1.3 空间向量及其运算的坐标表示 9 题型分类
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i，j，k}，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方
向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建
立了一个空间直角坐标系 Oxyz.
(2)相关概念：O 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，
则称这个坐标系为右手直角坐标系．
二、空间点的坐标
→
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA，且点 A 的位置由
→ →
向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk 在单位正交
→
基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标．
三、空间向量的坐标
→
在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使 a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记作 a＝(x，y，
z)．
四、空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
五、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
当 b≠0 时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
六、空间两点间的距离公式
设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
→
则 P1P2＝|P 1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
（一）
求空间点的坐标
(1)空间直角坐标系有的作用:
可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化;
(2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标:
x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0,y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0,z)．
(3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标:
Oxy 平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz 平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz 平面上的点的坐标为(x,0,z)．
(4)建立空间直角坐标系的原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；
②充分利用几何图形的对称性．
(5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出
它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标.
题型 1：求空间点的坐标
uuur
1-1．（24-25 高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥P - OABC r的底面为矩形，PO ^平面OABC ，设OA = a ，
uuur r uuur r r uuur uuur uuurOC = b ，OP = c ，E ，F 分别是PC
r r uuur
和 PB的中点，试用 a ，b ， c 表示BF ， BE ， AE，EF ，并分别指出
它们在这组基下的坐标.
【答案】答案见解析
uuur uuur uuur uuur
【分析】连接BO，结合图形利用向量的线性运算可以表示出BF ， BE ， AE，EF ，并直接写出它们在这
组基下的坐标.
【详解】连接BO，如图所示，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur rBF BP 1 r r 1 r 1 r 1 r则 = = BO + OP = -b - a + c = - a - b + c ，2 2 2 2 2 2
r
在基{ar,b ,cr} 1下的坐标为 - , 1 , 1- .
è 2 2 2 ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
BE BC CE ar 1 CP ar 1 CO OP ar 1 b 1 cr= + = - + = - + + = - - + ，2 2 2 2
{ar
r
在基 ,b ,c
r} 下的坐标为 -1, 1 1- , 2 2 ÷ .è
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuurAE AP r r 1 r
r r 1 r 1 r
= + PE = AO + OP + PO + OC = -a + c + -c + b = -a + b + c ，2 2 2 2
r r r 1 1
在基{a,b ,c}下的坐标为 -1, , ÷ .
è 2 2
uuur 1 uuur 1 uuurEF = CB 1 r= OA = a ，
2 2 2
r
在基{ar,b ,cr} 1下的坐标为 ,0,0 2 ÷ .è
1-2．（24-25 高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
点 P 是 B1C1 的中点，则点 P 的坐标为（ ）
A． (2,6, 2) B． (3,4,2) C． (4,6, 2) D． (6, 2,1)
【答案】A
【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
可得B1(4,6, 2),C1(0,6, 2) ，
因为点 P 为 B1C1 的中点，由中点公式可得，点 P 的坐标为P(2,6, 2) .
故选：A.
uuur uuur
1-3．（2024 高二上·广西钦州·期中）已知点 A 2,4,0 、 B 1,3,3 ，且满足 2AQ = QB，则Q点的坐标为（ ）
11 5
A． , ,1
5
÷ B． ,
11,1 5÷ C． ,1,0
÷ D． 1,0,1
è 3 3 è 3 3 è 3
【答案】B
【分析】设点Q x, y, z ，根据空间向量的坐标运算可求得点Q的坐标.
uuur uuur
【详解】设点Q x, y, z ，由 2AQ = QB，则 2 x - 2, y - 4, z = 1- x,3- y,3- z ，
ì
x
5
=
ì2 x - 2 =1- x 3
2 y 4 3 y y 11 5 11 所以， í - = - ，解得 í = ，故点Q , ,1÷ .
2z = 3- z
3 è 3 3
z =1
故选：B.
AC
1-4．（2024 高二·全国·课后作业）若 A 23,2,4 B 1,2,-8 ，点 C 在线段 AB 上，且 =AB 3 ，则点 C 的坐标
是 .
5
【答案】 , 2, -4÷
è 3
uuur uuur
【分析】设点C 的坐标为 x, y, z 2，由题意可得 AC = AB，即可得到方程组，解得即可求得C 的坐标．
3
AC 2
【详解】解：Q点 A 3,2,4 B 1,2,-8 ，C 为线段 AB 上一点，且 =AB 3 ，
uuur
AC 2
uuur uuur
所以 = AB， AB = -2,0,-12
3
uuur
设点C 的坐标为 x, y, z ，则 AC = x - 3, y - 2, z - 4 ，
ì 4
x - 3 = -
3
则 x - 3, y - 2, z - 4 2= -2,0,-12 3 ，即 íy - 2 = 0 ，
z - 4 = -8
ì
x
5
=
3 5
解得 íy = 2 ，即C , 2, -4 ；
è 3
÷
z 4 = -
5 ,2, -4 故答案为： ÷．
è 3
1-5．（24-25 高二下·全国·课堂例题）画一个正方体 ABCD - A1B1C1D1，若以A 为坐标原点，分别以有向直线
AB ， AD ， AA1为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点 A, D1的坐标分别为 ；
②棱C1C 中点的坐标为 ；
③正方形 AA1B1B对角线的交点的坐标为 .
0,0,0 0,1,1 1,1, 1 1 1 【答案】 ， ÷ ,0,
è 2 è 2 2 ÷
【分析】根据线段长度写出点的坐标，再根据中点坐标公式写出中点坐标.
【详解】
如图， (0,0,0)，D1 0,1,1 ， (1,1,0)，C1 1,1,1 ，
所以C1C E
中点 1,1,
1
è 2 ÷
，
因为四边形 ABB1A1为正方形，所以对角线的交点即为 AB1的中点，
B 1,0,1 H 1 ,0, 1 由 (0,0,0)， 1 得中点 2 2 ÷，è
故答案为： 0,0,0 ， 0,1,1 1,1, 1 1 ,0, 1 ； ；2 ÷ 2 2 ÷ .è è
（二）
空间点的对称问题
（1）空间直角坐标系中对称点的坐标：
①点(a,b,c)关于原点 O 的对称点为(-a,-b,-c);
②点(a,b,c)关于 x 轴的对称点为(a,-b,-c);
③点(a,b,c)关于 y 轴的对称点为(-a,b,-c);
④点(a,b,c)关于 z 轴的对称点为(-a,-b,c);
⑤点(a,b,c)关于 Oxy 平面的对称点为(a,b,-c);
⑥点(a,b,c)关于 Oyz 平面的对称点为(-a,b,c);
⑦点(a,b,c)关于 Ozx 平面的对称点为(a,-b,c).
（2）空间点对称问题的两个技巧：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
题型 2：求空间直角坐标系中对称点的坐标
2-1．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标为 (-2,-1,-4) .
故选：C.
uuuuuur
2-2．（2024·全国·高二专题练习）已知点M1 ，M 2 分别与点M (1, -2,3) 关于 x 轴和 z 轴对称，则M1M 2 =
（ ）
A． (-2,0,6) B． (2,0, -6) C． (0, 4, -6) D． (0, -4,6)
【答案】A
【分析】在空间直角坐标系中，求出点M (1, -2,3) 关于 x 轴和 z 轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可
得解.
【详解】依题意，点M (1, -2,3) 关于 x 轴对称点M1(1, 2,-3) ，关于 z 轴对称点M 2 (-1,2,3)，
uuuuuur
所以M1M 2 = (-2,0,6) .
故选：A
2-3．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点 A 1,2,3 关于Oxy 平面的对称点为 B ，而点 B 关于 x 轴
uuur
的对称点为C ，则 BC =（ ）
A． 2 10 B． 2 13 C． 2 15 D．8
【答案】B
uuur uuur
【分析】由对称性分别求出 B、C，则有BC ，即可求得 BC
【详解】由题意B = 1,2,-3 ，则C = 1,-2,3 ，
uuur uuur
故BC = 0, -4,6 ， BC = 16 + 36 = 2 13 .
故选：B
2-4．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系 Oxyz 中，P 是坐标平面
xOy 内一动点，M 4,2,2 ，Q 7,5, 4 ，当 PM + PQ 最小时 P 的坐标为___________.
【答案】 5,3,0
【分析】先利用对称找出 P 的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解
【详解】过点M 作平面 xOy 垂线MA，垂足为A ，延长MA到 N ，使得MA = AN ，
过点Q作平面 xOy 垂线MB，垂足为 B ，
则 A 4,2,0 ， N 4,2,-2 ，B 7,5,0 ，
因为M 与 N 关于平面 xOy 对称，
所以 PM + PQ = PN + PQ NQ ，
所以当 PM + PQ 最小时点 P 是连接 NQ 与平面 xOy 的交点，
连接 AB ，易知M , A, N , B,Q, P共面，且VANP与VBQP相似，
AP AN 2 1
所以 = = =BP BQ 4 2 ，
uuur 1 uuur
所以 AP = AB，
3
uuur uuur
设P x, y,0 ，则 AP = x - 4, y - 2,0 , 1 AB 1= 7 - 4,5 - 2,0 = 1,1,0 ，
3 3
所以 x - 4 =1, y - 2 =1，解得 x = 5, y = 3，
所以 P 的坐标为 5,3,0 ，
故答案为： 5,3,0
（三）
空间向量的坐标
1、向量坐标的求法：
(1)点 A 的坐标和向量 的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
2、用坐标表示空间向量的步骤：
(1)观察图形：充分观察图形；
(2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系；
(3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算；
(4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标.
题型 3：空间向量的坐标
3-1．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝
uuur uuur uuur
90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐标．
uuur uuur uuur
【答案】BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
【分析】以点 C 为原点，分别以 CA，CB，CC1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系
C-xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知 CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点 C 为原点，分别以 CA，CB，CC1的方向为 x 轴，y
轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C-xyz，如图所示．
则 B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
uuur uuur uuur
∴ BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
uuuur
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若点M 是侧面CDD1C1 的中心，则 AM 在基
uuur uuur uuur底 AA1, AD, AB 下的坐标为（ ）
1 ,1, 1 1 1 1 1- 1 1 A． 2 2 ÷
B． ,-1, ÷ C． - ,1,2 2 2 2 ÷
D． ,1,2 2 ÷è è è è
【答案】D
uuuur
AM 1
uuur uuur 1 uuur
【分析】利用向量运算求得 = AA1 + AD + AB，从而确定正确选项.2 2
【详解】由题可知，M 为DC1的中点，
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuuur uuur
∴ AM = AD + DM = AD + DD + DC
2 1
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur= AD + AA1 + AB = AA1 + AD + AB，2 2 2
1
∴坐标为 ,1,
1
2 2 ÷
.
è
故选：D
3-3．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在长方体OABC - D A B C 中，OA = 3，OC = 4，OD = 2 ，以
ì1 uuur uuur uuuur
í OA,
1 OC, 1 OD ü 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．
3 4 2
(1)写出 D ，C， A ，B 四点的坐标；
uuuur uuur uuuur uuuur
(2)写出向量 A B ， B B ， A C ， AC 的坐标．
【答案】(1)点 A (3, 0, 2) ，点B (3,4,2)，点 C (0,4,0) ， D (0,0, 2)
uuuur uuur uuuur uuuur
(2) A B = (0, 4,0)；B B = (0,0,-2) ； A C = (-3,4,0)； AC = (-3,4,2)．
【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标；
（2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标.
【详解】（1）点 D 在 z 轴上，且OD = 2 ，
所以点 D 的坐标是 (0,0, 2) ．
同理，点 C 的坐标是 (0,4,0) ．
点 A 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，O， D ，
它们在坐标轴上的坐标分别为 3，0，2，所以点 A 的坐标是 (3, 0, 2) ．
点B 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 A，C， D ，
它们在坐标轴上的坐标分别为 3，4，2，所以点B 的坐标是 (3,4,2)．
uuuur uuur
（2） A B = OC = (0, 4,0)；
uuur uuuur
B B = -OD = (0,0, -2) ；
uuuuv uuuuv uuuur
A C = A D + D C = -3,0,0 + 0,4,0 = -3,4,0 ；
uuuur uuur uuur uuuur
AC = AO + OC + CC = -3,0,0 + 0,4,0 + 0,0,2 = (-3,4,2)．
3-4．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，B1C1 的中点，若以
uuur uuur uuurAB, AD, AA uuur uuur uuuur1 为基底，则向量 AE 的坐标为 ，向量 AF 的坐标为 ，向量 AC1 的坐标为 .
1 1
【答案】 ,1,1 1, ,1 (1,1,1)
è 2 ÷ è 2 ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
【分析】利用向量的运算用 AB, AD, AA1 表示向量 AE ， AF ， AC1 ，即可得出答案.
uuur uuur uuuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1
【详解】因为 AE = AD + DD1 + D1E = AB + AD
uuur
+ AA 1 ，所以向量 AE 的坐标为 ,1,1
.
2 ֏ 2
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
因为 AF = AB + BB1 + B1F = AB
1
+ AD + AA1 ，2
uuur 1
所以向量 AF 的坐标为 1, ,1 .
è 2 ÷
uuuur uuur uuur uuur uuuur
因为 AC1 = AB + AD + AA1 ，所以向量 AC1 的坐标为 (1,1,1) .
1
故答案为： ,1,1
1
÷；2
1, ,1÷； (1,1,1)
è è 2
【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
（四）
空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2， a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
题型 4：空间向量的坐标运算
r r
4-1．（2024 高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量a = 1,0,2 ,b = r r-2,1,3 ，则 a - 2b = .
【答案】 5,-2,-4
【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案.
ar
r r
【详解】因为 = 1,0,2 ,b = -2,1,3 ，所以 ar - 2b = 1,0,2 - -4,2,6 = 5, -2, -4 ．
故答案为： 5,-2,-4
4-2．（2024 高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 ， c = -1,5,1 ，求：
(1) 2 a- 3b ；
(2) a× b ；
r
(3) ar r（× b + c）.
