4.2 指数函数 16 题型分类
一、指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R.
注意：指数函数中规定 a>0，且 a≠1 的原因：
(1)如果 a＝0，当 x>0 时，ax恒等于 0，没有研究的必要；当 x≤0 时，ax无意义．
1 1
(2)如果 a<0，例如 f(x)＝(－4)x，这时对于 x＝ ，，…，该函数无意义．
2 4
(3)如果 a＝1，则 y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定 a>0，且 a≠1.
二、指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次
增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x(x∈N).形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0；a＞0，且 a≠1)的函数
是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
三、指数函数的图象和性质
a>1 0
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
性质 函数值 当 x>0 时，y>1； 当 x>0 时，0的变化 当 x<0 时，01
单调性 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数
对称性 y＝ax与 y＝a－x的图象关于 y 轴对称
注意：（1）由指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质知，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象
1
恒过点(0,1)，(1，a)，(－1， )，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数 y＝a
ax(a>0，且 a≠1)的图象．
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是 a>1，还是 0底数越大，函数图象越靠近 y 轴．
四、不同底指数函数图象的相对位置
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则
0在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．
(2)实质：指数函数的底数即直线 x＝1 与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的
大小．
五、与指数函数复合的函数单调性
(1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0二是 f(x)的单调性．它由两个函数 y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)若 y＝f(u)，u＝g(x)，则函数 y＝f(g(x))的单调性有如下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y＝f(u)，u＝g(x)，
通过考查 f(u)和 g(x)的单调性，求出 y＝f(g(x))的单调性．
（一）
指数函数的概念
1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点：
①底数是大于 0 且不等于 1 的常数；
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
③ax的系数必须为 1.
(2)求指数函数的解析式常用待定系数法．
2、判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就
不是指数函数．
题型 1：指数函数的概念
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数：① y = 2 3x；② y = 3x+1；③ y = πx ；④ y = xx ．其中为指
数函数的个数是（ ）
A．0 B．1
C． 2 D．3
【答案】B
【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可.
x
【详解】指数函数解析式为 y = a a > 0 且 a 1 ，
对于①②④， y = 2 3x、 y = 3x+1和 y = xx 不符合指数函数解析式特征，①②④错误；
对于③， y = πx 符合指数函数解析式特征，③正确.
故选：B.
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数为指数函数的是（ ）
A． y = -4x B． y = -4 x C． y = πx D． y = 4x2
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义，逐项判定即可求解.
x
【详解】根据指数函数的定义 y = a a > 0, a 1 知，
可得函数 y = -4x x不是指数函数；函数 y = -4 不是指数函数；
函数 y = πx 2是指数函数；函数 y = 4x 不是指数函数.
故选：C.
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）函数① y = 4x ；② y = x4 ；③ y = -4x ；④ y = (-4)x ；⑤ y = πx ；
⑥ y = 4x2 ；⑦ y = xx ；⑧ y = (a -1)x (a >1)中，是指数函数的是 ．
【答案】①⑤
【分析】根据指数函数的定义及解析式逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】因为指数函数为 y = a x (a > 0且 a 1)，故①⑤正确；
由幂函数定义知， y = x4 是幂函数，故②不正确；
由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；
对于⑧，当 a = 2时， y = a -1 x =1x，不是指数函数.
故答案为：①⑤.
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)．
x
x
① y = 2 × 2 ；② y = 2x-1 ③ y = p x 1 1； - ÷ ；④ y = x ；⑤ y = 3 x ；⑥ y = x3 ．è 2
【答案】③
【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可
x
【详解】① y = 2 × 2 的系数不是1，不是指数函数；
② y = 2x-1 的指数不是自变量 x ，不是指数函数；
x
③ y = p ÷ 是指数函数；
è 2
④ y = xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
1
⑤ -y = 3 x 的指数不是自变量 x ，不是指数函数；
1
⑥ y = x3 是幂函数．
故答案为：③
（二）
指数函数的解析式及应用
求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)．
(2)利用已知条件求底数 a.
(3)写出指数函数的解析式．
注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式.
题型 2：求指数函数的解析式或求值
ì 1 - 2
2-1．（2024 高一上·四川泸州·期末）已知函数 f x = íx -1, x 0，则 f f 4 的值是（ ）
2
x , x < 0
2 1A． B． 2 C． D．22 2
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算即可.
ì 1
f x
-
x 2【详解】因为 = í -1, x 0
1
-，所以 f 4 = 4 2 -1 1 1 1= - = - ，
2x , x < 0 2 2
f f 4 = f 1
1
-
所以 -
÷ = 2 2
2
= .
è 2 2
故选：A
2-2．（2024 x高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数 f x = a a > 0且 a 0 图像经过点 3,27 ，则 f 2 =
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
先求指数函数的解析式，再求 f 2 .
【详解】由题意 27 = a3 ，得 a = 3，故 f 2 = 32 = 9，
故选：C
2-3．（2024 x高一下·新疆伊犁·期中）函数 f x = a (a > 0，且 a 1)的图象经过点P 3,27 ，则 f 2 =（ ）
1
A B 3
1
． ． C． D．9
9 3 3
【答案】D
【分析】首先代入点 P 的坐标，求函数的解析式，再代入 x = 2，求函数值.
【详解】由题意可知， a3 = 27， a > 0，且 a 1，得 a = 3，
所以 f x = 3x ， f 2 = 32 = 9 .
故选：D
ì2x - x2 ,0 x 6
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）设函数 f (x) = í ，则 f (10)＝ ．
f (x - 6), x > 6
【答案】0
【分析】根据分段函数解析式可求出结果.
【详解】由已知得 f (10) = f (10 - 6) = f (4)，
f (4) = 24 - 42 = 0 ，
所以 f (10) = 0 .
故答案为：0 .
题型 3：根据函数是指数函数求参数
3-1．（2024 x x- b+3 高一上·广东湛江·阶段练习）如果函数 f x = 2a ×3 和 g x = 2 都是指数函数，则 ab =
（ ）
1
A． B．1 C．9 D．8
8
【答案】D
【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.
1 1 -3
【详解】根据题意可得 2a =1 a = ，-(b + 3) = 0 b = -3，则 ab = = 8 .2 è 2 ÷
故选：D
3-2．（2024 高一·全国·专题练习）函数 y = a2 - 5a + 5 a x 是指数函数，则 a的值为 ．
【答案】 4
【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数 a的等式与不等式，即可解得实数 a的值.
ìa2 - 5a + 5 =1
2 x
【详解】因为函数 y = a - 5a + 5 a 为指数函数，则 ía > 0 ，解得 a = 4 .
a 1
故答案为： 4 .
3-3 x．（2024 高一上·安徽滁州·期末）函数 y =(2a-3) 是指数函数，则 a 的取值范围是 ．
3
【答案】 , 2
÷ U (2, + )
è 2
【解析】根据指数函数的定义,解不等式即可.
【详解】因为 y =(2a-3)x是指数函数,
ì2a - 3 > 0 3
所以 í ,解得: < a < 2 或 2 < a < +
2a - 3 1 2
3
即 a 的取值范围是 , 2÷ U (2, + ) .
è 2
3
故答案为: , 2÷ U (2, + )
è 2
【点睛】根据函数的类型求参数的值通常有两种:
(1)幂函数需要保证 x 前面的系数为 1;
(2)指数函数不但要保证 x 前面的系数为 1,还有底数大于 0,底数不等于 1.
（三）
指数型函数的实际应用
1、常见的几类函数模型
(1)指数增长模型
设原有量为 N，每次的增长率为 p，则经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为 N，每次的减少率为 p，则经过 x 次减少，该量减少到 y，则 y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如 y＝kax(k≠0，a>0，且 a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
2、解决指数型函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
题型 4：指数型函数的实际应用
4-1．（24-25 高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了 100 台，第二个月销售了 200
台，第三个月销售了 400 台，第四个月销售了 790 台，第五个月销售了 1600 台，则下列函数模型中能较好
地反映销量 y 与投放市场的月数 x （1 x 5， x N+ ）之间关系的是（ ）
A． y =100x B． y = 50x2 - 50x +100
C． y = 50 2x D． y =100x
【答案】C
【分析】将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好与题中的数据相对应.
【详解】将 x =1,2,3,4代入函数中观察可知，
函数 y = 50 2x 符合条件.
故选：C.
4-2．（24-25 高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易日，
平均每天上涨 5％，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确
到元）为（ ）
A．赚 723 元 B．赚 145 元
C．亏 145 元 D．亏 723 元
【答案】D
【分析】根据题意知先求得前 5 个工作日和后 5 个工作日股票价值变化，再与初始投入比较即可知道盈亏
情况.
【详解】由题意知第 10 个工作日股票剩余价值为10 1+ 5% 5 1- 4.9% 5 9.9277，
所以10 - 9.9277 = 0.0723万元，也就是亏 723 元.
故选：D
4-3．（24-25 高一上·全国·课后作业）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y（单位：h）
与储藏温度 x（单位：℃）的关系式为 y = kerx （k，r 为常数， e 2.71828）．若牛奶在 0℃的冰箱中，保鲜
时间约是 100 h，在 5℃的冰箱中，保鲜时间约是 80 h，那么在 10℃的冰箱中的保鲜时间约是多少？
【答案】64 h．
【分析】由已知条件代入可求得 k 和 er ，即求得了 y = kerx ，把 10℃代入即可求得 y 值.
【详解】因为保鲜时间 y 与储藏温度 x 的关系式为 y = kerx （k，r 为常数），
ì100 = ke0
ì k =100 x
4
根据题意知条件代入可求得 í 5r ，解之得 í r 4 ，所以 y =100 5 ，
80 = ke e = 5
5 ÷÷
5 è
10
所以当 x =10 时， y 4=100 5 ÷÷ = 64．
è 5
故在 10℃的冰箱中的保鲜时间约是 64 h．
（四）
指数函数的图象及应用
1、识别指数函数图象问题的注意点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数 a>1 或 0(2)在 y 轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在 y 轴左侧，指数函数的图象
从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两
坐标轴的交点位置．
2、解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如 y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，
且 a≠1)的函数图象过定点的问题，即令 x＝－c，得 y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
题型 5：指数函数的图象特征
5-1．（2024 高二·湖北·学业考试）设 a，b ， c， d 都是不等于 1 的正数，函数 y = a x , y = bx , y = cx , y = d x 在
同一直角坐标系中的图象如图所示，则 a，b ， c， d 的大小关系是（ ）
A． a < b < c < d B．b < a < d < c C． c < d < a < b D． d < c < b < a
【答案】B
【分析】先根据指数函数的单调性，确定 a，b ， c， d 与1的关系，再由 x =1时，函数值的大小判断.
【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，
当底数大于0 且小于1时，指数函数是定义域上的减函数，
所以 c， d 大于1， a，b 大于0 且小于1，
由图知： c1 > d1 ，即 c > d ， b1 < a1 ，即b < a ，
所以b < a <1< d < c .
故选：B
b x
5-2 ．（2024 高一上·福建福州·期中）指数函数 y = ÷ 的图象如图所示，则二次函数 y = ax
2 + bx 的图象可能
è a
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
b
【分析】先由指数函数的图象判断出0 < <1，进而分析出二次函数的图象与 x 轴的两个交点，
a
即可解出.
b
x
【详解】由指数函数 y = ÷ 的图象可知：0
b
< <1.
è a a
令 ax2
b
+ bx = 0，解得 x1 = 0, x2 = - ，a
则-1 < x2 < 0，
对应只有 B 选项符合题意.
故选：B
1
5-3．（2024 高一上·重庆涪陵· x阶段练习）函数 f x = a - （ a > 0, a 1）的图象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合指数函数的性质，分 a >1和0 < a <1两种情况求解即可.
