4.1 指数 5 题型分类
一、根式的定义
(1)a 的 n 次方根的定义：一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R；
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，其中n a表示 a 的正的 n 次方根，－n a表示 a 的负的 n 次
方根，a>0；
③负数没有偶次方根；
④0 的任何次方根都是 0，记作 n 0＝0.
(3)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
二、根式的性质
(1)(n a)n＝a.
(2)n an {a n 为奇数 ，＝ |a| n 为偶数 .
注：n an与(n a)n的区别
(1)n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇
偶限制．其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n 次)，结果不一定等于 a，当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶
数时，n an＝|a| {a，a ≥ 0，＝ －a，a < 0.
(2)(n a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值范围由 n 的奇偶决定．若 n 为偶数，则 a≥0；
若 n 为奇数，则 a∈R.其算法是对 a 先开方，后乘方(都是 n 次)，结果恒等于 a.
三、分数指数幂的意义
m m
- 1
(1) a n ＝n 1am(a>0，m，n∈N*，n>1)， a n ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).n m
a n
a
(2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂的理解
m m
(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 a n 不可理解为 个 a 相乘，它是根式的一种新的写
n
法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
m
(2)把根式 n am化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分．
n
2
(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如 -5 3 = 5 -5 2 有意义，但
3
-5 4 = 4 -5 3 就没有意义．
四、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
（一）
n 次方根的概念问题
1、n 次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式n a的符号由根指数 n 的奇偶及被开方数 a 的符号共同确定：
①当 n 为偶数时，n a为非负实数；
②当 n 为奇数时，n a的符号与 a 的符号一致．
2、判断关于 n 次方根的结论应关注两点
(1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号．
题型 1：n 次方根的概念
1-1．（2024 高一·江苏·假期作业）16的平方根为 ，-27的5次方根为 ；已知 x7 = 6，则 x = ；
【答案】 ±4 5 -27 7 6
【分析】利用根式的定义求解即可.
【详解】Q ±4 2 =16，\16 的平方根为±4 .
-27的5次方根为 5 -27 .
Q x7 = 6，\ x = 7 6 .
故答案为：±4； 5 -27 ； 7 6 .
1-2．（2024 高一上·上海虹口·期中）625 的四次方根为 .
【答案】±5
【解析】利用一个数的 n 次方根的定义求解即可.
【详解】因为 ±5 4 = 625，所以 625 的四次方根为±5 .
故答案为：±5 .
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）81 的 4 次方根是 ．
【答案】 ±3
【分析】利用方根的意义，列式计算作答.
【详解】81 的 4 次方根是± 4 81 = ± 4 34 = ±3 .
故答案为： ±3
1-4．（2024 高一上·甘肃临夏·阶段练习）二次根式 x2 = -x成立的条件是（ ）
A． x > 0 B． x 0 C． x 0 D． x 是任意实数
【答案】C
【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.
【详解】因为 x2 =| x |= -x，
所以 x 0 .
故选：C.
1-5．（2024 高一·江苏·假期作业） a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A． 4 a2 B． 5 a
C． 7 -a D． 8 a
【答案】D
【分析】利用根式有意义的条件即可判断.
【详解】当 a < 0时， a的偶次方根无意义.
故选：D
1-6．（2024 高三· 2全国·专题练习）已知 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，求 x yz =
【答案】 4
【分析】根据绝对值、平方及二次根式的意义可求 x，y，z 的值，从而可得答案．
2
【详解】因为 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，
ì x 3 = 0 ìx = -3
所以 í y -1 2 = 0 ，解得 íy =1 ，所以-3 1 7 = 4，
x z - 4 = 0
z = 7
故答案为： 4．
（二）
利用根式的性质化简求值
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)
公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的．
(2)化简根式时需注意：
在根式计算中，含有 n a (n 为正偶数)的形式中要求 a≥0，而 n an 中 a 可以是任何实数．
(3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的
性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论．
题型 2：根式化简或求值
2-1．（2024 高一上·全国·专题练习）化简 11 6 2 11- 6 2 = .
【答案】6
【分析】根据根式的运算性质可求出结果.
【详解】 11 6 2 11- 6 2 = (3 2)2 (3 - 2)2
= 3 2 3- 2
= 6 .
故答案为：6 .
2 3
2-2．（2024 高一上·四川宜宾·阶段练习）化简 1- 3 3 3 1 的结果是 ．
【答案】 2 3
【分析】利用根式的运算性质计算即可.
【详解】 1- 3 2 3 3 3 1 = 1- 3 3 1 = 3 -1 3 1 = 2 3 .
故答案为： 2 3 .
2-3．（2024 高一·江苏·假期作业）有下列说法：
① 3 -125 = 5；②16 的 4 次方根是±2；
③ 4 81 = ±3；④ (x y)2 =| x y |．
其中，正确的有 (填序号)．
【答案】②④
【分析】根据 n 次方根的定义求解.
【详解】n 为奇数时，负数的 n 次方根是一个负数， 3 -125 = -5，故①错误；
16 的 4 次方根有两个，为±2 ，故②正确；
因为 4 81 = 3，故③错误；
因为 (x y)2 是正数，故 (x y)2 =| x y |，故④正确．
故答案为：②④
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）当 2 - x 有意义时，化简 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9 的结果是（ ）
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
【答案】C
【分析】由 2 - x 有意义，得到 x 2，由 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9= (x - 2)2 - (x - 3)2 ，根据根式的运算
性质，即可求解.
【详解】因为 2 - x 有意义，可得 2 - x 0，即 x 2，
又由 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9= (x - 2)2 - (x - 3)2
= x - 2 - x - 3 = 2 - x - (3- x) = -1
故选：C.
【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，其中解答中熟记指数幂和根式的运算法则是解答的关键，着重
考查运算能力.
2-5．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习）若 a = 3 3-p 3 ，b = 4 2 -p 4 ，则 a b 的值为（ ）
A．1 B．5 C．-1 D． 2p - 5
【答案】A
【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.
3
【详解】依题意， a = 3 3-p = 3 -p ，b = 4 2 -p 4 =| 2 -p |= p - 2，
则 a b = (3 - p ) (p - 2) =1，
所以 a b 的值为 1.
故选：A
（三）
根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂互化的依据
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：
m
m - n 1 1
a n = n am 和 a = m = n m ，其中字母 a 要使式子有意义．
a n a
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二
是由外向里化为分数指数幂．
(3)根式与分数指数幂互化的规律
①根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子．
②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性
质解题．
题型 3：根式与分数指数幂互化
3-1．（2024 高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）：
(1) 6x 2 y 3 ；
1 1
- 3
(2) -4x 2 ×3x 2 -y 3 × y 3 ；
(3) a × 3 a × a ．
【答案】(1) x2 3 y3 2
2 3
(2) -12y 3
3
(3) a 4
【分析】利用指数幂运算法则进行运算即可.
【详解】（1）原式= x 2 6 y 3 6 = x2 3 y3 2 .
1 1 3 2 3
（2）原式 - 3-= -12x 2 2 y 3 = -12y 3 .
（3）方法一（从里向外化）
1
1 3 3 1 3 33
a × 3 a × a = a × a ×a 2 = a × a 2 ÷ = a × a 2 = a 2 = a 4 ．
è
方法二（从外向里化）
1
1
1 é 1 ù 2 11 2 1 3 1 2
3
a × 3 a × a = a × 3 2 é ù a × a = êa × a × a 3 ú = êêa × a × a 2 ÷ úú = a × a 2 ÷ = a 4 ． ê è è ú
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 3 3
A． 6 y2 = y 3 （ y < 0
-
） B． x 4 = 4 1 ÷ （ x > 0）
è x
3
1
C． - 2 2x 3 é ù= - 3 x （ x 0） D． 3ê -x = x（ x > 0） ú
【答案】BD
【分析】利用根式与指数幂的关系求解.
1
【详解】当 y < 0时， 6 y2 > 0 ， y 3 < 0，故 A 错误．
3 3
-
x 4 1 1= = 4 ÷ （ x > 0），故 B 正确．4 x3 è x
1
-
x 3 1= （ x 0），故 C 错误．
3 x
3 33
é
2 2
3 2-x 2 ù = 3 x2 2 = x 3 ÷ = x（ x > 0），故 D 正确． ê ú è
故选： BD
1 1
3-3．（2024 高一上·广东佛山·阶段练习）根式 的分数指数幂的形式为（ ）
a a
4 4 3 3
A． -a 3 B． a 3 C． D．
-
a 4 a 8
【答案】D
【分析】根据分数指数幂与根式的关系进行化简，得到答案.
1
【详解】 1 1
1
- 1- 2 1 1- -
= a 2 ×
a a
a 2 ÷ = a 2 × a 4
è
3 3
- -
= a 4 = a 8 .
故选 D.
【点睛】本题考查根式转化为分数指数幂，属于简单题.
3-4．（2024 高一上·甘肃武威·阶段练习）（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
n 7A
1
． = n7 ÷ m7 B． 12 -3
4 = 3 3
è m
3
C． 4 x3 y3 = x y 4 D． 3 9 = 3 3
【答案】BD
【分析】根据指数幂的运算以及根式与分数指数幂的互化逐一判断即可.
7
n 1
【详解】 ÷ = n
7m-7 ，A 错误； 12
m -3
4 = 33 = 3 3， B 正确；
è
1 1
1 1 2 1 3
4 x3 y3 = x3 y3 4 ，C 错误； 3 9 = 93 ÷ = 92 ÷ = 3 3，D正确
è è
故选：BD
3-5．（2024 高一·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：
3
b3 a2 m m
4 m
（1） ；（2 1 1） a 2 a 2 a ；（3） 1 .a b6 ( 6 m)5 m4
1
【答案】（1）1；（2） a 2 ；（3）1.
【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；
（2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；
（3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解.
1 1 1 3 1
b3 a2 2 b3 2 a2 4 b2 a 2
【详解】（1）原式= × 6 ÷÷ = ÷ × 6 ÷ = 1 × 3 =1
；
è a b è a è b a 2 b2
1 1 1
1 1 2 1 1 4 1 1 1 4 1
（2）原式= a 2 × a 2 a ÷ = a 4 × a 2 a = a 4 × a8 × a 2 = a 2 ； ÷ ÷ ÷
è è è
1 1 1
2
3 m × m
3 × m4 1 1 1 5 1 - -
（ ）原式= = m2 3 4 6 45 1 = m
0 =1 .
m6 × m4
【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值.
（四）
指数幂的运算
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
题型 4：指数幂的运算
4-1．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值.
