3.1.2 函数的表示法 12 题型分类
一、函数的表示法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
二、描点法作函数图象的三个步骤
(1)列表：先找出一些有代表性的自变量 x 的值，再计算出与这些自变量 x 相对应的函数值 f(x)，并用表
格的形式表示出来．
(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．
(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．
三、函数三种表示法的几点说明
(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、
银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用
到实际生产和生活中去．
(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一
段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．
四、分段函数的概念
如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函
数为分段函数.
五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤
(1)阅读材料、理解题意；
(2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型；
(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论；
(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．
六、分段函数的特点
(1)分段函数是一个函数，并非几个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集．
(3)分段函数的值域是各段值域的并集．
(4)分段函数的图象要分段来画．
七、应用函数知识解决实际问题
关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，
这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用．
（一）
函数表示法
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是
变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量
的个数较少．
题型 1：函数的表示法
1-1．（2024 高一上·广东广州·期末）已知函数 f x ， g x 分别由下表给出，
x 0 1 2
f x 1 2 1
x 0 1 2
g x 2 1 0
则 f é g 1 ù = ；满足 f ég x ù > g f x 的 x 的值是 ．
【答案】 2 1
【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取 0，1，2 依次计算 f [g(x)]、 g[ f (x)]即可作答.
【详解】依题意， f é g 1 ù = f 1 = 2；
f [g(0)] = f (2) =1， g[ f (0)] = g(1) =1， f ég 1 ù = f 1 = 2， g[ f (1)] = g(2) = 0 ，
f [g(2)] = f (0) =1， g[ f (2)] = g(1) =1，因此当且仅当 = 1时， f é g x ù > g é f x ù 成立，
所以满足 f [g(x)] > g[ f (x)]的 x 的值是 1.
故答案为：2；1
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）已知完成某项任务的时间 t与参加完成此项任务的人数 x 之间满足关系式
t = ax b+ a R,b R ，当 x = 2时， t =100；当 x = 4时， t = 53，且参加此项任务的人数不能超过 8．
x
（1）写出 t关于 x 的解析式；
（2）用列表法表示此函数；
（3）画出此函数的图象．
196
1 t = x + 0 < x 8, x N*【答案】（ ）函数解析式是 （2）详见解析（3）图象见解析x
【分析】（1）将 2,100 ， 4,53 b 代入 t = ax + a R,b R .即可解出 t关于 x 的解析式.
x
（2）令 x =1，2，3，4，5，6，7，8，再求出对应的 t值，列表即可.
（3）根据（2）的表格数据，在直角坐标系中描出即可.
【详解】（1）因为当 x = 2时， t =100；当 x = 4时， t = 53，
ì b
4a + = 53 4 ìa =1
所以 í ，解得 í ，
2a b b =196+ =100
2
所以 t = x
196
+ ．
x
又 x 8， x *为正整数，所以此函数的定义域是 x 0 < x 8, x N ，
t x 196 *所以所求函数解析式是 = + 0 < x 8, x N ．x
（2） x =1，2，3，4，5，6，7，8，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
205 221 116 65
t 197 100 53 35
3 5 3 2
（3）此函数的图象如图所示：
【点睛】本题考查函数的表示法：函数的解析式、表格法、图像法，方程组法求函数的解析式，属于基础
题.
1-3．（2024 高一上·陕西咸阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
y 3A． = x -1 (0 x 2)
2
y 3 3B． = - x -1 (0 x 2)
2 2
3
C． y = - x -1 (0 x 2)
2
D． y =1- x -1 (0 x 2)
【答案】B
【分析】分段求解：分别把 0≤x≤1 及 1≤x≤2 时的解析式求出即可．
3 3 3
【详解】当 0≤x≤1 时，设 f（x）=kx，由图象过点（1， ），得 k= ，所以此时 f（x）= x；
2 2 2
ì33 = m + n
ì 3
m = -
当 1≤x≤2 时，设 f（x）=mx+n，由图象过点（1， ），（2，0），得 í2 ，解得 í 2 所以此时 f2 0 = 2m + n n = 3
- 3 x 3 3 3（x）= + ．函数表达式可转化为：y＝ - |x－1|(0≤x≤2)
2 2 2
故答案为 B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求
得．
1-4．（2024 高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，动点 P 在正方
形 ABCD 边上沿 A B C E 运动．设点 P 经过的路程为 x ．VAPE 的面积为 y ．则 y 与 x 的函数图象大
致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求 y 与 x 的函数关系式，进而可得结果.
【详解】当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 A B 运动时，
1 1
则VAPE 的面积为 y = x 1 = x,0 < x 1；
2 2
当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿B C 运动时，
y 1 1 1= + 1则VAPE 的面积为 ÷ 1- x -1 1
1 1 2 x 1- - = 3- x x,1 < x < 2；
2 è 2 2 2 2 4
当动点 P 在正方形 ABCD 边上沿C E运动时，
1 5 1
则VAPE 的面积为 y = - x ÷ 1 = 5 - 2x , 2 x < 2.5；2 è 2 4
ì
x,0 < x 1
y = 1综上所述： í 3 - x x,1 < x < 2 ，可知 B、C、D 错误，A 正确.
4
1
5 - 2x , 2 x < 2.5 4
故选：A.
（二）
函数图象的作法及应用
1、画函数图象的两种常用方法
(1)描点法
一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量 x，并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x)，用
表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
2、画函数图象的关注点
①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心
点．
题型 2：函数图象的作法及应用
2-1．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 f (x) 定义在[-2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图
象：
(1) y = f (x +1)；
(2) y = f (x) +1；
(3) y = f (-x) ；
(4) y = - f (x) ；
(5) y =| f (x) |；
(6) y = f (| x |) .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【分析】（1）根据左右平移可得图象；
（2）根据上下平移可得图象；
（3）根据对称变换可得图象；
（4）根据对称变换可得图象；
（5）根据翻折变换可得图象；
（6）根据翻折变换可得图象.
【详解】（1）将函数 y = f (x) 的图象向左平移一个单位可得函数 y = f (x +1)的图象，函数 y = f (x +1)的图象
如图：
（2）将函数 y = f (x) 的图象向上平移一个单位可得函数 y = f (x) +1的图象，函数 y = f (x) +1图象如图：
（3）函数 y = f (x) 的图象与函数 y = f (-x) 的图象关于 y 轴对称，函数 y = f (-x) 图象如图：
（4）函数 y = f (x) 的图象与函数 y = - f (x) 的图象关于 x 轴对称，函数 y = - f (x) 的图象如图：
（5）将函数 y = f (x) 的图象在 x 轴上方图象保留，下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方可得函数 y =| f (x) |的
图象，函数 y =| f (x) |的图象如图：
（6）将函数 y = f (x) 的图象在 y 轴左边的图象去掉，在 y 轴右边的图象保留，并将右边图象沿 y 轴翻折到 y
轴左边得函数 y = f (| x |)的图象，其图象如图：
1
2-2．（2024·全国）画出函数 y = (x +1)2 的图象．
【答案】见解析
【分析】由 y
1
= 2 的图象与函数图象平移变换求解，x
1
【详解】由 y = 2 图象向左平移一个单位即可，x
2-3．（2024 高一上·浙江杭州·阶段练习）直线 l : x = a 与二次函数 y = f x 交点个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．以上都有可能
【答案】B
【分析】数形结合判断即可.
【详解】直线 l : x = a 为的纵坐标为 R ，图像为一条与 y 轴平行的直线，
设二次函数为 y = Ax2 + Bx + C, A 0，
当 A > 0 时， A =1, B = 2,C =1；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：
当 A < 0时，如 A = -1, B = 2,C =1如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：
故选：B
2-4．（2024 高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象：
(1) y =1- x(x Z 且 | x | 2)；
(2) y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）分析函数特征，再描点作出图象.
（2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象.
【详解】（1）由于 x Z且 | x |≤2，则 x {-2, -1,0,1,2}，
所以函数 y =1- x(x Z 且 | x | 2)的图象为直线 y =1- x上的 5 个孤立点，如图：
（2）函数 y = 2(x -1)2 - 5，则当 x = 0时， y=- 3；当 x = 3时， y = 3；当 x =1时， y = -5，
所以函数 y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)的图象是抛物线 y = 2x2 - 4x - 3在 x [0,3)的部分，如图：
2-5．（2024 高二下·上海杨浦·阶段练习）设 a,b均为非零实数，则直线 y = ax + b 和 y = ax2 + bx 在同一坐标系
下的图形可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得 a,b的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴
位置，可排除得到最终结果.
【详解】对于 A，若 y = ax + b 图象正确，则 a > 0，b > 0，
\ y = ax2 x
b
+ bx 开口方向向上，对称轴为 = - < 0，与图象符合，A 正确；
2a
对于 B，若 y = ax + b 图象正确，则 a < 0，b < 0，
\ y = ax2 + bx 开口方向向下，与图象不符，B 错误；
对于 C，若 y = ax + b 图象正确，则 a > 0，b > 0，
\ y = ax2 + bx 开口方向向上，与图象不符，C 错误；
对于 D，若 y = ax + b 图象正确，则 a > 0，b < 0，
\ y = ax2 + bx 开口方向向上，与图象不符，D 错误.
故选：A.
（三）
函数解析式的求法
函数解析式的求法
求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值
法等．
(1)配凑法：将形如 f(g(x))的函数的表达式配凑为关于 g(x)的表达式，并整体将 g(x)用 x 代换，即可求出函数
f(x)的解析式．如由 f(x＋1)＝(x＋1)2可得 f(x)＝x2.
(2)换元法：将函数 f(g(x))中的 g(x)用 t 表示，则可求得 x 关于 t 的表达式，并将最终结果中的 t 用 x 代换，
即可求得函数 f(x)的解析式．
(3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的
解析式．
一次函数解析式为 y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到 f(x)的表达式，这种方法也称
为消去法．
(5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型
选取不同的特殊值．
题型 3：配凑法
3-1．（2024 高一上·江苏扬州·期中）已知 f x +1 = x2 + x +1，则 f x = ．
【答案】 x2 - x +1
【分析】运用拼凑法，将等式右边整理成关于 x +1的式子，再整体换元即得.
【详解】因 f (x +1) = x2 + x +1 = (x +1)2 - (x +1) +1,故 f (x) = x2 - x +1.
故答案为： x2 - x +1.
3-2．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数 f x f 1 2 1满足： x - ÷ = x + 2 ，则 f x 的解析式为（x x ）è
A f x = x2 + 2 B f x = x2． ．
C． f x = x2 + 2 x 0 D． f x = x 2 - 2 x 0
【答案】A
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
2
f x 1- 1 1【详解】因为 ÷ = x
2 + = 2
x
x - ÷ + 2，∴ f x = x + 2，
è x2 è x
故选：A.
