3.3 幂函数 11 题型分类
一、幂函数的概念
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
注意：幂函数的特征
(1)xα的系数是 1；
(2)xα的底数 x 是自变量；
(3)xα的指数 α 为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函数都不
是幂函数．
二、一些常用幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 的图象(如图)．
三、一些常用幂函数的性质
函数
特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
性质
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
非奇非
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数
在(0，
在[0，＋∞)上单
在(－∞，＋ ＋∞)上单调递
在(－∞，＋∞) 调递增 在[0，＋∞)上单
单调性 ∞)上单调 减
上单调递增 调递增
在(－∞，0]上单 递增 在(－∞，0)上
调递减 单调递减
注意：幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)如果 α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
(3)如果 α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当 x 从右
边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限接近 y 轴，当 x 从原点趋向于＋∞时，图象在 x 轴上方
无限接近 x 轴；
(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近 y 轴．
（一）
幂函数的概念
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为
一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.
题型 1：判断一个函数是否为幂函数
1-1．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数：① y = 2x3；② y = x2 +1；③ y = (x +1)3是幂函数吗？
1 1
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）在函数① y = ，② y = x2，③ y = 2x ，④ y = 2 ，y = 2x2 ，⑥ -x y = x 2 中，
是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）给出下列函数：
① y
1
= ；② y = 3x - 2；③ y = x4 + x23 ；④ y = 3 x5 ；⑤ y = x -1
2
；⑥ y = 0.3x ，其中是幂函数的有
x
（ ）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
题型 2：求幂函数解析式或求值
2-1．（2024 高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数 f (x) = xa 的图像经过点 (4, 2)，则a 的值为（ ）
1 1
A．- B． C．-2 D． 2
2 2
f 4
2-2．（2024 高一上·北京·期末）已知函数 f
x 是幂函数，若 = 2f 2 ，则 (4) = ．
2-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f(x)＝xα(α 为常数)的图象经过点 2, 2 ，则 f(9)＝（ ）
1
A．-3 B．-
3
1
C．3 D．
3
2-4．（2024·浙江·模拟预测）已知 f x 是幂函数，且满足：① f -x = f x ；② f x 在 0, + 上单调递
增，请写出符合上述条件的一个函数 f x = .
2-5．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数 f (x) = xa (α 是常数)的图象经过点 2,4 ，那么 ( 2) =
（ ）
1 1
A．4 B．-4 C． D4 ．- 4
题型 3：根据幂函数求参数
1
3-1．（24-25 高一上·上海·单元测试）函数 y = m2 + 2m - 2 xm-1 是幂函数，则m = ．
3-2．（2024 高一上·湖北孝感·阶段练习）函数 y = k 2 - 2k - 7 x2 是幂函数，则实数 k 的值是（ ）
A． k = 4 B． k = -2 C． k = 4或 k = -2 D． k 4且 k -2
2
3-3 2024 2 m -3m-2．（ 高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数 f x = m + m - 5 × x 的图像不经过原点，则实数
m = .
（二）
幂函数的图象及应用
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简
记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高)．
题型 4：幂函数过定点问题
4-1．（2024 a高一上·广东东莞·期中）函数 y = x - 2 a为常数 的图象过定点 ．
4-2．（2024 高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数 y = xa的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定
点坐标为 .
4-3．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = x -1 a +1 a < 0 恒过定点 ．
4-4．（2024 高一上·云南曲靖·期中）幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则函数 g x = af x - 3 +1 a R,a 0
的图象经过定点 ．
题型 5：幂函数的图象及应用
ìx2 , x 0,
5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数 f (x) =
í1 g(x) = f (-x)，则函数 g(x)的图象大致是
, x < 0,
x
（ ）
A． B．
C． D．
1
3 -1
5-2．（2024·全国·模拟预测）函数 f x x - x= 的图象大致为（ ）
x
A． B．
C． D．
p
5-3．（2024 高三·全国·对口高考）已知幂函数 y = x q （ p,q Z 且 p 与 q 互质）的图像如图所示，则（ ）
p p
A．p、q 均为奇数且 < 0q B．p 为奇数，q 为偶数且
< 0
q
p p
C．p 为奇数，q 为偶数且 > 0 < 0q D．p 为偶数，q 为奇数且 q
2
5-4．（2024 高一上·福建泉州· 2 m +m-3期中）已知幂函数 f x = m - m -1 x ，其图像与坐标轴无交点，则实数 m
的值为 ．
5-5．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点P 4,2 在幂函数 f x 的图象上，则 f x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5-6．（2024 高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① - - -y = x 4 ；② y = x 3 ；③ y = x 2 ；④ y = x 3 ；⑤ y = x 2 ；⑥ y = x 3 ；⑦ y = x3 ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
（三）
求幂函数的定义域和值域
幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求
解.幂函数的定义域由幂指数 a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为 R；②当幂指数取零
或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会
学到)，再根据根式的要求求定义域.
题型 6：求幂函数的定义域
6-1．（2024 高一·全国·课后作业）若幂函数 f (x) 的图象经过点 (25,5) ，求 f (x) 的定义域.
1
6-2．（2024· -上海杨浦·一模）函数 f x = x 2 的定义域为 ．
6-3．（2024 高一上·浙江·期末）已知幂函数 y = -3a xa ，则此函数的定义域为 ．
题型 7：求幂函数的值域
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) = xa 的图像过点 (8,4) ，则 f (x) = xa 的值域是（ ）
A．( ∞,0) B． - ,0 0, +
C．(0, + ∞) D． 0, +
ìx,0 x <1,
7-2．（2024·四川泸州·模拟预测）函数 f x = í1 的值域为 .
, x 1. x
ì 3 x , x a
7-3．（2024 高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数 f (x) = í 2 ，若函数 f (x) 的值域为 R ，则实数 a的取
x , x > a
值范围为 ．
1
7-4．（2024 高一上·河北石家庄·期中）若幂函数 f (x) 的图象过点 4, ÷，则 f (x) 的值域为 ．
è 16
（四）
利用幂函数的性质比较大小
（1）比较幂大小的三种常用方法:
(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
题型 8：利用函数的单调性比较大小
2 1 1
8-1．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知 a = 23 ，b = 33 ， c = 256 ，则（ ）
A．b < a < c B．a < b < c
C．b < c < a D． c < a < b
8-2．（2024 高一下·浙江·期中）记a = 0.20.1,b = 0.10.2 ,c = ( 2)-0.5，则（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． a > c > b D． c > a > b
1 1
1
8-3．（2024 高一上·全国· 3 3课后作业）设 a = 1 ÷ ，b
2= ÷ ， c = ，则（2 ）è 3 è 5
A．a < b < c B． c < a < b C．b < c < a D．b < a < c
0.3 0.3 -0.3
8-4．（2024 · 2 1 1 高三 河北·学业考试）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 5 è 3 è 3
A．a < c < b B．a < b < c C．b
题型 9：利用函数单调性求参数的取值范围
2
9-1．（2024 高一·上海·随堂练习）函数 y = m2 - m +1 xm +2m-3 是幂函数，且在 x 0, + 上时是严格减函数，
则实数m = ．
1
9-2 4 m ．（2024 高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数 f x = m -15 x 在第一象限内单调递减，则 f - 2 ÷ =è
（ ）
1 1
A． B． C．2 D．44 2
9-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若幂函数 y = xm 在区间 0, + 上是严格减函数，则实数m 的值可能为
（ ）．
1
A．1 B．
2
C．-1 D．2
9-4．（2024·四川成都·模拟预测）幂函数 f x = m2 - 3m - 3 xm 在区间 0, + 上单调递减，则下列说法正确
的是（ ）
A．m = 4 B． f x 是减函数
C． f x 是奇函数 D． f x 是偶函数
（五）
幂函数的性质综合应用
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调
性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
题型 10：利用幂函数解不等式
1
10-1．（2024 高三上·四川遂宁·阶段练习）若 f (x) = x 2 ，则不等式 f (x) > f (8x -16)的解集是（ ）
é2,16 0,2 ( ,16A． ê ÷ B． C． - ) D7 ．[2, + ∞) 7
1
10-2．（2024
高一上·安徽·期中）已知幂函数 f x 的图象经过点 ,93 ÷，且 f a +1 < f 2 ，则 a的取值范围è
为（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -3,1 D． - ,-3 U 1,+
1 1
10-3 2024 · · “ ” “ -2 < a < 2．（ 高三上 四川绵阳 阶段练习） (a +1)2 < (3 - 2a)2 是 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3 3
10-4．（2024 高一上·上海浦东新·期中）不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集为 ．
1
10-5．（2024 高一上·江苏盐城·阶段练习）函数 -f (x) = x 2 ，则不等式 f (2x -1) > f (x +1) 的解集为 ．
题型 11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用
2
11-1．（2024 高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数 f x = x-2m -m+3 -2 < m < 2,m Ζ 在区间 0, +
上单调递增.请从如下 2 个条件：①对任意的 x R ，都有 f -x = f x ；②对任意的 x R ，都有
f -x + f x = 0中任选 1 个作为已知条件，求解下列问题.
(1)求 f x 的解析式；
(2)在（1）问的条件下，当 x -3,3 时，求 f x 的值域.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
4 3 4
11-2．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数：① y = x-2 ，② -y = x 3 ，③ y = x5 ，④ y = x 5 ，既是偶函数，
又在 (- ,0)上为增函数的是 ．
ì 1 1
11-3．（2024 高一上·上海杨浦·期末）已知a í-2, -1, - , ,1, 2,3
ü
，若幂函数 f x = xa 奇函数，且在 0, +
2 2
上为严格减函数，则a = .
11-4．（2024 2 -m-1高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 f x = m - 5m + 7 x m R 为奇函数.
1
(1)求 f ÷的值；
è 2
(2)若 f 2a +1 > f a ，求实数 a的取值范围.
