2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 6 题型分类
两条直线平行和垂直的判定
1．两条直线(不重合)平行的判定：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
2．两条直线垂直的判定：
图示
l1⊥l2(斜率都存在) l1的斜率不存在，
对应关系
k1k2＝－1 l2的斜率为 0 l1⊥l2
（一）
两条直线平行的判定
判断两条不重合的直线是否平行的方法：
题型 1：两条直线平行的判定
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）判断下列不同的直线 l1与 l2是否平行.
（1） l1的斜率为 2， l2经过 A 1,2 ，B 4,8 两点；
（2） l1经过P 3,3 ，Q -5,3 两点， l2平行于 x 轴，但不经过 P，Q 两点；
（3） l1经过M -1,0 ， N -5, -2 两点， l2经过R -4,3 ， S 0,5 两点．
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1) l1经过点 A(2,3), B(-4,0)， l2经过点M (-3,1), N (-2,2)；
(2) l1的斜率为-10， l2经过点 A(10,2), B(20,3) .
1-3．（24-25 高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（ ）
A．直线 l1经过点 A 0,1 , B 1,0 ，直线 l2经过点M -1,3 ,N 2,0
B．直线 l1经过点 A -1, -2 , B 1,2 ，直线 l2经过点M -2,-1 ,N 0,-2
C．直线 l1经过点 A 1,2 ,B 1,3 ，直线 l2经过点C 1,-1 ,D 1,4
D．直线 l1经过点 A 3,2 ,B 3,-1 ，直线 l2经过点M 1,-1 ,N 3,2
题型 2：两条直线平行的应用
2-1．（2024 高二·江苏·假期作业）已知直线 l1的倾斜角为 45°，直线 l2的斜率为 k = m2 - 3，若 l1 ∥ l2，则m 的
值为 ．
2-2．（2024 高二· 3全国·课后作业）若直线 l1与直线 l2平行，直线 l1的斜率为- ，则直线 l2的倾斜角
3
为 .
2-3．（2024 高二·江苏·假期作业）已知过 A(-2,m) 和B(m, 4)的直线与斜率为－2 的直线平行，则 m 的值是
（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
2-4．（2024 高二上·天津蓟州·阶段练习）过点 A m,3 , B -1,m 两点的直线与直线 l平行，直线 l的倾斜角为
45o ，则m =
（二）
两条直线垂直的判定
判断两条直线是否垂直：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注意有一条
直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
题型 3：两条直线垂直的判定
3-1．（24-25 高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线 l1的斜率为-10，直线 l2经过点 A 10,2 ，B 20,3 ；
(2)直线 l1经过点 A 3, 4 ，B 3,7 ，直线 l2经过点P -2,4 ，Q 2,4 ；
(3)直线 l1的法向量为 1,2 ，直线 l2的法向量为 2, -1 ．
3-2．（2024 高一上·陕西宝鸡·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补
3-3．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1) l1经过点 A(-3, -4), B(1,3), l2经过点M (-4,-3), N (3,1)；
(2) l1经过点 A(3, 4), B(3,10), l2经过点M (-10,40), N (10,40)．
题型 4：两条直线垂直的应用
4-1．（2024 高一·全国·课后作业）过点 A(m,1)，B(-1, m)的直线与过点P(1, 2)，Q(-5,0)的直线垂直，则m
的值为（ ）
1 1
A．-2 B．2 C． D．-
2 2
4-2．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知点 A 1,1 和B 2,4 ，点 P 在 y 轴上，且 APB为直角，则点 P 坐标
为（ ）
A． 0,2 B． 0,2 或 0,3 C． 0,2 或 0,4 D． 0,3
4-3．（2024 高二下·甘肃武威·开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为 A 4,2 ，B 1, -2 ，C -2, 4 ，
则BC 边上的高的斜率为（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
4-4．（2024 高二上·山西晋中·期末）已知直线 l1经过 A 3,7 ，B 2,8 两点，且直线 l2 ^ l1，则直线 l2的倾斜
角为（ ）
A．30° B． 45° C．135° D．150°
4-5．（2024 高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点 A -2,0 和点B 1,3a 的直线 l1与经过点P 0, -1 和点
Q a,-2a 的直线 l2互相垂直，则实数 a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0 或1 D．-1或1
（三）
两条直线平行或垂直的综合应用
利用两条直线的平行或垂直判断图形形状
题型 5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状
5-1．（2024 高二上·全国·课后作业）以 A(-2,-1), B(4, 2),C(2,6), D(-3,1) 为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
5-2．（2024 高二·江苏·假期作业）已知四边形MNPQ的顶点坐标为M (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，求证：四
边形MNPQ为矩形．
5-3．（2024 高二·江苏）已知点 A -4,3 ，B 2,5 ，C 6,3 ，D -3,0 ，试判定四边形 ABCD 的形状．
题型 6：两条直线平行或垂直的综合应用
6-1．（2024 高三上·重庆·阶段练习）已知直线 l1过点 A(0,1)，直线 l1与直线 l2 : y = x 的交点 B 在第一象限，
点 O 为坐标原点. 若三角形 OAB 为钝角三角形时，则直线 l1的斜率的范围是（ ）
A． (- ,-1] B． (- , -1) (0,+ )
C． (- , -1) U (0,1) D． (- , -1) U (1, + )
6-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点 D
的坐标为 .
