1.2 空间向量基本定理 5 题型分类
一、空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p=xa+yb+zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
二、空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，
j，k}表示．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p=xa+yb+zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使得 a=xi+yj+zk.像这样把
一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
三、空间向量基本定理的应用
1．求异面直线的夹角：cos < , >= | || |.
2．证明共线(平行)、共面、垂直问题：
(1)对于空间任意两个向量 、 ( ≠ )， ∥ 的充要条件是存在实数 λ，使 ＝λ .
(2)如果两个向量 ， 不共线，那么向量 p 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使 p＝ + b.
(3)若 、 是非零向量，则 ⊥ = 0.
3．求距离(长度)问题：| | = (| | = ).
（一）
空间向量基底的判断
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表
示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同；
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就
说明它们都不是零向量.
(4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已
知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便．
题型 1：空间向量基底的判断
r r r
1-1．（2024 高三·全国·对口高考）已知 a,b ,c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
r r r r r r r r rA a, a 2b , ar． - + b B．a + b,a - b,c
r
C 2ar 2b ,ar
r r r r
． + + b , 2c D． ar r r r r+ c,b + c, a + b + 2c
【答案】B
【分析】利用基底的性质进行求解.
r r r r r r r【详解】因为 a - 2b = 3a - 2 a + b r r r，所以 a, a - 2b , a + b 是共面向量，不能构成基底，A 不正确；
r r r r r
因为a + b,a - b,c 不是共面向量，所以可以构成基底，B 正确；
r r r r r r r
因为 2a + 2b 与 ar + b 平行，所以 2a + 2b ,a + b , 2c
r
不能构成基底，C 不正确；
r r r r r r r r r r r r r r
因为 a + c + b + c = a + b + 2c ，所以 a + c,b + c, a + b + 2c 共面，不能构成基底，D 不正确.
故选：B.
r r r
1-2．（2024 高二下·江西南昌·期中） a,b ,c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是
（ ）
r r r r r r r r rA． a ， a + b ， a - b B．b ， a r+ b ， a - b
r r r r r rC． c ， ar b ar b D ar r r+ ， - ． + 2b ， a + b ， a - b
【答案】C
r 1 r r r r r 1【分析】确定 a = é a + b + a - b ù ，b = é r r r r r r r ra + b - a - b ù ， a + 2b
3
= a + b 1-
2 2 2 2
r r
a - b 排除 ABD，得到
答案.
r 1 r r r r
【详解】对选项 A： a = é a + b + a - b ù ，向量共面，故不能构成基底，错误；2
r 1 r r r r
对选项 B：b = é a + b - a - b ù ，向量共面，故不能构成基底，错误；2
r r r
对选项 C：假设 c = l a + b r r r r r+ m a - b ，即 c = l + m a + l - m b，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成
基底，正确；
r r
a 2b 3 r ra b 1 r r对选项 D： + = + - a - b ，向量共面，故不能构成基底，错误；2 2
故选：C
1-3．（2024 高一下·湖南·期末）给出下列命题:
r r r ur r ur r r r ur①若 a,b,c 可以作为空间的一组基， d 与 c共线， d 0，则 a,b,d 也可作为空间的一组基；
r r r r
②已知向量 a / /b，则 a,b与任何向量都不能构成空间的一组基；
uuur uuuur uuur
③ A, B, M , N 是空间四点，若BA, BM , BN 不能构成空间的一组基，那么 A, B, M , N 共面；
r r r ur r r r r ur④已知 a,b,c 是空间的一组基，若m = a + c ，则 a,b,m 也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【分析】由空间向量基底的定义，结合空间向量基本定理以及共线定理，利用反证法可得答案.
【详解】根据空间中任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基，显然②正确.
uuur uuuur uuur
③中由BA, BM , BN 共面且过相同点 B ，故 A, B, M , N 共面.
下面证明①④正确.
ur r r ur r r
①假设 d 与 a,b共面，则存在实数l, m ，使 d = la + mb ，
ur r r r ur r
∵ d 与 c共线， c 0，∴存在实数 k ，使 d = kc，
ur r r l r m r r r r
∵ d 0，∴ k 0，从而 c = a + b，∴ c与 a,b共面，与条件矛盾.k k
ur r r
∴ d 与 a,b不共面.
同理可证④也是正确的.
故选：D.
r r r r r r r r r
1-4．（2024 r r高一下·湖南·期末）已知 a,b ,c 是空间的一个基底，若 p = a + b ，q = a + c ，则下列与 p ，q构
成一组空间基底的是（ ）
r r
A rr． = 2b - 3cr B rr ar． = - b + 2cr
r r
C r r r r r r． r = a + 2b - c D． r = 2a + b + c
【答案】A
【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
r r r r r r r r r
【详解】A.设 r = xp + yq ，所以 2b - 3c = x a + b + y a + c ，
r
2b 3cr
r
整理得， - = x + y ar xb ycr+ + ，
ìx + y = 0
因为 rar,b ,cr 是空间的一个基底，所以 íx = 2 ，无解.
y = -3
所以 p
r qr， 与 rr 构成一个基底.
r r r r rr 2qr prB.因为 r = a - b + 2c ，所以 = - ，所以排除 B；
r
C. r因为 r = ar + 2b - cr，所以 r
r 2pr qr= - ，所以排除 C；
r r r r
D.设 r = xp + yq
r
，所以 2a
r
+ b + cr = x ar + b + y ar cr+ ，
r r r r
整理得， 2a + b + c = x + y ar r+ xb + yc ，
r ìx + y = 2
因为 ar,b ,cr ìx =1是空间的一个基底，所以 íx =1 ，所以 íy ， =1
y =1
pr qr r所以 ， 与 r 不构成一个基底，排除 D.
故选：A
（二）
利用基底表示空间向量
1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘
的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解.
2、用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、
向量的运算进行变形化简．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有 a，b，
c，不能含有其他形式的向量．
题型 2：利用基底表示空间向量
2-1．（2024 高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，P 是CA1的中点，点 Q 在CA1
uuur r uuur r uuur r
上，且CQ : QA1 = 4 :1，设 AB=a ， AD = b ， AA1 = c．则（ ）
uuur 3 r 3 r 3 r uuurQP a b c QP 7
r 7 r 7 r
A． = + + B． = a + b - c
10 10 10 10 10 10
uuur 3 r r r uuurQP a 3 b 3 c QP 1
r 1 r 1 r
C． = + - D． = a + b + c
10 10 10 10 10 10
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为 P 是CA1的中点，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur r r r
所以 AP = (AA1 + AC)
1
= (AA1 + AB + AD)
1
= (a + b + c)，
2 2 2
又因为点 Q 在CA1上，且CQ : QA1 = 4 :1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AQ AA AQ AA 1 AC AA 1
uuur uuur 1 uuur 4 uuur
所以 = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + (AC - AA1) = AC + AA5 5 5 5 1
1 uuur uuur 4 uuur r r r
= (AB 1 1 4+ AD) + AA
5 5 1
= a + b + c，
5 5 5
uuur uuur uuur 1 r r r 1 r 1 r 4 r 3 r 3 r 3 r
所以QP = AP - AQ = (a + b + c) - a - b - c = a + b - c，
2 5 5 5 10 10 10
故选：C.
uuur uuur
2-2．（2024 高二下·江苏盐城·期中）在四面体O - ABC 中，PA = 2OP ，Q 是 BC 的中点，且 M 为 PQ 的中点，
uuur r uuur r uuur r uuuur
若OA = a，OB = b，OC = c，则OM = （ ）
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1
A． a + b + c B． a + b + c
r
6 4 4 6 2 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
C． a + b + c D． a + b + c
3 2 2 3 4 4
【答案】A
r r r uuur uuur
【分析】利用基底 a,b,c表示OP,OQ，再利用向量线性运算求解即可.
uuur uuur uuur 1 uuur
【详解】因为 2OP = PA，所以OP = OA，3
uuur 1 uuur uuur
因为 Q 是BC 的中点，所以OQ = (OB + OC)，
2
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r 1 r
因为 M 为 PQ 的中点，所以OM = (OP + OQ) = OP + OQ = OA + (OB + OC) = a + b + c ，
2 2 2 6 4 6 4 4
故选：A.
2-3．（2024 高二上·浙江丽水·期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，AC，BD 相交于O，M 为OC1的中
uuur r uuur r uuur r uuuur点，设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，则CM = （ ）
1 ar 1
r
b 1 r 1
r
c ar 1 b 1 rA． + - B． - + c
4 4 2 4 4 2
1 r 1 ra b 1 cr 3 ar 1
r 1 r
C．- - + D．- + b - c
4 4 2 4 4 2
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.
【详解】
uuuur 1 uuur 1 uuuur 1 uuur uuur 1 uuuur 1 r 1 r 1 r如图所示，CM = CO + CC1 = CB + CD + CC1 = - a - b + c ，2 2 4 2 4 4 2
故选：C
2-4．（2024 高二上·福建泉州·期末）已知四面体 O－ABC，G1是△ABC 的重心，G 是 OG1上一点，且 OG＝
uuur uuur uuur uuur
3GG1，若OG = xOA + yOB + zOC ，则 (x, y, z)为（ ）
1
A． ,
1 , 1 3 3 3 ÷ B． , ,4 4 4 4 4 4 ÷è è
1 , 1 , 1 2C． D． ,
2 , 2
è 3 3 3 ÷ ÷ è 3 3 3
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【分析】连接 AG1并延长，交 BC 于点 E，利用向量加减、数乘几何意义用OA,OB,OC 表示出OG ，即可得
答案.
【详解】如图所示，连接 AG1并延长，交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 的中点，
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuuur 2 uuur 1 uuur uuur uuurAE = (AB + AC) = (OB - 2OA + OC)，则 AG = AE = (OB - 2OA + OC) ，
2 2 1 3 3
uuur uuuur uuuur uuur
由题设，OG = 3GG1 = 3(OG1 - OG) ，
uuur
OG 3
uuuur
OG 3
uuur uuuur uuur
(OA AG ) 3 (OA 1
uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
= 1 = + 1 = + OB - OA + OC) = (OA + OB + OC)4 4 4 3 3 3 4
所以 x = y = z
1
= .
4
故选：A
（三）
空间向量基本定理在几何中的应用
用空间向量基本定理解决几何问题时需注意
(1)若证明线线平行，只需证明两向量共线．
(2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为 0．
(3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角．
(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模．
题型 3：利用空间向量基本定理求参数
3-1．（2024 高二下·云南·阶段练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别为 AB, DD1 的中点，若
uuur uuur uuur uuuur
EF = xDA + yDC + zDD1 ，则 x + y + z = .
【答案】-1
【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuuur
【详解】因为EF = EA + AD + DF = -DA - DC + DD
2 2 1
，
所以 x = -1, y
1 1 1 1
= - , z = , 所以 x + y + z = -1- + = -1.
2 2 2 2
故答案为: -1.
3-2．（2024 高二下·江苏常州·期中）已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD外一点，PA ^平面 ABCD，点M，N
uuuur 1 uuur uuur 2 uuur uuuur uuur uuur uuur
满足PM = PC ，PN = PD ．若MN = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z =（ ）
2 3
1 1 5
A．- B． C．- D．－1
2 2 6
【答案】A
uuuur
【分析】利用空间向量基本定理表示出MN ，即可求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】矩形 ABCD中， AC = AB + AD ,所以PC = PA + AC = PA + AB + AD = -AP + AB + AD .
uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur因为PM = PC ，所以PM = -AP + AB + AD2 2 .
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur因为PD = AD - AP , PN = PD ，所以PN = AD - AP .3 3
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以MN = PN - PM
2
= AD - AP 1- -AP + AB + AD 1= - AB 1 AP 1- + AD .3 2 2 6 6
x 1 , y 1所以 = - = - , z
1
= ，所以 x + y + z
1
= - +
1
-
1 1
2 6 6 2 ÷ ÷
+ = - .
