5.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)4 题型分类
一、参数 φ，ω，A 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ 对函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A＞0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
二、由函数 y＝sinx 的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸
缩”与“先伸缩后平移”．
(1)先平移后伸缩
y sinx 向左 φ＞0 或 向右 φ＜0 ＝ 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(x＋φ)的图象
平移|φ|个 单位长度
横坐标变为原来的倍
― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(ωx＋φ)的图象
纵坐标 不变
纵坐标变为原来的 A 倍
― ― ― ― ― ― ― ― y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
横坐标 ― ― ― ― ― ― →不变
(2)先伸缩后平移
y sinx 横坐标变为原来的倍＝ 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sinωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移
纵坐标 不变
|φ |个单位长度 y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标变为原来的 A 倍的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝Asin(ωx＋φ)的图ω 横坐标不变
象．
三、函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域 (－∞，＋∞)
值域 [－A，A]
2π
周期 T＝
ω
当 φ＝kπ，k∈Z 时为奇函数
π
当 φ＝kπ＋ ，k∈Z 时为偶函数
奇偶性 2
kπ
当 φ≠ ，k∈Z 时为非奇非偶函数
2
kπ π φ
直线 x＝ ＋ － ，k∈Z
图象的 ω 2ω ω
对称轴 π
求法：令 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 可求
2
kπ φ
图象的对 对称中心：（ － ，0），k∈Z
ω ω
称中心
求法：令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 可求
π π
单调性 求法：令－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求单调递增区间
2 2
π 3π
求法：令 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求单调递减区间
2 2
注意隐含条件：
1
(1)两条相邻对称轴之间间隔为 个周期；
2
(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．
对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A 越大，函数的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系．
(2)ω 越大，函数的周期越小，ω 越小，周期越大，周期与 ω 为反比例关系．
（一）
“五点法”作图
用“五点法”作函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
φ π φ π φ 3π φ 2π φ
x － － － － －
ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
为 y＝Asinx.
题型 1：“五点法”作图
1-1．（2024 高一上·全国·专题练习）已知函数 y = 3sin
1
x
π
-
è 2 3 ÷
1 π
(1)用“五点法”画出函数 y = 3sin x - ÷ 在一个周期内的图象；
è 2 3
列表：
1 x π-
2 3
x
y = 3sin 1 x
π
-
2 3 ֏
作图：
(2)直接写出函数 y = 3sin
1
x
π
- ÷ 的值域和最小正周期．
è 2 3
π
1-2．（2024 高一下·北京海淀·阶段练习）已知函数 f x = sin 2x + ÷， x R ．
è 4
(1)列表，并在所给坐标系中用五点法作出一个周期内的函数图像．
x
f x
(2)写出 f x 的单调区间，对称轴，对称中心．
π
1-3．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上
è 6
的大致图像.
1-4．（2024 高一下·云南昆明·阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数 y = sin(
1 x π+ )在长度为一个周期的闭
2 6
区间的简图.
列表:
1 x π+
2 6
x
y
作图:
（2）并说明该函数图象可由 y = sin x(x R) 的图象经过怎么变换得到的.
π
1-5．（2024 高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数 f x = sin 2x - 6 ÷è
(1)请用“五点法”画出函数 f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
x π 5π
3 6
2x π- 0 2π6
f x 0
f x é π , π(2) ù求 在区间 ê12 2 ú上的最大值和最小值及相应的 x 值.
（二）
三角函数图象变换
三角函数图象的平移变换
(1)左右平移
已知 φ>0，平移规律为“左加右减”，即：
①若将函数 y＝sinx 的图象沿 x 轴向右平移 φ 个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝
sin(x－φ)．
②若将函数 y＝sinx 的图象沿 x 轴向左平移 φ 个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝
sin(x＋φ)．
(2)上下平移
已知 k>0，平移规律为“上加下减”，即：
①若将函数 y＝sinx的图象沿 y轴向上平移 k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝sinx
＋k.
②若将函数 y＝sinx的图象沿 y轴向下平移 k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝sinx－
k.
(3)横向伸缩
已知 ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数 y＝sinx 图象上各点的横坐标伸长(当
1
0<ω<1 时)或缩短(当 ω>1 时)到原来的 倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 y＝sinωx.
ω
(4)纵向伸缩
已知 A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数 y＝sinx 图象上各点的纵坐标伸长(当 A>1
时)或缩短(当 0
题型 2：三角函数的图象变换
π2-1 ．（2024 高一下·上海嘉定·期中）把函数 y = cos 3x + ÷的图像适当变动就可以得到 y = sin -3x 图像，这
è 4
种变动可以是（ ）
π π π π
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
4 4 12 12
2-2．（2024 高一下·天津红桥·期末）为了得到函数 g x cos 2x f x cos 2x π= 的图象，可以将函数 = + ÷ 的
è 3
图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
f x = 2sin wx +j π2-3．（2024 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
6
函数
y = sin 2x + 3 cos 2x的图象，则 φ 的可能值为（ ）
π π π
A．0 B． C． D．
6 3 12
2-4．（2024 高二下· 1 3广东广州·期末）要得到函数 f x = sin2x + cos2x的图像，只需把函数 g x = cos2x
2 2
的图像（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 6
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
12 12
2-5．（2024 高三上·吉林·期中）已知曲线 C1： y = 2sinx，C2： y = 2sin(2x
π
+ )，则错误的是（ ）
3
1 π
A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动 个单位长度，2 6
得到曲线C2
B．把C
1 5π
1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动 个单位长2 6
度，得到曲线C2
C．把C π
1
1向左平行移动 3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不2
变，得到曲线C2
C π 1D．把 1向左平行移动 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不6 2
变，得到曲线C2
（三）
求三角函数的解析式
求函数 y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法
若设所求解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定 A，ω，
φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
2π
(2)由函数图象与 x 轴的交点确定 T，由 T＝ ，确定 ω.
|ω|
(3)确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω 已知，最好是代入图象与 x 轴的交点)求解(此
时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
φ
②五点对应法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－ ，0 作为突破口．ω )
注：“五点”的 ωx＋φ 的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；
π
“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ；
2
“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；
3π
“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝ ；
2
“第五点”为 ωx＋φ＝2π.
题型 3：求三角函数的解析式
p
3-1．（2024 高一下·江苏徐州·期中）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0,|j |< 的部分图象如图所示．
è 2 ÷
(1)求函数 f (x) 的解析式；
p
(2)将 y = f (x) 图象上所有点先向右平移 个单位长度，再将纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y = g(x) ，求
6
y = g(x) é在 ê0,
p ù
ú上的值域． 2
π
3-2．（2024 高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数 f (x) = Asin(wx +j)
x R, A > 0,w > 0,|j |<
÷ 的部分图象
è 2
如图所示.
(1)求 f (x) 的最小正周期及解析式；
(2)将函数 y = f (x)
π é π ù
的图象向右平移 个单位长度得到函数 y = g(x) 的图象，求函数 g(x)在区间
6 ê
0,
2 ú 上的最
大值和最小值.
π
3-3．（2024 高一下·广东汕头·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j <
÷的部分图象如图所示.
è 2
(1)求 f x ；
(2)将函数 y = f x π é π ù图象向左平移 个单位，得到函数 y = g x 的图象，求 g x 在
12 ê
0, ú 上的值域. 3
π
3-4．（2024 高一下·广东佛山·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，
è 2
为了得到函数 g x = Asin wx 的图象，只需要将 y = f x 的图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
（四）
三角函数图象与性质的综合应用
1、与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ
看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出函数的单调区间．若
ω<0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间．
π
2、与正弦函数 y＝sinx 比较可知，当 ωx＋φ＝2kπ± (k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值
2
π
或最小值，因此函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出，其对称中心
2
kπ－φ
的横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为( ，0)(k∈Z)．同理 y＝Acos(ωx＋φ)ω
π
的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出．
2
题型 4：三角函数图象与性质的综合应用
π
4-1．（2024 高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数 f (x) = 4sin wx + ÷ (w > 0)的部分图象如图所示，矩形
è 4
9π
OABC 的面积为 ．
2
(1)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间．
(2)先将 f (x)
5π
的图象向右平移 24 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
2 倍，纵坐标缩小
1
为原来的 ，最后得到函数 g(x)的图象．若关于 x 的方程[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0在区间[0, p]上仅有 3 个
2
实根，求实数m 的取值范围．
p p
4-2．（2024 高一下·四川南充·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, - < j < ÷的部分图像如图
è 2 2
所示，且D 0, -1 π，VABC 的面积等于 .
2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)将 f x π图像上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，若对于任意的
4
x1, x2 π - m,m ，当 x1 > x2 时， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，求实数m 的最大值.
4-3．（2024 高一下·湖北黄冈·阶段练习）函数 f (x) = sin(wx +j) -1(w > 0,0 < j < π) 的图象两相邻对称轴之间
π π
的距离是 ，若将 f (x) 的图象上每个点先向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得函数 g(x)
2 12
为偶函数．
(1)求 f (x) 的解析式；
x é0, π ù(2)若对任意 ê ú ，[ f (x)]
2 - (2 + m) f (x) + 2 + m 0恒成立，求实数 m 的取值范围；
3
4-4．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函数 f x = 2 3 cos2 x + sin x + cos x 2 -1.
(1)求函数 f x 的最小正周期；
1
(2)将函数 y = f x 的图象向下平移 3个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函
2
y g x x é π , π数 = 的图象，当 ê-
ù
ú 时，若方程 g x - m = 0有两个不等的实根，求实数m 的取值范围. 12 6
π
4-5．（2024 高一下·江西赣州·期末）已如函数 f x = 2cos 2x + ÷ +1．
è 3
π 5π
(1) é ù用“五点法”作出函数 f x 在区间 ê- , 上的图像； 6 6 ú
(2)将函数 f x π的图像向右平移 个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的 2 倍，纵坐标
6
é π π ù
不变，得到函数 g x 的图像，求 g x 在区间 ê- , ú 上的取值范围． 24 6
π
4-6．（2024 高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷在一个周期内的
è 2
π π π
图象经过 A , 2÷，B - ,-2÷，且 f x 的图象关于直线 x =
è 3 è 6 3
对称．
(1)求 f x 的解析式；
x é3π(2)若存在 ê ,
7π ù
ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，求 a 的取值范围． 4 6
一、单选题
1．（2024 高二下·安徽安庆·期中）已知函数 f x 1 sin2x 3= + cos2x，则将函数 f x 的图像向左平移
2 2
j 0
π
< j < ÷个单位后得到函数 g x 的图像， g x 图像关于原点对称，则（ ）
è 2
j π π π 5πA． = B．j = C．j = D．j =
12 6 3 12
2π π π
2．（2024·河南·模拟预测）若函数 f (x) = sin(wx
π
+ )(w é ù> 0) é ù
6 在 ê
0,
3 ú 上恰有两个零点，且在
- ,
ê 12 12ú
上单调
递增，则w 的取值范围是（ ）
11,4ù é11,4ù é11,17 11,17A ． B C
è 4 ú
． ．
ê 4 ú ê
D．
4 4 ÷ è 4 4 ÷
π
3．（2024·四川南充·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx + ÷ (w > 0)的最小正周期为 π，把函数 f x 的图
è 3
π
象向右平移 个单位长度，所得图象对应函数解析式为（
6 ）
A． y = 2sin2x B． y = 2cos2x
C． y = 2sin
2x 2π+ y π ÷ D． = 2sin
2x +
è 3 ÷ è 6
π
4．（2024 高一下·广东湛江·期中）要得到函数 y = cos x - ÷的图象，只要将函数 y = cos x的图象（6 ）è
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
π
5．（2024 高一上·新疆·期末）为了得到函数 y = sin 2x - ÷ 的图象，只要将函数 y = sinx图象上所有点的
è 5
（ ）
1 π
A．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
2 10
1 π
B．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度
2 10
1 π
C．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
2 5
π
D．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
5
f x π= 2sin 2x + 56．（2024 高二上·浙江·开学考试）将函数 ÷的图象向左平移 π个单位长度，得到函数
è 4 6
y = g x 的图象，则函数 g x é π 3π ù在 x ê- ,8 8 ú时的值域为（ ）
A． -2,1 B． -1,2
C． é ù é ù -2, 3 D． - 3,2
7．（2024 高二上·江苏淮安·开学考试）把函数 f x = sin 2x +j 0 < j < p π的图象向左平移 个单位后，得
6
到一个偶函数的图像，则j =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
8．（2024 高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数 f (x) = cos(2x
π
- )的图象，只需要把函数 y = cos x图象
4
（ ）
1 π
A．先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
2 4
1
B π．先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 8 个单位2
π
C．先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
4
D π．先向左平移 8 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