一、单选题
1．（2024 高一上·四川成都·期末）函数 f x = x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 3高一上·青海西宁·期末）已知点 a , 2 在幂函数 f x = a -1 xb的图象上，则（ ）
1
A． f x = x-1 B． f x = 2x 2
1
C． f x = x3 D． f x = x3
1
3．（2024 高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则 f 2 ÷等于（ ）è
1
A B 2． 2 ． 4 C． D．2 4
4．（2024· 2海南·模拟预测）已知 f x = m + m - 5 xm 为幂函数，则（ ）．
A． f x 在 - ,0 上单调递增 B． f x 在 - ,0 上单调递减
C． f x 在 0, + 上单调递增 D． f x 在 0, + 上单调递减
2
5．（2024 高三下·上海浦东新·阶段练习）设m R ，若幂函数 y = xm -2m+1定义域为 R，且其图像关于 y 轴成轴
对称，则 m 的值可以为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
1 x6 ．（2024 高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：① y = x3；② y = ÷ ；③ y = 4x
2 ；④ y = x5 +1；⑤
è 2
y = x -1 2 ；⑥ y = x ；⑦ y = a x (a > 1)，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7 2 m+1．（2024 高一·全国·课后作业）已知幂函数 y = m - 3m + 3 x 的图像关于 y 轴对称，则m 等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．3
m
8．（2024 高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数 y = x n （m, n均为正整数且m, n互质）的图象，则
（ ）
m
A．m, n是奇数且 <1
n
B．m
m
是偶数， n 是奇数，且 <1
n
C．m
m
是偶数， n 是奇数，且 >1
n
m
D．m, n是奇数，且 >1
n
9．（24-25 高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数 y = xn 在第一象限的图象，已知 n 取±2，
1
± 四个值，则相应于C1，C2 ，C3，C4 的 n 依次为（ ）2
1 1 1 1
A．-2，- ， ， 2 B． 2， ，- ，-2
2 2 2 2
1 1 1 1
C．- ，-2， 2， D． 2， ，-2，-
2 2 2 2
10 2
2
．（2024 高一上·安徽·期末）若幂函数 f x = m -2m-2 xm -4m+1在区间 0, + 上单调递减，则m =
（ ）
A．3 B．1 C．-1或 3 D．1 或-3
1 1 1
-
11．（2024 高一上·重庆九龙坡·期末）已知 a = 3
3 3 3 2 3
,b =5 ÷ 5 ÷
,c = ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
è è è 5
A．a < b < c B．b < c < a C． c < a < b D．a < c < b
12．（2024 高一·全国·课后作业）已知 f x 1= 2 ，若 0 < a < b <1，则下列各式中正确的是（ ）x
f a f b f 1 1< < < f f 1 < f 1 A． ÷ ÷ B． ÷ ÷ < f b < f a
è a è b è a è b
C． f a < f b 1< f < f 1 ÷ ÷ D． f
1 1
b a a ÷
< f a < f ÷ < f b
è è è è b
13 2024 2 m
2 -4m+1
．（ 高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数 f x = m -2m-2 x 在区间 0, + 上单调递增，则
m =（ ）
A．-1 B．3 C．-1或 3 D．1 或-3
2
14．（2024 2 n -2n高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数 f x = n + 2n - 2 × x 在 0, + 上是减函数，则 n 的值为
（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．1 或-3
15．（2024 高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数 f x 的图像过点 64,4 ，则 f 8 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2024 高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
1 1
A． y = 3 x B． y = 2 C． y = 2x
2 D． y = x +
x x
17．（2024 高一上·全国·课后作业）如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
1 1 1 1
A．① y = x-1，② y = x 2 ，③ y = x3 B．① y = x
-1，② y = x3 ，③ y = x 2
1 1 1 1
C．① y = x3 ，② y = x 2 ，③ y = x
-1 D．① -1y = x3 ，② y = x ，③ y = x 2
18．（2024 高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数 y = f x 的图象过 4,32 点，则 f 2 =（ ）．
A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8
二、多选题
1
19．（2024 高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数 f x = m2 - 3 xm 的图象过点 2, 4 ÷ ，则（ ）è
A． f x 是偶函数 B． f x 是奇函数
C． f x 在 - ,0 上为减函数 D． f x 在 0, + 上为减函数
20．（2024 2 -m-1高一上·宁夏银川·期末）幂函数 f x = m + m -1 x ， ∈ N ，则下列结论正确的是（ ）
A．m =1 B．函数 f x 是偶函数
C． f -2 < f 3 D．函数 f x 的值域为 0, +
21．（2024 高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在 - ,0 上单调递减的是（ ）
A． y = -x B． y = x-2
C． y = x-1 D． y = x2
22．（2024 高一上·云南红河·期末）已知幂函数 f x 的图象经过点 8,2 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 为增函数
B．函数 f x 为偶函数
C．当 x 4时， f x 2
f x + f x
0 x x 1 2 < < f x1 + xD < 2 ．当 1 2 时， 2 ÷è 2
三、填空题
7+3t-2t2
23．（2024 高一·全国·课后作业）幂函数 f x = t3 - t +1 x 5 是偶函数，且在 (0, + )上为增函数，则函数
解析式为 ．
1
24．（2024 高一上·宁夏吴忠·期中）若 f x 是幂函数，且 f 2 1= ，则 f
4 ÷
=
è 3
25．（2024 高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数 f (x) ，条件：① f (x) 是偶函
数；② f (x) 为 0, + 上的减函数．则 f (x) = ．
26．（2024 高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数 f x 的图象过点 3,3 和 m,2 ，则实数 m＝ .
2
27．（2024 高一·全国·课后作业）幂函数 y = xn +n+1 n N 的图像一定经过第 象限
28．（2024 高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数 f x 过点 4，2 ，则满足不等式 f 2 - a > f a -1 的实数 a
的取值范围是 ．
29．（2024 2 m高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数 f x = m - 2m - 2 x 满足 f 2 < f 3 ，则m = .
30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数 f x 2= m2 - m -1 xm -2m-2 是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．
31．（2024 高一上·辽宁·期末）已知幂函数 f x = m2 + 3m +1 xm 在第一象限单调递减，则 f m = .
32 2 m．（2024 高三上·河南许昌·期末）已知函数 f x = m + m -1 x 是幂函数，且在 0, + 上是增函数，则实
数m 的值为 ．
33．（2024 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数 y = f (x) 的图像过点 (9,3)，则 f (2) 的值为 ．
34．（2024 高一上·江西赣州·期中）幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 2 1在 0, + 上为减函数，则m 的值为 .
1
35．（2024 · 2 2高三下 上海·阶段练习）已知函数 f x = x3 ，则关于 t的表达式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集
为 .
1
36．（2024 10高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) 1= ÷ ，若 ( 1) < (8 2 )，则a的取值范围是 .
è x
37．（2024 高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数 f (x) 过点 (2, 2)，则满足 f (2 - a) > f (a -1)的实数 a的取值
范围是 ．
2
38．（2024 2 m -6m+6高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数 f x = m - 3m + 3 x 在 0, + 上单调递减，则m 的值为 ．
四、解答题
1
39．（2024 高一上·四川眉山·期末）已知幂函数 y = f x 的图象经过点 , 22 ÷．è
(1)求 f x 的解析式，并指明函数 f x 的定义域；
(2)设函数 g x = x + f x ，用单调性的定义证明 g x 在 1, + 单调递增．
40．（2024 高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：
(1) -2 -3， -2.5 -3 ；
7
7
(2) - ， 1 8-8 8 -
9 ÷
；
è
3 3 1
(3) 1 4 4 4 ÷ ，
1 1
2 ÷
，
5 ÷
．
è è è 2
2 2
41．（2024 高一·全国·课后作业）求不等式 x -1 3 > 3x +1 3 的解.
2
42．（2024 高三·全国·课后作业）已知幂函数 f x = xm -2m-3（m 为正整数）的图像关于 y 轴对称，且在 0, +
m m
上是严格减函数，求满足 a +1 - 3 > 3- 2a - 3 的实数 a 的取值范围．
43．（2024 高一上· 2福建龙岩·期末）已知幂函数 f (x) = 2m - 9m +10 xm-1为偶函数，
g(x) f (x) k= + (k R)．
x
(1)若 g(2) = 5，求 k ；
1
(2)已知 k 2 2，若关于 x 的不等式 g(x) - k > 0 在[1,+ )上恒成立，求 k 的取值范围．
2
44．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数 f x = m2 + m - 5 xm+1 m R 在 0, + 上单调递增．
(1)求 m 的值及函数 f x 的解析式；
(2)若函数 g x 2= - 3 é f x ù + 2ax +1- a 在 0,2 上的最大值为 3，求实数 a 的值．
45．（2024 2 a高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数 f x = a + a - 5 x 为奇函数．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若正数m, n
9 1
满足3m +12n + 5a = 0，若不等式 + b恒成立．求b 的最大值．
m n
46．（2024 2高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数 f x = m - m - 5 xm-1的图像关于 y 轴对称.
(1)求 m 的值;
(2)若函数 g(x) = f (x) - 4 f (x) ，求 g x 的单调递增区间.3.3 幂函数 11 题型分类
一、幂函数的概念
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
注意：幂函数的特征
(1)xα的系数是 1；
(2)xα的底数 x 是自变量；
(3)xα的指数 α 为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函数都不
是幂函数．
二、一些常用幂函数的图象
同一坐标系中，幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 的图象(如图)．
三、一些常用幂函数的性质
函数
特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
性质
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
非奇非
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数
在(0，
在[0，＋∞)上单
在(－∞，＋ ＋∞)上单调递
在(－∞，＋∞) 调递增 在[0，＋∞)上单
单调性 ∞)上单调 减
上单调递增 调递增
在(－∞，0]上单 递增 在(－∞，0)上
调递减 单调递减
注意：幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)如果 α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
(3)如果 α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当 x 从右
边趋向于原点时，图象在 y 轴右方无限接近 y 轴，当 x 从原点趋向于＋∞时，图象在 x 轴上方
无限接近 x 轴；
(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近 y 轴．
（一）
幂函数的概念
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为
一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.
题型 1：判断一个函数是否为幂函数
1-1．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数：① y = 2x3；② y = x2 +1；③ y = (x +1)3是幂函数吗？
【答案】答案见解析．
【分析】利用幂函数的定义判断.
【详解】形如 y = xa （a 为常数）的函数叫幂函数，显然它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．
1 1
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）在函数① y = ，② y = x2，③ y = 2x ，④ y = 2 y = 2x2 ⑥ -x ， ， y = x 2 中，
是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可判断.
