a,a R .
(1)当 a = -1时，求解关于 x 的不等式 y > 0；
x
(2) 2x2 - a + 2 x + a = x +1 x , x 2
x1
若方程 有两个正实数根 1 2 ，求 +x x 的最小值.1 2
54．（2024 2 2高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于 的不等式 k + 2k - 3 x + k + 3 x -1 > 0 k R 的解集为
M ．
(1)若M = ，求实数 k 的取值范围；
(2)若存在两个不相等的正实数 a b ，使得M = a,b ，求实数 k 的取值范围．
55．（2024 高一上·浙江宁波·阶段练习）设 f x = ax2 + 1- a x + a - 2．
(1)当 a > 0时，若 f x =0两根一个比1小，一个比1大，求 范围．
(2) 2解关于 的不等式 ax + 1- a x + a - 2 < a -1 a R ．
56．（2024 高二下·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)的图像过点 -2,0 和原点，
对于任意 x R ，都有 f x ≥ 2x．
(1)求函数 f x 的表达式；
(2)设 g x = m(x -1) ，若函数 f (x) ≥ g(x)在 x [1,+ )上恒成立，求实数m 的最大值．
57．（2024 2高一下·湖北武汉·阶段练习）已知 a R ，解关于 x 的不等式 ax + a + 3 x + 3 > 0．
58．（2024 2高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 ax + a + 2 x + 1 > 0 a 0 ．
59．（2024 高一上·江西宜春·阶段练习）若关于 x 的不等式 x2 - 4mx + m < 0的解集为 x1, x2 ．
1 1
(1)当m=1时，求 +x - 4 x - 4 的值；1 2
1 1
(2)若 x1 > 0， x2 > 0，求 +x x 的值；1 2
(3)在（2）的条件下，求 x1 + 4x2的最小值．
60．（2024 高一上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程 ax2 + 2x +1 = 0．
(1)写出“方程 ax2 + 2x +1 = 0(a 0)有一个正根和一个负根”的充要条件；
(2)写出“方程 ax2 + 2x +1 = 0(a 0)有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．
61．（2024 高三·全国·专题练习）关于 x 的方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 满足下列条件，求m 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在 (-2,0) 内，另一个根在 (0, 4)内；
(4)一个根小于 2，一个根大于 4；
(5)两个根都在 (0,2)内．
62．（2024 2 2高一·江苏·假期作业）解关于 x 的不等式 x - 3a -1 x + 2a - 2 > 0
63．（2024 2高一上·福建福州·阶段练习）已知命题 p: $x0 -1,1 , x0 - x0 - m 0是假命题.
(1)求实数m 的取值集合 B ；
(2)设不等式 x - 3a x - a - 2 < 0的解集为 A，若 x B是 x A的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.
64．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数 y = ax2 + bx + 2 （ a,b为实数）
(1)若 x =1时， y =1且对"x (2,5)， y > 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)若 x =1时， y =1且对"a -2,-1 ， y > 0恒成立，求实数 x 的取值范围；
a + 2
(3)对"x R ，b > 0时， y 0恒成立，求 的最小值．
b
65．（2024 高一上·北京·期中）已知函数 f x = ax + 2 x -1 , a R .
1
(1)若 a = ，解不等式 f x 0；
2
(2)解关于 x 的不等式 f x < 0 .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 7 题型分类
一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不
等式的解集．
二、二次函数图象、方程及不等式的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
有两个相等的实数根
解不等式 有两个不相等的实数根 没有
求方程 y＝0 的解 b
y＞0 或 y x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 实数根2a
＜0 的步 画函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞
骤 0)的图象
得等的集不 y＞0 {x|x＜x1_或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R
式解 y＜0 {x|x1＜x＜x2}
三、常用数集及表示符号
1.不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？
此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2.类比“方程 x2＝1 的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式 x2>1 的解集及其含义
是什么？
不等式 x2>1 的解集为{x|x<－1 或 x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不
等式成立．
3.若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？
ìa > 0,
结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则 í 解得 a ，所以不
1+ 4a < 0,
存在 a 使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R.
四、不等式解法
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
ax＋b
0( 0) {ax＋b＞0(＜0) ax＋b＜0(＞0)＞ ＜ 法一：cx＋d cx＋d＞0 或{cx＋d＜0
(其中 a，b，c，d 为常数) 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
{ax＋b ≥ 0( ≤ 0) ax＋b ≤ 0( ≥ 0)法一：ax＋b ax＋d＞0 或{cx＋d＜0
≥0(≤0)
cx＋d {（ax＋b）（cx＋d） ≥ 0（ ≤ 0）法二： cx＋d ≠ 0
ax＋b < k
＞k( ≥ k )(其中 k 为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式cx＋d ≤ k
2．(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0 {a > 0 a < 0Δ < 0 {Δ < 0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 若 ax2＋bx＋c≤k 恒成立 ymax≤k
y＝ax2＋bx＋c 若 ax2＋bx＋c≥k 恒成立 ymin≥k
（一）
一元二次不等式的解法
1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零
取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.
2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正.
（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系
数为正的形式.
(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与 0 的关系.
(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
题型 1：解不含参数的一元二次不等式
1-1．（2024 高一下·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）解不等式：
(1) -x2 + x 3x +1；
(2) x2 - 2x > 2x2 + 2 .
【答案】(1) -1
(2)
【分析】（1）将不等式变形为 x +1 2 0后可得答案；
（2
2
）将不等式变形为 x +1 +1< 0后可得答案.
【详解】（1）由-x2
2
+ x 3x +1得 x2 + 2x +1 0，即 x +1 0，
\ x +1 = 0，
\ x = -1，
即不等式-x2 + x 3x +1的解集为 -1 ；
（2）由 x2 - 2x > 2x2 + 2得 x2 + 2x + 2 < 0，
即 x +1 2 +1< 0，不可能成立，
即不等式 x2 - 2x > 2x2 + 2的解集为 .
1-2．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）不等式 2x 2 + x -1 < 0 的解集为（ ）
ìx 1 x 1ü ì 1 ìA． í - < < B． íx x < - 或 > 1}C． íx -1 < x
1 ü
< D． x x < -1或 1
2 2 2
>
2
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由 2x 2 + x -1 < 0 ，
即 2x -1 x +1 < 0 1，得-1 < x < ，
2
ì 1 ü
所以不等式 2x 2 + x -1 < 0 的解集为 íx -1 < x < .
2
故选：C.
1-3．（2024 高一·全国·单元测试）不等式 - x2 + 3x +10 > 0的解集为（ ）
A．{x | -2 < x < 5}
B．{x | x < -2或x > 5}
C．{x | -5 < x < 2}
D．{x | x < -5或x > 2}
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由 - x2 + 3x +10 > 0，得 x2 - 3x-10 < 0，即 x + 2 x - 5 < 0，解得 - 2 < x < 5，
所以不等式的解集为 x -2 < x < 5 .
故选：A
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）解下列不等式：
(1) 2x2 + 5x - 3 < 0；
(2) -3x2 + 6x 2；
x + 5 1
(3) ；
x - 3 2
(4) x -1 x - 2 < x 2x - 5 + 3
(5) 2x2 + x - 3 > 0
(6) -4x2 + 4x -1 0
(7) x2 - 4x + 4 > 0；
(8) -3x2 + 5x - 2 > 0；
(9) 2x2 + 7x + 3 > 0；
(10) 2x2 < x -1.
1
【答案】(1) -3,
è 2 ÷
3 ù é 3
(2) - ,1- ú U ê1+ , + ÷÷
è 3 3
(3) -13,3
(4) - ,1 U 1,+
(5) - ,
3
- ÷ 1,+
è 2
ì1 ü
(6) í
2
(7) - , 2 U 2,+
2
(8) ,13 ֏
1
(9) - , -3 - , + 2 ֏
(10)
【分析】（1）-（9）根据一元二次不等式的解法计算可得；
（2）写出不等式的等价形式，再根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】（1）Q2x2
1
+ 5x - 3 < 0 ，\ 2x -1 x + 3 < 0 ，\-3 < x < ，2
1
即不等式的解集为 -3, 2 ÷
；
è
（2）Q-3x2 + 6x 2 ，\3x2 - 6x + 2 0，解得 x 1 3 3- 或 x 1+ ，
3 3
ù é
即不等式的解集为 - ,1
3 U 1 3- ú ê + , + 3 3 ÷÷ ；è
x 5 1 ì+ x + 5
1
x - 3 ì x + 5 1 x - 3
（3）Q ，\ 2 或 2 ，
x - 3 2 í í
x - 3 > 0 x - 3 < 0
解得 ∈ 或-13 x < 3，即不等式的解集为 -13,3 ；
（4）Q x -1 x - 2 < x 2x - 5 + 3 2，整理得 x2 - 2x +1 > 0，即 x -1 > 0，
解得 x 1，即不等式的解集为 - ,1 U 1,+ .
（5）由 2x2 + x - 3 > 0 可得 2x + 3 x -1 > 0 3，所以 x >1或 x < - ，2
3
即不等式的解集为 - , -
÷ 1,+ ；
è 2
（6）由-4x2
1
+ 4x -1 0可得 2x -1 2 0，所以 x = ，
2
ì1 ü
即不等式的解集为 í ；
2
2
（7） x2 - 4x + 4 > 0可化为 x - 2 > 0 ，解得 x 2，
所以不等式的解集为 - , 2 U 2,+ .
（8）-3x2 + 5x - 2 > 0可化为3x2 - 5x + 2 < 0，即 3x - 2 x -1 < 0 ，
2 2
解得 < x <1
，所以不等式的解集为 ,13 3 ÷
.
è
（9） 2x2 + 7x + 3 > 0可化为 2x +1 x + 3 > 0 ，解得 x < -3或 > 1，2
1
所以不等式的解集为 - , -3 - , +
2 ÷
.
è
（10） 2x2
2
< x -1可化为 2x2 - x +1 < 0 ，因为不等式对应的方程的判别式D = -1 - 4 2 = -7 < 0 ，
所以不等式的解集为 ．
1-5．（2024 高三·全国·专题练习）解下列不等式：
(1) -3x2 + 6x 2
(2) 9x2 - 6x +1 > 0
(3) x2 < 6x -10
(4) -1 < x2 + 2x -1 2
3- 3 ù é3+ 3
【答案】(1) - , ú U ê , +
è 3 3 ÷
÷
1- , 1 (2) 3 ÷
,+ ÷ .
è è 3
(3)
(4)[-3,-2) U (0,1]
【分析】运用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可.
2
【详解】（1）-3x2 + 6x 2，即3x - 6x + 2 0 x2 2x
2 0 (x 1)2 1 - + ，配方可得 - ，解得
3 3
3- 3 ù é3+ 3 x - , ú U ê , + 3 3 ÷÷è
1 1
（2）9x2 - 6x +1 > 0 ，即 (3x -1)2 > 0，解得 x - , U3 ÷
,+ ÷；
è è 3
（3） x2 < 6x -10，即 x2 - 6x +10 < 0，而0 > x2 - 6x +10 = (x - 3)2 +1 1，从而不等式无解，即解集为 ；
（4）-1 < x2 + 2x -1 2 x2 + 2x > 0且 x2 + 2x - 3 0同时成立.
由 x2 + 2x > 0解得 x - ,-2 0,+ ，
由 x2 + 2x - 3 0，即 (x -1)(x + 3) 0，解得 x [-3,1] .
