3.4 函数的应用(一)5 题型分类
一、用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择
模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
二、常见的函数模型
(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现
实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸
长量与拉力的关系等．
(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或
最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．
(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研
究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
（一）
一次函数模型
用一次函数模型解决实际问题的解题方法
(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；
(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；
(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．
注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数 a 的正负，也
可以结合函数图象或其单调性来求最值．
题型 1：用一次函数模型解决实际问题
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用
分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取
印刷费，甲厂的总费用 y1(千元) 乙厂的总费用 y2(千元)与印制证书数量 x(千个)的函数关系图分别如图中甲
乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元
B．甲厂的总费用 y1与证书数量 x 之间的函数关系式为 y1 = 0.5x +1
C．当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元
1 5
D．当印制证书数量超过 2 千个时，乙厂的总费用 y2与证书数量 x 之间的函数关系式为 y2 = x +4 2
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房
1 1 11
屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是 y = x+3 和 y = - +3 x ，为保证采光，竖直窗户的高4 2
度设计为 1m，那么点 A 的横坐标为 ．
1-3．（2024 高一上·浙江·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法
如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3 的部分 3 元/ m3
超过12m3 但不超过18m3 的部分 6 元/ m3
超过18m3 的部分 9 元/ m3
若某户居民本月交纳的水费为 54 元，则此户居民的用水量为（ ）
A．6m3 B．9m3 C．15m3 D．18m3
1-4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离
与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间
x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60 min
B．甲从家到公园的时间是 30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
1
D．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 y＝ x
15
（二）
二次函数模型
1、二次函数模型的解析式为 g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根
据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求
函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解
答．
2、利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数
的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
题型 2：二次函数模型及应用
2-1．（2024 高一上·云南昭通·期中）某商店试销一种成本单价为 40 元/件的新产品，规定试销时的销售单价
不低于成本单价，又不高于 80 元/件，经试销调查，发现销售量 y （件）与销售单价 x （元/件）可近似看
作一次函数 y = -x +100的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S 元．
（1）试用销售单价 x 表示利润S ；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
2-2．（2024·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识 锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会 回报
社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为 x 件
时，售价为 s 元/件，且满足 s = 820 - 2x，每天的成本合计为600 + 20x 元，请你帮他计算日产量为
件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
2-3．（2024 高一上·广东东莞·期中）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）
a
与销售单价 x （单位：元/千克）满足关系式 y = +100(8 - x)，其中 4 < x <8， a为常数，已知销售单
x - 4
价为6 元/千克时，每日可售出该商品 220千克.
（1）求 a的值；
（2）若该商品的进价为 4元/千克，试确定销售单价 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并
求出利润的最大值.
2-4 用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，
搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，
根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋
1
4 2a ，Q＝ a＋120．设甲大棚的投入为 x(单位：万元)4 ，每年两个大棚的总收入为 f(x)(单位：万元)．
（1）求 f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入 f(x)最大？
（三）
幂函数模型应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．
题型 3：用幂函数模型解决实际问题
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x(万元)与药品利润
y(万元)存在的关系为 y = xa ( a为常数)，其中 x 不超过 5 万元.已知去年投入广告费用为 3 万元时，药品利润
为 27 万元，若今年投入广告费用 5 万元，预计今年药品利润为 万元.
3-2．（2024 高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的
A，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金 2 亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场
调查与预测，生产 A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入 1 亿元，公司获得毛收入 0.25 亿元；
生产 B a芯片的毛收入 y （亿元）与投入的资金 x （亿元）的函数关系为 y =kx (x >0)，其图象如图所示.
(1)试分别求出生产 A, B两种芯片的毛收入 y （亿元）与投入资金 x （亿元）的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入 40 亿元资金同时生产 A, B两种芯片，设投入 x 亿元生产 B 芯片，用 f x 表示公司所获
净利润，当 x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润= A芯片毛收入 +B 芯片毛收入
一研发耗费资金）
3-3．（2024 高一上·江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力
的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产 A、B 两种产品，根据市场调查与市
场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系
如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.
(1)分别求出 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元资金，才能使
企业获得最大利润，最大利润是多少？
（四）
分段函数模型
1、用分段函数模型解决实际问题的解法
分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变
化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
2、应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
题型 4：用分段函数模型解决实际问题
4-1．（2024 高一上·辽宁）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水
果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料 x (单位：千克)满足如下关
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
系：W (x) =
í 50x ，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x
, 2 < x 5
1+ x
元．已知这种水果的市场售价大约 15 元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 f (x) (单位：元)
(1)写单株利润 f (x) (元)关于施用肥料 x (千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
4-2．（2024 高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动
汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这 3 类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同
的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将
重新塑造全球汽车行业的计划.2022 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固
ì10x2 +100x,0 < x < 40
定成本 2000 万元，每生产 （百辆），需另投入成本C x （万元），且C x = í 10000 ；
501x + - 4500, x 40 x
已知每辆车售价 5 万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出 2022 年的利润 L x （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
(2)2022 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
4-3．（福建福州外国语学校 2023-2024 学年高一上学期阶段性测试数学试题）某电子公司生产某种智能手环，
其固定成本为 2 万元，每生产一个智能手环需增加投入 100 元，已知总收入 R（单位：元）关于日产量 x
ì
400x
1
- x2 ,0 x 400
（单位：个）满足函数：R = í 2 .
80000, x > 400
(1)将利润 f x （单位：元）表示成日产量 x 的函数；
(2)当日产量 x 为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）
4-4．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某
生态基地种植某中药材的年固定成本为 250 万元，每产出 x 吨需另外投入可变成本C (x) 万元，已知
ì ax2 + 49x,0 < x 50
C x = í 14400 ，通过市场分析，该中药材可以每顿 50 万元的价格全面售完，设基地
51x + -870,50 < x 100 2x +1
种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为 L(x) 万元，当基底产出该中药材 40 吨时，年利润为 190 万
元. ( 2 1.41)
(1)年利润 L(x) （单位：万元）关于年产量 x （单位：吨）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时（精确到 0.1 吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到 0.1 吨）？
4-5．（2024 高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在 2023 年利用新技术生产
某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本 250 万元，每生产 x （千部）手机，需
ì10x2 +100x + 800,0 < x < 50
R x 另外投入成本 万元，其中R x = í 10000 ，已知每部手机的售价为 5000 元，且生
504x + - 6450, x 50 x - 2
产的手机当年全部销售完.
(1)求 2023 年该款手机的利润 y 关于年产量 x 的函数关系式；
(2)当年产量 x 为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
（五）
对勾函数模型
解决“对勾”函数应用题的关键
b
解决“对勾”函数 f(x)＝ax＋ (a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数 f(x)在
x
( b ) ( b) ( b b－ ，0 和 0， 上单调递减，在 －∞，－ )和 ，＋∞a a a ( a )上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，
构造利用基本不等式的条件求最值．
题型 5：对勾函数模型解决实际问题
5-1．（2024 高一上·广东深圳·期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用 x（0 < x a, a为常
数）万元，计划生产并销售某种文化产品（x +1）万件（生产量与销售量相等）.已知生产该产品需投入成本费用
x 1 20（ + +1）万元（不含促销费用），产品的促销价格定为（1+ ）元/件.
x x +1
(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（注：利润=销售额 - 投入成本 - 促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？
5-2．（2024 高一上·上海徐汇·期末）某品牌手机公司的年固定成本为 50 万元，每生产 1 万部手机需增加投
入 20 万元，该公司一年内生产 x x > 0 万部手机并全部销售完当年销售量 x 低于 40 万部时，每销售 1 万部
手机的收入R x = 400 - 5x万元；当年销售量 x 不低于 40 万部时，每销售 1 万部手机的收入
R x 9000 40000= - 2 万元x x
(1)写出年利润 y 万元关于年销售量 x 万部的函数解析式；
(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
5-3．（2024 高二下·江苏镇江·期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距 45km的某地聘请代
驾司机帮助其返程.假设当地道路限速50km/h .油价为每升 8 元，当汽车以 xkm/h 的速度行驶时，油耗率为
x2
3 + ÷ L/h .已知代驾司机按每小时 56 元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，
è 360
并求最小费用.
一、单选题
1．（2024 高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋
炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，
用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 h（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间
的关系式为 h = -3.6t 2 + 28.8t ，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第 4 秒 B．第 5 秒 C．第 3.5 秒 D．第 3 秒
2．（2024 高一上·北京·阶段练习）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本
分为以下三个部分：①生产 1 单位试剂需要原料费 50 元；②支付所有职工的工资总额由 7500 元的基本工
600
资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成；③后续保养的费用是每单位 x + - 30x ÷元（试剂的总产量为
x 单
è
位，50 x 200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60 单位 B．70 单位 C．80 单位 D．90 单位
3．（2024 高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为C x = x2 + 4x +16（万
元），每件商品售价为 28元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用 w x （万元）表示，
w x
用 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
x
A．当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元
B．当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元
C．当生产 4万件时，当月能获得单件平均利润最大为 24元
D．当生产 4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元
4．（2024 高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率 f （单位：心跳次数 ×min-1）
1
与体重W （单位：kg）的 次方成反比.若A 、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为 2kg、脉搏率为 210
3
次 ×min-1， B 的脉搏率是 70 次 ×min-1，则 B 的体重为（ ）
A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg
二、多选题
5．（2024 高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学
家到公园的距离都是 2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y（km）与时间 x（min）
的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60min
B．甲从家到公园的时间是 30min
1
C．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 y = x
15
1
D．当 30≤x≤60 时，y 与 x 的关系式为 y = x - 2
10
6 *．（2024 高一上·河南·期中）某种商品单价为 50 元时，每月可销售此种商品 300 件，若将单价降低 x x N
元，则月销售量增加 10x 件，要使此种商品的月销售额不低于 15950 元，则 x 的取值可能为（ ）
A．9 B．7 C．13 D．11
三、填空题
7．（2024 高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为 3 米，容积为 48 立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底
的造价为每平方米 1500 米，池壁的造价为每平方米 1000 元.该蓄水池的总造价 y （元）关于池底一边的长
度 x （米）的函数关系为： .
