5.1 任意角和弧度制 9 题型分类
一、角的相关概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的表示
如图，①始边：射线的起始位置 OA；
②终边：射线的终止位置 OB；
③顶点：射线的端点 O；
④记法：图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．
(3)角的分类
名称 定义 图形
一条射线绕其端点按逆时针
正角
方向旋转形成的角
一条射线绕其端点按顺时针
负角
方向旋转形成的角
一条射线没有做任何旋转形
零角
成的角
二、角的相等与加减
(1)角的相等
设角 α 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成，角 β 由射线 O′A′绕端点 O′旋转而成．如果它们的
旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α＝β.
(2)角的加法
设 α，β 是任意两个角，把角 α 的终边旋转角 β，这时终边所对应的角是 α＋β.
(3)相反角
把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角 α 的相反
角记为－α.
(4)角的减法
角的减法可以转化为角的加法，有 α－β＝α＋(－β)．
三、平面直角坐标系中的任意角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与 x
条件
轴的非负半轴重合
象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个
轴线角
象限，可称为轴线角
所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一
终边相
个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终边相
同的角
同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和
注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字
(1)要明确旋转方向；
(2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作旋转时的位置．
2．对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即 k 为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一；
(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
四、度量角的两种制度
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
1
②1 度的角：周角的 为 1 度的角，记作 1°.
360
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
③表示方法：1 弧度记作 1_rad.
五、弧度数的计算与互化
(1)弧度数的计算
(2)弧度与角度的互化
(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
0 3 4 6 9 1 1 15 1
度
° 0° 5° 0° 0° 20° 35° 0° 80°
弧 π π π π 2π 3π 5π
0 π
度 6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.
1 1
(2)扇形面积公式：S＝ lR＝ αR2.
2 2
(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝
180°是指 π 弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．
(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 π 的形式，如无特殊要求，不必把 π
π
写成小数，如 45°＝ 弧度，不必写成 45°≈0.785 弧度．
4
π
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋ ，k∈Z，都
4
不正确．
（一）
任意角的概念
1.引入任意角的概念后需要注意：
（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小
的正角、负角和零角．
（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋
转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．
（3）角的范围不再限于[0°,360°]．
（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．
（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时
针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角
的正负．
（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如a ， b ，g ，…；也可用三个大写的英文字母表示，
字母前要写符号“ ”，中间的字母表示角的顶点，如 AOB， DEF ，…．为了简单起见，在
不引起混淆的前提下，“角a ”或“ a ”可以简记为“a ”．
（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化a - b 为
a + (-b ) ．
2.判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联
系与区别．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
题型 1：任意角的概念
1-1．【多选】（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于 90°的角是锐角
D．若a = -120°，则a 是第三象限角
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要 10
分钟．这 10 分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30° B． -30° C．60° D．-60°
1-3．【多选】（2024 高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（ ）
A．终边落在第一象限的角为锐角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角为钝角
D．小于90o的角一定为锐角
1-4．【多选】（2024 高一上·河北保定·期末）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任
意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，
则下列说法正确的是（ ）
A “ 5 h 5π．小赵同学说： 经过了 ，时针转了 - 6 ．”
7π
B．小钱同学说：“经过了 40 min，分针转了 - 6 ．”
67π
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为 12:35 时，时针与分针所夹的钝角为 ．”
72
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合 22 次．”
1-5．（2024 高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第
一象限的角；③ 0° ~ 90°的角是第一象限的角；④小于180°的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号
是 .
（二）
终边相同的角
1．一般地，我们有：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合
S = {b | b = a + kg360°，k Z}，即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的
和．
2．象限角的分类及表示方法如下：
象限角 集合的表示
第一象限
{a | kg360° < a < 90° + kg360°,k Z}
角
第二象限
{a | 90° + kg360° < a < 180° + kg360°,k Z}
角
第三象限
{a |180° + kg360° < a < 270° + kg360°,k Z}
角
第四象限
{a | 270° + kg360° < a < 360° + kg360°,k Z}
角
3．设 S = {b | b = 45° + kg360°,k Z}，显然，所有与 45°角终边相同的角都是集合 S 的元素；反过
来，集合 S 中的任何一个元素也都与 45°角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角a 终边
相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S = {b | b = a + kg360°,k Z}，即任一与角a 终边相同
的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．
4．利用与角a 终边相同的角的集合，可把任意角 b 转化成 b = a + kg360°， k Z ， 0° a < 360°
的形式；也可利用与角a 终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利
用与角a 终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．
如第一象限角，在 0° ~360 ° 范围内，第一象限角表示为 0° < a < 90°，然后在两端加上 kg360°，
k Z ，即可得到第一象限角的集合：{a | kg360° < a < kg360° + 90°， k Z}，其他各象限角同理可
得．
若a 为象限界角，如终边落在 x轴的负半轴上，代表角为 180 ° ，所以终边落在 x轴的负半轴上
的角的集合为{a |a = kg360° +180°， k Z}．同理可得其他非象限角的集合．
5.寻求终边相同的角的方法与技巧
在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β<360°，k∈Z)，其中的 β 就是
所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续
加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤
(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
题型 2：终边相同的角
2-1．（2024 高一·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作
出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在 0° ~ 360°范围内与其终边相同的角．
(1) 405°；
(2) -45°；
(3) 495°；
(4) -520°．
2-2．（2024 高一上·全国·课后作业）与600o 角终边相同的角可表示为（ ）
A． k ×360o + 220o k Z
B k ×360o． + 240o k Z
C． k ×360o + 60o k Z
D． k ×360o + 260o k Z
2-3．（2024 高一上·吉林长春·期末）下列各角中，与1850° 角终边相同的角是（ ）
A． 40° B．50° C．320° D．-400°
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）若角a 的终边在函数 y = -x 的图象上，试写出角a 的集合为 ．
2-5．（2024 高一下·山东威海·期末）下列角的终边与60°角的终边关于 x 轴对称的是（ ）
A．660° B．-660° C． 690° D． -690°
2-6．（2024 高一下·广西北海·期末）下列各角中，与 2183°角终边相同的是（ ）
A．-23° B． 23° C．-47° D． 47°
2-7．（2024 高三·全国·专题练习）若角 α 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y = - 3x
上，则角 α 的取值集合是
（三）
区域角的表示
1、区域角的写法可分三步
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 α，β，写出所有与 α，β 终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
注：区域角的写法:
(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，
然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.
(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区
域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可.
题型 3：区域角的表示
3-1．（2024 高一下· o o o山西朔州·期末）集合 a∣k ×180 a k ×180 + 60 , k Z 中的角所表示的范围（阴影部分）
是（ ）
A． B．
C． D．
3-2．（2024 高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
3-3．（2024 高一·全国·课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）
的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
（四）
象限角轴线角的判定
1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在
第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例如：由于图（1）中的角 45°， 405° ， -315°都是始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在第一
象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角 480° 是第二象限角， -70°， 290°
都是第四象限角．
2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如， 0°，90°，
-180°， 630° 等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参
考书上称之为象限界角．
3.象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系
中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相
同的．
(3)nα 所在象限的判断方法
确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判断方法
n
α
已知角 α 所在象限，要确定角 所在象限，有两种方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范围，然后对 k 的取值分情况讨论：被 n 整除；被 n 除余 1；被 n 除
n
余 2；…；被 n 除余 n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域．从 x 轴非
负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.α 的终边在第几象限，则标号为
α α
几的区域，就是 的终边所落在的区域．如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观
n n
地看出．
题型 4：象限角的判定
4-1．【多选】（2024 高一下·河北承德·开学考试）已知a 是锐角，则 （ ）
A．180° +a 是第三象限角 B． 2a 是小于180°的正角
a
C． 2a 是第一或第二象限角 D． 是锐角
2
a a a
4-2．（2024 高一下·河南·期末）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，则角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4-3．【多选】（2024 高一下·江西新余·开学考试）若a 是第二象限角，则（ ）
A．-a
a
是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
2
3π
C． +a 是第二象限角 D．2a 是第三象限角或 2a 是第四象限角或 2a 的终边在 y 轴负
2
半轴上
a
4-4．【多选】（2024 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如果 α 是第三象限的角，那么 可能是下列哪个象限的角
3
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
a
4-5．（2024 高一下·四川达州·阶段练习）已知a 为第二象限角，则 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
（五）
角度与弧度的互化
1．将角度化为弧度
360° = 2π rad；180
π
° = π rad；1° = rad 0.01745 rad．
180
2．将弧度化为角度
2π rad=360 π rad 180 1 rad 180°； = ° ； = ( )° 57.30° = 57°18 ．
π
3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 π π π π 2π 3π 5π 3
0 π π 2π
度 6 4 3 2 3 4 6 2
【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如 sin 2 是指 sin（2弧度）； π = 180°
是指 π 弧度 = 180° ．以度为单位表示角时，度就不能省去．
π
（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 π 的形式，如无特殊要求，不必把 π 化成小数，如 45° =
4
弧度，不必写成 45° 0.785 弧度．
（3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进
位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体
现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．
（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量
也就不同了．
π
（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad = 180° 是关键，由它可以得到：角度 = 弧度，弧
180°
180°
度 = 角度．
π
题型 5：弧度制的概念
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A． 弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中 弧度的圆心角比小圆中 弧度的圆心角大
C．所有圆心角为 弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
5-2．（2024 高一·全国·课后作业）自行车的大链轮有 88 齿，小链轮有 20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，
小链轮转过的弧度数是（ ）
5p 44p 5p 22p
A． B． C． D．
11 5 22 5
题型 6：角度与弧度的互化
6-1．（2024 高一·湖南·课后作业）将下表中的角度和弧度互化：
角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
p p 3p
弧度 p
3 2 2
6-2．（2024 高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1) 72°；
(2) -300°；
(3) 2；
2π
(4) - .
9
(5) 780°
(6) -1560°
(7) 67.5°
10
(8) - π
3
π
(9)
12
7π
(10)
4
6-3．（2024 高一·全国·课堂例题）把下列各角从度化为弧度：
(1)120°；
(2) 25° ．
6-4．（2024 高一下·辽宁·期中）下列与 45°终边相同角的集合中正确的是（ ）
A． a |a = 2kπ + 45°,k Z ìB． ía |a = k ×360 π° + , k Zü
4
ì
C． ía |a = 2kπ
7 π
- π, k Zü ì D． ía |a = kπ + , k Z
ü
4 4
（六）
利用弧度制表示角
1、弧度制下与角 α 终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角 α 终边相同的
角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍．
2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形；
(2)写出区域边界作为终边时角的表示；
(3)用不等式表示区域角．
用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．
题型 7：利用弧度制表示角
7-1．（2024 高一下·北京西城·阶段练习）已知角a =1200° .
(1)将a 改写成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出a 是第几象限的角；
(2)在区间 -2π,2π 上找出与a 终边相同的角．
7-2．（2024 高一·全国·课后作业）将－1485°化成a + 2kp 0 a < 2p ,k Z 的形式是（ ）
π 8π 7 8 p 10 7A． - B． p - p C． - p D． p -10p
4 4 4 4
7-3．（2024 高一下·江西赣州·期中）已知a = -1520° .
(1)将a 写成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与a 终边相同的角q ，满足-4π q < 0．
7-4．（2024 高一上·河北保定·阶段练习）写出一个与角-1280°终边相同的正角：a = （用弧度数
表示）.
（七）
弧长公式
1、弧长公式
l
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角大小为a ，则 a = ，变形可得 l = a rr ，此公式
称为弧长公式，其中的a 是弧度角．
2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略
①明确弧度制下扇形弧长公式 l＝|α|r，(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)．
②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵
活运用弧长公式、扇形面积公式求解．
题型 8：弧长公式及应用
8-1（．2024高一下·重庆长寿·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 .
