5.2 三角函数的概念 10 题型分类
一、三角函数的概念
(1)任意角的三角函数的定义
如图，设 α 是一个任意角，
前提 α∈R，它的终边 OP 与单位
圆相交于点 P(x，y)
把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sinα，即
正弦函数
y＝sinα
把点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作 cosα，即
余弦函数
x＝cosα
定义 y
把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 α 的正切，记
x
正切函数 y
作 tanα，即 ＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横
x
坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函
三角函数
数
注：三角函数的定义
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值
的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点 P(x，y)在角 α 终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置决定，
即三角函数值的大小只与角有关．
(2)三角函数的定义域
三角函数 定义域
y＝sinx x∈R
y＝cosx x∈R
π
y＝tanx x≠ ＋kπ(k∈Z)
2
二、三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三、诱导公式(一)
名称 符号语言 文字语言
sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)
终边相同的角的同一三角
诱导公式(一) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)
函数的值相等
tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)
注：公式一的理解
(1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角 α 的终边每绕原点旋转
一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为 α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为 α.
四、同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述
同一个角 α 的正弦、余弦
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
的平方和等于 1
sinα
＝tanα
cosα 同一个角 α 的正弦、余弦
商数关系
( π ) 的商等于角 α 的正切α ≠ kπ＋ ，k ∈ Z2
(1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论
①平方关系变形及常用结论
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－
2sinαcosα.
②商的变形
sinα
sinα＝tanαcosα，cosα＝ .
tanα
(2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有
两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角
的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1.
(3)sin2α 是(sinα)2的简写，不能写成 sinα2.
(4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况
下的恒等式．
sin90°
(5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子 tan90°＝ 不成立．
cos90°
(6)在应用平方关系式求 sinα 或 cosα 时，其正负号是由角 α 所在的象限决定的．
（一）
三角函数的定义及应用
1、任意角的三角函数的定义
如图，在直角坐标系中，设a 是一个任意角，a 终边上任意一点 P 的坐标为 (x, y) ，它与原点
的距离为 r(r = | x |2 + | y |2 = x2 + y2 > 0) ，那么：
y y
（1）比值 a sina sina =r 叫做 的正弦，记作 ，即 r ；
x x
（2）比值 叫做a 的余弦，记作 cosa ，即 cosa =r r ；
y y
（3）比值 x 叫做
a 的正切，记作 tana ，即 tana = (x 0)x ．
对于确定的a
y x y
值，比值 r ， r ， x 分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角
a 为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．
2、利用三角函数的定义求值的策略
已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数
值．
(2)注意角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点(a，b)，则对应角的正弦
b a
值 sinα＝ ，余弦值 cosα＝ .
a2＋b2 a2＋b2
提醒：角 α 是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
题型 1：利用三角函数的定义求三角函数值
1 3
1-1．（2024 高二下·湖南·学业考试）设角a 的终边与单位圆的交点坐标为 , ÷÷，则 sina =（ ）
è 2 2
1
A． B 2 C 3． ． D．1
2 2 2
【答案】C
【分析】由三角函数的定义求解，
3
2 3
【详解】由题意得 sina = = ，
1 3 2
+
4 4
故选：C
1-2．（2024 高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角q 的顶点与原点O重合，它的始边与 x 轴
3
的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O于点P - ,
4
÷，则 tanq 的值为
è 5 5
3 4 4 3
A．- B． C．- D．-
5 5 3 4
【答案】C
【解析】根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，角q 的顶点与原点O重合，它的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O于点
4
P 3 4- , y 5 4 ÷，根据三角函数的定义可得 tanq = = 3 = - .è 5 5 x - 3
5
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了
推理与计算能力，属于基础题.
1-3．（2024 3 6高一上·吉林长春·期末）已知角a 的终边与单位圆交于点P(- , )，则 sina ×cosa =（ ）
3 3
A 3 B 2 C 3 2． ．- ．- D．
3 3 3 3
【答案】B
【详解】a 3 6的终边与单位圆交于点P(- , ) ,
3 3
故 r =| OP | 3=1, x = - , y 6= ，
3 3
6 - 3
故 sina y= = 3 6= ，cosa x= = 3 3 ，=-
r 1 3 r 1 3
所以 sina ×cosa 6 3 2= （× - ）=- ，
3 3 3
故选：B.
题型 2：由终边或终边上点求三角函数值
2-1．（2024 高二上·云南大理·开学考试）已知角a 的终边落在直线 y = 2x上，则 sina 的值为（ ）
A 2 5 B 5 C 2 5． ． ．- D 2 5．±
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.
【详解】设直线 y = 2x上任意一点 P 的坐标为 (m, 2m)（m 0 ），
则OP = m2 + 2m 2 = 5 m （O 为坐标原点），
y 2m 2m
根据正弦函数的定义得： sina = = =r OP 5 m ，
m > 0 2 5 2 5时， sina = ； m < 0时， sina = - ，
5 5
所以选项 D 正确，选项 A，B，C 错误，
故选：D.
2-2．【多选】（2024 高一下·四川眉山·期中）已知角a 的终边经过点P(-4m,3m)(m 0)，则 2sina + cosa 的值
可能为（ ）
3 3 2 2
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】CD
【分析】根据三角函数的概念求解 sina , cosa ，即可得 2sina + cosa 的值.
【详解】已知角a 的终边经过点P(-4m,3m)(m 0)
sina 3m 3m cosa -4m -4m所以 = = = = -4m 2 + 3m 2 5m ， -4m 2 + 3m 2 5m
3 4 3 4 2
则当m > 0时， sina = , cosa = - ，此时 2sina + cosa = 2 +
5 5 5
- ÷ =5 5 ；è
3 4 2
当m < 0时， sina
3
= - ,cosa 4= ，此时 2sina + cosa = 2 - ÷ + = - ；5 5 è 5 5 5
2 2
所以 2sina + cosa 的值可能为 或- .
5 5
故选：CD.
2-3．（2024 高三上·北京·开学考试）若 b 的终边所在射线经过点P 1,2 ，则 sinb = ， tanb = .
2 5 2
【答案】 / 5 2
5 5
【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.
【详解】由于 b 的终边所在射线经过点P 1,2 ，
2 2 5
所以 sinb = = , tan b
2
= = 2 .
12 + 22 5 1
2 5
故答案为： ； 2
5
2-4．【多选】（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知角q 的终边上有一点P a, 2a ，若 a < 0，则（ ）
A． sinq 5= - B． sinq 2 5= -
5 5
C． tanq
1
= D． tanq = 22
【答案】BD
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】由题知，因为 a < 0，所以点P a, 2a 在第三象限，
sinq = 2a 2 5 2a所以 = -2 ， tanq = = 2，a + 2a 2 5 a
故选：BD.
题型 3：由三角函数值求终边上的点或参数
3-1．（2024 2m高一下·河南驻马店·期末）已知角a 的终边上有一点P m, 3 ，且 cosa = ，则实数 m 取值
4
为 ．
【答案】0 或± 5
【分析】根据三角函数的定义表示即可求解.
【详解】因为角a 的终边上有一点P m, 3 ，
cosa m 2m所以 = = ，解得m = 0或± 5 .
m2 + 3 4
故答案为：0 或± 5 .
3
3-2．（2024 高一下·全国·课后作业）角a 的终边经过点P 4,b 且 sina = - ，则 b 的值为（ ）
5
A．3 B．-3 C． ±3 D．5
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解．
sina b 3【详解】根据三角函数定义可得 = = - ，且b < 0，
16 + b2 5
25b2即 = 9 16 + b2 ，解得b = -3．
故选：B．
4
3-3．（2024 高一上·山东·期末）已知角q 的终边经过点P -8m, -3 ，且 cosq = - ，则实数 m 的值是（
5 ）
1 9
A． B．
2 32
1 1 9 9
C． 或- D． 或-
2 2 32 32
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义列方程求解即可.
-8m
【详解】由三角函数的定义得 cosq =
64m2
，
+ 9
-8m 4
\ = - ，m > 0
64m2 + 9 5
m 1解得 =
2
故选：A
（二）
判断三角函数值的符号
1、各三角函数的值在各象限的符号如图所示．
【说明】（1）对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说，第一象限各三角函数值全都是
正号，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．
（2）各象限三角函数值正号规律：一全二正弦，三切四余弦．
2、确定三角函数值在各象限内符号的方法
(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出的．
(2)正弦、余弦、正切函数的符号表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限
正切是正值，第四象限余弦是正值．
题型 4：判断三角函数值的符号
4-1．（2024 高一上·广东·期末）已知q 为第二或第三象限角，则（ ）
A． sinq tanq < 0 B． cosq tanq < 0
sinq
C． > 0 D． sinq cosq > 0
tanq
【答案】A
【分析】根据角q 所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.
【详解】若角q 为第二象限角，则 sinq > 0,cosq < 0, tanq < 0，
此时 sinq tanq < 0,cosq tanq > 0,
sinq
< 0,sinq cosq < 0；
tanq
若角q 为第三象限角，则 sinq < 0,cosq < 0, tanq > 0，
此时 sinq tanq < 0,cosq tanq < 0,
sinq
< 0,sinq cosq > 0；
tanq
sinq
所以当q 为第二或第三象限角时， sinq tanq < 0, < 0 .
tanq
故选：A.
4-2．（北京市海淀区北京大学附属中学行知学院 2023-2024 学年高一下学期期中数学试题）若 sina < 0且
tana > 0，则a 的终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论.
【详解】因为 sina < 0，则a 的终边在第三、四象限或 y 轴负半轴上，
因为 tana > 0，则a 的终边在第一、三象限，
因此，a 的终边所在象限为第三象限.
故选：C.
4-3．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知P sin1,cos 2 ，则点 P 所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解.
【详解】因为 1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，
所以 sin1 > 0,cos 2 < 0，
所以点 P 所在象限为第四象限.
故选：D.
2sinx cosx
4-4．（2024 高一上·广西玉林·期末） +2 2 所有可能取值的集合为 ．1- cos x 1- sin x
【答案】 -3, -1,1,3
2sinx cosx 2sinx cosx
【分析】根据 + = +2 2 sinx cosx ，分四个象限求解.1- cos x 1- sin x
2sinx cosx 2sinx cosx
【详解】解：因为 + = +
1- cos2x 1- sin2x sinx cosx
，
由已知可得角 x 的终边不在坐标轴上，
当角 x 的终边在第一象限，则原式 = 2 +1 = 3，
当角 x 的终边在第二象限，则原式= 2 -1 =1，
当角 x 的终边在第三象限，则原式= -2 -1 = -3，
当角 x 的终边在第四象限，则原式= -2 +1 = -1，
2sinx cosx
故 + 所有可能取值的集合为 -3, -1,1,3 ，
1- cos2x 1- sin2x
故答案为： -3, -1,1,3
sina tana
4-5．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）若 > 0， < 0，则a 是（ ）
tana cos a
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】判断出 cosa 、 sina 的符号，由此可判断出角a 的终边所在的象限.
sina
【详解】由 = cosa 0
tana sina
> ， = < 0，得 cosa > 0， sina < 0，所以a 是第四象限角.
tana cosa cos2a
故选:D.
（三）
公式一的应用
1、公式一可以统一写成 f(k·360°＋α)＝f(α)或 f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式
2、利用它可以把任意角的三角函数值转化为 0 到 2π 角的三角函数值，即可把负角的三角函数
化为 0 到 2π 角的三角函数，亦可以把大于 2π 角的三角函数化为 0 到 2π 角的三角函数，即对
角实现负化正、大化小的转化．
题型 5：公式一的应用
5-1．（2024 高一上·全国·单元测试）代数式 sin(-330°)cos390° 的值为（ ）
3 3 3 1A．－ B． C．－ D．
4 4 4 4
【答案】B
【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】 sin(-330°)cos 390° = sin(-360° + 30°)cos(360° + 30°)
= sin 30°cos30° 1 3 3= = ．
2 2 4
故选：B．
5-2．（2024 高一上·重庆长寿·期末） sin
2023π
=（ ）
4
2 1 1A．- B．- C． D 2．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用诱导公式计算即可.
sin 2023π sin 506π π 【详解】 = - ÷ = sin
π- ÷ = -sin
π 2
= - .
