5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 7 题型分类
一、正弦函数、余弦函数的性质
函数名称
y＝sinx y＝cosx
函数性质
相 定义域 R R
同 值域 [－1,1] [－1,1]
处 周期性 最小正周期 2π 最小正周期 2π
图象
奇偶性 奇函数 偶函数
不
同 在[ π π2kπ－ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单2 2
处 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递
调递增；
单调性 增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单
[ π 3π在 2kπ＋ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单 调递减2 2
调递减
π
x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝1；
2 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
最值
π x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－1
2
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； π
对称中心： kπ＋ ，0 (k∈Z)；
对称性 π ( 2 )
对称轴：x＝kπ＋ (k∈Z)
2 对称轴：x＝kπ(k∈Z)
二、解读正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦、余弦函数在定义域 R 上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法
来判断．
三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定是 1 或－1，要依赖函数的定义域来定．
(3)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令 ωx＋φ＝z，将函
数转化为 y＝Asinz 的形式求最值．
(4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦
值(余弦值)取最大值或最小值．
(5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与 x 轴的交点，即此时的正弦值
(余弦值)为 0.
（一）
正弦函数、余弦函数的单调区间
1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若 ω 为负数，则要先把 ω 化
为正数．
当 A>0 时，把 ωx＋φ 整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递增区间内，求得的 x 的范围即函数
的单调递增区间；整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区
间．
当 A<0 时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．
最后，需将最终结果写成区间形式．
2、求 y=Asin(ωx＋φ)和 y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把 ωx＋φ 看作一个整体(保证 ω>0)放
入 y=sinx 和 y=cosx 的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证 x 的系数为正，否则应按“同增
异减”的复合函数单调性求解.
题型 1：正弦函数、余弦函数的单调区间
π
1-1．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x = 2cos -3x
x é π , π - ù÷， ê ú ，则 f x 的单调递增区间是（4 2 2 ）è
é π ù é π π ù
A． ê- ,0 B． - , 2 ú ê 4 12ú
é π , π π 5π π π 5π π- - ù é , ù é- , ù é , ùC．
ê
， D
2 4 ú ê12 12 ú
． ，
ê 4 12 ú ê12 2 ú
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）求函数 y = cos
π
- 2x
÷的单调递增区间．
è 4
p
1-3 ．（2024 高一下·内蒙古·阶段练习）函数 y = 2sin 2x + ÷ , x [-p ,0]单调减区间为
è 6
题型 2：根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数
π
2-1．（2024 高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 f (x) = sin(wx + )，对于"x R ， f x f π ，且 f x 在
3
é π ù
区 ê0， ú上单调递增，则w 的最大值是（18 ）
11 1 13 19
A．- B． C． D．
6 6 6 6
π
2-2．（2024 高二上·云南大理·阶段练习）已知函数 f x = sin wx + ÷在 x = π 时有最大值，且 f x 在区间
è 3
é0, π ùê ú 上单调递增，则w 的最大值是（18 ）
11 1 13 19
A．- B． C． D．
6 6 6 6
2π
2-3．（2024 高二下·
é ù
浙江杭州·期中）若函数 y = 2coswx 在区间 ê0, 3 ú 单调递减，且最小值为负值，则
w 的
值可以是（ ）
1 1
A．1 B． C．2 D．
2 3
π
2-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + ÷ (w > 0) 的周期为T ，且满足T > 2π ，若函数 f x
è 3
p ,p 在区间 ÷不单调，则w 的取值范围是（6 4 ）è
3 1A ． ,1÷ B． ,1
è 4 è 2
÷
2 ,1 4C． ÷ D． ,1
è 3 5 ÷ è
2-5．（2024 高一下·安徽马鞍山·期中）已知函数 f (x) cos
wx π π 3= + é ù ÷ (w > 0)在区间 ê , πú 上单调递减，则实è 3 4 4
数w 的取值范围为 .
（二）
利用三角函数的单调性比较大
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再
利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单
调性比较．
题型 3：利用三角函数的单调性比较大小
3-1．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习） sin1°， sin1， sin π° 的大小顺序是（ ）
A． sin1° < sin1< sin π° B． sin1° < sin π° < sin1
C． sin1° = sin1 < sin π° D． sin1 < sin1° < sin π°
3-2．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
3π π
A． sin < sin B． cos 2 < cos3
5 5
cos 17π 23π- > cos - πC． ÷ ÷ D． sin -
÷ < sin
π
-
è 4 ÷ è 5 è 18 è 10
a sin 6π 4π 2π3-3．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）已知 = ，b = sin ， c = sin ，则（ ）
7 7 7
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D．b > c > a
4 2 1
3-4．（2024 高一下·江苏苏州·期末）已知 a = ，b = sin ， c = cos ，则 a，b ， c的大小关系为（
5 ）3 3
A． c < b < a B．a < b < c C．b < a < c D．b < c < a
（三）
正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如 y＝asinx(或 y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对 a 正负的讨
论．
(2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得 ωx＋φ 的范围，然后
求得 sin(ωx＋φ)(或 cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如 y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设 t＝sinx，转化为二次函数 y＝at2＋bt
＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．
题型 4：正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题
π
4-1．（2024 3高一下·四川自贡·期中）已知函数 f x = sin wx - ÷ (w > 0, x [0, π])的值域为3 [- ,1]，则
w 的
è 2
取值范围是（ ）
1 5 5 5 5
A．[ , ] B．[ ,1] C．[ ,
5] éD． 1
ù
，
3 3 6 6 3 ê 3 ú
4-2．（2024 高一下·四川眉山·阶段练习）函数 y = 2 - sin2 x - cos x的最小值是 ．
π é π ù
4-3．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知函数 f x = 2sin 2x - ÷ , x ê0, ú ，则 f x 的值域是（6 2 ）è
A． -2,2 B． -1,1 C． -1,2 D． é - 3,2ù
2 - cos x
4-4．（2024 高一下·四川南充·期中）函数 f (x) = 的值域为 .
2 + cos x
sin x cos x
4-5．（2024 高一·全国·单元测试）函数 f (x) = 的值域为 ．
1+ sin x + cos x
（四）
正弦函数、余弦函数的周期性
求三角函数的周期，一般有三种方法
（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x +T ) = f (x) .利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
2π
（2）公式法，即将函数化为 y = Asin wx +j + B 或 y = Acos wx +j + B 的形式，再利用T = | w |
求得，对于形如 y＝asinωx＋bcosωx 的函数，一般先将其化为 y＝ 2＋ 2·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间
为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距
2
T T
离也为 ,相邻对称轴和对称中心间的距离也为 ，函数取最值的点与其相邻的零点距离为 . 函数的对称
2 4 4
轴一定经过图象的最高点或最低点．
题型 5：正弦函数、余弦函数的周期性
5-1．【多选】（2024 高一下·全国·课后作业）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． y = cos x B． y = cos x
C． y = sin x D． y = sin x
5-2．（2024 高一上·全国·课后作业）求下列函数的最小正周期．
y = sin (1) 3x
π
+ ÷；
è 3
y = cos 2x π+ (2) .
è 6 ÷
5-3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为 2π的是（ ）
y sin xA． = B． y = sin2x
2
C． y = sin
x
D． y = sin2x
2
（五）
正弦函数、余弦函数的奇偶性
p
（1）对于函数 y = Asin(wx +j) （A>0,ω>0）：j=kp 时，函数 y = Asin(wx +j) 为奇函数；j=kp +
2
时，函数 y = Asin(wx +j) 为偶函数．
（2）对于函数 y = Acos(wx +j) （A>0,ω>0）：j=kp 时，函数 y = Acos(wx +j)
p
为偶函数；j=kp +
2
时，函数 y = Acos(wx +j) 为奇函数．
题型 6：正弦函数、余弦函数的奇偶性
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性．
(1) f (x) = sin
1 π
- x +
÷；
è 2 2
f (x) = x2 cos x π+ (2) ÷；
è 2
(3) f (x) 1+ sin x - cos
2 x
= .
1+ sin x
6-2．（2024 高一下·河南南阳·阶段练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π的函数是（ ）
A． y = cos 2x B． y = sin x C． y = sin(2x π+ ) D． y = cos(2x
3π
- )
2 2
π
6-3 2．（2024 高三上·河北张家口·开学考试）已知函数 f x = x cos 2x - +j ÷，j 0, π 是奇函数，则j 的值
è 3
为 ．
p
6-4．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知函数 f x = cos x +j ，则j = 是 f x 为奇函数的（ ）
2
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6-5 2024 · · x -1
2 + sin x
．（ 高三上 宁夏银川 阶段练习）设函数 f x = 的最大值为 a，最小值为b ，则
x2 +1
a + b = .
（六）
正弦函数、余弦函数的对称性
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心是图象与 x 轴
的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为 x＝ － ＋ ，对称中心为( － ，0)；函数 y＝Acos(ωx＋ 2
φ)的对称轴为 x＝ － ，对称中心为 ；
( － ＋2 ，0)
题型 7：正弦函数、余弦函数的对称性
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 f (x) = 2sin
2x π+ ÷ +1图象的一个对称中心可以是（ ）
è 3
π ,0 πA． ÷ B． ,1
5π π
÷ C
,0
3 ．12
D - ,1
è è è 12 ÷
．
è 6 ÷
π
7-2 ．（2024 高一下·北京·期中）函数 y = sin 2x + 6 ÷ 的图象（ ）è
π
A π．关于直线 x = 3 对称 B．关于直线
x = - 对称
3
π π
C．关于点 ,06 ÷对称
D．关于点 ,0
è è 3 ÷
对称
7-3．（2024 高一下·上海杨浦·期末）已知常数j R ，如果函数 y = cos 2x 4π+j 的图像关于点 ,0÷中心对
è 3
称，那么 j 的最小值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 4 6 2
π
7-4．（2024·河南·模拟预测）下列直线中，可以作为曲线 y = cos 2x - ÷的对称轴的是（2 ）è
A． x
π π π 2π= B． x = C． x = D x =
4 3 2
．
3
一、单选题
1．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）函数 f x = 3cos π 4x - ÷的最小正周期为（6 ）è
π π
A． B． C． 4π D．8π
4 2
5π
2．（2024 高一下·新疆和田·阶段练习）函数 y = sin( - 2x)是（ ）2
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对
3．（2024 高一下·四川眉山·期中）函数 y = cos2 x + 3cos x + 2的最小值为（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．6
4．（2024 高一上·浙江·课后作业）函数 y = cos x 的一个单调减区间是（ ）
π π π 3π 3π 3πA． - , ÷ B． ,4 4 ÷ C． π, ÷ D
． , 2π
è 4 4
÷
è è 2 è 2
π π
5．（2024 高一下·四川眉山·期中）令 a = sin - ÷ ，b = sin - ，判断 a 与 b 的大小关系是（ ）
è 10 è 18 ÷
A． a > b B． a < b C． a = b D．无法判断
6．（2024 高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 f x = msin x + n m, n R 的值域是 -1,3 ，则实数m 的值
等于（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±1
π π π π
7．（2024·湖南永州·一模）已知函数 f x = 3cos wx +j (w > 0) ，若 f -
= 3, f ÷ ÷ = 0，在区间 - , - ÷
è 4 è 2 è 3 6
上没有零点，则w 的取值共有（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
π π
8．（2024 高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数 f x = sin 2x - ，则 f x 在 0, 上的单调递增区间为
è 3 ÷ ÷ è 2
（ ）
0, π 5π A． B． 0,
è 2 ÷ 12 ÷ è
5π π π π
C． , ÷ D． ,
è 12 2 3 2 ÷ è
9．（2024 高一下·北京·阶段练习）函数 y = sin2 x - 3cos x + 2的最大值为（ ）
A．5
21
B． C4 ．-1 D．1
10．（2024 高三·全国·专题练习）使函数 f x = 3 sin 2x +q + cos 2x +q 为奇函数，则q 的一个值可以是
（ ）
π π π
A． B． C．-
π
D． -
3 6 3 6
p p p
11．（2024 高一上·四川广安·阶段练习）函数 y=2cos(2x+ )，x [- ， ]的值域是 （ ）
6 6 4
1 3 1A． -1,2 B．[-1, 3] C．[- , ] D．[- ,1]
2 2 2
12．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数中，最小正周期为 π 的函数是（ ）
A． y = sinx B． y = cosx
C． y = cosx D． y = sin x
π
13．（2024 高一下·广西南宁·阶段练习）函数 y = 5sin(x - )的一条对称轴为（
4 ）
x 3π 5πA． =
π π
B． x = C． x = D x =
4 2 3
．
4
14．（2024 高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为 π 的函数是（ ）
A．y＝sin x B．y＝cos x
1 x π+ πC．y＝sin ÷ D．y＝cos - 2x
è 2 3 3 ÷ è
π π 3π 7π 3π
15．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 f (x) = sin(wx +j) - < j < ÷在 ,2 2 ÷ 内单调递减，
x = 是
è è 8 8 8
函数 f (x)
π
的一条对称轴，且函数 y = f x + ÷ 为奇函数，则 f
7π
÷ = （ ）
è 8 è 24
3 1A．- B．-1 C 3． D．
2 2 2
π π
16．（2024 高一下·重庆九龙坡·阶段练习）设函数 f x = cos wx - ÷ , (w > 0)的最小正周期为 ，则它的一
è 4 5
条对称轴方程为（ ）
x π πA． = B． x = -
8 8
π π
C． x = D． x = -
12 12
π π 2π
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0,0 < j < ÷在区间 , 上单调，且
è 2 è 6 3 ÷
f π = - f 2π 6 ÷ 3 ÷
=1，则（ ）
è è
π π
A．w = 3，j = - B．w = 2，j = -
3 6
π π
C．w = 3，j = D．w = 2，j =
3 6
f x 2cos wx π 18．（2024 高三上·浙江·开学考试）已知函数 = + 6 ÷（w > 0），若 f x 在区间
0,π 内有且仅
è
有 3 个零点和 3 条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
17 ,10ù 17 , 23ù é17 10ù 7 10ùA． B C6 3 ú ． 6 6 ú ．
, D． ,
è è ê 6 3 ú è 3 3 ú
f x cos wx π 19．（2024 高三上·湖南·阶段练习）若函数 = + ÷ w > 0
π 3π
在区间 ,2 2 ÷上恰有两个零点，则
w
è 5 è
的取值范围是（ ）
23 ,11ù é23 11 A． ú B． ê ,è 15 5 15 5 ÷
23 ,11ù U é13 , 43ù é23 ,11 U é13 , 43 C． D．15 5 ú ÷ ÷è ê 5 15 ú ê15 5 ê 5 15
π π π
20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, j < 2 ÷，若 f + x ÷ = - f - x ÷ ，è è 3 è 3
f π x f π x f x π , π f 3π + ÷ = - ÷，且 在区间6 6 6 3 ÷上单调，则 ÷的值为（4 ）è è è è
A 2．- B 2 C 3． ． D．1
2 2 2
21．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 2cos(wx j) b(w
π π
= + + > 0) 满足 f
+ x
÷ = f
- x
÷ ，且
è 8 è 8
f (0) 7, f π= ÷ = 5，则b =（8 ）è
A．3 B．3 或 7 C．5 D．7
22．（2024 高一上·全国·专题练习）已知 f x = sin wx +j w > 0,0 < j p 是R 上的奇函数，若 f x 的图
p é p p p
象关于直线 x = 对称，且 f x 在区间 ê- ,
ù
ú内是单调函数，则 f22 11 6 ÷
=（ ）
4 è
1 1
A 3．- B．- C 3． D．
2 2 2 2
π
23．（2024 高二下·湖南湘潭·期末）已知 f x = cos wx +j w > 0, j < ÷，且 y = f x 的最小正周期为 2.