3π
8-2．（2024 高一下·山东淄博·期中）已知扇形面积 ，半径是 1，则扇形的周长是（ ）
8
3π 1 3πA． + B． + 2
3π 3π
C． + 2 D． +1
16 8 4 2
3
8-3．（2024 高一上·广西南宁·开学考试）若扇形的圆心角为120o，半径 .则它的弧长为 .2
8-4．（2024 高一·全国·课堂例题）若扇形的面积是 4cm2，它的周长是10cm，则扇形圆心角（正角）的弧度
数为（ ）
1 π 1 π
A． B． C． D．
2 2 4 4
（八）
扇形的面积公式的应用
1、扇形面积公式
2 l
因为圆心角为 1 rad πr 1的扇形面积为 = r2 ，而弧长为 l 的扇形的圆心角大小为 r rad，所以其2π 2
l r2 1 1 1 2
面积为 S = = lr ，将 l = a r 代入上式可得 S = lr = a r2 2 ，此公式称为扇形面积公式．r 2 2
2、扇形的面积公式的应用注意点
①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．
②看清角的度量制，选用相应的公式．
③扇形的周长等于弧长加两个半径长．
题型 9：扇形的面积公式的应用
9-1．（2024 高一上·广东揭阳·阶段练习）已知扇形OAB 的半径为 r ，弧长为 l，圆心角为a (0 < a < 2p ) .
(1)若扇形OAB 的面积为定值S ，求扇形周长C 的最小值及对应的圆心角a 的值；
(2)若扇形OAB 的周长为定值C ，求扇形面积S 的最大值及对应的圆心角a 的值.
9-2．（2024 高一上·山西长治·期末）已知扇形的周长为 30．
(1)若该扇形的半径为 10，求该扇形的圆心角a ，弧长 l及面积S ;
(2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 .
9-3．（2024 高一·全国·课后作业）如图，点 A, B,C 是圆O上的点.
p
(1)若 AB = 4， ACB = ，求劣弧
6 AB
的长；
(2)已知扇形 AOB的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
9-4．（2024 高一上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为a ，所在圆的半径为 r.
(1)若a = 60°， r = 3，求扇形的弧长 ;
(2)若扇形的周长为16，当a 为多少弧度时，该扇形面积最大 并求出最大面积．
一、单选题
2kπ π
1．（2024 高一下·江西吉安·期末）已知角的集合 b = {a |a = - , k Z}，则在 0,2π 内的角有（ ）
3 6
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．（2024 高三·全国·专题练习）把-380°表示成q + 2kπ k Z 的形式，则 θ 的值可以是（ ）
π π 8π 8π
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
3．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
4．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知扇形的半径为 1，圆心角为60o，则这个扇形的弧长为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．60
6 3 3
5．（2024 高三上·湖南·阶段练习）已知一扇形的圆心角为 40°，半径为 9，则该扇形的面积为（ ）
A．9π B．12π C．18π D．36π
6．（2024 高一上·全国·课后作业）与 405°角终边相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
5π
7．（2024 高一·全国·课堂例题） 化为角度是（
12 ）
A．60° B．75° C．115° D．135°
1
8．（2024 高一上·吉林长春·期末）设 r 为圆的半径，弧长为 p r 的圆弧所对的圆心角为（
2 ）
A．90o B．180o C． 270o D．360o
9．（2024 高一·全国·课后作业）若a = -5rad ，则角a 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024 高一上·湖南永州·期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉
雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面
积为（ ）
A．2700cm2 B．3500cm2 C． 4300cm2 D． 4800cm2
a
11．（2024 高一·全国·课后作业）若a 是第三象限角，则 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
12．（2024 高一下·江西抚州·期中）扇面书画在中国传统绘画中由来已久，最早关于扇面书画的文献记载，
是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇扇面画开始逐渐地成为主流，如图，该折扇扇面画
的外弧长为 48，内弧长为 28，且该扇面所在扇形的圆心角约为 120°，则该扇面画的面积约为（ ）（参考
数据： π 3）
A．990 B．495 C．380 D．300
13．（2024 高一下·上海黄浦·期中）已知q 是第一象限角，那么（ ）
q q
A． 是第一、二象限角 B． 是第一、三象限角
2 2
q q
C． 是第三、四象限角 D． 是第二、四象限角
2 2
14．（2024 高一下·湖南长沙·期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积
为 π，两段圆弧所在圆的半径分别为 1 和 2，则扇环的圆心角a 的大小为（ ）
π 3π 5π 2π
A． B． C． D．
2 4 6 3
ì π π ü
15．（2024 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B ìa kπ π a kπ π= í + + , k Z
ü
，则（ ）
4 2
A． A B B．B A C． A = B D． AI B =
16．（2024 高二上·浙江·开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为 1cm）的圆周上爬动，且两
π π
只蚂蚁均从点 A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以 rad / s 的速度爬行，黑蚂蚁以 rad / s 的速度爬行，
4 12
则 2 秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）
π π
A．1 B． 2 - 3 C． D．3 6
ì
17．（2024 高三·全国·专题练习）集合 ía kπ
π
+ a kπ π+ ,k Zü 中的角所表示的范围(阴影部分)是（4 2 ）
A． B．
C． D．
18．（2024 高一·全国·课前预习）经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
19．（2024 高一上·湖北襄阳·期末）已知一个扇形的周长为 8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大
小为（ ）
π π 3
A． B． C． D．2
6 4 2
π
20．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知扇形弧长为 ，圆心角为 2，则该扇形面积为（ ）
3
π2 π2 πA． B． C． D．1
18 36 3
21．（2024 高一上·甘肃定西·期末）下列各角中，与 43o角终边重合的是（ ）
A．137o B．143o C．-317o D．-343o
22．（2024 高一下·山东潍坊·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形
的画法如下：先画等边三角形 ABC ，再分别以点 A, B,C 为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三
π
角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是（ ）
2
A π - 2 π + 3． B． C π - 3 D π + 3． ．
4 8 8 4
23．（2024 高一下·山东威海·期末）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼
（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所
在的城市——埃及北部的亚历山大城记为 B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2° .他又派人测得A ，B 两
地的距离 AB =800 km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（ π 3.14）
A．7260 km B． 6870 km C． 6369 km D．5669 km
二、多选题
a 7π24．（2024 高一下·辽宁鞍山·期末）若角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称，且a -2π,2π ，则a 的值
12
可能为（ ）
7π 19π 19π 17π
A．- B．- C． D．
12 12 12 12
25．（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法，不正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于 180°的角是钝角、直角或锐角
26．（2024 高一·全国·课堂例题）下列各角中，与角 495°终边相同的角为（ ）
3π 5π 9π 13π
A． B．- C．- D．
4 4 4 4
a
27．（2024 高一上·山东临沂·期末）已知a 为第四象限角，则 可能为（
3 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
28．（2024 高一下·辽宁营口·阶段练习）与-457o角终边相同的角的集合是（ ）
A． a a = k ×360o - 457o ,k Z B o． a a = k ×360 + 97o ,k Z
C． a a = k ×360o + 263o , k Z D． a a = k ×360o - 263o ,k Z
29．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形 ABC 是边长为 2的等边三角形.如图，将三角形 ABC 的
顶点A 与原点重合. AB 在 x 轴上，然后将三角形沿着 x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到 x 轴上时，将
相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A．一个周期是6
B．完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆
8π
C．完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是
3
8π
D．完成一个周期，顶点A 的轨迹与 x 轴围成的面积是 + 3
3
三、填空题
30．（2024 高一上·全国·课后作业）若角 α＝30°，把角 α 逆时针旋转 20°得到角 β，则 β＝ .
31．（2024 高一上·北京昌平·期末）如图，半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A，圆 M 沿着直线 l 滚动．当
3π
圆 M 滚动到圆M 时，圆M 与直线 l 相切于点 B，点 A 运动到点 A ，线段 AB 的长度为 ，则点M 到直
2
线BA 的距离为 ．
32．（2024 高一下·上海奉贤·期中）已知半径为 2的扇形的圆心角为90o，则扇形的面积为 ．
a
33．（2024 高一上·全国·课后作业）已知角a 的终边在如图所示的阴影区域内，则角 的取值范围是 ．
2
34．（2024 高一上·江苏·课后作业）时钟走了 3 小时 20 分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的
角的度数为 ．
35．（2024 高一上·浙江金华·期末）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是 2 小时，则从考试开始到结束，
钟表的分针转过的弧度数为 .
36．（2024 高一上·江苏常州·期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图
2π
所示的扇面，已知扇面展开的中心角为 ，外圆半径为 40cm，内圆半径为 20cm，那么制作这样一面扇面
3
至少需要用布料为 cm2
37．（2024 高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精
美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷
π
气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m，弧 AB = 3 m，
弧CD = 2π3 m，则此扇环形砖雕的面积为 m
2．
38．（2024 高三上·山西晋中·阶段练习）圆心角为 2 的扇形的周长为 4，则此扇形的面积为 .
39．（2024 高一下·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给
1
出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢 2 )．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式
2
2π
中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于 4 米的弧田，
3
按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是 ．
40．（2024 高一·全国·课后作业）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且 α 与 120°角终边相同，则 α= ．
四、解答题
41．（2024 °高一下·浙江宁波·阶段练习）已知一扇形的圆心角为a a > 0 ，周长为C ，面积为S ，弧长为 l ,
所在圆的半径为 r ．
(1)若a = 30°， r = 8，求扇形的弧长；
(2)若C =16， S =16，求扇形的半径和圆心角．
42．（2024 高一·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
a
43．（2024 高一·全国·课堂例题）若角a 是第二象限角，试确定角 2a ， 是第几象限角．
3
44．（2024 高一下·河南驻马店·阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角
的集合.
45．（2024 高一·全国·课前预习）在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在 x 轴的非负半轴上；
(2)终边在 y = x x 0 上．
46．（2024 高一·全国·课后作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
47．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为a ，半径为 R，弧长为 l．
(1)若a = 60°，R = 6 ，求扇形的弧长 l；
(2)若扇形面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角a ．
48．（2024 高一·全国·课堂例题）利用单位圆，写出360°，180°，90°，1°的圆心角的弧度数．
49．（2024 高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如
图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA = 2米，OB = x 米 0 < x < 2 ，线段 BA、
线段CD与弧B C 、弧 AD 的长度之和为6 米，圆心角为q 弧度．
(1)求q 关于 x 的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为 y ，试问 x 取何值时， y 的值最大 并求出最大值．
50．（2024 高一下·全国·课后作业）已知扇形的面积为 S，周长为 p，中心角为a .
(1)若 S 是定值，则当a 为多少弧度时，周长 p 最小，并求此最小值（用 S 表示）.
(2)若 p 是定值，则当a 为多少弧度时，面积 S 最大，并求此最大值（用 p 表示）.
51．（2024 高一·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为a (a > 0)，所在圆的半径为 R.
（1）若a = 60° ，R =10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
52．（2024 高一下·辽宁沈阳·期中）53．（2024 高一下·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是a a > 0 ，半径
为 R .
（1）若a = 60°，R = 10cm求扇形的弧长 l .
（2）若扇形的周长为 20cm ，当扇形的圆心角a 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角a 的终边所在的位置，试写出角a 的集合．
（2）已知角a = -1725°，将a 改写成 b + 2kπ(k Z,0 b < 2π)的形式，并指出a 是第几象限角．5.1 任意角和弧度制 9 题型分类
一、角的相关概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)角的表示
如图，①始边：射线的起始位置 OA；
②终边：射线的终止位置 OB；
③顶点：射线的端点 O；
④记法：图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．
(3)角的分类
名称 定义 图形
一条射线绕其端点按逆时针
正角
方向旋转形成的角
一条射线绕其端点按顺时针
负角
方向旋转形成的角
一条射线没有做任何旋转形
零角
成的角
二、角的相等与加减
(1)角的相等
设角 α 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成，角 β 由射线 O′A′绕端点 O′旋转而成．如果它们的
旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α＝β.
(2)角的加法
设 α，β 是任意两个角，把角 α 的终边旋转角 β，这时终边所对应的角是 α＋β.
(3)相反角
把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角 α 的相反
角记为－α.