3-3．（2024 高一上·浙江金华·期末）已知 f (| x -1|) = x2 - 2x + 3，则 (3) = （ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
【答案】C
【解析】利用拼凑法求出 f x 解析式，即可得出所求.
【详解】Q f (| x -1|) = x2 - 2x + 3 = x -1 2 + 2 = x -1 2 + 2，
\ f x = x2 + 2 ，
\ f 3 = 32 + 2 =11.
故选：C.
3-4．（2024 高一上·甘肃庆阳·期中）已知 f (x -1) = x2 - 2x - 3，则 f x = ．
【答案】 x2 - 4
【分析】利用配凑法求函数的解析式即可.
【详解】因为 f (x -1) = x2 - 2x - 3 = (x -1)2 - 4，
2
所以 f x = x - 4，
故答案为： x2 - 4
题型 4：换元法
4-1．（2024 高一上·浙江·期中）已知函数 f x - 2 = x - 4 x + 5，则 f (x) 的解析式为（ ）
A． f (x) = x2 +1(x 0) B． f (x) = x2 +1(x -2)
C． f (x) = x2 (x 0) D． f (x) = x2 (x -2)
【答案】B
【分析】应用换元法求函数解析式，注意定义域.
【详解】令 t = x - 2 -2 ，则 x = (t + 2)2 ，
所以 f t = (t + 2)2 - 4(t + 2) + 5 = t 2 +1，
综上， f (x) = x2 +1(x -2) .
故选：B
2
4-2．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f 1 x 1- x- = 2 x 0 ，则 f x =（ ）x
1 1
A． x -1 2
-1 x 0 B． -1 x 1 x -1 2
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1
【答案】B
【分析】利用换元法令 t =1- x 求解析式即可．
【详解】令 t =1- x ，则 x =1- t ，且 x 0，则 t 1，
1- 1- t 2
可得 f t 1= = -1, t 1 ，
1- t 2 t -1 2
f x 1所以 = -1 x 1 x -1 2 .
故选：B.
4-3．（2024 高一上·重庆·期中）已知 f x -1 = x +1，则函数 f x 的解析式为（ ）
A f x = x2 B f x = x2． ． +1 x 1
C． f x = x2 + 2x + 2 x -1 D． f x = x2 - 2x x 1
【答案】C
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】因为 f x -1 = x +1， x 0 ，
令 t = x -1，则 x = t 2 + 2t +1，t -1，
所以 f t = t 2 + 2t +1+1 = t 2 + 2t + 2，t -1，
故 f x = x2 + 2x + 2， x -1，
故选：C
1 1
4-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f x +
= x3÷ + 3 ，求 f x .è x x
【答案】 f x = x3 - 3x， x - ,-2 U 2,+
【分析】利用立方和公式将函数变形，令 t = x
1
+ ，利用基本不等式求出 t的取值范围，最后利用换元法计
x
算可得.
1 1 1 1 1 é 1 2 3 2 ù
【详解】因为 f x + ÷ = x + 3 = x + ÷ x -1+ 2 ÷ = x +x x x x x ÷ ê
x + ÷ - 3ú，
è è è è êè x ú
1 1
令 t = x + x > 0 t x 1，当 时 = + 2 x 1× = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时取等号，
x x x x
1 1 1
当 x < 0 时 t = x + = - éê -x +
ù
ú -2 -x
1
× = -2，当且仅当-x = ，即 x = -1时取等号，
x -x -x -x
所以 t - ,-2 U 2,+ ，则 f t = t t 2 - 3 = t3 - 3t ， t - ,-2 U 2,+ ，
\ f x = x3 - 3x ， x - ,-2 U 2,+ .
题型 5：待定系数法
5-1．（2024 高一上·福建厦门·阶段练习）已知 f x 是一次函数，且 f x +1 = 2x ，则 f x = .
【答案】 2x - 2
【分析】设 f x = ax + b，再代入 f x +1 = 2x 求解即可.
【详解】设 f x = ax + b，因为 f x +1 = a x +1 + b = ax + a + b = 2x，
则 a = 2，a + b = 0，故 a = 2，b = -2 .
所以 f (x) = 2x - 2 .
故答案为： 2x - 2
5-2 2．（2024 高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数 f x 满足 f x -1 = 2x -7x +6．
(1)求 f x 的解析式．
(2)求 f x 在 0,2 上的值域．
【答案】(1) f x = 2x2 - 3x +1
é 1 ù
(2) ê- ,3 8 ú
【分析】（1）令 x -1 = t ，则 x = t +1，利用换元法代入可求得 f x 的解析式；
（2）由（1）可得函数 f x 的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令 x -1 = t ，则 x = t +1，
f t = 2 t +1 2 - 7 t +1 + 6 = 2t 2 - 3t +1 2，∴ f x = 2x - 3x +1 .
2
3 1
（2）因为 f x = 2x2 - 3x +1 = 2 x - ÷ - ，
è 4 8
所以 f x 3 é 3ù é 3 ù的图象对称轴为 x = ，在 ê0, ú 上递减，在 ê , 2 上递增，4 4 4 ú
f x = f 3 1∴ ÷ = - ， f x = f 2 = 3min ，è 4 8 max
f x é 1 ù即 的值域为 ê- ,3ú . 8
5-3．（2024 高一上·广西桂林·期中）若 f g x = 6x +1，且 g x = 2x +1，则 f x =（ ）
A．3 B．3x C．3x - 2 D．3x - 3
【答案】C
【分析】应用换元法求函数解析式即可.
【详解】因为 f g x = 6x +1 , g x = 2x +1 ,则 f 2x +1 = 6x +1
设 2x +1 = t,即 2x = t -1
则 f t = 3 t -1 +1 ,即 f t = 3t - 2
所以 f x = 3x - 2
故选: C .
5-4．（2024 高三·全国·对口高考）若二次函数 f (x) 满足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1，则 f (x) 的表达式为
（ ）
A． f (x) = -x2 - x -1 B． f (x) = -x2 + x -1
C． f (x) = x2 - x -1 D． f (x) = x2 - x +1
【答案】D
【分析】设 f x = ax2 + bx + c ， a 0，根据 f 0 =1得到 c =1，再根据 f x +1 - f x = 2x 得到 a =1，
b = -1，从而得到函数的解析式.
【详解】设 f x = ax2 + bx + c ， a 0，
∵ f 0 =1，则 c =1， f x = ax2 + bx +1
又∵ f x +1 - f x = 2x ，
令 x = 0，则 f 1 - f 0 = 0，∴ f 1 =1，即 a + b +1 =1，a + b = 0，
令 x =1，则 f 2 - f 1 = 2， f 2 = 3，即 4a + 2b +1 = 3， 2a + b =1，
∴ a =1，b = -1， f x = x2 - x +1.
故选：D.
题型 6：方程组法
3
6-1．（2024 高一上·山西·阶段练习）已知函数 f (x) 满足 f (x) + 2 f (1- x) = ，求 (3)的值为（
x ）
3 4 3 5
A．- B．- C．- D．-
4 3 5 3
【答案】B
【解析】构造方程求出 f (x) 的解析式，再求 (3)的值.
Q f (x) 2 f (1 x) 3【详解】 + - =
x
\ f (1- x) + 2 f (x) 3=
1- x
f (x) 2 1\ = -
1- x x
\ f (3) 1 4= -1- = -
3 3
故选：B
1
6-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f x + 2 f ÷ = 3x x 0 ，求 f (x) 的解析式
è x
2
【答案】 f x = - x x 0
x
【分析】用方程组的方法求解即可.
1
【详解】因为 f x + 2 f ÷ = 3x x 0 ，
è x
1 1
用 替换 x 得 f ÷ + 2 f x
3
= x 0 ，
x è x x
f 1 消去 ÷，解得3 f x
6 2
= - 3x ，即 f x = - x x 0 .
è x x x
6-3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 f x 的定义域为 R，对任意 x R 均满足：
2 f x - f -x = 3x +1则函数 f x 解析式为（ ）
A． f x = x +1 B． f x = x -1 C． f x = -x +1 D． f x = -x -1
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由 2 f x - f -x = 3x +1，可得2 f -x - f x = -3x +1 ①，
又 4 f x - 2 f -x = 6x + 2 ②，①＋②得：3 f x = 3x + 3，解得 f x = x +1，
故选：A．
题型 7：赋值法
7-1．（2024 高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函数的解析式 ．
2
【答案】 f x = x
【分析】利用赋值法可得函数解析式.
【详解】 f x - y = f x + f y - 2xy 中，令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0；
令 y = x 得 f x - x = f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x = 2x2，
则 f x = x2 ．
故答案为： f x = x2 ．
7-2．（2024 高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数 f (x) 对一切的实数 x ， y ，都满足
2 f (x + y) - f (x - y) = x2 + y2 + 6xy + x + 3y - 2，且 f (0) = -2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 -3,1 上的值域.
f (2) = 4 f (x) x2 x 2 é
9 ù
【答案】（1） ；（2） = + - ；（3） - , 4
ê 4 ú
．
【分析】（1）令 x = y =1，则 2 f (2) - f (0) =10 即可求 f (2) ；
（2）令 y = 0 代入式子即可求解 f (x) 的解析式；
（3）由（2）知 f (x) = x2 + x - 2，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）令 x = y =1,则 2 f (2) - f (0) =1+1+ 6 +1+ 3 - 2 =10,Q f (0) = -2,\ f (2) = 4;
（2）令 y = 0 则 2 f (x) - f (x) = x2 + x - 2,\ f (x) = x2 + x - 2；
1
（3）Q f (x)对称轴为 x = - -1,3 ，
2
\ f (x) 9min = - , f (x)4 max
= 4，
\ f (x) 9 éê- , 4
ù
4 ú
．
7-3．（2024 高三·全国·专题练习）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f 0 = 0，并且对任意实数 x，y 都有
f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，求 f x 的解析式.
2
【答案】 f x =x +2 x
【分析】对 f x - y = f x - y 2x - y + 2 进行赋值，解方程求得 f x 的解析式.
【详解】对任意实数 x ， y ， f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，
令 y = x ，得 f 0 = f x - x 2x - x + 2 ，即 f 0 = f x - x x + 2 ，
f 0 = 0 f x = x x + 2 = x2又 ，所以 + 2x .
7-4．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数 y = f x 满足：对一切实数 a、b ，均有
f a + b - f b = a a + 2b +1 成立，且 f 1 = 0 .求函数 y = f x 的表达式.
【答案】 f (x) = x(x +1) - 2 .
【分析】根据所给关系对于 a,b合理赋值后求出 f (0)，再令b = 0可得解.
