2.2 直线的方程 9 题型分类
一、直线的点斜式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程：
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直线与 y 轴交点(0,b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距
二、直线的两点式方程
直线的两点式方程和截距式方程：
名称 两点式 截距式
在 x，y 轴上的截距分别为 a，
两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
条件 b
(x1≠x2，y1≠y2)
(a≠0，b≠0)
示意图
y－y1 x－x1 x y
方程 ＝ ＋ ＝1
y2－y1 x2－x1 a b
适用范围 斜率存在且不为 0 斜率存在且不为 0，不过原点
三、直线的一般式方程
1．直线的一般式方程：
关于 x 和 y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．直线的五种形式的方程：
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
y－y1 x－x1
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
y2－y1 x2－x1
x y
截距式 ＋ ＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a b
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
3．直线各种形式方程的互化：
（一）
直线的点斜式方程
1．直线的点斜式方程：
过点 P(x0，y0)且斜率为 k 的直线的方程：y－y0＝k(x－x0).
2．两种特殊的直线：
(1)垂直于 x 轴的直线：如图，过定点P x0 , y0 ，倾斜角为 90°，斜率不存在，没有点斜式，其
方程为 x - x0 = 0或 x = x0 .
(2)平行于 x 轴（或与 x 轴重合）的直线：如图，过定点P x0 , y0 ，倾斜角为 0°，斜率为 0，其
点斜式方程为 y = y0 .
3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率 k→写出方程 y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示过点 P(x0，y0)的所有直线，但 x＝x0除外．
题型 1：求直线的点斜式方程
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）过点P(3, -4)且与过点 A(-1,3) 和B(2, 2) 的直线平行的直线方程
为 ．
1-2．（2024 高二下·安徽池州·阶段练习）过点 (- 3,5)且倾斜角为 150°的直线 l 的方程为（ ）
A． y = - 3x + 2 B 3． y = - x + 4
3
C y = 3x + 8 D y 3． ． = x + 6
3
1-3．（2024 高二上·全国·课后作业）点P(-1,3)在直线 l 上的射影为Q(1, -1)，则直线 l 的方程为（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
1-4．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l 经过点 P 且倾斜角为 α，求直线 l 的点斜式方程．
p
(1)P（2，3），a = ；
4
2
(2)P（-2，-1），a = p ；
3
a p(3)P（-5，-1）， = ．
2
（二）
直线的斜截式方程
1．直线的斜截式方程:
斜率为 k 且在 y 轴上的截距为 b 的直线方程：y＝kx＋b.
2．(1)直线的斜截式 y = kx + b是直线点斜式 y - y0 = k x - x0 的特例.
(2)一条直线与 y 轴的交点为 0,b 的纵坐标叫做直线在 y 轴上的截距.
特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程.
3.求直线的斜截式方程的策略:
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程 y＝kx＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
题型 2：求直线的斜截式方程
2-1．（2024 高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线 l的倾斜角为60o，且 l在 y 轴上的截距为-1，则直线 l的
方程为（ ）
A y 3． = - x -1 B． y 3= - x +1
3 3
C． y = 3x -1 D． y = 3x +1
2-2．（2024 高二上·全国·课前预习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是 2，在 y 轴上的截距是-3；
(2)倾斜角为60°，在 y 轴上的截距是6 ；
(3)倾斜角为30°，在 y 轴上的截距是0 ．
2-3．（2024 高二·江苏·假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；
(2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
2-4．（2024 高一下·上海杨浦·期末）直线 l： y = 2x -1绕着点 A 1,1 π逆时针旋转 与直线 l1重合，则 l4 1的斜
截式方程是 .
a c
2-5．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l 的方程 y = - x - 中， ab 0， ac < 0，则此直线必不经过
b b
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1
2-6．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l 与直线 y = x + 4 互相垂直，直线 l 与直线 y = x + 6在 y 轴上
2
的截距相等，则直线 l 的方程为 .
2-7．（2024 高二·全国·课后作业）已知 k R ，b = k 2 - 2k + 3，则下列直线的方程不可能是 y = kx + b的是
（ ）
A． B．
C． D．
（三）
直线的两点式方程
1．直线的两点式方程：
y－y1 x－x1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程： ＝ .
y2－y1 x2－x1
2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.
(2)两点式变形为 y - y1 x2 - x1 = y2 - y1 x - x1 ,其可以表示任何直线.
3.利用两点式求直线的方程：
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，
再用点斜式写方程．
题型 3：求直线的两点式方程
3-1．（2024 高二上·浙江温州·期末）过两点 A 3, -5 ，B -5,5 的直线在 y 轴上的截距为（ ）
5 5 2 2
A．- B． C．- D．
4 4 5 5
3-2．（2024 高二上·浙江）已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，
(1)求 BC 边所在的直线方程；
(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
3-3．（2024 高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
3-4．（2024 高一·全国·课后作业）已知点 A(3,2)，B(－1,4)，则过点 C(2,5)且过线段 AB 的中点的直线方程
为
（四）
直线的截距式方程
1．直线的截距式方程：在 x，y 轴上的截距分别为 a，b（其中 a≠0，b≠0）的直线方程：
x y
＋ ＝1.
a b
2．截距的概念：
(1)横截距：直线与 x 轴交点的横坐标；在直线方程中，令 y=0，解出 x；
(2)纵截距：直线与 y 轴交点的横坐标；在直线方程中，令 x=0，解出 y.
3.截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其
系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
题型 4：求直线的截距式方程
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）过点(2，1)且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程
为 .
4-2．（2024 高二上·全国·课后作业）过点 (3, -4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
y=- x- 1 y 4 4A． B． = x C． y = - x y
4
D． = - x或 y=- x- 1
3 3 3
4-3．（2024 高二·全国·课后作业）求过点 A(5,2) ，且在 y 轴上的截距是 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l的方程．
（五）
直线的一般式方程
1.直线的一般式方程：
关于 x 和 y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2.求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之
一求方程，然后转化为一般式．
3.含参直线方程的研究策略
(1)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则需满足 A，B 不同时为 0.
(2)令 x＝0 可得在 y 轴上的截距．令 y＝0 可得在 x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一
般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
题型 5：求直线的一般式方程
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）△ABC 的三个顶点分别为 A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).
(1)分别求边 AC 和 AB 所在直线的方程；
(2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程；
(3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程；
(4)求 AC 边上的高所在直线的方程；
(5)求经过两边 AB 和 AC 的中点的直线方程．
5-2．（2024 高二上·辽宁锦州·阶段练习）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式．
1
(1)斜率是- ，且经过点 A 8,-6 ；
2
3
(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 和-3；
2
(3)经过点P1 3, -2 ，P2 5,-4 ；
r
(4)经过点 2,-3 ，且一个方向向量为 a = 2,4 ．
5-3．（2024 高二下·上海宝山·期末）若 ab < 0 ，bc < 0 ，则直线 ax +by + c = 0不经过第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
5-4．（2024 高二下·上海）如果 AB 0且 BC < 0 ，那么直线 Ax + By + C = 0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
5-5．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 Ax + By + C = 0在 x 轴的截距大于在 y 轴的截距，则 A、B、C
应满足条件（ ）
C C C C
A． A B B． A < B C． + 0 D． - < 0
A B A B
题型 6：由一般式方程判断直线的平行、垂直
6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体 2023-2024 学年高二上学期期中理科数学试题）若直线
x + 1+ m y - 2 = 0和直线mx + 2y + 4 = 0平行，则m 的值为（ ）
2
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-
3
6-2．（2024 高二下·海南·学业考试）若直线 x + 2y -1 = 0与mx - 2y + 2 = 0平行，则实数m 的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D． 2
6-3．（2024 高二下·湖北孝感·期中）“ m = -2 ”是“直线 m +1 x + y +1 = 0与直线 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂
直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6-4．（2024 高二上·福建福州·期末）若直线 l1 : mx + 3y + 4 = 0与直线 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，则 m 的值
为（ ）
A．2 B．-3 C．2 或-3 D．-2或-3
6-5．（2024 高二上·福建）“ a = 3”是“直线 ax + 2y + 3a = 0和直线3x + (a -1)y - (a - 7) = 0平行且不重合”的
（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
6-6．（2024 高二下·上海黄浦·阶段练习）直线 l1 : px + 3y +1 = 0 与直线 l2 : 6x - 2y - 5 = 0垂直，则 p 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．-9 D．9
6-7．（2024 高二上·安徽·阶段练习）已知直线mx + 4y - 2 = 0与直线 2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足为 1, p .
则m + n - p 等于（ ）
A． 24 B． 20 C． 4 D．0
题型 7：由两条直线平行、垂直求直线方程
7-1．（2024 高二·贵州贵阳·阶段练习）过点 (1, 2)且垂直于直线3x - 2y + 5 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x + 3y -8 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C．3x - 2y +1 = 0 D． 2x + 3y + 8 = 0
7-2．（2024 高二下·上海浦东新·期中）过点 1,1 且与直线 x + 2y -1 = 0平行的直线方程为 .
7-3．（2024 高二上·四川凉山·期末）已知直线 l 过点 A(2, -3) ，且与直线 y = x +1平行，则直线 l 的方程为
（ ）
A． x - y + 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x - y - 2 = 0 D． x - y - 5 = 0
7-4．（2024 高二下·新疆伊犁·期中）过点P(-1,3)且垂直于直线 x + 2y - 3 = 0 的直线方程为 （ ）
A． x + 2y + 5 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 5 = 0 D． 2x - y - 5 = 0
题型 8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题
9
8-1．（2024 高二·全国·课后作业）求过点Q(5, 2) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 的直线 l的方程．
2
8-2．（2024 高一下·江苏扬州·期中）如图所示，已知VABC是以 AB 为底边的等腰三角形，点 A 1，4 ，
B 3，2 ，点 C 在直线： x - 2y + 6 = 0上．
（1）求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程；
（2）设直线 CD 与 y 轴交于点D 0，3 ，求VACD的面积．
8-3．（2024 高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系 xOy 内，经过点 P 2,3 的直线分别与 x 轴、 y 轴的正半
轴交于A ， B 两点，则△OAB面积最小值为 ．
8-4．（2024 高一下·湖南长沙·期末）过点 P（1，1）作直线 l，与两坐标轴相交所得三角形面积为 1，则直
线 l 有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
8-5．（2024 高三·全国·对口高考）已知直线 l：3x + 4y - 7 = 0，则与已知直线 l 平行且与两坐标轴围成的三
角形的面积为 6 的直线方程为 ．
（六）
直线过定点问题
解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直
线方程化为 f (x, y) + kg(x, y) = 0 直线系过定点问题:
解含参数的直线恒过定点问题的策略:
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线
的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其
A x＋B y＋C ＝0，
中 λ 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组{ 1 1 1A2x＋B2y 解＋C2＝0
得．若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
f (x, y) = 0
,求解 ，即可得出定点坐标.
