4.3 对数 7 题型分类
一、对数的概念
(1)对数的概念：一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记
作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
(2)两种特殊的对数
①常用对数：通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记为 lgN；
②自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记为 lnN(其中 e＝2.71828…)．
二、对数与指数的关系
(1)对数的基本性质
①负数和 0 没有对数，即真数 N>0；
②1 的对数为 0，即 loga1＝0(a>0，且 a≠1)；
③底数的对数等于 1，即 logaa＝1(a>0，且 a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)；
②logaaN＝N(a>0，且 a≠1)．
在对数的概念中规定 a>0 且 a≠1 的原因
(1)若 a<0，则当 N 为某些值时，x 的值不存在，如：x＝log(－2)8 不存在．
(2)若 a＝0，
①当 N≠0 时，x 的值不存在．如：log03(可理解为 0 的多少次幂是 3)不存在；
②当 N＝0 时，x 可以是任意正实数，是不唯一的，即 log00 有无数个值．
(3)若 a＝1，
①当 N≠1 时，x 的值不存在．如：log13 不存在；
②当 N＝1 时，x 可以为任意实数，是不唯一的，即 log11 有无数个值．
因此规定 a>0，且 a≠1.
三、对数运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
(2)loga ＝logaM－logaN；
N
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
四、换底公式
logcb
(1)对数的换底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1).
logca
(2)三个较为常用的推论
①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为 1)；
1
②logab＝ (a>0，b>0，且均不为 1)；
logba
n
③logambn＝ logab(a>0，b>0，且均不为 1，m≠0)．
m
(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．
(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用
幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．
(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，
使用时要注意公式的适用条件．
(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一
M logaM
定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，log (M±N)＝log M±log N，log ＝ ，log Mn＝(log M)na a a a a a .
N logaN
(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5
＋lg 2＝lg 10＝1.
（一）
对数的概念
对数有意义的两个条件：
①底数大于零且不等于 1；
②对数的真数必须大于零．
题型 1：对数的概念
1-1．（2024 高一上·上海徐汇·期中）若 log x+1 x +1 =1，则 x 的取值范围是 .
1-2．（2024 高一上·全国·课后作业）在b = loga-2 5 - a 中，实数 a 的取值范围是
A． - , 2 U 5,+ B． 2,5 C． 2,3 U 3,5 D． 3,4
1-3．（2024 2高一上·上海浦东新·期中）若代数式 log3 -x + 3x + 4 有意义，则实数 x 的取值范围是 .
1-4．（2024 2高一上·上海虹口·期中）使得表达式 log2 1- 2x 有意义的 x 范围是 ．
（二）
指数式与对数式的互化
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
题型 2：指数式与对数式互化
2-1．（2024 高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
1
- ÷ 1 1A．e0 = 1与 ln1 = 0 B．8 è 3 1= 与 log8 = -
2 2 3
C． log3 9 = 2
1
与92 = 3 D． log 7 =1与7
1
7 = 7
2-2．（2024 高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化．
(1)log216 = 4；
(2) log 3 x = 6；
(3) 43 = 64；
(4) 3-3
1
= .
27
(5) log264=6；
(6) log
1
3 = -4；81
1 -3
(7) 2 ÷
= 8；
è
1
(8) 6-2 = ．
36
(9)102 = 100；
(10) ln a = b；
(11) 73 = 343；
(12) log
1
6 = -2 ．36
2-3．（2024 高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．
1
-
(1) 5 2
1
=
5
(2) log 2 4 = 4
(3) lg 0.001 = -3 .
3-2 1(4) = ；
9
(5) 1
-2
4 ÷
=16；
è
(6) log1 27 = -3；
3
(7) log x 64 = -6 .
（三）
利用指数式与对数式的关系求值
指数式与对数式的关系求值的基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
③指数式与对数式的关系求值基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
题型 3：利用指数式与对数式的关系求值
1
3-1．（2024 高一上·上海浦东新·期末）已知 log2 a = ，则 a3 = .3
3-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 loga 3 = m， loga 4 = n，计算 a2m-n =
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知 loga 3 = m，则 a2m 的值为 ．
3-4．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式中 x 的值．
(1) log2 log5 x = 0；
(2) log3 lg x =1；
(3) log3 log4 log5 x = 0 .
3-5．（2024 高一上· a辽宁葫芦岛·期末）已知 2 =15, log 3 = b，则 2a-3b8 =（ ）
5
A． 25
25
B．5 C． D．
9 3
（四）
对数的性质及对数恒等式
1、利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求 loga(logbc)的值，先求 logbc 的值，再求
loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2、性质 alogaN＝N 与 log aba ＝b 的作用
(1)alogaN＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式．
(2)log aba ＝b 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数．
题型 4：对数的性质及对数恒等式
4-1．（2024 高三·全国·专题练习） logm 3+ log
2
m 3 = 2，则m = .
x
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）若 ln x - ln y = 3，则 2lne y = ．
4-3．（2024 高二下·河北张家口·期末）已知 a > 0，b > 0，则“ a = b =1”是“ lg a + lgb = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4-4．（24-25 高一上·全国·课后作业）若 log10 a ， log10 b是方程2x2 - 4x +1 = 0的两个实根，则 ab 的值等于
（ ）
1
A．2 B． C．100 D． 10
2
x
4-5．（24-25 高一上·全国·课后作业）若 log5 x + log5 y = 2log5 x - 2y ，则 =y ．
log 12
4-6．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知 log10 2 = m， log10 3 = n
10
，试用 m，n 表示 log1015
．
（五）
对数运算性质的应用
1、对数运算基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实
际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
2、对数的运算两种常用的方法
①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
题型 5：对数的运算
5-1．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式的值．
(1) log（472 2
5）；
(2) lg 5 100 ；
7
(3) lg14 - 2lg + lg 7 - lg18；
3
2
(4) lg52 + lg 8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2 .
3
5-2．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值：
1 32 4
(1) lg - lg 8 + lg 245 ；
2 49 3
2 1 2(2) lg 2 + lg 2 × lg5 + lg 2 - lg 2 +1 .2
2
(3) lg5 × lg 400 + lg 2 2 ；
1
2
(4) log 32
1
3 ÷ + log0.25 + 9log5 5 - log 3 1
è 4
3log3 2(5) + lg5 - log1 2 lg2 log23．
3
5-3．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值．
(1) 2log2 3 - log
63
2 + log2 7 - 7 log
2
27 2 ；8
(2) log3 3 + lg 25 + lg 4 - log2 log216 ．
2
(3) lg52 + lg8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2 ；
3
lg 2 + lg3- lg 10
(4) ．
lg1.8
1
-
(5) 0.25-2 ( 8+ ) 3 1- lg16 - 2lg5 1+ ( )0 .
27 2 2
1
1 -
(6) log2 2 4 16
2
+ ÷ + lg 20 - lg 2 - log 2 log 3 + ( 2 -1)lg1 .
è 9 3 2
lg8 + lg125 - lg2 - lg5
(7) lg 10 lg0.1 ；
(8) log 2 2 3 1 6 2 + log63 + 3log6 2 log6 18 - log 23 6 ֏
(9) log8 27 log9 6 log16 6 + e
2ln3
；
(10) log4 8 - log1 3 - log 2 4
9
log 2 23
(11) 1 8 3 1 lg1 ÷ + ÷ + lg + 3 -1 ，
è 3 è 27 1000
2 2
(12) lg52 + lg8 + lg5lg 20 + lg 2 ，
3
5-4．（2024 高三·全国·专题练习）计算：
(1) lg 2 2 + lg 2 × lg50 + lg 25 ;
4log 3 log 8 lg 5
-3
(2) 2 + 1 - + lg 25 - lg
1
÷ - ln e
3
2 16 è 2
（六）
换底公式的应用
1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2、利用换底公式求值的思想与注意点
题型 6：换底公式的应用
6-1．（24-25 高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值：
1
(1) log5 35 + 2log 1 2 - log5 - log5 14
2 50
；
(2) log2 125 + log4 25 + log8 5 × log5 2 + log25 4 + log125 8 ．
1 1
6-2．（2024·山东济宁·三模）若 2m = 3n = k 且 + = 2，则 k = （ ）
m n
A． 5 B． 6 C．5 D．6
1 1 1
6-3．（2024 高三·全国·专题练习）设3x = 4y = 6z ，求证： + =x 2y z .
n 1 1= +
6-4．（2024 高一·全国·课后作业）设 log 1 log 1 ，那么 n 的值所在区间为（ ）1
2 3
1
5 3
A． (-2,-1) B． (-3, -2) C． (1, 2) D． (2,3)
1 1
6-5．（2024 高一上·浙江丽水·期末）若3a = 6，b = log2 6 ，则 + = ．a b
6-6．（2024 高一·江苏·假期作业）计算：
(1) log2 9 × log3 4 ；
log5 2 log7 9
(2) .
