1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 8 题型分类
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间中点的位置向量:
→
如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量O P来表示．我们把向量
→
O P称为点 P 的位置向量．
2．空间中直线的向量表示式:
直线 l 的方向向量为 a，且过点 A，如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件
是存在实数 t，使
→ →
OP＝OA＋ta，①
→
把AB＝a 代入①式得
→ → →
OP＝OA＋tAB，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3．空间中平面的向量表示式：
(1)平面 ABC 的向量表示式
→ → → →
空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.③
我们把③式称为空间平面 ABC 的向量表示式．
(2)平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量 a ，我们称 a 为平面 α 的法向量；过点 A 且以 a 为法向量的平
→
面完全确定，可以表示为集合 {P|a·A P＝0}．
二、空间中直线、平面的平行
1．线线平行的向量表示：
设 u1，u2分别是 l1，l2的方向向量，则 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得 u1＝λu2.
2．线面平行的向量表示：
设 u 是 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，则 l∥α u⊥n u·n＝0.
3．面面平行的向量表示:
设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得 n1＝λn2
三、空间中直线、平面的垂直
1．线线垂直的向量表示:
设 u1，u2分别是直线 l1,l2的方向向量，则 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．线面垂直的向量表示:
设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，则 l⊥α u∥n λ∈R，使得 u＝λn.
3．面面垂直的向量表示:
设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
（一）
直线的方向向量
理解直线方向向量的概念：
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
（3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
题型 1：直线的方向向量
ur
1-1．（2024 高二下·江苏常州·期中）已知直线 l 的一个方向向量m = 2,-1,3 ，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(－
1，2，z)两点，则 y－z 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
ur
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l的一个方向向量m = 2,-1,3 ，且直线 l过点 A 0, a,3 和B -1,2,b
两点，则 a + b =（ ）
3
A．0 B．1 C． D．3
2
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）若P(1,0,-2)，Q(3,1,1)在直线 l上，则直线 l的一个方向向量为 （ ）
A． 1,2,3 B． 1,3,2
C． 2,1,3 D． 3,2,1
（二）
平面的法向量
求平面法向量的方法与步骤：
(1)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)；
→ →
(2)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如A C，A B；
→
n·AC＝0，
(3)联立方程组{ 并求解；→n·AB＝0，
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平
面的一个法向量．
题型 2：平面的法向量
2-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知四边形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD， SA＝AB
1
＝BC＝1， AD＝ ，求平面 SCD 的一个法向量．
2
2-2．（2024 高二上·上海浦东新·期中）如图的空间直角坐标系中，PD垂直于正方形 ABCD所在平面，
uur
AB 2, PB p= 与平面 xDy 的所成角为 ，E 为 PB中点，则平面 ABE 的单位法向量n0 = ．（用坐标表示）4
2-3．（湖北省荆州市沙市中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱
uuur uuur uuuur
长为 1， 以D为原点， DA, DC, DD1 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面 AB1C 的一个法向
量是（ ）
A． (1,1,1) B． (-1,1,1)
C． (1, -1,1) D． (1,1,-1)
2-4．（2024 高二下 ·江苏淮安 ·阶段练习）空间直角坐标系 O - xyz 中，已知点 A 2,0,2 ， B 2,1,0 ，
C 0,2,0 ，则平面 ABC 的一个法向量可以是（ ）．
A． 2,1,2 B． -1,2,1 C． 2,4,2 D． 2, -1,2
（三）
证明线线平行
利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
题型 3：利用向量证明线线平行
3-1．（2024 高二·全国·课后作业）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 3， AA1 = 3，点 S、P 在
棱CC1、 AA1上，且 CS
1
= SC1 ， AP = 2 PA1 ，点 R、Q 分别为 AB、D1C1的中点．求证：直线PQ∥直线2
RS ．
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB =1, AA1 = 2，点 E 为CC1的中点，
点 F 为BD1的中点．
uuur uuuur uuur uuuur
(1)求证：EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ；
uuur uuur
(2)求证： EF ∥ AC ．
3-3．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，已知空间几何体P - ABCD 的底面 ABCD 是一个直角梯形，其中
BAD = 90o , AD//BC , BA = BC = a , AD = 2a ，且PA ^底面 ABCD，PD 与底面成30o角．
uuur uuur
(1)若BC × PD = 8，求该几何体的体积；
(2)若 AE 垂直 PD 于 E，证明：BE ^ PD；
(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点 F，使得EF //BD，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理
由．
（四）
证明线面平行
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量 p与平面内的两个不共线向量 a,b是共面向量,即满足 p=xa+yb(x,y∈
R),则 p,a,b 共面,从而可证线与面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量 p 与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证
明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平
行.
题型 4：利用向量证明线面平行
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四面体 A - BCD中， AD ^ 平面BCD，BC ^ CD， AD = 2，
BD = 2 2 ．M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点，点Q在线段 AC 上，且 AQ = 3QC ．证明：PQ / /平面
BCD；
4-2．（2024 高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形，其中 AD//BC .
AD ^ AB, AD = 3, AB = BC = 2, PA ^ 平面 ABCD，且 PA = 3，点M 在棱PD上，点 N 为BC 中点.若
DM = 2MP ，证明：直线MN // 平面PAB .
ur r
4-3．（2024 高二下·四川成都·期中）已知直线 l的方向向量为m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量为 n = x,1, - 2)，若
直线 l与平面a 平行，则实数 x 的值为（ ）
1 1
A． B．-
2 2
C．10 D．-10
4-4．（2024 高一·全国·专题练习）如图，四棱锥P - ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，线段 AD 的中点为
O 且PO ^底面 ABCD， AB = BC
1
= AD =1 π， BAD = ABC = ，E 是 PD 的中点．证明：CE / /平面
2 2
PAB .
4-5．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，
AA1 = 4 .
(1)求证： AC ^ BC1；
(2)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1 / /平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理
由．
4-6．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在
1 1
对角线 BD，AE 上，且BM = BD， AN = AE ．求证：MN / / 平面 CDE．
3 3
uuuur uuuur
4-7．（2024 高三上·河南安阳·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是BB1的中点，B1F = lB1D1 ，且EF //
平面 ACD1，则实数l 的值为（ ）
1 1 1 1
A． B C D5 ． ． ．4 3 2
（五）
证明面面平行
1、利用空间向量证明面面平行的方法：
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明.
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
2、证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
题型 5：利用向量证明面面平行
5-1．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，平面PAD ^平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，△PAD是
直角三角形，且PA = AD = 2，E ，F ，G 分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG / / 平面
PBC ．
ur uur
5-2．（2024 高二上·山东聊城·期末）已知 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分别是平面a , b 的法向量，若
a //b ，则 x =（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
5-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为底面 ABCD的中心，P 是DD1的
中点．在棱CC1上是否存在一点Q，使得平面D1BQ// 平面PAO ？若存在，指出点Q的位置；若不存在，请
说明理由．
5-4．（2024 高二·全国·课后作业）已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，
求证：（1）FC1∥平面 ADE；
（2）平面 ADE∥平面 B1C1F.
（六）
证明线线垂直
1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法：
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算
法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表
示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂
直.
2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直
→得到两直线垂直．
题型 6：利用向量证明线线垂直
6-1．（2024 高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在棱长为 a的正方体OABC - O1A1B1C1中，E ，F 分别是棱
AB ，BC 上的动点，且 AE = BF = x ，其中0 x a ，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz .
(1)写出点E ，F 的坐标；
(2)求证： A1F ^ C1E .
r r
6-2．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l1, l2 的方向向量分别为 a = 1,2,-2 ,b = -2,3, m ，若 l1 ^ l2，则实数m
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6-3．（2024 高二·江苏·专题练习）如图，在直棱柱 ABC - A B C AA = AB = AC = 2 BAC
π
1 1 1中， 1 ， = ，D, E, F2
分别是 A1B1 ，CC1，BC 的中点．求证： AE ^ DF ；
6-4．（2024·四川雅安·模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D，
E，F 分别是所在棱的中点．则满足直线 AD ^ EF 的图形个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（七）
证明线面垂直
1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直
①将直线的方向向量用坐标表示．
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①将直线的方向向量用坐标表示．
②求出平面的法向量．
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2、利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,
然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量
积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量
与平面法向量共线,从而证得结论.
题型 7：利用向量证明线面垂直
7-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中
点．求证：AB1⊥平面 A1BD.
ur r
7-2．（2024 高二上·北京石景山·期末）已知m = (-2,a + b, a - b)(a,b R)是直线 l 的方向向量，n = (2,-1,2)是
平面a 的法向量．若 l ^ a ，则下列选项正确的是（ ）
A． a - 3b - 4 = 0 B．a - 3b - 5 = 0 C． a
1
= - ,b 3 1 3= D． a = ,b = -
2 2 2 2
7-3．（2024 高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在的平面互相垂直，
AD ^ CD ， AB//CD ， AB = AD = 2 ，CD = 4，M 为 CE 的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：BM ^ DC ；
(2)求证：BC ^平面BDE .
7-4．（2024 高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别为棱
uuur uuuur
B1C1 ，BB1的中点，G 为面对角线 A1D上的一点，且DG = lDA1(0 l 1) ,若 A1C ^平面EFG ，则l = （ ）
1 1 1
A． B． C 2． D4 ．3 4 2
7-5．（2024·天津河东·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，正方形 ABCD的边长为
2，E 是PA的中点．
(1)求证：PC / /平面BDE ．
(2)若PA = 2 ，线段PC 上是否存在一点F ，使 AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说
明理由．
7-6．（2024 高二下·四川达州·阶段练习）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD为平行四边形, M
为 AA1的中点，BC = BD =1, AB = AA1 = 2 .
(1)求证: MD ^ 面BC1D；
(2)求三棱锥 M - BC1D的体积.
（八）
证明面面垂直
证明面面垂直的两种方法：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的
位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了
思维难度.
题型 8：利用向量证明面面垂直
8-1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形 ABCP 中，D 为 PA 的中点，PA ^ AB，CD / / AB，
且 PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角P - DC - B ，连接 PA、PB，设 PB 中点
为 E．
(1)证明：平面 PBD ^平面 PBC；
(2)在线段 BD 上是否存在一点 F，使得 EF ^平面 PBC？若存在，请确定点 F 的位置；若不存在，请说明理
由．
8-2．（2024 高二上·安徽安庆·阶段练习）如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD中， BAD = 60o , DE ^ AB 于点
E ，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ BE ，如图 2．
(1)求证： A1E ^平面BCDE ；
A EP ^ A BD BP(2)在线段BD上是否存在点 P ，使平面 1 平面 1 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．BD
8-3．（2024 高二上·安徽）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2， AB =1，点E 为棱PC 的中点．证明：
(1) BE / /平面PAD ；
(2)平面PCD ^平面PAD ．
8-4．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，VABC 是一个正三角形，EC ^平面 ABC ，BD ∥ CE，且
CE = CA = 2BD， M 是 EA 的中点．求证：平面DEA ^平面ECA .
一、单选题
1．（2024 高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，
r
AB ^ AC, AB = AC = 1, PA = 2 ，以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示， n为平面 PBC 的一个法向量，
r
则 n的坐标可能是（ ）
1 1 1A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
． - ,- , B2 2 4 ÷ ．
- , ,-
2 2 4 ÷
C． , , D , ,
è è è 2 4 2 ÷
． ÷
è 2 2 4
r uuur r
2．（2024 高二下·山西吕梁·开学考试）已知点P0 -1,2,3 在平面a 内，平面a = P∣n × P0P = 0 ，其中 n = 1, -1,1
是平面a 的一个法向量，则下列各点在平面a 内的是（ ）
A． 2, -4,8 B． 3,8,5 C． -2,3,4 D． 3, -4,1
r r
3．（2024 高二下·江苏常州·期中）设向量 a = 3,-2,-1 是直线 l 的方向向量， n = -1,-2,1 是平面 α 的法向
量，则（ ）
A． l ^ a B． l / /a 或 l a C． l / /a D． l a
4（．2024 高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A - BCD
中，AB ^平面BCD， BDC=90° ，BD = AB = CD .若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面 ACD的一
个法向量为（ ）
A． 0,1,0 B． 0,1,1 C． 1,1,1 D． 1,1,0
r r
5．（2024 高二下·四川绵阳·期中）设u = 2,0,-1 是平面a 的一个法向量，a = 1,0,2 是直线 l 的一个方向向
量，则直线 l 与平面a 的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直
6．（2024 高二下·江苏连云港·期中）已知直线 l∥a ，且 l 的方向向量为 (2,m,1)，平面a 的法向量为
1,
1 ,2
2 ÷
，则m =（ ）
è
A．1 B．-1 C．-8 D．8
7．（2024 高一下·浙江杭州·期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 为线段D1B上的动点，M，N 分别为
D P
棱BC, AB的中点，若DP / / 1平面B1MN ，则 =D （ ）1B
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 2 3
r r
8．（2024 高二上·陕西）已知平面内的两个向量a = (2，3，1)，b = (5，6，4)，则该平面的一个法向量为
（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
9．（2024 高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱长为
3,CA = CB = 4, ACB π= ，点D，E 分别在 AA1, B1C1上，F 为 AB 的中点，若CD ^ FE ，则线段 AD 的长度2
为（ ）
3 2 8 9 12A． B． C． D．
2 3 4 5
r uuur
10．（2024 高二下·江苏宿迁·期中）已知平面 α 的一个法向量为 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 ，则 AB 所在直线
l 与平面 α 的位置关系为（ ）.