8．（2024 高一上·广西桂林·期中）将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出，能卖出 500 个；若此商品每涨
价 1 元，其销售量减少 10 个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
9．（2024 高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造
可以使用 30 年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是 9 万元．根据建筑公司的前期研
究得到，该建筑物 30 年间每年的能源消耗费用 N（单位：万元）与隔热层的厚度 h（单位：厘米）满足关
系：N h m= 0 h 10 ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么 30 年间每年的能源消耗费用为 10 万
3h + 4
元．设F h 为隔热层的建造费用与 30 年间的能源消耗费用的总和，那么使F h 达到最小值的隔热层的厚
度 h＝ 厘米．
10．（2024 高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸
发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书
5
后以原速的 快步赶往学校，并在从家出发后 23 分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人
4
之间相距的路程 y（米）与小明从家出发到学校的步行时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家
到学校的路程为 米．
四、解答题
11．（2024 高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，
该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降
低0.02元，但实际出厂单价不能低于 41元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为 41 元？
(2)设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数P = f x 的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价
-成本）
12．（2024 高一·全国·专题练习）A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践，为便于管理，所
有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需 17010 元，若都买二等座单程
火车票且花钱最少，则需 11220 元.已知学生家长与教师的人数之比为 2 :1，从 A 到 B 的火车票价格（部分）
如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买 x 张（x 小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在
保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y
与 x 之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
13．（2024 高一上·江苏宿迁·期末）如图，已知底角为 45o 的等腰梯形 ABCD，底边BC 长为 7，腰长为 2 2 ，
当一条垂直于底边 BC （垂足为点 F ， F 不与 B ，C 重合）的直线 l从左至右移动（与梯形 ABCD有公共点）
时，直线 l把梯形分成两部分，令BF = x，试写出直线 l左边部分图形的面积 y 关于 x 的函数解析式．
14．（2024 高一上·山东泰安·期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为 2500
2
万元，每生产 x 百件，需另投入成本 c x （单位：万元），当年产量不足 30 百件时，c x =10x +100x ；当
10000
年产量不小于 30 百件时， c x = 501x + - 4500；若每件电子产品的售价为 5 万元，通过市场分析，
x
该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润=总收入-成本）
(1)求年利润 y （万元）关于年产量 x （百件 ) 的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
15．（2024 高一上·山东）吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥
物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元．每生产 x 万
盒，需投入成本 h x 万元，当产量小于或等于 50 万盒时 h x =180x +100；当产量大于 50 万盒时
h x = x2 + 60x + 3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售
完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
16．（2024 高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进A ，B 两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A
类有机蔬菜的纯利润为 3 元/千克，B 类有机蔬菜的纯利润为 5 元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次
日将以 5 折售出，此时售出的 A 类蔬菜的亏损为 1 元/千克，B 类蔬菜的亏损为 3 元/千克．已知当天未售完
的有机蔬菜，次日 5 折促销都能售完．假设该超市 A，B 两类有机蔬菜当天共进货 100 千克，其中 A 类有机
蔬菜进货 x x N,30 x 70 千克．假设 A， B 类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为 50 千克．
(1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利 f x （单位：元）的表达式；
(2)若 f x 322，求 x 的取值范围．
17．（2024 高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均
1
水平的 ．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”4 ，同时为了更好地提倡节约用
水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生
活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过 20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月
用水超过 20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米 4元；第三档，若每户每月用水超过30
立方米，则超过部分水价为每立方米7 元，同时征收其全月水费 20%的用水调节税．设某户某月用水 x 立方
米，水费为 y 元．
(1)试求 y 关于 x 的函数；
(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水 a立方米，乙用户用水b 立方米，若 a,b之间符合函数关系：b = -a2 + 47a - 530．则当两
户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
18．（2024 高一·全国·课后作业）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，
某条快递线路运行时，发车时间间隔 t（单位：分钟）满足：4 t 15，t N ，平均每趟快递车辆的载件个
ì1800 -15(9 - t)2 , 4 t < 9
数 p(t) （单位：个）与发车时间间隔 t 近似地满足 p(t) = í ，其中 t N ．
1800,9 t 15
(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过 1500 个，试求发车时间间隔 t 的值；
q(t) 6 p(t) - 7920(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益 = -80（单位：元），问当发车时间间隔 t 为多少时，
t
平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
19．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企
业 A 公司扩大生产提供 x(x [0,10]) (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.A 公
12
司在收到政府 x (万元)补贴后，防护服产量将增加到 t = k × 6 - ÷ (x 4 万件
)，其中 k 为工厂工人的复工率
è +
( k [0.5,1] ).A 公司生产 t万件防护服还需投入成本 (20 + 9x + 50t) (万元).
（1）将 A 公司生产防护服的利润 y (万元)表示为补贴 x (万元)的函数；(政府补贴 x 万元计入公司收入)
（2）在复工率为 k 时，政府补贴多少万元才能使 A 公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的 x [0,10] (万元)，当复工率 k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？
（精确到 0.01）.
20．（2024 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设
高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提
高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 v（单位：千米/小时）和车流
ì 60,0 < x 30
密度 x （单位：辆/千米）所满足的关系式： v = í k k R .研究表明：当隧道内的车
80 - ,30 < x 120 150 - x
流密度达到 120 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是 0 千米/小时.
(1)若车流速度 v不小于 40 千米/小时，求车流密度 x 的取值范围；
(2)隧道内的车流量 y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 y = x ×v，求隧道内车流量的最
大值（精确到 1 辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到 1 辆/千米）.（参考数据：
5 2.236）
21．（2024 高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资
源节约型社会．日常生活中我们使用的 LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，
功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种 LED灯需投入的年固定成本
为 3 万元，每生产 x 万件该产品，需另投入变动成本W(x) W x 1 2万元，在年产量不足 6 万件时， = x + x ，
2
81
在年产量不小于 6 万件时，W x = 7x + - 37．每件产品售价为 6 元．假设该产品每年的销量等于当年的
x
产量．
(1)写出年利润 L(x) （万元）关于年产量 x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-
变动成本）
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
22．（2024·湖北）围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），
其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费
用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的
总费用为 y.
（Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数；
（Ⅱ）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
23．（2024 高二下·山西运城·阶段练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩
景区 瑶溪景区 天桂寺景区 茶山景区和三烊湿地.某开发商计划 2023 年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，
全年需投入固定成本 400 万元，若该项目在 2023 年有 x 万名游客，则需另投入成本R x 万元，且
ì
50,0 < x 5,
R x = x2í + 40x + 200,5 < x 20,该游玩项目的每张门票售价为 80 元.
81x 1600+ -850, x > 20,
x
(1)求 2023 年该项目的利润W x （万元）关于游客数量 x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)当 2023 年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
24．（2024 高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对 A 产品做促销活动，对 A 产品的销售数据分析发现，A
t 10 k产品的月销售量 t（单位：万件）与月促销费用 x（单位：万元）满足关系式 = - （k 为常数，
x +1
x 0 ），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是 1 万件．已知生产该产品每月固定投入为 7 万元，每生产
9
一万件该产品需要再投入 4 万元，厂家将每件产品的销售价定为 5 + ÷元，设该产品的月利润为 y 万元，
è t
（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将 y 表示为 x 的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
25．（四川省成都市蓉城名校联盟 2023-2024 学年高二上学期期中联考理科数学试题）长江存储是我国唯一
一家能够独立生产 3D NAND 闪存的公司，其先进的晶栈 Xtacking 技术使得 3D NAND 闪存具有极佳的性能
和极长的寿命．为了应对第四季度 3D NAND 闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行
调整，已知封装闪存的固定成本为 300 万元，每封装 x 万片，还需要C x 万元的变动成本，通过调研得知，
当 x 不超过 120 万片时，C(x) = 0.1x2 +130x ；当 x 超过 120 万片时，C(x) =151x
25600
+ -1350 ，封装好后
x
的闪存颗粒售价为 150 元/片，且能全部售完．
(1)求公司获得的利润 L x 的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
26．（2024 高一上·上海浦东新·期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空
地建造一间室内面积为900m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩
形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻
的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总
面积为 S（单位：m2）．
(1)求 S 关于 x 的函数关系式；
(2)求 S 的最大值，并求出此时 x 的值．
27．（2024 高一上·福建厦门·开学考试）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017 年 月 日，天气：阴；
能见度：1.8 千米；11: 40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12 :10时，潮头到达乙地，形成“一
线潮”，开始均匀加速，继续向西；12 : 35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离 x （千米）与时间 t（分钟）的函数关系用图 3
表示.其中：“11: 40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地 12 千米”记为点 A(0,12)，点 B 坐标为 (m,0)，曲线BC 可用
1 2
二次函数： s = t + bt + c(b， c是常数）刻画.
125
(1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)11: 59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 千米 / 分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与
潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最
高速度为 0.48 千米 / 分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8 千米共需多长时间？（潮水加速
阶段速度 v = v
2
0 + (t - 30) ， v0 是加速前的速度）125
28．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷
洒 1 个单位的消毒剂，空气中释放的浓度 y （单位：毫米/立方米）随着时间 x （单位：小时）变化的关系
16 1
如下：当0 x 4时， y = -1；当 4 < x 10时， y = 5 - x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂
8 - x 2
浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4（毫克
/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 a 1 a 4 个单位的消毒剂，要使接下来的 4 小时中能
够持续有效消毒，试求 a的最小值（精确到 0.1，参考数据： 2 取 1.4）
29．（2024 高一上·湖北十堰·开学考试）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理
的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费
每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 1850
元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，
两公司的月利润相等；
(2)甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元 a > 0 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍
高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最
大，求 a 的取值范围．
30．（四川省绵阳市绵阳南山中学 2023-2024 学年高一上学期期末数学试题）据悉某市一号线一辆列车满载
时约为 550 人，人均票价为 4 元，十分适合中小城市的运营.日前该市运营公司通过一段时间的营业发现，
每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔 t（分钟）相关：当间隔时间达到或超过 12 分钟后，列车
均为满载状态；当8 t 12
60
时，单程营业额Y 与4t - +12成正比；当5 t < 8 时，单程营业额会在 t = 8时
t
的基础上减少，减少的数量为 40 8 - t 2 .
(1)求当5 t 12时，单程营业额Y 关于发车间隔时间 t的函数表达式；
120
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均 t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔
时间 t 8,12 ，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额 P 最大？求出该最大值.
31．（2024 高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5 元；
优惠方案 2：在优惠 1 之后，再每满 400 元立减 40 元．
é130ù
例如，一次购买商品的价格为 130 元，则实际支付额130 - 5 ê ú =130 - 5 2 =120元，其中 x 表示不大 60
860
于 x
é ù
的最大整数．又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860 - 5 ê ú - 40 1 = 750元． 60
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是 250 元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？
请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为 30 元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不
超过 500 元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？3.4 函数的应用(一)5 题型分类
一、用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择
模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
二、常见的函数模型
(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现
实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸
长量与拉力的关系等．
(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或
最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．
(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研
究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
（一）
一次函数模型
用一次函数模型解决实际问题的解题方法
(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；
(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；
(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．
注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数 a 的正负，也
可以结合函数图象或其单调性来求最值．
题型 1：用一次函数模型解决实际问题
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用
分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取
印刷费，甲厂的总费用 y1(千元) 乙厂的总费用 y2(千元)与印制证书数量 x(千个)的函数关系图分别如图中甲
乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元
B．甲厂的总费用 y1与证书数量 x 之间的函数关系式为 y1 = 0.5x +1
C．当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元
D．当印制证书数量超过 2 千个时，乙厂的总费用 y2与证书数量 x 之间的函数关系式为 y
1 5
2 = x +4 2
【答案】ABCD
【分析】根据甲厂和乙厂的函数图象，结合一次函数的图象与性质，结合待定系数法，即可求解.
【详解】由题图知甲厂制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元，故 A 正确；
设甲厂的费用 y1 与证书数量 x 满足的函数关系式为 y = kx + b，
ìb =1
代入点 (0,1), (6, 4) ，可得 í ，解得 k = 0.5,b =1，
6k + b = 4
所以甲厂的费用 y1 与证书数量 x 满足的函数关系式为 y1 = 0.5x +1，故 B 正确；
当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为3 2 =1.5元，故 C 正确；
设当 x > 2时，设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y = mx + n
ì2m + n = 3
代入点 (2,3), (6, 4)
1
，可得 í ，解得 k = ,b
5
=
6m n 4 ， + = 4 2
1 5
所以当 x > 2时， y2 与 x 之间的函数关系式为 y2 = x + ，故 D 正确.4 2
故选：ABCD.