log 15 log
3
7 43
6-7．（2024 高一·江苏·假期作业）已知 log18 9 = a，18b = 5，求 log36 45 .（用 a,b表示）
（七）
对数运算的综合与实际应用
1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
(1)定义法：解形如 b＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为 f(x)＝ab
求解．
(2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如 logaf(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的方程，
ì f x > 0
等价转化为 f(x)＝g(x)，且 í 求解． g x > 0
(3)换元法：适用于 f(logax)＝0(a>0，且 a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中
间变量的方法(换元法)来解．
2、解决对数应用题的一般步骤
题型 7：对数运算的综合与实际应用
7-1．（2024·福建三明·三模）17 世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得 费马等人研究的基础上，对 2 p -1
（ p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在 p 257的素数中，当 p = 2 ，
3，5，7，13，17，19，31，67，127，257 时， 2 p -1是素数，其它都是合数.除了 p = 67 和 p = 257 两个数
被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在 2 p -1型素数研究中所做的开创性工作，就把
2 p -1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp = 2 p -1 .几个年来，人类仅发现 51 个梅森素数，由于这种素数珍
奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第 7 个梅森素数M19 = 219 -1，第 8 个梅森素数M 31 = 231 -1，
则 lg
1+ M 31
约等于（参考数据： lg5 0.7 ）（ ）
1+ M19
A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6
I
7-2．（2024 高三上·江苏南通·开学考试）已知声强级（单位：分贝）L =10lg I ，其中常数
I0 I0 > 0 是能够
0
引起听觉的最弱的声强， I 是实际声强.当声强级降低 1 分贝时，实际声强是原来的（ ）
1 1 1
A． 倍 B．1010 倍 C．10 10
-10 倍 D． -10 10 倍
7-3．（2024 高三上·湖南长沙·开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 21×21 大小的，
即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 2441 种不同的码，假设我们 1 万年用掉 3×1015 个二维码，
那么大约可以用（ ）（ lg 2 0.301， lg3 0.477 ）
A．10117 万年 B．10118万年 C．10119 万年 D．10200万年
7-4．（2024·江苏徐州·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放
射性 14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 14C不再产生，且原来的 14C会自动衰变．经过 5730 年，它的
1
残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 14C含量占原来的 ，推算该古物约是 m 年前的遗5
物（参考数据：（lg 2）-1 3.3219 ），则 m 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． y = log2x B． y = ln x +1 C． y = log xe D． y = log x x
log 16
2 27．（2024 高一·全国·课后作业） log 4 的值是（ ）3
2 3
A．1 B． C． D．2
3 2
3．（2024·天津河西·三模）已知2a =5， log a-3b8 3 = b，则4 = （ ）
25 5
A． B． C．25 D．5
9 9
2
4．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式 log a+1 有意义，则 a 的取值范围为（ ）4 - a
A． -1,4 B． -1,0 U 0,4
C． -4,0 U 0,1 D． -4,1
1
5．（2024 高二·湖南衡阳·学业考试）已知 log2 log4 x = 0，那么 -x 2 = （ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
6 2．（2024 高一·江苏·假期作业）方程 lg x -1 = lg 2x + 2 的根为（ ）
A．-3 B．3
C．-1或3 D．1或-3
7．（2024 高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是
A． loga x
2 = 2loga x
B． loga (x
log x
- y) = a
loga y
C． loga x - loga y = loga (x - y)
D log 5 x3
3
． 10 = log5 10
x
8．（2024·宁夏银川·三模）设 a = ln π ，b = log1 3， c = 3-2 ，则（ ）
e
A． a > b > c B．b > a > c
C． a > c > b D． c > b > a
x + y 2
9．（2024 高二下·天津·期末）已知3x = 2y = 6 ，则 的值（2 2 ）x y
1 1
A． B． C4 ．1 D．22
ì2 + log2 2 - x , x < 210．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 f x = í x 2 ，则 f 0 + f log336- = （3 , x 2 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（2024 高二下·浙江绍兴·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有
所了解.例如，地震时释放出的能量 E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M .据此，
地震震级每提高 1 级，释放出的能量是提高前的（参考数据： 10 3.16）（ ）
A．9.46 倍 B．31.60 倍 C．36.40 倍 D．47.40 倍
12．（2024 高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023 年 1 月 31 日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机
“悟空”即将面世，预计到 2025 年量子计算机可以操控的超导量子比特达到 1024 个.已知 1 个超导量子比特
共有 2 种叠加态，2 个超导量子比特共有 4 种叠加态，3 个超导量子比特共有 8 种叠加态，L，每增加 1 个
超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若 N = a 10k (1 a <10, k N) ，则称 N 为 k +1位数，已知 1024
个超导量子比特的叠加态的种数是一个m 位的数，则m =（ ）（参考数据： lg2 0.301）
A．308 B．309 C．1023 D．1024
13．（2024 高一上·甘肃天水·期末）地震的强烈程度通常用里震级M = lg A - lg A0 表示，这里 A 是距离震中
100km 处所测得地震的最大振幅， A0 是该处的标准地震振幅，则里氏 8 级地震的最大振幅是里氏 6 级地震
最大振幅的（ ）倍．
4
A．1000 B．100 C．2 D．
3
14．（2024·海南海口·模拟预测）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
C S= Wlog 2 1+ ÷．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信
è N
S
号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真
N
数里面的 1 可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为W ，信噪比为 1000 的基础上，将带宽增大到3W ，
信噪比提升到 200000，则信息传递速度C 大约增加了（ ）（参考数据： lg2 0.3）
A．187% B．230% C．530% D．430%
1 1
15．（2024·天津河西·一模）已知3a = 4b = m, + = 2 ma 2b ，则 的值为（ ）
A．36 B．6 C． 6 D． 4 6
8
16．（2024 高二·天津·学业考试）已知2x = 3， log4 = y ，则 x + 2y 的值为（3 ）
3
A． B．3 C．4 D．8
2
17．（2024·全国·模拟预测）已知正数 x ， y 满足 lg 2y - x = lg 2y - lg x，则 y 的最小值为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
18．（2024·广西·三模）17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了
对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明
在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可
以创造一个宇宙”.已知 lg2 0.3010， lg3 0.4771，设 N = 45 910 ，则 N 所在的区间为（ ）
A 1011,1012 B 1012 ,1013 C 1013 ,1014 D 1014 ,1015． ． ． ．
19．（2024·广西·模拟预测）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说
365
学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 1+1% 看作是每天的“进步”率
都是 1% 365，一年后是1.01365 37.7834；而把 1-1% 看作是每天“退步”率都是 1%，一年后是 0.99365 0.0255 ；
365
这样，一年后的“进步值”是“ 1.01退步值”的 365 1481倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，大约经过0.99
（ ）天．（参考数据： lg101 2.0043， lg99 1.9956， lg 2 0.3010）
A．9 B．15 C．25 D．35
20．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 a,b均为正实数，若 loga b log a
5 ,ab ba a+ b = = ，则 ＝（ ）2 b
1
A 2 2． 或 B．
2 2 2
1
C． 2 D．2 或 2
二、多选题
21．（2024 高一·江苏·假期作业）下列运算正确的是（ ）
A． 2log1 10 + log1 0.25 = 2
5 5
log 27 log 9B． 4 × 25 8 × log9 5 = 8
C． lg 2 + lg50 = 2
2 5
D． log 2 - 3 - log2 2 = -2+ 3 4
22．（2024 高一上·山东菏泽·期末）下列运算正确的是（ ）
A． lg5 + lg 2 =1 B． log4 3 = 2log2 3
C． eln π = π D． lg5 lg 2 = log5 2
23．（2024 高一上·全国·课后作业）下列正确的是（ ）
1 1
A． log 432 3 = 2 B．92 + ln e = 4
C．若 log3 lg x =1，则 x =1000 D．若 log 7 7ca b = c，则b = a
24．（2024 高一下·福建·期末）已知 2a = 3b = 6，则正确的有（ ）
1 1
A． a > b B． a + b > 4 C． ab > 4 D． + <1
a b
三、填空题
25．（2024 高一·全国·课后作业）计算： log 3 81 = ； lg 0.16 = .
26．（2024 高一上·全国· 2课后作业）若 log( x-2) x - 7x +13 = 0 ，则 x 的值为 ．
27．（2024 高三下·湖南邵阳·学业考试）计算： log6 2 + log6 3 = .
1
28．（2024 高一·全国·课后作业） log2 2 5 的值是 ．
29．（2024 高三·全国·专题练习）若 log14 2 = a ，14b = 5，用 a，b 表示 log35 28 =
30．（2024 高一下·上海黄浦·期末）已知3a = 2，3b = 5，若用 a、b 表示 log65，则 log65 = ．
31．（2024 高二下·天津南开·期末）计算： loga 2 + loga 0.5 - log2 25 log3 4 log5 9 = .
32．（2024 高三·全国·专题练习）化简： log 2 2 + log 2 log 3 + 2log 3 - 6log6 26 6 6 6 = ．
4 -4
33．（2024 高二下·江苏南通·阶段练习）已知 a + a-1 = 3，则 log
a - a .
7 a2 - a-2
的值为
1 1
34．（2024 高一·全国·课堂例题）已知7.2x = 3，0.8y = 3，则 - 的值为 ．
x y
2a + b
35．（2024 高三上·广东·阶段练习）已知 4a = 3b = 6，则 = .
ab
36．（2024·四川宜宾·三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音 1（do）的音阶频率为 f，则简谱中七个
9 81
音 1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是 f， f ， f ，
8 64
4 f 3 f 27 f 243， ， ， f ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音
3 2 16 128
的台阶只有两个不同的值，记为a ， b a > b ，a 称为全音， b 称为半音，则 lga 5 + lg b 2 - lg 2 = ．
1 1 1
37．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知实数 a，b 满足2a = 5b = m且 + = ，则 m＝ .a b 2
38．（2024 高一·全国·课后作业）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之
的书法作品中选取 1000 个不重复的汉字，已知将 1000 个不同汉字任意排列，大约有 4.02 102567 种方法，
设这个数为 N，则 lgN 的整数部分为 .
39．（2024 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）幂函数 y=xa，当 a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一
组美丽的曲线（如图），设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xa，y=xb 的图象
三等分，即有 BM=MN=NA，那么 ab= .
40．（2024 高二上·上海浦东新·期末）定义 x 为不超过实数 x 的最大整数，例如：[-2.3] = -3，[p ] = 3，已
29 +1
知函数 f x = log2 x ，则 f 2i -1 =
i=1
41．（2024·天津津南·模拟预测）已知 a >1，b >1，且 log2 a = logb 4，则 ab 的最小值为 ．
四、解答题
42．（2024 高一下·广西崇左·阶段练习）计算下列各式的值（或 x 的值）：
(1) log x8 = 3
(2)10lg 2x-1 = 35
(3) log2 é log3 log4x ù = 0
(4) lg 5 + 2log
1 lg2
2 3 + log2 + + ln116 2
2 -2
1 1 x + x - 7
43．（2024 高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知 -x 2 + x 2 = 3，计算 1 1 ；-1 -x + x + x 2 + x 2
2
（2） (lg5) + lg 2 lg5 + lg 20 + log2 25 log3 4 log5 9．
44．（2024 高三·全国·专题练习）计算下列各式的值：
1
-
(1) 0.25-2 8
3 1 lg16 2lg5 1
0
+ - - + 27 ÷ 2 ÷
；
è è 2
1
1 -
(2) log2 2 4 16
2 lg1
+ ÷ + lg 20 - lg 2 - log 2 × log .9 3 2
3+ 2 -1
è
45．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式中 x 的值．
(1) log3 log4 log5 x =1
(2) log3 log4 log5 x = 0
46．（2024 高一·全国·课后作业）求值：
lg 27 + lg8 - 3lg 10
(1) ；
lg1.2
(2) |1+ lg 0.001| + lg2 1 - 4lg3 + 4 + lg 6 - lg 0.02的值．
3
2 1 2
47．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a，b，c 均为正数，且3a = 4b = 6c ，求证： + = ；
a b c4.3 对数 7 题型分类
一、对数的概念
(1)对数的概念：一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记
作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
(2)两种特殊的对数
①常用对数：通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记为 lgN；
②自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记为 lnN(其中 e＝2.71828…)．
二、对数与指数的关系
(1)对数的基本性质
①负数和 0 没有对数，即真数 N>0；
②1 的对数为 0，即 loga1＝0(a>0，且 a≠1)；
③底数的对数等于 1，即 logaa＝1(a>0，且 a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)；
②logaaN＝N(a>0，且 a≠1)．
在对数的概念中规定 a>0 且 a≠1 的原因
(1)若 a<0，则当 N 为某些值时，x 的值不存在，如：x＝log(－2)8 不存在．
(2)若 a＝0，
①当 N≠0 时，x 的值不存在．如：log03(可理解为 0 的多少次幂是 3)不存在；
②当 N＝0 时，x 可以是任意正实数，是不唯一的，即 log00 有无数个值．
(3)若 a＝1，
①当 N≠1 时，x 的值不存在．如：log13 不存在；
②当 N＝1 时，x 可以为任意实数，是不唯一的，即 log11 有无数个值．
因此规定 a>0，且 a≠1.