A． l ^ a B． l a
C． l∥a D．l 与 α 相交但不垂直
11．（2024 高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱
垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F
分别为 PD，PB 的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG / / 平面EFC ，则 AG =
（ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
12．（2024 高三下·北京海淀·开学考试）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，F 为线段BC1的中点，E 为线
段 A1C1上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．EF ∥平面 A1BCD1
B．存在点E ，使EF ^ 平面BB1C1C
C．存在点E ，使EF∥ A1C
D．DB1 ^ EF
13．（2024 高二上·湖南娄底·期末）如图， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F 分别为 PD，PB
的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG∥平面EFC ，则 AG = （ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
14．（2024 高三下·陕西安康·阶段练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 是线段C1D1（不含端点）上的动点，
N 为 BC 的中点，则（ ）
A．BD ^ AM B．平面 A1BD ^平面 AD1M
C．MN // 平面 A1BD D．CM // 平面 A1BD
二、多选题
15．（2024 高二下·江苏盐城·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是
（ ）
r r
A．若两条不重合直线 l1， l2的方向向量分别是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，则 l1 //l2
r ur
B．若直线 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0 ，则 l //a
ur uur
C．若两个不同平面a ， b 的法向量分别为 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，则a //b
ur
D．若平面a 经过三点 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，则
u + t =1
16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，矩形BDEF 所在平面与正方形 ABCD所在平面互相垂直，
AD=DE=4，G 为线段 AE 上的动点，则（ ）
A． AE ^ CF
B．若G 为线段 AE 的中点，则GB // 平面CEF
C 4 3．点 B 到平面 CEF 的距离为
3
D．BG2 + CG2的最小值为 48
ur
17．（2024 高二上·广东深圳·期末）已知直线 l的方向向量为m ，两个不重合的平面a ， b 的法向量分别为
ur uur
n1 ， n2 ，则（ ）
ur uur ur uur
A．若 m / /n1 ，则 l ^ a B．若 m × n1 = 0，则 l / /a
ur uur ur uur
C．若 n1 / /n2 ，则a / /b D．若 n1 ×n2 = 0，则a ^ b
18．（2024 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱 AA1 ^ 底面 A1B1C1，
BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，D是棱CC1的中点， P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点.若点Q在
直线B1P 上，则下列结论错误的是( )
A．当Q为线段B1P 的中点时，DQ ^平面 A1BD
B．当Q为线段B1P 的三等分点时，DQ ^平面 A1BD
C．在线段B1P 的延长线上，存在一点Q，使得DQ ^平面 A1BD
D．不存在点Q，使DQ 与平面 A1BD 垂直
19．（2024 高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为 B1C1 边的中点，点
P 在底面 ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点 P ，使得D1P ^ AD1
B．过三点A 、M 、D1的正方体 ABCD - A1B1C1D
9
1的截面面积为 8
π
C．四面体 A1C1BD 的内切球的表面积为 3
D．点 N 在棱BB1上，且B1N = 4NB，若D1P ^ NP ，则满足条件的 P 的轨迹是圆
20．（2024 高三上·福建福州·开学考试）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为 AA1中点，若直线EF / /平面
A1BC1，则点 F 的位置可能是（ ）
A．线段CC1中点 B．线段BC 中点 C．线段CD中点 D．线段C1D1中点
21．（2024 高二下·江苏盐城·期中）点 P 在正方体 ABCD - A1B1C1D1的侧面CDD1C1 及其边界上运动，并保持
BP ^ A1C ，若正方体边长为 ，则 A1P 的可能取值是（ ）
A 3． B 7． C． 2 D． 3
2 2
三、填空题
ur
22．（2024 高二上·上海徐汇·期末）已知直线 l的一个方向向量 d = 2,3,5 ，平面 α 的一个法向量
r
n = 4, m, n ，若 l ^ a ，则m + n = ．
23．（山东省东营市广饶县第一中学 2023-2024 学年高二上学期 10 月月考数学试题）如图，在正方体中，O
为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足MN ^ OP的是 （填写正
确的序号）
r
24．（2024 高二下·江苏·阶段练习）已知直线 l 的方向向量为 e = -1,1,2 ，平面 α 的法向量为
r
n = (1 ,l,-1) l R ，若 l⊥α，则实数 λ 的值为 ．
2
r
25．（2024 高二上·吉林辽源·期末）设直线 l 的方向向量为m = (1, -2, z) ，平面a 的一个法向量为
r
n = (2,-1,1)，．若直线 l//平面a ，则实数 z 的值为 ．
r r
26．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知u = a + b,a - b, 2 是直线 l 的一个方向向量， n = 2,3,1 是平面 α 的
一个法向量，若 l⊥α，则 a，b 的值分别为 .
27．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥 E - ABCD中，平面 ADE ^平面 ABCD，O，M 分别为 AD，
DE 的中点，四边形 BCDO 是边长为 1 的正方形，AE = DE ，AE ^ DE．点 N 在直线 AD 上，若平面BMN ^
平面 ABE ，则线段 AN 的长为 ．
28．（2024 高二下·江苏南京·期末）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在线段 CC1上，且
uuuur uuuur
MC1 = 2CM ．点 P 在平面 A1B1C1D1上，且 AP⊥平面 MBD1，则线段 AP 的长为 ．
四、解答题
29．（2024 高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1的底面边长 1，侧棱长 4， AA1中点为
E ，CC1中点为F ．求证：平面BDE / / 平面B1D1F .
30．（2024 高二·全国·课后作业）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 E，F 分别是正方形 A1B1C1D1和正方形B1C1CB
的中心．求证：
(1) AC1 ^平面 A1BD ；
(2) EF // 平面 A1BD ；
(3)平面B1EF∥平面 A1BD ．
31．（2024 高二·全国·课后作业）在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝
1，E 为 BB1的中点，求证：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
32．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AD =1，AB = AA1 = 2，N 、M
分别 AB 、C1D 的中点.
（1）求证： NM // 平面 A1ADD1；
（2）求证： NM ^平面 A1B1M .
33．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别是DD1、BD
的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：EF ^ B1C ．
34．（2024 高二·湖南·课后作业）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 6， AA1 = 3，建立适
当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面 ABCD；
(2)平面 ACC1A1 ；
(3)平面 ACD1．
35．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，PD＝AD＝DC，底面 ABCD
uuur
为正方形，E 为 PC 的中点，点 F 在 PB 上，问点 F 在何位置时，PB为平面 DEF 的一个法向量
36．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥P - ABCD 的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，
BC = 2AB, AC = 3AB, PB ^ AC .
(1)求证：平面PAB ^平面 ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形 BEQF 是过B,Q 两点的截面，且 AC ∥平面 BEQF ，是否存在点Q，使得
PQ
平面BEQF ^平面PAD ？若存在，求 QD 的值；若不存在，说明理由.
uuur uuur uuur
37．（2024 高二下·广西·期中）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 满足 AP = l AC + m AA1 ，其中
l [0,1]，m 0,1 ．
(1)当l =1时，求三棱锥 B - DD1P 的体积；
(2)当 2l 2 + m 2 = 1时，直线 BP 与平面 ACC1A1 所成角的正切值的取值范围；
(3)当l + m =1时，是否存在唯一个点 P，使得BP ^ 平面 ADP，若存在，求出 P 点的位置；若不存在，请说
明理由．
38．（2024 高二下·江苏连云港·期中）如图，在多面体 ABCDE 中，VABC ，△BCD，VCDE都是边长为 2 的
等边三角形，平面 ABC ^ 平面BCD，平面CDE ^ 平面BCD．
(1)判断A ， B ，D，E 四点是否共面，并说明理由；
(2)在VABC 中，试在边BC 的中线上确定一点Q，使得DQ ^平面BCE ．
39．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2, AB =1，点E 为棱PC 的中点.证明：
(1) BE ^ DC ；
(2) BE / /平面PAD ；
(3)平面 PCD ⊥平面PAD .
40．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AB / /DC ， DA ^ AB，
2
AB = AP = 2 ，DA = DC = 1，E 为 PC 上一点，且PE = PC ．
3
(1)求证： AE ^ 平面 PBC；
(2)求证：PA / / 平面 BDE．
41．（2024 高三·全国·专题练习）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 、N 分别为 AB 、B1C 的中点．用向
量法证明平面 A1BD// 平面B1CD1；
42．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD ^底面
ABCD，E，F 分别为 PA，BD 中点，PA = PD = AD = 2．
(1)求证：EF // 平面 PBC；
(2)在棱 PC 上是否存在一点 G，使GF ^平面 EDF？若存在，指出点 G 的位置；若不存在，说明理由．
43（．2024 高二上·浙江·阶段练习）如图，在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知△ABC 为正三角形，四边形 ACC1A1
是菱形，D，E 分别是 AC，CC1的中点，平面 ACC1A1 ⊥平面 ABC.
(1)求证： A1C ^平面BDE ；
DM
(2)若 C CA = 60o1 ，在线段 DB1上是否存在点 M，使得 AM // 平面 BDE？若存在，求 DB 的值，若不存在，1
请说明理由．
44．（2024 高二·全国·课后作业）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 A1D 上，点 Q 在线段 AC 上，线段
PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直，求证：PQ∥BD1.
45．（2024 高二·全国·课后作业）在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E,F 分别是 AB,BC 上的动点,且 AE=BF,
求证:A1F⊥C1E.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 8 题型分类
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间中点的位置向量:
→
如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量O P来表示．我们把向量
→
O P称为点 P 的位置向量．
2．空间中直线的向量表示式:
直线 l 的方向向量为 a，且过点 A，如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件
是存在实数 t，使
→ →
OP＝OA＋ta，①
→
把AB＝a 代入①式得
→ → →
OP＝OA＋tAB，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3．空间中平面的向量表示式：
(1)平面 ABC 的向量表示式
→ → → →
空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.③
我们把③式称为空间平面 ABC 的向量表示式．
(2)平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量 a ，我们称 a 为平面 α 的法向量；过点 A 且以 a 为法向量的平
→
面完全确定，可以表示为集合 {P|a·A P＝0}．
二、空间中直线、平面的平行
1．线线平行的向量表示：
设 u1，u2分别是 l1，l2的方向向量，则 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得 u1＝λu2.
2．线面平行的向量表示：
设 u 是 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，则 l∥α u⊥n u·n＝0.
3．面面平行的向量表示:
设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得 n1＝λn2
三、空间中直线、平面的垂直
1．线线垂直的向量表示:
设 u1，u2分别是直线 l1,l2的方向向量，则 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．线面垂直的向量表示:
设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，则 l⊥α u∥n λ∈R，使得 u＝λn.
3．面面垂直的向量表示:
设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
（一）
直线的方向向量
理解直线方向向量的概念：
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
（3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
题型 1：直线的方向向量
ur
1-1．（2024 高二下·江苏常州·期中）已知直线 l 的一个方向向量m = 2,-1,3 ，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(－
1，2，z)两点，则 y－z 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
ur uuur
【分析】根据m// AB求解即可.
uuur
【详解】由题知： AB = -1,2 - y, z - 3 ，
ur uuur 2 -1 3 3 3
因为m// AB，所以 = = y = , z =-1 2 ，解得 ，- y z - 3 2 2
所以 y - z = 0 .
故选：A
ur
1-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知直线 l的一个方向向量m = 2,-1,3 ，且直线 l过点 A 0, a,3 和B -1,2,b
两点，则 a + b =（ ）
3
A．0 B．1 C． D．3
2
【答案】D
uuur uuur ur uuur ur
【分析】首先求出 AB ，依题意 AB//m，则 AB = lm，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.
uuur
【详解】因为直线 l过点 A 0, a,3 和B -1,2,b 两点，所以 AB = -1,2 - a,b - 3 ，
ur uuur ur
又直线 l的一个方向向量m = 2,-1,3 ，所以 AB//m，
uuur ur
所以 AB = lm，所以 -1,2 - a,b - 3 = 2l, -l,3l ，
ì
l
1
= -
ì2l = -1 2
所以 í-l = 2 - a
，解得 ía
3
= ，所以 a + b = 3 .
2
3l = b - 3 3
b = 2
故选：D
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）若P(1,0,-2)，Q(3,1,1)在直线 l上，则直线 l的一个方向向量为 （ ）
A． 1,2,3 B． 1,3,2
C． 2,1,3 D． 3,2,1
【答案】C
【分析】利用方向向量的定义求解.
uuur
【详解】依题意，直线 l的一个方向向量为PQ = (3， 1， 1) - (1， 0， - 2) = (2， 1，3)，其他三个均不合要求.
故选：C．
（二）
平面的法向量
求平面法向量的方法与步骤：
(1)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)；
→ →
(2)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如A C，A B；
→
n·AC＝0，
(3)联立方程组{ 并求解；→n·AB＝0，
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平
面的一个法向量．
题型 2：平面的法向量
2-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知四边形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD， SA＝AB
1
＝BC＝1， AD＝ ，求平面 SCD 的一个法向量．
2
r
【答案】 n = -2,1, -1
【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质进行求解即可.