g(x, y) = 0
题型 9：直线的恒过定点问题
9-1．（2024 高一下·浙江宁波·期中）已知点 A 1,3 , B -2,-1 .若直线 l : y = k x - 2 +1与线段 AB 相交,则 k
的取值范围是（ ）
1
A． k B． k -2
2
1 1
C． k 或 k -2 D．-2 k
2 2
9-2．（2024 高二上·全国·课后作业）不论 m 取何值，直线 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 都过定点（ ）
A． 1,
1
- ÷ B． (-2,1) C． (2,3) D． (-2,3)
è 2
9-3．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 kx - y +1 = 3k ，当 k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． 0,0 B． 0,1 C． 3,1 D． 2,1
9-4．（2024·吉林通化·模拟预测）若直线 kx - y + 2k -1 = 0恒过点 A，点 A 也在直线mx + ny + 2 = 0上，其中
m, n均为正数，则mn的最大值为（ ）
A 1
1
． 4 B． C．1 D．22
9-5．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直线 l方程： kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)，若 l不经过第二象限，则 k
的取值范围为（ ）
A． k 1 B． k 0 C．0 k 1 D． k 0
9-6．（2024 高一上·河南周口·阶段练习）不论 k 为何实数，直线 2k -1 x - k + 3 y - k -11 = 0恒通过一个定
点，这个定点的坐标是（ ）
A． 5,2 B． 2,3
5,9 1C． D． - ,3
÷
è 2
一、单选题
1．（2024 高二上·全国·课后作业）过两点 0,3 , 2,1 的直线方程为( )
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 3 = 0
C． x + y + 3 = 0 D． x - y + 3 = 0
2．（2024 高二上·广西河池·阶段练习）过点 A 1,2 在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． y = 2x B． x + y - 3 = 0
C． x = y 或 x + y - 3 = 0 D． y = 2x或 x + y - 3 = 0
3．（2024 高二上·湖南·阶段练习）已知直线 l过点G 1, -3 ，H -2, 1 ，则直线 l的方程为（ ）
A． 4x + y + 7 = 0 B． 2x - 3y -11 = 0 C． 4x + 3y + 5 = 0 D． 4x + 3y -13 = 0
4．（2024 高二·江苏·课后作业）过两点 -2,4 和 4, -1 的直线在 y 轴上的截距为（ ）
14 14 7 7
A． B．- C． D．-
5 5 3 3
5．（2024 高二·全国·课后作业）过P1(2,0), P2(0,3)两点的直线方程是（ ）
x y x y
A． + = 0 B． - =1
3 2 3 2
x y x y
C． + =1 D． - =1
2 3 2 3
6．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l 过点 A(-1,1), B(2, 4)，则直线 l 的方程为（ ）
A． y = x - 2 B．y = -x - 2 C． y = -x + 2 D． y = x + 2
7．（2024 高二上·山东枣庄·期末）过点 A 2,3 且与直线 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直线方程是（ ）
A． x - 2y + 4 = 0 B． 2x + y - 7 = 0
C．2x - y -1 = 0 D． x + 2y -8 = 0
8．（2024 高二下·湖北·阶段练习）直线 4x + 2y -1 = 0与直线 ax + 4y = 0垂直，则 a等于（ ）
A． 2 B．-2 C．1 D．-1
9．（广西南宁市第二十六中学等 3 校 2023-2024 学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线 l过点
-1,2 且与直线 2x - 3y + 4 = 0垂直，则 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y + 5 = 0 B．3x + 2y + 7 = 0
C．3x + 2y -1 = 0 D． 2x - 3y + 8 = 0
10．（2024 高二上·全国·课后作业）经过点 (1, 2)，且与直线 2x + y -10 = 0垂直的直线方程为（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
11．（2024 高二下·天津北辰·阶段练习）过点 -1,3 且平行于直线 2x - 3y +1 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x - 3y +11 = 0 B．3x + 2y - 3 = 0 C． 2x - 3y - 7 = 0 D．3x + 2y + 3 = 0
12．（2024 高三上·江西新余·期末）已知直线 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0与直线 l2；mx + m + 2 y +1 = 0相互平
行，则实数m 的值是（ ）
A．-4 B．1 C．-1 D．-4或 1
1
13．（2024 高二上·广东肇庆·期末）“ a = ”是“直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 a -1 x - ay -1 = 0 平行”的（
2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024 高二上·河北唐山·期中）直线 l： x - 2y + 3 = 0的斜率和在 x 轴上的截距分别为（ ）
1 1 1 1
A． ，3 B． ，-3 C．- ，3 D．- ，-3
2 2 2 2
15．（2024 高二上·江苏苏州·期末）直线 x - 3y + 4 = 0的倾斜角是（ ）
π π 2π
A． B． C． D． π
3 6 3
1
16．（2024 高二下·新疆塔城·开学考试）过点 (1, -1) 且斜率为 的直线 l的方程是（ ）
2
A．3x + 2y - 7 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． x - 2y - 3 = 0 D． x - 2y + 3 = 0
17．（2024 高二上·广东江门·期末）直线 Ax + By + C = 0（ A, B不同时为 0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论 A, B取任何值，直线都存在斜率 B．当 A = 0 ，且B 0时，直线只与 x 轴相交
C．当 A 0，或B 0时，直线与两条坐标轴都相交 D．当 A 0，且B = 0 ，且C = 0时，直线是 y
轴所在直线
18．（2024 高二上·全国·课后作业）经过点 (1,2) ，且平行于直线 2x - 3y + 5 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x - 3y + 4 = 0 B． 2x - 3y + 2 = 0 C．3x - 2y + 4 = 0 D．3x - 2y + 2 = 0
19．（2024·北京丰台·二模）“ a =1”是“直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2024 高二上·上海宝山·期末）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的
点，则关于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
二、多选题
21．（2024 高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．过定点P0 x0 , y0 的直线都可用方程 y - y0 = k x - x0 表示
B．过定点 A 0,b 的直线都可用方程 y = kx + b表示
C．过任意两个点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线都可用方程
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 表示
x y
D．不过原点的直线都可用方程 + =1表示
a b
22．（2024 高二上·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
y - y
A 1． x - x ＝k 不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线方程1
x y
B．在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b 的直线方程为 + =1
a b
C．直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b
D．过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0
23．（2024 高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 x - y - 3 = 0
9
与两坐标轴围成的三角形的面积是
2
B．若三条直线 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能构成三角形，则实数 a的取值集合为 -1,1
C．经过点 (1, 2)且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 3 = 0或 x - y +1 = 0
D．过 (x1, y1), (x2 , y2 )两点的直线方程为 ( y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)( y2 - y1)
24．（2024 高二上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式 y - y1 = k x - x1 可以表示任何直线
B．过 x1, y1 、 x2, y
y - y1 x - x1
2 两点的直线方程为 =y2 - y1 x2 - x1
C．直线 x - 2y - 4 = 0与直线 2x + y +1 = 0相互垂直．
D．直线 y = 4x - 2 在 y 轴上的截距为-2
三、填空题
25．（2024 高三·全国·课后作业）经过点 -3,1 和点 2, -2 的直线方程是 .
26．（2024 高二·江苏·假期作业）不论 a取何值时，直线 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒过第 象限．
27．（2024 高二上·全国·课后作业）倾斜角为30°，且过点 (-2,0) 的直线斜截式方程为 ．
28．（2024 高二上·全国·专题练习）若直线过点 1,1 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2，则这样的直
线有 条.
29．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 18，
则直线 l 的方程为 .
30．（2024 高一上·广东广州·期末）求过点P 2,3 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
31．（2024 高二下·上海闵行·阶段练习）过点 5,2 ，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是 ．
32．（2024 高二下·上海普陀·期中）若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1，且 x1 x2 ，则经过 A x1,y1 、B x2 ,y2 的直
线 l的一般方程为
33．（2024 高二上·重庆长寿·期末）经过点 (1, 2)且与直线2x - y +1 = 0垂直的直线方程是 ．（用一
般式表示）
34．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线 l : kx - y +1+ 2k = 0，若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则实
数 k 的值为 ；若直线 l 不经过第三象限，则 k 的取值范围是 .
四、解答题
35．（2024 高二·全国·专题练习）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在 x，y轴上的截距分别为
-3，-1.
36．（2024 高二上·山东济宁·期中）已知VABC 的顶点分别为 A(2,4),B(0,-2),C(-2,3)，求：
(1)直线 AB 的方程 ;
(2)AB 边上的高所在直线的方程 ;
37．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l 经过点 A(-2,1)，B(3, -3)，求直线 l 的方程，并求直线 l 在
y 轴上的截距.
38．（2024 高二下·湖北宜昌·阶段练习）设直线的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0, a R .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 a 的值.
39．（2024 高二下·上海·课后作业）直线 l过点 P(-2,3)，且与两轴围成的三角形面积为 4，求直线 l的方程.
1
40．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，
2
求直线 l 的方程．
41．（2024 高一下·安徽·阶段练习）已知点 A（5，1）关于 x 轴的对称点为 B（x1，y1），关于原点的对称
点为 C（x2，y2）.
(1)求△ABC 中过 AB，BC 边上中点的直线方程；
(2)求△ABC 的面积.
42．（2024 高二·全国·专题练习）VABC 的三个顶点是 A 4,0 ，B 6,7 ，C 0,3 ，求：边 BC 上的中线所
在直线的方程；
43．（2024 高二上·湖北·阶段练习）已知直线 l : kx - y +1+ 2k = 0 k R .
（1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，求VAOB 面积的最小值；
（3）已知P 1,5 ，若点 P 到直线的距离为 d，求 d 最大时直线的方程.
44．（2024 高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线 l： 2a + 3 x - a -1 y + 3a + 7 = 0， a R .
(1)证明直线 l过定点A ，并求出点A 的坐标；
1
(2)在（1）的条件下，若直线 l 过点A ，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 ，求直线 l 的方程；
2
(3)若直线 l不经过第四象限，求 a的取值范围.
45．（2024 高一下·山东滨州·阶段练习）已知直线 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0与 l2 : x + my - 7 = 0垂直，求m .
46．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直线 l过点M 3,2 ．
(1)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程；
(2)若 l与 x 轴正半轴的交点为A ，与 y 轴正半轴的交点为 B ，求VAOB （O为坐标原点）面积的最小值．
47．（2024 高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为 y + 2 = k x +1 ．
(1)若直线的倾斜角为135o，求 k 的值；
(2)若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O为坐标原点，求VAOB 面积的最小值及此时直线的
方程．
48．（2024 高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线 l : 3 m +1 x + my - 6m - 4 = 0，
(1)求证：直线 l 恒过定点，并求出定点 P 的坐标；
(2)若直线 l 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于A 、 B 两点，O为坐标原点，是否存在直线 l 同时满足下列条件：
①VAOB 的周长为12；②VAOP 的面积为 4 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
49．（2024 高三·全国·专题练习）已知直线 l过点M (2,1)，且分别与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴交于 A, B
两点，O为原点，当VAOB 面积最小时，求直线 l的方程．
50．（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线 l的方程为： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0．
(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；
(2)过点M 引直线 l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 l1的方程．
51．（2024 高二·全国·课后作业）过点P 2,1 作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A，B 两点.
(1)求 | OA | × | OB |的最小值，及此时直线 l 的截距式方程；
(2)求 | PA | × | PB |的最小值，及此时直线 l 的截距式方程.
52．（2024 高二下·上海金山·期中）已知直线 l： kx - y +1+ 2k = 0 ， k R
（1）直线过定点 P，求点 P 坐标；
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为 4，求出
直线 l 方程．
53．（2024 高二下·湖南常德·期中）已知直线 l的方程为 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求直线 l过的定点 P 的坐标；
(2)直线 l与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于点 A，B ，当VAOB 面积最小时，求直线 l的方程；
54．（2024 高二上·全国·课后作业）当直线方程 Ax + By + C = 0的系数 A，B，C 满足什么条件时，该直线分
别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与 x 轴相交；
(4)是 x 轴所在直线；
(5)设P x0 , y0 为直线 Ax + By + C = 0上一点，证明：这条直线的方程可以写成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
55．（2024 高二·江苏·假期作业）已知直线 a1x + b1y +1 = 0和直线 a2x + b2 y +1 = 0都过点 A(2,1)，求过点P1(a1,b1)
和点P2 (a2,b2 )的直线方程.2.2 直线的方程 9 题型分类
一、直线的点斜式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程：
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直线与 y 轴交点(0,b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距
二、直线的两点式方程
直线的两点式方程和截距式方程：
名称 两点式 截距式
在 x，y 轴上的截距分别为 a，
两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
条件 b
(x1≠x2，y1≠y2)
(a≠0，b≠0)
示意图
y－y1 x－x1 x y
方程 ＝ ＋ ＝1
y2－y1 x2－x1 a b
适用范围 斜率存在且不为 0 斜率存在且不为 0，不过原点
三、直线的一般式方程
1．直线的一般式方程：
关于 x 和 y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．直线的五种形式的方程：
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
y－y1 x－x1
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
y2－y1 x2－x1
x y
截距式 ＋ ＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
a b
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
3．直线各种形式方程的互化：
（一）
直线的点斜式方程
1．直线的点斜式方程：
过点 P(x0，y0)且斜率为 k 的直线的方程：y－y0＝k(x－x0).
2．两种特殊的直线：
(1)垂直于 x 轴的直线：如图，过定点P x0 , y0 ，倾斜角为 90°，斜率不存在，没有点斜式，其
方程为 x - x0 = 0或 x = x0 .
(2)平行于 x 轴（或与 x 轴重合）的直线：如图，过定点P x0 , y0 ，倾斜角为 0°，斜率为 0，其
点斜式方程为 y = y0 .
3.求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率 k→写出方程 y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示过点 P(x0，y0)的所有直线，但 x＝x0除外．
题型 1：求直线的点斜式方程
1-1．（2024 高二上·全国·课后作业）过点P(3, -4)且与过点 A(-1,3) 和B(2, 2) 的直线平行的直线方程
为 ．
【答案】 x + 3y + 9 = 0
【分析】根据斜率公式求出斜率，再由点斜式可得结果.
3- 2 1
【详解】 kAB = = - ，-1- 2 3
1
由点斜式得 y + 4 = - (x - 3)，即 x + 3y + 9 = 0 .
3
故答案为： x + 3y + 9 = 0 .
1-2．（2024 高二下·安徽池州·阶段练习）过点 (- 3,5)且倾斜角为 150°的直线 l 的方程为（ ）
A． y = - 3x + 2 B y 3． = - x + 4
3
C． y = 3x + 8 D 3． y = x + 6
3
【答案】B
【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】依题意，直线 l 的斜率 k = tan150° 3= - ，
3
故直线 l 3的方程为 y - 5 = - (x + 3) ，
3
y 3即 = - x + 4，
3
故选：B.
1-3．（2024 高二上·全国·课后作业）点P(-1,3)在直线 l 上的射影为Q(1, -1)，则直线 l 的方程为（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
【答案】C
【分析】根据PQ ^ l求出直线 l 的斜率，再运用点斜式直线方程求解.
k 3+1 1 1【详解】由题意，PQ ^ l， PQ = = -2,\k = - =-1-1 l kPQ 2
，
1
由点斜式直线方程得直线 l 的方程为： y +1 = x -1 ，即 x - 2y - 3 = 0；
2
故选：C.
1-4．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l 经过点 P 且倾斜角为 α，求直线 l 的点斜式方程．
p
(1)P（2，3），a = ；
4
2
(2)P（-2，-1），a = p ；
3
p
(3)P（-5，-1），a = ．
2
【答案】(1) y - 3 = x - 2
(2) y +1 = - 3 x + 2
(3) x = -5
【分析】由直线倾斜角求斜率，点斜式求直线方程.
π
【详解】（1）直线倾斜角a = ，则直线斜率 k =1，直线 l 经过点 P（2，3），直线 l 的点斜式方程为
4
y - 3 = x - 2 .
2π
（2）直线倾斜角a = ，则直线斜率 k = - 3，直线 l 经过点 P -2，-1 ，直线 l 的点斜式方程为3
y +1 = - 3 x + 2 .
π
（3）直线倾斜角a = ，直线斜率不存在，直线 l 经过点P -5，-1 ，直线 l 的方程为 x = -5 .