4 è 4 è 4 4 2
故选：A.
5-3．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习） sin -1380o 的值为（ ）
1 1
A．－ B．
2 2
C 3 3．－ D．
2 2
【答案】D
【分析】Q-1380o = -4 360o + 60o ，利用诱导公式一化简即可得解.
sin -1380o = sin -4 360o + 60o
【详解】
= sin 60o 3=
2
故选：D.
5-4．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习） cos -1860° =（ ）
1
A - B 3
1
． ．- C． D 3．2 2 2 2
【答案】C
【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数计算作答.
【详解】 cos -1860° = cos(-10 180 1° - 60°) = cos(-60°) = cos 60° = .
2
故选：C
（四）
三角函数求值
1、求三角函数值的方法
(1)已知 sinθ(或 cosθ)求 tanθ 常用以下方式求解
(2)已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用以下方式求解
当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 θ 分区间(象限)讨论．
题型 6：同角三角函数基本关系的应用
p
6-1．（2024 高一下·四川宜宾·期中）已知 cosa
1
= ，其中a
2
- ,0÷， sina 的值为（2 ）è
A 3
1 3 1
．－ B．－ C． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用平方关系计算 sina 的值，并根据a 角的象限判断符号即可.
p
【详解】因为a - ,0
÷为第四象限角，
è 2
sina 1 3所以 = - 1- cos2 a = - 1- = - .
4 2
故选：A.
1
6-2．（2024 高三上·上海静安·开学考试）设q 为第二象限角，若 tanq = - ，则 sinq + cosq = .
2
5 - 5
【答案】- /
5 5
【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出 sinq , cosq ，求和即可.
【详解】q 为第二象限角，则 sinq > 0， cosq < 0 ，
ì
ì sinq 1= - sinq
5
=
tanq 1 = - cos q 2 5若 ，则有
2 í
，解得 í ，
sin2 q + cos2 q =1 cosq 2 5 = - 5
sinq 5 2 5 5所以 + cosq = - = - .
5 5 5
5
故答案为：- .
5
6-3．（2024 高一下·上海·课后作业）已知 sina
4 - 2m
= ,cosa m - 3= ,a 是第四象限角，则 tana = ．
m + 5 m + 5
12
【答案】-
5
【分析】由 sin2 a + cos2 a =1可求得m ，即可得出所求.
2 2
sin2 a cos2 a 4 - 2m+ = + m - 3 【详解】由 m + 5 ÷ ÷
=1，解得m = 0或 8，
è è m + 5
Q a 是第四象限角，\m = 8，
tana sina 4 - 2m 12\ = = = - .
cosa m - 3 5
12
故答案为：- .
5
6-4．（2024 高一下·云南曲靖·阶段练习）若a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，则cosa = .
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根据 tana = - 3 求出a ，再求 cosa .
【详解】因为a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，
a π所以 = - + 2kπ,k Z ，
3
所以 cos a = cos
π
- + 2kπ
1= .
è 3 ÷ 2
1
故答案为：
2
3
6-5．（2024 高一下·山东济南·阶段练习）若 sina = - ，且a 为第三象限角，则 tana =（ ）5
4 3 4 3
A．- B．- C． D．
3 4 3 4
【答案】D
【分析】由同角三角函数间的基本关系即可求解．
sina 3【详解】∵ = - ，且a 为第三象限角，
5
∴cosa = - 1- sin2a
4
= - ，
5
3
tana = sina
- 3
∴ = 5 = ．
cosa 4- 4
5
故选:D．
6-6．（2024 高一上·广东深圳·期末）已知sinq ， cosq 是关于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的两根，则实数
m = ．
12
【答案】-
25
【分析】利用韦达定理列出关于 m 的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．
ì
sinq + cosq
1
=
5
【详解】由sinq ， cosq 是关于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的两根，所以 ísinq cosq = m ，
Δ =1-100m > 0
2
由 12sinq + cosq 2 =1+2sinq cosq 1 ，可得 ÷ =1+2m，则m = - ，
è 5 25
12
经检验符合题意，所以实数m 的值为- .
25
12
故答案为：-
25
（五）
sinα±cosα，sinαcosα 的应用
1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他
两个，即“知一求二”．
2、sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 θ 的终边落在直线 y＝x 上时，sinθ＝
cosθ，即 sinθ－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x 的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－
cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y＝x 的下半平面区域内时，sinθ所示．同理可得 sinθ＋cosθ 的符号如图②所示．
题型 7：sinα±cosα，sinαcosα 的应用
7-1．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 sina
1
+ cosa = ，求 sina ×cosa 的值．
5
12
【答案】-
25
【分析】对已知等式两边平方化简，再结合 sin2 a + cos2 a =1可求得结果
【详解】因为 sina cosa
1
+ = ，
5
sina cosa 2 1 sin2 a cos2 a 2sina cosa 1两边平方，得 + = ，即 + + × = ．
25 25
1 1 12
将 sin2 a + cos2 a =1代入上式，得 sina ×cosa = 2
-1÷ = - ．
è 25 25
7
7-2．（2024 高一下·四川眉山·阶段练习）已知 sina + cosa = ，a 0, π .
13
(1)求 sina cosa 的值
(2)求 tana
60
【答案】(1) -
169
12
(2) -
5
2
【分析】（1）由 sina + cosa =1+ 2sina cosa 可直接求得结果；
（2）结合角的范围可确定 sina , cosa 的正负，结合（1）的结果可构造方程组求得 sina , cosa ，根据同角三
角函数商数关系可求得结果.
1 Q sina + cosa 2 = sin2 2 49【详解】（ ） a + cos a + 2sina cosa =1+ 2sina cosa = ，
169
sina cosa 60\ = - .
169
（2）Qa 0, π ，\sina > 0，又 sina cosa < 0 ，\cosa < 0；
ìsina cosa 7 ìsina 5 ìsina 12 + = = - = 13 13 13
由 í 得： í （舍）或 í ，
sina cosa 60= - cosa 12 5= cosa = -
169 13 13
\ tana sina 12= = - .
cosa 5
1
7-3．（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知 sinq + cosq = ，q 0, π ，求下列各式的值：
2
(1) sinq - cosq ；
tanq 1(2) - ．
tanq
【答案】(1) sinq - cosq 7= ；
2
(2) 2 7- .
3
3
【分析】（1）利用同角关系式可得 sinq cosq = - ，然后结合条件即得；
8
1 sinq + cosq sinq - cosq
（2
）根据同角关系式可得 tanq - = ，进而即得.
tanq sinq cosq
1 ∵ sinq cosq 2 1 2sinq cosq 1
2
【详解】（ ） + = + = 2 ÷
，
è
∴ sinq cosq
3
= - ，又∵q 0, π ，
8
∴ sinq > 0，又 sinq cosq
3
= - < 0，
8
∴ cosq < 0 ， sin θ - cosθ > 0，
∵ sinq -cosq 2 =1- 2sinq cosq =1- 2 3 7 - ÷ = ，
è 8 4
∴ sinq cosq 7- = ；
2
1 sinq cosq sin2 q -cos2 q sinq +cosq sinq -cosq
（2）∵ tanq - = - = = ，
tanq cosq sinq sinq cosq sinq cosq
1 7
∴ tanq 1 2 2 2 7- = = - ．
tanq 3- 3
8
1
7-4．（2024 高一下·贵州遵义·期中）已知a 为第四象限角，且 sina + cosa = ，则 sina - cosa = .
3
17 1
【答案】- / - 17
3 3
【分析】判断出 sina - cosa 的符号，结合 sina + cosa 2 + sina - cosa 2 = 2可求得 sina - cosa 的值.
【详解】因为a 为第四象限角，则 sina < 0， cosa > 0，则 sina - cosa < 0，
sina + cosa 2 + sina - cosa 2 = 2 sin2 2因为 a + cos a = 2 ，
将 sina + cosa
1
= 代入上式可得 sina - cosa 2 17= ，
3 9
因此， sina - cosa 17= - .
3
17
故答案为：- .
3
π 17
7-5．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知a 0, ÷ ，且 sina + cosa = 则 tana 的值为（4 ）è 13
12 12 5 5
A． B．- C． D．-
5 5 12 12
【答案】C
【分析】由 sina + cosa
17
= 两边平方得到 2sinacosa
120
= ，进而得到 sina - cosa
7
= - ，联立求出
13 169 13
sina 5= ,cosa 12= ，得到答案.
13 13
sina cosa 17 sin2a cos2a 2sinacosa 289【详解】由 + = ，两边平方得 + + = ，
13 169
因为 sin2a + cos2a =1，所以 2sinacosa
120
= ，
169
(sina - cosa )2又 = sin2a + cos2a
120 49
- 2sinacosa =1- = ，
169 169
a 0, π 7又因为 ÷ ，所以 sina < cosa ， sina - cosa < 0，得 sina - cosa = - ，
è 4 13
联立 sina cosa
7 sina cosa 17- = - 与 + = ，
13 13
求得 sina
5
= ,cosa 12 sina 5= ，故 tana = =
13 13 cosa 12
故选：C
（六）
齐次式求值
1 tana m a sina + bcosa a sin
2 a + bsina cosa + c cos2 a
、已知 = ，可以求 或 的值，将分子分母
c sina + d cosa d sin2 a + esina cosa + f cos2 a
同除以 cosa 或 cos2 a ，化成关于 tana 的式子，从而达到求值的目的.
2、对于 a sin2 a + bsina cosa + c cos2 a 的求值，可看成分母是 1，利用1 = sin2 a + cos2 a 进行代
替后分子分母同时除以 cos2 a ,得到关于 tana 的式子，从而可以求值.
3、不是已知 tana 的情况，可以先利用同角三角函数的基本关系式求得 tana 的值，然后利用
齐次式的方法求解.
4、齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.
题型 8：利用齐次式化简或求值
sina + 3cosa
8-1．（2024 高一下·四川达州·期中）已知 = 5
3cosa - sina
(1)求 tana 的值；
(2)求 sin2 a - sina cosa 的值．
【答案】(1) tana = 2
2
(2)
5
【分析】（1）将条件等式变形，用正切表示，求得 tana 的值；
（2）首先利用 sin2 a + cos2 a =1，将原式写成齐次分式的形式，再利用正切表示，即可化简求值.
sina + 3cosa 5 tana + 3【详解】（1）由 = ，得 = 5，即 tana = 2 ．
3cosa - sina 3 - tana
（2）因为 sin2 a + cos2 a =1，
sin2 a sina cosa sin
2 a -sina cosa
所以 - =
sin2 a +cos2 a
tan2 a - tana 4 - 2 2
=
tan2
= = .
a +1 4 +1 5
tana
8-2．（2024 高一下·四川自贡·期中）已知 =2 ，求下列各式的值.
tana -1
2sina - 3cosa
(1) ；
4sina - 9cosa
(2) 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a .
【答案】(1) -1
(2)1
【分析】（1）先求得 tana ，将要求的表达式转化只含 tana 的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“1”的代换的方法求得表达式的值.
tana
【详解】（1）由于 =2 ，所以 tana = 2 tana - 2, tana =2，
tana -1
2sina - 3cosa = 2 tana - 3 = 4 - 3所以 = -1 .
4sina - 9cosa 4 tana - 9 8 - 9
（2） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
= 4sin
2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
sin2 a + cos2 a
= 4 tan
2 a - 3tana - 5
2 =
16 - 6 - 5 =1 .
tan a +1 4 +1
sina + cosa
8-3．（2024 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 = 2，则 sina cosa 的值为 .
sina - cosa
3
【答案】 / 0.3
10
【分析】去分母，然后两边平方化简可得.
sina + cosa
【详解】由 = 2得 sina + cosa = 2 sina - cosa ，
sina - cosa
两边平方得1+ 2sina cosa = 4 1- 2sina cosa ，
整理得 sina cosa
3
= .
10
3
故答案为：
10
8-4．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 tana = 2 ，则
2sina - 3cosa
（1） = ；
4sina - 9cosa
2 2sin
2 a - 3cos2 a
（ ） 2 2 = ；4sin a - 9cos a
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a = ．
5
【答案】 -1 1
7
【分析】（1）分子分母同时除以 cosa ，将所求式子转化为只含 tana 的形式，由此求得正确答案.
