3.1.1 函数的概念 9 题型分类
一、函数的概念
(1)函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按
函数的定义 照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么
就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域
函数值 与 x 的值相对应的 y 值
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合 B 的子集
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．
二、区间的概念
(1)设 a，b 是两个实数，而且 a①满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
②满足不等式 a③满足不等式 a≤xb].
这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.
实数集 R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋
∞”读作“正无穷大”．
满足 x≥a，x>a，x≤b，x∞，b]，(－∞，b).
(2)区间的几何表示
在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内
的端点．
区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
(3)含“∞”的区间的几何表示
区间 数轴表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法
则．
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．
三、同一个函数的判定
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，
那么这两个函数是同一个函数．
四、常见函数的值域
(1)一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为 R，值域是 R.
4ac－b2
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 R，当 a>0 时，值域为[ ，＋∞)，当4a
4ac－b2
a<0 时，值域为(－∞， 4a ].
（一）
函数关系的判断
1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件
(1)A，B 必须是非空数集．
(2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与其对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l.
(2)在定义域内平行移动直线 l.
(3)若直线 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则
不是函数，如图所示：
题型 1：函数关系的判断
1-1．（2024 高一·江苏·课后作业）已知集合 A = {0,1,2}，B = {-1,1,3}，下列对应关系中，从 A 到 B 的函数为
（ ）
A．f： x y = x B．f： x y = x2
C．f： x y = 2x D．f： x y = 2x -1
1-2．（2024 高一·江苏·课后作业）若函数 y = f x 的定义域为 x | -3 x 8, x 5 ，值域为
y | -1 y 2, y 0 ，则 y = f x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1-3．（2024 高一上·江苏扬州·期中）下列对应是集合A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A = B = R ， f : x y =1
B． A = Z，B = Q， f : x y
1
=
x
C． A = B = N* ， f : x y = x - 3
D． A = [0,+ )，B = R ， f : x y = x
1-4．（2024·山东·二模）如图所示， AB 是半圆O的直径，点 P 从点O出发，沿OA 弧 AB BO的路径运
动一周，设点 P 到点O的距离为 s，运动时间为 t，则下列图象能大致地刻画 s与 t之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
（二）
求函数的定义域
求函数定义域的常用方法
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式.
题型 2：求具体函数的定义域
2-1．（2024·北京朝阳·二模）函数 f (x) x -1= 2 的定义域为 .x +1
1
2-2 2．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = -x + x + 6 + 的定义域为 ．
x -1
1
2-3．（2024 高一上·全国·单元测试）已知函数 f x = x - 3 - 的定义域为（
7 x ）-
A． 3,7 B． 3,7 C． - ，3 D． 7,+
2-4．（2024 高一上·江苏无锡·期中）函数 f x 1= + x + 2 的定义域为 .
x -1
题型 3：求抽象函数的定义域
1
3-1．（2024 高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）若函数 f x 的定义域为 0,4 ，则函数 g x = f x + 2 +
x -1
的定义域为（ ）
A． 1,2 B． 1,4 C． 1,2 D． 1,4
f (x +1)
3-2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 y = f x 的定义域为 0,4 ，则函数 y = + (x - 2)0 的定义域
x -1
是（ ）
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
3-3．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f 3x +1 的定义域为 1,7 ，则函数 f x 的定义域是 .
3-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 y = f x 的定义域为[－2,2]，则函数 y = f 2x +1 的定义域为 .
3-5．（2024 高三·全国·专题练习）（1）已知函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为 ．
（2 2）已知函数 f x +1 的定义域为 3,8 ，则函数 f x 的定义域为 ．
3-6 2．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 f x 的定义域为( 0, 1)，则函数 f x 的定义域是 .
题型 4：已知函数定义域求参数
4-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = mx2 + 4mx + 3 中 x 的取值范围为 R，则m 的取值范围
是 ．
4-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = ax2 + 2ax +1的定义域为 R，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 1, +
3x
4-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数 y = 2 的定义域为R ，则实数 k 的取值范围为（ ）kx 2kx 1 + +
A． - ,0 1, + B． - ,0 U 1, + C． 0,1 D． 0,1
（三）
已知自变量的值求函数值
函数求值的方法
①求 f(a)：已知 f(x)时，只需用 a 替换 f(x)中的 x 即得 f(a)的值；
②求 f(g(a))：已知 f(x)与 g(x)，求 f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
注：函数求值的关注点用来替换 f(x)中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
题型 5：已知自变量的值求函数值
x + 3 1
5-1．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f x = ，则 f 2 + f ÷ =x 1 ．+ è 2
2
5-2．（2024 高一· · x全国 课后作业）已知 f x = ， x R2 ．1+ x
f a + f 1 （1）计算： ÷ = ；
è a
（2）计算： f 1 1 1 1+ f 2 + f + f 3 + f ÷ ÷ + f 4 + f
÷ = ．
è 2 è 3 è 4
é 1 ù
5-3．（2024 高一上·广东中山·阶段练习）设函数 f x = x -1 - x ，则 f ê f =（2 ÷ú ） è
1 1
A．- B．1 C． D． 0
2 2
5-4．（2024 高一·全国·课后作业）若 f (x) = x2 - 2x ，则 f f (1) ＝ ．
（四）
区间的应用
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q 等就
不能用区间表示.
题型 6：区间的应用
6-1．（2024 高三上·江苏南通·期末）已知全集U = x -2 < x < 3 ,集合 A = x -1< x 1 ,则 U A =（ ）
A． -1,1 B． -2, -1 1,3
C． -1,1 D． -2, -1 1,3
6-2．（2024 高一上·吉林松原·阶段练习）若实数 x 满足 x | 3 x < 7 ，则用区间表示为（ ）
A． 3,7 B． 3,7 C． 3,7 D． 3,7
6-3．（2024 高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示．
(1){x | x -1}；
(2) x | x < 0 ；
(3){x | -1< x <1}；
(4){x | 0 < x <1或 2 x 4}．
6-4．（2024 高一上·河北张家口·阶段练习）全集U = R ，集合 A = x R∣- 2 2x 1 ，集合
B = {x R | x <1}，则 U AI B =（ ）
A． - ,-1 1 1 ù ,+ B． -1,
è 2 ÷ è 2ú
, 1 1 1C． - - éê- , +
÷ D．2
-1, - ÷
è 2
（五）
同一个函数的判定
判断两个函数为同一个函数的条件：
(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中
只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简
解析式时，必须是等价变形．
题型 7：判断两个函数为同一个函数
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）下列各函数中，与函数 g(x) = x2 表示同一函数的是（ ）
A． f (x) =| x | B． f (x) = | x |
x2
C． f (x) = D． f (x) = x0 × | x |
| x |
7-2．（2024 高一·全国·课后作业）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
2
A． f x = x2 和 g x = x B． f x =1和 g x = x0
ì x, x 0, 2
C f x = x x -1． 和 g(x) = í D． f x = x +1x, x 0 和 g x- < = x -1
7-3．（2024 高一上·福建福州·期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
2
A． f x x= 与 g x = x0 B． f x = x -1 × x +1与 g x = x -1 x +1
x
C． y = -2x3 与 y = x -2x D． f x = x - 3 与 g x = x - 3 2
7-4．（2024 高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A． f x = x ， g x = x 2 B． f t = t ， g x = x2
C f x 2x3 g x = -2x D f x x
2 - 9
． = - ， ． = ， g x = x + 3
x - 3
（六）
求函数的值域
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域．
(2)常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于 f(x)＝ax＋b＋
cx＋d(其中 a，b，c，d 为常数，且 ac≠0)型的函数常用换元法．
④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
题型 8：求函数的值域
8-1．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）函数 y =1+ x - 1- 2x 的值域为（ ）
, 3 ù 3 é3 3A． -
ú B．2
- , ÷ C． ,+ ÷ D． ,+ ÷
è è 2 ê2 è 2
8-2．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域.
5x + 4
(1) f (x) = ；
x - 2
(2) f x = x2 - 2x - 3， x (-1,4] .
8-3．（2024 高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) f (x) = 3x；
(2) f (x) = -3x +1；
(3) f (x)
1
= - ；
x
(4) f (x)
1
= - +1；
x
(5) f (x) =1- x2 ；
(6) f (x) = x2 + 2x．
8-4．（2024 高一·全国·课后作业）试求下列函数的定义域与值域．
(1) y = x -1 2 +1， x {-1,0,1,2,3}；
(2) y = x -1 2 +1；
y 5x + 4(3) = ；
x -1
(4) y = x - x +1 .
8-5．（2024 高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数 y = -x + 2 1- x 的值域是 .
8-6．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域.
(1) f x = 2x + 4 1- x ;
(2) f x 5x + 4= ;
x - 2
(3) f x = x2 - 2x - 3， x -1,4
(4) y x
2 + x +1
=
x
题型 9：函数值域的应用
9-1．（2024 高一上·四川遂宁·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函
数为“同族函数”，例如函数 y = x2 , x 1,2 y = x2与函数 , x -2, -1 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数
解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A． y = x B． y = x - 3 C． y
1
= D． y = x +1x
9-2．（2024 高三上·上海·阶段练习）已知函数 y = f x 的值域为 -2,2 ，则函数 y = f 2x +1 的值域
为 .
9-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f (x) = x2 - 2x, x [0,b]，且该函数的值域为[-1,3]，则b 的值
为 .
9-4．（2024 高一上·广东佛山·期中）已知函数 f x = 6 - 2x 的值域为 -4,10 ，则函数 f x 的定义域为 .
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）周长为定值 a 的矩形，它的面积 S 是这个矩形的一边长 x 的函数，则这个函
数的定义域是（ ）
A． a, a+ , + aB． ÷ C． ,a
÷ D． 0,
a
2 ÷è è 2 è 2
2．（2024 高一·全国·课后作业）下表给出了 x 与 f (x) 和 g(x)的对应关系，根据表格可知 f [g(1)]的值为
（ ）
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f (x) 3 1 4 2 g(x) 4 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长 y cm 是腰长 x cm 的函数，则函数
的定义域为( )
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
4．（2024 高一·全国·课后作业）已知高斯取整函数 f (x) = [x]，则 f (-1.35) + f (4.65)的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
x -1
5．（2024 高一·全国·课后作业）函数 f (x) = 的定义域是（
x ）+1
A．{x R∣x -1} B．{x R∣x 1}
C．{x R∣x 1} D．{x R∣x -1或 x 1}
6．（2024 高二·重庆·学业考试）已知函数 f (x) = x3 - 2x + 3，那么 f (2) 的值（ ）
A．3 B．5 C．7
7．（2024 高一上·广东广州·期末）若集合 A = x -1< x < 3 ，B = x x > 0 ，则 AI B =（ ）
A． -1,3 B． -1, + C． 0,3 D． 2, +
8．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数 f (x) = -x2 - 2x + 4, x [-2,3]，则 f (x) 的值域为（ ）
A．[-11,4] B．[-11,5] C．[4,5] D．[-4,5]
f x +1
9．（2024
高一上·重庆渝中·期末）若函数 f (x) 的定义域是[-3,2]，则函数 g x = 的定义域是（ ）
x -1
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）
10．（2024 高三·全国·专题练习）下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A = N, B = N, f : x y = x –1 2 B． A = N, B = N, f : x y = x
1
C． A = N, B = Q, f : x y = D． A = R, B = y | y > 0 , f : x y = x
x –1
f (x)
11．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数 f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数 g(x) = 的
3x -1
定义域为（ ）
1 1
A．（ ，4） B．[ ，4）
3 3
1 1
C．（ ，6） D．（ ，2）
3 3
12．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的值域是[1,7]，则 x 的取值范围是（ ）
A． (0,4] B．[1, 4] C．[1, 2] D． (0,1]U [2,4]
2
13．（2024 高一·全国·单元测试）若函数 f (x) = 的定义域是 ( ,1) U [2,5)，则其值域为（ ）.