9．（2024 高二上·广西贵港·开学考试）要得到函数 y = cos πx -1 的图象，需将函数 y = cos πx 的图象（ ）
1 1
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
π π
C．向左平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度
π
10．（2024
高三上·湖北武汉·阶段练习）要得到函数 f x = sin 2x + ÷的图象，可以将函数
è 3
g x = sin 2x
p
+ ÷的图象（12 ）è
π
A π．向左平移 个单位 B．向左平移
4 8
个单位
π
C π．向右平移 个单位 D．向右平移 8 个单位4
f x sin wx π w 0 é 5π ù 5π , 5π ù11．（2024 高三上·山东·开学考试）已知函数 = - ÷ > 在 ê0, 12 ú上单调递增，在 上è 3 è 12 6 ú
π
单调递减，将函数 f x 的图象向左平移j 0 < j < ÷个单位长度，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 为偶
è 2
函数，则j =（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
12．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = 2sin wx +j +1 π（w >1，j ），其图像与直线 y = -1
2
π f x 1 x π , π 相邻两个交点的距离为 ，若 > 对于任意的 - ÷恒成立，则j 的取值范围是（ ）
è 12 3
é π , π ù é π , π ù é π , π ù π π ùA．
ê
B C D ,
12 3 ú ． ê12 2 ú
．
ê
．
6 3 ú è 6 2 ú
π π
13．（2024 高三上·河南·阶段练习）将函数 f x = cos wx + ÷ (w > 0)的图象向左平移 个单位长度后得到
è 4 3
函数 y = sinwx的图象，则正实数w 的最小值为（ ）
21 15 9
A． 4 B． C． D．24 4
14．（2024 高二·湖北·学业考试）已知函数 f x = sin x +j π j < ÷的部分图象如图所示，为了得到函数
è 2
y = sinx的图象，只要把 y = f x 的图象上所有的点（ ）
π π
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
6 6
π π
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
3 3
π
15．（2024 高二上·四川成都·开学考试）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分图象如图è
π
所示，若将函数 f x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，则（
6 ）
A． g(x) sin 2x
π
= + ÷ B． g(x) = sin
π
2x +
3 ÷è è 6
C． g(x) = sin 2x D． g(x) = sin
2x π- ÷
è 6
π
16．（2024 高三上·河南焦作·开学考试）已知函数 f x = cos 3x - ÷，若将 y = f x 的图象向左平移
è 10
m m > 0 个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则 m 的最小值为（ ）
π π 3π 8π
A． B． C． D．
10 5 10 15
二、多选题
17 2024 · ·
π ,0 f x sin wx π ．（ 高三上 江苏南通 开学考试）已知 ÷是函数 = + ÷ 0 < w < 3 3 的一个对称中心，è è 3
则（ ）
A．w = 2
x πB． = 是函数 f x 的一条对称轴
6
f x πC．将函数 的图像向右平移 单位长度后得到的图像关于原点对称
6
D．函数 f x é π在区间 ê- ,0
ù 3
上的最小值是
2 ú
-
2
18．（2024 高一下·广东佛山·期中）已知函数 f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x，则（ ）
A． f x 的最小正周期为 π πB． - , 3
12 ÷是曲线
f x 的一个对称中心
è
C． x
π
= - 是曲线 f x π 5π 的一条对称轴 D． f x 在区间 ,
12 è 6 12 ÷
上单调递增
π
19．（2024 高一下·辽宁铁岭·期中）如图所示的曲线为函数 f x = Acos wx -j （ A > 0 ，w > 0， j < ）
2
3 π
的部分图象，将 y = f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 8 个单位长度，2
得到函数 y = g x 的图象，则（ ）
g x é5π ,13π ù 3πA ．函数 在 ê 上单调递减 B．点 ,0 为 g x 图象的一个对称中心 24 24 ÷ ú è 8
x πC．直线 = 为 g x é3π图象的一条对称轴 D．函数 g x 在 ê , π
ù
4 ú 上单调递增4
f x 2sin wx j w 0, j π20．（2024 高一下·安徽马鞍山·期末）已知函数 = + > < ÷的部分图象，则（ ）
è 2
A．w = 2
j πB． =
3
π
C．点 ,0÷是 f x 图象的一个对称中心
è 6
f x 5πD． 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为偶函数
12
21．（2024 高二上·山西·阶段练习）要得到函数 f x = sin 2x π+ ÷的图象，可以将函数 g x = cos
π + 2x
è 6 6 ÷ è
的图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
4 4
3π 3π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 4
π
22．（2024 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 f x = sin x +j (0 < j < 2π), g x = sin wx + 3 ÷ w > 0 ,è
1 π
若把 f x 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的 倍后，再将图象向右平移 个单位，可以得到 g x ，则
2 6
下列说法正确的是（ ）
j 2A． = π
3
B． g x 的周期为 π
C． g x 7π 7π 的一个单调递增区间为 ,
è 12 6 ÷
D． g x 1= 在区间 a,b 上有 5 个不同的解，则b - a的取值范围为 (2π,3π]
2
23．（2024 高一下·云南昆明·期中）若函数 f x = Asin 1 wx +j
÷ A > 0,w > 0,0 < j
π
<
2 2 ÷
在一个周期内的图
è è
象如图所示，则正确的结论是（ ）
A． f x = 2sin 1 x π+ 3 3 ÷è
f x 7π- ,0 B． 的图象的一个对称中心为 2 ÷è
C． f x é 5π π ù的单调递增区间是 ê3kπ - ,3kπ + ， k Z 4 4 ú
D．把 g x = 2sin x
π
+ 2的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得 f x 的图象
è 3 ÷ 3
24．（2024 高一下·新疆伊犁·期末）函数 f (x) = Asin wx +j A > 0,w > 0, j
π
< ÷的部分图象如图所示，下
è 2
列结论中正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 2π
x 4πB．直线 = - 是函数 f (x) 图象的一条对称轴
3
C．函数 f (x)
é 5π π
的单调递增区间为 ê- + kπ, + kπ
ù
12 12 ú
, k Z
π π
D．将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位得到函数 g(x) = sin
12
2x +
6 ÷
的图象
è
π π
25．（2024 高一下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，- < j < ）的部
2 2
分图象如图所示，则（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
x é πB - ,
π ù é ù
．当 ê ú 时， f x
3 3
的值域为
4 4 ê
- , ú
2 2
π
C ．为 f x +
÷是偶函数
è 6
5π
D．将 f x 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 , 06 ÷对è
称
三、填空题
26．（2024 高一下·北京·阶段练习）设函数 f x = Asin wx +j （A，w ，j 是常数，A > 0 ，w > 0）.若 f x
é p , pù f π f 5π f π在区间 ê 上具有单调性，且 = = -
，则 f x 的最小正周期是 ．
12 4 ú 4 ÷ ÷ è è 12 è12 ÷
27．（2024 高一下·江西宜春·期中）函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < 2π) 一个周期的图象如图所
示，则函数 f x 的解析式为 .
π
28．（2024 高二上·湖南湘西·
阶段练习）为了得到函数 y = sin x + ÷的图象，只需把函数 y = cos x的图象向
è 3
（填“左、右”）平移 个单位长度．
π
29．（2024 高二下·福建福州·期末）为了得到函数 f x = sin 2x - 的图象，只需将函数 g x = cos2x 的图
è 4 ÷
象向右平移 个单位长度．
π
30．（2024 高三·
全国·专题练习）将函数 y = cos 2x + ÷的图像向左平移j 个单位长度后，得到的函数图像
è 3
关于 y 轴对称，则 j 的最小值为 .
四、解答题
π
31．（2024 高一下·山东聊城·期中）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j) -1 0 < w < 3,0 < j < ÷ ，满足______．
è 2
(1)求 f (x) 的解析式，并写出 f (x) 的单调递减区间；
π 1
(2)把 y = f (x) 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 y = g(x) 的图象，若 g(x)在区间
6 2
é π ù 3
ê- ,mú 上的最大值为 ，求实数m 的最小值． 3 2
π
在①函数 f (x) 的一个零点为 0；②函数 f (x) 图象上相邻两条对称轴的距离为 ；
2
2π③ 函数 f x 图象的一个最低点的坐标为 ,-2÷，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问
è 3
题的解答．
π
32．（2024
高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +f , A > 0,w > 0, f < ÷的图像上相邻两
è 2
π
条对称轴的距离是 ， f x 的最大值与最小值之差为 1，且 f x 3π的图像的一个对称中心是 ,0
÷．4 è 16
(1)求函数 f x 的解析式；
é π ù
(2)若方程 f x = m在区间 ê0, ú 上有解，求实数 m 的取值范围． 4
33．（2024 高一上·甘肃酒泉·期末）函数 f x = Asin 2wx +j A > 0,w > 0，j
π
<
2 ÷的部分图象如图所示
.
è
(1)求 A，w ，j 的值；
π
(2)将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，若a 0, π ，且 g a = 2 ，求a 的
6
值.
34．（2024 高一上·福建宁德·期末）如图，函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的图象经过
P 0, 2
π 3π
÷÷，M - ,0÷， N ,02 ÷
三点.
è è 4 è 4
(1)求函数 f x 的解析式；
f x 1 1(2)将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标缩短到原来的 ，得到 g x 图象.若
2 2
h x = f 2 x
π
- ÷ + g x ，求函数 h x 的单调增区间.
è 8
π
35．（2024 高一下·四川南充· 阶段练习）已知函数 f (x) = 2sin(wx + j) w > 0,|j |< 2 ÷的两个相邻零点之间的距离è
π π
为 ，且（在下面两个条件中任选择其中一个，完成下面两个问题）.条件①： f (x) 的关于 x = 对称；条
2 6
π
件②：函数 f x - 12 ÷ 为奇函数.è
(1)求 f (x) 的解析式；
f (x) π(2)将 的图象向右平移 个单位，然后再将横坐标伸长到原来 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g(x)的图
4
ép ù
象，若当 x ê , mú 时， g(x)的值域为[-1,2]，求实数m 的取值范围. 6
1
36．（2024 高一下·上海长宁·期末）已知函数 f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx - （其中常数w > 0）的最小
2
正周期为 π．
(1)求函数 y = f (x) 的表达式；
(2)作出函数 y = f (x) ， x [0, π]的大致图象，并指出其单调递减区间；
(3)将 y = f (x) 的图象向左平移j(0 < j < π) 个单位长度得到函数 y = g(x) 的图象，若实数 x1, x2 满足
f x1 g x2 = -1
π
，且 x1 - x2 的最小值是 ，求j 的值．6
π
37．（2024 高一上·江苏淮安·期末）已知函数 f (x) = 2 cos(wx +j)(w > 0, j )的部分图象如图所示．
2
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2) 1将函数 f (x) 的图象向左平移 4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到
函数 g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x) + a = 0在区间[0,1]上有两个不同的实数解，求实数 a 的取值范围．
38．（2024 高一下·宁夏吴忠·阶段练习）函数 f x = Asin wx +j （A ，w ，j 为常数，且 A > 0 ，w > 0，
j π< ）的部分图象如图所示．
2
(1)求函数 f x 的解析式及图中 b 的值；
f x π(2)将 的图象向左平移 个单位后得到函数 y = g x 的图象，求 g x é π ù在
6 ê
0, 上的单调减区间.
2 ú
π
39．（2024 高一下·湖北武汉·期中）已知函数 f x = 3 sin wx +j w > 0, j < ÷的部分图像，如图所示．
è 2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)将函数 f x π 1的图像向右平移 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不
3 2
变，得到函数 g x 的图像，当 x é π ùê0, ú 时，求函数 g x 3 的值域．
p
40．（2024 高一上·江西赣州·期末）设函数 f x = 2cos 2x - ÷ x R .
è 3
ép 7p ù
（1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数 f x 在区间 ê , ú 上的简图(请先列表，再描点 6 6
连线)；
f q 1= sin q p 2cos q 5p （2）若 ÷ ，求 + ÷ + + 的值.
è 2 3 6 ÷è è 3
41．（2024 高一·全国·课堂例题）已知函数 f (x) = 2sinwx coswx + 2 3 sin2 wx - 3(w > 0) 的最小正周期为π.
(1)求w 的值及函数 f (x) 的单调递减区间；
π
(2)将函数 f (x) 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 y = g(x) 的图象.若
6
y = g(x) 在[0,b](b > 0)上至少含有 10 个零点，求b 的最小值.
42．（2024 高一上·江苏盐城·期末）已知函数 f x = Asin wx +j π，A > 0 ，w > 0，j < 的图象如图所示．
2
(1)求 f x 的解析式；
π
(2)设 g x = f x + 2÷ -1若关于 x 的不等式 g x + 2m + 3 g x - m -10 0恒成立，求m 的取值范围．
è 12
43．（2024 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j) -1
0 < w < 3,0
π
< j < ÷ ，满足______．
è 2
在：①函数 f (x)
π
的一个零点为 0；②函数 f (x) 图象上相邻两条对称轴的距离为 ；③函数 f x 图象的一
2
2π
个最低点的坐标为 ,-3÷，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
è 3
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)把 y = f (x)
π
的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y = g(x) 的图象，若 g(x)在区间
6
é π
ê- ,m
ù
ú 上的最大值为 2，求实数m 的最小值． 3
44．（2024 高一下·四川绵阳·期末）已知函数 f x = sinxsin x π+ 3 6 ÷ - .è 4
(1)当 x 0, π 时，求函数 f x 的单调递增区间；
π
(2)将函数 f x 的图象先向左平移 个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的 2 倍纵坐标不变，得到函数
6
y = g x g q 1 ,cos a q 11的图象.若 = + = - ，且q 为锐角，a +q 0,π ，求 cosa 的值.
3 14
45．（2024 高一下·新疆·期中）已知函数 f x π= Asin wx +j + B A > 0, B > 0,w > 0, j < 2 ÷在一个周期内的è
图象如图所示.
(1)求函数 f x 的表达式；
2
(2)把 y = f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单位，
3
π π π
再向左平移 个单位，得到函数 y = g x 的图象，若 g a =1且- < a < ，求角a 的值.
36 3 3
46．（2024 高一下·江西萍乡·期中）函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j π< ÷的部分图象如图所示．
è 2
(1)求函数 f x 的解析式；
π 1
(2)将函数 f x 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到函
4 2
数 g x é π ù的图象，若关于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê0, ú 上有两个不等实根 x1, x2 ，求实数m 的取值范围， 4
并求 g x1 + x2 的值．
1
47．（2024 高一下·江西·期末）已知函数 f x = sin2x + sin2x .
2
(1)求 f x 的最大值及相应 x 的取值；
π
(2)若把 f x 的图象向左平移 个单位长度得到 g x 的图象，求 g x 在 0, π 上的单调递增区间.
3
48．（2024 高三上·宁夏·阶段练习）已知函数 f (x) = 2 3sin x cos x + 2sin2 x ．
(1)若 f x = 0, x π - ,0
÷ ，求 x 的值；
è 2
π é π 2π ù
(2)将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在 ê , ú 上的值域．3 12 3
π
49．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 f (x) = sin(2x - )．
6
(1)请用“五点法”画出函数 f (x) 在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
x
2x π-
6
f (x)
(2)求 f (-x
π
+ )的单调递增区间．
6
π
50．（2024 高一下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 f (x) = 2 sin 2x - 4 ÷
.
è
(1)利用“五点法”，完成如下表格，并画出函数 f (x) 在一个周期上的图象；
2x π- _____ _____ _____ _____ _____
4
x _____ _____ _____ _____ _____
f (x) _____ _____ _____ _____ _____
p
(2) < a < p f (a ) 2若 且 = ，求 cos 2a 的值.2 3
51．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 2sin π 2x - ÷， x R ．在用“五点法”作函数 f x 的图象
è 4
时，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 y = f x 在区间 0, π 上的图象；
4 x π
52．（2024 高一下·北京·开学考试）已知函数 y = sin
5
+ ÷ .
