4.4 对数函数 14 题型分类
一、对数函数
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是(0，＋∞).
对数函数的特征
(1)logax 的系数是 1；
(2)logax 的底数是不等于 1 的正数；
(3)logax 的真数仅含自变量 x.
二、对数函数的图象和性质
定义 y＝logax(a>0，且 a≠1)
底数 a>1 0
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
x∈(0,1)时， x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
函数值
x∈[1，＋∞)时， x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞) y∈(－∞，0]
1
对称性 函数 y＝logax 与 y＝log x 的图象关于 x 轴对称
a
在直线 x＝1 右侧，a 值越大， 在直线 x＝1 右侧，a 值越小，
趋势
图象越靠近 x 轴 图象越靠近 x 轴
三、反函数的概念
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x
对称．对数函数 y＝log x xax 的定义域是指数函数 y＝a 的值域，而 y＝logax 的值域是 y＝a 的定
义域.
四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点
(1)对图象的影响：比较图象与直线 y＝1 的交点，此时直线 y＝1 与对数函数图象交点的坐
标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线 y＝1 由左向右看，
底数 a 增大(如图)：
(2)图象的特点：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象无限靠近 y 轴，但永远不会与 y 轴相交；
1
在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象与 y＝log x(a>0，且 a≠1)的图象关于 x 轴(即直
a
线 y＝0)对称．
（一）
对数函数的概念
判断一个函数是对数函数的方法
题型 1：对数函数的概念
1-1．（2024 高一上·江苏·课前预习）在b = log 2 3a-1 4 - a 中，实数 a 的取值范围是（ ）
1
A． - , ÷ U 2, +
1 2 2
B．
3
, ÷ U , 2
è è 3 3 ÷ è 3
1 1
C． , 2 D． , 2
è 3 ÷ 2 ÷ è
【答案】B
【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解.
【详解】要使式子b = log 3a-1 4 - a2 有意义，
ì3a -1 > 0
1 2 2
则 í3a -1 1 ，解得 a 或 a 2 .故 A，C，D 错误.
2 3 3 3
4 - a > 0
故选：B.
1
1-2．（2024 高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点P 8,3 ，则 f ÷ = ．
è 4
【答案】-2
【分析】首先求解对数函数，再代入求值.
【详解】设对数函数 f x = loga x（ > 0，且a 1），因为函数图象过点P 8,3 ，
所以 loga 8 = 3，得 a = 2，
f 1 所以 ÷ = log
1
2 = -2 .
è 4 4
故答案为：-2
1-3．（2024 高一上·吉林长春·阶段练习）若函数 y = loga x + a
2 - 3a + 2为对数函数，则 a =（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】B
【分析】根据对数函数的定义，令 a2 -3a + 2 = 0直接计算即可.
y = log x + a2【详解】由题可知：函数 a - 3a + 2为对数函数
所以 a2 - 3a + 2 = 0 a =1或 a = 2，又 a > 0且 a 1
所以 a = 2
故选：B
1-4．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是对数函数，则 a 的值是（ ）
A．1 或 2 B．1
C．2 D． a > 0且 a 1
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【详解】∵函数 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是对数函数，
∴ a2 - 3a + 3 =1， a > 0且 a 1，
解得 a =1或 a = 2，∴ a = 2，
故选：C．
（二）
对数型函数的定义域
（1）求对数型函数定义域的原则
①分母不能为 0.
②根指数为偶数时，被开方数非负．
③对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.
④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．
(2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下:
①分母不为 0;
②偶次方根下非负;
③ x0 中 x≠0;
④对数的真数大于 0;
⑤对数、指数的底 a 满足 a>0 且 a≠1.
(3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写
成集合(包含区间)的形式.
题型 2：对数型函数的定义域
ln(2x -1)
2-1．（2024 高二下·北京顺义·阶段练习）函数 y = 的定义域为 .
x -1
1
【答案】 ,1
÷ U 1,+
è 2
【分析】根据对数函数定义域解不等式即可求得结果.
ì2x -1 > 0 ìx 1 >
【详解】由函数解析式可得 í 2
x -1 0
，解得 í ；
x 1
1
所以函数定义域为 ,1÷ U 1,+ .
è 2
1
故答案为： ,1
÷ U 1,+
è 2
2-2．（2024 高一上· 2 - x广东东莞·期中）函数 f x = - log2 x的定义域为（ ）x
A． 0,2 B． - , 2
C． - ,0 0,2 D．[2, + ∞)
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
ì2 - x 0
【详解】由题意得： í x 0 ，解得0 x 2，
x > 0
\ f x 定义域为 0,2 .
故选：A.
f x
2-3 2．（2024 高三上·辽宁·开学考试）已知函数 f x +1 的定义域为 1,2 ，则函数 g x = lg x - 2 的定义域
为 .
【答案】 2,3 3,5
【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.
2
【详解】已知函数 f x +1 的定义域为 1,2 ，
所以 x 1,2 x2， +1 2,5 ，
所以函数 f x 的定义域为 2,5 ，
又 x - 2 > 0，且 x - 2 1，解得 x > 2，且 x 3，
所以 g x 定义域为 2,3 3,5 .
故答案为： 2,3 3,5 .
f x = 2 - x2 + log x 1+ 2-4．（2024 高二下·重庆·期末）已知函数 2 ÷，则 f x 的定义域为 ．
è 2
1 ù
【答案】 - , 2
è 2 ú
【分析】根据根式和对数式的限制条件可得答案.
ì2 - x2 0
【详解】因为 f x = 2 1- x2 + log 2 x + ÷，所以2 íx 1 ，è + > 0 2
1 1
解得- x 2
ù
，所以 f x 的定义域为
2
- , 2 .
è 2 ú
1 ù
故答案为： - , 2
è 2 ú
2-5．（2024 高二下·山东潍坊·期末）函数 f (x) = lg(x2 + 3x + 2) 的定义域是（ ）．
A． (-2,-1) B．[-2,-1]
C． (- ,-2) U (-1,+ ) D． (- ,-2]U[-1,+ )
【答案】C
【分析】根据真数大于 0 列不等式，求解可得.
【详解】由题知， x2 + 3x + 2 > 0，解得 x -2或 x > -1，
所以函数 f (x) 的定义域为 (- ,-2) U (-1,+ ) .
故选：C
2-6．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）若函数 f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为 R，则实数 m 的取值范围
是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根据 f x 定义域为 R 得到 x2 - mx +1 > 0在 R 上恒成立，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得 x2 - mx +1 > 0在 R 上恒成立，所以D = m2 - 4 0 ，解得-2 m 2 .
故答案为： -2,2 .
（三）
与对数有关的函数的值域与最值问题
(1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新
元的取值范围．
(2)对于形如 y＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数；
②求 f(x)的定义域；
③求 u 的取值范围；
④利用 y＝logau 的单调性求解．
题型 3：与对数有关的函数的值域与最值问题
2
3-1．（2024 高一上·山东潍坊·阶段练习）已知 f (x) = log 1 x ÷ - 2log 1 x + 4， x 2,4 ．
è 2 2
（1）设 t = log 1 x ， x 2,4 ，求 t的最大值与最小值；
2
（2）求 f (x) 的值域．
【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]
【解析】（1） t = log 1 x ， x [2， 4]，可得 t在 x [2， 4]上是减函数，即可得出．
2
（2） f (x) = t2 - 2t + 4 = (t -1)2 + 3 = g(t)，可得 g(t)在 t [-2， -1]单调递减，即可得出值域．
【详解】（1） t = log 1 x ， x [2， 4]，
2
\t 在 x [2， 4]上是减函数，
\ x = 2时 t有最大值 log 1 2 = -1；
2
x = 4时 t有最小值 log 1 4 = -2．
2
（2） f (x) = t2 - 2t + 4 = (t -1)2 + 3 = g(t)，
\ g(t)在 t [-2， -1]单调递减，
\t = -2 （即 x = 4) ，取得最大值， g(-2) = 12 ．
t = -1（即 x = 2) ，取得最小值， g(-1) = 7 ．
所以函数 f (x) 的值域[7，12]．
【点睛】利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.
3-2．（2024 高二下·山西运城·期末）已知函数 f x = lg x2 +1 , x -1,3 ，则 f x 的值域为（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． lg2,1 D．[0,1]
【答案】D
【分析】首先求出 x2 +1的范围，然后可得答案.
【详解】因为 x -1,3 2，所以 x +1 1,10 ，所以 f x = lg x2 +1 0,1 ，
故选：D
2
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = log 1 x - 6x +17 的值域是 ．
2
【答案】 (- , -3]
【分析】利用换元法，令 t = x2 - 6x +17，则 y = log 1t ，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域
2
即可
【详解】令 t = x2 - 6x +17，则 y = log 1t ，
2
因为 t = x2 - 6x +17 = (x - 3)2 + 8≥8，
所以 t = x2 - 6x +17的值域为[8, + ），
因为 y = log 1t 在[8, + ）是减函数，
2
所以 y = log 1t log 1 8 = -3，
2 2
所以 y = log 1 (x
2 - 6x +17)的值域为 (- , -3]，
2
故答案为： (- , -3]
ì-x2 + 2x + 3, x 2
3-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = í (a > 0且 a 1)，若函数 f x 的值域是
6 + loga x, x > 2
- , 4 ，则实数 a的取值范围是（ ）
2 2
A． ,1÷÷ B． ,1÷÷
è 2 2
C． 1, 2ù D． 1, 2
【答案】B
【分析】首先求出 f x 在 - , 2 上的取值范围，依题意需当 x > 2时，6 + loga x 4，分 a >1、0 a 1两
种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得.
【详解】当 x 2 f x = -x2时， + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4，函数在 - ,1 上单调递增，
在 1,2 上单调递减，所以 f x f 1 = 4，即 f x - , 4 ；
若函数 f (x) 的值域是 - , 4 ，则需当 x > 2时，6 + loga x 4．
当 a >1时， f (x) = 6 + loga x在 (2,+ ) 上单调递增，
此时 f x > f 2 = 6 + loga 2 > 6 ，不合题意；
当0 a 1时， f (x) = 6 + loga x在 (2,+ ) 上单调递减，
f x f 2 = 6 + log 2 4 log 2 -2 log 2 log a-2此时 a ，即 a ，则 a a ，
所以 a-2 2，显然 a > 0，解得 a 2 ，又0 a 1 2，所以 a 1．
2 2
2
综上所述，实数 a的取值范围是 ,12 ÷÷．
故选：B
3-5．（2024 高二下·重庆北碚·期末）已知函数 f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 既没有最大值，也没有最小值，则
a 的取值范围是（ ）
A． - ,2 18, + B． 2,18
C． 0,2 U 18,+ D． 0,2 U 18,+
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果.
【详解】由 y = ax2 + (a - 6)x + 2 2，a 不等于 0 时，D = a - 6 - 4a 2 = a2 - 20a + 36 ,
当 a > 0, D = a2 - 20a + 36 0得 2 a 18，
二次函数 y = ax2 + (a - 6)x + 2没有最大值，有最小值，
f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 没有最大值，有最小值，不合题意.
当 a > 0, D = a2 - 20a + 36 0得 a 18，0 a 2 ，二次函数 y = ax2 + (a - 6)x + 2没有最大值，有最小值，
Q y = ax2 + (a - 6)x + 2 > 0 , f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 没有最大值，没有最小值，\a 0,2 U 18,+
当 a 0, D = a2 - 20a + 36 0得 a 0，二次函数 y = ax2 + (a - 6)x + 2有最大值，没有最小值，
Q y = ax2 + (a - 6)x + 2 > 0 , f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 有最大值，没有最小值，不合题意.
当 a 0, D = a2 - 20a + 36 0无解.
当 a = 0 , y = ax2 + (a - 6)x + 2 = -6x + 2 2既没有最大值，也没有最小值， f (x) = ln ax + (a - 6)x + 2ù 没有最大
值，没有最小值，\a = 0 .
\a 0,2 U 18,+
故选：D.
（四）
对数函数的图象及应用
1．对数型函数的图象过定点问题
求函数 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的图象过的定点时，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定点为
(x，m)．
2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，
图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
题型 4：对数型函数的图象过定点问题
4-1．（2024 高一上·福建莆田·期中）函数 f x = loga 2x + 3 +1 a > 0, a 1 的图象恒过定点 .