【详解】以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，
D 1 ,0,0 2 ÷
，C 1,1,0 , S 0,0,1 ，
è
uuur uuur
SC = 1,1, 1-1 , DC = ,1,0
è 2 ÷
r
设平面 SCD 的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuur r ìx + y - z = 0
ìSC × n = 0 r
则有 íuuur
í1 n = -2,1, -1 ，
DC × n
r
= 0 x + y = 0 2
r
n = -2,1, -1 是平面 SCD 的一个法向量．
2-2．（2024 高二上·上海浦东新·期中）如图的空间直角坐标系中，PD垂直于正方形 ABCD所在平面，
uur
AB = 2, PB p与平面 xDy 的所成角为 ，E 为 PB中点，则平面 ABE 的单位法向量n0 = ．（用坐标表示）4
【答案】±( 6 ,0, 3 )
3 3
【分析】根据给定条件，借助线面角求出 DP 长，并求出点 A，B，P 的坐标，再利用空间向量求出平面 ABE
的单位法向量作答.
p
【详解】如图，连接 BD，因PD ^平面 ABCD，则 PBD 是与平面 xDy 所成的角，即 PBD = ，
4
在正方形 ABCD中，BD = 2AB = 2 2 ，而PD ^ BD，则有PD = BD = 2 2 ，
uuur uuur
于是得 A(2,0,0), B(2, 2,0), P(0,0, 2 2)，PB 中点 E 1,1, 2 ， AB = (0, 2,0), AE = (-1,1, 2)，
uuur
r ìn
r
× AB = 2y = 0 r
设平面PAB的一个法向量为n = (x, y,z)，则 í r uuur ，令 z =1，得 n = ( 2,0,1)，
n × AE = -x + y + 2z = 0
r 1 rr n 1与 n共线的单位向量为± = ± ( 2,0,1) (
6 ,0, 3= ± )，
| n | 3 3 3
uur 6 3
所以平面 ABE 的单位法向量 n0 = ±( ,0, ) .3 3
6 3
故答案为：±( ,0, )
3 3
2-3．（湖北省荆州市沙市中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱
uuur uuur uuuur
长为 1， 以D为原点， DA, DC, DD1 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面 AB1C 的一个法向
量是（ ）
A． (1,1,1) B． (-1,1,1)
C． (1, -1,1) D． (1,1,-1)
【答案】D
uuur uuur
【分析】由题意求出相关点的坐标，求得 AB1 = (0,1,1) ， AC = (-1,1,0)，设平面 AB1C 的法向量为
r uuur
r ìn × AB = 0n = (x, y, z) 1，可得 í r uuur ，解方程组，可得答案.
n × AC = 0
【详解】如图，B1(1,1,1), A(1,0,0),C(0,1,0)，
uuur uuur
则 AB1 = (0,1,1) ， AC = (-1,1,0)，
r
设平面 AB1C 的法向量为 n = (x, y, z)，
uuur
ìn
r
× AB
uuur1
= 0 ìy + z = 0
则 í r ，即 í ，
n × AC = 0 -x + y = 0
取 y =1，则 x =1, z = -1，
r
∴平面 AB1C 的一个法向量为∶ n = (1,1, -1) ,
r
选项A,B,C中的向量与 n = (1,1, -1)不共线，D 中向量符合题意，
故选︰D．
2-4．（2024 高二下 ·江苏淮安 ·阶段练习）空间直角坐标系 O - xyz 中，已知点 A 2,0,2 ， B 2,1,0 ，
C 0,2,0 ，则平面 ABC 的一个法向量可以是（ ）．
A． 2,1,2 B． -1,2,1 C． 2,4,2 D． 2, -1,2
【答案】C
【分析】
根据求平面 ABC 的法向量，逐项分析判断即可.
uuur uuur
【详解】由题意可得： AB = 0,1, -2 , BC = -2,1,0 ，
uuur
r ìnr × AB = y - 2z = 0
设平面 ABC
的法向量为 n = x, y, z ，则 í
nr
uuur ，
× BC = -2x + y = 0
r
令 x =1，则 y = 2, z =1，即 n = 1,2,1 .
ur 2 1 2 r ur
对 A：若m = 2,1,2 ，由 ，可得： n与m不共线，1 2 1
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，A 错误；
ur -1 2 1 r ur
对 B：若m = -1,2,1 ，由 = ，可得： n与m不共线，1 2 1
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，B 错误；
ur ur r r ur
对 C：若m = 2,4,2 ，则m = 2n，即 n与m共线，
ur
故m是平面 ABC 的法向量，C 正确；
r 2 -1 r ur对 D：若m = 2, -1,2 ，由 ，可得： 与 不共线，
1 2 n m
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，D 错误；
故选：C.
（三）
证明线线平行
利用向量证明线线平行的思路：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
题型 3：利用向量证明线线平行
3-1．（2024 高二·全国·课后作业）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 3， AA1 = 3，点 S、P 在
CC 1棱 1、 AA1上，且 CS = SC1 ， AP = 2 PA1 ，点 R、Q 分别为 AB、D1C1的中点．求证：直线PQ∥直线2
RS ．
【答案】证明见解析.
【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.
uuur uuur uuuur
【详解】以点 D 为原点，分别以DA、DC 与 DD1 的方向为 x、y 与 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则D 0,0,0 、 A 3,0,0 、C 0,4,0 、B 3,4,0 、D1 0,0,3 、 A1 3,0,3 、C1 0,4,3 、B1 3,4,3 ，
由题意知P 3,0,2 、Q 0,2,3 、 S 0,4,1 、R 3,2,0 ，
uuur uuur
∴ PQ = -3,2,1 ，RS = -3,2,1 ．
uuur uuur
∴ PQ = RS ，又 PQ，RS 不共线，
∴ PQ∥RS .
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）已知在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB =1, AA1 = 2，点 E 为CC1的中点，
点 F 为BD1的中点．
uuur uuuur uuur uuuur
(1)求证：EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ；
uuur uuur
(2)求证： EF ∥ AC ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明（1）和（2）.
【详解】（1）在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，
则C 0,0,0 ， B 0,1,0 ，D1 1,0,2 F
1 , 1 ,1 ， ÷ ，C1 0,0,2 ，E 0,0,1 ， A 1,1,0 ．
è 2 2
uuur 1
1 EF = ,
1 ,0
uuuur uuuur
（ ）由 ÷ ，CC1 = 0,0,2 ，BD1 = 1, -1,2 ，è 2 2
uuur uuuur uuur uuuur
EF BD 1 1得EF ×CC1 = 0 + 0 + 0 = 0且 × 1 = - + 0 = 0，2 2
uuur uuuur uuur uuuur
所以EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ．
uuur uuur 1 1 uuur
AC 1, 1,0 EF = , ,0 EF 1
uuur uuur uuur
（2） = - - ，由于 ÷ ，显然 = - AC ，故 ．
è 2 2 2
EF ∥ AC
3-3．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，已知空间几何体P - ABCD 的底面 ABCD 是一个直角梯形，其中
BAD = 90o , AD//BC , BA = BC = a , AD = 2a ，且PA ^底面 ABCD，PD 与底面成30o角．
uuur uuur
(1)若BC × PD = 8，求该几何体的体积；
(2)若 AE 垂直 PD 于 E，证明：BE ^ PD；
(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点 F，使得EF //BD，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理
由．
8 3
【答案】(1)
3
(2)证明见解析
F a 3
(3)存在 ,0, a ÷÷．
è 4 2
【分析】建立空间直角坐标系，
uuur uuur uuur uuur
（1）求出BC, PD，利用BC × PD = 2a2 = 8可得 a，再求体积即可；
uuur uuur uuur
（2）求出 BE 坐标，PD × BE = 0可得答案；
3 uuur uuur
（3）由EF //BD，求出 E 点的竖坐标、F 点的竖坐标，设F x,0, a2 ÷÷ ，由FE //BD，得
x 可得答案．
è
2 3
【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则 A 0,0,0 , B a,0,0 ,C a,a,0 , D 0,2a,0 ，P 0,0, a ÷÷ ，
è 3
uuur uuur
BC = 0, a,0 , PD 0,2a, 2 3= - a ，
è 3 ÷
÷
uuur uuur
\BC × PD = 2a2 = 8,\a = 2，
V 1 1 4 3 8 3此时 = 4 + 2 2 = ；
3 2 3 3
a uuur
（2）E 0, ,
3 a a 3÷÷ ,\BE = 0, , a ÷÷ - a,0,0 a,
a , 3= - a ÷÷，
è 2 2 è 2 2 è 2 2
uuur uuur
QPD × BE = 0,2a,
2 3 a a 3- ÷÷ × -a, , a ÷÷ = 0 + a
2 - a2 = 0 ，
è 3 è 2 2
uuur uuur
\BE ^ PD,\BE ^ PD ；
（3）由EF //BD 3 3，E 点的竖坐标为 a ，\F 点的竖坐标为 a ，
2 2
3 uuur uuur a a 3 \设F x,0, a ，由2 ÷÷ FE //BD，得
x = ，\存在F ,0, a ÷．
è 4 ÷è 4 2
（四）
证明线面平行
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量 p与平面内的两个不共线向量 a,b是共面向量,即满足 p=xa+yb(x,y∈
R),则 p,a,b 共面,从而可证线与面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量 p 与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证
明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平
行.
题型 4：利用向量证明线面平行
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在四面体 A - BCD中， AD ^ 平面BCD，BC ^ CD， AD = 2，
BD = 2 2 ．M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点，点Q在线段 AC 上，且 AQ = 3QC ．证明：PQ / /平面
BCD；
【答案】证明见解析
【分析】
建系，利用空间向量证明线面平行.
【详解】因为BC ^ CD， AD ^ 平面 BCD，故以 C 为原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，
过点 C 作 DA 的平行线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CD = a,0 < a < 2 2 ，则BC = 8 - a2 ，
可得D(a,0,0)，C(0,0,0) ，B 0, 8 - a2 ,0 ， A(a,0, 2)，
因为M 是 AD 的中点，则M (a,0,1)，
P a 8 - a
2 1 a 1
则 , , ÷ AQ = 3QC Q
,0,
÷，因为 ， ÷ ，
è 2 2 2 è 4 2
uuur
PQ a , 8 - a
2
可得 = - - ,0 ÷4 2 ÷
，
è
r
因为平面 BCD 的法向量可取为 n = 0,0,1 ，
uuur r
则 PQ × n = 0，且PQ 平面 BCD，
所以 PQ∥平面 BCD．
4-2．（2024 高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形，其中 AD//BC .
AD ^ AB, AD = 3, AB = BC = 2, PA ^ 平面 ABCD，且 PA = 3，点M 在棱PD上，点 N 为BC 中点.若
DM = 2MP ，证明：直线MN // 平面PAB .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.
【详解】如图所示，以点A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,3), B(2,0,0), D(0,3,0),C(2, 2,0), N (2,1,0)，
uuuur
若DM = 2MP ，则M (0,1, 2) ，MN = (2,0,-2)，
因为PA ^平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 AD ^ PA，
又因为 AD ^ AB，PAI AB = A，PA, AB 平面PAB，
所以 AD ^ 平面PAB
uuur
平面PAB的其中一个法向量为 AD = (0,3,0) ，
uuuur uuur
所以MN × AD = 0，即 AD ^ MN ，
又因为MN 平面PAB，
所以MN // 平面PAB .
ur r
4-3．（2024 高二下·四川成都·期中）已知直线 l的方向向量为m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量为 n = x,1, - 2)，若
直线 l与平面a 平行，则实数 x 的值为（ ）
1 1
A． B．-
2 2
C．10 D．-10
【答案】C
ur r ur r
【分析】依题意可得m ^ n，即可得到m × n = 0，从而得到方程，解得即可.
ur r
【详解】因为直线 l的方向向量为m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量为 n = x,1, - 2)，
ur r ur r
若直线 l与平面a 平行，则m ^ n，即m × n = 0，即 x - 2 - 8 = 0，解得 x =10 .
故选：C．
4-4．（2024 高一·全国·专题练习）如图，四棱锥P - ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，线段 AD 的中点为
AB BC 1O 且PO ^底面 ABCD， = = AD =1， BAD = ABC
π
= ，E 是 PD 的中点．证明：CE / /平面
2 2
PAB .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出CE的方向向量和平面PAB的法向量即可证明.
BAD ABC π【详解】因为在底面 ABCD 内， = = ，所以BC / / AD ，
2
连接OC ，因为O为 AD 的中点，BC
1
= AD ，所以BC = AO，
2
所以四边形 ABCO是平行四边形，所以OC / /AB ，
π
又因为 BAD = ，所以OC ^ AD，
2
因为PO ^底面 ABCD，OC, AD 底面 ABCD，所以PO ^ OC, PO ^ AD，
所以以O为原点，分别以OC,OD,OP为 x, y, z轴建立如图空间直角坐标系，
AB BC 1因为侧面 PAD 为等边三角形， = = AD =1，
2
所以 A 0, -1,0 ，B 1, -1,0 ，C 1,0,0 ，P 0,0, 3 ，D 0,1,0 ，
1 3
因为 E 是 PD 的中点，所以E 0, ,2 2 ÷÷
，
è
uuur 1 3 uuur uuur
所以CE = -1, , ÷÷， AB = 1,0,0 ， AP = 0,1, 32 2 ，è
r
设平面PAB的法向量为 n = x, y, z ，则
uuur
ì AB·n
r
= x = 0 r
íuuur r ，令 z =1，得 n = 0, - 3,1 ，
AP·n = y + 3z = 0
uuur r
CEgn 0 3 3
uuur r
因为 = - + = 0，所以CE ^ n，
2 2
又因为CE 平面PAB，所以CE / /平面PAB .
4-5．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，
AA1 = 4 .
(1)求证： AC ^ BC1；
(2)在 AB 上是否存在点D，使得 AC1 / /平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理
由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)在 AB 上存在点D使得 AC1 / /平面CDB1，且D为 AB 的中点．
uuur uuuur
【分析】（1）本题首先以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出 AC = -3,0,0 、BC1 = 0, -4,4 ，最
uuur uuuur
后根据 AC × BC1 = 0即可证得 AC ^ BC1；
uuur uuur uuuur uuuur uuur
（2）本题可假设点D存在，则 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，然后通过 AC1 = mB1D + nB1C 得出
ì-3 = m 3 - 3l
í0 = m 4l - 4 - 4n，最后求出l 的值，即可得出结论.
4 = -4m - 4n
【详解】（1）因为 AC = 3，BC = 4， AB = 5，所以 ACB = 90o，
如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，以C 为坐标原点，直线CA、CB 、CC1分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立空间直角坐标系，
则C 0,0,0 ， A 3,0,0 ，C1 0,0,4 ，B 0,4,0 ， B1 0,4,4 ，
uuur uuuur
因为 AC = -3,0,0 ，BC1 = 0, -4,4 ，
uuur uuuur uuur uuuur
所以 AC × BC1 = 0， AC ^ BC1 ，即 AC ^ BC1 .
uuur uuur
（2）若存在点D使 AC1 / /平面CDB1，则 AD = l AB = -3l, 4l,0 ， 0≤l ≤1，
uuuur uuur uuuur
D 3- 3l, 4l,0 ，B1D = 3 - 3l, 4l - 4, -4 ，B1C = 0, -4,-4 ， AC1 = -3,0,4 ，
uuuur uuuur uuur
因为 AC1 / /平面CDB1，所以存在实数m 、 n ，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，
ì-3 = m 3 - 3l
则 í0 = m 4l - 4 - 4n 1，解得l = ，
2
4 = -4m - 4n
故在 AB 上存在点D使 AC1 / /平面CDB1，此时点D为 AB 中点.
4-6．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在
1 1
对角线 BD，AE 上，且BM = BD， AN = AE ．求证：MN / / 平面 CDE．
3 3
【答案】证明见解析
uuuur 2 uuurMN CD 1
uuur
【分析】根据空间向量的线性运算得到 = + DE ，再根据向量共面的充要条件可证结论正确.