è 2 6
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
x
1 x π+
2 6
sin x π +
2 6 ֏
y
作图：
4 x π
(2)从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数 y = sin + 的图象？（两种方法）
5 è 2 6 ÷ 5.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)4 题型分类
一、参数 φ，ω，A 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ 对函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响
(2)ω(ω＞0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
(3)A(A＞0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
二、由函数 y＝sinx 的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸
缩”与“先伸缩后平移”．
(1)先平移后伸缩
y sinx 向左 φ＞0 或 向右 φ＜0 ＝ 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(x＋φ)的图象
平移|φ|个 单位长度
横坐标变为原来的倍
― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(ωx＋φ)的图象
纵坐标 不变
纵坐标变为原来的 A 倍
― ― ― ― ― ― ― ― y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
横坐标 ― ― ― ― ― ― →不变
(2)先伸缩后平移
y sinx 横坐标变为原来的倍＝ 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sinωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移
纵坐标 不变
|φ |个单位长度 y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标变为原来的 A 倍的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝Asin(ωx＋φ)的图ω 横坐标不变
象．
三、函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域 (－∞，＋∞)
值域 [－A，A]
2π
周期 T＝
ω
当 φ＝kπ，k∈Z 时为奇函数
π
当 φ＝kπ＋ ，k∈Z 时为偶函数
奇偶性 2
kπ
当 φ≠ ，k∈Z 时为非奇非偶函数
2
kπ π φ
直线 x＝ ＋ － ，k∈Z
图象的 ω 2ω ω
对称轴 π
求法：令 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 可求
2
kπ φ
图象的对 对称中心：（ － ，0），k∈Z
ω ω
称中心
求法：令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 可求
π π
单调性 求法：令－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求单调递增区间
2 2
π 3π
求法：令 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求单调递减区间
2 2
注意隐含条件：
1
(1)两条相邻对称轴之间间隔为 个周期；
2
(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．
对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A 越大，函数的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系．
(2)ω 越大，函数的周期越小，ω 越小，周期越大，周期与 ω 为反比例关系．
（一）
“五点法”作图
用“五点法”作函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
φ π φ π φ 3π φ 2π φ
x － － － － －
ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
为 y＝Asinx.
题型 1：“五点法”作图
1-1．（2024 高一上·全国·专题练习）已知函数 y = 3sin
1
x
π
-
è 2 3 ÷
1 π
(1)用“五点法”画出函数 y = 3sin x - ÷ 在一个周期内的图象；
è 2 3
列表：
1 x π-
2 3
x
y = 3sin 1 x π- 2 3 ÷è
作图：
(2)直接写出函数 y = 3sin
1
x
π
- ÷ 的值域和最小正周期．
è 2 3
【答案】(1)答案见解析；
(2)值域 -3,3 ，最小正周期为 4π .
【分析】（1）由正弦型函数解析式，列出一个周期内五个点，在坐标系中描点用平滑的曲线画出函数图象
即可；
（2）由正弦型函数性质求值域，应用最小正周期的求法求最小正周期．
【详解】（1）列表:
x 2π 5π 8π 11π 14π
3 3 3 3 3
1 x π π 3π- 0 π 2π
2 3 2 2
y 0 3 0 -3 0
图象如图所示：
1 sin 1 x π 1 y 3sin 1 x π （2）因为- - ÷ ，则 = - -3,3 ，
è 2 3 è 2 3 ÷
T 2π= = 4π
故函数的值域为 -3,3 ，最小正周期为 1 .
2
π
1-2．（2024 高一下·北京海淀·阶段练习）已知函数 f x = sin 2x + ÷， x R ．
è 4
(1)列表，并在所给坐标系中用五点法作出一个周期内的函数图像．
x
f x
(2)写出 f x 的单调区间，对称轴，对称中心．
【答案】(1)答案见解析
é 3π(2)单调递增区间为： êkπ - , kπ
π
+ ù éú ， k Z，单调递减区间为： êkπ
π 5π
+ ,kπ + ù
8 8 8 8 ú
， k Z，对称轴为
x 1 kπ π
1 π
= + ， k Z，对称中心为 kπ - ,0÷， k Z2 8 è 2 8
【分析】（1）根据五点法列表、描点、连线作出函数图象；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）列表：
x π- π 3π 5π 7π
8 8 8 8 8
2x π π 3π+ 0 π 2π
4 2 2
f x 0 1 0 -1 0
描点、连线如图所示：
π
（2）令 2kπ - 2x
π 2kπ π 3π π+ + ， k Z，解得 kπ - x kπ + ， k Z，
2 4 2 8 8
从而可求得 f x é 3π的单调递增区间为： êkπ - , kπ
π
+ ùú ， k Z， 8 8
2kπ π π 3π π 5π令 + 2x + 2kπ + ， k Z，解得 kπ + x kπ + ， k Z，
2 4 2 8 8
é π 5π ù
从而可求得 f x 的单调递减区间为： êkπ + ,kπ + k Z 8 8 ú， ，
由 2x
π π 1 π
+ = kπ + ， k Z，解得 x = kπ + ， k Z，
4 2 2 8
1 π
可得 f x 的对称轴方程为 x = kπ + ， k Z，
2 8
π 1 π
令 2x + = kπ ， k Z，解得： x = kπ - ， k Z，
4 2 8
则函数 y sin
2x π= + 1 π ÷的图象的对称中心的坐标是 kπ - ,0
÷， k Z．
è 4 è 2 8
π
1-3．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上
è 6
的大致图像.
【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出 f x 的图象.
【详解】列表：
x π 5π 2π 11π0 π
6 12 3 12
2x π π π π 3π 2π 13π+
6 6 2 2 6
y 1 2 0 -2 0 1
描点，连线，画出 f x 在 0, π 上的大致图像如图：
1 π
1-4．（2024 高一下·云南昆明·阶段练习）（1）利用“五点法”画出函数 y = sin( x + )在长度为一个周期的闭
2 6
区间的简图.
列表:
1 x π+
2 6
x
y
作图:
（2）并说明该函数图象可由 y = sin x(x R) 的图象经过怎么变换得到的.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用“五点法”作图，先列表确定五点的坐标，后描点并画图；
（2）依据三角函数图象的变换规律求解.
【详解】（1）先列表，后描点并画图.
1 x π π π 3π+ 0 2π
2 6 2 2
π 2π 5π 11π
x -
8π
3 3 3 3 3
y 0 1 0 -1 0
（2）把 y = sin x(x
π
R) π 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y = sin x + ÷的图象，再把所得图象的6 è 6
1 π
点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = sin( x + )的图象.
2 6
π
1-5．（2024 高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数 f x = sin 2x - ÷
è 6
(1)请用“五点法”画出函数 f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
x π 5π
3 6
2x π- 2π
6 0
f x 0
f x é π , π(2) ù求 在区间 ê12 2 ú上的最大值和最小值及相应的 x 值.
【答案】(1)答案见解析；
π
(2) x = 时， f x 取最小值 0； x π= 3 时， f x 取最大值 1.12
π π 3π
【分析】（1）根据五点作图法，分别令 2x - = 0, , π, , 2π 即可；
6 2 2
（2
π
）求出 2x - 6 的范围，根据正弦函数的图像性质即可求其最大值，最小值.
π π 3π
【详解】（1）分别令 2x - = 0, , π, , 2π ，可得：
6 2 2
π π 7π 5π 13π
x
12 3 12 6 12
π π 3π2x - 0 π 2π6 2 2
f x 0 1 0 -1 0
画出函数 f x 在一个周期的图像如图所示：
（2）因为 x
π π π 5π
é ù é ùê , 12 2 ú
，所以 2x - 0,6 ê 6 ú
，
所以当 2x
π 0 x π- = ，即 = 时， f x 取最小值 0；
6 12
当 2x
π π
- = π，即 x = 3 时，
f x 取最大值 1.
6 2
（二）
三角函数图象变换
三角函数图象的平移变换
(1)左右平移
已知 φ>0，平移规律为“左加右减”，即：
①若将函数 y＝sinx 的图象沿 x 轴向右平移 φ 个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝
sin(x－φ)．
②若将函数 y＝sinx 的图象沿 x 轴向左平移 φ 个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝
sin(x＋φ)．
(2)上下平移
已知 k>0，平移规律为“上加下减”，即：
①若将函数 y＝sinx的图象沿 y轴向上平移 k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝sinx＋
k.
②若将函数 y＝sinx的图象沿 y轴向下平移 k个单位长度，则得到的函数图象的解析式为 y＝sinx－
k.
(3)横向伸缩
已知 ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数 y＝sinx 图象上各点的横坐标伸长(当
1
0<ω<1 时)或缩短(当 ω>1 时)到原来的 倍(纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 y＝sinωx.
ω
(4)纵向伸缩
已知 A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数 y＝sinx 图象上各点的纵坐标伸长(当 A>1
时)或缩短(当 0题型 2：三角函数的图象变换
π
2-1．（2024 高一下·上海嘉定· 期中）把函数 y = cos 3x + ÷的图像适当变动就可以得到 y = sin -3x 图像，这
è 4
种变动可以是（ ）
π π π π
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
4 4 12 12
【答案】D
π
【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将 y = sin(-3x)变成 y = cos
3x +
÷ ，再提取系数 3，由平移的规
è 2
则研究即可.
【详解】Q y = sin(-3x) = cos
3x
π π π π+ ÷ = cos3
2
x +
6 ÷
， y = cos 3x + ÷ = cos3 x + ÷，
è è è 4 è 12
\ πy = cos 3x + π函数 ÷的图象向左平移 可以得到 y = sin(-3x)的图象.
è 4 12
故选：D
2024 · · g x = cos 2x f x = cos π 2-2．（ 高一下 天津红桥 期末）为了得到函数 的图象，可以将函数 2x + 的
è 3 ÷
图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
【答案】D
【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.
π
【详解】对于 A， f x + ÷ = cos
é2 x π+ π ùê ÷ + ú = cos 2x + π = -cos 2x g x ，A 错误；è 3 è 3 3
π é π π ù π
对于 B， f x - 3 ÷
= cos ê2 x - 3 ÷
+
è è 3 ú
= cos 2x - ÷ g x ，B 错误；
è 3
π é π π ù 2π
对于 C， f x + ÷ = cos ê2 x + ÷ + ú = cos 2x + ÷ g x ，C 错误；è 6 è 6 3 è 3
π
对于 D， f x - ÷ = cos
é2 x π π ù -
÷ + = cos 2x = g x ，D 正确.
è 6 ê è 6 3 ú
故选：D.
π
2-3．（2024 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数 f x = 2sin wx +j 的图象向左平移 个单位长度后得到
6
函数
y = sin 2x + 3 cos 2x的图象，则 φ 的可能值为（ ）
π π π
A．0 B． C． D．
6 3 12
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
【详解】 y = sin 2x 3 cos 2x 2sin
2x π+ = +
3 ÷
，
è
函数 f x = 2sin wx +j π的图象向左平移 个单位长度后得到函数的图象解析式为：
6
f x π + = 2sin
wx πw+ +j ，
è 6 ÷ ÷ è 6
ìw = 2
所以有 í πw π j = 2kπ k Z ，
+j = 2kπ + k Z 6 3
显然只有选项 A 符合，
故选：A
2-4 2024 · · f x 1 sin2x 3．（ 高二下 广东广州 期末）要得到函数 = + cos2x的图像，只需把函数 g x = cos2x
2 2
的图像（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 6
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
12 12
【答案】D
【分析】根据题意，由辅助角公式可得 f x = cos 2 π x -
，然后结合三角函数的平移变换，即可得到结
è 12 ÷
果.
1 3 π π
【详解】因为 f x = sin2x + cos2x = cos 2x -2 2 6 ÷ = cos 2 x - ÷，è è 12
即只需要把函数 g x = cos 2x π的图像向右平移 个单位长度即可.
12
故选：D
π
2-5．（2024 高三上·吉林·期中）已知曲线 C1： y = 2sinx，C2： y = 2sin(2x + )，则错误的是（ ）3
1 π
A．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动 个单位长度，2 6
得到曲线C2
C 1 5πB．把 1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动 个单位长2 6
度，得到曲线C2
π 1C．把C1向左平行移动 3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不2
变，得到曲线C2
C π 1D．把 1向左平行移动 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不6 2
变，得到曲线C2
【答案】D
【分析】利用函数 y = Asin wx+j 的图象变换规律对各个选项进行检验即可.
C 1 π【详解】对于 A. 1上各点横坐标缩短到原来的 倍，得到 y = 2sin2x，再向左平移 个单位长度，得到2 6
y = 2sin2 x+ π =2sin 2x+ π ÷ ÷ ，正确；
è 6 è 3
1 5π
对于 B. C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到 y = 2sin2x，再向右平移 个单位长度，得到2 6
y = 2sin 2 x 5p- ÷ =2sin
2x
5π
- ÷ =2sin
2x
5π
- +2π ÷ = 2sin
2x
π
+ ÷，正确；
è 6 è 3 è 3 è 3
π 1
对于 C. C π 1向左平移 3 个单位长度，得到 y = 2sin x+ ÷ ，再把各点横坐标缩短到原来的 倍，得到è 3 2
y = 2sin 2x+
π
3 ÷
，正确；
è
π π 1
对于 D. C 1向左平移 个单位长度，得到 y = 2sin x+ ÷ ，再把各点横坐标缩短到原来的 倍，得到6 è 6 2
y = 2sin 2x+
π
÷，错误.
è 6
故选：D
（三）
求三角函数的解析式
求函数 y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法
若设所求解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定 A，ω，
φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
2π
(2)由函数图象与 x 轴的交点确定 T，由 T＝ ，确定 ω.
|ω|
(3)确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的值的两种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω 已知，最好是代入图象与 x 轴的交点)求解(此
时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
φ
②五点对应法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－ ，0)作为突破口．ω
注：“五点”的 ωx＋φ 的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；
π
“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ；
2
“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；
3π
“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝ ；
2
“第五点”为 ωx＋φ＝2π.