1 1 x 1
【详解】当 a >1时， 0,1 ，因此0 < f 0 =1- <1，且函数 f x = a - 在R 上单调递增，故 A、B 均
a a a
不符合；
1 1 1
当0 < a <1 时， >1，因此 f 0 =1- < 0 x，且函数 f x = a - 在R 上单调递减，故 C 符合，D 不符合．
a a a
故选：C．
5-4．（2024 2 x高一上·山东聊城·阶段练习）函数 f x = x 2 - 2 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2
【分析】先求出 f x = x 2 - 2 x 的奇偶性，排除 AC，再代入特殊值，排除 D，选出正确答案.
【详解】 f x = x2 2 - 2 x 定义域为 R，
且 f -x = -x 2 2 - 2 - x = x2 2 - 2 x = f x ，
f x = x2故 2 - 2 x 为偶函数，关于 y 轴对称，AC 错误；
f 1 1= 0 f 1
1
， ÷ = 2 4
2 - 22 ÷ > 0，故 B 正确，D 错误.
è è
故选：B.
题型 6：指数函数的图象变换
6-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数 y = 3- x 的图像与函数 的图像关于 y 轴对称．
【答案】 y = 3x
【分析】由关于 y 轴对称的函数图象特征可直接得到答案.
【详解】函数 y = 3- x 的图像与函数 y = 3x 的图像关于 y 轴对称，
故答案为： y = 3x .
6-2．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若将函数的图像向右、向上分别平移 1 个单位得函数 y = 2x 的图像，则
原函数的表达式为 ．
【答案】 y = 2x+1 -1
【分析】根据函数的平移得出函数的解析式.
【详解】 y = 2x 的图像向下平移 1 个单位得到 y = 2x -1,
再向左平移 1 个单位得到 y = 2x+1 -1 .
故答案为： y = 2x+1 -1 .
6-3．（2024 高三·全国·对口高考）利用函数 f (x) = 2x 的图象，作出下列各函数的图象．
(1) y = f (-x) ；
(2) y = f (| x |)
(3) y = f (x) -1；
(4) y = f (x) -1 ；
(5) y = - f (x) ；
(6) y = f (x -1)．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
【分析】先作出函数 f (x) = 2x 的图象，
（1）把 f (x) 的图象关于 y 轴对称即可得到 y = f (-x) 的图象；
（2）保留 f (x) 图象在 y 轴右边部分，去掉 y 轴左侧的，并把 y 轴右侧部分关于 y 轴对称即可得到 y = f (| x |)
的图象；
（3）把 f (x) 图象向下平移一个单位即可得到 y = f (x) -1的图象；
（4）结合（3），保留 x 上方部分，然后把 x 下方部分关于 x 轴翻折即可得到 y = f (x) -1 的图象；
（5）把 f (x) 图象关于 x 轴对称即可得到 y = - f (x) 的图象；
（6）把 f (x) 的图象向右平移一个单位得到 y = f (x -1)的图象．
【详解】（1）把 f (x) 的图象关于 y 轴对称得到 y = f (-x) 的图象，如图，
（2）保留 f (x) 图象在 y 轴右边部分，去掉 y 轴左侧的，并把 y 轴右侧部分关于 y 轴对称得到 y = f (| x |)的
图象，如图，
（3）把 f (x) 图象向下平移一个单位得到 y = f (x) -1的图象，如图，
（4）结合（3），保留 x 上方部分，然后把 x 下方部分关于 x 轴翻折得到 y = f (x) -1 的图象，如图，
（5）把 f (x) 图象关于 x 轴对称得到 y = - f (x) 的图象，如图，
（6）把 f (x) 的图象向右平移一个单位得到 y = f (x -1)的图象，如图，
6-4．（24-25 高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数 y = 3x+1 -1的图像，说明函数 y = 3x+1 -1的图像与 y = 3x
图像的关系.
【答案】答案见解析
【分析】由图像的平移性质求解．
【详解】解：如图所示：
函数 y = 3x 的图像向左平移 1 个单位，然后向下平移 1 个单位即为函数 y = 3x+1 -1的图像.
题型 7：指数型函数过定点问题
7-1．（2024 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，无论 a取何值，函数图像恒过一
个定点，则定点坐标为 .
1
【答案】 ,-1
÷
è 2
【分析】由指数函数定点求解即可.
Qa0 1, x 1 0
1
【详解】 = \ = , y = a - 2 =1- 2 = -1,
则定点坐标为 ,-1
÷ .2 è 2
1 ,-1 故答案为: 2 ÷
.
è
7-2．（2024 高一上·新疆·期中）函数 y = a x+m + n a > 0且 a 1 恒过定点 (1, -2) ，m + n = ．
【答案】-4
【分析】由已知，根据指数函数的性质即可求解．
【详解】令 x + m = 0可得 x = -m ，
此时有 y =1+ n .
由题意可得-m =1，1+ n = -2，
所以m = -1， n = -3，
所以m + n = -4．
故答案为：-4．
7-3．（2024 高一上·福建泉州·期中）函数 y = a x-4 +1(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 P ，则点 P 坐标为 ．
【答案】 4,2
【分析】根据指数函数的性质，令 x - 4 = 0，解得 x ，代入求解即可.
【详解】令 x - 4 = 0，即 x = 4，则 y = a0 +1 = 2，
所以定点 P 为 4,2 ，
故答案为： 4,2
题型 8：指数函数图象的应用
8-1．（2024 高一下·广西柳州·期中）已知函数 f (x) = a x-2 +1(a > 0, a 1)恒过定点M m, n ，则函数
g x = mx - n 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由指数函数的性质可知 f (x) 恒过定点 2,2 ，再由指数函数的性质可知 g(x)不过第二象限.
【详解】由已知条件得当 x = 2时， f 2 = 2，则函数 f (x) 恒过点 2,2 ，
即m = 2, n = 2，此时 g(x) = 2x - 2 ，
由于 g(x)由 y = 2x 向下平移 2 个单位得到，且过点 0, -1 ，
由此可知 g(x)不过第二象限.
故选：B
ì 2x -1 , x < 2,
8-2．（2024 高一上·广东韶关·期中）已知函数 f (x) =
í 3 若函数 y = f (x) 图象与直线 y = k 有且仅有
, x 2,
x -1
三个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． k > 0 B．0 < k <1 C．0 < k < 3 D．1< k < 3
【答案】B
【分析】画出函数 y = f (x) 的图象，结合图象求解即可.
【详解】将 y = 2x 的图象向下平移 1 个单位得到 y = 2x -1，再将 y = 2x -1的图象的 x 轴下方的图象以 x 轴为
对称轴翻转至 x 轴上方可得到 y =| 2x -1|，
3 3
将 y = x 的图象向右平移
1 个单位得到 y = ，
x -1
ì 2x -1 , x < 2,
f (x) = 所以 í 3 的图象如图所示，
, x 2,
x -1
由图可知，当0 < k <1时，函数 y = f (x) 与 y = k 图象有且仅有三个不同的交点.
故选：B.
8-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = a x + m -1（ a > 0且 a 1）的图象在第二、三、四象限内，
则（ ）
A． a >1 B． a >1且m < 0
C．0 < a <1且m < 0 D．0 < a <1
【答案】C
【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果．
【详解】如图所示，图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上（纵截距小于零），即 a0 + m -1 < 0，且0 < a <1，
\0 < a <1，且m < 0．
故选：C ．
8-4．（24-25 高一上·上海·课堂例题）若函数 y = a x + b -1 （ a > 0且 a 1）的图像不经过第二象限，则有
（ ）
A． a >1且b<1 B．0 < a <1且b 1
C．0 < a <1且b > 0 D． a >1且b 0
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象判断求解．
x
【详解】由指数函数图像的特征可知当0 < a <1时，函数 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的图像必经过第二
象限，故排除选项 B、C．
x
又函数 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的图像不经过第二象限，
0
则其图像与 y 轴的交点不在 x 轴上方，所以当 x = 0时， y = a + b -1 0 ，即b 0，
故选：D．
（五）
与指数函数有关的定义域和值域问题
函数 y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如 y＝af(x)形式的函数的定义域是使得 f(x)有意义的 x 的取值集合．
(2)值域：①换元，令 t＝f(x)；
②求 t＝f(x)的定义域 x∈D；
③求 t＝f(x)的值域 t∈M；
④利用 y＝at的单调性求 y＝at，t∈M 的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
题型 9：与指数型函数有关的定义域问题
x
9-1．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数 f x 2 - 4= 的定义域为（ ）
x - 5
A． - , 2 B． - ,5 U 5, + C． 2, + D． 2,5 U 5,+
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.
2x - 4 ì2
x - 4 0
【详解】函数 f x = 的定义域满足 í ，解得 x 2且 x 5．
x - 5 x - 5 0
则函数定义域为 2,5 5, + ，
故选：D
9-2．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = 3x - 27 的定义域为（ ）
A． - , 3ù B． - , 3 C． 3, + D． 3, +
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得3x - 27 0，即3x 33 ，解得 x 3．
故选：C.
1
9-3．（2024 高一上· x内蒙古赤峰·期末）函数 f (x) = 2 + 的定义域为 ．
1- x
【答案】 (- ,1)．
【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于 0 且分母不等于 0 得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得1- x > 0，解得 x <1，则其定义域为 (- ,1) .
故答案为： (- ,1) .
9-4．（2024 高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域：
2
(1) y = 2x -1
(2) y = 3 3-x
(3) y = 2x -1
(4) y = 1- a x (a > 0,a 1)
【答案】(1)R
(2) - ,3
(3) 0,+
(4)答案见解析
【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域.
x2 2【详解】（1）函数 y = 2 -1 在 R 上有意义，故函数 y = 2x -1的定义域为 R.
（2）函数 y = 3 3-x 有意义的条件是3- x 0，即 x 3，
故函数 y = 3 3-x 的定义域为 - ,3 ．
（3）函数 y = 2x -1有意义的条件是 2x -1 0，
又 y = 2x 是 R 上增函数，于是 2x 20 =1，即 x 0 ，
故函数 y = 2x -1的定义域为 0,+ ．
（4）函数 y = 1- a x (a > 0,a 1) 有意义的条件是1- a x 0，即 a x 1，
当0 < a <1时， y = a x 是 R 上减函数，
于是 a x a0 =1，即 x 0 ；
当 a >1时， y = a x 是 R 上增函数，
于是 a x a0 =1，即 x 0 .
综上所述，当0 < a <1时，函数 y = 1- a x 的定义域为 0,+ ；
当 a >1时，函数 y = 1- a x 的定义域为 - ,0 .
题型 10：与指数型函数有关的值域（最值）问题
10-1．（2024 高一上· x广东湛江·期末）已知函数 f x = a + b(a > 0 且 a 1)的定义域和值域都是 -1,0 ，则
a + b =（ ）
1 3 5 1 5
A．- B．- C．- D．- 或-
2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】由函数解析式知，需对 a分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解.
1
【详解】当 a >1时， f x 单调递增，有 f -1 = + b = -1, f 0 =1+ b = 0，无解；
a
当0 < a <1时， f x 单调递减，有 f 1 1- = + b = 0, f 0 =1+ b = -1，
a
a 1解得 = ,b = -2；
2
所以 a + b
1 2 3= - = - ；
2 2
故选：B.
10-2．（2024 2 x x高一·全国·竞赛）若 x - ,-1 ，不等式 m - m 4 + 2 +1 > 0恒成立，则实数 m 的取值范围
是（ ）
A．m < -2或m > 3 B．m 0或m 1
C．-2 < m < 3 D．0 m 1
【答案】C
2
é 1 xm m2 1
ù 1
【分析】分离参数得 - > - ê ÷ + ú + 恒成立，由复合型指数函数的最值得m - m2 > -6 ，解一元二
êè 2 2 ú 4
次不等式即可得解.
x é 2x 2
m m2 2 +1 1 1
x ù é x ù
【详解】不等式可化为 - > - x = -
1 1 1
ê
4 ÷
+
2 ÷
ú = - ê + ú + .
ê è è 2
÷
ú êè 2 2 ú 4
x 2
1 éx 1 1
x
1 ù 1
因为 - ，所以 ÷ 2 ，所以- ê ÷ + ú + 的最大值为-6 .