1-2．（2024 高一·全国·课后作业）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房
y 1
1 11
屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是 = x+3 和 y = - x +3 ，为保证采光，竖直窗户的高4 2
度设计为 1m，那么点 A 的横坐标为 ．
【答案】6
【分析】设 A 的横坐标为 m，把 x = m 代入两个直线方程，所得 y 值相减（大减小）差为 1，由此可解得m ，
得结论．
1 11
【详解】设 A 1的横坐标为 m，则 A 的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是 y = x+3 和 y = - +3 x ，4 2
1 1 11
为保证采光，竖直窗户的高度设计为 1m，∴ m + 3- - m + ÷ =1，解得 m＝6，故点 A 的横坐标为 6．3 è 4 2
故答案为：6．
1-3．（2024 高一上·浙江·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法
如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3 的部分 3 元/ m3
超过12m3 但不超过18m3 的部分 6 元/ m3
超过18m3 的部分 9 元/ m3
若某户居民本月交纳的水费为 54 元，则此户居民的用水量为（ ）
A．6m3 B．9m3 C．15m3 D．18m3
【答案】C
【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.
【详解】设此户居民本月用水量为 x m3 ,缴纳的水费为 y 元,
则当 x [0,12]时, y = 3x 36元,不符合题意;
当 x (12,18]时, y =12 3 + (x -12) 6 = 6x - 36 ,令6x - 36 = 54 ,解得 x =15 ,符合题意；
当 x (18,+ ) 时, y =12 3 + 6 6 + (x -18) 9 = 9x - 90 > 72 ,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为 15 m3 .
故选：C.
1-4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离
与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间
x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60 min
B．甲从家到公园的时间是 30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
1
D．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 y＝ x
15
【答案】BD
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在 A 中，甲在公园休息的时间是 10 min，所以只走了 50 min，A 错误；
由题中图象知，B 正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从
公园到乙同学家的速度慢，C 错误；
1
当 0≤x≤30 时，设 y＝kx(k≠0)，则 2＝30k，解得 k = ，D 正确.
15
故选：BD
（二）
二次函数模型
1、二次函数模型的解析式为 g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根
据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求
函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解
答．
2、利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数
的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
题型 2：二次函数模型及应用
2-1．（2024 高一上·云南昭通·期中）某商店试销一种成本单价为 40 元/件的新产品，规定试销时的销售单价
不低于成本单价，又不高于 80 元/件，经试销调查，发现销售量 y （件）与销售单价 x （元/件）可近似看
作一次函数 y = -x +100的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S 元．
（1）试用销售单价 x 表示利润S ；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【答案】（1） S = -x2 +140x - 4000 40 x 80 ；（2）当销售单价为 70 元/件时，可获得最大利润 900 元，
此时销售量是 30 件．
【分析】（1）由利润=销售总收入-总成本可得答案；
（2）对于 S x = - x - 70 2 + 900 40 x 80 配方法即可求得最大值．
【详解】（1） S x = xy - 40y = x - 40 y = x - 40 -x +100
= -x2 +140x - 4000 40 x 80 .
（2） S x = - x - 70 2 + 900 40 x 80 ，
∴当销售单价为 70 元/件时，可获得最大利润 900 元，此时销售量是 30 件．
2-2．（2024·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识 锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会 回报
社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为 x 件
时，售价为 s 元/件，且满足 s = 820 - 2x，每天的成本合计为600 + 20x 元，请你帮他计算日产量为
件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
【答案】 200 7.94
【分析】将利润表示为关于 x 的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】由题意易得日利润 y = s x - 600 + 20x = x 820 - 2x - 600 + 20x = -2 x - 200 2 + 79400，
故当日产量为 200 件时，获得的日利润最大，最大利润为 7.94 万元，
故答案为：200，7.94.
2-3．（2024 高一上·广东东莞·期中）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y （单位：千克）
与销售单价 x （单位：元/千克）满足关系式 y
a
= +100(8 - x)，其中 4 < x <8， a为常数，已知销售单
x - 4
价为6 元/千克时，每日可售出该商品 220千克.
（1）求 a的值；
（2）若该商品的进价为 4元/千克，试确定销售单价 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并
求出利润的最大值.
【答案】（1） a = 40（2）当 x = 6时，函数 f (x) 取得最大值，且最大值等于 440.
【分析】（1）将 x=6 时，y=220 代入关系式，即可求出 a；
（2）根据每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数，
根据二次函数求最值的方法得出最大值对应的 x 值．
a
【详解】（1）因为 y = +100 8 - x .且 = 6时， y = 220 .
x - 4
a
所以 + 200 = 220.解得. a = 40 .
2
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量 y
40
= +100 8 - x .
x - 4
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
f x x 4 é 40= - ê +100 8 - x
ù
ú = 40 +100（x - 4） 8 - x = -100（x - 6）
2 + 440 (4 < x < 8)
x - 4
因为 f x 为二次函数，且开口向上，对称轴为 = 6.
所以，当 = 6时，函数 f x 取得最大值，且最大值等于 440.
所以当销售价格定为 6 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为 440 元.
【点睛】本题考查了函数解析式的求法及生活中的优化问题，考查建模思想，属于中档题．
2-4 用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，
搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，
根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋
1
4 2a ，Q＝ a＋1204 ．设甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为 f(x)(单位：万元)．
（1）求 f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入 f(x)最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收入最大．
【分析】（1）由 f (50) = P(50) + Q(150) 计算可得；
（2）由已知列出函数式 f (x) = P(x) + Q(200 - x)，注意定义域，然后换元 t = x ，化为二次函数，由二次函
数知识得最大值．
【详解】（1）若投入甲大棚 50 万元，则投入乙大棚 150 万元，
1
所以 f(50)＝80＋4 2 50 ＋ ×150＋120＝277.54 ．
（2）由题知，
f 1(x)＝80＋4 2x ＋ (200 ) 1204 －x ＋
1
＝－ 4 x＋4 2x ＋250，
ì x 20,
依题意得 í
200 - x > 20,
解得 20≤x≤180，
1
故 f(x)＝－ x＋4 2x ＋250(20≤x≤180)4 ．
令 t＝ x ，则 t2＝x，t∈[2 5 ，6 5 ]，
y 1＝－ t2
1
＋4 2 t＋250＝－ (t－8 2 )2＋2824 4 ，
当 t＝8 2 ，即 x＝128 时，y 取得最大值 282，所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收入最大，
且最大收入为 282 万元．
（三）
幂函数模型应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．
题型 3：用幂函数模型解决实际问题
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x(万元)与药品利润
y(万元)存在的关系为 y = xa ( a为常数)，其中 x 不超过 5 万元.已知去年投入广告费用为 3 万元时，药品利润
为 27 万元，若今年投入广告费用 5 万元，预计今年药品利润为 万元.
【答案】125
【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可.
【详解】因为投入广告费用为 3 万元时，药品利润为 27 万元，
所以 27 = 3a a = 3，即 y = x3
当今年投入广告费用 5 万元，预计今年药品利润为53 =125，
故答案为：125
3-2．（2024 高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的
A，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金 2 亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场
调查与预测，生产 A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入 1 亿元，公司获得毛收入 0.25 亿元；
a
生产 B 芯片的毛收入 y （亿元）与投入的资金 x （亿元）的函数关系为 y =kx (x >0)，其图象如图所示.
(1)试分别求出生产 A, B两种芯片的毛收入 y （亿元）与投入资金 x （亿元）的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入 40 亿元资金同时生产 A, B两种芯片，设投入 x 亿元生产 B 芯片，用 f x 表示公司所获
净利润，当 x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润= A芯片毛收入 +B 芯片毛收入
一研发耗费资金）
x
【答案】(1)生产A 芯片关系式为 y = (x > 0)4 ，生产 B 芯片关系式为 y = x (x > 0)
(2)答案见解析
(3) x = 4亿时，公司所获净利润最大净利润为 9 亿元
【分析】（1）由题意直接得到生产 A 芯片的解析式，待定系数法求出生产 B 芯片的解析式；
（2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案；
f x 40 - x（3）表达出 = + x - 2，换元后求出最值.
4
x
【详解】（1）设投入资金 x 亿元，则生产 A 芯片的毛收入 y = (x > 0) .4
将 1,1 , 4,2 代入 y = kxa ，
ìk =1 ìk =1
得 í
kx
a = 2，解得 í 1 ， a = 2
\生产 B 芯片的毛收入 y = x (x > 0) .
x x
（2）由 > x ，得 x >16 ；由 = x ，得 x =16 ；
4 4
x
由 < x ，得0 < x <16 .
4
\当投入资金大于 16 亿元时，生产 A芯片的毛收入更大；
当投入资金等于 16 亿元时，生产 A, B芯片的毛收入相等；
当投入资金小于 16 亿元时，生产 B 芯片的毛收入更大.
（3）由题意知投入 x 亿元生产 B 芯片，则投入 40 - x 亿元资金生产 A 芯片，
40 - x
公司所获净利润 f x = + x - 2，
4
令 x = t ，则 t 2 = x ，
f x 40 - t
2
\ = + t - 2 1= - (t - 2)2 + 9 ，
4 4
故当 t = 2，即 x = 4亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为 9 亿元.
3-3．（2024 高一上·江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力
的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产 A、B 两种产品，根据市场调查与市
场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系
如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.
(1)分别求出 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元资金，才能使
企业获得最大利润，最大利润是多少？
1
【答案】(1) f (x) = x(x 0) ， g(x) = 2 x (x 0)
2
(2)A 产品投入 6 万元，B 产品投入 4 万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是 7 万元
【分析】（1）由题设 f (x) = k1x， g(x) = k2 x ，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式 y = f (x) + g(10 x)
1
- = x + 2 10 - x (0 x 10) 换元法求得函数最值得解.
2
【详解】（1）设投资为 x 万元，A 产品的利润为 f (x) 万元，B 产品的利润为 g(x)万元
由题设 f (x) = k1x， g(x) = k2 x ，
由图知 f 2 =1 1，故 1 = ，又 g(4) = 4，所以 k2 = 2．2
1
从而 f (x) = x(x 0) ， g(x) = 2 x (x 0) ．
2
（2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入10 - x万元，设企业利润为 y 万元
则 y = f (x) + g(10 - x)
1
= x + 2 10 - x (0 x 10) ，
2
1
令 t = 10 x 2- ，则 y = - (t - 2) + 7(0 t 10)，2
当 t = 2时， ymax = 7 ，此时 x = 6 .
故 A 产品投入 6 万元，B 产品投入 4 万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是 7 万元.
