4.5 函数的应用（二）12 题型分类
1、函数零点的概念
对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的公共点
的横坐标.
2、方程的解与函数零点的关系
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有公共点.
3、函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)＜0，那么，
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是
方程 f(x)＝0 的解．
(1)一个函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数 f(x)在区间[a，b]上的图
1
象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数 y＝ 来理解，易知 f(－
x
1
1)f(1)＝－1×1<0，但显然 y＝ 在(－1,1)内没有零点．
x
(2)若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值 f(a)，f(b)异号，
则函数 y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过 x 轴一次，即方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一个
实数解 c.
(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，
虽然都有 f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有 4 个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅
有 1 个零点．
(4)函数零点存在定理是不可逆的，由 f(a)f(b)<0 可以推出函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在
零点．但是，已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)f(b)<0.如图③，虽然
在区间(a，b)内函数有零点，但 f(a)f(b)>0.
(5)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那
么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c
也就是方程 f(x)＝0 的实数解．
4、二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所
在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法．
5、用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度 ε，用二分法求函数 y＝f(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点 c.
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点；
②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c.
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～
(4)．
注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，
函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如
求函数 f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小
的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
（3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，
也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
（4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点 x0 的满足精确度 ε 的近似值．为
了方便，常取区间端点 a(或 b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得
数是 1.25 或 1.34，精确到 0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1.3.而“精确度为 0.1”指零
点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为
0.1，则近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.
（5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且 f(a)f(b)<0.
（6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形
如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，
然后按照用二分法求函数 F(x)零点近似值的步骤求解．
6、函数模型的应用
几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型
表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，
往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解
析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答
其实际意义．
9．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，
观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数
据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就
可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
（一）
求函数的零点
求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法：
(1)代数法：根据零点的定义，解方程 f(x)＝0，它的实数解就是函数 y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程 f(x)＝0 无法求解，可以根据函数 y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求
定义在 R 上的减函数 f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数 y＝f(x)是定义在 R 上的减函数，那
么由奇函数的性质可知 f(0)＝0.因为 y＝f(x)是定义在 R 上的减函数，所以不存在其他的 x 使 f(x)
＝0，从而 y＝f(x)的零点是 0.
题型 1：求函数的零点
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f x x + 3= ；
x
(2) f x = x2 + 2x + 4；
(3) f x = 2x - 3；
(4) f x =1- log3 x .
【答案】(1)零点是-3
(2)不存在
(3)零点是 log2 3
(4)零点是 3
【分析】根据函数零点的概念结合条件即得.
x + 3
【详解】（1）令 = 0 ，解得 x = -3，
x
x + 3
所以函数 f x = 的零点是-3；
x
2 f x = x2（ ）令 + 2x + 4＝0，
由于D = 22 - 4 4 = -12 < 0 ，
所以方程 x2 + 2x + 4 = 0 无解，
所以函数 f x = x2 + 2x + 4不存在零点；
（3）令 2x - 3 = 0，解得 x = log2 3，
所以函数 f x = 2x - 3的零点是 log2 3；
（4）令 f x =1- log3 x = 0，解得 x = 3，
所以函数 f x =1- log3 x的零点是 3.
1-2．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3x + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【详解】令 f x =1- lg 3x + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，则 x = log3 8．
故选：A
1-3．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点．
(1) y = x - 2 x - 3；
(2) y = x2 - 3a -1 x + 2a2 - 2 .
【答案】(1)9
(2)答案见解析
【分析】根据零点的定义，建立方程，利用十字相乘法解方程，结合解的性质，可得答案.
【详解】（1）由 x - 2 x - 3 = 0，得 x +1 x - 3 = 0，
又 x 0 ，所以 x = 3，
即 x = 9 ，所以函数 y = x - 2 x - 3的零点为9 .
（2 2）由 x - 3a -1 x + 2a2 - 2 = 0，得 éx - a +1 ù éx - 2 a -1 ù = 0，
①当 a +1 = 2 a -1 ， a = 3时，函数有唯一零点 4；
②当 a +1 2 a -1 ，即 a 3时，函数有两个零点 a +1和 2 a -1 .
ì
1-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 1- x , x 0= í ，则函数 y = f x - 3的零点为 .
x + log2 x, x > 0
【答案】-8和 2
【分析】分 x 0 和 x > 0两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题.
【详解】当 x 0 时，令 y = f x - 3 = 1- x - 3 = 0，解得 x = -8；
当 x > 0时，则 y = f x - 3 = x + log2 x - 3在 0, + 上单调递增，且 y |x=2 = 0，
故 y = f x - 3在 0, + 内有且仅有一个零点 2；
综上所述：函数 y = f x - 3的零点为-8和 2 .
故答案为：-8和 2 .
ì x +1, x 0
1-5．（2024 高三上·福建莆田·开学考试）设函数 f x = í 2 ，则方程 f f x = 0的解集为 .
x -1 , x > 0
【答案】{-2,0,2}
【分析】根据给定条件，利用换元法求出方程的解集作答.
ìx +1, x 0
【详解】函数 f x = í 2 ，令 f (x) = t ，则方程 f f x = 0化为 f (t) = 0，
x -1 , x > 0
当 t 0时， t +1 = 0，解得 t = -1，当 t > 0时， (t -1)2 = 0，解得 t =1，因此 t = -1或 t =1，
当 t = -1时， f (x) = -1，显然 x 0 ，即 x +1 = -1，解得 x = -2，
当 t =1时， f (x) = 1，若 x 0 ，则 x +1 = 0，解得 x = 0，若 x > 0，则 (x -1)2 =1，解得 x = 2，因此 x = 0或
x = 2，
所以方程 f f x = 0的解集为{-2,0,2} .
故答案为：{-2,0,2}
（二）
判断函数零点的个数
判断函数 y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程 f(x)＝0 的实数根的个数就是函数 f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与 x 轴的交点的个数来判断．特别地，对于形
如 y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数 h(x)与 g(x)的图象的交点的个数来判断函数 y＝h(x)－g(x)
的零点的个数．
题型 2：判断函数零点的个数
2-1．（2024 高一·全国·课后作业）方程 loga x = x - 2(0 < a <1)的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据函数图象的交点个数即可求解.
【详解】在同一直角坐标系中画出函数 y = loga x, 0 < a <1 和 y = x - 2的图象，
由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程 loga x = x - 2(0 < a <1) 的实数解的个数为 1，
故选：B
1
2-2．（2024 2高一下·江苏南通·阶段练习）函数 f x = x + x - 3的零点个数为 .2
【答案】 2
y 1【分析】将问题转化为函数 = x 与 y = 3 - x
2 的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
2
f x = x2 1 1 2【详解】函数 + x - 3的零点个数等价于方程2 2x
= 3 - x 的解得个数，
1
即函数 y = 与 y = 3- x2x 的交点个数，2
1
作出函数 y = 2
2x
与 y = 3- x 的图象如下图所示，
1
由图象可知：函数 y = x 与 y = 3- x
2 有且仅有两个不同交点，
2
\函数 f x = x2 1+ x - 3的零点个数为 2 .2
故答案为： 2 .
2-3．（2024 高三·全国· 2对口高考）函数 f x = 2ln x 的图象与函数 g x = x - 4x + 5的图象的交点个数为
个．
【答案】2
【分析】在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图象观察其交点个数．
【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为 2．
故答案为：2.
1
2-4 2024 · · a = a |x|．（ 高三 全国 对口高考）已知 ，方程 = loga x 的实根个数为 ．2
【答案】2
|x|
f x = 1 【分析】分别作出 ÷ 和 g x = log 1 x 的图象，结合图象即可得到答案．
è 2 2
1 1 x
【详解】由 a = ，则 = log x ，
2 è 2 ÷ 1 2
|x|
则令 f x 1= ， g x = log x ，
è 2 ÷
1
2
分别作出它们的图象如下图所示，
|x|
由图可知，有两个交点，所以方程a = loga x 的实根个数为 2．
故答案为：2．
（三）
判断零点所在的区间
确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过观察函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数 y
＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出 f(a)f(b)<0.
题型 3：判断零点所在的区间
x 1
3-1 2024 1 ．（ 高一·全国·课堂例题）方程 ÷ = x3 的根所在区间是（ ）
è 2
2 1 2 1 1 1
A ． ,13 ÷
B． , ÷ C． , ÷ D． 0, ÷
è è 2 3 è 3 2 è 3
【答案】C
x 1
【分析】构造函数 f x 1= ÷ - x3 ，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可
è 2
x 1
【详解】构造函数 f x 1= ÷ - x3 ，
è 2
1 x 1
因为 y = ÷ 和 y = -x3 在R 上单调递减，所以函数 f x 在R 上单调递减，è 2
且函数 f x 的图象是一条连续不断的曲线，
0 1 1 1 1
因为 f 0 1 3 3 2 3= ÷ - 0 =1 > 0， f 1 = 1 12 ÷ ÷ -
÷ > 0， f
1 1 1=
è 3 2 3 2 ÷ 2 ÷
- 2 ÷
< 0 ，
è è è è è è
由 f x f 2 1 1 的单调性可知 < 0， f 1 < 0，则 f f < 0，
è 3 ÷ 3 ÷ ÷ è è 2
f x 1 , 1 故函数 的零点所在的区间为 3 2 ÷，è
1 x 1 1 1
即方程 = x3 的根 x 属于区间 , ．
è 2 ÷
0 3 2 ÷ è
故选：C
3-2．（2024 x高一上·重庆长寿·期末）函数 f x = log2x + 2 - 2π的零点所在区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】D
【分析】
利用零点存在定理代入区间端点处的值判断即可得出结果.
【详解】易知函数定义域为 0, + ，且函数 f x = log2x + 2x - 2π单调递增，
又 f 1 = log21+ 21 - 2π<0 ，所以 0,1 上没有零点；
f 2 = log2 2 + 22 - 2π = 5 - 2π<0，
f 3 = log 323+ 2 - 2π>8 - 2π>0，由零点存在定理可知 f 2 × f 3 < 0 ，
所以零点所在区间是 2,3 .
故选：D
3-3．（2024 高一下·甘肃·期末）若 x0 是方程 2x =12 - 3x 的解，则 x0 （ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
【答案】C
【分析】先判断函数 f (x) 的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间.
【详解】因为函数 f (x) = 2x + 3x -12 在定义上单调递增，
又 f (2) = 22 + 6 -12 = -2 < 0 ， f (3) = 23 + 9 -12 = 5 > 0，
所以函数 f (x) 的零点所在区间是 (2,3) ，即 x0 (2, 3)．
故选：C.
3-4．（2024 高一下·湖南·阶段练习）函数 f (x) = x - log 1 x +1的零点所在的区间为（ ）
2
0, 1 1 1 A． ÷ B． ,
è 4 è 4 3 ÷
1 1 1
C． , ÷ D． ,1
è 3 2 ÷ è 2
【答案】C
【分析】根据题意得函数在 0, + 上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出.
【详解】Q y = x +1在 0, + 上单调递增， y = - log 1 x在 0, + 上单调递增，
2
\函数 f (x) = x - log 1 x +1在 0, + 上单调递增，
2
f 1 1∵ ÷ = - log
1
1 +1
3
= - < 0，
è 4 4 2 4 4
1 1
f 1 1 1 4 3 ÷
= - log +1 = - log 3 = log 163 - log 273 < 0，
è 3 1 2 2 22 3 3
f 1 1 1 1 = - log2 ÷ 1
+1 = > 0，
è 2 2 2 2
\函数 f (x) = x - log 1 x +1
1 , 1 的零点所在的区间为 .
2 è 3 2 ÷
故选：C
x
1
3-5．（2024 1 高一下·海南省直辖县级单位·期中）若 x0 是函数 f x = - x 2 的零点，则 x 属于区间
è 3 ÷
0
（ ）.
1 1 1
A． 0, ÷ B． ,
è 3 è 3 2 ÷
1 2 2 C． , ÷ D．2 3
,1
3 ÷è è
【答案】B
x
1 1
【分析】由题意 x0 是函数 f x = ÷ - x 2 = 0的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可.
è 3
1 1 1 1
3 2 2 2
【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得 1 1 1 1 3 ÷
> 3 ÷
, 3 ÷
< ÷ ，
è è è è 2
1 1 1 1
3 2 2 2 1 1
所以 f 1 = 1 - 1 > 0, f 1 = 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ - ÷ < 0，即 f ÷ × f ÷ < 0 .
è 3 è 3 è 3 è 2 è 3 è 2 è 3 è 2
x
f x = 1 1又 ÷ - x 2 为R 上的减函数，
è 3
x
1 1 1
由零点存在定理，可得函数 f x 1= ÷ - x 2 有且只有一个零点且零点 x0 , ÷ .
è 3 è 3 2
故选：B．
（四）
函数零点性质的应用
1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围;
(2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.
2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值
的正负.
题型 4：已知零点个数求参数的取值范围
4-1．（2024 2高一·全国·课后作业）若函数 f (x) = 4x - x - a 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
【答案】 (4,+ ) U{0}
2
【分析】令 g x = 4x - x ，画出 g x 的图象，由图象知直线 y = a 与 g x 的图象有两个交点即可.
