2.1.1 倾斜角与斜率 6 题型分类
1．直线的倾斜角：
(1)当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的
倾斜角．
(2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.
(3)直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率：
把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)斜率与倾斜角的对应关系：
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式：
y2－y1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ .x2－x1
（一）
直线的倾斜角
1、直线的倾斜角：
(1)当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的
倾斜角．
(2)直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤α<180°.
2、直线倾斜角的概念和范围：
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨
论．
(2)注意倾斜角的范围．
题型 1：求直线的倾斜角
1-1．（2024 高二·江苏·假期作业）若直线 l经过点M (2,3), N (4,3)，则直线 l的倾斜角为（ ）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
【答案】A
【分析】由M , N 两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.
【详解】因为M (2,3), N (4,3)两点的纵坐标相等，
所以直线 l平行于 x 轴，
所以直线 l的倾斜角为 0°．
故选：A
1-2．（2024 高二下·全国·课后作业）已知点 A 2,1 ，B 3,2 ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D．135°
【答案】B
【分析】
根据两点间斜率公式求解即可；
k tana 2 -1【详解】解析： = = =1，又因为0° a <180°
3- 2
所以a = 45° ，
故选：B.
1-3．（2024 高二·江苏·假期作业）已知一直线经过两 A(1, 2)，B(a,3)，且倾斜角为135°，则 a的值为（ ）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
【答案】C
【分析】
由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得 a的值．
【详解】
直线经过两 A(1, 2)，B(a,3)，．
又直线的倾斜角为135°，斜率一定存在，
3 - 2
则直线的斜率为 k =
a -1
\ 3 - 2 = tan135° = -1
a 1 ，即
a = 0．
-
故选：C．
1-4．（2024 高二上·浙江温州·期末）已知 3, - 3 是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.
3
【详解】因为 3, - 3 是直线的一个方向向量，故直线的斜率为- ，
3
3
设直线的倾斜角为a ,a [0, π)，则 tana = - ，
3
5π
所以a = ，
6
故选：D
1-5．（2024 高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线 l经过 A -1,4 ，B 1,2 两点，则直线 l的倾斜角为（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【答案】D
【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线 l的倾斜角为a ，a 0, π ，
则 tana
4 - 2 3π
= = -1，\a = .
-1-1 4
故选：D.
（二）
直线的斜率
1、直线的斜率：
(1)倾斜角求斜率：
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 k＝tanα.
(2)两点求斜率：
y2－y1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 k＝ .
x2－x1
2、求直线的斜率：
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与 x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关．
题型 2：求直线的斜率
2-1．（山东省滨州高新高级中学 2023-2024 学年高一下学期 3 月月考数学试题（春考班））过点 P( - 2，m)，
Q(m，4)的直线的斜率为 1，那么 m 的值为（ ）
A．1 或 4 B．4 C．1 或 3 D．1
【答案】D
【分析】利用直线的斜率公式求解.
【详解】解：因为直线过点 P( - 2，m)，Q(m，4)，且斜率为 1，
4 - m
所以k = = 1 ，解得m =1，
m + 2
故选：D
3p
2-2．（2024 高二上·天津河西·期中）已知直线的倾斜角是 ，则该直线的斜率是（ ）
4
A．-1 B．- 3 C 3．- D．1
3
【答案】A
【分析】由斜率和倾斜角关系可直接得到结果.
3p
【详解】由题意知：直线的斜率 k = tan = -1.4
故选：A.
2-3．（2024 高二·全国·课后作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再
求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)C(-3,4), D(2,4) ；
(2) P(0,0),Q(-1, 3)；
(3) M (-3, 2), N (- 2,3) ；
(4) E(7,0),Q(7,- 2) ．
【答案】(1)存在，斜率为 k oCD = 0，倾斜角为0 ；
(2)存在，斜率为 kPQ = - 3 ，倾斜角为120o；
(3)存在，斜率为 kMN =1，倾斜角为 45o ；
(4)不存在.
【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求解倾斜角即
可；若相等时，则斜率不存在.
【详解】（1）解：因为 xC xD ，
所以经过C(-3,4), D(2,4) 的直线斜率存在，
4 - 4
所以斜率为 kCD = = 0，-3 - 2
o o
设倾斜角为q ,q é 0 ,180 ，则 tanq = 0，故q = 0o，即倾斜角为0o
（2）解：因为 xP xQ ，
所以经过P(0,0),Q(-1, 3)的直线斜率存在，
3 - 0
所以斜率为 kPQ = = - 3 ，-1- 0
设倾斜角为q ,q é 0
o ,180o ，则 tanq = - 3 ，故q =120o，即倾斜角为120o .
（3）解：因为 xM xN ，
所以经过M (-3, 2), N (- 2,3) 的直线斜率存在，
3- 2
所以斜率为 kMN = =1，- 2 - -3
o
设倾斜角为q ,q é 0 ,180
o ，则 tanq =1，故q = 45o，即倾斜角为 45o .
（4）解：因为 xE = xQ ，
所以经过M (-3, 2), N (- 2,3) 的直线斜率不存在，
（三）
倾斜角与斜率的关系
1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线
垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)．
2、直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程
度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
题型 3：倾斜角与斜率的关系
3-1．（2024 高二上·四川宜宾·期末）设直线 l的斜率为 k ，且- 3 k <1，则直线 l的倾斜角的取值范围为
（ ）
é0, π é2π , π é π 5π A． ê ÷U ê ÷ B． 4 3 ê
0,
4 ÷
U , π ÷
è 6
é π , 5π é0, π é5π C． ê D． 4 6 ÷ ê ÷
U
4 ê
, π ÷
6
【答案】A
【分析】设直线 l的倾斜角为a ,0 a < π，则有 k = tana ，0 a < π ，作出 y = tana ( 0 a < π )的图象，由
图可得a 的范围，即可得答案.
【详解】设直线 l的倾斜角为a ,0 a < π，
则有 k = tana ，0 a < π ，
作出 y = tana ( 0 a < π )的图象，如图所示：
由此可得a [0,
π) [2π , π) .
4 3
故选：A.
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l 的斜率为 k ，且-1 k < 3 ，则直线 l的倾斜角a 的取值范围为
（ ）
é
A． ê0,
π
÷ U
3π
, π
é
÷ B． ê0,
π U é3π , π
3 ÷ ÷ è 4 6 ê 4
π
C． ,
3π é
÷ D． ê0,
π U é3π , π
è 6 4 3 ÷ ÷ ê 4
【答案】D
【分析】
分-1 k < 0、0 k < 3 两种情况讨论，求出对应的a 的取值范围，综合可得结果.
【详解】
由题意可知，a 0, π 3π，当-1 k < 0时，则a 为钝角，且 a < π ；
4
π
当0 k < 3 时，此时，0 a < .3
é π é3π
综上所述，直线 l的倾斜角a 的取值范围为 ê0, U 3 ÷ ê
, π ÷ .
4
故选：D.