（四）
分段函数模型
1、用分段函数模型解决实际问题的解法
分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变
化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
2、应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
题型 4：用分段函数模型解决实际问题
4-1．（2024 高一上·辽宁）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水
果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料 x (单位：千克)满足如下关
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
系：W (x) =
í 50x ，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x
, 2 < x 5
1+ x
元．已知这种水果的市场售价大约 15 元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 f (x) (单位：元)
(1)写单株利润 f (x) (元)关于施用肥料 x (千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
ì75x2 - 30x + 225,0 x 2
【答案】(1) f (x) = í750x ；
- 30x, 2 < x 5 1+ x
(2)4 千克，480 元﹒
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润 f x 的解析式；
（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出 f x 的最大值即可．
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
【详解】（1）依题意 f (x) = 15W (x) -10x - 20x ，又W (x) =
í 50x ，
, 2 < x 5
1+ x
ì75x2 - 30x + 225,0 x 2
∴ f x = í750x ．
- 30x, 2 < x 5 1+ x
1
（2）当0 x 2时， f (x) = 75x2 - 30x + 225，开口向上，对称轴为 x = ，
5
\ f (x) é0, 1ù é1 ,2ù在 ê 5ú 上单调递减，在 ê ú上单调递增， 5
\ f (x)在 0,2 上的最大值为 f 2 = 465．
当 2 < x 5时， f x = 780 - 30 25 25 +1+ x
÷ 780 - 30 2 × 1+ x = 4801 ，è + x 1+ x
25
当且仅当 =1+ x时，即 x = 4时等号成立．
1+ x
∵ 465 < 480，∴当 x = 4时， f x = 480max ．
∴当投入的肥料费用为 40 元时，种植该果树获得的最大利润是 480 元．
4-2．（2024 高一上·辽宁沈阳·期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动
汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这 3 类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同
的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将
重新塑造全球汽车行业的计划.2022 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固
ì10x2 +100x,0 < x < 40
定成本 2000 万元，每生产 （百辆），需另投入成本C x （万元），且C x = í
501x 10000
；
+ - 4500, x 40 x
已知每辆车售价 5 万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出 2022 年的利润 L x （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
(2)2022 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40
【答案】(1) L(x) = í 10000 ;
-x - + 2500, x 40 x
(2)100（百辆），2300 万元.
【分析】（1）根据利润 L x =收入-总成本，即可求得 L x （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数 L x 的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润 L x =收入-总成本，
所以利润
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40
L(x) = 5x 100 - 2000 - C(x) =
í 10000 ,
-x - + 2500, x 40 x
故 2022 年的利润 L x （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式为
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40
L(x) = í
x 10000
.
- - + 2500, x 40 x
（2）当0 < x < 40 时， L(x) = -10x2 + 400x - 2000 = -10(x - 20)2 + 2000，
故当 x = 20时， L(x)max = 2000；
当 x 40 时， L(x) 10000= -x - + 2500 -2 x 10000× + 2500 = 2300 ,
x x
x 10000当且仅当 = ， 即 x =100 时取得等号；
x
综上所述，当产量为 100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为 2300 万元．
4-3．（福建福州外国语学校 2023-2024 学年高一上学期阶段性测试数学试题）某电子公司生产某种智能手环，
其固定成本为 2 万元，每生产一个智能手环需增加投入 100 元，已知总收入 R（单位：元）关于日产量 x
ì
400x
1
- x2 ,0 x 400
（单位：个）满足函数：R = í 2 .
80000, x > 400
(1)将利润 f x （单位：元）表示成日产量 x 的函数；
(2)当日产量 x 为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）
ì 1
- x2 + 300x - 20000, (0 x 400)【答案】(1) f x = í 2
-100x + 60000(x > 400)
(2)当月产量为 300 台时，公司获得的月利润最大，其值为 25000 元
【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润 f x 的解析式；
（2）结合（1）中 f x 的解析式，分讨讨论 x 的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得 f x 的
最值，同时得到相应的 x 值.
【详解】（1）根据题意，
当0 x 400时， f x = 400x 1- x2 - 20000 -100x 1= - x2 + 300x - 20000，
2 2
当 x > 400时， f x = 80000 - 20000 -100x = -100x + 60000，
ì 1
- x2 + 300x - 20000, (0 x 400)所以 f x = í 2 .
-100x + 60000(x > 400)
1 1
（2）当0 x 400时， f x = - x2 + 300x - 20000 = - (x - 300)2 + 25000，
2 2
所以当 x = 300 时， f x = 25000max ；
当 x > 400时，易知 f x = -100x + 60000是减函数，
所以 f x < -100 400 + 60000 = 20000；
综上：当 x = 300 时， f x = 25000max ，
所以，当月产量为 300 台时，公司获得的月利润最大，其值为 25000 元.
4-4．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某
生态基地种植某中药材的年固定成本为 250 万元，每产出 x 吨需另外投入可变成本C (x) 万元，已知
ì ax2 + 49x,0 < x 50
C x = í 14400 ，通过市场分析，该中药材可以每顿 50 万元的价格全面售完，设基地 51x + -870,50 < x 100 2x +1
种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为 L(x) 万元，当基底产出该中药材 40 吨时，年利润为 190 万
元. ( 2 1.41)
(1)年利润 L(x) （单位：万元）关于年产量 x （单位：吨）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时（精确到 0.1 吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到 0.1 吨）？
ì1 2
x + x - 250,0 < x 50
【答案】(1) L(x) =
4
í
x 14400- - + 620,50 < x 100
2x +1
(2)当年产量为 84.1 吨时，最大年利润是 451.3 万元.
【分析】（1）由基地产出该中药材 40 吨时，年利润为 190 万元，列出方程，即可求解；
（2）当 x (0，50]时，求得 ymax 万元；当 x (50，100]时，结合基本不等式，即可求.
【详解】（1）当基底产出该中药材 40 吨时，年成本为1600a + 49 40 + 250万元，
利润为50 40 - (1600a + 49 40 + 250) =190
1
，解得 a = - ，
4
ì1 x2 + x - 250,0 < x 50
则 L(x) =
4
í .
x 14400- - + 620,50 < x 100
2x +1
（2）当 x (0，50]， L x 1= x2 + x - 250，对称轴为 x = -2<0，
4
则函数在 (0，50]上单调递增，故当 x = 50 时， ymax = 425，
当 x (50，100]时，
L x x 14400= - - + 620 14400= - x + ÷ + 620= 620.5
2x +1 14400- + ÷ 620.5 -120 2 451.32x +1 è 2x +1 è 2 2x +1
2x +1 14400
当且仅当 = ，即 x = 60 2
1
- 84.1时取等号，
2 2x +1 2
因为 425 < 451.3，所以当年产量为 84.1 吨时，所获年利润最大，最大年利润是 451.3 万元.
4-5．（2024 高二下·山东聊城·阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在 2023 年利用新技术生产
某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本 250 万元，每生产 x （千部）手机，需
ì10x2 +100x + 800,0 < x < 50
另外投入成本R x 万元，其中R x = í 10000 ，已知每部手机的售价为 5000 元，且生
504x + - 6450, x 50 x - 2
产的手机当年全部销售完.
(1)求 2023 年该款手机的利润 y 关于年产量 x 的函数关系式；
(2)当年产量 x 为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
ì-10x2 + 400x -1050,0 < x < 50
【答案】(1) y = í 4x 10000- + ÷ + 6200, x 50
è x - 2
(2)当年产量为 52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 5792 万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
2 2
【详解】（1）当0 < x < 50时， y = 500x - 10x +100x + 800 - 250 = -10x + 400x -1050，
当 x 50时, y = 500x - 504x
10000
+ - 6450 - 250 = - 4x 10000+ + 6200，
è x - 2 ÷ è x - 2 ÷
ì-10x2 + 400x -1050,0 < x < 50
所以 y = í 4x 10000- +
.
+ 6200, x 50
è x - 2
÷
（2）当0 < x < 50时， y = -10x2 + 400x -1050 = -10(x - 20)2 + 2950 ,
∴当 x = 20时， ymax = 2950，
当 x 50时,
y 4x 10000 6200 10000= - + ÷ + = -4 x - 2 - + 6192 -2 40000 + 6192 = 5792 ,
è x - 2 x - 2
当且仅当 4 x - 2 10000= ，即 x = 52 时， y
x - 2 max
= 5792，
因此当年产量为 52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 5792 万元.
（五）
对勾函数模型
解决“对勾”函数应用题的关键
b
解决“对勾”函数 f(x)＝ax＋ (a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数 f(x)在
x
( b ) ( b) b b－ ，0 和 0， 上单调递减，在(－∞，－ )和( ，＋∞)上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，a a a a
构造利用基本不等式的条件求最值．
题型 5：对勾函数模型解决实际问题
5-1．（2024 高一上·广东深圳·期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用 x（0 < x a, a为常
数）万元，计划生产并销售某种文化产品（x +1）万件（生产量与销售量相等）.已知生产该产品需投入成本费用
x 1 1 20（ + + ）万元（不含促销费用），产品的促销价格定为（1+ ）元/件.
x x +1
(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（注：利润=销售额 - 投入成本 - 促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？
1
【答案】(1) y = -x - + 20， x 0,a
x
1
0 a 1 a - a + - 20 (2)当 < < 时，当促销费用投入 万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为 万元；当
è a ÷
a 1时，当促销费用投入1万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为18万元.
【分析】（1）根据题意可得销售额 1
20 20 1+ ÷ x +1 = x + 21，则利润 y = 1+ ÷ x +1 -
x + +1
- x，
è x +1 è x +1 ÷ è x
0 < x a ，化简即可得出答案；
1
（2）由（1）得 y = -
x +
÷ + 20， x 0,a 1 1，利用基本不等式可得 x + 2 x × = 2，结合对勾函数的性
è x x x
质，分类讨论0 < a <1，a 1，求出最大值，即可得出答案.
y = 1 20+ x +1 - x 1+ +1 1【详解】（1）由题意得 ÷ ÷ - x = -x - + 20 ， x 0,a ；
è x +1 è x x
1
（2）由（1）得 y = - x + ÷ + 20， x 0,a ，
è x
Q x > 0 ，
x 1 2 x 1
1
\ + × = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时等号成立，
x x x
由对勾函数的性质可知：
1
当0 < a <1时， y = -
x + ÷ + 20在 0, a 上单调递增，
è x
∴当 x = a
1
时， ymax = -
a + a ÷
+ 20；
è
a 1 y = -
1
当 时， x + x ÷
+ 20 -2 + 20 =18，当且仅当 = 1时等号成立，
è
1
综上所述，当0 < a <1时，当促销费用投入 a万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为- a + - 20a ÷è
万元；
当a 1时，当促销费用投入1万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为18万元.
5-2．（2024 高一上·上海徐汇·期末）某品牌手机公司的年固定成本为 50 万元，每生产 1 万部手机需增加投
入 20 万元，该公司一年内生产 x x > 0 万部手机并全部销售完当年销售量 x 低于 40 万部时，每销售 1 万部
手机的收入R x = 400 - 5x万元；当年销售量 x 不低于 40 万部时，每销售 1 万部手机的收入
R x 9000 40000= - 2 万元x x
(1)写出年利润 y 万元关于年销售量 x 万部的函数解析式；
(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
ì-5x2 + 380x - 50,0 < x < 40
【答案】(1) y = í 40000
- - 20x + 8950, x 40 x
(2)38 万部时，最大利润为 7170 万元.
【分析】（1）依题意，分0 < x < 40 和 x 40 两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分0 < x < 40 和 x 40 两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【详解】（1）依题意，生产 x x > 0 万部手机，成本是50 + 20x（万元），
ì400 - 5x,0 < x < 40
故利润 y = x × R x - 50 + 20x ，而R x = í9000 40000 ，
- , x 40
x x2
ì 400 - 5x × x - 50 + 20x ,0 < x < 40
故 y =
í 9000 40000 ，
- 2 ÷ × x - 50 + 20x , x 40
è x x
ì-5x2 + 380x - 50,0 < x < 40
整理得， y =
í 40000 ；
- - 20x + 8950, x 40 x
（2）0 < x < 40 2时， y = -5x2 + 380x - 50 = -5 x - 38 + 7170，开口向下的抛物线，在 x = 38时，利润最大值
为 ymax = 7170 ；
y 40000x 40 时， = - - 20x + 8950
40000= - + 20x
÷ + 8950，x è x
h(x) 40000其中 = + 20x = 20
2000
x
+ x ÷，在 é 40,20 5 上单调递减，在 20 5, + 上单调递增，因为è x
h(45) 40000 20 45 h(44) 40000 20 44 4000044 < 20 5 < 45 = + < = + ，故 x = 45时，h(x) = + 20x取得最小45 44 x
值
y 40000= - + 20x + 8950 y 40000故 ÷ 在 x = 45时，y 取得最大值 max = - - 900 + 8950 = 8050
8000
- < 7162
è x 45 9
而7162 < 7170，
故年销售量为 38 万部时，利润最大，最大利润为 7170 万元.