【详解】令 f (x) = 4x - x2 - a=0 a = 4x - x2 ，
2
令 g x = 4x - x2 ，则 g x 2
ì4x - x ,0 < x < 4
= 4x - x = íx2
，
- 4x, x > 4或x < 0
画出 g x 的大致图象如下：
由图象可知：当 a < 4或 a = 0时，直线 y = a 与 g x 的图象有两个交点，符合题意，
故 a 的取值范围为 (4,+ ) U{0}，
x - c, x 0,
4-2．（2024·北京西城·一模）设 c R ，函数 f (x)
ì
= í2x 2c, x 0. 若
f (x) 恰有一个零点，则 c的取值范围是
- <
（ ）
A． (0,1) B．{ 0 }U [1,+ )
1
C． (0, ) D．{ 0 }U [
1 ,+ )
2 2
【答案】D
ìx, x 0
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将 g x = í c
2
x , x 0 图象平移对参数 进行分类讨论即可得出<
其取值范围.
ìx, x 0【详解】画出函数 g x = í2x , x 0 的图象如下图所示： <
ìx - c, x 0, x, x 0,
函数 f (x) = í x 可由 g(x)
ì
=
2 - 2c, x < 0. í x 分段平移得到， 2 , x < 0.
易知当 c = 0时，函数 f (x) 恰有一个零点，满足题意；
当 c < 0时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当 c > 0时，图象往下平移，当0 < 2c <1时，函数有两个零点；
当 2c 1时， f (x)
1
恰有一个零点，满足题意，即c ；
2
综上可得 c
1
的取值范围是 0 [ , + ) .
2
故选：D
4-3．（2024·湖北·模拟预测）设min{m,n} 2表示 m，n 中的较小数．若函数 f (x) = min | x | -1,2x - ax + a + 6
至少有 3 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）
A．[12,+ ) B． (- , -4] (12, + )
C． (- , -4) [12, + ) D． (- , -4)
【答案】A
【分析】分析可知函数 g(x) = 2x2 - ax + a + 6至少有一个零点，可得出D 0，求出 a的取值范围，然后对实
数 a的取值范围进行分类讨论，即可得出实数 a的取值范围.
2
【详解】由题意可得 g(x) =2x -ax+a+6=0有解，
所以D=a2 -8(a+6) 0，解得 a -4或 a 12，
ìa >1
当 a 12
时，必有 í 4 ，解得 a 12；
g(1) = 2 - a + a + 6 0
ìa
< -1
当 a -4时，必有 í 4 ，不等式组无解，
g(-1) = 2a + 8 0
综上所述， a 12，∴ a的取值范围为[12,+ ) .
故选：A
4-4．（2024 高一下·湖北荆州·阶段练习）若方程 ex -1 = m有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为
（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
【答案】C
【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解．
f x = ex【详解】令 -1 ，
由于当 x < 0 时，-1 < ex -1 < 0 ，\ f x =1- ex ，且 f x 0,1 ；
当 x 0 时， ex -1 0，\ f x = ex -1，且 f x 0, + ，
作出函数 f x 的图象如图所示，
则当0 < m <1时，函数 f x = ex -1 x与 y = m的图象有两个交点，即方程 e -1 = m有两个不同的实数根，
\m的取值范围是 0,1 ．
故选：C．
题型 5：已知零点所在区间求参数的取值范围
5-1．（2024 x 2高一上·江苏南通·期末）设 k 为实数，函数 f x = 2 + x - k 在 0,1 上有零点，则实数 k 的取值范
围为 ．
【答案】 1,3
【分析】由零点的存在性定理求解即可
x 2
【详解】因为 f x = 2 + x - k 在 0,1 单调递增，且有零点，
ì f 0 =1- k 0
所以 í f 1 ，解得1 k 3， = 2 +1- k 0
故答案为： 1,3
5-2 2．（宁夏回族自治区银川一中 2023 届高三三模数学（理）试题）函数 f (x) = log2 x + x + m在区间 2,4 上
存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得 f (2) × f (4)<0，解出实数m 的取值范围为 -18, -5 .
2
【详解】由零点存在定理可知，若函数 f (x) = log2 x + x + m在区间 2,4 上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足 f (2) × f (4)<0，即 m + 5 m +18 <0，
解得-18所以实数m 的取值范围是 -18, -5 .
故选：D
题型 6：比较零点的大小
6-1．（2024 高一上·湖北鄂州·期末）已知方程 2x + 2x = 0、 log2 x + 2x = 0、 x3 + 2x = 0的根分别为 a，b，c，
则 a，b，c 的大小顺序为（ ）．
A． a > b > c B．b > c > a C． c > a > b D．b > a > c
【答案】B
【分析】首先求出 c = 0，再由 f (x) = 0 得 2x = -2x ，由 g(x) = 0 得 log2 x = -2x ，将其转化为 y = 2x 、y = log2 x
与 y = -2x 的交点，数形结合即可判断结果.
【详解】由 h(x) = x3 + x = 0得 x = 0，\c = 0 ，
由方程 2x + 2x = 0得 2x = -2x 的根为 a，由方程 log2 x + 2x = 0得 log2 x = -2x 的根为 b.
在同一平面直角坐标系中画出 y = 2x 、 y = log2 x 、 y = -2x 的图象，
由图象知， a < 0，b > 0，\a < c < b .
故选：B
6-2 3 x．（2024 高一下·河南洛阳·期末）已知函数 f x = x + x ， g x = x + 3 ， h x = x + log3 x的零点分别为
x1， x2， x3 ，则x1， x2， x3 的大小顺序为（ ）
A． x2 > x3 > x1 B． x3 > x2 > x1
C． x1 > x2 > x3 D． x3 > x1 > x2
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数 y = x3、 y = 3x 、 y = log3 x与 y = -x 的交点的横坐标，画出函数
图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令 f x = x + x3 = 0 ，即 x3 = -x ，
同理可得3x = -x， log3 x = -x ，
则函数的零点转化为 y = x3、 y = 3x 、 y = log3 x与 y = -x 的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
由图可得 x1 = 0 ， x2 < 0， x3 > 0，即 x3 > x1 > x2 .
故选：D
6-3 a．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数 a,b,c分别满足 a ×2 = b × log3 b = c × log2 c =1，则 a,b,c的大
小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D． a > c > b
【答案】B
x
【分析】作出 y = 2 , y = log2 x, y = log
1
3 x的图像，利用图像和 y = x 图像交点的横坐标比较大小即可.
1
= 2a 1 1【详解】由已知可得 ， = log b ， = log c，
a b 3 c 2
y = 2x作出 , y = log2 x, y = log3 x的图像如图所示：
1
它们与 y = x 交点的横坐标分别为
a,b,c，
由图像可得b > c > a，
故选：B
题型 7：求零点之和
7-1．（2024 高一上·全国·单元测试） y = f x 是R 上的偶函数，若方程 2 f x =1有五个不同的实数根，则
这些根之和为（ ）
1
A．2 B．1 C．0 D．
2
【答案】C
【分析】根据偶函数的对称性，即可判断.
1
【详解】因为函数 f x 是R 上的偶函数，所以函数图象关于 y 轴对称，那么 2 f x =1，即 f x = 有 5 个
2
实数根，可知其中 4 个实数根，有两对关于 y 轴对称，另外一个为 x = 0，所以这些根的和为 0.
故选：C
7-2．（2024 高三上· x-1四川成都·开学考试）已知函数 f x = e - e1-x + 4 ，若方程 f x = kx + 4 - k(k > 0)有三
个不同的根 x1, x2 , x3，则 x1 + x2 + x3 = （ ）
A．4 B．3 C．2 D． k
【答案】B
【分析】由题意，易知 y = ex - e- x为奇函数， f x 由函数 y = ex - e- x向右平移一个单位长度，再向上平移 4
个单位长度而得到的，所以 f x 的图象关于点 1,4 对称，再根据直线也关于点 1,4 对称，即可得答案.
【详解】由题意，因为 e- x - ex = - ex - e- x ，所以 y = ex - e- x为奇函数，
f x 由函数 y = ex - e- x向右平移一个单位长度，再向上平移 4 个单位长度而得到的，
所以 f x 的图象关于点 1,4 对称.
而 f x = kx + 4 - k = k x -1 + 4 所表示的直线也关于点 1,4 对称，
所以方程 f x = kx + 4 - k 的三个实根 x1, x2 , x3中必有一个为 1，另外两个关于 x =1对称，所以
x1 + x2 + x3 = 3 .
故选：B.
ì
2x + 2, x 0
7-3．（2024 高一上·贵州毕节·期末）已知函数 f x = í ，则函数 y = f é f x ùlog x, x 0 的所有零点之和 4 >
为 ．
9
【答案】
4
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数 y = f é f x ù 的所有零点，从而得解．
【详解】设m = f x ，则 f m = 0，
①当m 0时， 2m + 2 = 0，得m = -1；
②当m > 0时， log4 m = 0，得m =1；
综上所述：若 f m = 0，则m = -1或m =1.
故 f x = -1或 f x =1，则有：
x 0 ìx > 0
①由 f x ì= -1 3 1，可得 í 或 í ，解得 x = - x =
2x + 2 = -1 log4 x
或 ；
= -1 2 4
f x 1 ì
x 0 ìx > 0 1
②由 = ，可得 í 或 í ，解得 x = - 或 x = 4
2x
；
+ 2 =1 log4 x =1 2
3 1 1
综上所述：函数 y = f f x 的所有零点为- ， ，-4 ，4.2 2
3 1 1 9
故所有零点的和为 - ÷ + + - ÷ + 4 = ．
è 2 4 è 2 4
9
故答案为： .
4
【点睛】关键点点睛：根据题意分 x 0 和 x > 0两种情况讨论，运算求解,
（五）
二分法的概念
1、二分法的概念
判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为
变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变
号零点不适用．
2、二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为
变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不
变号零点不适用．
题型 8：二分法的概念的应用
8-1（2024 高一·全国·课后作业）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理可知，函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的
近似值，分析个图象，即可求解，得到答案．
【详解】根据二分法的思想，函数 f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且 f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变
号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D 都符合条件，
而选项 C 不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．
故选 C
【点睛】本题主要考查了二分法的概念及其应用，其中解答中熟记二分法的思想和零点的存在定理是解答
的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8-2．（2024 高一·全国· x课后作业）用二分法求函数 f x = 2 - 3的零点时，初始区间可选为（ ）
A．[-1,0] B．[0,1]
C． 1,2 D．[2,3]
【答案】C
【分析】结合零点存在性定理及二分法即可求解.
5
【详解】 f -1 = - < 0, f 0 = -2 < 0, f 1 = -1 < 0, f 2 =1 > 0, f 3 = 5 > 0，
2
则 f 1 × f 2 < 0，即初始区间可选[1, 2]．
故选：C.
8-3．（2024 高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（ ）
A． y = kx + b（k，b 为常数，且 k 0）
B． y = ax2 + bx + c（a，b，c 为常数，且 a 0）
C． y = 2x
D． y
k
= （ k 0，k 为常数）
x
【答案】A
【分析】根据二分法的概念，结合一次函数，二次函数，指数函数，反比例函数的性质依次讨论求解即可.
【详解】解：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故 C，D 不能用“二分法”求其零点，
故 CD 错误；
对于二次函数 y = ax2 + bx + c（a，b，c 为常数，且 a 0），当D = b2 - 4ac 0时，不能用二分法，故 B 错误；
由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故 A 选项正确.
故选：A
（六）
用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
1、利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间 M.
(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点．
2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点 c，计算 f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长
度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
题型 9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
9-1．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为e ，则终止条件为（ ）
A． x1 - x2 > e B． x1 - x2 < e
C． x1 【答案】B
【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步骤即可得出答案.
【详解】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为e ，
当 x1 - x2 < e 时，即表示满足精度要求，可以确定近似解．
故选：B
9-2．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程 x3 + 5 = 0 的近似解(精确度为 0.1)为（ ）
A．-1.5 B．-1.8
C．-1.6 D．-1.7
【答案】D
【分析】根据二分法逐步计算求解即可.
【详解】令 f (x) = x3 + 5，记其零点为 x0 ，
易知 f (-2) = -3 0, f (-1) = 4 0，所以 x0 -2, -1 ，
又 f (
3
- ) =1.625 > 0，所以 x -2, -1.5 ，
2 0
因为 f (-1.75) -0.35 < 0，所以 x0 -1.75, -1.5 ，
因为 f (-1.625) 0.71 > 0 ，所以 x0 -1.75, -1.625 ，
因为 f (-1.6875) 0.19 > 0 ，所以 x0 -1.75, -1.6875 ，
又-1.6875 - (-1.75) = 0.0625 < 0.1，
所以区间 -1.75, -1.6875 内的实数均可作为方程 x3 + 5 = 0 的近似解.
故选：D
9-3．（2024 高一上·江苏淮安·期末）已知函数 f x 在( 0, 1)内有一个零点，且求得 f (x) 的部分函数值数据如
下表所示：
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
f (x) -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使 f (x) 零点的近似值精确到 0.1，则对区间( 0, 1)的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次 0.7 B．6 次 0.6
C．5 次 0.7 D．5 次 0.6
【答案】C
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间 0,1 内，需要求解 f 0.5 , f 0.75 , f 0.625 , f 0.6875 ,
f 0.65625 的值，然后达到 f x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.7 ，
共计算5次.