x -1
A． (- ,0) B． (- , 2]
é0, 1C ù
1 ù
． ê 2ú D．
(- ,0)
, 2
è 2 ú
1 é1
14．（2024 高三上·福建厦门·阶段练习）若函数 y = 的值域是 (- ,0) ê ,+ ÷，则此函数的定义域为x -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
15．（2024 高一上·广东·期末）已知集合 A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，则 AI B =（ ）
A． 0,1 B． 0,4 C． 3,4 D． 1,3
16．（2024 高一上·广东清远·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f x = x与 g x = x
B． f x = (x + 2)2 与 g x = ( x + 2)2
C． f x g x x= x 与 =
x
D． f x = x与 g x = 3 x3
17．（2024· *广东广州·模拟预测）欧拉函数j n n N 的函数值等于所有不超过正整数 n ，且与 n 互素的正
m
整数的个数，例如，j 1 =1，j 4 = 2．若m N*，且 j 2i =13，则j m =（ ）
i=1
A．3 B． 4 C．5 D．6
18．（2024 高一上·广东梅州·阶段练习）设 x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y = x 称为高斯函
数．例如： p = 3， -5,1 = -6，已知函数 f x 2x= 2 ，则函数 y = é f x ù 的值域为（ ）x +1
A． -1,1 B． -1,0 C． 1,0 D． -1,0,1
x +1
19．（2024 高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 f x = 2 0 x 8 的值域为x + 2x +10
é1 1 ù é 1
A． ê , ú B． 6,8 C． ê ,
1 ù
ú D． 6,10 8 6 10 6
é 25 ù
20．（2024 高三·广东·阶段练习）若函数 y = x2 - 3x - 4 的定义域为[0, m]，值域为 ê- ,-4ú ，则实数m 的取 4
值范围是（ ）
é 3 ù é 3
(0,3] , 4 ,3
ù é3
A． B． ê ú C． ê ú D． ê ,+
÷
2 2 2
21．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数 f (x) = 3+ 2x - x2 的值域为（ ）
A．[0, 4] B． (- , 2] C．[2,+ ) D．[0,2]
2 + x
22．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = 的值域是（ ）
4 - 3x
1 1
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞）
2 2
1 1 1 1
C．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞，- ）∪（- ，+∞）
3 3 3 3
二、多选题
23．（2024 高一上·福建龙岩·阶段练习）下列对应中是函数的是（ ）．
A． x y ，其中 y = 2x +1， x 1,2,3,4 ， y {x | x <10, x N}
B． x y ，其中 y2 = x ， x 0, + ， y R
C． x y ，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x R ， y Z
D． x y ，其中 y = x -1， x N*， y N*
24．（2024 高三·全国·专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024 高一上·吉林通化·阶段练习）中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将
“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函
数”．1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合 M＝{ - 1，1，2，4}，N＝{1，2，
4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 M 到 N 的函数的是（ ）
A． y = 2x B． y=x+2 C． y =| x | D． y = x2
26．（2024 高一上·辽宁铁岭·阶段练习）若函数 f x 定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f (y) ，
f (0) 0, f (1) =1，则下列结果正确的是（ ）
A． f (2) = -2 B． f (3) = -2 C． f 4 =1 D． f 5 =1
27．（2024 高一上·湖南岳阳·阶段练习）若函数 f (x) = x2 - 4x +1在定义域A 上的值域为[-3,1] ，则区间A 可
能为（ ）
A．[-1,4] B．[0,3] C．[1，4] D．[1,3]
28．（2024 高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下面各组函数表示同一函数的是（ ）
2
A． f x = x2 ， g x = x B． f x =1 0（ x 0）， g x = x
3 2
C． f x = 3 x3 ， g x = 3 x D． f x = x +1， g x x -1= x -1
29．（2024 高一上·湖南郴州·阶段练习）已知函数 y = x2 - 2x + 3的值域是[2,11]，则其定义域可能是（ ）
A．[0, 4] B．[-1,1] C．[2,3] D．[-1,4]
30．（2024·江苏南通·模拟预测）对于定义域为 0, + 的函数 y = f x ，若同时满足下列条件：
① "x 0,+ ， f x 0；② ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y ，则称函数 f x 为“ H 函数”.下列结
论正确的是（ ）
A．若 f x 为“ H 函数”，则其图象恒过定点 0,0
ì1, x Q
B．函数 f (x) = í 在 0, + 上是“ H 函数”
0, x Q
C．函数 f x = x 在 0, + 上是“ H 函数”（ x 表示不大于 x 的最大整数）
D．若 f x 为“ H 函数”，则 f x 一定是 0, + 上的增函数
三、填空题
1 1
31 2．（2024 高一上·安徽滁州·期末）设二次函数 f x = mx + 2x + n （m ，n R ）的值域是 0, + ，则 +
m n
的最小值是 ．
32．（2024 高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为 40m 的锐角三角形空地，现规划
在空地内种植一边长为 x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于336m2 ，则 x 的取值范
围为 .
33．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 4 - x2 ，g x = 2x +1，则函数 y = f é g x ù 的定义域为 .
34．（2024 高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 f (x) = x + x -1的值域为 ．
35．（2024 高一上·陕西西安·期末）已知函数 f 2x 1 2的定义域为[ , 2]，则函数 f x 的定义域为 .
2
36 1．（2024·上海普陀·二模）函数 y = 3- 的定义域为 ．
x
x 1
37．（2024 高三·全国·专题练习）求函数 y = + 20 - x 0 x 20 的值域为 .
8 2
2
38．（2024 高一上·浙江杭州·期中）函数 f x x - x +1= 2 的值域是 .x - x + 2
y 2x +139．（2024 高一·上海·专题练习）求函数 = 2 的值域 ．x - 2x + 2
四、解答题
2x +1
40．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域 f x =
x - 3
5x + 4
41．（2024 高三·全国·专题练习）求函数 f x = 的值域.
x - 2
42．（2024 高一·全国·专题练习）求函数 y = x + 2 2 - x 的值域.
2
43．（2024 高一·上海·专题练习）已知函数 f (x) 2x + ax + b= 2 的值域为[1，3]，求 a,b的值x +1
44．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数 f (x)
1
= 4 - x +
x 3 的定义域为 A，集合+
B={ x 1- a(1)当 a=2时，求 A （ RB）；
(2)若B A，求 a 的取值范围.
45．（2024·江西九江·模拟预测）若 ( )的定义域为 -4, 4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定义域．
46．（2024 高一上·甘肃武威·期中）求下列函数的值域： y = x - 1- 2x .
47．（2024 高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函
数 f x = ax2 + bx + a +1 x | ax2的定义域为 + bx + a +1 0且 ≥ 0}.
（Ⅰ）若 a = -2 ，b = 3，求 f x 的定义域；
（Ⅱ）当 a =1时，若 f x 为“同域函数”，求实数b 的值；
（Ⅲ）若存在实数 a < 0且 a -1，使得 f x 为“同域函数”，求实数b 的取值范围.
48．（2024 高一下·湖北荆州·阶段练习）已知定义域为R 的函数 f x , f 0 0，对于任意的 , ∈ R恒有
f x + y + f x - y = 2 f x f y .
(1)若 f 1 1= ，求 f 6 的值；
2
(2)若 f 2x = f 2 x ，求 f x 的值.
2
49．（2024 高一· x全国·课后作业）已知函数 f x = ．
1+ x2
1
(1)求 f 2 + f ÷， f 3 + f
1
÷ 的值；
è 2 è 3
f x f 1+ (2)求证： ÷ 的定值；
è x
2 f 1 1+ f 2 + f + f 3 + f 1 1 (3)求 ÷ ÷ +L+ f 2021 + f ÷ + f 2022 + f
1
÷的值．
è 2 è 3 è 2021 è 2022
2
50 x + x +1．（2024 高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数 y = 的值域；
x
（2）求函数 y = x + 2 2 - x 的值域.3.1.1 函数的概念 9 题型分类
一、函数的概念
(1)函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按
函数的定义 照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么
就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域
函数值 与 x 的值相对应的 y 值
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合 B 的子集
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．
二、区间的概念
(1)设 a，b 是两个实数，而且 a①满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
②满足不等式 a③满足不等式 a≤xb].
这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.
实数集 R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋
∞”读作“正无穷大”．
满足 x≥a，x>a，x≤b，x∞，b]，(－∞，b).
(2)区间的几何表示
在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内
的端点．
区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
(3)含“∞”的区间的几何表示
区间 数轴表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法
则．
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．
三、同一个函数的判定
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，
那么这两个函数是同一个函数．
四、常见函数的值域
(1)一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为 R，值域是 R.
4ac－b2
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 R，当 a>0 时，值域为[ ，＋∞)，当4a
4ac－b2
a<0 时，值域为(－∞， 4a ].
（一）
函数关系的判断
1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件
(1)A，B 必须是非空数集．
(2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与其对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l.
(2)在定义域内平行移动直线 l.
(3)若直线 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则
不是函数，如图所示：
题型 1：函数关系的判断
1-1．（2024 高一·江苏·课后作业）已知集合 A = {0,1,2}，B = {-1,1,3}，下列对应关系中，从 A 到 B 的函数为
（ ）
A．f： x y = x B．f： x y = x2
C．f： x y = 2x D．f： x y = 2x -1
【答案】D
【分析】根据函数的定义分别进行判断即可.
【详解】解：对 A：当 x = 0,1,2时，对应的 y = x 为 0,1,2，所以选项 A 不能构成函数；
对 B：当 x = 0,1,2时，对应的 y = x2为 0,1,4，所以选项 B 不能构成函数；
对 C：当 x = 0,1,2时，对应的 y = 2x为 0,2,4，所以选项 C 不能构成函数；
对 D：当 x = 0,1,2时，对应的 y = 2x -1为-1,1,3，所以选项 D 能构成函数；
故选：D.
1-2．（2024 高一·江苏·课后作业）若函数 y = f x 的定义域为 x | -3 x 8, x 5 ，值域为
y | -1 y 2, y 0 ，则 y = f x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.
【详解】选项 A 中，当 x = 8时， y = 0 ，不符合题意，排除 A；选项 C 中，存在一个 x 对应多个 y 值，不是
函数的图象，排除 C；选项 D 中，x 取不到 0，不符合题意，排除 D.
故选：B.