【答案】(1) 2,7,-11
(2)2
(3)4
【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，
（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，
【详解】（1）由 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 得 2 a- 3b = 2 4,2,-4 - 3 2, -1,1 = 2,7, -11
（2） a× b = 4,2,-4 × 2,-1,1 = 8 - 2 - 4 = 2
r r r r r r r
（3） a × b + c = a ×b + a ×c = 2 - 4 +10 - 4 = 4
r r
56．（2024 高二·全国·课后作业）已知 a = 2, -1, -2 ,b = 0,-1,4 ，求
r r r r r r r r r r r r
a + b, a - b, a ×b, 2a × -b , a + b × a - b .
ar
r r r r r r r r r
【答案】 + b = (2,-2,2)， a - b = (2,0, -6) ar
r
， ×b = -7 ， (2a) ×b =14， a - b × a + b = -8
【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解.
【详解】由题意，
ar
r
+ b = 2, -1, -2 + 0, -1,4 = 2, -2,2 ，
ar
r
- b = 2,-1, -2 - 0,-1,4 = 2,0,-6 ，
ar
r
×b = 2, -1, -2 × 0,-1,4 = 2 0 + -1 -1 + -2 4 = -7，
r r r r 2a × -b = -2a ×b = -2 -7 =14，
r r ra + b × ar - b = 2,-2,2 × 2,0,-6 = 2 2 + -2 0 + 2 -6 = -8 .
r r r
4-3．（2024 高二下·江苏常州· r期中）若 a = (1, -2,1),b = (-1, -3,2)，则 (ar + b) r× (a - b) = （ ）
A．10 B．8 C．-10 D．-8
【答案】D
r r r r
【分析】根据条件，求出 a + b 、 a - b 的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解.
r r r r
【详解】因为 a = (1, -2,1),b = (-1, 3,2) r- ，所以 a + b = (0, r-5,3)， a - b = (2,1,-1)，则
(ar
r r
+ b) × (ar - b) = -5 - 3 = -8 ;
故选：D
4-4．（2024 高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
r r
A． a = 1,0,0 ，b = 0,2,0 ， cr 1= ( , - 2,0)
2
r r r
B． a = 1,0,0 ，b = 0,1,0 ， c = 0,0,2
r r
C．a = 1,0,1 ，b = 0,1,1 r， c = 2,1,2
r r
D． a = 1,1,1 ，b = 0,1,0 ， cr = 1,0,2
【答案】A
r r r r r r
【分析】结合空间三个向量 a ，b ， c 能构成空间的基底，则向量 a ，b ， c 不共面，逐一检验即可.
r r r r r r
【详解】若空间三个向量 a ，b ， c 能构成空间的基底，则向量 a ，b ， c 不共面，反之亦然，
r r
对于 A，由 a =
r
1,0,0 ，b = r0,2,0 r 1 r 1 r 2 r r， c = ( , - 2,0)，得 c = a - b ，即向量 a ，b ， c 共面，不能构成2 2 2
空间基底；
r r
对于 B cr xar，令 = + yb ，则 (0,0, 2) = (x, y,0)，不成立，即 ar,b ,cr不共面，可构成基底；
ìx = 2
C cr xar
r r
对于 ，令 = + yb ，则 (2,1, 2) = (x, y, x + y)
，即 íy =1
r
无解，即 a,b ,cr不共面，可构成基底；
x + y = 2
ìx =1
r r r
对于 D，令 c = xar + yb ，则 (1,0, 2) = (x, x + y, x)
，即 íx + y =1无解，即 a
r,b ,cr不共面，可构成基底.
x = 2
故选：A
（五）
空间向量的平行、垂直及模、夹角
1.设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
当 b≠0 时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
2.空间两点间的距离公式
设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则 P1P
→
2＝|P1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
题型 5：空间向量的平行问题
r r r r
5-1．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知向量 a = 1, t, 2 ，b = 2,-2, s ，若 a∥b，则实数 t - s = （ ）
A．-2 B． 2 C．-4 D．-5
【答案】D
r r
【分析】根据共线向量基本定理确定a 与b 的关系，再分别求出 t和 s，进而求解.
r r r r r r
【详解】解：若 a∥b，则b = la(a 0)，
r r ì2 = l 1 ìl = 2
a 1, t, 2 b 2, 2, s -2 = lt 因为已知向量 = ， = - ，所以 í ，解得 ít = -1，
s = l 2 s = 4
所以 t - s = -5 .
故选：D .
r r r r r r
5-2．（2024 高二上·吉林延边·阶段练习）向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 2,-4,2 ，且 a ^ c ，b / /cr ，则
r
2ar + b = .
【答案】3 2
【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出 x，y，再利用坐标求出向量的模作答.
r
【详解】因 a = x,1,1 ， cr r= 2,-4,2 r，而 a ^ cr ar cr，则有 × = 2x - 4 + 2 = 0，解得 x =1，即 a = 1,1,1
r r
又b = r1, y,1 1 y 1，且b / /cr ，则有 = = ，解得 y = -2，即b = 1, -2,1 ，2 -4 2
r r r r 2 2
于是得 2a + b = (3,0,3)， 2a + b = 3 + 3 = 3 2 ，
r
所以 2a
r
+ b = 3 2 .
故答案为：3 2
r r r r
5-3．（2024 高二上·江苏南通·期中）已知两个向量 a = (2,-1,3)，b = (4,m,n)，且 a / /b，则m + n的值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
r r r r
【分析】由 a / /b，可知$l R ，使b = la ，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
ì4 = 2l ìl = 2
r r r r
【详解】∵ a / /b，∴ $l R ，使b = la ，得 ím = -l ，解得： ím = -2，所以m + n = 4
n = 3l n = 6
故选：C
r r
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知 a / /b，引入参数l ，使
r r r r 4 m n
b = la ，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由 a / /b，得 = = ，求出 m，n.2 -1 3
r
5-4．（广东省潮州市湘桥区南春中学 2023-2024 学年高二上学期第二次月考数学试题）已知 a = 1,2,-y ，
r r
b = x,1, 2 ，且 2b// r ra - b ，则（ ）
x 1 1A． = ， y =1 B． x = ， y = -4
3 2
y 1C． x = 2， = - D． x =1， y = -1
4
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于 x、y 的方程组，解之即可求得 x、y 的值.
r r
【详解】 a = 1,2,-y ，b = x,1, 2 ，
r r r
则 a - b = 1- x,1,-y - 2 ， 2b = 2x, 2, 4
r r r ì 2 1- x - 2x = 0
ìx 1=
由 2b// a - b
，可得 í
4 1- x - 2x
2
-y - 2 0，解之得= í
y = -4
故选：B
题型 6：空间向量的垂直问题
r r
6-1．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知向量 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 .
r r r
(1)求a 与 a - b的夹角余弦值；
r r r r(2)若 2a + b ^ a - tb ，求 t的值.
【答案】(1) 10
10
(2) t
5
=
7
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.
r r
【详解】（1）因为 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 ，
r r
所以 a - b = 0, -2,1 ，
r r r
a = 2 ， a - b = 5 ，
r r r
r r r a × a - b
所以 cos a,a - b = r r r
1 10
= = ；
a a - b 2 5 10
r r
（2） 2a + b = 2 1,0,1 + 1,2,0 = 3,2,2 ，
r r
a - tb = 1,0,1 - t 1,2,0 = 1- t, -2t,1
r r r r因为 2a + b ^ a - tb ，所以 r r r r2a + b × a - tb = 3 1- t - 4t + 2 = 0，
5
解得 t = .
7
6-2．（安徽省滁州市定远县民族中学 2023-2024 学年高二上学期 11 月期中数学试题）已知点 A -2，0，2 、
uuur r uuurB -1，1，2 C -3，0，4 ar、 ， = AB，b = AC ．
cr r
uuur
(1) r若 = 3，且 c //BC ，求 c ；
r
(2)求 cos a
r
，b ；
r r
(3)若 kar + b 与 kar - 2b 垂直，求 k ．
r r
【答案】(1) c = -2，-1，2 或 c = 2，1，- 2 ；
(2) 10-
10
5
(3) k = - 或 k = 2
2
r r r
【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出 c = -2l，- l，2l ，再利用 c = 3列方程，进而求得 c ；
r r r
（2）先求得 a = 1，1，0 r，b = -1，0，2 ，再利用公式即可求得 cos a，b 的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于 k 的方程，解之即可求得 k 的值．
uuur
r r uuur【详解】（1）QB -1，1，2 、C -3，0，4 ，\BC = -2，-1，2 ，Q c = 3，且 c //BC ，
\设 c
r
= -2l，- l，2l ，且 (-2l)2 + (-l)2 + (2l)2 = 9，
r
解得l = ±1，\c = -2，-1，2 或 cr = 2，1，- 2 ；
r uuur r uuur
（2）Q A -2，0，2 、B -1，1，2 、C -3，0，4 ， a = AB，b = AC ，
r r
\a = 1，1，0 ，b = -1，0，2 ，
r r r
\cos ar，b a·b= r r
-1 10
= = -
a · b 2 5 10 ；
r r r r
（3）Qka + b = k -1，k，2 ， ka - 2b = k + 2，k，- 4 ，
r r
又 kar b kar+ 与 - 2b 垂直，
r r\ kar + b × kar - 2b = k -1 k + 2 + k 2 -8 = 0，
k 5解得 = - 或 k = 2．
2
r r r
6-3．（2024 高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量 a = -2, -1,2 ,b = -1,1,2 ,c = x, 2, 2 ．
r r
(1)求 a - 2b ；
r r
(2) c = 2 2 r cr当 时，若向量 ka + b 与 垂直，求实数 x 和 k 的值；
r
(3) r r若向量 c 与向量 a,b 共面向量，求 x 的值．
【答案】(1) 13
(2) x = 0， k = -3
1
(3) x = -
2
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
r r r
（3）根据向量共面定理，建立向量 c 与向量 a,b 之间的表示，可得方程组，求解即可.
r r
【详解】（1）Qa = -2, -1,2 ，b = -1,1,2 ，
ar
r
\ - 2b = -2, -1,2 - 2 -1,1,2 = 0, -3,-2 ，
r r
\ a - 2b = 9 + 4 = 13 ．
r
（2）因为 | c |= 2 2 ，
所以 x2 + 22 + 22 = 2 2 ，解得 x = 0，
r r r r r
因为 ka + b = (-2k -1,1- k, 2k + 2)，且向量 ka + b与 c垂直，
r r r r
所以 (ka + b) ×c = 0， c = (0, 2, 2)
即 2 - 2k + 4k + 4 = 2k + 6 = 0 ，
\k = -3．
所以实数 x 和 k 的值分别为0 和-3；
r r r
（3）解：设 c = la + mb l, m R ，
则 (x, 2, 2) = l(-2, -1,2) + m(-1,1,2)
x 1 ,l 1 3解得， = - = - , m =
2 2 2
r r r
即 c
1 3
= - a + b，
2 2
r r r
所以向量 c与向量a ，b 共面．
r r r r r r
6-4．（2024 高二上·重庆渝中·阶段练习）已知 a = 1,1,0 ，b = -1,0,2 ，且 ka + b与 2a - b 互相垂直，则实数
k 的值为（ ）
2 1 3 7
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
r r r r
【分析】根据题意，由空间向量的坐标计算可得 ka + b = (k -1， k ， 2) ， 2a - b = (3，2， -2)，进而由两个
r r r r
向量垂直可得 (ka + b)g(2a - b) = 3(k -1) + 2k - 4 = 0，解可得 k 的值，即可得答案．
r r r r r r
【详解】解：根据题意，向量 a = 1,1,0 .，b = -1,0,2 ，则 ka + b = (k -1， k ， 2) ， 2a - b = (3，2，
-2)，
r r r r r r r r
若向量 ka + b .与 2a - b .互相垂直，则有 (ka + b)g(2a - b) = 3(k -1) + 2k - 4 = 0，
解可得： k
7
= ；
5
故选：D.
题型 7：空间向量的距离问题
r r r r r
7-1．（2024 r高二上·山东日照·期末）已知 a = 2,1,3 ，b = -4,2, x ，且 a ^ b ，则 a - b = ．
【答案】 38
【分析】利用数量积公式求 x ，再利用数量积的坐标表示求模.
r r
【详解】因为 a ^ b ，所以-8 + 2 + 3x = 0，解得 x = 2
ar
r r r
所以 - b = 6, -1,1 ， a - b = 36 +1+1 = 38 .
故答案为： 38
7-2．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1D，
1 uuur
BD 的中点，G 在棱 CD 上，且CG = CD ，H 为 C1G 的中点．求| |.4 FH
41
【答案】
8
【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，D 为坐标原点，
则有D 0,0,0 E 0,0,
1 1 1
÷ ，F , ,0÷，C 0,1,0 ，C1 0,1,1 ，B1 1,1,1 G
0, 3， ,0
7 1
2 2 ÷，
H 0, ,
è 2 è è 4 è 8 2 ÷
，
uuur
FH 1 , 3 , 1= - ，
è 2 8 2 ÷
uuur 1 2 3 2FH 1
2
\ =
41
- 2 ÷
+ 8 ÷
+ 2 ÷
= .
è è è 8
r r r
7-3．（2024 高二上·北京·期中）已知向量 a = -1,2,1 r，b = 3, x,1 ，且 ar ^ b ，那么 b 等于（ ）
A． 10 B． 2 3 C． 11 D．5
【答案】C
【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.
r r
【详解】因为 a = -1,2,1 r，b = 3, x,1 r，且 a ^ b ，
r
所以-1 3 + 2x +1 1 = 0，即 x =1，所以b = 3,1,1 ，
r
所以 b = 32 +12 +12 = 11，
故选：C．
v v v
7-4．（2008·宁夏）已知向量 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，且l > 0，则l = ．
【答案】3
r r
【分析】利用向量的坐标运算求得求出la + b = 4,1- l,l ，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
v v v
【详解】因为 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，
r r
所以la + b = 4,1- l,l ，
可得16 + 1- l 2 + l 2 = 29，
因为l > 0，解得l = 3，故答案为 3.
