5.4.3 正切函数的性质与图象 7 题型分类
一、正切函数的图象
二、正切函数的性质
1 ．定义域： x | x k ,k z
，
2
2．值域：R
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 tan x tan x ．
5 ．单调性：在开区间 k , k k z 内，函数单调递增
2 2
三、正切函数型 y A tan( x )(A 0, 0)的性质
1、定义域：将“ x ”视为一个“整体”．令 x k , k z 解得 x ．
2
2、值域： ,
3 、 单 调 区 间 ：（ 1 ） 把 “ x ” 视 为 一 个 “ 整 体 ” ；（ 2 ） A 0(A < 0) 时 ， 函 数 单 调 性 与
y tan x(x k ,k z) 的相同（反）；（3）解不等式，得出 x 范围．
2
4、周期：T
（一）
正切函数的定义域、值域问题
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有
π
意义，即 x≠ ＋kπ，k∈Z.
2
②求正切型函数 y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋
π
，k∈Z，解得 x.
2
(2)求正切函数值域的方法
①对于 y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把 ωx＋φ 看成整体，结合图象，利用单调性求值域．
②对于与 y＝tan x 相关的二次函数，可以把 tan x 看成整体，利用配方法求值域
题型 1：正切函数的定义域问题
π
1-1．（2024 高一上·山西朔州·期末）函数 f (x) 3tan(4x ) 的定义域为 .
12
π
1-2．（2024 · · y 1 tan 高一 全国 课堂例题）函数 x
的定义域为 ．
4
y sin x cos x1-3．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 的定义域为 ．
tan x
题型 2：正切函数的值域问题
2-1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y tan
x , x ,6 6 3
的值域为 .
π π
2-2．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y 1 3 tan x x 的值域为 ．
4 3
2-3 2．（2024 高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数 y tan x tan x 2, x , 的值域为 . 4 4
2-4．（2024 高一下· 2上海长宁·期中）函数 f x 2 tan x 5 tan x 2， x , 的值域为 ． 4 4
（二）
正切函数的图象问题
熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互
π
平行的直线 x＝ ＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
2
题型 3：正切函数的图象及应用
3-1．（2024 高一上·宁夏银川·期末）函数 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
π π
3-2．（2024 高二下·浙江丽水·期中）函数 f (x) 3x3 tan x 在 , 的图象大致为（2 2 ）
A． B． C． D．
3-3．（2024 高一上·全国·课后作业）画出函数 y | tan x |的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式 | tan x | 1的解集．
3-4．（2024 高一上·广东·期末）若函数 y tan(x )( 0)的图象与直线 x π 没有交点，则 的最小值为
（ ）
π π
A．0 B． C． D． π
4 2
3-5．（2024 高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的 x 的集合．
(1)满足 tanx 0的集合．
(2)满足 tanx < 0的集合．
(3)满足 tanx 0的集合．
（三）
正切函数的单调性及其应用
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数 y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
π π
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把 ωx＋φ 看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z 即可．当
2 2
ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间．
题型 4：正切函数的单调性及其应用
4-1．（2024
高一下·全国·单元测试）函数 y tan 3x 6 的单调区间是（ ）
kπ π ,kπ π 2 A ． (k Z) B． k ,k (k Z) 3 3 9 9
k , k 2 (k Z) k , k 2 C． D．
(k Z)
3 9 3 9 3 9 3 9
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 y tan x 在 , 2 2 上是严格减函数，则实数 的取值范围
是 ．
π
4-3．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 y tan 3x 的单调递减区间为 ．
4
π x
4-4．（2024 高三·全国·专题练习） y 3tan 的单调递减区间为 .
6 4
π π
4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数 f (x) A tan( x )( 0) f x
，若 （ ）在区间
3
，π
2 内单调递减，
则 的取值范围是（ ）
0 1 (1 , 7A． ， B． ) C． (0,
1]U[1 , 7] D． (0,
1) U (1 , 7)
6 3 6 6 3 6 6 3 6
（四）
正切函数的奇偶性与周期性
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
π
(1)一般地，函数 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝ ，常常利用此公式来求周期．
|ω|
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若
对称，再判断 f(－x)与 f(x)的关系．
题型 5：正切函数的周期性
π
5-1．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y 2 tan 3x 的最小正周期是（ ）
4
π π
A． B．
6 3
π
C． D．π
2
π x
5-2．（2024 高一下·上海虹口·期中）函数 y tan
的最小正周期为 ．
5 3
x π
5-3．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）设函数 f x tan
2 3
(1)求函数 f (x) 的定义域、最小正周期．
(2)求不等式 1 f (x) 3的解集．
题型 6：正切函数的奇偶性
6-1．（2024·全国·模拟预测）若函数 f x Atan x A 0 为奇函数，则 （ ）
A． kπ k Z B． 2kπ k Z kπC． k Z D． 2k 1 kπ k Z
2
6-2．（24-25 高一·上海·随堂练习）函数 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）为奇函数需满足条件为 ．
6-3．（2024 高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为 π的函数为（ ）
A． y cosx B． y sinx C． y sin2x D． y tan2x
x
6-4．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 f (x) a tan bsin x 4（其中 a、b为常数且 ab 0），如果
2
f 3 5，则 f (2010 3)的值为（ ）
A． 3 B．3 C． 5 D．5
6-5．（2024 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x x5 tanx 3，且 f m 2，则 f m （ ）
A． 4 B． 1 C．1 D．4
6-6．（2024 高一下·山东潍坊·期中）已知 f x 2023sin x 2024 tan x 1，
f -2 + f -1 + f 0 + f 1 + f 2 = .
（五）
正切函数的对称性
kπ
正切曲线的对称中心为( ，0 (k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体2 )
性入手求出具体范围．
题型 7：正切函数的对称性
7-1．（2024 高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数 f (x) 3tan
1
x
π
的图象的对称中心为 .
2 3
2
7-2．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x sin x 0,0 < < π 的最小正周期为 π3 ，其图
π
像的一个对称中心的坐标为 ,0 ，则曲线 g x tan x 4 的对称中心坐标为（ ）
kπ π
A． ,0
kπ πk Z ， B．
3 12
,0 ， k Z
6 12
kπ π kπ π
C． ,0 ， k Z D． ,0 ， k Z
3 12 6 12
kπ
7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点 ,0 (k Z)为对称中心的函数是（2 ）．
A． y sin x B． y cos x
C． y tan x D． y | tan x |
一、单选题
π π
1．（2024 高一上·福建漳州·期末）函数 f (x) tan x 的单调区间是（2 3 ）
5 1
A． 2k, 2k
(k Z) 5 2k, 1 B． 2k
(k Z)
3 3 3 3
5 4k, 1 4k (k Z) 5 4k, 1 4k C． D． (k Z)
3 3 3 3
π
2．（2024 高一下·内蒙古包头·期末）函数 y tan
2x
的定义域是（ ）
3
x x 5π kπ 5πA． , k Z B． x x kπ, k
Z
12 2 12
x x π kπ , k Z πC． D． x x kπ, k Z
3 2 3
πx
3．（2024 高三上·山西晋中·阶段练习）函数 f x tan 的最小正周期是（
2 ）
A． 2π B． 4π C．2 D．4
4．（2024 高二下·湖南·学业考试）函数 y tan x 在一个周期内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 对任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函数 f x 1 的图象关于
1,0 对称，当 x 1,1 时， f x tanx .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 y f x 的图象关于点 k,0 k Z 对称
B．函数 y f x 的图象关于直线 x 2k k Z 对称
C．函数 y f x 的最小正周期为 2
D．当 x 2,3 时， f x tan x 2
π 3π
6．（2024 高一下·北京·期中）函数 f x tan x sin x tan x sin x |在区间（ ， ）内的图象是（ ）
2 2
A． B．
C． D．
7．（2024 高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）
A． tan1 tan 2 B． tan 735° tan800°
C． tan
5π
tan 4π D． tan
9π
tan π
7 7 8 7
π
8．（2024 高一下·河南平顶山·阶段练习）函数 f x tan 2x 图象的对称中心可能是(7 )
π π π π
A． ,0 B7 ．
,0 C． ,0 D． ,0
7 14 14
9．（2024 高一下·上海·课后作业）已知函数 y tan x
, 在 2 2 内是减函数，则
的取值范围为（ ）
A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2
2sin 2x，x
π
kπ，k Z
10．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 f x = 3 ，若方程 f x 3 在 0，m 上
tan x，x π kπ，k Z
3
恰有 5 个不同实根，则 m 的取值范围是（ ）
7π 4π 7π 19π 5π 13π 13π 7π
A． ， B． ， C． ， D． ， 6 3 3 6 3 6 6 3
11．（2024 高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f x 2 f x ，且当 x 0,1 时，
f (x) tan πx ，则 f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
π 2 1
12．（2024
高二下·湖南·阶段练习）若q 0, 3 ，则
tanq 的最小值为（ ）3 tanq
A 2 3 B 3 2 C 3 5 D 2 6． ． ． ． 3