【答案】( 1,1)
【分析】根据对数的性质即可令 2x + 3 =1求解.
【详解】令 2x + 3 =1，解得 x = -1，所以 f -1 = loga1+1 =1，
故函数 ( )的图象恒过定点( 1,1)，
故答案为：( 1,1)
4-2．（2024 高一上·新疆塔城·期末）函数 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的图象恒过点 ．
【答案】 1,2
【分析】根据对数函数的性质求出定点坐标.
【详解】令3x - 2 =1，解得 x =1，此时 y = loga 1+ 2 = 2，
故 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的图象恒过点 1,2 .
故答案为： 1,2
4-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）指数函数 y = a x +1（ a > 0且 a 1）过点 (m, n)，则 y = loga x -1 经过
点 .
【答案】 (2,0)
【分析】先求出 y = a x +1经过的定点 (0,2)，再证明 y = loga x -1 与 y = a x +1是一对反函数，即可得到
y = loga x -1 经过的定点.
【详解】由 y = a x +1（ a > 0且 a 1）可知， x = 0时， y = 2 ，则点 (m, n)为 (0,2)，
由 y = a x +1可得 a x = y -1，两边取对数得， x = log (y -1)，交换 x, ya 可得， y = loga (x -1)，
即 y = loga x -1 与 y = a x +1是一对反函数，图象关于 y = x 轴对称，
故 y = loga x -1 经过点 (2,0) .
故答案为： 2,0 .
4-4．（2024 高三·北京·专题练习）函数 f x = loga 2x - 3 + 8 a的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数 g x = x
的图象上，则 f 3 = .
【答案】9
【分析】根据对数函数的图象求出定点A 的坐标，代入 g x 求出 a的值，然后计算函数值即可.
【详解】因为函数 f x = loga 2x - 3 + 8的图象恒过定点A ，
令 2x - 3 =1，解得 x = 2，则 f 2 = loga 1+ 8 = 8，
所以A 点坐标为 2,8 ，
又点A 在幂函数 g x = xa的图象上，所以 2a = 8，解得 a = 3，
所以 f x = log3 2x - 3 + 8，
所以 f 3 = log3 2 3- 3 + 8 = 9，
故答案为：9
4-5．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 y = loga x + b + c(a > 0,且 a 1)的图象恒过定点 3,2 ，则实数
b = ， c = ．
【答案】 －2 2
【分析】根据对数函数的性质，结合公式 loga 1 = 0，即可求解.
【详解】∵函数的图象恒过定点 3,2 ，
∴将 3,2 代入 y = loga x + b + c ，
得 2 = loga 3+ b + c．
又当 a > 0，且 a 1时， loga 1 = 0恒成立，
\c = 2,3+ b =1，\b = -2,c = 2．
故答案为：-2； 2
题型 5：对数型函数的图象的判断
5-1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）当0 a 1时，在同一坐标系中，函数 y = a- x 与 y =loga x的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案.
1 x
【详解】当0 a 1时， >1，函数 y = a- x 1= ÷ 为底数大于 1 的指数函数，是增函数，函数 y =loga x为a è a
底数大于 0、小于 1 的对数函数，是减函数，
故选：C.
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y = a |x|(a > 0且a 1)的值域为[1,+ )，则函数 y = loga | x |的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由题意得 a >1，再结合 y = loga | x |的奇偶性和单调性分析即可.
【详解】∵ | x | 0，且 y = a|x|的值域为[1,+ )，∴ a >1，
当 x > 0时， y = loga | x |= loga x在 (0, + )上是增函数．
又函数 y = loga | x |= loga | -x |，所以 y = loga | x |为偶函数，图象关于 y 轴对称，
所以 y = loga | x |的大致图象应为选项 A．
故选：A．
5-3．（2024 高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 y = log1 x ，y = log 1 x ，y = log5 x
5 7
的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断即可.
1
【详解】因为 log1 log
1
= log 1
7 5
1 7 1 ，7 5 5
\（3）是 y = log 1 x ，（4）是 y = log1 x ，又 y = log1 x = - log5 x 与 y = log5 x 关于 x 轴对称，
7 5 5
\（1）是 y = log5 x ．
故选：B．
5-4．（2024 高一下·云南保山·期末）函数 y = 1- a x与 y =loga x（其中 a >1）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.
【详解】对于 A，因为 a >1，故 y = 1- a x为 R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；
对于 B， a >1时， y = 1- a x为 R 上的减函数， y =loga x为 (0, + )上增函数，图象符合题意；
对于 C， a >1时， y =loga x为 (0, + )上增函数，图象错误；
对于 D， a >1时， y =loga x为 (0, + )上增函数，图象错误；
故选：B
题型 6：对数型函数的图象及应用
6-1．（2024 高一上·江西南昌·期末）若0 b 1 a ，则函数 y = logb x + a 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论．
【详解】Q0 b 1 a ，
\ y = logb x在 (0, + )上单调递减，且过第一，第四象限，
图像向左平移 a个单位，得到 y = logb (x + a) ，
故函数 y = logb (x + a) 的图象不经过第一象限，
故选：A ．
6-2．（2024 高三上·全国·专题练习）已知函数 y=loga (x + c)(a,c 为常数，其中 a > 0, a 1) 的图象如图，则下
列结论成立的是（ ）
A． a >1,c >1 B． a >1,0 c 1
C．0 a 1,c >1 D．0 a 1,0 c 1
【答案】D
【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0 a 1；
因为图象与 y 轴的交点在 y 轴上方，所以 y=loga 0 + c > 0 = loga 1，所以0 c 1.
故选：D
6-3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数 f x = log2 a + x 的图象不过第四象限，则实数 a 的取值范围
为 ．
【答案】 1, +
ì f 0 0
【分析】作出函数 f x = log2 a + x 的大致图象，结合图象可得 í ，即可得解.
-a 0
【详解】函数 f x = log2 a + x 的图象关于 x = -a对称，其定义域为 x x -a ，
作出函数 f x = log2 a + x 的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数 f x = log2 a + x 的图象不过第四象限，
ì f 0 0 ìlog2 a 0
则 í ，即 í ，解得a 1，
-a 0 -a 0
所以实数 a 的取值范围为 1, + .
故答案为： 1, + .
1
6-4 2．（2024 高一上·江苏镇江·期末）若不等式 x - loga (x +1) 2x -1在 x ，1÷上恒成立，则实数 a 的取值è 2
范围为（ ）
16
A． ，1
16
÷ B． ，181 ÷ è 81
81ù 3 81ù
C． 1，
è 16 ú
D． ，
è 2 16 ú
【答案】C
2
【分析】把不等式变形为 x -1 loga (x +1)，分0 a 1和 a >1情况讨论，数形结合求出答案.
2 1
【详解】x - loga (x +1) 2x -1变形为：x
2 - 2x +1 loga (x +1)
2
，即 x -1 log (x 1) x ,1 a + 在 ÷上恒成立，è 2
1 1
若0 a 1，此时 f x = loga (x +1) 在 x
,1
÷上单调递减， f x = loga (x +1) loga ( +1) 0 ，而当è 2 2
x 1 ,1÷时， g x2 = x -1
2 > 0 ，显然不合题意；
è
当 a >1时，画出两个函数的图像，
2 1 1x 1 log (x 1) x ,1 f 1 1
2
1
要想满足 - a + 在 ÷上恒成立，只需 ÷ g2 2 ÷ ，即2 loga ( +1) -1
，
è è è 2 2 ÷è
4
3
4
3 ù
解得： a 2 ÷
，综上：实数 a 的取值范围是 1, ÷ ú .
è è è 2 ú
故选：C
6-5．（2024 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系
成立的是（ ）
A． 0 a b 1 B．0 a 1 b
C．0 b 1 a D． a 0 1 b
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到 a,b的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数 y = a x 为减函数，
对数函数 y = logb x 为增函数，
所以0 a 1,b >1，
即0 a 1 b .
故选：B
（五）
对数型函数的单调性
形如 f(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求 g(x)>0 的解集(也就是函数 f(x)的定义域)．
(2)当底数 a>1 时，在 g(x)>0 这一前提下，g(x)的单调增区间是 f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是 f(x)的
单调减区间．
(3)当底数 00 这一前提下，g(x)的单调增区间是 f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是 f(x)
的单调增区间．
题型 7：对数型函数的单调性问题
7-1．（2024 高二下·江苏苏州·阶段练习）函数 f x = ln 2x2 - 3x +1 的单调增区间为 .
【答案】 1, +
【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性质，
可求得答案
【详解】函数 f x = ln 2x2 - 3x +1 ，
1
所以定义域为 2x2 - 3x +1 > 0 ，解得 x >1或 x ，2
1
令 t = 2x2 - 3x +1（ x >1或 x ），则 y = lnt ，
2
2 3 因为 t = 2x - 3x +1在 ,+ ÷上单调递增，而 y = lnt4 在定义域内为增函数，è
所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数 f x = ln 2x2 - 3x +1 的单调递增区间为 1, +
故答案为： 1, + .
7-2．（2024 2高一下·河南·阶段练习）已知函数 f (x) = ln -3x + 4x + 4 ，则 f (x) 的单调增区间为 .
2 2
【答案】 (- , )
3 3
【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可.
2
【详解】令-3x2 + 4x + 4 = -(3x + 2)(x - 2) > 0，即- x 2 ，
3
由 y = -3x2 + 4x + 4 = -3(x
2)2 16 2- + 2，则 y 在 (- , ) 上递增，在 ( ,+ )
3 3 3 3
上递减，
2
综上， y 在 (- ,
2) 上递增，在 (
2 , 2)上递减，而 y = ln x 在定义域上递增，
3 3 3
所以 f (x)
2 2
的单调增区间为 (- , ) .
3 3
2
故答案为： (- ,
2)
3 3
7-3．（2024 高二下· 2浙江衢州·期末）函数 y = log0.5 x - x - 2 的单调递增区间为（ ）
A． - ,-1 B． 2, +
1 1
C． - ,-1 和 , 22 ÷ D． -1, ÷和 2, + è è 2
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.
2 2
【详解】对于函数 y = log0.5 x - x - 2 ，令 x - x - 2 > 0，解得 x -1且 x 2，
所以函数的定义域为 - , -1 U -1,2 U 2,+ ，
y x2
ì
x 2
x2 - x - 2, x - ,-1 2,+
又函数 = - - = í 2 ，
-x + x + 2, x -1,2
所以 y = x2 - x - 2 在 2, + -1, 1 1 ， ÷上单调递增，在 - ,-1 ， , 2÷上单调递减，
è 2 è 2
又函数 y = log0.5x 在定义域 0, + 上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知 y
1
= log 20.5 x - x - 2
的单调递增区间为 - ,-1 和 , 2÷ .
è 2
故选：C
（六）
比较对数值的大小
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不相同时，找中间量．
提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与 0 或 1 的大小．
题型 8：比较对数值的大小
8-1．（2024 高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小．
① log3 1.99，log3 2 .
② log3 0.2，log4 0.2 .
③ log2 3，log0.3 2 .
④ loga π，loga 3.14 (a > 0且 a 1) .
【答案】答案见解析
【分析】①利用对数函数的单调性即可；②根据对数函数的图像判断；③利用中间量 0 即可；④根据对
数函数的单调性分类讨论即可.
【详解】①因为 f x = log3 x 在 (0, + )上是增函数，且1.99 2，则 f (1.99) f (2)，所以 log3 1.99 log3 2
②作出 y = log3 x和 y = log4 x 的图象如下图．
由图象知 log3 0.2 log4 0.2 .
③因为 log2 3 > log2 1 = 0，
log0.3 2 log0.3 1 = 0 ,所以 log2 3 > log0.3 2 .
④当 a >1时，函数 y =loga x在定义域上是增函数，则有 loga π > loga 3.14；
当0 a 1时，函数 y =loga x在定义域上是减函数，则有 loga π< loga 3.14 .
综上所述，当 a >1时， loga π > loga 3.14；
当0 a 1时， loga π< loga 3.14 .
8-2．（2024 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且在[0,+ )上单调递增，
1
a 1= f log1 ÷ ,b = f
log 1 ÷ ,c = f 522 ÷，则（2 3 ）è 3 è è
A． a > b > c B． c > a > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质和题设条件，化简得到 a = f (log3 2)，b = f (log2 3) ，结合对数函数的娥单调性，
得出 log3 2 log2 3 5 ，再由 f (x) 在[0,+ )上单调递增，即可求解.