3-3．（2024 高二上·江苏连云港·期末）经过两点 A 1,m ，B m -1,3 的直线的倾斜角是锐角，则实数 m 的范
围是（ ）
A． (- , -3) (-2, + ) B． (-3, -2)
C． (2,3) D． (- , 2) (3,+ )
【答案】C
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点 A 1,m ，B m -1,3 的直线的倾斜角是锐角，
3 - m
可知m -1 1 ，且 > 0 ，
m - 2
解得 2 < m < 3 ，即实数 m 的范围是 (2,3) ，
故选：C
（四）
直线斜率的应用
1、三点共线问题
（1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．
①若都不存在，则三点共线；
②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
（2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是
否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论．
2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点,
y2－y1
（1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且 k＝tanα＝ ，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相x2－x1
等的两点 ；
y－y0 y－y0
（2）在求形如 的式子的最值时，可以将 看作动点 P（x，y）与定点 Q（x0，y0）所确定的直线的x－x0 x－x0
斜率，数形结合求出最值或取值范围.
题型 4：三点共线问题
4-1．（2024 高二上·山西临汾·期末）若三点 A 2, -3 , B 4,3 ,C 5,b 在同一直线上，则实数b 等于（ ）
A．-12 B．-6 C．6 D．12
【答案】C
【分析】由题意得 kAB = kAC ，列式求解即可.
k = k 3 - -3 b - -3【详解】因为 AB AC ，又 kAB = = 3, k
b + 3
AC = = ，4 - 2 5 - 2 3
b + 3
所以3 = ，即b = 6 .
3
故选：C.
4-2．（2024 高二上·安徽六安·阶段练习）已知点 A 0, -8 ，B 2, -2 ，C 4, m ，若线段 AB ， AC ，BC 不能
构成三角形，则m 的值是 .
【答案】 4
【分析】由线段 AB ， AC ，BC 不能构成三角形知 A, B,C 三点共线，由 kAB = kAC 求得m 的值.
【详解】因为线段 AB ， AC ，BC 不能构成三角形，所以 A, B,C 三点共线，
-2 + 8 m + 8
显然直线 AB 的斜率存在，故 kAB = kAC ，即 = ，解得m = 4 ，2 - 0 4
故答案为：4
4-3．（2024 高二上·山西临汾·期中）三点 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一条直线上，则m 值为（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
【答案】D
【解析】根据三点共线，可得 kAB =kBC ，由两点求斜率即可求解.
1- 2 2m -1 2m -1
【详解】由题意可得 kAB = ,km - 5 BC
= = - ，
-4 - 5 9
因为 A，B，C 三点共线，
2 -1 2m -1
所以 kAB =kBC ，即 = - ，m - 5 9
7
解得m = 2 或m = ．
2
7
所以m 的值为 2 或 ．
2
故选：D．
题型 5：利用直线斜率的几何意义求最值
y +1
5-1．（2024· 1湖南衡阳·模拟预测）点M x , y 在函数 y = ex1 1 的图象上，当 x1 0,1 ，则 x -1 的取值范围为 .1
【答案】 - , -2
y1 +1
【分析】把 x -1 转化为
M x1, y1 与点 A 1, -1 所成直线的斜率，作出函数 y = ex 在 x 0,1 部分图象上的动
1
点，结合斜率公式，即可求解.
y1 +1
【详解】由 x -1 表示
M x1, y1 与点 A 1, -1 所成直线的斜率 k ，
1
又由M x , y 是 y = ex1 1 在 x 0,1 部分图象上的动点，
如图所示：可得C(0,1), B(1,e) ，则 kAC = -2，
所以 k -2，即 k 的取值范围为 - , -2 .
故答案为： - , -2 .
y + 3
5-2．（2024 高二·全国·专题练习）若实数 x 、 y 满足 y = -x + 3，-1 x 1，则代数式 的取值范围为
x + 2
é5 ,7ù【答案】
ê3 ú
y + 3
【分析】作图，根据代数式 的几何意义，结合图象即可得出答案.
x + 2
【详解】
如图， A 1,2 ，B -1,4 ，C -2, -3 ，
-3 - 2 5 -3 - 4
则 kAC = = ， kBC = = 7 .-2 -1 3 -2 - -1
y + 3 y - -3
因为 =x 2 x 2 ，可表示点C 与线段 AB 上任意一点
M x, y 连线的斜率，
+ - -
由图象可知， kAC kMC kBC ，
5 y + 3
所以有 = k 7 .
3 x + 2 MC
é5 ù
故答案为： ê ,7 3 ú
.
2 + y
5-3．（2024 高一上·四川达州·期末）点M (x, y)在函数 y = 2x + 4 的图象上，当 x [2,5]时， 的取值范围是
x +1
（ ）
é7
A． ê ,
8ù é8 ,10 ù
3 3ú
B．
ê3 3 ú
é5 ,16 ù é5 8ùC． ê ú D． , 3 3 ê3 3ú
【答案】B
2 + y
【分析】根据点M (x, y)在函数 y = 2x + 4 的图象上可求出当 x [2,5]时的两端点坐标，将 看作函数
x +1
y = 2x + 4 的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案.
【详解】因为点M (x, y)在函数 y = 2x + 4 的图象上，
所以 x = 2时， y = 8 ；当 x = 5时， y = 14；
故设 A(2,8), B(5,14)
2 + y
而 可看作函数 y = 2x + 4 的图象上的点与点 P （-1，-2）连线的斜率，
x +1
故 x [2,5] k
2 + y
时， PB kx +1 PA
,
k 10 , k 8 8 2 + y 10而 PA = PB = ,所以 3 3 3 x +1 3
故选：B.
题型 6：直线与线段的相交关系求斜率的范围
6-1．（2024 高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点 A -1,1 , B 1,1 ,C 2, 3 +1 ，D为VABC 的边 AC
上一动点，则直线BD斜率 k 的变化范围是（ ）
é 3 ù é
A 3． ê0, 3 ú
B． - ,0 ê 3 , + ÷
é 3 ù
C． ê , 3ú D． - ,0 é 3, + 3
【答案】D
【分析】作出图象，求出 AB, BC 的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
k 1-1 3 +1-1AB = = 0, kBC = = 3 ，1+1 2 -1
因为D为VABC 的边 AC 上一动点，
所以直线BD斜率 k 的变化范围是 - ,0 é 3, + .
故选：D.
6-2．（2024 高一上·宁夏中卫·期末）已知 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直线 l过定点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l的
斜率 k 的取值范围是( )
4 k 3 3 1A．- B． k 4 C． k D． k -4或 k
3
4 4 2 4
【答案】D
【分析】因为 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直线 l过定点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,画出图像,即可求得直线 l的斜率 k 的
取值范围.
【详解】画出图像,如图:
Qk -3 -1 4, k -2 -1 3PA = = - = = 2 -1 PB -3 -1 4
\ 结合图像可知,要保证线段 AB 与直线 l相交
3
需满足斜率 k 的取值范围: k -4或 k
4
故选:D.
【点睛】本题考查了求过定点直线的斜率范围问题,解题关键是根据题意画出图像,数形结合,考查了分析能
力,属于基础题.
6-3．（2024 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点 A 2, -1 ，B -5,-3 ，直线 l过点 1,1 ，若直线 l与线段 AB
相交，则直线 l的斜率取值范围是（ ）
, 2 2 2A． - - éê , +
é
÷ B． ê-2,
ù
3 3ú
é 2 ù 2 ù
C． ê- , 2ú D．3
- , - 2, +
è 3 ú
【答案】A
【分析】根据直线过定点 P 1,1 ，画出图形，再求出PA， PB的斜率，然后利用数形结合求解.