è 2 êè 2 2 ú 4
所以m - m2 > -6 ，所以-2 < m < 3 .
故选：C.
ìb,a b
10-3．（2024 高一下·广东茂名· - x x期中）定义运算：a b = ía, a b ，则函数
f x = 3 3 的值域为 ．
<
【答案】 0,1
【分析】首先求解函数 f x 的解析式，再根据指数函数的性质求函数的值域.
【详解】当 x 0 时，3- x 3x ，当 x > 0时，3- x < 3x ，
ì3x
f x = 3- x 3x , x 0所以 = í - x ，
3 , x > 0
当 x 0 时，0 < 3x 1，当 x > 0时，0 < 3- x <1，
所以函数 f x 的值域是 0,1 .
故答案为： 0,1
|x|
10-4．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）函数 f x 1= ÷ 的值域为 .
è 2
【答案】 0,1
【分析】根据 x 0结合指数函数性质分析求解即可.
x
【详解】因为 x 0，且 y 1= ÷ 在R 单调递减，
è 2
|x| 0 |x|
则 f x 1 1= ÷
÷ =1，且 f x =
1
÷ > 0 ，
è 2 è 2 è 2
|x|
所以 f x = 1 ÷ 的值域为 0,1 .
è 2
故答案为： 0,1 .
x x
10-5．（2024 · · f (x) = 1 1高一下 广西柳州 期中）函数 ÷ -
÷ + 2在 -1,2 的最小值是 ．
è 4 è 2
7
【答案】 /1.75
4
1 x
【分析】令 t = ÷ ，然后利用配方法可得答案.
è 2
x
1 é1 ù
【详解】令 t = ÷ ，则 t ê , 22 4 ú
，
è
2
y t 2 t t 1 7则 = - + 2 = - ÷ + ，
è 2 4
1 7
所以当 t = 时， y 有最小值 .
2 4
7
故答案为： .
4
10-6．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若 x 0, + ，2x < a x （ a > 0且 a 1）恒成立，则实数 a 的取值范围
是 .
【答案】 a > 2
ì x 2
<1
【分析】将原不等式变形为 í è a ÷ ，由指数函数的图象性质可解.
x > 0
【详解】由 2x < a x ，且 x 0, + ，
ì x 2
所以 í a ÷
<1 2
è ，则0 < <1，所以 a > 2 .
a
x > 0
故答案为： a > 2
ì2x , x m
10-7．（2024 高一下·湖南·期中）已知m > 0，函数 f x = mí 2 8 的值域为 - , 2 ù2 ，则m 的取值
- x + , x > m 3 3
范围是 ．
【答案】 1,2
【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出m 的取值范围.
x
【详解】当 x m 时， f x = 2 在 - , m 上单调递增，所以 x m 时， f x 0,2m ù；
x > m f x 2= - x2 8当 时， + ，
3 3
当m > 0时， f x 在 m,+ 上单调递减，所以 x > m f x f m 2 8时 < = - m2 + ，
3 3
即m > 0时， f x - ,
2
- m2 8+ ÷，
è 3 3
ì2x , x m
因为函数 f x = í 2 8 的值域为 - , 2m
- x2 + , x > m
ù，
3 3
2 8 2 8
所以m > 0 2 2 m时，- m + > 0且- m + 2 .
3 3 3 3
ìm > 0
由不等式 í 2 2 8 ，解得0 < m < 2;
- m + > 0 3 3
ìm > 0
í 2 8 m > 0 2m
2
+ m2 8不等式 2 等价于 时， - 0 ，
- m + 2
m 3 3
3 3
m 2 2 8
设 h m = 2 + m - (m > 0)，
3 3
因为 y = 2x 在 0, + 2 2上单调递增， y = x 在 0, + 上单调递增，
3
所以 h m 在 0, + 上单调递增，又 h 1 = 0，
所以m > 0时， h m 0等价于 h m h 1 ，即m 1，
ìm > 0
由不等式 í 2 2 8 m ，解得m 1，
- m + 2 3 3
ì 2
- m
2 8+ > 0
3 3
所以m > 0时， í 2 8 的解集为
1,2 ，
- m2 + 2m
3 3
综上，m 的取值范围是 1,2 ，
故答案为： 1,2 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间
的包含关系解不等式可得结果.
10-8．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = a x （ a > 0且 a 1）在区间 -1,2 上的最大值是 4，最小值
为 m，且函数 y = 1- 4m x 在R 内是严格增函数，则 a = .
1
【答案】 / 0.25
4
【分析】首先由一次函数的单调性得1- 4m > 0，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值.
【详解】若函数 g x = 1- 4m x在R 内是严格增函数，
则1- 4m 0 m
1
> ， < ，
4
若 a >1，
因为函数 y = f x = a x a > 0, a 1 在区间 -1,2 上单调递增，最大值是 4，最小值为 m，
-1 1 1 1
所以 a2 = 4，m = a = ，解得 a = 2，m = ，不满足m < ，a 2 4
若0 < a <1，
因为函数 y = f x = a x a > 0, a 1 在区间 -1,2 上单调递减，最大值是 4，最小值为 m，
a-1 1 1 1 1所以 = = 4，
a m = a
2 ，解得 a = ，m = ，满足m < ，
4 16 4
a 1所以 = .
4
1
故答案为： .4
2
10-9．（2024 高一上·西藏那曲·期末）已知函数 f x = 3- x +2x ．
(1)若 f x 1，求实数 x 的取值范围；
(2)求 f x 的值域．
【答案】(1) 0,2
(2) 0,3
【分析】（1）根据指数函数单调性可得-x2 + 2x 0 ，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知-x2 + 2x 1，结合指数函数性质求值域.
2
【详解】（1）因为 f x = 3- x +2x 1 = 30，且 y = 3x 在定义域 上单调递增，
则-x2 + 2x 0 ，解得0 x 2，
所以实数 x 的取值范围为[0,2].
（2）因为-x2 + 2x = - x -1 2 +1 1，当且仅当 x =1时等号成立，
2
且 y = 3x 在定义域 上单调递增，则 f x = 3- x +2x 31 = 3，
- x2又因为 f x = 3 +2x > 0，所以 f x 的值域为 0,3 .
（六）
单调性及其应用
1.比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当 x 取相同幂指数时可
观察出函数值的大小．
(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”
与两数比较．
(4)当底数含参数时，要按底数 a>1 和 02.解与指数有关的不等式时需注意的问题
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，借助函数 y＝at(a>0，且 a≠1)的单调性求解，如果 a 的取值不确定，
需分 a>1 与 0(2)形如 af(x)>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 y＝at(a>0，且 a≠1)
的单调性求解；
(3)形如 af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解．
注意(1)指数型不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，且 a≠1)的解法：
当 a＞1 时，f(x)＞g(x)；当 0＜a＜1 时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统
1
一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且 a≠1)，a－x＝( )x(a＞0，且 a≠1)等．a
题型 11：求指数型函数的单调区间
x2 -3x+2
11-1．（2024 高一上· · 1 山东德州 阶段练习）函数 y = ÷ 的单调递增区间是（ ）
è 2
A． - ,1 B． 1,2 é3 3ùC． ê ,+ ÷ D． - , 2 è 2 ú
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性进行求解.
u
y = 1 【详解】因为 2 ÷
在 R 上单调递减，
è
2
由复合函数单调性可知，只需求出 f x = x - 3x + 2的单调递减区间，
2
f x x 3 1
3ù
其中 = - ÷ - 单调递减区间为 - , ，
è 2 4 è 2 ú
x2 -3x+2 3ù
故 y = 1 ÷ 的单调递增区间是 - , .
è 2 è 2 ú
故选：D
2
11-2．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = ( )|1-x| 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ．
3
【答案】 [1 , + ) . (- ,1)
【详解】试题分析:（1）（2）
ì(2)x-1, x 1
y 2
1-x
=
3
试题解析： 3 ÷
= í 2 因此它的减区间为
1,+ ,增区间 - ,1 ．
è ( )1-x , x <1
3
【点睛】【点睛】
- x2 +2x
11-3 2024 · · y = 1 ．（ 高一上 广东肇庆 期中）函数 ÷ 的单调递增区间为 .
è 5
【答案】[1,+ )
【分析】根据二次函数和指数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解.
【详解】令u x = -x2 + 2x，根据二次函数的性质，
可得函数u x 在 (- ,1]单调递增，在[1,+ )单调递递减，
1 u uy = 1 又由 ÷ ，根据指数函数的性质，可得函数 y = ÷ 为单调递减函数，
è 5 è 5
1 - x
2 +2x
根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数 y = ÷ 的单调递增区间为[1,+ ) .
è 5
故答案为：[1,+ ) .
2
11-4．（2024 高一下·上海·期中）函数 y = ex -2x-3的严格减区间为 ．
【答案】 - ,1 / - ,1
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.
2
【详解】函数 y = ex -2x-3的定义域为 R，令u = x2 - 2x - 3，
函数u = x2 - 2x - 3在 (- ,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
2
而函数 y = eu 在 R 上是增函数，因此函数 y = ex -2x-3在 (- ,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
2
所以函数 y = ex -2x-3的严格减区间为 (- ,1) .
故答案为： (- ,1)
题型 12：根据指数型函数的单调性求参数
12-1．（2024· x x-a 全国）设函数 f x = 2 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
x x-a
【详解】函数 y = 2x 在 R 上单调递增，而函数 f x = 2 在区间 0,1 上单调递减，
2
则有函数 y = x(x - a) = (x a- )2 a- 在区间 0,1 a上单调递减，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范围是 2, + .
故选：D
x2 -2mx
12-2．（2024 高一下·浙江金华·期末）设函数 f x 1= ÷ 在区间 1,2 上单调递增，则m 的取值范围为
è 2
（ ）
A． - , -2 B． -2, -1 C． 1,2 D． 2, +
【答案】D
【分析】令u = x2 - 2mx，根据复合函数的单调性可知，内层函数u = x2 - 2mx在 1,2 上为减函数，结合二
次函数的单调性可得出实数m 的取值范围.
【详解】令u = x2 - 2mx，则二次函数u = x2 - 2mx的图象开口向上，对称轴为直线 x = m ，
u x2 -2mx
y = 1 因为外层函数 ÷ 在R
1
上为减函数，函数 f x = ÷ 在区间 1,2 上为增函数，è 2 è 2
所以，内层函数u = x2 - 2mx在 1,2 上为减函数，故m≥ 2 .
故选：D.
1 2x
2 +mx-3
12-3 2024 · · f x = ．（ 高一上 四川成都 期末）若函数 ÷ 在区间 -1,1 上单调递减，则实数m 的取值范
è 3
围是 ．
【答案】 4, +
【详解】本题等价于 y = 2x2 + mx - 3在 -1,1 x m上单调递增，对称轴 = - ，
4
m
所以- -1，得m 4．即实数m 的取值范围是 4, + ．
4
点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题
就等价于 y = 2x2 + mx - 3在 -1,1 上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案．
题型 13：利用指数型函数单调性比较大小
1 a 1 b13-1 1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 2 ÷
< ÷ < ，则（ ）
è è 2 2
A．aa > ab > bb B．aa > bb > ab
C．bb > aa > ab D．ab > bb > aa
【答案】A
1 x
【分析】根据函数 y = ÷ 的单调性可得 a > b >1，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
è 2
1 x 1 a b 1 1
【详解】因为函数 y = ÷ 在 R 上单调递减，2 ÷
< ÷ < ，
è è 2 è 2 2
所以 a > b >1，
因为函数 y = a x (a > 1)在 R 为增函数，所以 aa > ab ，
又 y = xb (b >1)在 (0, + )上单调递增，所以 ab > bb ，
综上，aa > ab > bb .
故选：A.
13-2．（2024·江苏·一模）设 a,b R ， 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，则（ ）
A．1< a < b B．0 < b < a C．b < 0 < a D．b < a <1
【答案】A
【分析】由指数式的取值范围可得 a > 0且b > 0，通过构造函数证明 a > b不成立，可得到正确选项.