【详解】由已知等式 f (a + b) - f (b) = a(a + 2b +1)，
令 a =1，b = 0，得 f 1 - f 0 = 2．
又 f 1 = 0，所以 f 0 = -2．
再令b = 0，可得 f (a) - f (0) = a(a +1) ，即 f (a) = a(a +1) - 2．
因此，函数 y = f x 的表达式为 f (x) = x(x +1) - 2 ．
（四）
分段函数的定义域、值域
分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
题型 8：求分段函数的定义域
ìx2 -1, x -1,1
8-1．（2024 高一上·山西太原·阶段练习）函数 f x = í
x, x 0,2
的定义域为（ ）
A． B． x -1 x 2 C． -1,0,1,2 D． -1,0,1
【答案】C
【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.
【详解】由 -1,1 U 0,2 = -1,0,1,2 ，
得函数 f (x) 的定义域为 -1,0,1,2 .
故选：C.
8-2．（2024 高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
2
A． f x = x， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2
C f x x -1
1, x 0
． = ， g x = x +1 D． f x x= ， g x
ì
= í
x -1 x -1, x < 0
【答案】B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相
同，进而判断答案.
【详解】对 A， f x 的定义域为 R， g x 的定义域为[0,+ )，则 A 错误；
对 B， f t 和 g x 的定义域均为 R，且 g x = x2 =| x |，则 B 正确；
对 C， f x 的定义域为 x | x 1 ， g x 的定义域为 R，则 C 错误；
对 D， f x 的定义域为 x | x 0 ， g x 的定义域为 R，则 D 错误.
故选：B.
1
8-3．（2024 高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① y = 3 - x ；② y = ；③ y = x2 + 2x -10 x ；
ì-x, x 0
y = ④ í 1 ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
- , x > 0
x
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.
【详解】① y = 3 - x 的定义域和值域均为 R,
y 1② = ,定义域为{x R | x 0} x ，∴值域为
{y R | y 0}，定义域与值域相同；
③ y = x2 + 2x -10 = (x +1)2 -11的定义域为 R，值域为{y | y -11} ，
定义域与值域不相同；
ì-x, x 0
④ y =
í 1 的定义域为 R，当 x 0 时， y = -x 0；
- , x > 0 x
1
当 x > 0时， y = - < 0 ，则函数值域为 R, 故函数定义域与值域相同，
x
所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有 3 个．
故选：C．
题型 9：求分段函数的值域
ì2x2 ,0 x <1
9-1．（2024 高一上·云南保山·期中）函数 f x = í2,1 x < 2 的值域是（ ）
3, x 2
A． 0,2 3 B． 0, + C． 0,3 D． 0,2
【答案】A
【分析】分段求解值域，再取并集即可.
【详解】当0 x <1时， f x = 2x2 0,2 ；
当1 x < 2时， f x = 2；
当 x 2时， f x = 3，
所以函数 f x 的值域为 0,2 3 .
故选:A.
9-2．（2024·上海嘉定·二模）函数 y = x -1 + x - 4 的值域为 ．
【答案】 3, +
【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案.
ì5 - 2x, x 1
【详解】由函数 y = x -1 + x - 4 = í3,1 < x 4 ，
2x - 5, x > 4
当 x 1时， y = 5 - 2x 3；当 x > 4时， 2x - 5 > 3 .
综上所述，函数 y = x -1 + x - 4 的值域为 3, + .
故答案为： 3, + .
ì-x2 + x,0 x 2,
9-3．（2024 高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数 f x = í
-x2
f x 的最大值为 m， f x 的最小
- x, -1 x < 0,
值为 n，则m + n = ．
7
【答案】-
4
【分析】根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值，从而可得函数 f x 的最大值和最小值，即可得
解.
2
【详解】当0 x 2 1 1时， f x = -x2 + x = - x - ÷ + ，
è 2 4
1 1
所以此时 f x = fmax 2 ÷ = , f x = f 2 = -2 ，è 4 min
-1 x < 0 f x x2 x x 1
2
= - - = - +
1
当 时， 2 ÷
+ ，
è 4
f x = f 1- 1所以此时 max 2 ÷ = , f x = f -1 = 0è 4 min
，
1 1
综上所述， f x = , f x = -2，即m = ,n = -2max 4 min ，4
7
所以m + n = - .
4
7
故答案为：- .
4
ì -x x -1
9-4．（2024 高二下·北京大兴·阶段练习）函数 f x = í 2
x x > -1
的最小值是 .
【答案】0
【分析】根据分段函数，分别求两段函数的最小值，比较后，即可求解.
【详解】当 x -1时， y = -x 的单调递减， ymin =1，
当 x > -1， y = x2， ymin = 0 ，
所以函数 f x 的最小值为0 .
故答案为：0
（五）
分段函数求值问题
1、求分段函数函数值的步骤
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
2、已知分段函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
题型 10：分段函数求值问题
ìx + 4, x 0
10-1．（2024 2高一·全国·课后作业）已知函数 f x = íx - 2x,0 < x 4．
-x + 2, x > 4
（1）求 f f 5 的值；
（2）画出函数 f x 的图象．
【答案】（1）1；（2）图象见解析.
【解析】（1）利用函数 f x 的解析式由内到外可逐层计算出 f f 5 的值；
（2）根据函数 f x 的解析式可画出该函数的图象.
ìx + 4, x 0
【详解】（1）Q f x = íx2 - 2x,0 < x 4，\ f 5 = -5 + 2 = -3，则 f f 5 = f -3 = -3+ 4 =1；
-x + 2, x > 4
（2）函数 f x 的图象如下图所示：
ì -2x, x < -1,
10-2．（2024 高一上·广东汕头·期中）已知函数 f x = í2,-1 x 1,
2x, x >1,
f 3- f 1 f f 1 (1)求 2 ÷ ， 2 ÷， ÷÷；è è è è 2
(2)若 f a = 6，求 a的值．
【答案】(1)3，2，4
(2) -3或 3
【分析】（1）根据自变量的范围代入进行求值即可；
（2）分段解方程即可求解.
3
【详解】（1）因为- - ,-1 ，
2
f 3 2 3所以 - ÷ = - -
÷ = 3．
è 2 è 2
1
因为 1-1,1 ，所以 f ÷ = 2．2 è 2
又 2 1,+ ，
f 1 所以 f ÷÷ = f 2 = 2 2 = 4 ．
è è 2
（2）经观察可知 a -1,1 ，否则 f a = 2．
若 a - ,-1 ，令-2a = 6 ，得 a = -3，符合题意；
若 a 1,+ ，令 2a = 6，得 a = 3，符合题意．
故 a的值为-3或 3．
ì
2x + 3, x < -1
10-3．（2024 2高一上·广西梧州·阶段练习）已知函数 f x = íx +1,-1 x 1.
1 1+ , x >1
x
(1)求 f ( f (-2))的值；
3
(2)若 f x0 = ，求 x0 的值.2
【答案】(1)2；
(2) 2± 或 2
2
【分析】（1）根据 x 的取值范围求出对应的函数值，再将函数值代入相应的解析式即可求得.
3
（2）对自变量分情况讨论，令函数值等于 ，求出对应的 x0 ，再根据自变量的取值范围即可确定 x0 的值.2
ì
2x + 3, x < -1
2
【详解】（1）Q f x = íx +1,-1 x 1
1 1+ , x >1
x
\ f -2 = 2 -2 + 3 = -1，
f f -2 = f -1 = -1 2 +1 = 2
（2） f x 30 = 2
x < -1 f x 2x 3 3 x 3当 0 时， 0 = 0 + = ，解得2 0 = - ，不成立；4
2 3
当-1 x0 1时， f x0 = x0 +1 = 2 2，解得2 x0 = - 或 x0 = ，成立；2 2
f x 1 1 3当 x0 >1时， 0 = + =x 2 ，解得x0 = 2成立.0
2
综上， x0 的值为± 或 2.
2
题型 11：分段函数与不等式的综合
ì 2x + 3, x 0
11-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 f (x) = í 2 ,x 0 则使
f (x) -1成立的 x 的取值范围是
- x -1 , >
（ ）
A． -2,2 B． -2,0
C． -2, 2 D． 0,2
【答案】A
【分析】（方法 1）分别在 x 0 时，解不等式 f (x) -1，在 x > 0时，解不等式 f (x) -1，再求并集得答
案.
（方法 2）在同一坐标轴中画 f (x) 的图象，虚线 y = -1，则函数 f (x) 图象在虚线 y = -1及以上的部分中 x 的
取值范围，即不等式 f (x) -1的解集，从而得答案.
【详解】（方法 1）当 x 0 时 f (x) = 2x + 3，不等式 f (x) -1可化为 2x + 3 -1，解得 x -2，又 x 0 ，所以
-2 x 0；
当 x > 0时， f (x) = -(x -1)2，不等式 f (x) -1可化为-(x -1)2 -1，解得0 x 2，
又 x > 0，所以0 < x 2 .
综上，使不等式 f (x) -1成立的 x 的取值范围是 -2,2 .
故选: A.
（方法 2）函数 f (x) 的图象如图所示，虚线表示 y = -1，函数 f (x) 图象在虚线 y = -1及以上的部分中 x 的取
值范围即不等式 f (x) -1的解集.
由图可知， x 的取值范围就是点的横坐标与点 B 的横坐标之间的范围.
在 y = 2x + 3中，令 y = -1，得 x = -2，所以点A 的横坐标为-2 .
在 y = -(x -1)2中，令 y = -1，得 x = 0（舍去）或 x = 2，
所以点 B 的横坐标为 2，所以使不等式 f (x) -1成立的 x 的取值范围是 -2,2 .
故选：A.
ì-x2 + 2x, x > 0
11-2．（2024 高一上·重庆万州·阶段练习）函数 f (x) = í ，若关于 x 的不等式 f (x) x 的解
3x + 6, x 0
集 .
é 3 ù
【答案】 ê- ,1 2 ú
ì x > 0 ì x 0
【分析】原不等式等价于 í x2 2x x或 í3x 6 x，分别解出对应
x 不等式即可得出结果.
- + + -
ì x > 0 ì x 0 3
【详解】由题意得原不等式等价于 í 2 或 í ，解得0 < x 1或- x 0 ，
-x + 2x x 3x + 6 -x 2
即关于 x 的不等式 f (x)
3
x é ù的解集为： ê- ,1 2 ú
é 3 ù
故答案为： ê- ,1 2 ú
ìx + 2, x > 011-3 2．（2024 高一下·河北衡水·阶段练习）设 f x = íx ，则不等式 f x < x 的解集是（ ） - 2, x 0
A． - ,0 2,+
B．R
C． 0,2
D． - ,0
【答案】A
【分析】分别在 x > 0和 x 0 的情况下解一元二次不等式即可.