故选：C
（七）
指数型模型的应用
指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型
表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是
什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建
立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
注；函数 y＝c·akx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、
气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数
法，即根据题意确定相关的系数．
题型 10：指数型模型的应用
10-1．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物
-kt
体的初始温度为 1 ℃，空气温度为 0 ℃，则 t分钟后物体的温度 （单位：℃，满足： = 0 + ( 1 - 0 )e )
若常数 k = 0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到 40 ℃，大约需要的时间为（ ）（参考数
据： ln 2 0.69 ）
A．39 分钟 B．41 分钟 C．43 分钟 D．45 分钟
【答案】B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知 0 = 30， 1 =110 ， = 40，
\40 = 30 + (110 - 30)e-0.05t ，
\e-0.05t 1= ，
8
\-0.05t ln 1= ，
8
\0.05t = ln8 = 3ln 2，
t 3ln 2\ = = 60 ln 2 60 0.69 41 .
0.05
故选：B.
10-2．（2024 高一·全国·课后作业）从盛满10L纯酒精的容器里到倒出1L酒精，然后用水充满，再倒出1L混
合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第 x x N+ 次倒出纯酒精为 f (x) （单位：L），则函数 f (x) 的表
达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变）
x-1
【答案】 f (x) = 0.9 x N+
【分析】根据题意写出酒精残留量，再求出倒出纯酒精即可得到答案．
9
【详解】第 1 次酒精残留量 y =10 ，
10
9 2
第 2 次酒精残留量 y =10 ÷ ，
è10
x-1
9
即第 x -1次酒精残留量 y =10 ÷ , x N10 +
.
è
9 x-1 1 9 x-1
则第 x x N+ 次倒出纯酒精为 f (x) = 10 =10 ÷ 10 ÷è è10
x-1
故答案为： f (x) = 0.9 x N+ .
10-3．（2024 高一下·湖南岳阳·期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，
不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新
诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1% ，一年后是1.01365 ；而把“不见其损”量化为每
365
天的“落后率”都是1% 1.01，一年后是0.99365 .可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的
0.99365
1481倍.那么，
如果每天的“进步率”和“落后率”都是 20%，要使“进步”是“落后”的10000倍，大约需要经过（ lg 2 0.301，
lg3 0.477 ）（ ）
A．17 天 B．19 天 C．23 天 D．25 天
【答案】C
3 x
【分析】根据题意得 ÷ 10000，根据对数的运算性质即可求解.
è 2
x
【详解】经过 x 天后，“进步”与“落后” 1.2的比 x 10000，0.8
3 x
所以 ÷ 10000，
è 2
3
两边取以10为底的对数得 x × lg 4，又 lg 2 0.301， lg3 0.477 ，
2
所以 x × lg3- lg 2 = x 0.477 - 0.301 = 0.176x 4 ，
x 4解得 22.73，
0.176
所以大约经过 23天后，“进步”是“落后”的10000倍.
故选：C.
（八）
对数函数模型的应用
(1)形如 y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当 a>1，m>0 时，y 随自变量 x 的增大而增
大，且函数值增大的速度越来越慢．
(2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分
析清楚底数 a 与 1 的大小关系，要关注自变量的取值范围．
借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用．
注：对数函数应用题的基本类型和求解策略：
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提
炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
题型 11：对数函数模型的应用
11-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于 1976，经过数十年的发掘研究，已证实是
中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼
等遗迹，2019 年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳 14 测定年代，公式为：
t A= 5730ln 0 ÷ 0.693（其中 t为样本距今年代， A0 为现代活体中碳 14 放射性丰度，A 为测定样本中碳 14
è A
放射性丰度），已知现代活体中碳 14 放射性丰度 A0 =1.2 10
-12
，该人类骨骼碳 14 放射性丰度
A = 7.4 10-13 ，则该骨骼化石距今的年份大约为（ ）（附： ln1.6216 0.4834， ln1.7 0.5306，
ln1.5 0.4055）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
【答案】B
A
【分析】首先求出 0 再代入公式，利用参考数据计算可得.
A
A 1.2 10-12
【详解】由题知， 0 = -13 1.6216，A 7.4 10
∴ t = 5730ln1.6216 0.693 5730 0.4834 0.693 3997 .
故选：B.
11-2．（2024 高二下·云南昆明·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的
1 P
游速 v（单位：m / s）与鲑鱼的耗氧量的单位数 P 的关系为 v = log3 ，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为2 100
（ ）
A．1 B．100 C．200 D．300
【答案】B
1 P
【分析】根据 v = log3 和 v的值，求出 P 的值.2 100
1 P 1 P
【详解】因为 v = log3 ，所以当鲑鱼静止时， v = 0m / s，即 log = 0，2 100 1 2 3 100
P
化简得 =1，所以P =100；
100
故选:B.
11-3．（2024 高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气
体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过 0.08 mg/m3，否则，该新房达不到
安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风 x x =1,2,3,L,50 周与室内甲醛浓度 y（单位：mg/m3）之
间近似满足函数关系式 y = 0.48 - 0.1 f x x N* ，其中 f x = log éa k x2 + 2x +1 ù k > 0, x =1,2,3,L,50 ，
且 f 2 = 2， f 8 = 3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17 周 B．24 周 C．28 周 D．26 周
【答案】D
【分析】由已知数据求得参数 a, k ，然后解不等式 f (x) 4 即可得．
【详解】 f x = log éa k x +1
2 ù
= loga k + 2loga x +1 ，由 f 2 = 2， f 8 = 3，得 loga k + 2loga 2 +1 = 2，
loga k + 2loga 8 +1 = 3，
两式相减得 loga 9 =1，则 a = 9，所以 loga k + 2 = 3， k = 9 .
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48 - 0.1 f x 0.08，
则 f x 4，即1+ 2log9 x +1 4，解得 x 26，
故至少需要通风 26 周.
故选：D．
（九）
建立拟合函数模型解决实际问题
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问
的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤
如下：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都
落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这
种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体
相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
题型 12：建立拟合函数模型解决实际问题
12-1．（2024 高三下·全国·阶段练习）某地自 2014 年至 2019 年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根据表中的数据判断从 2014 年到 2019 年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变
化趋势；
450
（2）研究人员用函数P t = 2000 + t-0.6544t 拟合该地的人口数量，其中 的单位是年，2014 年年初4.4878e +1
对应时刻 t = 0，P t 的单位是千人，经计算可得P 6.5 2450，请解释P 6.5 2450的实际意义.
【答案】（1）2016 年到 2017 年的人口的增长数量最大，2014 年到 2019 年该地每年人口的增长数量呈先递
增后递减的趋势（或 2014 年到 2019 年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到 2020 年中，该地的
总人数大约可增长到 2450 千人（或到 2020 年 6 月末或 7 月初，该地的总人数大约可增长到 2450 千人）
【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从 2014 年到 2019 年每年增加的数量，逐年增多，从 2017
后，增加的人数逐年减少；
（2）根据函数的表达式及题意，可得P t 表示 2014+t 年的人口数量，不难得到P 6.5 2450的实际意义．
【详解】（1）从 2014 年到 2015 年该地的人口增长数量： 2135 - 2082 = 53；
从 2015 年到 2016 年该地的人口增长数量： 2203- 2135 = 68；
从 2016 年到 2017 年该地的人口增长数量： 2276 - 2203 = 73；
从 2017 年到 2018 年该地的人口增长数量： 2339 - 2276 = 63；
从 2018 年到 2019 年该地的人口增长数量： 2385 - 2339 = 46；
故 2016 年到 2017 年的人口的增长数量最大.
2014 年到 2019 年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势.
（或 2014 年到 2019 年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.
（2）由题意，2014 年年初对应时刻 t = 0，P t 表示 2014+t 年的人口数量，
t = 6.5，P t 表示 2014+6.5=2020.5 年的人口数量，
故P 6.5 2450其实际意义为：到 2020 年中，该地的总人数大约可增长到 2450 千人.
或到 2020 年 6 月末或 7 月初，该地的总人数大约可增长到 2450 千人.
【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题.
12-2．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定
为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车
速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡
航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时
耗油量 F（单位：L）与速度 v（单位： km/h ） (0 v 120) 的下列数据：
v 0 40 60 80 12
20 65
F 0 10 20
3 8
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F = av3 + bv2 +cv .
（1）求函数解析式；
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
1 3 1 2 7
【答案】（1） F = v - v + v, (0 v 120)；（2）以80km / h的速度行驶时总耗油量最少.
38400 240 24
【解析】（1）代入数据解方程即可得 a、b 、 c，即可得解；
（2）表示出总耗油量的函数，由二次函数的性质即可得解.
ì40 402 a 40b c 20 1 + + = ìa =
3
38400
【详解】（1）由已知数据得 í60 602 a 60b 65 1+ + c = ，解得8 íb = - ， 240
80 802 a + 80b + c =10 c 7 = 24
1 3 1 2 7
所以 F = v - v + v, (0 v 120)；
38400 240 24
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为 y，行驶时间为 t，
由题意得 y = F
1
× t = v3 1 - v
2 7 v 240+ ÷ ×
è 38400 240 24 v
1
= v 2 - v 1+ 70 = (v - 80)2 + 30，
160 160
因为0 v 120，所以当 v = 80 时，y 有最小值 30.
答：这辆车在该测试路段上以80km / h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L .
【点睛】本题考查了函数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
12-3．（2024 高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年 1 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别如下
表所示.
月份 1 2 3 4
产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过
多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里
也暂时不准备增加设备和工人.如果用 x 表示月份，用 y 表示产量，试比较 y = a x + b 和 y = abx + c哪一个更
好一些？（函数模型 y = a x + b ，要求用第 1，4 月份的数据确定 a，b ；函数模型 y = abx + c，要求用第 1，
2，3 月份的数据确定 a，b ， c，精确到 0.01， 2 1.414 ， 3 1.732）
【答案】 y = -0.43 0.75x +1.34更好些
【分析】通过计算可知：采取模型 y = a x + b 可知有两个数据有误差，采取模型 y = abx + c可知只有一个数
据有误差，由此即可得解.
【详解】（函数 y = a x + b 模拟）设 y = a x + b ，
ìa + b =1.02
将 1，4 月份的数据代入，则 í
2a + b =1.18
，
ìa = 0.16
解得 íb 0.86 ，所以 y = 0.16 x + 0.86 . =
把 x = 2和 3 代入，分别得到 y =1.09和 1.14，
又1.10 -1.09 = 0.01，1.16 -1.14 = 0.02 .
（函数 y = abx + c模拟）设 y = abx + c，将 1，2，3 月份的数据代入，
ìab + c =1.02 ìa = -0.43
得 íab2 + c =1.10
，解得 íb = 0.75 ，所以 y = -0.43 0.75x +1.34 .
ab3 + c =1.16 c =1.34
把 x = 4代入，得 y = -0.43 0.754 +1.34 =1.20，
又1.20 -1.18 = 0.02 .
相比两个函数的模拟结果，可知由模型 y = abx + c计算得 y = -0.43 0.75x +1.34更好些.
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,2 上的零点，要求误差不
超过 0.01 时，计算中点函数值的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据二分法分析运算.
【详解】根据题意，原来区间 0,2 的长度等于 2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
1
则经过 n 次操作后，区间的长度为 2n-1 ，
1 1 1
令 n-1 = n 0.01，即 n 7 ，计算中点函数值的次数最少为 7.2 2 2
故选：B．
1
2．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求方程 ln x - = 0在 1,2 上的解时，取中点 c =1.5，则下一个有
x
解区间为（ ）
A． 1,1.25 B． 1,1.5
C． 1.25,1.5 D． 1.5,2
【答案】D
【分析】通过计算 f (1) < 0, f (1.5) < 0, f (2) > 0 ,可得答案.
【详解】令 f (x) = ln x
1
- ，易得 f (x) 为增函数，又因为 f (1) = -1 < 0 ，
x
1 1
f 2 = ln 2 1- = ln 2 - lne2 > ln 2 - ln 42 = ln 2 - ln 2 = 0，
2
f (1.5) ln 3 2 ln 3 2 ln e 1 ln(3 3 1 2
1 27 1
= - = - = ) - ln e = ln - ln e
2
÷ < ln 4 - 2 < 0 ，2 3 2 3 3 2 3 3 è 8 3
所以下一个有根区间为 1.5,2
故选：D
3．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，
其参考数据如下:
f 1 = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一个近似解（误差不超过 0.025）可以是（ ）
A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5
【答案】C
【分析】根据二分法及函数零点的判定定理判断即可；
【详解】依据题意， f (1.4375) = 0.162， f (1.40625) = -0.054 ，
所以方程的一个近似解为 1.42，满足误差不超过 0.025，
故选：C.