6-3．（2024 高二上·青海海东·期中）已知点 A -2,2 ，B 6,4 ，H 5,2 ，H 是VABC 的垂心．则点 C 的坐标
为（ ）
A． 6,2 B． -2,2 C． -4, -2 D． 6, -2
一、单选题
1．（2024 高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1
2．（2024 高二下·福建·学业考试）已知直线 l1： y = x - 2， l2： y = kx ，若 l1 //l2，则实数 k = （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．（2024 高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若 l1∥l2 ，则 kl = k1 l2
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
4．（2024 高二上·山东泰安·期末）若直线 l1 : y = kx +1与直线 l2 : y = 3x平行，则实数 k 的值为（ ）
1 1
A 3．- B． C． D．3
3 3 3
5．（2024 高二上·广东广州·期中）已知直线 l1的倾斜角为30°，直线 l1//l2，则直线 l2的斜率为（ ）
A 3 3． 3 B．- 3 C． D．-
3 3
6．（2024 高一下·江西抚州·期末）已知直线 l1经过 A -3,4 ，B -8, -1 两点，直线 l2的倾斜角为135o，那么 l1
与 l2
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
7．（2024 高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为-1”是“两条直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2024 高二·全国·课后作业）顺次连接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
9．（2024 高三上·浙江丽水·期中）若直线 y = -x + 3与 y=kx+b 平行，则（ ）
A． k = -1,b R B． k R,b R C． k = -1,b 3 D．b 3,k R
二、多选题
10．（2024 高二上·江苏）以 A(-1,1), B(2,-1),C(1, 4) 为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
k 2A． AB = - 3
B． k
1
BC = - 4
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以 B 点为直角顶点的直角三角形
11．（2024 高二上·江苏扬州·阶段练习）若 l1与 l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 l1 //l2，则它们的斜率相等 B．若 l1与 l2的斜率相等，则 l1 //l2
C．若 l1 //l2，则它们的倾斜角相等 D．若 l1与 l2的倾斜角相等，则 l1 //l2
12．（2024 高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线 l1与 l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若 l1 //l2，则斜率 k1 = k2
B．若斜率 k1 = k2 ，则 l1 //l2
C．若倾斜角a1 = a2 ，则 l1 //l2
D．若 l1 //l2，则倾斜角a1 = a2
13．（2024 高二上·吉林·期中）已知两条不重合的直线 l1:y = k1x + b1，l2:y = k2x + b2 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 l1∥l2 ，则 k1 = k2 B．若 k1 = k2 ，则 l1∥l2
C．若 k1k2 =1，则 l1 ^ l2 D．若 l1 ^ l2，则 k1k2 = -1
14．（2024高二·全国·课后作业）若 l1，l2为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为a1，a2 ，斜率分别为 k1，k2 ，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 l1//l2，则斜率 k1 = k2 B．若斜率 k1 = k2 ，则 l1//l2
C．若 l1//l2，则倾斜角a1 = a2 D．若倾斜角a1 = a2 ，则 l1//l2
15．（2024 高二·全国·课后作业）（多选）若 A -4,2 ，B 6, -4 ，C 12,6 ，D 2,12 ，下面结论中正确的是
（ ）
A． AB//CD B． AB ^ AD C． AC = BD D． AC //BD
三、填空题
16．（2024 高二下·山东菏泽·开学考试）已知 A(5,-1), B(1，1),C(2，3)三点，则△ABC 为 三角形.
17．（2024 高二上·全国·专题练习）若 l1与 l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 a1， a2，斜率分别为
k1， k2 ，则下列命题
①若 l1 //l2，则斜率 k1 = k2 ； ②若斜率 k1 = k2 ，则 l1 //l2；
③若 l1 //l2，则倾斜角 a1 = a2 ；④若倾斜角 a1 = a2 ，则 l1 //l2；
其中正确命题的个数是 ．
四、解答题
18．（2024 高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行.
（1）直线 l1经过点 A(2,1), B(-3,5) ，直线 l2经过点C (3, -2), D (8, -7) ；
（2）直线 l1平行于 y 轴，直线 l2经过点P(0, -2)，Q(0,5)；
（3）直线 l1经过点 E (0,1), F (-2, -1) ，直线 l2经过点G (3, 4), H (2, 3) .
19．（2024 高二·全国·课后作业）判断 A(1,3), B(3,7),C(4,9) 三点是否共线，并说明理由．
20．（2024 高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园
长 AD = 5m，宽 AB=3m，其中一条小路为 AC ，另一条小路过点D .请建立合适的平面直角坐标系，在BC
上找到一点M ，使得两条小路 AC 与DM 互相垂直，并求 BM .
21．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线 l1与 l2是否平行．
(1) l1经过点 A(-1, -2) ，B(2,1) ， l2经过点M (3, 4)， N (-1, -1) ；
(2) l1经过点 A(-3,2) ，B(-3,10)， l2经过点M (5,-2) ， N (5,5)．
22．（2024 高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系 xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O 0,0 ，
P 1,t ，Q 1- 2t, 2 + t R -2t, 2 t 1， ，其中 t > 0且 .试判断四边形OPQR 的形状.
2
23．（2024 高二·全国·课后作业）已知 A -4,3 ， B 2,5 ，C 6,3 ， D -3,0 四点，若顺次连接 ABCD四点，
试判断图形 ABCD的形状．
1 7
24．（2024 高二·江苏·课后作业）已知点 A -4, -2 ，B 1, -1 ，C 5,5 ，D - , ÷，求证：四边形 ABCD
è 3 2
是梯形．2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 6 题型分类
两条直线平行和垂直的判定
1．两条直线(不重合)平行的判定：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
2．两条直线垂直的判定：
图示
l1⊥l2(斜率都存在) l1的斜率不存在，
对应关系
k1k2＝－1 l2的斜率为 0 l1⊥l2
（一）
两条直线平行的判定
判断两条不重合的直线是否平行的方法：
题型 1：两条直线平行的判定
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）判断下列不同的直线 l1与 l2是否平行.