1-3．（2024 高一上·江苏扬州·期中）下列对应是集合A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A = B = R ， f : x y =1
1
B． A = Z，B = Q， f : x y =
x
C． A = B = N* ， f : x y = x - 3
D． A = [0,+ )，B = R ， f : x y = x
【答案】A
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【详解】对于 A 选项，满足函数的定义，A 选项正确；
对于 B 选项，集合 A 中取 x = 0，在集合 B 中没有对应元素，故 B 选项错误；
对于 C 选项，集合 A 中取 x = 3，在集合 B 中没有对应元素，故 C 选项错误；
对于 D 选项，集合 A 中当 x > 0时，在集合 B 中都有两个元素与 x 对应，不满足函数的定义，故 D 选项错
误.
故选：A．
1-4．（2024·山东·二模）如图所示， AB 是半圆O的直径，点 P 从点O出发，沿OA 弧 AB BO的路径运
动一周，设点 P 到点O的距离为 s，运动时间为 t，则下列图象能大致地刻画 s与 t之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】点 P 在OA段运动时和点 P 在BO上运动时， s， t之间是线性关系，点 P 在弧 AB 上运动时，
s OP 1= = AB（定值），即可结合选项求解.
2
【详解】当点 P 在OA段运动时， s随 t的增大而匀速增大，
1
点 P 在弧 AB 上运动时， s = OP = AB（定值），
2
点 P 在BO上运动时， s随着 t的增大而减小．
故选：C．
（二）
求函数的定义域
求函数定义域的常用方法
(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式.
题型 2：求具体函数的定义域
2-1．（2024·北京朝阳·二模）函数 f (x) x -1= 2 的定义域为 .x +1
【答案】 x x 1
【分析】解不等式 x -1 0即可得函数的定义域.
x -1
【详解】令 2 0，可得 x -1 0，解得 x 1.x +1
f (x) x -1故函数 = 2 的定义域为 x x 1 .x +1
故答案为: x x 1 .
1
2-2．（2024 2高三·全国·专题练习）函数 y = -x + x + 6 + 的定义域为 ．
x -1
【答案】 -2,1 U 1,3
【分析】根据二次根式与分式的意义求定义域即可.
2 1 ì-x
2 + x + 6 0
【详解】由 y = -x + x + 6 + ，得 í x -2,1 1,3 ，x -1 x -1 0
故函数的定义域为： x -2,1 1,3 ．
故答案为： -2,1 U 1,3
1
2-3．（2024 高一上·全国·单元测试）已知函数 f x = x - 3 - 的定义域为（ ）
7 - x
A． 3,7 B． 3,7 C． - ，3 D． 7,+
【答案】B
【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.
ìx - 3 0
【详解】由题意得 í ，解得3 x < 7 ，故定义域为 3,7 .
7 - x > 0
故选：B
1
2-4．（2024 高一上·江苏无锡·期中）函数 f x = + x + 2 的定义域为 .
x -1
【答案】 -2,1 1, +
ìx -1 0
【分析】由 í .
x 2 0
即可求出
+
ìx -1 0
【详解】由 í ，解得 x -2x 2 0 且
x 1，
+
所以 f x 的定义域为 -2,1 1, + .
故答案为： -2,1 1, + .
题型 3：求抽象函数的定义域
1
3-1．（2024 高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）若函数 f x 的定义域为 0,4 ，则函数 g x = f x + 2 +
x -1
的定义域为（ ）
A． 1,2 B． 1,4 C． 1,2 D． 1,4
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于 x 的不等式组，由此可解得函数 g x 的定义域.
【详解】解：因为函数 f x 的定义域为 0,4 ，
g x f x 2 1 ì0 x + 2 4对于函数 = + + ，则 íx 1 0 ，解得1< x 2，x -1 - >
即函数 g x 1= f x + 2 + 的定义域为 1,2 .
x -1
故选：C
f (x +1)
3-2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 y = f x 的定义域为 0,4 ，则函数 y = + (x - 2)0 的定义域
x -1
是（ ）
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【详解】因为函数 y = f x 的定义域为 f (x +1)0,4 0，又函数 y = + (x - 2) 有意义，
x -1
ì0 x +1 4
则有 íx -1 > 0 ，解得1< x < 2或 2 < x 3，
x - 2 0
y f (x +1)所以函数 = + (x - 2)0 的定义域是 1,2 2,3 .
x -1
故选：C
3-3．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f 3x +1 的定义域为 1,7 ，则函数 f x 的定义域是 .
【答案】 4,22
【分析】由 f 3x +1 的定义域确定3x +1的取值范围，即可确定函数 f x 的定义域.
【详解】函数 f 3x +1 的定义域为 1,7 ，即1 x 7，得3x +1 4,22 ，
所以函数 f x 的定义域为 4,22 ，
故答案为： 4,22
3-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 y = f x 的定义域为[－2,2]，则函数 y = f 2x +1 的定义域为 .
3 1
【答案】 - , 2 2
【分析】抽象函数定义域问题，同一个对应法则下，括号内的式子取值范围相同，即可求解.
3 1
【详解】令-2 2x +1 2，得-3 2x 1，从而- x ，
2 2
所以函数 y = f (2x
3 1
+1) 的定义域为 - , 2 2
.
3 , 1- 故答案为： 2 2
3-5．（2024 高三·全国·专题练习）（1）已知函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为 ．
（2）已知函数 f x +1 的定义域为 3,8 ，则函数 f x2 的定义域为 ．
【答案】 3,5 -3, -2 U 2,3
【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中.
【详解】（1）令u = x + 2，则 f x + 2 = f u ，
因为函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，所以u = x + 2 3,5 ，
所以函数 f x 的定义域为 3,5 ．
（2）令u = x +1，v = x2，则 f x +1 = f u 2， f x = f v ．
因为函数 f x +1 的定义域为 3,8 ，所以u = x +1 4,9 ，
所以函数 f x 的定义域为 4,9 ，
所以 v = x2 4,9 ，所以 x -3, -2 2,3 ，
所以函数 f x2 的定义域为 -3, -2 U 2,3 ．
故答案为： 3,5 ； -3, -2 U 2,3
3-6．（2024 2高三·全国·对口高考）已知函数 f x 的定义域为( 0, 1)，则函数 f x 的定义域是 .
【答案】 (-1,0) U (0,1)
【分析】根据抽象函数定义的求法，得到0 < x2 <1，即可求得函数 f x2 的定义域.
【详解】因为函数 f x 的定义域为( 0, 1)，所以0 < x2 <1，即-1 < x <1且 x 0，
所以函数 f x2 的定义域为 (-1,0) U (0,1) .
故答案为： (-1,0) U (0,1) .
题型 4：已知函数定义域求参数
4-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = mx2 + 4mx + 3 中 x 的取值范围为 R，则m 的取值范围
是 ．
0, 3 【答案】 4
【分析】把函数 y = mx2 + 4mx + 3 中的 x 的取值范围为 R，转化为mx2 + 4mx + 3≥0对任意实数 x 恒成立．然
后对m 分类讨论得答案．
【详解】由已知mx2 + 4mx + 3≥0恒成立，
当m = 0时符合题意，
当m 0 时，D =16m2 -12m≤0，
0 m 3< ，
4
综上所述m
3
0, 4
，
3
故答案为： 0, 4
．
4-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = ax2 + 2ax +1的定义域为 R，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 1, +
【答案】B
【分析】转化为不等式 ax2 + 2ax +1≥0对任意的 x R 恒成立，分 a = 0与 a 0两种情况，结合根的判别式
得到不等式，求出答案.
【详解】由题意，不等式 ax2 + 2ax +1≥0对任意的 x R 恒成立．
当 a = 0时，1 0恒成立，即 a = 0符合题意．
ìa > 0
当 a 0时，则 íΔ 4a2 4a 0，解得
0 < a 1．
= -
综上， a的取值范围是 0,1 ．
故选：B
3x
4-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数 y = 2 的定义域为R ，则实数 k 的取值范围为（ ）kx + 2kx +1
A． - ,0 1, + B． - ,0 U 1, + C． 0,1 D． 0,1
【答案】D
【分析】 k = 0时直接代入； k 0时利用Δ < 0 可得答案．
3x
【详解】因为函数 y = 的定义域为R ，
kx2 + 2kx +1
所以关于 x 的方程 kx2 + 2kx +1 = 0 无实数解，
当 k = 0时，1 = 0 显然无解，符合题意；
当 k 0时，则Δ = 4k 2 - 4k < 0，解得0 < k <1．
综上可得0 k <1．
故选：D．
（三）
已知自变量的值求函数值
函数求值的方法
①求 f(a)：已知 f(x)时，只需用 a 替换 f(x)中的 x 即得 f(a)的值；
②求 f(g(a))：已知 f(x)与 g(x)，求 f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
注：函数求值的关注点用来替换 f(x)中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
题型 5：已知自变量的值求函数值
x + 3 1
5-1．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f x = ，则 f 2 + fx +1 ÷ = ．è 2
【答案】4
f x x + 3 f x 1+ f 【分析】根据 = ,x 1 计算 ÷ 的值即可求解.+ è x
1
f x f 1 x + 3
+ 3
x x + 3 3x +1 4x + 4
【详解】因为 + ÷ = +x x 1 1
= + = = 4
x 1 x ,è + +1 + +1 x +1
x
所以 f 2 + f 1 ÷ = 4 ,
è 2
故答案为：4.
2
5-2．（2024 x高一·全国·课后作业）已知 f x = ， x R ．
1+ x2
（1）计算： f a + f 1 ÷ = ；
è a
f 1 f 2 f 1 1 （2）计算： + + ÷ + f 3 + f ÷ + f 4 + f
1
÷ = ．
è 2 è 3 è 4
7
【答案】 1 /3.5
2
1
【分析】根据函数解析式计算（1） f a + f ÷，由（1）的结论及解析式计算（2）即可.
è a
2
1
1 f a a
2 1 a ÷ 1
【详解】（ ） = ， f è ÷ = 2 =1+ a2
，
è a 1+ a21+ 1 ÷
è a
所以 f a 1+ f ÷ =1．
è a
（2）由（1）知 f a + f 1 ÷ =1，
è a
1 1 1
从而 f 2 + f ÷ = f 3 + f
÷ = f 4 + f
=1，
è 2 è 3 ÷ è 4
f 2 f 1 f 3 f 1 f 4 f 1 故 + ÷ + +
2 3 ÷
+ + ÷
è è
= 3，
è 4
12f 1 1
1
而 = = ，所以 f 1 + f 2 + f ÷ + f 3 f
1+ + f 4 + f 1 7= ．
1+12 2 è 2 3 ÷ ÷ è è 4 2
7
故答案为：1； .
2
1
5-3．（2024 高一上·广东中山·阶段练习）设函数 f x = x -1 - x ，则 f f 2 ÷ =（ ） è
1 1
A．- B．1 C． D． 0
2 2
【答案】B
【分析】将 x=
1
和 x=0依次代入解析式即可得到结果.
2
【详解】Q f
1 1 1 1
÷ = -1 - = 0，\ f f ÷ = f 0 = 0 -1 - 0 =1.è 2 2 2 è 2
故选：B.
5-4．（2024 高一·全国·课后作业）若 f (x) = x2 - 2x ，则 f f (1) ＝ ．
【答案】3
【分析】根据 f (x) = x2 - 2x ，先求 f (1)，再求 f f (1) .