【详解】因为 4b = 6a - 2a > 0 ，所以3a >1，所以 a > 0，5a = 6b - 2b > 0，所以3b >1，所以b > 0，若 a > b，
则5a > 4a > 4b ，设 f x = 6x - 2x = 2x 3x -1 在 0, + 上单调递增，所以6a - 2a > 6b - 2b ，即 4b > 5a ，不合
题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，构造函数 f x = 6x - 2x ，通过单调性
证明若 a > b则存在矛盾.
13-3．（2024 高一上·河南郑州·期末）设 a = 0.80.8 ,b = 0.80.9 ,c = 0.90.8，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c > b > a B． a > b > c
C． a > c > b D． c > a > b
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性比较 a,b的大小，由幂函数的性质比较a,c的大小，即可得答案.
【详解】解：令 f (x) = 0.8x，
由指数函数的单调性可知 f (x) 在 R 上单调递减，
又因为0.8 < 0.9，
所以 f (0.8) > f (0.9)，
即0.80.8 > 0.80.9 ，
所以 a > b，
令 g(x) = x0.8 ，
由幂函数的性质可知 g(x) = x0.8 在 (0, + )上单调递增，
又因为0.8 < 0.9，
所以 g(0.8) < g(0.9)，所以0.80.8 < 0.80.9 ，
即 a < c ，
所以b < a < c .
故选：D.
13-4．（2024 高一上·浙江宁波·期中）下列大小关系正确的是（ ）
A．0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5 B．0.20.5 > 0.50.2 > 0.20.2
C．0.20.5 > 0.20.2 > 0.50.2 D．0.20.2 > 0.50.2 > 0.20.5
【答案】A
【分析】利用指数函数与幂函数单调性比较大小即可.
【详解】由幂函数 y = x0.2 在 R 上单调递增，则0.50.2 > 0.20.2 ，
又指数函数 y = 0.2x 在 R 上单调递减，则0.20.2 > 0.20.5 .
则0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5
故选：A.
题型 14：利用指数型函数的单调性解不等式
(1
2
14-1．（2024 高一· x -8 -2x全国·专题练习）不等式 ) ＞3 的解集是（ ）
3
A． -2,4 B． - , -2
C． 4, + D． - , -2 U 4, +
【答案】A
2x
2
【分析】利用指数函数的单调性，将 (1)x -8＞3-2x = 1
3 3 ÷
转化为 x2﹣8＜2x 求解.
è
1 1 2x2
【详解】解：∵ ( )x -8＞3-2x =
3 ÷
，
è 3
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
ì2x -1, x 2
14-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = í ，则不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集
3x - 3, x < 2
为 ．
【答案】 - ,3
【分析】利用函数的单调性以及分段函数的性质，化简不等式得出不等式的解集.
【详解】构建函数 g x = 2x -1， x 2，可得函数 g x 单调递增，
h x = 3x - 3， x 2，则函数 h x 单调递增，
且 g 2 = h 2 = 3，因此函数 f x 在R 上是增函数．
Q f 3x - 4 < f x + 2 ，\3x - 4 < x + 2，
解得 x < 3，于是不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集为 - ,3 ．
故答案为： - ,3 .
14-3．（2024 x - x高三上·河北·学业考试）已知函数 f x = e - e ，则不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． -2,0 D． 0,2
【答案】A
【分析】结合 f x 的单调性和奇偶性求得正确答案.
【详解】因为 f -x = e- x - ex = - f x ，所以 f x 在R 上是奇函数.
因为 y = ex 在R 上是增函数，又 y = e- x 在R 上是减函数，
所以 f x 在R 上是增函数.
所以 f 1- x + f 1 > 0 f 1- x > - f 1 = f -1 ，
所以1- x > -1, x < 2，
所以不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是 - , 2 .
故选：A
x x - 3 14-4．（2024 高一上·四川·阶段练习）已知函数 f x = 2 ，则不等式 f ÷ <1x 1 的解集为（ ）è +
A． -1,3 B． -3,1 C． -3, -1 D． 1,3
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，结合分式不等式，可得答案.
【详解】由函数 f x = 2x x - 3 ，则不等式可整理为 f < f 0 ，
è x +1 ÷
x x - 3因为 y = 2 在R 上单调递增，所以 < 0，解集为 -1,3 .
x +1
故选：A.
x
14-5．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函数 f x = 3x3 e -1+ 2，且 f a + f 3a - 4 > 0x ，则实数 a的取e +1
值范围是（ ）
A． -4,1 B． -1,4
C． - , -1 4, + D． - , -4 U 1,+
【答案】D
【分析】结合条件得到： f a2 > - f 3a - 4 ，再由 f x 的奇偶性和单调性得到： a2 > 4 - 3a ，即可求解.
ex -1
【详解】由题意得，函数 f x = 3x3 +
ex
，
+1
因为 f x 的定义域为R ，关于原点对称，
- x x
f -x = 3 -x 3 e -1 e -1+ - x = - 3x3 + = - f x ，e +1 è ex +1÷
所以 f x 是R 上的奇函数，即- f x = f -x ，
由 f a2 + f 3a - 4 > 0， f a2 > - f 3a - 4 = f 4 - 3a ，
x x
y 3x3 e -1 e +1-2 2因为 = 是R 上的增函数， y = = Rx x =1- x 是 上的增函数，e +1 e +1 e +1
所以 f x 是R 上的增函数，即 a2 > 4 - 3a ，
整理得： a2 + 3a - 4 > 0，解得： a >1或 a < -4，
所以实数 a 的取值范围为 - , -4 U 1,+ ，
故选：D.
（七）
指数函数性质的综合应用
1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结
合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转
化．
2、若函数 y= f(x)在区间 D 上是增(减)函数，则复合函数 y = a f x 当 a>1 时，在区间 D 上是增(减)
函数，当 0题型 15：指数型函数的奇偶性
15-1．（2024 高一上·山西太原·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． y = x3 B． y = 2x C． y = x +1 D． y = x +1
【答案】D
【分析】利用奇偶性函数的定义，直接判断各个选项即得.
【详解】对于 A，函数 f (x) = x3 定义域为 R， f (-x) = (-x)3 = - f (x) ，函数 y = x3是奇函数，A 不是；
1
对于 B，函数 g(x) = 2x 定义域为 R， g(-1) = 2 = g(1)，函数 y = 2x 不是偶函数，B 不是；
2
对于 C，函数 h(x) = x +1 定义域为 R， h(-1) = 0 2 = f (1) ，函数 y = x +1 不是偶函数，C 不是；
对于 D，函数j(x) = x +1定义域为 R，j(-x) = -x +1 = j(x)，函数 y = x +1是偶函数，D 是.
故选：D
ì 1 x
, x < 0
15-2．（2024· ÷江西景德镇·三模）已知函数 f x = íè 2 是奇函数，则 x > 0时，g x 的解析式为（ ）
g x , x > 0
A 1
x x
- B 1 ． ． x x 2 ÷ ÷
C．-2 D． 2
è è 2
【答案】C
x
x > 0 x < 0 f x = 1 【分析】设 ，利用 时， ÷ 和 f -x = - f x 可求得 g x 的解析式.
è 2
【详解】设 x > 0，则-x < 0，
1 - x
所以 f -x = = 2x 2 ÷ ，è
又函数 f x 是奇函数，所以 f -x = - f x - f x = 2x，即 f x = -2x ， x > 0 .
x
即 g x = -2 .
故选：C
x
15-3．（2024 高二下·广东广州·期末）“ a =1” 2 - a是“函数 f x = x 为奇函数”的（ ）2 +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
x
【分析】当 f x 2 - a= x 为奇函数时，结合奇函数的性质可得 a =1，由充分条件与必要条件的定义即可判2 +1
断.
2x - a
【详解】若 f x =
2x
为奇函数，其定义域为R ，关于原点对称，
+1
- x x
f -x = - f (x) 2 - a 2 - a 1- a ×2
x 2x - a
有 ，即 - x = - x ，即 x = - ，2 +1 2 +1 1+ 2 2x +1
即1- a = a -1 x ì
a -1 = 0
2 ，故有 í ，解得 a =1，
1- a = 0
2x
故“ a =1”是“函数 f x - a= x 为奇函数”的充要条件.2 +1
故选：C.
15-4．（2024 高一下·浙江温州·开学考试）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x (- ,0]时，
f (x) = x2 - ex +1，则当 x (0,+ )时， f (x) =（ ）
A． x2 - ex +1 B． x2 - e- x +1
C． x2 + e- x +1 D．-x2 + e- x -1
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性得到 f -x = f x ，结合 x (- ,0]时函数解析式，得到答案.
【详解】 x (0,+ )时，-x - ,0 ，
则 f (-x) = -x 2 - e- x +1 = x2 - e- x +1，
又 f x 为偶函数，故 f -x = f x ，
故 f x = x2 - e- x +1 .
故选：B
bx
15-5．（2024· a + 4江苏扬州·模拟预测）已知b > 0，函数 f x = 是奇函数，则 a + b = ．
2x
【答案】0
【分析】根据奇函数得 f (0) = 0和 f (-1) = - f (1) ，代入求得 a = -1，b =1，再代入解析式检验即可.
R f x a + 4
bx
【详解】因为函数定义域为 且 = x 是奇函数，所以 f (0) = 0，所以 a = -1，2
bx 1
所以 f x 4 -1= = 2(2b-1) x - 2- x 1-2b 2b-1x ，由 f (-1) = - f (1) 知 2 - 2 = -2 + ，2 2
21-2b + 22b-1 5即 = ，又因为b > 0，所以 2b -1 =1,b =1，
2
b =1 f x = 2(2b-1) x - 2- x把 代入 = 2x - 2- x ，满足题意，
所以a + b = 0 .
故答案为：0
题型 16：指数函数的综合应用
16-1．（2024 高一下·陕西安康·期中）已知函数 f (x) = a
2
- x （ a R ），函数 f (x) 为奇函数e +1
(1)求出 a的值，判断函数 f (x) 的单调性，并予以证明；
(2)若对"x R ，不等式 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1) a =1，单调递增，证明见解析；
(2) (- , 2] .
【分析】（1）利用奇函数的定义求出 a，判断函数单调性，再利用单调性定义推理即得.
（2）利用（1）的结论，脱去法则，转化为恒成立的不等式求解.
2 2
【详解】（1）由函数 f (x) 为奇函数，得 f (-x) + f (x) = 0，即 2a -
e- x
- x = 0，+1 e +1
2a 2 2 2e
x 2
于是 = - x + = + = 2，解得 a =1，e +1 ex +1 ex +1 ex +1
2
函数 f (x) =1- x 在定义域R 上单调递增，e +1
x1 x2
"x1, x2 R x < x f (x ) f (x
2 2 2(e - e )
，且 1 2， 1 - 2 ) = - = ，ex2 +1 ex1 +1 (ex1 +1)(ex2 +1)
由 x1 < x ，得0 < ex1 < ex2 ，则 ex12 - ex2 < 0, (ex1 +1)(ex2 +1) > 0，因此 f (x1) < f (x2 )，
所以函数 f (x) 在R 上单调递增.