（1） l1的斜率为 2， l2经过 A 1,2 ，B 4,8 两点；
（2） l1经过P 3,3 ，Q -5,3 两点， l2平行于 x 轴，但不经过 P，Q 两点；
（3） l1经过M -1,0 ， N -5, -2 两点， l2经过R -4,3 ， S 0,5 两点．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.
（2）根据直线 PQ的斜率即可判断.
（3）求出两直线的斜率即可求解.
【详解】（1） l2经过 A 1,2 ，B 4,8 两点，则 k
8 - 2
l = = 2，2 4 -1
则 kl = k1 l2 ，可得两直线平行.
（2） l1经过P 3,3 ，Q -5,3 两点，可得 l1平行于 x 轴，
l2平行于 x 轴，但不经过 P，Q 两点，所以 l1//l2；
l M -1,0 N -5, -2 k 0 + 2 1（3） 1经过 ， 两点， l = = ，1 -1+ 5 2
l2经过R -4,3
3 - 5 1
， S 0,5 两点，则 kl = = ，2 -4 - 0 2
所以 l1//l2 .
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1) l1经过点 A(2,3), B(-4,0)， l2经过点M (-3,1), N (-2,2)；
(2) l1的斜率为-10， l2经过点 A(10,2), B(20,3) .
【答案】(1)不平行，理由见解析
(2)不平行，理由见解析
【分析】（1）分别计算出 l1和 l2的斜率，再比较两斜率是否相等即可；
（2）求出 l2的斜率，再与 l1的斜率比较即可.
【详解】（1）设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2 ，
因为 l1经过点 A(2,3), B(-4,0)， l2经过点M (-3,1), N (-2,2)，
k 3 - 0 1 k 1- 2所以 1 = = = =12 - (-4) 2 ， 2 -3 ，- (-2)
所以 k1 k2 ，
所以 l1与 l2不平行；
（2）设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2 ，则 k1 = -10，
因为 l2经过点 A(10,2), B(20,3) ，
k 3- 2 1所以 2 = = ，20 -10 10
所以 k1 k2 ，
所以 l1与 l2不平行.
1-3．（24-25 高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（ ）
A．直线 l1经过点 A 0,1 , B 1,0 ，直线 l2经过点M -1,3 ,N 2,0
B．直线 l1经过点 A -1, -2 , B 1,2 ，直线 l2经过点M -2,-1 ,N 0,-2
C．直线 l1经过点 A 1,2 ,B 1,3 ，直线 l2经过点C 1,-1 ,D 1,4
D．直线 l1经过点 A 3,2 ,B 3,-1 ，直线 l2经过点M 1,-1 ,N 3,2
【答案】A
【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论.
0 -1 3 - 0
【解答过程】对于 A，因为 kl = = -1, kl = = -1，所以 l1 1- 0 2 -1- 2 1
//l2，故 A 对；
B k -2 - 2
-1- -2
2, k 1对于 ，因为 l = = l = = - ，所以直线 l1, l2 不平行，故 B 错；1 -1-1 2 -2 - 0 2
对于 C，由直线 l1经过点 A 1,2 ，B 1,3 ，直线 l2经过点C 1, -1 ， (1,4)，
得直线 l1, l2 的斜率都不存在，且两直线重合，故 C 错；
对于 D，因为直线 l1经过点 (3,2)，B 3, -1 ，所以直线直线 l1的斜率不存在，
k -1- 2 3而 l = = ，所以直线 l1, l2 不平行，故 D 错.2 1- 3 2
故选：A.
题型 2：两条直线平行的应用
2-1．（2024 高二·江苏·假期作业）已知直线 l1的倾斜角为 45°，直线 l2的斜率为 k = m2 - 3，若 l1 ∥ l2，则m 的
值为 ．
【答案】±2 /2 或-2 / -2或 2
【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线 l1的斜率为 k1 = tan 45°，再由两直线平行，斜率相等列出等式，
即可求出答案.
【详解】由题意知m2 - 3 = tan 45°，解得m = ±2 .
故答案为：±2
2-2 3．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l1与直线 l2平行，直线 l1的斜率为- ，则直线 l2的倾斜角
3
为 .
5p
【答案】 6
【分析】由两条直线的位置关系可得直线 l2的斜率与直线 l1的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可
求解.
【详解】解：因为直线 l1与直线 l
3
2平行，直线 l1的斜率为- ，
3
3
所以直线 l2的斜率与直线 l1的斜率相等，即直线 l2的斜率为- ，
3
设直线 l2的倾斜角为a 0 a < p ，则 tana 3= - ，
3
所以a
5p
= ，即直线 l
5p
2的倾斜角为 ，6 6
5p
故答案为： .6
2-3．（2024 高二·江苏·假期作业）已知过 A(-2,m) 和B(m, 4)的直线与斜率为－2 的直线平行，则 m 的值是
（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【答案】A
【分析】由两点的斜率公式表示出直线 AB 的斜率 kAB ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答
案.
4 - m
【详解】由题意可知， kAB = = -2，解得m = -8．m + 2
故选：A
2-4．（2024 高二上·天津蓟州·阶段练习）过点 A m,3 , B -1,m 两点的直线与直线 l平行，直线 l的倾斜角为
45o ，则m =
【答案】1
【分析】根据题意,求出直线 AB 的斜率和直线 l的斜率，由 AB//l ，二者斜率相等构造方程解得答案.