2 2 2 3
nπ
13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若 f (n) tan ，（ n N* ），则 f (1) f (2) ××× f (2023) （ ）3
A． 3 B． 3 C．0 D． 2 3
π π
14．（2024 高一下·河北衡水·阶段练习）函数 f x 3 tan 2x m在 , n 上的最大值为3，最小值 6 12
为 1，则mn （ ）
π π π π
A． B． C． D6 ． 6 3 3
π
15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 f x tan x 0, <
的图像如图所示，图中阴影部分的面
2
f 2023π 积为 6π ，则 （3 ）
A 3． B． 3 C 3． D． 3
3 3
二、多选题
π
16．（2024 高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数 f x tan 2x ，则下列说法错误的是（ ）
6
A． f x π的最小正周期为 B． f x π的定义域为 x x kπ ,k Z
2 3
f π π π πC． f
4
D． f x 在 , 上单调递减
4 3 2
17．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数 f x tan 2x，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f (x) 是奇函数
B．函数 f (x) 的最小正周期是 π
f (x) ( πC．函数 在 ,
π )上单调递增
4 4
kπ
D．函数 f (x) 图象的对称中心是 ( ,0)(k Z)4
18．（2024 高三上·山东·开学考试）已知函数 f x π tan 2x
，则下列说法正确的是（6 ）
A． f x π的最小正周期为
2
B． f x π π 在 ,6 3 上单调递减
f π f 3π C． 5
10
D． f x x x π的定义域为 kπ, k Z
3
π π
19．（2024 高一下·四川成都·期中）已知函数 f x tan x ，则下列描述中正确的是（ ）．
2 3
1
A．函数 f x 的图象关于点 ,0 成中心对称
3
B．函数 f x 的最小正周期为 2
f x 5 4k, 1C．函数 的单调增区间为 4k ， k Z
3 3
D．函数 f x 的图象没有对称轴
π
20．（2024 高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数 f x tan 2x ，则（6 ）
A f π 3．
2 3
B． f x 的最小正周期为 π
C．把 f x π向左平移 可以得到函数 g x tan 2x
6
D． f x π在 ,0
6
上单调递增
21．（2024 高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数 f x tan x π ，则下列叙述中，正确的是（4 ）
A．函数 f x π π π的图象关于点 ,0 4 对称 B．函数 f x
在 ,
上单调递增 4 4
π
C．函数 f x 的图象关于直线 x D y f x 2 对称 ．函数 是偶函数
22．（2024 高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数 y tan
2x π 的图像的对称中心的是（6 ）
π
A． ,0
π
B． ,0
5πC ,0
π
． D． ,012 6 12 3
23．（2024 高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．对于定义在实数R 上的函数 f x 中满足 f x 2 f x ，则函数 f x 是以 2 为周期的函数
B．函数 f x tan x π 5π π 的单调递增区间为3 kπ, kπ6 6 ， k Z
π
C．函数 f x sin x 2 为奇函数
D．角a 的终边上一点坐标为 1，3 3，则cosa
2
24．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 f x 7 tan 2x
π
，则（3 ）
f π A． 7 3
6
f x π B． 为奇函数
6
π kπ
C． f (x) 图象的对称中心为 ,0 k Z
6 8
D． f (x)
π kπ
的定义域为 x∣x , k Z12 2
三、填空题
25．（2024 高一下·辽宁锦州·期中） f x tanx sinx 1，若 f 2 2，则 f 2 ．
π
26．（2024 高一下·广东阳江·期末）已知 tan a 3 ，请写出一个满足条件的角a ．
4
27．（2024 高一下·上海徐汇·期中）函数 f (x) tan2 x tan x 2, x
, 的值域是 4 4
28．（2024 高二上·广西崇左·开学考试）若函数 y tan
2x π k ，x
0, π 的图象都在 x 轴上方，则实数
3 6
k 的取值范围为 .
29．（2024 2高一下·上海·课后作业）函数 y tan x 2 tan x, x
, 的值域为 ． 6 4
30．（2024 高一·全国·课后作业）若函数 f x tan x aπ , aπ 在区间 上是增函数，则实数 a3 2 的取值范围
是 ．
31．（2024 高一·上海·专题练习）函数 y tan2 x 4 tan x 1的值域为
y tan π π32．（2024
高一下·上海静安·期中）函数 x 6 3 的定义域是 ．
π a x , x π π 或x
33 2024 · · f x 2 2 2 3π．（ 高一下 湖北 期中）已知函数 π π ，若函数 y f f x 有 5 个零 tan x, < x < 2
2 2
点，则实数 a的取值范围是 ．
34．（2024 高一下·全国·课后作业）已知函数 y tan x
π , π 在 内是减函数，则 的取值范围是 ．
2 2
3
35．（2024 高一上·江苏徐州·期末）已知函数 f x tan nx 4 n Z 在区间 , 上是减函数，则
n 的
8 8
取值集合为 .（用列举法表示）
y tan x , 36．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 4 上单调递减，且在
, 上的最大值为
3 3 3 3
3 ，则 .
37．（2024 ·
高一下 上海浦东新·期中）若函数 y tan( x)在 , 上为严格减函数，则实数 的取值范围 4 4
是 ．
四、解答题
f (x) tan 2x 38．（2024 高一·全国·课后作业）已知 3
.
（1）求 f (x) 的最小正周期；
（2）若 f (x
)是奇函数，则 应满足什么条件？并求出满足 | |< 的 值.
2
π π
39．（2024 高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数 f x 2tan x 0 的最小正周期为 ，
8 2
(1)求 f x 图象的对称中心；
5π 3π
(2)求不等式 f x 2 在 , 上的解集．
16 16
y 2 tan 1 π 40．（2024 高一·全国·课堂例题）画出函数 x 在 x [0,2π] 上的简图．
2 4
π
41．（2024 高一下·江西抚州·阶段练习）设函数 f x tan x 0,0 < < ，已知函数 y f x 的
2
π π
图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点M ,0 对称.
2 8
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求不等式 1 f x 3 的解集.
π
42．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 y f x ，其中 f x A tan x ，（ 0， < ），y f x
2
的部分图像如下图．
(1)求A ， ， 的值；
(2)求 y f x 的单调增区间，
43．（2024 高一下·上海·课后作业）已知函数 f x 3 tan x 0 ．
（1）当ω = 4时，求 f x 的最小正周期及单调区间；
f x 3 x （2）若 在 ,
上恒成立，求 的取值范围． 3 4
44．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 f (x) tan
x
π
3
， 0．
(1)若 2，求 f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若 f x 在 0, π 上是严格增函数，求 的取值范围；
(3)若方程 f x 3 在 a,b 上至少存在 2022 个根，且 b－a 的最小值不小于 2022，求 的取值范围．
π
45．（2024 高一下·上海虹口·期末）已知函数 f x tan x ，其中 0 .
3
(1)若 2，求函数 f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若 f x 在闭区间 0, π 上是严格增函数，求正实数 的取值范围.5.4.3 正切函数的性质与图象 7 题型分类
一、正切函数的图象
二、正切函数的性质
1 ．定义域： x | x k ,k z
，
2
2．值域：R
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 tan x tan x ．
5 ．单调性：在开区间 k , k k z 内，函数单调递增
2 2
三、正切函数型 y A tan( x )(A 0, 0)的性质
1、定义域：将“ x ”视为一个“整体”．令 x k , k z 解得 x ．
2
2、值域： ,
3 、 单 调 区 间 ：（ 1 ） 把 “ x ” 视 为 一 个 “ 整 体 ” ；（ 2 ） A 0(A < 0) 时 ， 函 数 单 调 性 与
y tan x(x k ,k z) 的相同（反）；（3）解不等式，得出 x 范围．
2
4、周期：T
（一）
正切函数的定义域、值域问题
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有
π
意义，即 x≠ ＋kπ，k∈Z.
2
②求正切型函数 y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋
π
，k∈Z，解得 x.
2
(2)求正切函数值域的方法
①对于 y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把 ωx＋φ 看成整体，结合图象，利用单调性求值域．
②对于与 y＝tan x 相关的二次函数，可以把 tan x 看成整体，利用配方法求值域
题型 1：正切函数的定义域问题
1-1．（2024 高一上·山西朔州·期末）函数 f (x) 3tan(4x
π
) 的定义域为 .
12
5π kπ
【答案】 x∣x , k Z48 4
【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.
4x π π kπ, k Z x 5π kπ【详解】令 ，所以 ,k Z，
12 2 48 4
即函数 f x x 5π kπ 的定义域为 ∣x , k Z .
48 4
故答案为： x∣x
5π kπ
, k Z .
48 4
π
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 y 1 tan x
的定义域为 ．
4
3π
【答案】 x kπ < x kπ,k Z4
【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可.
1 tan π π 【详解】 由 x 0 ，得 tan x 1 x
π π
，且 kπ k Z ．
4 4 4 2
π kπ x π π kπ k Z 3π由图可得 < ，即 kπ < x kπ k Z ．
2 4 4 4
π 3π
所以函数 y 1 tan x 的定义域为 x kπ < x kπ,k Z ．
4 4
3π
故答案为： x kπ < x kπ,k Z .
4
sin x cos x
1-3．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 y 的定义域为 ．
tan x
kπ
【答案】 x x , k Z2
【分析】根据分母不为 0，结合正切函数的定义域与性质分析求解.
【详解】因为函数 y sin x 与 y cos x的定义域为R ，
y sin x cos x若要使函数 有意义，必须使 tan x 有意义，且 tan x 0，
tan x
x kπ
π
,k Z
x kπ所以有 2 ，解得 , k Z，
x kπ, k Z
2
sin x cos x kπ
所以函数 y 的定义域为 x x , k Z ．
tan x 2
k
故答案为： x x ,k Z .
2
题型 2：正切函数的值域问题
y tan x 2-1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 , x , 的值域为 .
6 6 3
【答案】 0,
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【详解】设 z x
x ，因为 , ，可得 z (0,
)，
6 6 3 2
y tan z 0, 因为正切函数 在 2 上的值域为
0, ，
即函数 y tan x 在6
, 的值域为 0, .
6 3
故答案为： 0, .
π π
2-2．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y 1 3 tan x x 的值域为 ．
4 3
【答案】 é 2,1 3ù
【分析】根据正切函数单调性可确定 tan x 的范围，进而推导得到函数的值域.