于是 x [-3, -2) U (0,1]
题型 2：解含有参数的一元二次不等式
2-1．（2024 高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 x - 2 x - a 0
【答案】答案见解析
【分析】讨论 a, 2大小关系求一元二次不等式的解集.
【详解】由 x - 2 x - a = 0，可得 x = 2或 x = a，则：
当 a < 2时，原不等式解集为{x | a x 2}；
当 a = 2时，原不等式解集为{2}；
当 a > 2时，原不等式解集为{x | 2 x a}；
1
2-2．（2024 高一上·山东菏泽·期末）若 t >1，则关于 x 的不等式 t - x x - ÷ > 0的解集是（t ）è
ì 1
A． íx | < x < t
ü ì 1
B． íx | x < 或 x > t C． x | x < t 1ü ì或 x > D． íx | t < x 1< ü
t t t t
【答案】A
1
【分析】首先根据不等式的性质可得 < t ，进而将不等式转化为 x - t x
1
- ÷ < 0 ，求解即可得出结果.t è t
1 t +1 t -1 1 1
【详解】因为 t - = ， t >1，所以 t - > 0 ，所以 t > .
t t t t
1
原不等式 t - x x - ÷ > 0可化为所以 x t
x 1- - 1 ÷ < 0 ，解得 < x < t .
è t è t t
所以，不等式 t - x 1 x - ÷ > 0
ì 1 ü
的解集为 íx | < x < tt
.
è t
故选：A.
2-3 2024 · · x2
1
．（ 高二上 河北邯郸 期中）解不等式 - a + ÷ x +1 < 0 a 0 .
è a
【答案】答案见解析
1
【分析】将不等式化为 x - a x - ÷ < 0，故对应的方程必有两根，再讨论两根的大小即可求出所对应的不
è a
等式的解集.
2 1 1
【详解】解：对于不等式 x - a + ÷ x +1 < 0 a 0 ，可化为 x - a x - < 0，
è a è a ÷
x2 1- 所以方程 a + ÷ x +1 = 0 a 0
1
有两根 x
a 1
= a、 x
è 2
= ，
a
a 1令 = ，解得 a = ±1，
a
1 1
∴当 a ì ü< -1或0 < a <1时， a < ，故原不等式的解集为 íx | a < x < a ；a
当 a=1或 a
1
= -1时， a = ，原不等式的解集为 ；
a
1
1 ì
1 ü
当- < a < 0或 a > 1时， a > ，原不等式的解集为 íx | < x < aa
；
a
ì 1
综上可得：当当 a < -1或0 < a <1时解集为 íx | a < x <
ü
，当 a=1或 a = -1a 时解集为 ，
ì 1 ü
当-1 < a < 0或 a > 1时解集为 íx | < x < aa
.
2-4．（2024 高一上·全国·课后作业）解关于 x 的不等式 x2 - 2mx + m +1 > 0 .
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案.
【详解】不等式对应方程 x2 - 2mx + m +1 = 0的判别式D = (-2m)2 - 4(m +1) = 4(m2 - m -1)，
（1）当D > 0 m 1+ 5 m 1- 5，即 > 或 < 时，
2 2
由于方程 x2 - 2mx + m +1 = 0的根是 x = m ± m2 - m -1，
所以不等式的解集是{x | x < m - m2 - m -1 或 x > m + m2 - m -1 }；
（2）当D = 0，即m 1± 5= 时，不等式的解集为{x | x R 且 x m}；
2
3 D < 0 1- 5 m 1+ 5（ ）当 ，即 < < 时，不等式的解集为 R，
2 2
m 1+ 5 m 1- 5故 > 或 < 时，不等式的解集是{x | x < m - m2 - m -1 或 x > m + m2 - m -1 }；
2 2
m 1± 5= 时，不等式的解集为{x | x R 且 x m}；
2
1- 5 m 1+ 5< < 时，不等式的解集为 R.
2 2
2-5．（2024 高一上·全国·课后作业）解下列关于 x 的不等式： ax2 - (a +1)x +1< 0 ( a R ).
【答案】答案见解析.
【分析】分类讨论求解一元二次不等式作答.
【详解】不等式 ax2 - (a +1)x +1< 0化为： (ax -1)(x -1) < 0，
当 a = 0，原不等式化为-x +1< 0，解得 x >1，
1
当 a < 0，原不等式化为 (x - )(x -1) > 0 1，解得 < 或 x >1 ，a
1
当 a > 0，原不等式化为 (x - )(x -1) < 0，
a
1 1
当0 < a <1时，解得1< x < ，当 a =1时，不等式无解，当 a >1时，解得 < x <1，
a a
1
所以当 a < 0，原不等式的解集为{x | x < 或x >1}，
a
当 a = 0时，原不等式的解集为{x | x >1}；
1
当0 < a <1时，原不等式的解集为{x |1 < x < }；
a
当 a =1时，原不等式的解集为 ；
1
当 a >1时，原不等式的解集为{x | < x <1} .
a
2-6．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）若关于 x 的不等式 2ax2 - 4x < ax - 2只有一个整数解，则实数 a 的取值
范围是（ ）
1
A． < a 1 B．1< a < 2 C．1 a < 2 D．-1 < a < 1
2
【答案】C
【分析】分 a = 0, a > 0, a < 0讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
2
【详解】不等式 2ax2 - 4x < ax - 2化为 2ax - 4 + a x + 2 < 0，即 2x -1 ax - 2 < 0，
当 a = 0时，不等式化为 2x -1 -2 < 0，得 x 1> ，有无数个整数解，不符合题意；
2
1 2
当 a > 0时，由关于 x 的不等式 2ax2 - 4x < ax - 2只有一个整数解，可知 < ，2 a
2x -1 ax - 2 < 0 1 x 2 2不等式 的解为 < < ，由题意，1< 2，解得1 a < 2；
2 a a
当 a < 0时，不等式 2x -1 ax - 2 < 0 x 1的解为 > 或 x 2< ，有无数个整数解，不符合题意．
2 a
综上，实数 a 的取值范围是1 a < 2 .
故选：C
2-7 2．（2024 高一·全国·专题练习）不等式 ax - a + 2 x + 2 0 a < 0 的解集为（ ）
{x | 2 1A． x 1} B．{x |1 x }
a a
C．{x | x
2
或x 1} D．{x | x
2
1或x }
a a
【答案】A
【分析】首先不等式转化为 x -1 ax - 2 ≥0，再根据 a < 0，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集.
【详解】原不等式可以转化为： x -1 ax - 2 ≥0，
a 0 (x 2
2 2
当 < 时，可知 - )(x -1) 0a ，对应的方程的两根为 1， ，
< 1
a a
ì 2 ü
所以不等式的解集为： íx x 1 .
a
故选：A.
（二）
三个“二次”之间的关系及应用
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式
的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来
解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
(3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次
不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系.
题型 3：由不等式的解集求参数
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）若不等式 ax2 - x - c > 0的解集为 x -3 < x < 2 ，则函数 y = ax2 + x - c的
图象与 x 轴的交点为（ ）
A． 3,0 和 -2,0 B． -2,0
C． 3,0 D．-2和3
【答案】A
【分析】不等式 ax2 - x - c > 0的解集为 x -3 < x < 2 ，可得方程ax2 -x-c =0的两个根为 x1 = -3, x2 = 2 ，利
ìa = -1
用根与系数的关系可得 íc 6，即可得出结果
.
= -
【详解】若不等式 ax2 - x - c > 0的解集为 x -3 < x < 2 ，
则方程ax2 -x-c =0的两个根为 x1 = -3, x2 = 2且 a<0 ，
ì
-3 + 2
1
=
a ìa = -1\í ，解得 í ，
3 2 c c = -6- = -
a
则函数 y = ax2 + x - c = -x2 + x + 6，
令 y = -x2 + x + 6 = 0，解得 x = -2或 x = 3，
故函数 y = ax2 + x - c的图象与 x 轴的交点为 -2,0 和 3,0 .
故选：A.
3-2．（2024 高一上·湖南郴州·期末）已知关于 x 的一元二次不等式 x2 - 3x + 2 < 0的解集为{x∣m < x < n}，则
m + n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.
【详解】依题意可得，m, n分别是关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + 2 = 0 的两根，根据韦达定理可得：
m + n = 3 .
故选：A.
ì 1 1ü
3-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知不等式 ax2 + bx +1 > 0 的解集为 íx - < x < ，解不等式 22 3 bx - 5x - a 0
的解集为
【答案】 - ,-6 1, +
【分析】根据题意利用根与系数的关系求得 a,b，继而解bx2 - 5x - a 0即得答案.
ì 1 1ü
【详解】由不等式 ax2 + bx +1 > 0 的解集为 íx - < x < ，
2 3
1 , 1可知- 是 ax2 + bx +1 = 0 的两根，且 a < 0，
2 3
1 1 b 1 1 1
故- + = - ,- = ，则 a = -6,b = -1，
2 3 a 2 3 a
故bx2 - 5x - a 0即-x2 - 5x + 6 0，
即 x2 + 5x - 6 0，解得 x -6或 x 1，
故不等式bx2 - 5x - a 0的解集为 - ,-6 1, + ，
故答案为： - ,-6 1, +
3-4．（2024 高一·全国·专题练习）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是{x | x < -1或x > 2}，则不等式
bx2 + ax - c 0的解集是（ ）
A．{x | -1 x 2} B．{x | x -1或x 2}
C．{x | -2 x 1} D．{x | x -2或x 1}
【答案】A
【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可.
【详解】由条件可知， ax2 + bx + c = 0的两个实数根是-1和 2，且 a < 0，
ì b
- = -1+ 2 a
则 í ，得 b = -ac ，
c = -2a，
= -1 2
a
所以bx2 + ax - c 0 -ax2 + ax + 2a 0，即 x2 - x - 2 0，
解得：-1 x 2，
所以不等式的解集为 -1,2 .
故选：A
3-5．（2024 高一下·河南·阶段练习）已知 , , ∈ ，且 a 0，关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为
(-3,2)，则关于 x 的不等式 cx2 + ax + b > 0的解集为（ ）
1 , 1 1 1A． -
3 2 ÷
B． - ,2 3 ÷è è
, 1 1 , 1- - + 1 C． ÷ ÷ D． - , - U , +
è 3 ÷ ÷ è 2 è 2 è 3
【答案】C
【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得 a,b,c关系，代入所求不等式解
不等式即可．
【详解】因为不等式 ax2 + bx + c > 0， a 0的解集为 (-3,2)，
ì b
- = -3+ 2 = -1 a ìb = a
所以 a < 0且 í c 即 íc 6a ， = -= -3 2 = -6
a
不等式 cx2 + ax + b > 0等价于 -6ax2 + ax + a > 0，
即6x2 - x -1 > 0， 2x -1 3x +1 > 0 x 1 1，解得 < - 或 x > ，3 2
2 , 1- - 1 所以不等式 cx + ax + b > 0的解集为： ÷ ,+ 3 2 ÷，è è
故选：C．
（三）
分式不等式的解法
（1）解分式不等式的策略:
f x f x
对于形如 > 0 < 0 的不等式可等价转化为
f x g x > 0 < 0 来解决;对于形如: 0 0g x g x 的
不等式可等价转化为 f x g x 0 0 来解决.