è 2
若存在m > 0，使得对于任意 x R ，都有 f x + m = mf -x ，则j 为（ ）
π π π π
A．- B． C．- D．
4 4 3 3
24．（2024·吉林通化·模拟预测）已知 f x = sin wx +j w N*,0 < j π 是R 上的奇函数，且 f x 在区间
é π- , π ùê 22 11ú 上是单调函数，则
w 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
f (x) 2sin wx π é π 5π ù25．（2024 高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知w > 0，函数 = + 在 ， 上单调递减，
è 6 ÷ ê 2 6 ú
则实数w 的取值可以是（ ）
4 5
A．1 B． C． D．2
3 3
26．（2024 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 f (x) = cos(2x
p
+ ) ，则下列结论正确的是（ ）
3
A． y = f (x) 是奇函数
B． y = f (x) 的周期是p
p
C． y = f (x) 的图象关于点 ( ,0)对称
12
D． y = f (x)
p
的图象关于直线 x = 对称
3
27．（2024·山东潍坊·三模）已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f 1+ x + f 1- x = 0 ，函数
g x = f x sinwx w > 0 ，若函数 y = g x +1 为奇函数，则w 的值可以为（ ）
p p 3p
A． B． C．p D．
4 2 2
π
28．（2024 高一下·福建泉州·期中）若函数 f x = 3sin 2x - +j ÷是偶函数，则j 的值不可能为（6 ）è
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 2 3 6
29．（2024 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 f x = sin wx +j w 0 为偶函数，则j 的取值可以为
（ ）
π π 3π 2023πA． B． C． - D2 ．2 2
30．（2024 高二上·河北秦皇岛·开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π的函数是（ ）
A． y = sin2x B． y = sin x
y cos 2x 3π πC． =
- ÷ D． y = sin 2x + ÷
è 2 è 2
三、填空题
π π
31．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = cos wx - 6 ÷ w > 0 的最小正周期为 ，则
w = .
è 6
π
32．（2024 高一下·天津红桥·期末）函数 f x = 3sin wx + ÷ w > 0 的最小正周期为 π，则w = .
è 6
π
33 ．（2024 高一下·辽宁朝阳·期中）已知函数 f (x) = sin wx + ÷ (w > 0) 的图象关于直线 x
π
= 对称，且 f (x) 在
è 6 3
π , 7π 区间 3 12 ÷内单调，则
w 的最大值为 ．
è
34．（2024 高三上·江苏南通·开学考试）写出一个同时满足下列条件的函数 f x 解析式 .
① f x =f -x ；② f x + f 4 - x = 0 .
π π
35 é ù．（2024 高三上·河南·阶段练习）已知 x ê0, f (x) = sin 3x - f x 3ú ，设函数 ÷，则 的单调递减区间 è 3
是 ．
cos x + 3
36．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = 的定义域是 ，值域是 ．
cos x -1
37．（2024 高一上·甘肃天水·期末）函数 y = 3cos2 x - 4cos x +1， (x R) 的值域为 ．
p
38．（2024 高一上·浙江宁波·期末）函数 y = 2cos(2x + ), x [
p , p - ]的值域为 ．
6 6 4
4π
39．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos(3x +j) 的图象关于点 ,0÷对称，那么 j 的最小值
è 3
为 ．
π
40．（2024 高三·全国·专题练习）y＝cos -2x + ÷ 的单调递减区间为 .
è 3
π π
41．（2024 高一下·北京·期中）设函数 f x = sin wx + ÷，若 f x 的图象关于点 ,0 w
è 3 è 6 ÷
对称，则 的值可
以是 ．（写出一个满足条件的值即可）
42．（2024 高三上·湖北荆州·阶段练习）函数 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期为 .
π
43．（2024·河南开封·三模）已知函数 f x = 3sin wx +j w > 0, j < ÷的最小正周期为 π，其图象关于直
è 2
π f π 线 x = 对称，则 -3 ÷
= .
è 4
π π é 17π ù
44．（2024 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ( ) = sin(2 + )，j - , ÷，若 f x 在 0, 上
è 2 2 ê 12 ú
恰有三个零点，则 φ 的取值范围是 ．
45．（2024·吉林通化·模拟预测）某函数 f (x) 满足以下三个条件：
① g(x) = f (x) -1是偶函数；② g(2 - x) + g(x) = 0；③ f (x) 的最大值为 4．
请写出一个满足上述条件的函数 f (x) 的解析式 ．
46．（2024·山西·一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数 f x 的解析式 .
① f 1+ x = f 1- x f 3 + x 3；② ÷ = - f
- x ÷ ；③ f x 在 0,1 上单调递增.
è 2 è 2
π
47．（2024·
河北沧州·模拟预测）若函数 f x = cos 2x + + j ÷ j > 0 6 为奇函数，则
j 的最小值为 .
è
π
48．（2024· · x - x贵州 模拟预测）若函数 f x = sin x + m - ÷ + e + e 为偶函数，则m 的最小正值为 .
è 6
四、解答题
1 π
49．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数 y = 3sin x -
è 2 3 ÷
1 π
(1)用“五点法”画出函数 y = 3sin x - ÷在一个周期内的图象；
è 2 3
1 π
(2)直接写出函数 y = 3sin x - ÷的值域和最小正周期．
è 2 3
列表：
1 x π-
2 3
x
y 3sin 1= x
π
-
2 3 ֏
作图：
π
50．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知函数 f x = 2sin 2x - ÷ -1，
è 6
(1)求不等式 f x 0的解集
x é π π ù(2)若 ê- , 6 6 ú
求函数 f x 的值域
51．（2024 高一上·甘肃定西·期末）已知函数 f x = 2cos wx +j (w > 0,0 < j < π)图象相邻两对称轴之间的
π
距离为 且 f 0 =1.
2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)求函数 f x 的单调区间.
52．（2024 高一·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小：
sin 10π(1) 与 sin
11π
；
17 17
cos 5π cos14π(2) 与 ；
3 9
(3) sin(cosa )与 cos(sina )
π
0 < a < ÷．
è 2
中间值法）
又0 < cosa 1
π
< < ，∴ sin(cosa ) < cosa ．
2
故 sin(cosa ) < cos(sina )．
53．（2024 高一·全国·课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) sin -1 ， sin -1.1 ；
11π 12π
(2) cos ， cos ．
7 7
54．（2024 高一·江苏·课后作业）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1） sin 250°与 sin 260°；
（2） cos
15π cos14π与 .
8 9
55．（2024 高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小.
cos15π(1) 与 cos
14π
；
8 9
(2)cos 1 与 sin 2.
y = 2sin x π- 56．（2024 高一·全国·课堂例题）用“五点法”作出函数 ÷ + 3的图象，并指出它的最小正周期、
è 3
最值及单调区间.
2 - cos x
57．（2024 高一下·全国·课后作业）求函数 y = 的值域．
2 + cos x
π 2π
58．（2024 高一· ·
é ù
全国 课后作业）已知 x ê- , ú ，求函数 y = -3(1- cos
2 x) - 4cos x + 4
3 3 的值域．
π
59．（2024 高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知函数 f x = 2sin 2x - 6 ÷ .è
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求函数 f x 的单调递增区间.
π
(3) é ù求函数 f x 在 ê0, 2 ú 上的最大值.
60
π 3
．（2024 高一上·山东·阶段练习）已知函数 f (x) = sin 2x - 3 ÷
+ .
è 2
(1)求 f (x) 的最小正周期；
x é0, 7π ù(2)当 ê ú 时，求 f (x) 的最小值和最大值. 12
π
61．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x = 2sin 4x + ÷ ．
è 6
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求 f x é π ù在 ê0, ú 上的值域． 3
62．（2024 高一·全国·课堂例题）求下列函数的最小正周期．
(1) f x 1= cos 2x
π
+ ；
2 ֏ 3
(2) f (x) =| sin x |．
63．（2024 高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
(2) y = sin x
π π 5π
+
é ù
÷， x - , .
è 3 ê 3 3 ú
1 π
(3) y = 3sin x - 在一个周期（T = 4π）内的图像．
è 2 3 ÷
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
(5) y = cos x
π π 11
+
÷， x
é
ê- , π
ù
．
è 6 6 6 ú
(6) y
π π 5π
= cos é ù x + 3 ÷
， x - ,
è ê 3 3 ú
64．（2024 高一下·上海·课后作业）当 x -2p , 2p 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 y = sin x 的图象
进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
65．（2024 高一·湖南·课后作业）作出下列函数在一个周期图象的简图：
x
(1) y = 3sin ；
3
(2) y = 2sin x
p
+ ；
è 4 ÷
(3) y 2sin
p
= 2x +
+1；
è 4 ÷
(4) y = 2cos
x p
+
2 3 ÷
．
è
π
66．（2024 高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 f x = 2sin 2x - ÷， x R
è 4
(1)求函数 y = f x 在 0, π 上的单调递增区间；
(2)求不等式 f x - 3 的解集；
(3)若方程 f x π= m在 x é0, ùê ú 上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围． 2
π
67．（2024 高一下·河南驻马店·期中）已知函数 f (x) = cos wx + ÷，
è 3
(1)若 f x1 - f x2 = 2，则 x1 - x2 的最小值为 π，求 f (x) 的解析式．
(2)在（1）的条件下，若 f (x) 在[0，a]
é 1 ù
上的值域是 ê-1, ，求实数 a的取值范围； 2 ú
68．（2024 高三上·福建·阶段练习）已知函数 f x = 2cos wx +j w > 0,0 π< j < π A ,-2 的图象经过点 ÷ ，
è 3
且 f x π图象相邻的两条对称轴之间的距离是 .
2
(1)求 f x 的单调递增区间；
é
(2)若对任意的 x ê0,
π ù
ú ，不等式 f x - m 2恒成立，求 m 的取值范围. 2
é 5π π ù
69．（2024 2高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数 f x = a sin x - a sin x + a + b （ a,b R ）的定义域为 ê- , ， 6 2 ú
且函数 f x 的最大值为 3，最小值为 1，求 a，b 的值．
70．（2024 高一·全国·课堂例题）求函数 y = cos2x + 2asinx - 3， a R 的最大值．
71．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数 f x = -3cos 2x
π
+
4 ÷
.
è
(1)求函数 f x 的对称中心和单调递减区间；
x π 3π , (2)若 ÷，求函数 f x 的值域.
è 4 4 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 7 题型分类
一、正弦函数、余弦函数的性质
函数名称
y＝sinx y＝cosx
函数性质
相 定义域 R R
同 值域 [－1,1] [－1,1]
处 周期性 最小正周期 2π 最小正周期 2π
图象
奇偶性 奇函数 偶函数
不
同 在[ π π2kπ－ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单2 2
处 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递
调递增；
单调性 增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单
[ π 3π在 2kπ＋ ，2kπ＋ ](k∈Z)上单 调递减2 2
调递减
π
x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝1；
2 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
最值
π x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－1
2
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； π
对称中心： kπ＋ ，0 (k∈Z)；
对称性 π ( 2 )
对称轴：x＝kπ＋ (k∈Z)
2 对称轴：x＝kπ(k∈Z)
二、解读正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦、余弦函数在定义域 R 上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法
来判断．
三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定是 1 或－1，要依赖函数的定义域来定．
(3)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令 ωx＋φ＝z，将函
数转化为 y＝Asinz 的形式求最值．
(4)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦
值(余弦值)取最大值或最小值．
(5)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与 x 轴的交点，即此时的正弦值
(余弦值)为 0.
（一）
正弦函数、余弦函数的单调区间
1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若 ω 为负数，则要先把 ω 化
为正数．
当 A>0 时，把 ωx＋φ 整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递增区间内，求得的 x 的范围即函数
的单调递增区间；整体放入 y＝sinx 或 y＝cosx 的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区
间．
当 A<0 时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．
最后，需将最终结果写成区间形式．
2、求 y=Asin(ωx＋φ)和 y= Acos(ωx＋φ)的单调区间，可以把 ωx＋φ 看作一个整体(保证 ω>0)放
入 y=sinx 和 y=cosx 的单调区间内，解不等式求得.尤其注意保证 x 的系数为正，否则应按“同增
异减”的复合函数单调性求解.
题型 1：正弦函数、余弦函数的单调区间
1-1．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x = 2cos π -3x π ÷， x
é
ê- ,
π ù
ú ，则 f x 的单调递增区间是（4 2 2 ）è
é π ,0ù é π π- - , ùA． ê B． 2 ú ê 4 12 ú
é π , π- - ù é π , 5π ù é π π ù é5π π ùC． ê ú ， ê ú D． - , ， , 2 4 12 12 ê 4 12ú ê12 2 ú
【答案】D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
f x 2cos π= -3x f x = 2cos 3x π- 【详解】 ÷可化为4 4 ÷，故单调增区间：è è
2kπ - π 3x π - 2kπ ， k Z ，
4
2 kπ π x 2 π解得 - kπ + ， k Z .
3 4 3 12
令 k = 0
π π 5 3
， - x ，令 k =1， π x π .