è è 6 6 2
故选：A
3-3．（2024 高三上·安徽宣城·期末）四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 为棱 PC 的中点，
uuur uuur uuur uuur
若 AE = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z 等于（ ）
3 5
A． B．1 C． D．2
2 2
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【分析】运用向量的线性运用表示向量 AE
1 AB 1= + AD 1+ AP，对照系数，求得 x, y, z，代入可得选项.
2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AE = AB + BC + CE = AB + AD + EP = AB + AD + AP - AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 1
所以 2AE = AB + AD + AP ，所以 AE = AB + AD + AP，所以 x = , y = , z = ，2 2 2 2 2 2
所以 x + y z
1 + 1 + 1 3+ = = ，
2 2 2 2
故选：A.
3-4．（2024·陕西·一模）空间四边形 ABCD 中，AC 与 BD 是四边形的两条对角线，M，N 分别为线段 AB，
uuuur 2 uuur uuur 3 uuur uuuur uuur uuur
CD 上的两点，且满足 AM = AB，DN = DC ，若点 G 在线段 MN 上，且满足MG = 3GN ，若向量 满3 4 AG
uuur uuur uuur uuur
足 AG = xAB + y AC + z AD，则 x + y + z = ．
11
【答案】
12
uuur 1 uuur 9 uuur 3 uuur
【分析】利用空间向量的运算法则，直接求出 AG = AB + AC + AD，再利用空间向量基本定理，即可
6 16 16
求出结果.
uuur uuuur uuuur uuur
AG AM MG 2 AB 3
uuuur
MN 2
uuur 3 uuur uuur 2 uuur 3 1 uuur uuur
【详解】因为 = + = + = AB + MB + BN = AB + AB + BN3 4 3 4 3 4 3 ÷è
2 uuur 1 uuur 3 uuur 11 uuur 3 uuur 11 uuur 3 uuur uuur 11 uuur uuur uuur uuur= AB + AB + BN = AB + BN = AB + BC 3 1+ CN = AB + AC - AB + CD 3 4 4 12 4 12 4 12 4 4 ֏
1 uuur 3 uuur 3 uuur 1 uuur uuurAB AC CD AB 3 AC 3
uuur uuur 1 uuur 9 uuur 3 uuur
= + + = + + AD - AC = AB + AC + AD ，
6 4 16 6 4 16 6 16 16
x y z 1 9 3 11所以 + + = + + = ．
6 16 16 12
11
故答案： .
12
题型 4：利用空间向量基本定理证明位置关系
4-1．（2024 高二·江苏·课后作业）已知空间四边形 OABC 中， AOB = BOC = AOC ，且 OA=OB=OC，
M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】证明见解析
uuur uuur uuur r r r uuur uuur
【分析】取定基底向量OA,OB,OC ，并分别记为 a,b,c，再用基底表示出OG 和BC ，然后借助数量积即可计
算作答.
uuur r uuur r uuur r r r r
【详解】在空间四边形 OABC 中，令OA = a,OB = b,OC = c，则 | a |=| b |=| c |，
令 AOB = BOC = AOC = q ，G 是 MN 的中点，如图，
uuur 1 uuuur uuur 1 1 uuur 1 uuur uuur 1 r r r uuur uuur uuur r r
则OG = (OM + ON ) = [ OA + (OB + OC)] = (a + b + c)， ，
2 2 2 2 4 BC = OC - OB = c - b
uuur uuur 1 r r r r r r r r r r r r2 r2 r r
于是得OG × BC = (a + b + c) × (c - b)
1
= (a ×c - a ×b + b ×c - b + c - b ×c)
4 4
1 r r r r
= (| a |2 cosq - | a |2 cosq - | a |2 + | a |2 ) = 0，
4
uuur uuur
因此，OG ^ BC ，
所以 OG⊥BC.
4-2．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝
∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线 A1C⊥平面 BDD1B1.
【答案】证明见解析
uuur r uuur r uuur r uuur
AA c uuur
uuur
【分析】设 AB = a ， AD = b ， 1 = ，并以它们为基底表示出 A1C 、 BD 、BB1 ，在面 BDD1B1上任意一点
uuur uuur uuur uuur uuur
P 有BP = lBD + m BB1 ，结合已知并应用向量数量积的运算律求 A1C × BP，即可证结论.
uuur r uuur r uuur r r r r uuur r r r uuur r r
【详解】设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c，则{a,b,c}为空间的一个基底且 A1C = a + b - c，BD = b - a，
uuur r
BB1 = c .
因为 AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
r r r r r r r r r2 2 2
所以 a = b = c =1， a ×b = b c
1
× = c ×a = .
2
uuur uuur
在平面 BDD1B1上，取 BD 、BB1 为基向量，则对于面 BDD1B1上任意一点 P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，
uuur uuur uuur
使得BP = lBD + m BB1 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r r r r r
所以， A1C × BP = l A1C × BD + m A1C × BB1 = l(a + b - c) × (b - a) + m(a + b - c) ×c = 0 .
uuur
所以 A1C 是平面 BDD1B1的法向量．
所以 A1C⊥平面 BDD1B1.
4-3．（湖南省长沙市四校联考 2023-2024 学年高二上学期 9 月阶段考试数学试题）如图所示，三棱柱
uur uuur r uuuur r r
ABC - A B C r r r r r 2p r p1 1 1中，CA = a ，CB = b ，CC1 = c ，CA = CB = CC1 =1， a,b = a,c = ， b ,c =3 2 ， N 是 AB
中点．
r uuuur
(1)用 ar ，b ， c
r
表示向量 A1N ；
(2)在线段C1B1上是否存在点M ，使 AM ^ A1N ？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．
1 ar 1
r
b cr【答案】(1) - + -
2 2
2
(2)当C1M = C1B1时， AM ^ A3 1
N
【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；
uuuur uuuur r r r uuuur uuuur uuuur
（2）设C1M = lC1B1 ，(l [0,1])，用 a ，b ，c 表示向量 AM ，依题意可得 AM × A1N = 0，根据空间向量数量
积的运算律求出l ，即可得解．
uuur 1 uuur
【详解】（1）解：因为 N 是 AB 中点，所以 AN = AB ，
2
uuuur uuur uuur uuuur uuur
所以 A1N = A1A AN C C
1
+ = 1 + AB2
uuuur 1 uuur uuur r
= -CC (CB CA) 1 r 1 r1 + - = - a + b - c2 2 2 ；
uuuur uuuur
（2）解：假设存在点M ，使 AM ^ A1N ，设C1M = lC1B1 ， (l [0,1])，
uuuur r uuuur uuur uuuur uuuur r
显然lC1B1 = lb ， AM = AA1 + AC C
r r
1 1 + 1M = c - a + lb ，
uuuur uuuur
因为 AM ^ A1N ，所以 AM × A1N = 0，
r r r 1 r 1 r r
即 (c - a + lb) × (- a + b - c) = 0，
2 2
1 cr ar 1 cr
r r 1 r r r r
\- × + ×b - c 2 + ar2 1 ar- ×b + cr r 1 r 1 r×a - la ×b + lb 2 - lb ×c = 0
2 2 2 2 2 2
r r
QCA = CB = CC =1 ar,b ar,cr 2p b ,cr p1 ， = = ， =3 2 ，
1 cr ar cr2 1
r r
\ × - + ar2 - (1 1+ l)ar b 1× + lb 2 = 0
2 2 2 2 2
1 1 1 ( 1 1即 - ) -12 + 12
1 1
- ( + l) 1 1 ( 1- ) 1+ l ×12 = 0 ，
2 2 2 2 2 2 2
l 2 2解得 = ，所以当C M = C B
3 1 3 1 1
时， AM ^ A1N .
4-4．（2024 高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相
对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体 ABCD，E，F，G，H，K，M 分别为棱 AB，BC，CD，DA，BD，AC 的中点，且
EG = FH = KM 求证 AB ^ CD，AC ^ BD，AD ^ BC .
【答案】证明见解析
uuur r uuur r uuur
【分析】设 AB = a, AC = b , AD r= c ，由空间向量的运算证明 AC ^ DB ， AD ^ BC, AB ^ CD .
uuur r uuur r uuurAB a, AC b , AD cr【详解】证明：设 = = =
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuurEG AG AE AC AD AB 1 ar 1 rb 1 cr 1 r r r则 = - = + - = - + + = -a + b + c2 2 2 2 2 2
uuur uuur uuur 1 uuurFH AH AF AD 1
uuur uuur 1 r 1 r r
= - = - AB + AC = c -2 2 2 2 a + b
1 r r
= -a - b + cr ，2
uuuur uuuur uuur 1 uuurKM AM AK AC 1
uuur uuur 1 rAB AD b 1 ar cr
r
= - = - + = - + 1 r r= -a + b - c
2 2 2 2 2 ，
uuur uuur
Q EG FH 1 ar r r 1 r r r= ，\ - + b + c = -a - b + c2 2 ，
r r 2 ra b cr ar b cr\ - + + = - - + 2，
r r r ra2 b 2 cr2 2ar b 2ar cr 2b cr r
r r r r r
\ + + - × - × + × = a2 + b 2 + c 2 + 2a b 2ar cr 2b cr× - × - × ，
r r
4ar r r
r r r r r r
\ ×b = 4b ×c,\a ×b - b ×c = 0,\b × a - c = 0
r uuur uuur uuur uuur
又b = AC, ar cr- = DB,\ AC × DB = 0
uuur uuur
\ AC ^ DB,\ AC ^ DB，同理可证 AD ^ BC, AB ^ CD ，
\这个四面体相对的棱两两垂直.
题型 5：利用空间向量基本定理求距离、夹角
5-1．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，
uuur r uuur r uuur r
点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点．设 AB = a ， AC = b ， AD = c .
(1)求证 EG⊥AB；
(2)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析；
2
(2)
3
【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出CE ^ AB, DE ^ AB ，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；
r r r uuur uuur
（2）用 a,b,c表达 AG 与EC ，利用空间向量夹角公式求解异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接 DE，
因为空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，且 E，G 分别是 AB，CD 的中点，
所以 AC = BC, BD = AD ，
故CE ^ AB, DE ^ AB ，
又因为CE I DE = E ，CE, DE 平面CDE ，
所以 AB ^平面CDE ，
因为EG 平面CDE ，
所以 AB ^ EG .
（2）由题意得：!ABC,!ACD,!ABD均为等边三角形且边长为 1，
所以 AG = EC 3=
2
uuur 1 r r uuur uuur uuurAG b c EC 1 BC AC 1 uuur uuur uuur rAC AB AC b 1 r= + ， = + = - + = - a ，2 2 2 2
uuur uuur 1 r r r 1 r r2AG EC b c b a 1 b 1 r r r r r r所以 × = + × - ÷ = - a ×b 1 c b 1+ × - a ×c2 è 2 2 4 2 4
1 1 r r 1 r r 1 r r
= - a × b cos 60° + c × b cos 60° - a × c cos 60°
2 4 2 4
1 1 1 1 1
= - + - = ，
2 8 4 8 2
设异面直线 AG 和 CE 所成角为q ，
uuur uuur 1
uuur uuur AG × EC
则 cosq = cos AG, EC = uuur uuur 2
2
= =
AG × EC 3 3 3
2 2
5-2．（2024 高二上·上海·期中）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中，M，N 分别是 A1B, B1C1上的点，且
uuur r uuur r uuur r
BM = 2A1M ,C1N = 2B1N ．设 AB=a ， AC = b ， AA1 = c．
r r r uuuur
(1)试用a ，b ， c表示向量MN ；
(2)若 BAC = 90°, BAA1 = CAA1 = 60°, AB = AC = AA1 = 1，求 MN 的长．
uuuur r
【答案】(1) MN
1 r 1 1
= a + b + cr
3 3 3
(2) 5
3
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
uuuur uuuur uuuur uuuur
【详解】（1）解：MN = MA1 + A1C1 + C1N
1 uuur uuur 2 uuur
= BA1 + AC + CB3 3
1 uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuur
= - AB + AA1 + AC + (AB - AC)3 3 3
1 uuur 1 uuurAB AA 1
uuur
= + 1 + AC ， 3 3 3
uuuur 1 r 1 r
∴ MN = a + b
1 cr+ ；
3 3 3
2 Q AB AC AA 1, | ar
r
（ ）解： = = 1 = \ |=| b |=| c
r |=1，
r
Q BAC r= 90°,\a ×b = 0,Q BAA1 = CAA1 = 60°，
r
\ar r×c = b ×cr 1= ，
2
uuuur r r r r r r
\| MN |2 1 2= a + b 1+ c = ar2 + b 2 cr+ 2 + 2ar ×b + 2ar r×c + 2b ×cr 5= ，9 9 9
uuuur
\| MN | 5= ，
3
即 MN 5的长为 .
