1.1.1 空间向量及其线性运算 7 题型分类
一、空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
→ →
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作A B，其模记为|a|或|A B
|.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0
单位向量 模为 1 的向量称为单位向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么
共线向量
这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量 a，都有 0
(平行向量)
∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
二、空间向量的线性运算
→ → →
加法 a＋b＝O A＋ A B ＝O B
→ → →
空间向 减法 a－b＝O A－O C＝C A
量的线 → →
当 λ>0 时，λa＝λO A＝P Q；
性运算
数乘 → →
当 λ<0 时，λa＝λO A＝M N；
当 λ＝0 时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
四、共面向量
1．共面向量
→
如图，如果表示向量 a 的有向线段O A所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l.如果
直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝
xa＋yb.
（一）
空间向量的概念
(1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可;
(2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确:
①零向量不是没有方向，它的方向是任意的;
②零向量与任何向量都共线.
(3)对于共线向量我们应明确:
①当我们说 a 与 b 共线时，表示 a,b 的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当
我们说 a//b 时，也具有相同的意义;
②共线(平行)向量不具有传递性，如 a//b,b//c.那么 a//c 就不一定成立，因为当 b=0 时，虽然有 a//b//c,但 a 不
一定与 c 共线，若 a,b,c 都不是零向量，则具有传递性.
(4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条
件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反．
题型 1：利用空间向量有关概念判断命题
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r r
③若空间向量 a,b满足 a = b
r r
，则a = b；
r r r r r r r r r
④若空间向量m,n, p满足m = n,n = p，则m = p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是 .
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r
② a = b r是向量 a = b 的必要非充分条件；
v v
r r ì a = b③向量 a 、b 相等的充要条件是 í
av
v
P b
r r
④若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB = DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件.
1-3．（2024 高二· r全国·课后作业）已知 a 为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A ar．与 共面的单位向量有无数个
B ar．与 垂直的单位向量有无数个
C ar．与 平行的单位向量只有一个
D ar．与 同向的单位向量只有一个
1-4．（2024 高三上·广东·阶段练习）如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的中心为 O，则下列结论中
r r r r
① OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；
r r r r
② OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；
r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA是一对相反向量；
r r r r
④ OC -OA与OC 1-OA 1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（二）
空间向量的加减运算
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾
相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方
向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
题型 2：利用空间向量的加减法运算求解化简
r r r
2-1．（2024 高二上·北京大兴·期末）空间向量OA - OB + AC = （ ）
r r r r
A． AB B．CB C．OC D．BC
2-2．（2024 高二下·安徽亳州·开学考试）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为线段 AC 的中点，则
r r r
OA1 + AD + AB = （ ）
uuur r r uuur
A． AD1 B．OB1 C．OC1 D．OD1
r r r
2-3．（2024 高二下·江苏连云港·期中）正方体 ABCD - A1B1C1D1中，化简 AB + BD - AC1 =（ ）
r r r r
A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1
（三）
空间向量的线性运算
（1）利用数乘运算进行向量表示的注意点
①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转
化为已知向量．
②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
（2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运
用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
题型 3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量
3-1．（2024 高二下·全国·单元测试）若 A, B,C, D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
r r r r
A． AB + 2BC + 2CD + DC
r r r r r
B． 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC
r r r
C． AB + DA + BD
r r r r
D． AB - CB + CD - AD
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 是BB1的中点，化简下列各式，
并在图中标出化简得到的向量.
r r
(1)CB + BA1 ；
r r 1 r
(2) AC + CB + AA
2 1
；
1 r 1 r r r
(3) AA1 - B1B - AC - CB .2 2
r 1 r r r r
3-3．（2024 高二上·全国·阶段练习）已知在空间四边形 ABCD中，CG = CD ，则
2 BD + BC + 2AB =
（ ）
r r r 1 r
A． 2AG B． 2GC C． 2BC D． BC2
3-4．（辽宁省沈阳市东北育才学校 2023-2024 学年高二上学期第二次段考数学试题（理科））已知正方体
r
ABCD- A B C D 1，点 E 是 A C 的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF = EF ，则 AF 等于（ ）．2
r 1 r 1 r rAA AB AD 1 AA 1
r 1 r
A． + + B． + AB + AD
2 2 2 2 2
1 r r r r r r
C． AA
1
+ AB 1+ AD 1 1 1D． AA + AB + AD
2 6 6 3 6 6
3-5．（2024 高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E、F 分别是 BC、CC1的中点，G 为
r
VABC 的重心，则GF = （ ）
1 r 2 r 1 r r r r
A．- AB + AC + AA
1
1 B． AB
2
+ AC 1+ AA
3 3 2 3 3 2 1
2 r 1 r rAB AC 1 AA 1
r 2 r 1 r
C．- + -
3 3 2 1
D． AB - AC + AA
3 3 2 1
（四）
向量共线的判定及应用
1、向量共线的判定及应用
(1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
(2)判断或证明两向量 a，b(b≠0)共线，就是寻找实数 λ，使 a＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向
量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(3) → →判断或证明空间中的三点(如 P，A，B)共线的方法：是否存在实数 λ，使PA＝λ P B
；
2、判断向量共线的策略:
（1）熟记共线向量的充要条件:
①若 a//b,b≠0，则存在唯一实数l 使 a=l b;
②若存在唯一实数l ，使 a=l b，则 a//b.
（2）判断向量共线的关键:找到实数l .
3、三点共线与直线平行的判断:
（1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量 a,b 平行，还要证明一直线上有一点不在另一
条直线上.
r r r r
（2）三点共线:证明三点 A, B,C 共线，只需证明存在实数l ，使 AB = lBC 或 AB = l AC 即可.
题型 4：向量共线的判定
r r r r r r r
4-1．（2024 高二·全国· r r r r课后作业）已知向量 a 、b 满足 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，则一定
共线的三点是 ( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图，四边形 ABCD ABEF 都是平行四边形且不共面，M N 分别是 AC
r r
BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线？
r r
4-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点E 在 A1D1上，且 A1E = 2ED1 ，
r 2 r
点F 在体对角线 A1C 上，且 A1F = FC ．求证：E ，F ， B 三点共线．3
4-4．（2024 高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是( )
v v v v v v
A． AB + BC = AC B． AB - BC = AC
v v v v
C． AB = BC D． AB = BC
题型 5：向量共线的应用
r r r r r r r r
5-1．（2024 高二·全国·课后作业）设 a,b是空间中两个不共线的向量，已知 AB = 9a + mb，BC = -2a - b ，
r r r
DC = a - 2b，且 A, B, D 三点共线，则实数m = ．．
r r r r r r r r
5-2．（2024 高二上·贵州黔南·期中）设 e1 ， e2 是两个不共线的空间向量，若 AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，
uuur ur ur
CD = e1 + ke2 ，且A ，C ，D三点共线，则实数 k 的值为 .
r r r r r r r
5-3．（2024 高二上·广东广州·期末）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m = a + 2 b - 3c ，
r r r r r r r r r x
n = x(a+b)- y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则 =y （ ）
1 1
A．-3 B．- C．3 D．
3 3
（五）
向量共面的判定及应用
1、向量共面的充要条件
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝
xa＋yb．
2、证明空间向量共面、点共面的常用方法
(1)证明空间三个向量共面常用的方法
①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若 a＝xb＋yc，则空间向量 a，b，c 共
面；
②寻找平面 α，证明这些空间向量与平面 α 平行．
(2)对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面
→ → →
①M P＝xM A＋yM B；
→ → → →
②对空间任一点 O，O P＝O M＋xM A＋yM B；
→ → → →
③对空间任一点 O，O P＝xO A＋yO B＋zO C(x＋y＋z＝1)；
→ → → → → →
④P M∥A B(或P A∥M B，或P B∥A M)．
题型 6：向量共面的判定
r r r r r r r r r r r r r r
6-1．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - 2 j + k,b = -i + 3 j + 2k,c = -3i + 7 j ，证
明这三个向量共面.
6-2．（2024 高二下·江苏·课后作业）设空间任意一点O和不共线的三点A ， B ，C ，若点 P 满足向量关系
r r r r
OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z =1），试问： P ，A ， B ，C 四点是否共面？
6-3．（2024 高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点 P A B C 共面的是（ ）
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
A．OA + OB + OC = -OP B．OA + OB + OC = OP
uur uuur uuur uuur r r r r
C．OA + OB + OC = 2OP D．OA + OB + OC = 3OP
6-4．（湖北省云学新高考联盟 2023-2024 学年高二上学期期末联考数学试题）在下列条件中，能使M 与A ，
B ，C 一定共面的是（ ）
r r r r r 1 r 1 r 1 r
A．OM = 2OA - OB - OC B．OM = OA + OB + OC5 3 2
r r r r r r r r r
C．MA + MB + MC = 0 D．OM + OA + OB + OC = 0
题型 7：向量共面的应用
r r r r r r r r r r
7-1．（2024 高二上·湖北黄冈·期末） a,b,c 是空间向量的一组基底，OA = 2a + mb + c，OB = a + 2b ，
r r r r
OC = a + b + c ，已知点O在平面 ABC 内，则m = .