4 12 12 4
Q x é π , π ùê- ， 2 2 ú
所以 f x é π π ù é5π πù的单调递增区间是 ê- , , , . 4 12 ú ê 12 2ú
故选：D
π
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）求函数 y = cos - 2x ÷的单调递增区间．
è 4
é5π 9π
【答案】 ê + kπ, + kπ
ù
ú ， k Z． 8 8
【分析】根据余弦函数的性质求解.
【详解】 cos
π π
- 2x ÷ = cos
2x -
4 ÷
．
è è 4
令 z = 2x
π
- ，函数 y = cos z 的单调递增区间是 π + 2kπ,2π + 2kπ ， k Z．
4
π 2kπ 2x π 2π 2kπ 5π 9π由 + - + ，得 + kπ x + kπ， k Z．
4 8 8
π é5π 9π ù
因此，函数 y = cos - 2x ÷的单调递增区间是 ê + kπ, + kπè 4 8 8 ú
， k Z．
1-3．（2024 高一下·内蒙古·阶段练习）函数 y = 2sin 2x
p
+
÷ , x [-p ,0]单调减区间为
è 6
é 5p p- , - ù【答案】 ê 6 3 ú
【分析】先求出函数 y
p
= 2sin 2x + ÷的单调递减区间A ，再将区间A 与定义域 -p ,0 取交集可得出答案．
è 6
【详解】正弦函数 y = sin u
ép 3p
的单调递减区间为 ê + 2kp , + 2kp
ù
ú k Z ， 2 2
p 2kp 2x p 3p由 + + + 2kp k Z p 2p，得 + kp x + kp k Z ，
2 6 2 6 3
A ép kp , 2p kp ù k Z AI p ,0 é 5p p记 = ê + + ú ，则 - = ê- ,-
ù
，
6 3 6 3 ú
é 5p p ù
故答案为： ê- , - 6 3 ú
.
【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数 y = Asin wx +j + b的单调区间的求解，并且限制了定义域，
这种问题首先应求出这个函数在 R 上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以
及三角函数基本性质的应用，属于中等题．
题型 2：根据正弦函数、余弦函数的单调性求参数
π
2-1．（2024 高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 f (x) = sin(wx + )，对于"x R ， f x f π ，且 f x 在
3
é π ù
区 ê0， 18 ú
上单调递增，则w 的最大值是（ ）
11 1 13 19
A．- B． C． D．
6 6 6 6
【答案】C
【分析】根据不等式的恒成立，得到 f x 在 x = π 时取得最大值，再利用函数的单调性，从而求得w 的最大
值.
【详解】因为对于"x R ， f x f π ，可得 f x 在 x = π 时取得最大值，
即 sin(wπ
π
+ ) =1，可得wπ
π π
+ = + 2kπ,k Z 1，所以w = + 2k, k Z ，
3 3 2 6
é π ù wπ π π
又因为 f x 在 ê0， ú上单调递增，所以w > 0且 + ，解得0 < w 3， 18 18 3 2
13 13
当 k =1时，w = ，所以w 的最大值为 .
6 6
故选：C.
π
2-2．（2024 高二上·云南大理·阶段练习）已知函数 f x = sin wx + ÷在 x = π 时有最大值，且 f x 在区间
è 3
é0, π ùê ú 上单调递增，则w 的最大值是（18 ）
11 1 13 19
A．- B． C． D．
6 6 6 6
【答案】C
1
【分析】先根据最值可得w = + 2k, k Z，结合单调性可得答案.
6
【详解】 f x 在 x = π π 时取得最大值，即 sin wπ + ÷ =1 wπ
π π
，可得 + = + 2kπ,k Z，
è 3 3 2
1
所以w = + 2k, k Z，
6
因为要求w 的最大值，所以这里可只考虑w > 0的情况，
é π ù wπ π π
又因为 f x 在 ê0, ú 上单调递增，所以 + ，解得0 < w 3， 18 18 3 2
13 13
当 k =1时，w = ，所以w 的最大值为 ，
6 6
故选：C.
2-3．（2024 高二下·浙江杭州·期中）若函数 y = 2coswx é0,
2π ù
在区间 ê 3 ú 单调递减，且最小值为负值，则
w 的
值可以是（ ）
1 1
A．1 B． C．2 D．
2 3
【答案】A
【分析】分w < 0 和w > 0两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出w 的范围，即可得解.
【详解】当w < 0 时， y = 2coswx = 2cos -wx ，
x é0, 2π ù wx é0, 2π由 ê ú ，得- ê - w
ù
，
3 3 ú
因为函数 y = 2coswx é在区间 ê0,
2π ù
3 ú 单调递减，且最小值为负值，
π 2π w π 3 w 3所以 < - ，解得- < - ，
2 3 2 4
当w
é
> 0时，由 x ê0,
2π ù wx é，得 0,
2π wù
3 ú ê 3 ú
，
因为函数 y = 2coswx é在区间 ê0,
2π ù
3 ú 单调递减，且最小值为负值，
π 2π w π 3 3所以 < ，解得 < w ，
2 3 4 2
é 3 3 3 3 ù
综上所述w ê- , - ÷ , ú . 2 4 è 4 2
故选：A.
π
2-4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = sin wx + ÷ (w > 0) 的周期为T ，且满足T > 2π ，若函数 f x
è 3
p ,p 在区间 ÷不单调，则w 的取值范围是（6 4 ）è
3 1
A ． ,14 ÷
B． ,12 ÷è è
2 4
C． ,1÷ D． ,1
3 5 ÷è è
【答案】C
f x p ,p p ,p 【分析】由函数 在区间 ÷不单调，转化为在 ÷上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等
è 6 4 è 6 4
式组求解即可.
【详解】已知 f x = sin wx
π
+ ÷ (w > 0) ，
è 3
wx π
π
令 + = kπ
π
+ (k Z) kπ +，解得
3 2 x = 6 , (k Z)w
kπ π+
则函数 f x 对称轴方程为 x = 6 , (k Z)
w
Q函数 f x p p 在区间 , 不单调，
è 6 4 ÷
\ π kπ
π
+ π 4k 2< 6 < , (k Z) ，解得 + < w < 6k +1,k Z ，
6 w 4 3
又由T > 2π ，且w > 0，得0 < w <1，
2
故仅当 k = 0时， < w <1满足题意.
3
故选：C.
2-5．（2024 高一下·安徽马鞍山·期中）已知函数 f (x) cos
π é π 3= ù wx + ÷ (w > 0)在区间 ê , πú 上单调递减，则实è 3 4 4
数w 的取值范围为 .
8ù
【答案】 0,
è 9 ú
é π 3 ù πw π 3πw π
【分析】先根据区间 ê , πú 的长度不大于半周期求出0 < w 2，再根据 + 的范围确定 + 所满足 4 4 4 3 4 3
的范围，得到答案.
3
【详解】由题意有 π
π π T π
- = = , 可得0 < w 2 ,
4 4 2 2 w
π πw π 5π y = cos x 3πw π 8 又由 < + ， 在 0, π 上为减函数，故必有 + π , 可得0 < w .
3 4 3 6 4 3 9
故实数w
8ù
的取值范围为 0,
è 9 ú
.
0, 8ù故答案为：
è 9 ú
（二）
利用三角函数的单调性比较大
比较三角函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再
利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，然后利用函数的单
调性比较．
题型 3：利用三角函数的单调性比较大小
3-1．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习） sin1°， sin1， sin π° 的大小顺序是（ ）
A． sin1° < sin1< sin π° B． sin1° < sin π° < sin1
C． sin1° = sin1 < sin π° D． sin1 < sin1° < sin π°
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性即可判断大小.
π
【详解】由正弦函数的单调性可知： y = sinx
在 0,
÷上单调递增，又易知0<1°<π°<1<
π
2 ，所以è 2
sin1° < sinp ° < sin1 .
故选：B
3-2．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A． sin
3π
< sin π B． cos 2 < cos3
5 5
cos 17π 23π π πC． -
÷ > cos
- ÷ D． sin -
÷ < sin
-
è 4 ÷ è 5 è 18 è 10
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和诱导公式求得正确答案.
y π= sin x 0, 【详解】由于 在 ÷上递增，
è 2
sin 3π 2π 2π π所以 = sin
π - ÷ = sin > sin ，A 选项错误.5 è 5 5 5
π
由于 y = cos x在 , π ÷上递减，
è 2
所以 cos 2 > cos 3，B 选项错误.
cos 17π cos17π - ÷ = = cos
4π π+ ÷ = cos
π
> 0，
è 4 4 è 4 4
cos 23π -
÷ = cos
23π
= 4π
3π
+ ÷ = cos
3π
< 0，
è 5 5 è 5 5
cos 17π- > cos 23π 所以 4 ÷
- ÷，C 选项正确.
è è 5
y = sin x π在 - ,0
÷ 上递增，
è 2
所以 sin
π- > sin π- ÷ ÷，D 选项错误.
è 18 è 10
故选：C
6π 4π
3-3．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）已知 a = sin ，b = sin ， c = sin
2π
，则（ ）
7 7 7
A． a > b > c B． c > b > a C． c > a > b D．b > c > a
【答案】D
π
【分析】根据诱导公式和正弦函数在 0, ÷上的单调性可得大小关系.
è 2
a sin π π sin π b sin π 3π sin 3π【详解】由诱导公式知： = - 7 ÷
= ， =
7
- = ，
è è 7 ÷ 7
Q y = sin x 0, π sin 3π sin 2π在 ÷上单调递增，\ > > sin
π
，即b > c > a .
è 2 7 7 7
故选：D.
4
3-4．（2024 高一下·江苏苏州·期末）已知 a = ，b = sin
2
， c = cos
1
，则 a，b ， c的大小关系为（
5 ）3 3
A． c < b < a B．a < b < c C．b < a < c D．b < c < a
【答案】C
【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案.
2 π 2 4 π 3
【详解】因为 sin < sin = < < sin = ，
3 4 2 5 3 2
所以b < a ，
c = cos 1 > cos π 3 4= > = a ，
3 6 2 5
所以 c > a ，所以b < a < c .
故选：C.
（三）
正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如 y＝asinx(或 y＝acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对 a 正负的讨
论．
(2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得 ωx＋φ 的范围，然后
求得 sin(ωx＋φ)(或 cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如 y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设 t＝sinx，转化为二次函数 y＝at2＋bt
＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．
题型 4：正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题
4-1．（2024 高一下·四川自贡·期中）已知函数 f x = sin wx
π
- ÷ (w > 0, x [0, π])
3
的值域为
3 [- ,1]
，则w 的
è 2
取值范围是（ ）
1 5[ , 5] [5 ,1] 5 5 é ùA． B． C．[ , ] D． ê1，3 3 6 6 3 3ú
【答案】C
wx π [ π ,wπ π] π π 4π【分析】求得 - - - ，根据题意，结合正弦函数的性质得到wx - [ , ]，即可求解.
3 3 3 3 2 3
x [0, π] wx π【详解】因为 ，可得 - [
π
- ,wπ π- ]，
3 3 3
因为函数 f x = sin(wx π- ) 3的值域为
3 [- ,1]
，
2
所以wp
π π 4π
- éê ,
ù 5
，解得w [ ,
5] .
3 2 3 ú 6 3
故选：C.
4-2．（2024 高一下·四川眉山·阶段练习）函数 y = 2 - sin2 x - cos x的最小值是 ．
3
【答案】 /0.75
4
【分析】首先函数化简为关于 cos x的二次函数，再利用二次函数求最值.
2
【详解】函数 y = cos2 x - cos x +1 = cos x
1 3
-
2 ÷
+ ，-1 cos x 1，
è 4
cos x 1 3当 = 时，函数取得最小值 .
2 4
3
故答案为：
4
f x 2sin 2x π é π ù4-3．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知函数 = - ÷ , x ê0, ú ，则 f x 的值域是（6 2 ）è
A． -2,2 B． -1,1 C． -1,2 D． é - 3,2ù
【答案】C
【分析】根据正弦函数图象和性质求解即可.
é π ù π é π 5π ù
【详解】因为 x ê0, ú ，所以 2x - 2 6 ê
- , ，
6 6 ú
π é 1 ù π
所以 sin 2x - 6 ÷
ê- ,1ú，所以 2sin 2x - ÷ -1,2 ，è 2 è 6
所以 f x 的值域是 -1,2 .
故选：C.
f (x) 2 - cos x4-4．（2024 高一下·四川南充·期中）函数 = 的值域为 .
2 + cos x
é1
【答案】 ê ,3
ù
3 ú
4 cos x 4 4【分析】变换 f (x) = -1，根据 -1,1 é ù得到 , 4 ，得到值域.
2 + cos x 2 + cos x ê3 ú
【详解】 f (x)
2 - cos x 4
= = -1，
2 + cos x 2 + cos x
cos x -1,1 ，则 cos x + 2 1,3 4 é4 , 4ù， ê ú ，故 f x
é1 ,3ù
2 + cos x 3 ê3 ú
.
é1 ù
故答案为： ê ,3 3 ú
4-5．（2024 高一·全国·单元测试）函数 f (x)
sin x cos x
= 的值域为 ．
1+ sin x + cos x
é- 2 -1 2 -1ù
【答案】 ê ,-1÷÷ U -1, ú
2 è 2
【分析】利用 t = sin x + cos x 通过换元将原函数转化为含未知量 t的函数 f t ，再解出函数 f t 的值域即为
函数 f x 的值域.
t = sin x + cos x 2 sin x p= + 【详解】令 4 ÷
， t [- 2, -1) U (-1, 2]，
è
t 2 -1
则 t 2 =1+ 2sin x cos x ，即 sin x cos x = ，
2
t 2 -1
所以 f (t) t -1= 2 = ，
1+ t 2
é ù
又因为 t [- 2, -1) U (-1, 2]，所以 f t - 2 -1, 1 2 -1 ê -2 ÷÷ U -1, ú ， è 2
f (x) sin x cos x
é- 2 -1 ù
即函数 = 的值域为 ê ,
2 -1
-1÷ U -1, ．
1+ sin x + cos x ÷ ú 2 è 2
é- 2 -1 2 -1ù
故答案为： ê ,-12 ÷÷
U -1, ú .