【详解】因为直线 l的倾斜角为 45o ，所以直线 l的斜率 k = tan 45o =1，
过 A m,3 , B -1,m 两点的直线的斜率 k 3- mAB = ，m +1
由直线 AB 与直线 l平行，
3- m
所以 =1解得m =1.
m +1
故答案为：1.
（二）
两条直线垂直的判定
判断两条直线是否垂直：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注意有一条
直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
题型 3：两条直线垂直的判定
3-1．（24-25 高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线 l1的斜率为-10，直线 l2经过点 A 10,2 ，B 20,3 ；
(2)直线 l1经过点 A 3, 4 ，B 3,7 ，直线 l2经过点P -2,4 ，Q 2,4 ；
(3)直线 l1的法向量为 1,2 ，直线 l2的法向量为 2, -1 ．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)垂直
【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
（2）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
（3）根据法向量关系判断两直线是否垂直.
3- 2 1
【详解】（1）直线 l1的斜率 k1 = -10，直线 l2的斜率 k2 = = ，因为 k1k2 = -10
1
= -1，所以 l 与 l
20 -10 10 10 1 2
垂直．
（2）直线 l1的斜率不存在，故 l1与 x 轴垂直，直线 l2的斜率为 0，故直线 l2与 x 轴平行，所以 l1与 l2垂直．
（3）因为1 2 -1 2 = 0，所以 l1与 l2的法向量垂直，所以 l1与 l2垂直．
3-2．（2024 高一上·陕西宝鸡·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．两条平行直线的斜率一定相等 B．两条平行直线的倾斜角一定相等
C．垂直的两直线的斜率之积为-1 D．互相垂直的两直线的倾斜角互补
【答案】B
【分析】根据直线平行与垂直满足的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于 A,若两条直线平行，但没有斜率，故 A 错误，
对于 B，两条直线平行，则倾斜角相等，故 B 正确，
对于 C，若两条直线分别与坐标轴平行，则此时有一条直线没有斜率，故 C 错误，
对于 D，若两条直线分别与坐标轴平行，则两条直线的倾斜角分别为0o 和90o，则倾斜角不互补，故 D 错误，
故选：B
3-3．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1) l1经过点 A(-3, -4), B(1,3), l2经过点M (-4,-3), N (3,1)；
(2) l1经过点 A(3, 4), B(3,10), l2经过点M (-10,40), N (10,40)．
【答案】(1)不垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
【分析】（1）由题知直线 l1， l2的斜率存在，分别计算出 l1、 l2的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；
（2）由题知 l1 ^ x 轴， l2 ∥ x 轴，即可判断（2）组直线垂直.
【详解】（1）由题知直线 l1， l2的斜率存在，分别设为 k1,k2，
3 - -4
k 71 = =1- -3 4 ，
1-
k -3 42 = =3 - -4 7 ，
\k1 × k2 =1，
∴ l1与 l2不垂直．
（2）由题意知 l1的倾斜角为 90°，
则 l1 ^ x 轴；
由题知直线 l2的斜率存在，设为 k3 ，
k 40 - 403 = = 010 ，- (-10)
则 l2 ∥ x 轴，
∴ l1 ^ l2．
题型 4：两条直线垂直的应用
4-1．（2024 高一·全国·课后作业）过点 A(m,1)，B(-1, m)的直线与过点P(1, 2)，Q(-5,0)的直线垂直，则m
的值为（ ）
1 1
A．-2 B．2 C． D．-
2 2
【答案】A
【分析】由两线垂直则斜率之积为-1，列方程求 m 的值即可.
1- m 2 - 0
【详解】两条直线垂直，则： = -1m +1 1- (-5) ，解得m = -2，
故选：A．
4-2．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知点 A 1,1 和B 2,4 ，点 P 在 y 轴上，且 APB为直角，则点 P 坐标
为（ ）
A． 0,2 B． 0,2 或 0,3 C． 0,2 或 0,4 D． 0,3
【答案】B
【分析】设点P 0, y ，由 APB为直角，得 AP ^ BP，然后由 kAP × kBP = -1列式计算即可.
【详解】由题意，设点P 0, y ，
Q APB 为直角，\ AP ^ BP ，
k 1- y由 AP = =1- y, k
4 - y
1 BP
= ，
2
k 4 - y\ AP × kBP = 1- y ÷ = -1，
è 2
解得 y = 3或 2，所以点 P 的坐标为 0,2 或 0,3
故选：B
4-3．（2024 高二下·甘肃武威·开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为 A 4,2 ，B 1, -2 ，C -2, 4 ，
则BC 边上的高的斜率为（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
【答案】C
【分析】根据已知求出BC 的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.
【详解】QB 1, -2 C -2, 4 4 -k -2 ， ，\ BC = = -2-2 -1
1
设BC 边上的高的斜率为 k ，则 k × kBC = -1，\k = 2
故选：C
4-4．（2024 高二上·山西晋中·期末）已知直线 l1经过 A 3,7 ，B 2,8 两点，且直线 l2 ^ l1，则直线 l2的倾斜
角为（ ）
A．30° B． 45° C．135° D．150°
【答案】B
【分析】先求出直线 l1的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】设直线 l2的倾斜角为a ，
l k 7 -8因为直线 1的斜率 l = = -1，由 l1 ^ l2，得 kl × kl = -11 2 ，1 3- 2
所以 kl =12 ，即 tana =1，又0° a <180°，则a = 45°，
所以直线 l2的倾斜角为 45°．
故选：B．
4-5．（2024 高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点 A -2,0 和点B 1,3a 的直线 l1与经过点P 0, -1 和点
Q a,-2a 的直线 l2互相垂直，则实数 a的值为（ ）
A．0 B．1 C．0 或1 D．-1或1
【答案】C
【分析】求出直线 l1的斜率为 k1 = a，分 a 0、 a = 0两种情况讨论，在 a 0时，由两直线斜率之积为-1可
求得实数 a的值；在 a = 0时，直接验证 l1 ^ l2 .综合可得结果.