（2）分子分母同时除以 cos2 a ，将所求式子转化为只含 tan2 a 的形式，由此求得正确答案.
（3）先除以“1”，也即除以 sin2 a + cos2 a ，再分子分母同时除以 cos2 a ，将所求式子转化为只含 tana 的形
式，由此求得正确答案.
【详解】（1）分子分母同时除以 cosa 得：
2sina - 3cosa 2 tana - 3 2 2 - 3
= = = -1.
4sina - 9cosa 4 tana - 9 4 2 - 9
（2）分子分母同时除以 cos2 a 得：
2sin2 a - 3cos2 a 2 tan2 a - 3 2 4 - 3 5
2 = = = ．4sin a - 9cos2 a 4 tan2 a - 9 4 4 - 9 7
2 2
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a 4sin a - 3sina cosa - 5cos a=
1
4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
=
sin2 a + cos2 a
4 tan2= a - 3tana - 5 4 4 - 3 2 - 52 = = 1 .tan a +1 4 +1
5
故答案为：-1； ；1
7
（七）
利用同角三角函数关系式化简与证明
1、三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造 sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次
数，达到化简的目的．
2、证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异．
a c d c
(4)变更命题法，如要证明 ＝ ，可证 ad＝bc，或证 ＝ 等．
b d b a
左边
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”．
右边
题型 9：三角函数式的化简
1- 2sin130°cos130°
9-1．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）化简 ；
sin130° + 1- sin2 130°
2 1- cosa 1+ cosa（ ）化简 + ，其中a 是第三象限角．
1+ cosa 1- cosa
2
【答案】（1）1；（2）- ．
sin α
【分析】（1）根据角所在象限确定三角函数的符号，化简表达式，求出最简结果．
（2）利用平方关系，以及三角函数在象限的符号，去掉根号和绝对值符号，化简即可．
sin130° - cos130°
【详解】（1）原式= sin130° + cos130 ，°
∵ sin130° > 0 ， cos130° < 0
sin130° - cos130°
∴原式 = = 1 ;sin130° - cos130°
1- cosa 1+ cosa 1- cosa 2 1+ cosa 2 1- cosa 1+ cosa
（2） + = + = +
1+ cosa 1- cosa 1- cos2 a 1- cos2 a sina sina
由题可得 sina < 0，1- cosa > 0，1+ cosa > 0，
1- cosa 1+ cosa 2
∴原式= + = - ．
-sina -sina sina
3
9-2 2024 · · π < a < π 1- cosa 1+ cosa．（ 高一 全国 课后作业）若 ，化简： + ．
2 1+ cosa 1- cosa
2
【答案】-
sin α
π a 3【分析】由 < < π 可得出 sina < 0，且-1 < cosa < 0，再利用同角三角函数的平方关系可化简所求代数
2
式.
3
【详解】解：因为 π < a < π ，则 sina < 0，且-1 < cosa < 0，
2
1- cosa 2 1+ cosa 2 1- cosa 1+ cosa cosa -1 1+ cosa
原式= + = + = -
1- cos2 a 1- cos2 a sina sina sina sina
2
= - ．
sina
9-3．（2024 高一·全国·课堂例题）化简：
2
(1) sin2 a tana cos a+ + 2sina cosa ；
tana
(2) 1+ cosa 1- cosa+ 180° < a < 270° ．
1- cosa 1+ cosa
1
【答案】(1)
sina cosa
2
(2) -
sin α
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.
（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.
2
【详解】（1）原式= sin a
sina cos2 a cosa× + × + 2sina cosa
cosa sina
sin4 a + cos4 a + 2sin2 a cos2 a
=
cosa sina
2sin2 a + cos2 a 1
= = ．
sina cosa sina cosa
（2）因为180° < a < 270°，所以 sina < 0．
(1+ cosa )2 (1- cosa )2 1+ cosa 1- cosa 2 2
原式= + = + = = - ．
1- cos2 a 1- cos2 a | sina | | sina | | sina | sina
题型 10：证明三角恒等式
10-1．（2024 高一·江苏·课后作业）求证：
1 tan2 a 1（1） + =
cos2
；
a
（2） sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a ；
（3） tan2 a sin2 a = tan2 a - sin2 a .
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解；
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明.
（2）利用平方关系即可证明.
（3）利用同角三角函数的商的关系即可证明.
2
1 1 tan2 a 1 sin a cos
2 a + sin2 a 1
【详解】（ ） + = + 2 = 2 = 2 ，即证.cos a cos a cos a
2 sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a sin2 a + cos2 a = sin2（ ） a - cos2 a ，即证.
2
3 sin a（ ）右边= tan2 a - sin2 a = 2 - sin
2 a
cos a
1 2 2= sin2 a 2 -1÷ = sin
2 a 1- cos a× = sin2 a sin a× = sin22 a × tan
2 a = 左边，即证.
è cos a cos a cos2 a
10-2．（2024 高一·全国·课后作业）求证：
1- 2sin x cos x 1- tan x
(1) =
cos2 x - sin x2 1+ tan x
(2) tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
cos x - sin x 2 cos x - sin x 1- tan x
【详解】（1）左边= = = =右边.
cos x - sin x cos x + sin x cos x + sin x 1+ tan x
1- 2sin x cos x 1- tan x
即证
cos2 x - sin x2
= .
1+ tan x
sin2 2（2）左边 a sin2 a sin a - sin
2 cos2 sin2a a a 1- cos2 a
=
cos2
- =
a cos2
=
a cos2 a
= tan2 a sin2 a =右边.
即证： tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a .
10-3．（2024 高一·全国·专题练习）求证：
sina - cosa +1 1+ sina
(1) ＝ ；
sina + cosa -1 cosa
(2) 2 sin6 q + cos6 q - 3 sin4 q + cos4 q +1 = 0
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
sina - cosa +1 sina + cosa +1
【分析】（1）将左边化为 sina cosa 1 sina cosa 1 ，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明；+ - + +
（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.
sina - cosa +1 sina + cosa +1 sina +1 2 - cos2 a
【详解】（1）左边= = sina + cosa -1 sina + cosa +1 sina + cosa 2 -1
sin2 a + 2sina +1- cos2 a 2sin2 a + 2sina sina +1
= = = =右边.
2sina cosa 2sina cosa cosa
2 = 2 sin2 q + cos2 2（ ）左边 q sin4 q + cos4 q - sin2 q cos2 q - 3éê sin2 q + cos2 q - 2sin2 q cos2 q ù +1 ú
= 2 sin4 q + cos4 q - sin2 q cos2 q - 3é1- 2sin2 q cos2 q ù +1
= 2 é 2 2
2
ê sin q + cos q - 3sin2 q cos2 q ùú - 3 é1- 2sin2 q cos2 q ù +1
= 2 é1- 3sin
2 q cos2 q ù - 3é 1- 2sin
2 q cos2 q ù +1 = 0 =右边.
一、单选题
1．（2024 高一下·四川达州·期中）已知 tana
3 sina + cosa
= ，则 = （
sin cos ）2 a - a
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的关系化简计算
tana 3【详解】因为 = ，
2
3
sina + cosa tana +1 +1
所以 = = 2 = 5，
sina - cosa tana -1 3 -1
2
故选：D
sin x | cos x |
2．（2024 高一上·全国·课后作业）当 x 为第二象限角时， - =sin x cos x （ ）
A．1 B．0
C．2 D．－2
【答案】C
【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.
【详解】因为 x 是第二象限角，
sin x | cos x | sin x cos x
所以 - = - =1+1 = 2sin x cos x sin x -cos x ，
故选：C
π
3．（2024 高二上·甘肃定西· 5开学考试）已知 sin b = - ，- < b < 0，则 cos b =（ ）
5 2
A 5 B 2 5 C 2 5 2 5． ．± ．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】由已知，利用同角公式计算得解.
π
【详解】由- < b < 0，得 cos b > 0 5，而
2 sin b = -
，
5
所以 cos b = 12 - ( 5 2 5- )2 = .
5 5
故选：D
3 1
4．（2024 高一下·北京·期中）已知角 θ 的终边经过点P , -2 2 ÷，则
cosq 等于（ ）
è
1
A．- B 3 C 3． ．- 3 D．2 2 3
【答案】B
【分析】注意到 P 在单位圆上，根据三角函数的定义即可求解.
2
3 1 2
【详解】 ÷÷ + - ÷ =1，故 P 在单位圆上，根据三角函数值的定义， P 的横坐标的值即为 cosq ，故
è 2 è 2
cosq 3= .
2
故选：B
1
5．（2024 高一上·广东广州·期末）已知 sina + cosa = ，且a 0, π ，则 sina - cosa 的值为（ ）
3
1
A 17 17 17 17．- B．- C． D． 或-
3 3 3 3 3
【答案】C
4
【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得 sina cosa = - ，根据a 0, π 即可求得结果.
9
sina cosa 1 sin2 a cos2 a 2sina cosa 1【详解】将 + = 两边同时平方可得， + + = ，
3 9
可得 sina cosa
4
= - ；
9
又a 0, π ，所以 sina > 0,cosa < 0；
易知 sina - cosa 2 = sin2 a + cos2 a 2sina cosa 17- = ，可得
9 sina - cosa
17
= ± ；
3
又 sina > 0,cosa < 0 ,所以 sina - cosa 17= .
3
故选：C
2sina - cosa
6．（2024 高一下·西藏拉萨·期末）已知 tana = 2 ，则 = （ ）
2cosa + 3sina
1 1 3 1
A． B． C D
3 4
． ．
8 2
【答案】C
【分析】进行弦化切，代入求解.
【详解】因为 tana = 2 ，所以 cosa 0 .
sina cosa
2sina - cosa 2 -cosa cosa 2tana -1 2 2 -1 3
所以 = = = = .
2cosa + 3sina 2 cosa 3 sina+ 2 + 3tana 2 + 3 2 8
cosa cosa
故选：C.
cosq - 2sinq
7．（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知 tanq = 2，则 = （ ）
cosq + sin q
5 1
A．0 B．- C．-1 D．
3 3
【答案】C
【分析】分子分母同时除以 cosq 进行弦切互化即可求解.
【详解】由题知， tanq = 2，
cosq 2sinq
cosq - 2sinq -
= cosq cosq 1- 2 tanq则
cosq + sinq cosq sinq
=
+ 1+ tanq
cosq cosq
1- 2 2 -3
= = = -1.
1+ 2 3
故选：C.
8．（2024·青海西宁·二模）已知 sina + cosa = 3cosa tana ，则 cos2 a tana -1 =（ ）
A．-
3 4 2 1
B．- C．- D．-
5 5 3 3
【答案】A
1 2 2
【分析】根据题意可得 tana = ，根据齐次式法可得 cos a tana = ，即可得结果.
2 5
1
【详解】因为 sina + cosa = 3cosa tana = 3sina ，可得 tana = ，
2
1
cos2 a tana cosa sina sina cosa tana 2可得 = = = 2
sin2 a + cos2 a tan2
=
a +1 1
= ，
+1 5
4
cos2所以 a tana
2
-1 = -1 3= - .
5 5
故选：A.
1 sina + 2cosa
9．（2024 高二上·广西·开学考试）已知 tana = - ，则 的值为（ ）
3 5cosa - sina
5 5
A．-1 B．1 C． D．
16 4
【答案】C
【分析】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入 tana 即可得解.
1
【详解】因为 tana = - ，
3
1 5
sina + 2cosa tana + 2 - + 23 3 5
所以 = = = = .
5cosa - sina 5 - tana 5 - ( 1 16- ) 16
3 3
故选：C.
3 π
10．（2024 高一下·云南·期末）已知 sina = ，a 0, ÷ ，则cosa =（2 ）5 è
3
A． B．-
3 4 4
C． D．-
5 5 5 5
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数的平方关系，即可求得答案.
sina 3= a 0,
π
【详解】因为 ，
5 2 ÷
，
è
故 cosa = 1- sin2 a 3= 1- ( )2 4= ，
5 5
故选：C
11．（2024 高一下·广西河池·阶段练习）已知点P cosq ,- tanq 是第三象限的点，则q 的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由三角函数在各个象限的符号即可求解.