【详解】解：因为 f (x) = x2 - 2x ，
所以 f (1) =12 - 2 1 = -1，
所以 f f (1) = f -1 = -1 2 - 2 -1 = 3，
故答案为：3
（四）
区间的应用
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q 等就
不能用区间表示.
题型 6：区间的应用
6-1．（2024 高三上·江苏南通·期末）已知全集U = x -2 < x < 3 ,集合 A = x -1< x 1 ,则 U A =（ ）
A． -1,1 B． -2, -1 1,3
C． -1,1 D． -2, -1 1,3
【答案】B
【分析】根据集合补集的运算性质,求出即可.
【详解】解:由题知 A = x -1< x 1 ,
U = x -2 < x < 3 ,
故 U A = {x -2 < x -1或1< x < 3} .
故选:B
6-2．（2024 高一上·吉林松原·阶段练习）若实数 x 满足 x | 3 x < 7 ，则用区间表示为（ ）
A． 3,7 B． 3,7 C． 3,7 D． 3,7
【答案】D
【分析】根据区间的概念选出正确选项.
【详解】由3 x < 7 可知 x 可以等于3，不能等于7 ，所以是半开半闭区间，D 选项符合.
故选 D.
【点睛】本小题主要考查用区间表示集合，属于基础题.
6-3．（2024 高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示．
(1){x | x -1}；
(2) x | x < 0 ；
(3){x | -1< x <1}；
(4){x | 0 < x <1或 2 x 4}．
【答案】(1)[-1, + )
(2) (- , 0)
(3) (-1,1)
(4) 0,1 U 2,4
【分析】由区间的概念求解即可.
【详解】（1）{x | x -1} = [-1,+ ) .
（2） x | x < 0 = (- ,0) .
（3）{x | -1< x <1} = (-1,1) .
（4）{x | 0 < x <1或 2 x 4} = 0,1 U 2,4 .
6-4．（2024 高一上·河北张家口·阶段练习）全集U = R ，集合 A = x R∣- 2 2x 1 ，集合
B = {x R | x <1}，则 U AI B =（ ）
1 1
A． - ,-1 ,+ B． -1,
è 2 ÷ è 2
C． - ,-1 1 - , +
÷ D． -1,
1
-
2 2 ÷ è
【答案】A
【分析】求出集合 A, B，继而求得 A B ，即可求得 U A B ，即得答案.
1 1
【详解】由 A 中不等式-2 2x 1变形得：-1 x ，即 A = [-1, ]，
2 2
由 B 中不等式 x <1解得：-1 < x <1，即B = (-1,1) ，
AI B ( 1, 1\ = - ]，
2
1
又全集U = R ，则 U AI B = - , -1 U , + ÷ ,
è 2
故选：A .
（五）
同一个函数的判定
判断两个函数为同一个函数的条件：
(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中
只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简
解析式时，必须是等价变形．
题型 7：判断两个函数为同一个函数
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）下列各函数中，与函数 g(x) = x2 表示同一函数的是（ ）
A． f (x) =| x | B． f (x) = | x |
x2
C． f (x) = D． f (x) = x0 × | x |
| x |
【答案】A
【分析】根据函数的定义域以及解析式结合选项逐一判断.
【详解】 g(x) = x2 = x ，故 g x 的定义域为R ,
对于 A， f x 的定义域为R ，且解析式与 g x 相同，故为同一个函数，
对于 B, f x g x ，故不是同一个函数，
对于 C, f x 的定义域为 x x 0 ，而 g x 对定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，
对于 D, f x 的定义域为 x x 0 ，而 g x 对定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，
故选:A
7-2．（2024 高一·全国·课后作业）下列各组函数表示相同函数的是（ ）
2
A． f x = x2 和 g x = x B． f x =1和 g x = x0
x, x 0, 2
C． f x = x 和 g(x) ì= í D． f x = x +1 x -1x, x 0 和 g- < x = x -1
【答案】C
【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.
【详解】对于 A 中，函数 f (x) = x2 的定义域为R ，函数 g (x) = ( x )2 的定义域为[0,+ )，两个函数的定义
域不同，所以表示不同的函数；
对于 B 中，函数 f (x) = 1的定义域为R ，函数 g(x) = x0 的定义域为 (- ,0) U (0,+ )，两个函数的定义域不同，
所以表示不同的函数；
ìx, x 0 ìx, x 0
对于 C 中，函数 f (x) = x = í g(x) =x, x 0与 í x, x 0的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数； - < - <
2
D f (x) = x +1 R g(x) x -1对于 中，函数 的定义域为 ，函数 = 的定义域为{x | x 1}，两个函数的定义域不同，
x -1
所以表示不同的函数.
故选：C
7-3．（2024 高一上·福建福州·期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A f x x
2
． = 与 g x = x0 B． f x = x -1 × x +1与 g x = x -1 x +1
x
C． y = -2x3 与 y = x -2x D． f x = x - 3 与 g x = x - 3 2
【答案】D
【分析】根据相同函数的概念判定即可.
2 x 1, x > 0
【详解】对于 A 项， f x x ì= = = í ，显然与 g x = x0 =1对应关系不同，但定义域相同均为x x -1, x < 0
x 0，故 A 错误；
ìx -1 0
对于 B 项，由题意得 í f x x 1 0，即 的定义域为 x 1， x -1 x +1 0，即 g x 的定义域为 x 1和 +
x -1，两函数定义域不同，故 B 错误；
对于 C 项， x 0, y = -2x3 = -x × -2x x × -2x ，即两函数对应关系不同，故 C 错误；
对于 D 项， g x = x - 3 2 = x - 3 = f x ，两函数定义域与对应关系均相同，故 D 正确.
故选：D
7-4．（2024 高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
2
A． f x = x ， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2
C． f x = -2x3 ， g x = -2x D f x x - 9． = ， g x = x + 3
x - 3
【答案】B
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于 A，函数 f x 的定义域为 R，函数 g x 的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函
数；
对于 B，因为 g x = x2 = x ，且 f (t) ， g x 的定义域均为 R，所以这两个函数是同一个函数；
对于 C， f x = -2x3 = -x -2x ， f x 和 g x 的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于 D，函数 f x 的定义域为{ x x R ，且 x 3 }，函数 g x 的定义域为 R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
（六）
求函数的值域
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域．
(2)常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于 f(x)＝ax＋b＋
cx＋d(其中 a，b，c，d 为常数，且 ac≠0)型的函数常用换元法．
④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
题型 8：求函数的值域
8-1．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）函数 y =1+ x - 1- 2x 的值域为（ ）
- , 3 , 3 3- ,+ 3 A． 2
B． 2 ÷
C． D2 ÷ ．
,+
2 ÷è è è
【答案】A
1
【分析】换元设 1- 2x = t ，可得 y = - t +1 2 + 2，再结合 t 0与二次函数的范围求解即可.2
2 2
【详解】设 1- 2x = t ，则 t 0, x
1- t y 1 1- t t 1 t 2 1 = ，所以 = + - = - - 2t + 3 = - t +1 2 + 2，因为 t 0，2 2 2 2
3 3y 所以 ，所以函数 y =1+ x - 1- 2x 的值域为 - ,2 è 2
.
故选：A．
8-2．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域.
f (x) 5x + 4(1) = ；
x - 2
(2) f x = x2 - 2x - 3， x (-1,4] .
【答案】(1) (- ,5) U (5,+ )
(2)[-4,5]
【分析】（1）利用分离常数的方法确定 f (x) 的值域；
（2）判断出 f (x) 在 x (-1,4]上的单调性，从而求出值域.
【详解】（1）函数的定义域为 (- ,2) (2,+ )
Q f (x) 5x + 4 5(x - 2) +14 14= = = 5 + 5，\ f (x)的值域为 (- ,5) U (5,+ ) .
x - 2 x - 2 x - 2
2
（2） f x = x - 2x - 3 = (x -1)2 - 4 ,则 f (x) 的对称轴是 x =1，在 (-1,1)上单调递减，在 (1, 4]单调递增，
故 f (x)min = f (1) = -4 ； f (x)max = f (4) = 5，\ f (x)的值域为[-4,5] .
8-3．（2024 高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
(1) f (x) = 3x；
(2) f (x) = -3x +1；
1
(3) f (x) = - ；
x
(4) f (x)
1
= - +1；
x
(5) f (x) =1- x2 ；
(6) f (x) = x2 + 2x．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【分析】（1）（2）根据一次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象；
（3）（4）由分母不等于0 可得定义域，列表、描点、连线可得图象，根据单调性可得值域；
（5）（6）根据二次函数的性质可得定义域和值域，列表、描点、连线可得图象.
【详解】（1） f (x) = 3x定义域为R ，值域为R ，
列表如下：
x -1 0 1 2
f x -3 0 3 6
作出图象如图：
（2） f (x) = -3x +1的定义域为R ，值域为R ，
列表如下：
x -1 0 1 2
f x 4 1 -2 -5
作出图象如图：
.
1
（3） f (x) = - 的定义域为 x | x 0 ，
x
列表如下：
1 1
x -2 -1 - 2 2 1 2
f x 1 1
2 1 2 -2 -1
-
2
作出图象如图：
由图知：值域为 y | y 0 .
（4） f (x)
1
= - +1的定义域为 x | x 0 ，
x
列表如下：
1 1
x -4 -3 -2 -1 - 2 2 1 2
3 4
f x 5 4 3 13 0 2 3
4 3 2 2 -1 2 3 4
作出图象如图：
由图知：值域为 y | y 1 ；
（5） f (x) =1- x2 的定义域为R ，开口向下的抛物线，最大值为1，所以值域为 - ,1 ，
列表如下：
x -2 -1 0 1 2
f x -3 0 1 0 -3
作出图象如图：
（6） f (x) = x2 + 2x的定义域为R ，对称轴为 x=-1，开口向上，
f (x)min = f -1 =1- 2 = -1，所以值域为 -1, + ；
列表如下：
x -3 -2 -1 0 1
f x 3 0 -1 0 3
作出图象如图：
8-4．（2024 高一·全国·课后作业）试求下列函数的定义域与值域．
(1) y = x -1 2 +1， x {-1,0,1,2,3}；
(2) y = x -1 2 +1；
y 5x + 4(3) = ；
x -1
(4) y = x - x +1 .
【答案】(1)定义域为{-1,0,1,2,3}，值域为{1,2,5}
(2)定义域为R ，值域为 1, +
(3)定义域是 x | x 1 ，值域为 - ,5 U 5, +
(4)定义域是 x | x 5 -1 ，值域是 - , +
÷ .
4
【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域；
（2）变换 f x = x -1 2 +1 1，得到答案；
（3）确定定义域，变换 f x 5 9= + ，得到值域；
x -1
2
（4 1 5）设 t = x +1， y = t 2 -1- t = t - ÷ - ，计算得到定义域和值域.
è 2 4
【详解】（1）因为 y = x -1 2 +1的定义域为 -1,0,1,2,3 ，则 f -1 = -1-1 2 +1 = 5，
同理可得 f 0 = 2 ， f 1 =1， f 2 = 2， (3) = 5，所以函数的值域为 1,2,5 .
（2）函数的定义域为 R，因为 f x = x -1 2 +1 1，所以函数的值域为 1, + .