【详解】幂函数是形如 y = xa （a R ，a 为常数）的函数，①是a = -1的情形，②是a = 2的情形，⑥
是a
1
= - 的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中 x2的系数是 2，所以不
2
是幂函数；④是常函数，不是幂函数.
故选：C.
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）给出下列函数：
① y
1
= 3 ；② y = 3x - 2；③ y = x
4 + x2 ；④ y = 3
2
x5 ；⑤ y = x -1 ；⑥ y = 0.3x ，其中是幂函数的有x
（ ）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】由幂函数的定义即可判断.
【详解】由幂函数的定义：形如 y = xa （a 为常数）的函数为幂函数，
y 1① = = x-3
5
则可知 和④ y = 3 x53 = x3 是幂函数.x
故选；B.
题型 2：求幂函数解析式或求值
2-1．（2024 高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数 f (x) = xa 的图像经过点 (4, 2)，则a 的值为（ ）
1 1
A．- B． C．-2 D． 2
2 2
【答案】B
【分析】由条件列方程求a 即可.
【详解】因为幂函数 f (x) = xa 的图像经过点 (4, 2)，
所以 2 = 4a ，
a 1所以 = ，
2
故选：B.
f 4
2-2．（2024 高一上·北京·期末）已知函数 f x 是幂函数，若 = 2f 2 ，则 (4) = ．
【答案】2
f x = xa【分析】设 ，a 是常数，代入已知条件运算求解．
a f 4 4a 1a 1
【详解】设 f x = x ，a 是常数，则 = = 2 = 2 = 22f 2 2a ，解得a = 2
1
则 f 4 = 42 = 2．
故答案为：2．
2-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f(x)＝xα(α 为常数)的图象经过点 2, 2 ，则 f(9)＝（ ）
1
A．-3 B．-
3
1
C．3 D．
3
【答案】C
【分析】代点的坐标求出 α 的值，得到函数 f (x) 的解析式，即得解.
1
【详解】由题意 f(2)＝2α＝ 2=22 ，
1
所以 α＝ ，所以 f(x)＝
2 x
，
所以 f(9)＝ 9 ＝3.
故选：C
2-4．（2024·浙江·模拟预测）已知 f x 是幂函数，且满足：① f -x = f x ；② f x 在 0, + 上单调递
增，请写出符合上述条件的一个函数 f x = .
n
【答案】 x2（答案不唯一）(形如 f x = xm ，m 为正奇数， n 为正偶数，均可)
【分析】由条件结合幂函数的性质确定函数 f x 的解析式即可.
【详解】因为 f x 是幂函数，且 f x 在 0, + 上单调递增，
n
故可设 f x = xm ，（m, n N*，m, n互质），
又 f -x = f x ，所以m 为奇数， n 为偶数，
故 f x = x2 为符合条件的一个函数，
n
故答案为： x2 (形如 f x = xm ，m 为正奇数， n 为正偶数，均可).
2-5．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数 f (x) = xa (α 是常数)的图象经过点 2,4 ，那么 ( 2) =
（ ）
1 1
A．4 B．-4 C． D4 ．- 4
【答案】A
【分析】首先代入函数解析式求出a ，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；
【详解】因为幂函数 f (x) = xa （a 是常数）的图象经过点 (2,4)，
所以 2a = 4，解得a = 2，
所以 f (x) = x2 ，
所以 f -2 = -2 2 = 4；
故选：A
题型 3：根据幂函数求参数
1
3-1．（24-25 高一上·上海·单元测试）函数 y = m2 + 2m - 2 xm-1 是幂函数，则m = ．
【答案】-3
【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解
1
【详解】因为函数 y = m2 + 2m - 2 xm-1 是幂函数，所以m2 + 2m - 2 =1且m -1 0 ，
解得：m = -3，或m =1（舍）
故答案为：-3 .
3-2．（2024 2高一上·湖北孝感·阶段练习）函数 y = k - 2k - 7 x2 是幂函数，则实数 k 的值是（ ）
A． k = 4 B． k = -2 C． k = 4或 k = -2 D． k 4且 k -2
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可.
【详解】由幂函数的定义知 k 2 - 2k - 7 =1，
即 k 2 - 2k -8 = 0，解得 k = 4或 k = -2 ．
故选：C
2
3-3．（2024 2 m -3m-2高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数 f x = m + m - 5 × x 的图像不经过原点，则实数
m = .
【答案】 2
【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.
f x = 2 m2m + m - 5 × x -3m-2【详解】由已知函数 为幂函数，
得m2 + m - 5 =1，解得m = 2 或m = -3，
当m = 2 时， f x = x-4 ，定义域为 - ,0 U 0, + ，函数图像不经过原点，
当m = -3时， f x = x16 ，定义域为R ，且 f 0 = 0，函数图像经过原点，
综上所述：m = 2 ，
故答案为： 2 .
（二）
幂函数的图象及应用
依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简
记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高)．
题型 4：幂函数过定点问题
4-1．（2024 高一上· a广东东莞·期中）函数 y = x - 2 a为常数 的图象过定点 ．
【答案】 1,-1
【分析】利用1a =1求得正确答案.
【详解】当 x =1时， y =1a - 2 = -1，
所以定点为 1,-1 .
故答案为： 1,-1
4-2．（2024 高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数 y = xa的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定
点坐标为 .
【答案】 (1,1)
【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得.
【详解】因为对任意实数 a，当 x =1时， y =1，
所以所有幂函数的图象都过点 (1,1) .
故答案为： (1,1)
4-3．（2024
a
高一上·全国·课后作业）函数 y = x -1 +1 a < 0 恒过定点 ．
【答案】 2,2
【分析】令 x -1 = 1即可求得定点坐标.
【详解】当 x -1 = 1，即 x = 2时， y = 2 ，\函数恒过定点 2,2 .
故答案为： 2,2 .
4-4．（2024 高一上·云南曲靖·期中）幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则函数 g x = af x - 3 +1 a R,a 0
的图象经过定点 ．
【答案】 3,1
【分析】根据幂函数过点 2, 2 可求 f x 解析式，写出 g x ，根据函数 g x 的解析式可求所过定点.
a
【详解】因为幂函数 f x = x 过点 2, 2 ，可解得a 1= ，2
1
所以 f x = x 2 ，
1
故 g(x) = a(x - 3)2 +1，
当 x = 3时， g(3) = a 0 +1 =1，
故 g(x)恒过定点 (3,1) .
故答案为 3,1
【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题.
题型 5：幂函数的图象及应用
ìx2 , x 0,
5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数 f (x) = í1 g(x) = f (-x)，则函数 g(x)的图象大致是
, x < 0, x
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 g x = f -x 可知 g x 图像与 f x 的图像关于 y 轴对称，由 f x 的图像即可得出结果.
【详解】因为 g x = f -x ，所以 g x 图像与 f x 的图像关于 y 轴对称，
由 f x 解析式，作出 f x 的图像如图
从而可得 g x 图像为 B 选项.
故选：B.
1
x3 - x-15-2．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 的图象大致为（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由 f 1 = 0，排除 A，D，
1
当 x >1时， x3 - x-1 > 0，所以 f x > 0，排除 C．
故选：B．
p
5-3．（2024 高三·全国·对口高考）已知幂函数 y = x q （ p,q Z 且 p 与 q 互质）的图像如图所示，则（ ）
p 0 pA．p、q 均为奇数且 < B．p 为奇数，q 为偶数且 < 0q q
p p
C．p 为奇数，q 为偶数且 > 0q D．p 为偶数，q 为奇数且
< 0
q
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
p
【详解】由图像知函数为偶函数，所以 p 为偶数，且由图像的形状判定 < 0q ，
又因为 p 与 q 互质，所以 q 为奇数，
故选：D.
2
5-4．（2024 · 2 m +m-3高一上 福建泉州·期中）已知幂函数 f x = m - m -1 x ，其图像与坐标轴无交点，则实数 m
的值为 ．
【答案】-1
【分析】根据幂函数定义，由m2 - m -1 =1求得 m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.
2 m2 +m-3
【详解】由幂函数 f x = m - m -1 x 知，
m2 - m -1 =1得m = 2 或m = -1.
当m = 2 时， f x = x3 图象与坐标轴有交点 0,0 ，
当m = -1时， f x = x-3 与坐标轴无交点，
∴ m = -1.
故答案为: -1
5-5．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点P 4,2 在幂函数 f x 的图象上，则 f x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．
【详解】设幂函数 f (x) = xa ，将点P 4,2 代入，得 4a = 2，解得 a 1= ，2
1
所以 f (x) = x 2 ，定义域为[0,+ )，且在定义域内单调递增，大致图像为 B，
故选：B．
5-6．（2024 高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① y = x 4 ；② y = x 3 ；③
- ；④ -y = x 2 y = x 3 ；⑤
-
y = x 2 ；⑥ y = x 3 ；⑦ y = x3 ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
1
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故 -y = x 3 满足；
图象（2）关于 y
2
轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 -y = x 3 满足；
3
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 -y = x 2 满足；
2
图象（4）关于 y 轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故 y = x 3 满足；
1
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故 y = x3 满足；
3
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 x 增大递减，故 y = x 4 满足；
3
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 x 增大递增，故 y = x 2 满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
（三）
求幂函数的定义域和值域
幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求
解.幂函数的定义域由幂指数 a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为 R；②当幂指数取零
或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会
学到)，再根据根式的要求求定义域.
题型 6：求幂函数的定义域
6-1．（2024 高一·全国·课后作业）若幂函数 f (x) 的图象经过点 (25,5) ，求 f (x) 的定义域.
【答案】[0,+ )
1
【分析】设 f (x) = xa ，根据幂函数 f (x) 的图象经过点 (25,5) 求出a = ，可得函数 f (x) 的解析式，根据解
2
析式可得定义域.