(4)角的减法
角的减法可以转化为角的加法，有 α－β＝α＋(－β)．
三、平面直角坐标系中的任意角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与 x
条件
轴的非负半轴重合
象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角
角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个
轴线角
象限，可称为轴线角
所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一
终边相
个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终边相
同的角
同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和
注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字
(1)要明确旋转方向；
(2)要明确旋转的大小；
(3)要明确射线未作旋转时的位置．
2．对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即 k 为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一；
(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
四、度量角的两种制度
(1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
1
②1 度的角：周角的 为 1 度的角，记作 1°.
360
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
③表示方法：1 弧度记作 1_rad.
五、弧度数的计算与互化
(1)弧度数的计算
(2)弧度与角度的互化
(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
0 3 4 6 9 1 1 15 1
度
° 0° 5° 0° 0° 20° 35° 0° 80°
弧 π π π π 2π 3π 5π
0 π
度 6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.
1 1
(2)扇形面积公式：S＝ lR＝ αR2.
2 2
(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝
180°是指 π 弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．
(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 π 的形式，如无特殊要求，不必把 π
π
写成小数，如 45°＝ 弧度，不必写成 45°≈0.785 弧度．
4
π
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋ ，k∈Z，都
4
不正确．
（一）
任意角的概念
1.引入任意角的概念后需要注意：
（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小
的正角、负角和零角．
（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋
转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．
（3）角的范围不再限于[0°,360°]．
（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．
（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时
针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角
的正负．
（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如a ， b ，g ，…；也可用三个大写的英文字母表示，
字母前要写符号“ ”，中间的字母表示角的顶点，如 AOB， DEF ，…．为了简单起见，在
不引起混淆的前提下，“角a ”或“ a ”可以简记为“a ”．
（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化a - b 为
a + (-b ) ．
2.判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联
系与区别．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
题型 1：任意角的概念
1-1．【多选】（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于 90°的角是锐角
D．若a = -120°，则a 是第三象限角
【答案】ABC
【分析】根据象限角的相关定义即可结合选项即可逐一求解.
【详解】对于 A. o终边与始边重合的角的集合为 a a = 360 k,k Z ,故 A 错误，
对于 B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30o ,390o的终边和始边相同，但两个角不相等，故 B
错误，
对于 C，锐角为 0o ,90o 的角，所以小于 90°的角不一定是锐角，故 C 错误，
对于 D，a = -120°，则a 是第三象限角，故 D 正确，
故选：ABC
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要 10
分钟．这 10 分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30° B． -30° C．60° D．-60°
【答案】D
【分析】计算分针走过的角度大小的同时考虑他的方向即可求解.
【详解】Q分针是顺时针走的，\形成的角度是负角，
又分针走过了 10 分钟，
\ 10走过的角度大小为 360° = 60°60 ，
综上，分针走过的角度是-60°．
故选：D．
1-3．【多选】（2024 高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（ ）
A．终边落在第一象限的角为锐角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角为钝角
D．小于90o的角一定为锐角
【答案】ACD
【分析】根据象限角、锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于 A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如 400o 的角终边位于第一象限，但不是锐角，A 错
误；
对于 B，锐角是0o : 90o之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B 正确；
对于 C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如510o的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C 错误；
对于 D，小于90o的角不一定是锐角，如-30o的角小于90o，但不是锐角，D 错误.
故选：ACD.
1-4．【多选】（2024 高一上·河北保定·期末）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任
意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，
则下列说法正确的是（ ）
A．小赵同学说：“经过了 5 h
5π
，时针转了 - 6 ．”
7π
B．小钱同学说：“经过了 40 min，分针转了 - 6 ．”
67π
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为 12:35 时，时针与分针所夹的钝角为 ．”
72
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合 22 次．”
【答案】ACD
【分析】根据任意角的概念一一计算即可；
2π 5π
【详解】解：经过了 5 h，时针转过的角度对应的弧度数为-5 = - ，故 A 正确．
12 6
2π 4π
经过了 40 min，分针转过的角度对应的弧度数为-8 = - ，故 B 错误．
12 3
2π 7 2π 67π
时钟显示的时刻为 12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为5 + = ，故 C 正确．
12 12 12 72
2π t 2π分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了 t min，第 n 次和时针重合，则 × - × t = 2πn，得
60 12 60
n 11= t 0 11 t 1440 ，故 nmax = 1440 = 22，故 D 正确．720 720
故选：ACD
1-5．（2024 高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第
一象限的角；③ 0° ~ 90°的角是第一象限的角；④小于180°的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号
是 .
【答案】②③④
【分析】根据题意，由任意角的定义对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍，故正确；
②390°角是第一象限角，120°角是第二象限角，390° > 120° ，故错误；
③ 0° ~ 90°的角是指大于等于0°小于90°的角，其中0°角不是象限角，故错误；
④小于180°的角还包括零角和负角，故错误；
故答案为：②③④
（二）
终边相同的角
1．一般地，我们有：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合
S = {b | b = a + kg360°，k Z}，即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的
和．
2．象限角的分类及表示方法如下：
象限角 集合的表示
第一象限
{a | kg360° < a < 90° + kg360°,k Z}
角
第二象限
{a | 90° + kg360° < a < 180° + kg360°,k Z}
角
第三象限
{a |180° + kg360° < a < 270° + kg360°,k Z}
角
第四象限
{a | 270° + kg360° < a < 360° + kg360°,k Z}
角
3．设 S = {b | b = 45° + kg360°,k Z}，显然，所有与 45°角终边相同的角都是集合 S 的元素；反过
来，集合 S 中的任何一个元素也都与 45°角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角a 终边
相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S = {b | b = a + kg360°,k Z}，即任一与角a 终边相同
的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．
4．利用与角a 终边相同的角的集合，可把任意角 b 转化成 b = a + kg360°， k Z ， 0° a < 360°
的形式；也可利用与角a 终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利
用与角a 终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．
如第一象限角，在 0° ~360 ° 范围内，第一象限角表示为 0° < a < 90°，然后在两端加上 kg360°，
k Z ，即可得到第一象限角的集合：{a | kg360° < a < kg360° + 90°， k Z}，其他各象限角同理可
得．
若a 为象限界角，如终边落在 x轴的负半轴上，代表角为 180 ° ，所以终边落在 x轴的负半轴上
的角的集合为{a |a = kg360° +180°， k Z}．同理可得其他非象限角的集合．
5.寻求终边相同的角的方法与技巧
在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β<360°，k∈Z)，其中的 β 就是
所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续
加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤
(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
题型 2：终边相同的角
2-1．（2024 高一·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作
出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在 0° ~ 360°范围内与其终边相同的角．
(1) 405°；
(2) -45°；
(3) 495°；
(4) -520°．
【答案】(1) 45°，第一象限角
(2) 315° ，第四象限角
(3)135°，第二象限角
(4) 200°，第三象限角
【分析】先作图，再根据角的定义求解.
【详解】（1）
405°角是第一象限角， 405° = 45° + 360°，所以在0° ~ 360°范围内，与405°角终边相同的角是 45°角；
（2）
-45°角是第四象限角，-45° = 315° - 360°，所以在0° ~ 360°范围内，与-45°角终边相同的角是 315° 角；
（3）
495°角是第二象限角， 495° =135° + 360°，所以在0° ~ 360°范围内，与 495°角终边相同的角是135°角；
（4）
-520°角是第三象限角，-520° = 200° - 2 360°，所以在0° ~ 360°范围内，与-520°角终边相同的角是 200°
角；
综上，（1）第一象限，与 45°角终边相同，（2）第四象限，与 315° 角终边相同，（3）第二象限，与135°角终
边相同，（4）第三象限，与 200°角终边相同.
2-2．（2024 高一上·全国·课后作业）与600o 角终边相同的角可表示为（ ）
A k ×360o o． + 220 k Z
B． k ×360o + 240o k Z
C k ×360o． + 60o k Z
D o． k ×360 + 260o k Z
【答案】B
【分析】根据600o 角与 240o 角的终边相同可确定正确的表示方法.
【详解】Q600o = 360o + 240o ，\600o角与 240o 角的终边相同，
\与600o 角终边相同的角可表示为 k ×360o + 240o k Z .
故选：B.
2-3．（2024 高一上·吉林长春·期末）下列各角中，与1850° 角终边相同的角是（ ）
A． 40° B．50° C．320° D．-400°
【答案】B
【分析】根据1850° = 50o + 5 360o 即可得到答案.
【详解】对选项 A，1850° - 40o =1810o = 5 360o +10o，故 A 错误.
对选项 B，因为1850° - 50o =1800° = 5 360o，故 B 正确.
对选项 C，1850° - 320o =1530o = 4 360o + 90o ，故 C 错误.
对选项 D，1850° - -400o = 2250o = 6 360o + 90o ，故 D 错误.
故选：B
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）若角a 的终边在函数 y = -x 的图象上，试写出角a 的集合为 ．
【答案】{a |a = k ×180° +135°,k Z}
【解析】函数 y = -x 的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角，再进
一步写出满足条件的所有角，并注意化简．
【详解】解：函数 y = -x 的图象是第二、四象限的平分线，在0°～360°范围内，以第二象限射线为终边的
角为135°，以第四象限射线为终边的角为 315° ，
∴a 的集合为{a |a = k ×360° +135°或a = k ×360° + 315°,k Z} = {a |a = k ×180° +135°,k Z}．
故答案为：{a |a = k ×180° +135°,k Z}．
【点睛】本题考查终边相同角的表示，角的终边是以原点为顶点的一条射线，因此当只有角的终边在直线
上时，要分类讨论．由原点把直线分成两条射线．
2-5．（2024 高一下·山东威海·期末）下列角的终边与60°角的终边关于 x 轴对称的是（ ）
A．660° B．-660° C． 690° D． -690°
【答案】A
【分析】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可.
【详解】由题意知，与60°角的终边关于 x 轴对称的角为q = -60° + 360° × k,k Z.
当 k = 2时，q = -60° + 720° = 660°，A 正确.
经验证，其他三项均不符合要求.
故选：A .
2-6．（2024 高一下·广西北海·期末）下列各角中，与 2183°角终边相同的是（ ）
A．-23° B． 23° C．-47° D． 47°
【答案】B
【分析】根据若两角的终边相同，则两角相差为360°的整数倍，即可判断各选项.
【详解】对于 B，因为 2183° - 23° = 6 360°，所以角 2183°与角 23°的终边相同，B 正确；
对于 A，因为 2183° - -23° = 2206°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，A 错误；
对于 C，因为 2183° - -47° = 2230°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，C 错误；
对于 D，因为 2183° - 47° = 2136°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同，D 错误.
故选：B.
2-7．（2024 高三·全国·专题练习）若角 α 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y = - 3x
上，则角 α 的取值集合是
π
【答案】{a |a = kπ - , k Z}
3
【分析】根据斜率得出倾斜角，进而由终边相同角的性质求解.
2p
【详解】直线 y = - 3x的倾斜角是 ，所以终边落在直线 y = - 3x上的角的取值集合为
3
{a |a = kπ π- , k Z}
3
π
故答案为：{a |a = kπ - , k Z}
3
（三）
区域角的表示
1、区域角的写法可分三步
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 α，β，写出所有与 α，β 终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．
注：区域角的写法:
(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，
然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.
(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区
域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可.
题型 3：区域角的表示
3-1 2024 · · a∣k ×180o o o．（ 高一下 山西朔州 期末）集合 a k ×180 + 60 , k Z 中的角所表示的范围（阴影部分）
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 n 分奇偶讨论，结合图象可得答案.
【详解】当 k = 2n,n Z时， a∣n ×360o a n ×360o + 60o , k Z ，
当 k = 2n +1,n Z时，｛a | n ×360o +180o a n ×360o + 240o ,k Z} ,所以选项 C 满足题意.
故选：C.
3-2．（2024 高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
(1) a k ×360o o o o【答案】 +135 a k ×360 + 300 ,k Z
(2) a k ×180o - 60o < a < k ×180o + 45o ,k Z
【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实.