π x π【详解】当 时， ，
4 3 1 tan x 3 \ 2 1 3 tan x 1 3
，
y π π即 1 3 tan x
x
的值域为 é 2,1 3ù .
4 3
故答案为： é 2,1 3ù .
2-3．（2024 高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数 y tan2 x tan x 2, x
é ù
,
4 4
的值域为 .
é7 ù
【答案】 ，4 4
【分析】先求出 tan x 1,1 ，再结合二次函数的内容求解.
x é , ù
2
【详解】由 得 tan x 1,1 4 4 ， y tan
2 x tan x 2 tan x
1
7
，
2 4
故当 tan x
1 7
时，有最小值 ，当 tan x 1时，有最大值 4 .
2 4
é7
故答案为： ，4
ù
. 4
é ù
2-4．（2024 高一下· 2上海长宁·期中）函数 f x 2 tan x 5 tan x 2， x ,4 4 的值域为 ．
【答案】 9,1
【分析】由 x 的范围求出 tan x 的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
é ù
【详解】解：因为 x , ，所以 tan x 1,1 ， 4 4
2
f x 2 tan x
5 9 ，
4 8
则当 tan x 1时， f x 1max ，
当 tan x 1时， f x 9min ，
所以函数 f x 的值域为 9,1 .
故答案为： 9,1 .
（二）
正切函数的图象问题
熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互
π
平行的直线 x＝ ＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
2
题型 3：正切函数的图象及应用
3-1．（2024 高一上·宁夏银川·期末）函数 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据 (1)的符号，即可得符合的函数图象.
【详解】因为函数 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）
所以 f x 2x × tan x 2x tan x f x ，则函数 f x 为偶函数，故排除 A，C 选项；
又 f 1 2 1 tan1 2 tan1 0 ，故排除 D 选项，故选 B 符合.
故选：B.
π π
3-2．（2024 高二下·浙江丽水·期中）函数 f (x) 3x3 tan x
在 ,
的图象大致为（2 2 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件可得 f (x)
π
在 ,
π π
2 2 上的图象关于原点对称，从而可得选项
A 和 C 错误，再利用 x
2
时， f (x) ，即可求出结果.
【详解】因为 f (x) 3x3 tan x ，所以 f ( x) 3x3 tan x f (x) ，
x π从而 ,
π
2 2 时，
f (x) 图象关于原点对称，所以选项 A 和 C 错误，
π 3π3 π
又 x 时，3x3 ， tan x ，所以 x 时， f (x) ，所以选项 B 错误，选项 D 正确，
2 8 2
故选：D.
3-3．（2024 高一上·全国·课后作业）画出函数 y | tan x |的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式 | tan x | 1的解集．
【答案】(1)答案见解析；
π π
(2){x | kπ x kπ ,k Z} .
4 4
【分析】（1）把函数化成分段函数，画出函数图象，再利用图象求解作答.
（2）利用正切函数单调性及周期性解不等式作答.
π
tan x, kπ < x < kπ
【详解】（1）函数 y | tan x |
2
，化为 y ,k Z，
tan x,kπ x < kπ π
2
函数 y | tan x |的图象如下：
观察图象知，函数 y | tan x |的定义域为{x
π
R | x kπ,k Z}；值域为[0, )；
2
函数 y | tan x |
π π
的递减区间是 ( kπ,kπ](k Z)，递增区间为[kπ, kπ)(k Z)；
2 2
函数 y | tan x |是偶函数；周期是 π .
π π
（2）由 | tan x | 1，得 1 tan x 1，而函数 y tan x 在 ( , ) 上单调递增，且是周期为 π的周期函数，
2 2
π kπ x π于是 kπ,k Z，
4 4
π π
所以不等式 | tan x | 1的解集是{x | kπ x kπ ,k Z} .
4 4
3-4．（2024 高一上·广东·期末）若函数 y tan(x )( 0)的图象与直线 x π 没有交点，则 的最小值为
（ ）
π π
A．0 B． C． D． π
4 2
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质，代入求值.
【详解】函数 y tan x x
π
的图象与直线 kπ(k Z)没有交点．
2
若函数 y tan(x )( 0)的图象与直线 x π 没有交点，
π π π则 kπ,k Z， kπ ， k Z , 0 ，
2 2
则
π
的最小值为 ．
2
故选：C
3-5．（2024 高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的 x 的集合．
(1)满足 tanx 0的集合．
(2)满足 tanx < 0的集合．
(3)满足 tanx 0的集合．
【答案】(1){x | x k ,k Z}
(2) x | k < x < k , k Z
2
(3) x | k < x < k ,k Z
2
【分析】作出函数 y tan x 的部分图象，观察图象位于 x 轴上，x 轴下方，x 轴上方的部分，写出对应区间，
问题得解.
【详解】（1）作正切函数 y tan x 的部分图象如下：
观察图象可知：
x k ,k Z为函数图象的零点，即 tan x 0 ，
所以， tan x 0 的解集为{x | x k ,k Z}；
（2）当 k < x < k ,k Z时，图象位于 x 轴下方，即 tan x < 0，
2
所以， tan x < 0的解集为 x | k < x < k ,k Z2 ；
（3）当 k < x
< k ,k Z时，图象位于 x 轴上方，即 tan x 0 ，
2
所以， tan x 0 的解集为 x | k
< x < k , k Z
2
（三）
正切函数的单调性及其应用
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数 y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
π π
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把 ωx＋φ 看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z 即可．当
2 2
ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间．
题型 4：正切函数的单调性及其应用
4-1．（2024
高一下·全国·单元测试）函数 y tan 3x 6 的单调区间是（ ）
é π
A． kπ ,kπ
π
ù (k Z) B
． k
2
,k (k Z)
3 3 9 9
ék , k 2 C ù． (k Z)
k D． ,
k 2
(k Z)
3 9 3 9 3 9 3 9
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
y tan 3x tan 3x 【详解】因为
6 6 ，
k 3x k 令 < < ， k Z
k x k 2 ，解得 < < k Z2 6 2 3 9 3 9 ， ，
y tan 3x k k 2 所以函数 6 的单调递减区间为
, (k Z)
3 9 3 9
.
故选：D.
4-2．（2024 高一·全国·
课后作业）已知函数 y tan x 在 ,2 2 上是严格减函数，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】 1,0
【分析】根据题意得到 < 0 ， ,
2 2
, ，即可得到答案.
2 2
【详解】因为函数 y tan x 在 , 上是严格减函数，
2 2
所以 < 0 ， < x < 2 2 ，
, , ，
2 2 2 2
2 2
1 < 0 .
2 2
故答案为： 1,0
4-3．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 y tan
3x π 的单调递减区间为 ．
4
π kπ π kπ
【答案】 ,
(k Z)
12 3 4 3
【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可.
【详解】 y tan
3x
π π
tan
3x
．
4 4
π
由 kπ < 3x
π π
< kπ k Z π kπ < x π kπ< k Z ，
2 4 2 12 3 4 3
故函数 y tan 3x
π π kπ π kπ
的单调递减区间为 ,
(k Z)
4 12 3 4 3
π kπ , π kπ故答案为：
(k Z)
12 3 4 3
π x
4-4．（2024 高三·全国·专题练习） y 3tan 的单调递减区间为 .
6 4
4
【答案】 4kπ π, 4kπ
8
π k Z
3 3
x π
【分析】化简函数为 y 3tan ，由正切函数的性质可求得函数的单调递减区间.
4 6
【详解】函数 y 3tan
π x 3tan x π
6 4 4 6
，
π x π
由正切函数的性质知 kπ < < kπ
π
k Z ，
2 4 6 2
4
解得 4kπ π < x < 4kπ
8
π k Z
3 3
4
所以函数的单调递减区间为 4kπ π, 4kπ
8
π
3 3
k Z
4
故答案为： 4kπ π, 4kπ
8
π k Z
3 3
π π
4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数 f (x) A tan( x )( 0)，若 （f x）在区间
3
，π
2 内单调递减，
则 的取值范围是（ ）
0 1 1 7A． ， B． ( , ) C． (0,
1]U[1 , 7] 1 1 7D
6 ．
(0, ) U ( , )
3 6 6 3 6 6 3 6
【答案】C
π
【分析】转化为 y tan( x
π
)( 0) 在区间 ，π2 内单调递增，根据正切函数的单调区间求出3
π
y tan( x π π )( 0) 的单调递增区间，再根据区间 ，π 是 y tan( x )( 0)2 的单调递增区间的子集3 3
列式可求出结果.
π π
【详解】因为 （f x）在区间 ，π 内单调递减，所以 A < 0，y tan( x
π
)( 0)
2 在区间
，π
3 2
内单调递增，
kπ π x π π kπ 5π kπ π由 < < kπ ， k Z，得 < x < ， k Z，
2 3 2 6 6
kπ 5π kπ π
所以 y tan( x
π
)( 0) 的单调递增区间为 , 3 6 6
， k Z，
π kπ 5π kπ π
依题意得 ，π , ， k Z2 ， 6 6
kπ 5π π
6 2
所以 kπ π ，
k Z，
π
6
5 1
所以 2k k ， k Z，
3 6
由 2k
5 k 1 得 k
11 0 1 1 ，由 < k 得 k ，
3 6 6 6 6
1 k 11所以 且 k Z，
6 6
所以 k 0或 k 1，
5 1 0 1当 k 0时， ，又 0，所以 < ，
3 6 6
1 7
当 k 1时， .
3 6
(0, 1]U[1 , 7综上所述： ] .
6 3 6
故选：C.