【详解】因为 f (x) 为幂函数，所以设 f (x) = xa ．
又 f (x) 的图象经过点 (25,5) ，可得5 = 25a ，
1 1
解得a = ，所以
2 f (x) = x
2 = x ．
故 f(x)的定义域为[0,+ )．
1
6-2．（2024· · -上海杨浦 一模）函数 f x = x 2 的定义域为 ．
【答案】(0, + ∞)
【解析】将函数解析式变形为 f x 1= ，即可求得原函数的定义域.
x
1
-
Q f x x 2 1【详解】 = = ，所以， x > 0 .
x
1
-
因此，函数 f x = x 2 的定义域为(0, + ∞).
故答案为：(0, + ∞).
6-3．（2024 高一上·浙江·期末）已知幂函数 y = -3a xa ，则此函数的定义域为 ．
【答案】 - ,0 U 0, + .
1 1
【分析】根据幂函数的定义，求得 a = - ，得到 y = 3 ，进而求得函数的定义域.3 x
1 1- 1
【详解】由幂函数 y = -3a xa ，可得-3a =1，解得 a = - ，即 y = x 3 = ，
3 3 x
则满足 x 0，即幂函数 y = -3a xa 的定义域为 - ,0 U 0, + .
故答案为： - ,0 U 0, + .
题型 7：求幂函数的值域
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) = xa 的图像过点 (8,4) ，则 f (x) = xa 的值域是（ ）
A．( ∞,0) B． - ,0 0, +
C．(0, + ∞) D． 0, +
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】Q幂函数 f (x) = xa 的图像过点 (8,4) ，
\8a = 4，解得 = 23，
2
\ f (x) = x 3 = 3 x2 0，
\ f (x) 的值域是 0, + .
故选：D.
ìx,0 x <1,
7-2．（2024·四川泸州·模拟预测）函数 f x = í1 的值域为 .
, x 1. x
【答案】 0,1
【分析】根据 f x 的解析式求得 f x 的值域.
【详解】0 x <1时， f x = x 0,1 ，
1
x 1时， f x = 0,1 ，
x
所以 f x 的值域为 0,1 .
故答案为： 0,1
ì 3 x , x a
7-3．（2024 高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数 f (x) = í ，若函数 f (x) 的值域为 R ，则实数 a的取
x
2 , x > a
值范围为 ．
【答案】 0,1
【分析】判断 y = 3 x 单调递增，讨论 a < 0或 a 0，根据分段函数的值域可得 a 0且 a2 3 a ，解不等式即
可求解.
【详解】由函数 y = 3 x 单调递增，
①当 a < 0时，若 x a，有 3 x 3 a < 0，
而 x2 0 ，此时函数 f (x) 的值域不是 R ；
②当 a 0时，若 x a，有 3 x 3 a ，而 x2 > a2，
若函数 f (x) 的值域为 R ，必有 a2 3 a ，可得0 a 1．
则实数 a的取值范围为 0,1 ．
故答案为： 0,1
1
7-4．（2024 高一上·河北石家庄·期中）若幂函数 f (x) 的图象过点 4, ÷，则 f (x) 的值域为 ．
è 16
【答案】 0, +
【分析】设 f (x) = xa ，根据条件求出a ，然后可得答案.
1 a 1 -2
【详解】设 f (x) = xa ，因为幂函数 f (x) 的图象过点 4,16 ÷，所以
4 = = 4
è 16
a = -2 f (x) = x-2 1所以 ，所以 = 0,+ x2
故答案为： 0, +
（四）
利用幂函数的性质比较大小
（1）比较幂大小的三种常用方法:
(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
题型 8：利用函数的单调性比较大小
2 1 1
8-1．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知 a = 23 ，b = 33 ， c = 256 ，则（ ）
A．b < a < c B．a < b < c
C．b < c < a D． c < a < b
【答案】A
【分析】根据分数指数幂和根式的互换，进而即可判断 a，b ， c的大小．
2 1 1
【详解】由 a = 23 = 3 4 ，b = 33 = 3 3 ， c = 256 = 3 5 ，
所以b < a < c．
故选：A．
8-2．（2024 高一下·浙江·期中）记a = 0.20.1,b = 0.10.2 ,c = ( 2)-0.5，则（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． a > c > b D． c > a > b
【答案】C
【分析】把三个数的指数都化为 0.1，利用幂函数的单调性比大小.
0.1 0.2 2 0.1【详解】 a = 0.2 ，b = 0.1 = 0.1 = 0.010.1，
0.1
c = ( 2)-0.5 5
0.1
- 2 = é ( 2) ù = 8 ÷÷
，
è
0.2 2> > 0.01，由幂函数 y = x0.1在 0, + 上单调递增，所以 a > c > b .
8
故选：C
1 1
8-3．（2024 高一上·全国·课后作业）设 a 1
3
，b 2
3 c 1= ÷ = ÷ ， = ，则（2 ）è 3 è 5
A．a < b < c B． c < a < b C．b < c < a D．b < a < c
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性比较大小．
1
1 3
【详解】构造幂函数 1 1y = x3 , x 0,+ ，由该函数在定义域内单调递增，且 c = = ÷ ，故b > a > c2 è 8
故选：B
0.3 0.3 -0.3
8-4．（2024 · · 2 1 1 高三 河北 学业考试）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 5 è 3 è 3
A．a < c < b B．a < b < c C．b【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得 a，b，c 的大小关系.
0.3 0.3 -0.3
【详解】由于幂函数 y = x0.3 在 0, + 2 1 1 上单调递增，又 a = ，b = ， c = = 30.3 5 ÷ ÷ ÷ ，è è 3 è 3
1 2 1 0.3 2 0.3< < 3 < ，所以 0.3
3 5 3 ÷ ÷
< 3 ，则b < a < c .
è è 5
故选：D.
题型 9：利用函数单调性求参数的取值范围
2
9-1．（2024 高一· 2 m +2m-3上海·随堂练习）函数 y = m - m +1 x 是幂函数，且在 x 0, + 上时是严格减函数，
则实数m = ．
【答案】0
【分析】由幂函数的定义结合其性质列出方程得出实数m .
【详解】由m2 - m +1 =1，得m = 0或m =1，
再把m = 0和m =1分别代入m2 + 2m - 3 < 0，检验得m = 0．
故答案为：0
9-2．（2024 高二下· 4辽宁本溪·期末）已知幂函数 f x = m -15 xm 1 在第一象限内单调递减，则 f - ÷ =
è 2
（ ）
1 1
A． B． C．2 D4 ．42
【答案】D
【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知m4 -15 =1，解得m = ±2，
由幂函数 f x 在第一象限内单调递减，可得m = -2，
则 f x = x-2 ，
f 1 1
-2
所以 - 2 ÷
= - ÷ = 4 .
è è 2
故选：D .
9-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若幂函数 y = xm 在区间 0, + 上是严格减函数，则实数m 的值可能为
（ ）．
1
A．1 B．
2
C．-1 D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性可得答案.
【详解】若幂函数 y = xm 在区间 0, + 上是严格减函数，只要m < 0即可．
故选：C.
9-4．（2024· 2四川成都·模拟预测）幂函数 f x = m - 3m - 3 xm 在区间 0, + 上单调递减，则下列说法正确
的是（ ）
A．m = 4 B． f x 是减函数
C． f x 是奇函数 D． f x 是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断 AB，再由奇函数的定义判断 CD.
【详解】函数 f x = m2 - 3m - 3 xm 为幂函数，则m2 - 3m - 3 =1，解得m = 4 或m = -1.
当m = 4 时， f x = x4 在区间 0, + 上单调递增，不满足条件，排除 A；
当m = -1时， f x = x-1在区间 0, + 上单调递减，满足题意.
f x = x-1函数 在 - ,0 和 0, + 上单调递减，但不是减函数，排除 B；
因为函数定义域关于原点对称，且 f (-x)
1
= = - f (x) ，
-x
所以函数 f (x) 是奇函数，不是偶函数，故 C 正确，D 错误.
故选：C.
（五）
幂函数的性质综合应用
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调
性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
题型 10：利用幂函数解不等式
1
10-1．（2024 高三上·四川遂宁·阶段练习）若 f (x) = x 2 ，则不等式 f (x) > f (8x -16)的解集是（ ）
é2,16 16A． ê 7 ÷
B． 0,2 C． (- , ) D．[2, + ∞)
7
【答案】A
1
【分析】由幂函数 f (x) = x 2 在定义域[0, + ) 内为增函数解不等式
1
【详解】因为函数 f (x) = x 2 在定义域[0, + ) 内为增函数，且 f (x) > f (8x -16)，
ìx 0
所以 í8x -16 0
16
，即 2 x < ，
7
x > 8x -16
é 16
所以不等式的解集为 ê2, ÷， 7
故选：A
1
10-2．（2024 ·
高一上 安徽·期中）已知幂函数 f x 的图象经过点 ,9÷，且 f a +1 < f3 2 ，则 a的取值范围è
为（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -3,1 D． - ,-3 U 1,+
【答案】D
1 1
【分析】根据幂函数 f x 的图象经过点 ,93 ÷，得 f x =è x2 ，再结合单调性与偶函数的性质解不等式即
可.
1 1 aa
【详解】设 f x = x a R ，由题意得， f ÷ =3 3 ÷ = 9，解得
a = -2，
è è
f x x-2 1∴ = = 2 ，∴ f x 为偶函数且在 0, + 上单调递减.x
∵ f a +1 < f 2 ，∴ a +1 > 2，解得 a < -3或 a >1 .
故选:D.
1 1
10-3．（2024 高三上·四川绵阳·阶段练习）“ (a +1)2 < (3 - 2a)2 ”是“ -2 < a <
2
3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
1 1
【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出 (a +1)2 < (3 - 2a)2 所满足的 a的取值范围，进而判断
出结果.
ìa +1< 3- 2a
1 1 1【详解】因为 y = x 2 定义域为 0, +
，且为增函数，又 (a +1)2 < (3 - 2a)2 ，所以 ía +1 0 ，解得：
3- 2a 0
1 a 2 1 a 2 2 a 2 2 a 2 1 a 2
1 1
- < ，因为- < - < < ，而 - < < - < 2，故“ (a +1)2 < (3 - 2a)2 ”是“ -2 < a < 3 ”3 3 3 3 3
的充分不必要条件.
故选：A
3 3
10-4．（2024 高一上·上海浦东新·期中）不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集为 ．
【答案】 1, +
【分析】根据幂函数的单调性求解即可.