3 3
1 uuur 1 uuurBM BD MB DB 1
uuur 1 uuur
【详解】∵M 在 BD 上，且 = ，∴ = = DA + AB．
3 3 3 3
uuur 1 uuur 1 uuur
同理得 AN = AD + DE ．
3 3
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuurMN MB BA AN DA AB BA 1 AD 1
uuur uuur
∴ = + + = + + + + DE 2 BA 1
uuur 2 uuur 1 uuur
= + DE = CD + DE ．
3 3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur
又CD与DE 不共线，
uuuur uuur uuur
∴根据向量共面的充要条件可知MN ，CD，DE 共面．
∵ MN 不在平面CDE 内，∴ MN // 平面 CDE．
uuuur uuuur
4-7．（2024 高三上·河南安阳·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是BB1的中点，B1F = lB1D1 ，且EF //
平面 ACD1，则实数l 的值为（ ）
1 1 1 1
A． B5 ． C． D．4 3 2
【答案】B
r uuur r
【分析】建立空间直角坐标系，设DA = a，DC = b，DD c
uuur
1 = ，求出EF 和平面 ACD1的法向量 n，利用EF ^ n
即可求出答案
【详解】以D为原点，分别以DA，DC ，DD1的方向为 ， y ， z 轴为正方向建立空间直角坐标系D - xyz ，
如图所示：
设DA = a，DC = b，DD1 = c ，
则 A a,0,0 ，C 0,b,0 ，D1 0,0,c
，E a,b,
c
÷，B a,b,c
è 2 1
uuur uuuur uuuur
所以 AC = -a,b,0 ， AD1 = -a,0,c ，B1D1 = -a, -b,0 ，
uuuur uuuur uuuur
因为B1F = lB1D1 ，所以B1F = -la, -lb,0 ，所以F 1- l a, 1- l b,c ，
uuur
EF = 所以 -la,-lb,
c
÷ ，
è 2
r
设平面 ACD1的法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ì AC ×n
r= - ax+by=0 r
所以 íuuuur r ，当 x = bc时， y = ac, z = ab ，则 n = bc,ac,ab ，
AD1 × n= - ax+cz=0
uuur r
因为EF // 平面 ACD1，所以EF ^ n ，
uuur
所以EF × n
r=- labc- labc+ abc =0 1，解得l = ，
2 4
故选：B
（五）
证明面面平行
1、利用空间向量证明面面平行的方法：
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明.
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
2、证明面面平行问题的方法：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
题型 5：利用向量证明面面平行
5-1．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，平面PAD ^平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，△PAD是
直角三角形，且PA = AD = 2，E ，F ，G 分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG / / 平面
PBC ．
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解.
【详解】因为平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，
所以 AB，AP，AD 两两垂直，
以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,2,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 , E 0,0,1 , F 0,1,1 ,G 1,2,0 ．
uuur uuur uuur uuur
所以PB = (2,0, -2)，FE = (0, -1,0) ，FG = (1,1, -1) ，BC = (0, 2,0) ，
ur
设 n1 = (x1, y1, z1)是平面 EFG 的法向量，
ur uuur
ur uuur ur uuur ì n1 × FE = 0 ì-y = 0
则 n1 ^ FE ， n1 ^ FG，即 íur uuur
1
，得 í
n × FG = 0 x1 + y1 - z 0
，
=
1 1
ur
令 z1 =1，则 x1 =1， y1 = 0 ，所以 n1 = (1,0,1)，
uur
设 n2 = (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PBC 的法向量，
uur uuur
uur uuur uur uuur ìn
n ^ PB n ^ BC uur2
× PB = 0 ì2x - 2z = 0
由 2 ， 2 ，即 í uuur
2 2
，得 í ，
n2 × BC = 0 2y2 = 0
uur
令 z2 =1，则 x2 =1， y2 = 0，所以 n2 = (1,0,1) ，
ur uur
所以 n1 / /n2 ，所以平面 EFG∥平面 PBC．
ur uur
5-2．（2024 高二上·山东聊城·期末）已知 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分别是平面a , b 的法向量，若
a //b ，则 x =（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
【答案】B
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
ur uur
【详解】因为 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分别是平面a , b 的法向量，且a //b ，
ur uur
n //n 3 x 2所以 1 2 ，即 = = ，解得 x = -1-3 3 -2 3
故选：B
5-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为底面 ABCD的中心，P 是DD1的
中点．在棱CC1上是否存在一点Q，使得平面D1BQ// 平面PAO ？若存在，指出点Q的位置；若不存在，请
说明理由．
【答案】存在，Q为CC1的中点.
【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点Q的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求
解.
【详解】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ// 平面PAO ．
证明如下：设Q 0,2,c 0 c 2 符合题意．连接D1B， D1Q ，BQ．
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，设正方体的棱长为 2，
则O 1,1,0 ， A 2,0,0 ，P 0,0,1 ，B 2,2,0 ， D1 0,0,2 ，
uuur uuur uuuur
∴ OA = 1,-1,0 ，OP = -1,-1,1 ，BD1 = -2, -2,2 ．
ur
设平面PAO 的法向量为 n1 = x, y, z ，
uv uuuv
ì n x - y = 0
则 íuv1
×OuuAuv = 0 ì，即 ，
n1 ×OP = 0
í
-x - y + z = 0
ur
令 x =1，则 y =1， z = 2 ，∴平面PAO 的一个法向量为 n1 = 1,1,2 ．
ur
若平面D1BQ// 平面PAO ，则 n1 也是平面D1BQ 的一个法向量．
uuur
∵ BQ = -2,0,c ，
ur uuur
∴ n1 × BQ = -2 + 2c = 0，∴ c =1，
ur uuuur
又 n1 × BD1 = -2 - 2 + 4 = 0，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ// 平面PAO ．
5-4．（2024 高二·全国·课后作业）已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，
求证：（1）FC1∥平面 ADE；
（2）平面 ADE∥平面 B1C1F.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量
积即可证明；
（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.
【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，
则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
uuuur uuur
FC uuur所以 1 =(0，2，1)，DA=(2，0，0)， A E =(0，2，1).
ur ur uuur ur uuur
（1）设 n1 =(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 ⊥ DA， n1 ⊥ A E ，
ur uuuv
ì n1·DA = 2x = 0， ìx = 0，
即 íur uuuv 1 1得 í z =2 y =-1
n ·AE = 2y + z = 0， z1 = -2y .
令 1 ，则 1 ，
1 1 1 1
ur uuuur ur uuuur ur
所以 n1 =(0，-1，2).因为FC1 · n1 =-2+2=0，所以FC1 ^ n1 .
又因为 FC1 平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
uuuur
（2）C1B1 =(2，0，0).
uuuur uuuur
设 n =(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.由 n ⊥ FC1 ， n ⊥ C B2 2 2 1 1 ，
uur uuuuv
ìn2·FC1 = 2y2 + z2 = 0， ìx2 = 0，
得 íuur uuuuv 得í
n ·C z = -2y .2 1B1 = 2x2 = 0， 2 2
令 z2=2，则 y2=-1，所以 n =(0，-1，2).2
因为 n = n ，所以平面 ADE∥平面 B1 2 1C1F.
【点睛】本题考查用向量证明线面平行、以及面面平行，属基础题.
（六）
证明线线垂直
1、利用向量方法证明线线垂直的常用方法：
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算
法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表
示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂
直.
2、证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直
→得到两直线垂直．
题型 6：利用向量证明线线垂直
6-1．（2024 高二上·山东济宁·阶段练习）如图，在棱长为 a的正方体OABC - O1A1B1C1中，E ，F 分别是棱
AB ，BC 上的动点，且 AE = BF = x ，其中0 x a ，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz .
(1)写出点E ，F 的坐标；
(2)求证： A1F ^ C1E .
【答案】(1) E a, x,0 ，F a - x, a,0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间直角坐标系中E ，F 的位置写出坐标；
uuuur uuuur
（2）求出 A1F ×C1E = 0，证明出结论.
【详解】（1）根据空间直角坐标系可得E a, x,0 ，F a - x, a,0 .
（2）∵ A1 a,0,a ，C1 0, a, a ，
uuuur uuuur
∴ A1F = -x, a,-a ，C1E = a, x - a, -a .
uuuur uuuur
即 A1F ×C1E = -ax + a x - a + a2 = 0，
uuuur uuuur
∴ A1F ^ C1E ，
故 A1F ^ C1E .
r r
6-2．（2024 高二·全国·课后作业）设直线 l1, l2 的方向向量分别为 a = 1,2,-2 ,b = -2,3, m ，若 l1 ^ l2，则实数m
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
r r
【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系， l1 ^ l2 a ×b = 0，计算即可.
r r
【详解】因为 l1 ^ l2，则其方向向量 a ^ b，
r r
a ×b =1 (-2) + 2 3 + (-2)m = 0，解得m = 2 .
故选:B.
6-3．（2024 高二·江苏·专题练习）如图，在直棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 = AB = AC = 2， BAC
π
= ，D, E, F
2
分别是 A1B1 ，CC1，BC 的中点．求证： AE ^ DF ；
【答案】证明见解析
【分析】根据直棱柱的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为三棱柱 ABC - A1B1C1是直三棱柱，
所以 AA1 ^ 面 ABC ，又 AB, AC 面 ABC ，故 AA1 ^ AB, AA1 ^ AC ，
π
因为 BAC = ，所以 AB ^ AC ，则 AA1 ,AC,AB 两两垂直，2
故以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 A 0,0,0 ,E 2,0,1 ,F 1,1,0 ,D 0,1,2 ，
uuur uuur uuur uuur
故 AE = 2,0,1 ,DF = 1,0,-2 ，所以 AE×DF = 2 +0 - 2 = 0，
uuur uuur
所以 AE ^ DF ，故 AE ^ DF .
6-4．（2024·四川雅安·模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D，
E，F 分别是所在棱的中点．则满足直线 AD ^ EF 的图形个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定的正三棱柱，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断每个图形即可作答.
【详解】令棱长均相等的直三棱柱为PMN - P1M1N1 ，令MN 的中点为 O，M1N1的中点为O1，MN = 2，
连接OP,OO1，显然OO1 / /MM1，而MM1 ^平面 PMN ，则OO1 ^平面 PMN ，而PO ^ MN ，
uuur uuuur uuuur
以点 O 为原点，向量OP,OM ,OO1 的方向分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
对于①，点 A，D，F 分别与点 P，O，O1重合，点 E 为棱 NN1中点，则
A( 3,0,0), D(0,0,0), F (0,0, 2), E(0,-1,1)，
uuur uuur uuur uuur
DA = ( 3,0,0), EF = (0,1,1)，有DA × EF = 0，因此 AD ^ EF ，图①满足；
对于②，点 A 与点 P 重合，点 D，E，F 分别棱 NN1, MM1, P1N1的中点，
uuur uuur
有 A( 3,0,0), D(0, 3 1-1,1), E(0,1,1), F ( , - , 2)，DA = ( 3,1, -1), EF 3 3= ( , - ,1) ，
2 2 2 2
uuur uuur
DA × EF = 3 3 +1 ( 3- ) + (-1) 1 = -1 0， AD 与EF 不垂直，图②不满足；
2 2
对于③，点 A，D，E 分别与点 P，O1，O 重合，点 F 为棱P1M1的中点，
uuur uuur
有 A( 3,0,0), D(0,0, 2), E(0,0,0), F ( 3 , 1 , 2)，DA = ( 3,0, -2), EF = ( 3 , 1 , 2) ，
2 2 2 2
uuur uuur
DA 3× EF = 3 + (-2) 2 5 = - 0， AD 与EF 不垂直，图③不满足；
2 2
对于④，点 A，F 分别与点 N，O1重合，点 D，E 分别棱PP1, PM 的中点，
uuur uuur
有 A(0, 3 1 3 1-1,0), D( 3,0,1), F (0,0, 2), E( , ,0)，DA = (- 3,-1,-1), EF = (- , - , 2)，
2 2 2 2
uuur uuur
DA × EF = - 3 ( 3 1- ) + (-1) (- ) + (-1) 2 = 0，因此 AD ^ EF ，图④满足，
2 2
所以满足直线 AD ^ EF 的图形个数是 2.
故选：B
（七）
证明线面垂直
1、用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直
①将直线的方向向量用坐标表示．
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①将直线的方向向量用坐标表示．
②求出平面的法向量．
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2、利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,
然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量
积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量
与平面法向量共线,从而证得结论.
题型 7：利用向量证明线面垂直
7-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中
点．求证：AB1⊥平面 A1BD.
【答案】证明见解析
【分析】建系，利用空间向量证明线面垂直.
【详解】如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO，因为△ABC 为正三角形，
所以 AO⊥BC，
因为在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，
AO 平面 ABC，则 AO ^ CC1，
BC CC1 = C ，BC,CC1 平面 BCC1B1，
所以 AO⊥平面 BCC1B1，
取 B1C1的中点 O1，以 O 为坐标原点，
uuur uuuur uuur
以OB,OO1,OA分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B 1,0,0 , D -1,1,0 , A1 0,2, 3 , A 0,0, 3 , B1 1,2,0 ，
uuur uuur uuur
所以 AB1 = 1,2,- 3 , BA1 = -1,2, 3 , BD = -2,1,0 ，
uuur uuur
ì
AB1 × BA1 =1 -1 + 2 2 + - 3 3 = 0
则 íuuur uuur ，
AB1 × BD =1 -2 + 2 1+ - 3 0 = 0
uuur uuur uuur uuur
可得 AB1 ^ BA1, AB1 ^ BD，即 AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，BA1, BD 平面 A1BD ，
所以 AB1⊥平面 A1BD.
ur r
7-2．（2024 高二上·北京石景山·期末）已知m = (-2,a + b, a - b)(a,b R)是直线 l 的方向向量，n = (2,-1,2)是
平面a 的法向量．若 l ^ a ，则下列选项正确的是（ ）
1 3 1 3
A． a - 3b - 4 = 0 B．a - 3b - 5 = 0 C． a = - ,b = D． a = ,b = -
2 2 2 2
【答案】C
ur r
【分析】根据 l ^ a 可得m与 n共线，由向量的坐标表示可得答案.
ur r
【详解】若 l ^ a ，则m = l n ，
ì
2 2 l = -1ì- = l
1
即 ía + b = -l
，解得 ía = - ，且 a - 3b
1 9
= - - = -5，即 a - 3b + 5 = 0 .