1 3 0-
(1) 0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1 1
(2) 25 8 3 (π e)0 1
-
2
- -
9 è 27 ÷ è 4 ÷
1
π
2(3)3π 22 2 1 5 3 ÷è
7 0.5
2
-
(4) 2
3
0.1
-2 2 10 3π0 37- ；
è 9 ÷ è 27 ÷ 48
-6 32
(5)83 - 0.5-3 1 16
4
.
è 3 ÷
÷
è 81
1 7 0 4- - 1(6) 计算：0.064 3 - - ÷ é -2
3 ù 3 -0.75 2
è 8
16 -0.01 ；
1
- 34ab-11 2
(7) ×
è 4 ÷ 1
（ a > 0，b > 0）.
0.1 -2 a3b-3 2
15
【答案】(1) -
2
(2)2
(3)18
(4)100
(5)4
143
(6)
80
4
(7)
25
【分析】根据指数幂的运算法则和根式运算法则计算出答案.
1 3 0-
【详解】（1）0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1
- 3
= é 0.4 3 ù 3 - 24 4 1- 3
= 0.4 -1 - 23 1- 3
2 -1 5 15
= ÷ -8 1- 3 = -8 1- 3 = -
è 5 2 2
1 1
-
3 2
（2） 25 - 8 ÷ - (π e)
0 1
9 è 27 è 4 ÷
1
5 é 3
= -
2 ù 3 1-
ê ÷ ú -1 2
-2 2
3 êè 3 ú
5 2
= - -1 2 = 2
3 3
3 3π 1
π
2
（ ） ÷ 22 23 1
5
è
1
π
= 3 ÷ 2
4 1 =1 16 1 =18 .
è 3
0.5 2
（4） 2 7 0.1-2 2 10
-
3 3π0 37 ÷ ÷ -
è 9 è 27 48
1 2
25 1
-2 -
2 64 3 37= ÷ ÷
÷ - 3π
0
è 9 è10 è 27 48
2
-
5 é 3 ù 3100 4 3 37= ê ÷ ú - 3 êè 3 ú 48
5 -2100 4 3 37= ÷ - 3 è 3 48
5 100 9 3 37= - =100 .
3 16 48
-6 3
2
（5） 1 16 483 - 0.5-3 3 ÷
÷
è è 81
3
2 -3 1 -6 4 4
= - é ù23 3 1 2- ÷ 2 3
2 ÷ ê ÷ ú
è è ê è 3 ú
3
= 22 - 23 33 2 3 ֏
2 3
= 4 -8 3
÷ = 4 -8 8 = 4
è 3
1 7 0 4- 3 - 1
（6）0.064 3 - - ÷ é -2 ù 3 16
-0.75 -0.01 2
è 8
1 1
= 0.43 -3 -1 -2 -4 24 -0.75 0.12 2
5 1 1
= -1 0.1
2 16 8
= 143 .
80
1
-
1 2
3
4ab-1
（7） ×
è 4 ÷ 1 0.1 -2 a3b-3 2
1 3 3 3
-
42 42 a 2b 2 16 4
= 3 3 = = .
102
-
a 2 b 2 100 25
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）化简求值:
1 2
9 - 2(1) 2 9.60 27- -
3 2
÷ ÷
4 ÷
；
è è 8 è 3
1
-3
(2) 3 2
-4 -2
a 2· b ÷ b · a （ a > 0，b > 0）.
è
1
【答案】(1)
2
(2) 1a
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
1 2
- 2
【详解】（1） 9 2 - 9.60 - 27
3 2
è 4 ÷ è 8 ÷ ÷ è 3
1 2
é 2 3 ù 2 é
3
2 ù 31 2
2
3 4 4 1= ê ÷ ú - - ê ÷ ú ÷ = -1- = .
êè 2 ú êè 3 ú è 3 2 9 9 2
1 -3
（2） a 2·3 b2 ÷ b-4· a-2
è
-3
1 2 1
= a 2·b3 b-4÷ ×a-1 2
è
3 1- -
= a 2·b-2 ÷ b-2 a 2 a-1
1
× ÷ = ×b0 =
è è a
2 4
4-3．（2024 高一上·山西·期中）（1）化简： b a
3 6 (a > 0,b > 0) .（结果用分数指数幂表示）a b
2 1
- 1- 2
（2）化简：8a 3b 2 2a 6b ÷ (a > 0,b > 0) .（结果用分数指数幂表示）
è
2 1
（3）求值： -83 27 3 ( 2 1)0 .
1 1 5 5
- - 16【答案】（1） a 2b 2 ；（2）
-
4a 6b 2 ；（3） .3
【分析】根据根式与分数指数幂互化及指数幂的运算法则运算即得.
2 4 1 1 1 1
【详解】（1） b a = a-3b2 a4b-6 2 = a-3b2a2b-3 - -3 6 = a-1b-1 2 = a 2b 2 ；a b
2 1 1 2 1- 1 5 5- 2 - -2 -
（2）8a 3b 2 2a 6b ÷ = 4a 3 6b 2 = 4a 6b 2 ；
è
2 1 1 2
- 1-
（3）83 27 3 ( 2 16 1)0 = 83 33 ÷ 3 1 = 22 3-1 1 = .
è 3
4-4．（2024 高一上·全国·课后作业）计算下列各式：
0 1
(1) 1 2-2 2 1
-
2
- 0.01 0.5 2 ÷ 4 ÷
；
è è
0.5 2-
(2) 3 2
7 -2 10 37
÷ 0.1 2 ÷ - 3π
0 ；
è 9 è 27 48
(3) a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c a,b,c > 0 .
16
【答案】(1) 15
(2)100
a
(3) -
3c
【分析】根据指数的运算法则计算即可；
1 4 1 1 1
【详解】（1）原式=1+ （ ）2 -（ ）2
4 9 100
1 1
- 16=1+ =
6 10 15
2 = 25
1
2 1 -2 64
2
- 37
（ ）原式（ ） （ ） （ ）3 - 3
9 10 27 48
5 9 37
= 100 - 3
3 16 48
=100
（3）
a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c
= -4 a-2-1b-3 1 12a-4b-2c
1
= - a-3 4b-2 2c-1
3
a
= -
3c
（五）
指数条件求值问题
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不
知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从
而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差
公式、立方差公式及完全平方公式的应用．
利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
1 1 1 1
(1)a±2a 2 b 2 ＋b＝(a 2 ±b 2 )2；
1 1 1 1
(2)a－b＝(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )；
3 3 1 1 1 1
(3)a 2 ＋b 2 ＝(a 2 ＋b 2 )(a－a 2 b 2 ＋b)；
3 3 1 1 1 1
(4)a 2 －b 2 ＝(a 2 －b 2 )(a＋a 2 b 2 ＋b)．
题型 5：利用指数运算性质进行条件求值
1 1
75．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 -a 2 a 2 = 5 ，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3 3
(3) -a 2 a 2
【答案】(1)3
(2) 7
(3) 2 5
【分析】利用完全平方公式以及立方和公式，可得答案.
1 1
【详解】（1）将 - 两边平方，可得 a a-1a 2 a 2 = 5 2 = 5，解得 a a
-1 = 3 .
（2）将 a a-1 = 3两边平方，可得 a2 a-2 2 = 9，解得 a2 a-2 = 7 .
3 3 1 3 1 3
- - 1 1-
（3） a 2 a 2 = a 2 ÷ a 2 ÷ = a 2 a 2 ÷ a -1 a-1 = 5 3 -1 = 2 5 .
è è è
1 1
76．（2024 高一·全国·课后作业）已知 -a 2 a 2 = 3，求下列各式的值：
(1) a a-1；
a2 a-2 - 2
(2) 3 3 ．
-
a2 a 2 -3
【答案】(1)7
(2)3
1 1
【分析】（1）将 -a 2 a 2 = 3两边平方，即可求得答案；
（2）将 a a-1 = 7 两边平方，求得 a2 a-2
3 3
= 47，再根据立方和公式求得 -a 2 a 2 的值，即可求得答案.
1 1
【详解】（1）将 -a 2 a 2 = 3两边平方，得 a a
-1 2 = 9，即 a a-1 = 7 ；
（2）将 a a-1 = 7 两边平方，得 a2 a-2 2 = 49，即 a2 a-2 = 47；
3 3 1 3 1 3 1 1 1 1- - - -
a 2 a 2 = a 2 ÷ a 2 ÷ = a 2 a 2 ÷ a - a 2 ×a 2 a-1 ÷
è è è è
= 3 a a-1 -1 = 3 7 -1 =18 ,
a2 a-2 - 2 47 - 2
所以 3 3 = = 3．
-
a 2 a 2 - 3 18 - 3
1 1
77．（2024 高一上·广西玉林·期中）已知 -x 2 x 2 = 3，则 x
2 - x-2 = ．
【答案】±21 5
【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.
2
1 1 1 1-
【详解】由 - 2 2 -1x 2 x 2 = 3可得 x x ÷ = x 2 x = 9，
è
即 x x-1 = 7，
又因为 x x-1 2 = 2x - x-1 4，
2 -1 2 2即7 = x - x 4，可得 x - x-1 = 45
即 x - x-1 = ±3 5 ，
2 -2 -1 -1
所以 x - x = x x x - x = 7 ±3 5 = ±21 5 ．
故答案为：±21 5
78．（2024 高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式
1 0
- 3 6
(1) 0.001 3 7- ÷ 164 2 × 3 38 ；è
(2)已知 x x-1 = 3，求下列各式的值：
1 1
① -x 2 x 2 ；
3 3
② -x 2 x 2 ．
【答案】(1)89；
(2)① 5 ；② 2 5 .
【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解；
1 1
2
- 1 1
(2)①根据完全平方和公式化简计算可得 x 2 x 2 ÷ = 5，结合 -x 2 x 2 > 0开平方即可；
è
3 3 1 1 é 1 2 1 1 1 2- - - - ù
②根据公式 x 2 x 2 = x 2 x 2 ÷ ê x 2 ÷ - x 2 x 2 x 2 ÷ ú ，结合①计算即可求解.