k 3a - 0【详解】直线 l1的斜率 1 = = a1- -2 ．
l -2a - -1① a 0 1- 2a当 时，直线 2的斜率 k2 = = ．a - 0 a
l ^ l k k = -1 a 1- 2a因为 1 2，所以 1 2 ，即 × = -1，解得 a =1．a
②当 a = 0时，P 0, -1 、Q 0,0 ，此时直线 l 为 y2 轴，
又 A -2,0 、B 1,0 ，则直线 l1为 x 轴，显然 l1 ^ l2．
综上可知， a = 0或1.
故选：C.
（三）
两条直线平行或垂直的综合应用
利用两条直线的平行或垂直判断图形形状
题型 5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状
5-1．（2024 高二上·全国·课后作业）以 A(-2,-1), B(4, 2),C(2,6), D(-3,1) 为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【分析】先在坐标系内画出 ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形 ABCD 的形状.
【详解】
k 1+1 2, k 6 - 2在坐标系中画出 ABCD 点，大致如上图，其中 AD = = - BC = = -2,\k = k , AD / /BC ，-3 + 2 2 - 4 AD BC
k 2 +1 1AB = = ,kAB gkBC = -1, AB ^ BC ，4 + 2 2
AD = -2 + 3 2 + -1-1 2 = 5, BC = 4 - 2 2 + 2 - 6 2 = 20 AD ，
所以四边形 ABCD 是直角梯形；
故选：D.
5-2．（2024 高二·江苏·假期作业）已知四边形MNPQ的顶点坐标为M (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，求证：四
边形MNPQ为矩形．
【答案】证明见解析
【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线
的斜率乘积为-1，可得一组邻边垂直，从而可得结论.
【详解】因为M (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，
k 1- (-1) 2 - 0 1- 2 -1- 0所以 MN = = -1, kPQ = = -1， kMQ = =1, k = =1，1- 3 2 - 4 1- 2 PN 3 - 4
所以 kMN = kPQ ， kMQ = kPN ，
所以MN ∥ PQ，MQ ∥ NP ，
所以四边形MNPQ为平行四边形，
因为 kMN × kMQ = -1，
所以MN ^ MQ ，
所以四边形MNPQ为矩形.
5-3．（2024 高二·江苏）已知点 A -4,3 ，B 2,5 ，C 6,3 ，D -3,0 ，试判定四边形 ABCD 的形状．
【答案】直角梯形
【分析】求出四边斜率，然后再判断形状．
【详解】由斜率公式可得：
k 5 - 3 1AB = =2 - (-4) 3
k 0 - 3 1CD = =-3 - 6 3
k 0 - 3AD = = -3-3 - (-4)
k 3- 5 1BC = = -6 - 2 2
kAB = kCD ，
\ AB / /CD
QkAD kBC
\ AD 与 BC 不平行
1
又QkAB × kAD = (-3) = -1，3
\ AB ^ AD ，
故四边形 ABCD 是直角梯形．
【点睛】本题考查四边形形状的判断，要关注四条边的斜率关系，是否有垂直或者平行，是基础题．
题型 6：两条直线平行或垂直的综合应用
6-1．（2024 高三上·重庆·阶段练习）已知直线 l1过点 A(0,1)，直线 l1与直线 l2 : y = x 的交点 B 在第一象限，
点 O 为坐标原点. 若三角形 OAB 为钝角三角形时，则直线 l1的斜率的范围是（ ）
A． (- ,-1] B． (- , -1) (0,+ )
C． (- , -1) U (0,1) D． (- , -1) U (1, + )
【答案】C
【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围.
【详解】当三角形OAB 为直角三角形时，OB ^ BA或OA ^ BA，
此时 l1的斜率 k = -1或 0.
当 l1从 k = -1顺时针旋转到 y 轴之间时，三角形OAB 为钝角三角形，此时 k < -1；
当 l1从 k = 0逆时针旋转到与直线 l2 : y = x 平行之间时，三角形OAB 为钝角三角形，此时0 < k <1，
综上， k (- ,-1) (0,1)，
故选：C.
故选：C.
6-2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点 D
的坐标为 .
【答案】(3,4)
【分析】设 D 为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求 D 的坐标.
【详解】设顶点 D 的坐标为(x,y)，
∵AB / / DC，AD / / BC，
ì0 -1 3- y
=
∴ 1- 0 4 - x
ìx = 3
í y ，解得 ， -1 3- 0
í
y = 4=
x - 0 4 -1
∴点 D 的坐标为(3,4).
故答案为：(3,4).
6-3．（2024 高二上·青海海东·期中）已知点 A -2,2 ，B 6,4 ， H 5,2 ， H 是VABC 的垂心．则点 C 的坐标
为（ ）
A． 6,2 B． -2,2 C． -4, -2 D． 6, -2
【答案】D
【分析】先设点 C 的坐标,再求出直线BH，AH 的斜率，则可求出直线 AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联
立方程组求出 C 的坐标；
【详解】设 C 点标为 x, y 2 - 2，直线 AH 斜率 kAH = = 0，5 + 2
∴ BC ^ AH ，而点 B 的横坐标为 6，则 = 6，
4 - 2
直线 BH 的斜率 kBH = = 2，6 - 5
y - 2 1
∴直线 AC 斜率 kAC = = - ，6 + 2 2
∴ y=- 2 ，
∴点 C 的坐标为 (6, -2) ．
故选: D .