【详解】∵点P cosq ,- tanq 是第三象限的点，∴ cosq < 0 ， tanq > 0，
由 cosq < 0 可得，q 的终边位于第二象限或第三象限或 x 轴的非正半轴；
由 tanq > 0可得，q 的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述，q 的终边位于第三象限．
故选:C
12．（2024 高一下·全国·课后作业）求 1- 2sin5cos5 =（ ）
A． sin5 - cos5 B．-sin5 - cos5
C． cos5 - sin5 D． sin5 + cos5
【答案】C
【分析】应用平方关系化简 1- 2sin5cos5 sin5 cos5
3π
= - ，结合 < 5
7π
< 在第四象限,去绝对值符号即可.
2 4
【详解】由 1- 2sin5cos5 = sin25 - 2sin5cos5 + cos25 = (sin5 - cos5)2 = sin5 - cos5 ，
3π 5 7π又 < < ，则 cos5 > 0 > sin5，
2 4
所以 1- 2sin5cos5 = cos5 - sin5 .
故选：C
13．（2024 高一·全国·课堂例题）已知a (0, π) ，且3 1- 2sin2 a -8cosa = 5，则 sina =（ ）
A 5
2 1
． B 5． C． D．
3 3 3 9
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系式先求得 cosa ，进而求得 sina .
【详解】依题意，3 1- 2sin2 a -8cosa = 5，
3é1- 2 1- cos2 a ù - 8cosa = 5，
整理得3cos2 a - 4cosa - 4 = 0，
解得 cos
2
a = 2（舍去）或 cosa = - ．
3
∵a (0, π) ， sina = 1- cos2 a 5= ．
3
故选：A
2
14．（2024 高三上·天津静海·阶段练习）若a 0, π ， 2sina + cosa = ，则 tana =（ ）
5
- 3 4 3 1A． B．- C．- D．-
5 5 4 4
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得 sina ，进而得到 cosa ，由同角三角函数商
数关系可求得结果.
【详解】由 2sina + cosa
2
= 得： cosa
2
= - 2sina ，
5 5
2
\sin2 a + cos2 a = sin2 a 2+ - 2sina
÷ = 5sin
2 a 8 4- sina + =1，
è 5 5 25
解得： sina
3
= 或 sina
7
= - ，
5 25
又a 0, π 3 2 6 4，\sina > 0，即 sina = ，\cosa = - = - ，
5 5 5 5
3
\ tana sina 3= = 5 = - .
cosa 4- 4
5
故选：C.
15．（2024 高一下·四川达州·阶段练习）若角a 的终边经过点 (-3,4)，则cosa =（ ）
4 4 3 3
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求值即可.
【详解】设 P(-3,4)，则点 P 到原点的距离为 (-3)2 + 42 = 5，
cosa -3 3则 = = - .
5 5
故选：D.
4
16．（2024 高一下·四川遂宁·阶段练习）若 tanq = ，q 0, π ，则 cosq3 的值为（ ）
3
A． B．-
3 4 4
C． D．-
5 5 5 5
【答案】A
【分析】利用商关系和平方关系建立方程组可得答案.
4 sinq 4
【详解】因为 tanq = =3 ，所以 ；cosq 3
2 2 16 3因为 sin q + cos q =1，所以 cos2 q + cos2 q =1，解得 cosq = ± ；
9 5
π 3
因为 tanq
4
= > 0,q 0, π ，所以q 3 0, ÷ ，所以 cosq = .è 2 5
故选：A.
17．（2024 高一上·福建泉州·期末）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若a 的终边
4
与圆心在原点的单位圆交于 A ,m5 ÷，且
a 为第四象限角，则 sina =（ ）
è
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】根据象限得出m 的范围，再根据单位圆的性质得出m 的值，即可根据三角函数定义得出答案.
4
【详解】Q A , m 在单位圆上，
è 5 ÷
4
2
2 3\ ÷ + m =1，解得m = ± ，
è 5 5
Q a 为第四象限角，
3
\m < 0，则m = - ，
5
3
\sina = - ，
5
故选：B.
1
18．（2024 高一·全国·课堂例题）已知a 是第二象限角，且 cosa = - ，则 tana 的值是（
3 ）
1
A 2 2． B．- C． D．3 -2 23 4
【答案】D
【分析】方法一由三角函数的基本关系式求解；方法二利用三角函数的定义求解.
【详解】解：方法一 ∵a 为第二象限角，
2
∴ sina = 1- cos2 a 1 2 2= 1- - 3 ÷
= ，
è 3
2 2
∴ tana sina= = 3 = -2 2 ．
cosa 1-
3
方法二 ∵ cosa
1
= - ，
3
∴角a 终边上一点 P 的坐标为 -1,2 2 ，
则 tana 2 2= = -2 2 ．
-1
故选：D
19．（2024 高一上·北京通州·期末）已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限
P 5
且与单位圆交于点 - ,m5 ÷÷
，则 sina = （ ）
è
A 5 B 5．- ． C 2 5 D 2 5．- ．
5 5 5 5
【答案】C
5
【分析】因为点P - ,m÷÷在单位圆上，且终边在第三象限确定m 唯一，根据三角函数求解.
è 5
5
2
5 1 4
【详解】QP - ,m÷÷ 在单位圆上即 - ÷
2 2
÷ + m =1\m =1- = \m
2 5
= ±
è 5 è 5 5 5 5
2 5 5 2 5
终边在第三象限所以m < 0，m = - ，所以P - ,-
5 è 5 5
÷
所以 sina 2 5= m = - .
5
故选：C
1
20．（2024 高一下·江西上饶·期末）已知 sina + cosa 3 5= ，则 tana + =（ ）
5 tana
2 5 4 5
A．- B． C．- D．
5 2 5 4
【答案】B
【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．
【详解】因为 sina 3 5+ cosa = ，
5
sin2a + 2sina cosa + cos2平方得 a
9
= ，又 sin2 a + cos2 a =1
5
故 sina cosa
2
= ，
5
tana 1 sina cosa sin
2 a + cos2 a 1 5
则 + = + = = = ．
tana cosa sina sina cosa sina cosa 2
故选：B.
21．（2024 · · 1- cosa 1+ cosa 2高三上 宁夏银川 阶段练习）若 + = - ，则 α 不可能是（ ）
1+ cosa 1- cosa sina
5π 10π 15π 20π
A．- B． C． D．
11 11 11 11
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.
1- cosa 1+ cosa (1- cosa )2 (1+ cosa )2 1- cosa 1+ cosa 2
【详解】显然 + = +
1+ cosa 1- cosa 1- cos2 a 1- cos2
= + = ，
a sina sina | sina |
2 2
因此 = -sina sina ，从而 sina < 0，
5π
对于 A，因为- 为第四象限角，所以 sina < 0，A 可能；
11
10π
对于 B，因为 为第二象限角，所以 sina > 0，B 不可能；
11
15π
对于 C ，因为 为第三象限角，所以 sina < 0，C 可能；
11
20π
对于 D，因为 为第四象限角，所以 sina < 0，D 可能.
11
故选：B
二、多选题
22．（2024 高一下·贵州遵义·阶段练习）已知 tanq = -4，则下列结果正确的是（ ）
A sin2 q
16
= B cos2． ． q - sin2 q
15
= -
17 17
C．3sinq cosq
12 6
= - D cos2． q =
17 17
【答案】ABC
【分析】结合 sin2 q + cos2 q =1，利用齐次式的处理方法求解.
2 2
【详解】 sin2 q sin q tan q 16= 2 2 = = ，故 A 正确；sin q + cos q tan2 q +1 17
2 2 2
cos2 q - sin2 q cos q - sin q 1- tan q 15= 2 2 = = - ，故 B 正确；sin q + cos q tan2 q +1 17
3sinq cosq 3sinq cosq 3tanq 12=
sin2 q + cos2
= 2 = - ，故 C 正确；q tan q +1 17
cos2 q cos
2 q 1 1
= 2 2 = 2 = ，故 D 错误.sin q + cos q tan q +1 17
故选：ABC.
1
23．（2024 高一上·山东济南·期末）已知a 0, π ，且 sina + cosa = ，则（
5 ）
p
A． < a < p B． sina cosa
12
= -
2 25
C． cosa
7
- sina = D． cosa - sina
7
= -
5 5
【答案】ABD
【分析】AB 选项， sina cosa
1 12
+ = 两边平方得到 sina cosa = - ，再结合a 0, π 得到 sina > 0，
5 25
cosa < 0，得到 AB 正确；先求出 cosa - sina 的平方，结合角的范围求出 cosa - sina 的值.
1
【详解】AB 选项， sina + cosa = 两边平方得， sin2 a + cos2 a + 2sina cosa
1
= ，
5 25
即1+ 2sina cosa
1
= ，所以 sina cosa
12
= - ，B 正确，
25 25
p
因为a 0, π ，所以 sina > 0，故 cosa < 0，所以 < a < p，A 正确；
2
CD 选项， cosa - sina 2 = sin2 a + cos2 a 2sina cosa 1 24 49- = + = ，
25 25
因为 sina > 0， cosa < 0，所以 cosa - sina < 0，
故 cosa sina
7
- = - ，C 错误，D 正确.
5
故选：ABD
24．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 sina = m，则 cosa = 1- m2
B．若 sina = m，则 cosa = ± 1- m2
1
C．若 tana = m，则 cosa =
1+ m2
sina mD．若 tana = m，则 = ±
1+ m2
【答案】BD
【分析】根据同角三角函数平方关系和商数关系直接求解即可.
【详解】对于 AB，当 sina = m时， cos2 a =1- sin2 a =1- m2 ，\cosa = ± 1- m2 ，A 错误，B 正确；
ì
tana
sina
= = m cosa 1 sina m对于 CD，由 í cosa 得： = ± = ±2 ， 2 ，C 错误，D 正确.
sin2 a + cos2 a =1 1+ m 1+ m
故选：BD.
4 - 2m m - 3 π
25．（2024 高一上·河南周口·期末）已知 cosθ = ， tanq = ，且q , π4 2m ÷，下面选项正确的是m +5 - è 2
（ ）
A．m = 8 B．m = 0或m = 8
C sinq > cosq D sin2． ． q + 2sinq cosq 95= -169
【答案】ACD
q π , π 【分析】根据同角的基本关系和 ÷可求出m 的值，进而求出 sinq , cosq 的值，然后就可以验证 C，D
è 2
选项.
cosθ 4 - 2m【详解】由 = tanq
m - 3 sinq cosq tanq m - 3， = = =
m +5 4 - 2m
，可得 m + 5 ，
Qsin2 q + cos2 q =1，
m - 3
2
4 - 2m
2
\ m + 5 ÷
+ ÷ =1，
è è m + 5
解得m = 0或m = 8 .
Qsinq > 0 ， cosq < 0
4 - 2m
，经检验，当m = 0时， cosq = > 0m 5 ，不合题意，+
\m = 8，
5 12
此时 sinq = ， cosq = - 2， sin q + 2sinq cosq
95
= - .
13 13 169
故 A 项正确，B 项错误，CD 项正确.
故选：ACD.
三、填空题
26．（2024 高一下·广西钦州·期中）若点 P(-3,4)在角a 的终边上，则 sina = .
4
【答案】 /0.8
5
【分析】根据三角函数定义可得三角函数值.
【详解】点 P(-3,4)在角a 的终边上，
所以 sina
4 4
= =
.-3 2 + 42 5
4
故答案为： .
5
27．（2024 5高一下·辽宁大连·阶段练习）已知 sina - cosa = ，则 tana = .
5
1
【答案】2 或
2
【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系求解即可.
5 2 2 1
【详解】由 sina - cosa = 两边平方得 sin a - 2sina cosa + cos a =1- 2sina cosa = ，
5 5
解得 sina cosa
2
= ，
5
sina cosa tana 2
所以 2 2 = 2 = ，即sin cos tan 1 5 2 tan
2 a - 5 tana + 2 = 0，
a + a a +
1
解得 tana = 2 或 ，
2
1
故答案为：2 或
2
1
28．（2024 高一·全国·专题练习）若 cos x - sin x = ，则 3 3 .