三、对数运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
(2)loga ＝logaM－logaN；
N
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
四、换底公式
logcb
(1)对数的换底公式：logab＝ (a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1).
logca
(2)三个较为常用的推论
①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为 1)；
1
②logab＝ (a>0，b>0，且均不为 1)；
logba
n
③logambn＝ logab(a>0，b>0，且均不为 1，m≠0)．
m
(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．
(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用
幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．
(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，
使用时要注意公式的适用条件．
(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一
M logaM
定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，log (M±N)＝log M±log N，log ＝ ，log Mn＝(log M)na a a a a a .
N logaN
(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5
＋lg 2＝lg 10＝1.
（一）
对数的概念
对数有意义的两个条件：
①底数大于零且不等于 1；
②对数的真数必须大于零．
题型 1：对数的概念
1-1．（2024 高一上·上海徐汇·期中）若 log x+1 x +1 =1，则 x 的取值范围是 .
【答案】 -1,0 0,+
【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于 x 的不等式组，即可解得实数 x 的值.
ìx +1 > 0
【详解】对于等式 log x+1 x +1 =1，有 í x > -1 x 0
x +1 1
，解得 且 ，
因此， x 的取值范围是 -1,0 0,+ .
故答案为： -1,0 0,+ .
1-2．（2024 高一上·全国·课后作业）在b = loga-2 5 - a 中，实数 a 的取值范围是
A． - , 2 U 5,+ B． 2,5 C． 2,3 U 3,5 D． 3,4
【答案】C
【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为 1，联立得到不等式组，解出即可．
ì5 - a > 0
【详解】由对数的定义知 ía - 2 > 0 ，
a - 2 1
解得2 < a < 3 或 3 < a < 5 .
故选 C．
【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为 1，属于基础题．
1-3．（2024 2高一上·上海浦东新·期中）若代数式 log3 -x + 3x + 4 有意义，则实数 x 的取值范围是 .
【答案】 -1,4
【分析】由题得-x2 + 3x + 4 > 0，解出即可.
【详解】根据真数大于 0 得-x2 + 3x + 4 > 0，解得-1 < x < 4，
故答案为： -1,4 .
1-4．（2024 2高一上·上海虹口·期中）使得表达式 log2 1- 2x 有意义的 x 范围是 ．
2
【答案】 - ,
2
2 2 ÷÷è
【分析】根据对数的真数大于 0 求解即可.
2
【详解】式子 log 1- 2x 要有意义，则1- 2x22 > 0，
2 2
解得- < x < ，
2 2
2
所以 x 范围是 - ,
2
.
è 2 2 ÷
÷
2
故答案为： - ,
2
2 2 ÷÷
.
è
（二）
指数式与对数式的互化
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
题型 2：指数式与对数式互化
2-1．（2024 高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
-
1
0 ÷ 1 1A．e = 1 1与 ln1 = 0 B．8 è 3 = 与 log8 = -
2 2 3
C． log
1 1
3 9 = 2与92 = 3 D． log7 7 =1与7 = 7
【答案】C
【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【详解】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项 A：e0 = 1等价于 ln1 = 0，故 A 正确；
-
1
B ÷对于选项 ：8 è 3 1= 等价于 log
1 1
8 = - ，故 B 正确；
2 2 3
对于选项 C： log3 9 = 2等价于32 = 9 ，故 C 错误；
对于选项 D： log7 7 =1等价于71 = 7 ，故 D 正确；
故选：C.
2-2．（2024 高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化．
(1)log216 = 4；
(2) log 3 x = 6；
(3) 43 = 64；
1
(4) 3-3 = .
27
(5) log264=6；
(6) log
1
3 = -4；81
1 -3
(7) 2 ÷
= 8；
è
6-2 1(8) = ．
36
(9)102 = 100；
(10) ln a = b；
(11) 73 = 343；
log 1(12) 6 = -2 ．36
【答案】(1) 24 = 16
6
(2) 3 = x
(3) log4 64 = 3
1
(4) log3 = -327
(5) 26 = 64
1
(6) 3-4 =
81
(7) log1 8 = -3
2
(8) log
1
6 = -236
(9) lg100 = 2
(10) eb = a
(11) log7 343 = 3
6-2 1(12) =
36
【分析】根据对数式和指数式的概念进行转换.
【详解】（1）因为log216 = 4，所以 24 = 16 ；
6
（2）因为 log 3 x = 6，所以 3 = x；
（3）因为 43 = 64，所以 log4 64 = 3；
3-3 1 log 1（4）因为 = ，所以 = -3 .
27 3 27
（5） log264=6，可得 26 = 64 .
log 1 1（6） 3 = -4 3
-4
，可得 = .
81 81
1 -3
（7） log 8 = -3 ÷ = 8，可得 1 .
è 2 2
8 6-2
1 1
（ ） = ，可得 log6 = -2 .36 36
（9） lg100 = 2
（10） eb = a
（11） log7 343 = 3
6-2 1（12） =
36
2-3．（2024 高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．
1
-
(1) 5 2
1
=
5
(2) log 2 4 = 4
(3) lg 0.001 = -3 .
1
(4) 3-2 = ；
9
1 -2(5) 4 ÷
=16；
è
(6) log1 27 = -3；
3
(7) log x 64 = -6 .
【答案】(1) log
1 1
5 = -5 2
(2) ( 2)4 = 4
(3)10-3 = 0.001
1
(4) log3 = -2；9
(5) log 1 16 = -2；
4
(6) 1
-3
÷ = 27；
è 3
-6(7) x = 64 .
【分析】利用指数式和对数式的概念进行转换.
1
- 1 1 1
【详解】（1）由5 2 = 可得 log5 = - 2 .5 5
（2）由 log 4 = 4，可得 ( 2)42 = 4 .
（3）由 lg 0.001 = -3，可得10-3 = 0.001 .
4 3-2
1 1
（ ）由 = ，可得 log3 = -2；9 9
5 1
-2
（ ）由 ÷ =16，可得
log 1 16 = -2；
è 4 4
-3
（6）由 log 11 27 = -3 ，可得 ÷ = 27；3 è 3
（7）由 log x 64
-6
= -6，可得 x = 64 .
（三）
利用指数式与对数式的关系求值
指数式与对数式的关系求值的基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
③指数式与对数式的关系求值基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
题型 3：利用指数式与对数式的关系求值
1
3-1．（2024 高一上·上海浦东新·期末）已知 log2 a = ，则 a3 = .3
【答案】 2
【解析】利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可求得 a3 的值.
1 1
3
【详解】Q log a
1
2 = ，\a = 23 ，因此， a
3 = 23
3 ÷
= 2 .
è
故答案为： 2 .
3-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 loga 3 = m， loga 4 = n，计算 a2m-n =
9
【答案】
4
【分析】根据对数式与指数式的互化结合指数幂的运算进行计算即可.
【详解】∵ loga 3 = m， loga 4 = n，
∴ am = 3， an = 4，
2
∴ a2m-n a
2m am 32 9
= n = n = =
.
a a 4 4
9
故答案为： .
4
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知 log 2ma 3 = m，则 a 的值为 ．
【答案】9
【分析】根据指对数互化及指数幂的运算即得.
【详解】因为 loga 3 = m，
所以 am = 3， a2m = 32 = 9 .
故答案为：9.
3-4．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式中 x 的值．
(1) log2 log5 x = 0；
(2) log3 lg x =1；
(3) log3 log4 log5 x = 0 .
【答案】(1) 5；
(2)1000；
(3) 625 .
【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可；
（2）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可；
（3）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可.
【详解】（1）∵ log2 log5 x = 0，
∴ log x = 205 =1，∴ x = 51 = 5；
（2）∵ log3 lg x =1，
∴ lg x = 31 = 3，
∴ x =103 =1000；
（3）由 log3 log4 log5 x = 0可得， log4 log5 x = 1，
故 log x = 4 ，所以 x = 545 = 625 .
3-5．（2024 a高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知 2 =15, log 3 = b，则 2a-3b8 =（ ）
5
A． 25
25
B．5 C． D．
9 3
【答案】B
【分析】先由对数公式把 a,b化简，然后代入 2a-3b即可求解.
【详解】由题意可得 2a =15 a = log2 15，b = log8 3 = log
1
3 3 = log 32 3 2 ，
1
所以 a - 3b = log2 15 - 3 log2 3 = log
15
3 2
15 - log2 3 = log2 3 ÷
= log2 5，
è
所以 2a-3b = 2log2 5 = 5 .
故选：B.
（四）
对数的性质及对数恒等式
1、利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求 loga(logbc)的值，先求 logbc 的值，再求
loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2、性质 alogaN＝N 与 log baa ＝b 的作用
(1)alogaN＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式．
(2)log aba ＝b 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数．
题型 4：对数的性质及对数恒等式
4-1 2024 · · log 3+ log2．（ 高三 全国 专题练习） m m 3 = 2，则m = .
3
【答案】m = 或m = 3
3
【分析】设 logm 3 = t ，解一元二次方程求 log3 m，再求m .
【详解】设 logm 3 = t ，原方程可化为 t 2 + t - 2 = 0，
所以 t = -2或 t =1，
所以 logm 3 = -2或 logm 3 =1，
m 3所以 = 或m = 3 .
3
3
故答案为：m = 或m = 3 .
3
x
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）若 ln x - ln y = 3，则 2lne y = ．
【答案】 e6
x
【分析】利用对数的运算性质得到 ln = 3y ，直接代入即可求解.
【详解】因为 ln x - ln y = 3，所以 ln
x
= 3
y ，
所以 2ln
x
e6e y = .
故答案为： e6
4-3．（2024 高二下·河北张家口·期末）已知 a > 0，b > 0，则“ a = b =1”是“ lg a + lgb = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 lg a + lgb = 0可得 ab =1，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为 a > 0，b > 0，由 lg a + lgb = lg ab = 0，可得 ab =1，
所以，“ a = b =1” “ ab =1”；但“ a = b =1” / “ ab =1”.
所以，已知 a > 0，b > 0，则“ a = b =1”是“ lg a + lgb = 0 ”的充分不必要条件，
故选：A.