7-2．（2024 高二上·山东烟台·期中）已知O为空间中一点， A, B,C, D 四点共面且任意三点不共线，若
r r r r
2BD = xOA + OB + OC ，则 x 的值为 ．
7-3．（2024 高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥P - ABC 中，M 是平面 ABC 上一点，且
r r r r
5PM = 2PA + tPB + PC ，则 t = （ ）
1 1
A．1 B．2 C． D．
7 2
7-4．（2024 高二下·江苏淮安·期中）已知 A, B,C 三点不共线，O是平面 ABC 外任意一点，若由
r 1 r r rOP = OA 1+ OB + lOC 确定的一点 P 与 A, B,C 三点共面，则l 等于（ ）
5 3
2 2 7 7
A．- B． C． D．-
3 3 15 15
7-5．（江西省宜春市八校 2023-2024 学年高二上学期第一次（12 月）联合考试数学试题）如图,平面 ABC 内
r r r r
的小方格均为正方形,点 P 为平面 ABC 内的一点,O为平面 ABC 外一点,设OP = mOA + nOB + 2OC ,则m + n的
值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7-6．（2024 高二上·辽宁大连·期中）已知 A, B,C 三点不共线，O是平面 ABC 外任意一点，若
r r r r
OM = 2lOA 2+ OB 1+ OC ，则 A, B,C, M 四点共面的充要条件是（
5 6 ）
l 13 l 17 l 17 13A． = B． = C． = - D．l = -
60 60 60 60
一、单选题
1．（2024 高二·全国·课后作业）下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
r r r r
A．若向量 a,b平行，则 a,b所在直线平行
r r r r
B．若向量 a,b所在直线是异面直线，则 a,b不共面
r r
C．若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB ，CD不共面
r r r
D．若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB ， AC ， AD 不共面
r r r r
2．（2024 高二下·河南焦作·开学考试）已知在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 = xCD + yCC1 + zBD，则
x + y + z =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
3．（河北省石家庄市二十三中 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）如图，已知空间四边形 ABCD 的
r 1 r r
对角线为 AC，BD，设 G 是 CD 的中点，则 AB + (BD + BC)等于（ ）
2
r r r 1 r
A． AG B．CG C．BC D． BC2
r r r
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，化简 AB - AD + CC1 = （ ）
r r uuur r
A． BD1 B．DB1 C． AC1 D．CA1
r r r r
5．（2024 · · r高二上 全国 课后作业）当 | a |=| b | 0 ar b ar，且 、 不共线时， + b 与 ar - b 的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
6．（2024 高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点M 与点 A, B,C 一定共面的是（ ）
r r r r
A．OM = OA - OB - OC
r r r r
B．OM = OA + OB + OC
r r r r
C．OM = -OA - OB
1
+ OC
2
r r r r
D．OM = -OA - OB + 3OC
7．（2024 高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
r r r r r r
C．若向量 AB , CD 满足 AB > CD ，则 AB > CD
D．相等向量其方向必相同
8．（2024 高二上·四川遂宁·阶段练习）已知O为空间任一点，A ，B ，C ，D四点满足任意三点不共线，但
r r r r
四点共面，且OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，则 2x + 3y + 4z 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D． 2
9．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知点D在VABC 确定的平面内，O是平面 ABC 外任意一点，实数 x, y
r r r r
满足OD = xOA + yOB - OC ，则 x2 + y2 的最小值为（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
r r r r
10．（2024 高二上·山东威海·期末）在平行六面体 ABCD - A1B C
1 1
1 1D1中，点 E 满足 AE = - AA1 + AB1 + AD1 ，3 3
则（ ）
r r r r r r r r
A．3B1E = B1C1 B．3B1E = 2B1C1 C．B1E = 3B1C1 D． 2B1E = 3B1C1
r r r
11．（2024 高二上·北京·期中）在三棱柱 A1B1C1 - ABC
r
中，D 是四边形 BB1C1C 的中心，且 AA1 = a ， AB = b ，
r
AC cr
r
= ，则 A1D = （ ）
1 ar 1
r
b 1 cr 1 ar 1
r
b 1 rA． + + B． - + c
2 2 2 2 2 2
1 r 1 r r
C． a + b
1
- cr 1 ar 1D．- + b
1 cr+
2 2 2 2 2 2
12．（2024 高二上·河南洛阳·期中）已知点D在VABC 确定的平面内，O是空间任意一点，实数 x, y满足
r r r r
OD = xOA + 2yOB - OC ，则 x2 + y2 的最小值为（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
13．（2024 高二上·福建三明·开学考试）下列命题中为真命题的是（ ）
v r
A．空间向量 AB 与BA的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
14．（2024 高二·全国·课后作业）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r r r r r r
②若空间向量 a,b满足 a = b ，则 a = b ；③在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，必有 AC = A1C1 ；④若空间向量
r r r r r r r r r
m, n, p满足m = n ，n = p ，则m = p ．其中正确的个数为（ ）．
A． 4 B．3 C． 2 D．1
15．（2024 高二上·福建福州·期末）已知O为空间任意一点， A, B,C, P四点共面，但任意三点不共线．如果
r r r r
BP = mOA + OB + OC ，则m 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
r
16．（2024 高二上·浙江台州·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是C1D1的中点，则 AE =
（ ）
1 r r r r 1 r r
A． AB + AD + AA1 B． AB + AD + AA2 2 1
r r 1 r r r r
C． AB + AD + AA1 D． AB + AD + AA2 1
17．（ 2024 高二下 ·上海闵行 ·开学考试）已知 A、B、C 是空间中不共线的三个点，若点 O满足
r r r r
OA + 2OB + 3OC = 0，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点O是唯一的，且一定与 A、B、C 共面
B．点O不唯一，但一定与 A、B、C 共面
C．点O是唯一的，但不一定与 A、B、C 共面
D．点O不唯一，也不一定与 A、B、C 共面
r r r r r r r r
18．（2024 高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量 e1 ， e2 不共线， AB = e1 + e2 ， AC = 2e1 + 8e2 ，
r r r
AD = 3e1 - 5e2 ，则（ ）
r r r r
A． AB 与 AC 共线 B． AB 与CD共线
C．A ， B ，C ，D四点不共面 D．A ， B ，C ，D四点共面
19．（2024·江西新余·二模）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1， AB = AD = 2 ， AA1 = 4，M 是BB1的中点，点 P
r r r
满足BP = lBC + m BB1 ，其中l 0,1 ，m 0,1 ，且MP∥平面 AB1D1，则动点 P 的轨迹所形成的轨迹长度
是（ ）
A． 5 B．4 2 C． 2 2 D．2
r r
20．（2024 高二下·江苏淮安·阶段练习）四面体O - ABC 中，OP = 3PA，Q是 BC 的中点，M 是 PQ的中点，
r r r r r r
设OA = a ，OB = b ，OC r= c ，则OM = （ ）
1 ar 1
r
b 1 cr 3 ar 1
r
b 1 rA． + + B． + + c
4 6 6 4 4 4
3 r 1 r 1 r r
C． a + b + c 1 ar 1 b 1D． + + cr
8 4 4 3 4 4
21．（2024·浙江温州·二模）如图，在四面体 ABCD中，E 、F 分别是 AB 、CD的中点，过EF 的平面a 分
别交棱DA、BC 于G 、 H （不同于A 、 B 、C 、D）， P 、Q分别是棱BC 、CD上的动点，则下列命题错
误的是（ ）
A．存在平面a 和点 P ，使得 AP//平面a
B．存在平面a 和点Q，使得 AQ// 平面a
C．对任意的平面a ，线段EF 平分线段GH
D．对任意的平面a ，线段GH 平分线段EF
r r
22．（2024 高二上·北京海淀·期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，点 M 满足2AM = AC ．若
r r r r r r r
A1B1 = a, A1D1 = b, A1A = c ，则下列向量中与B1M 相等的是（ ）
1 r 1 r ra b c 1
r
a 1
r r
A． - + B． + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D．- a - b + c
2 2 2 2
二、多选题
23．（2024 高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 3, AD = 2, AA1 =1，则在
以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有 8 个
r
B．与 AB 相等的向量有 3 个
r
C．与 AA1 的相反向量有 4 个
r r r
D．向量 A1D1, A1B1,CC1 共面
24．（2024 高二下·江苏·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
25．（2024 高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点 A, B,C, D 及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出
A, B,C, D 四点共面的有（ ）
r r r r r r r
A． AB = 2AC + 3AD B．OA = 3OB - OC - DO
r r r r r r
C． AB∥ AC D．OC = BO + 3AO - 5DO
r r r
26．（2024 高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，P 为空间一点，且满足 BP = lBC + m BB1 ，
l, m 0,1 ，则（ ）
A．当l =1时，点 P 在棱BB1上 B．当m =1时，点 P 在棱 B1C1 上
C．当l + m =1时，点 P 在线段B1C 上 D．当l = m 时，点 P 在线段BC1上
27．（2024 高二上·辽宁本溪·期末）下列命题中正确的是（ ）
CD r
r
A．若 AB ∥ ，则 AB ∥ CD
r r r r
B． a + b = a + b
r r
是 a,b 共线的必要条件
r r r r
C． A, B,C
1 1 1
三点不共线，对空间任一点O，若OP = OA + OB + OC ，则P, A, B,C 四点共面
2 4 4
r r r r r
D．若P, A, B,C 为空间四点，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共线），则l + m =1是 A, B,C 三点共线的
充要条件
三、填空题
r
28．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体 ABCD- A B C D 的棱中，与向量 AA 模相等的向
量有 个.
29．（2024 高二上·河北沧州·阶段练习）已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由
r 1 r r rOP = OA 2+ OB + (1- l)OC 确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则l = ．
6 3
r r r r r r r r r r r r r r r
30．（2024 高二上·山东聊城·期中）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - j + k,b = -i + 4 j - 2k,c = 7i + 2 j + lk ，
r r r
若 a,b,c三个向量共面，则实数l = .
31．（2024 高二上·山东烟台·期末）如图所示的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
BAD = DAA1 = 60°， BAA1 = 30°， N 为 A1D1上一点，且 A1N = l A1D1．若BD ^ AN ，则l 的值为 ；若M
为棱DD1的中点，BM / /平面 AB1N ，则l 的值为 ．
32．（2024 高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，点 P 满足
r r r
BP = mBC + nBB1 ，其中m =1,n [0,1]，则三角形 AB1P 周长最小值是 .
33．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）已知 P 为空间中任意一点，A 、 B 、C 、D四点满足任意三点均不
4 1 r
共线，但四点共面，且PA = PB- x PC+ DB，则实数 x 的值为 .
3 6
34．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E 为棱
r 1 r r r AM
AB 的中点， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC3 1
与平面EFG 交于点M ，则 =AC .1
四、解答题
35．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平面
r r r r
ABCD，M 、 N 分别为PC 、PD上的点，且PM : MC = 2 :1，PN = ND，求满足MN = xAB + y AD + z AP
的实数 x, y, z的值．
36．（2024 高二·江苏·专题练习）已知O、A 、 B 、C 、 D、 E 、 F 、G 、 H 为空间的9个点（如图所示），
r r r r r r r r r r r r
并且OE = kOA，OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ．求证： AC //EG．
r r r r r
37．（2024 高二下·江苏·课后作业）设 e1,e2 是空间两个不共线的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，
r r r r r r
BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，且 A， B， D 三点共线，求实数 k 的值．
38．（2024 高二上·全国·课前预习）如图所示，已知 ABCD - A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶
点为向量的起点、终点，求：
r
（1）与BB1 相等的向量；
r
（2）与BC1 相反的向量；
r
（3）与BA1 平行的向量．
39．（2024 高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，点G 为VABC 的重心，点M 在PG 上，
且PM = 3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段PA， PB，PC 于点D，E ，F ，若PD = m PA，
1 1 1
PE = n PB ，PF = t PC ，求证： + + 为定值，并求出该定值.m n t
r r
40．（2024 高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知O, A, B,C, D, E, F ,G, H 为空间的 9 个点，且OE = kOA，
r r r r r r r r r r
OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ， k 0, m 0 .
r r
求证：（1） AC / /EG ；
r r
（2）OG = kOC .1.1.1 空间向量及其线性运算 7 题型分类
一、空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
→ →
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作A B，其模记为|a|或|A B
|.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0
单位向量 模为 1 的向量称为单位向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么
共线向量
这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量 a，都有 0
(平行向量)
∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
二、空间向量的线性运算
→ → →
加法 a＋b＝O A＋ A B ＝O B
→ → →
空间向 减法 a－b＝O A－O C＝C A
量的线 → →
当 λ>0 时，λa＝λO A＝P Q；
性运算
数乘 → →
当 λ<0 时，λa＝λO A＝M N；
当 λ＝0 时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
四、共面向量
1．共面向量
→
如图，如果表示向量 a 的有向线段O A所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l.如果
直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝
xa＋yb.