2
（2）由 f (x) =1- x 是 R 上的奇函数，e +1
得 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0 f ( f (x)) > - f (3- m) f ( f (x)) > f (m - 3)，
又 f (x) 在R 上单调递增，则 f (x) > m - 3，m < f (x) 3
2
+ = 4 - x 对"x R 恒成立，e +1
显然 ex > 0,ex +1 >1，则0
2
< x < 2，即恒有 2 < 4
2
- x < 4，因此m 2，e +1 e +1
所以m 的取值范围为 (- , 2] .
x x
16-2．（2024 高二上·安徽·开学考试）已知函数 f x a ×3 - 2= x x ,a R ．3 + 2
(1)若 f x 为奇函数，求 a的值；
(2)在（1）的条件下，求 f x 的值域．
【答案】(1) a =1
(2) -1,1
【分析】（1）根据奇函数定义求解.
x
3
÷ -1 x
（2） f x = è 2 3 x ，令 t = ÷ 换元后求值域即可. 3 2
+1
è
è 2 ÷
【详解】（1）因为 f x 为奇函数，所以 f x + f -x = 0 ， x R
a ×3x - 2x a ×3- x - 2- x a ×3x - 2x a ×2x - 3x a -1 × 3x + 2x 即 + = + = = 0，
3x + 2x 3- x + 2- x 3x + 2x 3x + 2x 3x + 2x
所以 a =1 .
x
3
x x -1
f x 3 - 2= = è 2
÷
（2 ）
3x + 2x 3 x
,
2 ÷
+1
è
3
x
f x t -1 t +1- 2 2令 t = ，则 = = =1- ，
è 2 ÷ t +1 t +1 t +1
x
t = 3
2
因为 ÷ (0,+ ) ，所以1- -1,1 ，
è 2 t +1
所以 f x 的值域 -1,1 ．
16-3．（河北省衡水市第十三中学 2024 届高三上学期开学考试数学试题）已知函数 f (x) = a x - k ×a- x
3
（ a > 0，且 a 1）是奇函数，且 f (1) = ．
2
(1)求 a， k 的值；
(2)若对于"x [1, 2]，不等式 f (2x) + mf (x) 0成立，求m 的取值范围．
【答案】(1) a = 2， k =1；
(2) m 5 -
2
【分析】（1）根据函数是奇函数求 k ，再代入 f (1)
3
= ，求 a；
2
x - x
（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为 2 + 2 + m 0min ，转化为求函数的最小值问题.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以 f -x = - f x ，
即 a- x - k × a x = -a x + k ×a- x ，得 k =1，
所以 f x = a x - a- x ， f 1 3 1= a - a-1 = ，得 a = 2或 a = - （舍），
2 2
综上， a = 2， k =1；
（2）由（1）知， f x = 2x - 2- x ，
2x -2x
则 2 - 2 + m 2x - 2- x 0, x 1,2 恒成立，
2x + 2- x 2x - 2- x + m 2x - 2- x 0 x - x， 2 - 2 > 0, x 1,2 ，
所以 2x + 2- x + m 0，对"x 1,2 恒成立，
2x + 2- x即 + m 0min 恒成立，
y 2x 2- x 1 1设 = + = 2x + x ，函数由外层函数 y = t + 和内层函数 t = 2x 复合而成，2 t
当 x 1,2 ， t 2,4 1， t = 2x 单调递增，当 t 2,4 ， y = t + 单调递增，
t
x - x
所以根据复合函数的单调性可知，函数 y = 2 + 2 , x 1,2 1 -1 5单调递增，最小值为 2 + 2 = ，
2
5
即 + m 0 m 5，则 - .
2 2
16-4．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数 ( ) = 2 + + ，且不等式 f (x) < 2x的解集为
(1,3) .
(1)求 f x 解析式；
(2)若不等式 kf 2x - 2x +1 0 在 x [1,2]上有解，求实数 k 的取值范围.
【答案】(1) f x = x2 - 2x + 3
ù
(2) -
2
,
è 4
ú
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得b,c，即得答案.
2 x x 2
x -1
（ ）不等式 kf 2 - 2 +1 0 在 x [1,2]上有解，即 k x [1,2]2x 在 上的最大值，采用换元法结合2 - 2 × 2x + 3
t
基本不等式求得
t 2
的最大值，即得答案.
+ 2
【详解】（1）由题意知 x2 + bx + c < 2x的解集为 1,3 ，
2
故方程 x - 2 - b x + c = 0 的两个根是 1 和 3，
ì2 - b = 4 ìb = -2
故 í
c = 3
，即 í ，
c = 3
故 f x = x2 - 2x + 3 .
x x 2x x
（2）由题意 kf 2 - 2 +1 0 在 x [1,2]上有解，即 k 2 - 2 × 2 + 3 2x -1在 x [1,2]上有解，
x
∵ 22x
2
- 2 × 2x + 3 = 2x -1 + 2 > 0 ∴ k 2 -1， 在 x [1,2]上的最大值，
22x - 2 × 2x + 3
设 t = 2x -1, x [1, 2]，则 t 1,3 t，则 k ( )
t 2 + 2 max
t 1 1
2 = 2 又 t + 2 t 2 2 ，当且仅当 t
2
= 即 t = 2 1,3+ 时，等号成立，
t t
∴ k 2
2 ù
，即实数 k 的取值范围为 - , ú .4 è 4
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = a x - a (a>0 且 a≠1)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.
ìa x - a,x 1
【详解】当 a > 1时， f (x)= í x ，
a- a ,x<1
显然当 x 1时，函数单调递增，当 x <1时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为 y=a ，而 a > 1，故 AB 不符合；
对于 CD，因为渐近线为 y=2，故 a=2，故 x=0时， y=1，
故选项 C 符合，D 不符合；
ìa x - a,x<1
当0 < a <1时， f (x)= í x ，
a- a ,x 1
当 x 1时，函数单调递增，当 x <1时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为 y=a ，而0 < a <1，故 ABD 不符合；
故选：C
2．（2024 高二下·北京密云·期末）已知 a > b，则下列不等式中成立的是（ ）
1 1
A． 2a > 2b B． ab > b2 C． a2 > b2 D． 【答案】A
【分析】A 选项可根据指数函数性质判断，BCD 选项可以举反例得出.
【详解】A 选项，根据指数函数 y = 2x (x R)单调递增可知， a > b 2a > 2b，A 选项正确；
BCD 选项，取 a =1,b = -1，B 选项变成-1 >1，C 选项变成1 >1，D 选项变成1 < -1，BCD 均错误.
故选：A
3．（2024 高一上·新疆阿克苏· 2阶段练习）不等式 2x -x > 4的解集为（ ）
A． (- ,-1) B． (-1,2)
C． (- , -1) (2, + ) D． (- , 2) (-1, + )
【答案】C
【分析】由题意可得 x2 - x - 2 > 0，解此不等式即可.
2 2
【详解】解：因为 2x -x > 4 2x -x > 22 x2 - x > 2 x2 - x - 2 > 0，
所以 (x - 2)(x +1) > 0，
解得 x > 2或 x < -1，
所以不等式的解集为： (- , -1) (2, + ) .
故选：C.
4．（2024 2高一上·吉林长春·期末）若函数 y = m - 2m - 2 ×mx 是指数函数，则m 等于（ ）
3 3 1A．-1或 B．-1 C． D．
3
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
2 x
【详解】因为函数 y = m - 2m - 2 ×m 是指数函数，
ìm2 - 2m - 2 =1
所以 ím > 0 m = 3 .
m 1
故选：C
ì x
, x <1
5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
x - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1,+ )
【答案】D
【分析】由于当 x <1
x
时， <1，所以当 x 1时，求出 2 x - a 的最小值，使其最小值小于等于 1 即可.
x -1
1
【详解】当 x <1时， f (x) =1+ <1，
x -1
当 x 1时， f (x) = 2x - a 21 - a = 2 - a，
ì x , x <1
因为函数 f (x) =
í x -1 的值域为R ，
2x - a, x 1
所以 2 - a 1，得a 1，
所以实数 a的取值范围是 1, + ，
故选：D.
2x-1
6．（2024 · · 1 高一上 全国 课后作业）函数 y = ÷ - 27 的定义域是（ ）
è 3
A．[-2,+ ) B．[-1,+ )
C． (- ,-1] D． (- , -2]
【答案】C
【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解.
1 2x-1
【详解】由题意得 ÷ - 27 0
è 3
1 2x-1
所以 ÷ 27，
è 3
1
2x-1
1
-3
即 ÷ ÷ ，
è 3 è 3
x
1
又指数函数 y = ÷ 为R 上的单调减函数，
è 3
所以 2x -1 -3，解得 x -1.
故选：C.
7．（2024 高一上·浙江温州·期中）函数 f (x) = a x-b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的
是（ ）
A． a >1,b < 0 B． a >1,b > 0
C．0 < a <1,b > 0 D．0 < a <1,b < 0
【答案】D
【分析】由函数单调性判断 a与1的大小，再由图象与 y 轴的交点位置判断b 的正负.
【详解】由图象可知，函数 f (x) 为减函数，
从而有0 < a <1；
法一：由 f (x) = a x-b 图象，函数与 y 轴的交点纵坐标 y (0,1)，
令 x = 0，得 y = a-b ，
由0 < a-b <1，即0 < a-b < a0 ，解得 b < 0 .
法二：函数 f (x) 图象可看作是由 y = a x (0 < a <1)向左平移得到的，
则-b > 0，即b < 0 .
故选：D.
1
8．（2024 x高一上·全国·课后作业）函数 y = a - （ a > 0，且 a 1）的图象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别讨论 a >1或0 < a <1时，图象与 y 轴的交点的纵坐标，即可得出答案.
1
【详解】A，B 选项中， a >1，于是0 <1- <1，所以图象与 y 轴的交点的纵坐标应在 0,1 之间，
a
显然 A，B 的图象均不正确；
1
C，D 选项中，0 < a <1，于是1- < 0 ，图象与 y 轴的交点的纵坐标应在小于0 ，所以 D 项符合.
a
故选：D
x
9．（2024 e高二下·辽宁·期中） f x = 2 的图像大致是（ ）x
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据y=ex > 0， x2 > 0， x 0，即排除 B，D，结合特殊值即可得出答案.
【详解】由题知，根据y=ex > 0， x2 > 0， x 0，
x
则 f x e= 2 > 0，排除 B，D，x
x
当 x = 0 f x e时， = 2 没有意义，排除 A.x
故选：C
10．（2024 高一上·全国· 2课后作业）函数 f (x) = 2 - x +4x-3 的单调递增区间为（ ）
A． - , 2 B． 1,2
C． 2,3 D． 2, +
【答案】B
【分析】先求函数 f (x) 的定义域，在结合复合函数单调性分析求解.
【详解】令-x2 + 4x - 3 0，解得1 x 3，
2
所以函数 f (x) = 2 - x +4x-3 的定义域为 1,3 ，
4
因为 t = -x2 + 4x - 3开口向下，对称轴为 x = - = 22 -1 ，
可知 t = -x2 + 4x - 3在 1,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减，
且u = t 在定义域内单调递增，
所以u = -x2 + 4x - 3 在 1,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减，
又因为 y = 2u 在定义域内单调递增，
2
所以 f (x) = 2 - x +4x-3 在 1,2 上单调递增，在 2,3 上单调递减，
即函数 f (x) 的单调递增区间为 1,2 .
故选：B.
二、多选题
11．（2024 高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． y = -3 x B． y = 2m -1 x m
1
> , m 1
2 ֏
C y = 0.19 x． D． y = 2 ×3x
【答案】BC
【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.
【详解】由指数函数形式为 y = a x 且 a > 0, a 1，显然 A、D 不符合，C 符合；
对于 B， 2m -1 > 0且 2m -1 1，故符合.
故选：BC
12．（2024 高一上·河南南阳· x+1期中）已知函数 f x = a + 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 a - 3,3 ，则
（ ）．
A． a = 3 B． f 1 = 6
C． f x 为 R 上的增函数 D． f x >10的解集为 2, +
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案.
【详解】由题意可得 aa-2 + 2 = 3恒成立，故 a = 2，A 错误，
因为根据题意，得 a = 2，\ f x = 2x+1 + 2，所以 f 1 = 22 + 2 = 6，故 B 正确，
Q f x = 2x+1 + 2，所以， f x 为 R 上的增函数，C 正确；
f x = 2x+1 + 2 >10，解得 x > 2，D 正确．
故选：BCD
13．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（ ）
A． y = 52x
B． y = -4x
C． y = x3
1 2
D． y = 6a - 3 x （ a > 且a ）
2 3
【答案】AD
【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于 A 选项， y = 52x = 25x 为指数函数；
对于 B 选项， y = -4x 不是指数函数；
对于 C 选项， y = x3不是指数函数；
1 2
对于 D 选项，当 a > 且a 时，6a - 3 > 0 且6a - 3 1，
2 3
则 y = 1 26a - 3 x （ a > 且a ）为指数函数.