3
5-3．（2024 高二上·浙江杭州·期末）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，
CB ^ BD， C1CD = 45°， CC1B = 60°，CC1 = CB = BD = 1，
(1)求对角线CA1的长度；
(2)求异面直线CA1与DA所成角的余弦值．
【答案】(1) 3；
5
(2) .
6
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
【分析】(1) 以向量CB,CD,CC1 为基底，则有CA1 = CB + CD + CC1 ，两边平方即可得 | CA1 |
2 = 9，即可得 | CA1 |
的值，即可得答案；
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur
(2)由向量的四则运算及数量积可得CA1 × DA = CA1 ×CB = ,从而可得 cos < CA1, DA >的值，即可得答案.2
【详解】（1）因为CB = BD =1，CB ^ BD，
所以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD = 2 ，
又因为CC1 = CB = 1， CC1B = 60°，
所以三角形CC1B为边长为 1 的等边三角形，
uuur uuur uuuur
以向量CB,CD,CC1 为基底，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
则有CA1 = CB + BA + AA1 = CB + CD + CC1 ，
uuur2 uuur uuur uuuur
两边平方得CA1 = (CB + CD + CC1)
2
uuur2 uuur2 uuuur2 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
= CB + CD + CC1 + 2CB ×CD + 2CB ×CC1 + 2CC1 ×CD
1 1 2 2 1 2 2 1 2= + + + + 2 1 1 + 2 1 2
2 2 2
= 9 ，
uuur
所以 | CA1 |= 3，
即 | CA1 |= 3 ,
所以对角线CA1的长度为 3；
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）因为CA1 = CB + CD + CC1 ， | CA1 |= 3，DA = CB， | DA |=| CB |=1，
uuur uuur uuur uuur
所以CA1 × DA = CA1 ×CB
uuur uuur uuuur uuur
= (CB + CD + CC1) ×CB
uuur2 uuur uuur uuuur uuur
= CB + CD ×CB + CC1 ×CB
=1 2 1 2 1 1 1+ +
2 2
5
= ,
2
uuur uuur
uuur uuur
所以 cos < CA1, DA
CA × DA 5
>= uuur1 uuur = ,
| CA1 | × | DA | 6
5
即异面直线CA1与DA所成角的余弦值为 .6
5-4．（2024 高二上·福建三明·期末）如图，在四面体 ABCD 中， BAC = 60°， BAD = CAD = 45°，
AD = 2 ， AB = AC = 3 .
uuur uuur
(1)求BC × BD 的值；
uuur uuur
(2)已知 F 是线段 CD 中点，点 E 满足EB = 2AE ，求线段 EF 的长.
9
【答案】(1) ；
2
(2) 11 .
2
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）取 AB, AC, AD 为空间的一个基底，表示出BC, BD，再利用空间向量数量积求解作答.
（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答.
uuur r uuur r uuur r r r r
【详解】（1）在四面体 ABCD中，设 AB=a ， AC = b ， AD = c ，则 a = b = 3， c = 2 ，
r r r r r r
áa,b = BAC = 60°， áa,c = BAD = 45°， áb,c = CAD = 45°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r r r r r r r 2
BC × BD = (AC - AB) × (AD - AB) = (b - a) × (c - a) = b ×c - b ×a - a ×c + a
r r r r r r r
=| b || c | cos 45°- | b || a | cos 60°- | a || c | cos 45°+ | a |2 2 1 2= 3 2 - 32 - 3 2 + 32 9= .
2 2 2 2
uuur uuur uuur 1 uuur 1 r
（2）由（1）知，因为EB = 2AE ，则 AE = AB = a ，因为 F 是 CD 中点，则3 3
uuur 1 uuur 1 uuur uuur r rDF = DC = AC AD 1 b 1- = - c，如图，2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur r r r r r r r
于是得EF = EA
1
+ AD + DF = - a c 1 1 1 1+ + b - c = - a + b 1+ c，
3 2 2 3 2 2
uuur r r r r 2 r2 r2 r r r r r r
因此 | EF |2 ( 1 a 1 b 1 c)2 a b c a ×b a ×c b ×c= - + + = + + - - +
3 2 2 9 4 4 3 3 2
32 32 ( 2)2 32 cos 60° 3 2 cos 45° 3 2 cos 45° 11 uuur 11
= + + - - + = ，即有 | EF |= ，
9 4 4 3 3 2 4 2
11
所以线段 EF 的长为 .
2
5-5．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长
都为 1，且两两夹角为60°，求BD1与 AC 的夹角的余弦值．
6
【答案】
6
uuuur r r r uuur r r
【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出BD1 = -a + b + c， A C = a + b .进而根据
uuuur uuur
数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出 BD1 以及 AC 夹角的余弦值，即
可得出答案.
uuur r uuur r uuur r
【详解】设 AB=a ， AD = b ， AA1 = c，
r r r r r r 1
由已知可得 a ×b = a ×c = b ×c =1 1 cos 60° = .
2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
因为BD1 = BA + BC + BB1 = -AB + AD + AA1 = -a + b + c，
uuur uuur uuur r r
AC = AB + AD = a + b ，
uuuur2 r r r 2 r r r r r r r r r 1 1 1所以，BD1 = -a + b + c 2 2 2= a + b + c - 2a ×b + 2b ×c - 2a ×c =1+1+1- 2 + 2 - 2 = 2，2 2 2
uuur2 r r 2 rAC = a + b 2 r2 r r= a + b + 2a ×b =1+1+ 2 1 = 3，2
uuuur uuur r r r r r
BD × AC = -a + b + c × a + b r 2 r r r r r2 r r r r 1 1 1 11 = -a - a ×b + a ×b + b + a ×c + b ×c = -1- + +1+ + =1，2 2 2 2
uuuur uuur
所以 BD1 = 2 ， AC = 3 ，
uuuur uuur uuuur uuurBD
所以， cos BD1, AC = uuuur1
×uAuCur 1 6= =
BD1 AC 2 3 6
，
6
故直线BD1与 AC 的夹角的余弦值为 .
6
一、单选题
1（．2024高二下·安徽·开学考试）已知四面体O - ABC ，G是VABC 的重心，P是线段OG上的点，且OP = 2PG ，
uuur uuur uuur uuur
若OP = xOA + yOB + zOC ，则 x, y, z 为（ ）
1 , 1 , 1 2 2A． ÷ B． , ,
2 1 1 1 1 1
÷ C． , , ÷ D． , ,
1
è 6 6 6 è 9 9 9 è 3 3 3 è 2 2 2
÷
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意知，
uuur uuur
∵OP = 2PG，
uuur 2 uuur 2 1 uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur∴ OP = OG = OA + OB + OC = OA + OB
2
+ OC
3 3 è 3 3 3 ÷ 9 9 9
．
故选：B．
r r r r r r r
2．（2024 · · r r高二上 辽宁 期末）已知 a,b,c 是空间的一个基底，则可以与向量m = a + 2b，n = a - c 构成空间
另一个基底的向量是（ ）
r
A 2ar 2b r r
r r r r r r r
． + - c B． a + 4b + c C．b - c D． a - 2b - 2c
【答案】C
【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.
r r r r
【详解】因为 2a + 2b - c (ar r= + 2b) + (a - cr)，
ar
r r
+ 4b + cr r r r= 2(a + 2b) - (a - c)，
ar
r r r r r r
- 2b - 2c = 2(a - c) -(a + 2b)，
r r r r r r r r r r
所以向量 2a + 2b - c ， a + 4b + c ， a - 2b 2cr- 均与向量m ， n共面．
故选：C
3．（2024 高二上·山东菏泽·阶段练习）对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B,C ，有如下关系：
uuur 1 uuur 1 uuur uuurOP = OA + OB 1+ OC ，则（ ）
6 3 2
A．O, A, B,C 四点必共面 B．P, A, B,C 四点必共面
C．O, P, B,C 四点必共面 D．O, P, A, B,C 五点必共面
【答案】B
【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点 O 和不共线三点 A, B,C ，若点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC(x, y, z R)且 x + y + z =1，则P, A, B,C 四点共面.
uuur uuur uuur uuur
【详解】对于空间任一点 O 和不共线三点 A, B,C ，若点 P 满足OP = xOA + yOB + zOC(x, y, z R)且 x + y + z =1，
则P, A, B,C 四点共面.
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
而OP = OA + OB + OC
1 1 1
，其中 + + =1，所以P, A, B,C 四点共面.
6 3 2 6 3 2
故选：B.
uuuur uuur uuur uuuur
4．（2024 高二上·全国·课后作业）已知BA, BC, BB1为三条不共面的线段，若 AC1 = xAB + 2yBC + 3zC1C ，那
么 x + y + z =（ ）
7 5 11
A．1 B． C． D．
6 6 6
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
uuuur uuur uuur uuuur
【详解】根据向量加法法则可得： AC1 = AB + BC + CC1 ，
uuuur uuur uuur uuuur
即 AC1 = AB + BC - C1C ，
uuuur uuur uuur uuuur
因为 AC1 = xAB + 2yBC + 3zC1C ，
所以 x =1， 2y =1，3z = -1，
1 1
所以 x =1， y = ， z = - ，所以 x + y + z
1 1 7
= 1+ - = .
2 3 2 3 6
故选：B.
5．（2024 高二上·广东揭阳·阶段练习）如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点 N 在线段OM 上，点 P
uuur uuur uuur uuur
在线段 AN 上，且MN
1 ON AP 3 uuur= ， = AN ，用向量OA，OB，OC 表示OP ，则OP =（2 4 ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
A． OA + OB + OC
1 3 1
B． OA - OB + OC
4 4 4 4 4 4
1 uuur 1 uuur uuur uuurOA OB 3 OC 1 OA 3
uuur 1 uuur
C． - + D． + OB + OC
4 4 4 4 4 4
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】OP = = OA + AP OA
3
= + AN
4
uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur= OA + ON - OA = OA + ON4 4 4
1 uuur 3 2 uuuur 1 uuur 1 uuuur
= OA + OM = OA + OM
4 4 3 4 2
1 uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur= OA + OB + OC = OA + OB + OC .4 2 2 4 4 4
故选：A
6．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 AB，BC， BB1不共面，若四边形BB1C1C 的对角线互相平分，且
uuuur uuur uuur uuuur
AC1 = xAB + 2yBC + 3zCC ，则 x + y + z1 的值为（ ）
5 2 11
A．1 B． C． D．
6 3 6
【答案】D
uuur uuur uuuur【分析】由题意 AB, BC,CC1 为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.
uuur uuur uuur uuuur uuur
【详解】由题意，知 AB ，BC ，BB1 不共面，四边形BB1C1C 为平行四边形，CC1 = BB1 ，
uuur uuur uuuur\ AB, BC,CC1 为空间的一组基底.
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur
Q AC1 = AB + BC + CC1 ，又 AC1 = xAB + 2yBC + 3zCC1 ，
1
\ x = 2y = 3z = 1，\ x 1 y =
1
= ， ， z = ，
2 3
\ x + y z 11+ = .
6
故选：D.