【详解】（1）在0° ~ 360° 范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的
区域边界线所对应的角为300°，
o o o o
因此，阴影部分区域所表示的集合为 a k ×360 +135 a k ×360 + 300 ,k Z ；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为
a -60o + k ×360o < a < 45o + k ×360o ,k Z = a 2k ×180o - 60o < a < 2k ×180o + 45o ,k Z ，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
a 120o + k ×360o < a < 225o + k ×360o ,k Z = a 2k +1 ×180o - 60o < a < 2k +1 ×180o + 45o , k Z ，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
a 2k ×180o - 60o < a < 2k ×180o + 45o ,k Z a 2k +1 ×180o - 60o < a < 2k +1 ×180o + 45o , k Z
= a k ×180o - 60o < a < k ×180o + 45o ,k Z .
3-3．（2024 高一·全国·课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）
的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
ìa 2kπ 3π a 2kπ π ,k ü ì π π ü【答案】图 1 í - < < + Z ；图 24 3 í
a kπ + < a < kπ + ,k Z
6 2
【分析】（1）根据图形数形结合写出角的范围即可；
（2）根据图形数形结合写出角的范围即可；
3π π
【详解】（1）225°角的终边可以看作是-135°角的终边，化为弧度，即 - ，60°4 角的终边即 的终边，3
ì 3π π ü
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 ía 2kπ - < a < 2kπ + ,k Z4 3
．
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
ì
ía 2kπ
π a 2kπ π+ < < + , k ü ì π π ü Z ía 2kπ + π + < a < 2kπ + π + ,k Z6 2 6 2
ì
= ía kπ
π
+ < a < kπ π ü+ ,k Z ．
6 2
（四）
象限角轴线角的判定
1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在
第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例如：由于图（1）中的角 45°， 405° ， -315°都是始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在第一
象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角 480° 是第二象限角， -70°， 290°
都是第四象限角．
2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如， 0°，90°，
-180°， 630° 等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参
考书上称之为象限界角．
3.象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系
中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相
同的．
(3)nα 所在象限的判断方法
确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判断方法
n
α
已知角 α 所在象限，要确定角 所在象限，有两种方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范围，然后对 k 的取值分情况讨论：被 n 整除；被 n 除余 1；被 n 除
n
余 2；…；被 n 除余 n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域．从 x 轴非
负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.α 的终边在第几象限，则标号为
α α
几的区域，就是 的终边所落在的区域．如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观
n n
地看出．
题型 4：象限角的判定
4-1．【多选】（2024 高一下·河北承德·开学考试）已知a 是锐角，则 （ ）
A．180° +a 是第三象限角 B． 2a 是小于180°的正角
a
C． 2a 是第一或第二象限角 D． 是锐角
2
【答案】ABD
【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.
【详解】由题知，
因为a 是锐角，所以0o < a < 90o ，
对于 A：所以180o <180o +a < 270o ，故 A 选项正确；
对于 BC：0o < 2a <180o，故 B 选项正确，C 选项错误；
o a
对于 D：0 < < 45o ，故 D 选项正确；
2
故选：ABD.
a a a
4-2．（2024 高一下·河南·期末）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，则角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
a a cos a cos a【分析】由 是第二象限角，知 在第一象限或在第三象限，再由 = - ，知 cos
a
0，由此能
2 2 2 2
a
判断出 所在象限．
2
【详解】因为角a o o o o第二象限角，所以90 + k ×360 < a <180 + k ×360 k Z ，
所以 45o + k ×180o
a
< < 90o + k ×180o k Z ，
2
当 k 是偶数时，设 k = 2n n Z ，则 45o a+ n ×360o < < 90o + n ×360o n Z ，
2
a
此时 为第一象限角；
2
a
当 k 是奇数时，设 k = 2n +1 n Z ，则 225o + n ×360o < < 270o + n ×360o n Z ，
2
a
此时 为第三象限角.；
2
a
综上所述： 为第一象限角或第三象限角，
2
因为 cos
a
= -cos a ，所以 cos
a
0 a，所以 为第三象限角．
2 2 2 2
故选：C．
4-3．【多选】（2024 高一下·江西新余·开学考试）若a 是第二象限角，则（ ）
-a aA． 是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
2
3π
C． +a 是第二象限角 D．2a 是第三象限角或 2a 是第四象限角或 2a 的终边在 y 轴负
2
半轴上
【答案】BD
p
【分析】由已知可得 + 2kp < a < p + 2kp,k Z，然后逐个分析判断即可
2
p
【详解】因为a 是第二象限角，所以可得 + 2kp < a < p + 2kp,k Z．
2
π
对于 A，-π - 2kπ < -a < - 2 - 2kπ, k Z，则
-a 是第三象限角，所以 A 错误;
p k a p a a对于 B，可得 + p < < + kp,k Z，当 k 为偶数时， 是第一象限角；当 k 为奇数时， 是第三象限
4 2 2 2 2
角．所以 B 正确;
2π 2kπ 3π 5π 3π对于 C， + < +a < + 2kπ, k Z 2 k +1 π < 3π π，即 2 +a < 2 + 2 k +1 π, k Z，所以 +a 是第一2 2 2
象限角，所以 C 错误;
对于 D，π + 4kπ < 2a < 2π + 4kπ, k Z ，所以 2a 的终边位于第三象限或第四象限或 y 轴负半轴上，所以 D 正
确．
故选：BD．
a
4-4．【多选】（2024 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如果 α 是第三象限的角，那么 可能是下列哪个象限的角
3
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
a
【分析】先写出角a 的范围，再除以3，从而求出 角的范围，分析即得解
3
a a 2kp +p , 2kp 3p+ 【详解】 是第三象限的角，则 ÷， k Z，
è 2
a 2 kp p 2 p所以 + , kp +
3 3 3 3 2 ÷
， k Z；
è
a
当 k=3n,n Z ， 2np
p
+ , 2np p+ ÷ ,n Z ，在第一象限；3 è 3 2
当 k=3n +1, n Z
a
， 2np +p , 2np
7p
+ ÷ ,n Z ，在第三象限；3 è 6
当 k=3n + 2, n Z
a
，
2np 5p+ , 2np 11p+ , n Z ，在第四象限；
3 è 3 6 ÷
a
所以 可以是第一、第三、或第四象限角．
3
故选：ACD
a
4-5．（2024 高一下·四川达州·阶段练习）已知a 为第二象限角，则 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
【答案】D
【分析】由象限角的定义可得出90o + k ×360o < a <180o + k ×360o k Z a，求出 的取值范围，对 k 分奇数和
2
a
偶数两种情况讨论，可得出 的终边所在的象限.
2
o
【详解】因为a 为第二象限角，则90 + k ×360o < a <180o + k ×360o k Z ，
o o a o
所以， 45 + k ×180 < < 90 + k ×180o k Z ，
2
①当 k 为奇数时，设 k = 2n +1 n Z ，则 45o + 2n +1 ×180o a< < 90o + 2n +1 ×180o k Z ，
2
即 225o + n ×360o
a
< < 270o + n ×360o n Z a，此时 为第三象限角；
2 2
②当 k 为偶数时，设 k = 2n n Z ，则 45o + n ×360o a< < 90o + n ×360o k Z ，
2
a
此时 为第一象限角.
2
a
综上所述， 为第一或第三象限角.
2
故选：D.
（五）
角度与弧度的互化
1．将角度化为弧度
360 π° = 2π rad；180° = π rad；1° = rad 0.01745 rad．
180
2．将弧度化为角度
2π rad=360 π rad 180 1 rad (180°； = ° ； = )° 57.30° = 57°18 ．
π
3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 π π π π 2π 3π 5π 3
0 π π 2π
度 6 4 3 2 3 4 6 2
【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如 sin 2 是指 sin（2弧度）； π = 180°
是指 π 弧度 = 180° ．以度为单位表示角时，度就不能省去．
π
（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 π 的形式，如无特殊要求，不必把 π 化成小数，如 45° =
4
弧度，不必写成 45° 0.785 弧度．
（3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进
位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体
现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．
（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量
也就不同了．
π
（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad = 180° 是关键，由它可以得到：角度 = 弧度，弧
180°
180°
度 = 角度．
π
题型 5：弧度制的概念
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A． 弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中 弧度的圆心角比小圆中 弧度的圆心角大
C．所有圆心角为 弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【详解】对于 A，根据弧度的定义知，“1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故 A 正确；对于 B，大圆中 1
弧度的圆心角与小圆中 1 弧度的圆心角相等，故 B 错误；对于 C，不在同圆或等圆中，1 弧度的圆心角所对
的弧长是不等的，故 C 错误；对于 D，用弧度表示的角也可以不是正角，故 D 错误．
考点：弧度制的概念.
5-2．（2024 高一·全国·课后作业）自行车的大链轮有 88 齿，小链轮有 20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，
小链轮转过的弧度数是（ ）
5p 44p 5p 22p
A． B． C． D．
11 5 22 5
【答案】B
【分析】先求得大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过的周数，然后用这个周数乘以 2π求得小链轮
转过的弧度数.
88
【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过 周，小链轮转过的弧度是
20
88 44p
2p = .故选 B.
20 5
【点睛】本小题主要考查大链轮与小链轮转动周数问题，考查弧度数的计算，属于基础题.
题型 6：角度与弧度的互化
6-1．（2024 高一·湖南·课后作业）将下表中的角度和弧度互化：
角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
p p 3p
弧度 p
3 2 2
【答案】答案见解析
p 180°
【分析】由p =180°，得1° = ，1 = ，可对角度和弧度互化.
180 p
【详解】Q p =180°
\1 p° = 180°，1 =
180 p
故：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
p p p p 2p 3p 5p 3p
弧度 0 p 2 2p6 4 3 2 3 4 6
6-2．（2024 高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．
(1) 72°；
(2) -300°；
(3) 2；
2π
(4) - .
9
(5) 780°
(6) -1560°
(7) 67.5°
10
(8) - π
3
π
(9)
12
7π
(10)
4
2π
【答案】(1)
5
5π
(2) -
3
360
(3) ÷°
è π
(4) -40°
13π
(5)
3
26
(6) - π
3
3π
(7)
8
(8) -600°
(9)15°
(10) 315°
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
π 2π
【详解】（1）72° = 72° × = .
180° 5
300 π 5π（2）- ° = -300° × = - .
180° 3
2 2 180 360= × ° = （3） π ÷ ÷
° .
è è π
2π 2π 180
（4）- = - × ° = -40° .
9 9 ÷è π
780 780 π 13π（5） ° = °× = .
180° 3
（6）-1560
π 26π
° = -1560° × = - .
180° 3
（7）67.5
π 3π
° = 67.5° × = .
180° 8
10
（8）- π
10 180
= - π × ÷° = -600° .3 3 è π
π π 180
（9） = × ÷° =15°12 12 è π
7π 7π 180
（10） = ×
° = 315° .
4 4 è π ÷
6-3．（2024 高一·全国·课堂例题）把下列各角从度化为弧度：
(1)120°；
(2) 25° ．
2π
【答案】(1) rad
3
17π
(2) rad
120
【分析】根据角度制和弧度制之间的换算关系求解.
π 2π
【详解】（1）120° =120 rad = rad；
180 3
π 17π
（2） 25°30 = 25.5° = 25.5 rad = rad．
180 120
6-4．（2024 高一下·辽宁·期中）下列与 45°终边相同角的集合中正确的是（ ）
A． a |a = 2kπ + 45°,k Z ìa |a = k ×360 π° + , k ZüB． í 4
ì
C． ía |a = 2kπ
7
- π, k Zü ì D． ía |a = kπ
π
+ , k Zü
4 4
【答案】C
【分析】根据终边相同的角分析判断.
【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故 A、B 错误；
因为 45
π π
° = = - 2π 7π= - ，故 C 正确；
4 4 4
π π π
对于选项 D：因为a - = kπ + ÷ - = kπ 2kπ, k Z，4 è 4 4
则a = kπ
π
+ , k Z与 45°终边不相同，故 D 错误；
4
故选：C.
（六）
利用弧度制表示角
1、弧度制下与角 α 终边相同的角的表示
在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角 α 终边相同的
角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍．
2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形；
(2)写出区域边界作为终边时角的表示；
(3)用不等式表示区域角．
用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．
题型 7：利用弧度制表示角
7-1．（2024 高一下·北京西城·阶段练习）已知角a =1200° .