3 cos x - sin x =
13
【答案】
27
【分析】由 cos x - sin x
1
= 求出 sin x cos x ，再由立方差公式求解
3 cos
3 x - sin3 x的值.
【详解】 cos x - sin x
1 1
= ，两边平方得1- 2sin x cos x = ，
3 9
∴ sin x cos x
4
= ，
9
cos3则 x - sin x3 = (cos x - sin x) × (cos2 x + sin x cos x + sin2 x)
1 4 13
= × 1+ ÷ = ． 3 è 9 27
13
故答案为： ．
27
4 sinq - cosq
29．（2024 高三上·江西南昌·阶段练习）若 tanq = ，则 =3 .sinq + cosq
1
【答案】
7
4
【分析】分式上下同除以 cosq ，化弦为切，代入 tanq = 求值即可.3
【详解】Q tanq
4
=
3 ，
sinq
sinq - cosq -1
4
cosq tanq -1
-1
\ = = = 3 1= .
sinq + cosq sinq 1 tanq +1 4+ +1 7
cosq 3
1
故答案为： .
7
2sina - 3cosa
30．（2024 高一上·全国·课后作业）若 = -1，则 tana = .
4sina - 9cosa
【答案】 2
【分析】分子分母同除 cosa 即可构造关于 tana 的方程.
Q 2sina - 3cosa 2 tana - 3【详解】 = = -1，\2 tana - 3 = -4 tana + 9，解得： tana = 2 .
4sina - 9cosa 4 tana - 9
故答案为： 2 .
31．（2024 高一下·上海杨浦·期中）若 sina 及 cosa 是关于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的两个实根，则实数 k
的值为
1
【答案】 4
3k
【分析】根据韦达定理得到 sina + cosa = 2k ， sina cosa = - 结合 sin2 a + cos2 a =1列出关于 k 的方程，
2
由判别式 ≥ 0即可求解.
【详解】因为 sina 及 cosa 是关于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的两个实根，
则 sina
-4k
+ cosa = - = 2k ， sina cosa
3k
= - ，
2 2
因为 sina + cosa 2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa 且 sin2 a + cos2 a =1，
4k 2所以 =1+ 2
3
- k ÷，即 4k 22 + 3k -1 = 0
，
è
1
解得： k = -1或 k = 4 ，
因为方程2x2 - 4kx - 3k = 0有两个实根，
所以D =16k 2 -8 -3k 0 3，解得： k - 或 k 0，
2
k 1所以 = 4 ，
1
故答案为： .4
1
32．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）若角 A 是三角形 ABC 的一个内角，且 sin A ×cos A = ，则
3
sin A + cos A = .
1
【答案】 é 11.8 12
2 + 11.7 12 2 + + 11.9 12 2 ù 1 / 1520 3
【分析】由已知条件可判断角A 为锐角，然后利用同角三角函数的关系结合完全平方公式可求得结果.
1
【详解】因为角 A 是三角形 ABC 的一个内角，且 sin A ×cos A = > 0，
3
所以角A 为锐角，
所以 sin A + cos A = sin A + cos A 2
= sin2 A + cos2 A + 2sin Acos A
1 2 1 15= + = ，
3 3
15
故答案为：
3
3π
33．（2024 3高一下·上海嘉定·期中）已知 cosa = - ，且 π < a < ，则 tana = ；
3 2
【答案】 2
【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出 sina ，然后求得 tana .
3 3π
【详解】因为 cosa = - ，且 π < a < 6，所以2 sina = - 1- cos
2 a = - ，
3 3
tana sina则 = = 2 .
cosa
故答案为： 2 .
34．（2024 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知a 为第二象限角， sina + cosa
1
= - ，则 sina - cosa = ．
2
7 1
【答案】 / 7
2 2
【分析】根据a 是第二象限角和三角函数值的符号，判断出 sina 、cosa 的符号，由条件和同角三角函数
基本关系求出 sina - cosa 的值.
1
【详解】因为a 是第二象限角，所以 cosa < 0， sina > 0，又 sina + cosa = - ，
2
所以 sina + cosa 2 1= ，即 sin2a + 2sinacosa 1 3+ cos2a = ，得 2sinacosa = - ，
4 4 4
所以 sina - cosa = sina - cosa 2 = 1- 2sinacosa 1 3 7= + = ．
4 2
7
故答案为： .
2
35．（2024 高一上·全国·课后作业）点P(tan2022o, cos2022o )位于第 象限．
【答案】四
【分析】根据象限角可得三角函数值的正负，即可求解.
【详解】 2022o = 5 360o + 222o，
∴ 2022o 是第三象限角，
则 tan 2022o > 0，cos 2022o < 0 .
则点P(tan2022o, cos2022o )位于第四象限．
故答案为：四
1
36．（2024 高二下·新疆·学业考试）若 sina = ，且a 为第二象限角，则 cosa = ．
2
3 1
【答案】- / - 3
2 2
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算即可求解.
1
【详解】因为 sina = ，且a 为第二象限角，
2
所以 cosa = - 1- sin2 a 1 1 3= - - = - .
4 2
3
故答案为：-
2
sina 2m - 537．（2024 高三上·江苏扬州·开学考试）已知 = ， cosa
m
= - ，且a 为第二象限角，则
m +1 m +1
tana = .
3
【答案】- / -0.75
4
【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得m 范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得m 的
值，由此可得 sina , cosa ，根据同角三角函数商数关系可求得结果.
ì
sina
2m - 5
= > 0
Q a \ m +1 5【详解】 为第二象限角， í ，解得：m < -1或m > ；
cosa m= - < 0 2
m +1
2m - 5 2 + m2
Qsin2 a + cos2 a = 2 =1，即 2m - 5
2 + m2 = m +1 2 ，
m +1
\2m2
3
-11m +12 = 0，解得：m = （舍）或m = 4 ，2
sina 3 4 sina 3\ = ， cosa = - ，\ tana = = - .
5 5 cosa 4
3
故答案为：- .
4
4
38．（2024 高一下·新疆和田·阶段练习）已知q 是第四象限角，且 cosq = ，那么 tanθ 的值为 .
5
3
【答案】- / -0.75
4
【分析】根据同角三角函数的关系式，结合象限角的性质，可得答案.
2 3
【详解】由q 是第四象限角，则 sinq = - 1- cos q = - ， tanq
sinq 3
= = - .
5 cosq 4
3
故答案为：- .
4
cos x 1 1+ sin x
39．（2024 高三上·广东广州·开学考试）设 = - ，则 = ．
sin x -1 3 cos x
1
【答案】
3
【分析】根据同角三角函数的平方关系化简可得出所求代数式的值.
cos x 1
【详解】因为 = - ，显然 sin x 1，
sin x -1 3
1+ sin x 1+ sin x 1- sin x 1- sin2 x cos2 x
则 = = =cos x cos x 1- sin x cos x 1- sin x cos x 1- sin x
cos x cos x 1
= = - = .
1- sin x sin x -1 3
1
故答案为： .
3
40．（2024 高三上·山东·开学考试）已知 cosa 0，3sin 2a - cos 2a =1，则 tan 2a = .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：
ìsin2 2a + cos2 2a =1
í sin2 2a + 3sin 2a -1 2 =1 10sin2 2a - 6sin 2a = 0，
3sin 2a - cos 2a =1
当 sin 2a = 0,cos 2a = -1
1+ cos 2a
，此时 cosa = = 0，不合题意；
2
sin 2a 3 ,cos 2a 4当 = = ，符合题意；
5 5
所以 tan 2a
sin 2a 3
= = .
cos 2a 4
3
故答案为：
4
sina + cosa
41．（2024 高一下·辽宁丹东·期末）已知 = 2，且a 是第三象限的角，则
sina - cosa
1+ sina 1- sina
- = ．
1- sina 1+ sina
【答案】-6
【分析】根据题意结合同角三角关系分析运算，注意三角函数值符号判断.
sina + cosa 2 tana +1【详解】因为 = ，则 = 2，解得 tana = 3，
sina - cosa tana -1
1+ sina 1- sina 1+ sina 2 1- sina 2 1+ sina 2 1- sina 2
又因为 - = - = - ，
1- sina 1+ sina 1- sina 1+ sina 1+ sina 1- sina cos2 a cos2 a
且a 是第三象限的角，则1+ sina > 0,1- sina > 0,cosa < 0，
1+ sina 2 1- sina 2所以 1+ sina 1- sina 1+ sina 1- sina- = - = - + = -2 tana = -6 .
1- sina 1+ sina cos2 a cos2 a cosa cosa
故答案为：-6 .
42．（2024 高一·全国·课后作业）已知角a 的终边经过点 (2a +1,a - 2)，且 cosa
3
= - ，则实数 a = .
5
【答案】-2
2
【分析】根据余弦函数的定义，列出方程求得 a = -2 或 a = ，再由 cosa < 0，即可求解，得到答案.
11
2a +1 3
【详解】由题意，根据余弦函数的定义，可得 = - .(2a +1)2 + (a - 2)2 5
2
整理得11a2 + 20a - 4 = 0，解得 a = -2 或 a = ，
11
1
又因为 cosa < 0，所以 2a +1 < 0，即 a < - ，
2
所以 a = -2 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，同时注
意隐含条件“ 2a +1 < 0 ”，出现增根是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
f x 4 2543．（2024 高一下·辽宁·期中）函数 = 2 + 2 的最小值为 ，此时 2 ．sin x cos x tan x =
2
【答案】 49 /0.4
5
【分析】由基本不等式“1”的妙用求解
4 25 22 2 4cos x 25sin2 x
【详解】由题意得 f x = 2 + sin x + cos x = 29 + +è sin x cos2 x ÷ sin2 x cos2 x
2 2
29 + 2 4cos x 25sin x2 × = 49，sin x cos2 x
4cos2 x 25sin2 x
= 2
2
当且仅当 ，即 tan x =2 2 时，等号成立．sin x cos x 5
2
故答案为：49，
5
四、解答题
3 3π
44．（2024 高一·全国·随堂练习）已知 cosa = ，a ,2π
2 ÷，求
tana 的值．
5 è
4
【答案】-
3
【分析】先利用平方关系求 sina ，然后由商数关系可得.
3π
【详解】因为 cosa
3
= ，a
5
,2π
2 ÷，è
2
3 4
所以 sina = - 1- ÷ = - ，
è 5 5
tan a sin a 4所以 = = - .
cosa 3
45．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知角q 终边上P x, 2x - 3 , x 0 , 且 tanq x sinq + cosq= - ，求 sinq cosq 的-
值．
【答案】2 或 0
【分析】首先根据正切函数的定义，求 x ，再将关于 sinq , cosq 的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.
【详解】由于 tanq
2x - 3 2x - 3
= ，故 = -x ，解得 x = -3或x =1.
x x
sinq + cosq = tanq +1当 x = -3时, tanq = 3， = 2
sinq - cosq tanq -1
sinq + cosq = tanq +1当 x =1时，tanq = -1， = 0.
sinq - cosq tanq -1
cosa - 5sina
46．（2024 高一上·全国·课后作业）（1）已知 tana = 2 ，求 .
3cosa + sina
3cosa - sina 1
（2）已知 = ，求 sina cosa 的值．
cosa + 2sina 5
9 2
【答案】（1）- ；（2） .
5 5
【分析】（1）分子分母同除 cosa ，代入 tana 即可；
sina cosa
（2）由已知等式可求得 2cosa = sina ，根据 sina cosa = ，代入消元或分子分母同除 cos2sin2 aa + cos2 a
即可求得结果.
cosa - 5sina 1- 5 tana 1-10 9
【详解】（1） = = = - ；
3cosa + sina 3+ tana 3 + 2 5
3cosa - sina 1
（2）由 = 得：15cosa - 5sina = cosa + 2sina ，\2cosa = sina ；
cosa + 2sina 5
sina cosa sina cosa 2cos
2 a 2
方法一： = = = ；
sin2 a + cos2 a 4cos2 a + cos2 a 5
方法二：由 2cosa = sina 得： tana = 2 ，
sina cosa sina cosa tana 2 2\ = = = = .
sin2 a + cos2 a tan2 a +1 22 +1 5
1- a 3a -1
47．（2024 高一·江西宜春·阶段练习）已知 sinq = , cosq = ，且q 是第二象限角，求实数 a 的值.