2
（二）
直线的斜截式方程
1．直线的斜截式方程:
斜率为 k 且在 y 轴上的截距为 b 的直线方程：y＝kx＋b.
2．(1)直线的斜截式 y = kx + b是直线点斜式 y - y0 = k x - x0 的特例.
(2)一条直线与 y 轴的交点为 0,b 的纵坐标叫做直线在 y 轴上的截距.
特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程.
3.求直线的斜截式方程的策略:
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程 y＝kx＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
题型 2：求直线的斜截式方程
2-1．（2024 高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线 l的倾斜角为60o，且 l在 y 轴上的截距为-1，则直线 l的
方程为（ ）
A y 3． = - x -1 B y 3． = - x +1
3 3
C． y = 3x -1 D． y = 3x +1
【答案】C
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；
【详解】解：因为直线 l的倾斜角为60o，所以直线 l的斜率 k = tan 60o = 3 ，
又直线 l在 y 轴上的截距为-1，所以直线 l的方程为 y = 3x -1；
故选：C
2-2．（2024 高二上·全国·课前预习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是 2，在 y 轴上的截距是-3；
(2)倾斜角为60°，在 y 轴上的截距是6 ；
(3)倾斜角为30°，在 y 轴上的截距是0 ．
【答案】(1) y = 2x - 3
(2) y = 3x + 6
(3) y 3= x
3
【分析】（1）利用直线方程的斜截式，即得解；
（2）利用倾斜角和斜率的关系，求解斜率，再结合直线方程的斜截式，即得解；
（3）利用倾斜角和斜率的关系，求解斜率，再结合直线方程的斜截式，即得解
【详解】（1） y = 2x - 3
（2）因为 k = tan 60° = 3 ，所以 y = 3x + 6．
3 k tan 30 3 y 3（ ）因为 = ° = ，所以 = x ．
3 3
2-3．（2024 高二·江苏·假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；
(2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
【答案】(1)y＝2x＋5
(2)y 3＝－ x－2
3
(3)y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3
【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程；
（2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程．
（3）由已知求得直线的斜率和直线在 y 轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程.
【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为 y＝2x＋5.
（2）由于直线的倾斜角为 150°，所以斜率 k＝tan 150° 3＝－ ，
3
3
故所求直线的斜截式方程为 y＝－ x－2.
3
（3）因为直线的倾斜角为 60°，所以斜率 k＝tan 60°＝ 3．
因为直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3，
所以直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为 y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3.
π
2-4．（2024 高一下·上海杨浦·期末）直线 l： y = 2x -1绕着点 A 1,1 逆时针旋转 与直线 l1重合，则 l1的斜4
截式方程是 .
【答案】 y = -3x + 4
【分析】先找到直线 l1的斜率，再由直线过点 A 1,1 求出直线方程.
π tana +1
【详解】设直线 l 的倾斜角为a ，则 tana = 2 ，则 tan a + ÷ = = -3，
è 4 1- tana
所以直线 l1 : y -1 = -3 x -1 y = -3x + 4，
故答案为： y = -3x + 4 .
a c
2-5．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l 的方程 y = - x - 中， ab 0， ac < 0，则此直线必不经过
b b
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线的斜率及截距即可求解.
y a x c【详解】由 = - - ， ab 0， ac < 0，
b b
a c
知直线斜率 k = - < 0，在 y 轴上截距为- 0，
b b
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
1
2-6．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l 与直线 y = x + 4 互相垂直，直线 l 与直线 y = x + 6在 y 轴上
2
的截距相等，则直线 l 的方程为 .
【答案】 y = -2x + 6
【分析】由两条直线垂直，斜率之积为-1，可得直线 l 的斜率 k = -2 .再由直线 y = x + 6在 y 轴上的截距为 6，
可得直线 l 截距为 6，由斜截式可得结果.
1
【详解】因为直线 l 与直线 y = x + 4 垂直，所以直线 l 的斜率 k = -2 .
2
又因为直线 y = x + 6在 y 轴上的截距为 6，所以直线 l 在 y 轴上的截距为 6，
所以直线 l 的方程为 y = -2x + 6 .
故答案为： y = -2x + 6
【点睛】本题考查了直线方程的斜截式，考查了运算求解能力，属于基础题目.
2-7．（2024 高二·全国·课后作业）已知 k R ，b = k 2 - 2k + 3，则下列直线的方程不可能是 y = kx + b的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线斜率 k 与 y 轴上的截距b 的关系判断选项即可得解.
【详解】Qb = k 2 - 2k + 3 = (k -1)2 + 2，
\直线的方程 y = kx + b在 y 轴上的截距不小于 2，且当 k =1时， y 轴上的截距为 2，
故 D 正确，当 k = -1时，b = 6 , 故 B 不正确，当b = 3时， k = 0或 k = 2，由图象知 AC 正确.
故选：B
（三）
直线的两点式方程
1．直线的两点式方程：
y－y1 x－x1
过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程： ＝ .
y2－y1 x2－x1
2．(1)与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.
(2)两点式变形为 y - y1 x2 - x1 = y2 - y1 x - x1 ,其可以表示任何直线.
3.利用两点式求直线的方程：
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，
再用点斜式写方程．
题型 3：求直线的两点式方程
3-1．（2024 高二上·浙江温州·期末）过两点 A 3, -5 ，B -5,5 的直线在 y 轴上的截距为（ ）
5 5 2 2
A．- B． C．- D．
4 4 5 5
【答案】A
【分析】由两点式得出直线方程，令 x = 0，即可解出直线在 y 轴上的截距.
【详解】过两点 A 3, -5 ，B -5,5 y + 5 x - 3的直线的为 = ，
5 + 5 -5 - 3
5
令 x = 0，解得： y = - ，
4
故选：A.
3-2．（2024 高二上·浙江）已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，
(1)求 BC 边所在的直线方程；
(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0
(2)10x＋11y＋8＝0
【分析】（1）根据两点式求解即可；
5
（2）根据中点坐标公式可得 BC 的中点M ( ,-3)，再根据两点式可得 BC 边上的中线所在直线的方程．
2
【详解】（1）BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y - (-4) x - 5
由两点式，得 2 ( 4) ＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，- - - 0 - 5
故 BC 边所在的直线方程为 2x＋5y＋10＝0．
（2）设 BC 的中点为 M(a，b)，
5 + 0 5 -4 + (-2) 5
则 a＝ ＝ ，b＝ ＝－3，所以M ( ,-3)，
2 2 2 2
又 BC 边的中线过点 A(－3，2)，
y x - (-3)- 2
所以 ＝ 5 - (-3) ，即 10x＋11y＋8＝0，-3 - 2 2
所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0．
3-3．（2024 高二·江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【答案】(1) y = 4x -11；
(2) y = 2x - 3；
y 5(3) = - x + 5 .
4
【分析】根据直线的两点式方程的求法即可求得答案.
y -1 x - 3
【详解】（1）直线的两点式方程为 = y = 4x -11.
-3 -1 2 - 3
y -1 x - 2
（2）直线的两点式方程为 = y = 2x - 3 .
-3 -1 0 - 2
y - 5 x - 0 5
（3）直线的两点式方程为 = y = - x + 5 .
0 - 5 4 - 0 4
3-4．（2024 高一·全国·课后作业）已知点 A(3,2)，B(－1,4)，则过点 C(2,5)且过线段 AB 的中点的直线方程
为
【答案】2x - y +1 = 0
【分析】由两点的坐标可求出中点坐标，与点 C 横纵坐标均不相同，所以代入两点式，求出直线方程.
1,3 x - 2 y - 5【详解】A、B 中点坐标为 ，与点 C 横纵坐标均不相同，代入两点式得： = ，
1- 2 3 - 5
化简得：2x - y +1 = 0 .
【点睛】本题考查中点坐标的求法以及两点式方程的求法，代入时注意符号不要出错，注意两点式求直线
方程的约束条件.
（四）
直线的截距式方程
1．直线的截距式方程：在 x，y 轴上的截距分别为 a，b（其中 a≠0，b≠0）的直线方程：
x y
＋ ＝1.
a b
2．截距的概念：
(1)横截距：直线与 x 轴交点的横坐标；在直线方程中，令 y=0，解出 x；
(2)纵截距：直线与 y 轴交点的横坐标；在直线方程中，令 x=0，解出 y.
3.截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其
系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
题型 4：求直线的截距式方程
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）过点(2，1)且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程
为 .
【答案】x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0
【分析】直线的斜率存在且不为 0，设出直线截距式方程，利用已知条件求出截距就能得到直线方程.
x y
【详解】由题意可直线的斜率存在且不为 0，设直线方程为 + =1，
a b
ìa + b = 6
则有 í 2 1 ，解得 a＝b＝3，或 a＝4，b＝2.
+ =1 a b
直线方程为 x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0.
故答案为：x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0
4-2．（2024 高二上·全国·课后作业）过点 (3, -4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． y=- x- 1 B． y
4
= x 4 4C． y = - x D． y = - x或 y=- x- 1
3 3 3
【答案】D
【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为 0.
【详解】设直线在 x，y 轴上的截距分别为 a,b，则 a = b，
若 a = b = 0，即直线过原点，设直线为 y = kx ，
代入 (3, -4)，即-4 = 3k k
4
，解得 = - ，
3
故直线方程为 y
4
= - x；
3
x y
若 a = b 0，设直线为 + =1，
a b
(3, -4) 3 4代入 ，即 - =1，解得 a = -1，
a a
故直线方程为-x - y =1，即 y=- x- 1；
4
综上所述：直线方程为 y = - x或 y=- x- 1.
3
故选：D.
4-3．（2024 高二·全国·课后作业）求过点 A(5,2) ，且在 y 轴上的截距是 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l的方程．
2
【答案】 y = x
x y
或 + = 1．
5 6 12
【分析】当纵截距为 0 时，设直线方程为 y=kx，代入点(5,2)求得 k 的值，.当纵截距不为 0 时，设直线的截
距式方程，代入点(5,2)求解.
【详解】①当直线 l在两坐标轴上的截距均为 0 时，因为直线过点 A(5,2) ，
所以直线的方程为 y
2
= x ；
5
②当直线 l在两坐标轴上的截距均不为 0 时，设直线 l在 x 轴上的截距为 a，
x y
则在 y 轴上的截距为 2a，则直线 l的方程为 + =1，
a 2a
又直线 l过点 (5, 2) ，
5 2
∴ + = 1，
a 2a
解得 a = 6，
x y
∴直线 l的方程为 + = 1．
6 12
y 2 x x y综上;直线 l的方程为 = 或 + = 1．
5 6 12
【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题.
（五）
直线的一般式方程
1.直线的一般式方程：
关于 x 和 y 的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2.求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之
一求方程，然后转化为一般式．
3.含参直线方程的研究策略
(1)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则需满足 A，B 不同时为 0.
(2)令 x＝0 可得在 y 轴上的截距．令 y＝0 可得在 x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一
般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
4.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
题型 5：求直线的一般式方程
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）△ABC 的三个顶点分别为 A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).
(1)分别求边 AC 和 AB 所在直线的方程；
(2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程；
(3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程；
(4)求 AC 边上的高所在直线的方程；
(5)求经过两边 AB 和 AC 的中点的直线方程．
【答案】（1）x－2y＋8＝0. x＋y－4＝0.（2）2x－y＋10＝0.（3）2x＋y＋6＝0.（4）2x＋y－2＝0.（5）x－y
＋6＝0
【详解】试题分析：（1）利用截距式得 AC 方程，利用两点式得 AB 方程；（2）先确定 AC 边中点坐标，
再由两点式得 BD 的方程；（3）由中垂线几何性质可知：AC 的中垂线斜率及 AC 的中点的坐标，再由点斜
式得直线方程；（4）由高的定义得高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程；（5）得到两边的中点坐
标，再由两点式得直线的方程.
试题解析：
(1)由 A(0,4)，C(－8,0)可得直线 AC 的截距式方程为 ＋ ＝1，
即 x－2y＋8＝0.
由 A(0,4)，B(－2,6)可得直线 AB 的两点式方程为 ＝ ，即 x＋y－4＝0.
(2)设 AC 边的中点为 D(x，y)，由中点坐标公式可得 x＝－4，y＝2，所以直线 BD 的两点式方程为 ＝
，即 2x－y＋10＝0.
(3)由直线 AC 的斜率为 kAC＝ ＝ ，故 AC 边的中垂线的斜率为 k＝－2.又 AC 的中点 D(－4,2)，
所以 AC 边的中垂线方程为 y－2＝－2(x＋4)，
即 2x＋y＋6＝0.
(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点 B(－2,6)，所以其点斜式方程为 y－6＝－2(x＋2)，即 2x＋y－2＝
0.
(5)AB 的中点 M(－1,5)，AC 的中点 D(－4,2)，
∴直线 DM 方程为 ＝ ，
即 x－y＋6＝0.
点睛：直线方程共五种形式，合理选择方程形式求直线方程．
当知道定点或斜率时一般选择点斜式，注意点斜式的局限性，不包含过此点垂直 x 轴的情况；当知道
两点时，一般选择两点式，当知道直线的两个截距或求与 x，y 轴围成三角形面积时，一般选择截距式.
5-2．（2024 高二上·辽宁锦州·阶段练习）根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式．
1
(1)斜率是- ，且经过点 A 8,-6 ；
2
3
(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 和-3；
2
(3)经过点P1 3, -2 ，P2 5,-4 ；
r
(4)经过点 2,-3 ，且一个方向向量为 a = 2,4 ．
【答案】(1) x + 2y + 4 = 0
(2) 2x - y - 3 = 0
(3) x + y -1 = 0
(4) 2x - y - 7 = 0
【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解；
（2）根据直线方程的截距式即可得解；
（3）根据直线方程的两点式即可得解；
（4）首先根据方向方程可得直线斜率 k = 2，再根据点斜式即可得解.