(1)将a 改写成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出a 是第几象限的角；
(2)在区间 -2π,2π 上找出与a 终边相同的角．
2π
【答案】(1)a = + 6π ，第二象限角
3
2π 4π
(2) 和-
3 3
【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；
（2）利用代入法进行求解即可.
a 1200 1200 2π【详解】（1） = ° = π = + 6π ，
180 3
2π
因为 为第二象限，所以a 是第二象限角；
3
2π
（2）与a 终边相同的角可以写出g = + 2kπ,k Z，
3
g 2π由 = + 2kπ -2π,2π ，
3
2π
得当 k = 0时，g = ，
3
4π
当 k = -1时，g = - ，
3
所以在区间 -2π,2π 上与a 2π 4π终边相同的角为 和- ．
3 3
7-2．（2024 高一·全国·课后作业）将－1485°化成a + 2kp 0 a < 2p ,k Z 的形式是（ ）
π
A． -8π
7 p 7
B． p -8p C． -10p D． p -10p
4 4 4 4
【答案】D
【分析】由360° = 2p rad或180° = p rad转换．
7 7
【详解】因为-1485° = -5 360° + 315°，360° = 2p rad，315° = p rad ，所以－1485°可化成 p -10p ．
4 4
故选：D．
7-3．（2024 高一下·江西赣州·期中）已知a = -1520° .
(1)将a 写成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与a 终边相同的角q ，满足-4π q < 0．
【答案】(1)a =
14 π-10π ，是第四象限角；
9
22
(2)q = - π q
4π
或 = - .
9 9
【分析】（1）利用180° = π ，将角度值化为弧度制，并得到所在象限；
（2）由q = -
4 π + 2kπ(k Z)，根据q 的范围求出 k 的值，从而可求解.
9
280 14
【详解】（1）因为a = -1520° = -360° 5 + 280° , 280° = π = π ，
180 9
所以a =
14 π-10π .
9
3π 14
因为 < π < 2π ，所以a 是第四象限角.
2 9
a = 14（2） π-10π = -
4 π + 2π-10π = - 4 π-8π，
9 9 9
所以与a 终边相同的角可表示为q = -
4 π + 2kπ(k Z) ,
9
令-4π
4
- π + 2kπ 16 2< 0，解得- k < k Z ，
9 9 9
所以 k = -1,0 .
4π 22
当 k = -1时， q = - - 2π = - π ；
9 9
q 4π当 k = 0时， = - .
9
q 22 π q 4π所以 = - 或 = - .
9 9
7-4．（2024 高一上·河北保定·阶段练习）写出一个与角-1280°终边相同的正角：a = （用弧度数
表示）.
8π 8π
【答案】 （答案不唯一，符合 + 2kπ， k N 即可）
9 9
【分析】终边相同的角之间相差360ok,k Z或 2kπ,k Z可得答案.
【详解】与角-1280°终边相同的角：a = -1280o + 360ok,k Z,
又题目要求正角，\k 4,k Z,\a o
8π
可取160 ，化为弧度数为 .答案不唯一
9
8π 8π
故答案为： （答案不唯一，符合 + 2kπ， k N 即可）
9 9
（七）
弧长公式
1、弧长公式
l
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角大小为a ，则 a = r ，变形可得
l = a r ，此公式
称为弧长公式，其中的a 是弧度角．
2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略
①明确弧度制下扇形弧长公式 l＝|α|r，(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)．
②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵
活运用弧长公式、扇形面积公式求解．
题型 8：弧长公式及应用
8-1．（2024高一下·重庆长寿·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 .
【答案】4 2
【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解.
r 1【详解】设扇形的半径为 ，由题意可得 2 r2 = 2，解得
2 r = 2
，
所以扇形的周长为 2 2 + 2 2 = 4 2 .
故答案为：4 2 .
3π
8-2．（2024 高一下·山东淄博·期中）已知扇形面积 ，半径是 1，则扇形的周长是（
8 ）
3π 1 3π 2 3π 3πA． + B． + C． + 2 D． +1
16 8 4 2
【答案】C
【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
1 3 1 3
【详解】设扇形的弧长为 l，由扇形的面积公式可得， S = l × r ，即 π = l 1，所以 l = π，
2 8 2 4
3
则扇形的周长为 2r + l = 2 + π .
4
故选：C
3
8-3．（2024 高一上·广西南宁·开学考试）若扇形的圆心角为120o，半径 .则它的弧长为 .2
【答案】 π
【分析】利用扇形的弧长公式求解.
o 2π 3
【详解】因为120 = ，又扇形的圆心角为120o，半径为 ，3 2
2π 3
所以它的弧长为 l = = π ，
3 2
故答案为： π
8-4．（2024 高一·全国·课堂例题）若扇形的面积是 4cm2，它的周长是10cm，则扇形圆心角（正角）的弧度
数为（ ）
1 π 1 π
A． B． C． D4 ．2 2 4
【答案】A
【分析】设扇形的半径为 r ，圆心角为a(0 < a < 2π) ，然后根据题意列方程组可求得答案.
ì1
r 2a = 4
【详解】设扇形的半径为 r ，圆心角为a(0 < a < 2π) ，由题意，得 í2 ，
2r + ra =10
10 1
由 2r + ra =10得， r = 2，代入 r a = 4，
2 +a 2
得 2a 2
1
-17a + 8 = 0，解得a = 或a = 8（舍去）．2
1
故扇形圆心角的弧度数为 ．
2
故选：A
（八）
扇形的面积公式的应用
1、扇形面积公式
2 l
因为圆心角为 1 rad πr 1的扇形面积为 = r2 ，而弧长为 l 的扇形的圆心角大小为 r rad，所以其2π 2
S l r
2 1 1 1
面积为 = = lr ，将 l = a r 2代入上式可得 S = lr = a r2 2 ，此公式称为扇形面积公式．r 2 2
2、扇形的面积公式的应用注意点
①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．
②看清角的度量制，选用相应的公式．
③扇形的周长等于弧长加两个半径长．
题型 9：扇形的面积公式的应用
9-1．（2024 高一上·广东揭阳·阶段练习）已知扇形OAB 的半径为 r ，弧长为 l，圆心角为a (0 < a < 2p ) .
(1)若扇形OAB 的面积为定值S ，求扇形周长C 的最小值及对应的圆心角a 的值；
(2)若扇形OAB 的周长为定值C ，求扇形面积S 的最大值及对应的圆心角a 的值.
【答案】(1)a = 2时C 的最小值为 4 S ；
(2)a = 2 S C
2
时 的最大值为
16
【分析】（1）用a , S 表示扇形周长C ，再应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）用a ,C 表示扇形面积S ，再应用基本不等式求其最大值，注意等号成立条件.
1 l = ar S rl ar
2
【详解】（ ）由题设， ，又 = = 且C = l + 2r ，
2 2
∴ C 2aS 2 2S 2 2aS 2 2S= + × = 4 S ，当且仅当a = 2时等号成立，
a a
∴a = 2时C 的最小值为 4 S .
aC 2 C 2 C 2 C 2S = = =
（2）由（1）知：C = (a + 2)r ， 2(a + 2)2 2(a 4+ + 4) 2(2 a 4
16 ，
a × + 4)a
2
当且仅当a = 2时，S C的最大值为 .
16
9-2．（2024 高一上·山西长治·期末）已知扇形的周长为 30．
(1)若该扇形的半径为 10，求该扇形的圆心角a ，弧长 l及面积S ;
(2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 .
【答案】(1)a =1， l =10， S = 50；
225 15
(2)
4 ，
.
2
【分析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
S 1 lr 1（2）由题可得 = = 30 - 2r r2 2 ，然后利用基本不等式即求.
【详解】（1）由题知扇形的半径 r =10，扇形的周长为 30，
∴ l + 2r = l + 20 = 30，
a = l = 10∴ l =10 1 1， =1， S = lr = 10 10 = 50 .
r 10 2 2
（2）设扇形的圆心角a ，弧长 l，半径为 r ，则 l + 2r = 30，
∴ l = 30 - 2r ，
2
∴ S 1= lr 1= 30 - 2r r = 15 - r r 15 - r + r 225=
2 2 è 2 ÷ 4
15
当且仅当15 - r = r ，即 r = 取等号，
2
225 15
所以该扇形面积S 的最大值为 4 ，此时扇形的半径为
.
2
9-3．（2024 高一·全国·课后作业）如图，点 A, B,C 是圆O上的点.
ACB p(1)若 AB = 4， = ，求劣弧
6 AB
的长；
(2)已知扇形 AOB的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
4p
【答案】(1)
3
(2) 2
p
【分析】（1）由圆心角为 可知VAOB 为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果；
3
（2）设圆O的半径为 r ，扇形 AOB的弧长为 l，圆心角为a ，可知 2r + l = 8；
1 l
方法一：由 S = l × r ，利用基本不等式可知当 2r = l = 4时，S 取得最大值，由a = 可求得结果；
2 r
S 1方法二：由 = l × r ，将S 表示成关于 r 的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得
2
r, l a l，由 = 可求得结果.
r
p p
【详解】（1）Q ACB = ，\ AOB = 2 ACB = ，又OA = OB，\VAOB 为等边三角形，
6 3
p 4p
\OA = AB = 4，则劣弧 AB 的长为 ×OA = .3 3
（2）设圆O的半径为 r ，扇形 AOB的弧长为 l，圆心角为a ，
Q扇形 AOB的周长为8，\2r + l = 8，
S 1 l r 1 l 2r 1 2r + l
2
方法一：扇形面积 = × = × × ÷ = 4（当且仅当 2r = l = 4时取等号），2 4 4 è 2
\ l当扇形面积取得最大值时，圆心角a = = 2 .
r
1 1 2 2
方法二：扇形面积 S = l × r = 8 - 2r × r = -r + 4r = - r - 2 + 4 ，
2 2
则当 r = 2时，S 取得最大值，此时 l = 8 - 2r = 4，
\ l当扇形面积取得最大值时，圆心角a = = 2 .
r
9-4．（2024 高一上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为a ，所在圆的半径为 r.
(1)若a = 60°， r = 3，求扇形的弧长 ;
(2)若扇形的周长为16，当a 为多少弧度时，该扇形面积最大 并求出最大面积．
【答案】(1)p
(2)当a = 2时，扇形的面积最大，最大面积是16．
【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；
1 1
（2）设扇形的弧长为 l，则 l =16 - 2r ，扇形的面积为 S = lr = 16 - 2r r ，由二次函数性质即可得到面积S
2 2
的最大值．
p p
【详解】（1）设扇形的弧长为 l．Qa = 60°，即a = ， r = 3\l = a r = 3 = p .3 3
（2）由题设条件知， l + 2r =16, l =16 - 2r 0 < r < 8 ,
S 1因此扇形的面积 = lr
1
= 16 - 2r r = -r 2 + 8r = - r - 4 2 +16
2 2
\当 r = 4时，S 有最大值16，此时 l
l
=16 - 2r = 8,a = = 2 ,
r
\当a = 2时，扇形的面积最大，最大面积是16．
一、单选题
2kπ π
1．（2024 高一下·江西吉安·期末）已知角的集合 b = {a |a = - , k Z}，则在 0,2π 内的角有（ ）
3 6
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【分析】根据给定条件，解不等式，求出 k 的值即可作答.
0 2kπ π 1【详解】依题意，解不等式 - < 2π ，得 k
13
< ，而 k Z，因此 k {1,2,3}，
3 6 4 4
所以在 0,2π 内的角有 3 个.
故选：B
2．（2024 高三·全国·专题练习）把-380°表示成q + 2kπ k Z 的形式，则 θ 的值可以是（ ）
π π 8π 8π
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
【答案】B
【分析】由于-380° = -20° - 360°，所以转化为弧度可得答案
∵ -380° = -20° - 360° ∴ -380° = - π【详解】 ， 9 - 2π rad，
故选：B．
3．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定义一一判定即可.