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边
为零，然后再用上述方法求解．
题型 4：解分式不等式
x + 2
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）不等式 > 2的解集为 .
x -1
【答案】{x |1 < x < 4}
x + 2 4 - x
【分析】将 > 2移项变形为 > 0，转化为一元二次不等式，即可求得答案.
x -1 x -1
x + 2
【详解】原不等式可化为 - 2 > 0，
x -1
x + 2 - 2 x -1
即 > 0，
x -1
4 - x
即 > 0，即( x -1)(x - 4) < 0 ，
x -1
解得1< x < 4，
∴原不等式的解集为{x |1 < x < 4}，
故答案为：{x |1 < x < 4}
U R A = ìx
2 - 3x
1ü4-2．（2024 高一·全国·专题练习）已知全集 = ，集合 í ，B = x 2x - 5 3 ，则
x - 4
AI B = ， AU B = .
3
【答案】 {x∣x > 4 或 x 1} x∣x 4或 x ü
2
【分析】先由分式不等式求法求解出集合A , 结合绝对值不等式解法求出集合 B ,然后结合集合的交集与并
集运算即可求得答案.
2 - 3x 2 - 3x
【详解】由 1 得 -1 0 ,
x - 4 x - 4
2x - 3
整理得 0 ,
x - 4
3 3
解得 x > 4 或 x≤ , 即 A = {x∣x > 4
ü
或 x
2 2
因为B = {x | 2x - 5 3} = {x∣2x - 5 3或 2x - 5 -3} = {x∣x 4或 x 1}
所以 A B = {x∣x > 4或 x 1} ;
A B = x∣x 4 x 3 ü或 .2
3
故答案为：{x∣x > 4 或 x 1} ; x∣x 4 x ü或 .
2
x - 5
4-3．（2024·天津河西·模拟预测）设 x R ，则“ > 0 ”是“ x -1 < 4 ”的（ ）
2 - x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
x - 5
【分析】首先解出不等式 > 0和 x -1 < 4，根据两个不等式的解集即可得出答案．
2 - x
x - 5
【详解】由 > 0，得 (x - 5)(2 - x) > 0，
2 - x
解得 2 < x < 5；
由 x -1 < 4，得-4 < x -1< 4，得-3 < x < 5
因为当 2 < x < 5时，一定可以推出-3 < x < 5，
而当-3 < x < 5时，不能推出 2 < x < 5。
x - 5
所以“ > 0 ”是“ x -1 < 4 ”的充分不必要条件，
2 - x
故选：A．
1- x
4-4．（2024 高一·全国·专题练习）不等式 0的解集为（ ）
2 + x
A．{x | -2 x 1} B．{x | x < -2或x 1}
C．{x | -2 < x 1} D．{x | x -2或x 1}
【答案】C
【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可.
ì 1- x 2 + x 0 ì x -1 x + 2 0
【详解】原不等式可化为 í ，即2 x 0 í
，解得-2 < x 1．
+ 2 + x 0
故选：C．
（四）
不等式恒成立问题
1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，b＝0，c>0；当 a≠0 时，
ìa > 0,
í
D < 0,
2．不等式 ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，b＝0，c<0；当 a≠0 时，
ìa < 0,
í
D < 0,
题型 5：不等式恒成立问题
1
5-1．（2024 2高一上·江苏淮安·期末）任意 x -1,1 ，使得不等式 x - x + m恒成立.则实数m 取值范围是
2
（ ）
m 1 1
1
A．
ì ü
B．m C．
4 4 í
D．m 2
4
【答案】B
x2 1【分析】由已知可得 - x +
÷ m ，再求函数 y = x2
1
- x + ， x -1,12 的最小值即可得m 取值范围.è min 2
【详解】因为对任意 x -1,1 2 1，不等式 x - x + m恒成立.
2
x2 1 所以 - x + 2 ÷
m ，其中 x -1,1 ，
è min
2
y = x2 - x 1+ x -1,1 y x2 x 1 x 1 1设 ， ，因为 = - + =
2 2
- ÷ + ，
è 2 4
1 1
所以当 x = y = x2时，函数 - x + ， x -1,1 1取最小值，最小值为 4 ，2 2
1
所以m ，
4
故选：B.
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）不等式 ax2 - ax + a +1 > 0对"x R 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 0, + B． 0, +
4
C． - , -
÷ 0, +
D． - ,
4
- ÷ 0, + )
è 3 è 3
【答案】B
【分析】
ìa > 0
分 a = 0和 a 0两种情况讨论，当 a 0时 íΔ 0，即可求出参数的取值范围. <
【详解】①当 a = 0时，1 > 0成立，
ìa > 0
②当 a 0时，只需 í 2
Δ = a - 4a a +1 0
，解得 a > 0< ，
综上可得 a 0，即实数 a的取值范围为 0, + .
故选：B．
5-3 2024· · “ $x R x 2．（ 贵州安顺 模拟预测）若命题 0 ， 0 - 2x0 - a < 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． - , -1 B． - ,1 C． 1, + D． -1, +
【答案】A
【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出D = 4a + a 0 ，求解即可得出答
案.
【详解】命题“ $x R x20 ， 0 - 2x0 - a < 0 ”的否定为：“ "x R ， x2 - 2x - a 0 ”，
该命题为真命题.
2
所以，应有Δ = -2 - 4 1 -a = 4 + 4a 0，所以 a -1 .
故选：A.
5-4．（2024 高一·全国·单元测试）若不等式 a(1+ x) x2 + 3对于 x [0,+ )恒成立，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．[0,3] B．[0,2] C． (- , 2] D． (- ,3]
【答案】C
x2 + 3 x2 + 3
【分析】原不等式可化为 a ，设 f x = .只需求出 f x 在 x 0 时的最小值，即可得出答案.
x +1 x +1
x2a + 3【详解】原不等式可化为 ，
x +1
x2f x + 3设 = ，
x +1
x +1 2 - 2x - 2 + 4
4 4
则 f x = = x +1+ - 2 2 x +1 × - 2 = 2，
x +1 x +1 x +1
4
当且仅当 x +1 = ，且 x 0 ，即 x =1时，函数 f x 有最小值为 2.
x +1
因为 a f x 恒成立，所以 a 2 .
故选：C.
（五）
一元二次方程的实根分布问题
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，
所对应的二次函数图象的开口方向.
题型 6：一元二次方程的实根分布问题
6-1．（2024 高一·全国· 2专题练习）已知方程 x - 2a +1 x + a a +1 = 0 的两根分别在区间 0,1 ， 1,3 之内，
则实数 a的取值范围为 ．
【答案】 0,1 .
【分析】求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围．
2
【详解】方程 x － 2a +1 x + a a +1 = 0 x - a é x - a +1 ù = 0
\方程两根为 x1 = a, x2 = a +1，
ì 0 < a <1
若要满足题意，则 í ，解得0 < a <11 a 1 3 ， < + <
故答案为： 0,1 .
6-2．（2024 高一上·江苏徐州·阶段练习）方程 x2 - 2 - a x + 5 - a = 0的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围
是 ．
【答案】-5 < a -4
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
2
【详解】解：由题意，方程 x － 2－a x + 5－a = 0的两根都大于 2，
令 f x = x2－ 2－a x + 5－a，
ì
V 0 ì a2 16
可得 í f 2 > 0 ，即 ía + 5 > 0 ，解得－5 < a －4．
2 - a
2 2 - a > 4>
2
故答案为：-5 < a -4 .
6-3．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）若一元二次方程 kx2 + 3kx + k - 3 = 0的两不等实根都是负数，求实数
k 的取值范围为 .
12
【答案】 k < - 或 k > 3
5
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理与判别式求解即可．
ìx1 + x2 < 0
【详解】首先 k 0，设方程 kx2 + 3kx + k - 3 = 0的两根为 x1, x2 ，则 x1 < 0, x2 < 0 í ，
x1x2 > 0
ì
Δ = 9k 2 - 4k k - 3 > 0 ì
k 5k +12 > 0
3k
所以 í- < 0 ， -3 < 0 ，又 k 0，解得 k
12
< - 或 k > 3．
k
í
5
k - 3 3 <1
> 0 k k
12
故答案为： k < - 或 k > 3．
5
6-4 2．（2024 高二下·四川资阳·开学考试）已知 f x = ax + 2a + 3 x +1- a.
(1)求证：a = 0 是关于 x 的方程 f x = 0有解的一个充分条件；
(2)当 > 0时，求关于 x 的方程 f x = 0有一个正根和一个负根的充要条件．
【答案】(1)证明见解析
(2) a >1
【分析】（1）将 a = 0代入函数，求解 f (x) = 0 即可.
ì Δ > 0
（2）由一元二次方程有一正一负根，即 í 列式求解可得 a 的范围，再检验必要性即可.
x1x2 < 0
【详解】（1）证明：当 a = 0时， f (x) = 3x +1，
则 f (x) = 0
1
，即：3x +1 = 0 ，解得： x = - ，
3
所以 a = 0是关于 x 的方程 f (x) = 0 有解的一个充分条件.
（2）当 a > 0时，因为方程 f x = 0有一个正根和一个负根，
ì
ì a > 0 a > 0
所以 í Δ > 0 í(2a + 3)2 - 4a(1- a) > 0，解得： a >1.
x1x2 < 0 1- a < 0
a
1- a
反之，当 a >1时，D = (2a + 3)2 - 4a(1- a) > 0，且 x1x2 = < 0，a
所以 f x = 0有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当 a > 0时，关于 x 的方程 f x = 0有一个正根和一个负根的充要条件为 a >1 .
6-5．（2024 高一下·河北保定·阶段练习）若一元二次方程 ax2 - 2x - 4 = 0（ a不等于 0）有一个正根和一个负
根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a > 0 B． a > 2 C． a >1 D． a > -1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即
可求解.
【详解】因为一元二次方程 ax2 - 2x - 4 = 0（ a不等于 0）有一个正根和一个负根，设两根为 x1, x2 ，
ì
Δ = -2
2 - 4 a -4 > 0
则 í 4 ，解得 a > 0，
x1x2 = - < 0 a
故选：A
（六）
解不等式应用题的步骤
题型 7：一元二次不等式的实际应用
7-1．（2024 高二上·山东枣庄·阶段练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12
万元/辆，年销售量为 10000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆
车投入成本增加的比例为 （0 < x <1），则出厂价相应地提高比例为 ，同时预计年销售量增加的比
例为 ，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润 与投入成本增加的比例 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 应在什么范围内？
【答案】（1） y = -6000x2 + 2000x + 20000， (0 < x <1)；（2） (0,
1)．
3
【详解】试题分析：（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意
义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围．
试题解析：（1）由题意得： y = [12(1+ 0.75x) -10(1+ x)] 10000 (1+ 0.6x) ， (0 < x <1)，
整理得： y = -6000x2 + 2000x + 20000， (0 < x <1)
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 y - (12 -10) 10000 > 0， (0 < x <1)
即-6000x2 + 2000x > 0 ， (0 < x <1)．
解得0
1
< x < 1，所以投入成本增加的比例应在 (0, )范围内．
3 3
考点：1．函数模型的应用；2．一元二次不等式的解法．
7-2．（2024 高二上·山东）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30
盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不
含 400 元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 x （单位：元）的取值范围是（ ）
A． x 10 x <16 B． x 12 x <18
C． x 15 < x < 20 D． x 10 x < 20
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出 é 30 - 2 x -15 ù ×x > 400，然后通过计算以及 x >15即可得出结果.
【详解】结合题意易知， é 30 - 2 x -15 ù×x > 400，
即 x2 - 30x + 200 < 0，解得10 < x < 20，
因为 x >15，所以15 < x < 20，
这批台灯的销售单价 x 的取值范围是 x 15 < x < 20 ，
故选：C.