题型 8：空间向量的夹角问题
r r r
8-1 2024 r．（ 高二下·甘肃白银·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，则 a 、b 夹
角的余弦值是 ．
11 1
【答案】 / 11
11 11
【分析】利用空间向量的夹角公式即可求解.
r r
【详解】因为 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，由空间向量的夹角公式可得，
r r r r
cos a,b agb 2 (-1) + 2 3+ (-1) 1 11< >= r r = =
a b 4 + 4 +1 1+ 9 +1 11 ，
r
所以 a
r 11
、b 夹角的余弦值是 ，
11
11
故答案为： .
11
uuuv uuuv
8-2．（2024 高三·甘肃武威·单元测试）已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则 AB 与CA的夹角
θ 的大小是 ．
【答案】120°
uuuv uuur
【分析】根据向量的坐标运算，求得 AB 与CA的坐标，再利用向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得
到答案.
【详解】由题意，空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
uuur uuur
则 AB = (-2,-1,3),CA = (-1,3, -2)，
uuur uuur
cosq uAuuBr ×CuuAur (-2) (-1) + (-1) 3 + 3 (-2) 1所以 = = = - ,AB × CA (-2)2 + (-1)2 + 32 × (-1)2 + 32 + (-2)2 2
又因为q [0o ,180o ]，所以q =120o .
故答案为：120o
【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记空间向量的
坐标运算，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
r r
8-3．（2024 高二上·吉林长春·期末）若向量 a = 1,l,1 ,b = r2,-1,-2 ，且 ar 2与b 夹角的余弦值为 ，则l 等
6
于（ ）
A．- 2 B． 2 C．- 2 或 2 D．2
【答案】A
【分析】
利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
r r
【详解】因为 a = 1,l,1 ,b = 2,-1,-2 ，
r r r r
所以 a ×b = 2 - l - 2 = -l 2， a = 2 + l , b = 4 +1+ 4 = 3，
r r 2 r r r r r
又 a 与b 夹角的余弦值为 ， a ×b = a b cos a
r,b ，
6
所以-l = 2 + l 2 2 3 ，解得l 2 = 2 ，
6
注意到 -l > 0，即l < 0 ，所以l = - 2 .
故选：A.
r r r r r
8-4．（2024 高二上·山东临沂·期末）已知空间向量 a = 1,0,1 ，b = 1,1,n ar，且 a ×b = 3，则向量 与b 的夹角
为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出 n，再利用向量夹角公式求出夹角.
r r r
【详解】Qa ×b =1+ 0 + n = 3，解得 n = 2，则b = 1,1,2 ，
ar
r
= 1+ 0 +1 = 2 ， b = 1+1+ 4 = 6 ，
r
r r a
r
×b 3 3
设向量 a 与b 的夹角为q ，则 cosq = r r = =a b 2 6 2 ，
Qq 0, π r，\q π π= ，即 ar 与b 的夹角为 ．
6 6
故选：A．
r
8-5．（2024 高二·全国·课后作业）已知向量 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2).
(1)求 | a |；
v v(2)求向量 a与b 夹角的余弦值.
【答案】(1) | a |= 6
11
(2)
12
【分析】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【详解】（1）因为 a = (-4,2,4)，所以 | a |= (-4)2 + 22 + 42 = 36 = 6 .
（2）因为 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2)，所以 a ×b = (-4,2,4) × (-6,3,-2) = 24 + 6 -8 = 22，
r r r
又因为 | a |= 6,| b |= (-6)2
22 11
+ 32 + (-2)2 = 7，所以 cos a,b = = .6 7 21
v va 11故 与b 夹角的余弦值为 .
12
r r
8-6．（2024 高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量 a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 .
r r
(1)求 2a - b 的值；
r r r r
(2)求向量 a + 2b 与 a - b夹角的余弦值.
【答案】(1) 3 6 ；
(2) 3- .
3
【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；
（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.
r r
【详解】（1）∵ a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 ，
r r r
∴ 2a = 4,-2,4 ， 2a - b = 3, -6,3 ，
r r
∴ 2a - b = 32 + -6 2 + 32 = 3 6 ；
r r r r
r r r r a + 2b a - b
（2）设 a + 2b 与 a - b的夹角为q ，则 cosq = r r r r ，
a + 2b × a - b
r r r r r r r r
a + 2b = 4,7,4 ， a + 2b = 9， a - b = 1, -5,1 ， a - b = 3 3 ，
4 1+ 7 -5
cosq + 4 1∴ -27 3= = = - ，
9 3 3 27 3 3
r r r r
∴ 3向量 a + 2b 与 a - b夹角的余弦值为- .3
题型 9：空间向量的投影问题
r r r
9-1．（江苏省宿迁市 2023-2024 学年高二下学期期中数学试题）已知向量 a = 0,1,1 ，b = 1,1,0 ，则向量b
r
在向量 a 上的投影向量为（ ）．
A． 0, -1, -1 B． -1,0, -1 1C． 0, ,
1 1
D ,0,
1
è 2 2 ÷
． ÷
è 2 2
【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
r r r
r r ar×b ar 0 1+1 1+1 0
r
a 1
r 1 1
【详解】向量b 在向量 a 上的投影向量为 × = × = a = 0, ,a a 2 2 è 2 2 ÷
.
故选:C.
r r v
9-2．（2024 高二上·广东惠州·期末）已知 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 av，则 在b 上的投影向量为（ ）
2 0,1,0 0, 1 , 1 A．1 B． C． D．
2 2 2 ֏
【答案】C
r r
【分析】根据题意得 cos a,b 2= ，进而根据投影向量的概念求解即可.
2
r r r r
【详解】解：因为 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 ，所以 a = 2, b =1，
r r r r
cos a,b ar ×b所以 = r
2
=
a b 2 ，
r r r rr r b 2
所以 a在b 上的投影向量为 a cos a,b × r = 2 0,1,0 = 0,1,0 b 2
故选：C
r r
9-3．（2024 高二下·江苏徐州·期中）已知 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 r r，则 a 在b 上的投影向量为（ ）
A． 1,0,0 B． 0,0,1 C． 0,1,0 D． 0,
1 , 1
è 2 2 ÷
【答案】B
r r
【分析】根据题意得 cos a,b 2= ，进而根据投影向量的概念求解即可.
2
r r r r
【详解】因为 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 ，所以 a = 2, b =1，
r r r r
cos a,b ar ×br 2所以 = =a b 2 ，
r
av
v r r r b 2
所以 在b 上的投影向量为 a cos a,b × r = 2 0,0,1 = 0,0,1 b 2
故选：B
uuur
9-4．（2024 高二下·江苏徐州·期中）已知 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 uuur，则向量 AB 在 AC 上的投影向量的
坐标是（ ）
1 , 1 , 1 1 , 1 1- - - , A． 6 6 3 ÷
B． ÷
è è 6 6 3
1 1 1 1 1 1
C． - ,- ,- ÷ D． , ,
è 6 6 3 ÷ è 6 6 3
【答案】D
uuur uuur
【分析】先求 AB, AC ，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.
【详解】因为 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 ，
uuur uuur
所以 AB = -1,2,0 , AC = 1,1,2 ，
uuur 2 uuurAB = -1 + 22 + 02 = 5 AC = 12 +12 + 22所以 ， = 6 ，
uuur uuur
AB × AC = -1 1+ 2 1+ 0 2 =1，
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
所以向量 AB 在 AC 上的投影向量是 AB × u
AuuBr × AuuCur × uAuCur 1 AC 1= × = AC = 1 , 1 , 1
AB ÷ ，× AC AC 6 6 6 è 6 6 3
uuur uuur 1 1 1
所以向量 AB 在 AC 上的投影向量的坐标是 , , ，
è 6 6 3 ÷
故选：D.
一、单选题
r r r r r
1．（2024 高二上·广东深圳·期末）已知向量 a = (1,1, x)， b = (-2,2,3) ，若 (2a - b) × b = 1，则 x =（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．6
【答案】B
【分析】
r r
根据空间向量的坐标运算可得 2a - b = (4,0, 2x - 3)，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
r r
【详解】由题意知， 2a - b = (4,0, 2x - 3)
r r r
由 (2a - b) × b = 1，得 4 (-2) + 0 2 + (2x - 3) 3 =1，
解得 x = 3 .
故选：B.
r r r r r r
2．（2024 高二上·北京丰台·期末）若向量a = (1,-1,l),b = (1,-2,1),c = (1,1,1)，满足条件 (c - a) ×b = -1，则l =
（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
r r
【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得 (c - a) = (0, 2,1- l) ，再通过数量积运算即可得解.
【详解】根据向量的运算可得：
r r
(c - a) = (0, 2,1- l) ，
r r r
所以 (c - a) ×b = 0 1+ 2 (-2) + (1- l) 1
= -4 +1- l = -3 - l = -1，
所以l = -2 ，
故选：B
r r 2
3．（2024 高二上·天津·期中）若向量 a = 1,l,0 ，b = 2, -1,2 ，且 a→,b→的夹角的余弦值为 ，则实数 l
3
等于（ ）.
4 4 4
A．0 B．- C．0 或- D．0 或
3 3 3
【答案】C
【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可．
r r r
【详解】由题意得 cos a
r,b a ×br 2 - l + 0 2< >= r = = a
2 + b2 4
2 ，解得l = 0或l = -a b ，1+ l × 4 +1+ 4 3 3
故选:C．
r r r r r r
4．（2024 高二上·天津·期末）已知空间向量 a = (1, 2,-3)，b = (2,-1,1) ， c = (2,0,3)，则a × (b + c) =（ ）
A．-10 B．3 3 C． (4,-2,-12) D． (5,0,-15)
【答案】A
【分析】
根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】Qb+ c = (4,-1,4)，
\a×
b+ c ÷ = 4 1-1 2 - 3 4 = -10，
è
故选：A
r r r r r r
5．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知 a = 2,3,-1 ， b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，若 a ， b ， c三向量共面，
则实数l 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
r r r
【分析】根据题意，设 c = ma + nb ，列出方程组即可得到结果.
r r r r r r
【详解】因为 a = 2,3,-1 ，b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，且a ，b ， c三向量共面，
r r r
设 c = ma + nb ，则 2,l, 2 = 2m,3m, -m + -2n, n, 4n ，
ì2 = 2m - 2n ìm = 2
即 íl = 3m + n ，解得 ín =1 .
2 = -m + 4n l = 7
故选：D
6．（2024 高三·甘肃武威·单元测试）如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，
uuur
B1E
1
1 = A1B1，则BE1 等于（ ）4
1
A． 0, , 1
1 1- 1 ÷ B．4
- ,0,1÷ C． 0, - ,1÷ D．4 4
,0,-1÷
è è è è 4
【答案】C
uuur uuuur uuur
【分析】根据空间向量运算法则，利用BE1 = DE1 - DB，即可得出．
1
【详解】在空间直角坐标系中，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，B1E1 = A1B ，4 1
3 uuur uuuur uuur
则B 1,1,0 ，E1 1, ,1÷ ，BE1 = DE1 - DB =
1, 3 ,1 1
4 4 ÷
- 1,1,0 = 0,- ,1÷ .
è è è 4
故选：C．
【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
r r r r r r r
7．（2024 高二下·江苏南通·期中）设 x 、 y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b//c ，
r r
则 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D．3
【答案】D
r r
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出 x 、 y 的值，求出向量 a + b 的坐标，利用空间向量的模
长公式可求得结果.
r r r r r
【详解】因为 a ^ c ，则 a ×c = 3x - 6 + 3 = 0，解得 x =1，则 a = 1,1,1 ，
r r 1 y r
因为b//c ，则 = ，解得 y = -2，即b = 1, -2,1 ，3 -6
r r r r
所以， a + b = 2, -1,2 ，因此， a + b = 4 +1+ 4 = 3 .
故选：D.
8．（2024 高二上·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点O(0,0,0), A(1,2,1),B(1,-1,0)，若点 C 在平
面OAB 内，则点 C 的坐标可能是（ ）
A． (-1, -1,3) B． (3,0,1) C． (1,1, 2) D． (1,-1,2)
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】根据向量的运算可得OA = (1, 2,1)，OB = (1, -1,0) ，由OA，OB不共线，结合向量基本定理可得
uuur uuur uuur
OC = lOA + mOB = (l + m, 2l - m,l)，求得 C 点坐标为 (l + m, 2l - m,l)，代入验算即可得解.
uuur uuur
【详解】由OA = (1, 2,1)，OB = (1, -1,0) ，
uuur uuur
显然OA，OB不共线，
uuur uuur uuur
根据向量基本定理可得OC = lOA + mOB = (l + m, 2l - m,l)，
故 C 点坐标为 (l + m, 2l - m,l)，
经验算只有 B 选项符合条件，
此时l =1, m = 2，
故选：B
r r r r r
9．（2024 高二上·辽宁大连·阶段练习）设 x,y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 1, -2,1 ，且 a ^ c ，
r r r rb //c ，则 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．3
【答案】D
r r r r r r
【分析】先根据 a ^ c 求出 ，再根据b//c 求出 y ，故可求 a + b .
r r
【详解】因为 a ^ c ，故 x - 2 +1 = 0 ，故 x=1，
r r 1 y 1 r r
因为b//c ，故 = = ，故 y = -2，故 a = 1,1,1 ，b = 1, -2,1 ，1 -2 1
r r r r
故 a + b = 2, -1,2 ，故 a + b = 3，
故选：D.