7．（2024·福建福州·三模）在三棱锥 P-ABC 中，点 O 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为侧棱 PA，PB，
PC ar
uuur r uuur uuur uuur
的中点，若 = AF ，b = CE r， c = BD ，则OP =（ ）
1 ar 1
r
b 1 cr 1 ar 1
r
b 1 cr 2 ar 1
r
b 2 r 2 r 2
r 2 r
A． + + B．- - - C．- - - c D． a + b + c
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【详解】取BC 中点为M ，
r uuur uuur uuur 1 uuur uuura = AF = PF - PA = PC - PA,
2
r uuur uuur uuur uuur uuur
b = CE = PE - PC 1= PB - PC,
2
r uuur uuur uuur 1 uuur uuurc = BD = PD - PB = PA - PB
2
r r r 1
三个式子相加可得 a + b+c = - uuur uuur uuur uuur uuur uuurPA + PB + PC PA + PB + PC = -2 r r ra + b+c ,2
uuur uuur uuur uuur 2 uuuur uuur 2 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur又OP = AP - AO = - PA- AM = - PA- AB + AC = - PA- PB - PA + PC - PA 3 3 2 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuurPA PB PA 2 r r r= - - - + PC - PA =- PA - PB - PC = - PA + PB + PC = a + b+c ,3 3 3 3 3 3
故选：D
r r r
8．（2024 高二·全国·课后作业）已知a ，b ， c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量
是（ ）
r r r r r r r r r r
A．3a ， a - b， a + 2b B． 2b ，b - 2a ，b + 2a
r r r r r r r r r
C．a ， 2b ，b - c D． c， a + c， a - c
【答案】C
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
r r r
【详解】向量 a,b,c是不共面的三个向量，
r r r r r r r r r r
对于 A，3a = 2(a - b) + (a + 2b) ，则向量3a, a - b, a + 2b共面，A 不能构成空间基底；
r r r r r r r r r r
对于 B， 2b = (b - 2a) + (b + 2a)，则向量 2b,b - 2a,b + 2a共面，B 不能构成空间基底；
r r r r r r r r r r
对于 D， 2c = (a + c) - (a - c)，则向量 c,a + c, a - c 共面，D 不能构成空间基底；
r r r r r r r r
对于 C，假定向量 a, 2b,b - c 共面，则存在不全为 0 的实数l1,l2 ，使得 a = 2l1b + l2 (b - c)，
1 = 0
r r r r r r r ì
整理得 a - (2l1 + l2 )b + l2 c = 0 ，而向量 a,b,c不共面，则有 í2l1 + l2 = 0，显然不成立，
l2 = 0
r r r r
所以向量 a, 2b,b - c 不共面，能构成空间的一个基底，C 能构成空间基底.
故选：C
r r r
9．（2024 高二下·河南开封·期末）若 a, b,c 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
A． a + b, a - b, a B． a + b, a - b,b C． a + b, a - b,b + c D． a + b, a + b + c,c
【答案】C
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
r 1 r r r r r r r r r
【详解】对于 A， a = é a + b + a - b ù ，因此向量 a + b, a - b, a共面，故不能构成基底，故 A 错误；2
r 1 r r r r r r r r r对于 B，b = é a + b - a - b ù ，因此向量 a + b, a - b,b 共面，故不能构成基底，故 B 错误；2
r r r r r r r r r r r r
对于 C，假设向量 a + b, a - b,b + c 共面，则b + c = l a + b + m a - b ，
r r r
即 c = l + m a + l - m -1 b ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故 C 正确；
r r
对于 D， a + b cr ar rb cr r r r r+ = + + r r，因此向量 a + b ,a + b + c,c 共面，故不能构成基底，故 D 错误；
故选：C.
10．（2024 高二下·浙江温州·期中）点A 在线段BC 上（不含端点），O为直线BC 外一点，且满足
uuur uuur uuur r 2 1
OA - aOB - 2bOC = 0 ，则 + 的最小值为（ ）3a + 4b a + 3b
9 9 8 8
A． B． C． D．
7 5 7 5
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理推论可得 a + 2b =1且 a > 0,b > 0，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
【详解】因为OA - aOB - 2bOC = 0 ，所以OA = aOB + 2bOC ，
又点A 在线段BC 上（不含端点），所以 a + 2b =1，且 a > 0,b > 0，则 2 + a + 2 + 2b = 5，
2 1 2 1 2 1
所以 + = + = +3a + 4b a + 3b 2 a + 2b + a a + 2b + b 2 + a 1+ b
2 2 1
= + = (2 + a + 2 + 2b) 2 2 +
2 + a 2 + 2b 5 è 2 + a 2 + 2b ÷
1 é4 2(2 + a) 2(2 + 2b) ù 1
é
4 2 2(2 + a) 2(2 + 2b)
ù 8
= ê + + + × = ，5 2 + 2b 2 + a ú 5
ê
2 + 2b 2 + a
ú
5
ì2(2 + a) 2(2 + 2b) ì= a
1
=
当且仅当 í 2 + 2b 2
+ a 2，即 í 1 时，等号成立，
a + 2b =1 b = 4
2 1 8
故 + 的最小值为 .
3a + 4b a + 3b 5
故选：D.
11．（2024 高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，且
uuur uuur
AB = AP = 6， AD = 2， BAD = BAP = DAP = 60°，E ，F 分别为 PB，PC 上的点，且PE = 2EB，
uuur uuur uuur
PF = FC ， EF =（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 6
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】根据给定条件选定基底向量 AB, AD, AP，并表示出EF ，再利用向量运算即可得解.
uuur uuur uuur uuur
【详解】在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，连接 AC，如图，PE = 2EB，PF = FC ，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
则EF = EB + BA + AP + PF = PB - AB + AP + PC = PB - AB + AP
1
+ (AC - AP)
3 2 3 2
1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= (AB - AP) - AB + AP + (AB + AD - AP) 1 AB 1= - + AD 1+ AP 1= (-AB + 3AD + AP)，
3 2 6 2 6 6
又 AB = AP = 6， AD = 2， BAD = BAP = DAP = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AB × AD = AP × AD = 6 2 cos 60o = 6， AB × AP = 6 6 cos 60o =18，
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
因此， | EF |= (-AB + 3AD + AP) = AB + 9AD + AP - 6AB × AD + 6AD × AP - 2AB × AP
6 6
1
= 36 + 9 4 + 36 - 6 6 + 6 6 - 2 18 = 2 .
6
故选：B
12．（2024 高二上·浙江湖州·期末）在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，点M 满足
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AM = xAB + y AC + 1- x - y AD (x, y R) ，点 N 满足DN = lDA + (1- l)DC(l R)，当 AM 和DN 的长度
uuuur uuur
都为最短时， AM × AN 的值是（ ）
1 1 2 2
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据给定条件确定点 M，N 的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因 AM = xAB + y AC + 1- x - y AD ，则 AM - AD = x(AB - AD) + y(AC - AD)，即
uuuur uuur uuur
DM = xDB + yDC ，
uuuur uuur uuur
而 x, y R ，则DM , DB, DC 共面，点 M 在平面BCD内，
uuur uuur uuur uuur uur
又DN = lDA + (1- l)DC(l R)，即CN = lCA，于是得点 N 在直线 AC 上，
棱长为 1 的正四面体 ABCD中，当 AM 长最短时，点 M 是点 A 在平面BCD上的射影，即正△BCD的中心，
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
因此， AM = AB + AC + AD ，当DN 长最短时，点 N 是点 D 在直线 AC 上的射影，即正VACD边 AC
3 3 3
的中点，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuurAN = AC 1，而
2 BAC = DAC = 60
o ， AB × AC = AD × AC =1 1 cos 60o = ，
2
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
所以 AM × AN = (AB + AC + AD)
1 AC 1× = (AB × AC + AC + AD AC) 1× = .
3 2 6 3
故选：A
13．（2024 高二上·山东·阶段练习）如图，在三棱锥P - ABC 中，点 G 为VABC的重心，点 M 在PG 上，且
uuur uuur uuur uuur
PM = 3MG ，过点 M 任意作一个平面分别交线段 PA， PB， PC 于点 D，E，F，若 PD = mPA， PE = nPB，
uuur uuur 1 1 1
PF = tPC ，则 + + 的值为（ ）m n t
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
uuur uuur uuur uuuur【分析】以 PA, PB, PC 为空间一组基底，结合D, E, F , M 四点共面，用两种方法表示出PM ，由空间向量
1 1 1
的基本定理求得 + + 的值.
m n t
【详解】连接 AG 并延长，交BC 于点H ，
uuur uuur uuur以 PA, PB, PC 为空间一组基底，
由于G 是VABC的重心，点 M 在PG 上，且PM = 3MG ，
uuuur 3 uuur 3 uuur uuur 3 uuur 3 2 uuur所以PM = PG = PA + AG = PA + AH4 4 4 4 3
3 uuur 1 1 uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur= PA + AB + AC = PA 1+ PB - PA + PC - PA4 2 2 4 4
1 uuur 1 uuur uuur
= PA + PB 1+ PC ①.
4 4 4
连接DM ，因为D, E, F , M 四点共面，
x,y uuuur uuur uuur所以存在实数 ，使得DM = xDE + yDF ，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur即PM - PD = x PE - PD + y PF - PD ，
uuuur uuur uuur uuur
PM = 1- x - y PD + xPE + yPF
uuur uuur uuur
= 1- x - y mPA + xnPB + ytPC ②，
由①②以及空间向量的基本定理可知：
1 1 1- x - y m = , xn = , yt 1= ，
4 4 4
4 1- x - y 1 1= , 4x = , 4y 1= ，
m n t
1 1 1
所以 + + = 4 1- x - y + 4x + 4y = 4 .
m n t
故选：C
14．（2024 高二上·河南·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是菱形，侧面 A1ADD1
是正方形，且 A1AB =120°， DAB = 60°， AB = 2 ，若 P 是C1D 与CD1的交点，则 AP =（ ）．
A．9 B．7 C．3 D． 7
【答案】D
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【分析】由题知 AP = AB + AD + AA1 ，进而根据计算向量的模得答案.2 2
【详解】解：在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，四边形DD1C1C 是平行四边形，又 P 是C1D ，CD1的交点，
所以 P 是C1D 的中点，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur所以， AP = AD + DP = AD + DC 1+ DD1 = AB + AD + AA ，2 2 2 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB × AD = 2， AB × AA1 = -2， AD × AA1 = 0，
uuur2 1 uuur uuur 1 uuur
2
所以 AP = AB + AD + AA
1 ÷
è 2 2
1 uuur2 uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD + AA 11 + AB × AD + AD × AA1 + AB × AA1 = 7，即4 4 2 AP = 7
．
故选：D．
15．（2024 高二下·安徽合肥·开学考试）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =1， AB = AD = 2 ，且
A1AD = A1AB = 45
o
， DAB = 60o ，则 BD1 =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
【答案】C
uuuur uuur uuur uuur
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到BD1 = -AB + AD + AA1 ，再利用空间向量的数量积及运算律求
模长.
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur【详解】以 AB, AD, AA1 为基底向量，可得BD1 = BA + AD + DD1 = -AB + AD + AA1 ，
uuur2 uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则BD 21 = (-AB + AD + AA1) = AB + AD + AA1 - 2AB × AD - 2AB × AA1 + 2AD × AA1
=1+ 2 + 2 - 2 2 2 cos60o - 2 2 1 cos45o + 2 2 1 cos45o
= 5 - 4 12 - 2 2
2
2 + 2 2
2
2 = 3
，
uuuur
∴ BD1 = 3．
故选：C.
二、多选题
16．（2024 高二上·江苏连云港·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长
uuur r uuur r uuur r
都是 1，且它们彼此的夹角都是 60°，M 为 A1C1与 B1D1的交点，若 AB = a, AD = b , AA1 = c ，则下列正确的是
（ ）
uuuur 1 r uuuur r
A．BM = a
r 1
- b + cr r rB． AC = a + b + c
2 2 1
uuur uuuur
C． AC 61的长为 5 D． cos AB, AC1 = 3
【答案】BD
【分析】AB 选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C 选项，在 B 选项的基础上，平方后计算出
2
AC1 = 6，从而求出 AC1 = 6 ；D 选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】根据题意，依次分析选项：
uuuuv uuuv uuuuv uuuv 1 uuuv uuuv 1 r 1 r r
对于 A 选项，BM = BB1 + B1M = AA1 + BA + BC = b - a + c ，A 错误，2 2 2
uuuuv uuuv uuuv uuuuv r r r
对于 B 选项， AC1 = AB + AD + CC1 = a + b + c ，B 正确：
uuuur r r r 2 r r r r r r r r r r r r
对于 C 选项， AC1 = a + b + c ，则 AC
2 2
1 = (a + b + c) = a + b
2 + c 2 + 2a ×b + 2a ×c + 2b ×c = 6，
则 AC1 = 6 ，C 错误：
uuuv uuuuv
uuuv uuuuv r r r r
uuuv uuuuv AB × AC 6
对于 AB × AC1 = a × a + b c
r
+ = ar2 r r r+ a ×b + a ×c = 2，则 cosAB, AC1 = uuuv uuuu1v = DAB AC 3 ， 正确.× 1
故选：BD.