1
【详解】（1）根据点斜式可得直线方程为： y + 6 = (- )(x -8) ，
2
化简可得 x + 2y + 4 = 0；
x y
（2）根据截距式可得： 3
+ =1
-3 ，
2
化简可得 2x - y - 3 = 0；
y + 4 x - 5
（3）根据两点式可得： = ，
-2 + 4 3 - 5
整理可得 x + y -1 = 0 ；
r
（4）由直线的方向向量为 a = 2,4 可得直线的斜率 k = 2，
所以所求直线方程为 y + 3 = 2(x - 2)即 2x - y - 7 = 0 .
5-3．（2024 高二下·上海宝山·期末）若 ab < 0 ，bc < 0 ，则直线 ax +by + c = 0不经过第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
a c
【分析】将直线方程化为 y = - x - ，由斜率以及纵截距的正负判断即可.
b b
a
【详解】依题意 a、b 、 c均不为0 ，所以直线 ax +by + c = 0可化为 y = - x
c
- ，
b b
a c
因为 ab < 0 ，bc < 0 ，所以- 0，- 0，
b b
所以直线 ax +by + c = 0的斜率为正，纵截距为正，
即直线 ax +by + c = 0通过第一、二、三象限，不通过第四象限.
故选：D
5-4．（2024 高二下·上海）如果 AB 0且 BC < 0 ，那么直线 Ax + By + C = 0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】由 AB 0且 BC < 0 ，确定直线的斜率以及它在 y 轴上的截距的符号，即可得结论．
【详解】∵ AB 0且 BC < 0 ，则B 0
A C
∴ - < 0 ，- 0，
B B
∴直线 Ax + By + C = 0 y
A x C A C，即直线 = - - 的斜率- 小于零，在 y 轴上的截距- 大于零，
B B B B
故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
5-5．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 Ax + By + C = 0在 x 轴的截距大于在 y 轴的截距，则 A、B、C
应满足条件（ ）
C C C C
A． A B B． A < B C． + 0 D． - < 0
A B A B
【答案】D
【分析】分别令 x = 0、 y = 0 得直线在 y 轴、x 轴上的截距，再由在 x 轴的截距大于在 y 轴的截距可得答案.
【详解】由已知 A 0, B 0,C 0，
y C令 x = 0得直线在 y 轴的截距为 = - ，
B
C
令 y = 0 得直线在 x 轴的截距为 x = - ，
A
由直线 Ax + By + C = 0
C C
在 x 轴的截距大于在 y 轴的截距可得- - ，
A B
C C
即 - < 0 .
A B
故选：D.
题型 6：由一般式方程判断直线的平行、垂直
6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体 2023-2024 学年高二上学期期中理科数学试题）若直线
x + 1+ m y - 2 = 0和直线mx + 2y + 4 = 0平行，则m 的值为（ ）
2
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-
3
【答案】A
A1 B1 C1
【分析】由题知两直线平行，直接列出 = ( A2 0, B2 0,C2 0A B C )即可求得
m
2 2 2
【详解】直线 x + 1+ m y - 2 = 0和直线mx + 2y + 4 = 0平行，
ì1 2 = m 1+ m
可得 í ，得m =1.
m -2
故选：A.
【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.
6-2．（2024 高二下·海南·学业考试）若直线 x + 2y -1 = 0与mx - 2y + 2 = 0平行，则实数m 的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D． 2
【答案】B
【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得m 的值.
【详解】由 x + 2y -1 = 0
1
可知，其斜率为- ，
2
m 1
又两直线平行，所以可得 = - ，解得m = -12 2 .
故选：B
6-3．（2024 高二下·湖北孝感·期中）“ m = -2 ”是“直线 m +1 x + y +1 = 0与直线 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂
直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求m 的值.
【详解】若直线 m +1 x + y +1 = 0与直线 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂直，
则 2 m +1 + m + 4 = 0，解得m = -2 .
所以“ m = -2 ”是“直线 m +1 x + y +1 = 0与直线 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂直”的充要条件，选 C.
【点睛】如果直线 l1 : A1x + B1 y + C1 = 0， l2 : A2x + B2 y + C2 = 0，
（1）若 l1 ^ l2，则 A1A2 + B1B2 = 0 ；
（2）若 BDC ，则 A1B2 = B1A2 且 A1C2 C1A2 或B1C2 C1B2 ；
（2）若 l1, l2 重合，则 A1B2 = B1A2 ， A1C2 = C1A2 ，B1C2 = C1B2 .
6-4．（2024 高二上·福建福州·期末）若直线 l1 : mx + 3y + 4 = 0与直线 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，则 m 的值
为（ ）
A．2 B．-3 C．2 或-3 D．-2或-3
【答案】B
【分析】根据直线的平行可列出方程，求得 m 的值，验证直线是否重合，即得答案.
【详解】由题意知直线 l1 : mx + 3y + 4 = 0与直线 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，
而直线 l1 : mx + 3y + 4 = 0
m
的斜率为 k1 = - ，3
则直线 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0
2
必有斜率，即m -1，则 k2 = - ，m +1
m 2
故- = - ，解得m = 2 或-3，
3 m +1
当m = 2 时，直线 l1 : 2x + 3y + 4 = 0与直线 l2 : 2x + 3y + 4 = 0重合，不合题意；
4
当m = -3时，直线 l1 : x - y - = 0与直线 l2 : x - y + 2 = 0 平行，符合题意，3
故m = -3，
故选：B
6-5．（2024 高二上·福建）“ a = 3”是“直线 ax + 2y + 3a = 0和直线3x + (a -1)y - (a - 7) = 0平行且不重合”的
（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】分充分性和必要性两方面计算可得.
【详解】当 a = 3时，两直线分别为：3x + 2y + 9 = 0，3x + 2y + 4 = 0 ，
∴两直线斜率相等且C1 C2 ，
∴两条直线平行且不重合；
a 2 3a
若两直线平行且不重合，则 = ，∴ a = 3，综上所述，a = 3是两直线平行且不重合的充要条件，
3 a -1 7 - a
故选：C.
【点晴】此题考充要条件的判断方法和直线平行的条件和结论，属于基础题.
6-6．（2024 高二下·上海黄浦·阶段练习）直线 l1 : px + 3y +1 = 0 与直线 l2 : 6x - 2y - 5 = 0垂直，则 p 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．-9 D．9
【答案】B
【分析】利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解.
【详解】由题意，得 6 p + 3 (-2) = 0，解得 p = 1 .
故选：B.
6-7．（2024 高二上·安徽·阶段练习）已知直线mx + 4y - 2 = 0与直线 2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足为 1, p .
则m + n - p 等于（ ）
A． 24 B． 20 C． 4 D．0
【答案】D
【分析】由两直线垂直得m =10，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】由两直线垂直得m ×2 + 4 (-5) = 0，解得m =10，
所以原直线直线mx + 4y - 2 = 0可写为10x + 4y - 2 = 0，
又因为垂足为 1, p 同时满足两直线方程，
ì10 1+ 4 p - 2 = 0
所以代入得 í ，
2 1- 5p + n = 0
ì p = -2
解得 í ，
n = -12
所以m + n - p =10 -12 + 2 = 0，
故选:D
题型 7：由两条直线平行、垂直求直线方程
7-1．（2024 高二·贵州贵阳·阶段练习）过点 (1, 2)且垂直于直线3x - 2y + 5 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x + 3y -8 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C．3x - 2y +1 = 0 D． 2x + 3y + 8 = 0
【答案】A
【分析】设垂直于直线3x - 2y + 5 = 0的直线为 2x + 3y + C = 0，代入点 (1, 2)得C 的值，即得解.
【详解】设垂直于直线3x - 2y + 5 = 0的直线为 2x + 3y + C = 0，
代入点 (1, 2)得C = -8，
则所求直线为 2x + 3y -8 = 0 .
故选：A.
7-2．（2024 高二下·上海浦东新·期中）过点 1,1 且与直线 x + 2y -1 = 0平行的直线方程为 .
【答案】 x + 2y - 3 = 0
【分析】根据直线平行，设所求直线为 x + 2y + m = 0，由点在直线上求参数，即可得直线方程.
【详解】令所求直线为 x + 2y + m = 0，且 1,1 在直线上，
所以1+ 2 + m = 0 ，即m = -3，故所求直线为 x + 2y - 3 = 0 .
故答案为： x + 2y - 3 = 0
7-3．（2024 高二上·四川凉山·期末）已知直线 l 过点 A(2, -3) ，且与直线 y = x +1平行，则直线 l 的方程为
（ ）
A． x - y + 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x - y - 2 = 0 D． x - y - 5 = 0
【答案】D
【分析】通过平行可设直线 l 的方程为 x - y + m = 0 m 1 ，再把点 A(2, -3) 代入即可解得m 即可求出结果
【详解】设与直线 y = x +1即 x - y +1 = 0 平行的直线 l 的方程为 x - y + m = 0 m 1 ，
把点 A(2, -3) 代入可得 2 + 3 + m = 0，解得m = -5．
因此直线 l 的方程为 x - y - 5 = 0
故选：D
7-4．（2024 高二下·新疆伊犁·期中）过点P(-1,3)且垂直于直线 x + 2y - 3 = 0 的直线方程为 （ ）
A． x + 2y + 5 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 5 = 0 D． 2x - y - 5 = 0
【答案】B
【分析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程， -1,3 代入，即可求解.
【详解】设所求的直线方程为 2x - y + c = 0，
-1,3 代入方程解得 c = 5，
所求的直线方程为 2x - y + 5 = 0 .
故选：B.
题型 8：直线与坐标轴围成三角形的面积问题
9
8-1．（2024 高二·全国·课后作业）求过点Q(5, 2) ，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 的直线 l的方程．
2
4
【答案】 y = x
6
+ 或 y = x - 3．
25 5
ì5 2 1 ìa 15 + = = -x y
l + =1
a b 2 ìa = 3
【分析】由题可设直线 的方程 ，故有 í1 9 ，解方程得得 í 6 或 íb 3，进而可得直a b a b = b = -=
2 2 5
线 l的方程.
【详解】解：由题意知直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，
x y
设其方程为 + =1．
a b
ì5 2
+ =1 ì5 2 1 ì5 2 a b + = + =1
由题意得 í ，即 ía b 或 ía b
1 9
，
a b = ab = 9 ab = -9 2 2
ì5 2
+ =1
对于方程组 ía b ，该方程组无解；
ab = 9
ì5 2 ìa
15
+ =1 = - 2 ìa = 3
对于方程组 ía b ，解得 í 或 í
ab = -9 b
6 b = -3=
5
4 6
∴直线 l的方程为 y = x + 或 y = x - 3．
25 5
【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查运算能力，是基础题.
8-2．（2024 高一下·江苏扬州·期中）如图所示，已知VABC是以 AB 为底边的等腰三角形，点 A 1，4 ，
B 3，2 ，点 C 在直线： x - 2y + 6 = 0上．
（1）求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程；
（2）设直线 CD 与 y 轴交于点D 0，3 ，求VACD的面积．
【答案】（1） x - y +1 = 0 ；（2）1．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出E 点坐标，根据CE ^ AB 得出直线斜率，最后根据点斜式可得直线方
程；
（2）联立直线方程求出C 点坐标，通过两点式得出 AC 的方程，求出点D到 AC 的距离以及 AC 的长，最后
求面积即可.
【详解】（1）因为VABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，CE ^ AB
所以 E 为 AB 的中点，所以E 2，3 ，
因为 kAB = -1，所以 kCE =1
所以直线 CE： y - 3 = x - 2，即 x - y +1 = 0
所以 AB 边上的高 CE 所在直线的方程为 x - y +1 = 0 ；
ìx - y +1 = 0 ìx = 4
（2） í C 4，5 x 2y 6 0，解得 í ，所以 ， - + = y = 5
y - 4 x -1
所以直线 AC： = ，即 x - 3y +11 = 0，
5 - 4 4 -1
2 10
又因为D 0，3 ，所以点 D 到直线 AC 的距离 d = = ，
10 5
AC = 10 S 1 AC d 1 10又 ，所以 VACD = = 10 =1 .2 2 5
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
8-3．（2024 高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系 xOy 内，经过点 P 2,3 的直线分别与 x 轴、 y 轴的正半
轴交于A ， B 两点，则△OAB面积最小值为 ．
【答案】12
x y 2 3
【分析】设直线的方程 + =1，由过点 P(2,3)可得 + =1，然后结合基本不等式即可得出答案.
a b a b
x y 2 3
【详解】设直线的方程 + =1，由过点 P(2,3) 2 3 2 3可得 + =1，则有1 = + …2 · ； a 0；b 0；
a b a b a b a b
2 3
解得： ab…24，当且仅当： = 时， a = 4，b = 6时取等号；
a b
1 1
所以 SVOAB = ab… 24 =122 2
故答案为：12
8-4．（2024 高一下·湖南长沙·期末）过点 P（1，1）作直线 l，与两坐标轴相交所得三角形面积为 1，则直
线 l 有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】B
【分析】由题意设直线的方程为 y -1 = k x -1 k 0 ，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两
坐标轴相交所得三角形面积为 1，列方程可求出 k 的值，从而可得直线的条数
【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为 y -1 = k x -1 k 0 ，
令 x = 0，解得 y =1- k y 0 x 1
1
；令 = ，解得 = - .
k
1
\ 1- k 1 1- ÷ =1，2 è k
化为 (k -1)2 = ±2k ，即 k 2 - 4k +1 = 0 ①， k 2 +1 = 0 ②，
由于方程① Δ 0，方程②无解，可得两个方程共有 2 个不同的解.