【详解】如图所示：
若直线 l与线段 AB 相交，
则 k kPA或 k kPB ，
-1-1
因为 kPA = = -2 k
-3 -1 2
2 -1 ， PB
= =
5 1 3 ，- -
2
所以直线 l的斜率取值范围是 - , -2 éê , +
.
3 ÷
故选：A.
【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
6-4．（2024 高二上·江苏南通·阶段练习）经过点P 0, -1 作直线 l，且直线 l 与连接点 A 1, -2 ，B 2,1 的线
段总有公共点，则直线 l 的倾斜角a 的取值范围是 ．
é0, π ù 3π【答案】 ê
é
4 ú ê
, π ÷
4
【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线 l与线段 AB 有公共点的直线 l的斜率的范围与倾斜角的范
围．
【详解】解：如图，
Q A(1,-2) ，B(2,1) ， P(0,-1)，
k -2 - (-1)\ PA = = -1 k
-1-1
， PB = = 11 0 0 ，- - - 2
则使直线 l与线段 AB 有公共点的直线 l的斜率 k 的范围为 k [-1，1]，
又直线倾斜角的范围是： 0,π ，且 k = tana
\ a é
π ù 3π
直线 l 的倾斜角的范围为 ê0, ú
é , π
4 ÷
．
ê 4
é π ù 3π
故答案为： ê0, ú
é
4 ê
, π ÷．
4
6-5．（2024 高三·全国·专题练习）直线 l过点M -1,2 ，且与以P -4, -1 、Q 3,0 为端点的线段相交，则直
线 l的斜率的取值范围是 ．
, 1【答案】 - -
ù
ú U 1, + è 2
【分析】作出图形，求出 kMP 、 kMQ ，观察直线 l与线段 PQ的交点运动的过程中，直线 l的倾斜角的变化，
可得出直线 l的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点M 且与 x 轴垂直的直线交线段 PQ于点A ，设直线 l的斜率为 k ，
k 2 +1 1 k 2 - 0 1且 PM = = ， QM = = - ，-1+ 4 -1- 3 2
当点 B 从点 P 移动到点A （不包括点A ）的过程中，直线 l的倾斜角为锐角，
此时， k kMP =1；
当点 B 从点A （不包括点A ）移动到点Q的过程中，直线 l的倾斜角为钝角，
1
此时， k kMQ = - .2
1
综上所述，直线 l
ù
的斜率的取值范围是 - , - U 1, + .
è 2ú
1
故答案为： - , -
ù
ú U 1, + .è 2
一、单选题
1．（2024 高二上·江苏南京·期末）若直线经过 A(1,0)，B(4, 3) 两点，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．135°
【答案】A
【分析】利用两点坐标求出直线 AB 的斜率，再求对应的倾斜角即可．
【详解】由直线经过 A(1,0)，B(4, 3) 3 - 0 3两点，可得直线的斜率为 = ，
4 -1 3
3
设直线的倾斜角为q ，则有 tanq = ，
3
又0° q < 180°，所以q = 30° .
故选：A.
2．（2024 高二上·全国·课后作业）对于下列命题：①若q 是直线 l 的倾斜角，则0° q < 180°；②若直线倾
斜角为a ，则它斜率 k = tana ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一
定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜
角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若q 是直线的倾斜角，则0° q < 180°；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为a 且a 90° ，它的斜率 k = tana ；倾斜角为90°时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90°时没有斜率，所以③正确；④
错误；
其中正确说法的个数为 2.
故选：B.
A 2,3 , B -1, x 2π3．（2024 高二下·河南安阳·开学考试）已知点 ，直线 AB 的倾斜角为 ，则 x =（
3 ）
A 3．3- 3 3 B．3+ C．3 + 3 3 D．6
3
【答案】C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
2π
【详解】因为直线 AB 的倾斜角为 ， A 2,3 , B -1, x 3 ，
x - 3 2π
可得直线 AB 的斜率为 kAB = = tan = - 31 2 3 ，- -
可得 x = 3+ 3 3 .
故选：C
4．（2024 高二上·四川南充·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合
力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有 10 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已
知拉索上端相邻两个针的间距 PiPi+1 （ i =1，2，…，9）均为3.8m，拉索下端相邻两个针的间距 Ai Ai+1
（ i =1，2，…，9）均为15m ．最短拉索的针P1， A1，满足 OP1 = 60m， OA1 = 80，则最长拉索所在直线的
斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出点 A10 , P10 的坐标，再利用斜率坐标公式及对称性求解作答.
【详解】依题意，以直线 A10B10 为 x 轴，直线P1P10 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图，
显然 | OA10 |= 80 + 9 15 = 215(m) ， | OP10 |= 60 + 9 3.8 = 94.2(m)，因此点 A10 (215,0), P10 (0,94.2) ，
直线 A10P
94.2 - 0
10 的斜率为 -0.44，由对称性得直线B10P10 的斜率为0.44 ，0 - 215
所以最长拉索所在直线的斜率约为±0.44 .
故选：C
5．（2024 高二上·四川）已知直线 l经过第二、四象限，则直线 l的倾斜角a 的取值范围是（ ）.
A．0o a < 90o B．0o < a <180o C．90o a <180o D．90o < a <180o
【答案】D
【分析】由于直线 l经过第二、四象限，可知直线的倾斜角为钝角，从而可求得答案
【详解】直线倾斜角的取值范围是0o a <180o ，
又直线 l经过第二、四象限，
∴直线 l的倾斜角a 的取值范围是90o < a <180o ，
故选：D.
6．（2024 高二上·全国·课后作业）若如图中的直线 l1, l2 , l3 的斜率为 k1, k2 ,k3 ，则（ ）
A． k1 < k2 < k3 B． k3 < k1 < k2 C． k2 < k1 < k3 D． k3 < k2 < k1
【答案】C
【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.
【详解】设直线 l1, l2 , l3 的倾斜角分别为a , b ,g g
π π π
，显然
0, ÷ , b , π ÷ ,a , π ÷，且a > b ，
è 2 è 2 è 2
所以 k3 = tan g > 0, k1 = tana < 0,k2 = tan b < 0 ，
又 y = tan x
π
在 x , π ÷ 上单调递增，故 k1 = tana > tan b = k ，
è 2 2
所以 k2 < k1 < k3 .
故选：C
7．（2024 高二上·贵州黔西·期末）已知直线 l的倾斜角为30o ，则直线 l的斜率为（ ）
1
A B 3 C 2． ． ． D 3．
2 2 2 3
【答案】D
【分析】根据 k = tana 计算即可.
3
【详解】由题意可得直线 l 的斜率 k = tan 30o = .
3
故选：D
8．（2024 高一上·福建福州·期末）若直线的倾斜角为 120°，则直线的斜率为（ ）
A 3 3． 3 B．- 3 C． D．-
3 3
【答案】B
【分析】求得倾斜角的正切值即得．
【详解】k=tan120°= - 3 .
故选：B．
9．（2024 高一下·河北邯郸·期末）图中的直线 l1, l2 , l3 的斜率分别为 k1, k2 ,k3 ，则有（ ）
A． k1 < k2 < k3 B． k1 > k2 > k3
C． k1 < k3 < k2 D． k3 < k1 < k2
【答案】C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得， k1 < 0 < k3 < k2，
故选：C
π
10．（2024 高二上·湖南娄底·期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）
3
A 3． B．- 3 C． 3 D．± 3
2
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.