17．（2024 高二下·江苏常州·开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ）
r r
A r．已知向量 a∥b ，则 a
r,b 与任何向量都不能构成空间的一组基底
uuur uuuur uuur
B． A, B, M , N 是空间四点，若BA, BM , BN 不能构成空间的一组基底，则 A, B, M , N 共面
uuur uuur uuur uuur r
C．若OP + OA + OB + OC = 0，则点P, A, B,C 四点共面
ar r ur r r r,b ,cr r rD．已知 是空间向量的一组基底，若m = a + c ，则 a,b , m 也是空间一组基底
【答案】ABD
【分析】根据空间基底向量的定义结合四点共面的定理与结论逐项分析判断.
r r r r r r
【详解】对 A：若 a∥b ，则 a,b 与任何向量均共面，故 a,b 与任何向量都不能构成空间的一组基底，A 正确；
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
对 B：若BA, BM , BN 不能构成空间的一组基底，则BA, BM , BN 共面，则 A, B, M , N 共面，B 正确；
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
对 C：若OP + OA + OB + OC = 0，则OP = -OA - OB - OC ，
∵ -1+ -1 + -1 = -3 1，
故点P, A, B,C 四点不共面，C 错误；
r r r对 D：∵ a,b ,cr r是空间向量的一组基底，则 a,b ,cr不共面，
ur r r r r r r r
若m = a + c ，则 a,b , m
r
不共面，故 a,b , m 也是空间一组基底，D 正确.
故选：ABD.
r r r r
18．（2024 r
r r
高二上·山西晋中·期末） a,b ,c 是空间的一个基底，与 a + b 、 a + c 构成基底的一个向量可以是
（ ）
r r r
A．b + cr B r．b - cr C．b D． c
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
r r r r
【详解】由于b - c = a + b - ar cr r r+ r r，故b - cr r与 a + b 、 a + c 共面，无法构成空间的一个基底，故 B 错误；
r r r r r r r r r
因为 a,b ,c 是空间的一个基底，由于不存在实数对 x 、 y ，使得b + c = x a + b + y a + c ，
ìx + y = 0
r r r r
若成立则 íx =1 r r，显然方程组无解，故 a + b 、 a + c 与b + c 可以作为空间的一个基底，故 A 正确，同理
y =1
可得 C、D 正确；
故选：ACD
r r r ur r r r r r r r r
19．（2024 高二下·江苏·课后作业）设 x = a + b, y = b + c, z = c + a,且 a,b,c 是空间的一个基底，则下列向量
组中，可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
r r rA． a,b, x r ur rB． x, y, z
r r r r ur r r rC． b,c, z D． x, y,a + b + c
【答案】BCD
ar
uuur r uuur r uuur r r
【分析】令 = AB,b = AA1,c = AD，并以它们为邻边作平行六面体，再确定 x, y, z
r r r r
， a + b + c 对应的线段，
判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.
r uuur r uuur r uuur r uuur r uuuur r uuur r r r uuuur
【详解】如图所示，令 a = AB,b = AA1,c = AD，则 x = AB1, y = AD1, z = AC ，又 a + b + c = AC1 ，
r r r
由 A、B1、C、D1四点不共面知：向量 x, y, z 不共面，
r r
同理b ,cr, zr r和 x, yr, ar + b cr+ 也不共面.
故选：BCD
三、填空题
uuur uuuur
20．（2024 高二上·河北唐山·期末）正四面体 ABCD 中，若 M 是棱 CD 的中点， AP = l AM ，
uuur uuur uuur uuur
AB + BP 1= AC 1+ AD，则l = .
6 6
1
【答案】
3
uuuur 1 uuur 1 uuur
【分析】根据空间向量线性运算得到 AM = AC + AD，证明出共线定理的推论，由M ,C, D三点共线，
6l 6l
1 1
得到 + =1
1
，求出l = .
6l 6l 3
uuur uuur uuur uuur
AP 1
uuur 1 uuur
【详解】因为 AB + BP = AP ，所以 = AC + AD，6 6
uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur
即l AM = AC + AD ， AM = AC + AD，
6 6 6l 6l
uuur uuur uuur
下面证明：已知OB = xOA + yOC ，若 A, B,C 三点共线，则 x + y =1，
uuur uuur
因为 A, B,C 三点共线，所以存在非零实数 t，使得 AB = t AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur即OB - OA = t OC - OA ，整理得OB = tOC + 1- t OA，
故 x =1- t ， y = t ，所以 x + y =1，
因为M ,C, D三点共线，
1 1 1
故 + =1，解得：l = .
6l 6l 3
1
故答案为：
3
21．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，O 是 AC 与 BD 交点．记
uuur r uuur r uuurAB = a, AD = b , AA1 = c
r
，
uuur r
则B1O =
r
（结果用 a,b ,cr表达）．
1 ra 1
r r
【答案】- + b - c
2 2
{ar
r r uuur
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的一个基底 ,b ,c}表示B1O作答.
【详解】在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AC I BD = O ，则 O 是 BD 的中点，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur r r
即BO = BD = (AD AB)
1
- = - a 1+ b ，
2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur r r r
所以B1O = B1B + BO = -AA BO
1 1
1 + = - a + b - c .2 2
1 r 1 r r
故答案为：- a + b - c
2 2
22．（2024 高三·上海·专题练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1中，侧面CC1D1D 的中心是 P，若
uuur uuur uuur uuur
AP = AD + mAB + nAA1 ，则m = ， n = ．
1 1
【答案】 / 0.5 / 0.5
2 2
uuur uuur uuur
【分析】用 AB, AA1 表示出DP，从而得出m ， n 的值．
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
【详解】由于 AP = AD + DP
1
= AD + (DC + DD 1 1
2 1
) = AD + AB + AA
2 2 1 ，
m 1 n 1所以 = ， = ，
2 2
1 1
故答案为： ； ．
2 2
23．（2024·福建龙岩·模拟预测）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型
P - ABCD ，设底边和侧棱长均为 4，则该正四棱锥的外接球表面积为 ；过点 A 作一个平面分别交
PE 3 PF 1 PG
PB、PC、PD 于点 E F G 进行切割，得到四棱锥P - AEFG，若 = , = ，则 的值为 .PB 5 PC 2 PD
3
【答案】 32π /0.75
4
【分析】第一空，作辅助线作出四棱锥的高，并求出其长，确定外接球的球心，可得半径，求得答案；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur
第二空，用向量表示PA = PD + PB - PC ，结合已知可得PA = tPG + PE - 2PF ，根据空间四点共面的结论3
5
可得 t + - 2 =1，求得 t，继而求得答案.
3
【详解】第一空，设 AC，BD 交于点 O,连接 PO,
由于P - ABCD 为正四棱锥，故 PO 为四棱锥的高，
由底边和侧棱长均为 4 可得，OA = OB = OC = OD = 2 2 ,
PO = PA2 - OA2 = 42 - (2 2)2 = 2 2 ,
即点 O 到点 P,A,B,C,D 的距离相等，故 O 即为该正四棱锥的外接球球心，
则外接球半径为 2 2 ，故外接球表面积为 4π (2 2)2 = 32π ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
第二空，PA = PD + DA = PD + CB = PD + PB - PC ,
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur
设PD = tPG ,则PA = tPG + PE - 2PF ,3
5
由于点 A,E,F,G 四点共面，故 t + - 2 =1
4
，解得 t = ，
3 3
uuur 4 uuurPD PG PG 3故 = ，则 = ，
3 PD 4
3
故答案为：32π；
4
24．（2024 高二下·江苏常州·期中）一种糖果的包装纸由一个边长为 6 的正方形和 2 个等腰直角三角形组成
（如图 1），沿 AD，BC 将 2 个三角形折起到与平面 ABCD 垂直（如图 2），连接 EF，AE，CF，AC，若点 P
uuur uuur uuur uuur uuur
满足DP = xDA + yDC + zDF 且 x + y + z =1，则 EP 的最小值为 .
【答案】 4 3
uuur
【分析】由向量DP满足条件可知 P 是平面 ACF 上的动点，转化为求E 到平面 ACF 的距离，利用补形及等
体积法求解即可.
uuur uuur uuur uuur
【详解】因为点 P 满足DP = xDA + yDC + zDF 且 x + y + z =1，
所以 A,C, F , P四点共面，即 P 是平面 ACF 上的动点，
uuur
所以 EP 的最小值即为E 到平面 ACF 的距离.
由题意，几何体可补成边长为 6 的正方体，如图，
则可知 AF = AC = CF = AE = FE = CE = 6 2 ，
设E 到平面 ACF 的距离为 h，
则V
1
E- ACF = × S3 △ACF
×h = V正方体 - 4VE- ABC ,
1 3
即 (6 2)2 h 63 1 1× = - 4 6 6 6，
3 4 3 2
解得h = 4 3 ，
uuur
所以 EP 的最小值为 4 3 .
故答案为： 4 3
25．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E 为棱
uuur 1 uuur uuur uuur AM
AB 的中点， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC1与平面EFG 交于点M ，则 =AC .3 1
2
【答案】
13
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
【分析】设 AM = l AC1 ，其中 0 < l < 1，用 AB 、 AD 、 AA1 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本
uuuur uuur uuur
定理可知存在m 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，由空间向量基本定理可得出关于m 、 n 、l 的方程组，即
可解得实数l 的方程组，即可解得实数l 的值.
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【详解】设 AM = l AC1 = l AB + AD + AA1 = l AB + l AD + l AA1 ，其中 0 < l < 1，
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GM = AM - AG l AB 2= + l AD + l AA1 - AA1 = l AB
2
+ l AD + l -
3 ÷
AA1 ，
è 3
uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuurGE = AE - AG = AB - AA1 ，GF = AF - AG
2
= AD - AA1 ，2 3 3 3
uuuur uuur uuur
因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE 、GF 共面，
m uuuur uuur uuur由共面向量定理可知，存在 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，
uuur uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
即l AB + l AD +
l - 3 ÷
AA1 = m AB - AA1 ÷ + n AD - AA2 3 3 3 1 ÷è è è
1 uuur 1 uuur 2 uuur
= mAB + nAD - m + n AA1 ，2 3 3
ì1
m = l
2
1 n = l l 2所以， í ，解得 = .
3 13
2
- m + n
2
= l -
3 3
2
故答案为： .