10．（2024 高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4，点 E 是棱CC1的中点，
动点 P 在正方形 AA1B1B内（包括边界）运动，且PD1∥平面BDE ，则PC 长度的取值范围为（ ）
A． 5,6 B． é 4 2,6ù
é12 5 ù
C． ê ,6ú D5 ．
é
2 5,6ù
【答案】C
uuur uuur uuuur
【分析】以 D 为原点，以DA，DC ， DD1 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
uuur uuuur
D - xyz ．取 AA1的中点为 H，连接B1H ，D1H .证明出点 P 只能在线段HB1上运动．设HP = lHB1
uuur
（ 0≤l ≤1）表示出CP = 4,4l - 4,2 + 2l ，求出模长，利用二次函数求出 PC 长度的取值范围.
uuur uuur uuuur
【详解】以 D 为原点，以DA，DC ， DD1 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
D - xyz ．则D 0，0，0 ， A 4，0，0 ，B 4，4，0 ，C 0，4，0 ，D1 0，0，4 ， A1 4，0，4 ，B1 4，4，4 ，C1 0，4，4 ，
E 0，4，2 .
取 AA1的中点为 H，连接B1H ，D1H .
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，BB1 = DD1 且BB1 / /DD1，所以四边形 BB1D1D为平行四边形，所以BD // B1D1 .
又B1D1 面HB1D1，BD 面HB1D1，
所以BD / /面HB1D1 .
同理可证：DE / / 面HB1D1 .
又DB DE = D ，所以平面B1D1H ∥平面BDE ．
uuur uuuur
因为PD1∥平面BDE ，所以点 P 只能在线段HB1上运动．易知H 4,0,2 ，设HP = lHB1 （ 0≤l ≤1），
uuuur uuur uuur uuuur uuur
HB1 = 0,4,2 ，则HP = 0,4l, 2l ，DP = DH + HP = 4,0,2 + 0,4l, 2l = 4,4l, 2 + 2l ，
uuur uuur uuur
CP = DP - DC = 4,4l, 2 + 2l - 0,4,0 = 4,4l - 4,2 + 2l ，
uuur 2
CP =16 +16 l -1 2 + 4 l +1 2 = 20l 2 - 24l + 36 ．
uuur 2 uuuv 2
当l
3 144
= 时， CP 取得最小值 ；当l = 0时， CP 取得最大值 36．
5 5
é12 5 ù
故 PC 长度的取值范围为 ê ,6ú．
5
故选：C
【点睛】立体几何求最值的方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
11．（2024 高二下·广西百色·阶段练习）已知空间直角坐标系O - xyz 中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，点Q在直线OP 上运动，则当QA ×QB 取得最小值时，点Q的坐标为
（ ）
(1 , 3
1 3 3 4 4 8 1 3 7
A． ,
1) B． ( , , ) C． ( , , ) D． ( , , )
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用向量OQ//OP表示出点 Q 坐标，再求出QA，QB 的坐标，借助数量积建立函数关系即可求
解.
uuur uuur uuur uuur
【详解】因点 Q 在直线OP 上运动，则OQ//OP，设OQ = tOP = (t, t, 2t)，于是有Q(t, t, 2t)，
uuur uuur
因为OA = (1,2,3) ，OB = (2,1,2)，所以 A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，
uuur uuur
因此QA = (1- t, 2 - t,3 - 2t)，QB = (2 - t,1- t, 2 - 2t)，
uuur uuur
于是得QA ×QB = (1- t)(2 - t) + (2 - t)(1- t) + (3 - 2t)(2 - 2t)
2
= 6t 2 -16t +10 = 6 t 4 2 - 3 ÷
- ，
è 3
4 uuur uuur 2 4 4则当 t = 时， QA ×QB = - ，此时点 Q , , 8 3 3 3 ÷ ，3 min 3 è
uuur uuur 4 4 8
所以当QA ×QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为 , , .
è 3 3 3 ÷
故选：C
uuuv uuuv
12．（2024 高三上·福建龙岩·期末）正四面体 ABCD的棱长为 2，动点 P 在以BC 为直径的球面上，则 AP × AD
的最大值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3
【答案】C
【分析】建立空间坐标系，设P x, y, z uuur uuur，求出 AP × AD 关于 x, y, z的表达式，根据球的半径得出 x, y, z的取
值范围，利用简单的线性规划得出答案.
【详解】设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，
A 3 2 6
则 ,0,3 3 ÷÷
, D 3,0,0 ，
è
uuur uuur
设P x, y, z 3 2 6 2 3 2 6，则 AP = x - , y, z - ÷÷， AD = ,0,- ，
è 3 3 è 3 3 ÷
÷
uuur uuur
\ AP 2 3 2 6× AD = x - z + 2，
3 3
QP在以M 为球心，以1为半径的球面上，
\ x2 + y2 + z2 =1，
Q0 y 1，0 x2 + z2 1，
2 3
令 x 2 6- z + 2 = m，
3 3
2 3 2 6
则直线 x - z + 2 - m = 0与单位圆 x2 + z2 =1相切时，截距取得最小值，
3 3
2 - m
=1
2 2
令 2 3 2 6 ，解得m = 0或m = 4
3 ÷
+ - ÷
è è 3
uuur uuur
\ AP × AD 的最大值为 4 .
故选：C
【点睛】本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，
属于难题.
13．（2024 高三上·湖北·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = 5， AD = AB = 4，M ， N ， P 分
别是棱C1D1，BC ，CC1上的点，且C1M = MD1，C P
3
1 = C1C CN
1
， = CB ，Q是平面 ABCD4 内一动点，若5
uuur uuuur
直线 D1Q 与平面MNP 平行，则QB1 ×QD1 的最小值为（ ）
441 89 16
A． B．17 C． D．
25 5 25
【答案】A
r
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面 MPN 的法向量 n = 4,3,2 ，设出Q s, t,0 ，根据
uuuur r uuur uuuur 2
D1Q ×n = 0 求出 4s + 3t =10，计算出QB1 ×QD1 = s
2 - 4s t 2 4t 25 38+ - + 25 = t - 441
16 25 ÷
+ ，得到最小值.
è 25
【详解】以 D 作坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则D1 0,0,5 , N 1,4,0 , M 0,2,5 , P 0,4,2 , B1 4,4,5 ，
r
设平面 MPN 的法向量为 n = x, y, z ，
ìnr
uuuur
× MN = x, y, z × 1,2,-5 = x + 2y - 5z = 0
则 í r uuur ，
n × MP = x, y, z × 0,2,-3 = 2y - 3z = 0
r
令 y = 3，则 z = 2, x = 4，故 n = 4,3,2 ，
uuuur
设Q s, t,0 ，则D1Q = s, t, -5 ，
uuuur r
因为直线 D1Q 与平面MNP 平行，所以D1Q ×n = s, t,-5 × 4,3,2 = 4s + 3t -10 = 0，
uuur uuuur
QB1 ×QD1 = 4 - s, 4 - t,5 × -s,-t,5 = s2 - 4s + t 2 - 4t + 25，
4s 3t 10 s 10 - 3t因为 + = ，所以 = ，
4
uuur uuuur 2
故QB1 ×QD1 = s
2 - 4s + t 2 - 4t + 25 10 - 3t= ÷ -10 + 3t + t
2 - 4t + 25
è 4
25 38 2 441
= t -
16 25 ÷
+ ，
è 25
38 uuur uuuur 441
故当 t = 时，QB1 ×QD1 取得最小值，最小值为 .25 25
故选：A
二、多选题
r r
14．（2024 高二上·河北·阶段练习）已知空间向量 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，则下列结论正确的是（ ）
r r rA． (2a + b) / /ar B．5 | ar |= 3 | b |
r
C ar r r
r
． ^ (5a + 6b) D 3． a 与b 夹角的余弦值为-
6
【答案】BCD
【分析】
对于 A，结合向量平行的性质，即可求解，对于 B，结合向量模公式，即可求解，对于 C，结合向量垂直的
性质，即可求解，对于 D，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
r -1 2
因为 2a
r
+ b = (-1,2,7),ar = (-2,-1,1) ，且 2 1，故 A 不正确；- -
r r r
因为 | a |= 4 +1
r
+1 = 6 ， | b |= 32 + 42 + 52 = 5 2 ，则5 | a |= 3 | b |，故 B 正确；
5ar
r r
因为 + 6b = (8,19,35) ， a × r r r r r5a + 6b = -2 8 -1 19 +1 35 = 0，a ^ 5a + 6b ，故 C 正确；
r r r r ar
r
×b -5 3
由于 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，所以 cos < a,b >= r r = = - ，所以 D6 正确.| a || b | 6 5 2
故选:BCD.
15．（2024 高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知VABC 的边长为 2，三棱柱
uuur uuur uuuur
的高为1, BC, B1C1的中点分别为 D, D1，以D为原点，分别以DC, DA, DD1 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建
立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． A1 0, 3,1 B．C1 1,0,1
uuuur
C． AD1 = 0, - 3,1
uuur
D．B1A = 3, 3,-1
【答案】ABC
【分析】求出等边三角形的高 AD 的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．
【详解】在等边VABC 中， AB = 2, BD = 1，所以 AD = 3 ，则 A 0, 3,0 , A1 0, 3,1 ,C1 1,0,1 , D1(0,0,1)，
uuuur uuur
B1 -1,0,1 ，则 AD1 = 0, - 3,1 , B1A = 1, 3,-1 .
故选：ABC
r r
16．（2024 高二上·全国·课后作业）已知向量 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，则下列结论正确的是（ ）
r r r r
A． a + b = 10, -5,-2 B． a - b = 2, -1, -6
C ar
r r
． ×b = 22 D． a = 6
【答案】ACD
【分析】根据向量坐标运算，求解向量的加法、减法的坐标，数量积及向量的模即可.
【详解】
r r
因为 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，
r r r r r r
所以 a + b = 10, -5,-2 ， a - b = -2,1, -6 ， a ×b = 4 6 + (-2) (-3) + (-4) 2 = 22，
ar = 42 + (-2)2 + (-4)2 = 6 .故正确的选项为 ACD.
故选：ACD
17．（2024 高二上·福建三明·期末）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标
系Dxyz，则（ ）
uuur
A．点C1的坐标为（2，0，2） B．C1A = 2, - 2, - 2
C．BD1的中点坐标为（1，1，1） D．点B1关于 y 轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
uuur
【分析】根据空间直角坐标系，可求点C1的坐标，由此判断 A;求出C1A的坐标，可判断 B;
利用中点坐标公式求得BD1的中点坐标，可判断 C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断 D.
【详解】根据题意可知点C1的坐标为 (0, 2, 2)，故 A 错误；
uuur
由空间直角坐标系可知： A(2,0,0),C1A = (2, -2, -2) ,故 B 正确；
由空间直角坐标系可知：B(2, 2,0), D1(0,0, 2) ,故BD1的中点坐标为（1，1，1），故 C 正确；
点B1坐标为 (2,2,2)，关于于 y 轴的对称点为（－2，2，－2），故 D 正确，
故选：BCD
三、填空题
r r r r r r
18．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知 i, j, k 是空间的一个单位正交基底，向量b = -5i + 2k 用坐标形式可
表示为 ．
【答案】 -5,0,2
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.
【详解】因为 r r r r r ri, j, k 是空间的一个单位正交基底，则有b = -5i + 2k = (-5,0,2) .
r r r
所以向量b = -5i + 2k 用坐标形式表示为 (-5,0,2) .
故答案为： (-5,0,2)
r r r r
19．（2024 高二下·江苏·课后作业）若 a = (2,-1,4),b = (-1, t, -2) ，若a 与b 的夹角是锐角，则 t的值的取值范
围为 .
【答案】 - , -10
r r r r r r
【分析】根据空间向量a 与b 的夹角是锐角可得 a ×b > 0 且a 与b 不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即
可求解.
r r r r
【详解】因为a 与b 的夹角是锐角，所以 a ×b > 0 ，
即-2 - t -8 > 0，解得 t < -10，
r r r r
若a 与b 的夹角为0° ，则存在l ，使 a = lb，
ì 2 = -l
即 (2,-1,4) = l(-1, t, -2)
，所以 í -1 = lt ，解得 t
1
= .
4 2 2 = - l
故 t 的取值范围是 (- , -10) .
故答案为： (- , -10) .
r r r
20．（2024 高二下·江苏·课后作业）若 a = 2,-1,4 ，b = -1, t,-2 ，若 ar 与b 的夹角是钝角，则 t 的值的取值
范围为 .
【答案】 -10,
1 1 , +
è 2 ÷ è 2 ÷
r r r r r
【分析】由 a 与b r的夹角是钝角转化为 a ×b < 0 且 a 与b 不反向.
r r
【详解】已知 a = 2,-1,4 ，b = -1, t,-2 ，
r r r r
因为 a
r
与b r的夹角是钝角，所以cos a,b < 0，即 a ×b < 0 ，
r
即 a
r
×b = 2 -1 - t + 4 -2 = -t -10 < 0 ，解得 t > -10 .
ar
r r r
若 与b 的夹角为 180°，则存在l ，使 a = lb ，
ì2 = -l
所以 í-1 = lt
1
，解得l = -2 ， t = .
4 2 2 = - l
1
所以 t > -10，且 t .
2
故 t 的取值范围是 -10,
1 1 , + .
è 2 ÷ è 2 ÷
r r 2 r
21．（2024 r高二下·江苏·课后作业）已知向量 a = 5,3,1 ，b = -2,t,- ÷，若 a 与b 的夹角为钝角，则实数 t
è 5
的取值范围为 ．
, 6 6 , 52 【答案】 - - ÷ -5 5 15 ÷è è
r r r
【分析】夹角为钝角可得 ar ×b < 0 且 a 与b 不反向.
ar
r r
【详解】由已知 与b 的夹角为钝角，则cos a
r,b < 0，
r r
即 a ×b = 5
2 52
-2 + 3 t +1 -
÷ = 3t - < 0
52
，解得 t < .
è 5 5 15
r
若 a 与 b 的夹角为 180° l < 0 ar，则存在 ，使 = lb .