2 2 2
a - b = 2l b 3
=
2
故选：C.
7-3．（2024 高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在的平面互相垂直，
AD ^ CD ， AB//CD ， AB = AD = 2 ，CD = 4，M 为 CE 的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：BM ^ DC ；
(2)求证：BC ^平面BDE .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形 ADEF 的性质推得 DA, DC, DE 两两垂直，从而建立空间直角
uuuur uuur
坐标系，求得BM ，DC ，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证；
uuur uuur uuur
（2）结合（1）中结论得到BC ，DB，DE ，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得BC ^ DB，
BC ^ DE ，由此利用线面垂直的判定定理证得BC ^平面BDE .
【详解】（1）因为面 ADEF ^面 ABCD，面 ADEF I面 ABCD = AD ， AD ^ CD ，CD 面 ABCD，
所以CD ^面 ADEF ，又DE 面 ADEF ，所以CD ^ DE ，
又因为在正方形 ADEF 中， AD ^ DE ，所以 DA, DC, DE 两两垂直，
以 D 为原点， DA, DC, DE 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ，B 2,2,0 ，C 0,4,0 ，E 0,0,2 ，
因为 M 为 EC 的中点，所以M 0,2,1 ，
uuuur uuur
故BM = -2,0,1 ，DC = 0,4,0 ，
uuuur uuur uuuur uuur
所以BM × DC = 0，故BM ^ DC 即BM ^ DC .
uuur uuur uuur
（2）由（1）得BC = -2,2,0 ，DB = 2,2,0 ，DE = 0,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur
所以 BC × DB = -4 + 4 = 0 ，则BC ^ DB即BC ^ DB，
uuur uuur uuur uuur
又 BC × DE = 0 ，故BC ^ DE 即BC ^ DE ，
又DE DB = D ，DE, DB 平面BDE ，
所以BC ^平面BDE .
7-4．（2024 高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别为棱
uuur uuuur
B1C1 ，BB1的中点，G 为面对角线 A1D上的一点，且DG = lDA1(0 l 1) ,若 A1C ^平面EFG ，则l = （ ）
1 1
A 2
1
． B． C4 ． D．3 4 2
【答案】A
【分析】建立以D为坐标原点，DA为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴的空间直角坐标系，则有
uuur uuuur uuur uuur
A1C = (-2,2, -2), DA1 = (2,0, 2)，EG = (2l -1, -2, 2l - 2), FG = (2l - 2, -2,2l -1) ,由 A1C ^平面EFG ,可得
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A1C ^ EG, A1C ^ FG ,从而有 A1C × EG = 0, A1C × FG = 0 ,代入计算即可得答案.
【详解】解：以D为坐标原点，DA为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则D(0,0,0),C(0, 2,0), A1(2,0, 2), E(1, 2, 2), F (2, 2,1) ,
uuur uuuur uuur
所以 A1C = (-2,2, -2), DA1 = (2,0, 2), EF = (1,0, -1)，
uuur uuuur
由DG = lDA1(0 l 1) ,可得G 2l,0, 2l ，
uuur uuur
所以EG = (2l -1, -2, 2l - 2), FG = (2l - 2, -2,2l -1) ,
A1C ^平面EFG ,
uuur uuur uuur uuur
所以 A1C ^ EG, A1C ^ FG ,
uuur uuur uuur uuur
所以 A1C × EG = 0, A1C × FG = 0 ,
ì-2(2l -1) + 2 (-2) + (-2) (2l - 2) = 0
即 í
-2(2
，
l - 2) + 2 (-2) + (-2) (2l -1) = 0
l 1解得 = ，
4
当G 为线段 A1D上靠近D的四等分点时， A1C ^平面EFG .
故选: A .
7-5．（2024·天津河东·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，正方形 ABCD的边长为
2，E 是PA的中点．
(1)求证：PC / /平面BDE ．
(2)若PA = 2 ，线段PC 上是否存在一点F ，使 AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）连结 AC 交BD于点O，可知OE / /PC .然后根据线面平行的判定定理，即可得出PC / /平面
BDE ；
uuur uuur
（2）先证明CD ^平面 ADP．以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设PF = lPC ，
uuur r r uuur
求出点F 的坐标，然后得到 AF .求出平面BDE 的法向量 n，根据 n / / AF 得出l 的值，根据数乘向量的模，
即可得出答案.
【详解】（1）
如图 1，连结 AC 交BD于点O .
因为 ABCD是正方形，所以O是 AC 的中点，
又E 是PA的中点，所以OE / /PC .
因为OE 平面BDE ，PC 平面BDE ，
所以PC / /平面BDE .
（2）存在，理由如下：
因为PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以PA ^ CD ．
因为 ABCD为正方形，所以CD ^ DA．
又PA DA = A，PA 平面 ADP，DA 平面 ADP，
所以CD ^平面 ADP．
以点D为坐标原点，过点D作PA的平行线为 x 轴，分别以DA, DC 为 y, z 轴，
建立空间直角坐标系D - xyz ，如图 2，
则 A 0,2,0 ，B 0,2,2 ，C 0,0,2 ，D 0,0,0 ，P 2,2,0 ，E 1,2,0 ，
uuur
所以PC = -2, -2,2 .
uuur uuur
令PF = lPC 0 l 1 ，
uuur uuur uuur
则DF = DP + lPC = 2,2,0 + -2l,-2l, 2l = -2l + 2, -2l + 2,2l ,
uuur
所以F -2l + 2, -2l + 2,2l ，所以 AF = -2l + 2, -2l, 2l .
uuur uuur
因为DB = 0,2,2 ，DE = 1, 2,0 ，
r
设 n = x, y, z 是平面BDE 的一个法向量，
uuur
ìnr × DB = 0 ì2y + 2z = 0
则 í r uuur ，所以 í ，
n × DE = 0 x + 2y = 0
r
取 y = -1，则 n = 2, -1,1 是平面BDE 的一个法向量.
r uuur
因为 AF ^平面BDE ，所以 n / / AF ，
2 - 2l -2l 1 uuur 1 uuur
所以有 = ，解得l = ，所以PF = PC .
-2 1 3 3
uuur
因为 PC = -2 2 + -2 2 + 22 = 2 3 ，
uuur 1 uuurPF PF PC 2 3所以 = = = .
3 3
7-6．（2024 高二下·四川达州·阶段练习）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD为平行四边形, M
为 AA1的中点，BC = BD =1, AB = AA1 = 2 .
(1)求证: MD ^ 面BC1D；
(2)求三棱锥 M - BC1D的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)三棱锥 M - BC 21D的体积为 .
4
【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，利用向量方法证明MD ^ DB ，MD ^ DC1 ，结合线面垂直判
定定理证明MD ^ 平面BC1D；
方法二：证明BD ^ MD和MD ^ BC1，再根据线面垂直判定定理证明MD ^ 平面BC1D；
（2）先求VBC1D 的面积和MD ，结合锥体体积公式可求三棱锥 M - BC1D的体积.
【详解】（1）方法一：Q四边形 ABCD为平行四边形，
\ AD = BC = BD =1，又 AB = 2 ，
\ AD2 + BD2 = AB2 ，\ AD ^ BD ，又DD1 ^平面 ABCD，
uuur uuur uuuur
以D为坐标原点，DA, DB, DD1 为 x, y, z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ，M 1,0,
2
÷÷，B 0,1,0 ，C1 -1,1, 2 ，
è 2
uuuur 2 uuur uuuur
\MD = -1,0,- ÷÷，DB = 0,1,0 ，DC1 = -1,1, 22 ，è
uuuur uuur
ì MD × DB = 0\íuuuur uuuur ，即MD ^ DB ，MD ^ DC1 ，
MD × DC1 =1+ 0 -1 = 0
Q DB DC1 = D ，DB, DC1 平面BC1D，\DM ^平面BC1D .
方法二：因为 BC = BD = 1，CD = AB = 2 ，可得BC 2 + BD2 = CD2 ，
\ BD ^ BC ，
又Q AD//BC ，\ BD ^ AD .
又Q ABCD - A1B1C1D1是直四棱柱，
\ DD1 ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，\ DD1 ^ BD .
Q DD1 I AD = D ，DD1, AD 平面 ADD1A1，
\ BD ^平面 ADD1A1，MD 平面 ADD1A1，
\ BD ^ MD，
取BB1中点 N ，连接 NC, MN ，
QMN //DC 且MN =DC ，\MNCD 为平行四边形，\MD//NC ，
Q NB BC = 2BC CC = ，
\VNBC ~VBCC1，
1 2
\ C1BC + BC1C = C
o
1BC + BCN = 90 ，\ BC1 ^ CN ，
又Q MD//NC ，\ MD ^ BC1，
又BC1 I BD = B，BC1, BD 平面BC1D，
\ MD ^ 平面BC1D；
（2）在VBCC1中，BC =1,CC1 = 2, BCC
o
1 = 90 ，
所以BC1 = 3，
在VDCC1 中，DC = 2,CC1 = 2, DCC
o
1 = 90 ，
所以DC1 = 2，
因为BD =1，DC1 = 2，BC1 = 3，
BD2所以 + BC 21 = DC
2
1 ，
所以VBC 1 31D 为直角三角形，其面积 SVBC D = BD BC = ，1 2 1 2
因为MD ^ 面BC1D，
所以三棱锥 M - BC1D的底面BC1D上的高为MD ，
MAD AD 1, AM 2在△ 中， = = , MAD = 90o ，
2
MD 6所以 = ，
2
V 1 S MD 1 6 3 2所以 M -BC1D = VBC = = .3 1D 3 2 2 4
2
所以三棱锥 M - BC1D的体积为 .
4
（八）
证明面面垂直
证明面面垂直的两种方法：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的
位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了
思维难度.
题型 8：利用向量证明面面垂直
8-1．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形 ABCP 中，D 为 PA 的中点，PA ^ AB，CD / / AB，
且 PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角P - DC - B ，连接 PA、PB，设 PB 中点
为 E．
(1)证明：平面 PBD ^平面 PBC；
(2)在线段 BD 上是否存在一点 F，使得 EF ^平面 PBC？若存在，请确定点 F 的位置；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)这样的点 F 存在，为线段 BD 上靠近点 D 的一个四等分点
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得 PD ^平面 ABCD，可得 PD ^ BC，通过题意得数据可得到 BD ^ BC，
再利用线面垂直的判定定理可得到 BC ^平面 PBD，再用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）假设 F 存在，建立空间直角坐标系，利用点 F 在线段 BD 上求得F 2l，2l，0 ，再求平面 PBC 的法向
r uuur r
量 n = 1,1,2 ，利用 EF ^平面 PBC 可得EF //n即可求得答案
【详解】（1）易得PD ^ DC, AD ^ DC ，
所以直二面角P - DC - B 的平面角为∠PDA＝90°，
因为PD ^ DC,平面PDC ^ 平面 ABCD，平面PDC I 平面 ABCD = CD，DC 平面PDC ，
所以 PD ^平面 ABCD，因为BC 平面 ABCD，所以 PD ^ BC，
又在平面四边形 ABCP 中，由已知数据可得BD = 22 + 22 = 2 2 ，BC = 22 + 22 = 2 2 ，且
BD2 + BC 2 = CD2，
所以 BD ^ BC，而 PD BD＝D，PD，BD 平面 PBD，
故 BC ^平面 PBD，
因为 BC 平面 PBC，所以平面 PBD ^平面 PBC；
（2）假设线段 BD 上存在一点 F，使得 EF ^平面 PBC，
则由（1）的分析易知，PD ^ DA，PD ^ DC，DC ^ DA，则以 D 为原点建立空间直角坐标系如图所示．
所以 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则 PB 的中点 E(1，1，1)，
uuur uuur
因为点 F 在线段 BD 上，所以DF = lDB 0 l 1 ，所以F 2l，2l，0 ，
uuur
则EF = 2l -1，2l -1，-1 ，
uuur uuur r
又PB =（2，2，- 2），PC =（0，4，- 2），设平面 PBC 的法向量为 n = x, y, z ，
uuur r
ì PB ×n = 2x + 2y - 2z = 0 r
所以 íuuur r 令 z = 2,则 y =1, x =1，所以 n = 1,1,2 ，
PC ×n = 4y - 2z = 0
uuur r 2l -1 -1 1
因为 EF ^平面 PBC，所以EF //n，所以 = ，解得l = ，1 2 4
所以线段 BD 上存在一点 F，使得 EF ^平面 PBC，且为线段 BD 上靠近点 D 的一个四等分点
8-2．（2024 高二上·安徽安庆·阶段练习）如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD中， BAD = 60o , DE ^ AB 于点
E ，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ BE ，如图 2．
(1)求证： A1E ^平面BCDE ；
BP
(2)在线段BD上是否存在点 P ，使平面 A1EP ^平面 A1BD ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．BD
【答案】(1)证明见解析
BP 1
(2)存在 ， =
BD 4
【分析】（1）根据线面垂直先证得 A1E ^ BE ，再结合 A1E ^ ED可证得结论；
uuur uuur
（2）设BP=lBD 0 l 1 ，根据平面 A1EP 与平面 A1BD 的法向量垂直建立等量关系求得l 即可．
【详解】（1）证明：QDE ^ AB ，
\ BE ^ DE ，
又QBE ^ A1D,DE A1D=D,DE 平面 A1DE, A1D 平面 A1DE ，
所以BE ^平面 A1DE ，
Q A1E 平面 A1DE ，
\ A1E ^ BE ，
又Q A1E ^ DE,BE DE=E,BE 平面BCDE, DE 平面BCDE ，
\ A1E ^ 平面BCDE ；
（2）解：存在，理由如下：
Q A1E ^ 平面BCDE, BE ^ DE ，
∴ 以E 为原点，分别以EB, ED, EA1所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，
则B 1,0,0 , D 0, 3,0 , A1 0,0,1 ，
假设在线段BD上存在一点 P ，使得平面 A1EP ^平面 A1BD ，
uuur uuur
设P x, y, z , BP = lBD 0 l 1 ，
则 x -1, y, z = l -1, 3,0 ，
\ P 1- l, 3l,0 ，
uuur uuur
\ EA1= 0,0,1 ,EP= 1- l, 3l,0 ，
设平面 A1EP
r
的法向量m = x1, y1, z1 ，
r uuurì m× EA1=z1=0
由 í
mr
uuur ，
× EP=(1- l)x1+ 3l y1=0
ì z1=0
得 í ，
(1- l)x1=- 3l y1
令 x1 = 3l ，
mr得 = 3l,l -1,0 ．
r
设平面 A1BD 的法向量为 n = x2 , y2 , z2 ，
uuur uuuur
A1B = 1,0,-1 , A1D = 0, 3,-1 ，
r
ìn × A1B=x2 - z2 =0
故 í r uuuur ，
n × A1D= 3y2 - z2 =0
取 x2 = 3 ，
r
得 n = 3,1, 3 ．
因为平面 A1EP ^平面 A1BD ，
mr nr所以 × = 3l + l -1 = 0，
l 1解得 = 0,1 ，
4
所以在线段BD上存在点 P ，使得平面 A1EP ^ A BD
BP 1
平面 1 ，且 = ．BD 4
8-3．（2024 高二上·安徽）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2， AB =1，点E 为棱PC 的中点．证明：
(1) BE / /平面PAD ；
(2)平面PCD ^平面PAD ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
uuur
【分析】（1）首先以点A 为原点建立空间直角坐标系，首先判断平面PAD 的法向量，利用向量 BE 与法向量
的关系，即可证明；（2）首先求平面 PCD的法向量，利用两个平面的法向量垂直，即可证明.