2 3
故选：AD.
14．（2024 x 2高二上·山西运城·阶段练习）对于函数 f x = a a > 0且 a 1）， g x = ax - x，在同一直角坐
标系下的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据指数函数的性质，分0 < a <1和 a >1两种情况对各选项进行验证即可得到结论．
【详解】当 a＞1 时，f（x）＝ax 是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），
1 1 1
而 g（x）＝ax2﹣x＝a（x - ）2 - ，对称轴 x = ＜1，故 A 正确，B 错误；
2a 4a 2a
当 0＜a＜1 时，f（x）＝ax 是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），
2 1 1 1 1而 g（x）＝ax ﹣x＝a（x - ）2 - ，对称轴 x = ＞ ，故 D 正确，C 错误.
2a 4a 2a 2
故选：AD．
三、填空题
15．（2024 高一上· 2 x湖南长沙·阶段练习）函数是指数函数 f x = a - 3a + 3 a ，则有 a = .
【答案】 2
【分析】利用指数函数的定义即可求解.
【详解】由题意可得 a2 - 3a + 3 =1，解得 a = 2或 a =1，
又 a > 0且 a 1，所以 a = 2 .
故答案为： 2
16．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒过的定点坐标为 ．
【答案】 -2, -1
【分析】根据指数函数性质求解即可.
【详解】解：令 x + 2 = 0，即 x = -2时， y = a-2+2 - 2 = -1，
所以，函数 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒过的定点坐标为 -2, -1
故答案为： -2, -1
x2 +x x+15
17．（2024 1 1 高一下·上海嘉定·开学考试）不等式 ÷ ÷ 的解集为 ．
è 3 è 9
【答案】 - , -5 6,+
【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案.
x21 +x 1 2x+30
【详解】原式可化为 ÷ ÷ ，
è 3 è 3
y 1
x
= 因为 ÷ 为减函数，所以 x
2 + x 2x + 30，即 x2 - x - 30 0，
è 3
解得 x 6 或 x -5，
所以原不等式的解集为 - , -5 6,+ .
故答案为： - , -5 6,+ .
18．（2024 高一下·上海嘉定·阶段练习）不等式 2x > 4的解集为 .
【答案】 2, +
【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解.
【详解】因为函数 y = 2x 为R 上的增函数，由 2x > 4 = 22 可得 x > 2，
故原不等式的解集为 2, + .
故答案为： 2, + .
1 3
19．（2024 高一上·全国·课后作业）若指数函数 y = f x 的图象经过点 -2, ÷，则 f16 - = è è 2 ÷ ．
1
【答案】 / 0.125
8
3
【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入 x = - 即可.
2
x
【详解】设指数函数 f x = a a > 0且 a 1 ，
Q f x 2, 1- 过点 ÷，\a-2
1
= ，解得： a = 4，\ f x = 4x ，
è 16 16
3
-
\ f 3 1 1 -
÷ = 4 2 = = .
è 2 43 8
1
故答案为： .
8
1 1
20．（2024
高一下·贵州黔东南·期末）已知指数函数 f (x) 的图像经过点 -2, ，则 f - = ．
è 16 ÷ ÷ è 2
1
【答案】 /0.5
2
f 1 【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算 - ÷ 的值.
è 2
1
【详解】设 f (x) = a x （ a > 0 ，且 a 1），由于其图像经过点 -2,
÷，
è 16
a-2 1所以 = ，解得 a = 4或 a = -4 （舍去），
16
f x = 4x f 1
1
- 1
因此 ，故 - ÷ = 4 2 = .
è 2 2
1
故答案为： .
2
21．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f x = 3 x+1 + 2 2-x 的定义域为 .
【答案】 -1,2
【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出 x 的取值范围.
ìx +1 0
【详解】由题意可得 í -1 x 22 x 0，解得： ，所以函数的定义域为
-1,2 .
-
故答案为： -1,2 .
22．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = 4x + 2 的值域是 ．
【答案】 (2,+ )
【分析】由指数函数值域可求.
【详解】由函数 y = 4x 值域为 (0, + )，
则函数 y = 4x + 2 的值域为 (2,+ ) .
故答案为： (2,+ )
23．（2024 x高一上·全国·单元测试）函数 f x = 2 + x, x -1,1 的值域为 ．
é 1
【答案】 ê- ,3
ù
2 ú
【分析】利用函数的单调性求函数在给定区间上的值域即可.
【详解】因为函数 f x 在 -1,1 上是增函数，
所以 f x = f -1 = 2-1 1 1- = -min ，2
f x = f 1max = 2
1 +1 = 3，
é 1 ù
故函数值域为： ê- ,3 ， 2 ú
é 1 ù
故答案为： ê- ,3 2 ú
.
ì2x , x > 0
24．（2024·上海·模拟预测）已知 f x = í ，则 f x 的值域是 ；
1, x 0
【答案】[1,+ )
【分析】分段讨论 f x 的范围即可.
【详解】当 x > 0 时, 根据指数函数的图象与性质知 f (x) = 2x > 1，
当 x 0 时, f (x) = 1.
综上: y = f (x) 的值域为 [1,+ ) .
故答案为：[1,+ ) .
ì 2 - a x + 3a, x <1
25．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数 f x = í 2
2x +2x 2
的值域为R ，则 a 的取值范围
-
-1, x 1
是 ．
é 1
【答案】 ê- , 2
÷
2
ì2 - a > 0
【分析】先求函数出在[1,+ )上的值域，当 x <1时，要使函数的值域为R ， 则 í2 a 3a 1，进而可得出 - +
答案.
2
【详解】当 x 1时， f (x) = 2x +2x-2 -1，而函数 t = x2 + 2x - 2在[1,+ )上单调递增，
又 y = 2t 是增函数，
因此函数 f (x) 在[1,+ )上单调递增，
f (x) f (1) = 1，即函数 f (x) 在[1,+ )上的值域为[1,+ )，
当 x <1时，函数 f (x) 的值域为A ，而函数 f (x) 的值域为R ，
因此 (- ,1) A，
而当 x <1时， f (x) = (2 - a)x + 3a ，
ì2 - a > 0 1
必有 í - a < 2
2 - a + 3a 1
，解得 ，
2
é 1
所以 a 的取值范围是 ê- , 2
÷ .
2
é 1
故答案为： ê- , 2÷ . 2
26．（2024 高二下·北京·期末）已知对不同的 a值，函数 f (x) = 2 + a x-1(a > 0, a 1)的图象恒过定点 P ，则 P
点的坐标是 .
【答案】 (1,3)
【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数 y = a x (a > 0,a 1) 的图象恒过( 0, 1)点，再根据函数图象
的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点 P 的坐标
【详解】由指数函数 y = a x (a > 0,a 1) 的图象恒过( 0, 1)点
而要得到函数 y = 2 + a x-1(a > 0,a 1)的图象，
可将指数函数 y = a x (a > 0,a 1) 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位.
则( 0, 1)点平移后得到 (1,3)点.
则 P 点的坐标是 (1,3)
故答案为： (1,3)
四、解答题
ì x , x 227．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函数 f x = í2x . - 2, x > 2
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 f x 的简图，并写出 f x 的单调区间和值域；
(2)若 f t 6，求实数 t的取值范围.
【答案】(1)图象见解析， f x 的增区间为[0, + ) ，减区间为 (- ,0)，值域为[0, + ) .
(2) -6 t 3
【分析】（1）画出图象，然后可得答案；
（2）根据图象可得答案.
【详解】（1）函数 f x 的简图如下：
由图可知，函数 f x 的增区间为[0, + ) ，减区间为 (- ,0)；值域为[0, + ) .
（2）由 f (-6) = 6, f 3 = 6，及函数 f x 的单调性可知，
若 f t 6,则实数 t的取值范围为-6 t 3 .
28．（2024 高一上·江西赣州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结
合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数
ì 1
x
f x = í 2 ÷
-1, x 0
è .
-x2 + 2x +1, x > 0
(1)在平面直角坐标系中作函数 y = f x 的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；
(2)解不等式 f x ≤1.
【答案】(1)作图见解析，单调减区间为 - ,0 和 1, +
(2) -1,0 U 2, +
【分析】（1）直接利用指数函数与一元二次函数图象作图即可，根据图象写出函数单调递减区间求解；
（2）分段讨论解不等式，最后再求并集即可.
【详解】（1）简图如图所示：
由图可得该函数的单调减区间为 - ,0 和 1, + ；
x
（2 1 ）①当 x 0 时， -1 1得 2- x 21 ÷ ，所以-1≤ x≤ 0；
è 2
②当 x > 0时，-x2 + 2x +1 1，解得 x 2；
综上：不等式 f x ≤1的解集为 -1,0 U 2, + .
ì-x +1, x 0
29．（2024 高一上·北京顺义·期中）已知函数 f x = í x .
2 , x > 0
1
(1)求 f f - ÷ 的值；
è è 2
÷
(2)画出函数 f x 的图象，根据图象写出函数 f x 的单调区间；
(3)若 f x 2，求 x 的取值范围.
3
【答案】(1) 22
(2)图象详见解析，减区间 - ,0 ，增区间 0, +
(3) -1,1
f 1 1 【分析】（1）先求得 - 2 ÷
，然后求得 f f - .
è è è 2
÷
÷
（2）根据函数 f x 的解析式画出 f x 的图象，由此求得 f x 的单调区间.
（3）由 f x = 2以及函数图象求得 x 的取值范围.
1 1 3 1 3 3
【详解】（1） f - ÷ = +1 = , f f2 2 2
- ÷÷ = f ÷ = 22 .è è è 2 è 2
ì-x +1, x 0（2） f x = í x ，所以 f x 2 , x 0 的图象如下图所示， >
由图可知， f x 的减区间为 - ,0 ，增区间为 0, +
ìx 0 ìx > 0
（3） í x = -1, í x x =1x 1 2 2 2 ， - + = =
由图象可知，满足 f x 2的 x 的取值范围是 -1,1 .
30．（2024 高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域：
（1） y = 2x -1；
x
1
（2 - 9）
y è 3
÷
=
.
1- 2x+3
【答案】（1）[0, + ) ；（2） - , -3 U -3, -2 .
【分析】（1）根据偶次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域；
（2）根据偶次根式被开方数非负、分母不为零以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域.
【详解】（1）由题意可得 2x -1 0，即 2x x 20 ，又指数函数 f x = 2 单调递增，得 x 0 .
所以函数 y = 2x -1的定义域为 0, + ；
ì 1 x ì 1 x -2 1
（2）由题意，得 í 3 ÷
- 9 0
è ，得 í
è 3 ÷ ÷ è 3 ，
1- 2
x+3 0 x+3 2 2
0
x
又指数函数 g x = 1 ÷ 单调递减，\ x -2 且 x -3 .
è 3
x
1
÷ - 9所以函数 è 3 的定义域为 - , -3 -3,-2 .y =
1- 2x+3
【点睛】本题考查指数型函数定义域的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.
31．（2024 高一·全国·课前预习）求下列函数的值域；
（1） y = 2x+1 ；
（2） y = 1- 2x ；
（3） y = 2 x .
【答案】（1）(0, + ∞)；（2）[0,1)；（3）[1, + ) .
【分析】（1）根据指数运算的性质求出函数的定义域和值域；
（2）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指
数运算的性质求出函数的值域；
（3）根据二次根式被开方数非负性，结合指数函数的单调性求出函数的定义域，结合二次根式的性质和指
数函数的单调性求出函数的值域；
【详解】解：（1） y = 2x+1 的定义域为 R，值域为(0, + ∞).
（2）由1- 2x 0知 x 0，故 y = 1- 2x 的定义域为 (- ,0]；由0 1- 2x <1知0 1- 2x <1，故 y = 1- 2x 的
值域为[0,1) .