13
四、解答题
26．（2024 高二上·湖北孝感·期中）如图，在空间四边形OABC 中，已知 E 是线段 BC 的中点，G 在 AE 上，
且 AG = 2GE ．
uuur uuur uuur uuur
(1)试用OA,OB,OC 表示向量OG ；
uuur uuur
(2)若OA = 4,OB = 6,OC = 8, AOC = BOC = 60°， AOB = 90°，求OG × AB的值．
uuur 1 uuur 1 uuurOG OA OB 1
uuur
【答案】(1) = + + OC
3 3 3
28
(2)
3
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
（2）由（1）可得OG × AB = ( OA + OB + OC) × (OB - OA)3 3 3 ，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得．
uuur uuur
【详解】（1）∵ AG = 2GE ，
uuur uuur uuur uuur
∴OG - OA = 2(OE - OG)，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴ 3OG = 2OE + OA 又2OE = OB + OC
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
∴OG = OA + OB + OC
3 3 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
（2）由（1）可得知OG × AB = OA + OB + OC ÷ × (OB - OA)
è 3 3 3
1 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= OA ×OB 1 OA 1 OB 1- + - OB OA 1× + OC ×OB 1- OC ×OA
3 3 3 3 3 3
1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur uuur
= - OA + OB + OC ×OB - OC ×OA
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 28
= - 42 + 62 + 6 8 - 4 8 = ．
3 3 3 2 3 2 3
27．（2024 高二·湖南·课后作业）如图，已知 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，G 为
AM 上一点，且GM : GA = 1: 3 .求证：B，G，N 三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】由空间向量的共线定理证明，
【详解】证明：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，
因为 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 DCD 与面 ACD 的重心，
所以 M 在 BE 上，N 在 AE 上，
uuur r uuur r uuur r
设 AB=a ， AC = b ， AD = c ，
因为 M 为V BCD 的重心，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
所以 AM = AB + BM = AB
2 1
+ BC + BD
3 2
uuur 1 uuur uuur= AB + BC + BD3
uuur uuur uuur uuur uuur
= AB 1+ AC - AB + AD - AB3
1 uuur uuur uuur 1 r r r= AB + AC + AD = a + b + c3 3
uuur 3 uuuur
因为GM = GA =1: 3，所以 AG = AM ，
4
uuur uuur uuur uuur 3 uuuur r r r r r r r
所以BG = BA + AG = BA + AM a
1 a b c 3 1 1= - + + + = - a + b + c ，4 4 4 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r uuur
同理得BN = BA + AN = BA
1
+ AC AD a 1 b 1 c 4+ = - + + = BG ，3 3 3 3
uuur uuur
∴ BN ∥BG .
又BN BG = B，
∴B，G，N 三点共线
28．（2024 高二上·广东中山）如图所示，在四棱锥M - ABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱
uuur r uuur uuur r
AM 的长为 3，且 MAB = MAD = 60°，N 是 CM r r r的中点，设 a = AB，b = AD ， cr = AM ，用 a 、b 、 c 表
uuur
示向量BN ，并求 BN 的长．
uuur r
【答案】BN
1 r 1
= - a + b 1 cr+ ，
2 2 2 BN
17
=
2
uuur 1 r 1 r 1 r
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出BN = - a + b + c ；再由向量模的计算公式，结
2 2 2
uuur
合题中条件，可求出 BN ，即得出结果.
【详解】解：因为 N 是CM 的中点，底面 ABCD是正方形，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以BN = BC
1
+ CN = AD + CM 1= AD + AM - AC2 2
uuur 1 uuuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuuur 1 r 1 rAD éAM AD AB ù AB AD AM a b 1 cr= + - + = - + + = - + + ，2 2 2 2 2 2 2
uuur r uuur uuur
又由题意，可得 a
r r
= AB = 2， b = AD = 2， c = AM = 3， MAB = MAD = 60°，
DAB = 90°，
uuur 2 r 2 r 2 r r
因此 BN 1 ar 1 b 1 r 1 r 2 r 2 r r r r= - + + c
÷ =
a + b + c - 2a ×b - 2a ×c + 2b ×c
÷
è 2 2 2 4 è
1
= 4 + 4 + 9 - 0 - 2 2 3cos 60° + 2 2 3cos 60 17° = ，
4 4
uuur
BN 17 BN 17所以 = ，即 的长为 .
2 2
29．（2024 高二上·广东中山·阶段练习）在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别
CF AE 1 uuur r uuur r uuur r
边 AB，BC 上的点，且 = = ， ， ，
FB EB 3 CA = a CB = b DC = c
uuur r r r
(1)求FH （用向量 a,b,c表示）；
(2)求证：点 E，F，G，H 四点共面．
1 ra 1
r
b 1
r
【答案】(1) - - c
2 4 2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结
合平行线的传递性证明EF∥HG，即可证结论.
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】（1）∵ FH =FC+CD+DH =-
1 CB+CD+ 1 DA=- 1 CB- DC+ 1 DC+CA = 1 CA- 1 CB- 1 DC4 2 4 2 2 4 2
uuur r
FH = 1 ar- 1 b - 1 cr∴
2 4 2
（2）连接HG, EF
∵ H ,G 分别是 AD,CD 的中点，∴ HG∥ AC .
CF AE 1
又∵ = = ，∴ EF∥ AC ，
FB EB 3
∴ EF∥HG，则E, F ,G, H 四点共面.
【点睛】
30．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，P，Q，R 分别在 AB，
AP CQ D1R a uuur r uuur rCC1，D1A1上，并满足 = = = 0 < a <1
uuur r
PB QC1 RA1 1- a
．设 AB = i ， AD = j ， AA1 = k ．
r r r uuur uuur
(1)用 i ， j ， k 表示PQ，PR；
r r r uuur
(2)设VPQR的重心为 G，用 i ， j ， k 表示 DG ；
uuur uuur
(3)当RG ^ DG 时，求 a 的取值范围．
uuur r r r uuur r r r
【答案】(1) PQ = 1- a i + j + ak ，PR = -ai + k + 1- a j
1 r 1 r r
(2) a +1 i + a +1 k 1- a +1 j
3 3 3
(3) 0 < a <1
【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
r r r uuur uuur uuur
（3）先用 i ， j ， k 表示RG ，再计算RG × DG ，发现其恒为零，进而可得 a 的取值范围．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r
【详解】（1）PQ = PB + BC + CQ = 1- a AB + AD + aCC1 = 1- a i + j + ak
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r
PR = PA + AA1 + A1R = -aAB + AA1 + 1- a A1D1 = -ai + k + 1- a j
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur 2 uuurDG DC CQ QG AB aCC QP 1
uuur r r 2
2 = + + = + + + PR = i + ak + é
r r r 1 r r r
（ ） 1 ÷ a -1 i - j - ak + -ai + k + 1- a j ù3 è 2 3 ê 2 ú
1 r a 1 i 1
r r
= + + a +1 k 1- a +1 j
3 3 3
uuur uuur
（3）QRG ^ DG
uuur uuur
\RG × DG = 0
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
又RG = RD + DG = RD1 + D1D + DG = aA1D1 - DD1 + DG
r r 1 r 1 r r r r r
= a j - k + a +1 i + a +1 k 1- a +1 j 1= a +1 i 1+ a 2 k 1- + 2a -1 j
3 3 3 3 3 3
uuur uuur
\\RG × DG = é1
r r
a 1 i 1 a 2 k 1
r r r r
ê + + - + 2a
1 1 1
-1 jùú ×
é
ê a +1 i + a +1 k - a +1 j
ù
3 3 3 3 3 3 ú
1
= a +1 2 1+ a - 2 a +1 1- 2a -1 a +1
9 9 9
1
= a2 + 2a +1+ a2 - a - 2 - 2a2 - a +19
= 0
uuur uuur
即对任意0 < a <1，都有RG ^ DG
即 a 的取值范围为0 < a <1.
31．（2024 高二·全国·专题练习）如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为 2，E 是 AB 的中点，F 在OC
uuur uuur
上，且OF = 2FC .
uuur uuur uuur uuur
（1）用{OA,OB,OC}表示EF ；
uuur uuur
（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.
uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur
【答案】（1）EF = - OA - OB + OC ；（2 5 21） .
2 2 3 - 42
uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur
【分析】（1）由 E 是 AB 的中点，F 在OC 上，得到OE = (OA + OB),OF = OC ，进而结合向量的基本定
2 3
理，即可求解；
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2）由（1）分别求得 | OE |= | OA + OB |= 3 ，| BF | 2= OC OB 2 7- = ，以及OE × BF
5
= - ，结合向量的
2 3 3 3
夹角公式，即可求解.
uuur uuur
【详解】（1）因为 E 是 AB 的中点，F 在OC 上，且OF = 2FC ，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
所以OE = (OA + OB),OF
2
= OC ，
2 3
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
于是EF = OF - OE = OC - (OA + OB)
1 1
= - OA - OB 2+ OC .
3 2 2 2 3
uuur uuur
2 1 OE 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（ ）由（ ）得 = (OA + OB), BF = OF - OB 2 ×OC= - OB ，
2 3
uuur uuur uuur
因此 |OE | 1= |OA + OB | 1= 4 1+ 4 + 2 2 2 = 3 ，
2 2 2
uuur uuur uuur
| BF | 2= OC - OB 4
3 = 4 + 4
4 2 2 1 2 7- = ，
9 3 2 3
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
又因为OE × BF = (OA + OB) ×
2
OC - OB
5= -
2 è 3 ÷
，
3
uuur uuur 5
uuur uuur O -
所以向量OE 与向量BF 所成角的余弦值为= uuu
Er × BuuFur 3 5 21= = -
|OE || BF | .3 2 7
42
3
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中
熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属
于中档试题.
32．（2024 高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为 1 的正四面体OABC 中，M ，N 分别是边OA，BC
uuur r uuur r uuur r
的中点，点G 在MN 上，且MG = 2GN ，设OA = a，OB = b，OC = c．
v
(1) av试用向量 ，b ， c
v uuur
表示向量OG ；
uuur uur
(2)求 cos < OG, BA >．
uuur r r r
【答案】(1) OG
1 a 1= + b 1+ c
6 3 3
(2) 17-
34
【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果.
uur uuur uur uuur
（2）分别求出 BA , OG , BA ×OG 的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果.
uuur uuur uuur 1 uur 2 uuur uuur uuur
【详解】（1）OG = OM + MG = OA + MA + AB + BN2 3
1 uur 2 1 uur uuur uur 1 uuur 1 uur 2 uuur uur uuur uuur= OA + OA
1 1
+ OB - OA + BC ÷ = OA +
é
êOB - OA + OC - OB ù2 3 è 2 2 2 3 2 2 ú
1 uur 2 1 uuur 1 uur 1 uuur 1 uur 1 uuur uur uuur= OA + OB - OA + OC ÷ = OA + OB
1
- OA 1+ OC
2 3 è 2 2 2 2 3 3 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur r r r
= OA + OB + OC 1 a 1 b 1= + + c
6 3 3 6 3 3
r r r r r r r r r uuur r r
（2）由题意知， a = b = c =1， a
1
×b = a × c = b × c = ，
2 BA = a - b
，
uur r r 2 r 2 r r r 2则 BA = a - b = a - 2a ×b + b =1，
uuur 1 r 1 r 1 r
2
1 r 2 r 2 r 2 r r r r r rOG = a + b + c ÷ = a
1 b 1 c 1 a b 1 2 17+ + + × + a ×c + b ×c = ，
è 6 3 3 36 9 9 9 9 9 6
uuur uur r r r r r
OG BA a 1 1 1× = - b × a + b + c
è 6 3 3 ÷
1 r 2a 1
r r r r r r r2 r r
= + a b 1 a c 1 a 1 1 1× + × - ×b - b - b ×c = -
6 3 3 6 3 3 12
uuur uur uuur uur
所以 cos OG, BA
OG × BA 17
< >= uuur uur = -
OG BA 34
33．（2024 高二下·广西南宁·开学考试）已知在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AA1 = 3， AD =1
且 DAB = BAA
p
1 = DAA1 = .3
(1)求DB1的长；
uuuur
DB uuur(2)求向量 1 与 AB 夹角的余弦值.
【答案】(1) 15 ；
(2) 15 .
5
uuur uuur uuur uuuur
【分析】（1）用空间的一个基底{AB, AD, AA1}表示向量DB1 ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.
uuur uuur uuur
【详解】（1）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，{AB, AD, AA1}为空间的一个基底，
因为 AB = 2 ， AA1 = 3， AD =1且 DAB = BAA1 = DAA
p
1 = 3 ，
uuur uuur π uuur uuur uuur uuur
则 AB × AD = 2
π π 3
1 cos =1, AB × AA1 = 2 3 cos = 3, AD × AA1 =1 3 cos = ，3 3 3 2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
DB1 = DA + AB + BB1 = AB - AD + AA1 ，
uuuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 | DB1 |= AB + AD + AA1 - 2AB × AD - 2AD × AA1 + 2AB × AA1
= 22 +12 + 32 3- 2 1- 2 + 2 3 = 15 .