（四）
正切函数的奇偶性与周期性
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
π
(1)一般地，函数 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝ ，常常利用此公式来求周期．
|ω|
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若
对称，再判断 f(－x)与 f(x)的关系．
题型 5：正切函数的周期性
π
5-1．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y 2 tan 3x
的最小正周期是（ ）
4
π π
A． B．
6 3
π
C． D．π
2
【答案】B
【分析】根据正切型三角函数的周期性求解即可.
【详解】函数 y 2 tan
3x π π 的最小正周期是 .
4 3
故选：B.
π x
5-2．（2024 高一下·上海虹口·期中）函数 y tan 的最小正周期为 ．
5 3
【答案】3π
【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.
y π x
π
tan 1 3π【详解】由题意函数 的最小正周期为 ，
5 3 | |3
故答案为：3π
f x tan x π 5-3．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）设函数 2 3
(1)求函数 f (x) 的定义域、最小正周期．
(2)求不等式 1 f (x) 3的解集．
5π
【答案】(1)定义域 x | x 2kπ, k Z ；最小正周期T 2π；
3
π
(2) x | 2kπ x
4π
2kπ,k Z
6 3
【分析】（1）根据正切函数的性质列不等式即可得函数定义域，由正切型三角函数的性质得最小正周期；
（2）根据正切型函数的性质可求解不等式的解集.
【详解】（1）函数 f x tan x π x π π 5π 的定义域满足函数 kπ,k Z，所以 x 2kπ,k Z
2 3 2 3 2 3
5π
所以函数的定义域为 x | x 2kπ, k Z3
；
T π
最小正周期 1
2π
；
2
π kπ x π π（2）由不等式 1 f (x) 3，则 kπ,k Z
π 4π
，解得 2kπ x 2kπ, k Z，
4 2 3 3 6 3
π
所以不等式的解集为 x | 2kπ x
4π
2kπ,k Z .
6 3
题型 6：正切函数的奇偶性
6-1．（2024·全国·模拟预测）若函数 f x Atan x A 0 为奇函数，则 （ ）
kπ
A． kπ k Z B． 2kπ k Z C． k Z D． 2k 1 kπ k Z
2
【答案】C
【分析】分 0 在定义域内和 0 不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若 0 在定义域内，由 x 0时， y 0 得， kπ k Z ；
若 0 不在定义域内，由 x 0时， tan
π
无意义，得 kπ k Z ．
2
综上，
kπ
k Z ．
2
故选：C．
6-2．（24-25 高一·上海·随堂练习）函数 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）为奇函数需满足条件为 ．
kπ
【答案】 ， k Z
2
【分析】由正切型函数为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可.
【详解】若函数 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）为奇函数，
k
则根据正切函数的对称中心可得 0 ， k Z．
2
所以
kπ
， k Z，
2
kπ
故答案为： ， k Z
2
6-3．（2024 高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为 π的函数为（ ）
A． y cosx B． y sinx C． y sin2x D． y tan2x
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对 A， y cos x是偶函数，周期为 2π，故 A 错误；
对 B，设 f x sinx ，定义域为R ，且 f x sin x sin x ，则其为偶函数，
因为 y sinx周期为 2π，则 y sinx 的周期为 π，故 B 正确；
对 C， y sin 2x 是奇函数，周期为 π，故 C 错误；
对 D， y tan2x
π
是奇函数，周期为 ，故 D 错误.
2
故选：B.
x
6-4．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 f (x) a tan bsin x 4（其中 a、b为常数且 ab 0），如果
2
f 3 5，则 f (2010 3)的值为（ ）
A． 3 B．3 C． 5 D．5
【答案】B
x
【分析】构造函数 g(x) f (x) 4 a tan bsin x，则函数 g(x)是奇函数且周期为 2π，先求得
2
g(2010π 3) 1，进而得到 f (2010 3)的值.
【详解】设 g(x)
x
f (x) 4 a tan bsin x， x 2kπ π, k Z
2
则 g( x) a tan
x
bsin( x) a tan tan
x
bsin x g(x)，2 2
则函数 g(x)是奇函数；
g(x 2π) a tan x 2π bsin(x 2π) a tan x bsin x g(x) ，
2 2
则函数 g(x)是周期为 2π的周期函数；
由 f (3) 5，可得 g(3) f (3) 4 1，则 g( 3) 1，
所以 g(2010π 3) f (2010π 3) 4 g( 3) 1，
则 f (2010π 3) 4 1 3
故选：B .
6-5 5．（2024 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x x tanx 3，且 f m 2，则 f m （ ）
A． 4 B． 1 C．1 D．4
【答案】A
【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】设 g x f x 3 π x5 tanx，定义域为 x x k ,k Z
，关于原点对称，
2
则 g x x 5 tan x x5 tanx g x ，故 g x 是奇函数，
从而 g m g m ，即 f m 3 é f m 3ù ，
即 f m f m 6 4 .
故选：A
6-6．（2024 高一下·山东潍坊·期中）已知 f x 2023sin x 2024 tan x 1，
f -2 + f -1 + f 0 + f 1 + f 2 = .
【答案】 5
【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案.
【详解】令 g x 2023sin x 2024 tan x，
由 y sin x 与 y tan x 为奇函数，则 g x g x ，
则 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2
g 2 1 g 1 1 g 0 1 g 1 1 g 2 1
g 2 g 2 g 1 g 1 g 0 5 = 5 .
故答案为： 5 .
（五）
正切函数的对称性
kπ
正切曲线的对称中心为( ，0)(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体2
性入手求出具体范围．
题型 7：正切函数的对称性
1 π
7-1．（2024 高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数 f (x) 3tan
x 的图象的对称中心为 .
2 3
kπ 2π 【答案】 ,0 ,k Z
3
【分析】由正切函数的对称中心直接求解即可.
【详解】∵ y tan x
kπ
的对称中心为 ,0 ,k Z，
2
1 x π kπ 2π∴令 ,k Z，则 x kπ ,k Z，
2 3 2 3
即 f x kπ 2π的对称中心为 ,0
,k Z .
3
kπ 2π 故答案为： ,0 ,k Z .
3
2
7-2．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x sin x 0,0 < < π 的最小正周期为 π3 ，其图
π
像的一个对称中心的坐标为 ,04 ，则曲线
g x tan x 的对称中心坐标为（ ）
kπ π kπ π
A． ,0
， k Z B． ,0 ， k Z
3 12 6 12
kπ π kπ π
C． ,0
， k Z D． ,0
， k Z
3 12 6 12
【答案】B
【分析】函数 f x 的最小正周期和一个对称中心的坐标解出 , ，得到 g x 解析式，利用整体代入法求对
称中心.
【详解】函数 f x sin x 0,0 < < π 2 2 2π的最小正周期为 π ，则有 π ， 33 ，则3
f x sin 3x ，
π π 3π
函数图像的一个对称中心的坐标为 ,0 ，则 f sin 0
4
，
4 4
π
由0 < < π， 4 ，
g x tan 3x π 3x π kπ kπ π则 ，由 k Z ，解得 x k Z ，
4 4 2 6 12
kπ π
所以曲线 g x tan x 的对称中心坐标为 ,0 ， k Z .
6 12
故选：B
kπ
7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点 ,0 (k Z)为对称中心的函数是（ ）．
2
A． y sin x B． y cos x
C． y tan x D． y | tan x |
【答案】C
【分析】根据三角函数的对称性依次判定.
【详解】对于 A 选项，对称中心为 kπ,0 (k Z)，故不选 A；
π
对于 B 选项，对称中心为 kπ,02
(k Z)，故不选 B;
kπ
对于 C 选项，对称中心为 ,0
(k Z)，故 C 选项正确；
2
对于 D 选项，不是中心对称图形，故不选 D.
故选：C.
一、单选题
π π
1．（2024 高一上·福建漳州·期末）函数 f (x) tan x 的单调区间是（2 3 ）
5 1
A． 2k, 2k (k Z)
é 5
B． 2k,
1
2k ù (k Z)
3 3 3 3
5
C． 4k,
1
4k 5 1 (k Z)
é
D． 4k, 4k
ù (k Z)
3 3 3 3
【答案】A
π π π π
【分析】根据正切函数的性质可得 kπ < x < kπ,k Z，解得答案.
2 2 3 2
π π π π 5 1
【详解】由 kπ < x < kπ,k Z
，解得 k 2k, 2k
, k Z，
2 2 3 2 3 3
π π 5 1
所以函数 f (x) tan x 的单调区间是 2k, 2k (k Z) .
2 3 3 3
故选：A.
π
2 ．（2024 高一下·内蒙古包头·期末）函数 y tan 2x 3 的定义域是（ ）
x x 5π kπ , k Z x x 5πA． B． kπ, k Z
12 2 12
π kπ π
C． x x , k Z D． x x kπ, k Z
3 2 3
【答案】A
【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.
π π 5π kπ
【详解】由题意可得： 2x kπ k Z ，解得 x k Z ，
3 2 12 2
5π kπ
函数 y tan
2x
π
的定义域为 x x , k Z3 . 12 2
故选：A.
πx
3．（2024 高三上·山西晋中·阶段练习）函数 f x tan 的最小正周期是（
2 ）
A． 2π B． 4π C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据正切函数的周期性求解．
π
【详解】 f x 2的最小正周期为 π .
2
故选：C.