5-3．（2024 高二下·江苏镇江·期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距 45km的某地聘请代
驾司机帮助其返程.假设当地道路限速50km/h .油价为每升 8 元，当汽车以 xkm/h 的速度行驶时，油耗率为
x2
3 + ÷ L/h .已知代驾司机按每小时 56 元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，
è 360
并求最小费用.
【答案】最经济的车速为50km/h 时，使得本次行程的总费用最少为122元.
3600
【分析】根据题设可得 y = + x，0 x 50，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.
x
45 45
【详解】设汽车以 xkm/h 行驶时，开车时间为 小时，则代驾费用为 56 ，
x x
45 x2
油耗为 3 + ÷，x è 360
45 x2 y 3 8 45 3 x 7则总费用 = + ÷ + 56 = 45 8
+ + ，
x è 360 x
è x 360 x
÷
360 10 x 3600= + ÷ = + x，
è x 360 x
由对勾函数的性质知，函数在 0,60 单调递减，在 60,+ 上单调递增，
因为0 x 50，所以当 x = 50 时， y 取到最小值，
y 3600最小值为 = + 50 = 72 + 50 =122 .
50
最经济的车速为50km/h 时，使得本次行程的总费用最少为122元.
一、单选题
1．（2024 高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋
炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，
用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 h（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间
的关系式为 h = -3.6t 2 + 28.8t ，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第 4 秒 B．第 5 秒 C．第 3.5 秒 D．第 3 秒
【答案】A
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应 t值即可.
【详解】由题意， h = -3.6t 2 + 28.8t = -3.6 t 2 -8t +16 + 57.6 = -3.6 t - 4 2 + 57.6，
则当 t = 4时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第 4秒.
故选：A.
2．（2024 高一上·北京·阶段练习）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本
分为以下三个部分：①生产 1 单位试剂需要原料费 50 元；②支付所有职工的工资总额由 7500 元的基本工
600
资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成；③后续保养的费用是每单位 x + - 30x ÷元（试剂的总产量为
x 单
è
位，50 x 200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60 单位 B．70 单位 C．80 单位 D．90 单位
【答案】D
【分析】设生产每单位试剂的成本为 y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出
y ，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为 y ，
因为试剂总产量为 x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，
600
职工的工资总额为7500 + 20x
元，后续保养总费用为 x x + - 30÷元，
è x
y 50x + 7500 + 20x + x
2 - 30x + 600 8100
则 = = x + + 40 2 x 8100× + 40 = 220，
x x x
当且仅当 x
8100
= ，即 x = 90时取等号，
x
满足50 x 200，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为 90 单位．
故选：D．
3．（2024 高一上· 2湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为C x = x + 4x +16（万
元），每件商品售价为 28元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用w x （万元）表示，
w x
用 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
x
A．当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元
B．当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元
C．当生产 4万件时，当月能获得单件平均利润最大为 24元
D．当生产 4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元
【答案】D
【分析】求出w x 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得w x 的最大值及其对应的 x w x 的值，求出
x
w x
的表达式，利用基本不等式可求得 的最大值及其对应的 x 的值，即可出结论.
x
【详解】由题意可得w x = 28x - C x = -x2 + 24x -16 = - x -12 2 +128，
故当 x =12 时，w x 取得最大值128，
w x 24x - x2 -16
= = 24 - x
16 16
+ ÷ 24 - 2 x × =16，x x è x x
当且仅当 x = 4时，等号成立，
因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元，
当生产 4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元.
故选：D.
4．（2024 高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率 f （单位：心跳次数 ×min-1）
1
与体重W （单位：kg）的 次方成反比.若A 、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为 2kg、脉搏率为 210
3
次 ×min-1， B 的脉搏率是 70 次 ×min-1，则 B 的体重为（ ）
A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg
【答案】D
k
【分析】根据题意设 f = 1 k 0 ，代入求解 k ，然后计算出 B 的体重，确定选项.
W 3
k
【详解】根据题意设 f = 1 k 0 ，
W 3
1
当W = 2， f = 210 ,则 k = 210 23 ，
1
1 1
当 f = 70 3，则W 3 210 2= = 3 23 ，所以W = 54
70
故选：D
二、多选题
5．（2024 高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学
家到公园的距离都是 2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程 y（km）与时间 x（min）
的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了 60min
B．甲从家到公园的时间是 30min
y 1C．当 0≤x≤30 时，y 与 x 的关系式为 = x
15
1
D．当 30≤x≤60 时，y 与 x 的关系式为 y = x - 2
10
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是 10min，所以只走了 50min，故 A 错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是 30min，故 B 正确，
当 0≤x≤30 时，设 y＝kx（k≠0 1），则 2＝30k，解得 k= 15，故 C 正确，
当 30≤x≤60 时，设 y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），
ì40k + b = 2 ìk
1
= 1
则 í 1050k b 3 í ，故 y 与 x 的关系式为
y = x - 2 ，故 D 正确．
+ = b = -2 10
故选：BCD
6 *．（2024 高一上·河南·期中）某种商品单价为 50 元时，每月可销售此种商品 300 件，若将单价降低 x x N
元，则月销售量增加 10x 件，要使此种商品的月销售额不低于 15950 元，则 x 的取值可能为（ ）
A．9 B．7 C．13 D．11
【答案】AD
【分析】将销售额表示成一个关于 x 的函数，然后确定满足条件的 x 的可能值即可.
【详解】设此种商品的月销售额为 f x ，
由题意知，单价为50 - x，销售量为300 +10x，
所以销售额： f x = 50 - x 300 +10x = -10x2 + 200x +15000，
所以 f 9 = -10 81+ 200 9 +15000=15990 >15950，
f 7 = -10 49 + 200 7 +15000=15910 <15950 ,
f 13 = -10 169 + 200 13 +15000=15910 <15950 ,
f 11 = -10 121+ 200 11+15000=15990 >15950 .
故 x 的取值可能为 9 或者 11，不可能是 7 或者 13.
故选：AD
三、填空题
7．（2024 高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为 3 米，容积为 48 立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底
的造价为每平方米 1500 米，池壁的造价为每平方米 1000 元.该蓄水池的总造价 y （元）关于池底一边的长
度 x （米）的函数关系为： .
y = 6000 x 16+ 【答案】 ÷ +1500 16 ， x > 0
è x
16
【分析】根据条件便可得到池底面积为 4 平方米，底面的另一边长 ，从而便可得到总造价 y 与 x 的解析
x
式.
16
【详解】根据条件，该蓄水池的总造价 y 元，池底一边的长度 x 米，底面另一边长为 米,
x
16
∴长方体的底面积为 16，侧面积为3 2 x + ÷，由题意得：
è x
y 6000 x 16= + ÷ +1500 16 ， x > 0 ,
è x
故答案为： y = 6000
16
x +
÷ +1500 16 ， x > 0 .
è x
8．（2024 高一上·广西桂林·期中）将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出，能卖出 500 个；若此商品每涨
价 1 元，其销售量减少 10 个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
【答案】70
【分析】根据总利润=销售量 每个利润．设售价为 x 元，总利润为W 元，
则销售量为500 -10(x - 50)，每个利润为 (x - 40) ，表示总利润，然后根据函数性质求最大值．
【详解】设售价为 x 元，总利润为W 元，
则W = (x - 40)[500 -10(x - 50)] = -10x2 +1400x - 40000 = -10 x - 70 2 + 9000，
当 x = 70时，W 最大，最大的利润Wmax = 9000元；
即定价为 70 元时可获得最大利润，最大的利润是 9000 元．
故答案为: 70 .
9．（2024 高二下·浙江宁波·学业考试）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造
可以使用 30 年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是 9 万元．根据建筑公司的前期研
究得到，该建筑物 30 年间每年的能源消耗费用 N（单位：万元）与隔热层的厚度 h（单位：厘米）满足关
m
系：N h = 0 h 10 ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么 30 年间每年的能源消耗费用为 10 万
3h + 4
元．设F h 为隔热层的建造费用与 30 年间的能源消耗费用的总和，那么使F h 达到最小值的隔热层的厚
度 h＝ 厘米．
16
【答案】
3
【分析】根据题意可得函数F h = 30N h + 9h 1200 9h 1200= + = + 3 3h + 4 -12，利用基本不等式求解.
3h + 4 3h + 4
【详解】由题意及 N h m= ，可得 N 0 m= =10 ，即m = 40，
3h + 4 4
∴ N h 40= ．
3h + 4
隔热层的建造费用与 30 年间的能源消耗费用的总和
F h = 30N h 1200+ 9h = + 9h 1200= + 3 3h + 4 -12 2 1200 ×3 3h + 4 -12 =108（万元），3h + 4 3h + 4 3h + 4
1200
当且仅当 = 3 3h + 4 ，即 h 16= （厘米）时F h 达到最小值．
3h + 4 3
16
故答案为: .
3
10．（2024 高一上·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸
发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书
5
后以原速的 快步赶往学校，并在从家出发后 23 分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人
4
之间相距的路程 y（米）与小明从家出发到学校的步行时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家
到学校的路程为 米．
【答案】2080
【分析】设小明原速度为 x 每分钟，则拿到书后的速度为 1.25x 米/分钟，家校距离为
11x + 23-11 1.25x = 26x．设爸爸行进速度为 y 米/分钟，由题意及图形得方程组，求出 x、y 的值即可解
答．
【详解】解：设小明原速度为 x（米/分钟），则拿到书后的速度为 1.25x（米/分钟），则家校距离为
11x + 23-11 1.25x = 26x，
ì 11x = 16 -11 y
设爸爸行进速度为 y（米/分钟），由题意及图形得： í
16 -11 1.25x + y =1380
，
解得： x = 80, y =176.
∴小明家到学校的路程为：80 26 = 2080 （米）.
故答案为：2080．
四、解答题
11．（2024 高一上·河南濮阳·阶段练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，
该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降
低0.02元，但实际出厂单价不能低于 41元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为 41 元？
(2)设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数P = f x 的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价
-成本）
【答案】(1) 650
ì52,0 < x 100
x
(2) P = f x = í54 - ,100 < x < 650, x N
50
41, x 650
(3) 7000元
52 - 41
【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为 41元列出 x0 =100 + = 650求解；0.02
（2）根据题意求分段函数解析式；
（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.
【详解】（1）解：设每个零件的实际出厂价恰好降为 41元时，一次订购量为 x0 个，
则 x0 =100
52 - 41
+ = 650 .
0.02
（2）当0 < x 100时，P = 52；
x
当100 < x < 650时，P = 52 - 0.02 x -100 = 54 - ；
50
当 x 650 时，P = 41 .
ì52,0 < x 100
\P = f x x= í54 - ,100 < x < 650, x N
50
41, x 650
500
（3）设工厂获得的利润为 L元，则 L = 54 - - 30÷ 500 = 7000，
è 50
即销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是 7000元.