题型 3：求三角函数的解析式
3-1．（2024 高一下·江苏徐州·期中）已知函数 f (x) = Asin(wx +j)
A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷ 的部分图象如图所示．
è 2
(1)求函数 f (x) 的解析式；
p
(2)将 y = f (x) 图象上所有点先向右平移 个单位长度，再将纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y = g(x) ，求
6
y p= g(x) é0, ù在 ê ú上的值域． 2
【答案】(1) f (x) = sin
2x
p
+
è 6 ÷
(2)[-1,2]
【分析】（1）由函数图像最大值得A ，利用周期算w ，代图像上的点计算j ，得函数 f (x) 的解析式；
（2）由函数图像的变换求 g(x)的解析式，由函数定义区间，利用解析式和正弦函数的性质求值域.
2π π T 1 2π
【详解】（1）由图形可得 A =1， - = = × ，解得w = 2，
3 6 2 2 w
∵ y = f (x)
π
过点 ,1
÷，∴ sin
2
π
+j ÷ =1
π π
，即 +j = + 2kπ(k Z) ，
è 6 è 6 3 2
p π
∴j π= + 2kπ(k Z)．又∵ |j |<6 ，∴j = ．2 6
∴ f (x) = sin 2x
π
+ ÷．
è 6
π
（2）解：由（1）知 f (x) = sin 2x + 6 ÷
，
è
将 y = f (x)
π
图像上所有点向右平移 个单位长度，再将纵坐标变为原来的 2 倍，
6
g(x) 2sin 2 x π π 2sin 2x π得到 = - ÷ + ÷ = -
÷ ，
è è 6 6 è 6
x é0, π ù π é π 5π ù∵
π é 1 ù
ê 2 ú
，∴ 2x - - , ，∴ sin 2x - - ,1
6 ê 6 6 ú 6 ÷ è ê 2 ú
∴ g(x) [-1,2]
所以 g(x)的值域为[-1,2]
π
3-2．（2024 高一下·辽宁铁岭·
阶段练习）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) x R, A > 0,w > 0,|j |< ÷ 的部分图象
è 2
如图所示.
(1)求 f (x) 的最小正周期及解析式；
(2)将函数 y = f (x)
π é π ù
的图象向右平移 个单位长度得到函数 y = g(x) 的图象，求函数 g(x)在区间 ê0,6 2 ú
上的最
大值和最小值.
π
【答案】(1)T = π ， f x = sin 2x + ÷
è 6
1, 1(2) - .
2
T
【分析】（1）由图象可知 A =1，相邻的对称中心和对称轴距离相差 ，再代入关键点可得解析式；
4
é π ù
（2）根据图象的变换得到 y = g(x) 解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上 ê0, 最值. 2 ú
【详解】（1）由图象可知 y = f (x) 的最大值为 1，最小值-1，故 A =1；
T 2π 5π π 2π
又 = - = = ∴w = 2，
4 3 12 4 4w
2π ,-1 将点 ÷代入 y = f (x) ， f (
2π) = sin 4π +j ÷ = -1
è 3 3 è 3
4π j 3π π∴ + = + 2kπ,j= + 2kπ，
3 2 6
π π
∵ j < ∴j =2 6
π
故答案为：T = π ， f x = sin 2x + ÷ .
è 6
π é π π ù π
（2）由 y = f (x) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x) = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x -6 6 6 ÷ è è 6
é
∵ x ê0,
π ù
2 ú
2x π π 5π∴ -
é
ê- ,
ù
6 6 6 ú
π 1
∴当 2x
π π
- = - 时，即 x = 0， sin 2x -
÷ = -6 6 è 6
；
min 2
2x π π当 - = π时，即 x = ， sin
2x π-
6 2 3 ÷
=1.
è 6 max
π
3-3．（2024 高一下·广东汕头·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示.
è 2
(1)求 f x ；
(2)将函数 y
π
= f x π é ù图象向左平移 个单位，得到函数 y = g x 的图象，求 g x 在
12 ê
0, ú 上的值域. 3
π
【答案】(1) f x = 2sin 2x +
è 3 ÷
(2) -1,2
【分析】（1）根据 f x 的图象，依次求得 A,w,j 的值，从而求得 f x .
π
（2
é ù
）根据三角图象变换的知识求得 g x ，根据三角函数值域的求法求得 g x 在 ê0, ú 上的值域. 3
【详解】（1）由最大值可确定 A = 2，
T 7π π π 2π
因为 = - = ，所以w = = 2，
2 12 12 2 T
π
此时 f x = 2sin 2x +j ，函数 f x 图象过点 , 212 ÷ ，è
π
可得： sin +φ÷ =1
π π
，从而 +j = + 2kπ k Z ，
è6 ÷ 6 2
j π j π结合 < ，可得 = ，
2 3
所以 f x = 2sin 2x π+ ÷ .
è 3
（2）由题意， g x f x π= + ÷ = 2sin
é
ê2
π π ù
x + ÷ + ú = 2sin
2x
π
+
12 12 3 2 ÷
= 2cos2x，
è è è
当 x
π 2π
é0, ù é ùê 时， 2x 0, ，则有 cos 2x
1
é- ,1ù，
3ú ê 3 ú ê 2 ú
g x é0, π ù所以 在区间 ê ú 上的值域为 -1,2 . 3
π
3-4．（2024 高一下·广东佛山·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，
è 2
为了得到函数 g x = Asin wx 的图象，只需要将 y = f x 的图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出w 与j 以及A 的值，进而确定 f x 的解析式， 再结合三角函数的平移规律
进行解答即可.
1 π π π 2π
【详解】由图像知， A = 2， T = - = ，\T = π，即w = = 2，
4 3 12 4 T
由图可知， 2sin
π
2 +j
÷ = 2 ，
è 12
π π
\ +j = + 2kπ k Z ，
6 2
j π π\ = + 2kπ k Z ，又 j < ，
3 2
\j π= ，
3
\ f x = 2sin 2x
π
+ ÷ = 2sin
é2 x π ù+
3 ê 6 ÷
，
è ú è
\ f x π向右平移 可得函数 g x = Asin wx .6
故选：D.
（四）
三角函数图象与性质的综合应用
1、与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ
看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出函数的单调区间．若
ω<0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间．
π
2、与正弦函数 y＝sinx 比较可知，当 ωx＋φ＝2kπ± (k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值
2
π
或最小值，因此函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出，其对称中心
2
kπ－φ
的横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为( ，0)(k∈Z)．同理 y＝Acos(ωx＋φ)ω
π
的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出．
2
题型 4：三角函数图象与性质的综合应用
f (x) 4sin wx π 4-1．（2024 高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数 = + ÷ (w > 0)的部分图象如图所示，矩形
è 4
9π
OABC 的面积为 ．
2
(1)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间．
(2)先将 f (x)
5π
的图象向右平移 24 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
2 倍，纵坐标缩小
1
为原来的 ，最后得到函数 g(x)的图象．若关于 x 的方程[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0在区间[0, p]上仅有 3 个
2
实根，求实数m 的取值范围．
é 3π π ù
【答案】(1)T = π ， êkπ - , kπ + ú ， k Z ． 8 8
(2)[1,2)．
【分析】
（1）根据矩形的面积公式，结合正弦型最小正周期公式和正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，结合因式分解法、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由 f (x) 的解析式可知 | OC |= 4，
矩形OABC 的面积为 | OC |
9π
× | OA |= ，所以 | OA |
9π
= ．
2 8
9π π 5π π
根据点 B 在 f (x) 的图象上的位置知w + = ，得w = 2．所以 f (x) = 4sin 2x + ．
8 4 2 4 ֏
f (x) 2π 2π的最小正周期为T = = = π2 ．w
2kπ π 2x π 2kπ π kπ 3π π令 - + + ， k Z ，得 - x kπ + ， k Z ，
2 4 2 8 8
é 3π
所以 f (x) 的单调递增区间为 êkπ - , kπ
π
+ ùú ， k Z ． 8 8
5π
（2）将 f (x) 的图象向右平移 24 个单位长度，
5π
所得曲线对应的函数为 y = f (x - ) = 4sin
2x π- ÷，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，24 è 6
1 π π
纵坐标缩小为原来的 ，所得曲线对应的函数为 y = 2sin x - ÷，即 g(x) = 2sin x - ．2 ÷è 6 è 6
由[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0得[g(x) +1][g(x) - m] = 0，即 g(x) = -1或 g(x) = m．
作出 g(x)在[0, p]上的大致图象如图所示：
易知方程 g(x) = -1在[0, p]上仅有一个实根．
要使原方程在[0, p]上仅有 3 个实根，则须方程 g(x) = m在[0, p]上有 2 个实根，
即直线 y = m与曲线 y = g(x) 在[0, p]上有 2 个公共点，结合图象可知须1 m < 2．即m 的取值范围是[1,2)．
p p
4-2．（2024 高一下·四川南充·期中）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, - < j < ÷的部分图像如图
è 2 2
所示，且D 0, -1 π，VABC 的面积等于 .
2
(1)求函数 f x 的解析式；
π
(2)将 f x 图像上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，若对于任意的
4
x1, x2 π - m,m ，当 x1 > x2 时， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，求实数m 的最大值.
【答案】(1) f x = 2sin 2x
π
-
6 ֏
13π
(2)
24
T
【分析】（1）VABC 的面积求出 BC ，即 ，可求出w ，图像过点D 0, -1 ，求出j ，可得函数解析式；
2
（2）由函数图像的平移，求出 g x 解析式，设h x = f x - g x ，化简函数解析式，依题意 h x 在区间
π - m, m 上单调递减，利用正弦型函数的单调性求m 的最大值.
【详解】（1）由题意可得 A = 2，
S 1 1 πVABC = BC × yA = BC × 2 = ，2 2 2
T 2π π
所以 = = BC =2 2 w 2 ，由w > 0解得w = 2，所以 f x = 2sin 2x +j ，
图像过点D 0, -1 f x = 2sinj = -1 π j π π，则 ，又因为- < < ，所以j = - ，
2 2 6
所以 f x = 2sin 2x
π
- 6 ÷ ，è
é π π ù π
（2）由题意可得 g x = 2sin ê2 x +
- = 2cos ÷ ú 2x -
÷，
è 4 6 è 6
设 h x = f x - g x = 2sin 2x π π -
÷ - 2cos
6
2x - ÷
è è 6
π π 5π
= 2 2sin 2x - - = 2 2sin 6 4 ÷
2x - ÷ ,
è è 12
x1, x2 π - m,m ，当 x1 > x2 时， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，
即 f x1 - g x1 < f x2 - g x2 恒成立，即 h x1 < h x2 恒成立，
\h x 在区间 π - m, m 上单调递减，
π 2kπ 2x 5π 3π 11π 23π令 + - + 2kπ ，解得 + kπ x + kπ, k Z，
2 12 2 24 24
因为 π - m < m m
π
，所以 > ，则 π - m
π
< ，
2 2
ìπ m 11π - 24 π 13π
故 í 23π ，解得
< m ，
m 2 24
24
所以m
13p
最大值为 .
24
4-3．（2024 高一下·湖北黄冈·阶段练习）函数 f (x) = sin(wx +j) -1(w > 0,0 < j < π) 的图象两相邻对称轴之间
π π
的距离是 ，若将 f (x) 的图象上每个点先向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得函数 g(x)
2 12
为偶函数．
(1)求 f (x) 的解析式；
x é0, π ù(2)若对任意 ê ú ，[ f (x)]
2 - (2 + m) f (x) + 2 + m 0恒成立，求实数 m 的取值范围；
3
π
【答案】(1) f x = sin 2x +
-1
è 3 ÷
(2) - ,
5
- ù
è 2 ú
【分析】（1）由已知利用周期计算w ，再根据 g(x)为偶函数可得j ，即可得函数解析式；
（2）参数分离，利用对勾函数的单调性求实数 m 的范围
2π π
【详解】（1）由 = 2 ，得w = 2，则 f x = sin 2x +j -1，
w 2
g x = sin é2 x π+ +j ù -1 π+1 = sin 2x + +j 则 ê 12 ÷ ú 6 ÷为偶函数，所以 g 0 =1， è è
又0 < j
π
< π π ，所以j = ，故 f x = sin 2x + ÷ -1；3 è 3
（2）因为 x
π π π π
é ù é ù
ê
0, 2x + , π sin 2x + 0,1
3ú ，所以 ， ， 3 ê 3 ú ÷ è 3
故-1 f x 0，-2 f x -1 -1，
而 é f x
2
ù - 2 + m f x + 2 + m 0 恒成立，
即 é f
2
x ù - 2 f x + 2 é f x -1 ù m，
1
整理可得m + f x -1f x -1 ，令 t = f x -1， t -2, -1 ，
设 n t 1= + t， t -2, -1 ，
t
设 t1 ， t2 -2, -1 且 t1 < t2 ，
则 n t1 - n t2
1
= + t 1 t t -1- - t = t - t × 1 2
t 1 t 2 1 21 2 t
，
1t2
由于 t1 - t2 < 0 ， t1t2 >1，则 n t1 - n t2 < 0，所以 n t1 < n t2 ，
1 5
即 n t = + t在区间 -2, -1 上单调递增，故 n t = n -2 = -
t min
，
2
5 5m ù故 - 2 ，即实数 m 的取值范围是
- ,- ．
è 2 ú
4-4．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函数 f x = 2 3 cos2 x + sin x + cos x 2 -1.
(1)求函数 f x 的最小正周期；
1
(2)将函数 y = f x 的图象向下平移 3个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函
2
数 y = g x é π π ù的图象，当 x ê- , ú 时，若方程 g x - m = 0有两个不等的实根，求实数m 的取值范围. 12 6
【答案】(1) π；
(2) 0,2 .
【分析】（1）由三角恒等变换可得 f x = 2sin 2x
π
+ ÷ + 3 ，故可求最小正周期；
è 3
π π
（2
）由三角函数的图象变换可得 g x = 2sin 4x + ÷ ，令 t = 4x + 0, π ，可转化为 y = m与 y = 2sin t 的
è 3 3
图象在 t 0, π 上有两个交点, 画出 y = 2sin t 在 t 0, π 上的图象，由图象即可求实数m 的取值范围.
【详解】（1） f x 2 1+ cos 2x= 2 3 cos x + sin x + cos x 2 -1 = 2 3 × + 2sin x cos x
2
= sin 2x + 3 cos 2x 3 2sin 2x π+ = +
÷ + 3 ,
è 3
2π
故函数 f x 的最小正周期为 = π .