【详解】（1）因为 PA⊥平面 ABCD，且 AB 平面 ABCD，所以 AB⊥PA，
又因为 AB⊥AD，且 PA∩AD＝A，PA， AD 平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD，
依题意，以点 A 为原点，以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
uuur
由 E 为棱 PC 的中点，得 E（1，1，1），则BE = 0,1,1 ，
uuur
所以 AB = 1,0,0 为平面 PAD 的一个法向量，
uuur uuur
又BE × AB = 0,1,1 × 1,0,0 = 0，所以 BE⊥AB，
又BE 平面 PAD，所以 BE∥平面 PAD．
uuur uuur uuur
（2）由（1）知平面 PAD 的法向量 AB = 1,0,0 ，PD = 0,2,-2 ，DC = 2,0,0 ，
r
设平面 PCD 的一个法向量为 n = x, y, z ，
r uuurì n × PD = 0 ì2y - 2z = 0 r
则 í r uuur ，即 í 1 1 n = 0,1,1
n × DC = 0 2x 0
，令 y＝ ，可得 z＝ ，所以 ，
=
r uuur
又 n × AB = 0,1,1 × 1,0,0 = 0，
r uuur
所以 n ^ AB，所以平面 PAD⊥平面 PCD．
8-4．（2024 高二·全国·专题练习）如图所示，VABC 是一个正三角形，EC ^平面 ABC ，BD ∥ CE，且
CE = CA = 2BD， M 是 EA 的中点．求证：平面DEA ^平面ECA .
【答案】证明见解析
【分析】以C 为原点，CB,CE 所在的直线分别为 y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz，分别求平
面 DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.
【详解】
因为EC ^平面 ABC ，CB 平面 ABC ，所以EC ^ CB ，
所以以C 为原点，CB,CE 所在的直线分别为 y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz，
不妨设CA = 2，因为CE = CA = 2BD，所以CE = 2, BD =1，
则C(0,0,0), A( 3,1,0), B(0, 2,0), E(0,0, 2), D(0, 2,1) ，
uuur uuur uuur
所以EA = ( 3,1, -2),CE = (0,0, 2), ED = (0, 2,-1)，
ur
设平面ECA的一个法向量是m = (x, y, z)，
r uuurì m × EA = 3x + y - 2z = 0 ur
则 í r uuur ，令 x =1，则m = (1, - 3,0)，
m ×CE = 2z = 0
r
设平面 DEA的一个法向量是 n = (a,b,c) ，
uuur
ìn
r
× EA = 3a + b - 2c = 0 r
则 í r uuur ，令 a = 3，则 n = ( 3,1, 2)，
n × DE = 2b - c = 0
ur r
因为m × n =1 3 + (- 3) +0 2 = 0，
ur r
所以m ^ n，
所以平面DEA ^平面ECA .
一、单选题
1．（2024 高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，
r
AB ^ AC, AB = AC = 1, PA = 2 ，以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示， n为平面 PBC 的一个法向量，
r
则 n的坐标可能是（ ）
1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 A． - - ÷ B． - - ÷ C． ÷ D． ÷
è 2 2 4 è 2 2 4 è 2 4 2 è 2 2 4
【答案】D
uuur uuur
【分析】先求出BC = 1, -1,0 , PC = 1,0,-2 ，根据法向量求解公式列方程即可求解．
uuur uuur
【详解】依题意得，B 0,1,0 ,C 1,0,0 , P 0,0,2 ，则BC = 1, -1,0 , PC = 1,0,-2
r
设 n = x, y, z ，则
uuur
ì n
r
× BC = x - y = 0 1 1 1 rn 1 1 1uuur x = y = , z = = , , í r ，取 则 ，所以 ÷
n × PC = x - 2z = 0 2 2 4 è 2 2 4
故选：D
r uuur r
2．（2024 高二下·山西吕梁·开学考试）已知点P0 -1,2,3 在平面a 内，平面a = P∣n × P0P = 0 ，其中 n = 1, -1,1
是平面a 的一个法向量，则下列各点在平面a 内的是（ ）
A． 2, -4,8 B． 3,8,5 C． -2,3,4 D． 3, -4,1
【答案】B
【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定 y = x+ z，再判断选项.
uuur
【详解】设P x, y, z 是平面a 内的一点，则P0P = x +1, y - 2, z - 3 ，
所以 x +1 - y - 2 + z - 3 = 0，即 y = x+ z，选项B满足．
故选：B
r r
3．（2024 高二下·江苏常州·期中）设向量 a = 3,-2,-1 是直线 l 的方向向量， n = -1,-2,1 是平面 α 的法向
量，则（ ）
A． l ^ a B． l / /a 或 l a C． l / /a D． l a
【答案】B
r r r r
【分析】由 a × n = 0，得 a ^ n ，所以 l / /a 或 l a
r r r r
【详解】 a = 3,-2,-1 ， n = -1,-2,1 ， a × n = 3 -1 + -2 -2 + -1 1 = 0，
r r
则有 a ^ n ，
r r
又a 是直线 l 的方向向量， n是平面 α 的法向量，所以 l / /a 或 l a .
故选：B
4（．2024 高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A - BCD
中，AB ^平面BCD， BDC=90° ，BD = AB = CD .若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面 ACD的一
个法向量为（ ）
A． 0,1,0 B． 0,1,1 C． 1,1,1 D． 1,1,0
【答案】B
uuur uuur
【分析】根据题意，设 BD = AB = CD = 1，可得A 、C 、D的坐标，由此可得向量DC 、 AD 的坐标，由此可
得关于 x 、 y 、 z 的方程组，利用特殊值求出 x 、 y 、 z 的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设 BD = AB = CD = 1，则D 0,1,0 ，C 1,1,0 ， A 0,0,1 ，
uuur uuur
则DC = 1,0,0 ， AD = 0,1, -1 ，
r
设平面 ACD的一个法向量为m = x, y, z ，
uuur
ì DC
r
× m = x = 0
y 1 mr则有 íuuur r ，令 = ，可得 z =1，则 = 0,1,1 .
AD × m = y - z = 0
故选：B．
r r
5．（2024 高二下·四川绵阳·期中）设u = 2,0,-1 是平面a 的一个法向量，a = 1,0,2 是直线 l 的一个方向向
量，则直线 l 与平面a 的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内 B．不能确定 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【分析】判断两个向量的位置关系即可得解.
r r r r
【详解】因为u ×a = 2 + 0 - 2 = 0，所以u ^ a ，
所以直线 l 与平面a 的位置关系是平行或直线在平面内.
故选：A.
6．（2024 高二下·江苏连云港·期中）已知直线 l∥a ，且 l 的方向向量为 (2,m,1)，平面a 的法向量为
1,
1 ,2
2 ÷
，则m =（ ）
è
A．1 B．-1 C．-8 D．8
【答案】C
【分析】利用直线与平面平行的方向向量与平面法向量的关系及向量共线定理即可求解.
r r 1
【详解】设直线的方向向量为 a = (2,m,1) ，平面a 的法向量为 n = 1, , 2÷，
è 2
r r 1
由 l∥a ，可得 a × n = 0，即 2 1+ m +1 2 = 0，解得m = -8 .2
故选：C.
7．（2024 高一下·浙江杭州·期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 为线段D1B上的动点，M，N 分别为
D P
棱BC, AB 1的中点，若DP / /平面B1MN ，则 =D B （ ）1
1 1 1 1
A． B． C D
5 4
． ．
2 3
【答案】A
uuur
【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算，求解法向量即可由 DP nr× = 0 ，解得l 的值，即
D1P
可得解 D B 的值．或者，根据线面平行的性质可得线线平行，根据相似即可求解.1
【详解】方法 1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD - A1B1C1D1边长为 2，
可得D(0,0,0) ，D1(0,0,2)，B(2, 2,0) ，B1(2, 2, 2) ，M (1, 2,0) ， N (2,1,0)，
D1P
设 = l ， (0 l 1)D B ，1
uuuur uuuur uuur
可得 D1P = lD1B = (2l , 2l , -2l)，可得 P(2l , 2l , 2 - 2l)，可得 DP = (2l , 2l , 2 - 2l)，
uuuur uuuur
B1M = -1,0,-2 ,B1N = 0,-1,-2 ,
uuuur
r ìy B
r
1M × n = 0 ì-x - 2z = 0
设平面B1MN
r
法向量为 n = (x， ， z)，可得 íuuuur r ，可得 í ，令 x = -2，可得 n = (-2,-2,1)，
B1N ×n = 0 -y - 2z = 0
B MN uuur由于DP / /平面 1 ，则 DP r× n = 0 ，可得 -4l - 4l + 2 - 2l = 0 ，
D
l 1= 1
P 1
解得 ，即 =
5 D1B 5
．
1
方法 2：连接BD ,交MN 于点 H ,则BH = BD ,连接B
4 1
H ,延长 DP 交 B1D1于 G,
由于DP / /平面B1MN ，DP 平面DBB1D1 ,且平面DBB1D1 平面B1MN = B1H ,
所以DP / / B1H ,
1 2
设正方体的棱长为 1，则BH = BD = ,故直角三角形BHB1中，VBHQ :VD1B1Q BH : B1D1 = BQ : QD1 ,
4 4
所以BQ : QD1 =1：4，所以BQ : BD1 =1：5 ,
D P BQ 1
由DH / / GB1 ,DG / / B1H ,所以四边形DHB1G
1
为平行四边形，所以根据VDD1G @VB1BH ,故 = =D1B BD1 5
故选：A
r r
8．（2024 高二上·陕西）已知平面内的两个向量a = (2，3，1)，b = (5，6，4)，则该平面的一个法向量为
（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
【答案】C
【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.
r r r
【详解】显然a 与b 不平行，设该平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
arì × n
r
= 0 ì 2x + 3y + z = 0
则有 í r ，即 í ，
b × n
r
= 0 5x + 6y + 4z = 0
r
令 z＝1，得 x＝－2，y＝1，所以 n＝(－2，1，1)，故 A，B，D 错误.
故选：C.
9．（2024 高二上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱长为
3,CA π= CB = 4, ACB = ，点D，E 分别在 AA1, B1C1上，F 为 AB 的中点，若CD ^ FE ，则线段 AD 的长度2
为（ ）
3 2 8 9 12A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标运算即可求解,
π uuur uuur uuuur
【详解】由于直三棱柱 ABC - A1B1C1，且 ACB = ，所以以C 为坐标原点，分别以CA,CB,CC 的方向为 x, y, z2 1
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C 0,0,0 ．由CA = CB = 4，可得 F 2, 2, 0 ．
uuur uuur
设E 0,b,3 , D 4,0,c ，则CD = 4,0,c , FE = -2,b - 2,3 .
uuur uuur
Q 8CD ^ FE ，\CD × FE = 0，即-8 + 3c = 0，解得 c = ．3
8
所以 AD =
3
故选：B
r uuur
10．（2024 高二下·江苏宿迁·期中）已知平面 α 的一个法向量为 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 ，则 AB 所在直线
l 与平面 α 的位置关系为（ ）.
A． l ^ a B． l a
C． l∥a D．l 与 α 相交但不垂直
【答案】A
uuur
【分析】由向量 AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系.
r uuur uuur uuur【详解】因为 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 r r，所以 n = -AB，即 AB / /n，所以 l ^ a .
故选：A
11．（2024 高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱
垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F
分别为 PD，PB 的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG / / 平面EFC ，则 AG =
（ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】以A 为坐标原点，AB, AD, AP的方向分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据
条件求得点G 的坐标，即可得到结果.
【详解】
uuur uuur uuur
以A 为坐标原点， AB, AD, AP的方向分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得P 0,0,2 , B 2,0,0 , D 0,2,0 ,C 2,2,0 ,O 1,1,0 ，
则F 1,0,1 , E 0,1,1 ，
uuur uur
所以FC = 1,2,-1 , FE = -1,1,0 ，
r
设平面EFC 的法向量为 n = x, y, z ，
ìnr
uuur
× FC = 0 ìx + 2y - z = 0 ìy = x
则 í r uuur í ，解得 í x =1 y =1, z = 3
n × FE = 0 -x + y = 0 z = 3x
，令 ，则
r
所以平面EFC 的一个法向量为 n = 1,1,3
r uuur
因为OG∥平面EFC ，则 n ×OG = 0
uuur
设G 0,0, a ，则OG = -1, -1,a ，所以-1-1+ 3a = 0
a 2 解得 = ，所以G 0,0,
2 2
3 3 ÷
，即 AG =
è 3
故选:C.