π
【详解】因为直线的倾斜角是 ，
3
所以此直线的斜率是 tan
π
= 3 .
3
故选:C.
π
11．（2024 高二上·湖北武汉·期末）已知直线 l的倾斜角为a ，斜率为 k ，那么“ k >1”是“a > ”的（
4 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.
π π
【详解】由直线的斜率 k >1可得 tana >1，解得 > a > ，
2 4
π
所以“ k >1”是“a > ”的充分不必要条件，
4
故选：A
12．（2024 高一上·江西景德镇·期末）已知三点 A m,1 ，B 4,2 ，C -4,2m 在同一条直线上，则实数m 的值
为（ ）
A．0 B．5 C．0 或 5 D．0 或-5
【答案】C
【解析】根据 B 4,2 ，C -4,2m 知直线斜率存在，利用斜率相等求解.
【详解】因为三点 A m,1 ， B 4,2 ，C -4,2m 在同一条直线上，且直线斜率存在，
2 -1 2 - 2m
所以 =4 - m 4 ，- (-4)
解得m = 0或m = 5
故选：C
13．（2024 高二下·湖北荆州·阶段练习）若直线经过两点 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 ，且其倾斜角为 135°，则 m
的值为（ ）
1 1 3
A．0 B．- C． D．
2 2 4
【答案】D
【分析】根据两点斜率公式求解即可.
【详解】经过两点 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 2 -1 1的直线的斜率为 k = = ，
2 - 3m - m 2 - 4m
1 3
又直线的倾斜角为 135°，∴ = -1，解得m =
2 - 4m 4
．
故选：D
14．（2024 高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
2π π
【详解】对于A :直线的倾斜角a = , b = ,a > b , k
3 3 1
= tana < 0,k2 = tanb > 0,k1 < k2 ,所以A 错误；
π
对于B :两直线的倾斜角相等为 ,斜率不存在,所以B错误；
2
π
对于C :当直线的倾斜角为 时直线斜率不存在，所以C 错误；
2
对于D :任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以D 正确.
故选：D .
r
15．（2024 高二上·辽宁大连·期末）若直线 l 的方向向量是 e = 1, 3 ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解
r
【详解】由直线 l 的方向向量是 e = 1, 3 得直线 l的斜率为 3，
设直线的倾斜角是a 0 a < π ，tana 3 a π= = ，
3
故选：B.
16．（2024 高二上·江西赣州·阶段练习）设点 A(2, -3) B(-3, -2)，若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，则
直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
k 3 3 1A． 或 k -4 B． k 或 k -
4 4 4
3 3
C．-4 k D．- k 4
4 4
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：
k -3 -1 4, k -2 -1 3依题意， PA = = - = = ，2 -1 PB -3-1 4
要想直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，
则 k
3
或 k -4，
4
故选：A
y - 2
17．（2024 高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点 A(-1- 3, -1), B(3,0) ，若点M (x, y)在线段 AB 上，则
x +1
的取值范围是（ ）
1- , - ù é 1 ùA．
è 2ú
[ 3, + ) B． ê-1, - 2ú
é 1 1 ù
C． (- , -1]U[ 3,+ ) D． - ,
ê 2 2 ú
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解
y - 2
【详解】 可看作M (x, y)与 N (-1,2)的斜率，
x +1
k -1- 2= = 3 k 2 - 0 1则 AN ， = = - ，-1- 3 +1 BN -1- 3 2
因为点M (x, y)在线段 AB 上，
y - 2 1 ù
所以 的取值范围为 - , - [ 3, + )，
x +1 è 2ú
故选：A
18．（2024 高二上·广东深圳·期中）已知点 A -2, -1 ，B 3,0 ，若点M x, y y - 2在线段 AB 上，则 的取值
x +1
范围（ ）
1 1
A． - , -
ù 3,+ B é ù． - ,3
è 2 ú ê 2 ú
C． - , -1 U 3, + D． -1,3
【答案】A
y - 2
【分析】设Q -1,2 ，分别求出 kQA， kQB ，根据 表示直线QM 的斜率即可得到结果.x +1
2 - -1
【详解】设Q -1,2 ，则 k = = 3 k 2 - 0 1QA -1- -2 ， QB = = --1- 3 2
因为点M x, y y - 2 1 ù在线段 AB 上，所以 的取值范围是 - , - 3,+ ，
x +1 è 2 ú
故选：A.
19 2024 · · A cosq ,sin2．（ 高三上 新疆昌吉 期中）坐标平面内有相异两点 q ，B(0,1)，经过两点的直线的的倾
斜角的取值范围是（ ）
A é
p ,p- ù p ù é3p ． ê ú B．4 4
0,
è 4 ú
U ê ,p ÷ 4
é0, p ù é3p ,p épC． ê D． ,
3p ù
4 ú ê 4 ÷ ê 4 4 ú
【答案】B
【分析】利用斜率公式求出 kAB ，再利用三角函数求出 kAB 的范围，利用斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的
范围.
【详解】因为点 A cosq ,sin2 q ，B(0,1)是相异两点，
sin2k q -1 -cos
2 q
\ AB = = = -cosq ，且 cosq 0，\kcosq cosq AB
-1,0 U 0,1
设直线的倾斜角为a ，则 tana -1,0 U 0,1
p
当0 < tana 1，倾斜角a 的范围为0 < a ．
4
当-1 tan
3p
a < 0，倾斜角a 的范围为 a < p ．
4
\a p ù é3p 0,
è 4 ú
ê
,p
4 ÷
故选：B
【点睛】易错点睛：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意是相异的两个点，
利用 cosq 求出斜率的范围，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角的范围，属于易错题.
20．（2024 高三上·新疆）1949 年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正
向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相
近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中
心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边 AB 所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
【答案】C
【分析】根据 5 颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过 O3作 x 轴的平行线 O3E 并确定∠OO3E 的大小，即可知
AB 所在直线的倾斜角.
【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为 36°知：∠BAO3＝18°，
过 O3作 x 轴的平行线 O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线 AB 的倾斜角为 18°－16°＝2°.
故选：C
21．（2024 高二·全国·期中）已知直线斜率为 k，且-1 k 3 ，那么倾斜角a 的取值范围是（ ）
é0, p ù U ép , 3p éA． ê ú ê ÷ B． ê0,
p ù é3p ,p
3 2 4 3 ú ê 4 ÷
é0, p ù U ép , 3p C D é0,
p ù
． ê ú ê ÷ ． ê ú U
é3p ,p
6 ÷ 2 4 6 ê 4
【答案】B
【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角a 的取值范围.
【详解】解：直线 l 的斜率为 k，且-1 k 3 ，
∴ -1 tana 3 ，a [0,p ) .
a p 3p∴
é
ê0,
ù U é ,p ÷ .
3 ú ê 4
故选：B.
22．（2024·四川绵阳·二模）已知直线 l的方程为 x sina + 3y -1 = 0，a R，则直线 l的倾斜角范围是（ ）
0, π ù é2 π 5πA é ù é ． ú ê π, π ÷ B．è 3 3 ê
0,
6 ú
U , π ÷
ê 6
é π , 5π ù é π , 2π ùC． ê 6 6 ú D． ê 3 3 ú
【答案】B
é 3 3 ù é 3 ù é 3
【分析】计算 k ê- , ú ，再考虑 k ê0, ú 和 k ê- ,0÷ 两种情况，得到倾斜角范围.