因此直线 l共有 2 条.
故选：B.
8-5．（2024 高三·全国·对口高考）已知直线 l：3x + 4y - 7 = 0，则与已知直线 l 平行且与两坐标轴围成的三
角形的面积为 6 的直线方程为 ．
【答案】3x + 4 y ±12 = 0
【分析】根据平行关系可设直线为3x + 4y + m = 0，计算与两坐标交点，根据面积公式求m 即可.
【详解】
由题意可设方程为：3x + 4y + m = 0，
m
令 x = 0，得 y = - ，
4
令 y = 0
m
，得 x = - ，
3
1 m m
由题意知： - - = 6，
2 3 4
得m = ±12，
故直线方程为：3x + 4 y ±12 = 0，
故答案为：3x + 4 y ±12 = 0
（六）
直线过定点问题
解决直线过定点问题的思路，把平面上过定点的直线的全体称为中心直线系.定点的确定方法：把含参直
线方程化为 f (x, y) + kg(x, y) = 0 直线系过定点问题:
解含参数的直线恒过定点问题的策略:
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线
的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其
λ A x＋B y＋C ＝0，中 是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组{ 1 1 1A 解2x＋B2y＋C2＝0
得．若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
ì f (x, y) = 0
,求解 í ，即可得出定点坐标.
g(x, y) = 0
题型 9：直线的恒过定点问题
9-1．（2024 高一下·浙江宁波·期中）已知点 A 1,3 , B -2,-1 .若直线 l : y = k x - 2 +1与线段 AB 相交,则 k
的取值范围是（ ）
1
A． k B． k -2
2
1
C． k 或 k -2 D．-2 k
1
2 2
【答案】D
【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是 P ,求出PA, PB斜率,由图形可得结论.
【详解】由已知直线 l恒过定点P 2,1 ,
如图所示,若 l与线段 AB 相交,则 kPA k kPB ,
k 3-1 2, k -1-1 1因为 PA = = - = = ,1- 2 PB -2 - 2 2
1
所以-2 k .
2
故选:D.
9-2．（2024 高二上·全国·课后作业）不论 m 取何值，直线 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 都过定点（ ）
1
A． 1, - ÷ B． (-2,1) C． (2,3) D． (-2,3)
è 2
【答案】B
ìx + 2 = 0
【分析】根据题意整理得m x + 2 - x + y +1 = 0，令 íx ，求解即可得定点. + y +1 = 0
【详解】因为 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 ，整理得m x + 2 - x + y +1 = 0，
ìx + 2 = 0 ìx = -2
令 í ，解得 í
x + y +1 = 0 y =1
，
所以直线过定点 (-2,1) .
故选：B.
9-3．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 kx - y +1 = 3k ，当 k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． 0,0 B． 0,1 C． 3,1 D． 2,1
【答案】C
【分析】整理所得直线方程为 k x - 3 - y +1 = 0，根据题意，即可求得结果.
【详解】把直线方程整理为 k x - 3 - y +1 = 0，
ì x - 3 = 0 ìx = 3
令 í y 1 0，故 í y 1，所以直线恒过定点为
3,1 .
- + = =
故选：C.
9-4．（2024·吉林通化·模拟预测）若直线 kx - y + 2k -1 = 0恒过点 A，点 A 也在直线mx + ny + 2 = 0上，其中
m, n均为正数，则mn的最大值为（ ）
A 1
1
． 4 B． C．1 D．22
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得 A -2, -1 ，进而可得 2m + n = 2 ，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 kx - y + 2k -1 = 0，则 k x + 2 - y +1 = 0 ，
ìx + 2 = 0 ìx = -2
令 íy 1 0 ，解得 íy 1， + = = -
即直线 kx - y + 2k -1 = 0恒过点 A -2, -1 .
又因为点 A 也在直线mx + ny + 2 = 0上，则-2m - n + 2 = 0，
可得2m + n = 2，且m,n 0，
1
则 2m + n = 2 2 2mn ，即 0 < mn ，当且仅当 2m = n =12 时，等号成立
所以mn
1
的最大值为 .
2
故选：B.
9-5．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直线 l方程：kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)，若 l不经过第二象限，则 k
的取值范围为（ ）
A． k 1 B． k 0 C．0 k 1 D． k 0
【答案】C
【分析】先把直线 l的方程化为斜截式，分 k = 0和 k 0两类讨论.当 k = 0时，符合直线 l不经过第二象限；
当 k 0时，则满足斜率大于 0 且截距大于或等于 0，解出 k 值，结合两类的结果即可得到 k 的取值范围.
【详解】由 kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)得 y = kx + 2k - 2 .
当 k = 0时， y = -2，此时 l不经过第二象限，
所以 k = 0 .
ìk 0
当 k 0时，若 l不经过第二象限，则 í 0 < k 1
2k
，解得 .
- 2 0
所以， k 的取值范围为0 k 1.
故选：C
9-6．（2024 高一上·河南周口·阶段练习）不论 k 为何实数，直线 2k -1 x - k + 3 y - k -11 = 0恒通过一个定
点，这个定点的坐标是（ ）
A． 5,2 B． 2,3
C． 5,9 1D - ,3 ． ÷
è 2
【答案】B
【分析】直线恒过定点，即与参数 k 无关，原直线方程整理为 (2x - y -1)k - (x + 3y -11) = 0 ，令 k 的系数为
0，解方程即可得解.
【详解】原方程可化为 (2x - y -1)k - (x + 3y -11) = 0 ，由直线恒过定点可知，
ì 2x - y -1 = 0 ìx = 2
íx 3y 11 0，解得 íy 3，所以直线恒过定点
(2,3)
+ - = =
故选：B
一、单选题
1．（2024 高二上·全国·课后作业）过两点 0,3 , 2,1 的直线方程为( )
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 3 = 0
C． x + y + 3 = 0 D． x - y + 3 = 0
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】由两点 0,3 , 2,1 1- 3，可得过两点的直线的斜率为 k = = -1，
2 - 0
又由直线的点斜式方程，可得 y - 3 = -1 x - 0 ，即 x + y - 3 = 0 .
故选：B.
2．（2024 高二上·广西河池·阶段练习）过点 A 1,2 在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． y = 2x B． x + y - 3 = 0
C． x = y 或 x + y - 3 = 0 D． y = 2x或 x + y - 3 = 0
【答案】D
【分析】按截距为 0 和不为 0 分类讨论分别求得符合题意的直线方程
x y
【详解】当截距 a 0时，设直线方程为 + =1，
a a
将 x =1， y = 2 代入得 a = 3，∴方程为 x + y - 3 = 0
当截距 a = 0时，过原点和点 A 1,2 的直线方程为 y = 2x
又 y = 2x且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点 A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 y = 2x和 x + y - 3 = 0
故选：D.
3．（2024 高二上·湖南·阶段练习）已知直线 l过点G 1, -3 ，H -2, 1 ，则直线 l的方程为（ ）
A． 4x + y + 7 = 0 B． 2x - 3y -11 = 0 C． 4x + 3y + 5 = 0 D． 4x + 3y -13 = 0
【答案】C
【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
y + 3 x -1
直线 l 的方程为 = ，即 4x + 3y + 5 = 0．
1+ 3 -2 -1
故选：C．
4．（2024 高二·江苏·课后作业）过两点 -2,4 和 4, -1 的直线在 y 轴上的截距为（ ）
14 14 7 7
A． B．- C． D．-
5 5 3 3
【答案】C
【分析】求出直线方程，令 x＝0，即可求出纵截距.
4 - -1y 1 【详解】由题可知直线方程为： + = × 5x - 4 ，即 y = - x - 4 -1，
-2 - 4 6
7 7
令 x=0，则 y = ，故直线在 y 轴上的截距为 .
3 3
故选：C.
5．（2024 高二·全国·课后作业）过P1(2,0), P2(0,3)两点的直线方程是（ ）
x y
A． + = 0
x y
B． - =1
3 2 3 2
x y x y
C． + =1 D． - =1
2 3 2 3
【答案】C
【分析】根据直线的截距式方程运算求解.
【详解】由题意可知：直线在 x，y 轴上的截距分别为 2,3，
x y
根据直线的截距式可知直线方程为： + =1 .
2 3
故选：C.
6．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l 过点 A(-1,1), B(2, 4)，则直线 l 的方程为（ ）
A． y = x - 2 B．y = -x - 2 C． y = -x + 2 D． y = x + 2
【答案】D
【分析】根据直线的两点式方程运算求解.
y -1 x - -1
【详解】因为-1 2,1 4，则线 l 的方程为 =4 1 2 1 ，整理得
y = x + 2 ，
- - -
所以直线 l 的方程为 y = x + 2 .
故选：D.
7．（2024 高二上·山东枣庄·期末）过点 A 2,3 且与直线 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直线方程是（ ）
A． x - 2y + 4 = 0 B． 2x + y - 7 = 0
C．2x - y -1 = 0 D． x + 2y -8 = 0
【答案】A
【分析】设所求直线方程为 2x - 4y + C = 0 ，将点A 的坐标代入所求直线方程，求出C 的值，即可得解.
【详解】设过点 A 2,3 且与直线 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直线方程是 2x - 4y + C = 0 ，
将点A 的坐标代入直线的方程 2x - 4y + C = 0 得 2 2 - 4 3 + C = 0，解得C = 8，
故所求直线方程为 2x - 4y + 8 = 0，即 x - 2y + 4 = 0 .
故选：A.
8．（2024 高二下·湖北·阶段练习）直线 4x + 2y -1 = 0与直线 ax + 4y = 0垂直，则 a等于（ ）
A． 2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
4 a
【分析】利用平面内两直线垂直，得 - ÷ - ÷ = -1，解之即可．
è 2 è 4
【详解】因为直线 4x + 2y -1 = 0与直线 ax + 4y = 0垂直，
4 a
所以 - ÷ - ÷ = -1，解得 a = -2 .
è 2 è 4
故选：B
9．（广西南宁市第二十六中学等 3 校 2023-2024 学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线 l过点
-1,2 且与直线 2x - 3y + 4 = 0垂直，则 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y + 5 = 0 B．3x + 2y + 7 = 0
C．3x + 2y -1 = 0 D． 2x - 3y + 8 = 0
【答案】C
【分析】求出直线 l的斜率，然后利用点斜式可写出直线 l的方程，化为一般式可得出答案.
2 3
【详解】直线 2x - 3y + 4 = 0的斜率为 ，则直线 l的斜率为- ，
3 2
3
因此，直线 l的方程为 y - 2 = - x +1 ，即3x + 2y -1 = 0 .
2
故选：C.
10．（2024 高二上·全国·课后作业）经过点 (1, 2)，且与直线 2x + y -10 = 0垂直的直线方程为（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出所求的直线方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】设与直线 2x + y -10 = 0垂直的直线方程为 x - 2y + m = 0，于是1- 2 2 + m = 0，解得m = 3，
所以所求的直线方程为 x - 2y + 3 = 0 .
故选：A
11．（2024 高二下·天津北辰·阶段练习）过点 -1,3 且平行于直线 2x - 3y +1 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x - 3y +11 = 0 B．3x + 2y - 3 = 0 C． 2x - 3y - 7 = 0 D．3x + 2y + 3 = 0
【答案】A
【分析】先设出平行于直线 2x - 3y +1 = 0的直线系方程，再将点 -1,3 代入方程，进而求得所求直线的方程.
【详解】平行于直线 2x - 3y +1 = 0的直线方程可设为 2x - 3y + h = 0(h 1)
又所求直线过点 -1,3
则 2 (-1) - 3 3+ h = 0，解之得h =11，
则所求直线为 2x - 3y +11 = 0
故选：A
12．（2024 高三上·江西新余·期末）已知直线 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0与直线 l2；mx + m + 2 y +1 = 0相互平
行，则实数m 的值是（ ）
A．-4 B．1 C．-1 D．-4或 1
【答案】A
【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可.
【详解】因为直线 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0
m - 2
的斜率 k1 = ，斜率存在，且 l3 1
//l2，
所以直线 l2；mx + m + 2 y +1 = 0
m m - 2
的斜率存在，且 k2 = - = ，m + 2 3
化简得：m2 + 3m - 4 = 0，解得m = -4或m =1.
当m = -4时，直线 l1：6x + 3y +1 = 0，直线 l2； 4x + 2y -1 = 0，此时 l1 //l2 .
当m =1时，直线 l1： x + 3y +1 = 0，直线 l2； x + 3y +1 = 0，此时 l1, l2 重合，舍去.
所以m = -4 .
故选：A
1
13．（2024 高二上·广东肇庆·期末）“ a = ”是“直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 a -1 x - ay -1 = 0 平行”的（
2 ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行得出 a的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
ì1 -a = 2a × a -1 ,
【详解】若直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 a -1 x - ay -1 = 0 平行，则有 í
1
解得 a = 0或
-1 -1 × a -1 ,
a 1 1= ，所以当 a = 时，直线 x + 2ay -1 = 0 与直线 a -1 x - ay -1 = 0 平行，当直线 x + 2ay -1 = 0 与直线
2 2
a -1 x - ay -1 = 0 1平行时， a = 0或 a = .