1+ a 1+ a
1
【答案】 a =
9
【分析】由 sin2 q + cos2 q =1计算得到 a，再结合 sinq > 0,cosq < 0即可得到答案.
1- a 3a -1 1
【详解】因为q 是第二象限角，所以 sinq = > 0,cosq = < 0 ，解得a (-1, )，
1+ a 1+ a 3
由 sin2 q + cos2 q =1得到 (
1- a )2 (3a -1+ )2 1=1，解得 a = 或 a =1（舍）.
1+ a 1+ a 9
【点睛】本题考查三角函数的基本关系的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
1 π
48．（2024 高一下·北京·阶段练习）已知 sinq + cosq = < q < π ÷，求 tanq .5 è 2
4
【答案】-
3
【分析】根据题意，将原式平方可得 sinq cosq ，然后结合同角的平方关系即可得到结果.
π
【详解】因为 < q < π，且 sin q + cosq
1
= > 0 ，
2 5
sinq cosq 12平方可得 = - ，且 sinq > 0,cosq < 0，
25
2 2 sinq 4结合 sin q + cos q =1，可得 = ， cosq
3
= -
5 ，5
tanq sinq 4所以 = = - .
cosq 3
m - 3 4 - 2m p
49．（2024 高一·湖南·课后作业）已知 sin θ = ， cosθ = ，且 q p，求实数m 的值．
m +5 m +5 2
【答案】8
【分析】同角三角函数的基本关系得到方程，求出m ，再根据三角函数的符号验证即可．
sin θ m - 3 cosθ 4 - 2m p【详解】解：因为 = ， = ，且 q p，
m +5 m +5 2
则 sinq 0，
m - 3 4 - 2m
又 sin2 q + cos2 q =1 2 2，所以 ( ) + ( ) = 1，解得m = 0或m = 8m ，+ 5 m + 5
3
当m = 0时， sin θ = - ，不满足题意，
5
sinq 5当m = 8时， = ， cosq
12
= - ，满足题意．
13 13
所以m = 8
1
50．（2024 高一·全国·专题练习）已知 sinq +cosq = .
2
(1)求 sin θcos θ 的值；
(2)求 sin3θ＋cos3θ 的值．
3
【答案】(1)－ .
8
11
(2)
16
【分析】（1）将等式两边平方，结合 sin2 q +cos2 q =1即可求解；
（2）利用立方和公式，将已知代入即可.
【详解】（1）由已知 sinq +cosq =
1 2
，两边平方得 sin q +2sinq cosq +cos2 q =
1
.
2 4
因为 sin2 q +cos2 q =1，所以 sinq cosq =
3
- .
8
（2）由立方和公式 sin3 q +cos3 q = sinq +cosq sin2q - sinqcosq +cos2q = sinq +cosq 1- sinqcosq
1 3
= 1+ 11 ÷ = .2 è 8 16
51．（2024 高一上·甘肃天水·期末）计算：
(1)已知a (π,
3π)， tana = 2 ，求 cosa 的值.
2
(2)已知cosa
8
= - ，求 sina ， tana 的值
17
5
【答案】(1) cosa = - ；
5
(2)答案见解析.
【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求 cosa 即可；
（2）讨论a 为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值.
tana sina【详解】（1）由 = = 2， sin2 a + cos2 a =1得： 4cos2cosa a + cos
2 a =1，
a 3π又 (π, ) 5，所以 cosa = - .
2 5
（2）因为cosa
8
= - ，所以a 为第二或第三象限角，又 sin217 a + cos
2 a =1 .
15 15
若a 为第二象限角，则 sina = , tana = - ；
17 8
a sina 15 , tana 15若 为第三象限角，则 = - = .
17 8
3
52．（2024 高一下·广西钦州·期中）已知点P 4, -3m 角a 的终边上，且 sina = ，求 m， cosa ， tana ．
5
4 3
【答案】m = -1， cosa = ， tana = ．
5 4
【分析】根据三角函数定义求得m ，进而得出 cosa ， tana ．
【详解】根据三角函数定义 sin a
y -3m 3
= = = > 0
r ，解得m = -1，16 + 9m 2 5
所以 cosa
x 4 y 3
= = ， tana = = ．
r 5 x 4
53．（2024 高一· 2m全国·课后作业）已知角a 的终边上一点P m,- 5 ，且 cosa = ，求m 值.
4
【答案】m = 0或m = ± 3 .
【分析】根据任意角的三角函数的定义得到方程，解得即可；
m 2
= m m2 m2
【详解】解：依题意有： 22 即： =m + - 5 4 m2 + 5 8
解得：m2 = 0或m2 = 3
即m = 0或m = ± 3
54．（2024 5高一下·新疆塔城·阶段练习）已知角a 的终边过点P x, 2 ，且cosa = - ，求 sina 及 tana 的值．
3
2 2 5
【答案】 sina = ，
3 tana = - 5
【分析】根据三角函数定义求解.
x 5
【详解】由角a 的终边过点P x, 2 ，可知 cosa = 2 ，又cosa = - ，得 x = - 5 ．x + 4 3
所以 sina
2 2
= =
3 ， tana
2 2 5
= = - .
5 + 4 - 5 5
5
55．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 sina = - ，并且a 是第四象限角，求 cosa ， tana ．
13
【答案】 cosa
12
= ， tana
5
= - ．
13 12
【分析】利用 sin2 a + cos2 a =1和角a 的范围结合已知条件求解即可
【详解】由 sina ， cosa 之间的关系式 sin2 a + cos2 a =1及第四象限角的余弦 cosa > 0得
2
cosa 5 12= 1- sin2 a = 1- - = ，
è 13 ÷ 13
tana sina 5 13 5= = - = - ．
cosa 13 12 12
1+ 2sin10°cos10°
56．（2024 高一·全国·专题练习）化简： .
cos10° + 1- cos2 10°
【答案】1
【分析】利用平方关系化简即可.
【详解】因为 cos10° > sin10° > 0，
sin2 10° + cos2 10° + 2cos10°sin10°
所以，原式=
cos10° + sin2 10°
(cos10° + sin10°)2 cos10° + sin10°
= = =1
cos10° + sin10° cos10° + sin10°
57．（2024 高一下·湖北·阶段练习）设矩形 ABCD(AB > AD) 的周长为 4cm ，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折叠，
AB 折过去交 DC 于点 P.
(1)证明△ADP 的周长为定值，并求出定值；
(2)在探讨△ADP 面积最大值时，同学们提出了两种方案：①设 AB 长度为 xcm，将△ADP 面积表示成 x 的
函数，再求出最大值；②设 DAP = q ，将△ADP 面积表示成q 的函数，再求出最大值，请你选择一种方案
（也可选择自己的方案），求出△ADP 面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析，定值为 2
(2)△ADP 面积的最大值为3 - 2 2
【分析】（1）根据三角形全等，可得对应边相等，即可求证，
2
（2）根据三角形全等，结合勾股定理即可表达m = 2 - x ，进而根据面积公式即可结合不等式求解最值，（利
2sinq cosq t2 -1 t -1 2
用 sinq + cosq ,sinq cosq 的关系，转化成 S = = = = 1- sinq + cosq +1 2 t +1 2 t +1 t +1，即可利用函数的单调性
纠结最值）.
o
【详解】（1）由于 APD = CPB1, D = B1 = 90 , AD = BC = B1C ,
所以VAPD @ △CPB1，PD = PB1，
所以△APD 的周长为 AP + PD + DA = AP + PB1 + DA = AB1 + DA = AB + AD = 2，故为定值；
（2）方案①，设 AB 长度为 xcm，设DP = m，则 AP = PC = x - m ， AD = 2 - x
因为DP2 + DA2 = AP2，
2 2所以m + (2 - x)2 = (x - m)2，化简得m = 2 - x ，
1 2 2
所以△APD S = 2 - 2 - x = 3- x + 的面积 ÷ ÷ 3 - 2 2 ，2 è x è x
由于0 x 2 x
2
< < ，故 + 2 2,x 因此 S 3 - 2 2 ，当且仅当 x = 2 时取到等号，
此时S 取得最大值3 - 2 2
方案②设 DAP = q ，设 AP = x ，则 AD = x cosq , DP = x sinq ，由△APD 的周长为 2 可得
x cosq + x sinq + x = 2 x 2= ，
sinq + cosq +1
所以△APD 的面积 S
1 xsinq x cosq 1 x2 sinq cosq 2sinq cosq= × = =
2 2 sinq + cosq +1 2 ，
2sinq cosq t2 -1 t -1 2
令 sinq + cosq = t,q 0,45o ù ，t 1, 2ù ，所以 2sinq cosq = t 2 -1，故 S = 2 = 2 = = 1- sinq + cosq +1 t +1 t +1 t +1，
y 2由于函数 = - 在 t 1, 2ù 1 2单调递增，故当 时，面积取到最大值 - = 3 - 2 2 ，此时t 1 t = 2+ 2 +1
q = 45o
58．（2024 高一下·山东潍坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角a 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边与单位圆（圆心在原点，半径为 1）交于点 P .过点 P 作圆O的切线，分别交 x 轴、 y 轴于点P1 x0 ,0 与
P2 0, y0 .
p
(1)若a = ，求 P 的坐标
6
(2)若VOP1P2 的面积为 2，求 tana 的值；
(3) x2 + 9 y2求 0 0 的最小值.
3 1
【答案】(1) P , ÷÷
è 2 2
(2) tana = 2 ± 3
(3)16
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义直接求解即可；
（2）根据题意求出 x0 和 y0 ，再利用VOP1P2 的面积为 2，结合同角三角函数的基本关系计算即可求解；
3 2 x2（ ）结合（ ）可表示出 0 + 9 y
2
0 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得P cosa ,sina P π π 3 1，所以 cos ,sin ÷，即P ,6 6 2 2 ÷è ÷ .è
（2）由题意得a 为锐角，故 P 在第一象限，则P , P 在 x, y1 2 轴正半轴上，
由题意可知OP ^ P1P2 ，故 cosa
1
=
OP ，故 x
1
0 = ，
1 cosa
1
OP 12P = a ，故 sina = OP ，则 y0 = ，2 sina
VOPP 1 x y 2 1 1 1 2 sinacosa 1由 1 2 的面积为 2，得 0 0 = ，即 × × = .所以 = ，2 2 cosa sina 4
sinacosa 1 tana 1
又 sin2a + cos2a =1，故 2 = ，即 = ，sin a + cos2a 4 tan2a +1 4
所以 tan2a - 4tana +1 = 0，解得 tana = 2 ± 3 ；
（3）由题意a 是锐角，则 x0 > 0, y0 > 0，
x20 + 9y
2 1 9 1 9
0 = 2 + =
2 2 +
sin2a + cos2a
cos a sin a è cos a sin2a ÷
10 sin
2a 9cos2a 10 2 sin
2a 9cos2a
= + + + =16，
cos2a sin2a cos2a sin2a
sin2a 9cos2a
当且仅当 2 = 2 ，即 sina
3
= ,a p= 时取等号，
cos a sin a 2 3
x2所以 0 + 9 y
2
0 的最小值为 16.
59．（2024高一上·新疆塔城·期末）（1）已知角 θ的终边上有一点P x,3 (x 0)，且 cosq 10= x，求 sinq + tanq
10
的值．
1
（2）已知角 θ 是三角形的内角， sinq + cosq = ，求 sinq - cosq 的值．
5
7
【答案】（1）答案见解析；（2） sinq - cosq = 5
【分析】（1）运用三角函数定义即可求得结果.
（2 2）运用完全平方公式 sinq ± cosq = 1± 2sinq cosq 及角的范围的判定即可求得结果.
x 10 x
【详解】（1）因为 r = x2 + 9 ， cosq = x =r ，所以 ．10 x2 + 9
又 x 0，所以 x = ±1，所以 r = 10 ．
所以点 P 坐标为 (1,3)或 (-1,3)，即 θ 是第一或第二象限角．
3 10
当 θ 为第一象限角即点P(1,3) 时， sinq = ， tanq = 3，则 sinq + tanq 3 10 + 30= ．
10 10
当 θ 3 10为第二象限角即点P(-1,3)时， sinq = ， tanq = -3，则 sinq 3 10 - 30+ tanq = ．
10 10
3 10 + 30
综述：当点 P 坐标为 (1,3)时， sinq + tanq = ；
10
P (-1,3) sinq tanq 3 10 - 30当点 坐标为 时， + = .