（3）函数的定义域为 x | x 1 ，因为 f x 5x + 4 5x - 5 + 9 9= = = 5 + ，
x -1 x -1 x -1
所以函数的值域为 - ,5 U 5, + .
（4）要使函数有意义，需满足 x +1 0，即 x -1，故函数的定义域是 x | x -1 .
2
设 t = x +1，则 x = t 2 -1 t 0 1 5，于是 y = t 2 -1- t = t -
÷ - ，
è 2 4
t 0 y 5
5
又 ，所以 -
，所以函数的值域为 - , + .
4 4 ÷
8-5．（2024 高一上·湖北襄阳·阶段练习）函数 y = -x + 2 1- x 的值域是 .
【答案】[-1,+ )
【分析】令 1- x = t ， t 0，换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案.
【详解】设 1- x = t 则 x =1- t 2 , t 0
所以 y = -x + 2 1- x = t 2 -1+ 2t = (t +1)2 - 2 t 0
因为函数 y = (t +1)2 - 2在 0, + 上单调递增，
当 t = 0， y = -1，
所以函数 y = -x + 2 1- x 的值域为[-1,+ )
故答案为：[-1,+ ) .
8-6．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域.
(1) f x = 2x + 4 1- x ;
f x 5x + 4(2) = ;
x - 2
(3) f x = x2 - 2x - 3， x -1,4
x2(4) y + x +1=
x
【答案】(1) - , 4
(2) - ,5 U 5, +
(3) -4,5
(4) - , -1 U 3, +
【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解；
（2）用分离常数法求解；
（3）根据二次函数的性质求解；
（4）利用基本不等式求解．
2
【详解】（1）设 t = 1- x t 0 ，则 x =1- t 2 ，所以 g t = 2 1- t 2 + 4t = -2t 2 + 4t + 2 = -2 t -1 + 4，
根据二次函数的图象和性质，函数 g t 的值域为 - , 4 .
2 5x + 4
5 x - 2 +14 14
（ ）函数的定义域为 - , 2 U 2,+ ， f x = = = 5 + ，
x - 2 x - 2 x - 2
所以函数 f x 的值域为 - ,5 U 5, + .
（3）因为函数 f x = x2 - 2x - 3图象的对称轴为 x =1，所以函数 f x 在 -1,1 单调递减， 1,4 单调递增，
所以函数 f x 的值域为 -4,5 .
x24 y + x +1 x 1（ ） = = + +1， x 0，
x x
x > 0 y x 1当 时， = + +1 2 x 1+ +1 = 3，当且仅当 x =1时等号成立；
x x
当 x < 0 时， y = - -x
1 1 2 x 1- ÷ + - - × -
÷ +1 = -1，当且仅当 x=-1时等号成立.
è x è x
故函数值域为 - , -1 U 3, + .
题型 9：函数值域的应用
9-1．（2024 高一上·四川遂宁·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函
数为“同族函数”，例如函数 y = x2 , x 1,2 y = x2与函数 , x -2, -1 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数
解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A． y = x B． y = x - 3 C． y
1
= D． y = x +1x
【答案】B
【分析】根据题意，可知构造“同族函数”的函数最起码不能是单调的，结合选项一一判断即可.
【详解】对于选项 AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此 AD 都错；
1
对于选项 C， y = x 在区间( ∞,0)和(0, + ∞)上都是单调递减的，且在两个区间上
y 的取值一正一负，故不满
足，因此 C 错；
对于选项 B，函数 y = x - 3 ， x 2,3 和函数 y = x - 3 ， x 3,4 即为“同族函数”，故满足，因此 B 正确.
故选：B.
9-2．（2024 高三上·上海·阶段练习）已知函数 y = f x 的值域为 -2,2 ，则函数 y = f 2x +1 的值域
为 .
【答案】 -2,2
【分析】由函数的伸缩变换、平移变换以及函数值域的概念即可求解.
【详解】函数 y = f 2x +1 的图象是通过一下操作得到的：
首先将函数 y = f x 1上所有点的横坐标缩小到原来的 得到 y = f 2x ，
2
然后将函数 y = f 2x 1的图象向左平移 个单位得到函数 y = f 2x +1 的图象，
2
以上操作过程中不改变函数图象的“高度”，
也就是说函数 y = f 2x +1 的值域和函数 y = f x 的值域一样，都是 -2,2 .
故答案为： -2,2 .
9-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f (x) = x2 - 2x, x [0,b]，且该函数的值域为[-1,3]，则b 的值
为 .
【答案】3
【分析】由题意可得b >1，且 f (x) 在[0,1)上递减， (1,b]上递增，然后由 f (b) = 3可求得答案.
【详解】因为 f (x) = x2 - 2x = (x -1)2 -1 -1，当且仅当 x =1时取等号，
所以若 x [0,b]， f (x) 的值域为[-1,3]，则b >1，
因为 f (x) 的图象是开口向上的抛物线，
所以 f (x) 在[0,1)上递减， (1,b]上递增，
因为 f (0) = 0 3，
所以 f (b) = b2 - 2b = 3，即b2 - 2b - 3 = 0，解得b = 3或b = -1（舍去），
故答案为：3
9-4．（2024 高一上·广东佛山·期中）已知函数 f x = 6 - 2x 的值域为 -4,10 ，则函数 f x 的定义域为 .
【答案】 -2,5
【分析】依题意可得-4 < 6 - 2x <10，解得 x 的取值范围即可.
【详解】因为函数 f x = 6 - 2x 的值域为 -4,10 ，又函数在定义域上单调递减，
所以-4 < 6 - 2x <10，解得-2 < x < 5，
所以函数 f x 的定义域为 -2,5 .
故答案为： -2,5
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）周长为定值 a 的矩形，它的面积 S 是这个矩形的一边长 x 的函数，则这个函
数的定义域是（ ）
a a a
A． a,+ B． , + ÷ C2 ． ,a ÷ D． 0, ÷è è 2 è 2
【答案】D
a - 2x a
【解析】设矩形的一边长为 x，该边的邻边长为 = - x ，根据矩形的边长大于零即可求解.
2 2
a - 2x a
【详解】依题意知，矩形的一边长为 x，则该边的邻边长为 = - x ，
2 2
ìx > 0
0 x a
a
由 ía 得 < < ，故这个函数的定义域是 0, .
- x > 0 2
÷
è 2
2
故选：D
【点睛】本题考查了函数的定义域，函数的定义域使表达式有意义或满足实际生活中的自变量的取值范围，
属于基础题.
2．（2024 高一·全国·课后作业）下表给出了 x 与 f (x) 和 g(x)的对应关系，根据表格可知 f [g(1)]的值为
（ ）
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f (x) 3 1 4 2 g(x) 4 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据表中数据即可先求 g 1 = 4 ，再求解 f 4 即可.
【详解】由表中数据可知 g 1 = 4 ，所以 f [g(1)] = f 4 = 2，
故选：B
3．（2024 高一·全国·单元测试）已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长 y cm 是腰长 x cm 的函数，则函数
的定义域为( )
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【答案】A
【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】由题设有 y = 40 - 2x ，
ì40 - 2x > 0
由 í 得10 < x < 20x x ，故选
A.
+ > 40 - 2x
【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
4．（2024 高一·全国·课后作业）已知高斯取整函数 f (x) = [x]，则 f (-1.35) + f (4.65)的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用取整函数的定义直接计算作答.
【详解】取整函数 f (x) = [x]，所以 f (-1.35) + f (4.65) = -2 + 4 = 2 .
故选：A
x -1
5．（2024 高一·全国·课后作业）函数 f (x) = 的定义域是（
x 1 ）+
A．{x R∣x -1} B．{x R∣x 1}
C．{x R∣x 1} D．{x R∣x -1或 x 1}
【答案】A
【分析】根据分式中分母不为 0 即可求解.
f (x) x -1【详解】 = 的自变量需满足 x +1 0，所以定义域为{x R∣x -1}，
x +1
故选：A
6．（2024 高二·重庆·学业考试）已知函数 f (x) = x3 - 2x + 3，那么 f (2) 的值（ ）
A．3 B．5 C．7
【答案】C
【分析】把 x = 2代入解析式即可求解.
【详解】 f (2) = 23 - 2 2 + 3 = 7 .
故选：C
7．（2024 高一上·广东广州·期末）若集合 A = x -1< x < 3 ，B = x x > 0 ，则 AI B =（ ）
A． -1,3 B． -1, + C． 0,3 D． 2, +
【答案】C
【分析】利用集合交集运算求解即可.
【详解】由集合交集运算可得 AI B = 0,3 .
故选：C.
8．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数 f (x) = -x2 - 2x + 4, x [-2,3]，则 f (x) 的值域为（ ）
A．[-11,4] B．[-11,5] C．[4,5] D．[-4,5]
【答案】B
【分析】根据二次函数的单调性确定最值即可得 f (x) 的值域.
2
【详解】解： f x = -x2 - 2x + 4 = - x +1 + 5，又 x [-2,3]
所以函数 f x 在 -2, -1 上单调递增，在 -1,3 上单调递减
则 f x = f -1 = 5，又 f -2 = 4, f 3 = -11max ，所以 f x = -11min
所以 f (x) 的值域为[-11,5] .
故选：B.
9．（2024 高一上·重庆渝中·期末）若函数 f (x) [-3,2] f x +1g x 的定义域是 ，则函数 = 的定义域是（ ）
x -1
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）
【答案】D
【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为 0．
【详解】由-3 x +1 2解得-4 x 1，又 x -1 0，得-4 x <1 .
故选：D．
10．（2024 高三·全国·专题练习）下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A = N, B = N, f : x y = x –1 2 B． A = N, B = N, f : x y = x
C． A = N, B = Q, f : x y
1
= D． A = R, B = y | y > 0 , f : x y = x
x –1
【答案】A
【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于 A 选项，对集合 A 中的任意一个数 x，集合 B 中都有唯一的数 y 与之对应，是函数；
对于 B 选项， x = 4时， y = 2，有两个 y 与之对应，不是函数；
对于 C 选项，当 x =1时， y 不存在，不是函数；
对于 D 选项，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有对应元素，不是函数.
故选：A
f (x)
11．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数 f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数 g(x) = 的
3x -1
定义域为（ ）
1 1
A．（ ，4） B．[ ，4）
3 3
1 1
C．（ ，6） D．（ ，2）
3 3
【答案】C
【分析】由已知求得 f (x) 的定义域，再由 g(x)解析式分母中根式内的代数式大于 0，最后取交集即可.