3 3 3 ÷ 3
3 é 3 3 ù
【详解】 x sina + 3y -1 = 0，则 k = - sina
3 ê
- , ú，
3 3
π é 3 3 ù
设直线 l的倾斜角为q 0 q < ÷，故 k = tanq ê- , ú，
è 2 3 3
é ù
所以当 k
3 π
0, é ùê 3 ú 时，直线
l的倾斜角q ê0, 6 ú
；
é 3 é5π
当 k ê- ,0÷÷ 时，直线 l的倾斜角q 3 ê
, π ÷；
6
π 5π
综上所述：直线 l的倾斜角q
é ù
ê0, ú
é
6 ê
, π ÷
6
故选：B
二、多选题
23．（2024 高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知经过点 A 5,m 和B 2,8 q π π 的直线的倾斜角 ,6 3 ÷，则实数
m
è
的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】ABC
【分析】根据斜率公式求解.
m -8
【详解】由题可得 kAB = = tanq
3
3
, 3
3 ÷÷
，
è
所以m (8 + 3,8 + 3 3)，
结合选项可得实数m 的可能取值有 11,12,13，
故选:ABC.
24．（2024 高二·全国·课后作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线 l1， l2， l3 ，其对应的斜率
分别为 k1， k2 ， k3 ，则下列选项中错误的是（ ）
A． k3 > k1 > k2 B． k1 - k2 > 0
C． k1 × k2 < 0 D． k3 > k2 > k1
【答案】ABC
【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系.
【详解】由题图可知， k1 < 0， k2 < 0， k3 > 0 ，且 k1 < k2 ，可知 A，B，C 错误.
故选：ABC．
25．（2024 高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线 l1， l2， l3 ， l4，斜率分别是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，
倾斜角分别是a1，a2，a3 ，a4 ，则下列关系正确的是（ ）
A． k2 < k1 < k4 < k3 B． k3 < k2 < k1 < k4 C．a2 < a1 < a4 < a3 D．a3 < a2 < a1 < a4
【答案】BC
【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线 l1， l2， l3 ， l4，斜率分别是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，倾斜角分别是a1，a2，a3 ，a4 ，
p p
由倾斜角定义知0 < a1 < a4 < ，a3 > ，a2 = 0，\a2 < a1 < a4 < a3 ，故 C 正确；2 2
由 k = tana ，知 k2 = 0， k3 < 0，0 < k1 < k4 ，\k3 < k2 < k1 < k4 ，故 B 正确；
故选：BC
26．（2024 高三·全国·专题练习）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 0,p
C．若一条直线的斜率为 tana ，则此直线的倾斜角为a
D．若一条直线的倾斜角为a ，则此直线的斜率为 tana
【答案】ABCD
【分析】根据直线、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，由此判断选项是否正确.
【详解】对于 A：当直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以 A 错误；
对于 B：直线倾斜角的取值范围是[0,p )，所以 B 错误；
对于 C：一条直线的斜率为 tana ，此直线的倾斜角不一定为a ，
如 y = x 的斜率为 tan
5p p
，它的倾斜角为 ，所以 C 错误；
4 4
对于 D：一条直线的倾斜角为a 时，它的斜率为 tana 或不存在，所以 D 错误.
故选：ABCD
三、填空题
27 o．（2024 高二上·全国·课前预习）已知直线 l1的倾斜角a1 =15 ，直线 l1与 l2的交点为A ，直线 l1和 l2向上的
方向所成的角为120o，如图，则直线 l2的倾斜角为 ．
【答案】135o
【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线 l2的倾斜角.
【详解】设直线 l2的倾斜角为a2，因为 l1和 l2向上的方向所成的角为120o，
所以， BAC = 120o a =120o，故 2 +a1 =120
o +15o =135o ．
故答案为：135o .
28．（2024 高二上·广西百色·期末）已知直线 l过点P 1,0 且与以 A 2,1 ，B 4, -3 为端点的线段 AB 有公共
点，则直线 l斜率的取值范围为 ．
【答案】 -1,1
【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段 AB 有公共点的临界情况分析.
【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接PA, PB，如图当直线 l恰好经过 A, B时为临界情况，
k 1- 0 1, k 0 - (-3)又 PA = =2 -1 PB
= = -1，当直线从PA位置顺时针转动到 PB位置时，
1- 4
由倾斜角和斜率的关系可知， k -1,1 .
故答案为： -1,1
29．（2024·湖南株洲·一模）过原点的直线 l 与曲线 y = ex-1交于不同的两点 A，B，过 A，B 作 x 轴的垂线，
与曲线 y = ln x 交于 C，D 两点，则直线 CD 的斜率为 ．
【答案】1
【分析】
A(x , ex
x
设 1
-1) x，B(x , e 2 -11 2 )，根据点O，A ，B
1
共线，得出 kOA = kOB ，得出 x1 - x2 = ln x ，再由 C，D 两点的2
ln x1
坐标，根据斜率公式，得出 k x= 2 ，代换即可得出答案．CD x1 - x2
x -1
【详解】设 A(x1, e 1 )，B(x2 , e
x2 -1)，则点C 的坐标为 (x1, ln x1)，点D的坐标为 (x2 , ln x2 ) ，
Q点O，A ， B 共线，
\kOA = kOB ，
ex1 -1 ex2 -1
即 = ，
x1 x2
ex -x x x1 2可得： = 1 ，即 x1 - x2 = ln 1x2 x
，
2
ln x1
又Qk ln x1 - ln x2 x2 ，CD = =x1 - x2 x1 - x2
x - x
\kCD = 1 2 =1x1 - x
，
2
故答案为：1．
3
30．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l 的斜率为 k，且 k - 3, ÷÷，则直线 l 的倾斜角的取值范围
è 3
是 ．
é π 2π
【答案】 ê0, U6 ÷
, π
è 3 ÷
【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.
【详解】如图：
3
当直线 l 的斜率 k - 3, ÷÷，
è 3
é π 2π
直线 l 的倾斜角的取值范围为： ê0, ÷ U , π ÷ . 6 è 3
é π 2π
故答案为： ê0, ÷ U , π
÷ .
6 è 3
31．（2024 高二·江苏·假期作业）若经过点 P(1- a,1) 和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数 a的取值范围
是 ．
1
【答案】 (- ， )
3
【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
3 -1 1
所以斜率 < 0 ，解得 a <2a ．-1+ a 3
1
所以 a的取值范围是 (- ， )．
3
1
故答案为： (- ， )．
3
32．（2024 高二下·上海闵行·开学考试）若直线 l1与直线 l2平行，直线 l1的斜率为- 3 ，则直线 l2的倾斜角
为 .
2
【答案】120o / p
3
【分析】根据两直线平行，倾斜角相等即可.
【详解】直线 l1的斜率为- 3
所以直线 l1的倾斜角为120o，
直线 l1与直线 l2平行
所以直线 l2的倾斜角为120o .