【详解】当 x > 0时，由 f x < x2 得： x + 2 < x2 ，解得： x < -1或 x > 2，\ x > 2；
当 x 0 时，由 f x < x2 得： x - 2 < x2，解得： x R ，\ x 0；
\不等式 f x < x2 的解集是 - ,0 2,+ .
故选：A.
11-4．（2024·全国· 2模拟预测）已知函数 f x = max -x + 2x,-x +1, x - 2 .
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x k x -1对任意 x R 恒成立，求 k 的取值范围.
【答案】(1)0
1 ù
(2) - ,
è 2 ú
【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出 f x 的图象，通过图象可得最小值；
（2）设 g x = k x -1，可知 g x 恒过点M 0, -1 ，作图并分类讨论 k ，结合条件根据图象，求出 k 的取值
范围.
2
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y = -x + 2x， y = -x +1， y = x - 2的图象，如图 1 所
示，
-x2 + 2x = -x +1 x 3 - 5 x 3+ 5由 ，解得 = 或 = ；
2 2
由-x2 + 2x = x - 2，解得 x=-1或 x = 2 .
ì
-x
3- 5
+1, x
2
由图象易得 f x = 2í-x + 2x, 3- 5 < x 2，
2
x - 2, x > 2
结合图象可知，当 x = 2时， f x 取得最小值，
即 f x = f 2 = 0min .
（2）设 g x = k x -1，则 g x 恒过点M 0, -1 ，
因为 f x = f 2 = 0min ，所以记 A 2,0 ，
由（1）知， f x 的图象如图 2 所示，
当 k 0时， g x = k x -1 -1，即 g x = -1max ，
所以 f x > g xmin max ，不等式恒成立.
1
当 k > 0 时，易知直线 AM 的斜率 kAM = ，2
由图象可知，根据 f x g x 恒成立，
ìk 1 1 1
可得 í 2 ，解得 k ，所以0 < k ，
k 1 2 2
1 ù
综上所述，k 的取值范围是 - , ú .è 2
（六）
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再
保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握.
(2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心
点和实心点标出.
题型 12：分段函数图象及应用
ìx + 2, (x -1)
12-1．（24-25 高一上·上海· 2随堂练习）已知函数 y = í x , (-1 < x < 2)
-2x + 8, (x 2)
(1)在坐标系中作出函数的图象；
1
(2)若 x = a时函数值等于 ，求 a 的取值集合．
2
【答案】(1)答案见解析
ì 3 2 ü
(2) í- , - ,
2 ,15
2 2 2 4
【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可.
（2）根据分段函数性质对 a分类讨论，列出方程即可求解.
ìx + 2, (x -1)
2
【详解】（1）函数 y = íx , (-1< x < 2)的图象如下图所示：
-2x + 8, (x 2)
1 3
（2）当 a -1时， f a = a + 2 = ，可得： a = - ；
2 2
当-1 < a < 2时， f (a)
1
= a2 = 2，可得：
2 a = ±
；
2
当 a 2时， f a 1 15= -2a + 8 = ，可得 a = ；
2 4
ì 3 2 2 15 ü
综上所述，a 的取值构成集合为 í- , - , , .
2 2 2 4
12-2．（2024 高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数 f x = 2 x + x - 2．
(1)将函数 f x 写成分段函数的形式并画出其图象；
(2)写出函数 f x 的单调区间和值域．
ì3x - 2, x 0
【答案】(1) f x = í x 2, x 0，图象见解析 - - <
(2)单调递增区间为 0, + ，单调递减区间为 - ,0 ，值域为 -2, +
【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象；
（2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域.
ìx, x 0
【详解】（1）因为 x = í x, x 0， - <
3x - 2, x 0所以 f x = 2 x + x - 2 ì= í
-x 2, x 0
，
- <
所以 f x 的图象如下所示：
（2）由（1）中函数图象可知， f x 的单调递增区间为 0, + ，单调递减区间为 - ,0 ，
又 f 0 = -2，所以 f x 的值域为 -2, + .
12-3．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数 f x = x - x , x -1,2 ，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例
如 -3.05 = -4， 2.1 = 2.
(1)将 f (x) 的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 f (x) 的图象;
(3)根据图象写出函数 f (x) 的值域.
ìx +1，-1 x < 0
【答案】(1) f (x) = íx,0 x <1 .
x -1，1 x < 2
(2)作图见解析
(3) 0,1 .
【分析】(1)根据已知条件给的新定义，可以将函数分为三段，分别求解析式即可.
(2)根据写出的分段函数画图.
(3)由图像就可以观察出函数的值域.
【详解】（1）当-1 x < 0时， x = -1，所以 f (x) = x +1;
当0 x <1时， x = 0，所以 f (x) = x;
当1 x < 2时， x =1，所以 f (x) = x -1.
ìx +1，-1 x < 0
综上， f (x) = íx,0 x <1
x -1，1 x < 2
（2）函数 f (x) 的图象如图所示.
（3）由图象，得函数 f x 的值域为 0,1 .
12-4．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函数 f (x) 是定义在 上的奇函数，且当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x，
(1)求函数 f (x)(x R)的解析式，并作出简图；
g(x) x +1(2)求函数 = 在区间 (0,2)f (x) 上的值域.
ìx2 + 2x, x 0
【答案】(1) f (x) = í 2 ，作图见解析；
-x + 2x, x > 0
(2)[1 3+ , + ) .
2
【分析】（1）利用奇函数定义求出 x > 0时 f (x) ，再用分段函数表示出即可.
（2）当 x (0,2) 时，求出 g(x)，利用换元法结合对勾函数性质求出值域.
【详解】（1）函数 f (x) 是定义在 上的奇函数，且当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x，
当 x > 0时，-x < 0，则 f (x) = - f (-x) = -(x2 - 2x) = -x2 + 2x，而 f (0) = 0，
ìx2 + 2x, x 0
所以 f (x) = í ，函数 f (x) 的图象，如图：
-x
2 + 2x, x > 0
g(x) x +1（2）由（1）得 = ， x (0,2) ，
-x2 + 2x
y t 1 1= = =
令 t = x +1， t (1,3)，则 -t 2 + 4t - 3 -t 3+ 4 - -(t 3+ ) + 4 ，
t t
函数 y = t
3
+ 在 (1, 3]上单调递减，在[ 3,3)上单调递增，
t
1 1 3
则 2 3
3 3
t + < 4，0 < -(t + ) + 4 4 - 2 3 =1+，于是
t t -(t 3+ ) + 4 4 - 2 3 2
，
t
x +1 3
所以函数 g(x) = 在区间 (0,2)f (x) 上的值域为[1+ , + ) .2
ì x - 3 -1, x 012-5．（2024 高二下·海南海口·期末）已知函数 f x = í 2 ， g x = kx .若 k = -1，则
2 - x , x < 0
f ég 2 ù = ；若函数 y = f x 的图象与 y = g x 的图象有 3 个公共点，则 k 的取值范围
是 .
1
【答案】 -2 - ,1
3 ֏
【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得.
【详解】若 k = -1，则 g x = -x，显然 g 2 = -2，
则 f ég 2 ù = f -2 = 2 - -2
2 = -2；
如图所示作出 = ( )的大致图象，
易知 = ( )过原点，要满足题意需与 y = x - 3 -1有两个交点，
当 = ( )过 3, -1 1时，此时 k = - ，不满足题意，
3
当 k =1时， = ( )与 y = x - 3 -1只一个交点，
1 1
数形结合可知，当 y = g x 的斜率介于 - ,1÷时满足题意，即 k - ,1
÷ .
è 3 è 3
1- ,1 故答案为：-2； ÷ .
è 3
一、单选题
1．（2024 2高一上·重庆万州·期中）将函数 y = 2 x -1 + 3的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位长
度，所得的函数图象对应的解析式为（ ）
A． y = 2 x - 2 2 + 6 B． y = 2x2 + 6
C． y = 2x2 D． y = 2 x - 2 2
【答案】C
【分析】
根据函数图象变换的知识求得正确答案.
2
【详解】函数 y = 2 x -1 + 3的图象向左平移 1 个单位得到 y = 2x2 + 3，
再向下平移 3 个单位长度得到 y = 2x2 .
故选：C
2．（山东省 2023-2024 学年高三上学期普通高校招生（春季）考试第一次校际联考数学试题）如图，公园里
有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为
AB BO OA )，则小明到O点的直线距离 y 与他从A 点出发后运动的时间 t之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.
【详解】小明沿 AB 走时，与О点的直线距离保持不变，
沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，
沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.
故选：D.
x
3．（2024 高一上·福建宁德·期中）函数 f x = x -1的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.
ì x
, x > 0且x 1
【详解】函数 f x
x
= x x -1
x -1的定义域为 x ±1， f x = =x -1 í x , x < 0且x -1
-x -1
f (2) = 2 > 0，排除 BC 选项， f (-2) = -2 < 0，排除 D 选项.
故选：A
4．（2024 高一上·福建）如图，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，M 是CD的中点，则当 P 沿 A - B - C - M
运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y = f (x) 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分点 P 在 AB 上时，点 P 在BC 上时，点 P 在 AB 上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
1 1
【详解】当点 P 在 AB 上时： y = x 1 = x,0 x 1，
2 2
当点 P 在BC 上时： y = S正方形ABCD - SVADM - SVABP - SVPCM
= AB2 1 AD DM 1 1- × - AB × BP - CP ×CM
2 2 2
=12 1- 1 1 1 1 1 - 1 x -1 - 2 - x ，
2 2 2 2 2
1 x 3= - + ,1< x 2
4 4
1 5 1 5 5
当点 P 在 AB 上时： y = ( - x) 1 = - x + ,2 < x ，
2 2 2 4 2
由函数可知，有三段直线，又当点 P 在BC 上时是减函数，如下图：
故选：A．
5．（2024 高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始 15 分钟内的速度V x （单位：米
/分钟）与时间 x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” v x 为无人机在时间段 0, x 内的最大速度与
最小速度的差，则 v x 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据速度差函数的定义，分 x [0,6], x [6,10], x [10,12], x [12,15]四种情况，分别求得函数解析
式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当 x [0,6]时，无人机做匀加速运动，V (x) 60
40 x v(x) 40= + ，“速度差函数” = x；
3 3
当 x [6,10]时，无人机做匀速运动，V (x) =140，“速度差函数” v(x) = 80；
当 x [10,12]时，无人机做匀加速运动，V (x) = 40 +10x，“速度差函数” v(x) = -20 +10x；
当 x [12,15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” v(x) =100，结合选项 C 满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
ì x2 x 0
6．（2024·湖北·一模）已知函数 f x = í 1 ，g x = - f x ，则函数 g x 的图像是（ ）
- x > 0 x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 g x = - f x 可知 g x 图像与 f x 的图像关于 x 轴对称，由 f x 的图像即可得出结果.