【详解】由函数 ( + 2)的定义域为 (-3,4)，即 3 < < 4，得 -1 < x + 2 < 6 ，
所以 f (x) 定义域为 (-1,6)
1
，又Q3x 1 0 \ x > 1- > ， ，取交集得 g(x)的定义域为 (3 ，6) ．3
故选：C．
12．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的值域是[1,7]，则 x 的取值范围是（ ）
A． (0,4] B．[1, 4] C．[1, 2] D． (0,1]U [2,4]
【答案】D
【分析】画出 y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的图像，数形结合即可判断出答案．
3
2
3
【详解】 y = x2 - 3x + 3 = x - ÷ + ，画出图像，如图所示，
è 2 4
令 y =1，则 x2 - 3x + 3 =1，解得 x =1或 x = 2，
令 y = 7 ，则 x2 - 3x + 3 = 7，解得 x = -1（舍去）或 x = 4，
对于 A：当 x (0, 4]
3
时，结合图像，得 y [ ,7]，故 A 错误；
4
对于 B：当 x [1, 4]
3
时，结合图像，得 y [ ,7]，故 B 错误；
4
3
对于 C：当 x [1,2]时，结合图像，得 y [ ,1]，故 C 错误；
4
对于 D：当 x (0,1] [2, 4]时，结合图像，得 y [1,7]，故 D 正确；
故选：D．
2
13．（2024 高一·全国·单元测试）若函数 f (x) = 的定义域是 ( ,1) U [2,5)，则其值域为（ ）.
x -1
A． (- ,0) B． (- , 2]
1
C ． 0,
1
D． (- ,0)
, 2
2 è 2
【答案】D
【分析】画出函数图像，从图像观察可得答案.
2 2
【详解】函数 y = 图像可由 y = 图像向右平移一个单位得到，
x 1 x
如图所示:
f (2) = 2, f (5)
1
= ，
2
结合图像可知，函数的值域为 (- ,0)
1
, 2 .
è 2
故选：D
1 1
14．（2024 高三上·福建厦门·阶段练习）若函数 y = 的值域是 (- ,0) ,+ ÷，则此函数的定义域为x -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式即可.
1 1
【详解】由函数 y = 的值域是 (- ,0)
x -1
,+
2 ÷
，
所以当 y (- ,0) y
1
时， = < 0 x <1，
x -1
1 1 1 1 1 2 - x -1 3- x
当 y
,+ ÷时， y = - 0 0 0 2 x -1 2 x -1 2 2 x -1 2 x -1
ì 3 - x x -1 0
即 í ，解得1 < ≤ 3，
x -1 0
所以函数的定义域为： (- ,1) (1,3]，
故选：D
15．（2024 高一上·广东·期末）已知集合 A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，则 AI B =（ ）
A． 0,1 B． 0,4 C． 3,4 D． 1,3
【答案】D
【分析】直接根据集合的交集运算可得结果.
【详解】解：因为集合 A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，所以 A B = x |1 x < 3 = 1,3 .
故选：D.
16．（2024 高一上·广东清远·期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f x = x与 g x = x
B． f x = (x + 2)2 与 g x = ( x + 2)2
C． f x = x 与 g x x=
x
D． f x = x与 g x = 3 x3
【答案】D
【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.
【详解】对选项 A，因为 f x = x定义域为 R， g x = x 定义域为 R，定义域相同，
但 f x g x ，所以 f x ， g x 不是同一函数，故 A 错误；
2
对选项 B，因为 f x = (x + 2)2 定义域为 R， g x = x + 2 定义域为 x | x -2 ，
定义域不同，所以 f x ， g x 不是同一函数，故 B 错误；
x
对选项 C，因为 f x = x 定义域为 x x 0 ， g x = 定义域为 x | x > 0 ，
x
定义域不同，所以 f x ， g x 不是同一函数，故 C 错误；
对选项 D，因为 f x = x定义域为 R， g x = 3 x3 定义域为 R，
又 g x = 3 x3 = x = f x ，所以 f x ， g x 是同一函数，故 D 正确.
故选：D
17．（2024· *广东广州·模拟预测）欧拉函数j n n N 的函数值等于所有不超过正整数 n ，且与 n 互素的正
m
整数的个数，例如，j 1 =1，j 4 = 2．若m N*，且 j 2i =13，则j m =（ ）
i=1
A．3 B． 4 C．5 D．6
【答案】B
m
【分析】根据欧拉函数的定义结合 j 2i =13可求得m 的值，再结合欧拉函数的定义可求得j m 的值.
i=1
【详解】与 2互素且不超过 2的正整数为1，与 4互素且不超过 4的正整数为1、3，
与6 互素且不超过6 的正整数为1、5，与8互素且不超过8的正整数为1、3、5、7 ，
与10互素且不超过10的正整数为1、3、7 、9，
因为j 2 =1，j 4 = 2，j 6 = 2 ，j 8 = 4，j 10 = 4，
m 5
所以， j 2i = j 2i =1+ 2 + 2 + 4 + 4 =13，则m = 5，
i=1 i=1
因为与5互素且不超过5的正整数为1、 2、3、 4，所以，j m = j 5 = 4 .
故选：B.
18．（2024 高一上·广东梅州·阶段练习）设 x R，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 y = x 称为高斯函
2x
数．例如： p = 3， -5,1 = -6，已知函数 f x = ，则函数 y = 2 f x 的值域为（x 1 ）+
A． -1,1 B． -1,0 C． 1,0 D． -1,0,1
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得函数 f x 的值域，由此可求得函数 y = f x 的值域.
0 f x 2x 2 2< = = =1
【详解】当 x > 0时， x2 +1 x 1+ 2 x 1 ，当且仅当
x =1时，等号成立；
x × x
f x 2x 2 2= = - - = -1
当 x 2< 0 时， x +1 -x 1+ 2 x 1- × ，当且仅当 x = -1时，等号成立， -x -x
此时-1 f x < 0；
又因为 f 0 = 0，所以，函数 f x 的值域为 -1,1 ，
当-1 f x < 0时， f x = -1；当0 f x <1时， f x = 0 ；
当 f x =1时， f x =1 .
综上所述，函数 y = f x 的值域为 -1,0,1 .
故选：D.
x +1
19．（2024 高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 f x = 2 0 x 8 的值域为x + 2x +10
1 1
A． , B． 6,8
1 , 1 C
8 6
．
10 6
D． 6,10
【答案】C
g(x) 1【分析】令 = f (x) ，把已知函数解析式变形，令 t = x +1变形，再由“对勾函数”的单调性求解.
2 2
g(x) 1= g(x) x + 2x +10 (x +1) + 9 9【详解】解：令 f (x) ， = = = (x +1) + ，x +1 x +1 x +1
令 t = x +1，则 t [1,9]，
y t 9原函数化为 = + (1 t 9)，
t
该函数在[1,3]上为减函数，在[3,9]上为增函数，
又当 t =1时， y =10，当 t = 3时， y = 6，当 t = 9时， y =10 .
x2∴ g(x) + 2x +10函数 = , (0 x 8)的值域为 6,10 ，
x +1
f x x +1= 0 x 8 1则函数 2 的值域为 ,
1
.
x + 2x +10 10 6
故选：C.
【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.
2 [0, m] 25 20．（2024 高三·广东·阶段练习）若函数 y = x - 3x - 4 的定义域为 ，值域为 - ,-4 ，则实数m 的取 4
值范围是（ ）
3 3 3
A．(0,3] B． , 4 C．
2
,3 D． 2
,+
2 ÷
【答案】C
25
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为- ，由 y = -4可求得 x1 = 0 ， x2 = 3；由此根据值域可确定4
函数定义域，即可得到m 的取值范围.
3
【详解】Q y = x2 - 3x - 4为开口方向向上，对称轴为 x = 的二次函数
2
y 9 9 4 25\ min = - - = -4 2 4
令 x2 - 3x - 4 = -4，解得： x1 = 0 ， x2 = 3
3
\ m 3
2
m 3 即实数 的取值范围为 ,3
2
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的
性质可确定定义域.
21．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数 f (x) = 3+ 2x - x2 的值域为（ ）
A．[0, 4] B． (- , 2] C．[2,+ ) D．[0,2]
【答案】D
【分析】先求出函数 t = -x2 + 2x + 3的值域，再要注意 t 0，进而可以求解．
【详解】解：令 t = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4，
当 x =1时， tmax = 4，又 t 0，
2 2
所以 t [0， 4]，即 t = -x + 2x + 3 = -(x -1) + 4 0,4
所以 f (x) = 3+ 2x - x2 0,2 ，
故选：D．
2 + x
22．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = 的值域是（ ）
4 - 3x
1 1
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞）
2 2
1 1 1 1
C．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞，- ）∪（- ，+∞）
3 3 3 3
【答案】D
1 10 1
【分析】分离常数即可得出 y = - +3 3 4 - 3x ，从而得出 y - ，进而得出该函数的值域．3
1 4 3x 10
【详解】解： y 2 + x
- - +
= = 3 3 1 10= - + ，
4 - 3x 4 - 3x 3 3 4 - 3x
1
∴y - ，
3
1 1
∴该函数的值域为 - -
，
3 ÷
- ，+ ÷．
è è 3
故选：D．
二、多选题
23．（2024 高一上·福建龙岩·阶段练习）下列对应中是函数的是（ ）．
A． x y ，其中 y = 2x +1， x 1,2,3,4 ， y {x | x <10, x N}
B． x y ，其中 y2 = x ， x 0, + ， y R
C． x y ，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x R ， y Z
D． x y ，其中 y = x -1， x N*， y N*
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于 A，对集合{1,2,3,4}中的每个元素 x，按照 y = 2x +1，在{x | x <10, x N}中都有唯一元素 y 与
之对应，A 是；
对于 B，在区间 0, + 内存在元素 x，按照 y2 = x ，在 R 中有两个 y 值与这对应，如 x =1，与之对应的
y = 1，B 不是；
对于 C，对每个实数 x，按照“y 为不大于 x 的最大整数”，都有唯一一个整数 y 与之对应，C 是；
对于 D，当 x =1时，按照 y = x -1，在N* 中不存在元素与之对应，D 不是.
故选：AC
24．（2024 高三·全国·专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量 x ，有唯一的 y 值相对应，
选项 B 中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项 A、C、D 皆符合函数的定义，可以表示是函数.
故选：ACD
25．（2024 高一上·吉林通化·阶段练习）中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将
“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函
数”．1930 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合 M＝{ - 1，1，2，4}，N＝{1，2，
4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 M 到 N 的函数的是（ ）
A． y = 2x B． y=x+2 C． y =| x | D． y = x2
【答案】CD
【分析】利用函数定义对选项逐个判断即可.
【详解】解：在 A 中，当 x = -1时， y = -2 N ，故 A 错误；
在 B 中，当 x=1时， y =1+ 2 = 3 N ，故 B 错误；
在 C 中，任取 x M ，总有 y =| x | N ，故 C 正确；
在 D 中，任取 x M ，总有 y = x2 N ，故 D 正确．
故选：CD．
26．（2024 高一上·辽宁铁岭·阶段练习）若函数 f x 定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f (y) ，
f (0) 0, f (1) =1，则下列结果正确的是（ ）
A． f (2) = -2 B． f (3) = -2 C． f 4 =1 D． f 5 =1
【答案】BD
【分析】根据题意，赋值求解即可.
【详解】解：因为 f x + y + f x - y = f x f (y) ， f (0) 0, f (1) =1，
所以，令 x =1, y = 0，则 f 1 + f 1 = f 1 f 0 ，解得 f 0 = 2 ，
令 x = y =1，则 f 2 + f 0 = f 1 f 1 =1，解得 f 2 = -1，
令 x = 2, y =1，则 f 3 + f 1 = f 2 f 1 = -1，解得 f 3 = -2 ，
令 x = y = 2，则 f 4 + f 0 = f 2 f 2 =1，解得 f 4 = -1，
令 x = 3, y = 2，则 f 5 + f 1 = f 3 f 2 = 2 ，解得 f 5 =1，
故 BD 选项正确，AC 选项错误.