故答案为：120o
33．（2024 高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技
法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反
弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球
成功击入袋中.如图，现有一目标球从点 A -2,3 无旋转射入，经过 x 轴（桌边）上的点 P 反弹后，经过点
B 5,7 ，则点 P 的坐标为 .
1
【答案】 ,0
è10 ÷
【分析】求A 点关于 x 轴的对称点 A ，由题意可知 A , B, P三点共线，利用斜率公式，即得解
【详解】设 P x,0 ，A 点关于 x 轴对称的点 A -2,-3 ，
0 - -3 7 - -3
则 k
3 10
A P = = k = =x - -2 x 2 ， ，+ A B 5 - -2 7
由题意， A , B, P三点共线，
\k = k 3 10 x 1
1
= A P A B ，即 ，解得 = ，故 P 点的坐标为 ,0÷ .x + 2 7 10 è10
1
故答案为： ,0
è10 ÷
四、解答题
34．（2024 高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
1 7
【答案】（1）斜率 ，倾斜角是锐角；（2）斜率- ；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为 90°.
2 3
【分析】（1）（2）过两点的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，当斜率为正时，其倾斜角是锐角，当
斜率为负时，其倾斜角是钝角；（3）由于两点的横坐标相同，所以其斜率不存在，则倾斜角为 90°.
-1- 0 1
【详解】解：（1）kAB= = ，
0 - 2 2
因为 kAB>0，所以直线 AB 的倾斜角是锐角.
-4 - 3 7
（2）kPQ= = - ，
5 - 2 3
因为 kPQ<0，
所以直线 PQ 的倾斜角是钝角.
（3）因为 xM=xN=3，
所以直线 MN 的斜率不存在，
其倾斜角为 90°.
35．（2024 高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) A 2,3 , B 4,5 ；
(2) C - 2,3 , D 2, - 1 ；
(3) P - 3,1 ,Q - 3,10 ．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，-1
(3)不存在
【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.
5 - 3
【详解】（1）由题意，存在，直线 AB 的斜率 kAB = =1．4 - 2
-1- 3
（2）由题意得，存在，直线 CD 的斜率 kCD = = -12 - -2 ．
（3）∵ xP = xQ = -3，
∴直线 PQ的斜率不存在．
36．（2024 高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点 A(-3,4), B(3, 2)，过点P(1,0)的直线 l与线段 AB 有公共点．
(1)求直线 l的斜率 k 的取值范围；
(2)求直线 l的倾斜角a 的取值范围．
【答案】(1) (- ,-1] [1, + ) ．
(2) 45° a 135°．
【分析】（1）由图可知要使直线 l与线段 AB 有公共点，只需直线 l的斜率 k 满足 k kPA或 k kPB ，从而可求
得答案；
（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线 l的倾斜角a 的取值范围．
【详解】（1）因为 A(-3,4), B(3, 2)，P(1,0)，
k 4 - 0 2 - 0所以 PA = = -1, k = =1-3 -1 PB 3 -1
因为直线 l与线段 AB 有公共点，
所以由图可知直线 l的斜率 k 满足 k kPA或 k kPB ，
所以直线 l的斜率 k 的取值范围是 (- ,-1] [1, + ) ．
（2）由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB与PA的倾斜角之间，
因为直线 PB的倾斜角是 45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以a 的取值范围是 45° a 135°．
37．（2024 高二上·全国·课后作业）过 A m2 + 2, m2 - 3 ，B 3- m - m2 , 2m 两点的直线 l 的倾斜角为 45°，求
m 的值．
【答案】-2 .
【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出m 的值.
【详解】因为直线的倾斜角为 45°，所以直线的斜率 k = tan 45° =1，
m2 - 3 - 2m
又 k = =1 2 2 ，整理得m
2 + 3m + 2 = 0，
m + 2 - 3 - m - m
解得m = -1或m = -2，
当m = -1 2时， m + 2 - 3 - m - m2 = 0，不符合，
当m = -2 m2时， + 2 - 3 - m - m2 = 5 0，符合，
综上：m = -2 .
38．（2024 高二·全国·课后作业）已知 A 3,3 , B -4,2 ,C 0,-2 ．
(1)求直线 AB 和 AC 的斜率；
(2)若点 D 在线段 BC（包括端点）上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围．
1 5
【答案】(1)直线 AB 的斜率为 ，直线 AC 的斜率为
7 3
é1 5(2) ùê , 7 3ú
【分析】（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
2 - 3 1
【详解】（1）由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB = = ，-4 - 3 7
3- -2
直线 AC 的斜率 k 5AC = = ，3 - 0 3
1 5
故直线 AB 的斜率为 ，直线 AC 的斜率为 .
7 3
（2）如图所示，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的倾斜角增大且为锐角，
直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC ，
1 5
所以直线 AD é ù的斜率的变化范围是 , ．
ê7 3ú
39．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点 A -2, -4 , B 2,0 ,C -1,1 .
(1)求直线 AB 的斜率和倾斜角；
(2)若 A, B,C, D 可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
(3)若E m,n n是线段 AC 上一动点，求 的取值范围.
m - 2
π
【答案】(1)斜率为 1，倾斜角为 ；
4
(2) 3,5 ；
é 1 ù
(3) ê- ,1 3 ú
.
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设D x, y ，根据 kAB = kCD , kAC = kBD 求解即可；
n
(3) 因为 表示直线 BE 的斜率,求出E 与点C 重合时，直线BC 的斜率；E 与点A 重合时，直线 BE 的斜
m - 2
率即可得答案.
-4
【详解】（1）解：因为直线 AB 的斜率为 =1 .
-2 - 2
π
所以直线 AB 的倾斜角为 ；
4
（2）解：如图，当点D在第一象限时， kAB = kCD ,kAC = kBD .
ì y -1
=1 x +1 ìx = 3
设D x, y ，则 í y 1 4 ，解得+ í ， y = 5=
x - 2 -1+ 2
故点D的坐标为 3,5 ；
n
（3）解：由题意得 为直线 BE 的斜率.
m - 2
1 1
当点E 与点C 重合时，直线 BE 的斜率最小， kBC = = - ；-1- 2 3
当点E 与点A 重合时，直线 BE 的斜率最大， kAB = 1 .
é 1 ù
故直线 BE 的斜率的取值范围为 ê- ,1 3 ú
，
n é 1 ù
即 的取值范围为 - ,1 .
m - 2 ê 3 ú2.1.1 倾斜角与斜率 6 题型分类
1．直线的倾斜角：
(1)当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的
倾斜角．
(2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.
(3)直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率：
把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)斜率与倾斜角的对应关系：
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式：
y2－y1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ .x2－x1
（一）
直线的倾斜角
1、直线的倾斜角：
(1)当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的
倾斜角．
(2)直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤α<180°.