（一）
空间向量的概念
(1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可;
(2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确:
①零向量不是没有方向，它的方向是任意的;
②零向量与任何向量都共线.
(3)对于共线向量我们应明确:
①当我们说 a 与 b 共线时，表示 a,b 的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当
我们说 a//b 时，也具有相同的意义;
②共线(平行)向量不具有传递性，如 a//b,b//c.那么 a//c 就不一定成立，因为当 b=0 时，虽然有 a//b//c,但 a 不
一定与 c 共线，若 a,b,c 都不是零向量，则具有传递性.
(4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条
件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反．
题型 1：利用空间向量有关概念判断命题
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r r r r
③若空间向量 a,b满足 a = b ，则a = b；
r r r r r r r r r
④若空间向量m,n, p满足m = n,n = p，则m = p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相
同，故②错误；
r r
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向
不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是 .
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r
② a = b r是向量 a = b 的必要非充分条件；
ì av
v
r r = b③向量 a 、b 相等的充要条件是 í v v
a P b
r r
④若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB = DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件.
【答案】②④
【分析】根据相等向量的概念可判断①；根据相等向量和向量的模的概念可判断②；由相反向量的概念可
判断③；根据相等向量的概念和平行四边形的性质可判断④.
【详解】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；
r r r r r r r r r r r r
根据相等向量的概念可知，若 a = b ，则 a = b ，但 a = b ，有可能 a 、b 的方向不同，故 a = b 是向量 a = b
的必要非充分条件，②正确；
v
r r ì a
v = b
当 a 、b 为相反向量时，显然满足 í v v ，故③错误；
a P b
r r
因为 A、B、C、D 是不共线，所以由 AB = DC，可知 AB = DC 且 AB P DC ，所以四边形 ABCD 为平行四边
r r
形，反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则由平行四边形的性质可得 AB = DC，故④正确.
故答案为：②④
1-3 r．（2024 高二·全国·课后作业）已知 a 为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A ar．与 共面的单位向量有无数个
B r．与 a 垂直的单位向量有无数个
C．与 ar 平行的单位向量只有一个
D ar．与 同向的单位向量只有一个
【答案】C
【分析】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．
r
【详解】解：与 a 共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故 A 正确；
ar与 垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故 B 正确；
ar与 平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故 C 错误；
ar与 同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故 D 正确．
故选：C．
1-4．（2024 高三上·广东·阶段练习）如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的中心为 O，则下列结论中
r r r r
① OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；
r r r r
② OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；
r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA是一对相反向量；
r r r r
④ OC -OA与OC 1-OA 1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.
【详解】设 E,F 分别为 AD 和 A1D1的中点，
r r r r r r
① OA +OD = 2OE与OA1 +OD1 = 2OF 不是一对相反向量，错误；
r r r r r r
② OB -OC1 = C1B与OC -OB1 = B1C 不是一对相反向量，错误；
r r r r r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD1 = -OC - OD - OA - OB = - OC + OD + OA + OB 是一对相反向量,正确；
r r r r r r
④ OC -OA = AC 与OC 1-OA1 = A1C1 不是一对相反向量,是相等向量，错误．
即正确结论的个数为 1 个
故选：A
（二）
空间向量的加减运算
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾
相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方
向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
题型 2：利用空间向量的加减法运算求解化简
r r r
2-1．（2024 高二上·北京大兴·期末）空间向量OA - OB + AC = （ ）
r r r r
A． AB B．CB C．OC D．BC
【答案】D
【分析】利用向量的加减法则即可求解.
r r r r r r
【详解】OA - OB + AC = BA + AC = BC
故选：D
2-2．（2024 高二下·安徽亳州·开学考试）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为线段 AC 的中点，则
r r r
OA1 + AD + AB = （ ）
uuur r r uuur
A． AD1 B．OB1 C．OC1 D．OD1
【答案】C
【分析】利用空间向量的加法法则进行求解.
r r r
【详解】因为O为线段 AC 的中点，所以 AB+AD = 2AO ,
r r r r r r r
所以OA1 + AD + AB = 2AO + OA1 = AO + AA1 ，
r r r r
因为长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AO=OC, AA1 = CC1 ，
r r r r r r r r r
所以 AO+AA1=OC+CC1=OC1 ，即OA1 + AD + AB = OC1 .
故选：C.
r r r
2-3．（2024 高二下·江苏连云港·期中）正方体 ABCD - A1B1C1D1中，化简 AB + BD - AC1 =（ ）
r r r r
A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
r r r r r r
【详解】 AB + BD - AC1 = AD - AC1 = C1D .
故选：C.
（三）
空间向量的线性运算
（1）利用数乘运算进行向量表示的注意点
①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转
化为已知向量．
②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
（2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运
用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
题型 3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量
3-1．（2024 高二下·全国·单元测试）若 A, B,C, D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
r r r r
A． AB + 2BC + 2CD + DC
r r r r r
B． 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC
r r r
C． AB + DA + BD
r r r r
D． AB - CB + CD - AD
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
r r r r r r r r r r r r【详解】对于 A， AB + 2BC + 2CD + DC = AB + BC + BC + CD + CD + DC = AC + BD；
r r r r r r r r r r r r r
对于 B， 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC = 2 AB + BC + 3 CD + DA + AC = 3AC + 3CA = 0；
r r r r r r r r r
对于 C， AB + DA + BD = DA + AB + BD = DB + BD = 0；
r r r r r r r r r r r
对于 D， AB - CB + CD - AD = AB - AD + CD - CB = DB + BD = 0 .
故选：A.
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 是BB1的中点，化简下列各式，
并在图中标出化简得到的向量.
r r
(1)CB + BA1 ；
r r 1 r
(2) AC + CB + AA1 ；2
1 r 1 r r r
(3) AA1 - B1B - AC - CB .2 2
r r r
【答案】(1)CB + BA1 = CA1 ，图中表示见解析
r r 1 r r
(2) AC + CB + AA1 = AM ，图中表示见解析2
1 r r r r r
(3) AA
1
- B B - AC - CB = BA ，图中表示见解析
2 1 2 1 1
【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简．
r r r
【详解】（1）解：CB + BA1 = CA1 .
r r r r
（2）解：因为M 是BB
1
1的中点，所以BM = BB1 ，又 AA1 = BB1 ，2
r r r r r r
所以 AC + CB
1
+ AA1 = AB + BM = AM .2
1 r 1 r r r
（3）解： AA
2 1
- B1B - AC - CB2
1
=
2
r r
AA1 + BB1 -
r r
AC + CB r r r= AA1 - AB = BA1
r 1 r r r r
3-3．（2024 高二上·全国·阶段练习）已知在空间四边形 ABCD中，CG = CD ，则BD + BC + 2AB = （ ）2
r r r 1 r
A． 2AG B． 2GC C． 2BC D． BC2
【答案】A
【分析】
r 1 r r r r
根据CG = CD 得到 G 为 CD 的中点，再利用平行四边形法则得到BD + BC = 2BG ，最后代入计算即可.2
r 1 r
【详解】因为CG = CD ，故 G 为 CD 的中点，如图，
2
r r r
由平行四边形法则可得BD + BC = 2BG ，
r r r r r r
所以 2AB + BD + BC = 2 AB + BG = 2AG .
故选：A.
3-4．（辽宁省沈阳市东北育才学校 2023-2024 学年高二上学期第二次段考数学试题（理科））已知正方体
1 rABCD- A B C D ，点 E 是 A C 的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF = EF ，则 AF 等于（ ）．2
r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
A． AA + AB + AD B． AA + AB + AD
2 2 2 2 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 rAA AB AD AA AB 1
r
C． + + D． + + AD
2 6 6 3 6 6
【答案】D
r 1 r r r r r 1 r
【分析】作图分析，根据空间向量的线性运算可得 AF = AE ， AE = AA + A E ， A E = A C ，3 2
r r r r r r r r 1 r 1 r
A C = A D + A B ， A D = AD， A B = AB，代入 AF = 3
AA + A C ÷化简即可得出答案．
è 2
【详解】如图所示，
1 r 1 r r r r r r
由于 AF = EF ，故 AF = AE
1
，
2 3 AE = AA + A E
， A E = A C ，
2
r r r r r r r
A C = A D + A B ， A D = AD， A B = AB，
r 1 r 1 r 1 r r r r
∴ AF = AE = AA + A C
1 AA 1= + (A B + A D )
3 3 2 ֏ 3 6
1 r 1 r r 1 r 1 r r= AA + AB AD 1+ = AA + AB + AD，3 6 3 6 6
故选：D．
3-5．（2024 高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E、F 分别是 BC、CC1的中点，G 为
r
VABC 的重心，则GF = （ ）
1 r 2 r 1 r 1 r 2 rAB AC AA AB AC 1
r
A．- + + B． + + AA
3 3 2 1 3 3 2 1
2 r r r r r r
C．- AB
1 1 1 2 1
+ AC - AA1 D． AB - AC + AA3 3 2 3 3 2 1
【答案】A
【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.
【详解】解：由题意可得：
uuur uuur uuur
GF = GE + EF
1 uuur 1 uuuur
= AE + BC
3 2 1
1 1 uuur uuur 1 uuur uuur
= (AB + AC) + (BC + BB1)3 2 2
1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
= AB + AC 1+ (AC - AB + BB
6 6 2 1
)
1 uuur 2 uuur 1 uuur
= - AB + AC + BB
3 3 2 1
1 uuur 2 uuur uuur
= - AB AC 1+ + AA
3 3 2 1
.
故选：A.