2
π
（2）将函数 y = f x 的图象向下平移 3个单位长度，得到 y = 2sin 2x + ÷的图象，
è 3
1 π
再把横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到 g x = 2sin 4x + 的图象.
2 è 3 ÷
当 x
π π
é- , ù π πê ú 时， 4x + 0, π ，令 t = 4x + 0, π , 12 6 3 3
x é π π当 ê- ,
ù
ú 时,方程 g x - m = 0有两个不等的实根， 12 6
即 y = m与 y = 2sin t 的图象在 t 0, π 上有两个交点,
画出 y = 2sin t 在 t 0, π 上的图象如图所示：
由图可得0 m < 2，
故实数m 的取值范围为 0,2 .
π
4-5．（2024 高一下·江西赣州·期末）已如函数 f x = 2cos 2x + 3 ÷ +1．è
(1)用“五点法”作出函数 f x é π , 5π在区间 - ù
ê 6 6 ú
上的图像；
(2)将函数 f x π的图像向右平移 个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的 2 倍，纵坐标
6
é π π ù
不变，得到函数 g x 的图像，求 g x 在区间 ê- , ú 上的取值范围． 24 6
【答案】(1)图像见解析
(2) é 3 +1,3ù
【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；
（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到 g x 的解析式，从而利用三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，列表如下：
x π π π 7π 5π-
6 12 3 12 6
2x π 0 π+ π 3 π 2π
3 2 2
f x 3 1 -1 1 3
所以数 f x é π 5π在区间 ê- ,
ù
ú 上的图象如下： 6 6
.
π
（2）因为 f x = 2cos 2x + ÷ +1，
è 3
所以将函数 f x π é的图像向右平移 个单位长度，可得到 y = 2cos ê2
x π π ù - ÷ + ú +1 = 2cos 2x +1的图像，6 è 6 3
再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，可得到 g x = 2cos x +1的图像，
π π
因为- x 3，所以 cos x 1，则
24 6 3 +1 2cos x +1 32
故 g(x)的取值范围是 é 3 +1,3ù .
4-6．（2024 高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w
π
> 0, j < ÷在一个周期内的
è 2
π π π
图象经过 A , 2÷，B - ,-2÷，且 f x 的图象关于直线 x = 3 对称．è 3 è 6
(1)求 f x 的解析式；
(2)若存在 x
é3π 7π ùê , ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，求 a 的取值范围． 4 6
【答案】(1) f x = 2sin 2x
π
- ÷
è 6
5
(2) é- , +
ê 2 ÷
π π
【分析】（1）由T = π ，从而得到w 2 A
= ，代入 , 2÷，求出j = - ，得到函数解析式；
è 3 6
2 x é
3π , 7π ù 2x π é4π ,13π- ù 5π （ ）先根据 ê ú得到 ê ú，从而确定 f x 的最小值为 f ÷ = -2，从而得到 4 6 6 3 6 è 6
2a + 3 -2 ，求出答案.
【详解】（1）由题意可得 A = 2，T 2
éπ π ù
= ê -
3
- ÷ = π ，w > 0，
è 6 ú
2π
因为T = ，所以w = 2．
w
π π
因为 A , 2÷在 f x 的图象上，所以 f ÷ = 2sin
2 π +j
÷ = 2 ，
è 3 è 3 è 3
2π
所以 +j = 2kπ
π
+ k Z π，所以j = 2kπ - k Z ．
3 2 6
π
因为 |j |
p π
< ，所以只有j = - 满足要求，故 f x = 2sin 2x -
；
2 6 ֏ 6
é3π 7π ù π é4π 13π ù
（2）因为 x ê , ú，所以 2x - ê , ú． 4 6 6 3 6
2x π 3π 5π- = x = f x f 5π 当 ，即 时， 取得最小值，最小值为
6 2 6 6 ÷
= -2．
è
é3π
因为存在 x ê ,
7π ù
ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，所以 f x 2a + 3 4 6 min ，
2a 5 é
5
即 + 3 -2 ，解得 a - ，即 a 的取值范围为 ê- , + 2 ÷
．
2
一、单选题
1．（2024 高二下· 1安徽安庆·期中）已知函数 f x = sin2x 3+ cos2x，则将函数 f x 的图像向左平移
2 2
j 0 j π < <
÷个单位后得到函数 g x 的图像， g x 图像关于原点对称，则（ ）
è 2
j π j π j π j 5πA． = B． = C． = D． =
12 6 3 12
【答案】C
π π
【分析】先通过辅助角公式将函数 f x 化为 sin 2x + ÷，然后将其的图像向左平移j 0 < j <3 ÷个单位后è è 2
g x =sin 2x π+ 2j + π得到函数 ÷，由于 g x 图像关于原点对称，可得 2j + = kπ,k Z ，再根据j 的范围即
è 3 3
可求解.
Q f x 1【详解】 = sin2x 3+ cos2x
2 2
\ f x 1= sin2x 3+ cos2x = sin 2x
π
+ ，
2 2 ֏ 3
\将函数 f x π 的图像向左平移j 0 < j < ÷个单位后得到函数 g x 的图像，
è 2
即 g x = sin éê2 x +j
π
+ ùú = sin
2x + 2j
π
+ ÷，
3 è 3
g x 2j π kπ π又 图像关于原点对称，可得 + = kπ,k Z ，即j = - ， k Z，
3 2 6
Q π 0 < j π< \ j =2 ， .3
故选：C.
2π π π
2．（2024·河南·模拟预测）若函数 f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) é在 ê0,
ù é ù
6 3 ú 上恰有两个零点，且在 ê
- ,
12 12ú 上单调
递增，则w 的取值范围是（ ）
A
11,4ù 11 11 17 11 17． ú B
é , 4ù C é , ．
è 4 ê ú
． ê D． ,4 4 4 ÷ ÷ è 4 4
【答案】B
é0, 2π ù 2π π é π π ù【分析】有函数在 ê 3 ú 区间上有两个零点可知
2π w × + < 3π
3 6 ，由
f (x) 在 ê- ,12 12ú 上单调递增可求出
w 的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
Q f (x) sin(wx π 2π函数 = + )(w > 0) é在 ê0,
ù
6 3 ú 上恰有两个零点，
\ 2π w 2π π × + < 3π
3 6 ，
11 17
解得： w < ①，
4 4
π π
又Q f (x)
é ù
在 ê- ,12 12ú 上单调递增，
ì π π π
- w + -
12 6 2
π w π π\í + ，解得：12 6 2 0 w > 0
é11 ù
由①②式联立可知w 的取值范围是 ê , 4 4 ú
.
故选：B
π
3．（2024·四川南充·模拟预测）已知函数 f x = 2sin wx + ÷ (w > 0)的最小正周期为 π，把函数 f x 的图
è 3
π
象向右平移 个单位长度，所得图象对应函数解析式为（
6 ）
A． y = 2sin2x B． y = 2cos2x
C． y = 2sin
2x 2π+ ÷ D． y = 2sin
2x π +
3 6 ÷è è
【答案】A
【分析】先根据正弦函数最小正周期公式求出w = 2，在根据左加右减求出平移后的解析式.
2π
【详解】因为w > 0，所以 = π，故w = 2，
w
f x = 2sin 2x π+ 则 ÷，
è 3
π y 2sin é2 x π π ù则向右平移 个单位长度后得到 = ê - ÷ + ú = 2sin 2x .6 è 6 3
故选：A
π
4．（2024 高一下·广东湛江·期中）要得到函数 y = cos x - 6 ÷
的图象，只要将函数 y = cos x的图象（ ）
è
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.
π
【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数 y = cos x的图象向右平移 个单位长度所得图象的解析式
6
为 y
π
= cos x -
÷ .
è 6
故选：D
π
5．（2024 高一上·新疆·期末）为了得到函数 y = sin 2x - ÷ 的图象，只要将函数 y = sinx图象上所有点的
è 5
（ ）
1 π
A．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
2 10
1 π
B．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位长度
2 10
1 π
C．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
2 5
π
D．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度
5
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可
【详解】将 y = sinx
1
图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得 y = sin2x，
2
π y = sin π 再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 2x - 的图象．10 è 5 ÷
故选：A
6．（2024 高二上·浙江·开学考试）将函数 f x = 2sin 2x
π
+ 5÷的图象向左平移 π个单位长度，得到函数
è 4 6
y = g x 的图象，则函数 g x x é π , 3π - ù在 ê 8 8 ú时的值域为（ ）
A． -2,1 B． -1,2
C． é-2, 3ù D． é - 3,2ù
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换求出函数 y = g x 的解析式，再结合正弦函数的图象性质求解即可.
f x 2sin π【详解】函数 = 5 2x + ÷的图象向左平移 π个单位长度，
è 4 6
得到函数 y = g x = 2sin é2 x 5+ π π ù 23ê ÷ + ú = 2sin 2x + π
÷ = 2sin
2x π-
6 4 12 12 ÷
,
è è è
x é π , 3π ù 2x π é π , 2π因为 - , - -
ù
ê , 8 8
所以
ú 12 ê 3 3 ú
所以 2sin
π
2x - ÷ é- 3,2ù ,
è 12
故选:D.
π
7．（2024 高二上·江苏淮安·开学考试）把函数 f x = sin 2x +j 0 < j < p 的图象向左平移 个单位后，得
6
到一个偶函数的图像，则j =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
【分析】利用图象的平移变换，得平移后的函数解析式，由函数为偶函数，可求j 的值.
【详解】函数 f x = sin 2x +j 0 < j < p π的图象向左平移 个单位后，
6
y sin é2 x π j ù sin 2x π得函数 = ê + + = + +j
的图像，
è 6
÷ ú è 3
÷
π π π
由函数为偶函数，则有 +j = + kπ k Z ，即j = + kπ k Z ，
3 2 6
π
又0 < j < p ，所以j = .
6
故选：A
π
8．（2024 高一下·四川绵阳·期中）为了得到函数 f (x) = cos(2x - )的图象，只需要把函数 y = cos x图象
4
（ ）
1 π
A．先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
2 4
1
B π．先将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 8 个单位2
π
C．先向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
4
D π．先向左平移 8 个单位，再将横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变）
【答案】B
【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.
1
【详解】解：先将函数 y = cos x图像横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）得到 y = cos 2x，
2
π π
再向右平移 8 个单位得到
f (x) = cos(2x - )的图像；
4
π 1
或者将函数 y = cos x图像向右平移 个单位，再将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）可得到
4 2
f (x) π= cos(2x - )的图像.
4
故选：B
9．（2024 高二上·广西贵港·开学考试）要得到函数 y = cos πx -1 的图象，需将函数 y = cos πx 的图象（ ）
1 1
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
π π
C．向左平移 1 个单位长度 D．向右平移 1 个单位长度
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.
é 1 ù
【详解】由于 y = cos πx -1 = cos êπ x - ÷ ，
è π
ú
所以将函数 y = cos πx
1
的图象向右平移 个单位长度得到 y = cos
éπ x 1 ùê - ÷ú = cos πx -1 的图象．π è π
故选：B
π
10．（2024 高三上·
湖北武汉·阶段练习）要得到函数 f x = sin 2x + ÷的图象，可以将函数
è 3
g x = sin 2x
p
+ ÷的图象（12 ）è
π
A π．向左平移 个单位 B．向左平移 8 个单位4
π
C π．向右平移 个单位 D．向右平移 8 个单位4
【答案】B
f x = sin 2x π sin é+ = 2 π π ù【分析】 ÷ ê x + ÷ +è 3 è 8 12 ú，根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为 f x π é π π ù= sin 2x + ÷ = sin ê2
x + ÷ + ,
è 3 ú è 8 12
p π
所以将函数 g x = sin 2x + ÷的图象向左平移 个单位可得到函数 f x = sin 2x
π
+
8 ÷的图象.è 12 è 3
故选:B.
11．（2024 高三上·山东·开学考试）已知函数 f x = sin wx π- w > 0 é 5π 5π ÷ 在 ê0,
5π ù ù
12 ú上单调递增，在
, 上
è 3 è 12 6 ú
单调递减，将函数 f x 的图象向左平移j 0
π
< j < ÷个单位长度，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 为偶
è 2
函数，则j =（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】D
【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出w ，再由图象平移及诱导公式得解.
f x sin wx π w 0 é 5π ù 5π , 5π ù【详解】因为函数 = - ÷ > 在 ê0, 12 ú上单调递增，在è 3 è 12 6 ú 上单调，
ì5π w π 2kπ π - = + , k Z
ì
w
24k
= + 2, k Z
12 3 2 5
所以 í π 5π ，即 í 12 ，解得
w = 2，
0 < w
w 12 5
由题意， g x = sin[2(x j) π+ - ] = sin(2x + 2j π- )，
3 3
π
因为函数 g x 为偶函数， 0 < j < 2 ，
所以 2j
π π
- = ，解得j
5π
= .
3 2 12
故选：D
12．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = 2sin wx +j +1 π（w >1，j ），其图像与直线 y = -1
2
相邻两个交点的距离为 π，若 f x 1 π π> 对于任意的 x - , ÷恒成立，则j 的取值范围是（ ）
è 12 3
A é
π , π ù π πB é , ù C é
π , π ù π π ù． ê D12 3 ú ． ê12 2 ú ． ê ú ．
,
6 3 è 6 2 ú
【答案】C
π π
【分析】依题意可得T = π ，从而求出w
，则当 x - ,
÷时， sin(2x +j) > 0，根据正弦函数的图象和性
è 12 3
质，求得j 的取值范围．
【详解】 函数 f (x) = 2sin(wx +j) +1，令 f (x) = -1，可得 sin(wx + j) = -1，
由于 f (x) 的图象与直线 y = -1相邻两个交点的距离为 π，
\T 2π= = π，\w = 2， f (x) = 2sin(2x +j) +1．
w
若 f (x)
π
>1 对任意 x - ,
π π π
÷恒成立，则当 x - , ÷时， sin(2x +j) > 0，
è 12 3 è 12 3
ì
2 (
π
- ) +j 2kπ
12
因此， í ,k Z，解得 2kπ
π
+ j 2kπ π+ k Z
π 6 3
， ，
2 +j 2kπ + π
3
π π π é π π ù
因为 j ，所以 j ，即j , ．
2 6 3 ê 6 3 ú
故选：C.