2、直线倾斜角的概念和范围：
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨
论．
(2)注意倾斜角的范围．
题型 1：求直线的倾斜角
1-1．（2024 高二·江苏·假期作业）若直线 l经过点M (2,3), N (4,3)，则直线 l的倾斜角为（ ）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
1-2．（2024 高二下·全国·课后作业）已知点 A 2,1 ，B 3,2 ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D．135°
1-3．（2024 高二·江苏·假期作业）已知一直线经过两 A(1, 2)，B(a,3)，且倾斜角为135°，则 a的值为（ ）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
1-4．（2024 高二上·浙江温州·期末）已知 3, - 3 是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
1-5．（2024 高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线 l经过 A -1,4 ，B 1,2 两点，则直线 l的倾斜角为（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
（二）
直线的斜率
1、直线的斜率：
(1)倾斜角求斜率：
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)两点求斜率：
y2－y1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 k＝ .
x2－x1
2、求直线的斜率：
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关．
题型 2：求直线的斜率
2-1．（山东省滨州高新高级中学 2023-2024 学年高一下学期 3 月月考数学试题（春考班））过点 P( - 2，m)，
Q(m，4)的直线的斜率为 1，那么 m 的值为（ ）
A．1 或 4 B．4 C．1 或 3 D．1
3p
2-2．（2024 高二上·天津河西·期中）已知直线的倾斜角是 ，则该直线的斜率是（ ）
4
A．-1 B 3 C 3．- ．- D．1
3
2-3．（2024 高二·全国·课后作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再
求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)C(-3,4), D(2,4) ；
(2) P(0,0),Q(-1, 3)；
(3) M (-3, 2), N (- 2,3) ；
(4) E(7,0),Q(7,- 2) ．
（三）
倾斜角与斜率的关系
1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线
垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)．
2、直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程
度越大；当 90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
题型 3：倾斜角与斜率的关系
3-1．（2024 高二上·四川宜宾·期末）设直线 l的斜率为 k ，且- 3 k 1，则直线 l的倾斜角的取值范围为
（ ）
é0, π é2π é π 5π A． ê ÷U ê , π ÷ B．4 3 ê
0,
4 ÷
U , π ÷
è 6
é π
C． ê ,
5π é π é5π
÷ D． 0, ÷ U , π ÷
4 6 ê 4 ê 6
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l 的斜率为 k ，且-1 k 3 ，则直线 l的倾斜角a 的取值范围为
（ ）
é0, π U 3π é π é3π A． ê 3 ÷
, π
4 ÷
B． ê0, 6 ÷
U , π ÷
è ê 4
π 3π é π
C． , ÷ D． ê0, ÷ U
é3π
ê , π
6 4 3 4 ֏
3-3．（2024 高二上·江苏连云港·期末）经过两点 A 1,m ，B m -1,3 的直线的倾斜角是锐角，则实数 m 的范
围是（ ）
A． (- , -3) (-2, + ) B． (-3, -2)
C． (2,3) D． (- , 2) (3,+ )
（四）
直线斜率的应用
1、三点共线问题
（1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．
①若都不存在，则三点共线；
②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
（2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是
否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论．
2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点,
y2－y1
（1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且 k＝tanα＝ ，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相x2－x1
等的两点 ；
y－y0 y－y0
（2）在求形如 的式子的最值时，可以将 看作动点 P（x，y）与定点 Q（x0，yx x x x 0
）所确定的直线的
－ 0 － 0
斜率，数形结合求出最值或取值范围.
题型 4：三点共线问题
4-1．（2024 高二上·山西临汾·期末）若三点 A 2, -3 , B 4,3 ,C 5,b 在同一直线上，则实数b 等于（ ）
A．-12 B．-6 C．6 D．12
4-2．（2024 高二上·安徽六安·阶段练习）已知点 A 0, -8 ，B 2, -2 ，C 4, m ，若线段 AB ， AC ，BC 不能
构成三角形，则m 的值是 .
4-3．（2024 高二上·山西临汾·期中）三点 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一条直线上，则m 值为（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
题型 5：利用直线斜率的几何意义求最值
y +1
5-1．（2024·湖南衡阳· 1模拟预测）点M x1, y x1 在函数 y = e 的图象上，当 x1 0,1 ，则 x -1 的取值范围为 .1
y + 3
5-2．（2024 高二·全国·专题练习）若实数 x 、 y 满足 y = -x + 3，-1 x 1，则代数式 的取值范围为
x + 2
2 + y
5-3．（2024 高一上·四川达州·期末）点M (x, y)在函数 y = 2x + 4 的图象上，当 x [2,5]时， 的取值范围是
x +1
（ ）
é7 , 8ù é8 ,10 ùA． ê B 3 3ú
．
ê3 3 ú
é5 ,16 ù é5 8ùC． ê ú D． , 3 3 ê 3 3ú
题型 6：直线与线段的相交关系求斜率的范围
6-1．（2024 高二上·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点 A -1,1 , B 1,1 ,C 2, 3 +1 ，D为VABC 的边 AC
上一动点，则直线BD斜率 k 的变化范围是（ ）
é
0, 3
ù é
A 3
． ê ú B． - ,0 ê 3 , + ÷ 3
é 3 ù
C． ê , 3 D． - ,0 é 3, +
3
ú
6-2．（2024 高一上·宁夏中卫·期末）已知 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直线 l过定点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l的
斜率 k 的取值范围是( )
A．-4
3 3
k B． k 4 k
1 3
C． D． k -4或 k
4 4 2 4
6-3．（2024 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知两点 A 2, -1 ，B -5,-3 ，直线 l过点 1,1 ，若直线 l与线段 AB
相交，则直线 l的斜率取值范围是（ ）
2- , -2 é , + éA． ê ÷ B． ê-2,
2ù
3 3ú
é 2
C． ê- , 2
ù 2 ù
D． - , - 2, +
3 ú è 3 ú
6-4．（2024 高二上·江苏南通·阶段练习）经过点P 0, -1 作直线 l，且直线 l 与连接点 A 1, -2 ，B 2,1 的线
段总有公共点，则直线 l 的倾斜角a 的取值范围是 ．
6-5．（2024 高三·全国·专题练习）直线 l过点M -1,2 ，且与以P -4, -1 、Q 3,0 为端点的线段相交，则直
线 l的斜率的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024 高二上·江苏南京·期末）若直线经过 A(1,0)，B(4, 3) 两点，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．135°
2．（2024 高二上·全国·课后作业）对于下列命题：①若q 是直线 l 的倾斜角，则0° q 180°；②若直线倾
斜角为a ，则它斜率 k = tana ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一
定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2π
3．（2024 高二下·河南安阳·开学考试）已知点 A 2,3 , B -1, x ，直线 AB 的倾斜角为 ，则 x =（ ）
3
A．3- 3 3 B 3 3． + C．3 + 3 3 D．6
3
4．（2024 高二上·四川南充·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合
力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有 10 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已
知拉索上端相邻两个针的间距 PiPi+1 （ i =1，2，…，9）均为3.8m，拉索下端相邻两个针的间距 Ai Ai+1
（ i =1，2，…，9）均为15m ．最短拉索的针P1， A1，满足 OP1 = 60m， OA1 = 80，则最长拉索所在直线的
斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42
5．（2024 高二上·四川）已知直线 l经过第二、四象限，则直线 l的倾斜角a 的取值范围是（ ）.