（四）
向量共线的判定及应用
1、向量共线的判定及应用
(1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
(2)判断或证明两向量 a，b(b≠0)共线，就是寻找实数 λ，使 a＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向
量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(3) → →判断或证明空间中的三点(如 P，A，B)共线的方法：是否存在实数 λ，使PA＝λPB；
2、判断向量共线的策略:
（1）熟记共线向量的充要条件:
①若 a//b,b≠0，则存在唯一实数l 使 a=l b;
②若存在唯一实数l ，使 a=l b，则 a//b.
（2）判断向量共线的关键:找到实数l .
3、三点共线与直线平行的判断:
（1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量 a,b 平行，还要证明一直线上有一点不在另一
条直线上.
r r r r
（2）三点共线:证明三点 A, B,C 共线，只需证明存在实数l ，使 AB = lBC 或 AB = l AC 即可.
题型 4：向量共线的判定
r r r r r r r
4-1．（2024 高二· r全国·课后作业）已知向量 a 、b 满足 AB r r= a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7ar - 2b ，则一定
共线的三点是 ( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.
r r r r r r r r uuur r
【详解】因为 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，不存在常数l 使得 AB = l BC ，所以 AB, BC 不共线，则 A，B，
C 不共线，B 错；
r r r r r r m r r
r r
因为BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，不存在常数 ，使得CD = m BC ，所以CD, BC 不共线，则 B，C，D
不共线，C 错；
r r r r r r r r r r
因为 AC = AB r+ BC = a + 2b r r- 5a + 6b = -4a + 8b ，CD = 7ar - 2b ，所以不存在常数 n ，使得CD = n AC ，所
r r
以CD, AC 不共线，则 A，C，D 不共线，D 错；
r r r r r r r r r
因为BD = BC + CD = -5ar + 6b 7ar 2b 2ar+ - = + 4b = 2AB ，所以 BD, AB 共线，又两向量都过点 B ，故三点A ，
B ，D一定共线．
故选：A．
4-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图，四边形 ABCD ABEF 都是平行四边形且不共面，M N 分别是 AC
r r
BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线？
【答案】共线.
【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【详解】因为 M N 分别是 AC BF 的中点，而四边形 ABCD ABEF 都是平行四边形，
r r r r r r r
所以MN = MA
1 1
+ AF + FN = CA + AF + FB .
2 2
r r r r r 1 r r r r
又MN = MC + CE EB BN
1
+ + = - CA + CE - AF - FB ，
2 2
1 r r 1 r 1 r r r r
所以 CA AF FB
1
+ + = - CA + CE - AF - FB .
2 2 2 2
r r r r r r r r所以CE = CA + 2AF + FB = 2 MA + AF + FN = 2MN ，
r r r r
即CE = 2MN ，即CE 与MN 共线.
r r
4-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点E 在 A1D1上，且 A1E = 2ED1 ，
r 2 r
点F 在体对角线 A1C 上，且 A1F = FC ．求证：E ，F ， B 三点共线．3
【答案】证明见解析
r r r r r
【分析】把EF , FB 用基底 A1B1, A1A, A1D1 表示后证明它们共线，再由共顶点F 可得三点共线．
【详解】连接EF ，FB，
r r r 2 r 2 r
∵ EF = A1F - A1E = A5 1
C - A
3 1
D1
2 r r r 2 r
=
5 A1A + AB + BC - A3 1D1
2 r r r r= A1B1 + A D 25 1 1 + A1A - A3 1D1
2 r 2 r 4 r
= A1B1 + A1A - A1D1 ，5 5 15
r r r r r 2 r r rFB = A1B - A1F = A1B1 + A1A - A1B1 + A5 1D1 + A1A
3 r 3 r 2 r
= A B
5 1 1
+ A1A - A D ，5 5 1 1
r 2 r r r
∴ EF = FB ，∴
3 EF //FB
，
又EF FB = F ，∴ E ，F ， B 三点共线．
4-4．（2024 高二·甘肃武威·课后作业）满足下列条件，能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是( )
v v v v v v
A． AB + BC = AC B． AB - BC = AC
v v v v
C． AB = BC D． AB = BC
【答案】C
【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
v v v
【详解】对于空间中的任意向量，都有 AB + BC = AC ，说法 A 错误；
v v v r r r r r r r r
若 AB - BC = AC ，则 AC + BC = AB ，而 AC + CB = AB ，据此可知 BC = CB ，即B,C 两点重合，选项 B 错
误；
v v
AB = BC ，则 A、B、C 三点共线，选项 C 正确；
v v
AB = BC ，则线段 AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有 A、B、C 三点共线，选项 D 错误；
本题选择 C 选项.
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
题型 5：向量共线的应用
r r r r r r r r
5-1．（2024 高二·全国·课后作业）设 a,b是空间中两个不共线的向量，已知 AB = 9a + mb，BC = -2a - b ，
r r r
DC = a - 2b，且 A, B, D 三点共线，则实数m = ．．
【答案】-3
r r r r r
【分析】利用向量线性运算可得BD = -3a + b ，由三点共线可得 AB = lBD ，由此可构造方程组求得结果.
r r r r r r
【详解】QBC = -2a - b，DC = a - 2b，
r r r r r r r r r r r
\BD = BC + CD = BC - DC = -2a - b - a - 2b = -3a + b，
r r r r r r
Q A, B, D三点共线，\存在实数l ，使得 AB = lBD ，即9a + mb = l -3a + b ，
ì9 = -3l
\í ，解得：m = l = -3
m
．
= l
故答案为：-3 .
r r r r r r r r
5-2．（2024 高二上·贵州黔南·期中）设 e1 ， e2 是两个不共线的空间向量，若 AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，
uuur ur ur
CD = e1 + ke2 ，且A ，C ，D三点共线，则实数 k 的值为 .
2
【答案】 / 0.4
5
r r
【分析】由 AC //CD列方程，化简求得 k 的值.
r r r r r r uuur ur ur
【详解】∵ AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，CD = e1 + ke2 ，
r r r r r
∴ AC = AB + BC = 5e1 + 2e2 ，
r r
又∵A，C，D 三点共线，∴ AC //CD，
r r r r
∵ e1 ， e2 不共线，∴ AC = 5CD，
2
∴ 2 - 5k = 0，∴ k = .
5
2
故答案为：
5
r r r r r r r
5-3．（2024 高二上·广东广州·期末）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m = a + 2 b - 3c ，
r r r r r r r r r x
n = x(a+b)- y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则 =y （ ）
1 1
A．-3 B．- C．3 D．
3 3
【答案】C
r r r r r r
【分析】由m∥n，可得存在实数l ，使 n = λm，然后将m, n代入化简可求得结果
r r r r v v v v v v v v v
【详解】m = a + 2 b - 3c ， n = x(a + b) - y(b + c) + 3(a + c) = (x + 3)a + (x - y)b + (3 - y)cv，
r r r r
因为m∥n，所以存在实数l ，使 n = λm，
v v
所以 (x + 3)av + (x - y)b + (3- y)cv = l(av + 2b - 3cv) ，
ìx + 3 = l
所以 íx - y = 2l ，
3- y = -3l
ìx - y = 2(x + 3)
所以 í ，得 2x + 2y = 3x - y ， x = 3y
3- y = -3(x + 3)
，
x
所以 = 3y ，
故选：C
（五）
向量共面的判定及应用
1、向量共面的充要条件
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝
xa＋yb．
2、证明空间向量共面、点共面的常用方法
(1)证明空间三个向量共面常用的方法
①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若 a＝xb＋yc，则空间向量 a，b，c 共
面；
②寻找平面 α，证明这些空间向量与平面 α 平行．
(2)对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面
→ → →
①M P＝xM A＋yM B；
→ → → →
②对空间任一点 O，O P＝O M＋xM A＋yM B；
→ → → →
③对空间任一点 O，O P＝xO A＋yO B＋zO C(x＋y＋z＝1)；
→ → → → → →
④P M∥A B(或P A∥M B，或P B∥A M)．
题型 6：向量共面的判定
r r r r r r r r r r r r r r
6-1．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - 2 j + k,b = -i + 3 j + 2k,c = -3i + 7 j ，证
明这三个向量共面.
【答案】证明见解析
【分析】由空间向量基本定理可得答案.
r r r r r
【详解】由 i, j, k 是不共面向量，得a 与b 不共线，
r r r r r r r r r r r
设 a = xb + yc ，则 i - 2 j + k = x -i + 3 j + 2k + y -3i + 7 j ，
ì1 = -x - 3y ì 1
x =
2 r 1 r 1 r
所以 í-2 = 3x + 7 y ，解得 í ，所以 a = b - c
1
，
2 2
1 = 2x y = - 2
所以这三个向量共面.
6-2．（2024 高二下·江苏·课后作业）设空间任意一点O和不共线的三点A ， B ，C ，若点 P 满足向量关系
r r r r
OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z =1），试问： P ，A ， B ，C 四点是否共面？
【答案】共面
r r r r
【分析】由已知得OP = (1- y - z)OA + yOB + zOC ，由此利用空间向量共面定理能证明 P ，A ，B ，C 四点共面．
【详解】解： P ，A ， B ，C 四点共面．
r r r r
理由如下：Q OP = xOA + yOB + zOC ， x + y + z =1，
r r r r r r r r r
\ OP = (1- y - z)OA + yOB + zOC = OA - yOA - zOA + yOB + zOC
r r r r r r r r
= OA + y OB - OA + z OC - OA = OA + y AB + z AC ，
r r r r r
即 AP = y AB + z AC ，由A ， B ，C 三点不共线，可知 AB 和 AC 不共线，
r r r
由共面定理可知向量 AP ， AB ， AC 共面，
\P，A ， B ，C 四点共面．
6-3．（2024 高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点 P A B C 共面的是（ ）
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
A．OA + OB + OC = -OP B．OA + OB + OC = OP
uur uuur uuur uuur r r r r
C．OA + OB + OC = 2OP D．OA + OB + OC = 3OP
【答案】D
uuur uur uuur uuur
【分析】要使空间中的 P 、A 、 B 、C 四点共面，只需满足OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + y + z =1即可.
uuur uur uuur uuur
【详解】对于 A 选项，OP = -OA - OB - OC ， (-1) + -1 + -1 = -3 1，所以点 P 与A 、 B 、C 三点不共面；
r r r r
对于 B 选项，OP = OA + OB + OC ，1+1+1 = 3 1，所以点 P 与A 、 B 、C 三点不共面；
r 1 r 1 r 1 r
对于 C 选项，OP = OA OB OC
1 1 1 3
+ + ， + + = 1，所以点 P 与A 、 B 、C2 2 2 2 2 2 2 三点不共面；
r 1 r 1 r 1 rOP OA OB 1 1 1对于 D 选项， = + + OC ， + + = 1 ,所以点 P 与A 、 B 、C 三点共面.