4．（2024 高二下·湖南·学业考试）函数 y tan x 在一个周期内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正切函数的图象与性质判断，
【详解】由正切函数的图象与性质可知 y tan x 在 ( , )上单调递增，图象为 A，
2 2
故选：A
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 对任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函数 f x 1 的图象关于
1,0 对称，当 x 1,1 时， f x tanx .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 y f x 的图象关于点 k,0 k Z 对称
B．函数 y f x 的图象关于直线 x 2k k Z 对称
C．函数 y f x 的最小正周期为 2
D．当 x 2,3 时， f x tan x 2
【答案】C
【分析】根据题中条件可得 f x 的周期为 4 且关于 0,0 对称，结合 x 1,1 时， f x tanx，即可画出
函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数 f x 对任意 x R 都有 f x f x 2 ，即 f x - f x 2 =- é - f x 4 ù =f x 4 恒
成立，所以 f x 的周期为 4.
因为函数 f x 1 的图象关于 1,0 对称，所以将 y f x 1 的图象向右平移一个单位，得到 y f x 的图
象，所以 y f x 的图象关于 0,0 对称，
故 f x 2 =- f x f x ，因此 f x 的图象关于 x 1对称，
设 x 1,3 ，则 x 2 1,1 ，
因为函数 f x 对任意 x R 都有 f x f x 2
所以 f x f x 2 tan x 2 ，
tanx, 1 x 1,
所以 f x tan x 2 ,1 D . < x 3,
所以选项 错误
作出 y f x 的图象如图所示：
由图象可知，函数 y f x 的图象关于点 2k,0 k Z 中心对称，关于直线 x 2k 1 k Z 对称，故 A，B
错误；
对于 C：函数 y f x 的图象可以看成 y f x 的图象 x 轴上方的图象保留，把 x 轴下方的图象翻折到 x 轴
上方，所以函数 y f x 的最小正周期为 2.故 C 正确.
故选：C
6．（2024 高一下·北京·期中）函数 f x tan x sin x tan x sin x π 3π|在区间（ ， ）内的图象是（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.
x π 【详解】当 , π 时， tan x < 0 < sin x，
2
∴ f x tan x sin x tan x sin x 2 tan x ，
3π
当 x π, 时， tan x 0 sin x ，
2
∴ f x tan x sin x tan x sin x 2sin x ，
由选项可判定 B 选项图象正确.
故选：B
7．（2024 高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）
A． tan1 tan 2 B． tan 735° tan800°
5π
C． tan tan
4π 9π
D． tan tan
π
7 7 8 7
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，结合正切函数的单调性和诱导公式，逐项判定，即可求解.
π π 2π
【详解】对于 A 中，由0 <1 < ，且 < 2 < ，由正切函数 y tan x 性质，
3 3 3
0 tan1 tan π 3 tan 2 tan 2π可得 < < ， tan 2 < 0且 < 3 ，
3 3
所以 tan 2 3 ，所以 tan1 < tan 2，所以 A 不正确；
对于 B 中，由 tan 735° tan15°, tan800° tan80°，
由正切函数 y tan x 单调性可得 tan15° < tan80°，即 tan 735° < tan800°，所以 B 错误；
π
对于 C 中，由正切函数 y tan x 在 ( , π) 上为单调递增函数，
2
4π 5π 5π
因为 < ，所以 tan tan
4π
，所以 C 正确；
7 7 7 7
9π
对于 D 中，由 tan tan(π
π) tan π π π ，由正切函数的单调性，可得 tan < tan ，
8 8 8 8 7
9π
即 tan < tan
π
，所以 D 错误.
8 7
故选：C.
8．（2024 高一下·河南平顶山·阶段练习）函数 f x tan 2x
π
图象的对称中心可能是(7 )
π ,0 π π π A． B． ,0 C． ,0 D． ,0
7 7 14 14
【答案】C
【分析】令 2x
π kπ
,k Z即可求出 f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解．
7 2
π kπ π kπ
【详解】由 2x ,k Z，得 x , k Z ，
7 2 14 4
x π当 k 0时， ．
14
故选：C．
9．（2024
高一下·上海·课后作业）已知函数 y tan x 在 ,2 2 内是减函数，则
的取值范围为（ ）
A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2
【答案】B
【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 y tan x
在 ,
内是减函数，可得 < 0 ，
2 2
x , x , 由 ，可得 ，
2 2 2 2
2 2
则 ，所以 1 < 0 .
2 2
故选：B.
2sin 2x，x
π
kπ，k Z
10 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 f x = ，若方程 f x 3 在 0，m 上
tan x，x π kπ，k Z
3
恰有 5 个不同实根，则 m 的取值范围是（ ）
7π 4π ù 7π 19π ù 5π 13π ù 13π 7π ù
A． ， B． ， C． ， D． ， 6 3 3 6 3 6 6 3
【答案】D
【分析】求出方程 f x 3 的根，然后根据方程 f x 3 在 0，m 上恰有 5 个不同实根列出不等关系，进
而求解.
2sin 2x，x
π
kπ，k Z
3
【详解】因为函数 f x = ，
tan x x π， kπ，k Z
3
x π当 kπ，k Z时，方程 f x 3 可化为
3 2sin 2x 3
，解得
x π kπ k Z k 0 x π , 7π 13π ， ，则当 时， , ,
19π ,L，
6 6 6 6 6
π π
当 x kπ，k Z时，方程 f x 3 可化为 tan x 3 ，解得 x kπ，k Z，
3 3
k 0 x π , 4π则当 时， ,
7π ,10π ,L
3 3 3 3
因为根据方程 f x 3 在 0，m 上恰有 5 个不同实根，
π π 7π
所以这 5 个不同实根为 , , ,
4π ,13π 13π m 7π，则 < ，
6 3 6 3 6 6 3
故选：D.
11．（2024 高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f x 2 f x ，且当 x 0,1 时，
f (x) tan πx ，则 f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用 f (x) 的奇偶性与周期性画出 f (x) 的图像，由图像即可分析得 f x 在[0,5]上的零点个数．
π
【详解】先绘制 f (x) tan x 在( 0, 1)上的图像，根据 f (x) 是奇函数，可得到 f (x) 在 ( 1,0) 上图像和
2
f (0) 0，
再由 f (x 2) f (x) 得到 f (x) 的周期为 2，
令 x 1，则 f (1) = f (-1) = - f (1) ，所以 f (1) f ( 1) 0 ，
即可得到 f (x) 的图像，
由图可知， f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 0，
所以 f x 在[0,5]有 6 个零点，
故选：D．
π 2 112．（2024 高二下·湖南·阶段练习）若q 0, ，则
3 tanq 的最小值为（ ）3 tan q
A． 2 3 B 3 2 C 3 5 2 6． ． D． 3
2 2 2 3
【答案】D
【分析】依题意可得 tanq 3 tanq 3 ，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 tanq 3 tanq 3 q 0, π ， 3 ，则0 < tanq < 3 ，0 < 3 tanq < 3 ，
2 1 3 2 1 3 é 2 3 tanq tanq ù
所以 étanq 3 tanq ù 2 1
tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq
é
3 2 3 tanq ù 3 2
tanq
×
3 2 6
3 2 2 3 ，3 tanq 3 tanq 3 3
2 3 tanq
当且仅当 tanq ，即 tanq 2 3 6 时取等号，
tanq 3 tanq
2 1 2 6
所以 tanq 的最小值为 3 .3 tanq 3
故选：D
nπ
13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若 f (n) tan ，（ n N* ），则 f (1) f (2) ××× f (2023) （ ）3
A． 3 B． 3 C．0 D． 2 3
【答案】B
nπ
【分析】 f n tan n N* 是周期为 3 的周期函数，计算 f (1), f (2), f (3)的值，由此能求出
3
f (1) f (2) ××× f (2023) 的值．
Q f (n) tan nπ【详解】 (n N*) 是周期为 3 的周期函数，
3
f (1) tan π 3 ， f (2) tan
2π
3 ， f (3) tan π 0，
3 3
\ f (1) f (2) ××× f (2023) 674 f (1) f (2) f (3) f (1) 3．
故选：B．
π é π ù
14．（2024 高一下·河北衡水·阶段练习）函数 f x 3 tan 2x m在 , n 上的最大值为3，最小值 6 12
为 1，则mn （ ）
π π π π
A． B． C． D
6 3 6
．
3
【答案】D
é π ù π π
【分析】由正切函数的单调性可知函数在 , n 12
上单调递增，即 f 3 tan m 1，
12 3
f n 3 tan 2n π m 3，解方程即可得出答案.
6
é π ù π
【详解】因为 x ,n ，所以 n ， 12 12
π é π π ù
所以 2x
6
, 2n
3 6
，
因为函数 f x 3 tan 2x π é π m在 , n
ù
上的最大值为3，最小值为 1， 6 12
2n π π π π π所以 < ，即 n < ，所以 < n <
6 2 3 12 3
t π令 2x ， y tan t ，因为 y tan t
é π , π ù
6 在 上单调递增， 2 2
t 2x π
6 在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数 f x 3 tan 2x π é π ù m在 ,n 上单调递增，
6 12
所以 f
π π
3 tan m 1，解得：m 2，
12 3
f n 3 tan 2n π
m 3 tan
2n
π
6 6
2 3，
π π π π π
解得： tan 2n
π 3
，因为 < n < ，则 < 2n < ，
6 3 12 3 3 6 2
2n π π n π所以 ，解得： .
6 6 6
故mn 2
π π
.
6 3
故选：D.
15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 f x tan x 0, π < 的图像如图所示，图中阴影部分的面
2
2023π
积为 6π ，则 f （3 ）
A 3 3． B． 3 C． D． 3
3 3
【答案】A
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为T 2π，结合图象所过的点求参
数，即可得 f x 解析式，进而求函数值.