【详解】因为 g x = - f x ，所以 g x 图像与 f x 的图像关于 x 轴对称，
由 f x 解析式，作出 f x 的图像如图
.
从而可得 g x 图像为 D 选项.
故选：D.
ì 1 2 3
7．（2024 高二下·吉林长春·期末）已知函数 f
- x - x + , x a
x = í 2 2 无最大值，则实数 a 的取值范围是
-2x, x > a
（ ）
A． 1, + B． -1,0 C． 0, + D． - ,-1
【答案】D
【分析】根据题意作出函数 f (x) 的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.
1 2
【详解】解：由题可知，当 x a时， f (x) = - x - x
3
+ ，其对称轴为 x = -1，
2 2
1
当 a -1时，函数 f (x) = - x2 x
3
- + 有最大值为 f (-1) = 2，
2 2
当 a < -1时，函数 f (x)
1 3 1 3
= - x2 - x + 2有最大值为 f (a) = - a -a + ，
2 2 2 2
当 x > a 时， f (x) = -2x ，在 (a,+ ) 单调递减，故 f (x) < f (a) = -2a ，
因为函数 f (x) 无最大值，故当 a -1时，需满足 2 < -2a ，解得 a < -1，不符合题意，
1 2 3
当 a < -1时，需满足- a -a + < -2a ，解得 a < -1， a > 3（舍去）.
2 2
综上，实数 a 的取值范围是 (- ,-1) .
故选：D.
8．（2024 高一上·辽宁辽阳·期中）函数 f x = x -1 +1的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.
f x x 1 1 ìx, x 1【详解】解：因为 = - + = í ，且 f 1 = 1-1 +1 =12 x, x 1 ， - <
f 0 = 0 -1 +1 = 2，故符合题意的只有 A.
故选：A
ì x2 -1, x > a
9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数 f x = í x a 1 , x a，若 f x 的最小值为 1，则 a 的取值范围是 - -
（ ）
é 2
A． ê ,+ 2 ÷÷ B．
é
2, +
C． é 2 2, + D． é 4 2,+
【答案】B
【分析】讨论分段函数各段上的函数性质，结合分类讨论研究函数最小值，进而确定 a 0的情况下有满足
要求的情况，再比较两分段上最小值列不等式求参数范围.
【详解】由 x a，则 x - a -1 -1，仅当 x = a时等号成立，
所以 | x - a -1|= a +1- x 1，在 (- ,a]上递减，且最小值为1，
对于 y = x2 -1在 (a,+ ) 上，当 a < 0时 ymin = -1；当 a 0时 y > a2 -1，无最小值；
显然， a < 0时 f x 的最小值不为 1，不合题意；
所以 a 0，此时必有a2 -1 1，可得 a 2 .
故选：B
10．（2024 高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的
余数大于6 时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y = [x]
（[x]表示不大于 x 的最大整数，如[p ] = 3，[4] = 4）可表示为（ ）
A． y
x + 2
= [ ] B． y [
x + 3] y [ x + 4= C． = ] D． y = [
x + 5]
10 10 10 10
【答案】B
【分析】令班级人数的个位数字为 n ，则 x =10m + n（m N ），结合题意讨论 n 写出对应 y 值，由取整函数
的定义写出函数关系式.
【详解】设班级人数的个位数字为 n ，令 x =10m + n，（m N ），
当0 n 6时， y = m，当 7 n 9时， y = m +1，
y [ x + 3综上，函数关系式为 = ] .
10
故选：B.
11．（2024 高一上·广西柳州·期中）如图，VABC 是边长为 2 的等边三角形，点 E 由点 A 沿线段 AB 向点 B
移动，过点 E 作 AB 的垂线 l，设 AE = x，记位于直线 l 左侧的图形的面积为 y，那么 y 与 x 的函数关系的图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】建立 y 关于 x 的关系式，分为E 点在 AB 中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求
解．
【详解】因为VABC 是边长为 2 的等边三角形，
所以当 AE = x时，设直线 l与 AC 交点为F ，
当E 点在 AB 1 3中点左侧时，EF = 3x ， SVAEF = x × 3x = x
2 (0 x 1)，
2 2
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除 BC，
当E 点在 AB 1 3中点右侧时， S 2VBEF = (2 - x) × 3(2 - x) = (2 - x) ，2 2
3 3 3
此时左侧部分面积为： S 2VABC - SVBEF = 2 - (2 - x)
2 = - (x - 2)2 + 3(1 < x 2) ，
4 2 2
此时函数为开口向下 d 额二次函数，此时可排除 A，
故选：D
故选：D．
二、多选题
12．（2024 高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（ ）
A． y = (x -1)2 - 4向右平移1个单位 B． y = (x -1)2 - 4向左平移1个单位
C． y = (x +1)2 - 2向上平移1个单位 D． y = (x +1)2 - 2向下平移1个单位
【答案】AC
【分析】
先求得变换后的解析式，然后将原点坐标代入验证即可.
【详解】 y = (x -1)2 - 4向右平移1个单位得到 y = (x - 2)2 - 4，当 x = 0时， y = 0 ，函数图像过原点，选项 A
正确；..
y = (x -1)2 - 4向左平移1个单位得到 y = x2 - 4，当 x = 0时， y = -4 ，函数图像不过原点，选项 B 错误；
y = (x +1)2 - 2向上平移1个单位得到 y = (x +1)2 -1，当 x = 0时， y = 0 ，函数图像过原点，选项 C 正确；
y = (x +1)2 - 2向下平移1个单位得到 y = (x +1)2 - 3，当 x = 0时， y = -2，函数图像不过原点，选项 D 错误.
故选：AC
f x ìax -1, x < a13．（2024 高一下·贵州遵义·期末）设函数 = í f x a
x
2 ， 存在最小值时，实数 的值可能- 2ax +1, x a
是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】根据函数解析式，分 a > 0、 a = 0、 a < 0三种情况讨论，当 a < 0时根据二次函数的性质只需函数
在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；
ìax -1, x < a
【详解】解：因为 f x = í 2 ，
x - 2ax +1, x a
若 a > 0，当 x < a 时 f x = ax -1在 - ,a 上单调递增，当 x - 时 f x - ，此时函数不存在最小值；
ì-1, x < 0若 a = 0，则 f x = í 2 ，此时 f x = -1min ，符合题意；
x +1, x 0
若 a < 0，当 x < a 时 f x = ax -1在 - ,a 上单调递减，
当 x a时 f x = x2 - 2ax +1，
二次函数 = 2 2 + 1对称轴为 x = a，开口向上，此时 f x 在 a,+ 上单调递增，
ìa < 0
要使函数 f x 存在最小值，只需 í a -1
a
2 -1 a2 - 2a2 ，解得 ，+1
综上可得 a - ,-1 U 0 .
故选：ABC
14．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x 是一次函数，满足 f f x = 9x + 8，则 f x 的解析式可能
为（ ）
A． f x = 3x + 2 B． f x = 3x - 2
C． f x = -3x + 4 D． f x = -3x - 4
【答案】AD
【分析】设 f x = kx + b，代入 f f x = 9x + 8列方程组求解即可.
【详解】设 f x = kx + b，
由题意可知 f f x = k kx + b + b = k 2x + kb + b = 9x + 8，
ìk 2 = 9 ìk = 3 ìk = -3
所以 í ，解得 或 í ，
kb + b
í
= 8 b = 2 b = -4
所以 f x = 3x + 2或 f x = -3x - 4 .
故选：AD.
三、填空题
ìn - 3, n 10
15．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 f n = í n N ，则 f (8)f f n 5 ,n 10 的值为 . é + ù <
【答案】7
【分析】根据函数的解析式，代入 n = 8，逐次计算，即可求解.
ì n - 3, n 10
【详解】由题意，函数 f n = í n N
f é f n + 5
，
ù ,n <10
则 f 8 = f f (8 + 5) = f (13- 3) = f (10) =10 - 3 = 7 .
故答案为：7 .
ì f x +1
f x , x 016．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数 = í 2 ，则 f ( f (-4)) = ．
x - 3x - 4, x > 0
【答案】-6
【分析】由分段函数解析式计算函数值即可.
【详解】 f (-4) = f (-3) = f (-2) = f (-1) = f (0) = f (1) =1- 3- 4 = -6，
所以 f ( f (-4)) = f (-6) = f (1) =1- 3- 4 = -6
故答案为：-6 .
ì4x2 -1, x 0
17．（2024 高一下·河南信阳·期中）已知函数 f x é 1 ù= í 1 ，则 f f = ．
- +1, x > 0
ê
è 5
÷
ú
x
【答案】63
1
【分析】先计算 f ÷ = -4，再计算 f -4 的值即可.
è 5
f 1 1 ÷ = - 1 +1 = -4 f
é f 1 ù【详解】因为 è 5 ，所以 ê ÷ú = f -4 = 4 16 -1 = 63．
è 55
故答案为：63．
18．（2024 高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足： f x + y = f x + f y + 2xy的函数解析式为 .
【答案】 f x = x2
【分析】赋值法得到 f 0 = 0， f x + f -x = 2x2，求出函数解析式.
【详解】 f x + y = f x + f y + 2xy中，令 x = y = 0 ，解得 f 0 = 0，
令 y = -x 得 f x - x = f x + f -x - 2x2 ，故 f x + f -x = 2x2，
f x = x2不妨设 ，满足要求.
故答案为： f x = x2
1 1
19．（2024 高一上· 2全国·课后作业）已知 f x - ÷ = x + 2 ，则函数 f x = ， (3)= ．è x x
【答案】 x2 + 2 11
【分析】利用换元法可求出 f (x) ，进一步可得 (3).
1 2 1 1 2 2
【详解】令 x - = t ，则 x +
x x2
= (x - ) + 2 = t + 2，
x
所以 f (t) = t 2 + 2，所以 f (x) = x2 + 2，
所以 f (3) = 32 + 2 =11 .
故答案为： x2 + 2；11.
ì-x2 + 2, x 1
20．（2024 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 f x = í 1 ，当 x a,b 时，1 f x 3，则b - a
x + -1, x >1 x
的最大值是 ．
【答案】3 + 3 / 3 + 3
【分析】分别求得 f x = 3和 f x =1时对应的自变量 x 的值，结合 f x 的图象可确定 a,b的取值范围，由
此可得结果.
2
【详解】令-x + 2 =1 x 1 1，解得： x = ±1；令 x + -1 = 3 x >1 ，解得： x = 2 + 3 ；x
\ f x 图象如下图所示，
由图象可知： a -1,1 ，b = 2 + 3 ，\ b - a = 2 + 3 - -1 = 3 + 3max .
故答案为：3+ 3 .
四、解答题
21．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习）根据下列条件，求 f x 的解析式.