【详解】因为函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，
可得 a = f (log
1
1 ) = f (- log
1) = f (log 2) 1
3 2
3 2 3 ，b = f (log2 ) = f (- log2 3) = f (log3 2
3) ，
2
由对数的运算性质，可得 log3 2 log3 3 = 1，1 = log 2 log2 3 log2 4 = 2，
又由 2 5 ，所以 log3 2 log2 3 5 ，
又因为 f (x) 在[0,+ )上单调递增，所以 f (log3 2) f (log2 3) f ( 5)，即 c > b > a .
故选：D.
1
8-3．（2024 高一上·河南南阳·期末）三个实数 -a = log3 4,b = log2 5,c = 3 2 的大小关系为（ ）
A．a c b B． c a b
C． c b a D．b c a
【答案】B
1
【分析】根据对数函数的性质判断 a = log -3 4,b = log2 5的范围，根据分数指数幂运算化简 c = 3 2 ，判断 c的
范围，即可得答案.
【详解】由于1 = log3 3 log3 4 log3 9 = 2, log2 5 > log2 4 = 2，
1
-
c 3= 3 2 = (0,1)，
3
1
故 -c = 3 2 a = log3 4 b = log ，2 5
故选：B
8-4．（2024 高二上·湖南长沙·开学考试）设 a = log8 27 ，b = log0.5 0.2， c = log4 24，则（ ）
A．a b c B．b a c C．a c b D．b c a
【答案】C
【分析】先利用对数的运算法则把 a,b,c化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】 a = log8 27
1
= log2 27 = log2 3，b = log0.5 0.2 = - log2 0.2 = log2 5， c = log4 24
1
= log2 24 = log2 24 ，3 2
因为 y = log2 x 在定义域上是增函数，且3 24 5，故a c b .
故选：C.
8-5．（2024 高二上·湖北武汉·开学考试）已知 a = log0.3 0.7，b = 0.7-0.3， c = log7 3则（ ）
A．a c b B． c a b C． c b a D．a b c
【答案】A
【分析】根据题意，由指数函数和对数函数的单调性分别限定 a,b,c的范围即可求出结果.
【详解】由 y = log0.3 x 在 0, + 上单调递减可知， log0.3 1< log0.3 0.7< log0.3 0.3 ，
即0
1
a ；
2
由对数函数 y = log7 x 在 0, +
1
上单调递增可知， log7 7 < log7 3< log7 7，即 c 1；2
又可知b = 0.7-0.3 >0.70 =1，即b >1；
所以可得a c b .
故选：A
（七）
求解对数不等式
常见对数不等式的 2 种解法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a＞1
与 0＜a＜1 两种情况讨论．
(2)形如 logax＞b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 y＝logax 的单调
性求解．
题型 9：求解对数不等式
9-1．（2024 高一上·全国·课后作业）解下列关于 x 的不等式．
(1) log 1 x > log 1 (4 - x) ；
7 7
(2) loga 2x - 5 > loga x -1 ；
(3) log
1
x >1．2
【答案】(1) x 0 x 2
(2)答案见解析
ì 1 ü
(3) íx x 12
【分析】（1）根据对数函数 y = log 1 x 的单调性，列式求解；（2）讨论 a >1和0 a 1两种情况，解不等式；
7
（3）讨论 x >1和0 x 1两种情况解不等式.
ìx > 0
【详解】（1）由题意可得 í4 - x > 0
x 4 - x
解得0 x 2，
所以原不等式的解集为 x 0 x 2 ．
ì2x - 5 > 0
（2）当 a >1
时，原不等式等价于 íx -1 > 0 ，
2x - 5 > x -1
解得 x > 4，
ì2x - 5 > 0
当0 a 1时，原不等式等价于 íx -1 > 0
2x - 5 x -1
5
解得 x 4
2
综上所述，
当 a >1时，原不等式的解集为 x x > 4 ；
ì 5 ü
当0 a 1时，原不等式的解集为 íx x 42
.
log 1 1（3）当 x >1时，由 x > log2 x
x ，可得 x ，此时无解；
2
0 1 1当 x 1时，由 log x > log x x ，可得 x 1．2 2
ì 1 ü
综上，原不等式的解集为 íx x 12
.
9-2．（2024 高一上·全国·课后作业）不等式 loga (2x + 3) > loga (5x - 6), (a >1)的解集为 ．
【答案】 (
6 ,3)
5
ì2x + 3 > 0
【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组 í5x - 6 > 0 ，即可求解.
2x + 3 > 5x - 6
【详解】因为 a >1，可得对数函数 y =loga x为单调递增函数，
ì2x + 3 > 0
则原不等式等价于 í5x - 6 > 0
6 6
，解得 x 3，即原不等式的解集为 ( ,3) .
5 5
2x + 3 > 5x - 6
故答案为： (
6 ,3) .
5
9-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = log2 3x -1 ，则使得 2 f (x) > f (x + 2) 成立的 x 的取值范
围是（ ）
5
A． - ,
4
+ ÷ B． , + ÷
è 3 è 3
1 1
C． - , -
÷ D． - , +
è 3 ÷ è 3
【答案】B
【分析】应用对数运算性质及对应对数函数的单调性求解集即可.
【详解】由题设 2log2 (3x -1) > log (3x + 5) log (3x -1)22 ，即 2 > log2 (3x + 5)，
ì 3x -1 2 > 3x + 5
因为函数 y = log2 x 在 (0, + )上单调递增，所以 í3x -1 > 0
4
，解得 x > .
3x 5
3
+ > 0
故选：B
（八）
根据对数型函数的单调性求参数
已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；
若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
题型 10：根据对数型函数的单调性求参数
10-1．（2024 高三上·云南昆明· 2开学考试）设函数 f x = ln -x + 4x 在 a, a +1 上单调递增，则 a的取值范
围为（ ）
A． 0,1 B．[0,2]
C． (0,2) D．[0,1]
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性列出不等式组解出即可.
【详解】由函数-x2 + 4x > 0，得0 x 4，
即函数 f x 的定义域为 0,4 ，
令 g x = -x2 + 4x, x 0,4 ，
由函数 g x 的对称轴为： x = 2，开口向下，
所以 g x 在 0,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减，
又 y = ln x 在 0, + 上单调递增，
所以当函数 f x 在 a, a +1 上单调递增时，
ìa 0
所以根据复合函数的单调性可知： í ，
a +1 2
解得0 a 1，
故选：D.
10-2．（2024 高一·全国·专题练习）设函数 f x = ln 2ax - x2 在区间 3,4 上单调递减，则 a的取值范围
是 .
【答案】 2,3
【分析】根据复合函数单调性可得 t = 2ax - x2 在 3,4 单调递减，结合二次函数单调性与对数函数定义域求
解即可.
【详解】 y = ln t在 0, + 单调递增，故 t = 2ax - x2 在 3,4 单调递减，则 a 3，
又∵ t = 2ax - x2 > 0在 3,4 恒成立，
则8a -16 0，故 a 2，∴ 2 a 3，
故答案为： 2,3
2
10-3．（2024 高一上·广西玉林·阶段练习）已知函数 y = log 1 x - ax + a 在区间 - , 2 上是增函数，求实数
2
a的取值范围 ．
【答案】 2 2,2 2 + 2ù
【分析】根据复合函数的单调性可得出关于实数 a的不等式组，由此可解得实数 a的取值范围.
【详解】令u = x2 - ax + a，因为外层函数 y = log 1 u 为减函数，则内层函数u = x2 - ax + a在区间 - , 2 上
2
是减函数，
ìa
2
所以， í 2 ，解得 2 2 a 2 2 + 2 .
2 - 2a + a 0
故答案为： 2 2,2 2 + 2ù .
（九）
与对数函数有关的函数的奇偶性
要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如 f(x)＝logag(x)的函
数，利用 f(－x)±f(x)＝0 来判断奇偶性较简便．
题型 11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题
f (x) (x a) ln x +111-1．（2024 高二下·陕西渭南·期末）若 = + 为偶函数，则 a等于 .
x -1
【答案】0
【分析】先求出定义域，然后由 f (-2) = f (2)可求出 a，再验证上即可.
x +1
【详解】由 > 0，得 x -1或 x >1，则函数的定义域为 (- , -1) U (1, + ) ，
x -1
f (x) (x a) ln x +1因为 = + 为偶函数，
x -1
所以 f (-2) = f (2)，
所以 (-2 + a) ln
-2 +1
= (2 + a) ln 2 +1，
-2 -1 2 -1
(a - 2)ln 1 = (a + 2)ln3，得-(a - 2)ln3 = (a + 2)ln3，
3
解得 a = 0，
当 a = 0时， f (x) x ln
x +1
= ，则
x -1
f ( x) x ln -x +1 x ln x -1 x +1
-1 x +1
- = - = - = -x ln
-x -1 x +1 x -1÷
= x ln = f (x)，
è x -1
所以 f (x) x ln
x +1
= 为偶函数，
x -1
所以 a = 0符合题意.
故答案为：0
11-2．（2024 高一上·江苏南京·期中）已知函数 ( ) = log3(3
+1) + 2 是偶函数，则实数 k 的值为（ ）
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．-
2 3 4 5
【答案】C
【分析】由于 f (x) 为偶函数，所以 f (-x) = f (x) ，化简可求出实数 k 的值.
【详解】解：定义域为R ，
∵ ( ) = log (3 3 +1) + 2 是偶函数，
∴ f (-x) = f (x) ，
即log3(3
+1) 2 = log3(3
+1) + 2 ，
∴log 3 +1 log (3 3 3 +1) 4 = 0，即 4 = 0，3
即( 1 4 ) = 0，
1
∵ x R ，∴ 1 4 = 0，得 k = - ．
4
故选：C
11-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数 f x 是定义在R 上的偶函数， ( 1)是奇函数，且当0 x 1时，
f x = log2024x，则 f 2023 + f
1
-
= ．
è 2024 ÷
【答案】-1
【分析】根据函数的奇偶性得出函数的周期，再结合对数运算得出函数值.
【详解】因为 f x 是定义在R 上的偶函数，所以 f -x = f x ，可得 f -x -1 = f x +1 ．
因为 f x -1 是奇函数，所以 f -x -1 = - f x -1 ，
所以 f x +1 = - f x -1 , f x + 2 = - f x , f x + 4 = f x ，所以 f x 是周期为 4 的周期函数，
所以 f 2023 f 1 1 1 1+ - ÷ = f -1 + f
= f 1 + f ÷ ÷ = 0 + log2024 2024 2024 2024 = -1．è è è 2024
故答案为：-1.
11-4．（2024 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x 单调递
减，则不等式 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 的解集为 .
è 3
ì 5 41 13ü
【答案】 íx x 或 x >2 16 2
.
【分析】由已知可得 f x 在 (0, + )上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为
f log1 2x - 5 ÷÷ > f log3 8 ，则可得 log3 2x - 5 > log3 8，再对数的性质要求得结果
è 3
【详解】因为函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x 单调递减，
所以 f x 在 (0, + )上递增，
因为 f x 是定义在R 上的偶函数，
所以由 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 ，得 f log1 2x - 5 ÷÷ > f log3 8 ，è 3 è 3
所以 log3 2x - 5 > log3 8，
所以 log3 2x - 5 - log3 8或 log3 2x - 5 > log3 8，
0 2x 5 1所以 - 或 2x - 5 > 8，
8
5 x 41 13解得 或 x > ，
2 16 2
ìx 5 x 41 x 13 > ü所以不等式的解集为 í 或 .
2 16 2
ì 5 41 13ü
故答案为： íx x 或 x > .
2 16 2
11-5．（2024· 2山东泰安·模拟预测）已知 f x = x g x 为定义在 R 上的偶函数，则函数 g x 的解析式可以为
（ ）
2
A． g x ln 1+ x 2= 2 B． g x =1-1- x 2x +1
ìx2 - x, x 0C． g x = í 2 D． g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |
x + x, x 0
【答案】C
【分析】先确定出 g x 的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可.
f x = x2【详解】因为 g x 是定义在 R 上的偶函数，所以 ( ) = ( )，即 g -x = g x ，
所以 g x 是定义在 R 上的偶函数.