（3） y = 2 x 的定义域为[0, + ) ；由 x…0知 2 x…1，故 y = 2 x 的值域为[1, + ) .
32 x．（2024 高一·全国·课堂例题）利用函数 y = f x = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
(1) f x -1 ；
(2) f x ；
(3) f x -1；
(4) - f x ；
(5) f x -1 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
(5)作图见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据 f (x) = 2x ，结合对应图象变换画出对应函数图象.
【详解】（1）将 f (x) 图象向右平移一个单位即得，如下图，
（2）将 f (x) 右侧图象以 y 轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，
（3）将 f (x) 图象向下平移一个单位即得，如下图，
（4）以 x 轴为对称轴，画出与 f (x) 对称的图象即得，如下图，
（5）将（3）所得图象在 x 轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，4.2 指数函数 16 题型分类
一、指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R.
注意：指数函数中规定 a>0，且 a≠1 的原因：
(1)如果 a＝0，当 x>0 时，ax恒等于 0，没有研究的必要；当 x≤0 时，ax无意义．
1 1
(2)如果 a<0，例如 f(x)＝(－4)x，这时对于 x＝ ，，…，该函数无意义．
2 4
(3)如果 a＝1，则 y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定 a>0，且 a≠1.
二、指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次
增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x(x∈N).形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0；a＞0，且 a≠1)的函数
是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
三、指数函数的图象和性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
性质 函数值 当 x>0 时，y>1； 当 x>0 时，0的变化 当 x<0 时，01
单调性 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数
对称性 y＝ax与 y＝a－x的图象关于 y 轴对称
注意：（1）由指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性质知，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象
1
恒过点(0,1)，(1，a)，(－1， )，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数 y＝a
ax(a>0，且 a≠1)的图象．
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是 a>1，还是 0底数越大，函数图象越靠近 y 轴．
四、不同底指数函数图象的相对位置
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则
0在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．
(2)实质：指数函数的底数即直线 x＝1 与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的
大小．
五、与指数函数复合的函数单调性
(1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一是底数 a>1 还是 0二是 f(x)的单调性．它由两个函数 y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)若 y＝f(u)，u＝g(x)，则函数 y＝f(g(x))的单调性有如下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y＝f(u)，u＝g(x)，
通过考查 f(u)和 g(x)的单调性，求出 y＝f(g(x))的单调性．
（一）
指数函数的概念
1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点：
①底数是大于 0 且不等于 1 的常数；
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
③ax的系数必须为 1.
(2)求指数函数的解析式常用待定系数法．
2、判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就
不是指数函数．
题型 1：指数函数的概念
1-1．（2024 高一上·全国·课后作业）下列函数：① y = 2 3x；② y = 3x+1；③ y = πx ；④ y = xx ．其中为指
数函数的个数是（ ）
A．0 B．1
C． 2 D．3
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）下列函数为指数函数的是（ ）
A． y = -4x B． y = -4 x C． y = πx D． y = 4x2
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）函数① y = 4x ；② y = x4 ；③ y = -4x ；④ y = (-4)x ；⑤ y = πx ；
⑥ y = 4x2 ；⑦ y = xx ；⑧ y = (a -1)x (a >1)中，是指数函数的是 ．
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)．
x① y 2 2 ② y = 2x-1 ③ y p
x
x 1 1= × ； ； = ÷ ；④ y = x ；⑤
-
y = 3 x ；⑥è 2 y = x
3 ．
（二）
指数函数的解析式及应用
求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)．
(2)利用已知条件求底数 a.
(3)写出指数函数的解析式．
注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式.
题型 2：求指数函数的解析式或求值
ì 1 - 2
2-1．（2024 高一上·四川泸州·期末）已知函数 f x = íx -1, x 0，则 f f 4 的值是（ ）
2
x , x < 0
1
A 2． B． 2 C． D．22 2
2-2．（2024 高二下·新疆巴音郭楞·期末）指数函数 f x = a x a > 0且 a 0 图像经过点 3,27 ，则 f 2 =
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2-3．（2024 高一下·新疆伊犁·期中）函数 f x = a x (a > 0，且 a 1)的图象经过点P 3,27 ，则 f 2 =（ ）
1
A B 3
1
． ． C． D．9
9 3 3
ì2x - x2 ,0 x 6
2-4．（2024 高一·全国·课后作业）设函数 f (x) = í ，则 f (10)＝ ．
f (x - 6), x > 6
题型 3：根据函数是指数函数求参数
3-1．（2024 x x- b+3 高一上·广东湛江·阶段练习）如果函数 f x = 2a ×3 和 g x = 2 都是指数函数，则 ab =
（ ）
1
A． B．1 C．9 D．8
8
3-2．（2024 高一·全国· 2专题练习）函数 y = a - 5a + 5 a x 是指数函数，则 a的值为 ．
3-3．（2024 高一上·安徽滁州· x期末）函数 y =(2a-3) 是指数函数，则 a 的取值范围是 ．
（三）
指数型函数的实际应用
1、常见的几类函数模型
(1)指数增长模型
设原有量为 N，每次的增长率为 p，则经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为 N，每次的减少率为 p，则经过 x 次减少，该量减少到 y，则 y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如 y＝kax(k≠0，a>0，且 a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
2、解决指数型函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
题型 4：指数型函数的实际应用
4-1．（24-25 高一上·全国·课后作业）某新款电视投放市场后第一个月销售了 100 台，第二个月销售了 200
台，第三个月销售了 400 台，第四个月销售了 790 台，第五个月销售了 1600 台，则下列函数模型中能较好
地反映销量 y 与投放市场的月数 x （1 x 5， x N+ ）之间关系的是（ ）
A． y =100x B． y = 50x2 - 50x +100
C． y = 50 2x D． y =100x
4-2．（24-25 高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票 10 万元，在连续十个交易日内，前 5 个交易日，
平均每天上涨 5％，后 5 个交易日内，平均每天下跌 4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确
到元）为（ ）
A．赚 723 元 B．赚 145 元
C．亏 145 元 D．亏 723 元
4-3．（24-25 高一上·全国·课后作业）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y（单位：h）
与储藏温度 x（单位：℃）的关系式为 y = kerx （k，r 为常数， e 2.71828）．若牛奶在 0℃的冰箱中，保鲜
时间约是 100 h，在 5℃的冰箱中，保鲜时间约是 80 h，那么在 10℃的冰箱中的保鲜时间约是多少？
（四）
指数函数的图象及应用
1、识别指数函数图象问题的注意点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数 a>1 或 0(2)在 y 轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在 y 轴左侧，指数函数的图象
从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两
坐标轴的交点位置．
2、解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如 y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，
且 a≠1)的函数图象过定点的问题，即令 x＝－c，得 y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
题型 5：指数函数的图象特征
5-1．（2024 高二·湖北·学业考试）设 a，b ， c， d 都是不等于 1 的正数，函数 y = a x , y = bx , y = cx , y = d x 在
同一直角坐标系中的图象如图所示，则 a，b ， c， d 的大小关系是（ ）
A． a < b < c < d B．b < a < d < c C． c < d < a < b D． d < c < b < a
x
5-2
b
．（2024 高一上·福建福州·期中）指数函数 y = ÷ 的图象如图所示，则二次函数 y = ax
2 + bx 的图象可能
è a
是（ ）
A． B．
C． D．
1
5-3 x．（2024 高一上·重庆涪陵·阶段练习）函数 f x = a - （ a > 0, a 1）的图象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
5-4 2 x．（2024 高一上·山东聊城·阶段练习）函数 f x = x 2 - 2 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型 6：指数函数的图象变换
6-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数 y = 3- x 的图像与函数 的图像关于 y 轴对称．
6-2．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若将函数的图像向右、向上分别平移 1 个单位得函数 y = 2x 的图像，则
原函数的表达式为 ．
6-3．（2024 高三·全国·对口高考）利用函数 f (x) = 2x 的图象，作出下列各函数的图象．
(1) y = f (-x) ；
(2) y = f (| x |)
(3) y = f (x) -1；
(4) y = f (x) -1 ；
(5) y = - f (x) ；
(6) y = f (x -1)．
6-4．（24-25 高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数 y = 3x+1 -1的图像，说明函数 y = 3x+1 -1的图像与 y = 3x
图像的关系.
题型 7：指数型函数过定点问题
7-1．（2024 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，无论 a取何值，函数图像恒过一
个定点，则定点坐标为 .
7-2．（2024 高一上·新疆·期中）函数 y = a x+m + n a > 0且 a 1 恒过定点 (1, -2) ，m + n = ．
7-3．（2024 高一上·福建泉州·期中）函数 y = a x-4 +1(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 P ，则点 P 坐标为 ．
题型 8：指数函数图象的应用
8-1．（2024 高一下·广西柳州·期中）已知函数 f (x) = a x-2 +1(a > 0, a 1)恒过定点M m, n ，则函数
g x = mx - n 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
ì 2x -1 , x < 2,
8-2．（2024 高一上·广东韶关·期中）已知函数 f (x) = í 3 若函数 y = f (x) 图象与直线 y = k 有且仅有
, x 2,
x -1
三个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． k > 0 B．0 < k <1 C．0 < k < 3 D．1< k < 3
8-3．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = a x + m -1（ a > 0且 a 1）的图象在第二、三、四象限内，
则（ ）
A． a >1 B． a >1且m < 0
C．0 < a <1且m < 0 D．0 < a <1
8-4．（24-25 x高一上·上海·课堂例题）若函数 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的图像不经过第二象限，则有
（ ）
A． a >1且b<1 B．0 < a <1且b 1
C．0 < a <1且b > 0 D． a >1且b 0
（五）
与指数函数有关的定义域和值域问题
函数 y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如 y＝af(x)形式的函数的定义域是使得 f(x)有意义的 x 的取值集合．
(2)值域：①换元，令 t＝f(x)；
②求 t＝f(x)的定义域 x∈D；
③求 t＝f(x)的值域 t∈M；
④利用 y＝at的单调性求 y＝at，t∈M 的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
题型 9：与指数型函数有关的定义域问题
x
9-1．（25-26 高一上· 2 - 4全国·课后作业）函数 f x = 的定义域为（ ）
x - 5
A． - , 2 B． - ,5 U 5, + C． 2, + D． 2,5 U 5,+
9-2．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = 3x - 27 的定义域为（ ）
A． - , 3ù B． - , 3 C． 3, + D． 3, +
1
9-3．（2024 高一上· x内蒙古赤峰·期末）函数 f (x) = 2 + 的定义域为 ．
1- x
9-4．（2024 高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域：
2
(1) y = 2x -1
(2) y = 3 3-x
(3) y = 2x -1
(4) y = 1- a x (a > 0,a 1)
题型 10：与指数型函数有关的值域（最值）问题
10-1 2024 · · f x = a x．（ 高一上 广东湛江 期末）已知函数 + b(a > 0 且 a 1)的定义域和值域都是 -1,0 ，则
a + b =（ ）
1 3 5 1 5
A．- B．- C．- D．- 或-
2 2 2 2 2
10-2．（2024 高一·全国·竞赛）若 x - ,-1 m - m2 4x + 2x，不等式 +1 > 0恒成立，则实数 m 的取值范围
是（ ）
A．m < -2或m > 3 B．m 0或m 1
C．-2 < m < 3 D．0 m 1
ìb,a b
10-3．（2024 高一下·广东茂名·期中）定义运算：a b = í ，则函数 f x = 3- x 3xa, a b 的值域为 ． <
|x|
10-4．（2024 · 1 高一上 江苏镇江·阶段练习）函数 f x = ÷ 的值域为 .
è 2
x x
10-5．（2024 高一下·广西柳州· f (x) = 1 1期中）函数 ÷ -
÷ + 2在 -1,2 的最小值是 ．
è 4 è 2
10-6．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若 x 0, + ，2x < a x （ a > 0且 a 1）恒成立，则实数 a 的取值范围
是 .