12．（2024 高一·全国·专题练习）A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践，为便于管理，所
有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需 17010 元，若都买二等座单程
火车票且花钱最少，则需 11220 元.已知学生家长与教师的人数之比为 2 :1，从 A 到 B 的火车票价格（部分）
如下表所示：
运行区间 公布票价 学生票
上车站 下车站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买 x 张（x 小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在
保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y
与 x 之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【答案】(1)10 人、20 人与 180 人；
ì -30x +17010 0 < x <180
(2) y = í
-13x +13950 180 x
；
< 210
(3)至少要花 11233 元，最多要花 16980 元.
【分析】（1）设出老师有 m 人，学生有 n 人，则学生家长有 2m 人，列出方程组，求出结果；（2）分180 x < 210
与0 < x <180两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花
11233 元，最多要花 16980 元.
【详解】（1）设参加社会实践的老师有 m 人，学生有 n 人，则学生家长有 2m 人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：
ì 81 3m + n =17010
í ，
68 3m + 51n =11220
ì m =10
解得 í ，则 2m = 20 .
n =180
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有 10 人、20 人与 180 人.
（2）由（1）知所有参与人员总共有 210 人，其中学生有 180 人，
①当180 x < 210时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共 180 张， x -180 名成年人买二等座火车票， 210 - x 名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y 与 x 之间的函数关系式为： y = 51 180 + 68 x -180 + 81 210 - x ，即
y = -13x +13950 180 x < 210 .
②当0 < x <180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共 x 张，其余的学生与家长、老师一起购
买一等座火车票共 210 - x 张.
所以火车票的总费用（单程）y 与 x 之间的函数关系式为： y = 51x + 81 210 - x ，即
y = -30x +17010 0 < x <180 .
ì-30x +17010 0 < x <180
综上： y = í
-13x +13950 180 x < 210
（3）由（2）知，当180 x < 210时， y = -13x +13950 ，
由此可见，当 x = 209时，y 的值最小，最小值为 11233 元，当 x =180 时，y 的值最大，最大值为 11610 元.
当0 < x <180时， y = -30x +17010，
由此可见，当 x =179 时，y 的值最小，最小值为 11640 元，当 x =1时，y 的值最大，最大值为 16980 元.所
以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花 11233 元，最多要花 16980 元.
13．（2024 高一上·江苏宿迁·期末）如图，已知底角为 45o 的等腰梯形 ABCD，底边BC 长为 7，腰长为 2 2 ，
当一条垂直于底边 BC （垂足为点 F ， F 不与 B ，C 重合）的直线 l从左至右移动（与梯形 ABCD有公共点）
时，直线 l把梯形分成两部分，令BF = x，试写出直线 l左边部分图形的面积 y 关于 x 的函数解析式．
ì1 x2 ,0 < x 2
2
【答案】 y = í2x - 2,2 < x 5
1- x - 7 2 +10,5 < x < 7
2
【分析】分别过点 A, D作 AG ^ BC ，DH ^ BC ，垂足分别是点G ， H ．根据已知条件求出等腰梯形的高
和上底边长，再根据点F 的位置分类讨论可求出面积 y 关于 x 的函数解析式．
【详解】分别过点 A, D作 AG ^ BC ，DH ^ BC ，垂足分别是点G ， H ．
因为四边形 ABCD是等腰梯形，底角为 45°， AB = 2 2 ，所以BG = AG = DH = HC = 2．
又BC = 7，所以 AD = GH = 3．
（1）当点F 在BG 上，即0 < x 2时， y
1
= x2；
2
（2）当点F 在GH 上，即 2 < x 5时， y = 2 + 2 x - 2 = 2x - 2 ；
（3）当点F 在HC 上，即5 < x < 7时，
y = S = S - S =10 1- 7 - x 2
五边形ABFED 梯形ABCD Rt△EFC ．2
ì1 x2 ,0 < x 2
2
故函数的解析式为 y = í2x - 2,2 < x 5 .
1- x - 7 2 +10,5 < x < 7
2
14．（2024 高一上·山东泰安·期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为 2500
万元，每生产 x 百件，需另投入成本 c x （单位：万元），当年产量不足 30 百件时，c x =10x2 +100x ；当
c x 501x 10000年产量不小于 30 百件时， = + - 4500；若每件电子产品的售价为 5 万元，通过市场分析，
x
该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润=总收入-成本）
(1)求年利润 y （万元）关于年产量 x （百件 ) 的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
ì-10x2 + 400x - 2500,0 x < 30
【答案】(1) y = í
2000
x 10000- +
÷ , x 30
è x
(2)当年产量为100百件时，获利最大.
【分析】（1）根据“利润=总收入-成本”求得 y 关于 x 的函数关系式.
（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量.
ì500x -10x2 -100x - 2500,0 x < 30
y = 【详解】（1）依题意， í 10000
500x - 501x - + 4500 - 2500, x 30 x
ì-10x2 + 400x - 2500,0 x < 30
í .
2000 - x
10000
+ ÷ , x 30
è x
400
（2）当0 x < 30时，当 x = - = 202 -10 时，
y 取得最大值为-10 202 + 400 20 - 2500 =1500万元.
x 30 2000 x 10000 10000当 时， - +
÷ 2000 - 2 x × =1800万元，
è x x
10000
当且仅当 x = , x =100百件时等号成立.
x
综上所述，当年产量为100百件时，获利最大.
15．（2024 高一上·山东）吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥
物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200 万元．每生产 x 万
盒，需投入成本 h x 万元，当产量小于或等于 50 万盒时 h x =180x +100；当产量大于 50 万盒时
h x = x2 + 60x + 3500，若每盒玩具手办售价 200 元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售
完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
ì20x - 300,0 x 50
【答案】(1) y = í 2 , x N
-x +140x - 3700, x > 50
(2)70 万盒
【分析】（1）根据题意分0 x 50和 x > 50 两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于 50 万盒时， y = 200x - 200 -180x -100 = 20x - 300，
当产量大于 50 万盒时， y = 200x - 200 - x2 - 60x - 3500 = -x2 +140x - 3700，
故销售利润 y （万元）关于产量 x （万盒）的函数关系式为
ì20x - 300,0 x 50y = í , x N
-x
2 +140x - 3700, x > 50
（2）当0 x 50时， y 20 50 - 300 = 700；
当 x > 50 时， y = -x2 +140x - 3700，
x 140当 = = 70时， y = -x2 +140x - 3700取到最大值，为 1200．
2
因为700 <1200，所以当产量为 70 万盒时，该企业所获利润最大．
16．（2024 高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进A ，B 两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A
类有机蔬菜的纯利润为 3 元/千克，B 类有机蔬菜的纯利润为 5 元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次
日将以 5 折售出，此时售出的 A 类蔬菜的亏损为 1 元/千克，B 类蔬菜的亏损为 3 元/千克．已知当天未售完
的有机蔬菜，次日 5 折促销都能售完．假设该超市 A，B 两类有机蔬菜当天共进货 100 千克，其中 A 类有机
蔬菜进货 x x N,30 x 70 千克．假设 A， B 类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为 50 千克．
(1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利 f x （单位：元）的表达式；
(2)若 f x 322，求 x 的取值范围．
ì6x +100, x N,30 x 50,
【答案】(1) f x = í
700 - 6x, x N,50 < x 70.
(2) x N 37 x 63
【分析】（1）分30 x 50、50 < x 70写出分段函数即可；
（2）解分段函数不等式，即可求出.
【详解】（1）当 x N，30 x 50时， f x = 3x + 50 5 - 3 100 - x - 50 = 6x +100；
当 x N，50 < x 70时， f x = 50 3 + 5 100 - x -1 x - 50 = 700 - 6x．
ì6x +100, x N,30 x 50,故 f x = í
700 - 6x, x N,50 < x 70.
（2）当 x N，30 x 50时，由6x +100 322，解得 x 37；
当 x N，50 < x 70时，由700 - 6x 322 ，解得 x 63．
故 x 的取值范围是 x N 37 x 63 ．
17．（2024 高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均
1
水平的 4 ．因此我国在制定用水政策时明确提出
“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用
水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生
活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过 20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月
用水超过 20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米 4元；第三档，若每户每月用水超过30
立方米，则超过部分水价为每立方米7 元，同时征收其全月水费 20%的用水调节税．设某户某月用水 x 立方
米，水费为 y 元．
(1)试求 y 关于 x 的函数；
(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水 a立方米，乙用户用水b 立方米，若 a,b之间符合函数关系：b = -a2 + 47a - 530．则当两
户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
ì3x,0 < x 20
【答案】(1) y = í4x - 20,20 < x 30
8.4x -132, x > 30
(2) 25立方米
(3)144元
【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题
意整理可得 a + b = - a - 24 2 + 46 ，结合二次函数的性质运算求解.
【详解】（1）因为某户该月用水 x 立方米，
按收费标准可知，当0 < x 20时， y = 3x ；
当 20 < x 30时， y = 20 3+ 4 x - 20 = 4x - 20；
当 x > 30 时， y = [20 3 + 4 (30 - 20) + 7(x - 30)] 1.2 = 8.4x - 132．
ì3x,0 < x 20
所以 y = í4x - 20,20 < x 30
8.4x -132, x > 30
（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，
所以 4x - 20 = 80， 解得 x = 25．
所以该月的用水量为 25立方米．
（3）因为 b = -a2 + 47a - 530，
所以 a + b = -a2 + 48a - 530 = - a - 24 2 + 46 46．
当 a = 24时， a + b = 46max ，此时b = 22．
所以此时两户一共需要支付的水费是 y = 4 24 - 20 + 4 22 - 20 = 144元．
18．（2024 高一·全国·课后作业）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，
某条快递线路运行时，发车时间间隔 t（单位：分钟）满足：4 t 15，t N ，平均每趟快递车辆的载件个
ì1800 -15(9 - t)2 , 4 t < 9
数 p(t) （单位：个）与发车时间间隔 t 近似地满足 p(t) = í ，其中 t N ．
1800,9 t 15
(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过 1500 个，试求发车时间间隔 t 的值；
6 p(t) - 7920
(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益 q(t) = -80（单位：元），问当发车时间间隔 t 为多少时，
t
平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
【答案】(1)4
(2)7 分钟时，280（元）
【分析】（1）根据分段函数的表达式进行判断，然后求解不等式即可得到发车时间间隔 t 的值；
（2）求出 q(t)的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可.
【详解】（1）当9 t 15时，1800 >1500，不满足题意，舍去，
当 4 t < 9时，1800 -15(9 - t)2 1500，即 t 2 -18t + 61 0．
解得 t 9 + 2 5 （舍）或 t 9 - 2 5 ．
Q4 t < 9且 t N，\t = 4．
所以发车时间间隔为 4 分钟．
ì 90t 4410 -
+ ÷ +1540,4 t < 9, t N t
2 è （ ）由题意可得 q(t) = í
2880
-80,9 t 15, t N t
当 4 t < 9, t = 7 时， q -2 90 4410 +1540 = 280（元）
当9 t 15, t = 9 q
2880
时， -80 = 240（元）
9
所以发车时间间隔为 7 分钟时，净收益最大为 280（元）．
19．（2024 高一上·江苏苏州·阶段练习）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企
业 A 公司扩大生产提供 x(x [0,10]) (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.A 公
12
司在收到政府 x (万元)补贴后，防护服产量将增加到 t = k × 6 - x 4 ÷
(万件)，其中 k 为工厂工人的复工率
è +
( k [0.5,1] ).A 公司生产 t万件防护服还需投入成本 (20 + 9x + 50t) (万元).