3 3 3 3 3 3
故选：D.
6-4．（湖北省云学新高考联盟 2023-2024 学年高二上学期期末联考数学试题）在下列条件中，能使M 与A ，
B ，C 一定共面的是（ ）
r r r r r r
OM 1 OA 1
r r
A．OM = 2OA - OB - OC B． = + OB
1
+ OC
5 3 2
r r r r r r r r r
C．MA + MB + MC = 0 D．OM + OA + OB + OC = 0
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
r r r r
【详解】解：空间向量共面定理，OM = xOA + yOB + zOC ，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，
则其充要条件是 x + y + z =1；
对于 A，因为 2 -1-1 = 0 1，所以不能得出A ， B ，C ，M 四点共面；
1 1 1 31
对于 B，因为 + + = 15 3 2 30 ，所以不能得出A ， B ，C ，M 四点共面；
r r r r r r
对于 C，MA = -MB - MC ，则MA，MB ，MC 为共面向量，所以M 与A ， B ，C 一定共面；
r r r r r r r r r
对于 D，因为OM + OA + OB + OC = 0，所以OM = -OA - OB - OC ，因为-1-1-1 = -3 1，所以不能得出
A ， B ，C ，M 四点共面．
故选：C．
题型 7：向量共面的应用
r r r r r r r r r r
7-1．（2024 高二上·湖北黄冈·期末） a,b,c 是空间向量的一组基底，OA = 2a + mb + c，OB = a + 2b ，
r r r r
OC = a + b + c ，已知点O在平面 ABC 内，则m = .
【答案】3
r r r
【分析】根据空间向量共面定理可得存在l 与m 使得OC = lOA + mOB ,从而可求解.
r r r
【详解】因为点O在平面 ABC 内，所以OA，OB，OC 共面，
r r r
所以存在l 与m 使得OC = lOA + mOB ,
r r r r r r
即 a + b + c = l 2a + mb + c r r r r r+ m a + 2b = 2l + m a + lm + 2m b + lc，
ì2l + m =1 ìl =1
所以 ílm + 2m =1
，解得 ím = -1 .
l =1 m = 3
故m = 3 .
故答案为:3.
7-2．（2024 高二上·山东烟台·期中）已知O为空间中一点， A, B,C, D 四点共面且任意三点不共线，若
r r r r
2BD = xOA + OB + OC ，则 x 的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据向量共面列方程，结合已知条件求得 x 的值.
【详解】依题意， A, B,C, D 四点共面且任意三点不共线，
r r r
所以BD = mBA + nBC ，
r r r r r
所以 2mBA + 2nBC = xOA + OB + OC ，
r r r r r r r
2mOA - 2mOB + 2nOC - 2nOB = xOA + OB + OC ，
r r r r r r
2mOA - 2m + 2n OB + 2nOC = xOA + OB + OC ，
ì2m = x
所以 í- 2m + 2n =1，解得 x = -2 .
2n =1
故答案为：-2
7-3．（2024 高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥P - ABC 中，M 是平面 ABC 上一点，且
r r r r
5PM = 2PA + tPB + PC ，则 t = （ ）
1 1
A．1 B．2 C． D．
7 2
【答案】B
【分析】利用空间向量的基本定理得到关于 t的方程，解之即可.
r r r r
【详解】因为5PM = 2PA + tPB + PC ，
r r r r
所以PM
2
= PA t+ PB 1+ PC ，
5 5 5
因为 M 是平面 ABC 上一点，即 A, B,C, M 四点共面，
2
所以 5 +
t
5 +
1
5 =1，所以 t = 2．
故选：B.
7-4．（2024 高二下·江苏淮安·期中）已知 A, B,C 三点不共线，O是平面 ABC 外任意一点，若由
r 1 r 1 r rOP = OA + OB + lOC 确定的一点 P 与 A, B,C 三点共面，则l 等于（ ）
5 3
2 2 7 7
A．- B． C． D．-
3 3 15 15
【答案】C
【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.
r r r r
【详解】由 P 与 A, B,C
1 1
三点共面以及OP = OA + OB + lOC ，
5 3
1 1 7
可得， + + l =1，所以l = .
5 3 15
故选：C.
7-5．（江西省宜春市八校 2023-2024 学年高二上学期第一次（12 月）联合考试数学试题）如图,平面 ABC 内
r r r r
的小方格均为正方形,点 P 为平面 ABC 内的一点,O为平面 ABC 外一点,设OP = mOA + nOB + 2OC ,则m + n的
值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
r r r r r r r
【分析】先将OP 写为OA + AP ,再根据平面向量基本定理,将 AP 写为 xAB + y AC ,代入OP 中,利用向量的加
r r r
减,化为OA,OB,OC 的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
r r r
【详解】由题知OP = OA + AP ，
Q A, P, B,C 四点共面,
根据平面向量基本定理,
r r r
不妨设 AP = xAB + y AC , x, y R ，
r r r r
则OP = OA + xAB + y AC
r r r r r
= OA + x(OB - OA) + y(OC - OA)
r r r
= 1- x - y OA + xOB + yOC ,
r r r r
QOP = mOA + nOB + 2OC ，
ì1- x - y = m
\ íx = n ,
y = 2
\m + n =1- x - y + x =1- y = -1 .
故选:B
7-6．（2024 高二上·辽宁大连·期中）已知 A, B,C 三点不共线，O是平面 ABC 外任意一点，若
r r 2 r 1 rOM = 2lOA + OB + OC ，则 A, B,C, M 四点共面的充要条件是（
5 6 ）
l 13 17 17 13A． = B．l = C．l = - D．l = -
60 60 60 60
【答案】A
【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
r r r r r r r r r【详解】 A, B,C, M 四点共面的充要条件是 AM = xBM + yCM ，OM - OA = x OM - OB + y OM - OC ，整
r r r r
理可得 1- x - y OM = OA - xOB - yOC ，
ì1- x - y = z
1 = 2lz
r r 2 r 1 r
OM 2lOA = + OB + OC í x 2 l
13
由 ，则
5 6 - = z
，解得 = ，
5 60
1
-y = z
6
故选：A.
一、单选题
1．（2024 高二·全国·课后作业）下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
r r r r
A．若向量 a,b平行，则 a,b所在直线平行
r r r r
B．若向量 a,b所在直线是异面直线，则 a,b不共面
r r
C．若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB ，CD不共面
r r r
D．若 A，B，C，D 四点不共面，则向量 AB ， AC ， AD 不共面
【答案】D
【分析】利用平行向量的意义判断 A；利用空间共面向量的意义判断 BCD 作答.
r r r r
【详解】向量 a,b平行， a,b所在直线可以重合，也可以平行，A 错误；
可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC 错误；
r r r
显然 AB，AC，AD 是空间中有公共端点 A，但不共面的三条线段，所以向量 AB ， AC ， AD 不共面，D 正
确.
故选：D
r r r r
2．（2024 高二下·河南焦作·开学考试）已知在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 = xCD + yCC1 + zBD，则
x + y + z =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
【答案】C
【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.
r r r r r r r
【详解】依题知，Q AD1 = AB + BB1 + B1D1 = -CD + CC1 + BD，
∴ x = -1, y = z =1，
∴ x + y + z =1．
故选：C.
3．（河北省石家庄市二十三中 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）如图，已知空间四边形 ABCD 的
r 1 r r
对角线为 AC，BD，设 G 是 CD 的中点，则 AB + (BD + BC)等于（ ）
2
r r r 1 r
A． AG B．CG C．BC D． BC2
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可.
【详解】G 是 CD 的中点,所以
r r r r r r
AB 1+ (BD + BC) = AB + BG = AG
2
故选：A.
r r r
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，化简 AB - AD + CC1 = （ ）
r r uuur r
A． BD1 B．DB1 C． AC1 D．CA1
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
r r
【详解】由长方体的结构特征，有CC1 = BB1 ，
r r r r r r r r
则 AB - AD + CC1 = DB + CC1 = DB + BB1 = DB1 .
故选：B
r r r r r r r r5．（2024 高二上·全国·课后作业）当 | a |=| b | 0 ，且 a、b 不共线时， a + b 与 a - b 的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
r r
【详解】根据平行四边形法则可得，以a ，b 为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为
r r r r
a + b, a - b ，
r r r r
所以 a + b 与 a - b共面.
故选：A.
6．（2024 高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点M 与点 A, B,C 一定共面的是（ ）
r r r r
A．OM = OA - OB - OC
r r r r
B．OM = OA + OB + OC
r r r 1 r
C．OM = -OA - OB + OC
2
r r r r
D．OM = -OA - OB + 3OC
【答案】D
【分析】
根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【详解】
r r r r
设OM = xOA + yOB + zOC ，若 x + y + z =1，则点M , A, B,C 共面．
r r r r
对于 A，OM = OA - OB - OC ，由于1-1-1 = -1 1，故 A 错误；
r r r r
对于 B，OM = OA + OB + OC ，由于1+1+1 = 3 1，故 B 错误；
r r r
OM 1
r
对于 C, = -OA - OB + OC
1 3
，由于-1-1+ = - 1，故 C 错误；
2 2 2
r r r r
对于 D，OM = -OA - OB + 3OC ，由于-1-1+ 3 =1，得M , A, B,C 共面，故 D 正确.
故选：D.
7．（2024 高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
r r r r r r
C．若向量 AB , CD 满足 AB > CD ，则 AB > CD
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】
根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故 A 错误；
单位向量指的是模为 1 的向量，方向未定，故 B 错误；
向量不能比较大小，故 C 错误；
相等向量其方向必相同，故 D 正确；
故选：D.