ì
5 = -2l
所以 í3 = tl
5 6 52 6
，所以l = - ， t = - ，所以 t < 且 t - .
2 52 15
5
1 = - l
5
6 6 52
故 t
的取值范围是 - , - ÷ - , .
è 5 è 5 15 ÷
, 6 6 52 故答案为： - - ÷ - , ÷ .
è 5 è 5 15
r r r r
22．（2024 高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，若a 与b 的夹角为钝角，则实数
t的取值范围为 .
【答案】 - ,0
r r r r r r
【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，由a ×b < 0，且 a,b不共线求解.
r r r r
【详解】解：因为向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，且a 与b 的夹角为钝角，
r r
所以 a
1 2 t
×b =1 2 + 2 -1 + t 1< 0，且 ，
2 -1 1
解得 t < 0，
所以实数 t的取值范围为 - ,0 ，
故答案为： - ,0
uuur uuur
23．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 A(4,-1,2)，B(2,-3,0)，点C 满足BC = 2CA，则点C 的坐标是 .
10 , 5【答案】 - ,
4
3 3 3 ֏
uuur uuur uuur
【分析】设C(x, y, z)，用OA,OB表示出OC ，即可得．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】设C(x, y, z)，O为坐标原点.由点C 满足BC = 2CA，得OC - OB = 2(OA - OC)，可得
uuur 1 uuur uuurOC (2OA OB) 1= + = [(8,-2,4) + (2,-3,0)] = 10 , 5- , 4 C
10 5 4
，则点 的坐标是 ,- , .3 3 è 3 3 3 ÷ ÷ è 3 3 3
10 5 4
故答案为： ,- ,
÷．
è 3 3 3
uuur
【点睛】本题考查空间向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标表示，O是坐标原点，OC 的坐标就是C
点的坐标．
r r r
24．（2024 r高二下·四川成都·阶段练习）已知两个空间向量 a = m, - 4,2 ，b = 1,2, -1 ，且 a //b ，则实数m
的值为 ．
【答案】-2
r r
【分析】依题意可得 a = lb ，根据空间向量基本定理计算可得.
r r
【详解】因为 a = m, - 4,2 ，b = r1,2, -1 r，且 a //b ，
ìm = l
r r
所以 a = lb ，即 m, - 4,2 = l 1,2, -1 ，即 í-4 = 2l ，解得l = m = -2 .
2 = -l
故答案为：-2
r r r r
25．（2024 高二下·辽宁本溪·阶段练习）已知 a = (0,1- t, 2t -1)，b = (t + 2,2, t) ，则 a - b 的最小值为 ．
42 1
【答案】 / 42
3 3
r r r r
【分析】由已知先求 a - b，再写出 a - b 表达式，即可求得最小值.
r r
【详解】解：Q a = 0,1- t, 2t -1 ，b = t + 2,2, t ，
r r
\a - b = (-t - 2, -1- t, t -1)
r r
∴ a - b = (-t - 2)2 + (-1- t)2 + (t -1)2 = 3(t 2)2 14+ +
3 3
Q(t 2+ )2 0，
3
r r
a b 14 42
2 r r
\ - = ，当且仅当 t = - 时等号成立，即 a - b 42的最小值为
3 3 3 3
42
故答案为： .
3
uuur uuur uuur
26 ．（ 2024· 浙 江 金 华 · 三 模 ） 已 知 OA、 OB、 OC 为 空 间 中 两 两 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + 2 y + 4z = 1，则 OP - OA - OB 的最小值为 ．
2 21
【答案】
21
uuur uuur uuur uuur
【分析】设OA = (1,0,0)，OB = (0,1,0)，OC = (0,0,1) ,利用向量的坐标运算求出OP ，进而求出
uuur uuur uuur
OP - OA - OB ，借助向量模的运算及 x + 2 y + 4z = 1，整理可得
uuur uuur uuur 2 2
OP OA OB
17z 8 y 21 y 17 4- - = + ÷ + - ÷÷ + ，进而得解.è 17 è 17 21 21
uuur uuur uuur
【详解】由题意可设OA = (1,0,0)，OB = (0,1,0)，OC = (0,0,1) ,
由 x + 2 y + 4z = 1，得 x = 1- 2 y - 4z ，
uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC = (x, y, z) ，
uuur uuur uuur
OP - OA - OB= x -1, y -1, z ，
uuur uuur uuur
OP - OA - OB = (x -1)2 + (y -1)2 + z2所以
= (2y + 4z)2 + (y -1)2 + z2
= 5y2 +17z2 +16yz - 2y +1
2
17z 8
2
y
21 17 4 4 2 21
= + ÷ +
è 17
y - ÷ + =
è 17 21 ÷ 21 21 21
17 8
（当且仅当 y = ， z = - 时等号成立），
21 21
uuur uuur uuur
所以 |OP - OA - OB | 2 21的最小值为 .
21
2 21
故答案为： .
21
r r r
27．（2024 · r r r r高二下 上海宝山·期末）已知 a 、b 是空间互相垂直的单位向量，且 c = 8，c ×a = c ×b = 2 6 ，则
r r rc - ma - nb 的最小值是 .
【答案】4
【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
r
【详解】Q ar,b 是空间相互垂直的单位向量，
r r
\设a = (1,0,0)
r
，b = (0,1,0)，设 c = (x, y, z)，
r r r r
又 c ×a = c ×b = 2 6 ，\ x = y = 2 6 ，
cr又 = x2 + y2 + z2 = 24 + 24 + z2 = 8，
\ z2 =16，
\ cr = (2 6,2 6, z)，其中 z2 =16，
r r r\ c - ma - nb = (2 6 - m,2 6 - n, z) ，
r
\ cr r- ma - nb = (2 6 - m)2 + (2 6 - n)2 + z2 = (2 6 - m)2 + (2 6 - n)2 +16 4，
当且仅当m = n = 2 6 时取得等号，
\ | cr
r
- mar - nb |的最小值是 4．
故答案为：4．
r r r r r r r ur ur 1
28 r．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知单位空间向量 e1,e2 ,e3满足 e1 ×e2 = 0,e2 ×e3 = e1 ×e3 = ．若空间向量 a2
r r r r r r r
满足 a ×e1 = a
r er 3 2× = ，且对于任意实数 x, y, a - xe1 - ye2 2 的最小值是 2，则 a - le3 (l R)的最小值2
是 ．
2
【答案】
2
ur uur ur uur r
【分析】以 e x, y1 ，e2 方向为 轴，垂直于 e1 ，e2 方向为 z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由
二次函数求最值即可求得最小值.
ur uur ur uur
【详解】以 e1 ， e 方向为 x, y2 轴，垂直于 e1 ， e2 方向为 z 轴建立空间直角坐标系，则
ur uur
e1 = 1,0,0 ,e2 = 0,1,0 ，
uur ur ur ur ur ur ur
由 e2 ×e3 = e
1
1 ×e3 = 可设 e = (
1 , 1 , z 1 1 2
2 3 2 2 1
)，由 e3 是单位空间向量可得 e3 = ( , , ) ，2 2 2
r ur r uur r
由 a ×e a e 3 2 a (3 2 3 21 = × 2 = 可设 = , , z2 )，2 2 2
r ur uur
| a - xe1 - ye2 |
3 2 3 2
= （ - x）2 +（ - y）2 + z 2
2 2 2
，
r ur uur r
当 x = y 3 2= ， | a - xe1 - ye2 |的最小值是 2，所以 z = ±2 a (
3 2
2 ，取 = ,
3 2 ,2) ，
2 2 2
r ur
a - le (3 2 l , 3 2 l 23 = - - , 2 - l)，2 2 2 2 2
r ur
| a - le | 3 2 l= ( - )2 (3 2 l+ - )2 + (2 2- l)23 = l
2 - 5 2l +13 ，
2 2 2 2 2
5 2 r ur 2
当l = 时， | a - le | l R 最小值为 .
2 3 2
2
故答案为： .
2
uuur uuur uuur
29．（2024 高二上·上海长宁·期末）已知 AB = a, 2b, a -1 uuur uuur，AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，则 BC 为 .
【答案】 26
【分析】根据向量垂直的数量积为 0，可求得 a,b，再利用向量的减法及模长公式可求解.
uuur uuur
uuur uuur【详解】Q AB = a, 2b, a -1 ， AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，
uuur uuur
\ AB × AC = 2a2 + 2b b + 2 - 4 a -1 = 0，
即 a2 + b 2 -2a + 2b + 2 = a -1 2 + b +1 2 = 0，解得 a =1,b = -1
uuur uuur uuur
又BC = AC - AB = 2,1, -4 - 1,-2,0 = 1,3,-4
uuur
\ BC = 12 + 32 + -4 2 = 26
故答案为： 26
30．（2024 高二下·上海徐汇·开学考试）已知 MN 是长方体外接球的一条直径，点 P 在长方体表面上运动，
uuuur uuur
长方体的棱长分别为 1、1、 7 ，则PM × PN 的取值范围为 .
【答案】 -2,0
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可.
【详解】因为 MN 是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为 1、1、 7
所以MN = 1+1+ 7 = 3，如图，
设P(x, y, z)(0 x 1,0 y 7,0 z 1) ，则M (0,0,0), N (1, 7,1).
uuuur uuur
PM × PN = (-x, -y,-z) × (1- x, 7 - y,1- z)
= x2 - x + y2 - 7 y + z2 - z
= (x 1- )2 + (y 7 )2 1 9- + (z - )2 - ,
2 2 2 4
1
因为 (x - )2 + (y 7 1 9 1 9- )2 + (z - )2 - 0 + 0 + - = -2,
2 2 2 4 4 4
1 7
当 x = , y = , z = 0时取等号，此时点 P 在 ABCD 平面内，
2 2
(x 1)2 (y 7 )2 (z 1)2 9 1 7 1 9又 - + - + - - + + - = 0
2 2 2 4 4 4 4 4
当 x = 0, y = 0, z = 0时取等号，此时点 P 在 ABCD 平面内.
即所求的范围是 -2,0 .
故答案为： -2,0
31．（2024 高二上·吉林松原·阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz 中， A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，P 1,1,2 ，点Q
uuur uuur uuur
在直线OP 上运动，则当QA ×QB 取得最小值时， OQ = ．
4 6 4
【答案】 / 6
3 3
uuur uuur uuur uuur
【分析】由题意设点Q的坐标，求出QA ×QB 的表达式，根据二次函数的性质计算出QA ×QB 的最小值，进而
uuur
得出点Q的坐标，再计算 OQ 即可.
uuur
【详解】解：因为点Q在直线OP 上运动，OP = 1,1,2 ，
所以设Q(t, t, 2t)，
uuur uuur
则QA ×QB = 1- t, 2 - t,3 - 2t × 2 - t,1- t, 2 - 2t
= 1- t 2 - t + 2 - t 1- t + 3 - 2t 2 - 2t
= 6t 2 -16t +10，
16 4 uuur uuur 4 4 8
所以当 t = =2 6 3 时，
QA ×QB 取得最小值，此时Q , , ÷ ， è 3 3 3
uuur
OQ 4 6所以 =
3
4 6
故答案为：
3
四、解答题
r r r
32 r．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知向量 a = 3,5,-4 ，b = 2,1,8 ．求 a ×b ．
【答案】-21
【分析】根据空间向量的数量积公式即可求得结果.
r r
【详解】由向量 a = 3,5,-4 ，b = 2,1,8 ，
ar
r
可得 ×b = 3 2 + 5 1+ -4 8 = 6 + 5 - 32 = -21 .
33．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥 S - ABCD中，底面 ABCD为正方形，侧棱 SD ^ 底面
ABCD，E ，F ，G 分别为 AB ，SC， SD 的中点．若 AB = a ， SD = b ．
uuur
(1)求 EF ；
uuur uuur
(2)求 cos AG, BC ．
2 2
【答案】(1) 4a + b
2
2a
(2)
4a2 + b2
uuur
【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得EF 的坐标，应用向量模长的坐标运算求
uuur
EF ；
uuur uuur uuur uuur
（2）由（1）得 AG 、BC 的坐标，利用向量夹角的坐标表示求 cos AG, BC ；
【详解】（1）以D为原点，分别以射线DA DC DS 为 x 轴 y 轴 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则 A a,0,0 ，B a,a,0 ，C 0, a,0 ，E a,
a ,0 ÷，F 0,
a , b ÷，G
0,0, b
2 ÷，è è 2 2 è 2
uuur b uuur 2 2 2
所以EF = -a,0,
2 b 4a + b
÷，则 EF = -a + 02 + = .
è 2 4 2
uuur
AG b= -a,0,
uuur
（2）由（1）知 ÷ ，BC = -a,0,0 ，
è 2
uuur uuur uuur uuur 2
cos AG, BC = uAuuGr × BuuCur a 2a= =
所以 AG × BC 2 2 2
a × a2 b 4a + b
；
+
4
r r
34．（2024 高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r r①计算 2a - 3b 和 2a - 3b
r r
②求 a,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
r r
①若 kar r+ b ∥ a - 3b ，求实数 k ；
r rka b ar r②若 + ^ - 3b ，求实数 k .
r r r
【答案】（1）① 2a
r
- 3b = 1,-5,8 ， 2ar - 3b = 3 10 r；② a,b p 1 106= ；（2）① k = - ；② k =
4 3 3
【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解，
（2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解，
r
【详解】（1）①Q向量 a
r
= 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 ，
2ar
r
3b 1, 5,8 2ar
r
\ - = - ， - 3b = 12 + (-5)2 + 82 = 3 10 ，
r r r r r r r
② a ×b = a × b cos a,b ，即 2 -1+ 8
r
= 4 +1+ 4 1+1+16cos a,b
r r r r
cos ar,b 2= ，Q a,b 0,p ，\ ar,b p=
2 4
r r
（2）因为向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 ，
r r
\ka + b = k - 2,5k + 3,-k + 5 ，
r ra - 3b = 7, -4, -16
①Q r rkar + b ar∥ - 3b ，
k - 2 5k + 3 -k + 5 1
\ = = ，解得 k = - ，
7 -4 -16 3
r
②Q kar + b ^ ar r- 3b ，
\7 k - 2 - 4 5k + 3 -16 -k + 5 = 0 k 106，解得 = .