4-4．（24-25 高一上·全国·课后作业）若 log10 a ， log10 b是方程2x2 - 4x +1 = 0的两个实根，则 ab 的值等于
（ ）
1
A．2 B． C．100 D． 10
2
【答案】C
【分析】依题意，由韦达定理得 log10 a + log10 b = 2，解等式即可.
【详解】因为 log 210 a, log10 b 是方程 2x - 4x +1 = 0的两个实根
所以 log10 a + log b
-4
10 = - = 22
即 log10 ab = 2
所以 ab =102 =100
故选：C
x
4-5．（24-25 高一上·全国·课后作业）若 log5 x + log5 y = 2log5 x - 2y ，则 =y ．
【答案】4
ì x > 0, y > 0
2
【分析】由已知结合对数运算法则可得 í x - 2y > 0 ，接着先由 xy = x - 2y 解得 x = y 和 x = 4y ，再由
xy = x - 2y
2
x > 0, y > 0, x - 2y > 0舍去 x = y 即可得解.
【详解】因为 log5 x + log5 y = 2log5 x - 2y ，故 log5 xy = log5 x - 2y
2
，
ì x > 0, y > 0
2
所以 í x - 2y > 0 ，由 xy = x - 2y 得 x2 - 5xy + 4y2 = 0 x = y 或 x = 4y ，
xy = x - 2y
2
又 x > 0, y > 0, x - 2y > 0，所以舍去 x = y
x
，故 x = 4y ，则 = 4y .
故答案为： 4 .
log
4-6 24-25 · · log 2 = m log 3 = n m n 10
12
．（ 高一上 全国 课后作业）已知 10 ， 10 ，试用 ， 表示 log1015
．
2m + n
【答案】
n +1- m
【分析】应用对数运算及已知化简表示即可.
【详解】∵ log10 2 = m， log10 3 = n ，
log1012 2log10 2 + log 3∴ = 10log1015 log10 3 + log10 5
2m + n 2m + n
= =
n +1- log10 2 n +1- m
．
（五）
对数运算性质的应用
1、对数运算基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实
际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
2、对数的运算两种常用的方法
①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
题型 5：对数的运算
5-1．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式的值．
(1) log（2 4
7 25）；
(2) lg 5 100 ；
7
(3) lg14 - 2lg + lg 7 - lg18；
3
2
(4) lg52 + lg 8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2 .
3
【答案】(1)19；
2
(2) ；
5
(3) 0 ；
(4) 3 .
【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数的运算性质计算即可；
7 5
【详解】（1） log2 4 2 = log 472 + log 52 2 = 7 log2 4＋5log2 2 = 7 2 + 5 1 =19；
1
（2） lg 5 100 = lg1005 1= lg100 1 2= 2 = ；
5 5 5
（3） lg14 - 2lg
7
+ lg 7 - lg18
3
= lg 2 7 - 2 lg 7 - lg3 + lg 7 - lg 2 32
= lg 2 + lg7 - 2lg7 + 2lg3 + lg7 - lg 2 - 2lg3
= 0
2
（4 2） lg5 + lg8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2
3
= 2lg5 + 2lg 2 + lg5 × 2lg 2 + lg5 + lg 2 2
= 2lg10 + lg5 + lg 2 2
= 2 +1
= 3
5-2．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值：
1 lg 32 4(1) - lg 8 + lg 245 ；
2 49 3
(2) 2 1 2lg 2 + lg 2 × lg5 + lg 2 - lg 2 +1 .2
2
(3) lg5 × lg 400 + lg 2 2 ；
2
1
(4) log 32 log 1 3 ÷ + 0.25 + 9log5 5 - log 3 1
è 4
(5) 3
log3 2 + lg5 - log1 2 lg2 log23．
3
1
【答案】(1)
2
1
(2)1- lg 2 2
4
(3)2
23
(4)
4
(5)3
【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案.
【详解】（1）解法一：
1 4 3 1 5 1 1 1
原式= lg 25 - lg 72 - lg 22 + lg 72 5 2 = lg 2 - lg 7 - 2 lg 2 + lg 7 + lg 5 = lg 2 + lg5 = .2 3 2 2 2 2
4 2
解法二：原式= lg - lg 4 + lg 7 5 = lg 4 2 7 5 = lg 2 5 1= .
7 7 4 2
2
2 1= lg 2 1（ ）原式 ÷ + lg 2 × lg5 +2 2 lg 2 1
2 1 lg 2 2 1- = + lg 2 × lg5 - lg 2 -14 2 è
1
= lg 2 2 1+ lg 2 × lg5 1- lg 2 1+1 = lg 2 lg 2 + 2lg5 - 2 +1
4 2 2 4
1
= lg 2 lg50 - 2 +1 =1 1- lg 2 2 .
4 4
（3）原式=lg5 × (2＋2lg 2)＋( 2 lg 2)2
＝2lg5＋2lg 2 × lg5＋2 lg 2 2
＝2lg5＋2lg 2 × lg5＋lg 2
＝2lg5＋2lg 2
＝2．
1 2 1
（4）原式= ÷ +1+ 9log 25 5 - 0
è 2
1 9 23
= +1+ =
4 2 4
3log3 2 + lg5 - log1 2 lg2 log23 = 2 + lg5
lg2 lg3
- 1 lg2 （5） 3 lg lg 2
3
= 2 + lg5 lg2- lg3 = 2 + lg5 + lg2 = 2 + lg10 = 2 +1 = 3
- lg3 ．
5-3．（2024 高一·全国·专题练习）计算下列各式的值．
2log 3 log 63(1) 2 - 2 + log2 7 - 7 log 228 27 ；
(2) log3 3 + lg 25 + lg 4 - log2 log216 ．
2
(3) lg52 + lg8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2 ；
3
lg 2 + lg3- lg 10
(4) ．
lg1.8
1
-
(5) 0.25-2 + ( 8 ) 3 1- lg16 - 2lg5 + (1)0 .
27 2 2
1
-
(6) log
1
2 16 22 4 + ÷ + lg 20 - lg 2 - log 2 log 3 + ( 2 -1)lg1 .9 3 2è
lg8 + lg125 - lg2 - lg5
(7) lg 10 lg0.1 ；
(8) log6 2
2 + log63
2 + 3log 6 2 log
3 18 16 - log 2
3 6 ֏
(9) log8 27 log9 6 log16 6 + e
2ln3
；
(10) log4 8 - log1 3 - log 2 4
9
1 log
2
3
2
8 3 1 lg1(11) ÷ + ÷ + lg + 3 -1 ，
è 3 è 27 1000
(12) lg52
2
+ lg8 + lg5lg 20 + lg 2 2，
3
【答案】(1)1
1
(2)
2
(3) 3
1
(4)
2
33
(5)
2
(6)2
(7) -4
(8)1
(9)11
(10)-2
19
(11) -
18
(12)3
【分析】利用指数运算和对数运算法则计算出答案.
63
【详解】（1） 2log2 3 - log2 + log2 7 - 7 log 2
2
8 27
= log 22 3 - log
63
2 + log2 7 - 7 log 7 228 2
= log 63 22 9 7
÷ - 7 log2 2 = log2 8 - 2 = 3 - 2 =1；
è 8 7
（2） log3 3 + lg 25 + lg 4 - log2 log216
1
= log3 32 + lg 25 + lg 4 - log2 log2 16
1
= + lg 25 1 1 4 - log2 4 = + 2 - 2 = ；2 2 2
（3） lg52
2
+ lg8 + lg5 × lg 20 + lg 2 2 = lg52 2+ lg 23 + lg5 × lg 20 + lg 2 2
3 3
= 2lg5 + 2lg 2 + lg5 × 2lg 2 + lg5 + lg 2 2
= 2 lg5 + lg 2 + lg5 + lg 2 2 = 2 +1 = 3；
1 lg 2 lg3 1 lg10 lg 18+ -
（4） lg 2 + lg3- lg 10 2 2 lg 2 + 2lg3 - lg10 lg 2 + lg9 - lg10 10 lg1.8 1= = = = = = ；
lg1.8 lg1.8 2lg1.8 2lg1.8 2lg1.8 2lg1.8 2
1
8 - 1 1 0（5）0.25-2 +
3
÷ - lg16 - 2lg5 +
è 27 2 ÷ è 2
1
3 -
-2 -2 é 2 ù
3
= 2 + ê 3 ÷ ú
- 2 lg2 + lg5 +1
êè ú
-1
= 24 2+ - 2 +1
è 3 ÷
=16 3+ -1
2
33
= ；
2
1
6 log
1
2 16
-
2（ ） 2 4 + lg1 ÷ + lg 20 - lg 2 - log3 2 log2 3 + ( 2 -1)
è 9
1
1 9 2 lg 20= + + ÷ ÷ -
log3 2
1
÷ + ( 2 -1)04 è16 è 2 è log3 2
1 3
= + + lg10 -1+1
4 4
=1+1-1+1 = 2；
8 125 2
lg8 + lg125 - lg2 - lg5 lg lg10
（7） = 2 5
=
lg 10 lg0.1 11 -1 = -4；
lg102 lg10-1 2
log 2 2 2（8） 6 + log63 + 3log6 2
log
3
6 18
1
- log
3 6
2÷
è
3
= log 26 2 + log63
2 + 3log6 2
18
log6 3 2
= log 2 2 36 2 + log63 + 3log6 2 log6 9
= log6 2
2 + log63
2 + 2log6 2 log63
= log 26 2 + log63
=1；
9 log 27 log 6 log 6 + e2ln3（ ） 8 9 16 = log 3
1
2 log3 6 4log6 2 + e
ln9
2
2log 3 log6 2= 2 + 9 = 2log 3 log 2 + 9 =11log 2 3 ；6 3
（10） log4 8 - log1 3 - log 2 4
3 1
= log2 2 - log3 3- 4log 2 2
3 1
= + - 4 = -2 ；
9 2 -2 2 2
1 log
2
3
2
11 8 3（ ） 1 lg1 3 ÷
+ ÷ + lg + 3 -1
è è 27 1000
2
3- log 2 2
3 3 0
= 3 + -3 ÷ ÷÷ + lg 10 + 3 -1
èè 3
1 4
= + - 3+1
2 9
19
= - ；
18
2
（12） lg52 + lg8 + lg5lg 20 + lg 2 2
3
= 2lg5 + 2lg 2 + 1- lg 2 1+ lg 2 + lg 2 2
= 2 lg5 + lg 2 +1
= 3
5-4．（2024 高三·全国·专题练习）计算：
(1) lg 2 2 + lg 2 × lg50 + lg 25 ;
4log 3 log 8 lg 5 lg 25 lg 1
-3
(2) 2 + - + - 1 ÷ - ln e
3
2 16 è 2
【答案】(1)2
11
(2)
2
【分析】（1）根据对数的运算法则，注意利用 lg 2 + lg5 =1；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式＝ lg 2 2 + lg 2 × 2lg5 + lg 2 + 2lg5 = lg 2 2lg5 + 2lg 2 + 2lg5 = 2lg 2 + 2lg5 = 2 .