8．（2024 高二上·四川遂宁·阶段练习）已知O为空间任一点，A ，B ，C ，D四点满足任意三点不共线，但
r r r r
四点共面，且OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，则 2x + 3y + 4z 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D． 2
【答案】B
【分析】
根据空间向量共面定理的推论求解．
r r r r r r r r
【详解】解：Q OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，\ OA = -2xOB + (-3y)OC + (-4z)OD，
又A ， B ，C ，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，
\-2x - 3y - 4z = 1，\2x + 3y + 4z = -1，
故选：B．
9．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知点D在VABC 确定的平面内，O是平面 ABC 外任意一点，实数 x, y
r r r r
满足OD = xOA + yOB - OC ，则 x2 + y2 的最小值为（ ）
4
A． B 2 5． C．1 D．2
5 5
【答案】D
【分析】
根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
r r r r
【详解】因为OD = xOA + yOB - OC ，点D在VABC 确定的平面内，
所以 x + y -1 =1，即 x = 2 - y，所以 x2 + y2 = (2 - y)2 + y2 = 2y2 - 4y + 4 = 2(y -1)2 + 2 2，
所以当 y =1时， x2 + y2 的有最小值 2．
故选：D
r r r r
10．（2024 高二上·山东威海·期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D
1 1
1中，点 E 满足 AE = - AA + AB3 1 1
+ AD
3 1
，
则（ ）
r r r r r r r r
A．3B1E = B1C1 B．3B1E = 2B1C1 C．B1E = 3B1C1 D． 2B1E = 3B1C1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算全部转化为用B1作为起点的向量来表示，然后整理即可.
r r r r r r r r r r r
【详解】由 AE
1
= - AA AB 11 + 1 + AD B E
1
1 得 1 - B1A = - B A - B A - B A 1+ B D - B A ，3 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1
r r r r r
整理得3B1E = B1D1 - B1A1 = A1D1 = B1C1 .
故选：A.
r r r r
11．（2024 高二上·北京·期中）在三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，D 是四边形 BB1C1C 的中心，且 AA1 = a ， AB = b ，
r r rAC = c ，则 A1D = （ ）
1 ar 1
r r
A． + b
1 cr 1 r 1 1 r+ B． a - b + c
2 2 2 2 2 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
C． a + b - c D．- a + b + c
2 2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】利用空间向量线性运算计算即可.
r r r r r r r r
【详解】 A1D = A1A + AB + BD
1
= -AA1 + AB + BB1 + BC2
r r 1 r 1 r r 1 r 1 r r r= -AA1 + AB + AA1 + AC - AB = - AA1 + AB 1 1 r 1 1 r+ AC = - a + b + c .2 2 2 2 2 2 2 2
故选：D.
12．（2024 高二上·河南洛阳·期中）已知点D在VABC 确定的平面内，O是空间任意一点，实数 x, y满足
r r r r
OD = xOA + 2yOB - OC ，则 x2 + y2 的最小值为（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
【答案】A
【分析】由空间向量四点共面定理可得 x + 2y -1 =1，然后利用一元二次函数的图像和性质求最小值即可.
r r r r
【详解】由题意因为 A, B,C, D 四点共面且平面唯一确定，OD = xOA + 2yOB - OC ，
所以 x + 2y -1 =1，即 x = 2 - 2y ，
所以 x2 + y2 = (2 - 2y)2 + y2 = 5y2 -8y + 4 ，
-8 4
由一元二次函数的图像和性质可得当 y = - = 时，5y2 -8y + 4取得最小值，
2 5 5
2
(x2 y2 ) 5 4 8 4 4 4所以 + min = ÷ - + = ，
è 5 5 5
故选：A
13．（2024 高二上·福建三明·开学考试）下列命题中为真命题的是（ ）
v r
A．空间向量 AB 与BA的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断 AD，将空间所有的单位向量
平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断 B，由向量与有向线段的关系判断 C.
v r v r
【详解】对于 A，因为空间向量 AB 与BA互为相反向量，所以空间向量 AB 与BA的长度相等，所以 A 正确，
对于 B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以 B 错误，
对于 C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以 C 错误，
v r
对于 D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量 AB 与BA的模相等，所以 D 错
误，
故选：A
14．（2024 高二·全国·课后作业）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
r r r r r r
②若空间向量 a,b满足 a = b
r r
，则 a = b ；③在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，必有 AC = A1C1 ；④若空间向量
r r r r r r r r r
m, n, p满足m = n ，n = p ，则m = p ．其中正确的个数为（ ）．
A． 4 B．3 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们
的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于② r，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量 a
r
与b 的方向不一定相同，②错误；
r
对于③，根据正方体的性质，在正方体 ABCD A
v
- 1B1C1D1中，向量 AC 与向量 A1C1 的方向相同，模也相等，
r r
则 AC = A1C1 ，③正确；
r r r
对于④，由向量相等关系可知m = n = p ，④正确．
故选：C.
15．（2024 高二上·福建福州·期末）已知O为空间任意一点， A, B,C, P四点共面，但任意三点不共线．如果
r r r r
BP = mOA + OB + OC ，则m 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
r r r r
【分析】由题设条件推得OP = mOA + 2OB + OC ，再由四点共面可求得m = -2
r r r
【详解】因为BP = OP - OB，
r r r r
所以由BP = mOA + OB + OC
r r r r r
得OP - OB = mOA + OB + OC ，
r r r r
即OP = mOA + 2OB + OC ，
因为O为空间任意一点， A, B,C, P满足任意三点不共线，且四点共面，
所以m + 2 +1 =1，故m = -2 .
故选：A.
r
16．（2024 高二上·浙江台州·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是C1D1的中点，则 AE =
（ ）
1 r r r r 1 r r
A． AB + AD + AA
2 1
B． AB + AD + AA
2 1
r r 1 r r r r
C． AB + AD + AA1 D． AB + AD + AA2 1
【答案】A
【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
r r r r r r r
【详解】 AE = AD + DD1 + D1E = AD
1
+ AA1 + AB ．2
故选：A.
17．（ 2024 高二下 ·上海闵行 ·开学考试）已知 A、B、C 是空间中不共线的三个点，若点 O满足
r r r r
OA + 2OB + 3OC = 0，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点O是唯一的，且一定与 A、B、C 共面
B．点O不唯一，但一定与 A、B、C 共面
C．点O是唯一的，但不一定与 A、B、C 共面
D．点O不唯一，也不一定与 A、B、C 共面
【答案】A
【分析】
r r r r uuur uuur uuur r r r
由 OA + 2OB + 3OC = 0，可得 OA = -2OB - 3OC ，从而有 OA,OB,OC 共面， O, A, B,C 四点共面，再结合
A、B、C 不共线，即可得答案.
r r r r r r
【详解】由空间向量的知识可知 a,b,c共面的充要条件为存在实数 x, y，使 a = xa + yb，
r r r r
因为OA + 2OB + 3OC = 0，
uuur uuur uuur
所以OA = -2OB - 3OC ，
r r r
所以OA,OB,OC 共面，
所以O, A, B,C 四点共面，
r r r r r r r r r因为OA + 2OB + 3OC = 0，所以 OA+OC + 2 OB + OC = 0，
所以点O唯一.
故选：A.
r r r r r r r r
18．（2024 高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量 e1 ， e2 不共线， AB = e1 + e2 ， AC = 2e1 + 8e2 ，
r r r
AD = 3e1 - 5e2 ，则（ ）
r r r r
A． AB 与 AC 共线 B． AB 与CD共线
C．A ， B ，C ，D四点不共面 D．A ， B ，C ，D四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
1 1 r r r
【详解】对于 A，Q
r
，\不存在实数l ，使得
2 8 AB = l AC
成立，\ AB 与 AC 不共线，A 错误；
r r r r r r r r r r r
对于 B，Q AC = 2e1 + 8e2 ， AD = 3e1 - 5e2 ，\ CD = AD - AC = e1 -13e2 ，
1 1 r r
\ \ r
r
又 ， 不存在实数l ，使得 AB = lCD 成立， AB 与CD不共线，B 错误；1 -13
对于 C、D，若A ， B ，C ，D四点共面，
r r r r r r r
则有 AD = xAB + y AC = (x + 2y)e1 + (x + 8y)e2 = 3e1 - 5e2 ，
ì 17
ìx + 2y = 3 x = r r r
\ 3 17 4í ，即 í ，故 AD = AB - ACx 8y 5 4 ， + = - y = - 3 3
3
故A ， B ，C ，D四点共面，C 错误，D 正确.
故选：D.
19．（2024·江西新余·二模）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1， AB = AD = 2 ， AA1 = 4，M 是BB1的中点，点 P
r r r
满足BP = lBC + m BB1 ，其中l 0,1 ，m 0,1 ，且MP∥平面 AB1D1，则动点 P 的轨迹所形成的轨迹长度
是（ ）
A． 5 B．4 2 C． 2 2 D．2
【答案】A
【分析】先构造和平面 AB1D1平行的截面MEFGHN ，再根据空间向量共面确定点 P 的轨迹形状，再求其长
度.
【详解】如图所示，E，F，G，H，N 分别为 B1C1 ，C1D1，DD1，DA，AB 的中点，
则EF∥B1D1∥NH ，MN ∥B1A∥FG ，
所以平面MEFGHN ∥平面 AB1D1，
所以动点 P 的轨迹是六边形 MEFGHN 及其内部.
r r r
又因为BP = lBC + m BB1 ，所以点 P 在侧面BCB1C1，
所以点 P 的轨迹为线段EM ，
因为 AB=AD=2， AA1 = 4，
所以EM
1
= AD1 = 5 .2
故选：A.
r r
20．（2024 高二下·江苏淮安·阶段练习）四面体O - ABC 中，OP = 3PA，Q是 BC 的中点，M 是 PQ的中点，
r r r r r r
设OA = a ，OB = b r，OC = c ，则OM = （ ）
1 ar 1
r
b 1 r 3 r 1
r 1 r
A． + + c B． a + b + c
4 6 6 4 4 4
3 r 1 r 1 r 1 1 r 1
C． a + b + c D r． a + b + cr
8 4 4 3 4 4
【答案】C
【分析】
r r
利用空间向量的基底表示OP,OQ，再利用向量线性运算求解即可.
r r r 3 r
【详解】因为OP = 3PA，所以OP = OA，4
r 1 r r
因为 Q 是BC 的中点，所以OQ = (OB + OC)，
2
r 1 r r 1 r 1 r 3 r 1 r r 3 r 1 r 1 r
因为 M 为 PQ 的中点，所以OM = (OP + OQ) = OP + OQ = OA + (OB + OC) = a + b + c ，
2 2 2 8 4 8 4 4
故选：C.