7-3．（2024 高一上·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离 s（单位：m）和汽车刹车前的
1 1
车速 v（单位：km / h ）之间有如下关系： s = v + v2，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于
20 160
40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为（ ）（精确到 1 km / h ）
A．76 km / h B．77 km / h C．78 km / h D．80 km / h
【答案】B
【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的 s的关系式和不等式关系可得 v的一元二次不等式，求 v
的范围可得．
【详解】设这辆汽车刹车前的车速为 vkm / h ，
1 1
根据题意，有 s = v + v2 > 40，
20 160
移项整理，得 v2 + 8v - 40 160 > 0， v > 0
解得 v > -4 + 4 401 76.09 ．
所以这辆汽车刹车前的速度至少为 77 km / h ．
故选：B
7-4．（2024 高一下·北京昌平·期中）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的
关系为P =160 - 2x，生产 x 件所需成本为 C（元），其中C = 500 + 30x元，若要求每天获利不少于 1300 元，
则日销量 x 的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45
C．15≤x≤30 D．15≤x≤45
【答案】B
【分析】
根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于 1300 元，列出不等式求
解即可．
【详解】
设该厂每天获得的利润为 y 元，
则 y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．
由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即 x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，
所以日销量 x 的取值范围是 20≤x≤45．
故选：B．
7-5．（2024 高一上·江苏连云港·阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段
距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速 50 km/h
的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车
的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离 s（单位：m）与车速 x
2 2
（单位：km/h）之间分别有如下关系： s甲 = 0.01x - 0.1x， s乙 = 0.005x - 0.05x，问：甲、乙两车有无超速
现象？
【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
【分析】由题意列不等式求解后判断，
【详解】由题意得，对于甲车，0.01x2 - 0.1x <12，
即 x2 -10x -1200 < 0，而 x > 0，解得0 < x < 40，
甲车未超过规定限速，
同理对于乙车，0.005x2 - 0.05x >10，
x2 -10x - 2000 > 0，而 x > 0，解得 x > 50 ，
乙车超过规定限速．
答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
一、单选题
1．（2024 高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于 x 的不等式 x2 - 4x - 2 - a 0有解，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a a -2 B． a a -2 C． a a -6 D． a a -6
【答案】C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于 x 的不等式 x2 - 4x - 2 - a 0有解,
则D =16 + 4 2 + a 0，解得 a -6 .
故选：C.
2．（2024 高一上·江苏盐城·期中）已知不等式 ax2 + bx -1 > 0的解集为 (3, 4) ，则 24a + 12b 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由韦达定理即可求解.
【详解】由题可知：3 和 4 是方程ax2 + bx -1 = 0的两个实数根，
ì3 4 b ìa 1+ = - = -
a 12
由韦达定理可知： í 1 ，解得：- í ， 3 4 = b 7=
a 12
则 24a +12b = 5 .
故选：C
1
3．（2024 高一·全国·课后作业）若0 < t <1，则不等式 (x - t) x - ÷ < 0 的解集是（t ）è
1, t A． ÷ B． (- , t) U
1
,
1 1
+ ÷ C． - , -
÷ U (-t, + )
D t,
è t è t
．
è t è t ÷
【答案】D
【分析】由一元二次不等式的特征即可求解.
1 1 1
【详解】由于0 < t <1，所以 > t ,所以不等式 (x - t)
x -
t t ÷
< 0 的解集 t, ÷，
è è t
故选：D
4．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）若不等式ax2 + bx + 6 > 0的解集为{x | x < -3或 x > -2}，则（ ）
A． a =1，b = -5 B． a = -1，b = 5
C． a = -1，b = -5 D． a =1，b = 5
【答案】D
【分析】由不等式的解集得出-3和-2是方程 ax2 + bx + 6 = 0的两个根，代入求解即可得出答案．
【详解】因为不等式ax2 + bx + 6 > 0的解集为{x | x < -3或 x > -2}，
所以 x = -3和 x = -2时， ax2 + bx + 6 = 0，
即9a - 3b + 6 = 0， 4a - 2b + 6 = 0，
解得 a =1 , b = 5 ,
故选：D．
3
5 2．（2024 高一上·内蒙古包头·期末）若不等式2kx + kx - < 0对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围是
8
（ ）
A．-3 < k 0 B．-3 < k < 0
C． k -3或 k 0 D． k < -3或 k 0
【答案】A
2kx2 kx 3【分析】由 + - < 0对一切实数 x 都成立，结合函数的性质分成 k = 0， k 0讨论进行求解.
8
2kx2 kx 3【详解】 + - < 0对一切实数 x 都成立，
8
3
① k = 0时，- < 0恒成立，
8
ìk < 0
② k 0时， í 2 ，解得-3 < k < 0
Δ = k + 3k
，
< 0
综上可得，-3 < k 0 .
故选：A.
6．（2024 高一上·浙江·期中）已知 a > 2，关于 x 的不等式 ax2 - (2 + a)x + 2 > 0的解集为（ ）
ìx x 2 ì 2A． í < 或 > 1}B． íx | < x <1
ü 2 ü ì 2 ü
C x x <1 x > D
a ． 或 ． íx |1 < x < a a a
【答案】A
2
【解析】分解因式得 ax - 2 x -1 > 0，由 a > 2可得 < 1，即可得出解集.
a
【详解】不等式 ax2 - (2 + a)x + 2 > 0化为 ax - 2 x -1 > 0，
2 ì 2
Qa > 2 ，\ <1，故不等式的解集为
a í
x x < 或
a > 1}
.
故选：A.
7．（2024 高一上·广东肇庆·期中）若命题“ "x (-1,1), x2 - 2x - a > 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a -1 B． a < -1 C． a 3 D． a < 3
【答案】A
【分析】根据题意转化为不等式 a < x2 - 2x在 (-1,1上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由命题“ "x (-1,1), x2 - 2x - a > 0 ”为真命题，即不等式 a < x2 - 2x在 (-1,1上恒成立，
设 f x = x2 - 2x, x (-1,1)，
根据二次函数的性质，可得 f x < f (1) = -1min ，所以 a -1 .
故选：A.
8．（2024 高一上·全国·课后作业）已知不等式 8x + 9 < 7和不等式 ax2 + bx > 2的解集相同，则实数 a、b的值
分别为（ ）
A．-8、-10 B．-4、- 9
C．-1、9 D．-1、2
【答案】B
【分析】先解绝对值不等式，再利用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可.
【详解】 8x + 9 < 7 -7 < 8x + 9 < 7 2 x
1
，解得- < < - ，
4
因为，不等式 8x + 9 < 7和不等式 ax2 + bx > 2的解集相同，
2 1故ax + bx - 2 = 0的两根为-2 或- ，且 a < 0，
4
ì
-2
1 b
+ - ÷ = -
è 4 a ìa = -4
由韦达定理得： í ，解得： íb 9 ， -2 1- 2 = - ÷ = - è 4 a
故选：B.
9．（2024 高一上·全国·课后作业）若一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 x | -1< x < 2 ，则一元二次不
等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（ ）
ì
A． íx | x
1
< - 或x >1ü ì B． íx |
1
- < x <1ü
2 2
ì 1 ü ì 1 ü
C． íx | x < -1或x > D． íx | -1< x <
2
2
【答案】C
b c
【分析】由题意可得-1,2 是 ax2 + bx + c = 0的两个根，且 a < 0, 利用韦达定理可得到- =1, = -2，即可对a a
cx 2 + bx + a > 0 进行求解
【详解】由一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 x | -1< x < 2 可得-1,2 是 ax2 + bx + c = 0的两个根，且
a < 0,
b c
所以- =1, = -2，
a a
c b
所以 cx 2 + bx + a > 0 可化为 x2 + x +1< 0，即 2
a a -2x - x +1< 0
，
1
解得 x < -1或 x > .
2
故选：C
a 1 x a(x a) x
1
- - 10．（2024 高一·全国·课后作业）设 < - ，则关于 的不等式 ÷ < 0 的解集为（ ）
è a
A． x | x 1< a ü或 x > B．{x|x>a}a
C． x x a x 1 ü ì 1< ü或 D． íx | x
【答案】A
【分析】当 a < -1时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.
1 1
【详解】因为 a < -1，所以 a(x - a)
x -
a ÷
< 0 等价于 (x - a) x - a ÷
> 0，
è è
1 1
又因为当 a < -1时， > a
，所以不等式 (x - a) x - ÷ > 0的解集为： x | x < a 或 x
1
> ü ．
a è a a
故选：A．
【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.
11．（2024 高三下·湖南·阶段练习）若 a < 0，则关于 x 的不等式 (ax -1)(x - 2) > 0的解集为（ ）
ìx 2 x 1 ü ìA． í < < B． íx
1
< x < 2ü
a a
C．{x x
1
< 或 x > 2} {x x < 2 x
1
D． 或 > }
a a
【答案】B
【分析】结合含参一元二次不等式的解法即可.
1
【详解】解：方程 (ax -1)(x - 2) = 0 的两个根为 x = 2和 x = ，
a
1
因为 a < 0，所以 < 2，
a
故不等式 (ax -1)(x - 2) > 0
ì 1 ü
的解集为 íx | < x < 2a
．
故选：B．
12．（2024 2高二下·辽宁·阶段练习）关于 x 的不等式 ax + bx + c > 0 a 0 的解集为 -3,1 ，则不等式
cx2 + bx + a < 0的解集为（ ）
1
A． - ,1
÷ B． - , - 13 1,+ è 3
C． -1,
1
÷ D． - , -1
1
, +
3 3 ÷è è
【答案】A
2
【分析】根据解：不等式 ax + bx + c > 0 a 0 b c的解集为 -3,1 ，得到 a<0，且-3 +1 = - ，-3 1 = ，进
a a
而转化不等式 cx2 + bx + a < 0求解.
2
【详解】解：因为关于 x 的不等式 ax + bx + c > 0 a 0 的解集为 -3,1 ，
b c
所以 a<0，且-3 +1 = - ，-3 1 = ，
a a
所以b = 2a， c = -3a ，
所以 cx2 + bx + a < 0化为3x2 - 2x -1 < 0，
1
解得- < x <1 .
3
故选：A.
13．（天津市南开中学滨海生态城学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题）某文具店购进一批新型台
灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决
定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 x
（单位：元）的取值范围是（ ）
A．{x∣15 < x < 20} B．{x∣12 x <18}
C．{x∣10 x < 20} D． x |10 x <16
【答案】A
【分析】本题可根据题意得出[30 - 2(x -15)]× x > 400，然后通过计算以及 x >15即可得出结果.
【详解】结合题意易知，[30 - 2(x -15)]× x > 400 ,即 x2 - 30x + 200 < 0，解得10 < x < 20，
因为 x >15，所以15 < x < 20，
这批台灯的销隹单价 x 的取值范围是{x∣15 < x < 20}，
故选：A.
14．（2024 高一下·河北保定·阶段练习）若$x 0,4 ，使得不等式 x2 - 2x + a > 0成立，则实数 a的取值范围
（ ）
A． a > -1 B． a >1 C． a > 8 D． a > -8
【答案】D
【分析】由题意可转化为$x 0,4 ，使 a > -x2 +2x成立，求-x2 +2x 的最小值即可.