3
（2）原式= 22log2 3 - log2 8 + lg
16
+ lg 25 - lg8 - ln e2
5
16
25
÷ 3 3 3 11
= 9 - 3+ lg 5 ÷ - = 6 + lg10 - = 6 +1- = .
8 ÷ 2 2 2 2
è
（六）
换底公式的应用
1、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2、利用换底公式求值的思想与注意点
题型 6：换底公式的应用
6-1．（24-25 高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值：
(1) log5 35 + 2log 2
1
1 - log5 - log 14
2 50
5 ；
(2) log2 125 + log4 25 + log8 5 × log5 2 + log25 4 + log125 8 ．
【答案】(1)2
(2)13
【分析】（1）根据对数的运算性质结合对数的定义运算求解；
（2）方法一：以 2 和 5 为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案；方法二：以 10 为底数，
利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案.
1 35 50
1 = log 35 + log 50 - log 14 + 2log 22 = log + log 2 = log 53【详解】（ ）原式 5 5 5 1 5 1 5 -1 = 2．
2 14 2
log 53 log2 25 log2 5
log5 4 log2 5
8
（ ）方法一：原式= 2 + + × log 2 + +
è log2 4 log 8
÷ 5
2 è log5 25 log5 125
÷
= 3log2 5
2log
+ 2
5 log 5
+ 2 ÷ × log 2
2log5 2 3log5 2+ +
è 2log2 2 3log2 2
5
è 2log 5 3log
÷
5 5 5
3 1 1= + + ÷ log2 5 ×3log 2
è 3 5
=13log2 5
log
× 2
2
=13
log 5 ；2
lg125 lg 25 lg5 lg 2 lg 4 lg8
方法二：原式= + + × + +
è lg 2 lg 4 lg8
÷
è lg5 lg 25 lg125
÷
3lg5 2lg5 lg5 lg 2 2lg 2 3lg 2
= + + × + +
è lg 2 2lg 2 3lg 2
÷
è lg5 2lg5 3lg5
÷
13lg5 3lg 2
= × =13
3lg 2 lg5 ．
1 1
6-2．（2024·山东济宁·三模）若 2m = 3n = k 且 + = 2，则 k = （ ）
m n
A． 5 B． 6 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用指数与对数的互化可得出m 、 n 的表达式，结合换底公式可求得 k 的值.
1 1
【详解】因为 2m = 3n = k 且 + = 2，所以，m 0 且 n 0，所以， k > 0 且 k 1，
m n
且有m = log2 k ， n = log k
1 1
3 ，所以， = logk 2 ， = log 3，m n k
1 1
所以， + = logk 2 + logk 3 = logk 6 = 2，则m n k
2 = 6，
又因为 k > 0 且 k 1，解得 k = 6 .
故选：B.
1 1 1
6-3．（2024 高三·全国·专题练习）设3x = 4y = 6z ，求证： + =x 2y z .
【答案】证明见解析
3x = 4y z 1 1【分析】设 = 6 = m m > 0 ，则表示出 x, y, z 1，然后利用对数的运算性质计算 +x 2y 和 z ，即可得结
论.
x
【详解】证明：设3 = 4y = 6z = m m > 0 ，
则 x = log3 m， y = log4 m， z = log6 m .
1 1
所以 = logm 3， = logm 4
1
， = logm 6y .x z
1 1
所以 + = logm 3+ log 2 = log 6x 2y m m ，
1 1 1
所以 + =x 2y z .
n 1 1= +
6-4．（2024 高一·全国·课后作业）设 log 1 log 1 ，那么 n 的值所在区间为（ ）1
2 3
1
5 3
A． (-2,-1) B． (-3, -2) C． (1, 2) D． (2,3)
【答案】D
【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算整理得 n = log3 10，再根据对数的概念求取值范围.
n 1 1 1 1= 1 + 1 = + = log3 2 + log3 5 = log3 10【详解】由题意可得： log log log2 3 log5 3 ，1 3 12 5 3
且32 = 9 <10,33 = 27 >10,所以 n = log3 10 2,3 .
故选：D.
1 1
6-5．（2024 高一上·浙江丽水·期末）若3a = 6，b = log2 6 ，则 + = ．a b
【答案】1
【分析】将3a = 6转化为对数式，然后利用换底公式和对数运算化简可得.
【详解】因为3a = 6，所以a = log3 6
1 1 1 1
所以 + = + = log6 3 + log6 2 = log6 6 =1a b log3 6 log2 6
.
故答案为：1
6-6．（2024 高一·江苏·假期作业）计算：
(1) log2 9 × log3 4 ；
log5 2 log7 9
(2) .
log 15 log
3
7 43
【答案】(1)4
3
(2) -
2
【分析】
（1）利用换底公式和对数的运算性质求解即可；
（2）利用换底公式的逆应用，结合对数运算的相关公式求解即可.
log 9 log 4 lg9 lg 4 2lg 2 2lg 2【详解】（1）由换底公式可得， 2 × 3 = × = × = 4lg 2 lg3 lg 2 lg3 ；
（2）
log5 2 log7 9= 1 = log1 2 log 9原式 3log log
3
7 4
4
3
5 3
1
lg 2 lg9 lg 2
= = 2 2lg3 31 = - .
lg 1 - lg3 2lg 43 lg 2
2
3 3
6-7．（2024 高一·江苏·假期作业）已知 log18 9 = a，18b = 5，求 log36 45 .（用 a,b表示）
a + b
【答案】
2 - a
【分析】根据对数的运算律，整理条件，利用换底公式，可得答案.
【详解】∵18b = 5，所以b = log18 5，又 log18 9 = a
∴ a + b = log18 9 + log18 5 = log18 9 5 = log18 45，
log18 36 = log18 2 18 =1+ log18 2 =1+ log
18
18 = 2 - log18 9 = 2 - a ；9
log 45 log18 45 a + b∴ 36 = =log18 36 2 - a
．
a + b
故答案为： ．
2 - a
（七）
对数运算的综合与实际应用
1、应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
(1)定义法：解形如 b＝log f(x)(a>0，且 a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为 f(x)＝aba
求解．
(2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如 logaf(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的方程，
ì f x > 0
等价转化为 f(x)＝g(x)，且 í
g
求解．
x > 0
(3)换元法：适用于 f(logax)＝0(a>0，且 a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中
间变量的方法(换元法)来解．
2、解决对数应用题的一般步骤
题型 7：对数运算的综合与实际应用
7-1．（2024·福建三明·三模）17 世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得 费马等人研究的基础上，对 2 p -1
（ p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在 p 257的素数中，当 p = 2 ，
3，5，7，13，17，19，31，67，127，257 时， 2 p -1是素数，其它都是合数.除了 p = 67 和 p = 257 两个数
被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在 2 p -1型素数研究中所做的开创性工作，就把
2 p -1型的素数称为“梅森素数”，记为Mp = 2 p -1 .几个年来，人类仅发现 51 个梅森素数，由于这种素数珍
奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第 7 个梅森素数M19 = 219 -1，第 8 个梅森素数M 31 = 231 -1，
lg1+ M 31则 约等于（参考数据： lg5 0.7 ）（ ）
1+ M19
A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
lg1+ M 31 lg 2
31
【详解】由已知可得 = 19 = lg 2
12 =12lg 2 =12 1- lg5 3.6 .
1+ M19 2
故选：D
I
7-2．（2024 高三上·江苏南通·开学考试）已知声强级（单位：分贝） L =10lg I ，其中常数
I0 I0 > 0 是能够
0
引起听觉的最弱的声强， I 是实际声强.当声强级降低 1 分贝时，实际声强是原来的（ ）
1 1 1
A． 倍 B． 倍 C．10-10 倍 D． -10 1010 10 10
倍
【答案】D
【分析】根据题干列式，再应用对数运算律计算即可.
L - L =1 10lg
I1 I2
【详解】 1 2 ，则 -10lg =1I ，0 I0
I 11 1所以 =1010 -，∴ I =10 10 .I 2 I12
故选：D.
7-3．（2024 高三上·湖南长沙·开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 21×21 大小的，
即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有 2441 种不同的码，假设我们 1 万年用掉 3×1015 个二维码，
那么大约可以用（ ）（ lg 2 0.301， lg3 0.477 ）
A．10117 万年 B．10118万年 C．10119 万年 D．10200万年
【答案】A
2441
【分析】设 x = 15 ，然后根据对数的运算解出 x 即可.3 10
441 441
【详解】Q1 2 2万年用掉3 1015 个二维码，\大约能用 15 万年，设 x =3 10 3 1015 ，
lgx lg 2
441
则 = 15 = lg2
441 - lg3 + lg1015 = 441lg2 - lg3 -15
3 10
441 0.301- 0.477 -15 117,
即 x 10117 万年，
故选：A
7-4．（2024·江苏徐州·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放
射性 14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 14C不再产生，且原来的 14C会自动衰变．经过 5730 年，它的
1
残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 14C含量占原来的 ，推算该古物约是 m 年前的遗5
物（参考数据：（lg 2）-1 3.3219 ），则 m 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
【答案】B
【分析】根据题意列出方程解出未知量即可.
【详解】设原始量为 x ，每年衰变率为 a，
\ xa5730 1= x，
2
1 1
\a = ( )5730 ，
2
m
\am = (1)5730 1= ，
2 5
m log 1 log 5 lg5 1 lg10 lg 2 1\ = 1 = 2 = = - = -1 2.32195730 5 lg2 lg2 lg2 ，2
\m 5730 2.3219 13304 .
故选：B.
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． y = log2x B． y = ln x +1 C． y = log xe D． y = log x x
【答案】A
【分析】根据对数函数的定义判断即可.
【详解】解：对数函数 y = loga x （ a > 0且 a 1），其中 a为常数， x 为自变量．
对于选项 A，符合对数函数定义；
对于选项 B，真数部分是 x +1，不是自变量 x ，故它不是对数函数；
对于选项 C，底数是变量 x ，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项 D，底数是变量 x ，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
log 16
2．（2024 高一· 27全国·课后作业） log 4 的值是（ ）3
2 3
A．1 B． C． D．2
3 2
【答案】B
【分析】根据换底公式的结论运算求解.
2
2 log3 4
【详解】由题意可得： log log 427 16 3 2= 3 = 3 = .
log3 4 log3 4 log3 4 3
故选：B.