è 2
（四）
正弦函数、余弦函数的周期性
求三角函数的周期，一般有三种方法
（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x +T ) = f (x) .利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
2π
（2）公式法，即将函数化为 y = Asin wx +j + B 或 y = Acos wx +j + B 的形式，再利用T = | w |
求得，对于形如 y＝asinωx＋bcosωx 的函数，一般先将其化为 y＝ 2＋ 2·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间
为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距
2
T T
离也为 ,相邻对称轴和对称中心间的距离也为 ，函数取最值的点与其相邻的零点距离为 . 函数的对称
2 4 4
轴一定经过图象的最高点或最低点．
题型 5：正弦函数、余弦函数的周期性
5-1．【多选】（2024 高一下·全国·课后作业）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A． y = cos x B． y = cos x
C． y = sin x D． y = sin x
【答案】ABC
【分析】利用诱导公式和函数周期性的定义逐一判断得出答案．
【详解】对于 A，Q cos x + π = -cos x = cos x ，\ y＝ cos x 的最小正周期为 π；
对于 B，Qcos x = cos -x = cos x ，\ y = cos x 的最小正周期为 2π；
对于 C，Q sin x + π = -sin x = sin x ，\ y = sin x 的最小正周期为 π；
ìsin x, x 0
对于 D，∵ y = sin x = í ，∴函数图象关于 y 轴对称，不具有奇偶性，故错误.
-sin x, x < 0
故选：ABC
5-2．（2024 高一上·全国·课后作业）求下列函数的最小正周期．
y = sin π (1) 3x + ÷；
è 3
(2) y = cos 2x
π
+ ÷ .
è 6
2π
【答案】(1)
3
π
(2) .
2
【分析】（1）根据最小正周期的定义求解即可，
（2）根据函数图象变换和余弦函数的周期求解
sin é 2π π ù é π ù π 【详解】（1）因为 ê3 x + 3 ÷
+ = sin 3x + + 2π
è 3 ú ê 3 ÷è ú
= sin 3x + ÷，
è 3
x x 2π所以自变量 至少要增加到 + ，函数 y = sin 3x
π
+ ， x R 的值才能重复出现，
3 ֏ 3
π
所以函数 y = sin
3x + 2π ÷的最小正周期是 .
è 3 3
π
（2）因为 y = cos
2x +
÷的最小正周期为 π，且函数 y = cos
2x
π π
+
6 ÷ 的图象是将函数
y = cos 2x + 的图
è è 6
÷
è 6
象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方，
并且保留在 x 轴上方图象而得到的．
π
由此可知所求函数的最小正周期为T = .2
5-3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为 2π的是（ ）
x
A． y = sin B． y = sin2x
2
x
C． y = sin D． y = sin2x
2
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期.
2π
【详解】函数 y = sin
x T = = 4π
的最小正周期为 1 ，故 A 不符合；
2 2
y = sin2x T 2π函数 ，其最小正周期为 = = π ，故 B 不符合；
2
x
因为函数 y = sin
x
的最小正周期为T = 4π，所以函数 y = sin 的最小正周期为 2π，故 C 符合；
2 2
2π
因为函数 y = sin2x的最小正周期为T = = π ，所以函数 y = sin2x
π
的最小正周期为 ，故 D 不符合.
2 2
故选：C.
（五）
正弦函数、余弦函数的奇偶性
（1）对于函数 y = Asin(wx +j) （A>0,ω>0）：j=kp 时，函数 y = Asin(wx +j)
p
为奇函数；j=kp +
2
时，函数 y = Asin(wx +j) 为偶函数．
（2）对于函数 y = Acos(wx +j) （A>0,ω>0）：j=kp 时，函数 y = Acos(wx +j)
p
为偶函数；j=kp +
2
时，函数 y = Acos(wx +j) 为奇函数．
题型 6：正弦函数、余弦函数的奇偶性
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性．
f (x) sin 1(1) = - x
π
+
2 2 ÷
；
è
(2) f (x) = x2 cos x
π
+ ÷；
è 2
(3) f (x) 1+ sin x - cos
2 x
= .
1+ sin x
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数．
【分析】（1）（2）先求出函数的定义域，再对函数化简，然后利用函数奇偶性的定义判断.
（3）求解函数的定义域分析判断即可.
1 π 1 1
【详解】（1） f (x) 的定义域为R ， f (x) = sin - x + ÷ = cos - x ÷ = cos x，
è 2 2 è 2 2
因为 f (-x) = cos
1 1
- x ÷ = cos x = f (x) ，
è 2 2
所以 f (x) 为偶函数，
（2） f (x) 2
π 2
的定义域为R ， f (x) = x cos x + ÷ = -x sin x ，
è 2
因为 f (-x) = -(-x)2 sin(-x) = x2 sin x = - f (x) ，
所以 f (x) 为奇函数，
π
（3）由1+ sin x 0，得 sin x -1，解得 x - + 2kπ,k Z，
2
ì π ü
所以函数的定义域为 íx R x - + 2kπ,k Z ，
2
因为定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
6-2．（2024 高一下·河南南阳·阶段练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π的函数是（ ）
A． y = cos 2x B． y = sin x
3π
C． y = sin(2x
π
+ ) D． y = cos(2x - )2 2
【答案】D
【分析】根据函数解析式判断奇偶性，结合最小正周期即可得出结果．
【详解】对于 A，∵ cos 2(-x) = cos 2x ，∴函数 y = cos 2x 是偶函数，故 A 错误；
对于 B，∵ sin(-x) = -sin x = sin x ，∴函数 y = sin x 是偶函数，故 B 错误；
对于 C，函数 y = sin(2x
π
+ ) = cos 2x是偶函数，故 C 错误；
2
对于 D，函数 y = cos(2x
3π
- ) = -sin 2x是奇函数，最小正周期T
2π
= = π ，故 D 正确．
2 2
故选：D.
6-3．（2024 高三上·河北张家口·开学考试）已知函数 f x x2 cos 2x π= - +j ÷，j 0, π 是奇函数，则j 的值
è 3
为 ．
5p 5
【答案】 / p
6 6
【分析】根据三角函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】∵ y = x2为偶函数，所以 g x = cos 2x π - + j
÷，j 0, π 为奇函数，
è 3
π π 5π
∴ - +j = + kπ,j = + kπ， k Z ，
3 2 6
∵j 0, π j 5π，∴ = ．
6
5π
故答案为：
6
6-4．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知函数 f x = cos x +j p，则j = 是 f x 为奇函数的（ ）
2
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
j p【分析】先代入 = ，化简出 f x = -sinx，由函数奇偶性定义得到此时 f x 为奇函数，充分性成立，再
2
求出必要性不成立，得到答案.
p
【详解】j = 时，可得 f x π= cos x +
2 2 ÷
= -sinx ，定义域为 R，
è
此时 f -x = -sin -x = sin x = - f x ，
故 f x 为奇函数，故充分性成立，
而当 f x π p为奇函数时，得j = kπ + , k Z ，故j 不一定为 ，故必要性不成立，
2 2
j p= 是 f x 为奇函数的充分不必要条件.
2
故选：B
2
6-5．（2024 高三上· · x -1 + sin x宁夏银川 阶段练习）设函数 f x = 的最大值为 a，最小值为b ，则
x2 +1
a + b = .
【答案】2
【分析】
构造函数结合函数的奇偶性求值即可.
f x x
2 +1- 2x + sin x 2x - sin x
【详解】 = 2 =1- ，x +1 x2 +1
令 g x =1- f x 2x - sin x g x -2x + sin x= ，易知 x R ， - = g x + g -x = 0 ，即 g x 为奇函数，
x2 +1 x2 +1
所以 g x =1- f x =1- b, g x =1- f x =1- a,max min min max
结合奇函数性质有 g x + g x = 0 =1- a +1- b a + b = 2max min .
故答案为：2
（六）
正弦函数、余弦函数的对称性
(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心是图象与 x 轴
的交点，即函数的零点．
(2)公式法：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为 x＝ － ＋ ，对称中心为( － ，0)；函数 y＝Acos(ωx＋ 2
φ)的对称轴为 x＝ － ，对称中心为( ； － ＋2 ，0)
题型 7：正弦函数、余弦函数的对称性
π
7-1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 f (x) = 2sin 2x + ÷ +1图象的一个对称中心可以是（ ）
è 3
π ,0 π ,1 5πA B C ,0
π
． 3 ÷ ． ÷ ．12 ÷
D． - ,1÷
è è è 12 è 6
【答案】D
【分析】根据正弦函数的对称性逐一验证即可.
π π
【详解】对于 A，由 x = ，得 2x + = π3 ，
y =1，
3
π π
则 ,0÷不是函数 f (x) = 2sin 2x + +13 ÷ 图象的一个对称中心，故
A 错误；
è è 3
π π π
对于 B，由 x = ，得2x + = ，
12 3 2
π ,1 则 ÷不是函数 f (x) = 2sin
2x
π
+ ÷ +1图象的一个对称中心，故 B 错误；
è12 è 3
5π π 7π
对于 C，由 x = ，得 2x + = ，
12 3 6
5π π
则 ,0÷不是函数 f (x) = 2sin 2x +12 ÷
+1图象的一个对称中心，故 C 错误；
è è 3
x π π对于 D， = - ，得 2x + = 0， y =1，
6 3
π- ,1 则 ÷ 是函数 f (x) = 2sin
π
2x +
+1图象的一个对称中心，故 D 正确.
è 6 è 3 ÷
故选：D.
y sin 2x π7-2．（2024 高一下·北京·期中）函数 = + 6 ÷ 的图象（ ）è
π
A π．关于直线 x = 3 对称 B．关于直线
x = - 对称
3
π ,0 π C．关于点 6 ÷对称
D．关于点 ,0÷对称
è è 3
【答案】B
【分析】根据选项，采用代入法，判断选项.
f π = sin π π 5π π【详解】A. ÷ 2 + ÷ = sin ±1，所以函数不关于直线 x = 3 对称，故 A 错误；è 3 è 3 6 6
π é π π ù π π
B. f - ÷ = sin ê2 - ÷ + ú = sin - ÷ = -1，所以函数关于直线 x = 3 对称，故 B 正确；è 3 è 3 6 è 2
f π = sin π π π πC. ÷ 2 + ÷ = sin =1 0
，所以函数不关于点 ,0÷对称，故 C 错误；
è 6 è 6 6 2 è 6
π
D. f ÷ = sin
2 π π 5π π +
÷ = sin 0
，所以函数不关于点
3 3 6 6
,0÷对称，故 D 错误；
è è è 6
故选：B
4π
7-3．（2024 高一下·上海杨浦·期末）已知常数j R ，如果函数 y = cos 2x +j 的图像关于点 ,0÷中心对
è 3
称，那么 j 的最小值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 4 6 2
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质求出j 的取值，即可判断.
y = cos 2x +j 4π ,0 【详解】因为函数 的图像关于点 ÷中心对称，
è 3
2 4π j π kπ 13π所以 + = + ， k Z，所以j = - + kπ ， k Z，
3 2 6
π 5π 7π
所以当 k = 2时j = - ，当 k = 3时j = ， k =1时j = - ，
6 6 6
所以 j
π
的最小值为 .
6
故选：C
π
7-4．（2024·河南·模拟预测）下列直线中，可以作为曲线 y = cos 2x - ÷的对称轴的是（ ）
è 2
x π 2πA． = π πB． x = C． x = D x =
4 3 2
．
3
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.
π
【详解】 y = cos(2x - ) = sin 2x，
2
x π
π
对于 A，当 = 时， y = sin
π
=1 π，则 x = 是曲线 y = cos
2x - ÷的对称轴，A 是；4 2 4 è 2
π 2π 3 π π
对于 B，当 x = 3 时， y = sin = ±1，则
x =
3 不是曲线
y = cos 2x - ÷的对称轴，B 不是；
3 2 è 2
π π π
对于 C，当 x = y = sin π = 0 ±1 x = y = cos 2x -2 时， ，则 2 不是曲线 2 ÷
的对称轴，C 不是；
è
2π 2π π
对于 D，当 x =
时， y sin 4π 3= = - ±1，则 x = 不是曲线 y = cos 2x - ÷的对称轴，D 不是.3 3 2 3 è 2
故选：A
一、单选题
1．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）函数 f x = 3cos 4x
π
- ÷的最小正周期为（6 ）è
π π
A． B． C． 4π D．8π
4 2
【答案】B
【分析】由余弦型函数周期性直接求解即可.
2π π
【详解】由余弦型函数周期性可知： f x 的最小正周期T = = .
4 2
故选：B.
5π
2．（2024 高一下·新疆和田·阶段练习）函数 y = sin( - 2x)是（ ）2
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简给定的函数，再利用余弦函数性质判断作答.
5π
【详解】依题意，函数 y = sin( - 2x)，化为 y = cos 2x是偶函数.
2
故选：B
3．（2024 高一下·四川眉山·期中）函数 y = cos2 x + 3cos x + 2的最小值为（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【分析】求出函数的对称轴和定义域，即可求出最小值.
【详解】由题意，
在 y = cos x中， y -1,1
3 3
在 y = cos2 x + 3cos x + 2中， cos x -1,1 ，对称轴： cos x = - = - ，
2 1 2
∴函数在 -1,1 2上单调递增，在 x = -1处取最小值， ymin = -1 + 3 -1 + 2 = 0，
故选：B.
4．（2024 高一上·浙江·课后作业）函数 y = cos x 的一个单调减区间是（ ）
π π π 3π
A - , B ． ÷ ． ,
3π π, 3π
4 4 è 4 4 ÷
C．
2 ÷
D． , 2π ÷
è è è 2
【答案】C
【分析】画出 y = cos x 的图象，数形结合得到答案.
【详解】画出 y = cos x 的图象，如下，
y cos x π, 3π 可以看出 = 的一个单调减区间为 2 ÷，其他选项不合要求
.
è
故选：C
π π
5．（2024 高一下·四川眉山·期中）令 a = sin - ÷ ，b = sin -10 ÷，判断
a 与 b 的大小关系是（
18 ）è è
A． a > b B． a < b C． a = b D．无法判断
【答案】B
【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小.
π π π π
【详解】因为函数 y = sin x 在 - ,02 ÷ 上单调递增，且
- < - < - < 0，
è 2 10 18
所以 a = sin
π- < sin
π- = b .
è 10 ÷ è 18 ÷
故选：B
6．（2024 高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 f x = msin x + n m, n R 的值域是 -1,3 ，则实数m 的值
等于（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．±1
【答案】C
【分析】分类讨论m ，根据正弦函数的值域列式可得结果.