(1)已知 f x + 2 = 2x + 8 x + 5
(2)已知 f x + 2 f -x = 3x2 - 2x
(3)已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 =1, f x +1 - f x = 2x
【答案】(1) f x = 2x2 - 3(x 2) ；
(2) f x = x2 + 2x；
(3) f x = x2 - x +1.
【分析】（1）利用换元求解，令 t = x + 2(t 2)，然后 t表示出 x , x，代入化简即可；
（2）利用方程组法求解，再构造一个关于 f x , f -x 的方程，然后解方程组可求得结果；
（3）利用待定系数法求解，令 f x = ax2 + bx + c(a 0) ，然后由已知条件列方程组求解.
2
【详解】（1）令 t = x + 2(t 2)，则 x = t - 2， x = t - 2 ，
所以由 f x + 2 = 2x + 8 x + 5，
得 f t = 2(t - 2)2 + 8(t - 2) + 5 = 2t 2 - 3，
2
所以 f x = 2x - 3(x 2) ；
（2）由 f x + 2 f -x = 3x2 - 2x ，
得 f -x + 2 f x = 3(-x)2 - 2(-x) = 3x2 + 2x ，
所以 f -x = 3x2 + 2x - 2 f x ，
所以 f x + 2 é 2 2 3x + 2x - 2 f x ù = 3x - 2x，
解得 f x = x2 + 2x；
（3 2）由题意设 f x = ax + bx + c(a 0) ，
因为 f 0 =1，所以 c =1，
因为 f x +1 - f x = 2x ，
2
所以 a(x +1) + b(x +1) + c - ax2 + bx + c = 2x ，
所以 2ax + a + b = 2x，
ì2a = 2
所以 í ，得 a =1,b = -1，
a + b = 0
所以 f x = x2 - x +1.
22．（2024 高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数 f (x) 的解析式．
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，则 f (x) 的解析式为__________．
(2)已知 f (x) 2 f (x) + f
1
满足 ÷ = 3x，求 f (x) 的解析式．
è x
(3)已知 f (0) =1，对任意的实数 x，y 都有 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)，求 f (x) 的解析式．
【答案】(1) f (x) = x2 -1(x 1)
1
(2) f (x) = 2x - (x 0)
x
(3) f (x) = x2 + x +1
【分析】(1)利用换元法或者配凑法求解析式；
(2)构造方程组即可求解析式；
(3)令 x = 0即可求得解析式.
【详解】（1）方法一（换元法）：令 x +1 = t ，则 x = (t -1)2 ， t 1．
所以 f (t) = (t -1)2 + 2(t -1) = t 2 -1(t 1) ，
所以函数 f (x) 的解析式为 f (x) = x2 -1(x 1) ．
方法二（配凑法）： f x +1 2= x + 2 x = x + 2 x +1-1 = x +1 -1．
因为 x +1 1，所以函数 f (x) 的解析式为 f (x) = x2 -1(x 1) ．
1
（2）将 代入 2 f (x) + f
1 1 3
÷ = 3x，得 2 f + f (x) = ，x x x ÷è è x
ì
2 f (x) f (
1
+ ) = 3x,
x
因此 í ，解得 f (x) = 2x
1
- (x 0) ．
2 f (1) f (x) 3+ = , x
x x
（3）令 x = 0，得 f (-y) = f (0) - y(-y +1) =1+ y2 - y = (-y)2 + (-y) +1，
所以 f (y) = y2 + y +1，即 f (x) = x2 + x +1．
ì 2
, x 2
23．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函数 f x = í x .
2
x - 3, x < 2
(1)在所给坐标系中作出 y = f x 的简图；
1
(2)解不等式 f x < .
2
【答案】(1)图像见解析
14 14
(2) - ,2 2 ÷÷
U 4,+
è
【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可；
（2）分段函数分段解不等式即可.
【详解】（1） y = f x 的简图如下：
；
ì2 1 1
<
ì
x2 - 3 <
（2）由已知得 í x 2 或 í 2 ，
x 2 x < 2
>4 14 14解得 或- < x < ，
2 2
即不等式 f 1 14 , 14x < 的解集为 - ÷÷ U 4,+ ．2 è 2 2
ì-x2 + 2x(0 x 2)
24．（2024 高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 f (x) = íx2
.
+ 2x(-2 x < 0)
f 2- f 1 (1)求 ÷ ， 2 ÷的值；è 3 è
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
f 2- 8 1 3【答案】(1) 3 ÷
= - ， f =
è 9 2 ÷è 4
(2)函数的简图见解析.
(3) -1,1
【分析】（1）直接利用分段函数解析式求解函数值.
（2）根据函数类型及性质作函数简图.
（3）由简图直接看出函数的值域.
ì-x2 + 2x(0 x 2)
【详解】（1）由 f (x) = í ，
x
2 + 2x(-2 x < 0)
2 2 2 2∴ f - = ÷ - ÷ + 2
2
8 1 1 1 3
- ÷ = - ， f ÷ = - ÷ + 2 = .
è 3 è 3 è 3 9 è 2 è 2 2 4
（2）简图如图所示：
（3）简图可知函数的值域为 -1,1
25 2024 · · f x = x2．（ 高一上 广东深圳 期中）已知 - 2 x + 2 .
(1)用分段函数的形式表示该函数.
(2)画出 f x 区间 -1,3 上的的图象；
(3)根据图象写出 f x 区间 -1,3 上的值域.
ìx2 - 2x + 2, x 0
【答案】(1) f (x) = í
x
2 + 2x + 2, x < 0
(2)作图见解析
(3) 1,5
【分析】(1)根据绝对值分类讨论即可表示为分段函数；
(2)根据二次函数图象性质作出图象；
(3)根据图象确定函数最小值、最大值即可求值域.
【详解】（1）当 x 0 时， f x = x2 - 2x + 2，当 x < 0 时， f x = x2 + 2x + 2，
ìx2 - 2x + 2, x 0
所以 f (x) = í 2 .
x + 2x + 2, x < 0
（2）根据二次函数的图象性质，作图如下，
（3）由图象可知，当 x = -1或 x =1时，函数有最小值为 f (-1) = f (1) =1，
当 x = 3时，函数有最大值为 f (3) = 5，
所以 f x 区间 -1,3 上的值域为 1,5 .
26 2．（2024 高一上·广东东莞·阶段练习）给定函数 f x = 2 - 2x ， g x = 3x ， x R .
(1)在所给坐标系（1）中画出函数 ( )， ( )的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2) ∈ ，用m x 表示 ( )， ( )中的较小者，记为m x = min f x , g x ，请分别用解析法和图象法表
示函数m x .（m x 的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数m x 的值域.
【答案】(1)图象见解析.
ì
2 - 2x2 , x -2
1
(2) m(x) = í3x,-2 < x < ，图象见解析.
2
2 - 2x2 , x
1
2
3
(3) (- , ] .
2
【分析】（1）根据函数的解析式，在坐标系中分别描出 5 个点，再将各点连接起来，即可得 ( )， ( )的大
致图象；
（2）根据函数的定义，结合（1）所得图象写出解析式，进而画出m x 的图象.
（3）由（2）所得图象直接写出m x 的值域.
【详解】（1）
-2 -1 0 1 2
( ) -6 0 2 0 -6
( ) -6 -3 0 3 6
∴函数 ( )， ( )的大致图象如下图示：
（2）由 2 - 2x2 = 3x，可得 x = -2或 x
1
= ，结合（1）的图象知：
2
ì
2 - 2x2 , x -2
m(x) = í3x, 2
1
- < x < ，则m x 的图象如下：
2
2 1
2 - 2x , x
2
（3）由（2）所得图象知：m x 的值域为 ( 3- , ] .
2
27．（2024 高二上·云南·阶段练习）已知函数 f x 满足 f x + 2 f -x = 6x2 - 4x +12．
(1)求 f x 的解析式；
(2)设函数 g x = 8x2 +16x - m，若对任意 x -3,3 ， f x g x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
2
【答案】(1) f x = 2x + 4x + 4
(2) 86, +
【分析】（1）将“ -x ”代入等式，消去 f (-x) 解出 f (x) ；
（2）将条件转化为m 6x2 +12x - 4对任意 x -3,3 恒成立，求出 y = 6x2 +12x - 4在 x -3,3 上的最大值，
可得 m 的取值范围.
【详解】（1）由 f x + 2 f -x = 6x2 - 4x +12，
得 f -x + 2 f x = 6x2 + 4x +12，
消去 f (-x) 得3 f x = 6x2 +12x +12 f x = 2x2，所以 + 4x + 4．
（2）由 f x g x ，得 2x2 + 4x + 4 8x2 +16x - m ，即m 6x2 +12x - 4对任意 x -3,3 恒成立，
令 y = 6x2 +12x - 4 = 6 x +1 2 -10 ， x -3,3 ，
当 x = 3时， y = 6x2 +12x - 4取得最大值 86，
所以实数 m 的取值范围为 86, + ．
28．（2024 高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求 f x 的解析式
(1)已知 f x 满足 f x +1 = x2 + 4x +1
(2)已知 f x 是一次函数，且满足3 f x +1 - f x = 2x + 9；
f x 2 f 1 (3)已知 满足 ÷ + f x = x x 0
è x
2
【答案】(1) f x = x + 2x - 2
(2) f x = x + 3
2 x
(3) f x = - x 0
3x 3
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设 f x = kx + b，然后结合待定系数法即可得解；
1 1
（3）由题意可得 2 f x + f x ÷ = ，利用方程组思想即可得出答案.è x
【详解】（1）解：令 t = x +1，则 x = t -1，
故 f t = t -1 2 + 4 t -1 +1 = t 2 + 2t - 2 ，
所以 f x = x2 + 2x - 2；
（2）解：设 f x = kx + b，
因为3 f x +1 - f x = 2x + 9，
所以3k x +1 + 3b - kx - b = 2x + 9，
即 2kx + 3k + 2b = 2x + 9 ，
ì2k = 2 ìk =1
所以 í
3k + 2b 9
，解得
= íb 3， =
所以 f x = x + 3；
1
（3）解：因为 2 f ÷ + f x = x x 0 ①，
è x
2 f x f 1 1所以 + ÷ = ②，
è x x
2 ② - ①得3 f x 2= - x，
x
所以 f x 2 x= - x 0 .
3x 3
29．（2024 高一上·河北衡水·阶段练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：① 5公里以内(含
5公里)，票价 2元；② 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线
路的总里程为 20公里，
(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；
(2)画出该函数的图像．
ì2,0 < x 5
3,5 < x 10
【答案】(1) f (x) = í
4,10 < x 15
；
5,15 < x 20
(2)作图见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段求出函数关系式作答.
（2）由（1）中函数式，作出函数图象即可作答.