π
13．（2024 高三上·河南·阶段练习）将函数 f x = cos wx + ÷ (w > 0)
π
的图象向左平移 个单位长度后得到
è 4 3
函数 y = sinwx的图象，则正实数w 的最小值为（ ）
21 15 9
A． 4 B． C． D．24 4
【答案】B
【分析】由图象变换和三角函数诱导公式可得答案.
f x π cos éw x π π ù cos wx wπ π 【详解】由题意 + ÷ = + ÷ + = + + ÷ = sinwx．
è 3 ê è 3 4
ú
è 3 4
wπ π π
所以 + = - + 2kπ k Z 9，得w = - + 6k, k 9 15 Z ．又w > 0，所以正实数w 的最小值为- + 6 = ．
3 4 2 4 4 4
故选：B．
π
14．（2024 高二·湖北·学业考试）已知函数 f x = sin x +j j < ÷的部分图象如图所示，为了得到函数
è 2
y = sinx的图象，只要把 y = f x 的图象上所有的点（ ）
π π
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
6 6
π π
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
3 3
【答案】D
【分析】由题中函数图象，结合五点法作图及j 的取值范围可求得j 的值，利用三角函数图象变换可得出结
论.
π π
【详解】根据题中函数 f x 的部分图象，结合五点法作图可得 +j = + 2kπ k Z ，
6 2
π π π π
故j = + 2kπ k Z ，又 j < ，故j = ，所以 f x = sin
3 2 3
x + ÷，
è 3
π
为了得到函数 y = sinx的图象，只要把 y = f x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度即可．
3
故选：D．
π
15．（2024 高二上·四川成都·开学考试）已知函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图
è 2
π
所示，若将函数 f x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，则（
6 ）
A． g(x)
π π
= sin 2x + ÷ B． g(x) = sin
2x +
3 6 ÷è è
C． g(x) = sin 2x D． g(x) = sin
2x π- 6 ÷è
【答案】C
f x f (x) = sin 2x π+ 【分析】利用函数图象可求出 的解析式为 3 ÷，再根据平移规则可得 g(x) = sin 2x .è
3 3π 5π π
【详解】由图象可知， T = = - ，解得ω = 2；
4 2ω 6 12
由振幅可知 A =1；
5π ,0 f 5π 将 ÷代入可得 ÷ = Asin
5π π π
6 6
2 +j ÷ = 0，又 j < ，即可得j = ，
è è è 6 2 3
因此 f (x)
π
= sin 2x + 3 ÷，è
易知 g(x)
π
= f (x- ) = sin π÷ π÷
6
2 x- ÷+ ÷ = sin 2x ，è è 6 ÷ 3÷÷
故选：C.
π
16．（2024 高三上·河南焦作·开学考试）已知函数 f x = cos 3x - ÷，若将 y = f x 的图象向左平移
è 10
m m > 0 个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则 m 的最小值为（ ）
π π 3π 8π
A． B． C． D．
10 5 10 15
【答案】B
【分析】先平移得出函数解析式，再根据奇偶性结合范围求参即可.
π
【详解】 f x = cos 3x - ÷的图象向左平移 m 个单位长度后，得到的图象对应函数 g x = cos
è 10
é3 x m πê + -
ù
ú = cos
3x + 3m
π
-
10 10 ÷
，
è
因为 y = g x 的图象关于坐标原点对称，
3m π π所以 - = kp + k Z m kπ π，即 = + k Z ，
10 2 3 5
π
因为m > 0，故当 k = 0时，m 取得最小值 ．
5
故选：B.
二、多选题
π
17 ．（2024 高三上·江苏南通·开学考试）已知 ,0÷是函数 f x = sin
wx π+
3 3 ÷
0 < w < 3 的一个对称中心，
è è
则（ ）
A．w = 2
π
B． x = 是函数 f x 的一条对称轴
6
C．将函数 f x π的图像向右平移 单位长度后得到的图像关于原点对称
6
D f x é π- ,0ù 3．函数 在区间 ê 上的最小值是- 2 ú 2
【答案】AC
π π
【分析】A 选项，待定系数法得到w = 2；B 选项，代入 x = ，判断出 x = 不是函数 f x 的一条对称轴；
6 6
C 选项，利用左加右减求出平移后的解析式，得到其为奇函数，C 正确；D 选项，利用整体法求出函数的最
值.
π π π π
【详解】A 选项，由题意得 sin w + ÷ = 0，故 w + = kπ,k Z，
è 3 3 3 3
1 4
解得w = 3k -1,k Z，又0 < w < 3，故0 < 3k -1 < 3，解得 < k < ，
3 3
又 k Z，故 k =1，所以w = 2，A 正确；
B 选项， f x π= sin π π π π 3 2x + ÷，当 x = 时， f ÷ = sin +
= ，
è 3 6 ÷è 6 è 3 3 2
π
故 x = 不是函数 f x 的一条对称轴，B 错误；
6
π é π π ù
C 选项，将函数 f x 的图像向右平移 个单位长度后得到 g x = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x，6 è 6 3
由于 g x 的定义域为 R，且 g -x = sin -2x = -sin 2x = -g x ，
故 g x 为奇函数，其图象关于原点对称，C 正确；
π π é 2π π ù
D é ù选项， x ê- ,0 时， 2x + - , ， 2 ú 3 ê 3 3 ú
由于 y
2π
= sin z é在 z ê- ,
π ù π
3 3 ú的最小值为-1，当且仅当
z = - 时，等号成立，
2
故 f x é π ù在区间 x ê- ,0ú的最小值是-1，D 错误. 2
故选：AC
18．（2024 高一下·广东佛山·期中）已知函数 f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x，则（ ）
A． f x π B π的最小正周期为 ． - , 3
÷是曲线 f x 的一个对称中心
è 12
π π 5π
C． x = - 是曲线 f x 的一条对称轴 D． f x 在区间
12
,
è 6 12 ÷
上单调递增
【答案】ACD
π 2π
【分析】A
选项，利用三角恒等变换得到 f x = 2sin 2x - ÷ + 3，故利用T = w 求出最小正周期；BC 选è 3
π π π π
项，代入 x = - ，由函数值判断出 x = - 是 f x 的一条对称轴；D 选项，求出 2x - 0, ，数形结
12 12 3 ֏ 2
合得到 f x π 5π 在区间 ,6 12 ÷上单调递增.è
【详解】A 选项， f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x = sin 2x - 3 cos 2x π+ 3 = 2sin 2x -
+ 3 ，
è 3 ÷
2π
故 f x 的最小正周期为 = π，A 正确；
2
π
B 选项，当 x
π
= - 时， f - ÷ = 2sin
π π- - ÷ + 3 = -2 + 3，12 è 12 è 6 3
π
故 - , 3 f x 12 ÷不是曲线 的一个对称中心，B 错误；è
π
C 选项，当 x = - 时， 2sin
2x
π
- ÷ = 2sin
π π- - π π
12 3 6 3 ÷
= -2，故 x = - 是 y = 2sin 2x -12 ÷
的一条对称轴，
è è è 3
也是 f x 的一条对称轴，C 正确；
x π , 5π 2x π- 0, π y = sin z z 0, π D 选项， ÷时， ÷，由于 在 ÷上单调递增，
è 6 12 3 è 2 è 2
故 f x π 5π 在区间 , ÷上单调递增，D 正确.
è 6 12
故选：ACD
π
19．（2024 高一下·辽宁铁岭·期中）如图所示的曲线为函数 f x = Acos wx -j （ A > 0 ，w > 0， j < ）
2
3 π
的部分图象，将 y = f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 8 个单位长度，2
得到函数 y = g x 的图象，则（ ）
g x é5π ,13π ù 3πA ．函数 在 ê ú上单调递减 B．点 ,024 24 8 ÷为 g x 图象的一个对称中心 è
π
C．直线 x = 为 g x 3π图象的一条对称轴 D．函数 g x é ù在
4 ê
, π 上单调递增
4 ú
【答案】CD
【分析】由图象求出三角函数的表达式，通过分析该函数的的性质，即可得出选项.
【详解】由图象知 A = 2 ,
π 2π
∵ +6 3 5π= ,
2 12
∴ f (x)
5π
的一个最低点为 ,-2÷ ,
è 12
∵ f (x)
2π 2π
的最小正周期为 T = - 0 = ,
3 3
∴ w
2π
= = 3 .
T
5π
∵ f ÷ = 2cos 3
5π
-j 5π ÷ = -2 , 则 cos 3 -j ÷ = -1,
è 12 è 12 è 12
5π
∴ -j = π + 2kπ(k
π
Z) , 即 j = - 2kπ(k Z) ,
4 4
∵ |j |
π
< ,
2
π
∴j = , 4
∴ f (x) = 2cos
3x
π
-
4 ÷
.
è
将函数 y = f (x)
3 π
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 得： y = 2cos 2x - ÷ 的图象, 再把所得曲线2 è 4
π y 2cos 2x π 向右平移 个单位长度得 ： = - ÷ = 2sin 2x，即 g(x) = 2sin 2x8 . è 2
π π π π
由 - + 2kπ 2x + 2kπ(k Z) 得 , - + kπ x + kπ(k Z) ,
2 2 4 4
π 2kπ 2x 3π由 + + 2kπ(k Z)得, π + kπ x 3π + kπ(k Z)，
2 2 4 4
g(x) é π π ù é π 3π ù∴ 在 ê- + kπ, + kπú (k Z) 上单调递增, 在 ê + kπ, + kπú (k Z)上单调递减， 4 4 4 4
x é5π ,13π ù g(x) é5π , π ù é π ,13π∴当
ù
ê ú 时, 可知 在 ê ú 上单调递增, 在 ê ú 上单调递减， 24 24 24 4 4 24
∴A 错误；
B 项，
g 3π 2sin 2 3π 3π∵ ÷ = = 2sin = 2 ,
è 8 è 8 ÷ 4
3π∴ ,08 ÷不是
g(x)图象的一个对称中心, 故 B 错误；
è
C 项，
g π π∵ ÷ = 2sin 2
÷ = 2 ,
è 4 è 4
π
∴直线 x = 是 g(x)图象的一条对称轴，故 C 正确；
4
D 项，
∵ g(x)
é3π
在 ê ,
5π ù
ú上单调递增, C 4 4
∴函数 g(x) é
3π , πù在 ê ú 上单调递增, 故 D 正确. 4
故选：CD.
π
20．（2024 高一下·
安徽马鞍山·期末）已知函数 f x = 2sin wx +j w > 0, j < ÷的部分图象，则（2 ）è
A．w = 2
π
B．j =
3
π
C．点 ,0
÷是 f x 6 图象的一个对称中心è
5π
D． f x 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为偶函数
12
【答案】ACD
5π π
【分析】A 选项，根据图象得到最小正周期，从而求出w = 2；B 选项，代入 ,2 j = - C
è 12 ÷
，求出 ； 选
3
π
项，得到函数解析式，求出 f ÷ = 0 ，故 C 正确；D 选项，求出平移后的解析式，利用函数奇偶性定义得
è 6
到答案.
1 5π π π
【详解】A 选项，由图象可得到函数最小正周期 T = - - ÷ = ，故T = π ，2 12 è 12 2
2π
因为w > 0，所以 = π，解得w = 2，A 正确；
w
5π
B 选项，将 ,2
5π
12 ÷ 代入解析式得
2sin 2 +j ÷ = 2，
è è 12
π π
因为 j < ，解得j = - ，B 错误；
2 3
C 选项， f x = 2sin 2x π- π ÷，故 f ÷ = 2sin
π π
-
÷ = 0，
è 3 è 6 è 3 3
π
故点 ,0÷是 f x 6 图象的一个对称中心，C 正确；è
f x 5π 5π π πD 选项， 的图象向左平移 个单位后得到 g x = 2sin 2x + -
÷ = 2sin
2x +
÷ = 2cos 2x，12 è 6 3 è 2
因为 g x = 2cos 2x的定义域为 R，且 g -x = 2cos -2x = 2cos 2x = g x ，
故 g x = 2cos 2x为偶函数，D 正确.
故选：ACD
π π
21．（2024
高二上·山西·阶段练习）要得到函数 f x = sin 2x + ÷的图象，可以将函数 g x = cos + 2x
è 6 ÷ è 6
的图象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
4 4
3π 3π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 4
【答案】BC
π
【分析】利用三角函数诱导公式及图象平移规则易知右平移 个单位长度可得 f x 的图象，再根据周期为 π
4
即可得出正确选项.
g x cos π 2x é π= + π ù 2π é π π ù【详解】由 ÷ = sin ê + + 2x ÷ú = sin 2x + ÷ = sin ê2
6 2 6
x + ÷ + ú，è è è 3 è 4 6
可知将函数 g x π的图象向右平移 个单位长度，
4
sin é2 x π π π ù+ - + = sin 2x π+ 可得 ê ÷ ÷ = f x ，即可得函数 f x 的图象，
è 4 4 6 ú è 6
又由函数 g x 2π π 3π的最小正周期为T = = π ，可知向右平移 个单位长度与向左平移 个单位长度效果相同；
2 4 4
所以选项 BC 正确.
π é π π π ù π
若向左平移 个单位长度，可得 sin ê2 x + + ÷ + ú = -sin 2x + ÷ f x ，故 A 错误；4 è 4 4 6 è 6
3π é π 3π π ù π
若向右平移 个单位长度，可得 sin ê2 x + - ÷ + ú = -sin
2x +
÷ f x ，故 D 错误；4 è 4 4 6 è 6
故选：BC.