2
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur
（2）由（1）知，DB1 = AB - AD + AA1 ，则DB1 × AB = AB - AB × AD + AB × AA
2
1 = 2 -1+ 3 = 6，
uuuur uuuur uuur uuuur uuuruuuur
DB 15 uuur cos DB , AB uDuuBur1 × AuuBur 6 15又 1 = ，所以向量DB1 与 AB 夹角的余弦值 á 1 = = = .| DB1 || AB | 15 2 5
34．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为 1 的菱形，且
C1CB = C1CD = BCD
p
= ，DD1 = 2 .3
（1）证明：DD1 ^ BD ；
（2）求异面直线CA1与 AB 夹角的余弦值.
【答案】（1 5 11）证明见详解；（2）
22
uuuur uuur
【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD1 × BD = 0即可；
uuur uuur
（2）用基向量求解向量CA1, AB 的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
uuur r uuur r uuuur r
【详解】设CD = a ，CB = b ，CC1 = c
r p r r r
由题可知： ar,b ,cr两两之间的夹角均为 ，且 a =1 = b ， c = 2
3
uuuur uuur uuuur uuur uuur（1）由DD1 × BD = CC1 × CD - CB
r r r
= c × ar b cr r r- = × a - c ×b =1-1 = 0
所以DD1 ^ BD 即证.
uuur uuur uuur uuur r uuur
2 CA r r r（ ）由 1 = CD + DA + AA1 = a + b + c ，又 AB = -a
uuur r r r 2 uuur
所以 CA1 = a + b + c = 11 ， AB =1
uuur uuur
CA AB ar又 1 × = - ×
r
ar b r 5+ + c = - 2
5
uuur uuur uuur uuur
则 cos CA1, AB
CA
= uuur1 ×uAuBur 2 5 11= - = -
CA1 AB 11 22
p ù
又异面直线夹角范围为 0,
è 2 ú
所以异面直线CA1, AB
5 11
夹角的余弦值为 .
22
【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的
好题，值得总结此类方法.
35．（2024 高二上·全国·专题练习）如图，在底面 ABCD为菱形的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分
别在棱 AA1，CC
1 1
1上，且 A1M = AA1，CN = CC1，且 A1AD = A1AB = DAB = 60
o
．
3 3
uuur uuur uuur uuuur
(1)用向量 AA1，AD，AB表示向量MN ；
(2)求证：D，M，B1，N 共面；
AA
(3)当 1 为何值时， AC1 ^ A1B．AB
uuuur uuur uuur 1 uuur
【答案】(1) MN = AB + AD - AA
3 1
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
uuuur uuuur
（2）根据空间向量线性运算法则得到DM = NB1 ，即可证明D，M，B1，N 共面；
uuur r uuur r uuur r AA r r r
（3）设 AA 11 = c，AD = b，AB = a ，因为底面 ABCD为菱形，则当 =1时， a = b = c ，由AB
uuuur uuur r
AC1 × A1B = a
r
+ b + cr ar cr× - = 0 ，即可得出答案.
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】（1）MN = MA + AB + BC + CN
2
= - AA1 + AB + BC
1 1
+ AA1 = AB + AD - AA1 ．3 3 3
uuuur uuuur uuur 2 uuur uuur uuuur uuuur uuuur 2 uuur uuur
（2）证明：QDM = AM - AD = AA1 - AD ， NB1 = C1B1 - C1N = AA - AD，3 3 1
uuuur uuuur
\DM = NB1 ，\D，M，B1，N 共面．
AA
（3）当 1 =1， AC ^ A B，
AB 1 1
uuur r uuur r uuur r
证明：设 AA1 = c，AD = b，AB = a ，
Q AA
r
底面 ABCD为菱形，则当 1 =1时， a
r b r= = c ，
AB
uuuur uuur uuur uuuur r r r uuur uuur uuurQ AC1 = AB + BC CC
r r
+ 1 = a + b + c ， A1B = AB - AA1 = a - c ，
A AD = A AB = DAB = 60o1 1 ，
uuuur uuur r
AC A B ar b cr ar r r r
r r
c r r\ 1 × 1 =（ + + ）（× - ）= a
2 + a ×b - b ×c - c 2 = 0 ，
\ AC1 ^ A1B ．1.2 空间向量基本定理 5 题型分类
一、空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p=xa+yb+zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
二、空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，
j，k}表示．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p=xa+yb+zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使得 a=xi+yj+zk.像这样把
一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
三、空间向量基本定理的应用
1．求异面直线的夹角：cos < , >= | || |.
2．证明共线(平行)、共面、垂直问题：
(1)对于空间任意两个向量 、 ( ≠ )， ∥ 的充要条件是存在实数 λ，使 ＝λ .
(2)如果两个向量 ， 不共线，那么向量 p 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使 p＝ + b.
(3)若 、 是非零向量，则 ⊥ = 0.
3．求距离(长度)问题：| | = (| | = ).
（一）
空间向量基底的判断
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表
示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同；
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就
说明它们都不是零向量.
(4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已
知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便．
题型 1：空间向量基底的判断
r
1-1．（2024 高三·全国·对口高考）已知 ar,b ,cr 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
r
A ar, ar 2b , ar
r r r r r r
． - + b B．a + b,a - b,c
r
C r r
r r r
． 2a + 2b ,a + b , 2cr D． ar r+ c,b r+ c, ar b 2cr+ +
r r r
1-2．（2024 高二下·江西南昌·期中） a,b ,c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是
（ ）
r r r r r
A ar ar b r r r． ， + ， a - b B．b ， a + b ， a - b
r r r r r
C cr r． ， a + b ， ar - b D． ar 2b ar r+ ， + b ， a - b
1-3．（2024 高一下·湖南·期末）给出下列命题:
r r r ur r ur r r r ur①若 a,b,c 可以作为空间的一组基， d 与 c共线， d 0，则 a,b,d 也可作为空间的一组基；
r r r r
②已知向量 a / /b，则 a,b与任何向量都不能构成空间的一组基；
uuur uuuur uuur
③ A, B, M , N 是空间四点，若BA, BM , BN 不能构成空间的一组基，那么 A, B, M , N 共面；
r r r ur r r r r ur④已知 a,b,c 是空间的一组基，若m = a + c ，则 a,b,m 也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1 B．2
C．3 D．4
r r r r r r r r r
1-4．（2024 高一下·湖南· r r期末）已知 a,b ,c 是空间的一个基底，若 p = a + b ， q = a + c ，则下列与 p ， q构
成一组空间基底的是（ ）
A rr
r r r r r
． = 2b - 3c B r． r = a - b + 2c
r
C rr ar r r r
r r
． = + 2b - c D． r = 2a + b + c
（二）
利用基底表示空间向量
1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘
的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解.
2、用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、
向量的运算进行变形化简．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有 a，b，
c，不能含有其他形式的向量．
题型 2：利用基底表示空间向量
2-1．（2024 高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，P 是CA1的中点，点 Q 在CA1
uuur r uuur r
上，且CQ : QA1 = 4 :1
uuur r
，设 AB=a ， AD = b ， AA1 = c．则（ ）
uuur 3 r 3 r r uuurQP 3 7
r 7 r 7 r
A． = a + b + c B．QP = a + b - c
10 10 10 10 10 10
uuur r r r uuur r
QP 3 a 3 b 3 c QP 1 a 1
r 1 r
C． = + - D． = + b + c
10 10 10 10 10 10
uuur uuur
2-2．（2024 高二下·江苏盐城·期中）在四面体O - ABC 中，PA = 2OP ，Q 是 BC 的中点，且 M 为 PQ 的中点，
uuur r uuur r uuur r uuuur
若OA = a，OB = b，OC = c，则OM = （ ）
1 r r
A． a
r 1 b 1 cr 1 ar 1 b 1 r+ + B． + + c
6 4 4 6 2 2
1 r 1 r 1 ra b c 1
r 1 ra b 1
r
C． + + D． + + c
3 2 2 3 4 4
2-3．（2024 高二上·浙江丽水·期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，AC，BD 相交于O，M 为OC1的中
uuur r uuur r uuur r uuuur点，设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，则CM = （ ）
1 r 1 r 1 r 1 r
A． a + b - c B． a
r 1 b 1 cr- +
4 4 2 4 4 2
1 r 1 r r
C．- a b
1
- + cr 3 ar 1 b 1 crD．- + -
4 4 2 4 4 2
2-4．（2024 高二上·福建泉州·期末）已知四面体 O－ABC，G1是△ABC 的重心，G 是 OG1上一点，且 OG＝
uuur uuur uuur uuur
3GG1，若OG = xOA + yOB + zOC ，则 (x, y, z)为（ ）
1 , 1 , 1 3 , 3 , 3 A． 4 4 4 ÷
B． ÷
è è 4 4 4
1 1
C． , ,
1 2 , 2÷ D． ,
2
è 3 3 3 è 3 3 3 ÷
（三）
空间向量基本定理在几何中的应用
用空间向量基本定理解决几何问题时需注意
(1)若证明线线平行，只需证明两向量共线．
(2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为 0．
(3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角．
(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模．
题型 3：利用空间向量基本定理求参数
3-1．（2024 高二下·云南·阶段练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别为 AB, DD1 的中点，若
uuur uuur uuur uuuur
EF = xDA + yDC + zDD ，则 x + y + z =1 .
3-2．（2024 高二下·江苏常州·期中）已知矩形 ABCD， P 为平面 ABCD外一点，PA ^平面 ABCD，点M，N
uuuur 1 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
满足PM = PC ，PN
2
= PD ．若MN = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z =（ ）
2 3
1 1 5
A．- B． C．- D．－1
2 2 6
3-3．（2024 高三上·安徽宣城·期末）四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 为棱 PC 的中点，
uuur uuur uuur uuur
若 AE = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z 等于（ ）
3 5
A． B．1 C． D．2
2 2
3-4．（2024·陕西·一模）空间四边形 ABCD 中，AC 与 BD 是四边形的两条对角线，M，N 分别为线段 AB，
uuuur 2 uuur uuur 3 uuur uuuur uuur uuur
CD 上的两点，且满足 AM = AB，DN = DC ，若点 G 在线段 MN 上，且满足
3 4 MG = 3GN
，若向量 AG 满
uuur uuur uuur uuur
足 AG = xAB + y AC + z AD，则 x + y + z = ．
题型 4：利用空间向量基本定理证明位置关系
4-1．（2024 高二·江苏·课后作业）已知空间四边形 OABC 中， AOB = BOC = AOC ，且 OA=OB=OC，
M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OG⊥BC．
4-2．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝
∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线 A1C⊥平面 BDD1B1.
4-3．（湖南省长沙市四校联考 2023-2024 学年高二上学期 9 月阶段考试数学试题）如图所示，三棱柱
uur uuur r uuuur r r
ABC - A B C r CC cr CA = CB = CC r r r 2p r p1 1 1中，CA = a ，CB = b ， 1 = ， 1 =1， a,b = a,c = ， b ,c = ， N3 2 是 AB
中点．
r r(1) a cr
uuuur
用 ，b ， 表示向量 A1N ；
(2)在线段C1B1上是否存在点M ，使 AM ^ A1N ？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．
4-4．（2024 高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相
对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体 ABCD，E，F，G，H，K，M 分别为棱 AB，BC，CD，DA，BD，AC 的中点，且
EG = FH = KM 求证 AB ^ CD，AC ^ BD，AD ^ BC .
题型 5：利用空间向量基本定理求距离、夹角
5-1．（2024 高二上·天津静海·阶段练习）如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，
uuur r uuur r uuur r
点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点．设 AB = a ， AC = b ， AD = c .