【详解】当m > 0时，由-1 sin x 1，得-m + n f (x) m + n ，
ì-m + n = -1
因为 f (x) 的值域为[-1,3]，所以 ím n 3 ，解得
m = 2, n =1，
+ =
当m = 0时，显然不符合题意；
当m < 0，由-1 sin x 1，得m + n f (x) -m + n ，
ì-m + n = 3
因为 f (x) 的值域为[-1,3]，所以 í ，解得m = -2, n =1
m + n = -1
，
故选：C
f x 3cos wx j (w 0) f π 3, f π π π7．（2024·湖南永州·一模）已知函数 = + > ，若 - ÷ =
÷ = 0，在区间 - ,-
è 4 è 2 è 3 6 ÷
上没有零点，则w 的取值共有（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
【答案】B
π
【分析】根据 f - ÷ = 3, f
π 4n 2 π π
÷ = 0可得w = + ，根据在区间 - ,-4 2 3 3 3 6 ÷
上没有零点可得0 < w 6，即可
è è è
求出w 的取值有几个.
【详解】由题意，在 f x = 3cos wx +j (w > 0)中， f π- ÷ = 3, f
π
÷ = 0，
è 4 è 2
ì
3cos
π
- w +j
ì π
4 ÷
= 3 - w +j = 2k π
è 1
∴ í ,
4
所以 í ,kπ π 1
,k2 Z ，
3cos π w +j
÷ = 0 w +j = k 2 2 2
π+
è 2
3π π
两式相减得 w = k2 - 2k1 π+ ，4 2
4
所以w = k2 - 2k1 +
2 w 4n 2，即 = + ， n Z，
3 3 3 3
x π π π因为 - , -
÷ ,w > 0，所以wx +j - w +j,
π
- w +j ÷ ，
è 3 6 è 3 6
令wx +j = t
π π
， t - w +j,- w +j3 6 ÷
，
è
π
由题意知 y = 3cos t 在 t - w +j,
π
- w +j
3 6 ÷
上无零点，
è
π w j, π π π故 - + - w +j
÷ - + kπ, + kπ
÷， k Z，
è 3 6 è 2 2
ì π w j π π π - + - + kπ
ì
- w +j - + kπ 3 2 3 2
所以 í π π ，即 í w j kπ π π
，
- + + w -j - - kπ
6 2 6 2
π
两式相加得- w -π ，所以0 < w 6，
6
w 4n 2又 = + ，
3 3
2 10 14
所以，当 n = 0时，w = ；当 n =1时，w = 2；当 n = 2时，w = ；当 n = 3时，w = ；当 n = 4时，
3 3 3
w = 6，
所以w 的取值有 5 个.
故选：B.
π π
8．（2024 高二上·甘肃武威·阶段练习）已知函数 f x = sin 2x - ÷，则 f x 在 0, 上的单调递增区间为
è 3 è 2 ÷
（ ）
0, π A． ÷ B． 0,
5π
÷
è 2 è 12
5π , π π π C． ÷ D． ,
è 12 2 è 3 2 ÷
【答案】B
【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.
x 0, π 【详解】当 ÷ 时， 2x
π π 2π-
2 3
- , ÷，
è è 3 3
π π
所以当 2x - - ,
π 5π
÷，即 ∈ 0, 时，函数 f x 单调递增．3 è 3 2 12
故选：B.
9．（2024 高一下·北京·阶段练习）函数 y = sin2 x - 3cos x + 2的最大值为（ ）
5 21A． B． C4 ．-1 D．1
【答案】A
3
2
21
【分析】化简可得 y = - cos x + ÷ + ，结合-1 cos x 1以及二次函数的基本性质可求得原函数的最大
è 2 4
值.
2
【详解】因为-1 cos x 1， y = sin2 x - 3cos x + 2 = -cos2 x - 3cos x + 3 = - cos x
3
+
21
+ ，
è 2 ÷ 4
故当 cos x = -1时，函数 y = sin2 x - 3cos x + 2取最大值，且 ymax = -1+ 3+ 3 = 5 .
故选：A.
10．（2024 高三·全国·专题练习）使函数 f x = 3 sin 2x +q + cos 2x +q 为奇函数，则q 的一个值可以是
（ ）
π π π π
A． B． C．- D． -
3 6 3 6
【答案】D
π
【分析】化简函数为 f x = 2sin(2x +q + ) ，根据题意，结合三角函数的性质，即可求解.
6
π
【详解】由函数 f x = 3 sin 2x +q + cos 2x +q = 2sin(2x +q + )，
6
因为 f x π π为奇函数，可得q + = kπ,k Z，所以q = kπ - ,k Z，
6 6
π
令 k = 0，可得q =－ .
6
故选：D.
p p p
11．（2024 高一上·四川广安·阶段练习）函数 y=2cos(2x+ )，x [- ， ]的值域是 （ ）
6 6 4
1
A． -1,2 B．[-1, 3] C．[- 1 , 3 ] D．[- ,1]
2 2 2
【答案】A
p 2p
【分析】令 t = 2x
p p p+ x é ù，由 [- ， ]可得 t ê- , ú ，再由函数 y = 2cos t 的单调性即可解出．6 6 4 6 3
p 2p p
【详解】令 t = 2x
p p p+ x é ù é ù，因为 [- ， ]，所以 t ê- , ú ，而函数 y = f t = 2cos t 在 ê- ,06 6 4 6 3 6 ú 上单调递
é0, 2p ù增，在 ê ú上单调递减，所以 ymax = f 0 = 2 y f
2p= ，
3 min 3 ÷
= -1，即函数的值域是 -1,2 ．
è
故选：A．
12．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数中，最小正周期为 π 的函数是（ ）
A． y = sinx B． y = cosx
C． y = cosx D． y = sin x
【答案】B
【分析】根据三角函数的周期公式即可判断 AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断 BD.
【详解】对于 A，函数 y = sin x 的最小正周期为 2π，故 A 不符合题意；
对于 B，作出函数 y = cos x 的图象，
由图可知，函数 y = cos x 的最小正周期为 π，故 B 符合题意；
对于 C，函数 y = cosx的最小正周期为 2π，故 C 不符合题意；
ì sin x, x 0
对于 D，函数 y = sin x = í ，其图象如图，
-sin x, x < 0
由图可知，函数 y = sin x 不是周期函数，故 D 不符合题意.
故选：B.
π
13．（2024 高一下·广西南宁·阶段练习）函数 y = 5sin(x - )的一条对称轴为（ ）4
x 3π 5πA． = B． x
π π
= C x = D x =
4 2
． 3 ． 4
【答案】A
【分析】利用三角函数性质求出对称轴通式即可求出结果.
【详解】函数 y = 5sin(x
π) x π π- 的对称轴满足 - = + kπ(k Z) ，
4 4 2
3π 3π
解得 x = + kπ(k Z) ，令 k = 04 ，则 x = ，4
故选：A.
14．（2024 高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为 π 的函数是（ ）
A．y＝sin x B．y＝cos x
1 x π+ πC．y＝sin ÷ D．y＝cos - 2x
è 2 3 ÷ è 3
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式求解判断.
【详解】A. y＝sin x 的最小正周期为T = 2π，故错误；
B. y＝cos x 的最小正周期为T = 2π，故错误；
1 π T 2π= = 4π
C. y＝sin x +2 3 ÷的最小正周期为
1 ，故错误；
è 2
π π
D. y＝cos - 2x
= cos 2x - 2π
3 ÷ 3 ÷
T = = π ，故正确；
è è 2
故选：D
π π 3π 7π
15．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 f (x) = sin(wx +j) - < j <
, x 3π÷在 ÷ 内单调递减， = 是
è 2 2 è 8 8 8
函数 f (x)
π 7π
的一条对称轴，且函数 y = f x + ÷ 为奇函数，则 f = （ ）
è 8 è 24 ÷
A 3
1
．- B．-1 C D 3． ．
2 2 2
【答案】D
【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.
3π 7π 3π
【详解】因为函数 f (x) 在 ,8 8 ÷
内单调递减， x = 是函数 f (x) 的一条对称轴，
è 8
7π 3π 1 T 7π 3π 1 2π所以有 - - × w 28 8 2 8 8 2 w ，
w 3π j 2kπ π所以 × + = + k Z 1 ，
8 2
因为 y = f
x
π wπ
+ ÷ = sin
wx + +j
8 ÷
是奇函数，
è è 8
wπ
所以 +j = mπ m Z 2 ，由 1 - 2 可得：w = 4 2k - m + 2，
8
而 w 2 ，所以 w = ±2，
2π
当w = 2时， +j
p
= mπ m Z j = mπ - m Z ，
8 4
π π π
因为- < j < ，所以j = - ，
2 2 4
即 f (x) = sin(2x
π
- )，
4
x 3π , 7π π π 3π 当 ÷时， 2x - , ÷，显然此时函数单调递减，符合题意，
è 8 8 4 è 2 2
f (7π) sin(2 7π π π 3所以 = - ) = sin = ；
24 24 4 3 2
2π
当w = -2 时，- +j = mπ m Z j = mπ π+ m Z ，
8 4
π π π
因为- < j < ，所以j = 4 ，2 2
即 f (x) = sin(2x
π
+ )
4 ，
x 3π 7π , 2x π当 ÷时， + π,2π ，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
è 8 8 4
故选：D
16．（2024 高一下·重庆九龙坡·阶段练习）设函数 f x π= cos π wx - ÷ , (w > 0)的最小正周期为 ，则它的一
è 4 5
条对称轴方程为（ ）
π π
A． x = B． x = -
8 8
x π πC． = D． x = -
12 12
【答案】A
π π
【分析】由 f (x) 最小正周期为 求得w =10 ，再令10x - = kπ ， k Z，求出对称轴，即可得出答案．
5 4
【详解】因为的 f (x)
π
最小正周期为 ，
5
w 2π所以 = = 10 ，
T
所以 f x = cos 10x
π
-
4 ÷
，
è
令10x
π
- = kπ ， k Z，
4
kπ π
解得 x = + (k Z )，
10 40
所以 f (x)
kπ π
的对称轴为直线 x = + (k Z )，
10 40
当 k =1时， x
π
= ，其它各项均不符合，
8
x π所以 = 是函数 f (x) 的对称轴，
8
故选：A．
π π 2π
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0,0 < j < ÷在区间 , ÷上单调，且
è 2 è 6 3
f π f 2π ÷ = -
÷ =1，则（6 3 ）è è
π π
A．w = 3，j = - B．w = 2，j = -
3 6
π π
C．w = 3，j = D．w = 2，j =
3 6
【答案】D
π , 2π T 2π π - w f
π = - f 2π 【分析】根据函数在区间 ÷上单调，可得 ，从而可求出 的范围，再根据6 3 2 3 6 6 ÷ ÷
=1，
è è è 3
sin π得 w +j
2π
÷ = -sin
6
w +j ÷ =1，由此可求出答案.
è è 3
【详解】因为函数 f x = sin wx +j w 0,0 π π 2π > < j <
2 ÷
在区间 ,6 3 ÷
上单调，
è è
T 1 2π 2π π π
所以 = × - = ，所以0 < w 2，
2 2 w 3 6 2
π 2π
因为 f ÷ = - f ÷ =1，
è 6 è 3
sin π所以 w +j
2π
÷ = -sin
w +j ÷ =1，
è 6 è 3
π w j π 2π 3π所以 + = + 2k1π, w +j = + 2k1π, k1, k2 Z，6 2 3 2
π
故 w = π + 2 k2 - k1 π ，所以w = 2 + 4 k2 - k1 ,k , k Z，2 2 1
因为0 < w 2,k2 - k1 Z，所以w = 2，
π
则j = + 2k π,k Z，
6 1 1
又0 < j
π π
< ，所以j = .
2 6
故选：D.
π
18．（2024 高三上·浙江·开学考试）已知函数 f x = 2cos wx + ÷（w > 0），若 f x 在区间 0,π 内有且仅
è 6
有 3 个零点和 3 条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
17 ,10ù 17 , 23ù é17 ,10ù 7 10ùA． B C6 3 ú ． 6 6 ú ． ê ú
D． ,è è 6 3 è 3 3 ú
【答案】A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
f x 2cos wx π= + 【详解】函数 6 ÷ (w > 0) ．è
当 x 0, π π时，令 t = wx π+ ，则 t éê ,wπ
π
+
6 ÷， 6 6
若 f (x) 在 0,π 有且仅有 3 个零点和 3 条对称轴，
y = 2cos t t é π π 则 在 ê ,wπ + ÷有且仅有 3 个零点和 3 条对称轴， 6 6
3π wπ π 7 π 17 w 10则 < + ，解得 < .
6 2 6 3
故选：A．
f x = cos π π 3π19 ．（2024 高三上·湖南·阶段练习）若函数 wx + ÷ w > 0 在区间 ,2 2 ÷上恰有两个零点，则
w
è 5 è
的取值范围是（ ）
23 ,11ù é23 11 A． ú B． ,è 15 5 ê15 5 ÷
23 ,11ù U é13 , 43ù é23 11 é13 43 C． ú ê ú D． ê , U ,è 15 5 5 15 15 5 ÷ ê 5 15 ÷
【答案】C
【分析】利用整体思想，结合余弦函数得图象与性质列出不等式组，解之即可.
T 3π π 3T π π π 3π π
【详解】由题可知 < - ，解得1< w 3， w + < wx + < w + ．
2 2 2 2 2 5 5 2 5
π π 3π
因为函数 f x = cos wx + ÷ 在区间 ,
è 5 è 2 2 ÷
上恰有两个零点，
ì π π π 3π
w + < ,
ì3π π w π 5π + < ,
2 2 5 2 2 2 5 2
所以 í
5π 3π w π 7π
或 í
, 7π 3π w π 9π< + < + ,
2 2 5 2 2 2 5 2
23 w 11 13 43
23 11 13
解得 < 或 w ，即w
,
ù é
ú U ê ,
43ù
．
15 5 5 15 è 15 5 5 15 ú
故选：C.
20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, j
π π π
< ，若 f
+ x
2 ÷ 3 ÷
= - f - x ÷ ，
è è è 3
f π x f π x f x π π 3π + ÷ = -
÷，且 在区间 ,6 3 ÷上单调，则
f
6 6 4 ÷
的值为（ ）
è è è è
A 2．- B 2 C 3． ． D．1
2 2 2
【答案】B
π π
【分析】根据已知可得函数的对称性，结合 f x 在区间 ,6 3 ÷上单调性从而得到T ，求出
w ，再由 f π = 0
è
求出j 可得 f x 3π 的解析式，再计算 f ÷即可．
è 4
π
【详解】因为 f + x
f π= - π÷ - x ÷，所以函数图象关于点 ,0
3 ÷成中心对称，è 3 è 3 è
f π x f π又 + ÷ = - x
÷ ，所以 f x
π
的图象关于直线 x = 对称，
è 6 è 6 6
f x π , π π π T 2π且 在区间 ÷上单调，所以 - = ，即T = ，w = 3．
è 6 3 3 6 4 3
又3
π
+j = kπ π， k Z ， j < ，所以j = 0，
3 2
f x = sin 3x f 3π 2所以 ，所以 ÷ = ．
è 4 2
故选：B.