3．（2024·天津河西·三模）已知2a =5， log8 3 = b，则4a-3b = （ ）
25 5
A． B． C．25 D．5
9 9
【答案】A
【分析】由指对互换，表示出 a，代入原式即可.
log 5 log 5 log 5a
【详解】由 2 = 5 a = log 5， 4a-3b
2
2 = 4log2 5-3log8 3 = 4log2 5-log2 3 = 4 3 = (22 )
2 3 = (2 2 3 )2 = (5)2 25= .
3 9
故选：A.
2
4．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式 log a+1 有意义，则 a 的取值范围为（ ）4 - a
A． -1,4 B． -1,0 U 0,4
C． -4,0 U 0,1 D． -4,1
【答案】B
【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.
ì
a +1 > 0
log 2
【详解】由 a+1 有意义可知4 a í
a +1 1 ，解得-1 < a < 4且 a 0，
-
2 > 0
4 - a
所以 a 的取值范围为 -1,0 U 0,4 .
故选：B
1
5．（2024 高二·湖南衡阳·学业考试）已知 log2 log4 x = 0，那么 -x 2 = （ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
【答案】C
1
【分析】根据对数运算的知识求得 x ，进而求得 -x 2 .
【详解】依题意， log2 log4 x = 0，
所以 log4 x =1，所以 x = 4，
1 1
- -
x 2 4 2 1 1所以 = = = .
4 2
故选：C
6．（2024 2高一·江苏·假期作业）方程 lg x -1 = lg 2x + 2 的根为（ ）
A．-3 B．3
C．-1或3 D．1或-3
【答案】B
【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于 0.
ìx2 -1 = 2x + 2
2
【详解】由 lg x -1 = lg 2x + 2 2，得 íx -1 > 0 ，
2x + 2 > 0
ìx2 - 2x - 3 = 0
x2即 í -1 > 0 ，解得 x = 3，
2x + 2 > 0
2
所以方程 lg x -1 = lg 2x + 2 的根为3 .
故选：B
7．（2024 高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是
A． loga x
2 = 2loga x
log x
B． loga (x - y) = aloga y
C． loga x - loga y = loga (x - y)
D． log 510 x
3 3= log x
5 10
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案.
【详解】因为 2log x = log x2a a loga x
2
，所以 A 不对；
loga x
因为 = log y x log (x - y)log y a ，所以 B 不对；a
因为 loga x - loga y = log
x
a logy a
(x - y)，所以 C 不对；
3 3
因为 log 5 x310 = log10 x5 = log10 x，D 正确.5
故选 D.
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
8．（2024·宁夏银川·三模）设 a = ln π ，b = log1 3， c = 3-2 ，则（ ）
e
A． a > b > c B．b > a > c
C． a > c > b D． c > b > a
【答案】C
【分析】根据题意，由对数的运算可知 a >1,b < 0,0 < c <1，即可得到结果.
1
【详解】因为 a = ln π > ln e=1，b = log1 3 < log1 1 = 0 c = 3-2，且 = ，
e e 9
所以 a > c > b .
故选：C
2
9．（2024 高二下·天津·期末）已知3x
x + y
= 2y = 6 ，则 的值（2 2 ）x y
1 1
A． B． C4 ．1 D．22
【答案】C
1 1 1 1
x x + y
2 2
1 1
【分析】由3 = 2y = 6 ，得到 = , =x log6 3 y log 2
，然后由 = + 求解.
6 x2 y2 è x y
÷
【详解】解：因为3x = 2y = 6 ，
所以 x = log3 6, y = log2 6，
x + y 2 21
所以 = log6 3,
1
= log 1 1 2
x y 6
2,
x2 2
= +
y x y ÷
= log6 6 =1，
è
故选：C
ì2 + log 2 - x , x < 2
10．（2024· 2重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 f x = í x 2 ，则 f 0 + f log336 = （ ）
3
- , x 2
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
36
【详解】由题意可得 f 0 + f log3 36 = 2 + log 2 + 3log3 36-2 log
36
2 = 2 + log 2 + 3 3 9 = 2 +1+ = 7 ，2 9
故选：D.
11．（2024 高二下·浙江绍兴·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有
所了解.例如，地震时释放出的能量 E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M .据此，
地震震级每提高 1 级，释放出的能量是提高前的（参考数据： 10 3.16）（ ）
A．9.46 倍 B．31.60 倍 C．36.40 倍 D．47.40 倍
【答案】B
【分析】记地震震级提高至里氏震级M +1，释放后的能量为E1，由题意可推得 lg E1 - lg E = 1.5，根据对数的
运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案.
【详解】记地震震级提高至里氏震级M +1，释放后的能量为E1，
由题意可知， lg E1 - lg E = 4.8 +1.5 M +1 - 4.8 +1.5M = 1.5，
即 lg
E1 E= 1.5 1.5
E ，所以
1 = 10 = 10 10 31.60 .
E
故选：B.
12．（2024 高二下·辽宁本溪·阶段练习）2023 年 1 月 31 日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机
“悟空”即将面世，预计到 2025 年量子计算机可以操控的超导量子比特达到 1024 个.已知 1 个超导量子比特
共有 2 种叠加态，2 个超导量子比特共有 4 种叠加态，3 个超导量子比特共有 8 种叠加态，L，每增加 1 个
超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若 N = a 10k (1 a <10, k N) ，则称 N 为 k +1位数，已知 1024
个超导量子比特的叠加态的种数是一个m 位的数，则m =（ ）（参考数据： lg2 0.301）
A．308 B．309 C．1023 D．1024
【答案】B
【分析】由已知可推得当有 1024 个超导量子比特时共有 N = 21024种叠加态.两边同时取以 10 为底的对数，
根据对数的运算性质可得 lgN =1024lg2 ，根据已知数据，即可得出答案.
【详解】根据题意，得 n 个超导量子比特共有2n 种叠加态，
所以当有 1024 个超导量子比特时共有 N = 21024种叠加态.
两边取以 10 为底的对数得 lgN = lg21024 =1024lg2 1024 0.301 = 308.224 ，
所以 N 10388.224 =100.224 10308 .
由于1<100.224 <10，故 N 是一个 309 位的数，即m = 309 .
故选：B.
13．（2024 高一上·甘肃天水·期末）地震的强烈程度通常用里震级M = lg A - lg A0 表示，这里 A 是距离震中
100km 处所测得地震的最大振幅， A0 是该处的标准地震振幅，则里氏 8 级地震的最大振幅是里氏 6 级地震
最大振幅的（ ）倍．
4
A．1000 B．100 C．2 D．
3
【答案】B
A A ×108
【分析】利用M = lg A - lg A0 = lg A ，求得 A = A0 ×10
M 0 2
，代入 6 =10 ，从而求得结果.
0 A0 ×10
A A M M
【详解】解：依题意，M = lg A - lg A0 = lg A ，则
=10 A = A ×10
0 A
，即 0
0
A0 ×10
8
=102则 ,则里氏 8 级地震的最大振幅是里氏 6 级地震最大振幅的 100 倍.
A0 ×10
6
故选：B.
14．（2024·海南海口·模拟预测）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
C S= Wlog 1+ 2 ÷．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信
è N
S
号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真
N
数里面的 1 可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为W ，信噪比为 1000 的基础上，将带宽增大到3W ，
信噪比提升到 200000，则信息传递速度C 大约增加了（ ）（参考数据： lg2 0.3）
A．187% B．230% C．530% D．430%
【答案】D
【分析】根据题干定义分别求提升前和提升后的信息传送速度，最后再计算信息传递速度增加律.
S 3W
【详解】提升前的信息传送速度C = Wlog2 = Wlog21000 = 3Wlog210 = 10WN lg2 ，
提升后的信息传送速度C = 3Wlog2 200000 = 3W
5 1 3W 5× + ×
lg2 ÷
+1÷ = 53W ，
è è 0.3
C - C 53W -10W
所以信息传递速度C 大约增加了 = 4.30 = 430% ．
C 10W
故选：D.
1 1
15．（2024·天津河西·一模）已知3a = 4b = m, + = 2 ma 2b ，则 的值为（ ）
A．36 B．6 C． 6 D． 4 6
【答案】C
【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【详解】Q3a = 4b = m > 0 ，
\a = log3 m,b = log4 m，
1 1
\ + = log 3 1+ log 4 = log 6 = 2，
a 2b m 2 m m
\m2 = 6，即m = 6 或m = - 6 （舍去）
故选：C
8
16．（2024 高二·天津·学业考试）已知2x = 3， log4 = y ，则 x + 2y 的值为（3 ）
3
A． B．3 C．4 D．8
2
【答案】B
【分析】先求得 x 的值，再利用对数运算性质即可求得 x + 2y 的值.
【详解】由2x = 3，可得 x=log23，
则 x + 2y=log23+ 2log
8
4 = log 3 log
8
2 + 2 = log28 = 33 3
故选：B
17．（2024·全国·模拟预测）已知正数 x ， y 满足 lg 2y - x = lg 2y - lg x，则 y 的最小值为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】C
x2
【分析】先根据对数的运算得 y = 2 x 1 ，再利用基本不等式求解．-
【详解】由正数 x ， y 满足 lg 2y - x = lg 2y - lg x，得 lg 2y - x = lg 2y ，
x
2y 2y
x2
所以 - x = ， y = y > 02 x 1 ，结合 x > 0， ，得 x -1 > 0，x -
x2 é
2
x -1 +1
所以 y = =
ù 1 é =
x 1 1 1- + + 2ù 2 x -1 1× + 2 = 2 ，
2 x -1 2 x -1 2 ê x -1 ú 2 è x -1
÷÷
1
当且仅当 x -1 = 时，即 x = 2时取等号，
x -1
故选：C
18．（2024·广西·三模）17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了
对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明
在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可
以创造一个宇宙”.已知 lg2 0.3010， lg3 0.4771，设 N = 45 910 ，则 N 所在的区间为（ ）
A． 1011,1012 B 12 13． 10 ,10 C． 1013 ,1014 D 1014． ,1015
【答案】B
【分析】只需计算 lg N 的值即可解决.
【详解】计算 lg N = lg(45 910 ) =10lg 2 + 20lg3 12.5520 ，对选项中的区间端点值同样取以 10 为底的对数值，
可知 B 正确.