3
-
【详解】函数 f x = x 5 = 5 x3 的定义域为R 且在R 上单调递减，
3 3
则由 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 ，
得 x + 2 > 5 - 2x ，解得 x >1，
3 3
所以不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集为 1, + .
故答案为： 1, + .
1
10-5．（2024 高一上·江苏盐城·阶段练习）函数 -f (x) = x 2 ，则不等式 f (2x -1) > f (x +1) 的解集为 ．
1 ,2 【答案】 2 ÷è
【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
1
【详解】由题意知，幂函数 -f (x) = x 2 在 (0, + )上单调递减，
ì2x -1< x +1
由 f (2x -1) > f (x +1)
，得 í2x -1 > 0 ，
x +1 > 0
1
解得 < x < 2
1
，即不等式的解集为 ( , 2) .
2 2
(1故答案为： , 2)
2
题型 11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用
2
11-1．（2024 高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数 f x = x-2m -m+3 -2 < m < 2,m Ζ 在区间 0, +
上单调递增.请从如下 2 个条件：①对任意的 x R ，都有 f -x = f x ；②对任意的 x R ，都有
f -x + f x = 0中任选 1 个作为已知条件，求解下列问题.
(1)求 f x 的解析式；
(2)在（1）问的条件下，当 x -3,3 时，求 f x 的值域.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得m ，从而得到函数 f x 的解析式；
（2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果.
2
【详解】（1）∵ f x = x-2m -m+3，其中-2 < m < 2，m Z
当m = -1 f x = x2 3时 ，当m = 0时 f x = x ，当m =1时 f x = x0 =1，（ x 0），
∵ f x 在区间 0, + 上单调递增，∴ m = -1，或m = 0
选①时，可知函数 f x 2为偶函数，则 f x 的解析式为 f x = x ，
选② 3时，可知函数 f x 为奇函数，则 f x 的解析式为 f x = x .
（2）若函数 f x = x2 ,x -3,3
2
易知 f x = x 在 -3,0 上单调递减，在 0,3 上单调递增
当 x = 0时， f x = 0min ，当 x = ±3时， f x = 9max ，
∴ f x 的值域为 0,9 .
若 f x = x3 ,x -3,3 ，易知 f x = x3 在 -3,3 上是增函数
当 x = -3时， f x = -27，当 x = 3时， f x = 27min max ，
∴ f x 的值域为 -27,27 .
4 3 4
11-2．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数：① y = x-2 ，② y = x 3 ，③ ，④
-
y = x5 y = x 5 ，既是偶函数，
又在 (- ,0)上为增函数的是 ．
【答案】①④
【分析】结合幂函数的性质，分别判断选项中四个函数的奇偶性以及在 (- ,0)上的单调性，看是否符合题
意，即得答案.
【详解】对于① y = x-2 ，设 f (x) = x-2 ，定义域为{x R | x 0}，满足 f (-x) = (-x)-2 = f (x)，
故 y = x-2
1
为偶函数，又 y = ，在 (- ,0)2 上为增函数，符合题意；x
4 1
对于②， y = x 3 = (x4 )3 定义域为 R，且为偶函数，在 (0, + )上为增函数，
故在 (- ,0)上为减函数，不符题意；
3 3 3
对于③ y = x5 ，定义域为 R，设 g(x) = x5 ，则 g(-x) = (-x)5 = -g(x)，
3
故 y = x5 为奇函数，不符题意；
4 4 4
对于④ -y = x 5 ，定义域为{x R | x 0}，设
-
F (x) = x 5 ，满足
-
F (-x) = (-x) 5 = F (x) ，
4
故 -y = x 5 为偶函数，在 (0, + )上为减函数，故在 (- ,0)上为增函数，符合题意，
故答案为：①④
11-3．（2024 高一上·上海杨浦·期末）已知a
1 1
ì-2, -1, - , ,1, 2,3ü aí ，若幂函数 f x = x 奇函数，且在 0, +
2 2
上为严格减函数，则a = .
【答案】-1
【分析】根据幂函数 f x = xa 在 0, + a上为严格减函数，可得a < 0，再由幂函数 f x = x 奇函数即可得
答案.
a
【详解】解：因为幂函数 f x = x 在 0, + 上为严格减函数，
所以a < 0，
ì
所以a í-2, -1,
1
- ü
2
，
又因为幂函数 f x 1= xa ì奇函数，且a í-2, -1, - ü ，
2
所以a = -1，
故答案为：-1
11-4．（2024 2 -m-1高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 f x = m - 5m + 7 x m R 为奇函数.
1
(1)求 f 2 ÷的值；è
(2)若 f 2a +1 > f a ，求实数 a的取值范围.
【答案】(1)8；
1
(2) a < -1或- < a < 0 .
2
1
【分析】（1）根据幂函数的定义得到m = 2 或m = 3，根据奇偶性即可得到m 的值，再计算 f ( ) 即可；
2
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得 2a +1 < a < 0 或0 < 2a +1 < a 或 2a +1 > 0 > a ，进而即得.
【详解】（1）由m2 - 5m + 7 =1，得m = 2 或m = 3，
当m = 2 时， f x = x-3 是奇函数，满足题意，
当m = 3时， f x = x-4 是偶函数，不满足题意，
-3
f x = x-3 1 1 所以 ， f 2 ÷ = ÷ = 8；è è 2
-3
（2）因为 f x = x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，单调减区间为 - ,0 ， 0, + ，
由 f 2a +1 > f a ，可得 2a +1 < a < 0 或0 < 2a +1 < a 或 2a +1 > 0 > a ，
1
解得 a < -1或- < a < 0 ，
2
所以实数 a
1
的取值范围为 a < -1或- < a < 0 .
2
一、单选题
1．（2024 高一上·四川成都·期末）函数 f x = x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 f -x = -x = f (x)，所以 f (x) 为偶函数，排除 A,B 选项；
易知当 x > 0时， f x = x 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以 D 不正确.
故选：C.
2．（2024 3高一上·青海西宁·期末）已知点 a , 2 在幂函数 f x = a -1 xb的图象上，则（ ）
1
A． f x = x-1 B． f x = 2x 2
1
C． f x = x3 D． f x = x3
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出 a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【详解】Q函数 f x = a -1 xb是幂函数，
\a -1 =1 b，即 a = 2,\点 8,2 在幂函数 f x = x 的图象上，
b b 1
1
\8 = 2，即 = ，故 f x = x3 .3
故选：D.
1
3．（2024 高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，则 f 2 ÷等于（ ）è
1
A． 2 B C
2
． 4 ． D．2 4
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.
1
【详解】设 f (x) = xa ，因为幂函数 f x 的图象过点 2, 2 ，所以 a = ，2
1 2
即 f (x) = x f ，所以 ÷ = .
è 2 2
故选：C.
4 2024· · f x = m2 m．（ 海南 模拟预测）已知 + m - 5 x 为幂函数，则（ ）．
A． f x 在 - ,0 上单调递增 B． f x 在 - ,0 上单调递减
C． f x 在 0, + 上单调递增 D． f x 在 0, + 上单调递减
【答案】B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数m 的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
2 m
【详解】因为 f x = m + m - 5 x 是幂函数，所以m2 + m - 5 =1，解得m = 2 或m = -3，
所以 f x = x2 或 f x = x-3 ，
对于 f x = x2 ，函数在 0, + 上单调递增，在 - ,0 上单调递减；
对于 f x = x-3 ，函数在 0, + 上单调递减，且为奇函数，故在 - ,0 上单调递减；
故只有 B 选项“ f x 在 - ,0 上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
2
5．（2024 高三下·上海浦东新·阶段练习）设m R ，若幂函数 y = xm -2m+1定义域为 R，且其图像关于 y 轴成轴
对称，则 m 的值可以为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】C
【分析】
根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定 m 的值.
【详解】
解：由题意知m2 - 2m +1 > 0 m 1，
因为其图像关于 y 轴成轴对称，则m = 7 .
故选：C．
x
6．（2024 高二下·陕西咸阳· 1 期末）现有下列函数：① y = x3；② y = 2 5 ÷ ；③ y = 4x ；④ y = x +1；⑤
è 2
y = x -1 2 ；⑥ y = x ；⑦ y = a x (a > 1)，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足 y = xa形式，故 y = x3， y = x 满足条件，共 2 个
故选：B
7．（2024 高一·全国· 2课后作业）已知幂函数 y = m - 3m + 3 xm+1 的图像关于 y 轴对称，则m 等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．3
【答案】A
【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案.
【详解】由于函数是幂函数，所以m2 - 3m + 3 =1，解得m =1或m = 2 .
当m =1时， y = x2，是偶函数，图像关于 y 轴对称，符合题意.
当m = 2 时， y = x3，是奇函数，图像不关于 y 轴对称，不符合题意.
所以m 的值为1.
故选：A
m
8．（2024 高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数 y = x n （m, n均为正整数且m, n互质）的图象，则
（ ）
A．m, n
m
是奇数且 <1
n
m
B．m 是偶数， n 是奇数，且 <1
n
m
C．m 是偶数， n 是奇数，且 >1
n
m
D．m, n是奇数，且 >1
n
【答案】B
m m
【分析】由幂函数性质及0 < x <1时两图象的位置关系可知 <1；由图象可知 n 为偶函数，进而确定
n y = x
m, n的特征.
m
【详解】由幂函数性质可知： y = x n 与 y = x 恒过点 1,1 ，即在第一象限的交点为 1,1 ，
m
当0
m
< x <1时， x n > x ，则 <1；n
m m m m
又 y = x n 图象关于 y 轴对称，\ y = x n 为偶函数，\ -x n = n -x m = x n = n xm ，
又m, n互质，\m为偶数， n 为奇数.
故选：B.