21．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos(wx +j) + b(w
π
> 0) 满足 f + x ÷ = f
π
- x
÷ ，且
è 8 è 8
f (0) 7, f π= ÷ = 5，则b =（8 ）è
A．3 B．3 或 7 C．5 D．7
【答案】D
π π wπ π
【分析】根据题意得到 x = 是 f x 的一条对称轴，求得j = - + k1π,k Z
1 ，再由 f ÷ = 5，求得b = 38 2 8 è 8
或b = 7 ，结合 f (0) = 7 ，得到 2cosj = 7 - b，进而利用三角函数的性质，即可求解.
f x f π + x = f π π【详解】由题意，函数 满足 ÷ - x ÷ ，可得 x = 是函数 f x 的一条对称轴，
è 8 è 8 8
所以 2cos(
wπ
+j) = ±2，即 cos(
wπ
+j) = ±1，
8 8
wπ π π wπ
即 +j = + kπ,k Z ，所以j = - + k1π,k8 2 2 8 1
Z
f π 又由 ÷ = 5，可得 2 + b = 5或-2 + b = 5，即b = 3或b = 7 ，
è 8
因为 f (0) = 7 ，可得 f (0) = 2cosj + b = 7，所以 2cosj = 7 - b，
当b = 3时，可得 2cosj = 4，即 cosj = 2 >1，（不符合题意，舍去）；
当b = 7 时，可得 2cosj = 0，即 cosj = 0 j
π
，解得 = + k π, k Z，
2 2 2
π wπ π
如： k1 = 0, k2 = -1时，可得 - = - ，解得w = 8，符合题意，2 8 2
所以b = 7 .
故选：D.
22．（2024 高一上·全国·专题练习）已知 f x = sin wx +j w > 0,0 < j p 是R 上的奇函数，若 f x 的图
x p
p p p
象关于直线 =
é ù
对称，且 f x 在区间 ê- , ú内是单调函数，则 f ÷ =（22 11 6 ）4 è
A 3
1 1
．- B 3．- C． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】由函数 f x 的奇偶性结合j 的取值范围可得出j 的值，利用函数 f x 的对称轴可得出w 的表达式，
结合函数 f x 的单调性可求得w 的取值范围，可得出w 的值，进而可确定 f x 的解析式，代值计算可得结
果.
【详解】因为 f x = sin wx +j w > 0,0 < j p 是R 上的奇函数，则j = p ，
所以， f x = sin wx +p = -sinwx ，
因为 f x p pw p的图象关于直线 x = 对称，则 = kp + k Z ，可得w = 4k + 2 ，
4 4 2
x é p p ù pw pw当 ê- , 22 11ú
时，- wx ，
22 11
ìpw p
因为函数 f x é p p ù 11 2在区间 ê- , ú内是单调函数，则 í ，解得0 w
11
< ，
22 11 pw p- - 2
22 2
k 0 w p p 3所以， = ， = 2 ，故 f x = -sin 2x，因此， f = -sin = - .
è 6 ÷ 3 2
故选：A.
23．（2024 高二下·湖南湘潭·期末）已知 f x = cos wx +j w 0, j π > <
÷，且 y = f x 的最小正周期为 2.
è 2
若存在m > 0，使得对于任意 x R ，都有 f x + m = mf -x ，则j 为（ ）
π π π π
A．- B． C．- D．
4 4 3 3
【答案】A
【分析】由题意可得 f x 的最小正周期为 4，可得w ，由 f x + m = mf -x 可得m =1，故函数 f x 关于
1 π
直线 x = 对称，结合 j < 即可求j 的值.
2 2
2π π
【详解】由已知条件可得 f x 的最小正周期为 4，所以w = = .
4 2
由 f x + m = mf -x ,得 cos éw x + m +j ù = mcos -wx +j ，
因为存在m > 0，使得对于任意 x R ，都有 f x + m = mf -x ，所以m =1，
所以 f x +1 = f -x 1，得到函数 f x 关于直线 x = 对称，
2
π
故 +j = kπ j
π
= - + kπ k Z ，
4 4
π π
又 j < ，所以j = - .
2 4
故选:A.
24．（2024·吉林通化·模拟预测）已知 f x = sin wx +j w N*,0 < j π 是R 上的奇函数，且 f x 在区间
é π π ù
ê- ,22 11ú 上是单调函数，则
w 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的奇偶性求得f 的值，再根据其单调性求得w 的取值范围，由w N* ，即可得w 的
最大值.
【详解】函数 f x = sin wx +j w N*,0 < j π 是R 上的奇函数，
则 sinj = 0 ，所以j = kπ ， k Z，又0 < j π，所以j = π ，
则 f x sin wx π sinwx x é π , π ù wx é πw , πw= + = - ，当 ùê- ，则 - ， 22 11ú ê 22 11 ú
ì π πw
- -
又 f x é π π ù 2 22 11在区间 ê- ,22 11ú 上是单调函数，所以 í ，解得w π π ，又w w N
* ，
2
11 2
所以则w 的最大值为5 .
故选：C.
二、多选题
π é π 5π ù
25．（2024 高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知w > 0，函数 f (x) = 2sin wx + ÷在 ê ， ú上单调递减，è 6 2 6
则实数w 的取值可以是（ ）
4 5
A．1 B． C． D．2
3 3
【答案】AB
x wx π é πw π , 5πw π【分析】根据 的范围得出 + ê + +
ù
6 2 6 6 6 ú，根据
f (x) 的单调性可得出即可得出w 的可能取值．
Q x π 5π π πw π 5πw π【详解】 é ùê ， ú ,w > 0 ，\ wx +
é
ê + , +
ù
2 6 6 2 6 6 6 ú
，
由于函数 f (x) 2sin
wx π é π 5π= ù + ÷在 ê ， 上单调递减，è 6 2 6 ú
ì πw π π
+ + 2kπ
\ 2 6 2 2 4k w 8 12í ， k Z，解得 + + k ， k Z
5π
，
w π 3π
+ + 2kπ 3 5 5
6 6 2
2 8
\k = 0时， w ，
3 5
\w 4的值可以是1, 3 ．
故选：AB．
26．（2024 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 f (x) = cos(2x
p
+ ) ，则下列结论正确的是（ ）
3
A． y = f (x) 是奇函数
B． y = f (x) 的周期是p
C． y = f (x)
p
的图象关于点 ( ,0)对称
12
D． y = f (x)
p
的图象关于直线 x = 对称
3
【答案】BCD
【分析】根据函数性质，采取特值验证法即可判断 ACD，由周期公式可判断 B.
【详解】对选项 A：由 f 0 = cos p 0，所以函数 f x 不是奇函数，故 A 错误；
3
2p
对选项 B：由T = = p2 ，知函数 f x 的周期为p ，故 B 正确；
对选项 C，由 f
p p p
÷ = cos = 0
,0 ，知点 ÷是函数 f x 的对称中心，故 C 正确；
è12 2 è12
p
对选项 D，由 f ÷ = cos
2p p+ ÷ = cosp = -1
p
，取得最小值，所以 x = 为函数 f x 的一条对称轴，故 D
è 3 è 3 3 3
正确.
故选：BCD.
27．（2024·山东潍坊·三模）已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f 1+ x + f 1- x = 0 ，函数
g x = f x sinwx w > 0 ，若函数 y = g x +1 为奇函数，则w 的值可以为（ ）
p p 3p
A． B． C．p D．
4 2 2
【答案】BD
【分析】首先可得 f x 关于点 1,0 对称，从而得到 f x +1 关于点 0,0 对称为奇函数，依题意只需使
y = sinw x +1 为偶函数即可，从而求出w 的取值，即可得解；
【详解】解：因为 f 1+ x + f 1- x = 0 ，所以 f x 关于点 1,0 对称，
要使 g x +1 = f x +1 sinw x +1 为奇函数，因为 f x +1 关于点 0,0 对称，为奇函数，
所以只需使 y = sinw x +1 = sin wx +w p为偶函数即可，所以w = + kp , k Z ，
2
故符合题意的有 B、D；
故选：BD
π
28．（2024 高一下·福建泉州·期中）若函数 f x = 3sin 2x - +j
÷是偶函数，则j 的值不可能为（6 ）è
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 2 3 6
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得j = kπ
2π
+ , k Z，结合选项，即可求解.
3
p π
【详解】由函数 f x = 3sin 2x - +j ÷是偶函数，可得 f 0 = ±3，即 sin - +j ÷ = ±1，
è 6 è 6
π j kp π ,k Z 2π则- + = + ，解得j = kπ + , k Z，
6 2 3
j 2π j π π 5π当 k = 0时，可得 = ，无论 k 取何值， 都不可能等于 或 或 ．
3 6 2 6
故选：ABD．
29．（2024 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 f x = sin wx +j w 0 为偶函数，则j 的取值可以为
（ ）
π 3π 2023π
A． B． π C． - D．
2 2 2
【答案】ACD
【分析】结合诱导公式、余弦函数的奇偶性确定．
【详解】 f x = sin wx +j w 0 为偶函数，因此 f (x) = coswx或 f (x) = -coswx π．所以j = + kπ,k Z，
2
故A,C,D正确，
故选：ACD.
30．（2024 高二上·河北秦皇岛·开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π的函数是（ ）
A． y = sin2x B． y = sin x
C． y = cos
2x 3π π -
÷ D． y = sin 2x +
è 2 è 2 ÷
【答案】AC
【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性即可逐一判断结果．
【详解】对于 A，函数 y = f x =sin2x满足 y = f -x =sin -2x = -sin 2x = - f x ，
且 y = f x = 2sin x的定义域为R 关于原点对称，即 y = f x = 2sin x是奇函数，
2π 2π
且注意到其周期为T = = = π2 ，故
A 正确；
w
对于 B：函数 y = f x = sin x 满足 y = f -x = sin -x = sin x = f x ，
且 y = f x = sin x 的定义域为R 关于原点对称，
所以 y = f x = sin x 是偶函数，不是奇函数，故 B 错误；
3π π
对于 C： y = cos 2x - ÷ = cos 2x + ÷ = -sin2x，
è 2 è 2
由 A 选项分析易知 y = f x = - sin2x 是奇函数，
同时也是最小正周期是 π的周期函数，故 C 正确；
对于 D：函数 y = f x =sin 2x
π
+ ÷ = cos2x满足 f -x =cos -2x = cos 2x = f x ，
è 2
且 y = f x =cos2x 的定义域为R 关于原点对称，
所以 y = f x =cos2x 是偶函数，不是奇函数，故 D 错误．
故选：AC．
三、填空题
π π
31．（2024 高一上·全国·课后作业）已知函数 f x = cos wx - ÷ w > 0 的最小正周期为 ，则w = .
è 6 6
【答案】12
【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得w 的值.
2π 2π π
【详解】由于w > 0，依题意可知T = = = w =12w w 6 .
故答案为：12
π
32．（2024 高一下·天津红桥·期末）函数 f x = 3sin wx + ÷ w > 0 的最小正周期为 π，则w = .
è 6
【答案】 2
【分析】根据正弦型函数最小正周期求法直接求解即可.
2π
【详解】Q f x 的最小正周期T = = π，\w = 2 .w
故答案为： 2 .
π π
33．（2024 高一下·
辽宁朝阳·期中）已知函数 f (x) = sin wx + ÷ (w > 0) 的图象关于直线 x =6 3 对称，且
f (x) 在
è
π , 7π 区间 ÷内单调，则w 的最大值为
è 3 12
．
【答案】 4
π 7π
【分析】根据区间 , ÷的左端点为对称轴，且 f (x)
π , 7π
3 12 在区间 3 12 ÷内单调，可知区间的长度不超过半个è è
周期，据此列式可求出结果.
π , 7π π 7π 【详解】因为区间 3 12 ÷的左端点为对称轴，且
f (x) 在区间 ,3 12 ÷内单调，è è
7π π T T 2π所以 - ，其中 = ，
12 3 2 w
π p
所以 ，又w > 0，所以04 w
所以w 的最大值为 4 .
故答案为： 4 .
34．（2024 高三上·江苏南通·开学考试）写出一个同时满足下列条件的函数 f x 解析式 .
① f x =f -x ；② f x + f 4 - x = 0 .
f x 2cos π【答案】 = x（答案不唯一）
4
【分析】利用函数奇偶性和周期性写出一个满足题意的函数解析式即可.
【详解】由① f x =f -x ；② f x + f 4 - x = 0知，
该函数为周期是 8 的偶函数，
取 f x = 2cos π x, f -x = 2cos π π - x
4 4 ÷
= 2cos x，
è 4
所以 f x =f -x ，
T 2π=
又 π
= 8
，满足②，
4
f x 2cos π故答案为： = x（答案不唯一）.
4
π π
35．（2024 · ·
é ù
高三上 河南 阶段练习）已知 x ê0, ú ，设函数 f (x) = sin 3x -3 ÷，则
f x 的单调递减区间
è 3
是 ．
é5π , π ù【答案】 ê ú （开区间，半开半闭区间也正确） 18 3
【分析】根据正弦函数的性质结合条件即得.
3x π é π , 2π ù y sin x é π 3π- - = + 2kπ, + 2kπù【详解】依题意 ê ú ，因为函数 在 ê k Z 上单调递减，3 3 3 2 2 ú
π 3x π 2π 5π x π令 - ，解得 ，
2 3 3 18 3
f x é5π π ù所以 的单调递减区间是 ê , ú ． 18 3
é5π , π ù故答案为： ê 18 3 ú
．
y cos x + 336．（2024 高一·全国·课后作业）函数 = 的定义域是 ，值域是 ．
cos x -1
【答案】 x∣x 2kp , k Z - , -1
4
【分析】由题意可得 cos x -1 0 , 易得函数的定义域, 变形可得 y =1+ , 由 cos x 的范围结合不
cos x -1
等式的性质可得值域.