对于选项 A，因为1- x2 > 0，所以函数 g x 定义域为( 1,1)，所以不满足题意；
2 2x -1
对于选项 B，函数 g x =1- x = x 定义域为 R，2 +1 2 +1
- x x
g -x 2 -1 1- 2= g x
2- x
= x = -g x ， 是奇函数，不符合题意；+1 1+ 2
ìx
2 - x, x 0
对于选项 C，函数 g x = í 2 定义域为 R，
x + x, x 0
当 x > 0时，-x 0， g -x = -x 2 + -x = x2 - x = g x ，
x 0 x 0 g -x = -x 2当 时， - > ， - -x = x2 + x = g x ，
且 g 0 = g -0 = 0，所以 g x 为偶函数，符合题意；
对于选项 D，函数 g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |定义域为 R，
g -x = -x - 2 - -x + 2 = x + 2 - x - 2 = -g x ， g x 为奇函数，不符合题意；
故选：C.
题型 12：对数函数性质的综合
12-1．（2024 高三上·山西长治·阶段练习）已知函数 f (x) = loga (1+ x) ， g(x) = loga (1- x)(a > 0,且a 1)．
(1)求函数 f x + g x 的定义域；
(2)判断函数 f x + g x 的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数 f x + g x 的值域．
【答案】(1) -1,1
(2)偶函数，理由见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义判断.
（3）换元后分 a >1和0 a 1两种情况分析判断.
【详解】（1）1+ x > 0且1- x > 0，得-1 x 1，即定义域为 -1,1 .
（2）因为定义域关于原点对称，且 f (-x) = loga (1- x) + loga (1+ x) = f (x) ，
所以函数为偶函数.
（3） f x + g x = loga (1+ x) + loga (1- x) = loga (1- x2 ) ，
令 t =1- x2 ，由-1 x 1，得0 t 1，
则 y = loga t ， t (0,1]，
当 a >1时， y = loga t 0，所以原函数的值域为 (- ,0]；
当0 a 1时， y = loga t 0，所以原函数的值域为[0,+ ) .
12-2．（2024 高一上·湖北十堰·期末）已知函数 f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且 a≠1）．
(1)求 f（x）的定义域．
(2)是否存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2？若存在，求出 a 的值；若不
存在，请说明理由．
3
【答案】(1) -
，
a ֏
(2) 13 -1存在， a =
2
【分析】（1）令 3﹣ax＞0，解不等式即可求解；
（2）假设存在 a 满足题意，利用复合函数的单调性以及对数函数的性质和函数的最值即可求解．
【详解】（1）由题意可得 3﹣ax＞0，即 ax＜3，
3
因为 a＞0，所以解得 x＜ ．
a
3
故 f（x）的定义域为 - ， ÷；
è a
（2）假设存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2．
设函数 g（x）＝3﹣ax，由 a＞0，得﹣a＜0，
所以 g（x）在区间[1，2]上为减函数且 g（x）＞0 恒成立，
3
则 g（2）＞0，解得 0＜a＜ ，
2
又因为 f（x）在区间[1，2]上单调递减，
1 a 3所以 a＞1，即 ＜ ＜ ，
2
又因为 f（x）在区间[1，2]上的最大值为 2，
所以 f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2，
整理得 a2+a 3 0 a 13 -1﹣ ＝ ，解得 = a＞0 ．
2
13 -1 3
因为3＜ 13＜4，所以 a = 1
， ÷，2 è 2
a 13 -1所以存在实数 = ，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2．
2
12-3．（2024 高一上·江苏淮安·期中）已知 f (x) = lg(ax + x2 +1)是定义在 R 上的奇函数，其中 a > 0．
（1）求 a的值；
（2）判断 f (x) 在[0, + ) 上的单调性，并证明；
（3）若对于任意的 x R都有 f (x + x2 +1) > - lg( (mx)2 +1 - mx)成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1） a =1；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）0 m 2 .
【分析】（1）根据 f -x + f x = 0，求 a的取值；（2）首先设函数 t x = x + x2 +1，同时函数单调性的定
义，设0 x1 x2 ， t x1 - t x2 0 ，判断函数的单调性；（3）根据不等式恒成立，转化为
f x + x2 +1 > f mx ，利用函数的单调性，转化为 x + x2 +1 > mx ，参变分离后求实数m 的取值范围.
【详解】（1） f -x + f x = lg -ax + x2 +1 + lg ax + x2 +1
= lg x2 +1- a2x2 = 0，
得 a2 =1，Qa > 0，\a = 1；
（2） f x = lg x + x2 +1 ，
设 t x = x + x2 +1，设0 x1 x2 ，
t x - t x = x + x2 21 2 1 1 +1 - x2 - x2 +1
x2x x x2 1 x2 - x
2
= 1 - 2 + 1 + - 2 +1 = x1 - x2 + 1 2
x21 +1 + x
2
2 +1
= x x1 + x21 - x2 1+ ÷ x2è 1 +1 + x22 +1 ÷
Q0 x1 x2 ，\t x1 t x2
\t x 2单调递增，根据复合函数的单调性可知 f x = lg x + x +1 单调递增；
（3）Q - lg mx 2 1+1 - mx = lg = lg mx 2 +1 + mx = f mx 2 ，mx +1 - mx
\ f x + x2 +1 > f mx ，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在 0, + 单调递增，所以函数在 R 上单调
递增，
\ x + x2 +1 > mx，
x > 0 m x + x
2 +1 1 1
当 时， =1+ 1+ 恒成立，即m 1+ 1+2 2 ÷÷ ，x x è x min
因为1 1+ 1+ 2 > 2，则m 2，x
x + x2 +1 1 1
当 x 0 时，m > =1- 1+ 恒成立，即m > 1- 1+ ，因为
x x2
x2 ÷÷è max
1 1- 1+ 2 0，则m 0，x
当 x = 0时，m R，
综上可知，对"x R 恒成立，即0 m 2 .
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的性质的综合应用，本题第三问的关键是
- lg mx 2 +1 - mx 转化为 f mx ，再根据函数的单调性解抽象不等式.
题型 13：对数函数的实际应用
13-1．（24-25 高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与
亮度满足m1 - m2 = 2.5 lgE2 - lgE1 ．其中星等为mi 的星的亮度为Ei i =1,2 ．已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是（ ）
（注：当 x 较小时，10x 1+ 2.3x + 2.7x2）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
【答案】C
E1
【分析】根据题意可得1-1.25 = 2.5 lgE2 - lgE1 ，求出 E 即可得解.2
E1 1 E
1
【详解】根据题意可得1-1.25 = 2.5 lgE - lgE 1 102 1 ，所以 lg = ，解得 r = =10E ，2 10 E2
1 1
根据参考公式可得 r 1+ 2.3 + 2.7 =1.257，
10 100
故与 r 最接近的是 1.26．
故选：C.
13-2．（2024 高二下·云南昭通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现
O
鲑鱼的游速 v（单位：m / s）可以表示为 v = klog3 ，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速100
为0.5m / s时耗氧量的单位数为 300，则一条鲑鱼游速为1.5m / s时耗氧量的单位数为（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
【答案】C
【分析】首先根据条件求 k ，再代入 v =1.5求O的值.
1 klog 300 1 1 O【详解】由题意可得 = 3 ，解得k = ，所以 v = log .2 100 2 2 3 100
令1.5
1 log O= 3 ，解得O = 2700，所以游速为1.5m / s时耗氧量的单位数为 2700，2 100
故选 C.
13-3．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级 f (x) (单位：dB)与声音强度 x(单位：ω / m2 )满足
f (x) 10 lg x= -12 . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说10
话时声音强度的108 倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D
【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1, x2 ，根据题意得出 f x1 =140和
x1 =108
x ，算出
x2，可计算出 f x2 = 60 .
2
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1, x2 ，
由题意可得 f x =10 lg x11 -12 =140，解得 x1 =102 ，10
x1 10
2 -6
因为 = =108 -6，所以 x =10 ，所以
x x 2 f 10
-6 =10 lg 10-12 = 60，
2 2 10
所以一般说话时声音的等级约为 60dB.
故选：D
13-4．（24-25 高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量 y （单位：只）与时间 x （单位：
年）近似满足关系 y = a log3 x + 2 ，观测发现 2018年冬（作为第 1 年）有越冬白鹤 3000 只，估计到 2024
年冬有越冬白鹤（ ）
A．4000 只 B．5000 只
C．6000 只 D．7000 只
【答案】C
【分析】根据 f (1) = 3000解得 a = 3000，再令 x = 7，计算 f (7) 即可.
【详解】由题意，当 x =1时， a log3(1+ 2) = a = 3000 ，
所以 f (x) = 3000 × log3(x + 2) ，
到 2024年，当 x = 7时， f (7) = 3000 × log3(7 + 2) = 3000 ×2 = 6000 .
故选：C.
13-5．（2024 高一下·湖北·阶段练习）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术中的数学原理之一是香农公式：
C = Wlog 1 S+ 2 ÷，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C 取决于信道带宽W 、信道
è N
S
内所传信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪音功率 N 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 x 比较大时，
N
y = loga 1+ x (a >1) loga x ，按照香农公式，由于技术提升，宽带W 在原来的基础上增加20%，信噪比从
1000 提升至 8000，则C 大约增加了（ ）（附： lg2 0.3010）
A．37% B． 45% C．48% D． 56%
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为 1000 和 8000 时C 的比值即可求解.
S
【详解】由题意可得，当 =1000时，C1 = W log2 1000 ，N
S
当 = 8000时，C2 =1.2W logN 2
8000，
C2 1.2W log2 8000 6log2 8000 6lg8000 6 lg1000 + 3lg 2 所以 = = = =
C1 W log2 1000 5log2 1000 5lg1000 15
2 3+ 3 0.3010
1.56，
5
所以C 的增长率约为 56% .
故选：D
（十）
反函数的应用
1、求反函数的步骤
(1)求出函数 y＝f(x)的值域；
(2)仅解 x，即由 y＝f(x)解出 x＝f－1(y)；
(3)把 x＝f－1(y)改写成 y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线 y＝x 对称．
(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线 y＝x 对称．
题型 14：反函数的应用
14-1．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知函数 y = f x 与 y = 3x 是互为反函数，则（ ）
f 1 1 A． ÷ = -1 B． f ÷ = -2 C． f 1 = 3 D． f 3 =1
è 9 è 3
【答案】D
【分析】首先得到 f x 的解析式，再代入计算可得.
【详解】因为函数 y = f x 与 y = 3x 是互为反函数，
所以 f x = log x f 1 3 ，则 ÷ = log
1 1 1
3 = -2
， f
9 9 ÷
= log3 = -1，
è è 3 3
f 1 = log3 1 = 0， f 3 = log3 3 =1，即正确的只有 D.
故选：D
14-2．（2024 高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（ ）
A． y = lnx, y = ex B． y = log2x, y = log0.5x
x
C y = 2log x, y = 2x D y 1= ． ． , y = 2x2 ÷
è 2
【答案】A
【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于 A， y = ln x 的反函数为 y = ex ，所以 A 正确，
对于 B， y = log2x 的反函数为 y = 2x ，所以 B 错误，
对于 C， y = 2x 的反函数为 y = log2x ，所以 C 错误，
对于 D， y = 2x 的反函数为 y = log2x ，所以 D 错误，
故选：A
14-3 x．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知函数 f x = a (a > 0，且 a 1)的图象过点 2,4 , g x 是 f x 的
2 + x
反函数，则函数 g （ ）
è 2 - x ÷
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
【答案】B
2 + x
【分析】首先代入点的坐标求出 a，即可求出 g x 的解析式，从而求出 g ÷的解析式，再根据奇偶性
è 2 - x
的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.
f x = a x【详解】因为函数 (a > 0，且 a 1)的图象过点 2,4 ，所以 a2 = 4，解得 a = 2（负值已舍去），
f x = 2x所以 ，又 g x 是 f x 的反函数，所以 g x = log2 x，
g 2 + x 2 + x 2 + x则 = log2 - x ÷ 2 ，令
> 0，解得-2 x 2，
è è 2 - x ÷ 2 - x
g 2 + x 2 + x 2 + x所以 ÷的定义域为 -2,2 ，令 h x = g
= log
2 - x 2 - x ÷ 2 ÷
，
è è è 2 - x
则 h -x log 2 - x log 2 + x= 2 ÷ = - 2 ÷ = -h x h x g
2 + x
，所以 =
2 + x 2 - x ÷
为奇函数，
è è è 2 - x
y 2 + x -4又 = = -1在 -2,2 上单调递增， y = log2 x 在定义域 0, + 上单调递增，2 - x x - 2
所以 g
2 + x log 2 + x ÷ = 2 ÷在 -2,2 上单调递增.