【详解】（1）依题意，令 x 为里程数（单位：公里）， f (x) 为行驶 x 公里的票价（单位：元），
当0 < x 5时， f (x) = 2 ，当5 < x 10时， f (x) = 3，
当10 < x 15时， f (x) = 4，当15 < x 20 时， f (x) = 5，
ì2,0 < x 5
3,5 < x 10
所以票价与里程之间的函数关系式为 f (x) = í .
4,10 < x 15
5,15 < x 20
（2）由（1）得函数 f (x) 的图象，如下：
ìx2 + x, x 0
30．（2024 高一上·江苏常州·期中）已知函数 f (x) = í .
2 - x, x < 0
（1）若 f (a) = 6，求实数 a的值；
（2）画出函数的图象并写出函数 f (x) 在区间[-2,2]上的值域；
（3）若函数 g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2，求函数 g(x)在[1, 4]上最大值.
ì
18 + 8a, a
5
-
2
【答案】（1） a = 2或 a = -4 ；（2）图象答案见解析，值域为[0,6]；（3） g(x)max = í .
3 5+ 2a, a < -
2
【分析】（1）讨论 a的范围根据分段函数解析式可求解；
（2）根据分段函数解析式即可画出，计算出端点值，结合图象即可得出值域；
5 5
（3）可得 g(x) = (x + a)2 + 2 - a2 ，讨论-a 和-a > 两种情况根据二次函数的性质求解.
2 2
【详解】（1）当 a 0时， f (a) = a2 + a = 6得 a = 2，
当 a < 0时， f (a) = 2 - a = 6 得 a = -4 ，
由上知 a = 2或 a = -4 .
（2）图象如下图：
Q f (0) = 0, f (2) = 22 + 2 = 6, f (-2) = 2 - (-2) = 4 ，
\由图象知函数 f (x) 的值域为[0,6] .
（3）当 x [1, 4]时， g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2 = x2 + 2ax + 2，
配方得 g(x) = (x + a)2 + 2 - a2 ,
a 5 5当- ，即 a - 时， g(x)max = g(4) =18 +18a ，2 2
a 5 5当- > ，即 a < - 时， g(x)max = g(1) = 3 + 2a ，2 2
ì
18 + 8a, a
5
-
综上， g(x)
2
max = í .
3+ 2a,a 5< -
2
【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间 a,b 的最值的思路；
a + b
（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和 的大小求解；
2
（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在 - ,a , a,b , b, + 三个区间的范围求解.3.1.2 函数的表示法 12 题型分类
一、函数的表示法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
二、描点法作函数图象的三个步骤
(1)列表：先找出一些有代表性的自变量 x 的值，再计算出与这些自变量 x 相对应的函数值 f(x)，并用表
格的形式表示出来．
(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来．
(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来．
三、函数三种表示法的几点说明
(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、
银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用
到实际生产和生活中去．
(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一
段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．
四、分段函数的概念
如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函
数为分段函数.
五、应用函数知识解决实际问题的一般步骤
(1)阅读材料、理解题意；
(2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型；
(3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论；
(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．
六、分段函数的特点
(1)分段函数是一个函数，并非几个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集．
(3)分段函数的值域是各段值域的并集．
(4)分段函数的图象要分段来画．
七、应用函数知识解决实际问题
关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，
这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用．
（一）
函数表示法
函数的三种表示法的选择和应用的注意点
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是
变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量
的个数较少．
题型 1：函数的表示法
1-1．（2024 高一上·广东广州·期末）已知函数 f x ， g x 分别由下表给出，
x 0 1 2
f x 1 2 1
x 0 1 2
g x 2 1 0
则 f é g 1 ù = ；满足 f é g x ù > g f x 的 x 的值是 ．
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）已知完成某项任务的时间 t与参加完成此项任务的人数 x 之间满足关系式
t = ax b+ a R,b R ，当 x = 2时， t =100；当 x = 4时， t = 53，且参加此项任务的人数不能超过 8．
x
（1）写出 t关于 x 的解析式；
（2）用列表法表示此函数；
（3）画出此函数的图象．
1-3．（2024 高一上·陕西咸阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
y 3A． = x -1 (0 x 2)
2
3 3
B． y = - x -1 (0 x 2)
2 2
C． y
3
= - x -1 (0 x 2)
2
D． y =1- x -1 (0 x 2)
1-4．（2024 高一上·安徽黄山·开学考试）已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，动点 P 在正方
形 ABCD 边上沿 A B C E 运动．设点 P 经过的路程为 x ．VAPE 的面积为 y ．则 y 与 x 的函数图象大
致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
（二）
函数图象的作法及应用
1、画函数图象的两种常用方法
(1)描点法
一般步骤：①列表——先找出一些(有代表性的)自变量 x，并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x)，用
表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
2、画函数图象的关注点
①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心
点．
题型 2：函数图象的作法及应用
2-1．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 f (x) 定义在[-2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图
象：
(1) y = f (x +1)；
(2) y = f (x) +1；
(3) y = f (-x) ；
(4) y = - f (x) ；
(5) y =| f (x) |；
(6) y = f (| x |) .
1
2-2．（2024·全国）画出函数 y = (x +1)2 的图象．
2-3．（2024 高一上·浙江杭州·阶段练习）直线 l : x = a 与二次函数 y = f x 交点个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．以上都有可能
2-4．（2024 高一·江苏·专题练习）作出下列函数图象：
(1) y =1- x(x Z 且 | x | 2)；
(2) y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)．
2-5．（2024 高二下·上海杨浦·阶段练习）设 a,b均为非零实数，则直线 y = ax + b 和 y = ax2 + bx 在同一坐标系
下的图形可能是（ ）．
A． B．
C． D．
（三）
函数解析式的求法
函数解析式的求法
求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值
法等．
(1)配凑法：将形如 f(g(x))的函数的表达式配凑为关于 g(x)的表达式，并整体将 g(x)用 x 代换，即可求出函数
f(x)的解析式．如由 f(x＋1)＝(x＋1)2可得 f(x)＝x2.
(2)换元法：将函数 f(g(x))中的 g(x)用 t 表示，则可求得 x 关于 t 的表达式，并将最终结果中的 t 用 x 代换，
即可求得函数 f(x)的解析式．
(3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的
解析式．
一次函数解析式为 y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到 f(x)的表达式，这种方法也称
为消去法．
(5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型
选取不同的特殊值．
题型 3：配凑法
3-1．（2024 2高一上·江苏扬州·期中）已知 f x +1 = x + x +1，则 f x = ．
1 1
3-2．（2024 高一上·安徽蚌埠· 2期末）已知函数 f x 满足： f x - ÷ = x + 2 ，则 f x 的解析式为（x x ）è
A． f x = x2 + 2 B f x = x2．
C． f x = x2 + 2 x 0 D 2． f x = x - 2 x 0
3-3．（2024 高一上·浙江金华·期末）已知 f (| x -1|) = x2 - 2x + 3，则 (3) = （ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
3-4．（2024 高一上·甘肃庆阳·期中）已知 f (x -1) = x2 - 2x - 3，则 f x = ．
题型 4：换元法
4-1．（2024 高一上·浙江·期中）已知函数 f x - 2 = x - 4 x + 5，则 f (x) 的解析式为（ ）
A． f (x) = x2 +1(x 0) B． f (x) = x2 +1(x -2)
C． f (x) = x2 (x 0) D． f (x) = x2 (x -2)
2
4-2．（2024·
1- x
重庆·模拟预测）已知函数 f 1- x = 2 x 0 ，则 f x =（ ）x
1 1 x 1A． 2 - 0 B． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4-3．（2024 高一上·重庆·期中）已知 f x -1 = x +1，则函数 f x 的解析式为（ ）
A 2． f x = x B． f x = x2 +1 x 1
C． f x = x2 + 2x + 2 x -1 D 2． f x = x - 2x x 1
1 1
4-4．（2024 3高三·全国·专题练习）已知 f x + x ÷
= x + 3 ，求 f x .è x
题型 5：待定系数法
5-1．（2024 高一上·福建厦门·阶段练习）已知 f x 是一次函数，且 f x +1 = 2x ，则 f x = .
5-2．（2024 高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数 f x 满足 f x -1 = 2x2 -7x +6．
(1)求 f x 的解析式．
(2)求 f x 在 0,2 上的值域．
5-3．（2024 高一上·广西桂林·期中）若 f g x = 6x +1，且 g x = 2x +1，则 f x =（ ）
A．3 B．3x C．3x - 2 D．3x - 3
5-4．（2024 高三·全国·对口高考）若二次函数 f (x) 满足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1，则 f (x) 的表达式为
（ ）
A． f (x) = -x2 - x -1 B． f (x) = -x2 + x -1
C． f (x) = x2 - x -1 D． f (x) = x2 - x +1
题型 6：方程组法
3
6-1．（2024 高一上·山西·阶段练习）已知函数 f (x) 满足 f (x) + 2 f (1- x) = ，求 (3)的值为（
x ）
3 4 - 3 5A．- B．- C． D．-
4 3 5 3
6-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f x + 2 f 1 ÷ = 3x x 0 ，求 f (x) 的解析式
è x
6-3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 f x 的定义域为 R，对任意 x R 均满足：
2 f x - f -x = 3x +1则函数 f x 解析式为（ ）
A． f x = x +1 B． f x = x -1 C． f x = -x +1 D． f x = -x -1
题型 7：赋值法
7-1．（2024 高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函数的解析式 ．
7-2．（2024 高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数 f (x) 对一切的实数 x ， y ，都满足
2 f (x + y) - f (x - y) = x2 + y2 + 6xy + x + 3y - 2，且 f (0) = -2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 -3,1 上的值域.
7-3．（2024 高三·全国·专题练习）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f 0 = 0，并且对任意实数 x，y 都有
f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，求 f x 的解析式.
7-4．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数 y = f x 满足：对一切实数 a、b ，均有
f a + b - f b = a a + 2b +1 成立，且 f 1 = 0 .求函数 y = f x 的表达式.