3
r r r r r
35．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知向量 a = x,1, 2 r r，b = 1, y,-2 ， c = 3,1, z ， a //b ，b ^ c .
(1)求 x，y，z 的值；
(2) r r
r r
求向量 a + c 与b + c 所成角的余弦值．
ìx = -1
【答案】(1) íy = -1
z =1
5
(2)
17
【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可.
（2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可.
r r r r r
【详解】（1）∵ a = x,1, 2 ，b = 1, y,-2 ， c = 3,1, z ， b ^ c ，
r r r
因为 a //b r，设存在实数l ，使得 a = lb ，
ìx = l ìx = -1
所以 í1 = l y
，则 íy = -1 .
2 = -2l l = -1
r r r r
因为b ^ c ，b ×c = 3 + y - 2z = 0，则 z =1.
ìx = -1
∴所以 íy = -1 .
z =1
r r
（2）由（1）知 a = -1,1,2 r，b = 1, -1, -2 ， c = 3,1,1 ，
r
∴ a
r r
+ c = 2,2,3 ，b + cr = 4,0，-1 ，
r
∴ ar + cr × b + cr = 2 4 + 2 0 + 3 -1 = 5，
r r ra c 22 r+ = + 22 + 32 = 17 ， b + c = 42 + 0 + -1 2 = 17 ，
r r r r
r a + c × b + c
∴ cos a
r r r 5
+ c,b + c = r r r = .a + c b r+ c 17
r r 5∴向量 a + cr b r与 + c 所成角的余弦值为 .
17
36．（2024 高二下·全国·课后作业）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， AB = 4，
AD = 2，平行六面体高为 2 3 ，顶点D在底面 A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设VAB1D1的重心G ，建立适
当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
(1) A1, B1, A, D1；
(2) G ；
(3) B ；
【答案】(1) A1 2, -2,0 ，B1 2,2,0 ， A1 2,0,2 3 ，D1 0, -2,0
4
(2) G ,0,
2 3
3 3 ÷÷è
(3) B 2,4,2 3
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出 A1，B1， A1，D1的坐标；
（2）利用重心坐标公式计算得到G 点坐标；
（3）利用向量相等得到点 B 坐标；
【详解】（1）
如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为 y，z轴，以过点O作 B1C1 的平行线为 x 轴建立空间直
角坐标系．
设点 A1 x, y, z ，点 A1在平面 xoy上则 z = 0，
由图可知它到 y 轴投影对应数值-2，则 y=- 2 ，
到 x 轴投影对应数值为 2，则 x = 2，即 A1 2, -2,0 ，
设点B1 x, y, z ，点B1在平面 xoy上则 z = 0，
由图可知它到 y 轴投影对应数值 2，则 y = 2 ，
到 x 轴投影对应数值为 2，则 x = 2，即B1 2,2,0 ，
设点 A x, y, z ，点A 在平面 xoz 上则 y = 0 ，
由图可知它到 x 轴投影对应数值 2，则 x = 2，
到 z 轴投影对应数值为 2 3 ，则 z = 2 3 ，即 A 2,0,2 3 ，
且点D1在 y 轴上，则D1 0, -2,0 .
x + x + x y + y + y z + z + z
（2 QG VAB D 1 2 3 1 2 3 1 2 3） 是 1 1的重心，由三角形重心公式 , , ÷可得
è 3 3 3
2+ 2+ 0 2+ 0-2 0+ 2 3 + 0 4 2 3 G ， ，3 3 3 ÷÷
G ,0, ÷÷ .
è è 3 3
uuur uuuur（3）设B x, y, z ，且D 0,0,2 3 ，则B1B = x - 2, y - 2, z ，D1D = 0,2,2 3 ，
ì
uuur uuuur x - 2 = 0
又Q
B1B = D1D ，即 íy - 2 = 2
z = 2 3
\点 B 坐标为 2,4,2 3 .
r r r r r
37．（2024 高二上·湖南郴州·期中）已知向量 a = (x, y,3) ，b = (1, 2,-1) ， c = (1,0,1)，且 a //c ．
(1)求实数 x, y的值；
r r
(2)若 (ar b) (lar- ^ + b) ，求实数l 的值．
【答案】(1) x = 3， y = 0 ；
1
(2) l = .
3
ìx = m
r r
【分析】（1）由已知$m R
，使得 a = mc .解方程组 íy = 0 ，即可得出答案；
3 = m
r r r r
（2）求出 a - b = 2, -2,4 ，la + b = 3l +1,2,3l -1 ，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得出
l 的值．
r r r r
【详解】（1）因为 a //c ，所以$m R ，使得 a = mc ，
ìx = m
ìx = 3
所以有 íy = 0 ，解得 í x = 3y 0，所以 ，
y = 0 .
=
3 = m
r r r r r
（2）由（1）知， a = (3,0,3) ，所以 a - b = 2, -2,4 ，la + b = 3l +1,2,3l -1 .
r r r r
因为 (ar r r r- b) ^ (la + b) ，所以 (a - b) × (la + b) = 0，
1
即 2 3l +1 - 2 2 + 4 3l -1 =18l - 6 = 0，解得l = .
3
38．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC - A B C 中，AB = BC = BB = 2，AB ^ BC ，D为
AB 的中点，点E 在线段C D上，点F 在线段BB 上，求线段 EF 长的最小值．
2 5
【答案】
5
uuur uuuur
【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设DE = lDC ，l [0,1]得E(2l,1- l, 2l) ，根据 EF 的
uuur
长最小满足EF ^ BB ，应用向量垂直的坐标表示可得 EF = (-2l , l -1, 0)，最后由向量模长的坐标表示和二
次函数性质求最值.
【详解】依题意，BA、BC 、BB 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
uuuur uuur
则B(0,0,0)，D(0,1,0) ，B (0,0,2)，C (2,0, 2)，则DC = (2, -1, 2) ，BB = (0,0, 2)，
uuur uuuur
设DE = lDC ，l [0,1]，则E(2l,1- l, 2l) ，
uuur
设F(0,0, z)，0 z 2，则 EF = (-2l , l -1, z - 2l )．
uuur uuur uuur
若线段 EF 的长最小，则必满足EF ^ BB ，则EF ×BB = 0，可得 z = 2l ，即 EF = (-2l , l -1, 0)，
uuur 2
因此， | EF |= (-2l)2 + (l -1)2 = 5l 2 - 2l +1 = 5 1 4 2 5 l -
÷ + ，
è 5 5 5
1 2 5
当且仅当l = 时等号成立，所以线段 EF 长的最小值为 ．
5 5
uuur uuur uuur uuur uuur 17 uuur uuur39．（2024 高二上·河北廊坊·期中）在① DE + DF ^ DE - DF ，② DE = ，③ 0 < cos EF , DB <1
2
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1，中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D - xyz ．已知点D1
的坐标为 0,0,2 ，E 为棱D1C1上的动点，F 为棱 B1C1 上的动点，______，则是否存在点E ，F ，使得
uuur uuur uuur uuur
EF × A1C = 0？若存在，求出 AE × BF 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进
而可求解.
【详解】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点 E ， F ．由题意，知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，则 D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，
uuur
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2,-2 ．设E 0,a, 2 0 a 2 ，F b, 2, 2 0 b 2 ，则
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuurEF = b, 2 - a,0 ， AE = -2, a, 2 ，BF = b - 2,0,2 ，所以EF × A1C = 4 - 2 a + b ， AE × BF = 8 - 2b．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2因为 DE + CF ^ DE - CF ，所以 DE + CF × DE - CF = DE - CF = 0 uuur2 uuur2，即DE = CF ．
uuur uuur uuur uuur
因为DE = 0, a, 2 ，CF = b,0, 2 ，所以 a2 + 4 = b2 + 4，所以 a = b．又EF × A1C = 4 - 2 a + b = 0，
uuur uuur uuur uuur
所以 a = b =1，故存在点E 0,1,2 ，F 1,2,2 ，满足EF × A1C = 0，此时 AE × BF = 8 - 2 1 = 6．
方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点 E ， F ．由题意，知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，则 D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，
uuur
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2, -2 ．
uuur uuur uuur
设E 0,a, 2 0 a 2 ，F b, 2, 2 0 b 2 ，则EF = b, 2 - a,0 ， AE = -2, a, 2 ，BF = b - 2,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以EF × A1C = 4 - 2 a + b ， AE × BF = 8 - 2b．因为DE = 0, a, 2 17，且 DE = ，2
uuur uuur
所以 a2 22 17
1 3
+ = ，解得 a = ．又EF × A1C = 4 - 2 a + b = 0，所以b = ，2 2 2
E 0, 1 ,2 F 3
uuur uuur uuur uuur
故存在点 ÷， , 2, 2
3
÷，满足EF × A1C = 0，此时 AE × BF = 8 - 2 = 5．è 2 è 2 2
方案三：选条件③．假设存在满足题意的点E ，F ．由题意，知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，
uuur uuur
则D 0,0,0 ，B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2, -2 ，DB = 2,2,0 ．
uuur uuur uuur
设E 0,a, 2 0 a 2 ，F b, 2, 2 0 b 2 ，则EF = b, 2 - a,0 ．因为0 < cos EF , DB <1，
uuur uuur
所以EF 与DB不共线，所以b 2 - a ，即 a + b 2，
uuur uuur
则EF × A1C = 4 - 2 a + b 0，
uuur uuur
故不存在点E ，F 满足EF × A1C = 0．
40．（2024 高二上·安徽滁州·阶段练习）已知 A(1, 2,0), B(0, 4,0),C(2,3,3) ．
uuur uuur
(1)求 cos AB, AC ；
(2)已知点P(-3, m, n)在直线 AC 上，求m + n的值；
uuur uuur uuur
(3)当l 为何值时， AB 与 AB + l AC 垂直？
55
【答案】(1)
55
(2) -14
(3) l = -5
【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利
用空间向量垂直的坐标表示求解.
uuur uuur
【详解】（1） AB = (-1,2,0), AC = (1,1,3)，
uuur uuur uuur uuur
\| AB |= 5,| AC |= 11, AB × AC = -1+ 2 =1，
uuur uuur
\cos AB, AC 1 55= = ．
5 × 11 55
uuur
（2）因为点P(-3, m, n)
uuur
在直线 AC 上，\ AP与 AC 共线，
uuur uuur
则存在m R使得 AP = m AC ，即 (-3 -1,m - 2,n - 0) = m(1,1,3) ，
ì-4 = m
\ ím - 2 = m ，解得m = -2, n = -12, m + n = -14；
n = 3m
uuur uuur
（3） AB + l AC = (-1,2,0) + l(1,1,3) = (l -1,l + 2,3l)，
uuur uuur uuurQ AB 与 AB + l AC 垂直,
\-1 (l -1) + 2 (l + 2) + 0 3l = 0，
\l = -5，
uuur uuur uuur
\l = -5时， AB 与 AB + l AC 垂直．
41．（2024 高二·全国·课后作业）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5， AA1 = 4．
(1)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1 ^ CD ？
(2)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1∥平面CDB1？
【答案】(1)存在
(2)存在
uuur uuur uuuur uuur
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，求出点D的坐标，再利用 AC1 ×CD = 0，求
出l =1，即存在点 D，使得 AC1 ^ CD ，且这时点 D 与点 B 重合．
uuur uuur
（2）设 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，由 AC1∥平面CDB1，
uuuur uuuur uuur 1
则存在实数m, n，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，即可求出l = ，故在 AB 上存在点 D使得 AC1∥平面CDB2 1
，
且D是 AB 的中点.
【详解】（1）直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，则 AC 、BC 、 CC1两两垂直
如图，以C 为坐标原点，射线CA、CB 、CC 分别为 x, y, z1 轴的正向建立空间直角坐标系，则C 0,0,0 ，
A 3,0,0 ，C1 0,0,4 ，B 0,4,0 ， B1 0,4,4 ．
（1）假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1 ^ CD ，
uuur uuur uuur
则 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，其中 0≤l ≤1，则D 3- 3l, 4l,0 ，于是CD = 3 - 3l, 4l,0 ，
uuuur uuuur uuur
由于 AC1 = -3,0,4 ，且 AC1 ^ CD ，所以 AC1 ×CD = -9 + 9l = 0，得l =1，
所以在 AB 上存在点 D，使得 AC1 ^ CD ，且这时点 D 与点 B 重合．
uuur uuur
（2）假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1∥平面CDB1，则 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，其中 0≤l ≤1，
uuuur
则D 3- 3l, 4l,0 ，B1D = 3 - 3l, 4l - 4, -4 ．
uuur uuuur
又B1C = 0, -4,-4 ， AC1 = -3,0,4 ， AC1∥平面CDB1，
uuuur uuuur uuur
所以存在实数m, n，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，
∴ m 3- 3l = -3，m 4l - 4 - 4n = 0，-4m - 4n = 4．
l 1所以 = ，所以在 AB 上存在点D使得 AC1∥平面CDB1，且D是 AB 的中点．2
42．（2024 高一下·福建泉州·期末）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1中, | AB |=| BC |= 2, D1D = 3，点 N 是 AB 的中
点，点 M 是 B1C1 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D, N , M 的坐标；
（2）求线段MD, MN 的长度；
（3）判断直线DN 与直线MN 是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）D(0,0,0), N (2,1,0), M (1, 2,3)；（2） 14, 11 ；（3）不垂直，理由见解析.