è 2 - x è 2 - x
故选：B
14-4．（2024 高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可.
【详解】对①，取函数 y = x, x 1 ，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数 y = x2，则 x = ± y ，显然函数 y = x2不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数 y = x3 - x，当 y = 0 时有 x = 0和 x =1与之对应，
即从 y 到 x 的映射不满足函数定义，故奇函数 y = x3 - x没有反函数，③错误.
故选：A
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = log 1 x 在区间[1, 2]上的值域是（ ）
2
A．[-1,0] B．[0,1]
C．[1,+ ) D． (- ,-1]
【答案】A
【分析】利用函数单调性求值域即可.
【详解】Q y = log 1 x在[1, 2]上是减函数，
2
\-1 log 1 x 0 ，即值域为[-1,0] .
2
故选：A.
log x
2．（2024 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 f x = 2 的定义域为（
2x 1 ）-
0, + 1, + 0,1 0, 1 U 1 , + A． B． C． D． 2 ÷ è è 2 ÷
【答案】D
【分析】根据真数大于 0，分母不等式 0 得到不等式组，求出定义域.
ìx > 0
【详解】由题意得 í ，解得 x
0,
1
÷ U
1 , + .
2x -1 0
÷
è 2 è 2
故选：D
3．（2024 高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． y = ln x
x
B 2． y = log2 x C． y = loga D． y = log2 x - 20229
【答案】A
【分析】根据对数函数定义直接判断即可.
【详解】形如 y = loga x a＞0,a 1 的函数叫作对数函数，它的定义域是 0, + ，
对于 A， y = ln x = loge x 满足，故 A 正确；
对于 B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
4．（2024 高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． y = loga 2x B． y = lg10x C． y = log x2a + x D． y = ln x
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数 y =loga x( a > 0且 a 1)为对数函数，
所以 ABC 均为对数型复合函数，而 D 是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
5．（2024 高一上·内蒙古包头·期中）函数 f (x) = loga (x -1) + 2的图象恒过定点（ ）
A． (2, 2) B． (2,1) C． (3, 2) D． (2,0)
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.
【详解】当 x = 2时 f (2) = loga 1+ 2 = 2，即函数图象恒过 (2, 2) .
故选：A
6．（2024 高一上·云南大理·阶段练习）函数 y = 2 + log5 x x 1 的值域为（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． 3, +
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质，先求函数 y = log5 x 的范围，再求函数的值域.
【详解】由 x 1知 log5 x 0， y 2，值域是 2, + ．
故选：C
7．（2024 高三上·重庆·阶段练习）若a = log3 6，b = 2 ， c = log0.25 0.125，则（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
【答案】D
【分析】利用对数的规则和对数函数的单调性比较大小.
1 3 3
【详解】因为 c = log 1 = log4 8 = log 2 2 =
3
2 ， = log3 3 3 a = log3 6 log3 9 = 28 2 ，4 2
所以b > a > c．
故选：D
x + 2
8．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）函数 f (x) = x + 的定义域为（
ln x ）
A． 0,1 B． 1, + C． 0, + D． 0,1 U 1, +
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可.
f (x) x x + 2【详解】因为 = + ，
ln x
ìx 0
所以 íln x 0，解得
x > 0且 x 1，
所以 f (x) 的定义域为 0,1 U 1, + .
故选：D.
2 - x
9．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = 的定义域是（ ）
log2 x
A．{x∣0 x 2}
B．{x∣0 x 1或1 x 2}
C．{x∣0 x 2}
D．{x∣0 x 1或1 x 2}
【答案】D
【分析】由题意列出不等式组解出即可.
ì2 - x 0
【详解】由题意得 íx > 0 ，∴ 0 x 1或1 x 2，
log2 x 0
故定义域为{x∣0 x 1或1 x 2}，
故选：D.
10．（2024 高二下·山东青岛·期末）已知函数 f x lg x - 2= ，则 f x （
x 2 ）+
A．是奇函数，且在 2, + 是增函数 B．是偶函数，且在 2, + 是增函数
C．是奇函数，且在 2, + 是减函数 D．是偶函数，且在 2, + 是减函数
【答案】A
【分析】由奇偶性定义可知 f x 为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定 f x 在 2, + 是增函
数.
x - 2
【详解】由 > 0得： x -2或 x > 2，\ f x 的定义域为 - ,-2 2, + ；x + 2
Q f x lg -x - 2 lg x + 2 x - 2- = = = - lg = - f x ，\ f x 是奇函数；
-x + 2 x - 2 x + 2
f x lg x - 2 x + 2 - 4 4= = lg = lg 1- ，
x + 2 x + 2 è x + 2 ÷
Qu 4=1- 在 2, + 上单调递增， y = lgu 在 0, + 上单调递增，
x + 2
\由复合函数单调性可知： f x 在 2, + 上是增函数.
故选：A.
x
11．（2024 高一上·广东汕尾·期末）当 a >1 1时，在同一平面直角坐标系中， y = ÷ 与 y = loga -x 的图象是
è a
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由定义域和 a >1，使用排除法可得.
【详解】 y = loga -x
1
的定义域为 (- ,0)，故 AD 错误；BC 中，又因为 a >1，所以0 1，故 C 错误，B
a
正确.
故选：B
x
12 2024 · · f (x) = 1 ．（ 高一上 浙江台州 阶段练习）函数 ÷ 与 g(x) = - log4 x的大致图像是（ ）
è 4
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
x
1
【详解】解：因为 f (x) = ÷ 在定义域R 上单调递减，
è 4
又 g(x) = - log4 x = log -1 x = log 1 x4 ，所以 g(x)在定义域 0, + 上单调递减，
4
故符合条件的只有 A；
故选：A
13．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = lg x +1 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数 y = lg x 的图象与 x 轴的交点是 (1,0)结合函数的平移变换得函数 y = lg(x +1) 的图象与 x 轴的
公共点是 (0,0)，即可求解.
【详解】由于函数 y = lg(x +1) 的图象可由函数 y = lg x 的图象左移一个单位而得到，函数 y = lg x 的图象与 x
轴的交点是 (1,0)，
故函数 y = lg(x +1) 的图象与 x 轴的交点是 (0,0)，即函数 y = lg(x +1) 的图象与 x 轴的公共点是 (0,0)，显然四
个选项只有 A 选项满足.
故选：A.
2
14．（2024 高二上·江苏南通·开学考试）已知函数 y = l og2 x - 3 l og x + 6 ，在 x 2，42 上的值域为
（ ）
15 ,4ùA． ú B． 4，6
15 6ù 1 ùC． ， D． ,3 4 4 ú 2 ú
【答案】A
【分析】通过换元令 t = log2x， t 1，2 ，则问题转换为求二次函数的值域问题．
2【详解】因为函数 y = l og x - 3 l og x + 6 ， x 2，4 ，令 t = log2x，则 t 1，22 2 .
2
3 15 3
所以原函数转化为 y = t 2 - 3t + 6 = t - ÷ + ,又对称轴为 t = ，
è 2 4 2
3 15
所以当 t = 时，函数取得最小值 ，当 t =1或 t = 2时，函数取得最大值为 4，
2 4
15 ù
所以所求函数的值域为 , 4 ，4 ú
故选：A．
15．（2024 高一·全国·单元测试）已知函数 f x = loga x + 2（ a > 0，且 a 1）在 1,3 上的值域为 2,4 ，则
实数 a 的值是（ ）
1
A． 3 B． C．3 2 3
D 3．
2
【答案】A
【分析】分类讨论最值，当 a >1时，当0 a 1时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若0 a 1，则 f x = loga x + 2在 1,3 上单调递减，则 loga 3 + 2 f x 2，不符合题意；
若 a >1，则 f x = loga x + 2在 1,3 上单调递增，则 2 f x loga 3 + 2，
又因为 f x 的值域为 2,4 ，所以 loga 3 + 2 = 4，解得 a = 3．
故选：A．
二、多选题
16．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（ ）
A． y = log1 -x B． y = log x24
2
C． y = lnx D． y = log 2 xa +a+2 （ a是常数）
【答案】CD
【分析】由对数函数的定义判断，
【详解】对于 A，真数是-x，故 A 不是对数函数；
对于 B 2， y = log4x = log2 x ，真数是 x ，不是 x ，故 B 不是对数函数；
对于 C， lnx的系数为 1，真数是 x ，故 C 是对数函数；
1 2 7
对于 D，底数 a2 + a + 2 = a +
÷ + >1，真数是 x ，故 D 是对数函数．
è 2 4
故选：CD
17．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（ ）
A． f x = log m-1 x （m >1，且m 2） B． f x = lg x3
C． f x = ln x D． f x = ln x + e
【答案】AC
【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.
【详解】形如 y =loga x（ a > 0，且 a 1）的函数为对数函数，
对于 A，由m >1，且m 2，可知m -1 > 0 ，且m -1 1，故 A 符合题意；
对于 B，不符合题意；
对于 C，符合题意；
对于 D，不符合题意；
故选：AC.
18．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a > 0，且 a 1，则函数 y = a x 与 y =loga x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】分 a >1和0 a 1两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
【详解】若0 a 1，则函数 y = a x 的图象单调递减且过点 0,1 ，
函数 y =loga x的图象单调递减且过点 1,0 ；
若 a >1，则函数 y = a x 的图象单调递增且过点 0,1 ，
而函数 y =loga x的图象单调递增且过点 1,0 ，
只有 A,C 的图象符合．
故选：AC
19．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = log 2 a-2 5 - a x +1 ù 中，实数 a的取值可能是（ ）
5
A． B．3
2
C．4 D．5
【答案】AC
【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可.
【详解】因为 x2 +1> 0，
ìa - 2 > 0
所以根据对数函数的定义得： ía - 2 1 ，
5 - a > 0
ìa > 2
即： ía 3，所以2 a 3或3 a 5，
a 5
故选：AC.
20．（2024 高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． y = logπ x B． y = log 2 x C． y = log4 x
2 D． y = log2 (x +1)
【答案】AB
【分析】根据对数函数的定义知，形如 y = loga x(a > 0 且 a 1)函数符合要求可得解.
【详解】根据对数函数的定义知， y = logπ x， y = log 2 x是对数函数，故 AB 正确；
而 y = log4 x
2
， y = log2 (x +1)不符合对数函数的定义，故 CD 错误.
故选：AB
三、填空题
2
21．（2024 高一下·甘肃武威·开学考试）函数 y = log 1 x - 4x - 5 的递减区间为 .
2
【答案】 5,+
【分析】由复合函数的单调性只需求出u = x2 - 4x - 5的单调递增区间，且要满足u = x2 - 4x - 5 > 0，从而求
出答案.
【详解】因为 y = log 1 u 在 0, + 上单调递减，
2
2
由复合函数的单调性可知， y = log 1 x - 4x - 5 的递减区间为u = x2 - 4x - 5的单调递增区间，
2
且要满足u = x2 - 4x - 5 > 0，解得 x > 5或 x -1，
2
其中u = x2 - 4x - 5 = x - 2 - 9在 5,+ 上单调递增，
2
故 y = log 1 x - 4x - 5 的递减区间为 5,+ .
2
故答案为： 5,+
22．（2024 高一·全国·课后作业）判断正误
（1）对数函数的定义域为 R．( )
2
（2） y = log2 x 与 y = log x 3都不是对数函数．( )
（3）对数函数的图象一定在 y 轴右侧．( )
【答案】 错误 正确 正确
【详解】（1）对数函数 y =loga x（ a > 0且 a 1）中，自变量 x > 0，故该结论错误．
2
（2） y = log2 x 定义域为 x x 0 ，与对数函数 y =loga x（ a > 0且 a 1）的定义域不同，不符合对数函数
的定义； y = log x 3中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确．
（3）对数函数 y =loga x（ a > 0且 a 1）中，自变量 x > 0，所以对数函数的图象一定在 y 轴右侧，故该结
论正确．
1 ù
23．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = log2 x × log 2 2x , x ，4ú 的最小值为 ． 2
1
【答案】- / -0.25
4
【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.