【详解】因为$x 0,4 ，使得不等式 x2 - 2x + a > 0成立，
所以$x 0,4 ，使得不等式 a > -x2 +2x成立，
令 f (x) = -x2 + 2x， x 0,4 ，
因为对称轴为 x =1， x 0,4 ，
所以 f (x)min = f (4) = -8，
所以 a > -8，
所以实数 a的取值范围为 -8, + .
故选：D.
15．（2024 高一上·广东广州·阶段练习）已知关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
【答案】B
【分析】参变分离可得m = -x2 - x在区间 1,2 2内有实根，令 f x = -x - x ， x 1,2 ，根据二次函数的性
质求出 f x 的值域，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，
所以m = -x2 - x在区间 1,2 内有实根，
f x = -x2令 - x ， x 1,2 ，所以 f x 在 1,2 上单调递减，
所以 f 2 < f x < f 1 ，即 f x -6, -2 ，
依题意 y = m与 y = f x 在 1,2 内有交点，
所以m -6, -2 .
故选：B
16．（2024 高一上·山东临沂·阶段练习）命题 p : $x 20 0,+ ，使得 x0 - lx0 +1 < 0成立.若 p 是假命题，则实
数l 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． 2, +
C． -2,2 D． - ,-2 U 2,+
【答案】A
【分析】由 p 是假命题可得命题 p 的否定为真命题，写出命题 p 的否定，再利用分离参数的方法求解即可．
【详解】因为命题 p : $x0 0,+ ，使得 x20 - lx0 +1 < 0成立，
2
所以命题 p 的否定为："x 0, + ， x - lx +1 0成立，
而 p 是假命题，故命题 p 的否定为真命题．
1
所以l x + 在 x 0, + 上恒成立，
x
1 1
因为 x + 2 x 1× = 2，当且仅当 x = x =1时，等号成立，
x x x
所以l 2，即l - , 2 .
故选：A.
17．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）“关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为R ”的一个必要不充分条件
是（ ）
A 0 < a <1 B 0 < < 1
1
． ． C．0 a 1 D． a < 03 或 a > 3
【答案】C
【分析】求出满足题意的充要条件为0 < a <1，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】因为不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为R ，
所以应有D = -2a 2 - 4a = 4a a -1 < 0，
解得0 < a <1.
选择的必要不充分条件的范围，应该大于0 < a <1包含的范围，显然只有 C 项满足.
故选：C.
2
18（．2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知关于x的不等式 ax2 - bx +1 > 0的解集为 - , ÷ m, + ，其中m > 0，
è m
1
则b + 的最小值为（ ）
m
A．4 B． 2 2 C．2 D．1
【答案】C
2 1 1 m
【分析】根据一元二次不等式的解集确定 ,m为 ax2 - bx +1 = 0的两根，求得 a = ,b = + ，可得m 2 m 2
b 1 2 m+ = + ，利用均值不等式可求得答案.
m m 2
2
【详解】由题意关于 x 的不等式 ax2 - bx +1 > 0的解集为 - , ÷ m, + ，其中m > 0，
è m
2 2
可知 a > 0 ，且 ,m为
m ax
2 - bx +1 = 0的两根，且 m，m
2 b
即 + m = ,
2 m 1 1 1 m = ，即 a = ,b = + ,m 2 ，
m a m a 2 m 2
1 2 m 2 m
所以b + = + 2 = 2，当且仅当m = 2 时取等号，
m m 2 m 2
故选:C.
19．（2024 高三·全国· 2专题练习）若不等式 x - a +1 x + a 0的解集是 -4,3 的子集，则 a 的范围是（ ）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
【答案】A
【分析】原不等式可化为 x - a x -1 0，后通过讨论 a与 1 的大小解不等式，结合解集是 -4,3 的子集可
得答案.
【详解】原不等式可化为 x - a x -1 0 .
当 a＜1 时，不等式的解集为[a，1]，此时只要 a -4即可，即-4 a <1；
当 a＝1 时，不等式的解为 x＝1，此时符合要求；
当 a＞1 时，不等式的解集为[1，a]，此时只要 a 3即可，即1< a 3 .
综上可得：-4 a 3 .
故选：A.
20．（2024 高一上·四川阿坝·期中）关于 x 的不等式 x2 - (a +1)x + a < 0 的解集中恰有 2 个整数，则实数 a 的
取值范围（ ）
A． (-1,0] [2,3) B．[-2,-1) U (3,4]
C． -2, -1 3,4 D．[-1,0) U (2,3]
【答案】B
【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得．
【详解】不等式 x2 - (a +1)x + a < 0 化为 (x -1)(x - a) < 0，
当 a =1时，不等式无解，
当 a <1时，不等式解为 a < x <1，这里有且只有 2 个整数，则-2 a < -1，
当 a >1时，不等式解为1< x < a ，这里有且只有 2 个整数，则3 < a 4，
综上 a的取值范围是[-2,-1) U (3,4]．
故选：B .
【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求
解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式D的正负，三在方程有
解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．
21．（2024 高三上·河南· 2期末）已知 a > 0，b R ，若 x > 0时，关于 x 的不等式 ax - 2 x + bx - 5 0恒成
b 4立，则 + 的最小值为（
a ）
A．2 B． 2 5 C． 4 3 D．3 2
【答案】B
【分析】根据题意设 y = ax - 2
2
， y = x2 + bx - 5 2，由一次函数以及不等式 (ax - 2) x + bx - 5 0 分析得 x =
a
4
时， y = x2 + bx - 5 = 0 ，变形后代入b + ，然后利用基本不等式求解.
a
【详解】设 y = ax - 2（ x > 0）， y = x2 + bx - 5（ x > 0），
0 x 2因为 a > 0，所以当 < < 时， y = ax - 2 < 0；
a
x 2当 = 时， y = ax - 2 = 0 ；
a
2
当 x > 时， y = ax - 2 > 0 ；
a
(ax - 2) x2 ax - 2 0 ax - 2 0由不等式 + bx 5 0 ì ì- 恒成立，得： íx2 + bx 或- 5 0 íx2 ， + bx - 5 0
即当0
2
< x 时， x2a + bx - 5 0
恒成立，
x 2当 时， x2a + bx - 5 0
恒成立，
2 4 2b 5a 2
所以当 x = 时， y = x2 + bx - 5 = 0 ，则 2 + - 5 = 0 ，即b = - ，a a a 2 a
a > 0 b 4 5a 2 4 5a 2 5a 2则当 时， + = - + = + 2 = 2 5 ，
a 2 a a 2 a 2 a
5a 2
= a 2 5当且仅当 ，即 = 时等号成立，2 a 5
4
所以b + 的最小值为
a 2 5
.
故选：B.
22．（2024 高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切 x [2,3]， y [3,6]，不等式mx2 - xy + y2 0 恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．m 6 B．-6 m 0
C．m 0 D．0 m 6
【答案】C
【分析】令 t
y
= ，分析可得原题意等价于对一切 t 1,3 ，m t - t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数x
的性质分析运算.
【详解】∵ x [2,3]， y [3,6]
1
，则 [
1 , 1]，
x 3 2
y
∴ [1,3]，
x
又∵ mx2 - xy + y2 0 ，且 x [2,3], x2 > 0，
m y
2
-
y
可得 ÷ ，x è x
令 t
y
= 1,3 ，则原题意等价于对一切 t 1,3 ，
x m t - t
2恒成立，
1
∵ y = t - t 2 的开口向下，对称轴 t = ，
2
则当 t =1时， y = t - t 2 2取到最大值 ymax =1-1 = 0 ，
故实数m 的取值范围是m 0 .
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对"x M ， f x a恒成立，等价于 é f x ù amin ；
对"x M ， f x a恒成立，等价于 é f x ù a .max
二、多选题
23．（2024 高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，
现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每
天所赚的利润在320元以上，每件销售价可能为（ ）
A．13元 B．15元 C．17 元 D．18元
【答案】AB
【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润 y（元）与销售单价 x
（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.
【详解】设销售价定为每件 x 元，利润为 y 元，
则 y = (x -8)[100 -10(x -10)]，
依题意有 (x -8)[100 -10(x -10)] > 320，
即 x2 - 28x +192 < 0，
解得12 < x <16，
所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间，故每件销售价可能为 13 元或 15 元，
故选︰AB．
ì 1 ü
24．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 íx < x <1 ，则下列结论
3
正确的是（ ）
A． a > 0
B． c < 0
C． a + b > 0
D．关于 x 的不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集为 x - 3 < x < -1
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得 a = 3c,b = -4c a < 0 ，
进而结合选项即可求解.
【详解】由不等式 ax2
ì 1 ü 1
+ bx + c > 0的解集为 íx < x <1 ，所以 和 1 是方程 ax23 3 + bx + c = 0
的两个根，由根
ì b 1
- = +1 a 3
与系数的关系可得 í
c 1
，解得
= 1
a 3
a = 3c,b = -4c a < 0 ，
故 A 错误，B 正确， a + b = -c > 0，故 C 正确，
不等式 cx 2 + bx + a > 0 变为 cx2 - 4cx + 3c > 0 x2 - 4x + 3 < 0，解得 x 1< x < 3 ，故 D 错误，
故选：BC
25．（2024 高一上·全国· 2单元测试）已知集合 x x + ax + b = 0, a > 0 有且仅有两个子集，则下面正确的是
（ ）
A． a2 - b2 4
B． a2 - b2 4
C．若不等式 x2 + ax - b < 0 的解集为 x1，x2 ，则 x1x2 > 0
D．若不等式 x2 + ax +b < c 的解集为 x1，x2 ，且 x1 - x2 = 4，则 c = 4
【答案】AD
2
【分析】根据集合 x x + ax + b = 0, a > 0 子集的个数列方程，求得 a,b的关系式，对 AB 利用二次函数性质
可判断；对 CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
2
【详解】由于集合 x x + ax + b = 0, a > 0 有且仅有两个子集，
所以D = a2 - 4b = 0，即 a2 = 4b，由于 a > 0，所以b > 0 .
a2 - b2 = 4b - b2 = - b - 2 2 + 4 4，当b = 2, a = 2 2 时等号成立，
故 A 正确，B 错误.
C，不等式 x2 + ax - b < 0 的解集为 x1，x2 ，所以 x1x2 = -b < 0，故 C 错误.
D，不等式 x2 + ax +b < c 的解集为 x1，x2 ，
即不等式 x2 + ax +b - c < 0 的解集为 x1，x2 ，且 x1 - x2 = 4，
则 x1 + x2 = -a, x1x2 = b - c，
2
则 x1 - x2 = x1 + x2
2 - 4x1x2 = a
2 - 4 b - c = 4c =16 ，所以 c = 4，故 D 正确.