（1）将 A 公司生产防护服的利润 y (万元)表示为补贴 x (万元)的函数；(政府补贴 x 万元计入公司收入)
（2）在复工率为 k 时，政府补贴多少万元才能使 A 公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的 x [0,10] (万元)，当复工率 k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？
（精确到 0.01）.
360k
【答案】（1） y = 180k - - 8x - 20， x 0.5,1 ；（2）
x 4 3 5k - 4
；（3）0.65.
+
【解析】（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；
（2）由 y = 180k
360k
- - 8x - 20 = 180k +12 - 8 é x + 4 45k+ ù 45k
x 4 ê x 4ú ，进而结合基本不等式求出
x + 4 + 的
+ + x + 4
最小值，此时 y 取得最大值，从而可求出答案；
（3）对任意的 x 0,10 360k（万元），A 公司都不产生亏损，可知180k - - 8x - 20 0在 x 0,10 上恒成
x + 4
20 + 8x180k x + 4 20 + 8x x + 4 立，利用参变分离，可得 ，求出 的最大值，即可得出 k 的值.
x + 2 x + 4
【详解】（1）由题意， y = x + 80t - 20 + 9x + 50t = 30t -8x - 20
30k 6 12 360k= × - ÷ -8x - 20 =180k - -8x - 20
è x + 4 x + 4
360k
即 y =180k - -8x - 20, x 0,10 , k 0.5,1 ；
x + 4
360k é 45k ù
（2） y = 180k - - 8x - 20 = 180k +12 - 8 x + 4 +x + 4 ê x + 4ú
因为 x 0,10 ，所以4 x + 4 14 x 4 45k 45k，所以 + + 2 x + 4 45k = 6 5k 当且仅当 x + 4 = ，即
x + 4 x + 4 x + 4
x = 3 5k - 4 时，等号成立，
é
所以 y = 180k +12 - 8 ê x + 4
45k
+ ù 180k +12 - 48 5k
x + 4ú
故政府补贴为3 5k - 4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为180k +12 - 48 5k 万元.
360k
（3）对任意的 x 0,10 （万元），A 公司都不产生亏损，则180k - - 8x - 20 0在 x 0,10 上恒成立
x + 4
20 + 8x x + 4
不等式整理得，180k
x + 2
m 2,12 20 + 8x x + 4 8m + 4 m + 2令m = x + 2 ，则 ，则 = = 8m 8+ + 20
x + 2 m m
y m 1令 = + ,m 2,12
m
任取m1,m2 2,12 ，且m1 < m2
y y m m 1 1 m1 - m2 m1m2 -1 则 1 - 2 = 1 - 2 + - =m1 m2 m1m2
Q2 m1 < m2 12,\m1 - m2 < 0,m1m2 -1 > 0 ，\ y1 < y2
即函数h m = 8m 8+ + 20在 2,12 上单调递增
m
可得 h m = h 12 = 8 12 8+ + 20 =116 2+max 12 3
2
所以180k 116
2
+ 116 +，即
3 k 3 0.65180
所以当复工率 k 达到 0.65 时，对任意的 x 0,10 （万元），A 公司都不产生亏损.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20．（2024 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设
高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提
高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 v（单位：千米/小时）和车流
ì 60,0 < x 30
密度 x
（单位：辆/千米）所满足的关系式： v = í k k R .研究表明：当隧道内的车
80 - ,30 < x 120 150 - x
流密度达到 120 辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是 0 千米/小时.
(1)若车流速度 v不小于 40 千米/小时，求车流密度 x 的取值范围；
(2)隧道内的车流量 y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 y = x ×v，求隧道内车流量的最
大值（精确到 1 辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到 1 辆/千米）.（参考数据：
5 2.236）
【答案】(1)车流密度 x 的取值范围是 0,90
(2)隧道内车流量的最大值约为 3667 辆/小时，此时车流密度约为 83 辆/千米.
【分析】（1）根据题意得 k = 2400 ，再根据分段函数解不等式即可得答案；
ì60x,0 < x 30
（2）由题意得 y =
í80x 2400x
，再根据基本不等式求解最值即可得答案.
- ,30 < x 120 150 - x
【详解】（1）解：由题意知当 x =120 （辆/千米）时， v = 0（千米/小时），
代入 v = 80
k
- ，解得 k = 2400 ，
150 - x
ì60,0 < x 30
所以 v = í80 2400
.
- ,30 < x 120 150 - x
当0 < x 30时， v = 60 40，符合题意；
2400
当30 < x 120时，令80 - 40，解得 x 90，所以30 < x 90 .
150 - x
所以，若车流速度 v不小于 40 千米/小时，则车流密度 x 的取值范围是 0,90 .
ì60x,0 < x 30
（2）解：由题意得 y = í ，
80x
2400x
- ,30 < x 120
150 - x
当0 < x 30时， y = 60x 为增函数，所以 y 1800，当 x = 30时等号成立；
- 150 - x 2 +180 150 - x - 4500
当30 < x 120 y 80x 2400x时， = - = 80 = 80 éê180 -
150 x
4500 ù
- +
150 - x 150 - x è 150 - x
÷
ú
4800(3- 5) 3667 .
150 x 4500当且仅当 - = ，即 x = 30(5 - 5) 83时等号成立.
150 - x
所以，隧道内车流量的最大值约为 3667 辆/小时，此时车流密度约为 83 辆/千米.
21．（2024 高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资
源节约型社会．日常生活中我们使用的 LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，
功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种 LED灯需投入的年固定成本
为 3 万元，每生产 x 万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足 6 万件时，W x 1= x2 + x ，
2
在年产量不小于 6 万件时，W x = 7x 81+ - 37．每件产品售价为 6 元．假设该产品每年的销量等于当年的
x
产量．
(1)写出年利润 L(x) （万元）关于年产量 x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-
变动成本）
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
ì 1- x2 + 5x - 3,0 < x < 6
【答案】(1) L x = 2í
-x 81- + 34, x 6
x
(2)年产量为 9 万件时，年利润最大，最大年利润是 16 万元．
【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入-固定成本-变动成本即可求解；
（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．
【详解】（1）由题可知， L x = 6x - 3 -W x ，
ì6x 3 1- - x2 + x ÷ ,0 < x < 6
ì 1
2 - x
2 + 5x - 3,0 < x < 6
L x = è 所以 í = 2í ；
6x - 3 - 7x 81+ - 37 , x 6
81
÷ -x - + 34, x 6
è x x
1 1 19
（2）当0 < x < 6时， L x = - x2 + 5x - 3 = - x - 5 2 + ，
2 2 2
由二次函数的性质知，对称轴为 x = 5，开口向下，
所以当 x = 5时， L x 1取得最大值为- 5 - 5 2 19 19+ = ；
2 2 2
81 81 81
当 x 6 时， L x = -x - + 34 -2 x × + 34 =16，当且仅当 x = ，即 x = 9 时，等号成立，
x x x
19
因为16 > ，
2
所以年产量为 9 万件时，年利润最大，最大年利润是 16 万元．
22．（2024·湖北）围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），
其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费
用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的
总费用为 y.
（Ⅰ）将 y 表示为 x 的函数；
（Ⅱ）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
3602
【答案】（Ⅰ）y=225x+ - 360(x > 0)
x
（Ⅱ）当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元．
360
【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易得 a = ，
x
此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成
x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围
墙的总费用最小值，及相应的 x 值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m
则 45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知 xa=360,得 a= ,
所以 y=225x+
（2）
．当且仅当 225x= 时，等号成立．
即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元．
考点：函数模型的选择与应用
23．（2024 高二下·山西运城·阶段练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩
景区 瑶溪景区 天桂寺景区 茶山景区和三烊湿地.某开发商计划 2023 年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，
全年需投入固定成本 400 万元，若该项目在 2023 年有 x 万名游客，则需另投入成本R x 万元，且
ì
50,0 < x 5,
R x = x2í + 40x + 200,5 < x 20,该游玩项目的每张门票售价为 80 元.
81x 1600+ -850, x > 20,
x
(1)求 2023 年该项目的利润W x （万元）关于游客数量 x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)当 2023 年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)游客为 40 万人时利润最大，最大为 370 万．
【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W(x)（万元）关于人数 x
（万人）的函数关系式．
（2）根据（1）中求出的利润W(x)的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段
上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．
ì
80x - 400 - 50,0 < x 5,
【详解】（1）解：由题意可得，W (x) = í80x - 400 - (x2 + 40x + 200),5 < x 20
80x - 400 - (81x 1600+ -850), x > 20
x
ì
80x - 450,0 < x 5,
即W (x) = -x2í + 40x - 200,5 < x 20,
x 1600- - + 450, x > 20 ×
x
（2）解：当0 < x 5时，W (x) W (5) = -50 ；
当5 < x 20时，W (x) W (20) = 200；
1600
当 x 1600> 20时，由基本不等式知 x + 80x ，当且仅当 x = 即 x = 40时等号成立，x
故W (x)max = -80 + 450 = 370，
综上，游客为 40 万人时利润最大，最大为 370 万．
24．（2024 高一上·重庆璧山·阶段练习）某厂家拟对 A 产品做促销活动，对 A 产品的销售数据分析发现，A
k
产品的月销售量 t（单位：万件）与月促销费用 x（单位：万元）满足关系式 t =10 - （k 为常数，
x +1
x 0 ），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是 1 万件．已知生产该产品每月固定投入为 7 万元，每生产
9
一万件该产品需要再投入 4 万元，厂家将每件产品的销售价定为 5 + ÷元，设该产品的月利润为 y 万元，
è t
（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将 y 表示为 x 的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
9
【答案】(1) y =12 - x - ， x 0
x +1
(2)月促销费用为 2 万元时，A 产品的月利润最大，最大利润为 7 万元．
【分析】（1）根据已知条件，解出 k，进而由题意得到函数关系式；
（2）根据函数形式知，要求函数的最大值，可以用基本不等式来求解.
k
【详解】（1）由题知，当 x = 0时， t =1，代入 t =10 - 得 k = 9．
x +1
y 9= 5 + t ÷
t - 7 - 4t - x = t - x + 2．
è
t 10 9 9将 = - 代入得 y =12 - x - ．
x +1 x +1
y 12 x 9所以，所求函数为 = - - x 0 ．
x +1
（2）由（1）知 y =12 - x
9
- ， x 0 ．
x +1
因为 x 0 ，所以 x +1 1，
x 1 9因为 + + 2 x +1 9 = 6，
x +1 x +1
ìx 9 +1 =
当且仅当 í x +1，即 x = 2时取等号．
x 0
y 13 9= - 所以 x +1+ ÷ 13 - 6 = 7．
è x +1
故月促销费用为 2 万元时，A 产品的月利润最大，最大利润为 7 万元．
25．（四川省成都市蓉城名校联盟 2023-2024 学年高二上学期期中联考理科数学试题）长江存储是我国唯一
一家能够独立生产 3D NAND 闪存的公司，其先进的晶栈 Xtacking 技术使得 3D NAND 闪存具有极佳的性能
和极长的寿命．为了应对第四季度 3D NAND 闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行
调整，已知封装闪存的固定成本为 300 万元，每封装 x 万片，还需要C x 万元的变动成本，通过调研得知，
25600
当 x 不超过 120 万片时，C(x) = 0.1x2 +130x ；当 x 超过 120 万片时，C(x) =151x + -1350 ，封装好后
x
的闪存颗粒售价为 150 元/片，且能全部售完．
(1)求公司获得的利润 L x 的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
ì-0.1x2 + 20x - 300,0 x 120
【答案】(1) L x = í
1050 x 25600 - - , x >120 x
(2)封装 160 万片时，公司可获得最大利润
【分析】（1）根据利润=销售额-成本即可的利润 L x 的函数解析式；
（2）根据（1）利润 L x 的函数解析式，分段求解函数最值，最终比较得 L x 最大值即可.