21．（2024·浙江温州·二模）如图，在四面体 ABCD中，E 、F 分别是 AB 、CD的中点，过EF 的平面a 分
别交棱DA、BC 于G 、 H （不同于A 、 B 、C 、D）， P 、Q分别是棱BC 、CD上的动点，则下列命题错
误的是（ ）
A．存在平面a 和点 P ，使得 AP//平面a
B．存在平面a 和点Q，使得 AQ// 平面a
C．对任意的平面a ，线段EF 平分线段GH
D．对任意的平面a ，线段GH 平分线段EF
【答案】D
r r
【分析】利用线面平行的判定定理可判断 AB 选项；取 AC 的中点O，GH 的中点为M ，设 AG = l AD ，
r r r r
CH = mCB，利用空空间向量的线性运算可得出EM = lEF ，可判断 C 选项；利用反证法结合 C 选项可判
断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，当 AP//EH 时，因为 AP 平面a ，EH 平面a ，此时 AP//平面a ，A 对；
对于 B 选项，当 AQ//FG 时，因为 AQ 平面a ， FG 平面a ，此时 AQ// 平面a ，B 对；
r r r r
对于 C 选项，取 AC 的中点O，GH 的中点为M ，设 AG = l AD ，CH = mCB，
r r r r 1 r r 1 r r r r
则有OE = OA + AE = OA + AB = OA
1
+ OB - OA = OA + OB ，2 2 2
r 1 r r 1 r r r 1 r r同理可得OF = OC + OD = -OA + OD ，OM = OG + OH ，2 2 2
r r r r r r r
OG = OA + AG = OA + l AD = OA + 2lOF ，
r r r r r r r r r
OH = OC + CH = OC + mCB = OC + 2mOE = 2mOE - OA，
r r r r r r r r
所以OG + OH = 2lOF + 2mOE，所以，OG = -OH + 2lOF + 2mOE ，
因为E 、F 、G 、 H 四点共面，则 2l + 2m -1 =1，所以，l + m =1，
r r r r r r r r r r
所以， 2OM = OG + OH = 2lOF + 2mOE ，则OM = lOF + mOE = lOF+ 1- l OE ，
r r r r r r
所以，OM - OE = l OF - OE ，可得EM = lEF ，
即M 、E 、F 三点共线，即GH 的中点在EF 上，即线段EF 平分线段GH ，C 对；
对于 D 选项，若线段GH 平分线段EF ，又因为线段EF 平分线段GH ，则四边形EGFH 为平行四边形，
事实上，四边形EGFH 不一定为平行四边形，故假设不成立，D 错.
故选：D.
r r
22．（2024 高二上·北京海淀·期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，点 M 满足2AM = AC ．若
r r r r r r r
A1B1 = a, A1D1 = b, A1A = c ，则下列向量中与B1M 相等的是（ ）
1 r 1 r r 1 r 1 r r
A． a - b + c B． a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D．- a - b + c
2 2 2 2
【答案】C
【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.
【详解】
r r
由点 M 满足2AM = AC ，所以 M 为 AC 中点，
因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 M 为BD中点,
r 1 r 1 r r 1 r r
所以BM = BD = (BA + BC) = (-a + b) ，
2 2 2
r r r r 1 r r 1 r 1 r r
所以B1M = B1B + BM = c + (-a + b) = - a + b + c .2 2 2
故选：C
二、多选题
23．（2024 高二上·山东潍坊·期中）如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 3, AD = 2, AA1 =1，则在
以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有 8 个
r
B．与 AB 相等的向量有 3 个
r
C．与 AA1 的相反向量有 4 个
r r r
D．向量 A1D1, A1B1,CC1 共面
【答案】ABC
【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.
r r r r r r r r
【详解】由题可知单位向量有 AA1, A1A, BB1, B1B,CC1,C1C, DD1, D1D共 8 个，故 A 正确；
r r r r
与 AB 相等的向量有 A1B1, D1C1, DC 共 3 个，故 B 正确；
r r r r r
向量 AA1 的相反向量有 A1A, B1B,C1C, D1D 共 4 个，故 C 正确；
r r r r r
因为CC1 = AA1 ，向量 A1D1, A1B1, AA1 有一个公共点 A1，而点 A1, B1, D1都在平面 A1B1C1D1内，点A 在平面
r r r
A1B1C1D1外，所以向量 A1D1, A1B1,CC1 不共面，故 D 错误.
故选：ABC.
24．（2024 高二下·江苏·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；
r r r
【详解】A.如图所示： ， a,b,c三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；
r r r
C.如图所示： ，在正方体中 a,b,c三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
r r r
D. 如图所示： ，在正方体中 a,b,c三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；
故选：ACD
25．（2024 高二上·山东济宁·阶段练习）空间四点 A, B,C, D 及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出
A, B,C, D 四点共面的有（ ）
r r r r r r r
A． AB = 2AC + 3AD B．OA = 3OB - OC - DO
r r r r r r
C． AB∥ AC D．OC = BO + 3AO - 5DO
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
r r r r r r
【详解】对 A： AB = 2AC + 3AD，定有 AB, AC, AD 共面，且有公共顶点A ，
故 A, B,C, D 四点共面，故 A 正确；
r r r r r r r
对 B：OA = 3OB - OC - DO = 3OB - OC + OD ，3-1+1 1，
故 A, B,C, D 四点不共面，故 B 错误；
r r
对 C： AB∥ AC ，可得 A, B,C 三点共线，
则 A, B,C, D 四点一定共面，故 C 正确；
r r r r r r r
对 D：OC = BO + 3AO - 5DO = -OB - 3OA + 5OD ，-1- 3+ 5 =1，
故 A, B,C, D 四点一定共面，故 D 正确.
故选：ACD.
r r r
26．（2024 高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，P 为空间一点，且满足 BP = lBC + m BB1 ，
l, m 0,1 ，则（ ）
A．当l =1时，点 P 在棱BB1上 B．当m =1时，点 P 在棱 B1C1 上
C．当l + m =1时，点 P 在线段B1C 上 D．当l = m 时，点 P 在线段BC1上
【答案】BCD
【分析】
由空间向量共线定理逐一判断即可求解
【详解】
r r r r r
当l =1时，BP = BC + m BB1 ，所以CP = m BB1 ，
r r
则CP / /BB1 ，即 P 在棱CC1上，故 A 错误；
r r
同理当m =1时，则B1P / /BC ，故 P 在棱 B1C1 上，故 B 正确；
r r r r r
当l + m =1时，m =1- l ，所以BP = lBC + 1- l BB1 ，即B1P = lB1C ，
故点 P 在线段B1C 上，故 C 正确；
r r r r当l = m 时，BP = l BC + BB1 = lBC1 ，故点 P 在线段BC1上，故 D 正确．
故选：BCD．
27．（2024 高二上·辽宁本溪·期末）下列命题中正确的是（ ）
r
A．若 AB ∥ CD
r
，则 AB ∥ CD
r r r r
a b a b r rB． + = + 是 a,b 共线的必要条件
r r r r
C． A, B,C
1 1 1
三点不共线，对空间任一点O，若OP = OA + OB + OC ，则P, A, B,C 四点共面
2 4 4
r r r r r
D．若P, A, B,C 为空间四点，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共线），则l + m =1是 A, B,C 三点共线的
充要条件
【答案】ACD
【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解.
r r
【详解】对于 A,由 AB ∥ CD，则一定有 AB ∥ CD，故 A 正确；
r r r r r r
对于 B，由 a,b 反向共线，可得 a - b = a + b ，故 B 不正确；
r 1 r 1 rA, B,C OP OA OB 1
r
对于 C，由 三点不共线，对空间任一点O，若 = + + OC ，则
2 4 4
r r
OP OA 1
r 1 r 1 r 1 r r r r- = OB - OA
1 1
4 4 ÷
+ OC - OA4 4 ÷
，即 AP = AB + AC ，
è è 4 4
所以P, A, B,C 四点共面，故 C 正确；
r r r r r
对于 D,若P, A, B,C 为空间四点，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共线），
r r r r r r当l + m =1，即m =1- l 时，可得PA - PC = l PB - PC ，即CA = lCB，
所以 A, B,C 三点共线，反之也成立，即l + m =1是 A, B,C 三点共线的充要条件，
故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
r
28．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体 ABCD- A B C D 的棱中，与向量 AA 模相等的向
量有 个.
【答案】7
【分析】根据向量模长相等即可结合几何体特征求解.
r r r r r r r r
【详解】与 AA 模长相等的向量有： A A, BB , B B,CC ,C C, DD , D D 共有 7 个.
故答案为：7
29．（2024 高二上·河北沧州·阶段练习）已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由
r 1 r r rOP = OA 2+ OB + (1- l)OC 确定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则l = ．
6 3
5
【答案】
6
【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解.
r r r
【详解】因为 P，A，B，C 四点共面，所以存在不全为 0 的m,n 使得PA = mPB + nPC ，
r r r r r r
O 是平面 ABC 外任意一点，则OA - OP = m OB - OP + n OC - OP ，
r r r r
即 m + n -1 OP = mOB + nOC - OA，
r r r r r r
若 A，B，C 三点共线，则 AB = lCB ，即PB - PA = l PB - PC ，
r r r r r r
整理得： 1- l PB = PA - lPC ，所以PA = 1- l PB + lPC ，
r r r
此时若PA = mPB + nPC ，则m + n =1，
r r r
因为 A，B，C 三点不共线，PA = mPB + nPC ，
所以m + n 1，
r r r r
所以OP
m n 1
= OB + OC - OA，
m + n -1 m + n -1 m + n -1
y m , z n 1令 = = , x = ，则 x + y + z =1，
m + n -1 m + n -1 m + n -1
1 2
所以 + + (1- l)
5
= 1，所以l = ．
6 3 6
5
故答案为：
6
r r r r r r r r r r r r r r r
30．（2024 高二上·山东聊城·期中）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - j + k,b = -i + 4 j - 2k,c = 7i + 2 j + lk ，
r r r
若 a,b,c三个向量共面，则实数l = .
【答案】4
【分析】根据向量共面列方程，化简求得l 的值.
r r r
【详解】以 i, j, k 为空间一组基底，
r r r
由于 a,b,c三个向量共面，所以存在 x, y R ，
r r r
使得 a = xb + yc ，
r r r r r r r r r
即 i - j + k = x -i + 4 j - 2k + y 7i + 2 j + lk ，
r r r r r r
整理得 i - j + k = -x + 7 y i + 4x + 2y j + -2x + l y k ，
ì-x + 7 y =1
所以 í4x + 2y = -1
3 1
，解得 x = - , y = ,l = 4 .