(1)求证 EG⊥AB；
(2)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值．
5-2．（2024 高二上·上海·期中）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中，M，N 分别是 A1B, B1C1上的点，且
uuur r uuur r uuur r
BM = 2A1M ,C1N = 2B1N ．设 AB=a ， AC = b ， AA1 = c．
r r r uuuur
(1)试用a ，b ， c表示向量MN ；
(2)若 BAC = 90°, BAA1 = CAA1 = 60°, AB = AC = AA1 = 1，求 MN 的长．
5-3．（2024 高二上·浙江杭州·期末）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，
CB ^ BD， C1CD = 45°， CC1B = 60°，CC1 = CB = BD = 1，
(1)求对角线CA1的长度；
(2)求异面直线CA1与DA所成角的余弦值．
5-4．（2024 高二上·福建三明·期末）如图，在四面体 ABCD 中， BAC = 60°， BAD = CAD = 45°，
AD = 2 ， AB = AC = 3 .
uuur uuur
(1)求BC × BD 的值；
uuur uuur
(2)已知 F 是线段 CD 中点，点 E 满足EB = 2AE ，求线段 EF 的长.
5-5．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长
都为 1，且两两夹角为60°，求BD1与 AC 的夹角的余弦值．
一、单选题
1（．2024高二下·安徽·开学考试）已知四面体O - ABC ，G是VABC 的重心，P是线段OG上的点，且OP = 2PG ，
uuur uuur uuur uuur
若OP = xOA + yOB + zOC ，则 x, y, z 为（ ）
1 , 1 1 2 2 2, 1 1 1 1 1 1 A． B．
è 6 6 6 ÷
, , C． , , D． , ,
è 9 9 9 ÷
÷ ÷
è 3 3 3 è 2 2 2
r r r
2．（2024 高二上·辽宁·期末）已知 a,b,cr r r r r r是空间的一个基底，则可以与向量m = a + 2b，n = a - c 构成空间
另一个基底的向量是（ ）
r r r r r rA． 2a + 2b - c B． ar 4b cr+ + C r r r．b - c D． a - 2b - 2c
3．（2024 高二上·山东菏泽·阶段练习）对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B,C ，有如下关系：
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuurOP = OA + OB + OC ，则（ ）
6 3 2
A．O, A, B,C 四点必共面 B．P, A, B,C 四点必共面
C．O, P, B,C 四点必共面 D．O, P, A, B,C 五点必共面
uuuur uuur uuur uuuur
4．（2024 高二上·全国·课后作业）已知BA, BC, BB1为三条不共面的线段，若 AC1 = xAB + 2yBC + 3zC1C ，那
么 x + y + z =（ ）
7 5 11
A．1 B． C． D．
6 6 6
5．（2024 高二上·广东揭阳·阶段练习）如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点 N 在线段OM 上，点 P
1 3 uuur uuur uuur uuur uuur
在线段 AN 上，且MN = ON ， AP = AN ，用向量OA，OB，OC 表示OP ，则OP =（ ）2 4
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuurOA OB OC 1 OA 3
uuur uuur
A． + + B． - OB
1
+ OC
4 4 4 4 4 4
1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
C． OA - OB + OC D． OA + OB + OC
4 4 4 4 4 4
6．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 AB，BC， BB1不共面，若四边形BB1C1C 的对角线互相平分，且
uuuur uuur uuur uuuur
AC1 = xAB + 2yBC + 3zCC ，则 x + y + z1 的值为（ ）
5 2 11
A．1 B． C． D．
6 3 6
7．（2024·福建福州·三模）在三棱锥 P-ABC 中，点 O 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为侧棱 PA，PB，
r uuur r uuurPC r
uuur uuur
的中点，若 a = AF ，b = CE ， c = BD ，则OP =（ ）
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r ra b 1 r 2 r 1 2 r 2 r 2
r 2 r
A． + + c B．- a - b - c C．- a - b - c D． a + b + c
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
r r r
8．（2024 高二·全国·课后作业）已知a ，b ， c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量
是（ ）
r r r r r r r r r r
A．3a ， a - b， a + 2b B． 2b ，b - 2a ，b + 2a
r r r r r r r r r
C．a ， 2b ，b - c D． c， a + c， a - c
r r r
9．（2024 高二下·河南开封·期末）若 a, b,c 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
A． a + b, a - b, a B． a + b, a - b,b C． a + b, a - b,b + c D． a + b, a + b + c,c
10．（2024 高二下·浙江温州·期中）点A 在线段BC 上（不含端点），O为直线BC 外一点，且满足
uuur uuur uuur r 2 1
OA - aOB - 2bOC = 0 ，则 + 的最小值为（ ）3a + 4b a 3b +
9 9 8 8
A． B． C． D．
7 5 7 5
11．（2024 高二上·山东聊城·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，且
uuur uuur
AB = AP = 6， AD = 2， BAD = BAP = DAP = 60°，E ，F 分别为 PB，PC 上的点，且PE = 2EB，
uuur uuur uuur
PF = FC ， EF =（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 6
12．（2024 高二上·浙江湖州·期末）在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，点M 满足
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AM = xAB + y AC + 1- x - y AD (x, y R) ，点 N 满足DN = lDA + (1- l)DC(l R)，当 AM 和DN 的长度
uuuur uuur
都为最短时， AM × AN 的值是（ ）
1 1 2 2
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
13．（2024 高二上·山东·阶段练习）如图，在三棱锥P - ABC 中，点 G 为VABC的重心，点 M 在PG 上，且
uuur uuur uuur uuur
PM = 3MG ，过点 M 任意作一个平面分别交线段 PA， PB， PC 于点 D，E，F，若 PD = mPA， PE = nPB，
uuur uuur 1 1 1
PF = tPC ，则 + + 的值为（ ）m n t
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2024 高二上·河南·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是菱形，侧面 A1ADD1
是正方形，且 A1AB =120°， DAB = 60°， AB = 2 ，若 P 是C1D 与CD1的交点，则 AP =（ ）．
A．9 B．7 C．3 D． 7
15．（2024 高二下·安徽合肥·开学考试）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =1， AB = AD = 2 ，且
A AD = A AB = 45o1 1 ， DAB = 60o ，则 BD1 =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
二、多选题
16．（2024 高二上·江苏连云港·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长
uuur uuur r uuur
都是 1，且它们彼此的夹角都是 60°，M 为 A1C1与 B1D1的交点，若 AB a
r, AD b , AA cr= = 1 = ，则下列正确的是
（ ）
uuuur 1 r 1 r r uuuur r rBM = a - b + c AC a b crA． B． = + +
2 2 1
uuur uuuur
C． AC1的长为 5 D． cos AB, AC
6
1 = 3
17．（2024 高二下·江苏常州·开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A ar
r r
．已知向量 ∥b ，则 a
r,b 与任何向量都不能构成空间的一组基底
uuur uuuur uuur
B． A, B, M , N 是空间四点，若BA, BM , BN 不能构成空间的一组基底，则 A, B, M , N 共面
uuur uuur uuur uuur r
C．若OP + OA + OB + OC = 0，则点P, A, B,C 四点共面
r r ur r r ra,b ,cr r rD．已知 是空间向量的一组基底，若m = a + c ，则 a,b , m 也是空间一组基底
r r
18．（2024 高二上·山西晋中·期末） a,b ,cr r r r是空间的一个基底，与 ar + b 、 a + c 构成基底的一个向量可以是
（ ）
r r r rA．b + c B b r r． - c C．b D． c
r r r ur r r r r r r r r
19．（2024 高二下·江苏·课后作业）设 x = a + b, y = b + c, z = c + a,且 a,b,c 是空间的一个基底，则下列向量
组中，可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
r r r r ur rA． a,b, x B． x, y, z
r r r r ur r r r
C． b,c, z D． x, y,a + b + c
三、填空题
uuur uuuur
20．（2024 高二上·河北唐山·期末）正四面体 ABCD 中，若 M 是棱 CD 的中点， AP = l AM ，
uuur uuur 1 uuur 1 uuurAB + BP = AC + AD，则l = .
6 6
21．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，O 是 AC 与 BD 交点．记
uuur r uuur r uuurAB = a, AD = b , AA r1 = c ，
uuur r
则B1O =
r r
（结果用 a,b ,c 表达）．
22．（2024 高三·上海·专题练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1中，侧面CC1D1D 的中心是 P，若
uuur uuur uuur uuur
AP = AD + mAB + nAA1 ，则m = ， n = ．
23．（2024·福建龙岩·模拟预测）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型
P - ABCD ，设底边和侧棱长均为 4，则该正四棱锥的外接球表面积为 ；过点 A 作一个平面分别交
PE 3 PF 1 PG
PB、PC、PD 于点 E F G 进行切割，得到四棱锥P - AEFG，若 = , = ，则 的值为 .PB 5 PC 2 PD
24．（2024 高二下·江苏常州·期中）一种糖果的包装纸由一个边长为 6 的正方形和 2 个等腰直角三角形组成
（如图 1），沿 AD，BC 将 2 个三角形折起到与平面 ABCD 垂直（如图 2），连接 EF，AE，CF，AC，若点 P
uuur uuur uuur uuur uuur
满足DP = xDA + yDC + zDF 且 x + y + z =1，则 EP 的最小值为 .
25．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E 为棱
uuur 1 uuur uuur uuur AM
AB 的中点， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC1与平面EFG 交于点M ，则 =AC .3 1
四、解答题
26．（2024 高二上·湖北孝感·期中）如图，在空间四边形OABC 中，已知 E 是线段 BC 的中点，G 在 AE 上，
且 AG = 2GE ．
uuur uuur uuur uuur
(1)试用OA,OB,OC 表示向量OG ；
uuur uuur
(2)若OA = 4,OB = 6,OC = 8, AOC = BOC = 60°， AOB = 90°，求OG × AB的值．
27．（2024 高二·湖南·课后作业）如图，已知 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，G 为
AM 上一点，且GM : GA = 1: 3 .求证：B，G，N 三点共线.
28．（2024 高二上·广东中山）如图所示，在四棱锥M - ABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱
r uuur r uuur r uuur r rAM r的长为 3，且 MAB = MAD = 60°，N 是 CM 的中点，设 a = AB，b = AD ， c = AM ，用 a 、b 、 c 表
uuur
示向量BN ，并求 BN 的长．
29．（2024 高二上·广东中山·阶段练习）在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别
CF AE 1 uuur r uuur r uuur r
边 AB，BC 上的点，且 = = ，CA = a ，FB EB 3 CB = b
，DC = c
uuur r r r
(1)求FH （用向量 a,b,c表示）；
(2)求证：点 E，F，G，H 四点共面．
30．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，P，Q，R 分别在 AB，
AP CQ D R a uuur r uuur r
CC1，D1A1上，并满足 = =
1 = 0 < a <1 uuur r
PB QC RA 1- a ．设 AB = i ， AD = j ， AA1 = k ．1 1
r r r uuur uuur
(1)用 i ， j ， k 表示PQ，PR；
r r r
(2)设VPQR
uuur
的重心为 G，用 i ， j ， k 表示 DG ；
uuur uuur
(3)当RG ^ DG 时，求 a 的取值范围．
31．（2024 高二·全国·专题练习）如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为 2，E 是 AB 的中点，F 在OC
uuur uuur
上，且OF = 2FC .
uuur uuur uuur uuur
（1）用{OA,OB,OC}表示EF ；
uuur uuur
（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.
32．（2024 高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为 1 的正四面体OABC 中，M ，N 分别是边OA，BC
uuur r uuur r uuur r
的中点，点G 在MN 上，且MG = 2GN ，设OA = a，OB = b，OC = c．
v uuur
(1) v v试用向量 a，b ， c 表示向量OG ；
uuur uur
(2)求 cos < OG, BA >．
33．（2024 高二下·广西南宁·开学考试）已知在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AA1 = 3， AD =1
p
且 DAB = BAA1 = DAA1 = .3
(1)求DB1的长；
uuuur uuur
(2)求向量DB1 与 AB 夹角的余弦值.
34．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为 1 的菱形，且
C1CB
p
= C1CD = BCD = ，DD1 = 2 .3
（1）证明：DD1 ^ BD ；
（2）求异面直线CA1与 AB 夹角的余弦值.
35．（2024 高二上·全国·专题练习）如图，在底面 ABCD为菱形的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分
1
别在棱 AA1，CC1上，且 A1M = AA1，CN
1
= CC1，且 A1AD = A1AB = DAB = 60
o
．
3 3
uuur uuur uuur uuuur
(1)用向量 AA1，AD，AB表示向量MN ；
(2)求证：D，M，B1，N 共面；