9．（24-25 高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数 y = xn 在第一象限的图象，已知 n 取±2，
1
± 四个值，则相应于C1，C2 ，C3，C4 的 n 依次为（ ）2
1 1 1 1
A．-2，- ， ， 2 B． 2， ，- ，-2
2 2 2 2
1 1 1 1
C．- ，-2， 2， D． 2， ，-2，-
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【详解】解：根据幂函数 y = xn 的性质，在第一象限内的图象:
1
当 n > 0时， n 越大， y = xn 递增速度越快，故C1的 n = 2，C2 的 n = ；2
1
当 n < 0时， n 越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的 n = - ，曲线C4 的 n = -2 .2
故选:B
10．（2024 高一上·安徽·期末）若幂函数 f x 2= m2 -2m-2 xm -4m+1在区间 0, + 上单调递减，则m =
（ ）
A．3 B．1 C．-1或 3 D．1 或-3
【答案】A
【分析】由题目条件可得 2 2 2 = 1且m 2 - 4m + 1 < 0 .
2 m2 -4m+1
【详解】因为函数 f x = m -2m-2 x 为幂函数，且在区间 0, + 上单调递减，所以 2 2 2 = 1
且m 2 - 4m + 1 < 0 ，又m2 - 2m - 3 = 0，可得m = -1或m = 3 .
当m = -1时，满足m2 - 4m +1 > 0，舍去；
当m = 3时，满足m 2 - 4m + 1 < 0 .
综上m = 3 .
故选：A.
1 1 1
-
11 3 3 3．（2024 高一上·重庆九龙坡·期末）已知 a 3= ÷ ,b
3
=
2
÷ ,c = ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
è 5 è 5 è 5
A．a < b < c B．b < c < a C． c < a < b D．a < c < b
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.
1 1
-
3 3 1
【详解】b 3 5= ÷ =
÷ ，因为函数5 3 y = x
3 是实数集上的增函数，
è è
1 1 1
5 3 1
所以由 > > 可得： 5 3 > 3
3
>
2 3
÷ ÷ ÷ ，即 c < a < b ，3 5 2 è 3 è 5 è 5
故选：C
1
12．（2024 高一·全国·课后作业）已知 f x = 2 ，若 0 < a < b <1，则下列各式中正确的是（x ）
f a < f b < f 1 1 1 1 A． ÷ < f ÷ B． f ÷ < f ÷ < f b < f a
è a è b è a è b
f a < f b 1< f 1 1 1C． ÷ < f
÷ D． f ÷ < f a < f ÷ < f b
è b è a è a è b
【答案】B
【分析】确定函数在(0, + ∞)上单调递减，得到函数值的大小关系.
【详解】 f x 1 1 1= = x-22 在(0, + ∞)上单调递减， 0 < a < b <1，故0 < a < b <1 < < ，x b a
1 1
故 f ÷ < fa b ÷
< f b < f a .
è è
故选：B.
2
13．（2024 2 m -4m+1高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数 f x = m -2m-2 x 在区间 0, + 上单调递增，则
m =（ ）
A．-1 B．3 C．-1或 3 D．1 或-3
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
2
【详解】因为函数 f x = m2 -2m-2 xm -4m+1为幂函数，且在区间 0, + 上单调递增，
所以 2 2 2 = 1且m2 - 4m +1 > 0，
由m2 - 2m - 3 = 0，得m = -1或m = 3，
当m = -1时，m2 - 4m +1 > 0，满足题意；
当m = 3时，足m 2 - 4m + 1 < 0 ，不符合题意.
综上m = -1.
故选：A.
2
14 2024 · · f x = n2 + 2n - 2 × xn -2n．（ 高一上 浙江杭州 期末）已知幂函数 在 0, + 上是减函数，则 n 的值为
（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．1 或-3
【答案】B
【分析】先由函数是幂函数，得到 n = -3或 n =1，再分别讨论，是否符合在 0, + 上是减函数的条件.
【详解】因为函数 f x 是幂函数，则 n2 + 2n - 2 =1，
所以 n = -3或 n =1 .
当 n = -3时， f x = x15 在 0, + 上是增函数，不合题意.
n =1 f x = x-1当 时 在 0, + 上是减函数，成立.
故选：B.
15．（2024 高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数 f x 的图像过点 64,4 ，则 f 8 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据题意，得到幂函数的解析式，然后代入计算即可得到结果.
a a 1 1
【详解】根据题意，设幂函数为 f x = x ，则可得 4 = 64 a = ，所以
3 f x = x
3 ，
1
即 f 8 = 83 = 2
故选:A
16．（2024 高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A． y = 3 x B． y
1 1
= 2 C． y = 2x
2 D． y = x +
x x
【答案】A
【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
1
【详解】对于 A，由幂函数的定义知 y = 3 x = x3 是幂函数，由题意可知 f (x) 的定义域为R ,
f (-x) = 3 -x = - 3 x = - f (x)，所以 f (x) 是奇函数，符合题意；故 A 正确；
1 -2
对于 B，由幂函数的定义知 y = 2 = x 是幂函数，由题意可知 f (x) 的定义域为 - ,0 U 0, + ,x
f ( x) 1 1- = 2 = 2 = f (x) x ，所以 f (x)-x 是偶函数，不符合题意；故 B 错误；
对于 C，由幂函数的定义知 y = 2x2 不是幂函数，不符合题意；故 C 错误；
对于 D，由幂函数的定义知 y = x
1
+ 不是幂函数，不符合题意；故 D 错误；
x
故选：A.
17．（2024 高一上·全国·课后作业）如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
-1 1 1 1 1A．① y = x ，② -1y = x 2 ，③ y = x3 B．① y = x ，② y = x3 ，③ y = x 2
1 1 1 1
C．① -1 -1y = x3 ，② y = x 2 ，③ y = x D．① y = x3 ，② y = x ，③ y = x 2
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
-1 1
【详解】由函数 y = x = 是反比例函数，其对应图象为①；
x
1
函数 y = x 2 = x 的定义域为 (0, + )，应为图②；
1
因为 y = x3 的定义域为R 且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
18．（2024 高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数 y = f x 的图象过 4,32 点，则 f 2 =（ ）．
A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义设函数 y = f x 的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求 f 2 值即可.
【详解】因为函数 y = f x 为幂函数，所以可设 f（x）＝xa，
因为 y = f x 图象过 4,32 ，
所以32 = 4a ，
5 5
所以 a = ，即
2 f (x) = x
2 ，
5
所以 f 2 = 22 = 4 2
故选：C
二、多选题
1
19．（2024 高一下· 2 m山西忻州·开学考试）已知幂函数 f x = m - 3 x 的图象过点 2, ÷ ，则（ ）
è 4
A． f x 是偶函数 B． f x 是奇函数
C． f x 在 - ,0 上为减函数 D． f x 在 0, + 上为减函数
【答案】AD
2, 1 【分析】利用幂函数定义即过点 ÷ 可得m = -2，再根据函数奇偶性定义即可判断 f x 是偶函数，由幂
è 4
函数单调性即可判断 D 正确.
【详解】根据幂函数定义可得m2 - 3 =1，解得m = ±2；
2, 1 1又因为图象过点 ÷ ，所以可得m = -2，即 f x = x-2 = 2 ；è 4 x
1 1
易知函数 f x 的定义域为 0, + - ,0 ，且满足 f -x = 2 = = f x -x x2 ，
所以 f x 是偶函数，故 A 正确，B 错误；
由幂函数性质可得，当 x 0, + -2时， f x = x 为单调递减，再根据偶函数性质可得 f x 在 - ,0 上为增
函数；故 C 错误，D 正确.
故选：AD
20．（2024 高一上·宁夏银川·期末）幂函数 f x = m2 + m -1 x-m-1， ∈ N ，则下列结论正确的是（ ）
A．m =1 B．函数 f x 是偶函数
C． f -2 < f 3 D．函数 f x 的值域为 0, +
【答案】ABD
【分析】根据函数为幂函数，求得 m 的值，判断 A；根据函数奇偶性定义可判断 B；根据幂函数的单调性可
判断 C；根据函数解析式可求函数值域，判断 D.
2 -m-1
【详解】因为 f x = m + m -1 x 是幂函数，所以m2 + m -1 =1，
解得m = -2或m =1，又因为 ∈ N ，故m =1，A 正确；
f x = x-2则 ，定义域为{x | x 0}，满足 f -x = (-x)-2 = f (x)，故 f x 是偶函数，B 正确；
f x = x-2 为偶函数，在 (0, + )上单调递减，故 f -2 = f (2) > f 3 ，C 错误；
函数 f x = x-2 1= 2 的值域为 0, + ，D 正确，x
故选：ABD
21．（2024 高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在 - ,0 上单调递减的是（ ）
A． y = -x B． y = x-2
C． y = x-1 D． y = x2
【答案】CD
【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可.
【详解】对于 A，函数 y = -x 在 - ,0 上单调递减但不是幂函数，故选项 A 错误；
对于 B，函数 y = x-2 是幂函数，在 (- ,0)上单调递增，故选项 B 错误；
对于 C，函数 y = x-1是幂函数且在 - ,0 上单调递减，故选项 C 正确；
对于 D，函数 y = x2是幂函数且在 - ,0 上单调递减，故选项 D 正确，
故选：CD.
22．（2024 高一上·云南红河·期末）已知幂函数 f x 的图象经过点 8,2 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 为增函数
B．函数 f x 为偶函数
C．当 x 4时， f x 2
f x
D 0 < x < x 1
+ f x2 f x + x ．当 1 2 时， < 1 22 ÷è 2
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出幂函数 f x 的解析式，再逐项分析判断作答.
a a 1 1
【详解】设幂函数 f x = x ，则 f 8 = 8 = 2 2 ，解得a = ，所以
2 f (x) = x
2 ，
对于 A， f x 的定义域为[0,+ )， f x 在[0,+ )上单调递增，A 正确；
对于 B，因为 f x 的定义域不关于原点对称，函数 f x 不是偶函数，B 错误；
1
对于 C，当 x 4时， f x f 4 = 42 = 2，C 正确；
对于 D，当0 < x < x f (x时，[ 1) + f (x2 )]2 [ f ( x1 + x- 2
x
)]2 = 1
+ x2 + 2 x1x2 x1 + x2 2 x x - x - x
1 2 - = 1 2 1 2 =
2 2 4 2 4
( x - x )2
- 1 2 < 0，
4
f x + f x
又 f (x) 0
1 2 < f x1 + x2 ，所以 ÷ ，D 正确．2 è 2
故选：ACD
三、填空题
7+3t-2t2
23．（2024 高一·全国·课后作业）幂函数 f x = t3 - t +1 x 5 是偶函数，且在 (0, + )上为增函数，则函数
解析式为 ．
2 8
【答案】 f (x) = x 5 或 f (x) = x5
【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于 t的不等式组，解得即可求出 t的值.