è êè è ú
1 3 1 1
- ×6 ×6
【详解】（1）原式= 10-3 3 -1 24 4 22 ×33 =10 -1 8 72 = 89；
1 1
2 2
1 1 1 1
2
- - -
（2）①∵ x 2 x 2 ÷ = x 2 ÷ 2x 2 x 2 x 2 = x1 x-1 ÷ 2 = 3 2 = 5，
è è è
1 1
∴ -x 2 x 2 = ± 5 ，
又由 x x-1 = 3得 x > 0，
1 1
∴ -x 2 x 2 > 0，
1 1
所以 -x 2 x 2 = 5 ；
②（法一）
3 3 3 1 1
3 1 1 1 2 1 1 1 2
- - - é - - ù
x 2 x 2 = x 2 ÷ x 2 ÷ = x 2 x 2 ÷ ê x 2 ÷ - x 2 x 2 x 2 ÷ ú
è è è ê è è ú
1 1-
= x 2 x 2 ÷ é x x-1 -1ù = 5 3-1 = 2 5 ，è
（法二）
3 3 3 3 3 3
-
(x 2 x 2 )2 = (x 2 )2
- - -
(x 2 )2 2x 2 x 2 = x3 x-3 2，
3 -3
而 x x = x x-1 x2 x-2 -1
= x x-1 é x x-1 2ê - 3ùú = 3 32 - 3 =18 ，
3 3
2
-
∴ x 2 x 2 ÷ = 20，
è
又由 x x-1 = 3 > 0得 x > 0，
3 3
∴ -x 2 x 2 > 0，
3 3
所以 -x 2 x 2 = 20 = 2 5 .
79．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知 a a-1 = 3，下列各式中正确的个数是（ ）
1
① a2 a-2 = 7；② a3 a-3
1 1
=18；③ -a 2 a 2 = ± 5 ；④ a a = 2 5 ；a a
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.
【详解】① a2 a-2 = (a a-1)2 - 2 = 9 - 2 = 7 ,正确；
② a3 a-3 = (a a-1)(a2 -1 a-2 ) = 3 (7 -1) =18，正确；
1 1
③因为 a a-1
1 1
= 3可知 a > 0， - -a 2 a 2 > 0， (a 2 a 2 )2 = a 2 a-1 = 5，
1 1
所以 -a 2 a 2 = 5 ，故错误；
a a 1
3 3 1 1
- -
④ = a 2 a 2 = (a 2 a 2 )(a -1 a-1) = 5(a -1 a-1) = 2 5 ，正确.
a a
故选：C
【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.
1
1
80 0 3．（2024 高一上·江苏南通·期中）（1）求814 - 5 - 3 8 ÷ 的值；
è 27
1 1
-
（2）已知 x x-1 14 x 2 x 2= ，求 4 的值.
x2 x-2 - 200
8 4
【答案】（1） ；（2）-
3 3
【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
1 1 1 1
（2）把 -x 2 x 2 平方，结合 x x
-1 =14即可求得 - 2 -2x 2 x 2 ，利用 x x = x x-1
2
- 2可得 x2 x-2的值，代
入所求的式子即可得答案．
1 1
1 8 3 1 0 3
1 3
【详解】（ ）814 - 5 - 3 4 2 ÷ = 3 4 -1 ÷ = 3-1 2 8 = ；
è 27 è 3 3 3
2
1 1- 1 1 1 1
（2）Q -1 x 2 x 2 ÷ = x x 2 =16， - -x 2 x 2 > 0，\ x 2 x 2 = 4，
è
1 1
2 -2 -1 2
-
x x = x x - 2 =194 2， x x 2 4 4 4 4\ 2 -2 = = -
．
x x - 200 194 - 200 3
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据实数 n 次方根的性质判断各项正误即可.
【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在；
正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数；
①③错误，②④正确．
故选：C
3 ab2 × a2b2
2．（2024 高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）化简 1 1 4 （a，b 为正数）的结果是（ ）3 b × a 6b 4
b2 2A． B a． C． a22 2 b
2 D． ab
a b
【答案】C
【分析】由分数指数幂的概念和指数幂的运算律计算.
1
3 2 2 2 ab2 3 a2b2 7 8ab a b a 3b 3
【详解】 = 1 = 1 2 = a
2b2
4 1 2 2 3 3 .
3 1 1b a 6b 4 éb 3 a 3b ù a b
故选：C.
1
- (-4)0 1
3．（2024 高一·全国·课后作业）计算 2 2 - (1- 5)0 ，结果是（ ）
2 2 -1
1
A．1 B． 2 2 C． 2 D． -2 2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
1
- (-4)0 1 0 1 1
【详解】 2 2 - (1- 5) = ( 2 1) -1 = 2 2 .
2 2 -1 2 2
故选：B
4．（2024 高一上·江西景德镇·期中）化简 4 m6 (m < 0) 的结果为（ ）
A．m m B．m -m
C．-m m D．-m -m
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.
【详解】Qm < 0，\ 4 m6 = -m 3 = -m -m .
故选：D
2 1 1 2
- 2 -
5．（2024 高三·全国·专题练习）化简 4a 3b 3 - a 3b3 ÷的结果为（ ）
è 3
2a 8a 6a
A．- B．- C．- D．6ab
3b b b
【答案】C
【分析】
利用同底数幂的运算法则进行计算.
【详解】
2 1 2 1 2 é 2 ù
2
-
1
- 1 2- - ÷ - -
4a 3b 3 - a 3b3 ÷ = 4 - a 3 è 3 b 3 3 6ab-1
6a
ê ÷ú = - = -
è 3 è 3 b
故选：C.
6．（2024 高一上·全国·单元测试）化简 a × 3 a2 × a =（ ）
3 11 27
A． a 4 B
7
． a 8 C． a12 D． a 28
【答案】C
【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算，化简为指数幂形式即可.
1 1 1 1 1 1 1 1 11
【详解】由 a × 3 a2 × a = [a × (a2 × a )3 ]2 = a 2 × (a2 ×a 2 )6 = a 2 ×a3 ×a12 = a12 .
故选：C
1- 1 1- - 1- 1-
7．（2024 高一·全国·课后作业）化简 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷的结果为（ ）
è è è è è
1 -11 -
A 1- 2 32 B 1
1-
．
2 ÷
．
2
1- 2 32 ÷
è è
1
-1
- 1
C． 1 2 32 ÷ D．
è 2
【答案】B
【分析】利用平方差公式化简即可.
1 1 1- - - 1- 1-
【详解】 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷
è è è è è
1- 1- 1 1- - 1 1- - 1-
= 1- 2 32 ÷ 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è è è
1- 1- 1 1 1 1- - - -
= 1- 2 16 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è è
1- 1- 1 1- - 1-
= 1- 2 8 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è
1 1- - 1 1- -
= 1- 2 4 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è
1- 1 1- -
= 1- 2 2 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è
1
= 1- 2-1 - 1- 2 32 ÷
è
-1
1 1- = 1- 2 322 ֏
故选：B
-0.5 1 32
8 4 4．（2024 高一上·山西晋城·期中） 9 (2 - π)2 2 23 3 2 16 ÷ 3 ÷ =（ ）è è è 3 ÷
A． π B． 2 π C． 4 - π D．6 - π
【答案】B
【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.
1 3
-0.5 2 4 4
【详解】 9 2 3 2 2 4 2 (2 - π) 16 ÷ 2
3 ÷ ÷ = π - 2 4 = 2 π .
è è 3 è 3 3 3
故选：B
3 3
-
1 1 2 2
9 m - m．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）已知 -m2 m 2 = 4 ，则 1 1 的值是（ ）-
m2 - m 2
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
1 1
【详解】因为 -m2 m 2 = 4 ，
1 1
所以m m-1 = (m2 m2 )2 - 2 =16 - 2 =14，
3 3 1 1 1 1
- - -
m2 - m 2 (m2 - m 2 )(m m2 × m 2 m-1)
又由立方差公式， 1 1 = 1 1 = m 1 m
-1 =15，
- -
m2 - m 2 m2 - m 2
故选：A．
10．（2024·河北张家口·二模）2021 年 5 月 15 日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.
截至目前，祝融号火星车在火星上留下 1900 多米的“中国脚印”，期待在 2050 年实现载人登陆火星.已知所
有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都
相等.若火星与地球的公转周期之比约为9 : 5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约
为（ ）
A 25． 3 B 81 C 5． 3 ． 3 D 9． 3
81 25 9 5
【答案】A
【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值.
【详解】设地球的公转周期为5T ，则火星的公转周期为9T .
设地球 火星运行轨道的半长轴分别为m ， n ，
m3 n3
则 = ，
25T 2 81T 2
m 25
于是 = 3 .
n 81
故选: A.
11．（2024 高一上·浙江宁波·期末）下列式子的互化正确的是（ ）
1 1
A -．6 y2 = y 3 y < 0 B． x 3 = - 3 x x 0
5 5
- 1
C． x 4 1= 4 ÷ x > 0 D．- x = -x 2 x > 0
è x
【答案】C
【解析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
【详解】根据分数指数幂的运算可知，
1 1 1- 1 5 5- 1 1
6 y2 =| y |3 = -y 3 (y < 0)， x 3 = x 0 ，3 x 4 = 4 ÷ x > 0 ，- x = -x x x
2 x > 0 ，
è
故选：C
1 2
12．（2024 高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知正数 m，n 满足 2m 4n = 2，则 的最小值为（m n ）
A．3 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由指数幂的运算律得m 2n =1，再由基本不等式求最值.
【详解】由正数 m，n 满足 2m 4n = 2，即 2m 22n = 2m 2n = 2，所以m 2n =1，
1 2 m 2n 1 2 2n 2m 2n 2m所以 =
m n
÷ = 5 5 2 = 9，
è m n m n m n
n m 1
当且仅当 = ，即m = n = 时，取得等号.
m n 3
故选：D.
13．（2024 高一·全国·课后作业）若2 < a < 3，化简 (2 - a)2 4 (3- a)4 的结果是（ ）
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
【答案】C
【分析】由2 < a < 3，得到 2 - a < 0,3 - a > 0，结合根式的运算法则，即可求解.
【详解】因为2 < a < 3，所以 2 - a < 0,3 - a > 0，
所以 (2 - a)2 4 (3- a)4 = 2 - a 3 - a = a - 2 3 - a =1.
故选：C.
【点睛】本题主要考查根式的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记根式的运算性质，准确运算是解答
的关键，着重考查运算与求解能力.