4．（2024 高一上·江西上饶·期末）若函数 f (x) = x3 + x2 - 2x - 2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，
其参考数据如下：
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确度 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【答案】B
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为 f (1) < 0, f (1.5) > 0，所以 f (1) f (1.5) < 0 ，所以函数在 (1,1.5) 内有零点，
因为1.5 -1 = 0.5 > 0.1，所以不满足精确度0.1；
因为 f (1.25) < 0，所以 f (1.25) f (1.5) < 0，所以函数在 (1.25,1.5)内有零点，
因为1.5 -1.25 = 0.25 > 0.1，所以不满足精确度0.1；
因为 f (1.375) < 0，所以 f (1.375) f (1.5) < 0，所以函数在 (1.375,1.5)内有零点，
因为1.5 -1.375 = 0.125 > 0.1，所以不满足精确度0.1；
因为 f (1.4375) > 0，所以 f (1.4375) f (1.375) < 0，所以函数在 (1.375,1.4375) 内有零点，
因为1.4375 -1.375 = 0.0625 < 0.1，所以满足精确度0.1；
所以方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确度0.1）是区间 (1.375,1.4375) 内的任意一个值（包括端点值），
根据四个选项可知选 B .
故选：B
5．（2024 高一上·吉林长春·期末）函数 f (x) = ex + x + 2零点所在的区间是（ ）
A． (1, 2) B． (-1,0)
C． -3, -2 D． (-2,-1)
【答案】C
【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即可得解.
【详解】由单调性的性质易得 f (x) = ex + x + 2在R 上单调递增，
又 f -3 = e-3 - 3 + 2 < 0， f -2 = e-2 - 2 + 2 > 0 ，
所以 f (x) 的零点所在的区间是 -3, -2 .
故选：C.
6 2024 · · f x 1
x
．（ 高一上 广东江门 期末）已知 = - x - 2，g x = log x - x - 2 ÷ 1 ，h x = x
3 - x - 2的零点分
è 2 2
别是 a，b ， c，则 a，b ， c的大小顺序是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > c > a D．b > a > c
【答案】B
1 x
【分析】将函数的零点，转化为函数 y = x + 2 的图象分别与函数 y = 、 y = log ÷ 1
x 、 y = x3的图象交点的
è 2 2
横坐标，利用数形结合法求解．
x
【详解】解：函数 f x 1= ÷ - x - 2， g x = log 1 x - x - 2
3
， h x = x - x - 2的零点，
è 2 2
x
1
即为函数 y = x + 2 分别与函数 y = y = log x 3 2 ÷
、 1 、 y = x 的图象交点的横坐标，
è 2
如图所示：
由图可得a < b < c .
故选：B
x
7．（2024 高一上· 1 全国·课后作业）若关于 x 的方程 ÷ = a +1有解，则 a的取值范围是（ ）
è 2
A．0 < a 1 B．-1 < a 0 C．a 1 D． a > 0
【答案】B
1 x xy = 1 【分析】将题意转化为 ÷ 与 y = a +1的图象有交点，画出 y = ÷ 与 y = a +1的图象即可得出答案.
è 2 è 2
1 x x 1
【详解】关于 x 的方程 ÷ = a +1有解，即 y = 与 y = a +1的图象有交点，
è 2 è 2 ÷
x
y = 1 画出 ÷ 与 y = a +1的图象如下图，
è 2
则 a +1 0,1 ，则 a -1,0 .
故选：B.
x 28．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f (x) = 2 - - a的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的取值范围是
x
（ ）
A． 0 < a < 3 B．1 < a < 3
C．1< a < 2 D． a 2
【答案】A
【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案.
x y 2【详解】因为函数 y = 2 ， = - 在 (0, + )上单调递增，
x
x 2
所以函数 f (x) = 2 - - a在 (0, + )上单调递增，
x
x 2
由函数 f (x) = 2 - - a的一个零点在区间 (1,2) 内得 f 1 = -a 0, f 2 = 3- a 0，
x
解得 0 < a < 3，
故选：A
9．（2024 高三·全国·专题练习）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,1 上的零点，要求精确度为
0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由于长度等于 1 *区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过 n n N 次操作后，
1 1
区间长度变为 n ，若要求精确度为0.01时则 n < 0.01，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.2 2
【详解】因为开区间 0,1 的长度等于 1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
* 1
所以经过 n n N 次操作后，区间长度变为
2n
，
1
令 n < 0.01，解得 n 7 ，且2 n N
*，
故所需二分区间的次数最少为 7.
故选：C.
10 3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = x + 2x - 9在区间 1,2 内有一个零点，且 f x 的部分函
数值数据如下： f 1 = -6， f 1.5 = -2.625， f 1.75 -0.1406， f 1.7578 -0.0530，
f 1.7617 0.0090 ， f 1.7656 0.0352， f 2 = 3，要使 f x 零点的近似值精确度为0.01，则对区间 1,2
的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次，1.75 B．6 次，1.76
C．7 次，1.75 D．7 次，1.76
【答案】D
【分析】根据题目条件结合二分法得到最少等分了 7 次，并求出近似解.
【详解】由题中数据知，零点区间变化如下：
1,2 1.5,2 1.75,2 1.75,1.875 1.75,1.8125 1.75,1.78125 1.75,1.7656 1.7578,1.7656 ，
此时区间长度小于0.01，在区间 1.7578,1.7656 内取近似值，最少等分了 7 次，近似解取1.76 .
故选：D.
11．（2024 高一上·浙江温州·阶段练习）已知 y = -(x - a)(x - b) + 2，且a , b 是方程 y = 0 的两根，则 a,b,a , b
大小关系可能是（ ）
A． a < a < b < b B．a < a < b < b
C． a < a < b < b D．a < a < b < b
【答案】D
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】 f (x) = -(x - a)(x - b) + 2，由题意得， f (a) = f (b) = 2 > 0，而 f (a ) = f (b ) = 0，借助图象可知，
a,b,a , b 的大小关系可能是a < a < b < b ，
故选：D.
12 2024 · · log x + 4 = 3x．（ 高一 全国 课堂例题）方程 2 的实根的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
x
【分析】求方程 log2 x + 4 = 3 的实根个数，等价于函数 y = log2 x + 4 与 y = 3x 图像的交点个数，在同一坐
标系中作出它们的图像，即可求解.
【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数 y = log2 x + 4 与 y = 3x 的大致图像，如图由图像，可观察出
x
两个函数图像共有两个不同的交点，故方程 log2 x + 4 = 3 有两个根．
故选：C.
2
13．（2024 x高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 f x = 2 - - a 存在 1 个零点位于 1,2 内，则 a 的
x
取值范围是（ ）
A． 0,3 B． -3,3 C． -3,3 D． -3,0
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
f x = 2x 2【详解】若函数 - - a 存在 1 个零点位于 1,2 内，
x
f x 2x 2= - - a 单调递增,又因为零点存在定理，
x
f 1 21 2 a 0, f 2 22 2\ = - - < = - - a > 0,
1 2
\0 < a < 3 .
故选：A.
ì x +1 , x 1
14．（2024 高一上·河北邢台·期末）已知函数 f (x) = í ，若方程 f x = a a R | log (x 1) , x 1 有四个不同的 2 -
解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 + x3 + x4的取值范围是（ ）
é
A． ê2,
17 ù 17
ú B
2, ù．
4 è 4 ú
2,17C é
17
． ÷ D．
è 4 ê
2, ÷
4
【答案】B
ì x +1 , x 1
【分析】由题意作函数 f (x) =
í 与 y = a 的图象，从而可得 x1 + x2 = -2，2 < x4 5| log (x 1) , x 1 ，从而得到 2 -
结果.
ì x +1 , x 1
【详解】由题意作函数 f (x) = í y = a
| log (x 1) , x 1
与 的图象，
2 -
∵方程 f x = a有四个不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
∴ x1, x2 关于 x=-1对称，即 x1 + x2 = -2，
5
当 log2 x -1 = 2得 x = 5或 ，则 2 < x 5，4 4
由题知， log2 x3 -1 + log2 x4 -1 = 0，故 x3 -1 x4 -1 =1，
1
所以 x3 = +1x4 -1
，
1 1
故 x1 + x2 + x3 + x4 = -2 + +1+ x4 = + x -1 x4 -1 x4 -1 4
，
因为1< x4 -1 4，
设 t = x4 -1，则由对勾函数的性质可知，
y 1 t 1,4 y 1 t 2,17= + = + ù在 单调递增，所以
t t
，
è 4 ú
x1 + x2 + x x
2,173 +
ù
4的取值范围是
è 4 ú
故选：B.
a c
15 1
b 1
．（2024 高二上·贵州黔东南·阶段练习）设 = log a， 2 = log b ÷ 12 ， ÷ = 5，则 a、b 、 c的大小关
è 3 3 è 4
系是（ ）
A．b < a < c B． c < b < a
C．a < b < c D．b < c < a
【答案】B
【分析】利用零点存在定理计算出 a、b 的取值范围，利用对数函数的单调性可得出 c < 0，即可得出 a、
b 、 c的大小关系.
x x
【详解】构造函数 f x 1 1= log2 x -
÷ ，因为函数 y = log3 2
x 、 y = - ÷ 在 0, + 上均为增函数，
è è 3
所以，函数 f x 为 0, + 上的增函数，且 f 1 1 0 f 2 8= - < ， = > 0，
3 9
因为 f a = 0，由零点存在定理可知1< a < 2；
x
构造函数 g x = 2 - log1 x ，因为函数 y = 2x 、 y = - log1 x 在 0, + 上均为增函数，
3 3
1 1 1 1
所以，函数 g x 为 0, + 上的增函数，且 g ÷ = 29 - 2 < 0， g ÷ = 23 -1 > 0，
è 9 è 3
因为 g b = 0 1 1，由零点存在定理可知 < b < .
9 3
1
c
因为 = 5，则 c = log 1 5 < log 1 1 = 0 ÷ ，因此， c < b < a .
è 4 4 4
故选：B.
x x x 1
16．（2024 · · 1 1 1 高一上 山东滨州 期末）已知函数 f (x) = ÷ - log2 x, g(x) = - x
2
÷ , h(x) =2 2 ÷
- x 2 在区间
è è è 2
(0, + )内的零点分别是 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断 a，b，c 所在区间作答.
1
【详解】函数 y
1
= ( )x 在 (0, + )上单调递减，函数 y = log x, y = x2 , y = x 2 在 (0, + )上都单调递增，2 2
f (x) (1
1
因此函数 = )x - log2 x, g(x)
1
= ( )x - x2 ,h(x) (1= )x - x 2 在 (0, + )上都单调递减，
2 2 2
f ( x ), g ( x ), h ( x ) 在 (0, + )上最多一个零点， f (1)
1
= > 0, f (2) 3= - < 0，即有1< a < 2，
2 4
1 1 1 1g( ) 2 1= - > 0, g(1) 1= - < 0，则 < b <1，而 h( ) = 0，即 c = ，
2 2 4 2 2 2 2
所以 a > b > c .
故选：A
ìln -x , x < 0
17．（2024 高一下·云南红河·阶段练习）已知 f x = í - x ，则函数 y = 3 f 2 (x) - 2 f (x)的零点个数为
2 , x > 0
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由 f (x) 解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数 y = 0 时对应 f (x) 值，应用数形结合法
判断零点个数.
【详解】由题设，当 x < 0 时 f (x) R 且递减，当 x > 0时 f (x) (0,1)且递减，
2
令 t = f (x) ，则 y = 3t 2 - 2t = 0，可得 t = 0或 t = ，如下图示：
3
2
由图知： t = 0时有一个零点， t = 时有两个零点，故共有 3 个零点.
3
故选：C
1
18．（2024 高二下·河北邯郸·期末）函数 f x = ex - + 2的零点所在的一个区间是
x
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】B
【详解】分析：计算区间端点处值（在端点不存在时研究函数的变化趋势）．
详解： f (1) = e +1 > 0， f (x) 在(0, + ∞)和 (- ,0)上是增函数， x < 0 时， f (x) > 0 ， x +0时，
f (x) - ，因此存在零点的一个区间是( 0, 1)．
故选 B．
点睛：本题考查零点存在定理：在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 满足 f (a) f (b) < 0，则 f (x) 在 (a , b ) 上存在零
点．另外如果 f (x) 还是单调的，则只有一个零点．
19 5．（2024 高一上·吉林长春·期末）函数 f x = x - x -1在下列区间一定有零点的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】由题意知， f 1 < 0， f 2 > 0 ，即 f 1 × f 2 < 0，可以知道函数 f x 在区间 1,2 上一定有零点．
5 5
【详解】由题意知， f 1 =1 -1-1 = -1 < 0， f 2 = 2 - 2 -1 = 29 > 0，
所以 f 1 × f 2 < 0，
故函数 f x 在 1,2 上一定有零点．
故答案为 B.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．
20．（2024 高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020 年全国掀起了垃圾分类的
热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市 2020 年全年用于垃圾分类的资金为 5000 万元，在此基础上，
每年投入的资金比上一年增长 20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1.28 亿元的年份是（参考数
据： lg1.2 0.079， lg 2.56 0.408）（ ）
A．2024 年 B．2025 年 C．2026 年 D．2027 年
【答案】C
【分析】
根据指数增长模型列式求解.