10
（2）因为 sinq cosq
1 1
+ =
5 ，两边平方得
1+ 2sinq cosq =
25 ，
所以 2sinq cosq
24
= - ，
25
又因为 θ 为三角形的内角，
ìsinq > 0
所以 í ，即90° < q <180°
cos
，
q < 0
所以 sinq - cosq > 0，
sinq - cosq 2 24 49又因为 = 1- 2sinq cosq = 1+ =25 25 ，
所以 sinq - cosq
7
=
5 ．5.2 三角函数的概念 10 题型分类
一、三角函数的概念
(1)任意角的三角函数的定义
如图，设 α 是一个任意角，
前提 α∈R，它的终边 OP 与单位
圆相交于点 P(x，y)
把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sinα，即
正弦函数
y＝sinα
把点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作 cosα，即
余弦函数
x＝cosα
定义 y
把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 α 的正切，记
x
正切函数 y
作 tanα，即 ＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横
x
坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函
三角函数
数
注：三角函数的定义
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值
的集合的对应．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点 P(x，y)在角 α 终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置决定，
即三角函数值的大小只与角有关．
(2)三角函数的定义域
三角函数 定义域
y＝sinx x∈R
y＝cosx x∈R
π
y＝tanx x≠ ＋kπ(k∈Z)
2
二、三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三、诱导公式(一)
名称 符号语言 文字语言
sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)
终边相同的角的同一三角
诱导公式(一) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)
函数的值相等
tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)
注：公式一的理解
(1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角 α 的终边每绕原点旋转
一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为 α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为 α.
四、同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述
同一个角 α 的正弦、余弦
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
的平方和等于 1
sinα
＝tanα
cosα 同一个角 α 的正弦、余弦
商数关系
( π ) 的商等于角 α 的正切α ≠ kπ＋ ，k ∈ Z2
(1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论
①平方关系变形及常用结论
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－
2sinαcosα.
②商的变形
sinα
sinα＝tanαcosα，cosα＝ .
tanα
(2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有
两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角
的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1.
(3)sin2α 是(sinα)2的简写，不能写成 sinα2.
(4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况
下的恒等式．
sin90°
(5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子 tan90°＝ 不成立．
cos90°
(6)在应用平方关系式求 sinα 或 cosα 时，其正负号是由角 α 所在的象限决定的．
（一）
三角函数的定义及应用
1、任意角的三角函数的定义
如图，在直角坐标系中，设a 是一个任意角，a 终边上任意一点 P 的坐标为 (x, y) ，它与原点
的距离为 r(r = | x |2 + | y |2 = x2 + y2 > 0) ，那么：
y y
（1）比值 a sina sina =r 叫做 的正弦，记作 ，即 r ；
x x
（2）比值 叫做a 的余弦，记作 cosa ，即 cosa =r r ；
y y
（3）比值 x 叫做
a 的正切，记作 tana ，即 tana = (x 0)x ．
对于确定的a
y x y
值，比值 r ， r ， x 分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角
a 为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．
2、利用三角函数的定义求值的策略
已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数
值．
(2)注意角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点(a，b)，则对应角的正弦
b a
值 sinα＝ ，余弦值 cosα＝ .
a2＋b2 a2＋b2
提醒：角 α 是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
题型 1：利用三角函数的定义求三角函数值
1 3
1-1．（2024 高二下·湖南·学业考试）设角a 的终边与单位圆的交点坐标为 , ÷÷，则 sina =（ ）
è 2 2
1
A B 2． ． C 3． D．1
2 2 2
1-2．（2024 高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角q 的顶点与原点O重合，它的始边与 x 轴
3
的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O于点P - ,
4
÷，则 tanq 的值为
è 5 5
3 4 4 3
A．- B． C．- D．-
5 5 3 4
1-3．（2024 高一上· 3 6吉林长春·期末）已知角a 的终边与单位圆交于点P(- , )，则 sina ×cosa =（ ）
3 3
A 3． B 2 3 2．- C．- D．
3 3 3 3
题型 2：由终边或终边上点求三角函数值
2-1．（2024 高二上·云南大理·开学考试）已知角a 的终边落在直线 y = 2x上，则 sina 的值为（ ）
A 2 5 B 5 C 2 5 2 5． ． ．- D．±
5 5 5 5
2-2．【多选】（2024 高一下·四川眉山·期中）已知角a 的终边经过点P(-4m,3m)(m 0)，则 2sina + cosa 的值
可能为（ ）
3 3 2 2
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
2-3．（2024 高三上·北京·开学考试）若 b 的终边所在射线经过点P 1,2 ，则 sinb = ，tanb = .
2-4．【多选】（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知角q 的终边上有一点P a, 2a ，若 a < 0，则（ ）
A． sinq 5= - B． sinq 2 5= -
5 5
1
C． tanq = D． tanq = 22
题型 3：由三角函数值求终边上的点或参数
3-1．（2024 高一下·河南驻马店·期末）已知角a 的终边上有一点P m, 3 ，且 cosa 2m= ，则实数 m 取值
4
为 ．
3
3-2．（2024 高一下·全国·课后作业）角a 的终边经过点P 4,b 且 sina = - ，则 b 的值为（ ）
5
A．3 B．-3 C． ±3 D．5
3-3．（2024 高一上·山东·期末）已知角q 的终边经过点P -8m, -3 cosq 4，且 = - ，则实数 m 的值是（
5 ）
1 9
A． B．
2 32
1 1 9 9
C． 或- D． 或-
2 2 32 32
（二）
判断三角函数值的符号
1、各三角函数的值在各象限的符号如图所示．
【说明】（1）对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说，第一象限各三角函数值全都是
正号，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．
（2）各象限三角函数值正号规律：一全二正弦，三切四余弦．
2、确定三角函数值在各象限内符号的方法
(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出的．
(2)正弦、余弦、正切函数的符号表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限
正切是正值，第四象限余弦是正值．
题型 4：判断三角函数值的符号
4-1．（2024 高一上·广东·期末）已知q 为第二或第三象限角，则（ ）
A． sinq tanq < 0 B． cosq tanq < 0
sinq
C． > 0 D． sinq cosq > 0
tanq
4-2．（北京市海淀区北京大学附属中学行知学院 2023-2024 学年高一下学期期中数学试题）若 sina < 0且
tana > 0，则a 的终边所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4-3．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知P sin1,cos 2 ，则点 P 所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2sinx cosx
4-4．（2024 高一上·广西玉林·期末） +2 2 所有可能取值的集合为 ．1- cos x 1- sin x
sina tana
4-5．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）若 > 0， < 0，则a 是（
tan cos ）a a
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（三）
公式一的应用
1、公式一可以统一写成 f(k·360°＋α)＝f(α)或 f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式
2、利用它可以把任意角的三角函数值转化为 0 到 2π 角的三角函数值，即可把负角的三角函数
化为 0 到 2π 角的三角函数，亦可以把大于 2π 角的三角函数化为 0 到 2π 角的三角函数，即对
角实现负化正、大化小的转化．
题型 5：公式一的应用
5-1．（2024 高一上·全国·单元测试）代数式 sin(-330°)cos390° 的值为（ ）
3 1
A 3 3．－ B． C．－ D．
4 4 4 4
2023π
5-2．（2024 高一上·重庆长寿·期末） sin =（ ）
4
A 2
1 1
．- B
2
．- C． D．
2 2 2 2
5-3．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习） sin -1380o 的值为（ ）
1 1
A．－ B．
2 2
C 3．－ D 3．
2 2
5-4．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习） cos -1860° =（ ）
1 1
A 3 3．- B． C． D．
2 - 2 2 2
（四）
三角函数求值
1、求三角函数值的方法
(1)已知 sinθ(或 cosθ)求 tanθ 常用以下方式求解
(2)已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用以下方式求解
当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 θ 分区间(象限)讨论．
题型 6：同角三角函数基本关系的应用
1 p
6-1．（2024 高一下·四川宜宾·期中）已知 cosa = ，其中a - ,0÷， sina 的值为（2 ）2 è
1 1
A 3．－ B C 3．－ ． D．
2 2 2 2
1
6-2．（2024 高三上·上海静安·开学考试）设q 为第二象限角，若 tanq = - ，则 sinq + cosq = .
2
4 - 2m m - 3
6-3．（2024 高一下·上海·课后作业）已知 sina = ,cosa = ,a 是第四象限角，则 tana = ．
m + 5 m + 5
6-4．（2024 高一下·云南曲靖·阶段练习）若a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，则cosa = .
3
6-5．（2024 高一下·山东济南·阶段练习）若 sina = - ，且a 为第三象限角，则 tana =（
5 ）
4 3 4 3
A．- B．- C． D．
3 4 3 4
6-6．（2024 高一上·广东深圳·期末）已知sinq ， cosq 是关于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的两根，则实数
m = ．
（五）
sinα±cosα，sinαcosα 的应用
1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他
两个，即“知一求二”．
2、sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 θ 的终边落在直线 y＝x 上时，sinθ＝
cosθ，即 sinθ－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x 的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－
cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y＝x 的下半平面区域内时，sinθ所示．同理可得 sinθ＋cosθ 的符号如图②所示．
题型 7：sinα±cosα，sinαcosα 的应用
1
7-1．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 sina + cosa = ，求 sina ×cosa 的值．
5
7
7-2．（2024 高一下·四川眉山·阶段练习）已知 sina + cosa = ，a 0, π .
13
(1)求 sina cosa 的值
(2)求 tana
1
7-3．（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知 sinq + cosq = ，q 0, π ，求下列各式的值：
2
(1) sinq - cosq ；
(2) tanq
1
- ．
tanq
1
7-4．（2024 高一下·贵州遵义·期中）已知a 为第四象限角，且 sina + cosa = ，则 sina - cosa = .
3
π 17
7-5．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知a 0, ÷ ，且 sina + cosa = 则 tana 的值为（4 ）è 13
12 12 5 5
A． B．- C． D．-
5 5 12 12
（六）
齐次式求值
a sina + bcosa a sin21 tana m a + bsina cosa + c cos
2 a
、已知 = ，可以求 或 2 2 的值，将分子分母c sina + d cosa d sin a + esina cosa + f cos a
同除以 cosa 或 cos2 a ，化成关于 tana 的式子，从而达到求值的目的.
2、对于 a sin2 a + bsina cosa + c cos2 a 的求值，可看成分母是 1，利用1 = sin2 a + cos2 a 进行代
替后分子分母同时除以 cos2 a ,得到关于 tana 的式子，从而可以求值.
3、不是已知 tana 的情况，可以先利用同角三角函数的基本关系式求得 tana 的值，然后利用
齐次式的方法求解.
4、齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.
题型 8：利用齐次式化简或求值
sina + 3cosa
8-1．（2024 高一下·四川达州·期中）已知 = 5
3cosa - sina
(1)求 tana 的值；
(2)求 sin2 a - sina cosa 的值．
tana
8-2．（2024 高一下·四川自贡·期中）已知 =2 ，求下列各式的值.
tana -1
2sina - 3cosa
(1) ；
4sina - 9cosa
(2) 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a .
sina + cosa
8-3．（2024 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 = 2，则 sina cosa 的值为 .
sina - cosa
8-4．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 tana = 2 ，则
2sina - 3cosa
（1） = ；
4sina - 9cosa
2sin2 a - 3cos2 a
（2）
4sin2 a - 9cos2
= ；
a
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a = ．
（七）
利用同角三角函数关系式化简与证明
1、三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造 sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次
数，达到化简的目的．
2、证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异．
a c d c
(4)变更命题法，如要证明 ＝ ，可证 ad＝bc，或证 ＝ 等．
b d b a
左边
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”．
右边
题型 9：三角函数式的化简
1- 2sin130°cos130°
9-1．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）化简 ；
sin130° + 1- sin2 130°
2 1- cosa 1+ cosa（ ）化简 + ，其中a 是第三象限角．
1+ cosa 1- cosa
3
9-2 1- cosa 1+ cosa．（2024 高一·全国·课后作业）若 π < a < π ，化简： + ．
2 1+ cosa 1- cosa
9-3．（2024 高一·全国·课堂例题）化简：
2
(1) sin2 a tana cos a+ + 2sina cosa ；
tana
(2) 1+ cosa 1- cosa+ 180° < a < 270° ．
1- cosa 1+ cosa
题型 10：证明三角恒等式
10-1．（2024 高一·江苏·课后作业）求证：
（1）1+ tan2 a
1
= 2 ；cos a
（2） sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a ；
（3） tan2 a sin2 a = tan2 a - sin2 a .