【详解】由 cos x -1 0 可得 cos x 1,
\ x 2kp , k Z
\ 函数的定义域为 x∣x 2kp , k Z ,
y cos+ 3 cos x -1+ 4 4又 = = =1+
cos x -1 cos x -1 cos x -1
Q-1 cos x <1,\-2 cos x -1 < 0 ,
4 4
\ -2,\1+ -1，
cos x -1 cos x -1
所以函数的值域为 - , -1 ；
故答案为： x∣x 2kp , k Z ； - , -1 .
37．（2024 高一上·甘肃天水·期末）函数 y = 3cos2 x - 4cos x +1， (x R) 的值域为 ．
é 1 ù
【答案】 ê- ,8 3 ú
【分析】根据题意，换元令 t = cos x -1,1 ，然后结合二次函数的值域，即可求得结果.
2 2 1
【详解】令 t = cos x -1,1 ，则 y = 3t 2 - 4t +1 = 3 t - 3 ÷ - ，è 3
当 t
2 1
= 时，则函数 y 取得最小值为- ，
3 3
当 t = -1时，函数 y 取得最大值为8，
é 1 ù
故函数的值域为 ê- ,8ú . 3
é 1 ù
故答案为： ê- ,8 3 ú
p p p
38．（2024 高一上·浙江宁波·期末）函数 y = 2cos(2x + ), x [- , ]的值域为 ．
6 6 4
【答案】[-1,2]
p p 2 p 2 p 1
【详解】试题分析：当 x [
p
- , p ] é ù é ù é ù时，2x + ê- , p ú，在区间 ê- , p ú上 cos 2x + - ,1 ，所6 4 6 6 3 6 3 è 6 ÷ ê 2 ú
以 y = 2cos(2x
p
+ )的值域为[-1,2] .
6
考点：三角函数的值域求法、函数性质.
4π
39．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos(3x +j) 的图象关于点 ,0÷对称，那么 j 的最小值
è 3
为 ．
π
【答案】
2
【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
Q f x = 2cos 3x +j 4π ,0 3 4π π【详解】 的图象关于点 ÷对称，\ +j = kπ + ,k Z ，即
è 3 3 2
j = kπ 7π π- ,k Z ，令 k = 4，可得 j 的最小值为 ．
2 2
π
故答案为：
2
π
40．（2024 高三·全国·专题练习）y＝cos -2x +
÷ 的单调递减区间为 .
è 3
é π 2π ù
【答案】 êkπ + ，kπ + k Z 6 3 ú
【分析】利用余弦函数的单调性可得答案.
【详解】因为 y = cos
π-2x + ÷ = cos
2x π -
3 ÷
，
è è 3
2kπ π π 2π所以由 2x - π + 2kπ 得， + kπ x + kπ ， k Z，
3 6 3
ékπ π ,kπ 2π ù即所求单调递减区间为 ê + + ú k Z . 6 3
é π
故答案为： kπ + ,kπ
2π
+ ù k Z .
ê 6 3 ú
π π
41．（2024 高一下·北京·期中）设函数 f x = sin wx + ，若 f x 的图象关于点 ,0 对称，则w 的值可
è 3 ÷ ÷ è 6
以是 ．（写出一个满足条件的值即可）
【答案】 4（答案不唯一）
π π
【分析】依题意根据正弦函数的性质可得w × + = kπ6 3 ，
k Z，即可求出w 的取值，再写出一个即可.
f x sin π π 【详解】因为函数 = wx + ÷，且 f x 的图象关于点3 ,06 ÷对称，è è
w π π所以 × + = kπ k Z6 3 ， ，
解得w = 6k - 2， k Z，
所以w 的值可以是 ...，-8，-2， 4，10， ...（写出一个即可）．
故答案为： 4（答案不唯一）．
42．（2024 高三上·湖北荆州·阶段练习）函数 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期为 .
p 1
【答案】 / p
2 2
【分析】由函数周期性与诱导公式求解，
π π π
【详解】由诱导公式可知， f (x + ) =| sin(x + ) | + | cos(x + ) |=| cos x | + | sin x |= f (x) ，
2 2 2
0 a π当 < < 时， f (x +a ) =| sin(x +a ) | + | cos(x +a ) |与 f (x)
π
不恒相等，故 f (x) 的最小正周期为 ，
2 2
π
故答案为：
2
43．（2024·河南开封·三模）已知函数 f x = 3sin wx π+j w > 0, j <
÷的最小正周期为 π，其图象关于直
è 2
π
线 x
π
=
3 对称，则
f - ÷ = .
è 4
3 3 3
【答案】- / - 3
2 2
p π
【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得 f x = 3sin(2x - )，进而求得 f (- )的值.
6 4
【详解】因为函数 f x = 3sin wx +j π w 2π的最小正周期为 ，所以 = = 2；
T
f x π sin(2 π又因为函数 图象关于直线 x = 对称，可得 +j) = ±13 ，3
2π j π可得 + = + kπ,k Z
p π
，且 j < ，所以j = - ，所以 f x = 3sin(2x p- )，
3 2 2 6 6
π 3 3
所以 f (- ) = - ．
4 2
3 3
故答案为： - .
2
π π é 17π ù
44．（2024 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ( ) = sin(2 + )，j - , ÷，若 f x 在 0, 上
è 2 2 ê 12 ú
恰有三个零点，则 φ 的取值范围是 ．
π- ,0ù é π π 【答案】
è 2 ú
U ê , ÷ 6 2
【分析】根据函数零点的定义，结合正弦型函数的性质分类讨论进行求解即可.
j kπ
【详解】由 2x +j = kπ, k Z，解得 x = - + ,k Z，
2 2
所以函数 f (x) = sin(2x +j)
j kπ
的零点为 x = - + ,k Z，
2 2
j p j π当
0, 2 ÷
时，- - ,0 ，
è 2 è 4 ÷
y f x é 17p= ù j π j j 3π所以 在 ê0, ú上的三个零点分别为- + ,- + π, - + ， 12 2 2 2 2 2
j 3π 17π j π 7π
故满足- + < - + 2π，解得 j < ，
2 2 12 2 6 6
π j π从而 < ；
6 2
j π j π当
é
ê- ,0
ù - é0, ù时，
2 ú 2 ê 4 ú
，
所以 y = f x é0,17π ù j j π j在 ê ú上的三个零点分别为- ,- + , - + π， 12 2 2 2 2
j
故满足- + π
17π j 3π 5π π
< - + ，解得- j < ，
2 12 2 2 6 6
π
从而- < j 0．综上，j
π π π - ,0
ù U é
2 è 2 ú ê
, ÷．6 2
π- ,0ù é π π 故答案为：
è 2 ú
U ê , ÷ 6 2
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分类讨论思想，找到三个零点，根据题意用不等式进行限制．
45．（2024·吉林通化·模拟预测）某函数 f (x) 满足以下三个条件：
① g(x) = f (x) -1是偶函数；② g(2 - x) + g(x) = 0；③ f (x) 的最大值为 4．
请写出一个满足上述条件的函数 f (x) 的解析式 ．
【答案】 f x = 3cos π x +1（答案不唯一）
2
【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.
【详解】因为 g(x) = f (x) -1是偶函数，所以 f (x) 的图象关于 y 轴对称，
因为 g(2 - x) + g(x) = 0，所以 f (2 - x) -1+ f (x) -1 = 0，即 f (2 - x ) + f ( x ) = 2
所以 f (x) 的图象关于点 (1,1) 对称，所以 4 为 f (x) 的一个周期，
又 f (x)
π
的最大值为 4，所以 f x = 3cos x +1满足条件.
2
π
故答案为： f x = 3cos x +1（答案不唯一）
2
46．（2024·山西·一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数 f x 的解析式 .
f 1+ x = f 1- x f 3 + x = - f 3 ① ；② ÷ - x ÷ ；③ f x 在 0,1 上单调递增.
è 2 è 2
【答案】 f x = -cos πx（答案不唯一，满足条件即可）
3
【分析】根据题意得 f x 图像关于直线 x =1对称，点 ,02 ÷ 对称，进而结合三角函数性质和条件③求解即è
可.
【详解】解：由① f 1+ x = f 1- x 可知，函数 f x 图像关于直线 x =1对称；
3 3 3
由② f + x ÷ = - f
- x f x ,0 ÷ 可知函数 图像关于点 2 ÷ 对称；è 2 è 2 è
所以， f 2 + x = - f 1- x = - f 1+ x ，即 f 1+ x = - f x ，
所以 f 2 + x = - f x +1 = f x ，即函数 f x 的周期为 2，
故考虑余弦型函数，不妨令 f x = Acoswx，
w 2π所以， = = π，即 f x = Acos πx ，满足性质①②，
T
由③ f x 在 0,1 上单调递增可得 A < 0，
故不妨取 A = -1，即 f x = -cos πx，此时满足已知三个条件.
故答案为： f x = -cos πx
π
47．（2024·
河北沧州·模拟预测）若函数 f x = cos 2x + + j6 ÷ j > 0 为奇函数，则
j 的最小值为 .
è
π
【答案】
3
【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可.
π
【详解】因为函数 f x = cos 2x + + j6 ÷ j > 0 为 R 上的奇函数，è
所以 f 0 = cos
π
+ j
π π π
÷ = 0，所以 +j = + kπ,k Z，所以j = + kπ,k Z6 ，è 6 2 3
又j > 0，所以j
π
的最小值为 .
3
π
故答案为：
3
48．（2024·贵州·模拟预测）若函数 f x = sin x + m
π
- ÷ + e
x + e- x 为偶函数，则m 的最小正值为 .
è 6
2p 2
【答案】 / p
3 3
【分析】利用函数是偶函数，求出m 的表达式，然后求解最小正值．
f x f x = sin R x + m π- + ex + e- x【详解】函数 的定义域为 ， ÷ 为偶函数，
è 6
则 f -x = f x ，即 sin π - x x -x + m - ÷ + e + e = sin
π x - x
6
x + m - ÷ + e + e ，
è è 6
sin π-x + m - sin x m π= + - π 则 ÷ ÷，即 y = sin x + m - 是偶函数，
è 6 è 6 è 6 ÷
m π π kπ m 2π 2π可知 - = + ， k Z ，即 = + kπ， k Z ，故m 取最小正值为 .
6 2 3 3
2π
故答案为： .
3
四、解答题
1 π
49．（2024 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数 y = 3sin x -
è 2 3 ÷
(1)用“五点法”画出函数 y = 3sin
1 x π- ÷在一个周期内的图象；
è 2 3
(2)直接写出函数 y = 3sin
1 π
x - 的值域和最小正周期．
è 2 3 ÷
列表：
1 x π-
2 3
x
y 3sin 1 x π= -
è 2 3 ÷
作图：
【答案】(1)答案见解析
(2)值域 -3,3 ，最小正周期为 4π
【分析】（1）取特殊点计算填入表格，再画出图象得到答案；
1 π
（2）利用正弦型函数的有界性可得出函数 y = 3sin x - ÷的值域，利用正弦型函数的最小正周期公式可
è 2 3
y 3sin 1 x π 得出函数 = -2 3 ÷
的最小正周期.
è
【详解】（1）解：列表:
2π 5π 8π 11π 14πx
3 3 3 3 3
1 x π 0 π π 3π- 2π
2 3 2 2
y 0 3 0 -3 0
图象如图所示：
1 sin 1 π- 1 π （2）解：因为 x - ÷ 1，则 y = 3sin x - -3,3 ，
è 2 3 è 2 3 ÷
2π
y = 3sin 1 x π- -3,3 T = 1 = 4π故函数 ÷的值域为 ，最小正周期为 .
è 2 3 2
π
50．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）已知函数 f x = 2sin 2x - 6 ÷ -1，è
(1)求不等式 f x 0的解集
x é π , π - ù(2)若 ê ú求函数 f x 的值域 6 6
é π π
【答案】(1) êkπ + , kp +
ù , k Z
6 2 ú
(2) -3,0
【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质得到不等式，解出即可；
2x π（2）求出 - 的范围，再利用正弦函数的性质即可得到值域.
6
π 1
【详解】（1）由 f x 0，即 sin 2x - ÷ ，
è 6 2
2kp π 2x π 5π故 + - 2kπ + ， k Z，
6 6 6
π π ékp π ,kp π得 kπ + x kπ + , k Z ，所以不等式 f x 0的解集 ê + +
ù
ú , k Z .6 2 6 2
x é π , π ù π π π 1 sin 2x π 1（2）由 ê- ú，得- 2x - ，所以- - ÷ 6 6 2 6 6 è 6 2
故-3 2sin
π
2x -
6 ÷
-1 0，即函数 f x 的值域为 -3,0 .
è
51．（2024 高一上·甘肃定西·期末）已知函数 f x = 2cos wx +j (w > 0,0 < j < π)图象相邻两对称轴之间的
π
距离为 且 f 0 =1.
2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)求函数 f x 的单调区间.
【答案】(1) f x = 2cos 2x π + 3 ÷è
é 2π π ù é π π ù
(2)单调递增区间为 ê- + kπ, - + kπú k Z ，单调递减区间为 ê- + kπ, + kπ k Z 3 6 6 3 ú
【分析】（1）由已知及最小正周期求求参数，即可得解析式；
（2）应用整体法求余弦函数的单调区间.
【详解】（1）由 f 0 = 2cosj 1 1 π= cosj = ，又0 < j < π，则j = .
2 3
函数 f x π 2π图象相邻两对称轴之间的距离为 ，故T = = π w = 2 ，
2 w
π
\ f x = 2cos 2x +
3 ÷
.
è
（2）令-π + 2kπ 2x
π
+ 2kπ 2π且 k Z，解得- + kπ x kπ
π
- ， k Z，
3 3 6
2kπ 2x π 2kπ π π令 + + π 且 k Z，解得- + kπ x kπ + ， k Z，
3 6 3
故 f x é 2π π ù é π π ù的单调递增区间为 ê- + kπ, - + kπú k Z ，单调递减区间为 - + kπ, + kπ k Z . 3 6 ê 6 3 ú
52．（2024 高一·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小：
10π 11π
(1) sin 与 sin ；
17 17
cos 5π cos14π(2) 与 ；
3 9
sin(cosa ) cos(sina ) 0 a π (3) 与 < < ÷．
è 2
10π 11π
【答案】(1) sin > sin
17 17
cos 5π(2) > cos
14π
3 9
(3) sin(cosa ) < cos(sina )
【分析】根据所给三角函数值，构造函数，结合诱导公式，再根据函数的单调性比较大小即可.