7+3t-2t2
【详解】Q f x = t3 - t +1 x 5 是幂函数，也是偶函数，
且在 (0, + )上为增函数，
ìt3 - t +1 =1
\í 2 27 + 3t 2 - 2t 2
且
0 7 + 3t - 2t
为偶数，
>
解得 t =1或 t = -1，
8
当 t =1时， f x = x5 ，
2
当 t = -1时， f x = x 5 .
2 8
故答案为： f (x) = x 5 或 f (x) = x5
24．（2024 高一上·宁夏吴忠·期中）若 f x f 2 1= f 1 是幂函数，且 ，则
4 3 ÷
=
è
【答案】9
【分析】设出幂函数解析式，根据 f 2 1 1= 解出参数，将 x = 代入计算即可.
4 3
a 1
【详解】解：因为 f x 是幂函数，记 f x = x ，因为 f 2 = ，
4
2a 1= -2所以 ，解得 a = -2 ，故 f x = x ，
4
-2
f 1 = 1 所以 ÷ ÷ = 9 .
è 3 è 3
故答案为：9
25．（2024 高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数 f (x) ，条件：① f (x) 是偶函
数；② f (x) 为 0, + 上的减函数．则 f (x) = ．
【答案】 x-2 (答案不唯一)
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
a
【详解】设 f x = x ，根据幂函数为偶函数，则a 为偶数，又 f (x) 为 0, + 上单调递减，故a < 0 ，故可
取 f (x) = x-2 ，
故答案为： x-2 （答案不唯一）
26．（2024 高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数 f x 的图象过点 3,3 和 m,2 ，则实数 m＝ .
【答案】2
a
【分析】由幂函数的定义可设 f x = x ，代入运算即可得解.
a
【详解】由题意，设 f x = x ，
因为幂函数 f x 的图象经过点 3,3 ，
所以 f 3 = 3a = 3，解得a =1，
所以 f x = x .
又幂函数 f x 的图象经过点 m,2 ，
所以 f (m) = m = 2 .
故答案为： 2 .
2
27．（2024 高一·全国·课后作业）幂函数 y = xn +n+1 n N 的图像一定经过第 象限
【答案】一、三
【分析】由函数的奇偶性及幂函数恒过定点可得.
【详解】因为 n 为自然数，所以 n(n +1)为偶数，所以 n2 +n+1为奇数，
2
所以 y = xn +n+1 n N 是奇函数，
且函数的图像经过O(0,0) 和点 (1,1) 并且在(0, + ∞)单调递增，
2
所以幂函数 y = xn +n+1 n N 的图像一定经过第一、三象限．
故答案为：一、三
28．（2024 高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数 f x 过点 4，2 ，则满足不等式 f 2 - a > f a -1 的实数 a
的取值范围是 ．
é 3
【答案】 ê1，2 ÷
【分析】利用待定系数法求出幂函数 f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．
【详解】设幂函数 y = f x = xa ，其图像过点 4，2 ，则 4a 1= 2，解得a = ；2
1
∴ f x = x 2 = x ，函数定义域为 0, + ，在 0, + 上单调递增，
不等式 f 2 - a > f a -1 3等价于 2 - a > a -1 0，解得1 a < ；
2
则实数 a
é
的取值范围是 ê1,
3
÷ .
2
é 3
故答案为： ê1, ÷ 2
29．（2024 2 m高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数 f x = m - 2m - 2 x 满足 f 2 < f 3 ，则m = .
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
2
【详解】因为函数 f x = m - 2m - 2 xm 为幂函数，
则 2 2 2 = 1，解得m = 3或m = -1，
又因为 f 2 < f 3 ，所以m = 3，
故答案为：3 .
2
30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数 f x = m2 - m -1 xm -2m-2 是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．
【答案】2
【分析】由函数 f x 是幂函数，则m2 - m -1 =1，解出m 的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数 f x 2= m2 - m -1 xm -2m-2 是幂函数，则m2 - m -1 =1，得m = 2 或m = -1，
-2 1 f x 1 1当 m = 2 时，函数 f x = x = ，其定义域为 x | x 0 ， - = 2 = 2 = f2 x f x ( x) x ，则 是偶函数，x -
满足条件；
当m = -1时，函数 f x = x是奇函数，不合题意.
故答案为：2.
31．（2024 2 m高一上·辽宁·期末）已知幂函数 f x = m + 3m +1 x 在第一象限单调递减，则 f m = .
1
【答案】-
27
ìm2 + 3m +1 =1
【分析】根据题意得 í ，即可解决.
m < 0
2 m
【详解】由题知，幂函数 f x = m + 3m +1 x 在第一象限单调递减，
ìm2 + 3m +1 =1
所以 í ，解得m = 0（舍去），或m = -3，
m < 0
f x = x-3所以 ，
1
所以 f -3 = - ，
27
1
故答案为：-
27
32 2024 · · f x = m2 + m -1 xm．（ 高三上 河南许昌 期末）已知函数 是幂函数，且在 0, + 上是增函数，则实
数m 的值为 ．
【答案】1
【分析】先由幂函数的定义可得m2 + m -1 =1，求出m 的值，再由 f x 在 0, + 上是增函数，可得答案.
2 m
【详解】因为函数 f x = m + m -1 x 是幂函数，则m2 + m -1 =1，解得m = -2或m =1，
又因为 f x 在 0, + 上是增函数，所以m > 0，所以m =1.
故答案为：1
33．（2024 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数 y = f (x) 的图像过点 (9,3)，则 f (2) 的值为 ．
【答案】 2
1
【分析】设幂函数为 f (x) = xa ，代入点 (9,3)计算，从而得函数解析式 f (x) = x 2 ，再代入 x = 2计算即可.
【详解】设幂函数为 f (x) = xa ，由题意，9a = 3，
1
解得 a
1
= ，所以幂函数解析式为
2 f (x) = x
2 ，
1
所以 f (2) = 22 = 2 .
故答案为： 2
34．（2024 高一上·江西赣州·期中）幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 2 1在 0, + 上为减函数，则m 的值为 .
【答案】-1
【分析】由函数 f x 是幂函数，列方程求出m 的值，再验证是否满足题意.
【详解】由函数 ( ) = ( 2 2 2) 2 1是幂函数，则 2 2 2 = 1，
解得m = -1或m = 3；
-3
当m = -1时， f x = x ，在 0, + 上为减函数，满足题意；
当m = 3时， f x = x5 ，在 0, + 上为增函数，不合题意.
故答案为：-1.
1
35．（2024 2高三下·上海·阶段练习）已知函数 f x = x3 ，则关于 t的表达式 f t - 2t + f 2t 2 -1 < 0的解集
为 .
1- ,1 【答案】 3 ÷è
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， f x 的定义域为 - , + ，
1 1
所以 f -x = -x 3 = -x 3 = - f x ，
所以函数 f x 是奇函数，
1
由幂函数的性质知，函数 f x = x3 在函数 - , + 上单调递增，
由 f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0 2，得 f t - 2t < - f 2t 2 -1 ，即 f t 2 - 2t < f 1- 2t 2 ，
所以 t 2
1
- 2t <1- 2t 2 ，即3t 2 - 2t -1< 0，解得- < t <1，3
2
所以关于 t的表达式 f t - 2t 1+ f 2t 2 -1 < 0 的解集为 - ,1 ÷ .
è 3
1
故答案为： - ,13 ÷
.
è
1
36．（2024 10高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) 1= ÷ ，若 ( 1) < (8 2 )，则a的取值范围是 .
è x
【答案】 (3, 4)
【分析】根据题意得到幂函数 f x 的定义域和单调性，得到不等式 ( 1) < (8 2 )的等价不等式组，即
可求解.
1
【详解】由幂函数 f (x) 1=
10 1 1-
x ÷
= = x 10 ，
è 10 x
可得函数 f x 的定义域为 (0, + )，且是递减函数，
ìa -1 > 8 - 2a
因为 ( 1) < (8 2 )，可得 ía -1 > 0 ，解得3 < a < 4，
8 - 2a > 0
即实数 a的取值范围为 (3, 4) .
故答案为： (3, 4)
37．（2024 高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数 f (x) 过点 (2, 2)，则满足 f (2 - a) > f (a -1)的实数 a的取值
范围是 ．
【答案】[1,
3)
2
1
【详解】可得幂函数 f (x) = x 2 ，且函数在其定义域[0,+ )上单调递增．
ì 2 - a 0
因为 f (2 - a) > f (a -1)
，所以 í a -1 0 ，解得1 a
3
< ，
2
2 - a > a -1
3
所以实数 a 的取值范围是[1, )．
2
3
故答案为：[1, )
2
2
38 2 m -6m+6．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数 f x = m - 3m + 3 x 在 0, + 上单调递减，则m 的值为 ．
【答案】2
【分析】利用幂函数定义求出 m 值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
f x = m2 2- 3m + 3 xm -6m+6【详解】解：因为函数 是幂函数，
则有m2-3m+3 =1，解得m =1或m = 2 ，
当m =1时，函数 f (x) = x在 0,+ 上单调递增，不符合题意，
当m = 2 时，函数 f (x) = x-2 在 0,+ 上单调递减，符合题意.