10 10
-2x + l y =1
故答案为： 4
31．（2024 高二上·山东烟台·期末）如图所示的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
BAD = DAA1 = 60°， BAA1 = 30°， N 为 A1D1上一点，且 A1N = l A1D1．若BD ^ AN ，则l 的值为 ；若M
为棱DD1的中点，BM / /平面 AB1N ，则l 的值为 ．
2
【答案】 3 -1 3
r r
【解析】① BD ^ AN ，不妨取 AB = AA1 = AD = 1，利用
r r r r r r r r r r r r r r
BDgAN = (AD - AB)g(AA1 + l AD) = ADgAA1 + l ADgAD - ABgAA1 - l ADgAB = 0 ，即可得出l ．
②连接 A1B ，与 AB1交于点E ．连接 A1M ，交 AN 于点F ，连接EF ．BM / /平面 AB1N ，可得 BM / /EF ．根
据E 点为 A1B 的中点，可得F 点为 A1M 的中点．延长 AN 交线段DD1的延长线于点 P ．利用平行线的性质即
可得出．
r r
【详解】解：① BD ^ AN ，不妨取 AB = AA1 = AD = 1，
\
r r r r r r r r r r r r r r
BDgAN (AD AB)g(AA l AD) ADgAA l ADgAD ABgAA l ADgAB cos60 l cos30 l cos60 1 3 1= - 1 + = 1 + - 1 - = ° + - ° - ° = - + l = 02 2 2
．
\l = 3 -1．
②连接 A1B ，与 AB1交于点E ．连接 A1M ，交 AN 于点F ，连接EF ．
QBM / / 平面 AB1N ，\BM / /EF ．
QE 点为 A1B 的中点，\F 点为 A1M 的中点．
延长 AN 交线段DD1的延长线于点 P ．
Q AA1 / /DD1 ， A1F = FM ．
\ AA1 = MP = 2D1P．
A1N AA\ = 1 = 2
ND ，1 D1P
r r
\ A N 21 = A D3 1 1 ．
l 2则 = ．
3
2
故答案为： 3 -1， ．3
【点睛】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推
理能力与计算能力，属于中档题．
32．（2024 高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，点 P 满足
r r r
BP = mBC + nBB1 ，其中m =1,n [0,1]，则三角形 AB1P 周长最小值是 .
【答案】 2 + 5 / 5 + 2
【分析】根据题意，结合向量线性运算可知，点 P 在线段CC1上，再根据两点之间线段最短，即可求解.
r r r r r
【详解】根据题意，因为BP = mBC + nBB1 = mBC + nCC1 ，其中m =1,n [0,1]，
所以点 P 在线段CC1上.
如图所示，沿 AA1展开正三棱柱 ABC - A1B1C1的侧面，
故三角形 AB1P 周长为 AB1 + AP + B1P = 2 + AP + B1P 2 + 1
2 + 22 = 2 + 5 ，
当B1、 P 、A 三点共线时，取等号.
故答案为： 2 + 5 .
33．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）已知 P 为空间中任意一点，A 、 B 、C 、D四点满足任意三点均不
PA 4
r
共线，但四点共面，且 = PB- x PC
1
+ DB，则实数 x 的值为 .
3 6
1
【答案】
3
【解析】根据向量共面的基本定理可求出PD = x PA+ y PB+ z PC 时 x + y + z =1即可求解.
【详解】PA
4
= PB- x PC 1+ DB 4= PB- x PC 1+ (PB- PD) 3= PB- x PC 1- PD，
3 6 3 6 2 6
又∵ P 是空间任意一点，A 、 B 、C 、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
3
∴ - x
1
- =1，
2 6
1
解得 x= ，
3
1
故答案为：
3
【点睛】方法点睛：设 P 是平面上任一点， A, B,C 是平面上的三点，PC = x PA+ y PB （P, A, B 不共线），
则 A, B,C 三点共线 x + y =1，把此结论类比到空间上就是：PA, PB, PC 不共面，若
PD = x PA+ y PB+ z PC ，则 A, B,C, D 四点共面 x + y + z =1．
34．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E 为棱
r 1 r r r AM
AB 的中点， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC1与平面EFG 交于点M ，则 =AC .3 1
2
【答案】
13
r r
AM l AC r r
r r r r
【分析】设 = 1 ，其中 0 < l < 1，用 AB 、 AD 、 AA1 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本
r r r
定理可知存在m 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，由空间向量基本定理可得出关于m 、 n 、l 的方程组，即
可解得实数l 的方程组，即可解得实数l 的值.
r r r r r r r r【详解】设 AM = l AC1 = l AB + AD + AA1 = l AB + l AD + l AA1 ，其中 0 < l < 1，
r r r r r r r r r r
GM = AM - AG = l AB + l AD + l AA 21 - AA1 = l AB + l AD +
l 2- ÷ AA3 3 1
，
è
r r r 1 r 2 r r r r r rGE = AE - AG = AB - AA1 ，GF AF AG
1
= - = AD 2- AA
2 3 3 3 1
，
r r r
因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE 、GF 共面，
r r r
由共面向量定理可知，存在m 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，
r r r r r r r
即l AB + l AD
2
+ l -
÷ AA1 = m
1
AB
2
- AA n 1 AD 21 ÷ + - AA
3 1 ÷è è 2 3 è 3 3
1 r r r
= mAB 1 2+ nAD - m + n AA ，
2 3 3 1
ì1
m = l
2
1 2
所以， í n = l ，解得l = .
3 13
2
- m + n = l
2
-
3 3
2
故答案为： .
13
四、解答题
35．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平面
r r r r
ABCD，M 、 N 分别为PC 、PD上的点，且PM : MC = 2 :1，PN = ND，求满足MN = xAB + y AD + z AP
的实数 x, y, z的值．
2 1
【答案】 x = - ， y = - ， z 1= 6 ．3 6
【分析】利用向量的线性运算结合已知，求出实数 x, y, z的值．
r r r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 r
【详解】QMN = PN - PM = PD - PC = AD - AP - AC + AP = AD - AB - BC + AP
2 3 2 2 3 3 2 3 3 6
2 r 1 r r
= - AB - AD 1+ AP，
3 6 6
2 1
所以， x = - ， y = - 1， z = ．
3 6 6
36．（2024 高二·江苏·专题练习）已知O、A 、 B 、C 、 D、 E 、 F 、G 、 H 为空间的9个点（如图所示），
r r r r r r r r r r r r
并且OE = kOA，OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ．求证： AC //EG．
【答案】证明见解析．
r r
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG = k AC ，即可得到证明.
r r r r r r
【详解】QOE = kOA，OF = kOB，OH = kOD，
r r r r r r r
EG = EH + mEF = OH - OE + m OF - OE
r r r r r r r r r= k OD - OA + km OB - OA = k AD + kmAB = k AD + mAB = k AC ，
r r
\ AC //EG ，
因为 AC 、EG 无公共点，故 AC //EG .
r r r r r
37．（2024 高二下·江苏·课后作业）设 e1,e2 是空间两个不共线的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，
r r r r r r
BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，且 A， B， D 三点共线，求实数 k 的值．
【答案】-8 .
【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.
r r r r r r r r r r r r r r r
【详解】因为BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，则有BD = BC + CD = (e1 + 3e2 ) - (2e1 - e2 ) = -e1 + 4e2 ，
r r r r r r r r
又 A， B， D 三点共线，于是 AB = lBD ，即 2e1 + ke2 = l(-e1 + 4e2 ) ，而 e1,e2 不共线，
ì2 = -l
因此 ík 4 ，解得
k = -8，
= l
所以实数 k 的值是-8 .
38．（2024 高二上·全国·课前预习）如图所示，已知 ABCD - A1B1C1D1为平行六面体，若以此平行六面体的顶
点为向量的起点、终点，求：
r
（1）与BB1 相等的向量；
r
（2）与BC1 相反的向量；
r
（3）与BA1 平行的向量．
r r r r r r r r
【答案】（1） AA1,CC1, DD1 ；（2）C1B, D1A；（3） A1B,CD1, D1C ．
【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；
r
（2）连接 AD1 ，因为D1C1 / /AB，所以 ABC1D1 是平行四边形，所以 BC1 //AD1，这样就可以写出与BC1 相反
的向量；
（3）连接CD1，用类似（2）的方法可写出与BA1平行的向量．
【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
r r r r
∴与BB1 相等的向量为 AA1,CC1, DD1 ；
（2）连接 AD1 ，由平行六面体的性质可得D1C1 / /AB，
∴ ABC1D1 是平行四边形，
r r r
∴ BC1 //AD1，与BC1 相反的向量为C1B, D1A．
（3）连接CD1，由平行六面体的性质可得 A1D1 / /BC ，
∴ BCD1A1 是平行四边形，
r r r r
∴ BA1 //CD1，与BA1 平行的向量为 A1B,CD1, D1C ．
39．（2024 高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，点G 为VABC 的重心，点M 在PG 上，
且PM = 3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段PA， PB，PC 于点D E ， ，F ，若PD = m PA，
1 1 1
PE = n PB ，PF = t PC ，求证： + + 为定值，并求出该定值.m n t
【答案】为定值 4；证明见解析；
【分析】联结 AG 并延长交 BC 于 H，由题意，令PA, PB, PC 为空间向量的一组基底，表示出PM .
然后根据点D， E ， F ，M 共面，故存在实数l, m ，满足DM = l DE+ m DF ，再表示出一组 PM 的表达式，
因此其系数相同，从而证得结论.
【详解】联结 AG 并延长交 BC 于 H，由题意，令PA, PB, PC 为空间向量的一组基底，
PM 3
则 = PG
3
= (PA+ AG) 3= PA 3 2+ AH
4 4 4 4 3
3 1 AB+ AC 3 1 1
= PA+ = PA+ (PB- PA) + (PC- PA)
4 2 2 4 4 4
1 1 PA PB 1
= + + PC .
4 4 4
联结 DM，点D，E ，F ，M 共面，故存在实数l, m ，
满足DM = l DE+ m DF ，即PM - PD = l(PE- PD) + m(PF- PD)，
因此PM = (1- l - m) PD+ l PE+ m PF = (1- l - m)m PA+ ln PB+ mt PC ，
由空间向量基本定理知，
(1- l 1- m)m = ln = mt = ，
4
1 1 1
故 + + = 4(1- l - m) + 4l + 4m = 4 ，为定值.
m n t
r r
40．（2024 高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知O, A, B,C, D, E, F ,G, H 为空间的 9 个点，且OE = kOA，
r r r r r r r r r r
OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ， k 0, m 0 .
r r
求证：（1） AC / /EG ；
r r
（2）OG = kOC .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
r r r r r r r r r
【分析】（1）由题意，EG = EH + mEF ，转化EH = OH - OE, EF = OF - OE，代入结合题干条件运算即得
证；
r r r r r r r
（2）由题意，OG = OE + EG ，又OE = kOA, EG = k AC ，运算即得证
r r r r r r r
【详解】证明：（1）EG = EH + mEF = OH - OE + m(OF - OE)
r r r r
= k(OD - OA) + km(OB - OA)
r r r r r
= k AD + kmAB = k AD + mAB = k AC
r r
∴ AC / /EG .
r r r r r r r r（2）OG = OE + EG = kOA + k AC = k OA + AC = kOC .