2
故选：A
14．（2024 高二上·河北唐山·期中）直线 l： x - 2y + 3 = 0的斜率和在 x 轴上的截距分别为（ ）
1 1 1 1
A． ，3 B． ，-3 C．- ，3 D．- ，-3
2 2 2 2
【答案】B
【分析】由 x - 2y + 3 = 0 y
x 3
可得 = + ，据此可得答案.
2 2
【详解】 x - 2y + 3 = 0
x 3 1
y = + ，则直线斜率为 ，
2 2 2
x 3
又令 y = 0 ，则 + = 0 x = -3，故直线在 x 轴上的截距分别为-3 .
2 2
故选：B
15．（2024 高二上·江苏苏州·期末）直线 x - 3y + 4 = 0的倾斜角是（ ）
π π 2π
A． B． C． D． π
3 6 3
【答案】B
【分析】由直线方程确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】解：直线 x - 3y + 4 = 0 y 3 x 4 3的方程可化为 = + ，可知倾斜角a a 0, π ，满足 tana 3= ，
3 3 3
π
因此a = .
6
故选：B.
1
16．（2024 高二下·新疆塔城·开学考试）过点 (1, -1) 且斜率为 的直线 l的方程是（ ）
2
A．3x + 2y - 7 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． x - 2y - 3 = 0 D． x - 2y + 3 = 0
【答案】C
【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可.
【详解】过点 (1, -1)
1 1
且斜率为 的直线 l的方程是 y - (-1) = (x -1)，
2 2
即 x - 2y - 3 = 0 .
故选：C
17．（2024 高二上·广东江门·期末）直线 Ax + By + C = 0（ A, B不同时为 0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论 A, B取任何值，直线都存在斜率 B．当 A = 0 ，且B 0时，直线只与 x 轴相交
C．当 A 0，或B 0时，直线与两条坐标轴都相交 D．当 A 0，且B = 0 ，且C = 0时，直线是 y
轴所在直线
【答案】D
【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于 A 选项，当 A 0，且B = 0 时，直线斜率不存在，故错误；
对于 B 选项，当 A = 0 ，且B 0，C 0时，直线只与 y 轴相交；当 A = 0 ，且B 0，C = 0时，直线与 x
轴重合，故错误；
对于 C 选项，当 A 0，且B 0时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于 D 选项，当 A 0，且B = 0 ，且C = 0时，直线方程为 x = 0，即 y 轴所在直线，故正确.
故选：D
18．（2024 高二上·全国·课后作业）经过点 (1,2) ，且平行于直线 2x - 3y + 5 = 0的直线方程为（ ）
A． 2x - 3y + 4 = 0 B． 2x - 3y + 2 = 0 C．3x - 2y + 4 = 0 D．3x - 2y + 2 = 0
【答案】A
【分析】先设出平行于直线 2x - 3y + 5 = 0的直线系方程，再将点 1,2 代入方程，进而求得所求直线的方
程.
【详解】平行于直线 2x - 3y + 5 = 0的直线方程可设为 2x - 3y + h = 0(h 5)，
又所求直线过点 1,2 ，
则 2 1- 3 2 + h = 0 ，解之得 h = 4，
则所求直线为 2x - 3y + 4 = 0 .
故选：A
19．（2024·北京丰台·二模）“ a =1”是“直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直得到 a R ，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直，
所以1 (a) + a (-1) = 0 ，
所以 a R .
所以 a =1时，直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直，所以“ a =1”是“直线 x + ay -1 = 0与直线
ax - y +1 = 0相互垂直”的充分条件；
当直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直时，a =1不一定成立，所以“ a =1”是“直线 x + ay -1 = 0与直
线 ax - y +1 = 0相互垂直”的非必要条件.
所以“ a =1”是“直线 x + ay -1 = 0与直线 ax - y +1 = 0相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要
根据已知条件灵活选择方法求解.
20．（2024 高二上·上海宝山·期末）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的
点，则关于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
【答案】A
【分析】根据P1, P2在直线 y = kx + 2可得bi = kai + 2 i =1,2 ，从而可得 l1, l2 有唯一交点，从而可得正确的选
项.
【详解】因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，
所以bi = kai + 2 i =1,2 即 ai -k + bi 1- 2 = 0 i =1,2 ，
故 -k,1 既在直线 l1上，也在直线 l2上.
因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是两个不同的点，故 l1、 l2不重合，
故无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 -k,1 .
故选：A.
二、多选题
21．（2024 高一下·江苏盐城·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．过定点P0 x0 , y0 的直线都可用方程 y - y0 = k x - x0 表示
B．过定点 A 0,b 的直线都可用方程 y = kx + b表示
C．过任意两个点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线都可用方程
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 表示
x y
D．不过原点的直线都可用方程 + =1表示
a b
【答案】ABD
【解析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示；截距为零的直线不能用截距式表示；从而可得结
果.
【详解】因为直线与 x 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项 AB 不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项 D 不正确；
y - y
C 选项，过任意两个点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直线，斜率存在时，方程为 y - y1 = 2 1x - x ÷ x - x1 ，可化为è 2 1
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 ；斜率不存在时， x1 = x2 ，直线方程为 x = x1也满足
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 ，故 C 正确；
故选：ABD.
22．（2024 高二上·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
y - y
A 1． x - x ＝k 不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线方程1
x y
B．在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b 的直线方程为 + =1
a b
C．直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b
D．过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0
【答案】AD
【分析】由直线方程的意义判断 A．由直线方程的截距式判断 B，由直线与 y 的交点及距离的定义判断 C，
分类讨论确定过两点的直线方程判断 D．
y - y1
【详解】 x - x ＝k 表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线去掉点
(x1, y1) ，A 正确；
1
x y
在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b，只有 ab 0时，直线方程为 + =1，B 错误；
a b
直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点坐标是 (0,b)，交点到原点的距离为 b ，C 错误；
过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
y - y
当 x1 x
1 2
2 时，直线方程为 y - y2 = (x - x2 )，变形为 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0x - x ，1 2
当 x1 = x2 时，直线方程为 x = x2，也适合方程 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0 ，
所以 D 正确．
故选：AD．
23．（2024 高二上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 x - y - 3 = 0
9
与两坐标轴围成的三角形的面积是
2
B．若三条直线 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能构成三角形，则实数 a的取值集合为 -1,1
C．经过点 (1, 2)且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 3 = 0或 x - y +1 = 0
D．过 (x1, y1), (x2 , y2 )两点的直线方程为 ( y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)( y2 - y1)
【答案】AD
【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.
【详解】A 选项：直线 x - y - 3 = 0与 x 轴和 y 轴的交点分别为 3,0 和 0, -3 9，三角形面积为 ，A 选项正2
确；
B 选项：三条直线 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能构成三角形，可得1- a = 0或 a +1 = 0或直线过点
0,0 ，解得 a =1或 a = -1或 a = 3，B 选项错误；
x y
C 选项：当直线经过坐标原点时， y = 2x，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为 + =1，代入点
a a
(1, 2) 1 2，即 + =1，解得 a = 3，故直线为 x + y - 3 = 0，C 选项错误；
a a
D 选项：由两点式方程可直接判断 D 选项正确；
故选：AD.
24．（2024 高二上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式 y - y1 = k x - x1 可以表示任何直线
B．过 x y x y y - y1 x - x, , = 11 1 、 2 2 两点的直线方程为 y2 - y1 x2 - x1
C．直线 x - 2y - 4 = 0与直线 2x + y +1 = 0相互垂直．
D．直线 y = 4x - 2 在 y 轴上的截距为-2
【答案】CD
【分析】利用点斜式方程可判断 A 选项；利用两点式方程可判断 B 选项；利用两直线垂直的斜率关系可判
断 C 选项；利用截距的定义可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，点斜式 y - y1 = k x - x1 不表示与 x 轴垂直的直线，A 错；
对于 B 选项，过 x1, y1 x y
y - y
, 1
x - x1
、 2 2 两点且斜率不为零的直线方程为 =y ，B 错；2 - y1 x2 - x1
x - 2y - 4 = 0 k 1对于 C 选项，直线 的斜率为 1 = ，直线 2x + y +1 = 0的斜率为 k2 = -2，2
所以， k1k2 = -1，故直线 x - 2y - 4 = 0与直线 2x + y +1 = 0相互垂直，C 对；
对于 D 选项，直线 y = 4x - 2 在 y 轴上的截距为-2，D 对.
故选：CD.
三、填空题
25．（2024 高三·全国·课后作业）经过点 -3,1 和点 2, -2 的直线方程是 .
【答案】3x + 5y + 4 = 0
【分析】根据两点式求得直线方程.
【详解】经过点 -3,1 和点 2, -2 y -1 x + 3的直线方程是： = ，
-2 -1 2 + 3
整理得3x + 5y + 4 = 0 .
故答案为：3x + 5y + 4 = 0
26．（2024 高二·江苏·假期作业）不论 a取何值时，直线 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒过第 象限．
【答案】四
ì x + 2y = 0
【分析】化简直线方程为 a x + 2y - 3x + 6 = 0，列方程组 í 3x ，进而求解即可. - + 6 = 0
【详解】直线 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 可化为 a x + 2y - 3x + 6 = 0，
ì x + 2y = 0 ìx = 2
由 í 3x 6 0，得 íy 1， - + = = -
所以直线 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒过定点 2, -1 ，
因为 2, -1 在第四象限，
故直线 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒过第四象限．
故答案为：四.
27．（2024 高二上·全国·课后作业）倾斜角为30°，且过点 (-2,0) 的直线斜截式方程为 ．
y 3 2 3【答案】 = x +
3 3
【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.
【详解】因为直线的倾斜角为30°，则直线的斜率 k = tan 30 3° = ，
3
y 3 x 2 y 3 x 2 3所以直线的方程 = + ，即 = + .
3 3 3
3 2 3
故答案为： y = x + .
3 3
28．（2024 高二上·全国·专题练习）若直线过点 1,1 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2，则这样的直
线有 条.
【答案】3
ì 1 1+ =1
x y l + =1 a b【分析】设直线 的截距式为 ，即可得到 í ，解得即可.a b 1 ab = 2
2
x y
【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为0 ，设直线 l的截距式为 + =1，
a b
∵直线 l经过点 1,1 ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2，
ì 1 1+ =1
a b ìa = 2 ì a = -2 + 2 2 ì a = -2 - 2 2∴ í1 ，解得 íb ，或 ，或 ， ab 2 = 2
í í
= b = -2 - 2 2 b = -2 + 2 2
2
所以直线 l的条数为3条．
故答案为：3
29．（2024 高二·全国·课后作业）若直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 18，
则直线 l 的方程为 .
【答案】 x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0
x y
【分析】由题意可得直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为 0，设直线方程为 + =1，其中
a b
| a |=| b |，根据三角形面积即可求解.
【详解】解：因为直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为 0.
x y
设直线方程为 + =1，则 | a |=| b | .
a b
1 1 2
因为 | a | × | b |= | a | =18，即 a2 = 36，所以 a = ±6 ，2 2
所以 a = 6时，b = ±6，当 a = -6 时，b = ±6，
所以直线方程为 x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0 .
故答案为: x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0 .
30．（2024 高一上·广东广州·期末）求过点P 2,3 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
【答案】3x - 2y = 0或 x + y = 5
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为
x y
+ =1 a 0 ，把点 P 的坐标代入即可得出．
a a
3
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为 y = x，化为3x - 2y = 0，
2
x y
当直线不经过原点时，设直线的截距式为 + =1 a 0 ，
a a
把点P 2,3 2 3代入可得： + =1，解得 a = 5，
a a
所以直线的方程为： x + y = 5，
综上所述，所求直线方程为3x - 2y = 0或 x + y = 5 .
故答案为：3x - 2y = 0或 x + y = 5 .
31．（2024 高二下·上海闵行·阶段练习）过点 5,2 ，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是 ．
【答案】2x - 5y = 0或 x + y - 7 = 0
【分析】由题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线方程.
2
【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率 k = ，
5
2
所以直线方程为 y = x ，即2x - 5y = 0；
5
x y
当直线不过原点时，设直线方程为 + =1 a 0 ，代入点 5,2 ，
a a
5 2
可得 + =1 a = 7，所以直线方程为 x + y - 7 = 0，
a a
故答案为：2x - 5y = 0或 x + y - 7 = 0 .
32．（2024 高二下·上海普陀·期中）若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1，且 x1 x2 ，则经过 A x1,y1 、B x2 ,y2 的直
线 l的一般方程为
【答案】3x + 4y -1 = 0
【分析】根据 A x1, y1 、B x2 , y2 都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程.
【详解】若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1 ,
则点 A x1, y1 在直线3x + 4y -1 = 0上,
点B x2 , y2 在直线3x + 4y -1 = 0上
即 A x1, y1 、B x2 , y2 都在同一直线3x + 4y -1 = 0上
因为两点确定一条直线,所以由 A x1, y1 、B x2 , y2 确定的直线即为3x + 4y -1 = 0
故答案为: 3x + 4y -1 = 0
33．（2024 高二上·重庆长寿·期末）经过点 (1, 2)且与直线2x - y +1 = 0垂直的直线方程是 ．（用一
般式表示）
【答案】 x + 2y - 5 = 0
【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】设与直线2x - y +1 = 0垂直的直线方程为 x + 2y + m = 0，
于是1+ 2 2 + m = 0，解得m = -5，
所以所求的直线方程为 x + 2y - 5 = 0 .
故答案为： x + 2y - 5 = 0
34．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线 l : kx - y +1+ 2k = 0，若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则实
数 k 的值为 ；若直线 l 不经过第三象限，则 k 的取值范围是 .
1 1
【答案】 -1或- ； - k 0 .
2 2
【分析】分别令 x = 0和 y = 0 求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出 k 的值；先分析 l过定
点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出 k 的取值范围.