【分析】（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点D, N , M 的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；
（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】（1）由于D为坐标原点，所以D(0,0,0)
由 | AB |=| BC |= 2, D1D = 3得： A(2,0,0), B(2, 2,0),C(0, 2,0), B1(2, 2,3),C1(0, 2,3)
Q点 N 是 AB 的中点，点 M 是 B1C1 的中点，\ N (2,1,0), M (1, 2,3)；
（2）由两点距离公式得： MD = (1- 0)2 + (2 - 0)2 + (3- 0)2 = 14 ，
MN = (2 -1)2 + (1- 2)2 + (0 - 3)2 = 11；
（3）直线DN 与直线MN 不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
uuur uuuur uuur uuuur
DN = (2,1,0), MN = (1,-1, -3),\DN × MN = (2,1,0) × (1, -1, -3) =1 0
uuur uuuur
\DN 与MN 不垂直，所以直线DN 与直线MN 不垂直
【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.
43．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱 ABC - A o1B1C1中，CA = CB =1， BCA = 90 ，棱
AA1 = 2，M 、 N 分别为 A1B1 、 A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
uuur
(1)求BN 的模；
uuur uuur
(2)求 cos < A1B, B1C >的值；
(3)求证：BN ^平面C1MN .
【答案】(1) 3
(2) 30
10
(3)证明见解析
【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA、CB 、CC1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用
空间向量的模长公式可求得结果；
uuur uuur
（2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得 cos < A1B, B1C >的值；
（3）利用空间向量法可证得BN ^ C1M ，BN ^ C1N ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为CC1 ^ 平面 ABC ， BCA = 90o ，
以点C 为坐标原点，CA、CB 、CC1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
uuur uuur
则B 0,1,0 2， N 1,0,1 ，所以，BN = 1, -1,1 ，则 BN = 12 + -1 +12 = 3 .
（2）解：依题意得 A1 1,0,2 、C 0,0,0 、B1 0,1,2 、B 0,1,0 ，
uuur uuur uuur uuur
所以， A1B = -1,1, -2 ，B1C = 0, -1, -2 ，\ A1B × B1C = 0 -1+ 4 = 3，
uuur uuur
又 A1B = 1+1+ 4 = 6 ， B1C = 0 +1+ 4 = 5 ，
uuur uuur uuur uuurA1B × B1C 30
所以， cos < A1B, B1C >= uuur uuur = .A 101B × B1C
1 1
（3）证明：依题意得 A1 1,0,2 、C1 0,0,2 、B 0,1,0 、 N 1,0,1 、M , , 22 2 ÷，è
uuuur 1 1 uuuur uuur
则C1M = , ,0
÷，C1N = 1,0, -1 ，BN = 1, -1,1 ，è 2 2
uuuur uuur
C M BN 1
uuuur uuur
所以， 1 × = 1
1
+ -1 + 0 1 = 0，C1N × BN =1 1+ 0 -1 + -1 1 = 0，2 2
uuuur uuur uuuur uuur
则C1M ^ BN ，C1N ^ BN ，即BN ^ C1M ，BN ^ C1N ，
又因为C1M IC1N = C1 ，所以，BN ^平面C1MN .
44．（2024 高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1，底面VABC 中，CA = CB =1，
BCA = 90o ， AA1 = 2，M、N 分别是 A1A、 A1B1 的中点．
(1)求的 BM 长；
uuur uuur
(2)求 cos BA1,CB1 的值；
(3)求证： A1B ^ C1N ．
【答案】(1) 3
(2) 30
10
(3)详见解析
uuuur
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得BM 的坐标，再求模即可；
uuur uuur
（2）分别求得BA1,CB1 的坐标，再利用向量的夹角公式求解；
uuur uuuur uuur uuuur
（3）分别求得 BA1,C1N 的坐标，再判断 BA1 ×C1N 是否为零即可.
【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则 B 0,1,0 , M 1,0,1 ，
uuuur
所以 BM = 1,-1,1 ，
uuuur
则 BM = 3 ；
（2）由（1）知 B 0,1,0 , A1 1,0,2 ,C 0,0,0 , B1 0,1,2 ，
uuur uuur
所以BA1 = 1,-1,2 ,CB1 = 0,1,2 ，
uuur uuur uuur uuur
则BA1 ×CB1 = 3, BA1 = 6, CB1 = 5 ，
uuur uuur uuur uuur
cos BA ,CB BA1 ×CB1 3 30所以 1 1 = uuur uuur = =
BA × CB 6 5 10
；
1 1
1 1
（3
）由（1）知 B 0,1,0 , A1 1,0,2 ,C1 0,0,2 , N , , 22 2 ÷ ，è
uuur uuuu1.3 空间向量及其运算的坐标表示 9 题型分类
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i，j，k}，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方
向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建
立了一个空间直角坐标系 Oxyz.
(2)相关概念：O 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，
则称这个坐标系为右手直角坐标系．
二、空间点的坐标
→
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA，且点 A 的位置由
→ →
向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk 在单位正交
→
基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标．
三、空间向量的坐标
→
在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使 a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记作 a＝(x，y，
z)．
四、空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
五、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
当 b≠0 时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
六、空间两点间的距离公式
设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
→
则 P1P2＝|P 1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
（一）
求空间点的坐标
(1)空间直角坐标系有的作用:
可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化;
(2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标:
x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0,y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0,z)．
(3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标:
Oxy 平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz 平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz 平面上的点的坐标为(x,0,z)．
(4)建立空间直角坐标系的原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上；
②充分利用几何图形的对称性．
(5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出
它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标.
题型 1：求空间点的坐标
uuur
1-1．（24-25 高二下· r全国·课堂例题）如图，四棱锥P - OABC 的底面为矩形，PO ^平面OABC ，设OA = a ，
uuur r uuur r r r r uuur uuur uuur uuurOC = b ，OP = c ，E ，F 分别是PC 和 PB的中点，试用 a ，b ， c 表示BF ， BE ， AE，EF ，并分别指出
它们在这组基下的坐标.
1-2．（24-25 高二上·福建三明·阶段练习）如图，在长方体OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
点 P 是 B1C1 的中点，则点 P 的坐标为（ ）
A． (2,6, 2) B． (3,4,2) C． (4,6, 2) D． (6, 2,1)
uuur uuur
1-3．（2024 高二上·广西钦州·期中）已知点 A 2,4,0 、 B 1,3,3 ，且满足 2AQ = QB，则Q点的坐标为（ ）
11
A． ,
5 ,1 5 ,11,1 5 ÷ B． C． ,1,0 D． 1,0,1
è 3 3 è 3 3 ÷ è 3 ÷
AC 2
1-4．（2024 高二·全国·课后作业）若 A 3,2,4 B 1,2,-8 ，点 C 在线段 AB 上，且 =AB 3 ，则点 C 的坐标
是 .
1-5．（24-25 高二下·全国·课堂例题）画一个正方体 ABCD - A1B1C1D1，若以A 为坐标原点，分别以有向直线
AB ， AD ， AA1为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点 A, D1的坐标分别为 ；
②棱C1C 中点的坐标为 ；
③正方形 AA1B1B对角线的交点的坐标为 .
（二）
空间点的对称问题
（1）空间直角坐标系中对称点的坐标：
①点(a,b,c)关于原点 O 的对称点为(-a,-b,-c);
②点(a,b,c)关于 x 轴的对称点为(a,-b,-c);
③点(a,b,c)关于 y 轴的对称点为(-a,b,-c);
④点(a,b,c)关于 z 轴的对称点为(-a,-b,c);
⑤点(a,b,c)关于 Oxy 平面的对称点为(a,b,-c);
⑥点(a,b,c)关于 Oyz 平面的对称点为(-a,b,c);
⑦点(a,b,c)关于 Ozx 平面的对称点为(a,-b,c).
（2）空间点对称问题的两个技巧：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
题型 2：求空间直角坐标系中对称点的坐标
2-1．（2024·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
uuuuuur
2-2．（2024·全国·高二专题练习）已知点M1 ，M 2 分别与点M (1, -2,3) 关于 x 轴和 z 轴对称，则M1M 2 =
（ ）
A． (-2,0,6) B． (2,0, -6) C． (0, 4, -6) D． (0, -4,6)
2-3．（2024·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点 A 1,2,3 关于Oxy 平面的对称点为 B ，而点 B 关于 x 轴
uuur
的对称点为C ，则 BC =（ ）
A． 2 10 B． 2 13 C． 2 15 D．8
2-4．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系 Oxyz 中，P 是坐标平面
xOy 内一动点，M 4,2,2 ，Q 7,5, 4 ，当 PM + PQ 最小时 P 的坐标为___________.
（三）
空间向量的坐标
1、向量坐标的求法：
(1)点 A 的坐标和向量 的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．
2、用坐标表示空间向量的步骤：
(1)观察图形：充分观察图形；
(2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系；
(3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算；
(4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标.
题型 3：空间向量的坐标
3-1．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝
uuur uuur uuur
90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐标．
uuuur
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若点M 是侧面CDD1C1 的中心，则 AM 在基
uuur uuur uuur底 AA1, AD, AB 下的坐标为（ ）
1 ,1, 1- 1A． ÷ B． , 1,
1 1 1 1 1- ÷ C． - ,1, ÷ D． ,1,
è 2 2 ÷ è 2 2 è 2 2 è 2 2
3-3．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在长方体OABC - D A B C 中，OA = 3，OC = 4，OD = 2 ，以
ì1 uuur 1 uuur 1 uuuur
í OA, OC, OD
ü
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．
3 4 2
(1)写出 D ，C， A ，B 四点的坐标；
uuuur uuur uuuur uuuur
(2)写出向量 A B ， B B ， A C ， AC 的坐标．
3-4．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，B1C1 的中点，若以
uuur uuur uuur uuuurAB, AD, AA uuur uuur1 为基底，则向量 AE 的坐标为 ，向量 AF 的坐标为 ，向量 AC1 的坐标为 .
（四）
空间向量的坐标运算
设 a＝(a1，a2， a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
题型 4：空间向量的坐标运算
r r r r
4-1．（2024 高二上·新疆昌吉·期中）已知空间向量a = 1,0,2 ,b = -2,1,3 ，则 a - 2b = .
4-2．（2024 高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知向量 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 ， c = -1,5,1 ，求：
(1) 2 a- 3b ；
(2) a× b ；
r
(3) ar r（× b + c）.
r r
56．（2024 高二·全国·课后作业）已知 a = 2, -1, -2 ,b = 0,-1,4 ，求
r r r r r r r r r r
a + b, a - b, a ×b, 2a × -b , a + b × r ra - b .
r r r r4-3．（2024 高二下·江苏常州·期中）若 a = (1, -2,1),b ( 1, 3, 2) (ar r= - - ，则 + b) × (a - b) = （ ）
A．10 B．8 C．-10 D．-8
4-4．（2024 高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
r ra = 1,0,0 b 0,2,0 cr 1A． ， = ， = ( , - 2,0)
2
r r r
B． a = 1,0,0 ，b = 0,1,0 ， c = 0,0,2
r r
C．a = 1,0,1 ，b = 0,1,1 ， cr = 2,1,2
r
D． a
r
= 1,1,1 ，b = 0,1,0 r， c = 1,0,2
（五）
空间向量的平行、垂直及模、夹角
1.设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
当 b≠0 时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a12＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．
2.空间两点间的距离公式
设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则 P1P2＝|
→
P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y 1
2＋ z2－z1 2.
3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
题型 5：空间向量的平行问题
r r r r
5-1．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知向量 a = 1, t, 2 ，b = 2,-2, s ，若 a∥b，则实数 t - s = （ ）
A．-2 B． 2 C．-4 D．-5
r r r r r r5-2．（2024 高二上·吉林延边·阶段练习）向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 2,-4,2 ，且 a ^ c ，b / /cr ，则
2ar
r
+ b = .
r r r r
5-3．（2024 高二上·江苏南通·期中）已知两个向量 a = (2,-1,3)，b = (4,m,n)，且 a / /b，则m + n的值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
r
5-4．（广东省潮州市湘桥区南春中学 2023-2024 学年高二上学期第二次月考数学试题）已知 a = 1,2,-y ，
r r r r
b = x,1, 2 ，且 2b// a - b ，则（ ）
x 1A． = ， y =1 B． x
1
= ， y = -4
3 2
y 1C． x = 2， = - D． x =1， y = -1
4
题型 6：空间向量的垂直问题
r r
6-1．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知向量 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 .
r r r
(1)求a 与 a - b的夹角余弦值；
r r r r(2)若 2a + b ^ a - tb ，求 t的值.
6-2．（安徽省滁州市定远县民族中学 2023-2024 学年高二上学期 11 月期中数学试题）已知点 A -2，0，2 、
uuur r uuur
B -1，1，2 、C -3，0，4 r， a = AB，b = AC ．
r uuur
(1)若 c = 3 r，且 c //BC ，求 c
r
；
r
(2)求 cos a
r
，b ；
r r
(3)若 kar b kar+ 与 - 2b 垂直，求 k ．
r r
6-3．（2024 高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量 a = -2, -1,2 ,b r= -1,1,2 ,c = x, 2, 2 ．
r r
(1)求 a - 2b ；
cr
r
(2)当 = 2 2 r r时，若向量 ka + b 与 c 垂直，求实数 x 和 k 的值；
r
(3) cr r若向量 与向量 a,b 共面向量，求 x 的值．
r r r r r r
6-4．（2024 高二上·重庆渝中·阶段练习）已知 a = 1,1,0 ，b = -1,0,2 ，且 ka + b与 2a - b 互相垂直，则实数
k 的值为（ ）
2 1 3 7
A． B． C． D．
5 5 5 5
题型 7：空间向量的距离问题
r r r r r
7-1．（2024 高二上·山东日照·期末）已知 a = 2,1,3 ，b = -4,2, x ar，且 ^ b ，则 a - b = ．
7-2．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1D，
CG 1
uuur
BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 = CD ，H 为 C1G 的中点．求| FH |.4
r r r r
7-3．（2024 高二上·北京·期中）已知向量 a = -1,2,1 ，b = 3, x,1 r，且 a ^ b ，那么 b 等于（ ）
A． 10 B． 2 3 C． 11 D．5
v v v
7-4．（2008·宁夏）已知向量 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，且l > 0，则l = ．
题型 8：空间向量的夹角问题
r r r
8-1．（2024 高二下·甘肃白银· r阶段练习）在空间直角坐标系中，已知 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，则 a 、b 夹
角的余弦值是 ．
uuuv uuuv
8-2．（2024 高三·甘肃武威·单元测试）已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则 AB 与CA的夹角
θ 的大小是 ．
r r r
8-3．（2024 高二上·吉林长春·期末）若向量 a = 1,l,1 ,b = 2,-1,-2 ，且 ar 2与b 夹角的余弦值为 ，则l 等
6
于（ ）
A．- 2 B． 2 C．- 2 或 2 D．2
r r r r r
8-4 r．（2024 高二上·山东临沂·期末）已知空间向量 a = 1,0,1 ，b = 1,1,n ，且 a ×b = 3，则向量 a 与b 的夹角
为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r
8-5．（2024 高二·全国·课后作业）已知向量 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2).