【详解】锐角是指大于0o 小于90o的角，故其在第一象限，即 A 正确；
选项 B．终边相等的角必相等，两角可以相差360o整数倍，故错误；
选项 C．小于90o的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项 D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象
限角，故错误.
故选：A
4．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知扇形的半径为 1，圆心角为60o，则这个扇形的弧长为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．60
6 3 3
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】易知60o
π π π
= ，由扇形弧长公式可得 l = 1 = .
3 3 3
故选：B
5．（2024 高三上·湖南·阶段练习）已知一扇形的圆心角为 40°，半径为 9，则该扇形的面积为（ ）
A．9π B．12π C．18π D．36π
【答案】A
1 2
【分析】先把角度转化为弧度，根据弧度制下扇形的面积公式 S = a × r 即可求解.
2
π
【详解】因为 40° = 40 rad ，
180
1 π 2
所以该扇形的面积为 S = 40 9 = 9π ．
2 ֏180
故选：A
6．（2024 高一上·全国·课后作业）与 405°角终边相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
【答案】C
【分析】首先在[0°,360°]内找到与 405°角终边相同的角，即可得答案.
【详解】解：∵405°＝360°＋45°，
∴与 405°终边相同的角是 k·360°＋45°，k∈Z.
故选：C
5π
7．（2024 高一·全国·课堂例题） 化为角度是（ ）
12
A．60° B．75° C．115° D．135°
【答案】B
【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可.
5π 5
【详解】 = 180° = 75° .
12 12
故选：B
1
8．（2024 高一上·吉林长春·期末）设 r 为圆的半径，弧长为 p r 的圆弧所对的圆心角为（ ）2
A．90o B．180o C． 270o D．360o
【答案】A
【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系 l = ar ，代入求解，再转化为角度制即可.
【详解】由弧长、圆心角、半径的关系： l = ar ，
1 1 πr
弧长为 πr 的圆弧所对的圆心角： l
2 a = = 2
1
= π = 90o .
r r 2
故选：A.
9．（2024 高一·全国·课后作业）若a = -5rad ，则角a 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】判断a = -5rad 所处的范围，即可得答案.
【详解】由于-2p 5
3p
< - < - ，
2
故角a 的终边在第一象限，
故选：A
10．（2024 高一上·湖南永州·期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉
雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面
积为（ ）
A．2700cm2 B．3500cm2 C． 4300cm2 D． 4800cm2
【答案】A
【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可得解．
【详解】如图，设 AOB = a ，OB = r ，
ì60 = ar
由弧长公式可得 í
120 = a (r + 30)
，
解得a = 2， r = 30，
设扇形COD，扇形 AOB的面积分别为 S1， S2，
1 1 2
则该壁画的扇面面积约为 S1 - S2 = 120 (30 + 30) - 60 30 = 2700(cm )2 2 ．
故选：A
a
11．（2024 高一·全国·课后作业）若a 是第三象限角，则 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
【答案】D
a
【分析】根据a 是第三象限角的范围，可判断 所在的象限.
2
【详解】因为a
3p
为第三象限角, 即 2kp + p < a < 2kp + (k Z) ,
2
kp p a所以, + < < kp
3p
+ (k Z) ,
2 2 4
a
当 k 为奇数时, 是第四象限的角;
2
a
当 k 为偶数时, 是第二象限的角.
2
故选:D.
12．（2024 高一下·江西抚州·期中）扇面书画在中国传统绘画中由来已久，最早关于扇面书画的文献记载，
是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇扇面画开始逐渐地成为主流，如图，该折扇扇面画
的外弧长为 48，内弧长为 28，且该扇面所在扇形的圆心角约为 120°，则该扇面画的面积约为（ ）（参考
数据： π 3）
A．990 B．495 C．380 D．300
【答案】C
【分析】利用圆心角和弧长，算出外弧和内弧所在圆的半径，代入扇形面积公式计算该扇面画的面积.
【详解】如图，
2π
设该扇面画的外弧所在圆的半径为R，弧长为 l2 = 48，内弧所在圆的半径为 r，弧长为 l1 = 28，则 l2 = R = 48，3
R 72 l 2π= ， 1 = r = 28
42
， r = ，
π 3 π
1 l R 1 l r 1 48 72 1 28 42 1140所以扇面画的面积约为 2 - 1 = - = 380 .2 2 2 π 2 π π
故选：C.
13．（2024 高一下·上海黄浦·期中）已知q 是第一象限角，那么（ ）
q q
A． 是第一、二象限角 B． 是第一、三象限角
2 2
q q
C． 是第三、四象限角 D． 是第二、四象限角
2 2
【答案】B
q
【分析】由q 是第一象限角，可得 k ×360° < q < 90° + k ×360°， k Z，进而得到 k ×180° < < 45° + k ×180°，
2
k Z，进而求解.
【详解】因为q 是第一象限角，
所以 k ×360° < q < 90° + k ×360°， k Z，
所以 k ×180
q
° < < 45° + k ×180°， k Z，
2
q
当 k 为偶数时， 是第一象限角，
2
q
当 k 为奇数时， 是第三象限角，
2
q
综上所述， 第一、三象限角.
2
故选：B.
14．（2024 高一下·湖南长沙·期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积
为 π，两段圆弧所在圆的半径分别为 1 和 2，则扇环的圆心角a 的大小为（ ）
π 3π 5π 2π
A． B． C． D．
2 4 6 3
【答案】D
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.
【详解】由该扇环的面积为 π，两段圆弧所在圆的半径分别为 1 和 2，
1 a 22 1 a 12 π 2π可得 - = ，解得a = ，
2 2 3
2π
即扇环的圆心角a 的大小为 .
3
故选：D.
ì π π ü
15．（2024 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B ìa kπ π a kπ π= í + + , k Z
ü
，则（ ）
4 2
A． A B B．B A C． A = B D． AI B =
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
k 2n,n Z B ìa 2nπ π π【详解】当 = 时， = í + a 2nπ + ,k Z
ü
= A，
4 2
π
当 k = 2n +1,n Z时，B =
ì
ía 2nπ + π + a 2nπ + π
π
+ ,k Zü
4 2
，
所以 A B .
故选：A
16．（2024 高二上·浙江·开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为 1cm）的圆周上爬动，且两
只蚂蚁均从点 A(1,0) π同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以 rad / s π的速度爬行，黑蚂蚁以 rad / s 的速度爬行，
4 12
则 2 秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）
π π
A．1 B． 2 - 3 C． D．3 6
【答案】A
【分析】作图利用单位圆解几何图形即可.
【详解】
π
如图所示，红蚂蚁以 rad / s
π
的速度爬行，黑蚂蚁以 rad / s 的速度爬行，
4 12
π π
则 2 秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为 ，到达 B 处，黑蚂蚁绕圆的角度为 ，到达 C 处，
2 6
此时 BOC
π
= - π π= ，即VBOC 为正三角形，故BC = OB =1 .
2 6 3
故选：A
ì π π ü
17．（2024 高三·全国·专题练习）集合 ía kπ + a kπ + ,k Z4 2
中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对 k 分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当 k = 2n(n Z)时，2nπ
π π
+ a 2nπ + ,n π π Z ，此时a 表示的范围与 a 表示的范围一样；
4 2 4 2
当 k = 2n +1(n Z)
π
时，2nπ + π + a 2nπ
π π π
+ π + ,n Z，此时a 表示的范围与 + π a + π 表示的范围
4 2 4 2
一样，
故选：C．
18．（2024 高一·全国·课前预习）经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
【答案】B
【分析】根据旋转方向确定角的正负，由旋转的大小确定角的绝对值，即可得解.
【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，
2
而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，
12
故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
故选：B
19．（2024 高一上·湖北襄阳·期末）已知一个扇形的周长为 8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大
小为（ ）
π π 3
A． B． C． D．2
6 4 2
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公
式即可求出圆心角.
【详解】设扇形的半径为 r ，弧长为 l，由已知得 2r + l = 8，
1 1 é 4 - r
2
+ rù
扇形面积为 S = lr = 8 - 2r r = 4 - r r = 4 ，
2 2 4
l
当且仅当 4 - r = r ，即 r = 2时等号成立，此时 l = 4，则圆心角a = = 2，
r
故选：D.
π
20．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知扇形弧长为 ，圆心角为 2，则该扇形面积为（ ）
3
π2 π2 πA． B． C． D．1
18 36 3
【答案】B
π
【分析】设扇形所在圆的半径为 r ，根据题意求得 r = ，结合扇形的面积公式，即可求解.
6
【详解】设扇形所在圆的半径为 r ，
π π π
因为扇形弧长为 ，圆心角为 2，可得 2r = ，可得 r = ，
3 3 6
S 1 lr 1 π π π
2
由扇形的面积公式，可得 = = = .
2 2 3 6 36
故选：B.
21．（2024 高一上·甘肃定西·期末）下列各角中，与 43o角终边重合的是（ ）
A．137o B．143o C．-317o D．-343o
【答案】C
【分析】根据角的终边相同的集合判断选择即可.
【详解】与 43o o o角终边重合的角为：a = 43 + k ×360 k Z ，则当 k = -1时，a = -317o ，故 C 正确.
经检验，其他选项都不正确.
故选：C.
22．（2024 高一下·山东潍坊·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形
的画法如下：先画等边三角形 ABC ，再分别以点 A, B,C 为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三
π
角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是（ ）
2
A π - 2 B π + 3． ． C π - 3 π + 3． D．
4 8 8 4
【答案】C
【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.
π
【详解】莱洛三角形的周长为 ，可得弧长 AB = B C = AC
π
= ，
2 6
π
AB BC AC 6 1则等边三角形的边长 = = = π = ，2
3
分别以点 A、B、C 为圆心，圆弧 AB, BC, AC
1 π 1 π
所对的扇形面积均为 = ，
2 6 2 24
1 1 3 3
等边VABC 的面积 S = = ，
2 2 4 16
π 3 π - 3
所以莱洛三角形的面积是3 - 2 = .
24 16 8
故选：C.
23．（2024 高一下·山东威海·期末）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼
（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所
在的城市——埃及北部的亚历山大城记为 B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2° .他又派人测得A ，B 两
地的距离 AB =800 km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（ π 3.14）
A．7260 km B． 6870 km C． 6369 km D．5669 km
【答案】C
【分析】利用圆的性质及周长公式即可求解.
【详解】设地心为O，依题意可得， AOB = 7.2o， AB =800，
设地球的周长为C ，半径为 R ，
7.2 800 800 800 360
则 360 = C = 2πR ，所以 R = 2π 7.2 6369 km.
故选：C
二、多选题
7π
24．（2024 高一下·辽宁鞍山·期末）若角a 的终边与角 的终边关于 x 轴对称，且a -2π,2π ，则a 的值
12
可能为（ ）
7π 19π 19π 17π
A．- B．- C． D．
12 12 12 12
【答案】AD
a 7π【分析】写出 = - + 2kπ， k Z ，再根据其范围即可得到答案.
12
【详解】因为角a
7π
的终边与角 的终边关于 x 轴对称，
12
7π
所以a = - + 2kπ， k Z ，
12
又因为a -2π,2π 7π，所以当 k = 0时，a = - ，
12
17π
当 k =1时，a = .
12
故选：AD.
25．（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法，不正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于 180°的角是钝角、直角或锐角
【答案】ACD
【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的选项，即可得出答案.
【详解】由题意，
A 中，
90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，
故 A 错误；
B 中，
始边相同而终边不同的角一定不相等，
故 B 正确；
C 中，
钝角大于-100°的角，而-100°的角是第三象限角，
故 C 错误；
D 中，
零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，
故 D 错误．
故选：ACD.
26．（2024 高一·全国·课堂例题）下列各角中，与角 495°终边相同的角为（ ）
3π 5π 9π 13π
A． B．- C．- D．
4 4 4 4
【答案】AB
3π 3p
【分析】由 495° = 360° +135
3π
°，135° = ，得与 终边相同的角为a = + 2kp ， k Z4 ，逐一判断各选项4 4
即可.