【详解】设 2020 后第 x 年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1.28 亿元，
则5000 1+ 20% x >12800，即1.2x > 2.56 ，
x log 2.56 lg 2.56解得 > 1.2 = 5.16lg1.2 ，
则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1.28 亿元的年份是 2026．
故选：C．
ì x +1 , x 0
21．（2024 高一上·河北保定·期末）已知函数 f (x) = í ，若方程 f x = a a R 有四个不同的解
log2 x , x > 0
x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 x4的取值范围是（ ）
A．[-4,-2) B．[-4,-2] C． (-4,-2) D． (-4,-2]
【答案】A
ì x +1 , x 0
【分析】由题意作函数 f (x) =
í 与 y = alog x , x 0 的图象，从而可得
x
> 1
+ x2 = -2，1< x4 2，从而得到结
2
果．
ì x +1 , x 0
【详解】由题意作函数 f (x) =
í y = alog x , x 0与 的图象如下， 2 >
∵方程 f (x) = a有四个不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
∴ x1, x2 关于 x = -1对称，即 x1 + x2 = -2，
当 log2 x =1
1
得 x = 2或 ，则1< x4 2，故 -4 (x + x )x < -2，2 1 2 4
故选：A.
- x
22．（2024 1 3高一上·重庆九龙坡·期末）函数 f x = ÷ - + a的一个零点在区间 1,2 内，则实数 a的取值
è 2 x
范围是（ ）
A． 1, 5+ B ． - ,1
5 5
2 ÷
C． - ,- ÷ 1, + D． - ,- ÷
è è 2 è 2
【答案】B
1 - x 3
【分析】先判断出 f x = ÷ - + a在 (0, + )上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求 a 的范围.
è 2 x
3
【详解】Q y = 2x 和 y = - 在 0, + 上是增函数，
x
\ f x = 2x 3- + a 在 0, + 上是增函数，
x
\只需 f 1 × f 2 < 0 -1+ a × 5 + a 5即可，即 < 0 - < a <1
è 2 ÷
，解得 ．
2
故选：B.
x1 x2 +1 x3
23．（2024
1 1 1
高一上·北京·期末）已知x1， x2， x3 满足 ÷ = log 1 x1，2 ÷
= log 1 x2 ， ÷ = log 1 x3 ，则
è 2 è 2 2 è 3 2
x1， x2， x3 的大小关系为（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【答案】C
【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到x1， x2， x3 的大小关系.
【详解】在同一平面直角坐标系内作出
1 x 1 x x+1y = log x y = y = 1 1 、 ÷ 、 ÷ 、y = ÷ 的图像
2 è 2 è 3 è 2
x
y = log 1 x 过点 (
1 ,1)、(1,0) y = 1 ； ÷ 过点 (0,1)、(1,
1)；
2 2 è 2 2
x x+1
y = 1
1 1 1 1
÷ 过点 (0,1)、(1, )； y = 过点 (0, )、(1, )，
è 3 ÷ 3 è 2 2 4
1 x 1 xy 1
x+1
则 = y = y = log x ÷ 、 ÷ 、y = ÷ 与 1 图像交点横坐标依次增大，
è 2 è 3 è 2 2
1 x x x+1y = 又 ÷ 、y
1 1
= y = log x
2 ÷
、y =
3 ÷
与 1 图像
è è è 2 2
交点横坐标分别为 x1、x3、x2 ，则 x1 < x3 < x2 .
故选：C
二、多选题
24．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即
得答案.
【详解】根据二分法的思想，函数 f (x) 在区间[a,b]上的图象连续不断，且 f (a) f (b) < 0，
即函数的零点是变号零点，才能将区间 (a,b)一分为二或多个小区间，
然后采用二分法逐步得到零点的近似值，
对各图象分析可知，A、B、D 都符合条件，
而选项 C 不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，
因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
25．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据零点定义，数形结合即可容易判断.
【详解】函数 y = f (x) 的零点就是函数图象与 x 轴交点的横坐标.
A 项中函数图象与 x 轴没有交点，所以该函数没有零点；
B 项中函数图象与 x 轴有一个交点，所以该函数有一个零点；
C，D 两项中的函数图象与 x 轴有两个交点，所以该函数有两个零点.
故选：BCD
ì-x2 - 4x, x 0
26．（2024 高一上·山西吕梁·期末）已知函数 f (x) = í ，若 x1 < x < x < x
log
2 3 4 ，且
2 x , x > 0
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 ，则下列结论正确的是（ ）
A． x1 + x2 = -4 B． x3 × x4 =1 C．1< x4 < 4 D．0 < x1x2x3x4 4
【答案】AB
【分析】作出函数 f x 的图象，设 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = t ，则直线 y = t 与函数 y = f x 的图象 4
个交点横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 ，可得出0 < t < 4，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
ì-x2 - 4x, x 0
【详解】函数 f (x) = í
log
的图象如图所示，
2 x , x > 0
设 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = t ，则0 < t < 4，
则直线 y = t 与函数 y = f x 的图象 4个交点横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 ，
对于 A：函数 y = -x2 - 4x 的图象关于直线 x = -2对称，则 x1 + x2 = -4，故 A 正确；
对于 B：由图象可知 log2 x3 = log2 x4 ，且0 < x3 <1 < x4，
∴ - log2 x3 = log2 x4 ，即 log2 x3x4 = 0，所以 x3x4 =1，故 B 正确；
当 x 0 时， f (x) = -x2 - 4x = -(x + 2)2 + 4 4 ，
由图象可知 log2 x4 0,4 ，则1 < x4 <16，故 C 错误；
由图象可知 -4 < x1 < -2，
x x x x = x × -4 - x = -x2 - 4x = -(x + 2)2所以 1 2 3 4 1 1 1 1 1 + 4 (0, 4)，故 D 错误.
故选：AB.
x
27．（2024 1高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 y = ÷ - lnx 的两个零点分别为 xe 1
, x2 ，且 x1 > x2 ，则
è
（ ）
1 x 1 1 x 1A． < 1 < < B．
2 x
2
1 x2
x 1 1 1 1C． 2 < < < < xx1 x
D．
2 x1 x
2
2
【答案】AC
【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调
性，可得答案.
x
y 1 ln x y 1
x
= 【详解】函数 ÷ - 的两个零点即函数 =e e ÷
与 y = ln x 的图象的两个交点的横坐标，作出两个
è è
函数的图象，如下图：
1
则0 < x2 <1， x1 >1，即0 < <1
1
， >1x x ，故 D 错误；1 2
x
1 1 1
x
2 1
x
1
x
<
1 2
由图可知 ÷ ÷ ，且e e e ÷
= ln x1 ， ÷ = ln x2 ，则 ln x1 < ln x2 ，
è è è è e
由0 < x2 <1， x1 >1，则 ln x1 < - ln x2 ，即 ln x1 < ln
1 x 1 1< > x
x ，可得 1 x ，即 x 2 ，2 2 1
故 A、C 正确，B 错误.
故选：AC.
ìx2 - 4x + 3, x 0
28．（2024 高三上·福建三明·期中）已知函数 f x = í1 ．若存在 x < x < x ，使得
+ 2, x < 0
1 2 3
x
f x1 = f x2 = f x3 = t ，则下列结论正确的有（ ）
A． x2 + x3 = 4 B． x2x3 的最大值为 4
11
C ．t 的取值范围是 -1,3 D． x1 + x2 + x3的取值范围是 - ， ÷
è 3
【答案】AD
【分析】首先作出函数 f x 的图象，根据图象的对称性，判断 A；
根据基本不等式判断 B；
根据图象，以及 y = t 与函数 f x 的图象有 3 个交点，判断 C；
求出x1的范围，即可求解 x1 + x2 + x3的取值范围，判断 D.
【详解】如图，作出函数 f x 的图象，根据 x1 < x2 < x3，可知， x2 , x3 是 y = t 与 y = x2 - 4x + 3, x 0的两个
交点，
x + x = 4 x x x + x
2
根据对称性可知 ，则 2 3
2 3 2 3 ÷ = 4，
è 2
因为 x2 x3 ，所以 x2x3 < 4 ，故 A 正确，B 错误；
y = x2
1
- 4x + 3 = x - 2 2 -1 -1, x 0 ， y = + 2 < 2, x < 0
x
由图可知 t 的取值范围是 -1,2 ，故 C 错误；
1
因为 + 2 > -1
1
，所以 x1 < - ，又 x
11
2 + x3 = 4 x + x
x ，则 1 2
+ x3的取值范围是 - ，3 3 ÷
，故 D 正确．
1 è
故选：AD
x
29．（2024 x高三下·湖南·阶段练习）已知函数 f x = -10 (x >1)， g x x= - lgx(x >1)的零点分别为
x -1 x -1
x1， x2，则（ ）
1 1
A． x1 = lgx2 B． + =1 x + x < 4x x C． 1 2 D．
10 < x1x2 < 200
1 2
【答案】ABD
x x
【分析】由指数函数与对数函数、 y = (x >1) 的对称性知 A x1,10 1 与B x2 , lgxx -1 2 关于直线 y = x 对称，
利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可.
x
【详解】因为函数 y =10x与 y = lgx的图象关于直线 y = x 对称， y = (x >1) 图象也关于直线 y = x 对称，
x -1
设 y
x
= (x >1) 与 y =10x图象的交点为 A，
x -1
y x= (x >1) 与 y = lgx图象的交点为 B ，
x -1
则 A x1,10x1 与B x2 , lgx2 关于直线 y = x x对称，则 x 11 = lgx2 ， x2 =10 ．
x1 10x 0 x1 1 1因为 - 1 =x -1 ，所以
= x2 ，则 x1 + x2 = x1xx -1 2，即
+ =1
x x ，1 1 1 2
x
因为 y = (x >1) 的图象与直线 y = x 的交点为 2,2 ，
x -1
所以 x1 + x2 > 4， x1x2 = x1 ×10
x1 ， x1 1,2 ，则10 < x1x2 < 200．
故选：ABD.
30．（2024 高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲 乙两种方案供乘客选择，
其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当打车距离为8km 时，乘客选择乙方案省钱
B．当打车距离为10km时，乘客选择甲 乙方案均可
C．打车3km 以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km 内（含3km ）付费 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里费用增加 0.7 元
【答案】BC
【分析】根据函数图象可知当打车距离为8km 时，乘客选择甲方案省钱；打车距离为10km时，甲 乙方案
费用相等；由图象可知打车3km 以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多，且甲方案行程大于3km 每
增加 1 公里费用增加 1 元.
【详解】对于 A，当打车距离为3 < x <10时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，
即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8km 时，乘客选择甲方案省钱，即 A 错误；
对于 B，当打车距离为10km时，由图可知，甲、乙均为 12 元，因此乘客选择甲 乙方案均可，即 B 正确；
12 - 5
对于 C，打车3km 以上时，甲方案每公里增加的费用为 =1（元），
10 - 3
12 - 7 5
乙方案每公里增加的费用为 = （元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即 C 正确；
10 - 3 7
对于 D，由图可知，甲方案3km 内（含3km ）付费 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里费用增加 1 元，故 D
错误；
故选：BC
三、填空题
1- x
31．（四川省射洪中学校 2023-2024 学年高一（强基班）上学期期中数学试题）函数 f x = 2 - m有零点1+ x
时，m 的范围是 .
é1- 2 1+ 2 ù
【答案】 ê ，2 2 ú
1- x
【分析】利用换元法求出 y = 2 的范围可得答案.1+ x
f x m 1- x【详解】 有零点，等价于 = 2 有解，1+ x
1- x t t
令 t =1- x ，得 x =1- t ， y = = =1+ x2 1+ 1- t 2 t 2 - 2t + 2 ；
当 t = 0，即 x =1时， y = 0 ；
y 1=
当 t 0，即 x 1时， t 2+ - 2 ；
t
t 2若 > 0，则 t + 2 2 1 1+ 2，当且仅当 t = 2 时取等号，所以0 < y = ；t 2 2 - 2 2
2 1
t < 0 t + -2 2 y < 0 1- 2若 ，则 ，当且仅当 t = - 2 时取等号，所以 ，即t 2 2 2 y < 0
；
- - 2
é
y 1- 2
ù
综上可得 ê ,
1+ 2
ú .
2 2
é
m 1- 2 ,1+ 2
ù
所以 的范围是 ê 2 2 ú
.
é1- 2 1+ 2 ù
故答案为： ê ,2 2 ú
32．（2024 高一上·全国·课后作业）音量大小的单位是分贝 (dB) ，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小h
可由公式h =10 × lg
I
(其中 II 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设
h1 = 70 dB 的声音的声波强
0
度为 I1，h2 = 60dB 的声音的声波强度为 I2，则 I1是 I2的 倍.
【答案】10
【分析】根据公式，代入求h1和h2 ，再结合对数运算，即可求解.
h 10 lg I1 h 10 lg I2 I1 I2【详解】由题意得 1 = × ， 2 = ×I I ，所以
h1 -h2 =10lg -10lg =10
0 0 I0 I
，
0
1 I= lg 1 I1则 I ，所以
=10 .