故选：B
19．（2024·广西·模拟预测）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说
365
学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 1+1% 看作是每天的“进步”率
1% 365都是 ，一年后是1.01365 37.7834；而把 1-1% 看作是每天“退步”率都是 1%，一年后是 0.99365 0.0255 ；
“ ” “ ” 1.01
365
这样，一年后的 进步值 是 退步值 的 365 1481倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的 2 倍，大约经过0.99
（ ）天．（参考数据： lg101 2.0043， lg99 1.9956， lg 2 0.3010）
A．9 B．15 C．25 D．35
【答案】D
x
【分析】设经过 x 天“进步”的值是“退步” 1.01 的值的 2 倍，则 0.99 ÷
= 2，然后利用对数的运算和题目所给的数
è
据求出 x 的值即可.
x
【详解】设经过 x 天“ ” 1.01 进步 的值是“退步”的值的 2 倍，则 ÷ = 2，
è 0.99
x log 2 lg 2 lg 2 lg 2 0.3010 0.3010= = = = = 35
∴ 1.01 lg 1.01 lg1010.98 lg101- lg99 2.0043-1.9956 0.0087 ，
0.99 99
故选：D．
5 a
20．（2024 b a高一上·全国·课后作业）已知 a,b均为正实数，若 loga b + logb a = ,a = b ，则 ＝（ ）2 b
1
A 2 B 2． 或 ．
2 2 2
1
C． 2 D．2 或 2
【答案】D
【分析】令 t = loga b ，则由 log b log
5 1 5
a + b a = 可得 t + = ，从而可求出 t的值，再结合 ab = ba 可求得结果.2 t 2
1 5
【详解】令 t = loga b ，则 t + = ，t 2
所以 2t 2
1
- 5t + 2 = 0，解得 t = 或 t = 2，
2
1
所以 loga b = 或 loga b = 2，2
1
所以 a 2 = b或 a
2 = b，
因为 ab = ba ，所以 b2 b = b2b = ba 或 ab = a2a ，
所以 2b = a或b = 2a，
a 2 a 1所以 = 或 = ，
b b 2
故选：D
二、多选题
21．（2024 高一·江苏·假期作业）下列运算正确的是（ ）
A． 2log1 10 + log1 0.25 = 2
5 5
B． log4 27 × log25 8 × log 5
9
9 = 8
C． lg 2 + lg50 = 2
log 2 3 log 2 2 5D． - - 2 = -2+ 3 4
【答案】BCD
【分析】利用对数运算法则和换底公式进行计算.
【详解】对于 A， 2log1 10 + log1 0.25 = log1 100 0.25 = log1 25 = -2 ，A 错误；
5 5 5 5
对于 B， log4 27 × log25 8 × log 5
3
9 = log 3
3
2 × log5 2
1
× log 5 9 lg3 lg 2 lg5 9= × × × =
2 2 2 3 8 lg 2 lg5 lg3 8 ，故 B 正确；
对于 C， lg 2 + lg50 = lg100 = 2，故 C 正确；
2
D log 2 - 3 - log 2 2 = log 1 - 1 1 5对于 ， 2 ÷ = -1- = - D2+ 3 2+ 3 ，故 正确．2 + 3 è 2 4 4
故选：BCD.
22．（2024 高一上·山东菏泽·期末）下列运算正确的是（ ）
A． lg5 + lg 2 =1 B． log4 3 = 2log2 3
C． eln π = π D． lg5 lg 2 = log5 2
【答案】AC
【分析】由对数式的运算规则，检验各选项的运算结果.
【详解】 lg5 + lg 2 = lg 5 2 = lg10 =1，故选项 A 正确；
log 3 log2 3 log2 3 14 = = = log 3log 4 2log 2 2 2 ，故选项 B 错误；2 2
根据对数恒等式可知， eln π = π，选项 C 正确；
log 2 lg 2根据换底公式可得： 5 = = lg 2 lg5lg5 ，故选项 D 错误．
故选：AC
23．（2024 高一上·全国·课后作业）下列正确的是（ ）
1 1
A． log32 3
4
= 2 B．92 + ln e = 4
C．若 log3 lg x =1，则 x =1000 D．若 log 7a b = c，则b = a7c
【答案】BCD
【分析】利用对数和指数的运算可判断 AB 选项；利用指数与对数的互化可判断 CD 选项.
1 log 3 4log 1 log 4
A 32 3
4
【详解】对于 选项， = 32 ÷ = 3 3 = 4，A 错；
è
1
对于 B 选项，92 + ln e = 3+1 = 4，B 对；
对于 C 选项，因为 log lg x =1，则 lg x = 3，所以， x =1033 =1000，C 对；
对于 D 选项，因为 log 7 b = c，则 7 b = aca ，所以，b = a7c ，D 对.
故选：BCD.
24．（2024 高一下·福建·期末）已知 2a = 3b = 6，则正确的有（ ）
1 1
A． a > b B． a + b > 4 C． ab > 4 D． + <1
a b
【答案】ABC
【分析】先把指数式化为对数式可得 a = log2 6，b = log3 6，可判断 A，由对数的运算性质可判断 D，由基
本不等式可判断 BC．
【详解】Q2a = 3b = 6 ，\a = log2 6 > 2，b = log3 6 < 2，Q log2 6 > log3 6，\a > b，故A 正确，
1 1 1 1
Q + = + = log 2 + log 3 = log 6 = 1a b log 6 log 6 6 6 6 ，故 D 不正确，2 3
Qa + b = (a + b)(1 1+ ) b a= + + 2 2 1 + 2 = 4，当且仅当 a = b时取等号， ∵ > ，\a + b > 4 ，故 B 正确，
a b a b
Q1 1 1 2 1 1= + > × （因为 a b，故等号不成立），\ab > 4 ，故 C 正确.
a b a b
故选： ABC.
三、填空题
25．（2024 高一·全国·课后作业）计算： log 3 81 = ； lg 0.16 = .
【答案】 8 -6
【分析】直接利用对数与指数的运算性质求解即可.
8
【详解】 log 3 81 = log 3 3 = 8,
lg 0.16 = lg10-6 = -6 ,
故答案为：8,-6
【点睛】本题主要考查对数与指数的运算性质，属于基础题.
26 2．（2024 高一上·全国·课后作业）若 log( x-2) x - 7x +13 = 0 ，则 x 的值为 ．
【答案】4
【分析】利用对数的定义和 loga1 = 0(a > 0, a 1)，建立方程组即可求出结果.
2
【详解】因为 log( x-2) x - 7x +13 = 0 ，
ìx2 - 7x +13 =1
所以 íx - 2 > 0 ，
x - 2 1
ìx2 - 7x +12 = 0
即 íx > 2 ，解得 x = 4．
x 3
故答案为：4.
27．（2024 高三下·湖南邵阳·学业考试）计算： log6 2 + log6 3 = .
【答案】1
【分析】根据对数的运算法则，即可求解.
【详解】根据对数的运算法则，可得 log6 2 + log6 3 = log6 (2 3) = log6 6 =1.
故答案为：1.
log 128．（2024 高一·全国·课后作业） 2 2 5 的值是 ．
1
【答案】 /0.2
5
【分析】由对数的概念直接计算即可.
log 1
2 2 1【详解】由对数的概念可得 5 = ，
5
1
故答案为：
5
29．（2024 高三·全国·专题练习）若 log b14 2 = a ，14 = 5，用 a，b 表示 log35 28 =
1+ a
【答案】1+ b - a
【分析】先求出b = log14 5，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.
【详解】因为14b = 5，所以b = log14 5，
log 28 log14 28 log14 14 + log14 2 1+ a35 = = =log14 35 log14 14 + log
.
14 5 - log14 2 1+ b - a
1+ a
故答案为： .1+ b - a
30．（2024 高一下·上海黄浦·期末）已知3a = 2，3b = 5，若用 a、b 表示 log65，则 log65 = ．
b b
【答案】 /
1+ a a +1
【分析】将指数式化为对数式，在利用换底公式及对数的运算法则计算可得.
【详解】因为3a = 2，3b = 5，所以 a = log3 2 ，b = log3 5，
log 5 log35 log35 log35 b所以 6 = = = =log36 log3 2 3 log3 2 + log33 1+ a
.
b
故答案为：
1+ a
31．（2024 高二下·天津南开·期末）计算： loga 2 + loga 0.5 - log2 25 log3 4 log5 9 = .
【答案】-8
【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解.
【详解】因为 loga 2 + loga 0.5 - log2 25 log3 4 log5 9 = loga 2 0.5 - log 22 5 log 22 log 323 5
= loga 1-8log2 5 log3 2 log
ln 5 ln 2 ln 3
5 3 = -8 = -8，ln 2 ln 3 ln 5
所以 loga 2 + loga 0.5 - log2 25 log3 4 log5 9 = -8 .
故答案为：-8 .
32 2024 · · log 2 2．（ 高三 全国 专题练习）化简： 6 + log6 2 log6 3 + 2log6 3 - 6log6 2 = ．
【答案】- log6 2
【分析】利用对数的运算性质即可化简求值.
log 2 2【详解】 6 + log6 2 log6 3 + 2log log6 26 3 - 6
= log6 2 log6 2 + log6 3 + 2log6 3- 2
= log6 2 + 2log6 3- 2
= 2 log6 2 + log6 3 - log6 2 - 2
= 2 - log6 2 - 2
= - log6 2．
故答案为：- log6 2
4 -4
33．（2024 a - a高二下·江苏南通·阶段练习）已知 a + a-1 = 3，则 log 2 -2 的值为 .7 a - a
【答案】 2
a4 - a-4
【分析】首先求出 a2 + a-2 ，又 = a2 + a-22 -2 ，再根据对数的运算性质计算可得.a - a
【详解】因为 a + a-1 = 3，所以 a + a-1 2 = 32 ，即a2 + 2 + a-2 = 9 ，
所以 a2 + a-2 = 7，
4 -4 a2 - a-2 a2 + a-2a - a 所以
2 -2 = 2 -2 = a
2 + a-2 = 7，
a - a a - a
a4log - a
-4
所以
7 a2 -2
= log 7 7 = log- a 7
2
7 = 2log 7 7 = 2 .
故答案为： 2
1 1
34．（2024 高一·全国·课堂例题）已知7.2x = 3，0.8y = 3，则 - 的值为 ．
x y
【答案】2
【分析】由对数的定义先求出 x, y，再进行对数化简求值.
【详解】因为7.2x = 3，0.8y = 3，所以 x = log7.23， y = log0.83，
1 1 1 1
所以 - = - = log
7.2
x y log 3
7.2 - log30.8 = log3 = log39 = 2．
7.23 log0.83 0.8
故答案为：2
2a + b
35．（2024 高三上·广东·阶段练习）已知 4a = 3b = 6，则 = .
ab
【答案】2
【分析】先根据对数的定义求出 a,b，再根据换底公式和对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得 a = log4 6，b = log3 6
1
，则 = log 4
1
6 ， = log 3，a b 6
2a + b 1 2
故 = + = log6 4 + 2log6 3 = log6 4 + log6 9 = log 36 = 2 .ab a b 6
故答案为：2.