一、单选题
1．（2024 高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于-1
【答案】C
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于 A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以 A 错误；
对于 B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以 B 错误；
对于 C，若两直线的斜率乘积等于-1，则两直线垂直，故 C 正确；
对于 D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于
-1，故 D 错误；
故选：C
2．（2024 高二下·福建·学业考试）已知直线 l1： y = x - 2， l2： y = kx ，若 l1 //l2，则实数 k = （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【分析】两直线平行，则斜率相等求解.
【详解】已知直线 l1： y = x - 2， l2： y = kx ，
因为 l1 //l2，
所以 k =1
故选：D
【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.
3．（2024 高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若 l1∥l2 ，则 kl = k1 l2
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A 错误；
若 l1∥l2 ，则 kl = kl 或 l1， l1 2 2的斜率都不存在，B 错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C 正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D 错误．
故选：C.
4．（2024 高二上·山东泰安·期末）若直线 l1 : y = kx +1与直线 l2 : y = 3x平行，则实数 k 的值为（ ）
1 1
A．- B 3． C． D．3
3 3 3
【答案】D
【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数 k 的值.
【详解】因为直线 l1 : y = kx +1与直线 l2 : y = 3x平行，
所以两直线斜率相等，即 k = 3 .
故选：D.
5．（2024 高二上·广东广州·期中）已知直线 l1的倾斜角为30°，直线 l1//l2，则直线 l2的斜率为（ ）
A． 3 B．- 3 C 3 3． D．-
3 3
【答案】C
【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.
3
【详解】因为直线 l1的倾斜角为30°，所以 kl = tan 30° = ，1 3
l //l k k 3又 1 2，所以 l = l = .2 1 3
故选：C.
6．（2024 高一下·江西抚州·期末）已知直线 l1经过 A -3,4 ，B -8, -1 两点，直线 l2的倾斜角为135o，那么 l1
与 l2
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】根据两点求出直线 l1的斜率，根据倾斜角求出直线 l2的斜率；可知斜率乘积为-1，从而得到垂直关
系.
【详解】Q直线 l1经过 A -3,4 ，B -8, -1 两点 \ l
4 +1
直线 1的斜率： k1 = =1-3 + 8
Q直线 l2的倾斜角为135o \直线 l2的斜率： k2 = tan135o = -1
\k1 × k2 = -1 \l1 ^ l2
本题正确选项：A
【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根
据斜率关系求得位置关系.
7．（2024 高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为-1”是“两条直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果.
【详解】当两条直线斜率乘积为-1时，两条直线互相垂直，充分性成立；
当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；
\“两条直线的斜率乘积为-1”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2024 高二·全国·课后作业）顺次连接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.
3- 5 1
【详解】 kAB = = = k
3- 0
= k 3- 0 3,k 5 - 3 14 2 3 CD 6 3 ， AD = = - CB = = -- - - - ，则 kAD k-4 + 3 2 - 6 2 CB，
所以 AB / /CD , AD 与BC 不平行，
kAD ×kAB = -1
因此 AD ^ AB
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
9．（2024 高三上·浙江丽水·期中）若直线 y = -x + 3与 y=kx+b 平行，则（ ）
A． k = -1,b R B． k R,b R C． k = -1,b 3 D．b 3,k R
【答案】C
【分析】斜率存在的两直线平行，斜率相等截距不等.
【详解】直线 y = -x + 3与 y=kx+b 平行，
所以， k = -1,b 3 .
故选：C.
二、多选题
10．（2024 高二上·江苏）以 A(-1,1), B(2,-1),C(1, 4) 为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A． k
2
AB = - 3
B． k
1
BC = - 4
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以 B 点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【分析】对于 AB，利用斜率公式计算判断，对于 C，通过计算 kAB × kAC 判断，对于 D，通过计算 kAB × kBC 判断.
A(-1,1), B(2,-1) k 1- (-1) 2【详解】对于 A，因为 ，所以 AB = = - ，所以 A 正确，-1- 2 3
对于 B，因为B(2,-1),C(1, 4)
-1- 4 1
，所以 kBC = = -5 - ，所以 B 错误，2 -1 4
2 1- 4 3 2 2
对于 C，因为 kAB = - ， kAC = = ，所以 kAB × kAC = - = -1，3 -1-1 2 3 3
所以 AB ^ AC ，所以VABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以 C 正确，
2
对于 D，因为 kAB = - ， kBC = -5，所以 kAB × kBC -1，所以 D 错误，3
故选：AC
11．（2024 高二上·江苏扬州·阶段练习）若 l1与 l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 l1 //l2，则它们的斜率相等 B．若 l1与 l2的斜率相等，则 l1 //l2
C．若 l1 //l2，则它们的倾斜角相等 D．若 l1与 l2的倾斜角相等，则 l1 //l2
【答案】BCD
【分析】由两直线斜率不存在可知 A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知 BCD 正确.
p
【详解】对于 A，当 l1和 l2倾斜角均为 时， l1 //l2，但两直线斜率不存在，A 错误；2
对于 B，若 l1和 l2斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知 l1 //l2，B 正确；
对于 C，若 l1 //l2，可知两直线倾斜角相等，C 正确；
对于 D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知 l1 //l2，D 正确.
故选：BCD.