π
22．（2024 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 f x = sin x +j (0 < j < 2π), g x = sin wx + ÷ w > 0 ,
è 3
若把 f x 1 π的图象上每个点的横坐标缩短为原来的 倍后，再将图象向右平移 个单位，可以得到 g x ，则
2 6
下列说法正确的是（ ）
j 2A． = π
3
B． g x 的周期为 π
g x 7π , 7π C． 的一个单调递增区间为 ÷
è 12 6
D． g x 1= 在区间 a,b 上有 5 个不同的解，则b - a的取值范围为 (2π,3π]
2
【答案】ABD
【分析】根据函数平移和伸缩变换得到 g(x)解析式，对比可得 ω 和 φ 的值，从而求得 g(x)解析式，从而可
判断 AB；根据正弦型函数单调性可判断 C，数形结合可判断 D．
【详解】 f x = sin x +j 1横向压缩 得， y = sin 2x +j ；
2
π π
再右移 个单位得， y = sin 2x - +j
6 3 ÷
，
è
ì π π
- +j = + 2kπ k Z ,
∴ í 3 3
w = 2,
ìw = 2,
又0 < j < 2π
，∴ í 2π 故 A 选项正确；
j = , 3
π
∴ g x = sin 2x + ÷，
è 3
2π
∴周期T = = π ，故 B 选项正确；
2
x 7π 7π π 3π 8π 8π 5π由
,
÷得， 2x +
,
÷ , > ,故 C 选项错误；
è 12 6 3 è 2 3 3 2
g x 1= 在区间 a,b 上有 5 个不同的解，由函数图象可知，区间 a,b 的长度大于两个周期，小于等于 3 个
2
周期，故b - a (2π,3π]，故 D 选项正确.
故选：ABD.
1 π
23．（2024 高一下·云南昆明·期中）若函数 f x = Asin wx +j ÷ A > 0,w > 0,0 < j < 在一个周期内的图
è 2 ÷ è 2
象如图所示，则正确的结论是（ ）
A． f x = 2sin 1 x π +
è 3 3 ÷
f x 7πB． 的图象的一个对称中心为 - ,0
2 ֏
C． f x é的单调递增区间是 ê3kπ
5π
- ,3kπ π+ ùú ， k Z 4 4
g x = 2sin x π+ 2D．把 ÷的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得 f x 的图象
è 3 3
【答案】BC
【分析】根据图象求得 f x 的解析式，利用代入验证法判断 f x 的对称中心，根据三角函数单调区间的求
法求得 f x 的单调区间，根据三角函数图象变换的知识确定 D 选项的正确性.
T π π 3π= - = ,T = 3π 2π ,w 4= =
【详解】由图可知 A = 2， 4 4 4 1 w 3 ，所以 A 选项错误.
2
f x = 2sin 2 x +j ÷ , f x = 2sin
2 π× +j = 2sin π ÷ +j
÷ = 2，
è 3 è 3 4 è 6
π π
0 π π π 2π< j < , < +j < ，所以 +j = ,j
π
= , f x = 2sin 2 x π+ ，
2 6 6 3 6 2 3 ֏ 3 3
f 7π -
÷ = 2sin
7π 2 π
- +
2 ÷
= 0，所以 B 选项正确.
è è 2 3 3
由 2kπ
π 2 x π 2kπ π- + + , k 5π π Z，解得3kπ - x 3kπ + , k Z，
2 3 3 2 4 4
所以 f x é3kπ 5π的单调递增区间是 ê - ,3kπ
π
+ ùú ， k Z，C 选项正确. 4 4
把 g x = 2sin x
π
+ 2 3 π ÷的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 g x = 2sin x + ÷ f x ，
è 3 3 è 2 3
所以 D 选项错误.
故选：BC
π
24．（2024
高一下·新疆伊犁·期末）函数 f (x) = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，下
è 2
列结论中正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 2π
x 4πB．直线 = - 是函数 f (x) 图象的一条对称轴
3
C．函数 f (x)
é 5π
的单调递增区间为 ê- + kπ,
π
+ kπùú , k Z 12 12
π π
D．将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位得到函数 g(x) = sin 2x + ÷的图象12 è 6
【答案】CD
【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可.
7π π 3 3 2π
【详解】由图象可得 A =1， - - = T = × w = 2 ，12 è 6 ÷ 4 4 w
f π - ÷ = sin
π π π π
è 6
2 - ÷ +j
è 6 ÷
= 0 j = kπ + k Z ，又 j < ，故j = ，
è 3 2 3
所以 f (x) = sin 2x
π
+ .
è 3 ÷
显然 A 错误；
f 4π sin 2 4π π π 3对于 B 项， - ÷ = -
+ = sin
3 3 ÷
- ÷ = - ，不是对称轴，故 B 错误；
è è è 3
÷
è 3 2
对于 C 项，令 2x
π π π
+ éê- + 2kπ, + 2kπ
ù x é 5π kπ, πú ê- + + kπ
ù
ú , k Z ，故 C 正确；3 2 2 12 12
π
对于 D 项，将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位得 y = sin
2 x π π - + = sin π ÷ ÷ 2x + ÷，故 D 正确.12 è è 12 3 è 6
故选：CD.
π π
25．（2024 高一下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，- < j < ）的部
2 2
分图象如图所示，则（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
x é π , πB - ù
é
f x 3 3
ù
．当 ê ú 时， 的值域为 ê- , 4 4 2 2
ú
C f x
π
+ ．为 ÷是偶函数
è 6
5π
D．将 f x 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 , 0 对
è 6
÷
称
【答案】ACD
【分析】由三角函数的图象求得周期即可判断 A 项，求出三角函数解析式 f (x) ，求其值域即可判断 B 项，
由偶函数定义可判断 C 项，运用图象伸缩变换及对称性可判断 D 项.
5π π
【详解】由图可知， A =1，最小正周期T = 4 - ÷ = π ，故选项 A 正确；
è 12 6
T 2π w 2π 2π由 = ，知 = = = 2 ，
w T π
f π
π
因为 ÷ = 1，所以 sin
2 +j
÷ =1，è 6 è 6
π π π
所以 +j = 2kπ + ， k Z，即j = 2kπ + ， k Z，
3 2 6
π
又- < j
π π
< ，所以j = ，
2 2 6
所以 f x = sin 2x
π
+
6 ÷
，
è
é π π ù π é π 2π ù
对于选项 B，当 x ê- , 时， 2x + - , ， 4 4 ú 6 ê 3 3 ú
é ù
所以 sin
2x
π 3
+ ÷ ê- ,1ú ，故选项 B 错误；
è 6 2
π
对于选项 C，令 g(x) = f x + ÷ = sin
é2 x π π ù
6 ê
+
6 ÷
+
è ú
= cos2x，定义域为R ，
è 6
g(-x) = cos(-2x) = cos 2x π= g(x) ，所以 g(x)为偶函数，即 f x + ÷为偶函数，故选项 C 正确；
è 6
对于选项 D，将函数 f x π 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y = sin x + 6 ÷ 的è
图象，
x 5π= y = sin
5π π
因为当 时， + ÷ = sinπ = 0，故选项 D 正确.6 è 6 6
故选：ACD.
三、填空题
26．（2024 高一下·北京·阶段练习）设函数 f x = Asin wx +j （A，w ，j 是常数，A > 0 ，w > 0）.若 f x
é p pù π 5π π
在区间 ê , ú 上具有单调性，且 f ÷ = f ÷ = - f ÷，则 f x 的最小正周期是 ． 12 4 è 4 è 12 è12
2p 2
【答案】 / p
3 3
f x é p , pù πT π f = f 5π = - f π 【分析】由 在区间 ê ú 上具有单调性，得函数最小正周期 ，从而可由12 4 3 4 ÷ 12 ÷ ÷ è è è12
得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期．
é p pù
【详解】由于 f x 在区间 ê , ú 上具有单调性， 12 4
π π 1
则 - T
π
，所以T ，
4 12 2 3
f π
π 5π
= f 5π +由 4 ÷ 12 ÷ 可知函数
f x 的一条对称轴为 π
è è x = 4 12 = ，2 3
f π π= - f 又 ÷ ÷，则 f x
π
有对称中心 ,0
è 4 è12 è 6 ÷
，
从而T = 4
π π 2π
- = ．
è 3 6 ÷ 3
2π
故答案为： ．
3
27．（2024 高一下·江西宜春·期中）函数 f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < 2π) 一个周期的图象如图所
示，则函数 f x 的解析式为 .
【答案】 f x = 4sin 1 x 5π+ ÷
è 2 4
【分析】根据图像，由最值求得A ，根据周期求w ，最后找点代入求j ，从而得解.
7π π
【详解】由图象可知 A = 4,T = - - ÷ = 4π，2 è 2
2π 2π 1 1
又w
> 0，则w = = = ，所以 f x = 4sin x +j ，T 4π 2 è 2 ÷
3π ,0 3π 又 2 ÷在该曲线上，所以
4sin +j = 0，
è è 4 ÷
3π 3π
则 +j = 2kπ,k Z，即j = - + 2kπ,k Z，
4 4
0 j 2π 5π f x 4sin 1 x 5π又 < < ，则j = ，故 = +
.
4 è 2 4 ÷
1 5π
故答案为： f x = 4sin x +2 4 ÷ .è
π
28 ．（2024 高二上·湖南湘西·阶段练习）为了得到函数 y = sin x + ÷的图象，只需把函数 y = cos x的图象向
è 3
（填“左、右”）平移 个单位长度．
π π 11π 11π
【答案】 右（或左） （或 + 2kπ ， k Z中的任何一个值）（或 （或 + 2kπ， k Z中的
6 6 6 6
任何一个值））
π 3π
【分析】首先变形 y = cosx = sin x + ÷，或 y = cosx = sin x - ÷，再根据平移规律，即可求解.
è 2 è 2
π
【详解】函数 y = cosx = sin x + ÷，而 y = sin
π
x + = sin
π π
2 3 ÷
x + - ÷，
è è è 2 6
所以 y = cos x
π π
的图象向右平移 个单位长度，或是向右平移 + 2kπ ， k Z中的任何一个值，即可得到函数
6 6
y = sin π x + 的图象.
è 3 ÷
y = cosx = sin x 3π- y = sin π 或是 ÷，而 x + = sin
x 3π 11π- +
2 3 ÷ 2 6 ÷
，
è è è
所以 y = cos x 11π
11π
的图象向左平移 + 2kπ k Z6 个单位长度，或是向左平移 ， 中的任何一个值，即可得到函6
y π数 = sin
x + ÷ 的图象.
è 3
π π
故答案为：右； （或 + 2kπ
11π 11π
，k Z中的任何一个值）；或左； （或 + 2kπ，k Z中的任何一个值）
6 6 6 6
29．（2024 高二下·福建福州·期末）为了得到函数 f x π= sin 2x -
÷的图象，只需将函数 g x = cos2x 的图
è 4
象向右平移 个单位长度．
3π
【答案】 (答案不唯一).
8
【分析】利用函数 y = Asin(wx + j)的图象变换规律，即可得出答案．
g x = cos 2x = sin 2x π+ 3π【详解】 ÷图象向右平移 + kπ,k Z 个单位长度，
è 2 8
y sin é2 x 3π= - - kπ π ù+ = sin 3π π π可得到 ê ÷ ú 2x - - 2kπ +
÷ = sin
2x - 的图象.
è 8 2
÷
è 4 2 è 4
3π
当 k = 0时，函数 g x = cos2x 的图象向右平移 个单位长度．
8
3π
故答案为： (答案不唯一).
8
π
30．（2024
高三·全国·专题练习）将函数 y = cos 2x + ÷的图像向左平移j 个单位长度后，得到的函数图像
è 3
关于 y 轴对称，则 j 的最小值为 .
π
【答案】
6
【分析】根据题意，先求得平移之后的函数，然后根据其关于 y 轴对称，列出方程，即可得到j ，从而得到
结果.
【详解】将函数 y = cos
2x π+ 3 ÷
的图像向左平移j 个单位长度后，
è
y = cos é π ù 得到函数 ê2 x +j + ú = cos 2x + 2j
π
+ ÷的图像，
3 è 3
因为图像关于 y 2j
π
轴对称，所以 + = kπ ， k Z ，则j
kπ π
= - ， k Z .
3 2 6
j π令 k = 0，得 的最小值为 .
6
π
故答案为：
6
四、解答题
π
31．（2024 高一下·山东聊城·期中）已知函数 f (x) = 2sin(wx +j) -1 0 < w < 3,0 < j < ÷ ，满足______．
è 2
(1)求 f (x) 的解析式，并写出 f (x) 的单调递减区间；
(2)把 y = f (x)
π 1
的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 y = g(x) 的图象，若 g(x)在区间
6 2
é π- ,mù 3ê ú 上的最大值为 ，求实数m 的最小值． 3 2
在①函数 f (x)
π
的一个零点为 0；②函数 f (x) 图象上相邻两条对称轴的距离为 ；
2
③函数 f x 2π 图象的一个最低点的坐标为 ,-2 ，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问
è 3 ÷
题的解答．
π é π 2π ù
【答案】(1) f x = 2sin 2x + 任选两条件，解析式为 ÷ -1，单调递减区间为 ê + kπ, + kπú k Z è 6 6 3
π
(2)
3
【分析】（1）根据所选条件求出j 、w ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2
π
）首先根据三角函数的变换规则求出 g x 的解析式，由 x 的取值范围，求出 2x - 6 的取值范围，结合正
弦函数的性质从而得到不等式，解得即可.