故选：AD
26．（2024 高一·全国·单元测试）已知函数 y = ax2 + bx - 3，则下列结论正确的是（ ）
A．关于 x 的不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集可以是 x x>3
B．关于 x 的不等式 ax2 + bx - 3 > 0的解集可以是
C．函数 y = ax2 + bx - 3的图象与 x 轴正半轴可以有两个交点
D．“关于 x 的方程 ax2 + bx - 3 = 0有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a > 0 ”
【答案】BCD
【分析】根据不等式的解集求出 、b ，再解不等式 ax2 + bx - 3 < 0可判断 A；取 a = -1，b=0，解不等式
-x2 - 3 > 0 可判断 B；取 a = -1，b = 4 可判断 C；根据根的分布、充要条件的定义可判断 D．
【详解】若不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 x x>3 ，则 a=0且3b - 3 = 0 ，得b =1，
而当 a=0，b =1时，不等式 ax2 + bx - 3 < 0，即 x - 3 < 0，得 x < 3，与 x > 3矛盾，故 A 错误；
取 a = -1，b=0，此时不等式-x2 - 3 > 0 的解集为 ，故 B 正确；
函数 y = ax2 + bx - 3的图象与 x 轴正半轴可以有两个交点,即 ax2 + bx - 3 = 0可以有 2 个正根，取 a = -1，
b = 4 ，则由 y = -x2 + 4x - 3 = 0，得 x=1或 3，故 C 正确；
ìa 0,
若关于 x 的方程 ax2 + bx - 3 = 0有一个正根和一个负根，则 í 3 得 a > 0，
- <0, a
若 a > 0，则D = b2 +12a > 0，故关于 x 的方程 ax2 + bx - 3 = 0有两个不等的实根 x1, x2 ，
且 x1x
3
2 = - < 0，即关于 x 的方程 ax2a + bx - 3 = 0
有一个正根和一个负根．
因此“关于 x 的方程 ax2 + bx - 3 = 0有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a > 0 ”，故 D 正确．
故选：BCD．
27．（2024 高一下·四川南充·期中）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x|x -2 或 x 3 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． a < 0 B． ax + c > 0的解集为 x|x < 6
1 1
C．8a + 4b + 3c < 0 ì üD． cx2 + bx + a < 0的解集为 íx | - < x <
2 3
【答案】ABD
【分析】根据不等式对应方程根与系数的关系得到 b = -a ， c = -6a， a < 0，再代入不等式依次计算得到答
案.
【详解】关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x|x -2 或 x 3 ，
ì
-2
b
+ 3 = -
a < 0 a故 ，且 í ，整理得到 b = -a ， c = -6a，
-2 c 3 =
a
对选项 A： a < 0，正确；
对选项 B： ax + c > 0，即 a x - 6 > 0，解得 x < 6 ，正确；
对选项 C：8a + 4b + 3c = 8a - 4a -18a = -14a > 0，错误；
对选项 D： cx2 + bx + a < 0，即-6ax2 - ax + a < 0，即 6x2 + x -1 < 0，
1
解得- < x
1
< ，正确.
2 3
故选：ABD
28．（2024 高一上·江苏南京· 2期末）设m 为实数，已知关于 x 的方程mx + m - 3 x +1 = 0 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当m = 3时，方程的两个实数根之和为 0
B．方程无实数根的一个必要条件是m >1
C．方程有两个不相等的正根的充要条件是0 < m <1
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m < 0
【答案】BCD
【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数 m 满足的不等式，解出 m 的范围，判断正误.
【详解】对于 A 选项，m = 3时3x2 +1 = 0无实根，A 错误；
对于 B 选项，当m = 0时方程有实根，当m 0 时，方程无实根则 (m - 3)2 - 4m < 0，解得1< m < 9 ，一个必
要条件是m >1，B 正确；
3- m 1
对于 C 选项，方程有两个不等正根，则m 0 ，D > 0， > 0， > 0，解得0 < m <1；
m m
1
对于 D 选项，方程有一个正根和一个负根，则m 0 ， < 0，解得m < 0，D 正确；
m
故选：BCD.
29．（2024 高一上·河南郑州·期末）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 4}，则下列结
论正确的有（ ）
A． a > 0
B．不等式bx + c > 0的解集为{x∣x < -6}
C． a + b + c > 0
ì
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x
1 1
< - x > ü∣ 或
4 3
【答案】AD
【分析】根据不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 4}，可判断 a 的正负，确定-3,4是 ax2 + bx + c = 0
ìb = -a
的两根，从而求出 íc 12a ，由此一一判断每个选项，可得答案
.
= -
【详解】关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 4} ,
结合二次函数 y = ax2 + bx + c和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0以及不等式的关系，
可得 a > 0，且-3,4是 ax2 + bx + c = 0的两根，A 正确；
ì
-3 + 4
b
= -
a ìb = -a
则 í ，故 í ，
3 4 c c = -12a- =
a
所以bx + c > 0即-ax -12a > 0,\ x < -12，即bx + c > 0的解集为{x∣x < -12}，B 错误；
由于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 4} ,
故 x =1时， ax2 + bx + c < 0 ，即 a + b + c < 0，C 错误；
由以上分析可知不等式 cx2 - bx + a < 0即-12ax2 + ax + a < 0，
2 1 1
因为 a > 0，故12x - x -1 > 0,\ x < - 或 x > ，
4 3
ì
故不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x
1 x 1∣ < - 或 >
ü
，D3 正确， 4
故选：AD
30．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）关于 x 的不等式 ax2 + (1- 2a2 )x - 2a < 0的解集中恰有 3 个正整数解，
则 a 的值可以为（ ）
3 7
A．-1 B． C． D．2
2 4
【答案】CD
【分析】由题意先判断出 a > 0，写出不等式的解集，由不等式 ax +1 x - 2a < 0的解集中恰有 3 个正整数，
分析的这 3 个正整数为1,2,3 ,计算求解即可.
【详解】不等式化简为 ax +1 x - 2a < 0的解集中恰有 3 个正整数，
当 a = 0时，不等式化为 x < 0 ，则解集中有无数个整数.
当 a<0时，不等式 ax +1 x - 2a < 0的解集中有无数个正整数，故 A 错误；
1 1
所以 a > 0， - < 0 ， 2a > 0，所以- < 2aa a
ì 1
所以不等式的解集为： íx | - < x < 2a
ü
， 根据 0 一定属于此集合，
a
则由不等式 ax +1 x - 2a < 0的解集中恰有 3 个正整数，
则这 3 个整数中一定为：1,2,3，
3
则3 < 2a 4，解得 < a 2
2
7
故 a可取 和 2，故 C,D 正确，AB 错误；
4
故选：CD.
3
31 2．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）已知关于 x 的不等式 a x - 3x + 4 b，下列结论正确的是（
4 ）
A．当 a < b <1时，不等式的解集为
B．当 a = 2时，不等式的解集可以表示为形式 x | c x d
C．若不等式的解集恰为 x | a x b 4，则b = 0或b =
3
D．若不等式的解集恰为 x | a x b ，则b - a = 4
【答案】AD
3
【分析】A. x2假设 - 3x + 4 b 有解，求判别式可得 b 的范围；
4
B 项作图，即可得到；
3 2
对于 C、D 两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有 b - 3b + 4 = b4 ，即可解
得 b 的值，然后检验 a 的值即可.
3
【详解】A 选项，若 x2 - 3x + 4 b
3 2
有解，即 x - 3x + 4 - b 0有解，
4 4
则有，D = -3 2 3- 4 4 - b = -3 + 3b 0，
4
所以，b 1.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为 ；
3
B 选项，作出 f (x)
3
= x2 - 3x + 4
4 的图象以及 y=a，y=b 的图象.
2
由图可知，此时不等式 a x - 3x + 4 b的解
4
集应由两部分组成；
a 3C D x2 - 3x + 4 b 3 2， 选项：因为不等式 的解集恰为 x | a x b ，即可以转化为二次函数 f (x) = x - 3x + 4
4 4
在 x | a x b 上的取值是 y | a y b .
3 2 4
则必有 f (b) = b，即 b - 3b + 4 = b，解得，b = 或b = 4 .4 3
3 2
又因为 f (x) = x - 3x + 4 在 R 上的最小值为 f (2) =14 ，则应有a 1且
f (a) = b .
b 4当 = 时，有 f (a) = b .
3
3 a2 3a 4 4 a 4即 - + = 8，解得， = 或 a = 3，与a 1不相符，舍去；4 3 3
当b = 4 时，有 f (a) = b .
3
即 a2 - 3a + 4 = 4，解得，a=0 或 a=4（舍去）.
4
所以，a=0,b=4.
故选：AD.
三、填空题
32．（2024 高三上·上海徐汇·阶段练习）已知 f (x) = x2 + ax + 3 - a ，若 x [-2,2]时， f (x) 0恒成立，则实
数 a的取值范围为 ．
【答案】[-7,2]
【分析】根据题意可得 f (x) 0min ，根据二次函数最值问题中“轴变区间定”对称轴进行分类讨论，即可求
得答案.
a
【详解】 f (x) = x2 + ax + 3 - a 开口向上，对称轴为 x = - ，
2
若 x [-2,2]时， f (x) 0恒成立，则有：
a
当- -2
7
，即 a 4时，则 f (x) f -2 = 7 - 3a 0，解得 a < 4 ，不合题意；
2 3
a 2
当-2 < - < 2，即-4 < a < 4时，则 f (x) f
a 12 - 4a - a - ÷ = 0，解得-4 < a 2；2 è 2 4
a
当- 2，即 a -4时，则 f (x) f 2 = 7 + a 0，解得-7 a -4；
2
综上所述： a的取值范围为[-7,2]．
故答案为：[-7,2]．
33．（2024 高一·全国· 2单元测试）已知 f x = x - x +1，当 x [-1,2]时，不等式 f x > 2x + m恒成立，则实
数 m 的范围为 ．
5
【答案】 - , -
è 4 ÷
【分析】由题意可得m < x2 - 3x +1对任意的 x [-1,2]恒成立，根据二次函数的性质求出
3 2g x 5= x - ÷ - ， x [-1,2]的最小值即可求解.
è 2 4
【详解】由题意可得 x2 - x +1 > 2x + m对任意的 x [-1,2]恒成立，
即m < x2 - 3x +1对任意的 x [-1,2]恒成立.
g x = x2令 - 3x +1， x [-1,2]，
3 2g x = x - 5
3 5
÷ - ， x [-1,2]，则 g x = g
÷ = -2 4 min
,
è è 2 4
m 5
5
所以 < -
,所以实数 m 的范围为 - , -
÷ .4 è 4
5
故答案为: - , - 4 ÷
.
è
1
34 2．（2024高三·全国·专题练习）已知对任意 x R ，x + a - 2 x + 0 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
4
【答案】 1,3
【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题，结合D判别式分析运算.
2 1
【详解】因为对任意 x R ， x + a - 2 x + 0 恒成立，
4
1
则D = a - 2 2 - 4 1 = a2 - 4a + 3 0 ，解得1 a 3，
4
所以实数 a 的取值范围是 1,3 .
故答案为： 1,3 .
35．（2024 · · m +1 x2高一下 福建漳州 期末）不等式 - mx + m -1< 0的解集为 ，则m 的取值范围是 .
é2 3
【答案】 ê ,+ ÷
3
2
【分析】首先根据题意转化为 m +1 x - mx + m -1 0恒成立，讨论m 的取值，列式求解.
【详解】∵不等式 m +1 x2 - mx + m -1< 0的解集为 ，
∴ m +1 x2 - mx + m -1 0恒成立.
①当m +1 = 0，即m = -1时，不等式化为 x - 2 0，
解得： x 2，不是对任意 x R 恒成立，舍去；
②当m +1 0，即m -1时，对任意 x R ，
要使 m +1 x2 - mx + m -1 0，
只需m +1 > 0且D = -m 2 - 4 m +1 m -1 0，
2 3
解得：m .
3
é2 3
综上，实数 m 的取值范围是 ê ,+ ÷ .
3
é2 3
故答案为： ê ,+ ÷
3
ì 1 1ü
36．（2024 高三·全国·专题练习）若关于 x 的不等式 ax2 + bx + 2 > 0的解集为 íx | - < x < ，则 ab
2 3
＝ .