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形 ABCD的面积，可得 AB 3，
设函数 f x 的最小正周期为T ，则 AD T ，
1 1
由题意得3T 6π，解得T 2π，故 2 ，得 ，即 f x tan x
2 2
，
f x π的图象过点 , 1
1 π π
，即 tan tan 1，
6 2 6 12
π , π π 5π∵ ，则 ,
7π
2 2
，
12 12 12
π π π∴ ，解得 ．
12 4 3
∴ f x tan 1 x π 2 3
∴ f 2023π tan
2023π π 2021π 5π 3 tan tan .
3 6 3 6 6 3
故选：A
二、多选题
π
16．（2024 高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数 f x tan 2x ，则下列说法错误的是（6 ）
π π
A． f x 的最小正周期为 B． f x 的定义域为 x x kπ ,k Z
2 3
f π f πC．
D． f x
π π
在
4 4
, 上单调递减
3 2
【答案】BD
π π π
【分析】根据T 求出最小正周期判断 A；令 2x kπ,k Z ，求出定义域判断 B；代入计算6 2
f π π f 3 判断 C；代入检验得到 f x
π π
在 ,
4 4 3 2
上单调递增判断 D.
π
【详解】因为 f x tan 2x 6 ，
对于 A：所以 f x π的最小正周期为T ，故 A 正确；
2
π kπ
对于 B：令 2x
π π kπ,k Z x π k ，解得 π, k Z，所以 f x 的定义域为 x x , k Z ，故 B
6 2 3 2 3 2
错误；
f π tan π π tan π π π π 2π 2π对于 C：
3， f tan
tan
4 2 6 3 4 2 6 3
tan π 3 ，故 C 正
3
确；
π π π π 5π π 5π
对于 D：当 x , 2x , y tan z z ,3 2 时， ，因为 在6 2 6 2 6
上单调递增，
f x π π 故 在 , 上单调递增，故 D 错误.
3 2
故选：BD
17．（2024 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数 f x tan 2x，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f (x) 是奇函数
B．函数 f (x) 的最小正周期是 π
C．函数 f (x) (
π , π在 )上单调递增
4 4
D．函数 f (x)
kπ
图象的对称中心是 ( ,0)(k Z)4
【答案】ACD
【分析】对于 A，利用函数奇偶性的定义判断，对于 B，利用周期公式判断，对于 C，利用正切函数的性质
kπ
分析判断，对于 D，由 2x ,k Z 分析判断.
2
f x tan 2x π kπ , π kπ 【详解】对于 A， 的定义域为 (k Z) ，定义域关于原点对称，
4 2 4 2
因为 f x tan( 2x) tan 2x f x ，所以 f (x) 是奇函数，所以 A 正确，
π
对于 B， f (x) 的最小正周期为T ，所以 B 错误，
2
x π , π 2x π , π π π对于 C，由 ，得
，因为 y tan x 在 ,
4 4 2 2 2 2
上单调递增，
所以 f (x) (
π
在 ,
π )上单调递增，所以 C 正确，
4 4
kπ
对于 D，由 2x ,k Z x
kπ
,k Z kπ，得 ，所以 f (x) 图象的对称中心是 ( ,0)(k Z)4 ，所以 D 正确，2 4
故选：ACD
π
18．（2024 高三上·山东·开学考试）已知函数 f x tan 2x ，则下列说法正确的是（6 ）
A． f x π的最小正周期为
2
π π
B． f x 在 ,6 3 上单调递减
f π f 3πC．
5 10
D． f x π 的定义域为 x x kπ, k Z3
【答案】AC
【分析】考查正切函数 f x tan x的图像与性质易得 AC 正确.
【详解】解：因为 f x tan π 2x
，
6
对于 A： f x π的最小正周期为T ，故 A 正确；
2
x π , π π π π π 对于 B：当 6 3 时，
2x , ，因为 y tan z在 z 0, 上单调递增，
6 6 2 2
故 f x π , π 在 6 3 上单调递增，故 B 错误；
f x π f π f π π f 3π 对于 C：因为 的最小正周期为T ，所以 ，故 C 正确；2 5 5 2 10
π π π k π kπ
对于 D：令 2x kπ， k Z，解得 x π
， k Z，所以 f x 的定义域为 x x , k Z ，
6 2 3 2 3 2
故 D 错误．
故选：AC．
π π
19．（2024 高一下·四川成都·期中）已知函数 f x tan x ，则下列描述中正确的是（ ）．
2 3
1
A．函数 f x 的图象关于点 ,0 成中心对称
3
B．函数 f x 的最小正周期为 2
C．函数 f x 5 1的单调增区间为 4k, 4k ， k Z
3 3
D．函数 f x 的图象没有对称轴
【答案】BD
【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．
π x π kπ k Z , x k 2 k Z k 2 1 1【详解】对于 A：令 ，令 得 k ，不是整数，故 A 不正确；
2 3 2 3 3 3 3
π =2
对于 B：函数 f（x）的最小正周期为 T＝ π ，故 B 正确；
2
π π π π
对于 C：令 kπ < x < kπ+ k Z 5 1 ，解不等式可得函数的单调递增区间为 2k, 2k k Z ，2 2 3 2 3 3
故 C 错误；
对于 D：正切函数不是轴对称图形，故 D 正确．
故选：BD．
π
20．（2024 高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数 f x tan 2x ，则（ ）
6
f π 3A ． 2
3
B． f x 的最小正周期为 π
C．把 f x π向左平移 可以得到函数 g x tan 2x
6
D． f x π 在 ,06 上单调递增
【答案】AD
【分析】运用正切函数的最小正周期公式、单调性，结合特殊角的正切函数值、正切函数图象的变换性质
逐一判断即可.
f π tan 2 π π tan π π【详解】A：因为
tan π 3 ，所以本选项正确；
2 2 6 6 6 3
T πB：由正切型函数的最小正周期公式可得 ，所以本选项不正确；
2
π π
C：把 f x 向左平移 可以得到函数 g x f x tan
é2 π π ù π
6 6
x tan 2x ，所以本选项不正确；
6 6
6
x π π π π ,0 2x , D
π π
：当 时， ，显然是 ,2 2 的子集，因此本选项正确， 6 6 2 6
故选：AD
π
21．（2024 高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数 f x tan x ，则下列叙述中，正确的是（ ）
4
f x π ,0 f x π , π A．函数 的图象关于点 4 对称 B．函数 在 上单调递增 4 4
π
C．函数 f x 的图象关于直线 x 2 对称 D．函数 y f x 是偶函数
【答案】AB
【分析】根据正切函数的对称性判断 AC，利用正切函数的单调性判断 B，由偶函数的定义，利用特殊值判
断 D．
π
【详解】 f 4
tan 0 0，A 正确；
x π π π π当
, 时， x 0, ，因此此时 f x 单调递增，B 正确；
4 4 4 2
函数 y tan x
π
的图象不是轴对称图形，函数 f x 的图象是由 y tan x 的图象向左平移 个单位得到的，所
4
以其图象也不是轴对称图形，C 错误；
f π 0 f π 因为 ，但4
不存在，D 错误，
4
故选：AB．
π
22．（2024 高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数 y tan 2x 的图像的对称中心的是（6 ）
π π 5π π
A ． ,0 B． ,0 C． ,0 D． ,0
12 6 12 3
【答案】ACD
【分析】根据正切函数的性质计算可得.
y π tan 2x 2x π kπ【详解】对于函数 ，令 ,k Z，
6 6 2
x π kπ
π kπ
解得 , k Z
，所以函数的对称中心为 ,0 ,k Z，12 4 12 4
π 5π π
当 k 0时为 ,0 ，当 k 2 时为 ,0 ，当 k 1时为 ,0 .
12 12 3
故选：ACD
23．（2024 高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．对于定义在实数R 上的函数 f x 中满足 f x 2 f x ，则函数 f x 是以 2 为周期的函数
B．函数 f x tan x
π 5π π 的单调递增区间为3
kπ, kπ
6 6
， k Z
π
C．函数 f x sin x 为奇函数
2
D．角a 的终边上一点坐标为 1，3 ，则cosa 3
2
【答案】AB
【分析】根据周期的定义，判断 A；根据正切函数的单调性，判断 B；根据诱导公式化简函数，即可判断 C；
根据三角函数的定义，即可判断 D.
【详解】A.若对"x R ，满足 f x 2 f x ，则函数 f x 是以 2 为周期的函数，故 A 正确；
kπ π x π π 5πB.令 < < kπ ，解得： kπ < x
π
< kπ ， k Z，
2 3 2 6 6
5π π
所以函数的单调递增区间为 kπ, kπ ， k Z，故 B 正确；
6 6
C. f x sin π x cos x2 为偶函数，故 C 错误；
2 1
D. 2角a 的终边上一点坐标为 1，3 ， r 1 3 2，则 cosa ，故 D 错误.2
故选：AB
π
24．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 f x 7 tan 2x
，则（3 ）
f π A． 6
7 3
f x π B． 6
为奇函数
C． f (x)
π kπ
图象的对称中心为 ,0 k Z
6 8
D． f (x)
π kπ
的定义域为 x∣x , k Z
12 2
【答案】ABD
【分析】利用正切函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】因为函数 f x 7 tan 2x
π
，
3
f π 7 tan 2 π π 2π所以
7 tan 7 3 ，故 A 正确；
6 6 3 3
f x 7 tan 2x π π 由 得， f x 7 tan 2x，
3 6
π kπ π
对于函数 y 7 tan 2x，令 2x kπ,k Z，得 x , k Z，
2 2 4
kπ π
可知定义域为 x x , k Z 关于原点对称，又7 tan 2x 7 tan 2x ，
2 4
所以函数 y 7 tan 2x
π
为奇函数，即 f x 为奇函数，故 B 正确；
6
由 2x
π kπ
(k Z) kπ π，得到 x k Z ，
3 2 4 6
π kπ π
所以 f x 7 tan 2x 的对称中心为 ,0 k Z ，故 C 错误；
3 4 6
2x π π令 kπ, k Z x
kπ π
，得 ,k Z，
3 2 2 12
所以 f (x)
x x π kπ的定义域为 ∣ , k Z
，故 D 正确；
12 2
故选：ABD
三、填空题
25．（2024 高一下·辽宁锦州·期中） f x tanx sinx 1，若 f 2 2，则 f 2 ．
【答案】0
【分析】代入计算并运用函数的奇偶性求解即可.