ì2x , x m
10-7．（2024 高一下· m湖南·期中）已知m > 0，函数 f x = í 2 2 8 的值域为 - , 2 ù，则m 的取值
- x + , x > m
3 3
范围是 ．
10-8．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若函数 y = a x （ a > 0且 a 1）在区间 -1,2 上的最大值是 4，最小值
为 m，且函数 y = 1- 4m x 在R 内是严格增函数，则 a = .
2
10-9．（2024 高一上·西藏那曲·期末）已知函数 f x = 3- x +2x ．
(1)若 f x 1，求实数 x 的取值范围；
(2)求 f x 的值域．
（六）
单调性及其应用
1.比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当 x 取相同幂指数时可
观察出函数值的大小．
(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”
与两数比较．
(4)当底数含参数时，要按底数 a>1 和 02.解与指数有关的不等式时需注意的问题
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，借助函数 y＝at(a>0，且 a≠1)的单调性求解，如果 a 的取值不确定，
需分 a>1 与 0(2)形如 af(x)>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 y＝at(a>0，且 a≠1)
的单调性求解；
(3)形如 af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解．
注意(1)指数型不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，且 a≠1)的解法：
当 a＞1 时，f(x)＞g(x)；当 0＜a＜1 时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统
1
一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且 a≠1)，a－x＝( )x(a＞0，且 a≠1)等．a
题型 11：求指数型函数的单调区间
1 x
2 -3x+2
11-1．（2024 高一上·山东德州·阶段练习）函数 y = ÷ 的单调递增区间是（ ）
è 2
A． - ,1 B． 1,2 é3 ,+ 3ùC． ê2 ÷ D． - , è 2 ú
2
11-2 2024 · · y = ( )|1-x|．（ 高一上 全国 课后作业）函数 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ．
3
- x2 +2x
11-3．（2024 1 高一上·广东肇庆·期中）函数 y = ÷ 的单调递增区间为 .
è 5
2
11-4．（2024 高一下·上海·期中）函数 y = ex -2x-3的严格减区间为 ．
题型 12：根据指数型函数的单调性求参数
12-1．（2024·全国）设函数 f x = 2x x-a 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
x2 -2mx
12-2 2024 · · f x = 1 ．（ 高一下 浙江金华 期末）设函数 ÷ 在区间 1,2 上单调递增，则m 的取值范围为
è 2
（ ）
A． - , -2 B． -2, -1 C． 1,2 D． 2, +
2x2 +mx-3
12-3．（2024 高一上·四川成都·期末）若函数 f x 1= ÷ 在区间 -1,1 上单调递减，则实数m 的取值范
è 3
围是 ．
题型 13：利用指数型函数单调性比较大小
13-1 2024 · · 1
a b
<
1 1
．（ 高三 全国 专题练习）已知 ÷ ÷ < ，则（ ）
è 2 è 2 2
A．aa > ab > bb B．aa > bb > ab
C．bb > aa > ab D．ab > bb > aa
13-2．（2024·江苏·一模）设 a,b R ， 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，则（ ）
A．1< a < b B．0 < b < a C．b < 0 < a D．b < a <1
13-3．（2024 高一上·河南郑州·期末）设 a = 0.80.8 ,b = 0.80.9 ,c = 0.90.8，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c > b > a B． a > b > c
C． a > c > b D． c > a > b
13-4．（2024 高一上·浙江宁波·期中）下列大小关系正确的是（ ）
A．0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5 B．0.20.5 > 0.50.2 > 0.20.2
C．0.20.5 > 0.20.2 > 0.50.2 D．0.20.2 > 0.50.2 > 0.20.5
题型 14：利用指数型函数的单调性解不等式
1 2
14-1 2024 · · ( )x -8 -2x．（ 高一 全国 专题练习）不等式 ＞3 的解集是（ ）
3
A． -2,4 B． - , -2
C． 4, + D． - , -2 U 4, +
ì2x -1, x 2
14-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = í ，则不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集
3x - 3, x < 2
为 ．
14-3．（2024 高三上·河北· x学业考试）已知函数 f x = e - e- x ，则不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． -2,0 D． 0,2
x - 3
14-4．（2024 高一上· x四川·阶段练习）已知函数 f x = 2 ，则不等式 f x 1 ÷ <1的解集为（ ）è +
A． -1,3 B． -3,1 C． -3, -1 D． 1,3
x
14-5．（2024 高一上· e -1 2云南昆明·期中）已知函数 f x = 3x3 + ，且 f a + f 3a - 4 > 0x ，则实数 a的取e +1
值范围是（ ）
A． -4,1 B． -1,4
C． - , -1 4, + D． - , -4 U 1,+
（七）
指数函数性质的综合应用
1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结
合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转
化．
2、若函数 y= f(x)在区间 D 上是增(减)函数，则复合函数 y = a f x 当 a>1 时，在区间 D 上是增(减)
函数，当 0题型 15：指数型函数的奇偶性
15-1．（2024 高一上·山西太原·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A． y = x3 B． y = 2x C． y = x +1 D． y = x +1
ì x 1
, x < 0
15-2．（2024· ÷江西景德镇·三模）已知函数 f x = íè 2 是奇函数，则 x > 0时，g x 的解析式为（ ）
g x , x > 0
1 x 1 xA．- ÷ B． ÷ C．-2x D． 2x
è 2 è 2
15-3 2024 · · “ a =1” “ f x 2
x - a
．（ 高二下 广东广州 期末） 是 函数 = x 为奇函数”的（ ）2 +1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15-4．（2024 高一下·浙江温州·开学考试）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x (- ,0]时，
f (x) = x2 - ex +1，则当 x (0,+ )时， f (x) =（ ）
A． x2 - ex +1 B． x2 - e- x +1
C． x2 + e- x +1 D．-x2 + e- x -1
bx
15-5 a + 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知b > 0，函数 f x = x 是奇函数，则 a + b = ．2
题型 16：指数函数的综合应用
2
16-1．（2024 高一下·陕西安康·期中）已知函数 f (x) = a - x （ a R ），函数 f (x) 为奇函数e +1
(1)求出 a的值，判断函数 f (x) 的单调性，并予以证明；
(2)若对"x R ，不等式 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0恒成立，求m 的取值范围.
x x
16-2．（2024 高二上·安徽·开学考试）已知函数 f x a ×3 - 2= x x ,a R ．3 + 2
(1)若 f x 为奇函数，求 a的值；
(2)在（1）的条件下，求 f x 的值域．
16-3．（河北省衡水市第十三中学 2024 届高三上学期开学考试数学试题）已知函数 f (x) = a x - k ×a- x
3
（ a > 0，且 a 1）是奇函数，且 f (1) = ．
2
(1)求 a， k 的值；
(2)若对于"x [1, 2]，不等式 f (2x) + mf (x) 0成立，求m 的取值范围．
16-4．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数 ( ) = 2 + + ，且不等式 f (x) < 2x的解集为
(1,3) .
(1)求 f x 解析式；
(2)若不等式 kf 2x - 2x +1 0 在 x [1,2]上有解，求实数 k 的取值范围.
一、单选题
1 x．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = a - a (a>0 且 a≠1)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 高二下·北京密云·期末）已知 a > b，则下列不等式中成立的是（ ）
1 1
A． 2a > 2b B． ab > b2 C． a2 > b2 D． 3．（2024 2高一上·新疆阿克苏·阶段练习）不等式 2x -x > 4的解集为（ ）
A． (- ,-1) B． (-1,2)
C． (- , -1) (2, + ) D． (- , 2) (-1, + )
4．（2024 高一上·吉林长春·期末）若函数 y = m2 - 2m - 2 ×mx 是指数函数，则m 等于（ ）
A．-1或3
1
B．-1 C．3 D．
3
ì x
, x <1
5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
2x - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1,+ )
2x-1
6．（2024 高一上·全国· 1 课后作业）函数 y = 3 ÷
- 27 的定义域是（ ）
è
A．[-2,+ ) B．[-1,+ )
C． (- ,-1] D． (- , -2]
7．（2024 高一上·浙江温州·期中）函数 f (x) = a x-b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的
是（ ）
A． a >1,b < 0 B． a >1,b > 0
C．0 < a <1,b > 0 D．0 < a <1,b < 0
1
8．（2024 高一上·全国· y = a x课后作业）函数 - （ a > 0，且 a 1）的图象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
x
9．（2024 高二下· e辽宁·期中） f x = 2 的图像大致是（ ）x
A． B．
C． D．
10 2．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f (x) = 2 - x +4x-3 的单调递增区间为（ ）
A． - , 2 B． 1,2
C． 2,3 D． 2, +
二、多选题
11．（2024 高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． y = -3 x B． y = 2m -1 x m 1 > , m 1
2 ֏
C． y = 0.19 x D． y = 2 ×3x
12．（2024 高一上·河南南阳·期中）已知函数 f x = a x+1 + 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 a - 3,3 ，则
（ ）．
A． a = 3 B． f 1 = 6
C． f x 为 R 上的增函数 D． f x >10的解集为 2, +
13．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数是指数函数的是（ ）
A． y = 52x
B． y = -4x
C． y = x3
1 2D． y = 6a - 3 x （ a > 且a ）
2 3
14 x．（2024 高二上·山西运城·阶段练习）对于函数 f x = a a > 0且 a 1）， g x = ax2 - x，在同一直角坐
标系下的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2024 2 x高一上·湖南长沙·阶段练习）函数是指数函数 f x = a - 3a + 3 a ，则有 a = .
16．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒过的定点坐标为 ．
x2 +x x+15
17．（2024 高一下·上海嘉定· 1 1 开学考试）不等式 ÷ ÷ 的解集为 ．
è 3 è 9
18．（2024 高一下·上海嘉定·阶段练习）不等式 2x > 4的解集为 .
1 3
19．（2024 高一上·全国·课后作业）若指数函数 y = f x 的图象经过点 -2, ÷，则 f - ÷ = ．
è 16 è 2
1 1
20．（2024 高一下·
贵州黔东南·期末）已知指数函数 f (x) 的图像经过点 -2, ，则 f - =
è 16 ÷ è 2 ÷
．
21．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 f x = 3 x+1 + 2 2-x 的定义域为 .
22．（2024 高一上·全国·课后作业）函数 y = 4x + 2 的值域是 ．
23．（2024 x高一上·全国·单元测试）函数 f x = 2 + x, x -1,1 的值域为 ．
ì2x , x > 0
24．（2024·上海·模拟预测）已知 f x = í ，则 f x 的值域是 ；
1, x 0
ì 2 - a x + 3a, x <1
25．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数 f x = í x2 2x 2 的值域为R ，则 a 的取值范围 2 + - -1, x 1
是 ．
26．（2024 高二下·北京·期末）已知对不同的 a值，函数 f (x) = 2 + a x-1(a > 0, a 1)的图象恒过定点 P ，则 P
点的坐标是 .
四、解答题
ì x , x 2
27．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函数 f x = í .
2
x - 2, x > 2
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 f x 的简图，并写出 f x 的单调区间和值域；
(2)若 f t 6，求实数 t的取值范围.
28．（2024 高一上·江西赣州·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结
合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数
ì 1
x
f x ÷ -1, x 0= íè 2 .
-x
2 + 2x +1, x > 0
(1)在平面直角坐标系中作函数 y = f x 的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；
(2)解不等式 f x ≤1.
ì-x +1, x 0
29．（2024 高一上·北京顺义·期中）已知函数 f x = í2x . , x > 0
1
(1)求 f f - ÷ 的值；
è è 2
÷
(2)画出函数 f x 的图象，根据图象写出函数 f x 的单调区间；
(3)若 f x 2，求 x 的取值范围.
30．（2024 高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域：
（1） y = 2x -1；
1
x
（2） ÷ - 9
y = è 3
.
1- 2x+3
31．（2024 高一·全国·课前预习）求下列函数的值域；
（1） y = 2x+1 ；
（2） y = 1- 2x ；
（3） y = 2 x .
32 x．（2024 高一·全国·课堂例题）利用函数 y = f x = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
(1) f x -1 ；
(2) f x ；
(3) f x -1；
(4) - f x ；
(5) f x -1 ．