12．（2024 高三下·北京海淀·开学考试）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，F 为线段BC1的中点，E 为线
段 A1C1上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．EF ∥平面 A1BCD1
B．存在点E ，使EF ^ 平面BB1C1C
C．存在点E ，使EF∥ A1C
D．DB1 ^ EF
【答案】D
【分析】当 E 与 A1重合时， EF 平面 A1BCD1 = A1，即可判断 A；设正方体的棱长为 1，以点 D为坐标原点，
uuuur uuuur uuur
以 DA， DC ， DD1所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，设C1E = lC1A1(0 l 1)，可得 EF 坐标，
uuur uuur uuur uuur
由EF
1
× BB1 = - 0可知EF 与BB2 1
不垂直，即可判断 B；若EF∥ A1C ，则EF = k A1C ，列方程组求解可判
uuuur uuur
断 C；由DB1 × EF = 0可判断 D.
【详解】当E 与 A1重合时，又F 平面 A1BCD1 ，则EF 平面 A1BCD1 = A1，故 A 错误；
设正方体的棱长为 1，以点D为坐标原点，以DA，DC ，DD1所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0), B(1,1,0),C(0,1,0), A1(1,0,1), B1(1,1,1),C1(0,1,1), F
1 ,1, 1 ÷ ，
è 2 2
uuuur uuuur uuuur uuuur
设C1E = lC1A1(0 l 1)，又C1A1 = (1, -1,0)，∴ C1E = (l, -l,0)，
uuuur uuur uuuur uuuur uuur 1 1
DC (0,1,1) DE DC C E (l,1 l,1) E(l,1- l,1), EF = - l,l,- 1 = ，则 = 1 + 1 = - ，∴ ÷，è 2 2
uuur uuur uuur 1
∵ BB1 = (0,0,1)， EF × BB1 = - 0，∴ EF 与 BB2 1
不垂直，而 BB1 平面 BB1C1C ，则 EF 与平面 BB1C1C 不垂直，
故 B 错误；
ì1
- l = -k
uuur uuur uuur 2
A1C = (-1,1, -1)，若 EF∥ A1C ，则 EF = k A1C ，则 íl = k ，此方程无解，故不存在点 E ，使 EF∥ A1C ，
1- = -k
2
故 C 错误；
uuuur uuur 1 1 uuuur uuur
∵ DB1 = (1,1,1)，EF =
1 1
- l,l,- ÷，DB1 × EF = - l + l - = 0，∴ DB1 ^ EF ，故 D 正确．è 2 2 2 2
故选：D．
13．（2024 高二上·湖南娄底·期末）如图， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F 分别为 PD，PB
的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG∥平面EFC ，则 AG = （ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】如图所示，以A 为坐标原点， AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，
r uuur
求得平面 EFC 的一个法向量为 n = (1,1,3)，设G(0,0,a) ，得OG = (-1, -1,a) ，根据OG// 平面 EFC，即可求
解.
【详解】
uuur uuur uuur
如图所示，以A 为坐标原点， AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 P(0,0, 2), B(2,0,0) , D(0, 2,0),C(2, 2,0),O(1,1,0) ，
则F (1,0,1), E(0,1,1) ,
uuur uuur
所以FC = (1, 2,-1), FE = (-1,1,0) ，
r
设平面 EFC 的法向量为 n = (x, y, z)，
r uuurì n × FC = 0 ìx + 2y - z = 0 ìy = x
则 í r uuur í ，解得 í ， 令 x =1，则 y =1, z = 3，
n × FE = 0 -x + y = 0 z = 3x
r
所以平面 EFC 的一个法向量为 n = (1,1,3) .
uuur
因为OG// 平面 EFC r，则 n ×OG = 0，
uuur
设G(0,0,a) ，则OG = (-1, -1,a) ，所以-1-1+ 3a = 0，
a 2解得 = ，所以G
0,0, 2 2 ÷，即 AG = .3 è 3 3
故选：C
14．（2024 高三下·陕西安康·阶段练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 是线段C1D1（不含端点）上的动点，
N 为 BC 的中点，则（ ）
A．BD ^ AM B．平面 A1BD ^平面 AD1M
C．MN // 平面 A1BD D．CM // 平面 A1BD
【答案】B
【分析】由面面垂直的判定定理判断 B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的
位置关系判断 ACD．
【详解】因为 A1D ^ AD1， A1D ^ C1D1， AD1 I C1D1 = D1 ， AD1,C1D1 平面 AD1M ，所以 A1D ^平面 AD1M ，
又 A1D 平面 A1BD ，所以平面 A1BD ^平面 AD1M ，故 B 正确；
以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 AB = 2 ，则
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ， A 2,0,0 ，C 0,2,0 ， N 1,2,0 .
uuur uuuur
设M 0, y, 2 0 < y < 2 r，则DB = 2,2,0 ，DA1 = 2,0,2 .设平面 A1BD 的法向量为m = x1, y1, z1 ，
r uuuurì m × DAuuur1
= 2x1 + 2z1 = 0, r
则有 í r 可取 x1 =1，得m = 1,-1,-1 .
m × DB = 2x1 + 2y1 = 0,
uuuur
又 AM = -2, y, 2 ，
uuur uuuur
则DB × AM = 2,2,0 × -2, y, 2 = 2y - 4 0，故 A 不正确；
uuuur r uuuur
因为CM = 0, y - 2,2 ，所以m ×CM = 1,-1,-1 × 0, y - 2,2 = -y 0 ，故 D 不正确；
uuuur r uuuur
因为MN = 1,2 - y,-2 ，所以m × MN = 1, -1, -1 × 1,2 - y,-2 =1+ y 0，故 C 不正确．
故选：B．
二、多选题
15．（2024 高二下·江苏盐城·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是
（ ）
r r
A．若两条不重合直线 l1， l2的方向向量分别是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，则 l1 //l2
r ur
B．若直线 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0 ，则 l //a
ur uur
C．若两个不同平面a ， b 的法向量分别为 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，则a //b
ur
D．若平面a 经过三点 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，则
u + t =1
【答案】ACD
r ur ur uur
【分析】利用空间向量共线定理判断 A 即可；由 a, m 的关系式即可判断 B；由 n1,n2 的关系即可判断选项 C,
利用平面内法向量的性质即可判断 D.
r r
【详解】因为两条不重合直线 l1， l2的方向向量分别是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，
r r r r
所以a = -b，所以 a,b共线，又直线 l1， l2不重合，
所以 l1 //l2，故 A 正确；
r ur
因为直线 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0
ur
m 5
r
且 = - a，所以 l ^ a ，故 B 不正确；
3
ur uur
两个不同平面a ， b 的法向量分别为 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，
uur ur
则有 n2 = -2n1 ，所以a //b ，故 C 正确；
平面a 经过三点 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，
uuur uuur
所以 AB = -1,1,1 , BC = -1,1,0 ,
ur
又向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，
uuur ur uuur ur
ìAB ^ n ìAB × n = 0 ì-1+ u + t = 0
所以 íuuur ur1
íuuur 1ur í
BC ^ n BC ^ n = 0 -1+ u = 01 1
则u + t =1，故 D 正确，
故选：ACD.
16．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，矩形BDEF 所在平面与正方形 ABCD所在平面互相垂直，
AD=DE=4，G 为线段 AE 上的动点，则（ ）
A． AE ^ CF
B．若G 为线段 AE 的中点，则GB // 平面CEF
C．点 B 到平面 CEF 4 3的距离为
3
D．BG2 + CG2的最小值为 48
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的运算性质、平面的法向量进行求解判断即可.
【详解】因为BDEF 是矩形，所以DE ^ DB ，
又因为矩形BDEF 所在平面与正方形 ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF 所在平面与正方形 ABCD相交
于BD，
所以DE ^平面 ABCD，而 AD, DC 平面 ABCD，
所以DE ^ AD, DC ^ DE ，而 ABCD是正方形，所以 AD ^ DC ，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 A(4,0,0), B(4, 4,0),C(0, 4,0), E(0,0, 4), F (4, 4, 4)，
uuur uuur
因为 AE = (-4,0,4),CF = (4,0, 4) ，
uuur uuur uuur uuur
所以有 AE ×CF = -16 +16 = 0 AE ^ CF ，因此选项 A 正确；
uuur uuur
当G 为线段 AE 的中点时，G(2,0,2)，GB = (2, 4, -2)，CE = (0, -4,4) ，
ur
设平面CEF 的法向量为m = (x, y, z)，
v uuuv v uuuvìm ^ C ìuuFuv m ×CuuFuv = 0 ì
-4y + 4z = 0
于是有 í v í v í m
v = (1, -1, -1)
m ^ CF m ×CF = 0 4x + 4z 0
，
=
uuur ur
因为GB × m = 2 1+ 4 (-1) + (-2) (-1) = 0,GB 平面CEF ，
所以选项 B 正确；
uuur ur
uuur ur
CB × m 4 3
CB = (4,0,0) ， cosáCB, m = uuur ur = =CB × m 4 1+1+1 3 ，
uuur uuur ur
B CEF CB cos CB,m 4 3 4 3所以点 到平面 的距离为 × á = = ，因此选项 C 正确；
3 3
设G = (x1, y1, z1) ， (x1 - 4, y1, z1) = l(-4,0,4)(l [0,1]) G(4 - 4l,0, 4l)，
BG2 + CG2 =16l 2 +16 +16l 2 +16 -16l +16l 2 +16 +16l 2 = (8l -1)2 + 47 ，
l 1当 = 时，BG2 + CG2有最小值 47，因此本选项不正确，8
故选：ABC
ur
17．（2024 高二上·广东深圳·期末）已知直线 l的方向向量为m ，两个不重合的平面a ， b 的法向量分别为
ur uur
n1 ， n2 ，则（ ）
ur uur ur uur
A．若 m / /n1 ，则 l ^ a B．若 m × n1 = 0，则 l / /a
ur uur ur uur
C．若 n1 / /n2 ，则a / /b D．若 n1 ×n2 = 0，则a ^ b
【答案】ACD
【分析】对于 A：利用法向量的定义直接判断；对于 B：判断出 l / /a 或 l在面a 内；对于 C：由垂直于同一
直线的两平面平行即可判断；对于 D：由面面垂直的判定定理判断.
ur uur ur ur
【详解】对于 A：因为 m / /n1 ，n1 为平面a 的法向量，所以m 为平面a 的一个法向量，所以 l ^ a .故 A 正确；
ur ur ur uur
对于 B：因为 n 为平面a1 的法向量，直线 l的方向向量为m ，且 m × n1 = 0，所以 l / /a 或 l在面a 内.故 B 错误；
ur uur ur uur
对于 C：因为两个不重合的平面a ， b 的法向量分别为 n1 ， n2 ，且 n1 / /n2 ，由垂直于同一直线的两平面平
行可知：a / /b .故 C 正确；
ur uur ur uur
对于 D：因为 n1 ×n2 = 0，所以 n1 ^ n2 .
ur uur
又因为两个不重合的平面a ， b 的法向量分别为 n1 ， n2 ，
所以由面面垂直的判定定理可得：a ^ b .故 D 正确.
故选：ACD
18．（2024 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱 AA1 ^ 底面 A1B1C1，
BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，D是棱CC1的中点， P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点.若点Q在
直线B1P 上，则下列结论错误的是( )
A．当Q为线段B1P 的中点时，DQ ^平面 A1BD
B．当Q为线段B1P 的三等分点时，DQ ^平面 A1BD
C．在线段B1P 的延长线上，存在一点Q，使得DQ ^平面 A1BD
D．不存在点Q，使DQ 与平面 A1BD 垂直
【答案】ABC
r uuur uuur
【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面 A1BD 的一个法向量 n = (2,1,-2)，设B1Q = lB1P，表示出向量
uuur uuur 1
DQ nr，再利用 / /DQ ，建立关系式1- l -1+ 2l - 1= = 2 = ，从而判断出l 无解，即不存在这样的点Q，
2 1 -2 4
进而判断出选项 ABC 不正确，选项 D 正确.
【详解】如图，以 A1为坐标原点，A1B ，AC y1 1 1，A1A所在直线分别为 x 轴、 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
易知， A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1) D
0,1, 1 ， ÷，P(0,2,0)，
è 2
uuur uuuur
A B (1,0,1) A D = 0,1,
1 uuur uuuur 1
所以 1 = ， 1 ÷ ，B1P = (-1,2,0)
，DB1 = 1,-1,-
÷ .
è 2 è 2
r
设平面 A1BD 的一个法向量为 n = (x, y, z)，
r uuuvìn × A1B = x + z = 0
则 í r uuuuvn A 1
，取 z = -2，则 x = 2， y =1，
× 1D = y + z = 0 2
r
所以平面 A1BD 的一个法向量为 n = (2,1,-2) .
uuur uuur
假设DQ ^平面 A1BD ，且B1Q = lB1P = l(-1,2,0) = (-l,2l,0)，
uuur uuuur uuur 1
则DQ = DB1 + B
1Q = 1- l,-1+ 2l,-
÷ .
è 2
uuur
因为DQ 也是平面 A1BD 的法向量，
uuur
所以 n
r
= (2,1,-2) 1 与DQ = 1- l,-1+ 2l,- ÷ 共线，
è 2
1
所以1- l -1+ 2l - 1= = 2 = 成立，
2 1 -2 4
但此方程关于l 无解，因此不存在点Q，使DQ 与平面 A1BD 垂直，所以选项 ABC 不正确，选项 D 正确.
故选：ABC.
19．（2024 高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为 B1C1 边的中点，点
P 在底面 ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点 P ，使得D1P ^ AD1
B．过三点A 、M 、D1的正方体 ABCD - A1B1C1D
9
1的截面面积为 8
π
C．四面体 A1C1BD 的内切球的表面积为 3
D．点 N 在棱BB1上，且B1N = 4NB，若D1P ^ NP ，则满足条件的 P 的轨迹是圆
【答案】BC
uuuur uuuur
【分析】以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由D1P × AD1 = 0可判断 A；过三点A 、M 、D1
的正方体 ABCD - A1B1C1D1的截面为以MQ, AD1为底的等腰梯形，求出截面面积可判断 B；设四面体 A1C1BD
的侧面积为S ，其内切球的半径为 r ，球心为O，由VA C = 4V ,
1 Sh = 4 1 Sr r
1 1BD O- A1C1B 即 ，求出 可判断 C；由3 3
1 2
分析可得， P 的轨迹是 (x - ) + (y
1
- )2 3= 被四边形 ABCD截得的 4 段圆弧，求解可判断 D.