【详解】因为 f (2) tan 2 sin 2 1 2，
所以 tan 2 sin 2 1，
所以 f ( 2) tan( 2) sin( 2) 1 (tan 2 sin 2) 1 0 .
故答案为：0.
π
26．（2024 高一下·广东阳江·期末）已知 tan a 3 ，请写出一个满足条件的角a ．
4
π
【答案】 （答案不唯一）
12
【分析】根据特殊角的正切函数值进行求解即可.
tan a π tan π a π π【详解】 ，所以 kπ,k Z，
4 3 4 3
a π则 12 kπ,k Z，
π
故满足条件的一个角为 .
12
π
故答案为： （答案不唯一）.
12
27．（2024 高一下·上海徐汇·期中）函数 f (x) tan2 x tan x 2, x
é
,
ù
的值域是 4 4
é 9 ù
【答案】 ,0
4
【分析】求出 tan x 的范围，利用二次函数的性质得出值域.
é ù
【详解】Q x , ，\ tan x [ 1,1] 4 4
2
Q f (x) tan2 x tan x 2 tan x 1 9 2
4
9
\ f (x) 0
4
é 9 ù
故答案为： ,0 4
π π
28．（2024 高二上·广西崇左·开学考试）若函数 y tan 2x k ，x 0, 的图象都在 x 轴上方，则实数
3 6
k 的取值范围为 .
【答案】 é 3,
π π
【分析】由题意可得 y tan 2x k 0对于 x 0, 恒成立，分离 k 转化为最值问题即可求解.
3 6
【详解】因为函数 y tan
2x
π π k
， x 0,
的图象都在 x 轴上方，
3 6
π
所以 y tan 2x k 0 x
对于 0,
π
恒成立，
3 6
k tan 2x π x 所以 对于 0,
π
恒成立，
3 6
因为 x
0, π π π π ，所以 2x
,0 ， tan
2x
3,0 ，
6 3 3 3
tan 2x π所以
3
0, 3 ，
所以 k 3 ，
所以实数 k 的取值范围为 é 3, ，
故答案为： é 3, .
29．（2024 高一下·上海·课后作业）函数 y tan2 x 2 tan x, x é
, ù 6 4 的值域为
．
é1 2 3 ù
【答案】 ,3
3
【分析】先求出 tan x 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
【详解】∵ x
é , ù ∴ tan x [ 3 6 4
， ,1]，
3
y tan2 x 2 tan x (tan x 1)2 1，
é1 2 3 ù
∴ tan x 3 1 2 3 时， y ， tan x 1时， ymax 3min ，∴所求值域为 ,3 ．3 3 3
é1 2 3 ù
故答案为： ,3 ．
3
【点睛】本题考查对数型函数的值域，解题时利用整体思想（即换元思想）转化为二次函数值域问题求解，
使问题更加简便易求．
30．（2024 高一·全国·课后作业）若函数 f x tan x aπ , aπ 在区间 3 2 上是增函数，则实数 a 的取值范围
是 ．
【答案】 0,1
【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可.
aπ aπ
【详解】解：因为 ，所以 a 0，
2 3
a 0
aπ π
所以 ，解得0 < a 1，即 a 0,1 ．
3 2
aπ π
2 2
故答案为： 0,1
31．（2024 高一·上海·专题练习）函数 y tan2 x 4 tan x 1的值域为
【答案】 5,
【分析】令 t tan x 则转化为 t的二次函数求最值.
【详解】解：因为 y tan2 x 4 tan x 1
令 t tan x ，则 t R
所以 f t t 2 4t 1 t 2 2 5，所以 f t 5, ，故函数的值域为 5,
故答案为： 5,
y tan π π32 2024 · · x ．（ 高一下 上海静安 期中）函数 的定义域是 ．
6 3
【答案】{x | x 1 6k,k Z}
【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案.
π
【详解】由于正切函数 y tanx的定义域为{x | x kπ,k Z}，
2
π π π
故令 x kπ,k Z6 3 2 ，
解得 x 1 6k,k Z，
即函数 y tan
π
x
π
的定义域是{x | x 1 6k,k Z}
6 3
，
故答案为：{x | x 1 6k,k Z}
π π π
a x , x 或x 3π
33．（2024 · · 2 2 2高一下 湖北 期中）已知函数 f x y f é fπ π ，若函数 x ù 有 5 个零 tan x, < x < 2
2 2
点，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 (0,1]
【分析】利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点的问题，利用数形结合进行求解即可.
3π 3π
【详解】设 t f x ，则由 y f é f x ù 0得 f t ，2 2
若 a 0，作出函数 f x 的图象如图，
π π
当 x 或 x 时， f x π π 3π a x ，此时 f t ，无解；
2 2 2 2 2
π
当 < x
π
< 时，由 f t 3π π ，得 t只有一个解且0 < t < ，此时 t f x ，
2 2 2 2
最多有 3 个零点，不满足条件，故 a 0，不成立；
当 a 0时，作出函数 f x 的图象如图，
π
ax, x
π
,
2 2
f x π ax, x π , π，则 f x a x π ，
2 2 2 2
tan x,
π
< x π<
2 2
f t 3π由 ，得方程有 3 个不同的根，其中 t1 < t2 < t ，2 3
t π其中 1 < ,0
π π
< t
2 2
, t
2 3
，
2
当0 < t
π
2 < 时， f x tan x t2 ，只有一个根，2
当 t
π
1 < 时， f x tan x t1 ，只有一个根，2
要使函数 y f é f x
3π
ù π 有 5 个零点，则必有 f x t3 ，有 3 个零点，2 2
π ax 3π π π π π π由 ，得 x ，即 t3 ，此时只要 a 即可，2 2 a a 2 2 a
得 a2 a 2 0，即 a 2 a 1 0，得0 < a 1，
则实数 a的取值范围是 (0,1] .
故答案为： (0,1] .
34．（2024 高一下·全国·课后作业）已知函数 y tan x
π π
在 ,
内是减函数，则 的取值范围是
2 2
．
【答案】 0,1
π , π 【分析】由已知得 为一个周期的子集，由此可得关于 的不等式组，解不等式组即可．
2 2
π π
【详解】∵已知函数 y tan x在 , 内是减函数,
2 2
∴函数 y tan x
π
在 ,
π
2 2 内是单调增函数，
>0
∴ π π，解得0 < 1，经检验，满足题意.
∴ 的取值范围是 0,1 ．
故答案为： 0,1 .
35．（2024 高一上·江苏徐州·期末）已知函数 f x tan nx n Z
, 3 在区间
4
上是减函数，则 n 的
8 8
取值集合为 .（用列举法表示）
【答案】 3, 2
【分析】由正切函数的单调性结合条件可得 n < 0，由正切函数的单调区间与周期性可得 n 4 ，再对 n 的值
进行逐一验证即可得出答案.
f x , 3 3
【详解】由 在区间 上是减函数，则 n < 0，且
8 8 8 8 n
，解得 n 4
因为 n Z ，所以 n 4或 n 3或 n 2或 n 1，
当 n 4时， f x tan 4x 3 x , 3π π 7π ，当 时， < 4x < ，
4 8 8 4 4 4
当 4x
3 x 5π ，即 时，函数无意义，故 n 4不成立.
4 2 16
当 n 3时， f x tan 3x
x , 3 5π π 11π ,当 时， < 3x < ，
4 8 8 8 4 8
5 11 3
由 y tan x 在 , 上单调递增，所以 f x 在区间 , 上是减函数，
8 8 8 8
故 n 3满足题意.
当 n 2时， f x tan 2x
3
,当 x
, π 2x π时， < < π，
4 8 8 2 4
y tan x π ,π f x , 3 由 在 上单调递增，所以 在区间2 8 8 上是减函数，
故 n 2满足题意.
当 n 1时， f x tan x
3 3 5
4
,当 x , 时， < x < ，
8 8 8 4 8
x 当 ，即 x 时，函数无意义，故 n 1不成立.
4 2 4
故答案为: 3, 2
36．（2024·全国·模拟预测）若函数 y tan x
é
在 ,
ù é ù
4 上单调递减，且在
,
3 3 3 3
上的最大值为
3 ，则 .
1
【答案】 /-0.25
4
é ù 3
【分析】先根据函数在 , 上单调递减及周期，确定 < 0 ，再根据函数的最大值求解. 3 3 2
é ù
【详解】因为函数 y tan x 在 ,4 上单调递减， 3 3
2 3
所以 < 0 ， 3 ，则 < 0 ，2
é ù
又因为函数在 , 上的最大值为 3 ， 3 3
所以 k , k Z
1
，即 3k, k Z ，
3 4 3 4
1所以 .
4
1
故答案为：
4
37．（2024 高一下·上海浦东新·期中）若函数 y tan( x) é
, ù在 上为严格减函数，则实数 的取值范围 4 4
是 ．
【答案】 ( 2,0)
【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解.
π π
【详解】因为函数 y 2 tan x 的单调递增区间为 kπ, kπ ， k Z，
2 2
且函数 y 2 tan x é
, ù在 上为严格减函数， 4 4
<
4 2
所以 ，解得 2 < < 0，即 ( 2,0) .