【答案】24
【分析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系计算即可.
1 1
【详解】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：a < 0，x = 或 x = - 为方程 2
3 2 ax + bx + 2 = 0
ì b 1 1
- = - + a 2 3
的两个根，即 í a = -12,b = -2，∴ ab = 24 .
2 1 1= -
a 2 3
故答案为：24
37．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于 x 的不等式mx2 + mx - 4 < 0的解集为
R ；命题乙：关于 x 的方程 x2 - 2mx + m + 20 = 0有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，
求实数m 的取值范围为 ．
【答案】 (-20,0]
【分析】通过分类讨论可求得命题甲为真命题时m 的取值范围；根据一元二次方程根的特征，求得命题乙
为真命题时m 的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数m 的取值范围．
【详解】由命题甲：关于 x 的不等式mx2 + mx - 4 < 0的解集为R ，
当m = 0时，不等式 4 < 0恒成立；
ìm < 0
当m 0 时，则满足 í 2 ，解得-16 < m < 0
D = m +16m
，
< 0
综上可得-16 < m 0 ．
由命题乙：关于 x 的方程 x2 - 2mx + m + 20 = 0有两个不相等的负实数根，
ìD = 4m2 - 4(m + 20) > 0 ìm2 - m - 20 > 0
则满足 íx1 + x2 = 2m < 0
，整理得 ím < 0 ，
x1x2 = m + 20 > 0
m > -20
ìm < -4或m > 5
所以 ím < 0 ，解得-20 < m < -4．
m > -20
所以甲、乙至少有一个为真命题时，有-16 < m 0 或-20 < m < -4，
可得-20 < m 0 ，即实数m 的取值范围为 (-20,0]．
故答案为： (-20,0]．
38．（2024高三·全国· 2 2专题练习）对"x R, a - 4 x ＋ a＋2 x -1< 0恒成立，则实数 a的范围为 .
é 2, 6 【答案】 ê－ ÷ 5
【分析】分 a 2 - 4 = 0 ， a 2 - 4 0 两种情况，利用判别式可得答案.
"x R, a2 - 4 x2【详解】对 + a + 2 x - 1 < 0 恒成立．
① 当 a 2 - 4 = 0 时，可得 a = ±2 .
若 a = -2 ，则有－1< 0，合乎题意；
1
若 a = 2，则有 4x -1< 0，解得 x< ，不合乎题意；
4
ì a
2 - 4 < 0
2 2 a 6②若 a - 4 0 ，则 í ，解得
－ < <
Δ = a + 2
2 + 4 a2 - 4 < 0 5
é 6
综上，实数 a的范围为 ê－2, ÷ . 5
39．（2024 高二上·河南新乡·期末）若不等式 (a2 -1)x2 - (a -1)x -1 < 0的解集为 R，则实数 a的取值范围
是 ．
3
【答案】- < a 1
5
【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果.
【详解】①当 a2 -1 0，即 a ±1时，
ìa
2 -1< 0 3
í ，解得- < a <1 .
Δ = a -1
2 + 4 a2 -1 < 0 5
②当a2 -1 = 0，即 a = ±1时，
若 a =1，则原不等式为-1 < 0，恒成立．
1
若 a = -1，则原不等式为 2x -1< 0，即 x < ，不符合题目要求，舍去．
2
3
综上所述，当- < a 1时，原不等式的解集为 R.
5
3
故答案为：- < a 1 .
5
四、解答题
40．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）已知不等式： x2 - ax - 2a2 > 0 .
(1)若 a > 0，求不等式解集；
(2)若 a R ，求不等式解集.
【答案】(1) x | x < -a 或 x > 2a
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）对 a进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1） x2 - ax - 2a2 > 0， x + a x - 2a > 0，
当 a > 0时，解得 x < -a 或 x > 2a .
所以不等式的解集为 x | x < -a 或 x > 2a .
（2） x2 - ax - 2a2 > 0， x + a x - 2a > 0，
当 a > 0时，由（1）得不等式的解集为 x | x < -a 或 x > 2a .
当 a = 0时，不等式的解集为 x | x 0 .
当 a < 0时，不等式的解集为 x | x < 2a 或 x > -a .
41．（2024 高一上·上海虹口·阶段练习）已知 a R ，求解关于 x 的不等式 ax2 - 2(a +1)x + 4 > 0 .
【答案】答案见解析
2
【分析】由于 ax - 2 a +1 x + 4 > 0 可化简为 ax - 2 x - 2 > 0，二次项系数中含有参数且是否为零不确定，
先按二次项系数的符号分类讨论，再讨论两根的大小即可求解
【详解】 ax2 - 2(a +1)x + 4 > 0 (ax - 2)(x - 2) > 0，
（1）当 a = 0时，
ax2 - 2 a +1 x + 4 > 0 即-2x + 4 > 0 解得 x < 2
（2）当 a＜0时，
ax2 - 2 a +1 x + 4 > 0
ax - 2 x - 2 > 0
-ax + 2 x - 2 < 0
2
解得 < x < 2
a
（3）当 a > 0时
①当 a =1 ax2时， - 2 a +1 x + 4 > 0 即 x2 - 4x + 4 > 0 解得 x 2
2
②当0 < a <1时， > 2
a
ax - 2 x - 2 > 0 2x < 2或 x >
a
2
③当 a >1时， < 2
a
ax - 2 x - 2 > 0 x 2< 或 x > 2
a
综上所述：
当 a = 0时，原不等式的解集为 - , 2
2
当 a
＜0时，原不等式的解集为 , 2a ÷è
当0＜a＜1时，原不等式的解集为 - , 2 U 2 , +
÷
è a
当 a =1时，原不等式的解集为 x | x 2
a
2
当 ＞1时，原不等式的解集为 - , ÷ U 2, +
è a
42．（2024 高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 x2 + ax +1< 0．
【答案】答案见解析
【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论D符号求解集即可.
【详解】由对应函数 y = x2 + ax +1开口向上，且D = a2 - 4，
当D = a2 - 4 0，即-2 a 2时， x2 + ax +1 0恒成立，原不等式解集为 ；
D = a2 - 4 > 0 a < -2 a > 2 x2 + ax +1 = 0 x -a ± a
2 - 4
当 ，即 或 时，由 ，可得 = ，
2
-a - a2 - 4 -a + a2 - 4
所以原不等式解集为{x | < x < }；
2 2
综上，-2 a 2解集为 ；
-a - a2 - 4 -a + a2a < -2或 a > 2解集为{x | x - 4< < } .
2 2
43．（2024 高一下·贵州黔东南·期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为 128000m3．根据预测，汛期
*
时水库的进水量 Sn （单位：m3）与天数 n n N 的关系是 Sn = 5000 n(n + t)(n 10)，水库原有水量为
80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水 4000m3；水库水量差最大容量 23000m3 时系统就会自动报警提
醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1 天后就会出现系统自动报
警．
(1)求 t的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续 10 天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理
由．
【答案】(1) = 24
(2)汛期的第 9 天会有危险，理由见解析
【分析】（1）根据条件可建立方程128000 -80000 - 5000 1 (1+ t) = 23000，解出即可；
（2）设第 n 天发生危险，由题意得 5000 n(n + 24) - 4000n >128000 -80000 ，解出此不等式，然后可得答
案.
【详解】（1）由题意得： 128000 -80000 - 5000 1 (1+ t) = 23000，
即 = 24
（2）由（1）得 Sn = 5000 n(n + 24)(n 10)
设第 n 天发生危险，由题意得 5000 n(n + 24) - 4000n >128000 -80000 ，即 n2 + 24n - 256 > 0，得 n > 8．
所以汛期的第 9 天会有危险
44．（2024 高三上·宁夏·阶段练习）解关于 x 的不等式 ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
【答案】答案见解析.
1
【分析】由 a＞0，把不等式化为 x - ÷ x -1 ＜0，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出
è a
对应不等式的解集．
【详解】解：由 ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；
1
∵a＞0，∴不等式化为 x - x -1 ＜0，
è a ÷
x 1- 令 ÷ x -1 = 0，
è a
1
解得 x1 = ，xa 2
=1；
1
∴当 0＜a＜1 时，即 x1 > x2 ，原不等式的解集为{x|1＜x＜ }；a
当 a＝1 时，即 x1 = x2 ，原不等式的解集为 ；
1
当 a＞1 时，即 x1 < x2，原不等式的解集为{x | ＜x＜1}．a
45．（2024 高二· 2河南濮阳·开学考试）已知关于 x 的函数 f x = ax - 3x + 2 ．
(1)当 a =1时，求不等式 f x > 0的解集.
(2)当 a > 0时，求不等式 f x > 5 - ax 的解集.
【答案】(1)( ∞,1) ∪ (2, + ∞)
(2) - , -1 U 3 , +
÷
è a
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
（2）将所求不等式化为 ax - 3 x -1 > 0，根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
【详解】（1）当 a =1时， f x = x2 - 3x + 2 = x - 2 x -1 ，
由 f x > 0得： x <1或 x > 2，\ f x > 0的解集为 x x <1或 > 2}.
（2）由 f x > 5 - ax 得： ax2 + a - 3 x - 3 = ax - 3 x +1 > 0 ，
3
当 a > 0时，令 ax - 3 x +1 = 0，解得： x1 = > 0， x2 = -1，a
则由 ax - 3 x +1 > 0 3得： x < -1或 x > ，
a
\ f x > 5 - ax的解集为 - , -1 U 3 , + a ÷ .è
46．（2024 高二上·全国·专题练习）解关于 x 的不等式 x2 - ax +1 0 .
【答案】答案见解析
【分析】根据判别式分类讨论 a > 2或 a < -2、a = ±2 和-2 < a < 2三种情况，即可求出一元二次不等式的解
集.
【详解】由题意知D = a2 - 4，
①当 a2 - 4 > 0 ，即 a > 2或 a < -2时，
2
方程 x2 - ax +1 = 0 x a ± a - 4的两根为 = ，
2
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
所以解集为 íx x ；
2 2
②若 a 2 - 4 = 0 ，即 a = ±2 时，
当 a = 2时，原不等式可化为 x2 - 2x +1 0，
即 x -1 2 0，所以 x =1，
当 a = -2 时，原不等式可化为 x2 + 2x +1 0，
x +1 2即 0，所以 x = -1；
③当 a2 - 4 < 0，
即-2 < a < 2时，原不等式的解集为 ；
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
综上，当 a > 2或 a < -2时，原不等式的解集为 íx x 2 2 ；
当 a = 2时，原不等式的解集为{1}；
当 a = -2 时，原不等式的解集为{-1}；
当-2 < a < 2时，原不等式的解集为 .
47 2．（2024 高三·全国·专题练习）解下列关于 x 的不等式 2ax - a + 2 x +1 > 0．
【答案】答案见解析
【分析】讨论参数 a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
【详解】当 a < 0时，原不等式为-2ax2 + a + 2 x -1 = (2x -1)(-ax +1) < 0 1 1，解集为{x | < x < }；
a 2
1
当 a = 0时，原不等式为-2x +1 > 0，解集为{x | x < }；
2
当 a > 0时，原不等式为 2ax2 - a + 2 x +1 = (2x -1)(ax -1) > 0，
1 1
若 > ，即0 < a < 2
1
时，解集为{x | x
1
< 或 x > }2 ；a 2 a
1 1 1
若 = ，即 a = 2时，解集为{x | x }；
a 2 2
1 1 1 1
若 < ，即 a > 2时，解集为{x | x < 或 x > }；
a 2 a 2
1 1
综上， a < 0解集为{x | < x < }；
a 2
1
a = 0解集为{x | x < }；
2
0 < a 1< 2 解集为{x | x < 或 x
1
> }
2 ；a
1
a = 2解集为{x | x }；
2
a > 2解集为{x | x
1
< 或 x
1
> } .
a 2
48．（2024 高一·全国·专题练习）解关于 x 的不等式 x2 + 2x + a > 0．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解.