故选：BD
27．（2024 高一上·湖南岳阳·阶段练习）若函数 f (x) = x2 - 4x +1在定义域A 上的值域为[-3,1] ，则区间A 可
能为（ ）
A．[-1,4] B．[0,3] C．[1，4] D．[1,3]
【答案】BC
【分析】根据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可容易求得结果.
【详解】∵函数 f (x) = x2 - 4x +1的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x = 2，
故 f (x)min = f (2) = -3，又 f (0) = f (4) =1，
故要定义域A 上的值域为 -3,1 ，满足题意的选项是：BC.
故选：BC.
28．（2024 高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下面各组函数表示同一函数的是（ ）
A． f x = x2
2
， g x = x B． f x =1（ x 0）， g x = x0
2
C． f x = 3
3
x3 ， g x = 3 x D． f x = x +1， g x x -1= x -1
【答案】BC
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
2
【详解】对于 A， f x = x2 = x ，g x = x = x, x 0 ，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于 B， f x =1, x 0， g x = x0 =1, x 0，定义域和对应法则相同，故为同一函数；
对于 C， f x = 3 x3 3= x， g x = 3 x = x，定义域和对应法则相同，故为同一函数；
2
对于 D， f x = x +1, x R g x x -1， = = x +1, x 1，定义域不同，故不为同一函数；
x -1
故选:BC
29．（2024 高一上·湖南郴州·阶段练习）已知函数 y = x2 - 2x + 3的值域是[2,11]，则其定义域可能是（ ）
A．[0, 4] B．[-1,1] C．[2,3] D．[-1,4]
【答案】AD
【分析】分别令 x2 - 2x + 3 = 2， x2 - 2x + 3 =11，解方程解得 x ，设定义域为M ，根据图象得到 -2,1 M
或 1,4 M ，然后判断即可.
【详解】令 x2 - 2x + 3 = 2，解得 x =1，令 x2 - 2x + 3 =11，解得 x = 4或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为M ，所以 -2,1 M 或 1,4 M ，故 AD 正确，BC 错.
故选：AD.
30．（2024·江苏南通·模拟预测）对于定义域为 0, + 的函数 y = f x ，若同时满足下列条件：
① "x 0,+ ， f x 0；② ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y ，则称函数 f x 为“ H 函数”.下列结
论正确的是（ ）
A．若 f x 为“ H 函数”，则其图象恒过定点 0,0
1, x Q
B．函数 f (x)
ì
= í 在 0, + 上是“ H 函数”
0, x Q
C．函数 f x = x 在 0, + 上是“ H 函数”（ x 表示不大于 x 的最大整数）
D．若 f x 为“ H 函数”，则 f x 一定是 0, + 上的增函数
【答案】AC
【分析】结合函数新定义的概念利用赋值法即可求解.
【详解】对于 A：不妨令 x = y = 0 ，则 f (0 + 0) f (0) + f (0) f (0) 0，
因为"x 0,+ ， f x 0，所以 f (0) 0，
故 f (0) = 0，故 A 正确；
对于 B：不妨令 x =1， y = 2 ，
则 f (1) =1， f ( 2) = 0， f (1+ 2) = 0，即 f (1+ 2) f (1) + f ( 2)，
这与 ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y 矛盾，故 B 错误；
对于 C：由题意可知，"x 0,+ ， f x = [x] 0，
不妨令 x = m + n 0，其中m 为整数部分， n 为小数部分，则 f (x) = [x] = m ；
再令 y = a + b 0，其中 a为整数部分，b 为小数部分，则 f (y) = [y] = a ；
若0 n + b <1，则 f (x + y) = [x + y] = m + a ；
若n + b 1，则 f (x + y) = [x + y] = m + a +1，
从而 ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y 成立，故 C 正确；
对于 D：由题意可知，常函数 f (x) = 0 为“H 函数”，但 f (x) 不是增函数，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题
31．（2024 高一上·安徽滁州·期末）设二次函数 f x = mx2 + 2x + n 1 1（m ，n R ）的值域是 0, + ，则 +
m n
的最小值是 ．
【答案】 2
【分析】结合二次函数图象，由值域为 0, + ，求得m > 0，mn =1，再由基本不等式求解即可.
2
【详解】当二次函数 f x = mx + 2x + n 的图象开口向上，且与 x 轴有且只有一个交点时，其值域为
0, + ，
ìm > 0
∴ í 2 ，∴ mn =1，m > 0， n > 0 .
Δ = 2 - 4mn = 4 - 4mn = 0
∴ 1 1 1由基本不等式， + 2 = 2，
m n mn
当且仅当m = n =1时等号成立．
1 1
∴ + 的最小值是 2．
m n
故答案为： 2 .
32．（2024 高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为 40m 的锐角三角形空地，现规划
在空地内种植一边长为 x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于336m2 ，则 x 的取值范
围为 .
【答案】{x|12 x 28}
【分析】由三角形相似得 x + y = 40 ，再根据面积不小于336m2 ，即可求得 x 的取值范围.
【详解】设矩形另一边的长为 y m，
x 40 - y
由三角形相似得： = ，（0 < x < 40,0 < y < 40）,
40 40
所以 x + y = 40 ,
所以矩形草坪的面积 S = xy = x(40 - x) 336，
解得：12 x 28 .
故答案为：{x|12 x 28}
33．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 4 - x2 ，g x = 2x +1，则函数 y = f g x 的定义域为 .
3 1
【答案】 - , 2 2
【分析】解法 1、先求得函数 f x 的定义域为 -2,2 ，令-2 g x 2，进而求得函数的定义域；
解法 2、根据题意求得 f g x = -4x2 - 4x + 3 ，进而求得其定义域.
【详解】解法 1：由函数 f x = 4 - x2 ，则满足 4 - x2 0，可得-2 x 2，
即函数 f x 的定义域为 -2,2 ，
对于函数 y = f g x ，令-2 g x 2
3 1
，即-2 2x +1 2，解得- x ，
2 2
即函数 y = f g x
3 1
的定义域为 - ,
. 2 2
解法 2：由 f x = 4 - x2 ， g x = 2x +1，
可得 f g x = 4 - 2x +1
2 = -4x2 - 4x + 3 ，
2 3 1- x f g x 3 1 令-4x - 4x + 3 0，解得 ，所以 的定义域为 - , .2 2 2 2
3 1
故答案为： - , . 2 2
34．（2024 高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数 f (x) = x + x -1的值域为 ．
【答案】[1,+ )
2
【分析】利用换元法，令 t = x -1，则 x = t 2 +1， f t = t +1+ t ，t 0, + ，根据二次函数的性质计算可
得；
2
【详解】解：因为 f (x) = x + x -1，令 t = x -1，则 t 0，则 x = t 2 +1，所以 f t = t 2 +1+ t = t 1 3 + ÷ + ，
è 2 4
t 0, + ，所以 f t 在 0, + 上单调递增，所以 f t f 0 =1，即 f x 的值域为 1, + ；
故答案为： 1, +
1
35．（2024 2高一上·陕西西安·期末）已知函数 f 2x 的定义域为[ , 2]，则函数 f x 的定义域为 .
2
【答案】 -2, -1 U 1, 2
x [1【分析】由 , 2]，可知1 2x 4，再解关于 x 的不等式
2 1 x
2 4即可.
1
【详解】因为 x [ , 2]
1
，即 x 2，所以1 2x 4，所以1 x2 4，所以 x -2, -1 1,2 .2 2
故答案为： -2, -1 U 1, 2 .
36．（2024· 1上海普陀·二模）函数 y = 3- 的定义域为 ．
x
【答案】 - ,0 U 1 , + ÷ 3
【分析】
y 3 1求函数 = - 的定义域，保证根号下的式子大于等于 0，分母不为 0 即可.
x
【详解】 y = 3 1- ，
x
ì3 1- 0
\ í x ， x
1
或 x < 0
x 0 3
所以定义域为： - ,0 U 1 , +
÷ .
3
故答案为： - ,0 U 1 , +
÷
3
x 1
37．（2024 高三·全国·专题练习）求函数 y = + 20 - x 0 x 20 的值域为 .
8 2
【答案】 5,3
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，
要在定义域内求值域.
【详解】令 t = 20 - x (0 t 2 5) ，则 x = 20 - t 2 ，
y 20 - t
2 1 1
\ = + t = - (t 2 1- 4t - 20) = - (t - 2)2 + 3
8 2 8 8
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 t = 2，
Q0 t 2 5 ，所以该函数在 t = 2时取到最大值3，当 t = 2 5 时，函数取得最小值 5 ，
y x 1所以函数 = + 20 - x 0 x 20 值域为 y
8 2
5,3 .
故答案为： 5,3
2
38．（2024 · · f x x - x +1高一上 浙江杭州 期中）函数 = 2 的值域是 .x - x + 2
3
【答案】 ,1÷
7
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
x2f x - x +1【详解】解： = ，
x2 - x + 2
1 2x2 x 7因为 - + 2 = x - ÷ + > 0
è 2 4
所以函数 f x 的定义域为 x R
2
y x - x +1= 2令 2 ，整理得方程： y -1 x + 1- y x + 2y -1 = 0x - x + 2
当 y =1时，方程无解；
当 y 1时，Δ = 1- y 2 - 4 y -1 2y -1 0
不等式整理得：7y2 -10y + 3 0
解得： y
3 ,1 ÷
7
2
f x x - x +1
3
所以函数 = 2 的值域为 ,1x ÷
.
- x + 2 7
3
故答案为： ,1
7 ÷
【点睛】方法点睛：求值域的常见方法
单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利
用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.
2x +1
39．（2024 高一·上海·专题练习）求函数 y = 2 的值域 ．x - 2x + 2
[3- 13 , 3+ 13【答案】 ]
2 2
【分析】由解析式知函数的定义域为 x R，将函数式转化为方程 yx2 - 2(y +1)x + 2y -1 = 0，即该方程在 x R
上有解，讨论 y = 0 、 y 0 ，结合判别式法即可求值域.
【详解】由解析式知：函数的定义域为 x R，且 y(x2 - 2x + 2) = 2x +1，
∴整理可得： yx2 - 2(y +1)x + 2y -1 = 0，即该方程在 x R上有解，
∴当 y = 0
1
时， x = - ，显然成立；
2
y 0 D = 4(y +1)2 - 4y(2y -1) 0 y2 - 3y -1 0 3- 13 y 3+ 13当 时，有 ，整理得 ，即 ，
2 2
∴ 3- 13 3+ 13综上，有函数值域为[ , ] .
2 2
3- 13
故答案为：[ , 3+ 13] .
2 2
【点睛】关键点点睛：由解析式求函数定义域D并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在D上
有解.
四、解答题
f x 2x +140．（2024 高一·全国·专题练习）求下列函数的值域 =
x - 3
【答案】 (- ,2) (2,+ )
【分析】利用分离常数法和反比例函数值域即可求得结果.
f x 2x +1 2 x - 3 + 7 7【详解】因为 = = = 2 + ，
x - 3 x - 3 x - 3
7
由反比例函数易知 0 ，所以 f x 2，
x - 3
所以函数 f x 的值域为 (- ,2) (2,+ )．
5x + 4
41．（2024 高三·全国·专题练习）求函数 f x = 的值域.
x - 2
【答案】 - ,5 U 5, + .