10-2．（2024 高一·全国·课后作业）求证：
1- 2sin x cos x 1- tan x
(1) 2 =cos x - sin x2 1+ tan x
(2) tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a
10-3．（2024 高一·全国·专题练习）求证：
sina - cosa +1 1+ sina
(1) ＝ ；
sina + cosa -1 cosa
(2) 2 sin6 q + cos6 q - 3 sin4 q + cos4 q +1 = 0
一、单选题
tana 3 sina + cosa1．（2024 高一下·四川达州·期中）已知 = ，则 = （ ）
2 sin cos
a - a
A．2 B．3 C．4 D．5
sin x | cos x |
2．（2024 高一上·全国·课后作业）当 x 为第二象限角时， - =sin x cos x （ ）
A．1 B．0
C．2 D．－2
π
3．（2024 高二上· 5甘肃定西·开学考试）已知 sin b = - ，- < b < 0，则 cos b =（ ）
5 2
A 5 B 2 5 2 5 2 5． ．± C．- D．
5 5 5 5
3 1
4．（2024 高一下·北京·期中）已知角 θ 的终边经过点P , - ÷，则 cosq 等于（ ）
è 2 2
1
A - B 3． ． C．
2 - 3
D 3．
2 3
5．（2024 高一上·广东广州·期末）已知 sina + cosa
1
= ，且a 0, π ，则 sina - cosa 的值为（ ）
3
1
A - B 17． ．- C 17 D 17 17． ． 或-
3 3 3 3 3
2sina - cosa
6．（2024 高一下·西藏拉萨·期末）已知 tana = 2 ，则 = （ ）
2cosa + 3sina
1 1 3 1
A． B． C． D．
3 4 8 2
cosq - 2sinq
7．（2024 高一下·江西萍乡·期中）已知 tanq = 2，则 = （ ）
cos sin q + q
5 1
A．0 B．- C．-1 D．
3 3
8．（2024·青海西宁·二模）已知 sina + cosa = 3cosa tana ，则 cos2 a tana -1 =（ ）
3 4 2 1
A．- B．- C．- D．-
5 5 3 3
1 sina + 2cosa
9．（2024 高二上·广西·开学考试）已知 tana = - ，则 的值为（ ）
3 5cosa - sina
5 5
A．-1 B．1 C． D．
16 4
3 π
10．（2024 高一下·云南·期末）已知 sina = ，a 0, ÷ ，则cosa =（ ）5 è 2
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
11．（2024 高一下·广西河池·阶段练习）已知点P cosq ,- tanq 是第三象限的点，则q 的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024 高一下·全国·课后作业）求 1- 2sin5cos5 =（ ）
A． sin5 - cos5 B．-sin5 - cos5
C． cos5 - sin5 D． sin5 + cos5
13．（2024 高一·全国· 2课堂例题）已知a (0, π) ，且3 1- 2sin a -8cosa = 5，则 sina =（ ）
2 1
A 5． B． C D 5． ．
3 3 3 9
2
14．（2024 高三上·天津静海·阶段练习）若a 0, π ， 2sina + cosa = ，则 tana =（ ）
5
A．-
3 4 3 1
B．- C．- D．-
5 5 4 4
15．（2024 高一下·四川达州·阶段练习）若角a 的终边经过点 (-3,4)，则cosa =（ ）
4 4 3 3
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
16．（2024 高一下·四川遂宁·阶段练习）若 tanq
4
= ，q 0, π ，则 cosq3 的值为（ ）
3 3 4 4
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
17．（2024 高一上·福建泉州·期末）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若a 的终边
4
与圆心在原点的单位圆交于 A ,m5 ÷，且
a 为第四象限角，则 sina =（ ）
è
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
1
18．（2024 高一·全国·课堂例题）已知a 是第二象限角，且 cosa = - ，则 tana 的值是（
3 ）
1
A B 2 2． ． C． D．
3 - -2 23 4
19．（2024 高一上·北京通州·期末）已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限
5
且与单位圆交于点P - ,m÷÷，则 sina = （5 ）è
A 5 B 5 C 2 5 D 2 5．- ． ．- ．
5 5 5 5
20．（2024 3 5高一下·江西上饶·期末）已知 sina + cosa = ，则 tana
1
+ =（ ）
5 tana
2 5 4 5
A．- B． C．- D．
5 2 5 4
21．（2024 · · 1- cosa 1+ cosa 2高三上 宁夏银川 阶段练习）若 + = - ，则 α 不可能是（ ）
1+ cosa 1- cosa sina
5π 10π 15π 20π
A．- B． C． D．
11 11 11 11
二、多选题
22．（2024 高一下·贵州遵义·阶段练习）已知 tanq = -4，则下列结果正确的是（ ）
sin2 q 16 cos2 q sin2 q 15A． = B． - = -
17 17
C．3sinq cosq
12
= - D． cos2 q
6
=
17 17
1
23．（2024 高一上·山东济南·期末）已知a 0, π ，且 sina + cosa = ，则（
5 ）
p 12
A． < a < p B． sina cosa = -
2 25
C． cosa sina
7
- = D． cosa - sina
7
= -
5 5
24．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 sina = m，则 cosa = 1- m2
B．若 sina = m，则 cosa = ± 1- m2
1
C．若 tana = m，则 cosa =
1+ m2
m
D．若 tana = m，则 sina = ±
1+ m2
π
25．（2024 高一上·河南周口·期末）已知 cosθ
4 - 2m
= ， tanq
m - 3
= q , π
m +5 4 - 2m
，且 2 ÷
，下面选项正确的是
è
（ ）
A．m = 8 B．m = 0或m = 8
C． sinq > cosq D 2． sin q + 2sinq cosq 95= -169
三、填空题
26．（2024 高一下·广西钦州·期中）若点 P(-3,4)在角a 的终边上，则 sina = .
27．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知 sina - cosa 5= ，则 tana = .
5
1
28．（2024 高一·全国·专题练习）若 cos x - sin x = ，则
3 cos
3 x - sin3 x = .
4 sinq - cosq
29．（2024 高三上·江西南昌·阶段练习）若 tanq = 3 ，则
= .
sinq + cosq
2sina - 3cosa
30．（2024 高一上·全国·课后作业）若 = -1，则 tana = .
4sina - 9cosa
31．（2024 高一下·上海杨浦·期中）若 sina 及 cosa 是关于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的两个实根，则实数 k
的值为
1
32．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）若角 A 是三角形 ABC 的一个内角，且 sin A ×cos A = ，则
3
sin A + cos A = .
3π
33．（2024 高一下· 3上海嘉定·期中）已知 cosa = - ，且 π < a < ，则 tana = ；
3 2
1
34．（2024 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知a 为第二象限角， sina + cosa = - ，则 sina - cosa = ．
2
35．（2024 高一上·全国·课后作业）点P(tan2022o, cos2022o )位于第 象限．
1
36．（2024 高二下·新疆·学业考试）若 sina = ，且a 为第二象限角，则 cosa = ．
2
2m - 5 m
37．（2024 高三上·江苏扬州·开学考试）已知 sina = ， cosa = - ，且a 为第二象限角，则
m +1 m +1
tana = .
4
38．（2024 高一下·新疆和田·阶段练习）已知q 是第四象限角，且 cosq = ，那么 tanθ 的值为 .
5
cos x 1 1+ sin x
39．（2024 高三上·广东广州·开学考试）设 = - ，则 = ．
sin x -1 3 cos x
40．（2024 高三上·山东·开学考试）已知 cosa 0，3sin 2a - cos 2a =1，则 tan 2a = .
sina + cosa
41．（2024 高一下·辽宁丹东·期末）已知 = 2，且a 是第三象限的角，则
sina - cosa
1+ sina 1- sina
- = ．
1- sina 1+ sina
42．（2024 高一·全国·课后作业）已知角a 的终边经过点 (2a +1,a - 2)，且 cosa
3
= - ，则实数 a = .
5
4 25
43．（2024 高一下·辽宁·期中）函数 f x = 2 + 2 的最小值为 ，此时 tan2 x = ．sin x cos x
四、解答题
3 3π
44．（2024 高一·全国·随堂练习）已知 cosa = a ， ,2π
5 2 ÷
，求 tana 的值．
è
45．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知角q 终边上P x, 2x - 3 , x 0 tanq sinq + cosq, 且 = -x，求 sinq cosq 的-
值．
cosa - 5sina
46．（2024 高一上·全国·课后作业）（1）已知 tana = 2 ，求 .
3cosa + sina
3cosa - sina 1
（2）已知 = ，求 sina cosa 的值．
cosa + 2sina 5
1- a 3a -1
47．（2024 高一·江西宜春·阶段练习）已知 sinq = , cosq = ，且q 是第二象限角，求实数 a 的值.
1+ a 1+ a
1 π
48．（2024 高一下·北京·阶段练习）已知 sinq + cosq =
5
< q < π ÷，求 tanq .
è 2
m - 3 4 - 2m p
49．（2024 高一·湖南·课后作业）已知 sin θ = ， cosθ = ，且 q p，求实数m 的值．
m +5 m +5 2
1
50．（2024 高一·全国·专题练习）已知 sinq +cosq = .
2
(1)求 sin θcos θ 的值；
(2)求 sin3θ＋cos3θ 的值．
51．（2024 高一上·甘肃天水·期末）计算：
3π
(1)已知a (π, )， tana = 2 ，求 cosa 的值.
2
8
(2)已知cosa = - ，求 sina ， tana 的值
17
3
52．（2024 高一下·广西钦州·期中）已知点P 4, -3m 角a 的终边上，且 sina = ，求 m， cosa ， tana ．
5
53．（2024 2m高一·全国·课后作业）已知角a 的终边上一点P m,- 5 ，且 cosa = ，求m 值.
4
54．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知角a 的终边过点P x, 2 ，且cosa 5= - ，求 sina 及 tana 的值．
3
5
55．（2024 高一·全国·课堂例题）已知 sina = - ，并且a 是第四象限角，求 cosa ， tana ．
13
1+ 2sin10°cos10°
56．（2024 高一·全国·专题练习）化简： .
cos10° + 1- cos2 10°
57．（2024 高一下·湖北·阶段练习）设矩形 ABCD(AB > AD) 的周长为 4cm ，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折叠，
AB 折过去交 DC 于点 P.
(1)证明△ADP 的周长为定值，并求出定值；
(2)在探讨△ADP 面积最大值时，同学们提出了两种方案：①设 AB 长度为 xcm，将△ADP 面积表示成 x 的
函数，再求出最大值；②设 DAP = q ，将△ADP 面积表示成q 的函数，再求出最大值，请你选择一种方案
（也可选择自己的方案），求出△ADP 面积的最大值.
58．（2024 高一下·山东潍坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角a 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边与单位圆（圆心在原点，半径为 1）交于点 P .过点 P 作圆O的切线，分别交 x 轴、 y 轴于点P1 x0 ,0 与
P2 0, y0 .
p
(1)若a = ，求 P 的坐标
6
(2)若VOP1P2 的面积为 2，求 tana 的值；
(3) 2求 x0 + 9 y
2
0 的最小值.
59 10．（2024高一上·新疆塔城·期末）（1）已知角 θ的终边上有一点P x,3 (x 0)，且 cosq = x，求 sinq + tanq
10
的值．
（2）已知角 θ 是三角形的内角， sinq + cosq
1
= ，求 sinq - cosq 的值．
5