【详解】显然 x > 0，∴ f x = log2 x × log 2 2x
1
= log2 x × log 4x22 2
1
= log 2
2 2
x log2 4 + 2log2 x = log2 x + log2 x ，
log x = t 1∵x∈ 4ù
2
令 2 ， ，ú ，∴t∈[－1，2]，则2 g t
1 1 1
= t +
÷ - - ， è 2 4 4
1 2 1
当且仅当 t＝－ 即 x＝ 时，有 f x = - .
2 2 min 4
1
故答案为：-
4
2
24．（2024 高一·全国·专题练习）求函数 y = log 1 -x + 2x +1 单调减区间 .
2
【答案】 1- 2,1
【分析】根据复合函数同增异减性质，结合二次不等式求解即可.
2
【详解】函数 y = log 1 -x + 2x +1 的定义域为-x2 + 2x +1 > 0，
2
由二次函数的图象知1- 2 x 1+ 2 .
∴ t = -x2 + 2x +1在 1- 2,1 上是增加的，而在 1,1+ 2 上是减少的，而 y = log 1 t 为减函数.
2
∴函数 y = log
2
1 -x + 2x +1 的减区间为 1- 2,1
2
故答案为： 1- 2,1
1 ù
25．（2024 高一下·云南昆明·期末）已知函数 f (x) = log3 x 的定义域为 ,mú ，值域为 0,1 ，则满足要求的 3
一个m 的值为 .
【答案】2（写出 1,3 中的任意一个实数即可）
【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.
1 1 1
【详解】当 x = 时， f ÷ = log3 =1，因为函数 f (x) = log
1 ù
3 x 的定义域为 ,mú ，值域为 0,1 ，所以3 è 3 3 3
0 log3 m 1，解得1 m 3 .取m = 2 .
故答案为： 2 .
5 1
26．（2024 高一上·河南·期中）函数 f(x)＝ log1 (-3x
2 + x + ) 0 x 4 ÷的最大值为 .3 è 2
【答案】0
【解析】根据二次函数的性质求出真数的范围，即可求出结论.
5 1 4
【详解】解：令 y = -3x2 + x + = -3(x - )2 + ，
4 6 3
1
对称轴为 x = [0
1
， ]
6 2
，
x 1 4当 = 时， y
6 max
= ，
3
x 1当 = 时， y
2 min
=1，
\函数 f (x) = log (
5
-3x2 + x + ) 的最大值为： log1 1 = 01
3 4
.
3
故答案为：0.
27．（2024 高一上·全国·课后作业）若对数函数的图象过点 4, -2 ，则此函数的表达式为 .
【答案】 y = log 1 x x > 0
2
【分析】将点 4, -2 代入对数解析式求出底数，即可求解.
【详解】设对数函数为 y =loga x， a 0,1 ，因为对数函数的图象过点 4, -2 ，所以-2 = loga 4，即
2 1a- = 4 = 22，解得 a = ，所以 y = log 1 x x > 0 .
2 2
故答案为： y = log 1 x x > 0
2
ì-x + 7, x 2
28．（2024 高一·全国·专题练习）设 a > 0且 a 1，若函数 f x = í 5,+ a
3+ log x, x 2
的值域是 ，则 的取
a >
值范围是 .
【答案】 1, 2ù
【分析】分 a >1与0 a 1两种情况，结合对数函数的值域求解即可.
ì-x + 7, x 2
【详解】由于函数 f (x) = í (a > 0 a 1)3 log x, x 2 且 的值域是[5, + ∞)， + a >
故当 x 2时，满足 f (x) = 7 - x 5 .
若 a >1, f (x) = 3 + loga x 在它的定义域上单调递增，
当 x > 2时，由 f (x) = 3+ loga x 5，\loga x 2,\loga 2 2,\1 a 2 .
若0 a 1, f (x) = 3 + loga x在它的定义域上单调递减， f (x) = 3 + loga x 3 + loga 2 3，不满足 f (x) 的值域是
[5, + ∞).
综上可得，1 a 2 .
故答案为： 1, 2ù
29．（2024·上海黄浦·三模）已知 f x =1+ log x 1 x 9 g x = f 2 x + f x23 ，设 ，则函数 y = g x 的值
域为 ．
【答案】[2, 7]
【分析】确定函数 y = g x 的定义域，化简可得 y = g x 的表达式，换元令 log3 x = t, (t [0,1])，可得
y = t 2 + 4t + 2，结合二次函数的性质即得答案.
ì1 x 9 2 2
【详解】由题意得 í1 x2 9，则
1 x 3，即 g x = f x + f x 的定义域为[1,3]，
故 g x = f 2 x + f x2 = (1+ log x)2 +1+ log x23 3 = (log x)23 + 4log3 x + 2，
令 log3 x = t, (t [0,1])，则 y = t 2 + 4t + 2 = (t + 2)2 - 2，
函数 y = (t + 2)2 - 2在[0,1]上单调递增，故 y [2,7]，
故函数 y = g x 的值域为[2, 7]，
故答案为：[2, 7]
30．（2024 高一上·全国·课后作业）不等式 log 1 2x + 3 log1 5x - 6
3
的解集是 .
2 8
6
【答案】 ,3÷
è 5
6
【分析】利用对数换底公式以及函数单调性即可解得不等式解集为 ,3÷ .
è 5
log1 5x - 6
3 = log 3 5x - 6 3 = log 1 5x - 6【详解】易知 1 ，
8 ֏ 2 2
由 log
3
1 2x + 3 log1 5x - 6 可得 log 1 2x + 3 log 1 5x - 6 ；
2 8 2 2
又函数 log 1 x 在 0, + 为单调递减，
2
ì2x + 3 > 0
6
所以可得 í5x - 6 > 0 ，解得 x 3 .
5
2x + 3 > 5x - 6
6
故答案为： ,3
è 5 ÷
31．（2024 2高三·全国·对口高考）若函数 y = lg x - ax + 9 的定义域为R ，则 a 的取值范围为 ；若
函数 y = lg x2 - ax + 9 的值域为R ，则 a 的取值范围为 .
【答案】 (-6,6) - ,-6 6, +
【分析】第一空，由题意可得 x2 - ax + 9 > 0对于 x R 恒成立，结合判别式小于 0 即可求得答案；第二空，
由题意可得 x2 - ax + 9能取到所有正数，结合判别式大于等于 0 即可求得答案；
【详解】函数 y = lg x2 - ax + 9 的定义域为R ，则 x2 - ax + 9 > 0对于 x R 恒成立，
故D = (-a)2 - 4 9 0，解得-6 a 6，即 a (-6,6)；
若函数 y = lg x2 - ax + 9 的值域为R ，即 x2 - ax + 9能取到所有正数，
故Δ = -a 2 - 4 9 0，解得 a 6或 a -6，即 a - ,-6 6,+ ，
故答案为： (-6,6)； - ,-6 6, +
32．（2024 2高二下·安徽安庆·阶段练习）若函数 y = loga ax + 3ax + 2 的值域为R ，则 a的取值范围是 ．
8
【答案】 ,1÷ (1,+ ) 9
ìa > 0
【分析】由题意可得 ía 1 ，从而解不等式得答案．
2
Δ = 3a - 4 a 2 0
2
【详解】解： Q y = loga ax + 3ax + 2 的值域为R ，
ìa > 0
∴ ía 1
8
， 解得 a 1或 a >1，
2 9
Δ = 3a - 4 a 2 0
8
故答案为： ,1÷ (1,+ ) ． 9
四、解答题
33．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知 x 满足式子 log x+2 x - x - 2 ，求 x.
【答案】-2 2
【分析】根据对数函数真数大于 0，底数大于 0 且不等式 1，列出方程组，求出答案.
【详解】因为 x 满足式子 log x+2 x2 - x - 2 .
ìx2 - x - 2 > 0
故 íx + 2 > 0 ，解得-2 x -1或x > 2 .
x + 2 1
34．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知函数 f (x) = loga x（ a > 0且 a 1），且函数的图象过点 (2,1)．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若 f m2 - m 1成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） f x = log2 x；（2） (-1,0) U (1, 2) .
【分析】(1)将点 3,1 代入函数解析式，求出 a，可得 f x 的解析式；
(2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数 x 的取值范围．
【详解】(1)Q f 2 =1,\loga 2 =1，解得 a = 2，故函数 f x 的解析式 f x = log2 x
(2) f m2 - m 1 log m2即 2 - m 1 = log 22 2 0 m - m 2，解得-1 m 0 或1 m 2
故实数 m 的取值范围是 (-1,0) U (1, 2)
35．（2024 高三·山东·阶段练习）已知函数 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的图象过点 9,2 .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)解不等式 f 3x -1 > f -x + 5 .
【答案】(1) f (x) = log3 x
3
(2) ( ,5)
2
【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；
（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于 0 的这一隐含条件．
【详解】（1）因为函数 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的图象过点 9,2 .
\loga 9 = 2，所以 a = 3，即 f (x) = log3 x ；
（2）因为 f (x) 单调递增，所以3x -1 > -x + 5 > 0 ，
3
即不等式的解集是 ( ,5)．
2
36．（2024 高一上·全国·课后作业）设函数 f x = log3 9x × log3 3x
1
，且 x 9 ．
9
（1）求 f 3 的值；
（2）若令 t = log3x，求实数 t 的取值范围；
（3）将 y = f x 表示成以 t t = log3x 为自变量的函数，并由此求函数 y = f x 的最大值与最小值及与之对
应的 x 的值．
【答案】（1）6；（2） -2，2 ；（3） g t = t 2 + 3t + 2，f (x) 1min = - x 3，此时 = ； f (x)max =12，此时 x = 9 ．4 9
【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入 x = 3计算函数值；
（2）因为 t = log3x，根据对数函数的单调性求出实数 t 的取值范围；
（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取
最值时对应的 x 的值.
【详解】（1） f 3 = log3 27 × log39 = 3 2 = 6 ；
1
（2） t = log3x，又Q x 9，\-2 log3x 2，\-2 t 2，9
所以 t 的取值范围为 -2，2 ；
（3）由 f x = log3x + 2 log3x +1 = (log 23x) + 2log3x + 2 = t 2 + 3t + 2，
g t t 2 3t 2 3 1令 = + + = (t + )2 - ， t -2，2 ，
2 4
3
①当 t = - 时， g(t)
1
min = - ，即 log3x
3
= - 3，解得 ，
2 4 2
x =
9
所以 f (x)
1
min = - x
3
，此时 = ；4 9
②当 t = 2时， g(t)max = g 2 =12 ，即 log3x = 2 x = 9，
\ f (x)max =12，此时 x = 9 ．
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
2
37．（2024 高一上·全国·课后作业）求函数 y = log 1 x - 6x +17 的值域.
2
【答案】 - ,-3
2
【分析】求出函数 y = log 1 x - 6x +17 的定义域为R ，先求出 t = x2 - 6x +17 8，再结合对数函数的单调
2
性即可得出答案.
2
【详解】因为函数 y = log 1 x - 6x +17 的定义域为： x2 - 6x +17 > 0，
2
而方程 x2
2
- 6x +17 = 0的Δ = -6 - 4 17 = -32 0，
所以 x2 - 6x +17 > 0对"x R 恒成立，
令： t = x2 - 6x +17 = x - 3 2 + 8 8
y = log 1t 在 8,+ 上是减函数，
2
所以 y log 1 8 = -3，即原函数的值域为 - ,-3
2
故答案为： - ,-3
38．（2024 高三·全国·专题练习）设 f x = loga 1+ x + loga 3 - x a > 0,a 1 ，且 f 1 = 2 .
(1)求 的值及 f x 的定义域；
3ù
(2)求 f x 在区间 0, ú 上的最大值. 2
【答案】(1)2， (-1,3)；
(2)2.
ì 1+x>0
【分析】（1）由 f 1 = 2 代入可得 的值，列出不等式组 í
3- x>0
可得定义域；
（2）根据复合函数的单调性判断 f x 在区间 0,
3ù
ú 的单调性即可得结果. 2
【详解】（1）∵ f (1)=2，∴ loga 2 + loga 2 = 2(a > 0,a 1)，∴ a=2 .