2 I2
故答案为：10
33．（2024 高一上·全国·课后作业）下列是函数 f x 在区间[1, 2]上一些点的函数值. 由此可判断：方程
f x = 0的一个近似解为 (精确度 0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
f x -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f x 0.625 1.982 2.645 4.35 6
【答案】1.4(答案不唯一)
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】由题设有 f 1 = -2 < 0, f 2 = 6 > 0，于是 f 1 × f 2 < 0，
所以，函数 f x 在区间 1,2 内有零点 x0 ，此时 |1- 2 |=1 > 0.1，
取区间 1,2 的中点 x1 =1.5，又 f 1.5 = 0.625，
因为 f 1 × f 1.5 < 0 ，所以 x0 1,1.5 ，此时 |1-1.5 |= 0.5 > 0.1，
再取 1,1.5 的中点 x2 =1.25，又 f 1.25 = -0.984，
因为 f 1.25 × f 1.5 < 0，所以 x0 1.25,1.5 ，此时 |1.25 -1.5 |= 0.25 > 0.1，
再取 1.25,1.5 的中点 x3 =1.375，又 f 1.375 = -0.260，
因为 f 1.375 × f 1.5 < 0，所以 x0 1.375,1.5 ，此时 |1.375 -1.5 |= 0.125 > 0.1，
再取 1.375,1.5 的中点 x4 1.438，又 f 1.438 = 0.165，
因为 f 1.375 × f 1.438 < 0，所以 x0 1.375,1.438 ，此时 |1.375 -1.438 |= 0.063 < 0.1，
再取 1.375,1.438 的中点 x5 =1.4065，又 f 1.4065 = -0.052，
因为 f 1.4065 × f 1.438 < 0，所以 x0 1.4065,1.438 ，
所以，当精确度为 0.1 时，方程 f x = 0的一个近似解为 1.438．
故答案为：1.4．
34．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 x＋lg x＝3 解的个数为 ．
【答案】1
【分析】解法一，将方程的解转化为两个函数的交点个数；解法二，构造函数 f x = x - 3 + ln x ，利用零点
存在性定理，结合函数的单调性，即可判断方程的个数.
【详解】解法一 令 f x = x - 3 + ln x ，令 f x = 0，
则 ln x = 3- x ，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y＝ln x 与 y＝－x＋3 的图象，如图所示．
由图可知函数 y＝ln x 与 y＝－x＋3 的图象只有一个交点，
即函数 f x = x - 3 + ln x 只有一个零点．故原方程只有 1 个解．
解法二 设 f x = x - 3 + ln x ，因为 f 3 = ln 3 > 0 2， f 2 = -1+ ln 2 = ln < 0，
e
所以 f 3 f 2 < 0，说明函数 f x = x - 3 + ln x 在区间 2,3 内有零点．
又 f x = x - 3 + ln x 在区间 0, + 上是增函数，所以原方程只有一个解．
故答案为：1
35．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f (x) = x2 - 2x + a 有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是 .
【答案】 (- ,1)
【分析】利用判别式法即可得到答案.
【详解】由题意可知，方程 x2 - 2x + a = 0有两个不同解，故D = 4 - 4a > 0，即 a <1 .
故答案为： (- ,1) .
ìx2 + x - 2, x 0,
36．（2024 高三上·北京东城·开学考试）已知函数 f (x) = í 则函数 f (x) 的零点为
-1+ ln x, x > 0,
【答案】-2,e
【分析】结合函数的解析式分类讨论求解即可．
【详解】当 x 0 时，由 f (x) = x2 + x - 2 = 0，即 (x -1)(x + 2) = 0，解得 x = -2或 x =1（舍），
当 x > 0时，由 f (x) = -1+ ln x = 0，解得 x=e，
综上可得，函数 f (x) 的零点为-2,e．
故答案为：-2,e．
37．（2024 高一上·全国·课后作业）若 x , x 是二次函数 y = x21 2 + x - 2的两个零点，则 x1 + x2 + x1x2 = .
【答案】-3
【分析】根据根与系数的关系即可得出答案.
【详解】因为 x1, x2 是二次函数 y = x2 + x - 2的两个零点，
所以 x2 + x - 2 = 0的两根为 x1, x2 ，
所以 x1 + x2 = -1, x1x2 = -2，
所以 x1 + x2 + x1x2 = -3 .
故答案为：-3
ì 2- x , x 1
38．（2024 高一上·陕西渭南·期末）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x - a恰有两个零点，则
log8x, x >1
实数 a 的取值范围是 .
[1【答案】 , + )
2
【分析】将问题化为 y = a 与 f (x) 有两个交点，数形结合判断参数范围.
【详解】由题设 y = a 与 f (x) 有两个交点，
根据 f (x) 的解析式，可得其图象如下：
1
当 x 1时， f (x) [ , + ) ；当 x >1时， f (x) (0, + )；
2
要使 y = a 与 f (x)
1
有两个交点，则 a .
2
1
故答案为：[ , + )
2
39．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 x + ln x = 3解的个数为 .
【答案】1
【分析】根据函数零点存在定理，或者函数与方程的思想判断函数图象交点个数即可得出答案.
【详解】解法一：令 f x = x - 3 + ln x = 0，则 ln x = 3- x ；
在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y = ln x 与 y = -x + 3的图象，如图所示.
由图可知函数 y = ln x 与 y = -x + 3的图象只有一个交点，
即函数 f x = x - 3 + ln x 只有一个零点.
故原方程只有 1 个解.
解法二：因为 f 3 = ln 3 > 0， f 2 2= -1+ ln 2 = ln <0，
e
所以 f 3 × f 2 < 0 ，说明函数 f x = x - 3 + ln x 在区间 2,3 内有零点.
又 f x 在区间 0, + 上是增函数，所以原方程只有一个解.
故答案为：1
40．（2024 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数 f x = lnx + 3x - 7的零点位于区间 n,n +1 n N 内，则
n = .
【答案】2
【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数 f x 在区间 2,3 内存在零点即可得出结果.
【详解】由题意可知函数 f x = lnx + 3x - 7在定义域 0, + 内单调递增，
易知 f 2 = ln2 + 3 2 - 7 = ln 2 -1<0，
而 f 3 = ln3+ 3 3- 7 = ln 3+ 2>0 ，所以 f 2 × f 3 < 0 ,
根据零点存在定理可知，函数 f x 在区间 2,3 内存在零点，
所以可得 n = 2 .
故答案为： 2
ì x2 + 2x , x 0
41．（2024 高一下·广东广州·期中）已知函数 f (x) = í1 ，若关于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四个
, x > 0
x
不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 (0,4 - 2 3)
【分析】依题意，关于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四个不同的实数根转化为两函数图象有四个不同的交点，
结合图象再转化为二次函数零点的分步问题进行求解.
【详解】设 y = a(x + 3) ，该直线恒过点 (-3,0)，方程 f (x) = a(x + 3) 有四个不同的实数根，
如图作出函数 y = f (x) 的图象，结合函数图象，则 a > 0，
所以直线 y = a(x + 3) 与曲线 y = -x2 - 2x, x (-2,0) 有两个不同的公共点，
所以 x2 + (2 + a)x + 3a = 0在 (-2,0) 有两个不等实根，
令 g(x) = x2 + (2 + a)x + 3a ，
ìΔ = (2 + a)2 -12a > 0
2 2 + a - < - < 0
实数 a 满足 í 2 ，
g(0) = 3a > 0
g(-2) = a > 0
解得0 < a < 4 - 2 3 ．
故答案为： (0,4 - 2 3)
42．（2024 · · f x = 2ax2高一上 全国 课后作业）若函数 - x -1在区间 0,1 上恰有一个零点，则实数 a的取值
范围是 ．
【答案】 1, +
【分析】将函数零点转化为方程实数根，讨论 a = 0和 a 0两大类情况，结合根的分布，列式求解.
【详解】若函数 f x = 2ax2 - x -1在区间 0,1 内恰有一个零点，
则方程 2ax2 - x -1 = 0在区间 0,1 内恰有一个根，
若 a = 0，则方程 2ax2 - x -1 = 0可化为：-x -1 = 0，得 x = -1 0,1 ，不成立；
1
若 a 0时，设方程的两根为 x1, x2 ，且D = -1 2 + 8a =1+ 8a 0，得 a - ，且 a 0，8
ì 1
x1 + x2 = < 01
- a < 0 2a当 时，有
8 í x 11 × x2 = - > 0 2a
故 x1 < 0 ， x2 < 0，不符合题意；
若 a > 0时，则函数图象开口向上，又 f 0 = -1< 0，
若函数在 0,1 上恰有一个零点，则 f 1 = 2a -1-1 > 0，所以 a >1 .
综上： a >1 .
故答案为： 1, +
ì lg -x -1 , x < -1
43．（2024 高一上·河南南阳·期末）已知函数 f x = í ，若函数 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有
x
2 - 6x + 5, x 0
7 个零点，则实数b 的取值范围是 ．
【答案】 (6, + )
【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】函数 f x 的图象如下图所示：
令 f x = t ，函数 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5可化为 y = t 2 - bt + 5，
函数 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有 7 个零点，等价于方程 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 有 7 个不相等的实根，
当 t = 0时，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有三个不相等的实根，
当 t (0,5]时，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有四个不相等的实根，
当 t (5,+ )时，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有三个不相等的实根，
设 t 2 - bt + 5 = 0的两根为 t1, t2 ，且 t1 < t2 ，
若 t = 0, t (0,5]，方程 t 21 2 - bt + 5 = 0无零根，不符合题意，
若 t1 (0,5), t2 (5, + )， y = g t = t 2 - bt + 5，由题意可知：
ìΔ = -b 2 - 20 > 0
íg 0 = 5 > 0 b > 6 ，
g 5 = 25 - 5b + 5 < 0
若 t1 = 5, t2 (5, + )，则有52 - 5b + 5 = 0 b = 6 ，此时 t 2 - 6t + 5 = 0，
这时 t4.5 函数的应用（二）12 题型分类
1、函数零点的概念
对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的公共点
的横坐标.
2、方程的解与函数零点的关系
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有公共点.
3、函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)＜0，那么，
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是
方程 f(x)＝0 的解．
(1)一个函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数 f(x)在区间[a，b]上的图
1
象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数 y＝ 来理解，易知 f(－
x
1
1)f(1)＝－1×1<0，但显然 y＝ 在(－1,1)内没有零点．
x
(2)若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值 f(a)，f(b)异号，
则函数 y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过 x 轴一次，即方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一个
实数解 c.
(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，
虽然都有 f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有 4 个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅
有 1 个零点．
(4)函数零点存在定理是不可逆的，由 f(a)f(b)<0 可以推出函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在
零点．但是，已知函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)f(b)<0.如图③，虽然
在区间(a，b)内函数有零点，但 f(a)f(b)>0.
(5)如果单调函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那
么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c
也就是方程 f(x)＝0 的实数解．
4、二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所
在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法．
5、用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度 ε，用二分法求函数 y＝f(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点 c.
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点；
②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c.
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～
(4)．
注：（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，
函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如
求函数 f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小
的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
（3）二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，
也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
（4）由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点 x0 的满足精确度 ε 的近似值．为
了方便，常取区间端点 a(或 b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得
数是 1.25 或 1.34，精确到 0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1.3.而“精确度为 0.1”指零
点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间为[1.25,1.34]，若精确度为
0.1，则近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.
（5）在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且 f(a)f(b)<0.
（6）由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形
如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，
然后按照用二分法求函数 F(x)零点近似值的步骤求解．
6、函数模型的应用
几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
7．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型
表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，
往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
8．有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解
析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据求出的值回答
其实际意义．
9．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，
观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数
据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就
可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
（一）
求函数的零点
求函数零点的方法
函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常用以下两种方法：
(1)代数法：根据零点的定义，解方程 f(x)＝0，它的实数解就是函数 y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程 f(x)＝0 无法求解，可以根据函数 y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求
定义在 R 上的减函数 f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数 y＝f(x)是定义在 R 上的减函数，那
么由奇函数的性质可知 f(0)＝0.因为 y＝f(x)是定义在 R 上的减函数，所以不存在其他的 x 使 f(x)
＝0，从而 y＝f(x)的零点是 0.
题型 1：求函数的零点
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f x x + 3= ；
x
(2) f x = x2 + 2x + 4；
(3) f x = 2x - 3；
(4) f x =1- log3 x .
1-2 x．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3 + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
1-3．（2024 高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点．
(1) y = x - 2 x - 3；
(2) y = x2 - 3a -1 x + 2a2 - 2 .