14．（2024 高一·全国·专题练习）方程5x-1 ×103x = 8x 的解集是（ ）
1,4 ì1A B ü ì 1 ü ì． ． í C． í1, D． í4, 1 ü
4 4 4
【答案】B
【分析】根据题意，先把103x 转化为53x × 23x ，且8x = 23x ，然后再化简求值即可．
1
【详解】原方程可化为：5x-1 ×53x × 23x = 23x ，即54x-1 =1，解得： x = ．4
故选：B．
15．（2024 高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A．- x = -x 2 B． 6 y2 = y 3 (y < 0)
1
- 3 1
C． x 3
1
= (x > 0) D． é 3 (-x)2 ù 4 23 x = x
【答案】C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
1 1
【详解】对于 A 选项：由- x = -x 2 (x 0), (-x)2 = -x (x 0) ，故该项等号两侧不相等，所以 A 错误；
1
对于 B 选项：由 6 y2 = -y 3 (y < 0)，所以 B 错误；
1
- 1
对于 C 选项：由指数幂的运算性质，可得 x 3 = (x > 0)，所以 C 正确；
3 x
3 3 2 3 1
对于 D 选项：当 x > 0时， é 3 (-x)2 ù 4 = é 3 x2 ù 4 = (x 3 )4 = x 2 ，
3 3 2 3 1
当 x < 0 时， é 3 (-x)2 ù 4 = é 3 x2 ù 4 = (x 3 )4 = (-x)2 ，
显然当 x < 0 时，该项的等量关系不成立，所以 D 错误.
故选：C.
16．（2024 高一·全国·课堂例题）若 x3 x2 x = -1，则 x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 的值
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
【答案】D
2
【分析】由 x3 x2 x = -1，即 x 1 x 1 = 0，求得 x=-1代入求解.
2
【详解】解：由 x3 x2 x = -1，得 x x 1 x 1 = 0，
x 1 x2即 1 = 0，解得 x=-1．
∴ x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 =1．
故选：D
17．（2024 高一·全国·课后作业） n (3 - π)n (n N,n 2) = （ ）
A．3- π B． π - 3
C． 3 - π D．当 n 为奇数时，3- π；当 n 为偶数时， π - 3
【答案】D
【分析】当 n 为奇数时， n (3 - π)n = 3 - π ；当 n 为偶数时， n (3 - π)n = 3- π ，即可求解.
【详解】当 n 为奇数时， n (3 - π)n = 3 - π ；
当 n 为偶数时， n (3 - π)n = 3- π = π - 3 .
故选：D
18．（2024·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知 2 为无理数，若 ( 2) 2 为有理数，则存在无理数 a = b = 2 ，
使得ab为有理数；若 ( 2) 2 为无理数，则取无理数 a = ( 2) 2 ，b = 2 ，此时
2
ab = ( 2) 2 = ( 2) 2 × 2 = ( 2)2 = 2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A． ( 2) 2 是有理数 B． ( 2) 2 是无理数
C．存在无理数 a，b，使得ab为有理数 D．对任意无理数 a，b，都有ab为无理数
【答案】C
【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【详解】这段文字中，没有证明 ( 2) 2 是有理数条件，也没有证明 ( 2) 2 是无理数的条件，AB 错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数 a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，
C 正确；
这段文字中只提及存在无理数 a，b，不涉及对任意无理数 a，b，都成立的问题，D 错误.
故选：C
19．（2024·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且a b = 1， a b，则下列不等式成立的是（ ）
A． a b < 2
1 1
< a b B． a b
1 1
< a b < 22 2 2 2
1 1
C． < 2
1 1
< a b D． < a b < 2
2a 2b 2a 2b
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.
【详解】 2a b = a b 2 ab =1 2 ab 1 a b = 2，
∵ a b，∴等号不成立，故 a b < 2 ；
1 1 1 1 1
a b 2 a × b = 2 a b = 2
1
= 2 ，
2 2 2 2 2 2
1 1
∵ a b，∴等号不成立，故 a b > 2 ，2 2
1 1
综上， a b < 2 < a b .2 2
故选：A.
二、多选题
20．（2024 高一上·全国·单元测试）下列各式正确的是（ ）
A． a2 = a B． 3 (-3)3 = -3 C． (-2)4 = -4 D． - 5 (-a)5 = a
【答案】BD
【分析】利用根式的运算直接求解.
n n ì a, a 0,
【详解】当 n 为偶数时， a = a = í
-a, a 0,
故 A，C 选项中的式子不正确；
<
当 n 为奇数时， n an = a,
则 3 (-3)3 = -3,- 5 (-a)5 = -(-a) = a，
故 B，D 选项中的式子正确.
故选：BD.
21．（2024 高一上·云南曲靖·阶段练习）若 n N,a R ，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． 2 (-7)4n B． 2 (-7)3n C． 3 a2 D． 2 a3
【答案】AC
【分析】根据根式的意义逐一判断可得.
【详解】因为 n N，所以 4n为偶数， (-7)4n 0 ，所以 2 (-7)4n 有意义，A 正确；
取 n =1，则 (-7)3 < 0，所以 2 (-7)3n 无意义，B 错误；
因为 3 a2 的根指数为奇数，所以 3 a2 有意义，C 正确；
若 a < 0，则 a3 < 0，所以 2 a3 无意义，D 错误.
故选：AC
22．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）已知 a2 a-2 = 3，则 a a-1等于（ ）
A． 5 B．- 5 C．1 D．-1
【答案】AB
【分析】将 a a-1平方可以得到 a2 a-2 ，可得 a a-1的值.
1 2a a-1 t, t 2 a 2 1【详解】令 = \ = a ÷
= a 2 2,è a
\t 2 = 3 2 = 5,\t = ± 5.
故选：AB
23．（2024 高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．16 的 4 次方根是 2
B． 4 16 的运算结果是±2
C．当 n 为大于 1 的奇数时， n a 对任意 a R 都有意义
D．当 n 为大于 1 的偶数时， n a 只有当 a 0时才有意义
【答案】CD
【分析】根据根式的概念和性质求解.
【详解】对于 A，由于 (±2)4 =16，所以 16 的 4 次方根是±2，故 A 不正确．
对于 B， 4 16 = 2，故 B 不正确．
对于 C，由根式的意义知，当 n 为大于 1 的奇数时， n a 对任意 a R 都有意义，故 C 正确．
对于 D，由根式的意义知，当 n 为大于 1 的偶数时， n a 只有当 a 0时才有意义，故 D 正确．
故选：CD．
24．（2024 高一上·吉林白山·阶段练习）已知 xy≠0，且 4x2 y2 = -2xy ，则以下结论错误的是（ ）
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
【答案】BCD
【分析】根据 4x2 y2 = 2xy = -2xy, xy 0 知 xy < 0，进而判断即可．
【详解】解：由 4x2 y2 = 2xy = -2xy, xy 0 知 xy < 0，
所以 x、y异号，
所以 A 对，BCD 错；
故选：BCD．
4
25．（2024 高一上·甘肃庆阳·期末）若 <1，化简
2 x 25 - 30x 9x
2 - x - 2 2 - 3的结果可能（ ）-
A． 2x - 6 B． 4x - 6 . C．-2x D． 2x 4
【答案】AC
【分析】解不等式求 x 的范围，结合根式的性质化简代数式即可
4 x 2
【详解】由 <1化简可得 > 0，
2 - x x - 2
所以 x 2 x - 2 > 0，
所以 x > 2或 x < -2，
又 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x 2 - x - 2 2 - 3，
所以 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x - x - 2 - 3，
当 x > 2时， 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 3x - 5 - x 2 - 3 = 2x - 6 ，
当 x < -2时， 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x x - 2 - 3 = -2x ，
故选：AC.
三、填空题
y
26．（2024 高一上·全国·课后作业）若 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0，则 x2020 ＝ .
【答案】1
【分析】根据算术平方根可解得 x = -1，y = -3，代入即可求解.
【详解】因为 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0 ,
所以 x 1 2 y 3 2 = 0 x 1 y 3 = 0，
所以 x = -1，y = -3 .
所以 x2020 y = [(-1)2020 ]-3 =1 .
故答案为：1
27．（2024 高三下·上海宝山·阶段练习）若实数 x、y满足 x 2y =1，则 2x 4y 的最小值为 ．
【答案】 2 2
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】 2x 4y 2 2x 4y = 2 2x 22 y = 2 2x 2 y = 2 2 ,当且仅当 x = 2y ，
x 1 1即 = , y = 时取到等号.
2 4
故答案： 2 2 .
28．（2024 高一·全国·专题练习） 2 5 1 1 1 1 1 ××× = .
è1 2 2 3 3 4 80 81 ÷
【答案】16 5 8
【分析】利用分母有理化化简即得解.
2 5 1 2 -1 3 - 2 4 - 3 81 - 80 【详解】解：原式= ××× 2 -1 3 - 2 4 - 3 81-80 ÷÷è
= 2 5 1 2 -1 3 - 2 4 - 3 ××× 81 - 80
= 2 5 1 81 -1 =8 2 5 1 =16 5 8 .
故答案为：16 5 8 .
a3 a-3 a3 - a-3 a2 1 a-4 - 2
29．（2024 高三·全国·专题练习） -1 = 4 -4 -1 a a 1 a - a a - a
【答案】 2a
【分析】
利用平方差、立方差以及完全平方公式化简可得结果.
a6 - a-6 a2 - 2a ×a-1 a-2
【详解】原式= a4 a-4 1 a - a-1 a - a-1
a2 - a-2 a4 1 a-4 2a - a-1
=
a - a-1 a4 1 a-4 a - a-1
a a-1 a - a-1
= -1 -1 -1 .
a - a-1
a - a = a a a - a = 2a
故答案为： 2a .
1 2
1
30．（2024 2 3 -高一·全国·课后作业）求值： 4 ÷ (-5.6)
0 64- ÷ 0.125 3 = ．
è 9 è 27
17 8
【答案】 /1
9 9
【分析】根据分数指数幂的运算性质即可求解.
1 2
2 3 1-
【详解】 4 ÷ (-5.6)
0 64- ÷ 0.125 3
è 9 è 27
1 2
22 2 43 3 1
= 3 ÷ 1- ÷ 2 3 2 16 1732 3 = 1- 2 =è è 3 3 9 9
17
故答案为: .
9
1
3
31．（2024 · · x -1 x 1 x - x高三 全国 专题练习） 2 1 1 - 1 =
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1
【答案】 - x 3
【分析】利用指数幂的运算法则和立方差立方和公式化简求值.
1
x -1 x 1 x - x3
【详解】 2 1 1 - 1
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1 2 1 1 2 1 1 1 1
x3 -1÷ x 3 x3 1÷ x3 1÷ x 3 - x3 1÷ x3 x3 -1÷ x3 1÷
= è è è è - è è 2 1 1 1
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1 2 1 2 1 1
= x3 -1 x 3 - x3 1- x 3 - x3 = -x3 .
1
故答案为： - x 3
-2 ab -83 a2b5
32．（2024 高三·全国·专题练习）若 a = 27,b =16
， =
6 a2b7 4 4 a2b5
【答案】6
【分析】根据指数幂的运算将原式化简，然后代入计算，即可得到结果.