【详解】对于 A， 495° = 360° +135°，135
3π
° =
4 ，故
A 正确；
3π 3p 5π
对于 B，与 终边相同的角为a = + 2kp ， k Z ，当 k = -1时，a = - ，故 B 正确；
4 4 4
3π 9π 3
对于 C，令 + 2kπ = - ，解得 k = - Z，故 C 错误；
4 4 2
3π
对于 D，令 + 2kπ
13π k 5= ，解得 = Z ，故 D 错误．
4 4 4
故选：AB.
27．（2024 高一上·山东临沂·期末）已知a
a
为第四象限角，则 可能为（
3 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BCD
2kπ π a 2kπ
【分析】写出角a 的范围，求得 - < < ,k Z ，讨论 k = 3n, n Z， k = 3n +1,n Z ，
3 6 3 3
k = 3n + 2, n Z，即可求得答案.
π
【详解】由题意知a 为第四象限角，则 2kπ - < a < 2kπ,k Z ,
2
2kπ π a 2kπ
则 - < < ,k Z ，
3 6 3 3
当 k = 3n, n Z 2nπ
π a a
时， - < < 2nπ, n Z， 为第四象限角，
6 3 3
当 k = 3n +1,n Z 2nπ+
π a
时， < < 2nπ+
2π ,n a Z， 为第二象限角，
2 3 3 3
当 k = 3n + 2, n Z时， 2nπ+
7π a 4π
< < 2nπ+ , n Z a， 为第三象限角，
6 3 3 3
a
即 可能为第二、三、四象限角，不可能为第一象限角，
3
故选：BCD
28．（2024 高一下·辽宁营口·阶段练习）与-457o角终边相同的角的集合是（ ）
A a a = k ×360o． - 457o ,k Z B． a a = k ×360o + 97o ,k Z
C． a a = k ×360o + 263o , k Z D． a a = k ×360o - 263o ,k Z
【答案】AC
【分析】根据终边相同的角的定义直接求解即可.
o o
【详解】与-457o终边相同的角可写为：a = k ×360 - 457 k Z ，
Q97o k ×360o - 457o k Z ， 263o = 2 360o 457o -263o- ， k ×360o - 457o k Z ，
\ o o与-457o角终边相同的角的集合为： a a = k ×360 - 457 ,k Z ，A 正确； a a = k ×360o + 263o , k Z ，C
正确.
故选：AC.
29．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形 ABC 是边长为 2的等边三角形.如图，将三角形 ABC 的
顶点A 与原点重合. AB 在 x 轴上，然后将三角形沿着 x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到 x 轴上时，将
相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A．一个周期是6
B．完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆
8π
C．完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是
3
8π
D．完成一个周期，顶点A 的轨迹与 x 轴围成的面积是 + 3
3
【答案】ACD
1
【分析】根据已知可作出顶点A 的运动轨迹，可知轨迹为两个 圆，结合图象可知 A 正确，B 错误；结合圆
3
的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知 CD 正确.
【详解】由已知可得：点A 一个周期的运动轨迹如图所示，
对于 A，当A 再次回落到 x 轴上时，发生了6 个单位的位移，则一个周期为6 ，A 正确；
1 1
对于 B，完成一个周期，顶点A 的轨迹由以C 为圆心， 2为半径的 圆和以 B 为圆心， 2为半径的 圆共同
3 3
组成，不是一个半圆，B 错误；
1 8π
对于 C，由 B 知，顶点A 的轨迹为 2 2π 2 = ，C 正确；
3 3
1
对于 D，顶点A 的轨迹与 x 轴围成的区域面积为两个 圆的面积与VABC 的面积之和，
3
即所求面积为 2 1 π 22 1+ 22 3 8π = + 3 ，D 正确.
3 2 2 3
故选：ACD.
三、填空题
30．（2024 高一上·全国·课后作业）若角 α＝30°，把角 α 逆时针旋转 20°得到角 β，则 β＝ .
【答案】50°
【分析】根据任意角的概念计算可得到结果.
【详解】因为由a 逆时针旋转得到 b ，所以 b = 30o + 20o = 50o .
故答案为：50o
31．（2024 高一上·北京昌平·期末）如图，半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A，圆 M 沿着直线 l 滚动．当
3π
圆 M 滚动到圆M 时，圆M 与直线 l 相切于点 B，点 A 运动到点 A ，线段 AB 的长度为 ，则点M 到直
2
线BA 的距离为 ．
2 1
【答案】 / 2
2 2
3
【分析】根据条件可得圆旋转了 圆周，作图可得到VA M B是等腰直角三角形，进而可求得M 到BA 的距
4
离．
【详解】根据条件可知圆周长为 2π，
∵ AB
3π 3 3
= = 2π ，故可得圆旋转了 圆周， A 位置如图：
2 4 4
则 A M B = 90o ，则VA M B是等腰直角三角形，
则M 到BA 2 2的距离d = r = ，
2 2
2
故答案为： ．
2
32．（2024 高一下·上海奉贤·期中）已知半径为 2的扇形的圆心角为90o，则扇形的面积为 ．
【答案】 π
【分析】根据弧度制的定义，求得弧长，根据扇形的面积公式，可得答案.
π
【详解】因为半径 r = 2扇形的圆心角为90o，则圆心角a = ，
2
l ar π 1所以弧长 = = 2 = π，面积 S = rl = π .
2 2
故答案为： π .
a
33．（2024 高一上·全国·课后作业）已知角a 的终边在如图所示的阴影区域内，则角 的取值范围是 ．
2
ìa 15 k 90 a 52.5 k 90 , k Zü【答案】 í ° + × ° < ° + × ° 2 2
【分析】根据图形先求出终边在30°角的终边所在直线上的角的集合和终边在180° - 75° =105°角的终边所在
a
直线上的角的集合，从而可求出角a 的取值范围，进而可求得 的取值范围
2
【详解】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1 = a a = 30° + k ×180°, k Z ，
终边在180° - 75° =105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2 = a a =105° + k ×180°, k Z ，
因此终边在题图中的阴影区域内的角a 的取值范围是 a 30° + k ×180° a <105° + k ×180°, k Z ，
a ìa a ü
所以角 的取值范围是 í 15° + k ×90° < 52.5° + k ×90°, k Z2 2 2
，
ìa
故答案为： í 15° + k 90
a 52.5 k 90 , k Zü× ° < ° + × °
2 2
34．（2024 高一上·江苏·课后作业）时钟走了 3 小时 20 分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的
角的度数为 ．
【答案】 -100° -1200°
【分析】根据时针每小时转30°，分针每小时转360°，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可
求解.
【详解】因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，
又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
1
故时针转过的角度数为-3 30° = -100°，
3
1
分针转过的角度数为-3 360° = -1200°．
3
故答案为：-100°；-1200°
35．（2024 高一上·浙江金华·期末）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是 2 小时，则从考试开始到结束，
钟表的分针转过的弧度数为 .
【答案】-4p
【分析】根据角的概念的推广即可直接求出答案.
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为-4p .
故答案为：-4p .
36．（2024 高一上·江苏常州·期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图
2π
所示的扇面，已知扇面展开的中心角为 ，外圆半径为 40cm，内圆半径为 20cm，那么制作这样一面扇面
3
至少需要用布料为 cm2
【答案】400π
【分析】由扇形的面积公式计算即可得到答案.
【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
1 2π 1 2π
制作这样一面扇面需要的布料为 40 40 - 20 20 = 400π .
2 3 2 3
故答案为：400π
37．（2024 高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精
美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷
π
气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m，弧 AB = 3 m，
CD = 2π弧 3 m，则此扇环形砖雕的面积为 m
2．
π
【答案】
2
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果.
C D AB
【详解】设圆心角为a ，则a = = ，
OD OA
2π π
所以 3 = 3 ，解得OA =1 m，所以OD = 2m ，
OA +1 OA
1 1
所以此扇环形砖雕的面积为 ×C D ×OD - AB ×OA
2 2
1 2π 1 π π
= 2 - 1 = m2 .2 3 2 3 2
π
故答案为：
2
38．（2024 高三上·山西晋中·阶段练习）圆心角为 2 的扇形的周长为 4，则此扇形的面积为 .
【答案】1
【分析】根据弧长公式结合面积公式计算即可.
1
【详解】设扇形的半径为 r ，弧长为 l，则 l + 2r = 4，又 l = 2r ，所以 r =1，l =2，扇形的面积 S = l × r =1.
2
故答案为：1.
39．（2024 高一下·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给
1
出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢 2 )．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式
2
2π
中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于 4 米的弧田，
3
按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是 ．
【答案】9
【分析】设弧田的圆心为O，弦为 AB ，C 为 AB 中点，连OC 交弧于D，在RtVAOC 中，求出半径OA及
OC ，求出弦 AB，即可求出结论．
【详解】设弧田的圆心为O，弦为 AB ，C 为 AB 中点，连OC 交弧于D，如图所示，
2π
由题意可得∠AOB＝ ，OA＝4，
3
π π
在 Rt△AOC 中，易得∠AOC＝ ，∠CAO＝ ，
3 6
1 1
OC＝ OA＝ 4 = 2，可得矢＝4－2＝2，
2 2
π
由 AC＝OA sin 4 3＝ = 2 3 ，可得弦 AB＝2AC＝
3 4 3
，
2
1
所以弧田面积＝ ×(
2 4 3 2 + 2
2 )＝ 4 3 + 2，
169 3 192 196 13 14 17因为 < = < ，则 < 3 < ，从而 < 4 3 + 2 < 9，
64 64 64 8 8 2
因此，所得弧田面积最接近的整数是 9.
故答案为：9.
40．（2024 高一·全国·课后作业）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且 α 与 120°角终边相同，则 α= ．
【答案】﹣960°．
【详解】试题分析：α 与 120°角终边相同，可表示为 α=k 360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．
解：α 与 120°角终边相同，∴α=k 360°+120°，k∈Z．
∵﹣990°＜k 360°+120°＜﹣630°，
∴﹣1110°＜k 360°＜﹣750°．又 k∈Z，
∴k=﹣3，此时 α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．
故答案为﹣960°．
点评：本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．
四、解答题
41．（2024 高一下·浙江宁波·阶段练习）已知一扇形的圆心角为a a > 0° ，周长为C ，面积为S ，弧长为 l ,
所在圆的半径为 r ．
(1)若a = 30°， r = 8，求扇形的弧长；
(2)若C =16， S =16，求扇形的半径和圆心角．
【答案】(1)
4π
3
(2) 360
o
扇形半径为 4，圆心角为
π
【分析】（1）直接用扇形的弧长公式求解；
（2）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角.
【详解】（1）由已知得 l = 8 30
π 4π
= ；
180 3
ìC = 2r + l =16
ìr = 4
（2）由已知得 í 1 ，解得
S = lr
í
=16 l = 8 2
a l 180 8 180 360
°
\ = = = ，
r π 4 π π
4 360
°
即扇形的半径为 ，圆心角为 .
π
42．（2024 高一·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
【答案】（1） b∣b = -45° + n ×180°, n Z ；（2） b∣b = 45° + n ×90°, n Z
【分析】（1）首先求得在0° ~ 360°范围内，终边在直线 y = -x 上的角有两个，即135°和 315° ，从而即可得
答案；
（2）求出终边在直线 y = x 上的角的集合，然后和终边在直线 y = -x 上的角的集合取并集即可得答案.
【详解】（1）由题图易知，在0° : 360°范围内，终边在直线 y = -x 上的角有两个，即135°和 315° ，
因此，终边在直线 y = -x 上的角的集合为
S = b∣b =135° + k ×360°,k Z U b∣b = 315° + k ×360°, k Z
= b∣b = -45° + (2k +1) ×180°,k Z U b∣b = -45° + 2(k +1) ×180°, k Z
= b∣b = -45° + n ×180°, n Z ；
（2）同理可得终边在直线 y = x 上的角的集合为
b | b = 45° + k ×180°,k Z = b | b = 45° + 2k ×90°, k Z ，
终边在直线 y = -x 上的角的集合为 S = b∣b = -45° + n ×180°,n Z
= b | b = -45° + 2k ×90°,k Z = b | b = 45° + (2k -1) ×90°, k Z ，
所以终边在直线 y = x 上和在直线 y = -x 上的角的集合为
S = b | b = 45° + 2k ×90°, k Z b | b = 45° + (2k -1) ×90°, k Z
= b | b = 45° + n ×90°,n Z .
a
43．（2024 高一·全国·课堂例题）若角a 是第二象限角，试确定角 2a ， 是第几象限角．
3
【答案】2
a
a 可能是第三象限角、第四象限角或终边在 y 轴非正半轴上的角； 可能是第一象限角、第二象
3
限角或第四象限角
a
【分析】根据象限角的表示方法，得到 2a 和 的表示，进而判定其象限，得到答案.