ì 1+x>0
由 í ，解得 -1< x < 3
3- x>0
，
∴函数 f (x)的定义域为 (-1,3) .
（2） f (x) = log2 (1+ x) + log2 (3 - x) = log2 (1+ x)(3- x) = log2 -(x -1)
2 + 4ù ，
∴当 x (-1,1]时， f (x)是增函数；当 x (1,3)时， f (x)是减函数，
f (x) 3ù函数 在 0, ú 上的最大值是 f (1) = log2 4 = 2 . 2
39．（2024 高一上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = loga x 过 (2,-1)点．
(1)求 f x 解析式；
(2)若 g(x) = f (-x2 + 4x + 5)，求 g x 的值域．
【答案】(1) f x = log 1 x， x 0, +
2
(2) log 1 9, + ÷
2
【分析】（1）将 (2,-1)代入 f x = loga x ，解得 a，即可得 f x 解析式；
（2）求得 g(x) = log 1 (-x
2 + 4x + 5)，令u = -x2 + 4x + 5，-1 x 5，利用二次函数与对数函数的性质求解即
2
可．
1
【详解】（1）将 (2,-1)代入 f x = loga x ，得-1 = loga 2，解得 a = ，2
所以 f x = log 1 x，其中 x 0, +
2
（2） g(x) = f (-x
2 + 4x + 5) = log 1 (-x
2 + 4x + 5) ，
2
由-x2 + 4x + 5 > 0，解得-1 x 5，
令u = -x2 + 4x + 5，-1 x 5，
∵ u = -x2 + 4x + 5 = -(x - 2)2 + 9 ，
∴由二次函数的性质可知，在 x (-1,5)时，u (0,9]，
又 y = log 1u 在 (0, + )上单调递减，
2
所以 g x 的值域为 log 1 9, + ÷．(注： - log2 9, + 也正确)
2 4.4 对数函数 14 题型分类
一、对数函数
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是(0，＋∞).
对数函数的特征
(1)logax 的系数是 1；
(2)logax 的底数是不等于 1 的正数；
(3)logax 的真数仅含自变量 x.
二、对数函数的图象和性质
定义 y＝logax(a>0，且 a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
x∈(0,1)时， x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
函数值
x∈[1，＋∞)时， x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞) y∈(－∞，0]
1
对称性 函数 y＝logax 与 y＝log x 的图象关于 x 轴对称
a
在直线 x＝1 右侧，a 值越大， 在直线 x＝1 右侧，a 值越小，
趋势
图象越靠近 x 轴 图象越靠近 x 轴
三、反函数的概念
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)与指数函数 y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x
对称．对数函数 y＝log x xax 的定义域是指数函数 y＝a 的值域，而 y＝logax 的值域是 y＝a 的定
义域.
四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点
(1)对图象的影响：比较图象与直线 y＝1 的交点，此时直线 y＝1 与对数函数图象交点的坐
标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线 y＝1 由左向右看，
底数 a 增大(如图)：
(2)图象的特点：函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象无限靠近 y 轴，但永远不会与 y 轴相交；
1
在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象与 y＝log x(a>0，且 a≠1)的图象关于 x 轴(即直
a
线 y＝0)对称．
（一）
对数函数的概念
判断一个函数是对数函数的方法
题型 1：对数函数的概念
1-1 2．（2024 高一上·江苏·课前预习）在b = log 3a-1 4 - a 中，实数 a 的取值范围是（ ）
1
A． - , ÷ U 2, +
1 , 2 U 2 ,2 B．
3 ÷ ÷è è 3 3 è 3
1 1
C． , 2÷ D． , 2
è 3 è 2 ÷
1
1-2．（2024 高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点P 8,3 ，则 f ÷ = ．
è 4
1-3．（2024 2高一上·吉林长春·阶段练习）若函数 y = loga x + a - 3a + 2为对数函数，则 a =（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1-4．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是对数函数，则 a 的值是（ ）
A．1 或 2 B．1
C．2 D． a > 0且 a 1
（二）
对数型函数的定义域
（1）求对数型函数定义域的原则
①分母不能为 0.
②根指数为偶数时，被开方数非负．
③对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.
④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．
(2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下:
①分母不为 0;
②偶次方根下非负;
③ x0 中 x≠0;
④对数的真数大于 0;
⑤对数、指数的底 a 满足 a>0 且 a≠1.
(3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写
成集合(包含区间)的形式.
题型 2：对数型函数的定义域
ln(2x -1)
2-1．（2024 高二下·北京顺义·阶段练习）函数 y = 的定义域为 .
x -1
2-2．（2024 高一上· 2 - x广东东莞·期中）函数 f x = - log2 x的定义域为（ ）x
A． 0,2 B． - , 2
C． - ,0 0,2 D．[2, + ∞)
f x
2-3．（2024 高三上· 2辽宁·开学考试）已知函数 f x +1 的定义域为 1,2 ，则函数 g x = lg x - 2 的定义域
为 .
2-4．（2024 高二下·重庆·期末）已知函数 f x = 2 - x2 + log 12 x +
÷，则 f x 的定义域为 ．
è 2
2-5．（2024 高二下·山东潍坊·期末）函数 f (x) = lg(x2 + 3x + 2) 的定义域是（ ）．
A． (-2,-1) B．[-2,-1]
C． (- ,-2) U (-1,+ ) D． (- ,-2]U[-1,+ )
2-6．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）若函数 f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为 R，则实数 m 的取值范围
是 ．
（三）
与对数有关的函数的值域与最值问题
(1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新
元的取值范围．
(2)对于形如 y＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数；
②求 f(x)的定义域；
③求 u 的取值范围；
④利用 y＝logau 的单调性求解．
题型 3：与对数有关的函数的值域与最值问题
2
3-1．（2024 高一上·山东潍坊·阶段练习）已知 f (x) = log 1 x ÷ - 2log 1 x + 4， x 2,4 ．
è 2 2
（1）设 t = log 1 x ， x 2,4 ，求 t的最大值与最小值；
2
（2）求 f (x) 的值域．
3-2．（2024 高二下· 2山西运城·期末）已知函数 f x = lg x +1 , x -1,3 ，则 f x 的值域为（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． lg2,1 D．[0,1]
2
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = log 1 x - 6x +17 的值域是 ．
2
ì-x2 + 2x + 3, x 2
3-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = í (a > 0且 a 1)，若函数 f x 的值域是
6 + loga x, x > 2
- , 4 ，则实数 a的取值范围是（ ）
2 2
A． ,1÷÷ B． ,12 2 ÷÷è
C． 1, 2ù D． 1, 2
3-5．（2024 高二下·重庆北碚·期末）已知函数 f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 既没有最大值，也没有最小值，则
a 的取值范围是（ ）
A． - ,2 18, + B． 2,18
C． 0,2 U 18,+ D． 0,2 U 18,+
（四）
对数函数的图象及应用
1．对数型函数的图象过定点问题
求函数 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的图象过的定点时，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定点为
(x，m)．
2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线 y＝1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，
图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
题型 4：对数型函数的图象过定点问题
4-1．（2024 高一上·福建莆田·期中）函数 f x = loga 2x + 3 +1 a > 0, a 1 的图象恒过定点 .
4-2．（2024 高一上·新疆塔城·期末）函数 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的图象恒过点 ．
4-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）指数函数 y = a x +1（ a > 0且 a 1）过点 (m, n)，则 y = loga x -1 经过
点 .
4-4．（2024 高三·北京·专题练习）函数 f x = loga 2x - 3 + 8 a的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数 g x = x
的图象上，则 f 3 = .
4-5．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 y = loga x + b + c(a > 0,且 a 1)的图象恒过定点 3,2 ，则实数
b = ， c = ．
题型 5：对数型函数的图象的判断
5-1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）当0 < a <1时，在同一坐标系中，函数 y = a- x 与 y =loga x的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y = a |x|(a > 0且a 1)的值域为[1,+ )，则函数 y = loga | x |的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
5-3．（2024 高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 y = log1 x ，y = log 1 x ，y = log5 x
5 7
的一个是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
5-4．（2024 高一下·云南保山·期末）函数 y = 1- a x与 y =loga x（其中 a >1）的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型 6：对数型函数的图象及应用
6-1．（2024 高一上·江西南昌·期末）若0 < b < 1 < a ，则函数 y = logb x + a 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6-2．（2024 高三上·全国·专题练习）已知函数 y=loga (x + c)(a,c 为常数，其中 a > 0, a 1) 的图象如图，则下
列结论成立的是（ ）
A． a >1,c >1 B． a >1,0 < c <1
C．0 < a <1,c >1 D．0 < a <1,0 < c <1
6-3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数 f x = log2 a + x 的图象不过第四象限，则实数 a 的取值范围
为 ．
1
6-4．（2024 高一上·江苏镇江· 2期末）若不等式 x - loga (x +1) < 2x -1 x
1 在 ，÷上恒成立，则实数 a 的取值
è 2
范围为（ ）
16 16
A． ，1÷ B．81
，1
81 ÷ è
81ù 3 81ù
C． 1， D． ，
è 16 ú è 2 16 ú
6-5．（2024 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系
成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
（五）
对数型函数的单调性
形如 f(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求 g(x)>0 的解集(也就是函数 f(x)的定义域)．
(2)当底数 a>1 时，在 g(x)>0 这一前提下，g(x)的单调增区间是 f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是 f(x)的
单调减区间．
(3)当底数 00 这一前提下，g(x)的单调增区间是 f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是 f(x)
的单调增区间．
题型 7：对数型函数的单调性问题
7-1 2．（2024 高二下·江苏苏州·阶段练习）函数 f x = ln 2x - 3x +1 的单调增区间为 .
7-2．（2024 高一下·河南·阶段练习）已知函数 f (x) = ln -3x2 + 4x + 4 ，则 f (x) 的单调增区间为 .
7-3 2．（2024 高二下·浙江衢州·期末）函数 y = log0.5 x - x - 2 的单调递增区间为（ ）
A． - ,-1 B． 2, +
C． - ,-1 1 ,2 和 ÷ D． -1,
1
2 ÷和
2, +
è è 2
（六）
比较对数值的大小
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不相同时，找中间量．
提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与 0 或 1 的大小．
题型 8：比较对数值的大小
8-1．（2024 高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小．
① log3 1.99，log3 2 .
② log3 0.2，log4 0.2 .
③ log2 3，log0.3 2 .
④ loga π，loga 3.14 (a > 0且 a 1) .
8-2．（2024 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且在[0,+ )上单调递增，
a f log 1
1 1 = 1 ÷ ,b = f log2 ÷ ,c = f 52 ÷，则（2 ）è 3 è 3 è
A． a > b > c B． c > a > b C．b > a > c D． c > b > a
1
8-3．（2024 高一上·河南南阳·期末）三个实数 -a = log 4,b = log 5,c = 3 2 的大小关系为（ ）3 2
A．a < c < b B． c < a < b
C． c < b < a D．b < c < a
8-4．（2024 高二上·湖南长沙·开学考试）设 a = log8 27 ，b = log0.5 0.2， c = log4 24，则（ ）
A．a < b < c B．b < a < c C．a < c < b D．b < c < a
8-5．（2024 高二上·湖北武汉·开学考试）已知 a = log -0.30.3 0.7，b = 0.7 ， c = log7 3则（ ）
A．a < c < b B． c < a < b C． c < b < a D．a < b < c
（七）
求解对数不等式
常见对数不等式的 2 种解法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a＞1
与 0＜a＜1 两种情况讨论．
(2)形如 logax＞b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 y＝logax 的单调
性求解．
题型 9：求解对数不等式
9-1．（2024 高一上·全国·课后作业）解下列关于 x 的不等式．
(1) log 1 x > log 1 (4 - x) ；
7 7
(2) loga 2x - 5 > loga x -1 ；
log 1(3) x >1．2
9-2．（2024 高一上·全国·课后作业）不等式 loga (2x + 3) > loga (5x - 6), (a >1)的解集为 ．
9-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = log2 3x -1 ，则使得 2 f (x) > f (x + 2) 成立的 x 的取值范
围是（ ）
5 4
A． - , +
3 ÷
B． , + ÷
è è 3
- , 1- 1C． ÷ D． - , +
è 3 ÷ è 3
（八）
根据对数型函数的单调性求参数
已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；
若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
题型 10：根据对数型函数的单调性求参数
10-1．（2024 高三上·云南昆明·开学考试）设函数 f x = ln -x2 + 4x 在 a, a +1 上单调递增，则 a的取值范
围为（ ）
A． 0,1 B．[0,2]
C． (0,2) D．[0,1]
10-2．（2024 高一·全国·专题练习）设函数 f x = ln 2ax - x2 在区间 3,4 上单调递减，则 a的取值范围
是 .
y = log x210-3．（2024 高一上·广西玉林·阶段练习）已知函数 1 - ax + a 在区间 - , 2 上是增函数，求实数
2
a的取值范围 ．
（九）
与对数函数有关的函数的奇偶性
要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如 f(x)＝logag(x)的函
数，利用 f(－x)±f(x)＝0 来判断奇偶性较简便．
题型 11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题
11-1．（2024 高二下·陕西渭南·期末）若 f (x) = (x + a) ln
x +1
为偶函数，则 a等于 .
x -1
11-2．（2024 高一上·江苏南京·期中）已知函数 ( ) = log3(3
+1) + 2 是偶函数，则实数 k 的值为（ ）
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．-
2 3 4 5
11-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数 f x 是定义在R 上的偶函数， ( 1)是奇函数，且当0 < x 1时，
f x 1= log x f 2023 + f - 2024 ，则 ÷ = ．
è 2024
11-4．（2024 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x 单调递
减，则不等式 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 的解集为 .