1 1
-2 ab -83 a2b5 16 × ab 2 × a2b5 3
【详解】 = 1 1
6 a2b7 4 4 a2b5 4 × a2b7 6 × a2b5 4
1 1 2 5
4 a 2b2 ÷ × a 3b3 ÷
è è 1 2 1 1 1 5 7 5 1= - - - -
1
-
1 7 1 5 = 4a 2 3 3 2b2 3 6 4 = 4a3 b 4
，
a3b6 ÷ a 2b4 ÷
è è
因为 a = 27,b =16
1 1
，所以原式 -= 4 273 16 4 = 6 .
故答案为: 6 .
33．（2024 高一·安徽芜湖· a-2强基计划）已知 3a -1 =1，则 a的取值可能是 ．
2
【答案】2 或 或 0
3
【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求 a的取值.
a-2
【详解】因为 3a -1 =1，
2 4
当3a -1 =1 -，即 a = 时，
3 3a -1
a-2 =1 3 =1，满足要求，
当3a -1 = -1，即 a = 0时， 3a -1 a-2 = -1 -2 =1，满足要求，
当3a -1 1且3a -1 -1 3a -1 a-2时，由 =1可得a - 2 = 0，
所以 a = 2，
2
所以 a的取值可能是 2 或 或 0，
3
2
故答案为：2 或 或 0.
3
34．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 24x 1 -17 4x 8 = 0 ， x = ．
1 3
【答案】- 或 ．
2 2
2
【分析】原方程可变成 2 × 4x -17 4x 8 = 0，然后可解出4x ，进而得出 x 的值．
【详解】因为 2 × 4x 2 -17 4x 8 = 0，
4x 1 1 3所以 = 或 8，解得 x = - 或 ．
2 2 2
1 3
故答案为：- 或 ．
2 2
-2 2
35 0 3 27 1．（2024 高三·全国·专题练习） -1.8 3 32 ÷ ÷ - 9 =
.
è è 8 0.01
【答案】19
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
2
0 3
-2 27 2 1 2 2 27 3 3【详解】 -1.8 1 ÷ 3
÷ - 9
3 =1 ÷
- 92
è 2 è 8 0.01 ÷è 3 è 8 0.1
2
4 3 3 3 3 2 4 9=1 ÷ -10 32 =1 -10 27 =19 .9 è 2 9 4
故答案为：19
3 3
36．（2024 高一·安徽芜湖·强基计划） 5 2 6 - 5 - 2 6 = ．
【答案】 22 2
【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果.
3 3【详解】 5 2 6 - 5 - 2 6 = 5 2 6 3 - 35 - 2 6
= é 2 25 2 6 ù- 5 - 2 6 ê 5 2 6 5 2 6 5 - 2 6 5 - 2 6 ú
= 5 2 6 - 5 - 2 6 5 2 6 1 5 - 2 6
=11 5 2 6 - 5 - 2 6 2
=11 5 2 6 5 - 2 6 - 2 5 2 6 5 - 2 6
=11 10 - 2 =11 8 = 22 2 .
故答案为： 22 2
37．（2024 高一·江苏常州·阶段练习）化简： (a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = ．（用分数指数幂表示）.
6
【答案】 a 5
【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为
3 1 9 13 7 13 7 6
(a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = (a2
-
× a5 ) (a 2 × a10 ) = a 5 a 5 = a 5 5 = a 5 .
6
故答案为： a 5 .
38．（2024 高一上·吉林松原·阶段练习）若代数式 3x -1 3 - x 有意义，则
9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = .
【答案】8
【分析】由已知代数式有意义确定 x 的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.
1
【详解】因为代数式 3x -1 3 - x 有意义，所以3x -1 0且3- x 0，故 x 3，3
所以 9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = 3x -1 3 x - 3 = 3x -1 3 3- x = 8，
故答案为：8.
2 2
39．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a > b > 0 a - b， a2 b2 = 4ab，则 的值为 ．
ab
【答案】 2 3
a b a a2 - b2 1
【分析】将 a2 b2 = 4ab变形为 = 4，设 t = ，求出 t 的值， 可化为 t - ，即可求得答案.b a b ab t
2 2
【详解】由 a > b > 0 a b a b， a2 b2 = 4ab，可得 = 4,\ = 4，
ab b a
设 t
a 1
= 2，则 t >1，则 t = 4,\t - 4t 1 = 0，
b t
解得 t = 2 3，（ t = 2 - 3舍去），
a2 - b2 a b t 1 2 3 1故 = - = - = - = 2 3 - 2 3 = 2 3 ，
ab b a t 2 3
故答案为： 2 3
2 -2
1 1 x x - 2
40．（2024 高一上·江西吉安·期中）已知 - =x 2 x 2 = 3，则 3 3 ．-
x 2 x 2 - 3
【答案】3
1 1
【解析】由 - 可得， x x-1 = 7， x2 -2x 2 x 2 = 3 x = 47，代入数据计算即可得出．
1 1
【详解】解：因为 -x 2 x 2 = 3，
1 1 2 -
所以 x 2 x 2 = x x-1÷ 2 = 9，
è
即 x x-1 = 7，
所以 2x x-1 = x2 x-2 2 = 49，
即 x2 x-2 = 47，
x2 x-2 - 2 x2 x-2 - 2 47 - 2 45
3 3 = = = = 3
- 1 1所以 2 -x x 2 3 3 6 - 3 15 - x 2 x 2 ÷ x -1 x-1 - 3 ，
è
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了指数与指数幂的运算，属于中档题．
41．（2024 高一上·全国·课后作业）计算下列各式．
（1） 5 -a 5 ＝ ；
（2） 6 3- π 6 ＝ ；
1 3
（3） 6 - 3 3 - 3 0.125 ＝ .
4 8
1
【答案】 -a π - 3
2
【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；
（2）根据根式的运算性质直接求解即可；
（3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可；
5
【详解】（1） 5 -a = -a .
（2） 6 3- π 6 = 3- π = π - 3 .
1 3 5 2 3 33 6 3 3 0.125 1
3
5 3 1 1
（ ） - 3 - =
4 8 2 ÷
- 3 ÷ - 32 2 ÷
= - - = .
è è è 2 2 2 2
1
故答案为：（1）-a ；（2） π - 3；（3）
2
四、解答题
42．（2024 高一·江苏·假期作业）求值：
2
- 0.5
(1) 27 3 - 49 -2 2 ÷ ÷ (0.2) - (0.081)
0；
è 8 è 9 25
-2
2 2
-1
- -
(2)π0－ 8 3 ÷ ＋ 5 2 × 4 5 ÷ .
è è
8
【答案】(1) -
9
(2) -13
【分析】（1）根据指数运算法则计算可得结果.
（2）根据指数运算法则计算可得结果.
2
1 8 49 25 2 4 7 8【详解】（ ）原式= 3 ÷ - -1 = - 1 = - ；
è 27 9 25 9 3 9
2
（2 1 4）原式 3 - ÷ -2 =1- 2 è 3 25 25 =1- 24 - 2 = -13 .
43．（2024 高三·全国·专题练习）解下列方程：3 4x 2 9x = 5 6x ；
【答案】 x = 0或 x =1；
【分析】利用指数幂的运算法则和因式分解，求解方程.
2 2
【详解】由3 4x 2 9x = 5 6x ，可得3 2x - 5 2x 3x 2 3x = 0，
x x
所以 2 - 3 3 2x - 2 3x = 0 ，
所以 2x - 3x = 0或3 2x - 2 3x = 0，
x
由 2x x
2
- 3 = 0 ，可得 ÷ =1，故 x = 0，
è 3
2 x-1
由3 2x - 2 3x = 0，可得 2x-1 = 3x-1 ，即 ÷ =1，所以 x -1 = 0，即 x =1，
è 3
所以 x = 0或 x =1；
44．（2024 高一·江苏·假期作业）计算：
1
1 - 3 1(1) - -1 - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0；
è 27
2 3
-
(2)83 1 16- ( )-2 ( ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
【答案】(1) -22
19
(2)
8
【分析】（1）（2）利用有理数指数幂的运算性质和运算法则求解即可.
1
1 1
-
3 1- -1【详解】（ ） - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0
è 27
= -3 10 5 -10 5 - 20 1
= -22 ；
2 3
-
（2）83 - (1)-2 16 ( ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
3 2 4 ( 3- )
= 2 3 4 2 27 19- ( ) 4 -1 = 4 - 4 -1 = .
3 8 8
45．（2024 高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
2
-
(1) 3
1 -1 0
-3
3
÷ 0.002
-
2 -10 5 - 28 3 - 2 ；è
2 3
(2) a b a （ a > 0，b > 0）；
b a b3
1
-1 -1- a 1 a 2(3) 1 1 - 1 （ a > 0且 a 1）．
-
a 2 - a 2 1 a 2
167
【答案】(1) -
9
7 1
(2) -a 8b 8
(3)0
【分析】利用指数的运算性质及根式与分数指数幂的互化即可求解.
2 1 2
2 - -
【详解】（1）原式 1 - 3
3 1 23 10 1 27
-
3 1
= - 3 × - = 5002 -10 5 2 1
è 8 ÷ è 500 ÷ 5 - 2 è 8 ÷
4
= 10 5 -10 5 - 20 1 167 = - ．
9 9
（2）方法一（由内向外化）
1
1 1 2
a2 b3 a a2
b3 a 2 a2 b3 a 2= × = × × ÷
b a b3 b a è b3 ÷ b a 3 ÷÷
è b2
1 1
1 1 2 3 1 3 1 2
a2
b3 2 a 2 a2 ÷ b2 a 4 a2 b2 a 4= × ÷
b a ÷
× 3è ÷
= × × = × ×
÷ b
1 3 b 1 3 ÷÷
è b2 a 2 b4 è a 2 b4
1 1
2 1 1 3 3 - -1- 2 7 1- 2 7 1-
= a 4 2b2 4 ÷ = a 4b 4 ÷ = a 8b 8 ．
è è
方法二（由外向内化）
1
1 1 2
a2 b3 a a2 b3 2
é
a 2 3
ù
÷ êa
b a 2
b a b3
= = ×
b a b3 ÷ ê b a b3 ÷÷
ú
ú
è ê
è ú
1
ì 1 2
é 1
ü 1 1 1 3 1
a2 b3 ù
2
ê a 2 ú a
2 2 b3 4 a 8 a b4 a8 7 1-= í b ê a b3 ÷
= × × = × × = a 8b 8 .