A．0o a 90o B．0o a 180o C．90o a 180o D．90o a 180o
6．（2024 高二上·全国·课后作业）若如图中的直线 l1, l2 , l3 的斜率为 k1, k2 ,k3 ，则（ ）
A． k1 k2 k3 B． k3 k1 k2 C． k2 k1 k3 D． k3 k2 k1
7．（2024 高二上·贵州黔西·期末）已知直线 l的倾斜角为30o ，则直线 l的斜率为（ ）
1
A B 3． ． C 2 3． D．
2 2 2 3
8．（2024 高一上·福建福州·期末）若直线的倾斜角为 120°，则直线的斜率为（ ）
A． 3 B．- 3 C 3 D 3． ．-
3 3
9．（2024 高一下·河北邯郸·期末）图中的直线 l1, l2 , l3 的斜率分别为 k1, k2 ,k3 ，则有（ ）
A． k1 k2 k3 B． k1 > k2 > k3
C． k1 k3 k2 D． k3 k1 k2
π
10．（2024 高二上·湖南娄底·期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）
3
A 3． B．- 3 C． 3 D．± 3
2
π
11．（2024 高二上·湖北武汉·期末）已知直线 l的倾斜角为a ，斜率为 k ，那么“ k >1”是“a > ”的（
4 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2024 高一上·江西景德镇·期末）已知三点 A m,1 ，B 4,2 ，C -4,2m 在同一条直线上，则实数m 的值
为（ ）
A．0 B．5 C．0 或 5 D．0 或-5
13．（2024 高二下·湖北荆州·阶段练习）若直线经过两点 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 ，且其倾斜角为 135°，则 m
的值为（ ）
1 1 3
A．0 B．- C． D．
2 2 4
14．（2024 高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
r
15．（2024 高二上·辽宁大连·期末）若直线 l 的方向向量是 e = 1, 3 ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
16．（2024 高二上·江西赣州·阶段练习）设点 A(2, -3) B(-3, -2)，若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交，则
直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
k 3 3 1A． 或 k -4 B． k 或 k -
4 4 4
3 3
C．-4 k D．- k 4
4 4
17．（2024 高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点 A(-1- 3, -1), B(3,0) ，若点M (x, y)
y - 2
在线段 AB 上，则
x +1
的取值范围是（ ）
1
A． - , -
ù
ú [ 3,
1
+ ) é ùB．
è 2 ê
-1, -
2 ú
é 1 1 ù
C． (- , -1]U[ 3,+ ) D． - ,
ê 2 2 ú
18．（2024 高二上·广东深圳·期中）已知点 A -2, -1 ，B 3,0 ，若点M x, y y - 2在线段 AB 上，则 的取值
x +1
范围（ ）
A． - ,
1
- ù
1
ú 3,+ B
é
． ê- ,3
ù
è 2 2 ú
C． - , -1 U 3, + D． -1,3
19．（2024 高三上·新疆昌吉· 2期中）坐标平面内有相异两点 A cosq ,sin q ，B(0,1)，经过两点的直线的的倾
斜角的取值范围是（ ）
p p p ù é3p
A é ù． ê- , ú B． 0, ú U ê ,p
4 4 ÷ è 4 4
é0, p ù é3p ép 3p ùC．
ê 4 ú
ê ,p ÷ D． ê , 4 4 4 ú
20．（2024 高三上·新疆）1949 年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正
向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相
近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中
心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边 AB 所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
21．（2024 高二·全国·期中）已知直线斜率为 k，且-1 k 3 ，那么倾斜角a 的取值范围是（ ）
é0, p ù U ép , 3p é0, p ù é3pA． ê ú ê ÷ B． ê ú ,p
3 ÷ 2 4 3 ê 4
é0, p ù U ép 3p C é
p ù é3p
．
ê 6 ú ê
,
2 4 ÷
D． 0,
ê 6 ú
U ,p ÷
ê 4
22．（2024·四川绵阳·二模）已知直线 l的方程为 x sina + 3y -1 = 0，a R，则直线 l的倾斜角范围是（ ）
π ù é2 π 5π
A． 0,
é ù é
è 3 ú
ê π, π ÷ B． ê0, ú U ê , π3 6 6 ÷
π 5π é π 2π ùC． é ùê 6 , 6 ú D． ê , 3 3 ú
二、多选题
π π
23．（2024 高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知经过点 A 5,m 和B 2,8 的直线的倾斜角q ,6 3 ÷，则实数
m
è
的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
24．（2024 高二·全国·课后作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线 l1， l2， l3 ，其对应的斜率
分别为 k1， k2 ， k3 ，则下列选项中错误的是（ ）
A． k3 > k1 > k2 B． k1 - k2 > 0
C． k1 × k2 0 D． k3 > k2 > k1
25．（2024 高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线 l1， l2， l3 ， l4，斜率分别是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，
倾斜角分别是a1，a2，a3 ，a4 ，则下列关系正确的是（ ）
A． k2 k1 k4 k3 B． k3 k2 k1 k4 C．a2 a1 a4 a3 D．a3 a2 a1 a4
26．（2024 高三·全国·专题练习）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 0,p
C．若一条直线的斜率为 tana ，则此直线的倾斜角为a
D．若一条直线的倾斜角为a ，则此直线的斜率为 tana
三、填空题
27 o．（2024 高二上·全国·课前预习）已知直线 l1的倾斜角a1 =15 ，直线 l1与 l2的交点为A ，直线 l1和 l2向上的
方向所成的角为120o，如图，则直线 l2的倾斜角为 ．
28．（2024 高二上·广西百色·期末）已知直线 l过点P 1,0 且与以 A 2,1 ，B 4, -3 为端点的线段 AB 有公共
点，则直线 l斜率的取值范围为 ．
29．（2024·湖南株洲·一模）过原点的直线 l 与曲线 y = ex-1交于不同的两点 A，B，过 A，B 作 x 轴的垂线，
与曲线 y = ln x 交于 C，D 两点，则直线 CD 的斜率为 ．
30．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l 的斜率为 k，且 k - 3,
3
÷÷，则直线 l 的倾斜角的取值范围
è 3
是 ．
31．（2024 高二·江苏·假期作业）若经过点 P(1- a,1) 和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数 a的取值范围
是 ．
32．（2024 高二下·上海闵行·开学考试）若直线 l1与直线 l2平行，直线 l1的斜率为- 3 ，则直线 l2的倾斜角
为 .
33．（2024 高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技
法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反
弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球
成功击入袋中.如图，现有一目标球从点 A -2,3 无旋转射入，经过 x 轴（桌边）上的点 P 反弹后，经过点
B 5,7 ，则点 P 的坐标为 .
四、解答题
34．（2024 高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
35．（2024 高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) A 2,3 , B 4,5 ；
(2) C - 2,3 , D 2, - 1 ；
(3) P - 3,1 ,Q - 3,10 ．
36．（2024 高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点 A(-3,4), B(3, 2)，过点P(1,0)的直线 l与线段 AB 有公共点．
(1)求直线 l的斜率 k 的取值范围；
(2)求直线 l的倾斜角a 的取值范围．
37．（2024 高二上·全国·课后作业）过 A m2 + 2, m2 - 3 ，B 3- m - m2 , 2m 两点的直线 l 的倾斜角为 45°，求
m 的值．
38．（2024 高二·全国·课后作业）已知 A 3,3 , B -4,2 ,C 0,-2 ．
(1)求直线 AB 和 AC 的斜率；
(2)若点 D 在线段 BC（包括端点）上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围．
39．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点 A -2, -4 , B 2,0 ,C -1,1 .
(1)求直线 AB 的斜率和倾斜角；
(2)若 A, B,C, D 可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
n
(3)若E m,n 是线段 AC 上一动点，求 的取值范围.
m - 2