2 2 10
【详解】对于 A，以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
uuuur uuuur
设P x, y,0 ，则D1 0,0,1 ， A 1,0,0 ，D1P = x, y,-1 ， AD1 = -1,0,1 ；
uuuur uuuur
若D1P ^ AD1，则D1P × AD1 = 0，即 x=-1，与题意矛盾，所以 A 错误；
对于 B，取BB1中点Q，连接D1M , MQ, AQ，因为D1A / /MQ ，
所以可得A 、M 、D1、Q四点共面，
所以过三点A 、M 、D1的正方体 ABCD - A1B1C1D1的截面为以MQ, AD1为底的等腰梯形，
AD1 = 2, MQ
2
= , D1M
5
= D 21C1 + C
2
1M = ，2 2
过点Q作QH ^ D A AD，所以 AH = 1 - MQ 21 = ，
2 4
2 2
所以梯形的高为QH 5 2 3 2= ÷÷ - ÷÷ = ，
è 2 è 4 4
S 1 2
所以， = + 2
3 2 9
= ，故 B 正确；
2 è 2 ÷
÷
4 8
对于 C，如下图知：四面体 A1C1BD 的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，
可知四面体 A1C1BD 是棱长为 2 的正四面体，
取△A1DC1 的外心O1，连接BO1，则BO1 ^平面 A1DC1，
2
2AO 2
2
AO 6 6 2 3则 1 1 = ，则 1 1 = ，所以BO1 = 2 -sin 60 3 ° 3 ÷÷ = ，è 3
2 3
所以四面体 A1C1BD 的高BO1 = h = ，3
设四面体 A1C1BD 的侧面积为S ，其内切球的半径为 r ，球心为O，
QV 1 1A1C1BD = 4VO- A C ,\ Sh = 4 Sr ，1 1B 3 3
r h 3即 = = ， S 4p r 2
p
= = ，所以 C 正确；
4 6 3
1 uuur 1 uuuur uuur
对于 D， N 1,1, ÷， NP = x -1, y -1,- ÷ ，∵ D1P ^ NP ，∴ D1P × NP = 05 ，è è 5
2 2
即 x x -1 + y y -1 1+ = 0 x 1 y 1 3，可得轨迹为圆： - ÷ + -
= ，
5 è 2 ÷ è 2 10
1 1 30 1 1
所以，圆心 ,2 2 ÷
， r = > AB = ，又 x, y 0,1 ，
è 10 2 2
(x 1 2 1 2 3所以，轨迹为圆： - ) + (y - ) = 被四边形 ABCD截得的 4 段圆弧，
2 2 10
所以 D 错误；
故选：BC.
20．（2024 高三上·福建福州·开学考试）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为 AA1中点，若直线EF / /平面
A1BC1，则点 F 的位置可能是（ ）
A．线段CC1中点 B．线段BC 中点 C．线段CD中点 D．线段C1D1中点
【答案】ABD
【分析】建立空间坐标系，求出平面 A1BC1的法向量，由线面平行的向量求法依次判断选项即可.
【详解】
如图，以D为原点，DA, DC, DD1所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，设CC1, BC,CD,C1D1 的中点分别为
M , N , P,Q，
不妨设棱长为 2，则 A1 2,0,2 , B 2,2,0 ,C1 0,2,2 , E 2,0,1 , M 0,2,1 , N 1,2,0 , P 0,1,0 ,Q 0,1,2 ，
uuur uuuur r v uuuvì
A1B = 0,2,-2 , A1C1 = -2,2,0 ，设平面 A1BC1的法向量 n = x, y, z
n × uAu1uBuv= 2y - 2z = 0，则 í ，
n
v × A1C1 = -2x + 2y = 0
r uuuur uuur uuur uuur
令 y =1，则 n = 1,1,1 ，又EM = -2,2,0 , EN = -1,2, -1 , EP = -2,1, -1 , EQ = -2,1,1 ，
uuuur r uuur r
则EM × n = -2 1+ 2 1 = 0, EN ×n = -1 1+ 2 1-1 1 = 0，
uuur r uuur r
EP ×n = -2 1+1 1-1 1 = -2, EQ ×n = -2 1+1 1+1 1 = 0，
又EM , EN , EQ 平面 A1BC1，则EM , EN , EQ 都平行于平面 A1BC1，即若直线EF / /平面 A1BC1，
则点 F 的位置可能是线段CC1中点，线段BC 中点或线段C1D1中点.
故选：ABD.
21．（2024 高二下·江苏盐城·期中）点 P 在正方体 ABCD - A1B1C1D1的侧面CDD1C1 及其边界上运动，并保持
BP ^ A1C ，若正方体边长为 ，则 A1P 的可能取值是（ ）
A 3 7． B． C． 2 D． 3
2 2
【答案】BC
【分析】以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，设
uuur
P 0, y, z 0 y 1,0 z 1 ，由已知条件可得出 y = z，利用二次函数的基本性质求出 A1P 的取值范围，即
可得出合适的选项.
【详解】以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
则点 A1 1,0,1 、C 0,1,0 、B 1,1,0 ，设点P 0, y, z 0 y 1,0 z 1 ，
uuur uuur
A1C = -1,1, -1 ，BP = -1, y -1, z ，
uuur uuur
因为BP ^ A1C ，则 A1C × BP =1+ y -1- z = y - z = 0，所以， y = z，
uuur 2 2 2 2 1
2
3 é 6 ù
所以， A1P = -1 + y + y -1 = 2y - 2y + 2 = 2 y - ÷ + , 2 .
è 2 2
ê 2 ú
故选：BC.
三、填空题
ur
22．（2024 高二上·上海徐汇·期末）已知直线 l的一个方向向量 d = 2,3,5 ，平面 α 的一个法向量
r
n = 4, m, n ，若 l ^ a ，则m + n = ．
【答案】16
ur r
【分析】根据 l ^ a ，可得 d ∕ ∕ n ，从而可求得m, n，即可得解.
【详解】因为 l ^ a ，
ur r
所以 d ∕ ∕ n ，
4 m n
所以 = = ，解得m = 6, n =10 ，
2 3 5
所以m + n = 16 .
故答案为：16 .
23．（山东省东营市广饶县第一中学 2023-2024 学年高二上学期 10 月月考数学试题）如图，在正方体中，O
为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足MN ^ OP的是 （填写正
确的序号）
【答案】①③
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可.
【详解】设正方体的棱长为 2，
对于①，如图建立空间直角坐标系，则M (2,0,0), N (0,0, 2), P(2,0,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,0,2),OP = (1, -1,1) ，所以MN ×OP = -2 + 0 + 2 = 0 ，所以MN ^ OP，即MN ^ OP，所以①正
确，
对于②，如图建立空间直角坐标系，则M (0, 2,0), N (0,0, 2), P(2,1, 2),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (0, -2,2),OP = (1,0, 2)，所以MN ×OP = 0 + 0 + 4 0，所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，
所以②错误，
对于③，如图建立空间直角坐标系，则M (2, 2, 2), N (0, 2,0), P(0,0,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,0, -2),OP = (-1, -1,1)，所以MN ×OP = 2 + 0 - 2 = 0，所以MN ^ OP，即MN ^ OP，所以③正
确，
对于④，如图建立空间直角坐标系，则M (2,0, 2), N (0, 2, 2), P(0, 2,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,2,0),OP = (-1,1,1) ，所以MN ×OP = 2 + 2 + 0 0，所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，
所以④错误，
故答案为：①③
r
24．（2024 高二下·江苏·阶段练习）已知直线 l 的方向向量为 e = -1,1,2 ，平面 α 的法向量为
r
n (1= ,l,-1) l R ，若 l⊥α，则实数 λ 的值为 ．
2
1
【答案】- / -0.5
2
r r
【分析】根据题意可得 e与 n共线，结合空间向量共线的坐标关系分析运算.
r r
【详解】因为 l⊥α，所以 e与 n共线，
r r
mnr 1 则存在实数 m 使得 e = mn ，且 = m,lm,-m÷，
è 2
ì1
m = -12 ìm = -2
可得 ílm =1
，解得 í 1 ，
l = -
-m = 2 2
1
故答案为：- .
2
r
25．（2024 高二上·吉林辽源·期末）设直线 l 的方向向量为m = (1, -2, z) ，平面a 的一个法向量为
r
n = (2,-1,1)，．若直线 l//平面a ，则实数 z 的值为 ．
【答案】-4
【分析】根据直线 l//平面a ，则直线 l 的方向向量与平面a 的一个法向量垂直，即两向量点乘为 0.
【详解】若直线 l//平面a ，则直线 l 的方向向量与平面a 的一个法向量垂直，
ur r
由此可得m × n = 2 + 2 + z = 0 ，解得 z = -4 .
故答案为：-4
r r
26．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知u = a + b,a - b, 2 是直线 l 的一个方向向量， n = 2,3,1 是平面 α 的
一个法向量，若 l⊥α，则 a，b 的值分别为 .
【答案】5,-1
【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解.
r r
【详解】∵l⊥α，则u ∥ n，
a + b a - b 2
则 = = ，解得 a = 5,b = -1.
2 3 1
故答案为：5,-1.
27．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥 E - ABCD中，平面 ADE ^平面 ABCD，O，M 分别为 AD，
DE 的中点，四边形 BCDO 是边长为 1 的正方形，AE = DE ，AE ^ DE．点 N 在直线 AD 上，若平面BMN ^
平面 ABE ，则线段 AN 的长为 ．
5 2
【答案】 /1
3 3
【分析】连接 EO，证明 OB，OD，OE 两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.
【详解】连接 EO，因 AE = DE ，则EO ^ AD ，而EO 平面 ADE ，且平面 ADE ^平面 ABCD，
平面 ADE 平面 ABCD = AD ，于是得EO ^平面 ABCD，又OB 平面 ABCD，OD 平面 ABCD，
即有EO ^ OB ，EO ^ OD，而四边形 BCDO 是边长为 1 的正方形，
uuuv uuuv uuuv
以 O 为原点，OB,OD,OE 的方向分别为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因 AE = DE ， AE ^ DE，则OE = OA = OD = OB =1，
则O(0,0,0), M (0,
1 , 1), A(0, -1,0), E(0,0,1), D(0,1,0), B(1,0,0)，
2 2
uuuv uuuv 1 1 uuuv uuur
设 N (0,l,0) ， NB = (1, -l,0), MB = (1,- ,- ), AE = (0,1,1)，BE = (-1,0,1)，
2 2
ìnv
uuuv
MB a 1 b 1r × = - - c = 0 r
设平面 BMN 的一个法向量 n = (a,b,c) ，则 í 2 2 a = l
nv
uuuv ，令 ，得 n = (l,1, 2l -1) ，
× NB = a - lb = 0
uuuv
ur ìmv × uAuEuv = y + z = 0
ur
设平面 ABE 的一个法向量m = (x, y, z)，则 í v ，令 x =1，得m = (1,-1,1)，
m × BE = -x + z = 0
ur r 2
因为平面BMN ^ 平面 ABE，则有m × n = 0，即l -1+ 2l -1 = 0 ，解得l = ，3
5
所以线段 AN 的长为 ．
3
5
故答案为：
3
28．（2024 高二下·江苏南京·期末）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在线段 CC1上，且
uuuur uuuur
MC1 = 2CM ．点 P 在平面 A1B1C1D1上，且 AP⊥平面 MBD1，则线段 AP 的长为 ．
14 1
【答案】 / 14
3 3
uuuv uuuuv
ì
【分析】分别以DA, DC, DD1为 x, y, z
AP × BD1 = 0
轴建立空间直角坐标系，设P(x, y,1) ，由 íuuuv uuuuv 求出 P 点坐标后
AP × BM = 0
可得线段 AP 的长．
【详解】如图，分别以DA, DC, DD1为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0) ，D1(0,0,1)，
C1(0,1,1) ，
uuuur uuuur 1
MC1 = 2CM ，则M 是靠近C 的线段CC1的三等分点，M (0,1, ) ，3
uuuur uuuur 1
BD1 = (-1,-1,1) ，BM = (-1,0, )，3
uuur
P 在平面 A1B1C1D1上，设P(x, y,1) ，则 AP = (x -1, y,1) ，
uuuv uuuuv
ì ìx 4AP × BD1 =1- x - y +1 = 0 =
由 AP⊥ 3平面 MBD1，得 íuuuv uuuuv 1 ，解得 í 2 ， AP × BM =1- x + = 0 3 y = 3
uuur 1 2 uuur 1 2 14
所以 AP = ( , ,1)， AP = ( )2 + ( )2 +12 = ．
3 3 3 3 3
14
故答案为： ．
3
四、解答题
29．（2024 高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1的底面边长 1，侧棱长 4， AA1中点为
E ，CC1中点为F ．求证：平面BDE / / 平面B1D1F .
【答案】证明见解析
【分析】以A 为原点， AB ， AD ， AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证DE / /FB1，
同理BD // B1D1，再结合面面平行判定定理即可证明结论.
【详解】以A 为原点， AB ， AD ， AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则 B(1 ,0, 0) ， D(0 ,1, 0) ，E(0 ,0, 2) ， B1(1,0, 4) ， D1(0 ,1, 4) ， F (1 ,1, 2) ，
uuur uuur
Q DE = FB1 = (0, -1,2)，\DE / /FB1 ，同理BD // B1D1，
QDE 平面B1D1F ，FB1 平面B1D1F ，\DE / /平面B1D1F ，
QBD 平面B1D1F ，B1D1 平面B1D1F ，\ BD / / 平面B1D1F ，
又DE BD = D, DE, BD 平面BDE
\平面BDE 与平面B1D1F 平行．
30．（2024 高二·全国·课后作业）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 E，F 分别是正方形 A1B1C1D1和正方形B1C1CB
的中心．求证：
(1) AC1 ^平面 A1BD ；
(2) EF // 平面 A1BD ；
(3)平面B1EF∥平面 A1BD ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解