3
【详解】因为a 是第二象限角，所以90° + k ×360° < a <180° + k ×360°(k Z)，
可得180° + 2k ×360° < 2a < 360° + 2k ×360°,k Z，
所以 2a 可能是第三象限角、第四象限角或终边在 y 轴非正半轴上的角．
又由 k ×120
a
° + 30° < < k ×120° + 60°,k Z，
3
当 k = 3n, k Z时， n ×360° + 30
a a
° < < n ×360° + 60°, k Z，此时 是第一象限角；
3 3
当 k = 3n +1,k Z时， n ×360° +150
a
° < < n ×360° +180°, k a Z，此时 是第二象限角；
3 3
当 k = 3n + 2, k Z时， n ×360
a
° + 270° < < n ×360° + 300°, k Z a，此时 是第四象限角．
3 3
a
综上所述， 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
3
44．（2024 高一下·河南驻马店·阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角
的集合.
ìa 2kπ 3π π π p【答案】（1） í - < a < 2kπ + ,k Z
ü ì
；（2） ía nπ + < a < nπ + , n Z
ü
4 3 6 2
【分析】根据给定的图形，直接写出角的集合表示作答.
ì 3π π ü
【详解】（1） ía 2kπ - < a < 2kπ + ,k Z4 3
；
ì π π
（2） ía 2kπ + < a < 2kπ + , k Z
ü ì
ía 2kπ π
π
+ + < a < 2kπ + π π+ ,k Zü
6 2
6 2
ìa nπ π a nπ p= üí + < < + , n Z .
6 2
45．（2024 高一·全国·课前预习）在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在 x 轴的非负半轴上；
(2)终边在 y = x x 0 上．
【答案】(1) a a = k ×360°,k Z ；
(2) a a = k ×360° + 45°, k Z .
【分析】(1)在 0°～360°内求出终边在 x 轴的非负半轴上的角，再直接写出角的集合.
(2) 在 0°～360°内求出终边在 y = x x 0 上的角，再直接写出角的集合.
【详解】（1）在 0°～360°范围内，终边在 x 轴的非负半轴上的角有一个，它是 0°，
所以终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合为 a a = k ×360°,k Z .
（2）在 0°～360°范围内，终边在 y=x(x≥0)上的角有一个，它是 45°，
所以终边在 y=x(x≥0)上的角的集合为 a a = k ×360° + 45°, k Z .
46．（2024 高一·全国·课后作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
【答案】答案见解析
【分析】首先确定 0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集
合，最后写出两个集合的并集即可.
【详解】（1）在 0°～360°范围内，终边在直线 y＝0 上的角有两个，即 0°和 180°，
又所有与 0°角终边相同的角的集合为 S1={β |β=0°+ k·360°，k Z}，
所有与 180°角终边相同的角的集合为 S2 ={β |β =180°+k×360°，k Z}，
于是，终边在直线 y＝0 上的角的集合为 S=S1 S2 ={β |β=k·180°，k Z}．
（2）由图形易知，在 0°～360°范围内，终边在直线 y＝－x 上的角有两个，即 135°和 315°，
因此，终边在直线 y＝－x 上的角的集合为
S={β |β=135°+k·360°，k Z} {β |β=315°+k·360°，k Z}={β |β=135°+k·180°，}．
（3）结合（2）知所求角的集合为
S={β |β = 45°+k·180°，k Z} {β |β=135°+k·180°，k Z}={β |β=45°+2k·90°，
同理可得终边在直线 y＝x、y=-x 上的角的集合为{β |β=45°+k·180°，k Z}，
k Z} {β |β=45°+ 2k +1 ·90°, k Z}={β |β=45°+k·90°, k Z}．
47．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为a ，半径为 R，弧长为 l．
(1)若a = 60°，R = 6 ，求扇形的弧长 l；
(2)若扇形面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角a ．
【答案】(1) 2π
(2)扇形周长的最小值为16，此时a = 2
【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解；
（2）根据扇形的面积公式求得 l, R 的关系，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为a = 60
π
° = ，R = 6 ，
3
所以扇形的弧长 l = a R = 2π；
1 2 1 32
（2）由扇形面积 S = a R = lR =16，得 l = ，
2 2 R
32 32
则扇形周长为 l + 2R = + 2R 2 2R =16，
R R
32
当且仅当 = 2R，即R = 4时，取等号，
R
1
此时， a 42 =16，所以a = 2，
2
所以扇形周长的最小值为16，此时a = 2 .
48．（2024 高一·全国·课堂例题）利用单位圆，写出360°，180°，90°，1°的圆心角的弧度数．
π π
【答案】 2πrad ； πrad； rad； rad
2 180
【分析】根据弧度数公式求解.
【详解】在单位圆中，
360°的圆心角的弧长是 2π，那么它对应的弧度数是 2πrad ；
180°的圆心角的弧长是 π，那么它对应的弧度数是 πrad；
π
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
π
1°的圆心角对应的弧度数是 rad．
180
49．（2024 高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如
图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA = 2米，OB = x 米 0 < x < 2 ，线段 BA、
线段CD与弧B C 、弧 AD 的长度之和为6 米，圆心角为q 弧度．
(1)求q 关于 x 的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为 y ，试问 x 取何值时， y 的值最大 并求出最大值．
q 2x + 2【答案】(1) = (0 < x < 2)x + 2 ；
x 1 9(2)当 = 时，y 的值最大，最大值为 ．
2 4
【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出q 关于 x 的函数解析式；
(2)根据面积公式求出 y 关于 x 的函数表达式，根据二次函数性质可得 y 的最大值．
【详解】（1）根据题意，弧B C 的长度为 xq 米，弧 AD 的长度 AD = 2q 米，
\2(2 - x) + xq + 2q = 6 ，
\ q 2x + 2= (0 < x < 2)
x 2 ．+
1 2 12 2（ ）依据题意，可知 y = S OAD - S OBC = q 2 - q x扇 扇 2 2 ，
化简得： y = -x2 + x + 2，0 < x < 2，
\ x 1= y 1
2
1 9
当 ， max = - ÷ + + 2 = ．2 è 2 2 4
x 1 9∴当 = 时，y 的值最大，且最大值为 ．
2 4
50．（2024 高一下·全国·课后作业）已知扇形的面积为 S，周长为 p，中心角为a .
(1)若 S 是定值，则当a 为多少弧度时，周长 p 最小，并求此最小值（用 S 表示）.
(2)若 p 是定值，则当a 为多少弧度时，面积 S 最大，并求此最大值（用 p 表示）.
【答案】(1)当a = 2时周长最小，为 4 S
2
(2)当a = 2 p时面积最小，为
16
S 11 = a R2 2S 2S【分析】（ ）依题意 ，则R = ，则 p = 2 +a ，再利用基本不等式计算可得；2 a a
p
（2）扇形周长 p = 2R + l = 2R +a R，可得R = ，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
2 +a
1 2S
【详解】（1）依题意，设扇形的半径为 R ，则扇形的面积 S = a R2，所以R = ，
2 a
所以 p = 2R + l = 2 +a R = 2 +a 2S = 2S 2 × + a ÷ 2S 2
2
× a = 4 S ，
a è a a
2
当且仅当 = a ，即a = 2时，周长取得最小值 4 S .a
p
（2）扇形周长 p = 2R + l = 2R +a R，则R = ，
2 +a
1 2 2 p2 1 p2S = a × R2 1= a ( p )2 p a p 1= × = × × =
所以 2 2 2 +a 2 4 + 4a +a 2 2 4 a 4 2 4 16 ，+ + 4 + 2 a ×
a a
4 2
当且仅当a = ，即a = 2 p时，扇形面积取得最大值 ．
a 16
51．（2024 高一·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为a (a > 0)，所在圆的半径为 R.
（1）若a = 60° ，R =10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
10p 50p 2
【答案】（1） cm ， - 25 33 3 ÷
cm ；（2）a = 2rad .
è
【解析】(1)由公式 l = a R算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积
(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把 S 用 R 表示出来，运用函数的知识即可求出最大值.
【详解】（1）设扇形的弧长为 l，弓形面积为 S，则
a 60° p= = ，R 10
p
= ， l = 10
10p
= cm，
3 3 3
S 1 10p 3= 10 - 102 50p= - 25 3 cm2 .
2 3 4 3 ÷ è
10
（2）设扇形弧长为 l，则 l + 2R = 20，即 l = 20 - 2R < R < 10 ，
è p +1 ÷
S 1 1∴扇形面积 = IR = (20 - 2R) × R = -R2 +10R = -(R - 5)2 + 25，
2 2
l
∴当R = 5cm时，S 有最大值 25cm2 ，此时 l =10cm，a = = 2rad .
R
因此当a = 2rad 时，这个扇形面积最大.
1
【点睛】C = l + 2R, S = lR
2
1 2 1
当周长 C 为定值时可得面积 S = C - 2R R = -R + CR
2 2
2S
当面积S 为定值时可得周长C = + 2R .
R
52．（2024 高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为a ，所在圆的半径为 r．
(1)若a =150°, r =10 ，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为 24，当a 为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
25
【答案】(1) π
3
(2)a = 2, Smax = 36
【分析】（1）由扇形弧长公式计算；
（2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可.
【详解】（1）设扇形的弧长为 l．
5π
因为a =150°，即a = , r =10，
6
所以 l = ar
5π
= 10 25= π ．
6 3
（2）由题设条件，知 l + 2r = 24 ，则 l = 24 - 2r(0 < r < 12)，
1 1 2 2
所以扇形的面积 S = lr = 24 - 2r r = -r +12r = - r - 6 + 36．
2 2
当 r = 6时，S 有最大值 36，
此时 l = 24 - 2r =12,a
l
= = 2，
r
所以当a = 2时，扇形的面积最大，最大面积是 36．
53．（2024 高一下·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是a a > 0 ，半径为 R .
（1）若a = 60°，R = 10cm求扇形的弧长 l .
（2）若扇形的周长为 20cm ，当扇形的圆心角a 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
10p
【答案】（1） cm ；（2）a = 2，扇形的面积取得最大值 25.
3
【分析】（1）根据弧长公式计算可得；
（2）根据扇形的弧长公式和面积公式可以直接求最值．
o p p 10p
【详解】解：（1）a = 60 = rad，\l = a × R = 10 = cm .
3 3 3
1 1
2 2（ ）由已知得， l + 2R = 20，所以 S = lR = 20 - 2R R =10R - R = - R - 5 2 + 25，
2 2
所以当R = 5时，S 取得最大值 25，此时 l =10，a = 2 .
【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于中档题．
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角a 的终边所在的位置，试写出角a 的集合．
（2）已知角a = -1725°，将a 改写成 b + 2kπ(k Z,0 b < 2π)的形式，并指出a 是第几象限角．
10 5p【答案】（1）答案见解析；（2）- p + ；是第一象限角．
12
【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得；
（2）根据弧度制与角度概念转化书写即可.
【详解】（1）①
a -30° + k ×360° a k ×360°, k Z a 150° + k ×360° a 180° + k ×360°, k Z
= a -30° + k ×180° a k ×180°, k Z ；
② a -30° + k ×360° < a < 60° + k ×360°, k Z ．
5p
（2）∵ -1725° = -5 360° + 75°，∴ -1725° = -10p + ．
12
0 5π π 5π又 < < ，所以a 与 终边相同，是第一象限角．
12 2 12