36．（2024·四川宜宾·三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音 1（do）的音阶频率为 f，则简谱中七个
9 81
音 1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是 f， f ， f ，
8 64
4 f 3 f 27 f 243， ， ， f ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音
3 2 16 128
的台阶只有两个不同的值，记为a ， b a > b ，a 称为全音， b 称为半音，则 lga 5 + lg b 2 - lg 2 = ．
【答案】0
【分析】根据条件求出a 和 b ，再求 lga 5 + lg b 2 - lg 2的值.
9 9 256 9 9 9
【详解】相邻两个音的频率比分别为 ， ， ， ， ， ，
8 8 243 8 8 8
9 256
由题意，a = ， b = ，
8 243
é 2 ù
lga 5 + lg b 2 - lg 2 lg 9 256= ê( )5 ÷ 2ú = lg1 = 0 .
ê 8 è 243 ú
故答案为：0.
1 1 1
37．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知实数 a，b 满足2a = 5b = m且 + = ，则 m＝ .a b 2
【答案】100
【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出 a,b
1 1 1
，再结合换底公式表示出 + = ，最后结合对数运算即
a b 2
可求解
【详解】由2a = 5b = m可得 a = log2 m,b
1
= log5 m = logm 2,
1
= logm 5，a b
1 1 1
又 + = ，即 logm 2 + logm 5 = logm 10
1
= ，
a b 2 2
1
所以m2 =10，即m =100
故答案为：100
38．（2024 高一·全国·课后作业）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之
的书法作品中选取 1000 个不重复的汉字，已知将 1000 个不同汉字任意排列，大约有 4.02 102567 种方法，
设这个数为 N，则 lgN 的整数部分为 .
【答案】2567
lg N = lg 4.02 102567【分析】由题意，得到 ，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
2567
【详解】由题可知， lg N = lg 4.02 10 = 2567 + lg 4.02．
因为1 < 4.02 < 10，所以0 < lg 4.02 < 1，
所以 lg N 的整数部分为 2567．
故答案为：2567.
39．（2024 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）幂函数 y=xa，当 a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一
组美丽的曲线（如图），设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xa，y=xb 的图象
三等分，即有 BM=MN=NA，那么 ab= .
【答案】1
【分析】求得M , N 的坐标，进而求得 a,b，从而求得 ab .
【详解】依题意，BM = MN = NA，所以M , N 是线段 AB 的三等分点，
A 1,0 , B 0,1 M 1 2 而 ，所以 , , N
2 1
3 3 ÷
, ÷，
è è 3 3
1
a b
2 2 1
所以 3 ÷
= , ÷ = ，
è 3 è 3 3
a = log 21 ,b = log
1
2 ,ab = log
2
1 × log
1
3 3 3 2
=1.
3 3 3 3 3
故答案为：1
40．（2024 高二上·上海浦东新·期末）定义 x 为不超过实数 x 的最大整数，例如：[-2.3] = -3，[p ] = 3，已
29 +1
知函数 f x = log2 x ，则 f 2i -1 =
i=1
【答案】4107
【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案.
29 +1
【详解】 f 2i -1 = f 1 + f 3 + f 5 +L+ f 210 +1
i=1
根据已知可得：
f 1 = log2 1 = 0，
f 3 = log2 3 =1，
f 5 = f 7 = 2，
f 9 = f 11 = f 13 = f 15 = 3，共 4 个，
f 17 = f 19 =L = f 25 -1 = 4，共 8 个（由17、19、L25 -1之间含多少个奇数决定），
f 33 =L = f 26 -1 = 5，共 16 个，
f 65 =L = f 27 -1 = 6，共 32 个，
f 129 =L = f 28 -1 = 7 ，共 64 个，
f 257 =L = f 29 -1 = 8，共 128 个，
f 513 =L = f 210 -1 = 9，共 256 个，
f 210 +1 =10，
29 +1
则 f 2i -1 = 0 +1+ 2 2 + 4 3+ 8 4 +16 5 + 32 6 + 64 7 +128 8 + 256 9 +10 = 4107 ，
i=1
故答案为：4107.
41．（2024·天津津南·模拟预测）已知 a >1，b >1，且 log2 a = logb 4，则 ab 的最小值为 ．
【答案】16
【分析】根据给定条件，利用换底公式变形，再利用均值不等式求解作答.
1 2
【详解】因为 a >1，b >1，则 log2 a > 0, log2 b > 0，由 log a = log 4，得 log2 a =2 b 2 log b ，2
则有 4 = log2 a × log2 b (
log2 a + log2 b)2 1= (log2 ab)
2
，当且仅当 log2 a = log2 b ，即 a = b = 4时取等号，2 4
于是 log2 ab 4， ab 16，
所以当 a = b = 4时，ab 取得最小值 16.
故答案为：16
四、解答题
42．（2024 高一下·广西崇左·阶段练习）计算下列各式的值（或 x 的值）：
(1) log x8 = 3
(2)10lg 2x-1 = 35
(3) log2 élog3 log4x ù = 0
(4) lg 5 2log 3
1 lg2
+ 2 + log2 + + ln116 2
【答案】(1) x = 2
(2) x =18
(3) x = 64
1
(4) -
2
【分析】（1）把对数式先化成指数式，再进一步运算求得结果；
（2）根据对数恒等式或者两边取以 10 为底对数，进一步化简求得结果；
（3）先由外层对数值求解真数，再以此类推求得结果；
（4）由对数运算法则、对数恒等式、换底公式求得结果.
【详解】（1）由 log x8 = 3，得 x3 = 8，所以 x = 2；
（2）由10lg 2x-1 = 35两边取以 10 为底对数，得 lg(2x -1) = lg35，即 2x -1 = 35，解得 x =18；
（3）由 log2 é log3 log4x ù = 0，得 log3 log4x =1，
所以 log4x = 3，即 x = 64；
（4） lg 5 + 2log2 3 + log
1 lg2
2 + + ln1 = lg 5 + 3- 4 + lg 2 + 0 = lg 10 1
1
- = - .
16 2 2
2 -2
1 1 x + x - 7
43．（2024 高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知 -x 2 + x 2 = 3，计算 1 1 ；
x + x-1
-
+ x 2 + x 2
（2） (lg5)2 + lg 2 lg5 + lg 20 + log2 25 log3 4 log5 9．
【答案】4，10
【分析】（1）根据指数幂的运算平方即可求解，
（2）根据对数的运算性质即可化简求解.
2
1 1
-
1 1
-
【详解】（1）由 x 2 + x 2 = 3可得 x > 0，将其平方得 x
2 + x 2 ÷ = 32 x + x-1 = 7，将 x + x-1 = 7平方可得
è
x2 + x-2 - 7 47 - 7
x2 + x-2 = 47，所以 1 1 = = 4，
x + x-1
-
+ x 2 + x 2 7 + 3
（2） (lg5)2 + lg 2 lg5 + lg 20 + log2 25 log3 4 log5 9 = lg5 lg 2 + lg5 + lg 20 + log2 52 log 223 log 25 3
= lg5 + lg 20 + 2 2 2log2 5 log3 2 log5 3 = lg100 + 8log2 5 log5 3 log3 2 = 2 + 8 =10
44．（2024 高三·全国·专题练习）计算下列各式的值：
1
-
(1) 0.25-2 8
3 1 1 0
+ ÷ - lg16 - 2lg5 +
27 2 ÷
；
è è 2
1
-
(2) log
1
2 2 lg12 4 16+ ÷ + lg 20 - lg 2 - log3 2 × log2 3+9 2 -1 .è
33
【答案】(1)
2
(2) 2
【分析】根据指数和对数运算法则直接化简求解即可.
1
- 0
3
【详解】（1）0.25-2 8 1 1+ 2 27 1 4 27 ÷
- lg16 - 2lg5 + ÷ = 4 + 3 - lg 2 - 2lg5 +1
è 2 è 2 8 2
16 3 2 lg 2 lg5 1 16 3 2 1 33= + - + + = + - + = .
2 2 2
1
1 -
（2 log） 2 2 4 16+
2 lg1 0
÷ + lg 20 - lg 2 - log 2 log
1 9
3 × 2 3+ 2 -1 = + + 2lg 2 + lg5 - lg 2 -1+ 2 -1
è 9 4 16
1 3
= + + lg 2 + lg5 -1+1 =1+1 = 2 .
4 4
45．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列各式中 x 的值．
(1) log3 log4 log5 x =1
(2) log3 log4 log5 x = 0
【答案】(1) x = 564 ；
(2) 625 .
【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可；
（2）利用对数式与指数式的关系化简即可.
【详解】（1）由 log3 log4 log5 x =1可得， log4 log5 x = 3，
则 log5 x = 4
3 = 64，
所以 x = 564 .
（2）由 log3 log4 log5 x = 0可得， log4 log5 x = 1，
故 log5 x = 4 ，所以 x = 54 = 625 .
46．（2024 高一·全国·课后作业）求值：
lg 27 + lg8 - 3lg 10
(1) ；
lg1.2
(2) |1+ lg 0.001| + lg2 1 - 4lg3 + 4 + lg 6 - lg 0.02的值．
3
3
【答案】(1)
2
(2)6
【分析】根据对数的概念及运算性质求解.
3 1 3
lg 27 + lg8 - 3lg 10 lg32 + lg 23 - 3lg102 lg3+ 3lg 2
3
-
【详解】（1）由题意可得 = = 2 2
lg1.2 lg12 lg 3 22 -1
10
3 lg3+ 2lg 2 -1 3
= 2 = .
lg3+ 2lg 2 -1 2
（2）由题意可得：
|1+ lg 0.001| + lg2 1 - 4lg3 + 4 + lg 6 - lg 0.02 = 1+ lg10-3 + lg2 3 - 4lg3 + 4 2+ lg 2 + lg3 - lg
3 100
= 1- 3 + lg3- 2 2 + lg 2 + lg3- lg 2 - 2 ，
因为 lg3 < 2 ，
所以 |1+ lg 0.001| + lg2 1 - 4lg3 + 4 + lg 6 - lg 0.02 = 2 + 2 - lg3+ lg 2 + lg3 - lg 2 + 2 = 6 .
3
2 1 2
47．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a，b，c 均为正数，且3a = 4b = 6c ，求证： + = ；
a b c
【答案】证明见解析
【分析】设3a = 4b = 6c = k ，则 k >1，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.
【详解】设3a = 4b = 6c = k ，则 k >1.
∴ a = log3 k, b = log4 k, c = log6 k ，
2 1 2 1
∴ + = + = 2logk 3+ loga b log k log k k
4 = logk 9 + logk 4 = logk 36 = 2logk 6，
3 4
2 2
而 = = 2log 6c log k k ，6
2 1 2
∴ + = ，得证.
a b c