12．（2024 高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线 l1与 l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若 l1 //l2，则斜率 k1 = k2
B．若斜率 k1 = k2 ，则 l1 //l2
C．若倾斜角a1 = a2 ，则 l1 //l2
D．若 l1 //l2，则倾斜角a1 = a2
【答案】BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A 选项， l1 //l2，可能直线 l1与 l2的倾斜角都是90°，斜率不存在，所以 A 选项错误.
B 选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以 B 选项正确.
C 选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以 C 选项正确.
D 选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以 D 选项正确.
故选：BCD
13．（2024 高二上·吉林·期中）已知两条不重合的直线 l1:y = k1x + b1，l2:y = k2x + b2 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 l1∥l2 ，则 k1 = k2 B．若 k1 = k2 ，则 l1∥l2
C．若 k1k2 =1，则 l1 ^ l2 D．若 l1 ^ l2，则 k1k2 = -1
【答案】ABD
【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.
【详解】对 A，若 l1∥l2 ，则 k1 = k2 ，故 A 正确；
对 B，若 k1 = k2 ，又两直线不重合，则 l1∥l2 ，故 B 正确；
对 C，若 k1k2 =1，则 l1与 l2不垂直，故 C 错误；
对 D，若 l1 ^ l2，则 k1k2 = -1，故 D 正确.
故选：ABD.
14（．2024高二·全国·课后作业）若 l1，l2为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为a1，a2 ，斜率分别为 k1，k2 ，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 l1//l2，则斜率 k1 = k2 B．若斜率 k1 = k2 ，则 l1//l2
C．若 l1//l2，则倾斜角a1 = a2 D．若倾斜角a1 = a2 ，则 l1//l2
【答案】ABCD
【分析】根据直线平行、斜率、倾斜角之间关系，可直接判断出结果.
【详解】因为 l1，l2为两条不重合的直线，他们的倾斜角分别为a1，a2 ，斜率分别为 k1，k2 ，
若 l1//l2，则斜率相等，即 k1 = k2 ；又斜率是倾斜角的正切值，所以a1 = a2 ，故 AC 正确；
若a1 = a2 ，则 k1 = k2 ，所以 l1//l2，故 BD 正确；
故选：ABCD
15．（2024 高二·全国·课后作业）（多选）若 A -4,2 ，B 6, -4 ，C 12,6 ，D 2,12 ，下面结论中正确的是
（ ）
A． AB//CD B． AB ^ AD C． AC = BD D． AC //BD
【答案】ABC
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】 k
-4 - 2 3 12 - 6 3
AB = = - ， kCD = = - ，且 C 不在直线 AB 上，∴ AB//CD ，故 A 正确；6 + 4 5 2 -12 5
k 12 - 2 5又∵ AD = = ，∴ k × k2 + 4 3 AB AD
= -1，∴ AB ^ AD ，故 B 正确；
uuur uuur
∵ AC = 16,4 ，BD = -4,16 ，
∴ AC = 4 17 ， BD = 4 17 ，∴ AC = BD ，故 C 正确；
k 6 - 2 1 12 + 4又∵ AC = = ， k12 + 4 4 BD
= = -4，∴ k
2 - 6 AC
× kBD = -1
∴ AC ^ BD ，故 D 错误．
故选:ABC．
三、填空题
16．（2024 高二下·山东菏泽·开学考试）已知 A(5,-1), B(1，1),C(2，3)三点，则△ABC 为 三角形.
【答案】直角
【分析】根据直线斜率关系即得.
【详解】如图，猜想 AB ^ BC,VABC 是直角三角形，
1
由题可得边 AB 所在直线的斜率 kAB = - ,边BC 所在直线的斜率 kBC = 2，2
由 kABkBC = -1，得 AB ^ BC,即 ABC = 90o ，
所以VABC 是直角三角形.
故答案为：直角.
17．（2024 高二上·全国·专题练习）若 l1与 l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 a1，a2，斜率分别为
k1， k2 ，则下列命题
①若 l1 //l2，则斜率 k1 = k2 ； ②若斜率 k1 = k2 ，则 l1 //l2；
③若 l1 //l2，则倾斜角 a1 = a2 ；④若倾斜角 a1 = a2 ，则 l1 //l2；
其中正确命题的个数是 ．
【答案】 4
【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；
【详解】解：因为 l1与 l2为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为 a1， a2，斜率分别为 k1， k2 .
①由于斜率都存在，若 l1 //l2，则 k1 = k2 ，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率 k1 = k2 ，得到倾斜角的正切值相等即 tan a1 = tan a2 ，即可得到 a1 = a2 ，所以
l1 //l2，此命题正确；
③因为 l1 //l2，根据两直线平行，得到 a1 = a2 ，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角 a1 = a2 ，根据同位角相等，得到 l1 //l2，此命题正确；
所以正确的命题个数是 4．
故答案为： 4．
四、解答题
18．（2024 高一下·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行.
（1）直线 l1经过点 A(2,1), B(-3,5) ，直线 l2经过点C (3, -2), D (8, -7) ；
（2）直线 l1平行于 y 轴，直线 l2经过点P(0, -2)，Q(0,5)；
（3）直线 l1经过点 E (0,1), F (-2, -1) ，直线 l2经过点G (3, 4), H (2, 3) .
【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.
【分析】（1） k1 k2 ，所以直线 l1与 l2不平行；
（2）直线 l2与 y 轴重合，所以直线 l1与 l2平行；
（3）E，F，G，H 四点共线，直线 l1与 l2重合.故直线 l1与 l2不平行.
l k 5 -1 4= = - -7 - (-2)【详解】解：（1）直线 1的斜率 1 ，直线 l2的斜率 k2 = = -1 k k8 3 ，显然 1 2 ，所以直线
l
-3 - 2 5 - 1
与 l2不平行.