é π ù π 10π 11π
【详解】（1）∵函数 y = sin x 在 ê , π2 ú上单调递减，且
< < < π，
2 17 17
∴ sin
10π
> sin 11π ．
17 17
cos 5π（2） = cos
2π π- π 14π= cos cos = cos 4π 4π ÷ ， 2π -
÷ = cos ．利用诱导公式化为同一单调区间上3 è 3 3 9 è 9 9
的角．
∵函数 y = cos x é在 ê0,
π ù π 4π π
2 ú 上单调递减，且
0 < < < ，
3 9 2
cos π cos 4π cos 5π 14π∴ > ，即 > cos ．
3 9 3 9
0 a π（3）∵ < < ，∴ 0 < sina < a
π
< ，
2 2
又 y = cos x 在 0,
π
÷上单调递减，∴ cos(sina ) > cosa ．（中间值法）
è 2
π
又0 < cosa <1 < ，∴ sin(cosa ) < cosa ．
2
故 sin(cosa ) < cos(sina )．
53．（2024 高一·全国·课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) sin -1 ， sin -1.1 ；
(2) cos
11π cos12π， ．
7 7
【答案】(1) sin -1 > sin -1.1 ；
11π
(2) cos < cos
12π
.
7 7
【分析】（1）利用正弦函数的单调性比较大小即可.
（2）利用余弦函数的单调性比较大小即可.
π
【详解】（1）由于- < -1.1 < -1
π
< ，且 y = sin x
π π
在区间[- , ]上单调递增，
2 2 2 2
所以 sin -1 > sin -1.1 ．
π 11π 12π（2）由于 < < < 2π，且 y = cos x在区间 π,2π 上单调递增，
7 7
11π 12π
所以 cos < cos ．
7 7
54．（2024 高一·江苏·课后作业）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1） sin 250°与 sin 260°；
（2） cos
15π
与 cos
14π
.
8 9
15π 14π
【答案】（1） sin 250o > sin 260o ；（2） cos > cos8 9
【分析】（1）先根据诱导公式化简，再结合正弦函数的单调性比较 sin80o ,sin 70o 大小即可；
cos 4π（2）先根据诱导公式化简，再结合余弦函数的单调性比较 , cos
p
大小即可.
9 8
o o o o o o o
【详解】解：（1）因为 sin 250 = sin 180 + 70 = -sin 70 ， sin 260 = sin 180 + 80 = -sin80o，
由于函数 y = sin x 在 é 0,90
o
ù范围内单调递增，所以 sin80
o > sin 70o ，
所以-sin80o < -sin 70o ，所以 sin 250o > sin 260o
15π p p p 14π 4π 4π 4π
（2）因为 cos = cos 2p - = cos - = cos ， cos = cos 2p - = cos - = cos ，
8 è 8 ÷ è 8 ÷ 8 9 9 ÷ ÷ è è 9 9
由于函数 y = cos x在 0,p 4π p上单调递减， > ，
9 8
4π p 15π 14π
所以 cos < cos ，即 cos > cos
9 8 8 9
55．（2024 高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小.
cos15π(1) 与 cos
14π
；
8 9
(2)cos 1 与 sin 2.
cos15π【答案】(1) > cos
14π
8 9
(2) sin2 > cos1
【分析】（1）先利用诱导公式把角化到[0, π]上，然后利用余弦函数的单调性比较大小即可，
（2）利用诱导公式统一成正弦，然后利用正弦函数的单调性比较大小即可
cos15π 【详解】（1） = cos 2π
π π 14π- ÷ = cos ， cos = cos
2π
4π
- ÷ = cos
4π
，
8 è 8 8 9 è 9 9
因为 y = cos x在[0, π]
π 4π
上单调递减，且0 < < < π ，
8 9
cos π cos 4π cos15π cos14π所以 > ，所以 > ，
8 9 8 9
cos1 sin π（2）因为 =
+1÷，且 y = sin x
π , 3π π π 3π在
2 2 2 ÷
上递减， < 2 < +1< ，
è è 2 2 2
所以 sin 2 > sin
π
+1÷，所以 sin2 > cos1.
è 2
π
56．（2024 高一·全国·课堂例题）用“五点法”作出函数 y = 2sin x - ÷ + 3的图象，并指出它的最小正周期、
è 3
最值及单调区间.
é 5 11 ù
【答案】图象见解析，最小正周期为 2π，最大值为 5，最小值为 1，减区间为 ê2kπ + π,2kπ + π 6 6 ú
，
π 5
k Z é ù，增区间为 ê2kπ - , 2kπ + π ， k Z 6 6 ú
【分析】根据五点法的法则和画函数图象的步骤，结合正弦型函数的周期、单调性进行求解即可.
【详解】①列表如下：
π 5 π 4 π 11x π 7 π
3 6 3 6 3
x p π π 3- 0 π 2π
3 2 2
y 3 5 3 1 3
②描点.
π
③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得 y = 2sin x - ÷ + 3的图象.如图所示.
è 3
函数的最小正周期T = 2π，最大值为 5，最小值为 1，
é
函数的减区间为 ê2kπ
5 π,2kπ 11+ + πù k Z é
π 5
ú ， ，增区间为 ê2kπ - , 2kπ + π
ù
ú， k Z . 6 6 6 6
2 - cos x
57．（2024 高一下·全国·课后作业）求函数 y = 的值域．
2 + cos x
é1 ù
【答案】 ê ,3 3 ú
【分析】根据常数分离得 y
4 - (2 + cos x) 4 1 4
= = -1，由-1 cos x 1，逐步得 -1 3即可解
2 + cos x 2 + cos x 3 2 + cos x
决.
y 4 - (2 + cos x) 4【详解】由题知， = = -1，
2 + cos x 2 + cos x
因为-1 cos x 1，
所以1 2 + cos x 3，
1 1
所以 1，
3 2 + cos x
4 4
所以 4 ，
3 2 + cos x
1 4
所以 -1 3，
3 2 + cos x
1
所以 y 3，
3
y 2 - cos x é
1 ù
所以函数 = 的值域为
2 + cos x ê
,3
3 ú
.
58．（2024 高一·全国·课后作业）已知 x é
π 2π
- , ùê ú ，求函数 y = -3(1- cos
2 x) - 4cos x + 4
3 3 的值域．
é 1 15ù
【答案】 ê- , ú . 3 4
【分析】由题可得 cos x
é 1 ê- ,1
ù
ú ，然后根据二次函数的性质即得. 2
é π
【详解】因为 x ê- ,
2π ù
ú ，所以 cos x
é 1
ê- ,1
ù
3 3 2 ú
，
2
又 y = -3(1- cos2 x) - 4cos x + 4 = 3cos2 x - 4cos x +1 = 3 cos x
2 1
- ÷ - ，
è 3 3
cos x 2 y 1 cos x 1 y 15所以，当 = 时， min = - ，当 = - 时，3 3 2 max
= ，
4
é 1 15ù
故函数 y = -3(1- cos2 x) - 4cos x + 4 的值域为 ê- , 3 4 ú
.
π
59．（2024 高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知函数 f x = 2sin 2x - ÷ .
è 6
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求函数 f x 的单调递增区间.
π
(3) é ù求函数 f x 在 ê0, 2 ú 上的最大值.
【答案】(1) π
é
kπ π
ù
(2)单调递增区间为 ê - ,kπ
π
+ ú(k Z)
ê 6 3 ú
(3)2
【分析】（1）根据正弦函数的周期公式即可求得答案；
（2）根据正弦函数的单调性，即可求得答案；
x é0, π π ù 2x - é π 5π ù π （3）根据 ê ú ，求得 ê- , ú ，即可求得 sin 2x - ÷ 的范围，由此可得答案. 2 6 6 6 è 6
【详解】（1）由 f x = 2sin 2x π- 2π ÷，得 f x 的最小正周期为 = π；
è 6 2
（2）由于 y = sin x
π π
的单调递增区间为[2kπ - , 2kπ + ], k Z ，
2 2
故令 2kπ
π
- 2x π- 2kπ π+ k Z ，
2 6 2
可得： kπ
π
- x kπ π+ k Z ，
6 3
∴ f
é ù
x π π的单调递增区间为 êkπ- , kπ + ú(k Z)ê 6 3 ú
（3）因为 x
é0, π ù 2x π é π , 5π ê ú ，则 - ê-
ù
ú ， 2 6 6 6
故 sin
2x π 1 -
é ù
÷ - ,1 ，
è 6 ê 2 ú
∴ f x -1,2 é π ù，即函数 f x 在 ê0, 上最大值为 2. 2 ú
π 3
60．（2024 高一上· · 山东 阶段练习）已知函数 f (x) = sin 2x - ÷ + .
è 3 2
(1)求 f (x) 的最小正周期；
é
(2)当 x ê0,
7π ù
12 ú
时，求 f (x) 的最小值和最大值.
【答案】(1) π
(2) 0 2 + 3最小值为 ，最大值为
2
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式计算可得；
π
（2）由 x 的取值范围求出 2x - 的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
3
π 3
【详解】（1）由题意， f (x) = sin 2x - ÷ + ，
è 3 2
f (x) 2π所以 的最小正周期T = = π ；
2
7π π π 5π
（2）当0≤ x ≤ 时，- 2x - ，
12 3 3 6
3
可知- sin 2x
π
-
÷ 1，2 è 3
0 sin 2x π 3 2 + 3即 - 3 ÷
+ ，
è 2 2
故 f (x) 0 2 + 3的最小值为 ，最大值为 .
2
π
61．（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x = 2sin 4x +
÷ ．
è 6
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求 f x é在 ê0,
π ù
ú 上的值域． 3
【答案】(1) f x é π kπ , π kπ- + + ù k Z é π kπ + , π kπ+ ù的单调递增区间为 ê ú ，单调递减区间为 ê ú k Z 6 2 12 2 12 2 3 2
(2) -2,2
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质，结合（1）的结论进行求解即可.
π
【详解】（1）令- + 2kπ 4x
π π π kπ π kπ
+ + 2kπ ， k Z ，得- + x + ， k Z ，
2 6 2 6 2 12 2
f x é π kπ , π kπ ù所以 的单调递增区间为 ê- + + ú k Z ． 6 2 12 2
π 2kπ 4x π 3π π kπ π kπ令 + + + 2kπ ， k Z ，得 + x + ， k Z ，
2 6 2 12 2 3 2
所以 f x é π kπ , π kπ ù的单调递减区间为 ê + + k Z ， 12 2 3 2 ú
综上所述， f x é π kπ π kπ π kπ π kπ的单调递增区间为 ê- + , +
ù k Z é ù，单调递减区间为 + , + k Z ；
6 2 12 2 ú ê12 2 3 2 ú
é π π ù é π π ù
（2）由（1）知 f x 在 ê- , ú上单调递增，在 ê , 6 12 12 3 ú上单调递减，
é
故 f x 在 ê0,
π ù π
ú上的最大值为 f ÷ = 2，最小值为 f 0 =1， 12 è12
é π
在 ê ,
π ù π
ú上的最大值为 f ÷ = 2，最小值为 f
π
÷ = -2
12 3
．
è12 è 3
é π ù
所以 f x 在 ê0, 上的最大值为 2，最小值为－2， 3 ú
f x é0, π ù即 在 ê ú 上的值域为 -2,2 ． 3
62．（2024 高一·全国·课堂例题）求下列函数的最小正周期．
(1) f x 1= cos 2x
π
+
2 3 ÷
；
è
(2) f (x) =| sin x |．
【答案】(1)最小正周期为π．
(2)最小正周期为π．
1
【分析】（1）可通过周期公式直接算得 f x = cos 2x π+ ÷的最小正周期；2 è 3
（2）可画出函数 y =| sin x |的图象，观察得到周期.
1
【详解】（1）∵ f x = cos 2x π+ ÷，∴w = 2．2 è 3
2π 2π
又最小正周期T = = = πw 2 ，
∴函数 f x 1= cos 2x π+ ÷的最小正周期为π．2 è 3
（2）画出函数 y =| sin x |的图象，如图所示，
由图象可知，函数 f (x) =| sin x |的最小正周期为π．
63．（2024 高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
(2) y sin x
π π
= +
é
÷， x ê- ,
5π ù
.
è 3 3 3 ú
y 3sin 1(3) = x
π
- ÷在一个周期（T = 4π）内的图像．
è 2 3
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
y cos x π x é π ,11(5) = + ÷， - π
ù
．
è 6 ê 6 6 ú
π é π 5π ù
(6) y = cos x + ， x - ,
è 3 ÷ ê 3 3 ú
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析
(4)图象见解析
(5)图象见解析
(6)图象见解析
【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可.
【详解】（1）列表：
0 π π 3πx 2π
2 2
2sin x 0 2 0 -2 0
描点、连线、绘图，如图所示.
（2）列表：
π
x π+ 0 π 3π 2π
3 2 2
π π 2π 7π 5π
x -
3 6 3 6 3
sin x π+ ÷ 0 1 0 －1 0
è 3
描点连线如图.
（3）
列表:
2π 5π 8π 11π 14πx
3 3 3 3 3
1 x π π 3π- 0 π 2π
2 3 2 2
y 0 1 0 -1 0
图像如图所示：
（4）
解:由题知 y = 2 - sin x， x 0,2p ，
列表如下:
0 π π 3πx 2π
2 2
y 2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
（5）解:由题知 y = cos
x π x é π ,11 + ÷， ê- π
ù
è 6 6 6 ú
，
列表如下:
π
x π 5π 4π
11π
-
6 3 6 3 6
x π 0 π π 3π+ 2π
6 2 2
y 1 0 -1 0 1
根据表格画出图象如下:
Q x é π , 5π - ù（6） ê ú\ x
π
+ 0,2π
3 3 3
根据五点法作图列表得：
π 3π
x π+ 0 π 2π
3 2 2
π π 2π 7π 5π
x -
3 6 3 6 3
y 1 0 -1 0 1
画图像得：
64．（2024 高一下·上海·课后作业）当 x -2p , 2p 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 y = sin x 的图象
进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
【答案】答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与 y = sin x 的图象关于 x 轴对称，故将 y = sin x 的图象作关于 x 轴对称的图象即可得到
y = -sin x的图象.
y sin x ì
sin x,-2p x -p ,0 x p ,
（2） = = í 将 y = sin xsin x, x 0, x 2 , 的图象在
x 轴