ì 1- x , x 0
1-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，则函数 y = f x - 3的零点为 .
x + log2 x, x > 0
ìx +1, x 0
1-5．（2024 高三上·福建莆田·开学考试）设函数 f x = í 2 ，则方程 f f x = 0的解集为 .
x -1 , x > 0
（二）
判断函数零点的个数
判断函数 y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程 f(x)＝0 的实数根的个数就是函数 f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与 x 轴的交点的个数来判断．特别地，对于形
如 y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数 h(x)与 g(x)的图象的交点的个数来判断函数 y＝h(x)－g(x)
的零点的个数．
题型 2：判断函数零点的个数
2-1．（2024 高一·全国·课后作业）方程 loga x = x - 2(0 < a <1)的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
2-2．（2024 高一下·江苏南通·阶段练习）函数 f x = x2 + x - 3的零点个数为 .2
2-3．（2024 高三·全国·对口高考）函数 f x = 2ln x 的图象与函数 g x = x2 - 4x + 5的图象的交点个数为
个．
1
2-4．（2024 · |x|高三 全国·对口高考）已知 a = ，方程a = loga x 的实根个数为 ．2
（三）
判断零点所在的区间
确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过观察函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
注：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数 y
＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出 f(a)f(b)<0.
题型 3：判断零点所在的区间
x 1
3-1．（2024 1 高一·全国·课堂例题）方程 ÷ = x3 的根所在区间是（ ）
è 2
2 1 2 1 1 1 A． ,13 ÷
B． , C． , D． 0,
è è 2 3 ÷ ÷ ÷ è 3 2 è 3
3-2 x．（2024 高一上·重庆长寿·期末）函数 f x = log2x + 2 - 2π的零点所在区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
3-3．（2024 高一下·甘肃·期末）若 x0 是方程 2x =12 - 3x 的解，则 x0 （ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
3-4．（2024 高一下·湖南·阶段练习）函数 f (x) = x - log 1 x +1的零点所在的区间为（ ）
2
0, 1 1 , 1 A． 4 ÷
B．
è è 4 3 ÷
1 1 1
C． , ÷ D． ,1
è 3 2 2 ÷ è
1 x 13-5．（2024 高一下·海南省直辖县级单位·期中）若 x0 是函数 f x = ÷ - x 2 的零点，则 x0 属于区间
è 3
（ ）.
0, 1 1 , 1 A． B．3 ÷ 3 2 ÷è è
1 2 2 C． , D． ,12 3 ÷ 3 ÷è è
（四）
函数零点性质的应用
1、已知函数有零点(方程有根)，求参数值常用的方法和思路
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围;
(2)分离参数法:将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解.
2、一元二次方程根的分布问题关注三个方面：①判别式；②对称轴的范围；③区间端点的函数值
的正负.
题型 4：已知零点个数求参数的取值范围
4-1．（2024 高一· 2全国·课后作业）若函数 f (x) = 4x - x - a 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
ìx - c, x 0,
4-2．（2024·北京西城·一模）设 c R ，函数 f (x) = í x 若 f (x)2 2c, x 0. 恰有一个零点，则
c的取值范围是
- <
（ ）
A． (0,1) B．{ 0 }U [1,+ )
C． (0,
1 ) 1
2 D．
{ 0 }U [ ,+ )
2
4-3．（2024·湖北·模拟预测）设min{m,n}表示 m，n 中的较小数．若函数 f (x) = min | x | -1,2x2 - ax + a + 6
至少有 3 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）
A．[12,+ ) B． (- , -4] (12, + )
C． (- , -4) [12, + ) D． (- , -4)
4-4．（2024 x高一下·湖北荆州·阶段练习）若方程 e -1 = m有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为
（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
题型 5：已知零点所在区间求参数的取值范围
5-1 x 2．（2024 高一上·江苏南通·期末）设 k 为实数，函数 f x = 2 + x - k 在 0,1 上有零点，则实数 k 的取值范
围为 ．
5-2 2．（宁夏回族自治区银川一中 2023 届高三三模数学（理）试题）函数 f (x) = log2 x + x + m在区间 2,4 上
存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
题型 6：比较零点的大小
6-1．（2024 高一上·湖北鄂州·期末）已知方程 2x + 2x = 0、 log2 x + 2x = 0、 x3 + 2x = 0的根分别为 a，b，c，
则 a，b，c 的大小顺序为（ ）．
A． a > b > c B．b > c > a C． c > a > b D．b > a > c
6-2．（2024 高一下·河南洛阳· 3 x期末）已知函数 f x = x + x ， g x = x + 3 ， h x = x + log3 x的零点分别为
x1， x2， x3 ，则x1， x2， x3 的大小顺序为（ ）
A． x2 > x3 > x1 B． x3 > x2 > x1
C． x1 > x2 > x3 D． x3 > x1 > x2
6-3 a．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）设正实数 a,b,c分别满足 a ×2 = b × log3 b = c × log2 c =1，则 a,b,c的大
小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D． a > c > b
题型 7：求零点之和
7-1．（2024 高一上·全国·单元测试） y = f x 是R 上的偶函数，若方程 2 f x =1有五个不同的实数根，则
这些根之和为（ ）
1
A．2 B．1 C．0 D．
2
7-2 2024 x-1 1-x．（ 高三上·四川成都·开学考试）已知函数 f x = e - e + 4 ，若方程 f x = kx + 4 - k(k > 0)有三
个不同的根 x1, x2 , x3，则 x1 + x2 + x3 = （ ）
A．4 B．3 C．2 D． k
ì2x + 2, x 0
7-3．（2024 高一上·贵州毕节·期末）已知函数 f x = í ，则函数 y = f é f x ùlog x, x 0 的所有零点之和 4 >
为 ．
（五）
二分法的概念
1、二分法的概念
判断一个函数能用二分法求其零点近似值的依据：其图象在零点附近是连续不断的且该零点为
变号零点．因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变
号零点不适用．
2、二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为
变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不
变号零点不适用．
题型 8：二分法的概念的应用
8-1（2024 高一·全国·课后作业）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
A． B． C． D．
8-2．（2024 x高一·全国·课后作业）用二分法求函数 f x = 2 - 3的零点时，初始区间可选为（ ）
A．[-1,0] B．[0,1]
C． 1,2 D．[2,3]
8-3．（2024 高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（ ）
A． y = kx + b（k，b 为常数，且 k 0）
B． y = ax2 + bx + c（a，b，c 为常数，且 a 0）
C． y = 2x
k
D． y = （ k 0，k 为常数）
x
（六）
用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
1、利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间 M.
(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点．
2、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点 c，计算 f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长
度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
题型 9：用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值)
9-1．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为e ，则终止条件为（ ）
A． x1 - x2 > e B． x1 - x2 < e
C． x1 9-2．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程 x3 + 5 = 0 的近似解(精确度为 0.1)为（ ）
A．-1.5 B．-1.8
C．-1.6 D．-1.7
9-3．（2024 高一上·江苏淮安·期末）已知函数 f x 在( 0, 1)内有一个零点，且求得 f (x) 的部分函数值数据如
下表所示：
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
f (x) -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使 f (x) 零点的近似值精确到 0.1，则对区间( 0, 1)的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次 0.7 B．6 次 0.6
C．5 次 0.7 D．5 次 0.6
（七）
指数型模型的应用
指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型
表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是
什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建
立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
注；函数 y＝c·akx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、
气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数
法，即根据题意确定相关的系数．
题型 10：指数型模型的应用
10-1．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物
-kt
体的初始温度为 1 ℃，空气温度为 0 ℃，则 t分钟后物体的温度 （单位：℃，满足： = 0 + ( 1 - 0 )e )
若常数 k = 0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到 40 ℃，大约需要的时间为（ ）（参考数
据： ln 2 0.69 ）
A．39 分钟 B．41 分钟 C．43 分钟 D．45 分钟
10-2．（2024 高一·全国·课后作业）从盛满10L纯酒精的容器里到倒出1L酒精，然后用水充满，再倒出1L混
合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第 x x N+ 次倒出纯酒精为 f (x) （单位：L），则函数 f (x) 的表
达式为 ．（假设酒精与水混合后相对体积不变）
10-3．（2024 高一下·湖南岳阳·期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，
不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新
诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1% ，一年后是1.01365 ；而把“不见其损”量化为每
365
天的“ 1.01落后率”都是1% ，一年后是0.99365 .可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的 1481倍.那么，
0.99365
如果每天的“进步率”和“落后率”都是 20%，要使“进步”是“落后”的10000倍，大约需要经过（ lg 2 0.301，
lg3 0.477 ）（ ）
A．17 天 B．19 天 C．23 天 D．25 天
（八）
对数函数模型的应用
(1)形如 y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特点为当 a>1，m>0 时，y 随自变量 x 的增大而增
大，且函数值增大的速度越来越慢．
(2)对于对数型函数模型问题，关键在于熟练掌握对数函数的性质，在认真审题的基础上，分
析清楚底数 a 与 1 的大小关系，要关注自变量的取值范围．
借助于数学模型解决数学问题的同时，实际问题也得以顺利解决，这就是函数模型的作用．
注：对数函数应用题的基本类型和求解策略：
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提
炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
题型 11：对数函数模型的应用
11-1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于 1976，经过数十年的发掘研究，已证实是
中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼
等遗迹，2019 年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳 14 测定年代，公式为：
t = 5730ln A0 ÷ 0.693（其中 t为样本距今年代， A0 为现代活体中碳 14 放射性丰度，A 为测定样本中碳 14
è A
-12
放射性丰度），已知现代活体中碳 14 放射性丰度 A0 =1.2 10 ，该人类骨骼碳 14 放射性丰度
A = 7.4 10-13 ，则该骨骼化石距今的年份大约为（ ）（附： ln1.6216 0.4834， ln1.7 0.5306，
ln1.5 0.4055）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
11-2．（2024 高二下·云南昆明·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的
1 P
游速 v（单位：m / s）与鲑鱼的耗氧量的单位数 P 的关系为 v = log3 ，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为2 100
（ ）
A．1 B．100 C．200 D．300
11-3．（2024 高三下·湖南·阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气
体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过 0.08 mg/m3，否则，该新房达不到
安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风 x x =1,2,3,L,50 周与室内甲醛浓度 y（单位：mg/m3）之
* 2
间近似满足函数关系式 y = 0.48 - 0.1 f x x N ，其中 f x = log éa k x + 2x +1 ù k > 0, x =1,2,3,L,50 ，
且 f 2 = 2， f 8 = 3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17 周 B．24 周 C．28 周 D．26 周
（九）
建立拟合函数模型解决实际问题
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问
的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤
如下：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都
落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这
种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体
相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
题型 12：建立拟合函数模型解决实际问题
12-1．（2024 高三下·全国·阶段练习）某地自 2014 年至 2019 年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数（单位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根据表中的数据判断从 2014 年到 2019 年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变
化趋势；
（2）研究人员用函数P t = 2000 450+ -0.6544t 拟合该地的人口数量，其中 t的单位是年，2014 年年初4.4878e +1
对应时刻 t = 0，P t 的单位是千人，经计算可得P 6.5 2450，请解释P 6.5 2450的实际意义.
12-2．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定
为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车
速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡
航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时
耗油量 F（单位：L）与速度 v（单位： km/h ） (0 v 120) 的下列数据：
v 0 40 60 80 12
20 65
F 0 10 20
3 8
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F = av3 + bv2 +cv .
（1）求函数解析式；
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
12-3．（2024 高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年 1 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别如下
表所示.