（2）直线 l2与 y 轴重合，所以直线 l1与 l2平行.
-1 - 1 3 - 4 4 - 1
（3）直线 l1的斜率 k1 = = 1，直线 l2的斜率 k2 = = 1，所以 k1 = k2 ，又 kGE = = 1，所以 E，F，-2 - 0 2 - 3 3 - 0
G，H 四点共线，直线 l1与 l2重合.故直线 l1与 l2不平行.
19．（2024 高二·全国·课后作业）判断 A(1,3), B(3,7),C(4,9) 三点是否共线，并说明理由．
【答案】共线，理由见解析.
【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.
【详解】这三点共线，理由如下：
7 - 3 9 - 3
由直线斜率公式可得： kAB = = 2, kAC = = 2，3-1 4 -1
直线 AB, AC 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点 A(1,3) ，
所以这三点共线.
20．（2024 高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园
长 AD = 5m，宽 AB=3m，其中一条小路为 AC ，另一条小路过点D .请建立合适的平面直角坐标系，在BC
上找到一点M ，使得两条小路 AC 与DM 互相垂直，并求 BM .
16
【答案】建系见解析， BM = m
5
【分析】建立平面直角坐标系，利用 kAC ×kDM = -1求得 BM .
【详解】以 B 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
则 A 0,3 , D 5,3 ,C 5,0 ，设M x,0 ,0 < x < 5，
依题意可知：直线 AC 和直线DM 的斜率都存在，
由于 AC 与DM 互相垂直，
k ×k = -1 0 - 3 0 - 3所以 AC DM ，即 × = -1, x
16
= ，
5 - 0 x - 5 5
16
所以 BM = m .
5
21．（2024 高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线 l1与 l2是否平行．
(1) l1经过点 A(-1, -2) ，B(2,1) ， l2经过点M (3, 4)， N (-1, -1) ；
(2) l1经过点 A(-3,2) ，B(-3,10)， l2经过点M (5,-2) ， N (5,5)．
【答案】(1)不平行
(2)平行
【分析】（1）求出 kl1 、 kl2 ，即可判断；
（2）求出 l1、 l2的方程，即可判断.
-2 -1
【详解】（1）因为 l1经过点 A(-1, -2) ，B(2,1) ，所以 kl = =1，1 -1- 2
又 l2经过点M (3, 4)， N (-1, -1) k
-1- 4 5
，所以 l = = ，2 -1- 3 4
因为 kl k1 l2 ，所以 l1与 l2不平行；
（2）直线 l1经过点 A(-3,2) ，B(-3,10)的方程为 x = -3，
直线 l2经过点M (5,-2) ， N (5,5)的方程为 x = 5，
故直线 l1和直线 l2平行；
22．（2024 高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系 xOy 中，四边形OPQR 的顶点坐标分别为O 0,0 ，
P 1,t ，Q 1- 2t, 2 + t 1，R -2t, 2 ，其中 t > 0且 t .试判断四边形OPQR 的形状.
2
【答案】矩形
【分析】可借助斜率验证四边形OPQR 对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解
t - 0
【详解】由斜率公式，得 kOP = = t ，1- 0
2 - 2 + t
k -tQR = = = t2t 1 2t 1 ，- - - -
k 2 - 0 1OR = = - ，-2t - 0 t
k 2 + t - t 2 1PQ = = = - ，1- 2t -1 -2t t
k 2 + tOQ = ，1- 2t
k t - 2PR = .1+ 2t
∴ kOP = kQR ， kOR = kPQ ，
∴ OP//QR，OR//PQ，
∴四边形OPQR 为平行四边形.
又 kOP ×kOR = -1，∴ OP ^ QR .
又 kOQ ×kPR -1，∴ OQ 与 PR不垂直，
∴四边形OPQR 为矩形.
23．（2024 高二·全国·课后作业）已知 A -4,3 ， B 2,5 ，C 6,3 ， D -3,0 四点，若顺次连接 ABCD四点，
试判断图形 ABCD的形状．
【答案】直角梯形
【分析】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形 ABCD的形状 .
5 - 3 1 0 - 3 1 0 - 3 3- 5 1
【详解】由斜率公式，得 kAB = = k2 - -4 3 ， kCD = = ， AD
= = -3
3 4 ， k- - - BC = = - ,-3 - 6 3 6 - 2 2
3- 3
所以 kAB = kCD ，又因为 kAC = = 0 k6 ( 4) AB ,说明 AB 与CD不重合，- -
所以 AB / /CD ．
因为 kAD kBC ，所以 AD 与BC 不平行．
1
又因为 kAB × kAD = -3 = -1，所以 AB ^ AD ．3
故四边形 ABCD为直角梯形．
1 7
24．（2024 高二·江苏·课后作业）已知点 A -4, -2 ，B 1, -1 ，C 5,5 ，D - , ÷，求证：四边形 ABCD
è 3 2
是梯形．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形.
【详解】由点 A(-4,-2) ，B(1, -1)，C(5,5) ，D(
1
- , 7)，
3 2
7
+ 2
k 2 3 ,k 5 +1 3可得 AD = 1 = BC = = ,
- + 4 2 5 -1 2
3
| AD | ( 1 4)2 (7而 = - + + + 2)2 11= 13 , | BC |= (5 -1)2 + (5 +1)2 = 2 13 ,
3 2 6
故 AD∥BC ,但 | AD | | BC | ,
所以四边形 ABCD 是梯形．