è ú
b ÷ a ÷ 3 ÷ 1 1 3
è è
è b b2 a 4 b8
1 1-
1 1 1
- - -1 a 2 a 2 1a-1a - a-13 a 2a 2
÷
（ ）方法一 原式 a 2 a a -1
1 1
= - = - è
- -
2 2 ．
1 1 1 1 1 = a - a = 0
- -
a 2 - a 2 1 a 2 a 2 a -1 1 a 2
1
1- a-1
-
1 a 2 1 1
= - = - = 0
方法二 原式 1 1 1 1 1 ．
a 2 -1- a-1 a 2 a 2 1÷ a 2 a 2
è
46．（2024 高一上·全国·单元测试）计算下列各式的值：
4 1-
(1) 3 2 3 6 16 2 2 2 3 - 4 4 0.25 0 49 ÷ - 2 8 - -2020 ；è
4 1
(2) a
3 -8a3b b
1- 2 3 ÷ 32 2 ÷ a
4b3
a
2 3 ab a 3 è
【答案】(1)100
(2) a
【分析】（1）（2）根据幂的运算法则及分数指数幂的性质计算可得.
4 1-
【详解】（1） 3 2 3 6 2 2 3 16 2- 4 - 4 ÷ 2 80.25 - -2020 0è 49
4
1 1
6
3 3 1 1- 0.25
= 23 32 ÷ 22 ÷ - 4 24 7-2 2 - 24 23 -1
è ÷è
4
1 3
1
6 1
é 3 ù
6 2 4 1 1 - 1 3 ÷ -2 - ÷
= 23 32 êê 2
2 ú è 2 è 2÷ 4 4
è ú
- 4 2 7 - 2 2 -1
ê ú
1 3
= 22 33 2 - 4 2-2 7 - 24 24 -1
= 4 27 2 - 7 - 2 -1 =100
4 1
a 3 -8a3b b
（2） 1- 2 3 32 2 a ÷÷
a
4b3 2 3 ab a 3 è
1 1 1
a3 a -8b a3 - 2b3 1
= 2 2
3
1 1
a
4b3 2 ab 3 a 3 a3
1 1
a3 a -8b a3 1
= 32 a1 2 1 1
4b3 2 ab 3 a 3 a3 - 2b3
a a -8b
= = a
a -8b
2 1 1 2 1
8 17 a 3 3a3b3 33 b 3
47．（2024 高一上·江苏·课后作业）已知 a = - ,b = ，求 a 的值．27 71 4 1 3
a 3 - 27a3b a - 3
3 b
9
【答案】
4
【分析】利用指数的定义、性质、运算法则直接求解．
【详解】因为 a 0, a - 27b 0，
2 1 1 1
a 3 3a3b3 (33 b)2 a3\
4 1 3 3
a 3 - 27a3b a - 3 b
2 1 1 2 1 1
a 3 3a3b3 9b3 a3 - 3b3
= 4 1 1
a 3 - 27a3b a3
2 1 1 2 2 1 1 2
a 3a 3b3 9a3b3 - 3a 3b3 - 9a3b3 - 27b
= 5 2
a3 - 27a 3b
a - 27b 1 1 1 9
= 2 = 2 = 2 = 2 =
a 3 (a 27b) a 3 ( 8 )3 (- )2 4 ．- -
27 3
2
-2 4
48．（2024 3高一上·内蒙古阿拉善盟·期中）（1）计算 3-0.12 0 × 3 2 ÷ 38 ÷ - 3 3è è
3 1- 2 2
1
-
2 2 1 1-
a 3 ×b-12 ÷ × a
2 ×b3
（ ）化简： è .
6 a ×b5
1 1 2
3 - a a
-2 1
（ ）已知 a 2 a 2 = 2，求 -1 的值.a a 2
3
【答案】(1) 2 - 2；(2) a-1；(3) 4
【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解；
(2)根据分数指数幂的运算性质即可求解；
(3)根据题意，先计算 a a-1 = 2 ，然后将其平方得到 a2 a-2 = 2，代入即可求解.
2
-2 4
【详解】(1) 3 -0.12 0 3 ÷ × 3
3
÷ - 3 23 3 1- 22 8 è è
1 4 9
3 1 4
= - ((32 )2 )3 2 -1
9 4
=1 1- 3 2 -1
= 2 - 2
1
-
2 2 1 1-
3
(2) a ×b
-1
÷ × a 2 ×b3
è
6 a ×b5
1 1 1 1
- -
a 3 2= ×b
2 3
1 5
a 6 ×b6
5 5
-
a 6 ×b6
= 1 5
a 6 ×b6
= a-1
1 1
(3)因为 - -1a 2 a 2 = 2，两边同时平方可得： a a = 2 ，
再将 a a-1 = 2 两边同时平方可得： a2 a-2 = 2，
a2 a-2 1 2 1 3
所以 = = .
a a-1 2 2 2 4
1 1 1 1
- -
49．（2024 高一·全国·课后作业）计算 (0.0081) 4 -[3 (7 )0 ]-1 [81-0.25 (3 3) 3 ]2 -10 0.0273 .
8 8
【答案】0
【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答.
3 1 3 1 1 3 1- -
【详解】原式= [( )4 ] 4 - 3-1 {(34 )-0.25 [( )3] 3}2 -10 [( )3]3
10 2 10
( 3 )-1 1 1
1
= - [ (3)-1]2 10 3-
10 3 3 2 10
10 1 (1 2
1
= - )2 - 3 = 0
3 3 3 3
1 1
- 2
50 2024· · 1 1 2 64 3．（ 江西 模拟预测）（ ）计算： 4 4 2 2 25 ÷ 125 ÷
( 2 6)
è è 4 ；
（2）已知 a,b(a > b)是方程 x2
a - b a b
- 5x 5 = 0的两根，求 的值.
a b a - b
【答案】（1）16；（2） 2 5 ．
【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算．
（2）由韦达定理筣出 a b, ab，求出 a - b，求值式变形后代入已知值即可得．
2
1 1 1 2 2 4 1
【详解】（1）原式＝ 252 4 (22 64 )4 4 2 ÷ = 5 4 6 42 = 4 12 =16；
5 ֏ 5
（2）由题意 a b = 5， ab = 5，又 (a - b)2 = (a b)2 - 4ab = 52 - 4 5 = 5，而 a > b，所以 a - b = 5 ，
a - b a b ( a - b)2 ( a b)2 a - 2 ab b a 2 ab b
所以 = =
a b a - b ( a b)( a - b) a - b
2(a b) 10
= =
5 a - b = 2 5
，
51．（2024 高一上·浙江·课后作业）（1）已知 x = a-3 b-2 ，化简 4 x2 - 2a-3x a-6 .
2 2 1 2 2 1 2 2
（2）设 a 3 b3 = 4， x = a 3a3b3 ， y = b 3a 3b3 ，求 (x y)3 (x - y)3 的值.
1
【答案】（1） b ；（2）8
【分析】（1）由已知得 x - a-3 = b-2 ，结合指数运算法则化简；
1 1
（2）令 a3 = A，b3 = B，结合因式分解可得 x y = (A B)
3， x - y = (A - B)3 ，则
2 2
(x y)3 (x - y)3 = 2(A2 B2 )，结合已知即可求值.
【详解】（1）由 x = a-3 b-2 ，得 x - a-3 = b-2 ，
∴ 4 x2 - 2a-3x a-6 = 4 (x - a-3)2
1
= 4 (b-2 )2 =
| b | .
1 1
（2）令 a3 = A，b3 = B，则
x = A3 3AB2 ， y = B3 3A2B ，
x y = A3 3AB2 3A2B B3 = (A B)3 ，
x - y = A3 3AB2 - 3A2B - B3 = (A - B)3 .
2 2 2 2
∴ (x y)3 (x - y)3 = (A B)2 (A - B)2 = 2(A2 B2 ) = 2(a 3 b3 ) = 8 .
52．（2024 高一·上海·专题练习）求使等式 a - 3 a2 - 9 = 3 - a a 3 成立的实数 a 的取值范围.
【答案】[-3，3]
ìa - 3 0
【分析】由 a - 3 a2 - 9 = a - 3 2 a 3 = a - 3 a 3 成立，即可得出 ía 3 0，解得即可．
【详解】 a - 3 a2 - 9 = a - 3 2 a 3 = a - 3 a 3 ，
要使 a - 3 a 3= 3 - a a 3 |成立，
ìa - 3 0
需 í
a 3 0
解得 a∈[-3，3]．
，
【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
53．（2024 高一上·全国·课后作业）求下列各式的值.
(1)若3a = 2,3b = 5，求32a-b ；
3a 9a ×3b
(2)已知 b =1，求 的值；
2 3a
1
- 1 1- 2
(3)若 a = 2 3 ,b = ，求 a 2 ×b ab2 × a3 ；2
1
12 1 1- 3 4
a 4 ×
a 2.5,b 20
a 2 ×b3 ÷ 3- 3
(4)若 = = ，求 è × a
8 ÷ .
1 3 1 2 - ÷b12 ×a 2 ×b4 è b 3 ÷
4
【答案】(1)
5
(2)3
(3) 14
(4)4
3a 2【分析】（1）将32a-b 4可化成 的形式，代入数据即可求得结果为 ；
3b 5
9a ×3b 3 3a
（2）原式 可表示为 a b32 ，代入 b =1即可求出答案为 3；3a 2
1
- 2
3 1（ ）将 a 2 ×b ab2 × a3 化简为 a3b2 ，代入 a,b的值可计算出结果为 4 ；
2
（4 3）化简后可得原式 b= ÷ ，将 a,b的值可得结果是 4.
è a
a 2
【详解】（1 3）利用指数运算法则可知 32a-b = 32a ×3-b = ，
3b
2
将3a = 2,3b = 5 2 4代入可得32a-b = = .
5 5
9a ×3b 32a ×3b 32a ×3b 3 a 3 a b
= = 22 1 1 = 3 ×3
b = 32 3a
（ ）易知 3a a ，又 b =1， 3a 2 32 2
9a ×3b 3a b
所以 = 32 = 3
3a
1
- 2 1- 1 1
2 1 1
（3）化简得 a 2 ×b ab2 × a3 = a 2 ×b ab2 2 × 3 a - 32 1 1 3 2÷ = a 2 2 ×b = a b ，
è
1
- 1 2 1
3 2
- -
将 a
1
= 2 3 ,b = 代入可得 a 2 ×b ab2 × a3 = a3b2 = 2 3 1 1 1 12 ÷ ÷ = =è è 2 2 2 4
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 ÷ 3- 3 3 1 1- 1- 2
（4）易知 è a 8 a 2 × a 6 ×b9 a 2
2 2
- 3
× ÷ = × = a 3 ×b3 b=
1 3 1 2- ÷ 1 3 1 8 a ÷-
b12 ×a 2 ×b4 b 3 ÷è b12 × a 2 ×b4 b 9
è
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 ÷ 3- 3 2 2
又 a = 2.5,b = 20，所以 è a 8
2
× ÷
b 3 20 3
2 ÷ = ÷ =
÷ = 83 = 41 3 1 -
b12 ×a 2 ×b4 è b 3 ÷
è a è 2.5
1
-
54 1 1．（2024 高三·全国·专题练习）（1）计算0.027 3 - (- )-2 810.75 ( )0 - 3-1；
6 9
1 1
（2）若 -x2 x 2 = 6 ，求 x
2 x-2的值．
【答案】（1）-5；（2）14.