è 3
11-5．（2024· 2山东泰安·模拟预测）已知 f x = x g x 为定义在 R 上的偶函数，则函数 g x 的解析式可以为
（ ）
1+ x2 2A． g x = ln B． g x =1-
1- x2 2x +1
ìx
2 - x, x 0
C． g x = í 2 D． g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |
x + x, x < 0
题型 12：对数函数性质的综合
12-1．（2024 高三上·山西长治·阶段练习）已知函数 f (x) = loga (1+ x) ， g(x) = loga (1- x)(a > 0,且a 1)．
(1)求函数 f x + g x 的定义域；
(2)判断函数 f x + g x 的奇偶性，并说明理由；
(3)讨论函数 f x + g x 的值域．
12-2．（2024 高一上·湖北十堰·期末）已知函数 f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且 a≠1）．
(1)求 f（x）的定义域．
(2)是否存在实数 a，使函数 f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为 2？若存在，求出 a 的值；若不
存在，请说明理由．
12-3．（2024 高一上·江苏淮安·期中）已知 f (x) = lg(ax + x2 +1)是定义在 R 上的奇函数，其中 a > 0．
（1）求 a的值；
（2）判断 f (x) 在[0, + ) 上的单调性，并证明；
（3）若对于任意的 x R都有 f (x + x2 +1) > - lg( (mx)2 +1 - mx)成立，求实数m 的取值范围．
题型 13：对数函数的实际应用
13-1．（24-25 高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与
亮度满足m1 - m2 = 2.5 lgE2 - lgE1 ．其中星等为mi 的星的亮度为Ei i =1,2 ．已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是（ ）
（注：当 x 较小时，10x 1+ 2.3x + 2.7x2）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
13-2．（2024 高二下·云南昭通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现
O
鲑鱼的游速 v（单位：m / s）可以表示为 v = klog3 ，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速100
为0.5m / s时耗氧量的单位数为 300，则一条鲑鱼游速为1.5m / s时耗氧量的单位数为（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
13-3．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级 f (x) (单位：dB)与声音强度 x(单位：ω / m2 )满足
f (x) =10 x lg -12 . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说10
话时声音强度的108 倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
13-4．（24-25 高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量 y （单位：只）与时间 x （单位：
年）近似满足关系 y = a log3 x + 2 ，观测发现 2018年冬（作为第 1 年）有越冬白鹤 3000 只，估计到 2024
年冬有越冬白鹤（ ）
A．4000 只 B．5000 只
C．6000 只 D．7000 只
13-5．（2024 高一下·湖北·阶段练习）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术中的数学原理之一是香农公式：
C S= Wlog 2 1+ ÷，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C 取决于信道带宽W 、信道
è N
S
内所传信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪音功率 N 的大小，其中 叫做信噪比.已知当 x 比较大时，
N
y = loga 1+ x (a >1) loga x ，按照香农公式，由于技术提升，宽带W 在原来的基础上增加20%，信噪比从
1000 提升至 8000，则C 大约增加了（ ）（附： lg2 0.3010）
A．37% B． 45% C．48% D． 56%
（十）
反函数的应用
1、求反函数的步骤
(1)求出函数 y＝f(x)的值域；
(2)仅解 x，即由 y＝f(x)解出 x＝f－1(y)；
(3)把 x＝f－1(y)改写成 y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线 y＝x 对称．
(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线 y＝x 对称．
题型 14：反函数的应用
14-1．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知函数 y = f x 与 y = 3x 是互为反函数，则（ ）
f 1 1 f 1 A． ÷ = - B． ÷ = -2 C． f 1 = 3 D． f 3 =1
è 9 è 3
14-2．（2024 高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（ ）
A． y = lnx, y = ex B． y = log2x, y = log0.5x
x
C． y = 2log x, y = 2x D 1 ． y = , y = 2x2 ÷
è 2
14-3．（2024 高二下·浙江宁波·期末）已知函数 f x = a x (a > 0，且 a 1)的图象过点 2,4 , g x 是 f x 的
g 2 + x 反函数，则函数 2 - x ÷
（ ）
è
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数
14-4．（2024 高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0 B．1 C．2 D．3
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = log 1 x 在区间[1, 2]上的值域是（ ）
2
A．[-1,0] B．[0,1]
C．[1,+ ) D． (- ,-1]
log x
2．（2024 高三上·宁夏银川·阶段练习）函数 f x = 2 的定义域为（ ）
2x -1
A． 0, + B． 1, + C． 0,1 0, 1 D． ÷ U
1
, +
è 2 è 2 ÷
3．（2024 高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
x
A 2． y = ln x B． y = log2 x C． y = loga D． y = log x - 20229 2
4．（2024 高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． y = log 2x B y = lg10x C y = log x2a ． ． a + x D． y = ln x
5．（2024 高一上·内蒙古包头·期中）函数 f (x) = loga (x -1) + 2的图象恒过定点（ ）
A． (2, 2) B． (2,1) C． (3, 2) D． (2,0)
6．（2024 高一上·云南大理·阶段练习）函数 y = 2 + log5 x x 1 的值域为（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． 3, +
7．（2024 高三上·重庆·阶段练习）若a = log3 6，b = 2 ， c = log0.25 0.125，则（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
f (x) x x + 28．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）函数 = + 的定义域为（
ln x ）
A． 0,1 B． 1, + C． 0, + D． 0,1 U 1, +
2 - x
9．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = 的定义域是（ ）
log2 x
A．{x∣0 < x < 2}
B．{x∣0 < x <1或1 < x < 2}
C．{x∣0 < x 2}
D．{x∣0 < x <1或1 < x 2}
10．（2024 高二下·山东青岛·期末）已知函数 f x = lg x - 2 ，则 f x （
x 2 ）+
A．是奇函数，且在 2, + 是增函数 B．是偶函数，且在 2, + 是增函数
C．是奇函数，且在 2, + 是减函数 D．是偶函数，且在 2, + 是减函数
x
11．（2024 高一上·广东汕尾·期末）当 a >1 1 时，在同一平面直角坐标系中， y = ÷ 与 y = loga -x 的图象是
è a
（ ）
A． B．
C． D．
1 x12 ．（2024 高一上·浙江台州·阶段练习）函数 f (x) = 4 ÷
与 g(x) = - log4 x的大致图像是（ ）
è
A． B．
C． D．
13．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = lg x +1 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
2
14．（2024 高二上·江苏南通·开学考试）已知函数 y = l og2 x - 3 l og x + 6 ，在 x 2 2，4 上的值域为
（ ）
15 ,4ù 15 ù 1 ùA． ú B． 4，6 C． ，6ú D． ,3 4 4 2 ú
15．（2024 高一·全国·单元测试）已知函数 f x = loga x + 2（ a > 0，且 a 1）在 1,3 上的值域为 2,4 ，则
实数 a 的值是（ ）
1
A 3． 3 B． C．3 2 3
D．
2
二、多选题
16．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（ ）
A． y = log1 -x B． y = log x24
2
C． y = lnx D． y = log xa2 +a+2 （ a是常数）
17．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（ ）
A． f x = log 3 m-1 x （m >1，且m 2） B． f x = lg x
C． f x = ln x D． f x = ln x + e
18．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a > 0，且 a 1，则函数 y = a x 与 y =loga x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = log a-2 5 - a x2 +1 ù 中，实数 a的取值可能是（ ）
5
A． B．3
2
C．4 D．5
20．（2024 高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． y = log 2π x B． y = log 2 x C． y = log4 x D． y = log2 (x +1)
三、填空题
2
21．（2024 高一下·甘肃武威·开学考试）函数 y = log 1 x - 4x - 5 的递减区间为 .
2
22．（2024 高一·全国·课后作业）判断正误
（1）对数函数的定义域为 R．( )
（2 2） y = log2 x 与 y = log x 3都不是对数函数．( )
（3）对数函数的图象一定在 y 轴右侧．( )
23．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x log x log 2x , x 1= × ù2 2 ，4 的最小值为 ． 2 ú
2
24．（2024 高一·全国·专题练习）求函数 y = log 1 -x + 2x +1 单调减区间 .
2
25．（2024 高一下·云南昆明·期末）已知函数 f (x) = log3 x
1 ù
的定义域为 ,mú ，值域为 0,1 ，则满足要求的 3
一个m 的值为 .
5 1
26．（2024
2
高一上·河南·期中）函数 f(x)＝ log1 (-3x + x + ) 0 x 4 ÷的最大值为 .3 è 2
27．（2024 高一上·全国·课后作业）若对数函数的图象过点 4, -2 ，则此函数的表达式为 .
ì-x + 7, x 2
28．（2024 高一·全国·专题练习）设 a > 0且 a 1，若函数 f x = í3 的值域是 5,+ ，则 a的取 + loga x, x > 2
值范围是 .
29．（2024· 2 2上海黄浦·三模）已知 f x =1+ log3 x 1 x 9 ，设 g x = f x + f x ，则函数 y = g x 的值
域为 ．
3
30．（2024 高一上·全国·课后作业）不等式 log 1 2x + 3 < log1 5x - 6 的解集是 .
2 8
31．（2024 高三·全国· 2对口高考）若函数 y = lg x - ax + 9 的定义域为R ，则 a 的取值范围为 ；若
2
函数 y = lg x - ax + 9 的值域为R ，则 a 的取值范围为 .
32 2．（2024 高二下·安徽安庆·阶段练习）若函数 y = loga ax + 3ax + 2 的值域为R ，则 a的取值范围是 ．
四、解答题
33．（2024 2高三·全国·专题练习）已知 x 满足式子 log x+2 x - x - 2 ，求 x.
34．（2024 高一上·福建福州·阶段练习）已知函数 f (x) = loga x（ a > 0且 a 1），且函数的图象过点 (2,1)．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若 f m2 - m < 1成立，求实数 m 的取值范围．
35．（2024 高三·山东·阶段练习）已知函数 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的图象过点 9,2 .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)解不等式 f 3x -1 > f -x + 5 .
36．（2024 高一上·全国·课后作业）设函数 f x = log3 9x × log3 3x
1
，且 x 9 ．
9
（1）求 f 3 的值；
（2）若令 t = log3x，求实数 t 的取值范围；
（3）将 y = f x 表示成以 t t = log3x 为自变量的函数，并由此求函数 y = f x 的最大值与最小值及与之对
应的 x 的值．
37．（2024 高一上·全国·课后作业）求函数 y = log 1 x2 - 6x +17 的值域.
2
38．（2024 高三·全国·专题练习）设 f x = loga 1+ x + loga 3 - x a > 0,a 1 ，且 f 1 = 2 .
(1)求 的值及 f x 的定义域；
3ù
(2)求 f x 在区间 0, ú 上的最大值. 2
39．（2024 高一上·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = loga x 过 (2,-1)点．
(1)求 f x 解析式；
(2)若 g(x) = f (-x2 + 4x + 5)，求 g x 的值域．