(1)求 | a |；
v
(2) v求向量 a与b 夹角的余弦值.
r r
8-6．（2024 高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量 a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 .
r r
(1)求 2a - b 的值；
r r r r
(2)求向量 a + 2b 与 a - b夹角的余弦值.
题型 9：空间向量的投影问题
r r
9-1．（江苏省宿迁市 2023-2024 学年高二下学期期中数学试题）已知向量 a = 0,1,1 r，b = 1,1,0 ，则向量b
r
在向量 a 上的投影向量为（ ）．
1 1 1 1
A． 0, -1, -1 B． -1,0, -1 C． 0, ,
D ,0,
è 2 2 ÷
． ÷
è 2 2
r r v
9-2 v．（2024 高二上·广东惠州·期末）已知 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 ，则 a在b 上的投影向量为（ ）
2 0,1,0 0, 1 , 1 A．1 B． C． D．
2 ֏ 2 2
r r r
9-3．（2024 r高二下·江苏徐州·期中）已知 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 ，则 a 在b 上的投影向量为（ ）
A． 1,0,0 1 1 B． 0,0,1 C． 0,1,0 D． 0, ,2 2 ÷è
uuur
9-4．（2024 高二下·江苏徐州·期中）已知 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 uuur，则向量 AB 在 AC 上的投影向量的
坐标是（ ）
1 , 1 , 1 1 1 1A． -
÷ B． - ,- ,
è 6 6 3 è 6 6 3 ÷
1- , 1- , 1- 1 1C． ÷ D． , ,
1
è 6 6 3 6 6 3 ÷ è
一、单选题
r r r r r
1．（2024 高二上·广东深圳·期末）已知向量 a = (1,1, x)， b = (-2,2,3) ，若 (2a - b) × b = 1，则 x =（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．6
r r r r r r
2．（2024 高二上·北京丰台·期末）若向量a = (1,-1,l),b = (1,-2,1),c = (1,1,1)，满足条件 (c - a) ×b = -1，则l =
（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
r r
3．（2024 高二上·天津·期中）若向量 a = 1,l,0 2，b = 2, -1,2 ，且 a→,b→的夹角的余弦值为 ，则实数 l
3
等于（ ）.
4 4 4
A．0 B．- C．0 或- D．0 或
3 3 3
r r r r r r
4．（2024 高二上·天津·期末）已知空间向量 a = (1, 2,-3)，b = (2,-1,1) ， c = (2,0,3)，则a × (b + c) =（ ）
A．-10 B．3 3 C． (4,-2,-12) D． (5,0,-15)
r r r r r r
5．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知 a = 2,3,-1 ， b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，若 a ， b ， c三向量共面，
则实数l 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2024 高三·甘肃武威·单元测试）如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，
B E 1
uuur
1 1 = A1B1，则BE1 等于（ ）4
0, 1 , 1 1 ,0,1 0, 1 ,1 1- - A． ÷ B． ÷ C．4 4
- ÷ D． ,0,-1
è è è 4 è 4 ÷
r r r r r r r
7．（2024 高二下·江苏南通·期中）设 x 、 y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b//c ，
r r
则 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D．3
8．（2024 高二上·北京丰台·期末）在空间直角坐标系中，已知三点O(0,0,0), A(1,2,1),B(1,-1,0)，若点 C 在平
面OAB 内，则点 C 的坐标可能是（ ）
A． (-1, -1,3) B． (3,0,1) C． (1,1, 2) D． (1,-1,2)
r r r r r
9．（2024 高二上·辽宁大连·阶段练习）设 x,y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 1, -2,1 ，且 a ^ c ，
r r r
b //cr，则 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．3
10．（2024 高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4，点 E 是棱CC1的中点，
动点 P 在正方形 AA1B1B内（包括边界）运动，且PD1∥平面BDE ，则PC 长度的取值范围为（ ）
A． 5,6 B． é 4 2,6ù
é12 5 ù
C． ê ,6ú D． é 2 5,6ù
5
11．（2024 高二下·广西百色·阶段练习）已知空间直角坐标系O - xyz 中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，点Q在直线OP 上运动，则当QA ×QB 取得最小值时，点Q的坐标为
（ ）
(1 , 3 , 1 (1 , 3 3 4 4 8 1 3 7A． ) B． , ) C． ( , , ) D． ( , , )
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
uuuv uuuv
12．（2024 高三上·福建龙岩·期末）正四面体 ABCD的棱长为 2，动点 P 在以BC 为直径的球面上，则 AP × AD
的最大值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3
13．（2024 高三上·湖北·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = 5， AD = AB = 4，M ， N ， P 分
3
别是棱C1D1，BC ，CC1上的点，且C1M = MD1，C1P = C1C ，CN
1
= CB Q
4 ， 是平面
ABCD内一动点，若
5
uuur uuuur
直线 D1Q 与平面MNP 平行，则QB1 ×QD1 的最小值为（ ）
441 89 16
A． B．17 C． D．
25 5 25
二、多选题
r r
14．（2024 高二上·河北·阶段练习）已知空间向量 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，则下列结论正确的是（ ）
r r
A (2ar b) / /ar． + B．5 | ar |= 3 | b |
r r r r rC． a ^ (5a + 6b) D a b 3． 与 夹角的余弦值为-
6
15．（2024 高二上·河北邯郸·阶段练习）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知VABC 的边长为 2，三棱柱
uuur uuur uuuur
的高为1, BC, B1C1的中点分别为 D, D1，以D为原点，分别以DC, DA, DD1 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建
立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． A1 0, 3,1 B．C1 1,0,1
uuuur uuur
C． AD1 = 0, - 3,1 D．B1A = 3, 3,-1
r r
16．（2024 高二上·全国·课后作业）已知向量 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，则下列结论正确的是（ ）
r r r r
A． a + b = 10, -5,-2 B． a - b = 2, -1, -6
r r
C r． a ×b = 22 D． a = 6
17．（2024 高二上·福建三明·期末）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标
系Dxyz，则（ ）
uuur
A．点C1的坐标为（2，0，2） B．C1A = 2, - 2, - 2
C．BD1的中点坐标为（1，1，1） D．点B1关于 y 轴的对称点为（－2，2，－2）
三、填空题
r r r r r r
18．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知 i, j, k 是空间的一个单位正交基底，向量b = -5i + 2k 用坐标形式可
表示为 ．
r r r r
19．（2024 高二下·江苏·课后作业）若 a = (2,-1,4),b = (-1, t, -2) ，若a 与b 的夹角是锐角，则 t的值的取值范
围为 .
r r
20．（2024 高二下·江苏·课后作业）若 a = 2,-1,4 b = -1, t,-2 ar r， ，若 与b 的夹角是钝角，则 t 的值的取值
范围为 .
r r
21．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知向量 a = 5,3,1 ，b = -2,t, 2- r r ÷，若 a 与b 的夹角为钝角，则实数 t
è 5
的取值范围为 ．
r r r r
22．（2024 高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，若a 与b 的夹角为钝角，则实数
t的取值范围为 .
uuur uuur
23．（2024 高二·全国·课后作业）已知点 A(4,-1,2)，B(2,-3,0)，点C 满足BC = 2CA，则点C 的坐标是 .
r r r
24．（2024 高二下·四川成都·阶段练习）已知两个空间向量 a = m, - 4,2 b = 1,2, -1 ar， ，且 //b ，则实数m
的值为 ．
r r r r
25．（2024 高二下·辽宁本溪·阶段练习）已知 a = (0,1- t, 2t -1)，b = (t + 2,2, t) ，则 a - b 的最小值为 ．
uuur uuur uuur
26 ．（ 2024· 浙 江 金 华 · 三 模 ） 已 知 OA、 OB、 OC 为 空 间 中 两 两 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + 2 y + 4z = 1，则 OP - OA - OB 的最小值为 ．
r r r
27．（2024 r高二下·上海宝山·期末）已知 a 、b 是空间互相垂直的单位向量，且 c = 8 cr， ×ar = cr ×b = 2 6 ，则
r
cr - mar - nb 的最小值是 .
r r r r r r r ur ur 1
28 2024 r．（ 高二上·浙江杭州·期中）已知单位空间向量 e1,e2 ,e3满足 e1 ×e2 = 0,e2 ×e3 = e1 ×e3 = ．若空间向量 a2
r r r r r
满足 ar er ar er 3 2× = × = ，且对于任意实数 x, y, a - xe1 - ye2 的最小值是 2，则 a - le3 (l R)1 2 的最小值2
是 ．
uuur uuur uuur uuur uuur
29．（2024 高二上·上海长宁·期末）已知 AB = a, 2b, a -1 ，AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，则 BC 为 .
30．（2024 高二下·上海徐汇·开学考试）已知 MN 是长方体外接球的一条直径，点 P 在长方体表面上运动，
uuuur uuur
长方体的棱长分别为 1、1、 7 ，则PM × PN 的取值范围为 .
31．（2024 高二上·吉林松原·阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz 中， A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，P 1,1,2 ，点Q
uuur uuur uuur
在直线OP 上运动，则当QA ×QB 取得最小值时， OQ = ．
四、解答题
r r
32 2024 · · a = 3,5,-4 b = 2,1,8 ar
r
．（ 高二下 江苏 课后作业）已知向量 ， ．求 ×b ．
33．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥 S - ABCD中，底面 ABCD为正方形，侧棱 SD ^ 底面
ABCD，E ，F ，G 分别为 AB ，SC， SD 的中点．若 AB = a ， SD = b ．
uuur
(1)求 EF ；
uuur uuur
(2)求 cos AG, BC ．
r r
34．（2024 高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r
①计算 2ar - 3b 和 2a - 3b
r r
②求 a,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
r r r r
①若 ka + b ∥ a - 3b ，求实数 k ；
r rka b ar r②若 + ^ - 3b ，求实数 k .
r r
35．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知向量 a = x,1, 2 ，b = 1, y,-2 r r r r， c = 3,1, z ， a //b ，b ^ cr .
(1)求 x，y，z 的值；
r
(2)求向量 a
r cr+ 与b + cr所成角的余弦值．
36．（2024 高二下·全国·课后作业）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， AB = 4，
AD = 2，平行六面体高为 2 3 ，顶点D在底面 A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设VAB1D1的重心G ，建立适
当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
(1) A1, B1, A, D1；
(2) G ；
(3) B ；
r r
37．（2024 高二上·湖南郴州·期中）已知向量 a = (x, y,3)
r
，b = (1, 2,-1) ， c = (1,0,1)，且 ar//cr ．
(1)求实数 x, y的值；
r r
(2) (ar若 - b) r^ (la + b) ，求实数l 的值．
38．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC - A B C 中，AB = BC = BB = 2，AB ^ BC ，D为
AB 的中点，点E 在线段C D上，点F 在线段BB 上，求线段 EF 长的最小值．
uuur uuur uuur uuur uuur39 2024 · 17
uuur uuur
．（ 高二上 河北廊坊·期中）在① DE + DF ^ DE - DF ，② DE = ，③ 0 < cos EF , DB <1
2
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1，中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D - xyz ．已知点D1
的坐标为 0,0,2 ，E 为棱D1C1上的动点，F 为棱 B1C1 上的动点，______，则是否存在点E ，F ，使得
uuur uuur uuur uuur
EF × A1C = 0？若存在，求出 AE × BF 的值；若不存在，请说明理由．
40．（2024 高二上·安徽滁州·阶段练习）已知 A(1, 2,0), B(0, 4,0),C(2,3,3) ．
uuur uuur
(1)求 cos AB, AC ；
(2)已知点P(-3, m, n)在直线 AC 上，求m + n的值；
uuur uuur uuur
(3)当l 为何值时， AB 与 AB + l AC 垂直？
41．（2024 高二·全国·课后作业）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5， AA1 = 4．
(1)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1 ^ CD ？
(2)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1∥平面CDB1？
42．（2024 高一下·福建泉州·期末）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1中, | AB |=| BC |= 2, D1D = 3，点 N 是 AB 的中
点，点 M 是 B1C1 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D, N , M 的坐标；
（2）求线段MD, MN 的长度；
（3）判断直线DN 与直线MN 是否互相垂直，说明理由．
43．（2024 高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱 ABC - A B C 中，CA = CB =1， BCA = 90o1 1 1 ，棱
AA1 = 2，M 、 N 分别为 A1B1 、 A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
uuur
(1)求BN 的模；
uuur uuur
(2)求 cos < A1B, B1C >的值；
(3)求证：BN ^平面C1MN .
44．（2024 高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1，底面VABC 中，CA = CB =1，
BCA = 90o ， AA1 = 2，M、N 分别是 A1A、 A1B1 的中点．
(1)求的 BM 长；
uuur uuur
(2)求 cos BA1,CB1 的值；
(3)求证： A1B ^ C1N ．