【详解】因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等，所以 k 0，
在 kx - y +1+ 2k = 0 中，
1
令 x = 0，得 y =1+ 2k ，令 y = 0 ，得 x = -2 - ，
k
1
依题意可得1+ 2k = -2 - ，即 2k 2k + 3k +1 = 0
，
1
解得 k = - 或 k = -1；
2
ìx + 2 = 0
直线 l的方程可化为 k x + 2 - y +1 = 0，所以 í y ， - +1 = 0
ìx = -2
所以 í ，所以直线 l过定点M -2,1 ，
y =1
所以 k
1
OM = - ，由直线 l : kx - y +1+ 2k = 0可得： y = kx + 2k +1，2
1
若 l不经过第三象限，则- k 0 ，
2
1 1
故答案为：-1或- ；- k 0 .
2 2
四、解答题
35．（2024 高二·全国·专题练习）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在 x，y轴上的截距分别为
-3，-1.
【答案】 x + 3y + 3 = 0
【分析】根据直线的截距式方程运算求解即可.
x y
【详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程 + =1，
-3 -1
化为一般式方程为 x + 3y + 3 = 0 .
36．（2024 高二上·山东济宁·期中）已知VABC 的顶点分别为 A(2,4),B(0,-2),C(-2,3)，求：
(1)直线 AB 的方程 ;
(2)AB 边上的高所在直线的方程 ;
【答案】(1)3x - y - 2 = 0
(2) x + 3y - 7 = 0
【分析】（1）由 AB 的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可；
（2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点 C，同（1）可得.
4 - (-2)
【详解】（1）Q A(2, 4), B(0,-2) ，\kAB = = 3，2 - 0
由点斜式方程可得 y - (-2) = 3(x - 0)，
化为一般式可得3x - y - 2 = 0
（2）由（1）可知 kAB = 3，
1
故 AB 边上的高线所在直线的斜率为- ，
3
又 AB 边上的高线所在直线过点C(-2,3)，
1
所以方程为 y - 3 = - (x + 2) ，
3
化为一般式可得 x + 3y - 7 = 0 .
37．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l 经过点 A(-2,1)，B(3, -3)，求直线 l 的方程，并求直线 l 在
y 轴上的截距.
【答案】 4x + 5y + 3 = 0 -
3
， .
5
【分析】根据给定条件，求出直线 l的斜率，再利用直线点斜式方程求解作答.
1- (-3) 4
【详解】依题意，直线 l的斜率 k = = - ，
-2 - 3 5
4
直线 l的方程为 y -1 = - (x + 2) ，即 4x + 5y + 3 = 0
3
，当 x = 0时， y = - ，
5 5
所以直线 l的方程为 4x + 5y + 3 = 0
3
，直线 l 在 y 轴上的截距为- .
5
38．（2024 高二下·湖北宜昌·阶段练习）设直线的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0, a R .
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，求 a 的值.
【答案】（1）3x + y = 0或 x + y + 2 = 0（2） a = 3± 7
【分析】（1）讨论截距是否为 0：当截距为 0 时，过原点，代入可得 a，进而得直线方程；当截距不为 0
时，使得截距相等，求得 a，进而得直线方程；
（2）先求得直线在 x 轴， y 轴上的截距，结合面积为 1，即可解方程求得 a 的值.
【详解】（1）由题意知，
当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为 0，
此时 a = 2，直线的方程为3x + y = 0；
a - 2
当直线不过原点时，由截距相等，得 a - 2 = ，则 a = 0，
a +1
直线的方程为 x + y + 2 = 0，
综上所述，所求直线的方程为3x + y = 0或 x + y + 2 = 0 .
（2）由题意知，直线在 x y
a - 2
轴， 轴上的截距分别为 、 a - 2 ，
a +1
1 a - 2
a - 2 =1，
2 a +1
解得 a = 3± 7 .
【点睛】本题考查了直线方程截距的概念，直线方程的求法，由直线围成图形面积的应用，属于基础题.
39．（2024 高二下·上海·课后作业）直线 l过点 P(-2,3)，且与两轴围成的三角形面积为 4，求直线 l的方程.
【答案】9x + 2y +12 = 0或 x + 2y - 4 = 0
【分析】由题意知，直线 l的斜率存在且不为 0，设直线 l : y - 3 = k(x + 2) .求出直线与 x 轴、 y 轴的交点，在
1 3 3
根据面积公式计算得 - - 2
(2k + 3) = 4 ，即 + 2
(2k + 3) = ±8，再分类讨论计算可得；
2 ÷ ÷è k è k
【详解】解：由题意知，直线 l的斜率存在且不为 0.设直线 l : y - 3 = k(x + 2) .
设此直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A, B，则点 A, B
3
的坐标分别为 - - 2,0
÷ , (0, 2k + 3)
è k
1 3- - 2 因此面积为 ÷ (2k + 3) = 4，2 è k
3 + 2 即 ÷ (2k + 3) = ±8 .
è k
3
若 + 2÷ (2k + 3) = 8，得 4k 2 + 4k + 9 = 0,D = 42 - 4 4 9 < 0，无解；
è k
3
若 + 2
÷ (2k + 3) = -8，得k 4k
2 + 20k + 9 = 0 .
è
k 1 k 9解方程，得 = - 或 = - .
2 2
所以，直线 l : y
1
- 3 = - (x + 2)，即 x + 2y - 4 = 0；
2
或直线 l : y 3
9
- = - (x + 2)，即9x + 2y +12 = 0 .
2
【点睛】本题考查点斜式求直线方程，三角形面积公式的应用，属于基础题.
1
40．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l 的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，
2
求直线 l 的方程．
【答案】y＝－x＋1 或 y＝－x－1．
【分析】先根据题意按点斜式写出直线方程，再分别令 x = 0， y = 0 得与坐标轴的交点坐标，根据直角三角
形面积公式可得方程，即可求出直线 l的方程．
【详解】解：设直线 l 的方程为 y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为 A(b，0)和 B(0，b)，所以围成的两
个直角边长都为|b|，
1 2
故其面积为 b ，
2
1 b2 1由 = ，解得 b＝±1，
2 2
故所求直线的方程为 y＝－x＋1 或 y＝－x－1．
41．（2024 高一下·安徽·阶段练习）已知点 A（5，1）关于 x 轴的对称点为 B（x1，y1），关于原点的对称
点为 C（x2，y2）.
(1)求△ABC 中过 AB，BC 边上中点的直线方程；
(2)求△ABC 的面积.
【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0
(2)10
【分析】（1）先求出点的对称点的坐标，再用两点式求出直线的方程．
（2）先判断求出 AB 和 BC 的值，判断 AB⊥BC，从而求出△ABC 的面积．
【详解】（1）∵点 A（5，1）关于 x 轴的对称点为 B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵点 A（5，1）关于原点的对称点为 C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB 的中点坐标是（5，0），BC 的中点坐标是（0，﹣1）．
y - 0 x - 5
过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是 = ，
-1- 0 0 - 5
整理得 x﹣5y﹣5＝0．
（2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
1
∴△ABC 的面积 S = AB
1
× BC = 2 10 =10．
2 2
42．（2024 高二·全国·专题练习）VABC 的三个顶点是 A 4,0 ，B 6,7 ，C 0,3 ，求：边 BC 上的中线所
在直线的方程；
【答案】5x + y - 20 = 0
【分析】先求出BC 的中点，从而可求出BC 边上的中线的斜率，进而可求出BC 边上的中线所在的直线方
程
B 6,7 C 0,3 6 + 0 , 7 + 3 【详解】由 ， ，得BC 的中点为 ÷ = (3,5)，
è 2 2
5 - 0
所以BC 边上的中线的斜率为 = -5，
3- 4
所以边 BC 上的中线所在直线的方程为 y - 0 = -5(x - 4)，即5x + y - 20 = 0；
43．（2024 高二上·湖北·阶段练习）已知直线 l : kx - y +1+ 2k = 0 k R .
（1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，求VAOB 面积的最小值；
（3）已知P 1,5 ，若点 P 到直线的距离为 d，求 d 最大时直线的方程.
【答案】（1） k 0；（2） 4；（3）3x + 4y + 2 = 0 .
【分析】（1）根据方程可得直线 l 恒过定点M -2,1 ，然后可得答案；
1 1
（2）可得 S△AOB = OA OB = 2k + + 2，然后利用基本不等式可求出其最小值；2 2k
（3）当PM ^ L时，d 最大，然后可求出答案.
【详解】（1）直线 l 的方程为 k x + 2 - y +1 = 0，直线 l 恒过定点M -2,1 ，
∴若直线 l 不经过第四象限，则 k 0，
（2）因为直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，所以 k 0
y 0 x 1+ 2k取 = ， = - ， x = 0， y =1+ 2k ，
k
1 1
所以 S△AOB = OA OB = 2k + + 2 4
1
，当且仅当k = 时等号成立.
2 2k 2
4 3
（3）当PM ^ L时，d 最大， kPM = ，可得直线的斜率为- ，3 4
3
则直线的方程 y -1 = - x + 2 ，即3x + 4y + 2 = 0 .
4
44．（2024 高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线 l： 2a + 3 x - a -1 y + 3a + 7 = 0， a R .
(1)证明直线 l过定点A ，并求出点A 的坐标；
1
(2)在（1）的条件下，若直线 l 过点A ，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 ，求直线 l 的方程；
2
(3)若直线 l不经过第四象限，求 a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，点A 的坐标为 -2, -1
(2) x - 2y = 0或 x + 2y + 4 = 0
7- , - ù(3)
è 3ú
1,+
【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；
（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；
3 3
（3）分① a =1，② a = - ，③ a 1，且 a - 三种情况进行讨论分析解决.
2 2
【详解】（1）证明：整理直线 l的方程，得 2x - y + 3 a + 3x + y + 7 = 0，
所以直线 l过直线 2x - y + 3 = 0与3x + y + 7 = 0的交点，
ì2x - y + 3 = 0
联立方程组 í
3x y
，
+ + 7 = 0
ìx = -2
解得 íy 1， = -
所以直线 l过定点A ，点A 的坐标为 -2, -1 .
1
（2）当截距为 0 时，直线 l 的方程为 y = x，即 x - 2y = 0，
2
x y
当截距不为 0 时，设直 l 线的方程为 + =1，
a b
ì-2 -1
+ =1
则 í a b ，
a = 2b
ìa = -4
解得 í
b 2
，
= -
x y
直线 l 的方程为 + =1，即 x + 2y + 4 = 0，
-4 -2
故直线 l 的方程为 x - 2y = 0或 x + 2y + 4 = 0 .
（3）当 a =1时，直线 l的方程为 x = -2，符合题意；
a 3当 = - 时，直线 l的方程为 y = -1，不符合题意；
2
3 2a + 3 3a + 7
当 a 1，且 a - 时， y = x + ，
2 a -1 a -1
ì2a + 3
0 ì 2a + 3 a -1 0 a -1
所以 í 3a + 7 a -1 0
3a + 7
í
0
a -1 0 a -1
7
解得 a 1或 a - ，
3
综上所述，当直线 l不经过第四象限时，
a 7 ù的取值范围是： - , - ú 1,+ .è 3
45．（2024 高一下·山东滨州·阶段练习）已知直线 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0与 l2 : x + my - 7 = 0垂直，求m .
【答案】m=1 或 m=3
【分析】由直线垂直的性质求解即可.
【详解】因为直线 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0与 l2 : x + my - 7 = 0垂直，
所以3 + m m - 4 = 0，解得 m=1 或 m=3.
46．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直线 l过点M 3,2 ．
(1)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程；
(2)若 l与 x 轴正半轴的交点为A ，与 y 轴正半轴的交点为 B ，求VAOB （O为坐标原点）面积的最小值．
【答案】(1) 2x - 3y = 0或 x + y - 5 = 0
(2)12
【分析】（1）分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，
代点即可求解；
（2）利用三角面积公式、基本不等式，求得VAOB 面积的最小值．
2 2
【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为 k = ，所以直线的方程为 y = x，即 2x - 3y = 0；
3 3
当直线不过原点时，设直线的方程为 x + y = a，代入点M 3,2 可得 a = 5，
所以所求直线方程为 x + y = 5，即 x + y - 5 = 0．
综上可得，所求直线方程为： 2x - 3y = 0或 x + y - 5 = 0．
（2）依题意，设点 A a,0 ，B 0,b x y（ a 0，b 0），直线 AB 的方程为 + =1，
a b
3 2
又点M 3,2 在直线 AB 上，于是有 + =1，
a b
1 3 2 2 6利用基本不等式 = + ，即 ab 24，当且仅当 a = 6，b = 4 时等号成立，
a b ab
1
\SVAOB = ab 12，即VAOB 的面积的最小值为 12．2
47．（2024 高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为 y + 2 = k x +1 ．
(1)若直线的倾斜角为135o，求 k 的值；
(2)若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 两点，O为坐标原点，求VAOB 面积的最小值及此时直线的
方程．
【答案】(1) k = -1；
(2)VAOB 面积的最小值为 4，此时直线 l的方程为 2x + y + 4 = 0 .
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得 k 的值；
（2）求出点A 、 B 的坐标，根据已知条件求出 k 的取值范围，求出VAOB 的面积关于 k 的表达式，利用基
本不等式可求得VAOB 面积的最小值，利用等号成立的条件可求得 k 的值，即可得出直线的方程.
o o o o
【详解】（1）解：由题意可得 k = tan135 = tan 180 - 45 = - tan 45 = -1 .