【分析】化简 f x 14= 5 + ，结合函数的定义域，进而求得函数的值域.
x - 2
【详解】由函数 f x 5x + 4= ，可得其定义域为 - , 2 U 2,+ ，
x - 2
5x + 4 5 x - 2 +14f x 5 14 14又由 = = = + ，可得5 + 5
x - 2 x - 2 x - 2 x - 2
所以函数 f x 的值域为 - ,5 U 5, + .
42．（2024 高一·全国·专题练习）求函数 y = x + 2 2 - x 的值域.
【答案】 - ,3
【分析】利用换元法根据二次函数性质即可求出函数值域.
【详解】由题意可知 2 - x 0，所以可得 x 2，即函数定义域为 x | x 2 ，
令 t = 2 x , t 0 ，可得 x = 2 - t 2 ；
则 y = 2 t 2 + 2t = t 1 2 +3 3，当 t =1时， ymin = 3；
故函数值域为 - ,3 .
43 2x
2 + ax + b
．（2024 高一·上海·专题练习）已知函数 f (x) = 2 的值域为[1，3]，求 a,b的值x +1
【答案】 a = 2,b = 2
【分析】根据判别式法求解函数值域即可求解
2x2 + ax + b 2
【详解】由题意 y = f (x) = 定义域为 R ，则 y - 2 x - ax + y - b = 02 在 R 上有解，当 y = 2 符合题x +1
2
意，当 y 2, D = a2 - 4 y - 2 y - b 0 ，即 y a- 2 y - b - 0的解集为[1，3]，故 1 和 3 为关于 y 的
4
ì a2
2 - 1- b =
二次方程 y - 2 y - b a- = 0 4的两个根所以 í
4 a2
3- b = 4
解得 a = 2,b = 2
1
44．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数 f (x) = 4 - x + x 3 的定义域为 A，集合+
B={ x 1- a(1)当 a=2时，求 A （ RB）；
(2)若B A，求 a 的取值范围.
【答案】(1) x - 3(2){a｜a 3}
【分析】（1）求出定义域，得到 A = {x｜- 3 < x 4}，进而计算出 R B及 A R B ；
（2）分B = 与B ，列出不等式，求出 a 的取值范围.
1 ì4- x 0
【详解】（1）要使函数 f (x) = 4 - x + x 3 有意义，则 í ，解得：
-3 < x 4
x+3>0 ，+
所以集合 A = {x｜- 3 < x 4} .
Qa = 2 ，
∴ B= x 1- a∴ R B= x x -1或 x 3 ，
∴ A R B= x - 3（2）B A，
①当B = 时，1- a 1+ a ，即 a 0，满足题意；
ì1- a<1+a
②当B 时，由B A，得 í1- a -3 ，解得： 0 < a 3，
1+a 4
综上所述：a 的取值范围为 a a 3 .
45．（2024· 2江西九江·模拟预测）若 ( )的定义域为 -4, 4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x 的定义域．
【答案】 -2,
3
2
.
【分析】由题意列出不等式组解之即得.
2
【详解】由函数 y = f x 的定义域为 -4, 4 ，则要使函数 g(x) = f (2x +1) + f x 有意义，
ì-4 2x +1 4
则 í
-4
，
x2 4
2 x 3解得- ,
2
∴函数 g(x) = f (2x
3
+1) + f x2 的定义域为 -2, . 2
46．（2024 高一上·甘肃武威·期中）求下列函数的值域： y = x - 1- 2x .
1
【答案】 - ,
è 2
【分析】利用换元法，令 t = 1- 2x ，即可将函数转化为关于 t的二次函数形式，结合 t的范围即可确定函数
的值域.
1 1
【详解】设 t = 1- 2x 则 t 0且 x = - t 2 + ，2 2
1 2 1 1
得 y = - t - t + = - t +1 2 +1，
2 2 2
1
因为 t 0，所以 y≤ ，
2
1
所以该函数的值域为 - , .
è 2
【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，二次函数值域的求法，注意换元后的取值范围，属于基础题.
47．（2024 高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函
数 f x = ax2 + bx + a +1的定义域为 x | ax2 + bx + a +1 0且 ≥ 0}.
（Ⅰ）若 a = -2 ，b = 3，求 f x 的定义域；
（Ⅱ）当 a =1时，若 f x 为“同域函数”，求实数b 的值；
（Ⅲ）若存在实数 a < 0且 a -1，使得 f x 为“同域函数”，求实数b 的取值范围.
1
【答案】（Ⅰ） ,1
-1,0 .
2
；（Ⅱ）-2 2 ；（Ⅲ）
ì-2x2 + 3x -1 0
【解析】（Ⅰ）当 a = -2 ，b = 3时，解出不等式组 í 即可；
x 0
（Ⅱ）当 a =1时， f (x) = x2 + bx + 2(x 0)，分b 0、b < 0两种情况讨论即可；
（Ⅲ）分-1 < a < 0、-1 < a < 0且b 0、-1 < a < 0且b > 0三种情况讨论即可.
ì-2x2 + 3x -1 0 1
【详解】（Ⅰ）当 a = -2 ，b = 3时，由题意知： í ，解得： x 1.
x 0 2
∴ f x 1的定义域为 ,1
2 ；
（Ⅱ）当 a =1时， f (x) = x2 + bx + 2(x 0)，
b
（1）当- 0 ，即b 0时， f x 的定义域为 0, + ，值域为 2, + 2 ，
∴ b 0时， f x 不是“同域函数”.
b
（2）当- > 0，即b < 0时，当且仅当
2 D = b
2 - 8 = 0时， f x 为“同域函数”.
∴ b = -2 2 .
综上所述，b 的值为-2 2 .
（Ⅲ）设 f x 的定义域为A ，值域为 B .
（1）当 a < -1时， a +1< 0，此时，0 A，0 B，从而 ≠ ，
∴ f x 不是“同域函数”.
（2）当-1 < a < 0，即 a +1 > 0，
-b - b2
设 x - 4a(a +1)= ，则 f x 的定义域 A = 0, x0 .0 2a
b
①当- 0，即b 0时， f x 的值域B = 0, a +1 2a .
若 f x 为“同域函数”，则 x0 = a +1，
3
从而，b = - a +1 ，
又∵ -1 < a < 0，∴ b 的取值范围为 -1,0 .
b f x 4a(a +1) - b
2
②当- > 0，即b > 0时， 的值域B = 0, .
2a 4a
2
若 f x “ 4a(a +1) - b为 同域函数”，则 x0 = ，4a
从而，b = b2 - 4a(a +1)( -a -1) *
此时，由 -a -1 < 0，b > 0可知 * 不成立.
综上所述，b 的取值范围为 -1,0
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出 f x 的定义域和值域.
48．（2024 高一下·湖北荆州·阶段练习）已知定义域为R 的函数 f x , f 0 0，对于任意的 , ∈ R恒有
f x + y + f x - y = 2 f x f y .
1
(1)若 f 1 = ，求 f 6 的值；
2
(2)若 f 2x = f 2 x ，求 f x 的值.
【答案】(1)1；
(2)1.
【分析】（1）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法计算作答.
（2）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法，结合函数的意义求解作答.
【详解】（1）因为对于任意的 , ∈ R恒有 f x + y + f x - y = 2 f x f y ，
则令 x =1, y = 0，得 2 f 1 = 2 f 1 × f 0 1，又 f 1 = ，则 f 0 =1，
2
又令 y =1, x R ，得 f x +1 + f x -1 = f x ，即 f x +1 = f x - f x -1 ，
f 2 f 1 f 0 1因此 = - = - ， f 3 = f 2 - f 1 = -1，
2
f 4 f 3 1 1= - f 2 = - ， f 5 = f 4 - f 3 = ，
2 2
所以 f 6 = f 5 - f 4 =1.
（2）因为对于任意的 , ∈ R恒有 f x + y + f x - y = 2 f x f y ，
则令 x = y = 0 ，得 2 f 2 (0) = 2 f (0) ，而 f 0 0 ，有 f 0 =1，
令 y = x R ，得 f 2x + f 0 = 2 f 2 x 2，又 f x = f 2x ，则有 f (2x) = f (0) =1，
所以 f x =1 .
2
49．（2024 · · f x x高一 全国 课后作业）已知函数 = ．
1+ x2
(1)求 f 2 + f 1 ÷， f 3 f
1+ 3 ÷ 的值；è 2 è
(2)求证： f x + f 1 ÷ 的定值；
è x
2 f 1 f 2 f 1 1 1 1(3)求 + + ÷ + f 3 + f
÷ +L+ f 2021 + f
÷ + f 2022 + f
2 3 2021 ÷
的值．
è è è è 2022
f 2 + f 1 【答案】(1) ÷ =1， f 3
1
+ f ÷ =1
è 2 è 3
(2)证明见解析
(3)2022
【分析】（1）代入计算函数值可得答案；
f x + f 1 （2）化简计算 ÷ 可得答案；
è x
（3）利用 f x + f 1 ÷ =1可得答案.
è x
x2
【详解】（1）因为 f x = 2 ，所以1+ x
2 2
1 1
f 2 f 1 2
2 ÷ 1 32 ÷
+ ÷ = 2 +
è 2
2 =1， f 3 + f
÷ = +
è 3 =1；
è 2 1+ 2 1 è 3 1+ 32 1
2
1+ ÷ 1+
2 3 ÷è è
2
1
1 x2 x ÷ x2 2
（2） f x f è 1 x +1+ ÷ = 2 + 2 = 2 + = =1，是定值；è x 1+ x 2 21+ 1 1+ x x +1 x +1
è x ÷
1
（3）由（2）知 f x + f ÷ =1，因为 f 1 + f 1 =1，
è x
f 2 f 1+ ÷ =1， f 3 + f
1 1
÷ =1
，……， f 2022 + f ÷ =1，
è 2 è 3 è 2022
2 f 1 f 2 f 1+ + + f 3 + f 1 1 1 所以 ÷ ÷ +L+ f 2021 + f ÷ + f 2022 + f ÷ = 2022 .
è 2 è 3 è 2021 è 2022
2
50．（2024 x + x +1高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数 y = 的值域；
x
（2）求函数 y = x + 2 2 - x 的值域.
【答案】（1） - , -1 U 3, + ；（2） - ,3
1
【分析】（1）函数化成 y = x + +1，结合均值不等式分别判断 x > 0、 x < 0 的最值，从而得出值域.
x
（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.
1 y x
2 + x +1 x 1【详解】（ ） = = + +1， x 0，
x x
当 x > 0 1时， y = x + +1 2 x 1+ +1 = 3，当且仅当 x =1时等号成立；
x x
x < 0 y 1= - -x - +1 -2 -x × 1 当 时， ÷ - ÷ +1 = -1，当且仅当 x=-1时等号成立.
è x è x
故函数值域为 - , -1 U 3, + ；
（2
2
）函数定义域为 x 2，令 t = 2 x , t 0 ，则 y = 2 t 2 + 2t = t 1 +3 3，故函数值域为 - ,3 .