月份 1 2 3 4
产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过
多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里
也暂时不准备增加设备和工人.如果用 x 表示月份，用 y 表示产量，试比较 y = a x + b 和 y = abx + c哪一个更
好一些？（函数模型 y = a x + b ，要求用第 1，4 月份的数据确定 a，b ；函数模型 y = abx + c，要求用第 1，
2，3 月份的数据确定 a，b ， c，精确到 0.01， 2 1.414 ， 3 1.732）
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,2 上的零点，要求误差不
超过 0.01 时，计算中点函数值的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
1
2．（2024 高一上·全国·课后作业）用二分法求方程 ln x - = 0在 1,2 上的解时，取中点 c =1.5，则下一个有
x
解区间为（ ）
A． 1,1.25 B． 1,1.5
C． 1.25,1.5 D． 1.5,2
3．（2024 高一上·全国·课后作业）若函数 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，
其参考数据如下:
f 1 = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一个近似解（误差不超过 0.025）可以是（ ）
A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5
4．（2024 高一上·江西上饶·期末）若函数 f (x) = x3 + x2 - 2x - 2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，
其参考数据如下：
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确度 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
5．（2024 高一上·吉林长春·期末）函数 f (x) = ex + x + 2零点所在的区间是（ ）
A． (1, 2) B． (-1,0)
C． -3, -2 D． (-2,-1)
x
6 1 3．（2024 高一上·广东江门·期末）已知 f x = - x - 2，g x = log 1 x - x - 2 ÷ ，h x = x - x - 2的零点分
è 2 2
别是 a，b ， c，则 a，b ， c的大小顺序是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > c > a D．b > a > c
x
7 2024 · · x 1 ．（ 高一上 全国 课后作业）若关于 的方程 ÷ = a +1有解，则 a的取值范围是（ ）
è 2
A．0 < a 1 B．-1 < a 0 C．a 1 D． a > 0
2
8 x．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f (x) = 2 - - a的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的取值范围是
x
（ ）
A． 0 < a < 3 B．1 < a < 3
C．1< a < 2 D． a 2
9．（2024 高三·全国·专题练习）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,1 上的零点，要求精确度为
0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2024 高一上·全国· 3课后作业）已知函数 f x = x + 2x - 9在区间 1,2 内有一个零点，且 f x 的部分函
数值数据如下： f 1 = -6， f 1.5 = -2.625， f 1.75 -0.1406， f 1.7578 -0.0530，
f 1.7617 0.0090 ， f 1.7656 0.0352， f 2 = 3，要使 f x 零点的近似值精确度为0.01，则对区间 1,2
的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次，1.75 B．6 次，1.76
C．7 次，1.75 D．7 次，1.76
11．（2024 高一上·浙江温州·阶段练习）已知 y = -(x - a)(x - b) + 2，且a , b 是方程 y = 0 的两根，则 a,b,a , b
大小关系可能是（ ）
A． a < a < b < b B．a < a < b < b
C． a < a < b < b D．a < a < b < b
12．（2024 高一·全国·课堂例题）方程 log2 x + 4 = 3x 的实根的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
13．（2024 高三上· x内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 f x = 2 - - a 存在 1 个零点位于 1,2 内，则 a 的
x
取值范围是（ ）
A． 0,3 B． -3,3 C． -3,3 D． -3,0
ì x +1 , x 1
14．（2024 高一上·河北邢台·期末）已知函数 f (x) = í f x = a a R | log (x 1) , x 1，若方程 有四个不同的 2 -
解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 + x3 + x4的取值范围是（ ）
é2,17 ù 2,17A． ê B
ù
．
4 ú è 4 ú
2,17 é2,17C ． D．
è 4 ÷ ê 4 ÷
a b c
15．（2024 高二上· · 1 贵州黔东南 阶段练习）设 = log a， 2 = log b 1 ÷ 1 a2 ， ÷ = 5，则 、b 、 c的大小关
è 3 3 è 4
系是（ ）
A．b < a < c B． c < b < a
C．a < b < c D．b < c < a
16 1
x x x
1
．（2024 高一上·山东滨州·期末）已知函数 f (x) = ÷ - log x, g(x)
1= ÷ - x
2 , h(x) 1= ÷ - x 22 在区间
è 2 è 2 è 2
(0, + )内的零点分别是 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > a > b D．b > a > c
ìln -x , x < 017．（2024 高一下·云南红河·阶段练习）已知 f x = í - x ，则函数 y = 3 f 2 (x) - 2 f (x)的零点个数为
2 , x > 0
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
18．（2024 x高二下·河北邯郸·期末）函数 f x = e - + 2的零点所在的一个区间是
x
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
19．（2024 高一上· 5吉林长春·期末）函数 f x = x - x -1在下列区间一定有零点的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
20．（2024 高一上·辽宁大连·阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020 年全国掀起了垃圾分类的
热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市 2020 年全年用于垃圾分类的资金为 5000 万元，在此基础上，
每年投入的资金比上一年增长 20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1.28 亿元的年份是（参考数
据： lg1.2 0.079， lg 2.56 0.408）（ ）
A．2024 年 B．2025 年 C．2026 年 D．2027 年
ì x +1 , x 0
21．（2024 高一上·河北保定·期末）已知函数 f (x) =
í ，若方程 f x = a a R 有四个不同的解
log2 x , x > 0
x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 x4的取值范围是（ ）
A．[-4,-2) B．[-4,-2] C． (-4,-2) D． (-4,-2]
- x
22．（2024 高一上·重庆九龙坡·期末）函数 f x 1 3= ÷ - + a的一个零点在区间 1,2 内，则实数 a的取值
è 2 x
范围是（ ）
1, 5A + B - ,1 5 5 ． ． ÷ C． - ,- ÷ 1, + D - ,-
è 2
． ÷
è 2 è 2
x1 x2 +1 x3
23．（2024
1
高一上·北京·期末）已知x1， x2， x3 满足 ÷ = log 1 x
1 = log x 1 1， ÷ 1 2 ， ÷ = log2 1
x3 ，则
è 2 è 2 2 è 3 2
x1， x2， x3 的大小关系为（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
二、多选题
24．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点
的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
ì-x2 - 4x, x 0
26．（2024 高一上·山西吕梁·期末）已知函数 f (x) = í ，若 x1 < x2 < x3 < xlog x , x 0 4 ，且 2 >
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 ，则下列结论正确的是（ ）
A． x1 + x2 = -4 B． x3 × x4 =1 C．1< x4 < 4 D．0 < x1x2x3x4 4
x
27．（2024 1 高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 y = ÷ - lnx 的两个零点分别为 x1, x2 ，且 x1 > x ，则
è e
2
（ ）
1 x 1 1 x 1A． < 1 < 2 <
1 x2 x1 x2
1 1 1 1
C． x2 < < < x2
1 2 x1 x2
ìx2 - 4x + 3, x 0
28．（2024 高三上·福建三明·期中）已知函数 f x = í1 ．若存在 x < x < x ，使得
+ 2, x < 0
1 2 3
x
f x1 = f x2 = f x3 = t ，则下列结论正确的有（ ）
A． x2 + x3 = 4 B． x2x3 的最大值为 4
C．t 的取值范围是 -1,3 D． x1 + x x
11
2 + 3的取值范围是 - ， ÷
è 3
x
29．（2024 高三下· x湖南·阶段练习）已知函数 f x = -10 (x >1)， g x x= - lgx(x >1)的零点分别为
x -1 x -1
x1， x2，则（ ）
1 1
A． x1 = lgx2 B． + =1 x + x < 4x x C． 1 2 D．
10 < x1x2 < 200
1 2
30．（2024 高一上·山东烟台·期中）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲 乙两种方案供乘客选择，
其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当打车距离为8km 时，乘客选择乙方案省钱
B．当打车距离为10km时，乘客选择甲 乙方案均可
C．打车3km 以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km 内（含3km ）付费 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里费用增加 0.7 元
三、填空题
1- x
31．（四川省射洪中学校 2023-2024 学年高一（强基班）上学期期中数学试题）函数 f x = 2 - m有零点1+ x
时，m 的范围是 .
32．（2024 高一上·全国·课后作业）音量大小的单位是分贝 (dB) ，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小h
I
可由公式h =10 × lg I (其中
I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设h1 = 70 dB 的声音的声波强
0
度为 I1，h2 = 60dB 的声音的声波强度为 I2，则 I1是 I2的 倍.
33．（2024 高一上·全国·课后作业）下列是函数 f x 在区间[1, 2]上一些点的函数值. 由此可判断：方程
f x = 0的一个近似解为 (精确度 0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
f x -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f x 0.625 1.982 2.645 4.35 6
34．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 x＋lg x＝3 解的个数为 ．
35．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f (x) = x2 - 2x + a 有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是 .
ìx2 + x - 2, x 0,
36．（2024 高三上·北京东城·开学考试）已知函数 f (x) = í 则函数 f (x) 的零点为
-1+ ln x, x > 0,
37．（2024 高一上·全国·课后作业）若 x1, x2 是二次函数 y = x2 + x - 2的两个零点，则 x1 + x2 + x1x2 = .
ì 2- x , x 1
38．（2024 高一上·陕西渭南·期末）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x - a恰有两个零点，则
log8x, x >1
实数 a 的取值范围是 .
39．（2024 高一上·全国·课后作业）方程 x + ln x = 3解的个数为 .
40．（2024 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数 f x = lnx + 3x - 7的零点位于区间 n,n +1 n N 内，则
n = .
ì x2 + 2x , x 0
41．（2024 高一下·广东广州·期中）已知函数 f (x) =
í1 ，若关于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四个
, x > 0
x
不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ．
42．（2024 2高一上·全国·课后作业）若函数 f x = 2ax - x -1在区间 0,1 上恰有一个零点，则实数 a的取值
范围是 ．
ì lg -x -1 , x < -1
43．（2024 高一上·河南南阳·期末）已知函数 f x = í ，若函数 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有
x
2 - 6x + 5, x 0
7 个零点，则实数b 的取值范围是 ．
44．（2024 高一上·全国·专题练习）设函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f (x) = 2x + x - 3，则 f (x)
的零点个数为 .
ì
2x -1, x < 0
45．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f (x) = í x - 2 ,0 x 3 ， g(x) = f (x) - k ，且 g(x)有三个
1 x2 17- 4x + , x > 3
2 2
零点，则实数 k 的取值范围是 ．
46．（2024 x高一·全国·课堂例题）若方程 3 -1 = k 有一解，则 k 的取值范围为 ．
ì lg -x , x < 0
47．（2024 高一上·广西百色·期末）已知函数 f x = í ，若关于 x 的方程 f 2 (x) + mf (x) - 4 = 0
x
2 - 6x + 4, x 0
有6 个不同根，则实数m 的取值范围是 .
四、解答题
48．（2024 高一上·江苏淮安·期末）2022 年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克
戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例
很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，
每隔单位时间 T 进行一次记录，用 x 表示经过的单位时间数，用 y 表示奥密克戎变异株感染人数，得到如
下观测数据：
x(T ) 1 2 3 4 5 6 …
y (人数) … 6 … 36 … 216 …
若奥密克戎变异株的感染人数 y 与经过 x(x N *)个单位时间 T 的关系有两个函数模型 y = mx2 + n 与
y = k ×a x (k > 0, a >1) 可供选择．
（参考数据： 2 =1.414， 3 =1.732， lg 2 = 0.301， lg3 = 0.477 ）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于 1 万人．
49．（2024 高一上·山东济宁·期末）某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部
离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）与药熏时间 t（小时）成正比；
当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）达到最大值.此后，教室
1 t-a
内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）与时间 t（小时）的函数关系式为 y = ÷ (a 为常数).已知从药熏
è 32
开始，教室内每立方米空气中的药物含量 y（毫克）关于时间 t（小时）的变化曲线如图所示.
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于 0.125 毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少
需要经过多少小时后，学生才能回到教室
50．（2024 高一上·新疆塔城·期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议 11 月 6 日在湖北武汉
闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市
某企业生产某种环保型产品的年固定成本为 2000 万元，每生产 x 千件，需另投入成本C x （万元）．经计
算若年产量 x 千件低于 100 千件，则这 x 千件产品成本C x 1= x2 +10x +1100；若年产量 x 千件不低于 100
2
C x 120x 4500千件时，则这 x 千件产品成本 = + - 5400．每千件产品售价为 100 万元，设该企业生产的产
x - 90
品能全部售完．
(1)写出年利润 L（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
51．（2024 高三上·广东茂名·期中）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的300天内，
黄瓜市场售价 P （单位：元/千克）与上市时间（第 t天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植
成本Q（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．
(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式P = f t 及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式
Q = g t ；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
52．（2024 高一上·四川遂宁·期中）在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好
的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该
店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计
息）.在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格 P （元）
的关系如图所示；③每月需各种开支 2000元.当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的
余额最大？并求最大余额.
53．（2024 高一上·全国·课后作业）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.
(1) f (x) = -8x2 + 7x +1；
(2) f (x) =1+ log3 x ；
(3) f (x) = 4x -16；
ìx2 + 3x - 4, x 0
(4) f (x) = í
-1+ ln x, x > 0
54．（2024 高一·广东佛山·期末）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一
只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表：
天数 1 2 3 4 5 6
病毒细胞的个数 1 2 4 8 16 32
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108 的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒
细胞的98% .
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天， lg 2 0.3010 )
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)
55．（2024 高一上·全国·课后作业）下图所示是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶
过程的函数图象，两地间的距离是80km .请你根据图象解决下面的问题：
(1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式；
(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于
时间 x 的方程或不等式，并求解．
①自行车行驶在摩托车前面；
②自行车与摩托车相遇；
③自行车行驶在摩托车后面．
56．（2024 高一上·全国·课后作业）北京时间 2023 年 3 月 30 日 18 时 50 分，中国在太原卫星发射中心成功
将宏图一号 01 组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．据了解，在不考虑空气
M
动力和地球引力的理想状态下，可以用公式 v = v0 × ln 计算火箭的最大速度 v（单位：m/s），其中 v0 （单m
位：m/s）是喷流相对速度，m （单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg）是推进剂与
M
火箭质量的总和， 称为总质比，已知 A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s．
m
(1)当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；
3 1
(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 倍，总质比变为原来的 ，若
2 3
要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据： ln200 5.3， 2.718 < e < 2.719．
57．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）某农科所计划在院内围建一块面积为200m2的矩形基地搞新品种蔬
菜种植试验，根据规划要求基地一面靠围墙，其余用栅栏围成，设矩形基地的长为 x m，栅栏长是 y m.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式：
(2)由于实际需要基地的长不少于 25 m，且不超过 40 m，问如何设计所用栅栏长最小？最小值是多少？
58．（江苏省南京师范大学苏州实验学校 2023-2024 学年高一上学期第二次阶段学情调研数学试题）已知函
f x x
2 +1
数 = 是定义域上的奇函数，且 f -1 = -2 .
ax + b
(1)判断并证明函数 f x 在 0, + 上的单调性；
(2)令函数 g x = f x - m ，若 g x 在 0, + 上有两个零点，求实数m 的取值范围；
1 1 15
(3) 2 é ù令函数 h x = x + 2 - 2tf x t < 0 ，若对"x1， x2 ê , 22 ú ，都有 h x1 - h x2 ，求实数 t的取值范x 4
围.