4 2
< 0
故答案为： ( 2,0) .
四、解答题
38．（2024 高一·全国·课后作业）已知 f (x) tan 2x .
3
（1）求 f (x) 的最小正周期；
（2）若 f (x )是奇函数，则 应满足什么条件？并求出满足 | |< 的 值.
2
k 5
【答案】（1） ；（2） (k Z )， , , , .
2 4 6 12 6 12 3
【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案.
（2）由题意得 f (x ) tan
2x 2
k
3 ，根据其为奇函数，可得
2 (k Z )
3 2 ，即可求得 的表达式，
根据 的范围，即可得答案.
【详解】（1）因为函数 f (x) tan 2x ，
3
所以函数 f (x)
的最小正周期为T 2 ；
（2） f (x )
tan 2(x )
tan
2x 2
3 3
若 f (x )
是奇函数，则 2
k
(k Z )
3 2 ，
解得
k
(k Z )
4 6 ，
k 4 8
令 | |
< ，解得 < k < ，且 k Z4 6 2 ，3 3
所以 k 1，0，1，2.
5
故 , ,
, .
12 6 12 3
k
【点睛】易错点为： f (x ) tan 2x 2 3 为奇函数，不是
2 k (k Z )
3 ，而是
2 (k Z )
3 2
，
y cot x 1 也为奇函数.
tan x
π π
39．（2024 高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数 f x 2tan x 0 的最小正周期为 ，
8 2
(1)求 f x 图象的对称中心；
(2)求不等式 f x 2 5π , 3π 在 上的解集．
16 16
π kπ ,0 【答案】(1) k Z ；
16 4
3π , 3π (2) .
16 16
【分析】（1）根据函数的周期公式求出 2，然后利用正切函数的对称性进行求解即可．
（2）根据正切函数的性质解不等式即可．
π π 2x π kπ π kπ【详解】（1）由 ，得 2．由 k Z ，得 x k Z ，
2 8 2 16 4
f x π kπ所以 图象的对称中心为 ,0
k Z ．
16 4
5π 3π π π π
（2）由 x , ，得 2x ,16 16 8 2 2
,
由 f x π 2tan 2x 2
，得 tan 2x
π
1，
8 8
π 2x π π 3π 3π所以 < < ，得 < x < ，
4 8 2 16 16
f x 2 5π , 3π 3π , 3π故不等式 在
上的解集为16 16
．
16 16
1 π
40．（2024 高一·全国·课堂例题）画出函数 y 2 tan x 在 x [0,2π] 上的简图．
2 4
【答案】答案见解析
【分析】根据五点作图法画图即可.
1 x π π kπ x 3π【详解】令 ， k Z ，可得 2kπ， k Z ，
2 4 2 2
又 x [0, 2π]
3
，所以直线 x 是该函数图象的一条渐近线．
2
当 x 0时， y 2 tan
π 2；
4
π
当 x 时， y 2 tan 0 02 ；
当 x π 时， y 2 tan
π
2 ；
4
y 2 tan 3π当 x 2π 时， 2 ．
4
(0, 2) π描点 ， ,0
， (π,2)， (2π, 2)
3
，画虚线 x ，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．
2 2
41．（2024 高一下·江西抚州·阶段练习）设函数 f x tan x π 0,0 < < ，已知函数 y f x 的
2
π π
图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点M
2
,0
8
对称.
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求不等式 1 f x 3 的解集.
3 k π k
【答案】(1)单调递增区间： π π, π
， k Z，无递减区间
8 2 8 2
x π k π k (2) π x π,k Z
4 2 24 2
【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利
用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；
（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.
【详解】（1）由题意知，函数 f(x)的最小正周期为 T＝ ，
2
即 2 ，因为 ω>0，所以 ω＝2，从而 f(x)＝tan(2x＋φ)，
因为函数 y＝f(x)的图象关于点 M ,0 对称，
8
k k 所以 2× ＋φ＝ ，k∈Z，即 φ＝ ＋ ，k∈Z.
8 2 2 4
因为 0<φ< ，所以 φ＝ ，故 f(x)＝tan 2x .2 4 4
3
令－ ＋kπ<2x＋ < ＋kπ，k∈Z，得 k < 2x < k ，k Z ，
2 4 2 4 4
3 k k
即 < x < ，k Z
8 2 8 2
3 k k
所以函数的单调递增区间为 , ，k∈Z，无单调递减区间．
8 2 8 2
（2）由（1）知，f(x)＝tan 2x .由－1≤tan4
2x
4
≤ 3，
k 2x k k 得 k ，k Z，即 x ，k Z
4 4 3 4 2 24 2
x k x k 所以不等式－1≤f(x)≤ 3的解集为 ∣
，k Z
4 2 24 2
.
π
42．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 y f x ，其中 f x A tan x ，（ 0， < ），y f x
2
的部分图像如下图．
(1)求A ， ， 的值；
(2)求 y f x 的单调增区间，
π
【答案】(1) A 1, 2,
4
kπ 3π
(2) ,
kπ π
2 8 2 8
, k Z
【分析】（1）根据函数图像上的特殊点求得A ， ， 的值.
（2）利用整体代入法求得 f x 的递增区间.
T 3π π π ,T π π【详解】（1）根据函数图像可知， , 2，
2 8 8 4 2
所以 f x A tan 2x ，
f x 0,1 3π过点 和点 ,0
，
8
A tan 1
所以 A tan 3π 0， 4
π π π 3π 5π
由于 < < ，所以 < < ，
2 2 4 4 4
3π
则 π,
π
，所以 A 1，
4 4
f x tan 2x π 所以 .
4
kπ π（2）由 < 2x
π π
< kπ ，
2 4 2
kπ 3π x kπ π解得 < < ，
2 8 2 8
f x kπ 3π , kπ π 所以 的单调递增区间为 , k Z .
2 8 2 8
x
43．（2024 高一下·上海·课后作业）已知函数 f x 3 tan 0 ．
（1）当ω = 4时，求 f x 的最小正周期及单调区间；
（2）若 f x 3 x é 在 ,
ù
上恒成立，求 的取值范围． 3 4
【答案】（1）4， 4k 2,4k 2 ， k Z ；（2） … .
【分析】（1）当ω = 4时，利用正切函数的周期公式和单调性即可求出 f x 的最小正周期及单调区间；
（2）根据 f x 3 é 在 x ,
ù
上恒成立，建立周期与最值的关系，解不等式即可求出 的取值范围. 3 4
【详解】（1）当ω = 4时， f x T 4的最小正周期 ,故最小正周期为 4；
4
要求 f x 的单调区间，只需 k x < < k ，解得： 4k 2 < x < 4k 2，
2 4 2
故 f x 的增区间为 4k 2,4k 2 ， k Z ，无单减区间.
T
（2）∵ 0，∴函数 f x 的周期 ．∵ f x 3 x é , ù f x x é 在 上恒成立，∴ 在 ,
ù
上
3 4
3 4
1 2
为严格增函数，∴ T ，∴ ．
3 2 2 3
f f f … 3 f 3 tan ∵ ，∴ ，即
3 4 3
… 3，即 tan … 3 ，∴
3 3 3
… ，∴ … ．
3 3
π
44．（2024 高一·全国·课后作业）已知函数 f (x) tan x ， 0．
3
(1)若 2，求 f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若 f x 在 0, π 上是严格增函数，求 的取值范围；
(3)若方程 f x 3 在 a,b 上至少存在 2022 个根，且 b－a 的最小值不小于 2022，求 的取值范围．
π kπ π ,0 【答案】(1) ，
2 4 6
k Z ；
1
(2) 0, ；
6
0, 2021(3) π
ù
．
2022
【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得；
é π , π π ù é0, π （2）由题可得 ，进而即得； 3 3 2
π
（3）根据正切函数的图象和性质可得 b－a 的最小值，然后结合条件可得 2021× 2022 ，进而即得.
【详解】（1）由题可得 f (x) tan 2x
π
，
3
π
所以函数的最小正周期为 ，
2
由 2x
π kπ ,k kπ π Z，可得 x , k Z，
3 2 4 6
所以函数 f x kπ π的图像的对称中心 ,0
k Z ；
4 6
（2）因为 f x 在 0, π 上是严格增函数，
所以 x 0, π π π π π x é , π
ù
é0, ，3 3 3 2
所以 π
π π
< ，又 0，
3 2
1所以
0, ；
6
（3）因为 f (x) 3 tan
x π 3 x
π π
kπ, k Z，
3 3 3
所以 x
kπ
， k Z，至少存在 2022 个根，
π
所以可得 b－a 至少包含 2021 个周期，即b a 2021T 2021× ，
所以 b－a 的最小值为 2021
π
× ，又 b－a 的最小值不小于 2022，
π
所以 2021× 2022 ，
2021 ù
所以 0, π
2022
．
π
45．（2024 高一下·上海虹口·期末）已知函数 f x tan x ，其中 0 .
3
(1)若 2，求函数 f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若 f x 在闭区间 0, π 上是严格增函数，求正实数 的取值范围.
π kπ π
【答案】(1) ,
,0 4 6 , k Z;2
(2) 0,
1
6
【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解；
（2）利用正切函数的单调性求出 的范围.
π π
【详解】（1）∵ 2，∴函数 f x 的最小正周期为T 2 ,
2x π kπ kπ π令 , k Z,解得 x ， k Z,
3 2 4 6
kπ π
∴ 函数图象的对称中心为 ,04 6 , k Z.
（2）∵ f x 在闭区间 0, π 上是严格增函数，
x π é π , π π∴
ù é0, π ，
3 3 3 2
π π π
1
∴ < ，且 ω
为正实数，解得 0,
3 2 6