【详解】方程 x2 + 2x + a = 0中V= 4 - 4a = 4 1- a ，
①当1- a < 0即 a >1时，不等式的解集是 R ，
②当1- a = 0，即 a =1时，不等式的解集是{x R | x -1}，
③当1- a > 0即 a <1时，
由 x2 + 2x + a = 0解得： x1 = -1- 1- a，x2 = -1+ 1- a ，
\a <1时，不等式的解集是{x | x > -1+ 1- a 或 x < -1- 1- a}，
综上， a >1时，不等式的解集是 R ，
a =1时，不等式的解集是{x R | x -1}，
a <1时，不等式的解集是{x | x > -1+ 1- a 或 x < -1- 1- a}，
49．（2024 2高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知 y =x -(a+1)x+a．
(1)当 a = 3时，求不等式 y > 0的解集；
(2)解关于 x 的不等式 x2 - (a +1)x + a 0 ．
【答案】(1){x | x > 3或 x <1}
(2)见解析
【分析】（1）直接将 a = 3代入，根据一元二次不等式即可得解集，
（2）将 a与 1 比较，分类讨论即可求解．
【详解】（1）当 a = 3时， x2 - 4x + 3 > 0 ， (x -1)(x - 3) > 0，\ x > 3或 x <1，
不等式解集为：{x | x > 3或 x <1}；
（2）不等式可化为 (x - a)(x -1) 0．
①当 a =1时，原不等式即为 (x -1)2 0，解得 x =1；
②当 a <1时，原不等式化为 (x - a)(x -1) 0，解得 a x 1；
③当 a >1时，原不等式化为 (x - a)(x -1) 0，解得1 x a ．
综上，当 a <1时，不等式的解集为{x | a x 1}；当 a =1时，不等式的解集为{x | x =1}；
当 a >1时，不等式的解集为{x |1 x a}．
50．（2024 2高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = x + 3 - a x + 2 + 2a + b， a，b R .
(1)若关于 x 的不等式 f x > 0的解集为 x x < -4 或 > 2}，求实数 a，b 的值；
(2)若关于 x 的不等式 f x b 在 x 1,3 上有解，求实数 a的取值范围；
(3)若关于 x 的不等式 f x < 12 + b的解集中恰有3个整数，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) a =1，b = -12
(2) - , -6 U 20, +
(3) 3,4 U 10,11
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出 a，b 的值；
（2）将不等式有解（能成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可；
（3）构造函数 h x = f x -12 - b ，讨论 h x < 0的解集恰有3个整数即可.
【详解】（1）∵关于 x 的不等式 f x = x2 + 3 - a x + 2 + 2a + b > 0的解集为 x x < -4 或 > 2}，
∴ 2方程 x + 3 - a x + 2 + 2a + b = 0的两根为 x1 = -4 ， x2 = 2，
ìx1 + x2 = -2 = - 3 - a ∴ í ，
x1x2 = -8 = 2 + 2a + b
∴解得 a =1，b = -12 .
（2）令 g x = f x - b = x2 + 3- a x + 2 + 2a ，
若关于 x 的不等式 f x b 在 x 1,3 上有解，则 g x 0在 x 1,3 上有解，
∴只需使 g x 在区间 1,3 上的最小值 g x 0min .
g x = x2 + 3 - a x + 2 + 2a 3- a a - 3图象是开口向上，对称轴为 x = - = 的抛物线，
2 2
g x a - 3- , a - 3 ∴ 在区间 ÷上单调递减，在区间2 ,+ ÷上单调递增，è è 2
a - 3
①当 1，即 a 5时， g x 在区间 1,3 上单调递增，
2
∴ g x = g 1 = a + 6 0min ，解得 a -6，
此时， a - ,-6 ；
a - 3
②当 3，即 ≥ 9时， g x 在区间 1,3 上单调递减，
2
∴ g x = g 3 = -a + 20 0min ，解得 a 20，
此时， a 20,+ ；
a - 3 a - 3
③当1
a - 3
< < 3，即5 < a < 9时， g x é在区间 ê1,
ù
÷上单调递减，在区间 ,3ú 上单调递增，2 2 è 2
2
g x a - 3 -a +14a -1∴ = g ÷ = 0min ，解得2 4 a 7 - 4 3 或 a 7 + 4 3 ，è
此时， a ；
综上所述，实数 a的取值范围是 - , -6 U 20, + .
（3）令 h x = f x -12 - b = x2 + 3- a x + 2a -10
若关于 x 的不等式 f x < 12 + b的解集中恰有3个整数，
则 h x < 0的解集中恰有3个整数，
h x = x2 + 3 - a x + 2a -10 = x2 + 3- a x + 2 a - 5 = x - 2 éx - a - 5 ù ，
①当 a - 5 = 2，即 a = 7时， h x < 0解集为 ，不合题意；
②当 a - 5 > 2，即 a > 7时， h x < 0解集为 2, a - 5 ，
若解集中恰有3个整数，则这3个整数为3， 4，5，
∴ 5 < a - 5 6 ，解得10 < a 11，
∴此时 a 10,11 ；
③当 a - 5 < 2，即 a < 7时， h x < 0解集为 a - 5,2 ，
若解集中恰有3个整数，则这3个整数为-1，0 ，1，
∴ -2 a - 5 < -1，解得3 a < 4，
∴此时 a 3,4 ；
综上所述，实数 a的取值范围是 3,4 U 10,11 .
51．（2024 2 2高一·全国·单元测试）已知二次函数 y = x - 2tx + t -1 t R .
(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 x2 - 2tx + t 2 -1 0；
(2)若关于 x 的方程 x2 - 2tx + t 2 -1 = 0的两个实根均大于-2且小于 4，求实数 t 的取值范围．
【答案】(1) x x 1或 x -1
(2) t -1 < t < 3
2 2
【分析】（1）设二次函数 y = x - 2tx + t -1 t R 的两个零点分别为x1，x2，由 x1 + x2 = 0求出 t，直接解得；
（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数 t 的取值范围．
2 2
【详解】（1）设二次函数 y = x - 2tx + t -1 t R 的两个零点分别为x1， x2，
由已知得 x1 + x2 = 0，
而 x1 + x2 = 2t ，所以 2t = 0，故 t = 0，
不等式 x2 - 2tx + t 2 -1 0即 x2 -1 0，解得 x 1或 x -1，
故不等式的解集为 x x 1或 x -1 .
ìΔ = -2t 2 - 4 t2 -1 0
2 -2 < t < 4（2）因为方程 x - 2tx + t 2 -1 = 0的两个实根均大于-2且小于 4，所以 í ，即
-2 2 - 2t -2 + t2 -1 > 0
2
4 - 2t 4 + t
2 -1 > 0
ì4 0
-2 < t < 4
í
t
2 + 4t + 3 ，> 0
t 2 -8t +15 > 0
解得：-1 < t < 3，即实数 t 的取值范围为 t -1 < t < 3 .
52．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于 x 的方程 x2 - 2x + a = 0．
(1)当 a 为何值时，方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？
(2)当 a 为何值时，方程的一个根大于-1且小于 1，另一个根大于 2 且小于 3？
(3)当 a 为何值时，方程的两个根都大于 0？
【答案】(1) a a <1
(2) a -3 < a < 0
(3) a 0 < a 1
【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案;
（2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案;
（3）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案;
【详解】（1）二次函数 y = x2 - 2x + a 的图象是开口向上的抛物线，
故方程 x2 - 2x + a = 0的一个根大于 1，另一个根小于 1，
则12 - 2 + a < 0，解得 a <1，所以 a 的取值范围是 a a <1 ．
（2）方程 x2 - 2x + a = 0的一个根大于-1且小于 1，另一个根大于 2 且小于 3，
作满足题意的二次函数 y = x2 - 2x + a 的大致图象，
ì1+ 2 + a > 0
1- 2 + a < 0
由图知， í ，
4 - 4 + a < 0
9 - 6 + a > 0
解得-3 < a < 0．所以 a 的取值范围是 a -3 < a < 0 ．
（3）方程 x2 - 2x + a = 0的两个根都大于 0，
ìΔ = 4 - 4a 0
则 í a 0 ，解得
0 < a 1，所以 a 的取值范围是 a 0 < a 1 ．
>
53．（2024 高一上· 2陕西西安·阶段练习）已知函数 y = 2x - a + 2 x + a,a R .
(1)当 a = -1时，求解关于 x 的不等式 y > 0；
(2) 2若方程 2x -
x x
a + 2 x + a = x +1 2 1有两个正实数根 x1, x2 ，求 +x x 的最小值.1 2
( , 1【答案】(1) - - ) U (1,+ )2 ；
(2)6
【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；
2 2x2
x x
（ ）根据方程 - a + 2 x + a = x +1有两个正实数根 x1, x
2 1
2 可得相应不等式组，进而表示出 +x ，采用1 x2
换元法结合基本不等式即可求得答案.
1
【详解】（1）当 a = -1时, 不等式 y > 0即为 2x2 - x -1 > 0 ，解得 x < - 或 x >1，2
1
故不等式解集为 (- ,- ) U (1,+ ) 2 ；
2
（2）方程 2x - a + 2 x + a = x +1有两个正实数根 x1, x2 ，
即 2x2 - (a + 3)x + a -1 = 0有两个正实数根 x1, x2 ，
ì
Δ = a + 3 2 -8 a -1 0
故 íx
a + 3
1 + x2 = > 0 ，解得 a >1；
2
x x a -1 1 2 = > 0 2
x x x2 2 2 2
所以 2 + 1 = 1
+ x2 (x1 + x= 2 ) - 2x1x2 a + 2a +13= ，
x1 x2 x1x2 x1x2 2(a -1)
令 t = a -1，则 t > 0，
x 22 x1 (t +1) + 2(t +1) +13+ = t 8 t 8故
x x 2t = + + 2 2 + 2 × = 6
，
1 2 2 t 2 t
t 8
当且仅当 = 即 t = 4, a = 5时取得等号，
2 t
x2 x
故 + 1x x 的最小值为 6.1 2
54 2 2．（2024 高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于 的不等式 k + 2k - 3 x + k + 3 x -1 > 0 k R 的解集为
M ．
(1)若M = ，求实数 k 的取值范围；
(2)若存在两个不相等的正实数 a b ，使得M = a,b ，求实数 k 的取值范围．
é 1
【答案】(1) ê-3,
ù
5ú
1
(2) ,15 ֏
【分析】（1）对二次项系数是否为零分类讨论，当系数为零时，直接写出不等式进行判断，当系数不为零
时，结合二次函数图象得到关于 k 的不等式组，解不等式组得到 k 的取值范围；
（2）根据一元二次不等式的解集得到对应的一元二次方程的根特点，根据根与系数的关系得到关于 k 的不
等式组，解不等式组得到 k 的取值范围.
【详解】（1）当 k 2 + 2k - 3 = 0时， k=1或 k = -3，
当 k=1时，不等式化为