2 - k 2 - k
（2）解：在直线 AB 的方程中，令 y = 0 可得 x = ，即点 A ,0 ，
k ֏ k
令 x = 0可得 y = k - 2 ，即点B 0, k - 2 ，
ì2 - k
< 0
由已知可得 í k ，解得 k < 0，
k - 2 < 0
2
S 1 2 k k - 2 1 k - 2 1 k 4 4 1 4所以， △AOB = - × = - × = - + - ÷ =
é
ê -k + + 4
ù
2 k 2 k 2 è k 2 -k ú
1 é ù
ê2 -k
4
× + 4
2 -k ú
= 4 ，
当且仅当 k = -2 时，等号成立，此时直线的方程为 y + 2 = -2 x +1 ，即 2x + y + 4 = 0 .
48．（2024 高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线 l : 3 m +1 x + my - 6m - 4 = 0，
(1)求证：直线 l 恒过定点，并求出定点 P 的坐标；
(2)若直线 l 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于A 、 B 两点，O为坐标原点，是否存在直线 l 同时满足下列条件：
①VAOB 的周长为12；②VAOP 的面积为 4 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
4
【答案】(1)
证明见解析，定点 , 23 ÷；è
(2)存在，且直线方程为3x + 4y -12 = 0 .
ì3x + y - 6 = 0
【分析】（1）将直线方程变形为m 3x + y - 6 + 3x - 4 = 0，解方程组 í3x 4 0 ，可得定点 P 的坐标； - =
（2）设点 A 的坐标为 a,0 a 0 ，根据 S△AOP = 4 求出 a的值，可得出点A 的坐标，进而可求得直线 AB 的
方程，可求出该直线与 y 轴的交点 B 的坐标，即可求得VAOB 的周长，即可得解.
【详解】（1）证明：将直线方程3mx + 3x + my - 6m - 4 = 0变形为m 3x + y - 6 + 3x - 4 = 0，
ì3x + y - 6 = 0 ì x
4
=
由 í ，可得 í 3
3x - 4 = 0
，
y = 2
因此，直线3 m 4+1 x + my - 6m - 4 = 0 恒过定点P , 2÷ .
è 3
（2）解：设点 A 的坐标为 a,0 a 0 ，若 S 1△AOP = a 2 = 4 ，则 a = 4，2
4 k 0 - 2 3 = = -
则 A 4,0 、P , 2 ，直线 AP 的斜率为 AP 43 ÷ 4 - 4 ，è 3
3
故直线 AB 的方程为 y = - x - 4 ，即3x + 4y -12 = 0，
4
此时直线 AB 与 y 轴的交点为B 0,3 ，则 OA = 4， OB = 3， AB = 32 + 42 = 5，
此时VAOB 的周长为12 .
所以，存在直线3x + 4y -12 = 0满足题意.
49．（2024 高三·全国·专题练习）已知直线 l过点M (2,1)，且分别与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴交于 A, B
两点，O为原点，当VAOB 面积最小时，求直线 l的方程．
【答案】x＋2y－4＝0
【分析】方法一：设直线 l的方程为 y -1 = k(x - 2)(k 0)
1< ，则 A 2 - ,0
÷ , B 0,1- 2k ，然后表示出VAOB
è k
的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线 l的方程，方法二：设直线 l：
x y
+ =1(a 0,b 0) 2 1 ，则 + =1，然后利用基本不等式可得 ab 8，从而可求出其最小值，进而可求出直
a b a b
线 l的方程.
【详解】方法一：由题意可得直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y -1 = k(x - 2)(k < 0)，
1
则 A 2 - ,0
÷ , B 0,1- 2k ，
è k
1 1
所以 SVAOB = 1- 2k 2 -2 è k ÷
1 é
= 4 + (-4k) + 1 ùê -
2 ÷ è k
ú
1 é ù
ê4 + 2 (-4k)
1
-
÷ ú = 4，2 ê è k ú
1 1
当且仅当-4k = - ，即 k = - 时，取等号，
k 2
1
故直线 l的方程为 y -1 = - (x - 2)，
2
即 x + 2y - 4 = 0 .
x y
方法二：设直线 l： + =1(a 0,b 0) ，
a b
因为直线 l 过点M (2,1)，
2 1
所以 + =1，
a b
2 1 2 1 2 2 1 1
则1 = + 2 × = 2 ，所以 ab 8，当且仅当 = = 时取等号，
a b a b ab a b 2
所以 S
1
VAOB 的最小值为 ab = 4，2
此时 a = 4,b = 2，故直线 l x y的方程为 + = 14 2 ，
即 x + 2y - 4 = 0 .
50．（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线 l的方程为： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0．
(1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；
(2)过点M 引直线 l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 l1的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2x + y + 4 = 0
【分析】（1）列出方程 x - 2y - 3 m + 2x + y + 4 = 0，分别令 x - 2y - 3 = 0， 2x + y + 4 = 0可求出定点；
（2）先令 y = 0 x
k - 2
， = ，令 x = 0，y = k - 2，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.
-k
【详解】（1）证明：Q直线 l的方程为： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0
\提参整理可得： x - 2y - 3 m + 2x + y + 4 = 0．
ìx - 2y - 3 = 0 ìx = -1
令 í ，可得 í ，
2x + y + 4 = 0 y = -2
\不论m 为何值，直线必过定点M -1, -2 .
（2）设直线 l1的方程为 y = k x +1 - 2(k < 0)．
令 y = 0
k - 2
， 则 x = ，
-k
令 x = 0，．则 y = k - 2 ，
\直线 l1与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
S 1 k - 2 k 2 1 4 1
4
= - = é ù
2 -k 2 ê
-k + + 4ú 2 -k ×-k ÷ + 4÷ = 4． 2 è è -k ÷
4
当且仅当-k = ，即 k = -2 时，三角形面积最小．
-k
此时 l1的方程为 2x + y + 4 = 0．
51．（2024 高二·全国·课后作业）过点P 2,1 作直线 l 分别交 x 轴、y 轴的正半轴于 A，B 两点.
(1)求 | OA | × | OB |的最小值，及此时直线 l 的截距式方程；
(2)求 | PA | × | PB |的最小值，及此时直线 l 的截距式方程.
x y
【答案】(1)8， + = 14 2
x y
(2)4， + =1
3 3
x y
【分析】（1）根据题意可设直线 l 的方程为 + =1(a 0,b 0) ，代入点结合基本不等式可求出结果.
a b
2 1 2 1
（2）由（1）可得 + =1，则可推出 PA × PB == 2 a - 2 + 2 + 2 ，结合基本不等式可求出结果.a b a - 2
x y
【详解】（1）根据题意可设直线 l 的方程为 + =1(a 0,b 0) ，则 A(a,0) ，B(0,b)，
a b
P(2,1) 2 1因为直线 l 过点 ，所以 + =1(a 0,b 0) ，
a b
2 1 2 2
2 1
又 + （当且仅当 = ，即 a = 4，b = 2 时取等号），
a b ab a b
2 2所以 1，即 ab 8，
ab
所以 | OA | × | OB |= ab的最小值为 8 x y，此时直线 l 的截距式方程为 + = 14 2 .
2 1
（2）由（1）可知 + =1，
a b
b a所以 = 0，则 a 2，
a - 2
所以 PA × PB = a - 2 2 +1 × 4 + b -1 2
a 2
= (a - 2)2 +1 × 4 + -1
è a - 2 ÷
= (a 4- 2)2 +1 × 4 +
(a - 2)2
= 2 (a - 2)2 1+ 2 + 2(a - 2)
2 2 + 2 = 4，
(a 2)2 1当且仅当 - = (a 2)2 ，即 a = 3时取等号.-
所以 | PA | × | PB |
x y
的最小值为 4，此时 a = 3，b = 3，直线 l 的截距式方程为 + =1 .
3 3
52．（2024 高二下·上海金山·期中）已知直线 l： kx - y +1+ 2k = 0 ， k R
（1）直线过定点 P，求点 P 坐标；
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设三角形OAB 的面积为 4，求出
直线 l 方程．
【答案】（1）P -2,1 （2） x - 2y + 4 = 0
【分析】（1）将 kx - y +1+ 2k = 0 变形为 k x + 2 + 1- y = 0 ，列方程可得直线所过的定点；
1
（2）求出点A ，点 B 的坐标，代入三角形OAB 的面积 S = ×OA ×OB = 4，解方程可得 k .
2
【详解】解：（1）由 kx - y +1+ 2k = 0 ，可得 k x + 2 + 1- y = 0 ，
∴直线 l： kx - y +1+ 2k = 0 必过直线 x + 2 = 0，1- y = 0的交点 -2,1 ，
∴ P -2,1 ；
（2）∵直线 l交 x 轴负半轴于点A ，交 y 轴正半轴于点 B ，
∴ k 0 ，
A 1+ 2k令 y = 0 ，得 - ,0
÷ ；令 x = 0，得B 0,1+ 2k ，
è k
1 1 1+ 2k
三角形OAB 的面积为 S = ×OA ×OB = 1+ 2k = 4 ，
2 2 k
1
解得k = ，
2
∴直线 l方程为： x - 2y + 4 = 0 .
【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.
53．（2024 高二下·湖南常德·期中）已知直线 l的方程为 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求直线 l过的定点 P 的坐标；
(2)直线 l与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于点 A，B ，当VAOB 面积最小时，求直线 l的方程；
【答案】(1) 2,3 ；
(2)3x + 2y -12 = 0
【分析】（1）将直线 l的方程变形，列出方程组即可求解；
（2）利用直线的截距式方程设出直线 l的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即
可求解.
【详解】（1）由题意，直线 l的方程可化为 x - 2 a + x + y - 5 = 0 ，
ìx - 2 = 0 ìx = 2
联立方程组 í
x + y - 5 = 0
解得 í ，
y = 3
所以直线 l过的定点P 2,3 ．
x y
（2）设直线 + =1(a 0,b 0) ，则 A(a,0), B(0,b)，
a b
2 3
由 （1） 知，直线 l 过的定点P 2,3 ，可得 + =1，
a b
因为 a 0,b 0，
所以1 2 3 6= + 2 ，解得 ab 24，
a b ab
2 3 2 3
当且仅当 = 且 + =1即 a = 4,b = 6时，等号成立，
a b a b
1 1 1
所以VAOB 面积为 S = a b = ab 24 =12 ，
2 2 2
x y
此时对应的直线方程为 + =1，即3x + 2y -12 = 0．
4 6
54．（2024 高二上·全国·课后作业）当直线方程 Ax + By + C = 0的系数 A，B，C 满足什么条件时，该直线分
别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与 x 轴相交；
(4)是 x 轴所在直线；
(5)设P x0 , y0 为直线 Ax + By + C = 0上一点，证明：这条直线的方程可以写成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
【答案】(1)C = 0且 A、B不同为0
(2) A、B都不为 0
(3) B = 0 且 A 0
(4) A = 0,C = 0, B 0
(5)证明见解析
【分析】（1）将O 0,0 代入 Ax + By + C = 0可得答案；
（2）分C = 0、C 0讨论，可得答案；
（3）直线只与 x 轴相交，就是与 y 轴平行、重合均可，根据直线方程可化成 x = a形式可得答案；
（4）将直线方程化为 y = 0 可得答案；
（5）将 P 代入直线方程得C = -Ax0 - By0，再代入直线方程化简可得答案.
【详解】（1）将O 0,0 代入 Ax + By + C = 0得C = 0，
当C = 0且 A、B不同为0 方程表示过坐标原点的直线；
（2）直线 Ax + By + C = 0与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，
当C = 0且 A 0，B 0时直线过原点满足条件，
C 0 y C y 0 y C当 时，令 x = 0时 = - ，令 = 时 = - ，
B A
所以 A、B都不为 0，
综上所述， A 0，B 0时直线与两条坐标轴都相交；
（3）直线 Ax + By + C = 0只与 x 轴相交，就是与 y 轴平行、重合均可，
因此直线方程可化成 x = a形式，
故B = 0 且 A 0；
（4）x 轴的方程为 y = 0 ，因此方程 Ax + By + C = 0中 A = 0,C = 0, B 0 时
方程表示的直线是 x 轴所在直线；
（5）因为P x0 , y0 为直线 Ax + By + C = 0上一点，所以 Ax0 + By0 + C = 0，
所以C = -Ax0 - By0，
所以方程可化为 Ax + By - Ax0 - By0 = 0 ，
即 A x - x0 + B y - y0 = 0 ，
所以这条直线的方程可以写成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
55．（2024 高二·江苏·假期作业）已知直线 a1x + b1y +1 = 0和直线 a2x + b2 y +1 = 0都过点 A(2,1)，求过点P1(a1,b1)
和点P2 (a2,b2 )的直线方程.
【答案】 2x + y +1 = 0
【分析】由题意可得 2 a1 - a2 = b1 - b2 ，求出过点P1(a1,b1) 和点P2 (a2,b2 )的直线的方程代入化简即可得出答
案.
【详解】把 A(2,1)坐标代入直线 a1x + b1y +1 = 0和直线 a2x + b2 y +1 = 0，
得 2a1 + b1 +1 = 0 , 2a2 + b2 +1 = 0 ，
∴ 2 a1 - a2 = b2 - b1，
y - b x - a
过点P1(a1,b1) 和点P2 (a2,b )
1 1
2 的直线的方程是： =b2 - b1 a - a
，
2 1
∴ y - b1 = -2 x - a1 ，则 2x + y - 2a1 + b1 = 0，
∵ 2a1 + b1 +1 = 0，
∴ 2a1 + b1 = -1，
∴所求直线方程为 2x + y +1 = 0．