所以m 的值为m = 2
故答案为： 2
四、解答题
1
39．（2024 高一上·四川眉山·期末）已知幂函数 y = f x 的图象经过点 , 2÷．
è 2
(1)求 f x 的解析式，并指明函数 f x 的定义域；
(2)设函数 g x = x + f x ，用单调性的定义证明 g x 在 1, + 单调递增．
1
【答案】(1) f x = ， - ,0 U 0, +
x
(2)证明见解析
【分析】（1）由待定系数法可得解析式，根据解析式有意义可得定义域；
（2）按照步骤：取值，作差，定号，下结论证明即可.
a
【详解】（1）设 f x = xa 1 ，则 ÷ = 2 ，\a = -1，
è 2
则 f x 1= ，
x
f x 的定义域是 - ,0 U 0, + ；
1
（2）由（1）知 g x = x + ，任取 x1 > x2 >1，则x
g x1 - g x x
1 1 x1 - x2 x1x2 -1
2 = 1 - x2 + - = x - x - = x - x x 1 21 x2 x x 1 2
，
1 2 x1x2
Q x1 > x2 >1，\ x1 - x2 > 0 ， x1x2 >1， x1x2 -1 > 0，
\g x1 - g x2 > 0，即 g x1 > g x2 ，
\ g x 在 1, + 上单调递增．
40．（2024 高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：
(1) -2 -3， -2.5 -3 ；
7
7
(2) - 1 8-8 8 ，- ÷ ；
è 9
3 3 1
(3) 1 4 ， 1 4 1 4 2 ÷ ÷
， ÷ ．
è è 5 è 2
【答案】(1) -2 -3 < -2.5 -3
7
7
(2) - 8-8 8 1< - 9 ֏
3 3 1
(3) 1 4 1 4 1 4 < <
è 5 ÷ 2 ÷ è è 2 ÷
【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.
（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.
（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.
【详解】（1
-3 -3
）因为幂函数 y = x-3在 - ,0 上单调递减，且-2 > -2.5，所以 -2 < -2.5 ．
7 7 7
7 7 0, + - 1 8 1 12 > 1 8 1 8（ ）因为幂函数 y = x8 在 上为增函数，且-8 8 = - ÷ ， ，所以8 9 ÷ > ÷ ，所以è 8 è 8 è 9
7 7 7
1 8 1 8 7- 8- ÷ < - ÷ ，所以-8 8
1
< -
8 9 9 ÷
．
è è è
3 1 3 1
（3） 1 4 1 4 1 4 1 4
1 1 1 1
÷ = ÷ ， ÷ = ÷ ， < < ，因为幂函数 y = x 4 在 0, + 上单调递增，所以
è 2 è 8 è 5 è125 125 8 2
3 3 1
1 4 1 4< < 1
4
5 ÷ ÷ ÷
．
è è 2 è 2
2 2
41．（2024 高一·全国·课后作业）求不等式 x -1 3 > 3x +1 3 的解.
【答案】 -1,0
【分析】将不等式化为二次不等式求解，得出答案.
2 2
【详解】解： 2 2(x -1)3 > (3x +1)3 等价于 3 (x -1) > 3 (3x +1) ，
则 (x -1)2 > (3x +1)2 ，即 x2 + x < 0，
解得-1 < x < 0，
故答案为： -1,0 ．
42．（2024 高三·全国·课后作业）已知幂函数 f x = xm2 -2m-3（m 为正整数）的图像关于 y 轴对称，且在 0, +
m m
上是严格减函数，求满足 a +1 - > 3- 2a -3 3 的实数 a 的取值范围．
2 3
【答案】 -1, ÷ U , + 3 ÷è è 2
1
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数 m 的取值，结合幂函数 -y = x 3 的单调性，分类讨
论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数 f x 在 0, + 上是严格减函数，所以m2 - 2m - 3 < 0 ，解得 -1 < m < 3．
由 m 为正整数，则m =1或m = 2 ,
又函数 f x 的图像关于 y 轴对称，得 f x 是偶函数，
而当m = 2 时， 22 - 2 2 - 3 = -3， f x = x-3 为奇函数，不符题意，
当m =1时，12 - 2 1- 3 = -4， f x = x-4 为偶函数，于是m =1．
1
因为 -y = x 3 为奇函数，在 - ,0 与 0, + 上均为严格减函数，
1 1
所以 a +1 - > 3- 2a -3 3 等价于 a +1< 3- 2a < 0或3- 2a > a +1 > 0 或 a +1 > 0 > 3- 2a ，
2 3 2 3
解得-1 < a < 或 a > ，即 a -1, ,+ .
3 2 3 ÷ ÷è è 2
43 2．（2024 高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数 f (x) = 2m - 9m +10 xm-1为偶函数，
g(x) = f (x) k+ (k R)．
x
(1)若 g(2) = 5，求 k ；
1
(2)已知 k 2，若关于 x 的不等式 g(x) - k 2 > 0 在[1,+ )上恒成立，求 k 的取值范围．
2
【答案】(1) k = 2
(2)1- 3 < k 2
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出 f (x) ，再利用 g(2) = 5列方程求出 k ；
é
（2）将问题转化为 êx
2 k 1+ ù > k 2ú ，构造函数 h x = x2
k
+
x 2 ，利用函数单调性的定义判断
h x 的单调性，
min x
根据单调性可求得 h x min ，进而可得 k 的取值范围
2 m-1
【详解】（1）对于幂函数 f (x) = 2m - 9m +10 x ，得 2m2 - 9m +10 =1，
m 3解得 = 或m = 3，
2
3 1
又当m = 时， f (x) = x 2 不为偶函数，2
\m = 3，
\ f (x) = x2 ，
k
\ g(x) = x2 + ，
x
\ g(2) 4 k= + = 5，
2
解得 k = 2；
（2）关于 x 的不等式 g(x)
1
- k 2 > 0 在[1,+ )上恒成立，
2
x2 k 1即 + - k 2 > 0在[1,+ )上恒成立，
x 2
éx2 k+ ù 1 2即
ê x ú
> k ，
min 2
k
先证明 h x = x2 + 在[1,+ )上单调递增：
x
任取 x1 > x2 >1，
x + x x x - k 则 h x1 - h x2 x2
k x2 k = 1 + - 2 + ÷ = x1 - x2 1 2 1 2 ÷，x1 è x2 è x1x2
Q x1 > x2 >1，
\ x1 - x2 > 0 ， x1 + x2 x1x2 > 2，又 k 2，
\ x1 + x2 x1x2 - k > 0，
\h x1 - h x2 > 0，即 h x1 > h x2 ，
故 h x k= x2 + 在[1,+ )上单调递增，
x
\h x = h 1 =1+ kmin ，
1
\1+ k > k 2 ，又 k 2，
2
解得1- 3 < k 2 .
44 2024 · · f x = m2 + m - 5 xm+1．（ 高一下 四川广安 阶段练习）已知幂函数 m R 在 0, + 上单调递增．
(1)求 m 的值及函数 f x 的解析式；
(2) 2若函数 g x = - 3 é f x ù + 2ax +1- a 在 0,2 上的最大值为 3，求实数 a 的值．
3
【答案】(1) m = 2 ， f x = x ；
(2) a = ±2 .
【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式；
2
（2）由（1）及已知得 g x = -x + 2ax +1- a，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关
系求参数值.
1 f x = m2 + m - 5 xm+1【详解】（ ）幂函数 m R 在 0, + 上单调递增，
ìm2 + m - 5 =1 3
故 í ，解得m = 2 ，故 f x = x ；
m +1 > 0
3
（2）由（1）知： f x = x ，
2
所以 g x = - 3 é f x ù + 2ax +1- a = -x2 + 2ax +1- a，
所以函数 g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线 x = a；
由于 g x 在 0,2 上的最大值为 3，
①当 a 2时， g x 在 0,2 上单调递增，故 g x = g 2 = 3a - 3 = 3max ，解得 a = 2；
②当 a 0时， g x 在 0,2 上单调递减，故 g x = gmax 0 = 1- a = 3，解得 a = -2 ；
③当0 < a < 2 2时， g x 在 0,a 上单调递增，在 a, 2 上单调递减，故 g x = g a = a +1- a = 3max ，解得
a = -1（舍去）或 a = 2（舍去）．
综上所述， a = ±2 ．
45．（2024 高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数 f x = a2 + a - 5 xa 为奇函数．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若正数m, n
9 1
满足3m +12n + 5a = 0，若不等式 + b恒成立．求b 的最大值．
m n
【答案】(1) f x = x-3
(2) 5
【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得 a的值，结合奇偶性可得结果；
9 1 1 m 4n 9 1+ = + + 9 1（2）由 ÷ ，利用基本不等式可求得 + 的最小值，由此可得结果.m n 5 è m n m n
【详解】（1）Q f x 为幂函数，\a2 + a - 5 =1，解得： a = 2或 a = -3；
当 a = 2时， f x = x2 ，则 f -x = x2 = f x ，即 f x 为偶函数，不合题意，舍去；
当 a = -3 f x = x-3时， ，则 f -x = -x-3 = - f x ，即 f x 为奇函数，符合题意；
f x = x-3综上所述： .
（2）由（1）得：3m +12n = -5a =15，即m + 4n = 5，又m > 0， n > 0，
9 1 1 9 1 1 m 36n 1 m 36n \ + = m + 4n + ÷ = 13+ +
13 + 2 × 1 13 12 5 m 36n÷ ÷÷ = + = （当且仅当 = ，m n 5 è m n 5 è n m 5 è n m 5 n m
1
即m = 3， n = 时取等号），
2
\bmax = 5 .
46．（2024 2 m-1高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数 f x = m - m - 5 x 的图像关于 y 轴对称.
(1)求 m 的值;
(2)若函数 g(x) = f (x) - 4 f (x) ，求 g x 的单调递增区间.
【答案】(1) m = 3
(2) (-2,0), (2, + )
【分析】（1）由题知m2 - m - 5 =1，进而解方程并根据图像关于 y 轴对称求解即可；
2 1 g x = x2（ ）由（ ）知 - 4 | x |，进而分 x 0 ， x < 0 两种情况讨论求解即可；
【详解】（1）解:由题意知m2 - m - 5 =1，解得m = -2，或m = 3．
又因为 f (x) 的图像关于 y 轴对称，所以 f (x) 为偶函数，从而m = 3．
2
所以， f x = x .
（2）解：由（1）知， g(x) = f (x) - 4 f (x) = x2 - 4 x2 = x2 - 4 | x |，
当 x 0 时， g(x) = x2 - 4 | x |= x2 - 4x，对称轴为 x = 2，
所以 g(x)在 0,2 上单调递减，在 2, + 上单调递增．
当 x < 0 时， g(x) = x2 - 4 | x |= x2 + 4x，对称轴为 x = -2，
所以 g(x)在 (- , -2)上单调递减，在 (-2,0) 上单调递增．
所以， g(x)的单调递增区间为 (-2,0), (2, + )．