（四）
分段函数的定义域、值域
分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
题型 8：求分段函数的定义域
ì 2
8-1．（2024 高一上·山西太原·阶段练习）函数 f
x -1, x -1,1
x = í
x, x 0,2
的定义域为（ ）
A． B． x -1 x 2 C． -1,0,1,2 D． -1,0,1
8-2．（2024 高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． f x
2
= x， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2 ì1, x 0
C． f x x -1= ， g x = x +1 xD． f x = ， g x = í
x -1 x -1, x < 0
1
8-3．（2024 高一上·河北邯郸·阶段练习）下列四个函数：① y = 3 - x ；② y = ；③ y = x2 + 2x -10 x ；
ì-x, x 0
④ y =
í 1 ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
- , x > 0 x
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
题型 9：求分段函数的值域
ì2x2 ,0 x <1
9-1．（2024 高一上·云南保山·期中）函数 f x = í2,1 x < 2 的值域是（ ）
3, x 2
A． 0,2 3 B． 0, + C． 0,3 D． 0,2
9-2．（2024·上海嘉定·二模）函数 y = x -1 + x - 4 的值域为 ．
ì-x
2 + x,0 x 2,
9-3．（2024 高一上·内蒙古通辽·期末）已知函数 f x = í f x 的最大值为 m， f x 的最小
-x
2 - x, -1 x < 0,
值为 n，则m + n = ．
ì-x x -1
9-4．（2024 高二下·北京大兴·阶段练习）函数 f x = íx2 x 1 的最小值是 . > -
（五）
分段函数求值问题
1、求分段函数函数值的步骤
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
2、已知分段函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
题型 10：分段函数求值问题
ìx + 4, x 0
10-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 f x = 2íx - 2x,0 < x 4．
-x + 2, x > 4
（1）求 f f 5 的值；
（2）画出函数 f x 的图象．
ì -2x, x < -1,
10-2．（2024 高一上·广东汕头·期中）已知函数 f x = í2,-1 x 1,
2x, x >1,
(1)求 f
3 f 1 f - f 1 2 ÷ ， ÷， ÷ ；è è 2 è è 2
÷
(2)若 f a = 6，求 a的值．
ì
2x + 3, x < -1
10-3．（2024 高一上·广西梧州· 2阶段练习）已知函数 f x = íx +1,-1 x 1.
1 1+ , x >1
x
(1)求 f ( f (-2))的值；
(2)若 f x 30 = ，求 x2 0 的值.
题型 11：分段函数与不等式的综合
ì 2x + 3, x 0
11-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 f (x) = í 2 ,则使 f (x) -1x 0 成立的
x 的取值范围是
- x -1 , >
（ ）
A． -2,2 B． -2,0
C． -2, 2 D． 0,2
ì-x2 + 2x, x > 0
11-2．（2024 高一上·重庆万州·阶段练习）函数 f (x) = í ，若关于 x 的不等式 f (x) x 的解
3x + 6, x 0
集 .
ìx + 2, x > 0
11-3 2．（2024 高一下·河北衡水·阶段练习）设 f x = íx 2, x 0，则不等式 f x < x 的解集是（ ） -
A． - ,0 2,+
B．R
C． 0,2
D． - ,0
11-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = max -x2 + 2x,-x +1, x - 2 .
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x k x -1对任意 x R 恒成立，求 k 的取值范围.
（六）
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再
保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
注：(1)判断分段函数的图 象，分段判断，宏观把握.
(2)画分段函数的图象，首先确定函数是否已经确为分段函数，然后再分段画出，分点处的虚实情况用空心
点和实心点标出.
题型 12：分段函数图象及应用
ìx + 2, (x -1)
12-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）已知函数 y = x2í , (-1 < x < 2)
-2x + 8, (x 2)
(1)在坐标系中作出函数的图象；
1
(2)若 x = a时函数值等于 ，求 a 的取值集合．
2
12-2．（2024 高一上·陕西榆林·阶段练习）设函数 f x = 2 x + x - 2．
(1)将函数 f x 写成分段函数的形式并画出其图象；
(2)写出函数 f x 的单调区间和值域．
12-3．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数 f x = x - x , x -1,2 ，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例
如 -3.05 = -4， 2.1 = 2.
(1)将 f (x) 的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 f (x) 的图象;
(3)根据图象写出函数 f (x) 的值域.
12-4．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函数 f (x) 是定义在 上的奇函数，且当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x，
(1)求函数 f (x)(x R)的解析式，并作出简图；
x +1
(2)求函数 g(x) = (0,2)f (x) 在区间 上的值域.
ì x - 3 -1, x 0
12-5．（2024 高二下·海南海口·期末）已知函数 f x = í 2 ， g x = kx .若 k = -1，则
2 - x , x < 0
f é g 2 ù = ；若函数 y = f x 的图象与 y = g x 的图象有 3 个公共点，则 k 的取值范围
是 .
一、单选题
1．（2024 高一上·重庆万州·期中）将函数 y = 2 x -1 2 + 3的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位长
度，所得的函数图象对应的解析式为（ ）
A． y = 2 x - 2 2 + 6 B． y = 2x2 + 6
C． y = 2x2 D 2． y = 2 x - 2
2．（山东省 2023-2024 学年高三上学期普通高校招生（春季）考试第一次校际联考数学试题）如图，公园里
有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为
AB BO OA )，则小明到O点的直线距离 y 与他从A 点出发后运动的时间 t之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
x
3．（2024 高一上·福建宁德·期中）函数 f x = x -1的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 高一上·福建）如图，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，M 是CD的中点，则当 P 沿 A - B - C - M
运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y = f (x) 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 高三上·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始 15 分钟内的速度V x （单位：米
/分钟）与时间 x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” v x 为无人机在时间段 0, x 内的最大速度与
最小速度的差，则 v x 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
ì x2 x 0
6．（2024·湖北·一模）已知函数 f x = í 1 ，g x = - f x ，则函数 g x 的图像是（ ）
- x > 0 x
A． B．
C． D．
ì 1
- x2 - x
3
+ , x a
7．（2024 高二下·吉林长春·期末）已知函数 f x = í 2 2 无最大值，则实数 a 的取值范围是
-2x, x > a
（ ）
A． 1, + B． -1,0 C． 0, + D． - ,-1
8．（2024 高一上·辽宁辽阳·期中）函数 f x = x -1 +1的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
ì x2 -1, x > a9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知函数 f x = í ，若 f x 的最小值为 1，则 a 的取值范围是
x - a -1 , x a
（ ）
é 2
A． ê ,+ ÷÷ B． é 2, + 2
C． é 2 2, + D． é 4 2,+
10．（2024 高一·全国·期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的
余数大于6 时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y = [x]
（[x]表示不大于 x 的最大整数，如[p ] = 3，[4] = 4）可表示为（ ）
y [ x + 2] y [ x + 3] y [ x + 4] y [ x + 5A． = B． = C． = D． = ]
10 10 10 10
11．（2024 高一上·广西柳州·期中）如图，VABC 是边长为 2 的等边三角形，点 E 由点 A 沿线段 AB 向点 B
移动，过点 E 作 AB 的垂线 l，设 AE = x，记位于直线 l 左侧的图形的面积为 y，那么 y 与 x 的函数关系的图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（2024 高一上·重庆万州·期中）下列函数图像经过变换后，过原点的是（ ）
A． y = (x -1)2 - 4向右平移1个单位 B． y = (x -1)2 - 4向左平移1个单位
C． y = (x +1)2 - 2向上平移1个单位 D． y = (x +1)2 - 2向下平移1个单位
ìax -1, x < a13．（2024 高一下·贵州遵义·期末）设函数 f x = í f x a
x
2 - 2ax ， 存在最小值时，实数 的值可能+1, x a
是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
14．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x 是一次函数，满足 f f x = 9x + 8，则 f x 的解析式可能
为（ ）
A． f x = 3x + 2 B． f x = 3x - 2
C． f x = -3x + 4 D． f x = -3x - 4
三、填空题
ìn - 3, n 10
15．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 f n = í n N f (8)
f é f n + 5 ù ,n <10
，则 的值为 .
ì f x +1f x , x 016．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数 = í 2 ，则 f ( f (-4)) = ．
x - 3x - 4, x > 0
ì4x2 -1, x 0
f x f é17．（2024 高一下·河南信阳·期中）已知函数 = í 1 ，则 ê f
1 ù
÷ú = ．
- +1, x > 0 è 5 x
18．（2024 高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足： f x + y = f x + f y + 2xy的函数解析式为 .
1 1
19．（2024 2高一上·全国·课后作业）已知 f x - ÷ = x +
è x x2
，则函数 f x = ， (3)= ．
ì-x2 + 2, x 1
20．（2024 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 f x = í 1 ，当 x a,b 时，1 f x 3，则b - a
x + -1, x >1 x
的最大值是 ．
四、解答题
21．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习）根据下列条件，求 f x 的解析式.
(1)已知 f x + 2 = 2x + 8 x + 5
(2) f x + 2 f -x = 3x2已知 - 2x
(3)已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 =1, f x +1 - f x = 2x
22．（2024 高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数 f (x) 的解析式．
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，则 f (x) 的解析式为__________．
(2)已知 f (x) 满足 2 f (x) + f
1
÷ = 3x，求 f (x) 的解析式．
è x
(3)已知 f (0) =1，对任意的实数 x，y 都有 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)，求 f (x) 的解析式．
ì 2
, x 2
23．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函数 f x = í x .
x2 - 3, x < 2
(1)在所给坐标系中作出 y = f x 的简图；
1
(2)解不等式 f x < .
2
ì-x2 + 2x(0 x 2)
24．（2024 高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数 f (x) = í 2 .
x + 2x(-2 x < 0)
2 1
(1)求 f - ÷ ， f3 è è 2 ÷
的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
25 2．（2024 高一上·广东深圳·期中）已知 f x = x - 2 x + 2 .
(1)用分段函数的形式表示该函数.
(2)画出 f x 区间 -1,3 上的的图象；
(3)根据图象写出 f x 区间 -1,3 上的值域.
26．（2024 高一上·广东东莞·阶段练习）给定函数 f x = 2 - 2x2 ， g x = 3x ， x R .
(1)在所给坐标系（1）中画出函数 ( )， ( )的大致图象；（不需列表，直接画出.）
(2) ∈ ，用m x 表示 ( )， ( )中的较小者，记为m x = min f x , g x ，请分别用解析法和图象法表
示函数m x .（m x 的图象画在坐标系（2）中）
(3)直接写出函数m x 的值域.
27．（2024 2高二上·云南·阶段练习）已知函数 f x 满足 f x + 2 f -x = 6x - 4x +12．
(1)求 f x 的解析式；
(2) g x = 8x2设函数 +16x - m，若对任意 x -3,3 ， f x g x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
28．（2024 高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求 f x 的解析式
(1)已知 f x f x +1 = x2满足 + 4x +1
(2)已知 f x 是一次函数，且满足3 f x +1 - f x = 2x + 9；
(3)已知 f x 2 f 1 满足 ÷ + f x = x x 0
è x
29．（2024 高一上·河北衡水·阶段练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：① 5公里以内(含
5公里)，票价 2元；② 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线
路的总里程为 20公里，
(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；
(2)画出该函数的图像．
ìx2 + x, x 0
30．（2024 高一上·江苏常州·期中）已知函数 f (x) = í .
2 - x, x < 0
（1）若 f (a) = 6，求实数 a的值；
（2）画出函数的图象并写出函数 f (x) 在区间[-2,2]上的值域；
（3）若函数 g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2，求函数 g(x)在[1, 4]上最大值.