【分析】（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．
（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．
1
- 1 10 1
【详解】（1）0.027 3 - ( 1- )-2 810.75 (1)0 - 3-1 = 0.3﹣1﹣36+33+1 - = - 36+27+1 - = - 5．
6 9 3 3 3
1 1 1
（2）若 -
1
x2 x 2 = 6 ，∴x 2＝6，x = 4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．x x4.1 指数 5 题型分类
一、根式的定义
(1)a 的 n 次方根的定义：一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R；
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，其中n a表示 a 的正的 n 次方根，－n a表示 a 的负的 n 次
方根，a>0；
③负数没有偶次方根；
④0 的任何次方根都是 0，记作 n 0＝0.
(3)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
二、根式的性质
(1)(n a)n＝a.
(2)n an {a n 为奇数 ，＝ |a| n 为偶数 .
注：n an与(n a)n的区别
(1)n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇
偶限制．其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n 次)，结果不一定等于 a，当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶
数时，n an＝|a| {a，a ≥ 0，＝ －a，a < 0.
(2)(n a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值范围由 n 的奇偶决定．若 n 为偶数，则 a≥0；
若 n 为奇数，则 a∈R.其算法是对 a 先开方，后乘方(都是 n 次)，结果恒等于 a.
三、分数指数幂的意义
m m
- 1
(1) a n ＝n 1am(a>0，m，n∈N*，n>1)， a n ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).n m
a n
a
(2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂的理解
m m
(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 a n 不可理解为 个 a 相乘，它是根式的一种新的写
n
法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
m
(2)把根式 n am化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 进行约分．
n
2
(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如 -5 3 = 5 -5 2 有意义，但
3
-5 4 = 4 -5 3 就没有意义．
四、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
（一）
n 次方根的概念问题
1、n 次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式n a的符号由根指数 n 的奇偶及被开方数 a 的符号共同确定：
①当 n 为偶数时，n a为非负实数；
②当 n 为奇数时，n a的符号与 a 的符号一致．
2、判断关于 n 次方根的结论应关注两点
(1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号．
题型 1：n 次方根的概念
1-1（．2024 高一·江苏·假期作业）16的平方根为 ，-27的5次方根为 ；已知 x7 = 6，则 x = ；
1-2．（2024 高一上·上海虹口·期中）625 的四次方根为 .
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）81 的 4 次方根是 ．
1-4．（2024 高一上·甘肃临夏·阶段练习）二次根式 x2 = -x成立的条件是（ ）
A． x > 0 B． x 0 C． x 0 D． x 是任意实数
1-5．（2024 高一·江苏·假期作业） a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A． 4 a2 B． 5 a
C． 7 -a D． 8 a
1-6．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，求 x yz =
（二）
利用根式的性质化简求值
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)
公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的．
(2)化简根式时需注意：
在根式计算中，含有 n a (n 为正偶数)的形式中要求 a≥0，而 n an 中 a 可以是任何实数．
(3)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的
性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论．
题型 2：根式化简或求值
2-1．（2024 高一上·全国·专题练习）化简 11 6 2 11- 6 2 = .
2 3
2-2．（2024 高一上·四川宜宾·阶段练习）化简 1- 3 3 3 1 的结果是 ．
2-3．（2024 高一·江苏·假期作业）有下列说法：
① 3 -125 = 5；②16 的 4 次方根是±2；
③ 4 81 = ±3；④ (x y)2 =| x y |．
其中，正确的有 (填序号)．
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）当 2 - x 有意义时，化简 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9 的结果是（ ）
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
2-5．（2024 3高一上·江西南昌·阶段练习）若 a = 3 3-p ，b = 4 2 -p 4 ，则 a b 的值为（ ）
A．1 B．5 C．-1 D． 2p - 5
（三）
根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂互化的依据
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：
m
m -a n 1 1a n = n am 和 = m = n m ，其中字母 a 要使式子有意义．
a n a
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二
是由外向里化为分数指数幂．
(3)根式与分数指数幂互化的规律
①根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子．
②在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性
质解题．
题型 3：根式与分数指数幂互化
3-1．（2024 高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）：
(1) 6x 2 y 3 ；
1 1
- 3
(2) -4x 2 ×3x 2 -y 3 × y 3 ；
(3) a × 3 a × a ．
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）[多选题]下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 3-
A 1
3
． 6 y2 = y 3 （ y < 0） B． x 4 = 4 ÷ （ x > 0）
è x
3
1
C． -x 3 = - 3 x （ x 0） D． é 3 -x
2 ù 2 = x（ x > 0）
ê ú
3-3．（2024
1 1
高一上·广东佛山·阶段练习）根式 的分数指数幂的形式为（ ）
a a
4 4 3 3
A． - -a 3 B． a 3 C． a 4 D． a 8
3-4．（2024 高一上·甘肃武威·阶段练习）（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
n 7 1A 4． ÷ = n
7m7 B． 12 -3 = 3 3
è m
3
C． 4 x3 y3 = x y 4 D． 3 9 = 3 3
3-5．（2024 高一·全国·课后作业）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：
3 4
3 2 m m m
1 1 1（ ） b a ；（2）
6 a 2 a 2 a ；（3） 1 .a b ( 6 m)5 m4
（四）
指数幂的运算
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
题型 4：指数幂的运算
4-1．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值.
1
- 3
0
(1) 0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1 1
-
(2) 25 8 3 2- ÷ - (π e)
0 1
9 ÷è 27 è 4
1 π 2(3)3π 22 2 1 5 ÷
è 3
7 0.5
2
-
(4) 3 2 ÷ 0.1
-2
10
2 ÷ - 3π
0 37 ；
è 9 è 27 48
-6 32
(5) 483 0.5-3 1 16- 3 ÷
.
è è 81
÷
1 7 0 4-(6) 0.064 3 - -
- 1
计算： ÷ é -2
3 ù 3 16-0.75 -0.01
2 ；
è 8
3
1 -1
1
-
2 4ab (7) × （ a > 0，b > 0）.
è 4 ÷ 1 0.1 -2 a3b-3 2
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）化简求值:
1 2
(1) 9 2 9.60 27
- 2
3 2
÷ - -
÷ ÷ ；
è 4 è 8 è 3
1 -3
(2) a 2·3 b2 ÷ b-4· a-2 （ a > 0，b > 0）.
è
2 4
4-3．（2024 高一上·山西·期中）（1）化简： b a (a > 0,b > 0) .（结果用分数指数幂表示）
a3 b6
2 1
- 1-
（2）化简：8a 3b 2 2a 6b2 ÷ (a > 0,b > 0) .（结果用分数指数幂表示）
è
2 1
（3）求值： -83 27 3 ( 2 1)0 .
4-4．（2024 高一上·全国·课后作业）计算下列各式：
1 0
1
(1) 2-2 2 1
-
2
- 0.01 0.5 2 ÷ ÷
；
è è 4
0.5 2-
(2) 2 7 0.1-2 10
3 0 37
9 ÷
2
27 ÷
- 3π ；
è è 48
(3) a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c a,b,c > 0 .
（五）
指数条件求值问题
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不
知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从
而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差
公式、立方差公式及完全平方公式的应用．
利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
1 1 1 1
(1)a±2a 2 b 2 ＋b＝(a 2 ±b 2 )2；
1 1 1 1
(2)a－b＝(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )；
3 3 1 1 1 1
(3)a 2 ＋b 2 ＝(a 2 ＋b 2 )(a－a 2 b 2 ＋b)；
3 3 1 1 1 1
(4)a 2 －b 2 ＝(a 2 －b 2 )(a＋a 2 b 2 ＋b)．
题型 5：利用指数运算性质进行条件求值
1 1
75．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 -a 2 a 2 = 5 ，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3 3
(3) -a 2 a 2
1 1
76．（2024 高一·全国·课后作业）已知 -a 2 a 2 = 3，求下列各式的值：
(1) a a-1；
a2 a-2 - 2
(2) 3 3 ．
-
a2 a 2 -3
1 1
77．（2024 高一上·广西玉林·期中）已知 - 2 -2x 2 x 2 = 3，则 x - x = ．
78．（2024 高一上·江西萍乡·期中）计算下列各式
1 0
- 3 6
(1) 0.001 3 - 7 164 2 ×
3 3 ；
è 8 ÷
(2)已知 x x-1 = 3，求下列各式的值：
1 1
① -x 2 x 2 ；
3 3
② -x 2 x 2 ．
79．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知 a a-1 = 3，下列各式中正确的个数是（ ）
2 2 1 1
1
① a a- = 7；② a3 a-3 =18；③ -a 2 a 2 = ± 5 ；④ a a = 2 5 ；a a
A．1 B．2 C．3 D．4
1
1
80．（2024 高一上·江苏南通·期中）（1）求814 - 5 - 3 0 8 3 27 ÷ 的值；è
1 1
-
（2）已知 x 2 2 x-1 =14，求 x x 4 的值.
x2 x-2 - 200
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3 ab2 × a2b2
2．（2024 高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）化简 1 1 4 （a，b 为正数）的结果是（ ）3 b × a 6b 4
b2 a2A． 2 B． 2 C． a
2b2 D． ab
a b
1
- (-4)0 1
3．（2024 0高一·全国·课后作业）计算 2 2 - (1- 5) ，结果是（ ）
2 2 -1
1
A．1 B． 2 2 C． 2 D． -2 2
4．（2024 高一上·江西景德镇·期中）化简 4 m6 (m < 0) 的结果为（ ）
A．m m B．m -m
C．-m m D．-m -m
2 1 2 1 2- -
5．（2024 高三·全国·专题练习）化简 4a 3b 3 - a 3b3 ÷的结果为（ ）
è 3
2a 8a 6a
A．- B．- C．- D．6ab
3b b b
6．（2024 高一上·全国·单元测试）化简 a × 3 a2 × a =（ ）
3 11 27
A． a 4 B
7
． a 8 C． a12 D． a 28
1- 1- 1- 1- 1-
7．（2024 高一·全国·课后作业）化简 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷的结果为（ ）
è è è è è
1 1
-1
- 1-
A 1． 1- 2 32 ÷ B． 1- 2 322 è 2
÷
è
1 -1 - 1
C． 1 2 32 ÷ D．
è 2
0.5 1 3- 2
8．（2024 高一上·山西晋城·期中） 9 (2 - π)2 23 2 4 2 4 ÷ 3 ÷ 16 3 3 ÷ =（ ）è è è
A． π B． 2 π C． 4 - π D．6 - π
3 3
-
1 1 m29 - m
2
．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）已知 -m2 m 2 = 4 ，则 1 1 的值是（ ）-
m2 - m 2
A．15 B．12 C．16 D．25
10．（2024·河北张家口·二模）2021 年 5 月 15 日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.