【详解】（1）若选①②：
因为函数 f x 的一个零点为0 ，所以 f 0 = 0，所以 2sinj -1 = 0，
所以 sinj
1 π
= π，因为 0 < j < ，所以j =2 ．2 6
π π
因为函数 f x 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以T = 2 = π ．
2 2
π
因为0 < w < 3，所以w = 2，所以函数 f x 的解析式为 f x = 2sin 2x + ÷ -1，
è 6
π
由 + 2kπ 2x
π 3π π 2π
+ + 2kπ， k Z，解得 + kπ x + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π 2π ù的单调递减区间为 ê + kπ, + kπ 6 3 ú
k Z ．
若选①③：
因为函数 f x 的一个零点为0 ，所以 f 0 = 0，所以 2sinj -1 = 0，
所以 sinj
1 π
= π，因为 0 < j < ，所以j = ．
2 2 6
2π
因为函数 f x 图象的一个最低点的坐标为 ,-3÷，
è 3
2sin 2π π 2π π 所以 w + ÷ = -2，所以 sin w + ÷ = -1，
è 3 6 è 3 6
2π w π所以 + = 2kπ
π
- ，即w = 3k -1 k Z ，因为0 < w < 3，所以w = 2．
3 6 2
所以函数 f x 的解析式为 f x = 2sin 2x π +
÷ -1，
è 6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π由 + + + ， k Z，解得 + + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π 2π的单调递减区间为 ê + kπ, + kπ
ù k Z ．
6 3 ú
若选②③：
因为函数 f x π π图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以T = 2 = π ．
2 2
2π
因为0 < w 3
< ，所以w = 2，因为函数 f x 图象的一个最低点的坐标为 , -3÷，
è 3
所以 2sin
2
2π
+j 4π÷ = -2
，所以 sin +j
= -1，
è 3 ÷ è 3
4π π 11π
所以 +j = 2kπ - 即j = 2kπ - k Z ．
3 2 6
π π
因为 0 < j < ，所以j =2 ，6
所以函数 f x 的解析式为 f x = 2sin 2x π+ ÷ -1，
è 6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π 2π由 + + + ， k Z，解得 + kπ x + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π的单调递减区间为 ê + kπ,
2π
+ kπùú k Z ． 6 3
é π π ù π
（2）把 y = f (x)
π
的图象向右平移 个单位得到 y = 2sin ê2 x - ÷ + -1 = 2sin6 6 6 ú
2x - ÷ -1，
è è 6
再将 y = 2sin
2x
π
- 1÷ -1向上平移 个单位得到 y = 2sin
2x π- 1- ，
è 6 ÷ 2 è 6 2
即 g x = 2sin 2x π 1 -
÷ - ，
è 6 2
π x m 5π π π由- 得- 2x - 2m - ，
3 6 6 6
因为 g x é π ù 3在区间 ê- ,mú 上的最大值为 ， 3 2
所以 sin
2x
π π
- é ù÷ 在区间 ê- ,mú 上的最大值为 1．è 6 3
所以2m π π π
π
- ，所以m ，所以m 的最小值为 ．
6 2 3 3
π
32．（2024 高三上·
重庆铜梁·阶段练习）已知函数 f x = Asin wx +f , A > 0,w > 0, f < ÷的图像上相邻两
è 2
π 3π
条对称轴的距离是 ， f x 的最大值与最小值之差为 1，且 f x 的图像的一个对称中心是 ,04 16 ÷．è
(1)求函数 f x 的解析式；
π
(2)若方程 f x = m é在区间 ê0,
ù
ú 上有解，求实数 m 的取值范围． 4
f (x) 1【答案】(1) = sin
4x π+
2 è 4 ÷
é 2 , 1
ù
(2) ê- ú
4 2
【分析】（1）根据题意可得 f x 的周期、振幅，再根据正弦函数的对称点公式求解即可；
（2）根据正弦函数的单调性与值域求解即可.
π T π
【详解】（1）因为函数 f x 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以 = .
4 2 4
π π
又w > 0，故 = ，ω = 4 .
w 4
因为 f x 1的最大值与最小值之差为 1，故 2A =1， A = 2 ，
f x 3π又由 的图像的一个对称中心是 ,0
3π
÷，故 4 +f = kπ k Z ，
è 16 16
3π
则f = kπ - , k Z f π ，又 < ，
4 2
π
故当 k =1时，f = ，
4
f x 1故 = sin 4x π+
2 4 ÷
.
è
é π ù π é π 5π ù π é 2 ù
（2）Q x ê0, ú，\4x + ê , ú，\sin 4x + ÷ ê- ,1 ， 4
ú
4 4 4 è 4 2
é ù é ù
\ f x 2 1 - , f x = m é π ù 2 1ê ú ，若方程 在区间 ê0, ú 上有解，则m - , ，
4 2 4
ê 4 2 ú
é 2 1 ù
故实数 m 的取值范围是 ê- ,4 2 ú
33．（2024 高一上·甘肃酒泉·期末）函数 f x = Asin 2wx +j π A > 0,w > 0，j <
2 ÷的部分图象如图所示
.
è
(1)求 A，w ，j 的值；
π
(2)将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，若a 0, π ，且 g a = 2 ，求a 的
6
值.
π
【答案】(1) A = 2，w =1，j =
6
5π 11π
(2)
24 或 24
5π π
【分析】（1）根据函数 f x 的部分图象即可求出 A，w ，然后代入点 ,012 ÷，由 j < 即可求出
j 的值；
è 2
（2）根据三角函数的图象变换先求出函数 g x 的解析式，然后利用 g a = 2 ，结合a 0, π 即可确定a
的值.
3 T 5π π 2π【详解】（1）解：由图可知， A = 2， = + ，所以T = π ，即 = p ，所以w =1 .
4 12 3 2w
5π
将点 ,0
÷代入 f x = 2sin 2x +j
5π
得 +j = 2kπ+π， k Z
è 12
，
6
π π
又 j < ，所以j = ；
2 6
（2）解：由（1）知 f x = 2sin 2x
π
+
6 ÷
，
è
由题意有 g x = 2sin é2 π π ù πê x -
÷ + ú = 2sin
2x -
6 6 6 ÷
，
è è
所以 g a = 2sin 2a π- = 2 π 2 ÷ ，即 sin 2a -è 6 ÷
= ，
è 6 2
a 0, π 2a π π因为 ，所以 - é- ,11π ù6 ， ê 6 6 ú
2a π π 3π 5π 11π所以 - = 或 ，即a = 或a = ，
6 4 4 24 24
a 5π 11π所以 的值为 .24 或 24
34．（2024 高一上·福建宁德·期末）如图，函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的图象经过
P 0, 2
π 3π
÷÷，M - ,0
N ,0 ÷， ÷三点.
è 2 è 4 è 4
(1)求函数 f x 的解析式；
1 1
(2)将函数 f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标缩短到原来的 ，得到 g x 图象.若
2 2
h x π= f 2 x - ÷ + g x ，求函数 h x 的单调增区间.
è 8
【答案】(1) f x = sin x
π
+ ÷
è 4
é π kπ, π(2) ê- + + kπ
ù
， k Z .
4 4 ú
w 2π【分析】（1）求出函数的最小正周期，进而得到 = =1
π
，带入特殊点坐标，得到j = 4 ，求出函数解析式；T
（2）求出 g x ,h x ，整体法求出 h x 的单调增区间.
f x T 2 é3π= - π- ù【详解】（1）由图可得函数 的最小正周期 ê ÷ú = 2π
4 è 4
w 2π∴ = =1
T
f x π 又函数 过点 - ,04 ÷ ，且图象在该点附近单调递增，è
π
∴ - +j = 2kπ k π Z ，即j = + 2kπ k Z ，
4 4
又∵ 0 < j < π，∴j π= 4 ，
2
∵ f x 过点 0, 2 ÷÷ ，è
∴ Asin π 2= ，即 A =1
4 2
∴ f x = sin x π +
4 ÷
；
è
（2）将函数 f x 1 1的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标缩短到原来的 得到
2 2
g x 1 sin 2x π= +
÷ . 2 è 4
1- cos 2x π+
∴ π 1 π ÷h x = sin2 x 1 π+ + sin 2x + = è 4 + sin 2x + 8 ÷ 2 4 ÷ 2 2 4 ÷è è è
2
= sin2x 1+
2 2
π 2kπ 2x π π π令- + + 2kπ ， k Z得：- + kπ x + kπ， k Z
2 2 4 4
所以 h x é π π ù的单调增区间为 ê- + kπ, + kπ ， k Z . 4 4 ú
π
35 ．（2024 高一下·四川南充·阶段练习）已知函数 f (x) = 2sin(wx + j) w > 0,|j |< 2 ÷的两个相邻零点之间的距离è
π
为 ，且（在下面两个条件中任选择其中一个，完成下面两个问题）.条件①： f (x) 的关于 x
π
= 对称；条
2 6
f x π② - 件 ：函数 ÷ 为奇函数.
è 12
(1)求 f (x) 的解析式；
π
(2)将 f (x) 的图象向右平移 个单位，然后再将横坐标伸长到原来 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g(x)的图
4
x ép ù象，若当 ê , mú 时， g(x)的值域为[-1,2]，求实数m 的取值范围. 6
π
【答案】(1)条件选择见解析， f (x) = 2sin 2x + ÷
è 6
é5π , 3π(2) ù
ê 6 2 ú
π
【分析】（1）根据零点可得周期进而得w = 2，根据函数的对称性可解j = ，进而可得 f (x) ，
6
（2）根据函数图象的变换可得 g(x) = 2sin
x
π
- ÷，进而结合正弦函数的性质即可求解.
è 3
π
【详解】（1）因为函数 f (x) 的两个相邻零点之间的距离为 ，
2
所以 f (x) 的周期T = π
2π
，由T = = π，得w = 2w ，
π
选①：由 +j = kπ+
π ,k Z j π，解得： = + kπ(k Z) ，
3 2 6
π π π
因为- < j < ，所以j = ，故 f (x) = 2sin 2x
π
+
÷ .2 2 6 è 6
f x π
π
选②：因为 -
12 ÷ 是奇函数，即
f 0 - = 0，è è 12 ÷
π
所以 - ,0
÷ 是 f (x) 的一个对称中心，
è 12
π
- +j = kπ j π由 ，解得： = + kπ,(k Z)，
6 6
π π π π
因为- < j < ，所以j = ，故 f (x) = 2sin 2x +
2 2 6 6 ÷
.
è
（2）根据题意得， g(x) = 2sin x
π
- ÷，
è 3
x ép , mù π é π当 ê ú 时， x - ê- , m
π
- ù
6 3 6 3 ú
因为 g(x)
π π 7π
的值域为[-1,2]，则 m - ，
2 3 6
5π 5π 3π
解得： m
3π
é ù，故实数m 的取值范围是
6 2 ê
,
6 2 ú
.
36．（2024 高一下·上海长宁·期末）已知函数 f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx
1
- （其中常数w > 0）的最小
2
正周期为 π．
(1)求函数 y = f (x) 的表达式；
(2)作出函数 y = f (x) ， x [0, π]的大致图象，并指出其单调递减区间；
(3)将 y = f (x) 的图象向左平移j(0 < j < π) 个单位长度得到函数 y = g(x) 的图象，若实数 x1, x2 满足
f x1 g x2 = -1
π
，且 x1 - x2 的最小值是 ，求j 的值．6
【答案】(1) f (x) = sin
2x π- ；
è 6 ÷
é π , 5π ù(2)图象见解析；单调递减区间为 ê ； 3 6 ú
π 2π
(3) ，或 .
3 3
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解
即可；
（2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可；
（3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可.
π
【详解】（1） f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx 1 3 sin 2wx 1- cos 2wx 1- = + - = sin 2wx - ÷，
2 2 2 2 è 6
因为 y = f (x) 的最小正周期为 π，且w > 0，
2π π
所以有 = π w =1，即 f (x) = sin
2x -
；
2w ֏ 6
（2）列表如下：
π 3π
2x π π- - 0 π 11π
6 6 2 2 6
x 0 π π 7π 5π π
12 3 12 6
y 1 1- 0 1 0 -1 -
2 2
函数 y = f (x) ， x [0, π]的大致图象如下图所示：
é π 5π ù
单调递减区间为
ê
, ；
3 6 ú
π
（3
）由题意可知： g x = f (x +j) = sin 2x + 2j - ÷，
è 6
因为 f x1 1, g x2 1, f x1 g x2 = -1，
所以 f x1 , g x2 中有一个为1，另一个为-1，
因为 y = f (x)
π
的图象向左平移j(0 < j < π) 个单位长度得到函数 y = g(x) 的图象，且 x1 - x2 的最小值是 ，6
1 2π j π π所以 × - = j = ，或 = 2π
2 2 6 3 3
，
π 2π
因此j 的值为 ，或 .
3 3
π
37．（2024 高一上·江苏淮安·期末）已知函数 f (x) = 2 cos(wx +j)(w > 0, j )的部分图象如图所示．
2
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)将函数 f (x)
1
的图象向左平移 4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到
函数 g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x) + a = 0在区间[0,1]上有两个不同的实数解，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) f (x) = 2 cos(2πx
π
- )
4
(2)[1, 2)．
【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
T 1 2π
【详解】（1）由图可知 = ，T =1．因为w > 0，所以 =1，w = 2π ．
2 2 w
1
代入 ( , 2) 有 2 cos(2π
1
× +j) = 2 1 cos(2π × +j) =1，
8 8 8
j π π∴ + = 2kπ k Z j = 2kπ - k Z ，
4 4
又∵ |j | π2 ，∴j
π
= - ，∴ f (x) = 2 cos(2πx
π
- ) ；
4 4
（2）由题意知变换后 g(x) = 2 cos(πx
π
+ )
4
x [0,1] t πx π [ π 5当 时，令 = + , π]，即 h(t) = 2 cos t ，
4 4 4
函数 h(t)
π
在 t [
π , π]时单调递减，此时 h π h(t) h ÷ - 2 h(t) 1，4 è 4
函数 h(t)
5π 5π
在 t (π, ]时单调递增，此时 h π < h(t) h - 2 < h(t) -1，4 è 4 ÷
g(x) + a = 0等价于-a = h(t)有两解．
所以当-a (- 2,-1]时符合题意，即 a 的取值范围为[1, 2)．
38．（2024 高一下·宁夏吴忠·阶段练习）函数 f x = Asin wx +j （A ，w ，j 为常数，且 A > 0 ，w > 0，
j π< ）的部分图象如图所示．
2
(1)求函数 f x 的解析式及图中 b 的值；
(2) f x π y = g x g x é0, π ù将 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求 在 ê 上的单调减区间.6 2 ú
p
【答案】(1) f (x) = 2sin(2x + )，1
6
π
(2) é0, ù
ê 2 ú
3 5π π 3π
【分析】（1）由函数的最值可求出 A = 2，由图可知 T = - (- ) = ，再结合周期公式可求出w = 2，
4 12 3 4
5π
然后再 ,0
12 ÷代入函数中可求出
j ，从而可求出函数解析式.
è
（2）由函数图象变换规律求出 g(x)的解析式，再由 2kπ 2x π + 2kπ 可求出函数的减区间.
3 T 5π ( π) 3π T π,w 2π 5p【详解】（1）由题意知， A = 2， = - - = ，\ = = = 2 ，当 x = 时，
4 12 3 4 π 12
j π ,2 5π< +j = kπ,k Z j π f (x) 2sin(2x π由 ，\ = ， 所以 = + ) .
2 1