【详解】（1）解：当0 x 120时， L(x) =150x - 0.1x2 +130x - 300 = -0.1x2 + 20x - 300，
L(x) 150x 151x 25600 25600当 x >120 时， = - + -1350
x ÷
- 300 =1050 - x - ，
è x
ì-0.1x2 + 20x - 300,0 x 120
综上可知 L x = í
1050 x 25600
；
- - , x >120 x
（2）解：当0 x 120时， L(x) = -0.1x2 + 20x - 300 = -0.1 (x -100)2 + 700，
∴当 x =100 时，利润 L x 取最大值 700 万元；
x 120 L(x) 1050 x 25600当 > 0 时， = - +
÷ 1050 - 2 x
25600
× = 730，
è x x
25600
∴当且仅当“ x = ”，即“ x =160 ”时，利润 L x 取最大值 730 万元，
x
综上所述，封装 160 万片时，公司可获得最大利润 730 万元．
26．（2024 高一上·上海浦东新·期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空
地建造一间室内面积为900m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩
形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻
的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总
面积为 S（单位：m2）．
(1)求 S 关于 x 的函数关系式；
(2)求 S 的最大值，并求出此时 x 的值．
7200
【答案】(1) S = -2x - + 916， x 8,450
x
(2)当矩形温室的室内长为 60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2．
S (x 8) 900 【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积: = - - 2÷ , 根据 边长为正
è x
得其定义域为 (8, 450) ；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题设，得 S = x -8 900 - 2 2x 7200 ÷ = - - + 916， x 8,450 ．
è x x
2 8 < x < 450 2x 7200（ ）因为 ，所以 + 2 2x 7200 = 240，
x x
当且仅当 x = 60时等号成立，从而 S 676 ．
故当矩形温室的室内长为 60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2．
27．（2024 高一上·福建厦门·开学考试）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017 年 月 日，天气：阴；
能见度：1.8 千米；11: 40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12 :10时，潮头到达乙地，形成“一
线潮”，开始均匀加速，继续向西；12 : 35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离 x （千米）与时间 t（分钟）的函数关系用图 3
表示.其中：“11: 40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地 12 千米”记为点 A(0,12)，点 B 坐标为 (m,0)，曲线BC 可用
1 2
二次函数： s = t + bt + c(b， c是常数）刻画.
125
(1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)11: 59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 千米 / 分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与
潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最
高速度为 0.48 千米 / 分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8 千米共需多长时间？（潮水加速
2
阶段速度 v = v0 + (t - 30) ， v0 是加速前的速度）125
【答案】(1) m = 30， 0.4 千米 / 分钟；
(2)小红 5 分钟后与潮头相遇；
(3)小红与潮头相遇到潮头离她 1.8 千米外共需 26 分钟.
【分析】（1）根据给定时间及坐标系求出 m，再计算速度作答.
（2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答.
（3）根据给定数据求出 s 与 t 的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离 s1与 t 的关系，由相距 1.8 千
米列出方程，求解作答.
【详解】（1）11: 40到12 :10的时间是 30 分钟，则 B(30,0)，即m = 30，
12
潮头从甲地到乙地的速度 = 0.4（千米 / 分钟）.
30
（2）因潮头的速度为 0.4 千米 / 分钟，则到11: 59时，潮头已前进19 0.4 = 7.6（千米），
此时潮头离乙地12 - 7.6 = 4.4（千米），设小红出发 x 分钟与潮头相遇，
于是得0.4x + 0.48x = 4.4 ，解得 x = 5，
所以小红 5 分钟后与潮头相遇.
ì 1
30
2 + 30b + c = 0
3 (30,0) C(55,15) s
1
= t 2 + bt c + 125 2 24（ ）把 ， 代入 ，得 í ，解得b = - ， c = - ，125 1 552 + 55b + c =15 25 5
125
s 1 t 2 2 t 24 2 2因此 = - - ，又 v0 = 0.4，则 v = (t - 30) + ，125 25 5 125 5
2 2
当潮头的速度达到单车最高速度 0.48 千米 / 分，即 v = 0.48时， (t - 30) + = 0.48，解得 t = 35，
125 5
1 2 24 11
则当 t = 35时， s = t 2 - t - = ，
125 25 5 5
即从 t = 35分钟 (12 :15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以 0.48 千米 / 分的
速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为 s1，则 s1与时间 t的函数关系式为 s1 = 0.48t + h(t 35)，
s s 11 73t 35 h s 12 t 73当 = 时， 1 = = ，解得： = - ，因此有 1 = - ，5 5 25 5
最后潮头与小红相距 1.8 千米，即 s - s1 =1.8
1 2 2
时，有 t - t
24 12 73
- - t + =1.8，
125 25 5 25 5
解得 t1 = 50， t2 = 20（舍去），
于是有 t = 50
0.48 5
，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时 = 6（分钟），
0.4
因此共需要时间为6 + 50 - 30 = 26（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她 1.8 千米外共需 26 分钟.
28．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷
洒 1 个单位的消毒剂，空气中释放的浓度 y （单位：毫米/立方米）随着时间 x （单位：小时）变化的关系
16 1
如下：当0 x 4时， y = -1；当 4 < x 10时， y = 5 - x．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂
8 - x 2
浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4（毫克
/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 a 1 a 4 个单位的消毒剂，要使接下来的 4 小时中能
够持续有效消毒，试求 a的最小值（精确到 0.1，参考数据： 2 取 1.4）
【答案】(1)8 小时
(2)1.6
【分析】（1）由 4y 4 可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经 x 6 x 10 小时后，其浓度关于 x 的函数解析式，再根据基本不
等式求出其最小值，再由最小值不低于 4，解不等式可得结果.
【详解】（1）因为一次喷洒 4 个单位的消毒剂，
ì 64 - 4,0 x 4,
所以其浓度为 f (x) = 4y =
í8 - x
20 - 2x, 4 < x 10,
64
当0 x 4时， - 4 4，解得 x 0 ，此时0 x 4，
8 - x
当 4 < x 10时， 20 - 2x 4，解得 x 8，此时 4 < x 8，
所以若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达 8 小时．
（2）设从第一次喷洒起，经 x 6 x 10 小时后，
其浓度 g x = 2 5
1
- x ÷ + a
é 16 1ù 16a 16a-
è 2 ê8 - (x - 6) ú
=10 - x + - a =14 - x + - a - 4，
14 - x 14 - x
因为14 - x 4,8 ， a 1,4 ，
14 x 16a a 16a所以 - + - - 4 2 14 - x × - a - 4 = 8 a - a - 4，
14 - x 14 - x
16a
当且仅当14 - x = ，即
14 x =14 - 4 a
[6,10]时，等号成立；
- x
所以其最小值为8 a - a - 4 ，由8 a - a - 4 4，解得 24 -16 2 a 4，
所以 a 的最小值为 24 -16 2 1.6 ．
29．（2024 高一上·湖北十堰·开学考试）甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理
的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费
每增加 50 元，那么将少租出 1 辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 1850
元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，
两公司的月利润相等；
(2)甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元 a > 0 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍
高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最
大，求 a 的取值范围．
【答案】(1)48000 元；37 辆
(2) 50 < a < 150
【分析】（1）确定每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的每辆车的月租费，即可求得甲公司的月利润；
列出每个公司的月利润，可得方程，求得答案；
（2）由题意列出甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差的表达式，结合二次函数的性质列出不等式，可
得答案.
【详解】（1）由题意可得 é 50 -10 50 + 3000 ù 10 - 200 10 =48000 元，
当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是 48000 元；
设每个公司租出的汽车为 x 辆，设两公司的月利润分别为 y甲, y乙，月利润差为 y，
则 y甲 = é 50 - x 50 + 3000 ù x - 200x， y乙 = 3500x -1850 ，
由题意可得： y甲 = y乙 ,\-50x
2 + 5300x = 3500x -1850，
解得： x = 37或x = -1(舍)，
∴当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则此时利润差为 y = -50x2 +1800x +1850 - ax = -50x2 + 1800 - a x +1850 ，
1800 - a
函数图象对称轴为直线 x = 100 ，
∵x 只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为 17 辆时，月利润之差最大，
16.5 1800 - a∴ < < 17.5100 ，
解得：50 < a < 150，经检验此时满足捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
故 a 的取值范围为50 < a < 150 .
30．（四川省绵阳市绵阳南山中学 2023-2024 学年高一上学期期末数学试题）据悉某市一号线一辆列车满载
时约为 550 人，人均票价为 4 元，十分适合中小城市的运营.日前该市运营公司通过一段时间的营业发现，
每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔 t（分钟）相关：当间隔时间达到或超过 12 分钟后，列车
均为满载状态；当8 t 12时，单程营业额Y 与4t
60
- +12成正比；当5 t < 8 时，单程营业额会在 t = 8时
t
2
的基础上减少，减少的数量为 40 8 - t .
(1)求当5 t 12时，单程营业额Y 关于发车间隔时间 t的函数表达式；
120
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均 t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔
时间 t 8,12 ，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额 P 最大？求出该最大值.
ì160 t 15- + 3 ÷ ,8 t 12
【答案】(1)Y = í è t
-40t
2 + 640t -1100,5 t < 8
(2) t =10时，Pmax = 22080
【分析】（1）由题意设当8 t 12时的函数表达式，由 t =12时满载求得比例系数，进而求得当5 t 8时
表达式，写为分段函数形式，即得答案；
P 40 4t 60 12 120（2）由题意可得 = - + ÷ × ， t 8,12 ，采用换元并结合二次函数性质,
è t t
8 t 12 Y = a 4t
60
【详解】（1）当 时，设 - +12
÷，a 为比例系数，
è t
由 t =12时满载可知Y = 550 4 = 2200，
即 a
4
60
12 - +12 ÷ = 2200，则 a = 40，
è 12
Y 40 4 60当 a = 8时， = 8 - +12
÷ =1460，
è 8
故当5 t 8时，Y =1460 - 40 8 - t 2 = -40t 2 + 640t -1100 ,
ì160 t 15 - + 3
÷ ,8 t 12
故Y = í è t .
-40t 2 + 640t -1100,5 t < 8
（2）由题意可得P = 40
4t 60 120 - +12
÷ × ， t 8,12 ，
è t t
1 1
化简得P =19200 -15 × 2 + 3 × +1t t ÷
， t 8,12 ，
è
1
令 = u,u
é1 , 1 ù P =19200 -15u2，则 + 3u +1 ，t ê8 12ú
u 3 1当 = - = ，即 t =10时，10 8,12 符合题意，此时P2( -15) 10 max = 22080 .
31．（2024 高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5 元；
优惠方案 2：在优惠 1 之后，再每满 400 元立减 40 元．
é130ù
例如，一次购买商品的价格为 130 元，则实际支付额130 - 5 ê ú =130 - 5 2 =120元，其中 x 表示不大 60
é860ù
于 x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860 - 5 ê - 40 1 = 750元． 60 ú
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是 250 元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？
请说明理