截至目前，祝融号火星车在火星上留下 1900 多米的“中国脚印”，期待在 2050 年实现载人登陆火星.已知所
有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都
相等.若火星与地球的公转周期之比约为9 : 5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约
为（ ）
A 25． 3 B 81 C 5 D 9． 3 ． 3 ． 3
81 25 9 5
11．（2024 高一上·浙江宁波·期末）下列式子的互化正确的是（ ）
1 1
A -．6 y2 = y 3 y < 0 B． x 3 = - 3 x x 0
5 5
- 1
C． x 4 = 1 4 ÷ x > 0 D．- x = -x 2 x > 0
è x
1 2
12．（2024 高一上·内蒙古阿拉善盟·期末）已知正数 m，n 满足 2m 4n = 2，则 的最小值为（m n ）
A．3 B．5 C．8 D．9
13．（2024 高一·全国·课后作业）若2 < a < 3，化简 (2 - a)2 4 (3- a)4 的结果是（ ）
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
14．（2024 高一·全国·专题练习）方程5x-1 ×103x = 8x 的解集是（ ）
A． 1,4 ì1 ü ì1, 1 ü ìB． í C． í D． 4, 1 ü
4 4
í
4
15．（2024 高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
1 1
A．- x = -x 2 B． 6 y2 = y 3 (y < 0)
1
-
x 3 1
3 1
C． = (x > 0) D． é 3 2 ù 4 2
3 x (-x) = x
16．（2024 高一·全国·课堂例题）若 x3 x2 x = -1，则 x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 的值
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
17．（2024 高一·全国·课后作业） n (3 - π)n (n N,n 2) = （ ）
A．3- π B． π - 3
C． 3 - π D．当 n 为奇数时，3- π；当 n 为偶数时， π - 3
18．（2024·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知 2 为无理数，若 ( 2) 2 为有理数，则存在无理数 a = b = 2 ，
使得ab为有理数；若 ( 2) 2 为无理数，则取无理数 a = ( 2) 2 ，b = 2 ，此时
2
ab = ( 2) 2 = ( 2) 2 × 2 = ( 2)2 = 2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A． ( 2) 2 是有理数 B． ( 2) 2 是无理数
C．存在无理数 a，b，使得ab为有理数 D．对任意无理数 a，b，都有ab为无理数
19．（2024·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且a b = 1， a b，则下列不等式成立的是（ ）
A． a b < 2
1 1
< a b B． a
1 1
b <
2 2 2a
2b
< 2
1 1 1 1
C． a b < 2 < a b D． a b < a b < 22 2 2 2
二、多选题
20．（2024 高一上·全国·单元测试）下列各式正确的是（ ）
A． a2 = a B． 3 (-3)3 = -3 C． (-2)4 = -4 D． - 5 (-a)5 = a
21．（2024 高一上·云南曲靖·阶段练习）若 n N,a R ，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A． 2 (-7)4n B． 2 (-7)3n C． 3 a2 D． 2 a3
22．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）已知 a2 a-2 = 3，则 a a-1等于（ ）
A． 5 B．- 5 C．1 D．-1
23．（2024 高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．16 的 4 次方根是 2
B． 4 16 的运算结果是±2
C．当 n 为大于 1 的奇数时， n a 对任意 a R 都有意义
D．当 n 为大于 1 的偶数时， n a 只有当 a 0时才有意义
24．（2024 高一上·吉林白山·阶段练习）已知 xy≠0，且 4x2 y2 = -2xy ，则以下结论错误的是（ ）
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
4
25．（2024 高一上·甘肃庆阳·期末）若 <1，化简 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3的结果可能（2 x ）-
A． 2x - 6 B． 4x - 6 . C．-2x D． 2x 4
三、填空题
y
26．（2024 高一上·全国·课后作业）若 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0，则 x2020 ＝ .
27．（2024 高三下·上海宝山·阶段练习）若实数 x、y满足 x 2y =1，则 2x 4y 的最小值为 ．
1 1 1 1
28．（2024 高一·全国·专题练习） 2 5 1 ××× ÷ = .
è1 2 2 3 3 4 80 81
a3 a-3 a3 - a-3 a2 1 a-4 - 2
29．（2024 高三·全国·专题练习） -1 = 4 -4 -1 a a 1 a - a a - a
1 2
30．（2024 高一·全国·课后作业）求值： 4 2 3
1
-
÷ (
64
-5.6)0 -
9 ÷
0.125 3 = ．
è è 27
1
3
31 x -1 x 1 x - x．（2024 高三·全国·专题练习） 2 1 1 - 1 =
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
-2 ab -83 a2b5
32．（2024 高三·全国·专题练习）若 a = 27,b =16
， =
6 a2b7 4 4 a2b5
33 2024 · · 3a -1 a-2．（ 高一 安徽芜湖 强基计划）已知 =1，则 a的取值可能是 ．
34．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 24x 1 -17 4x 8 = 0 ， x = ．
-2 2
35．（2024 高三·全国·专题练习） -1.8 0 3 27 1 ÷ 3
3
2 ÷
- 9 = .
è è 8 0.01
36．（2024 高一·安徽芜湖·强基计划） 3 35 2 6 - 5 - 2 6 = ．
37．（2024 高一·江苏常州·阶段练习）化简： (a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = ．（用分数指数幂表示）.
38．（2024 高一上·吉林松原·阶段练习）若代数式 3x -1 3 - x 有意义，则
9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = .
2 2
39．（2024 高三·全国· a - b专题练习）已知 a > b > 0， a2 b2 = 4ab，则 的值为 ．
ab
x2 x-21 1 - 2
40．（2024 高一上·江西吉安·期中）已知 -x 2 x 2 = 3，则 3 3
= ．
-
x 2 x 2 - 3
41．（2024 高一上·全国·课后作业）计算下列各式．
（1） 5 -a 5 ＝ ；
（2） 6 3- π 6 ＝ ；
3 6 1（ ） - 3 3 3 - 3 0.125 ＝ .
4 8
四、解答题
42．（2024 高一·江苏·假期作业）求值：
2
- 0.5
(1) 27 3 49 2 ÷ -
-2 0
8 9 ÷
(0.2) - (0.081) ；
è è 25
2 -2 2 -1 - -
(2)π0－ 8 3 ÷ ＋ 5 2 × 4 5 ÷ .
è è
43．（2024 高三·全国·专题练习）解下列方程：3 4x 2 9x = 5 6x ；
44．（2024 高一·江苏·假期作业）计算：
1
1
-
3 1(1) - -1 - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0；
è 27
2
(2)83 (1)-2 (16
3
-
- ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
45．（2024 高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
2
-
(1) 3 3
1 -1 0
-3 0.002
-
2 -10 5 - 2 3 - 2 ；
è 8 ÷
2 3
(2) a b a （ a > 0，b > 0）；
b a b3
1
1- a-1
-
2
(3) 1 a1 1 - 1 （ a > 0且 a 1）．
-
a 2 - a 2 1 a 2
46．（2024 高一上·全国·单元测试）计算下列各式的值：
4 1-
(1) 3 6 3 16 22 3 2 2 - 4 ÷ - 4 2 80.25 - -2020 0 ；è 49
4 1
3 3
(2) a -8a b2 2 1 2
b
- 3
a ÷
3
÷ a
4b3 2 3 ab a 3 è
2 1 1 2 1
8 17 a 3 3a3b3 33 b 3
47．（2024 高一上·江苏· 课后作业）已知 a = - ,b = ，求 a 的值．
27 71 4 1 3 3
a 3 - 27a3b a - 3 b
-2 2 4
48．（2024 3 2高一上·内蒙古阿拉善盟·期中）（1）计算 -0.12 0 3 × ÷ 3
3
÷ - 3 3
3
2 1- 2 è è 8
1
2
-
2 1 1-
2 a
3 ×b-1 ÷ × a 2 ×b3（ ）化简： è .
6 a ×b5
1 1 a2 a-2 1
（3）已知 -a 2 a 2 = 2，求 的值.a a-1 2
1 1 1
- -
1
49．（2024 高一·全国·课后作业）计算 (0.0081) 4 -[3 7 ( )0 ]-1 [81-0.25 3 (3 ) 3 ]2 -10 0.0273 .
8 8
1 1
- 2
50．（2024·江西·模拟预测）（1）计算： 1 2 64 3 4 4 2 2 25 ÷ 125 ÷
( 2 6) 4 ；è è
2 a,b(a > b) 2 a - b a b（ ）已知 是方程 x - 5x 5 = 0的两根，求 的值.
a b a - b
51．（2024 高一上·浙江·课后作业）（1）已知 x = a-3 b-2 ，化简 4 x2 - 2a-3x a-6 .
2 2 1 2 2 1 2 2
（2）设 a 3 b3 = 4， x = a 3a3b3 ， y = b 3a 3b3 ，求 (x y)3 (x - y)3 的值.
52．（2024 高一·上海·专题练习）求使等式 a - 3 a2 - 9 = 3 - a a 3 成立的实数 a 的取值范围.
53．（2024 高一上·全国·课后作业）求下列各式的值.
(1)若3a = 2,3b = 5，求32a-b ；
3a 9a ×3b
(2)已知 b =1，求 的值；
2 3a
1
- 1
a 2 3 ,b 1 -
2
(3)若 = = ，求 a 2 ×b ab2 ×
2 a3 ；
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 3 3
(4)若 a = 2.5,b
-
= 20 ÷，求 è × a
8 ÷ .
1 3 1 2- ÷
b12 ×a 2 ×b4 b 3 ÷è
1
-
54．（2024 1高三·全国·专题练习）（1）计算0.027 3 - (- )-2 810.75 (1 )0 - 3-1；
6 9
1 1
（2）若 - 2 -2x2 x 2 = 6 ，求 x x 的值．
