2.4 圆的方程 9 题型分类
一、圆的标准方程
1．圆的标准方程
(1)条件：圆心为 C(a，b)，半径长为 r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为 r 的圆的方程是 x2＋y2＝r2.
2．点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点 M 在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点 M 在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点 M 在圆内 |CM|二、圆的一般方程
1．圆的一般方程
当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 称为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
2 D ED ＋E2－4F＝0 表示一个点(－ ，－2 2)
2 2 ( D E) D2 2D E 4F>0 ＋E －4F＋ － 表示以 － ，－ 为圆心,以 为半径的圆2 2 2
（一）
求圆的标准方程
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
3．求圆的标准方程的策略:
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还
用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
题型 1：求圆的标准方程
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）过三点 -1,2 、 2,5 、 7,2 的圆的圆心坐标为 .
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点 (3, -4)，则圆的标准方程为 ．
1-3．（2024 高二· 2 2全国·课后作业）已知圆 C： x - 3 + y - 4 = 25，O 为原点，则以OC 为直径的圆方程为
（ ）
2 2
A x 3 25 3． + ÷ + y + 2
2 = B ． x - ÷ + y - 2
2 = 25
è 2 4 è 2
x 25
2
C． - 3 2 + y - 4 2 = D 3 ． x - ÷ + y - 2 2 25=4 è 2 4
1-4．（2024 高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点 A 2, -1 ，且过点B -2,2 ；
(2)过点C 0,0 和点D 0,2 ，半径为 2；
(3) E 1,2 ，F 3,4 为直径的两个端点；
(4)圆心在直线 l : 2x + 3y -8 = 0上，且过点P 1,0 和点Q 3,2 ．
题型 2：由圆的方程求圆心或半径
2-1．（2024 高二上·北京·阶段练习）圆C : x -1 2 + y2 = 2 的圆心到直线 y = x - 3的距离为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
2-2．（2024 高二下·安徽宣城·期末）已知直线 ax + by -1 = 0(ab > 0)过圆 (x -1)2 + (y -1)2 = 2022的圆心，则
a2 + b2 的最小值为（ ）
1
A． B．1 C 2． D．2
2 2
2-3．【多选】（2024 高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．圆 x -1 2 + y - 2 2 = 5的圆心为 1,2 ，半径为 5
B．圆 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 的圆心为 -2,0 ，半径为 b
2 2C．圆 x - 3 + y + 2 = 2 的圆心为 3, - 2 ，半径为 2
D x + 2 2 + y + 2 2．圆 = 5的圆心为 2,2 ，半径为 5
题型 3：与圆有关的对称问题
3-1．（2024 2 2 2 2高二下·四川凉山·阶段练习）若圆C1 : (x -1) + y = 9和圆C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9关于直线 l对称，
则直线 l的方程是
3-2．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圆O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直线 l : x - y = 0 .若圆O2与圆O1关于直
线 l 对称，则圆O2的方程为（ ）
A 2 2． (x+1) +(y+2) =9 B． (x -1)2 + (y - 2)2 = 9
C． (x + 2)2 + (y +1)2 = 9 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 9
3-3．（2024 高二上·云南昆明·期末）已知圆C 的圆心坐标为 -3,4 ，半径为 2，圆C 与圆C 关于 x 轴对称，
则圆C 的方程为（ ）
A x + 3 2 + y - 4 2 = 4 B x - 3 2 + y - 4 2． ． = 2
C x + 3 2 + y + 4 2． = 4 D． x + 3 2 + y + 4 2 = 2
3-4．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圆O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直线 l : x - y +1 = 0 .若圆O2与圆O1关于
直线 l对称，则圆O2的方程为（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9 B． x2 + (y - 3)2 = 9
C． (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9
（二）
点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系：
1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
假设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：d＜r 点在圆内；d=r 点在圆上；d＞r 点
在圆外.
2．几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
点 P（x1,y1)与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系：
（1）当(x1- a) +(y1-b) ＞r 时，则点 P 在圆外.
（2）当(x1- a) +(y1-b) =r 时，则点 P 在圆上.
（3）当(x1- a) +(y1-b) ＜r 时，则点 P 在圆内.
题型 4：判断点与圆的位置关系
4-1．（2024 高二上·吉林长春·阶段练习）若点P(-1, 3)在圆 x2 + y2 = m2 上,则实数m = .
4-2．（2024 高三·全国·课后作业）已知两直线 y = x + 2k 与 y = 2x + k +1的交点在圆 x2 + y2 = 4的内部，则实数
k 的取值范围是（ ）.
1
A．- < k
1
< -1 B．- < k <1
5 5
1
C．- < k <1 D．-23
4-3．（2024
2
高二上·重庆石柱·阶段练习）若点 P m,0 在圆 x -1 + y2 = 4内，则实数m 的取值范围
为 .
4-4．（2024 高二上·重庆）点P(1，3)与圆 x2 + y2 = 24的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
4-5．（2024 高二下·上海浦东新·阶段练习）若点 1,1 在圆 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，则实数 a 的取值范围
是 .
（三）
圆的一般方程的辨析
圆的一般方程：当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 称为圆的一般方
程．
圆的一般方程的辨析:
(1)由圆的一般方程的定义，若 D2＋E2－4F>0 成立，则表示圆，否则不是圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
题型 5：圆的一般方程的辨析
5-1．（2024 高一上·陕西宝鸡·期末）若方程 x2 + y2 - x + y + 2m = 0 表示圆，则m 的取值范围为（ ）
1
A． (- , ) B． (- ,0)
4
C． (- ,
1) D． (- ,-1)
2
5-2．（2024 高二上·黑龙江双鸭山·期中）方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0 表示圆的条件是（ ）
A．m<1 B．m>1
m 1 1C． < D4 ． < <14 m
5-3．（2024 高二上·江苏盐城·期末）方程 x2 + y2 + 2y + m = 0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）
A． 1, + B． - ,1
C． 1, + D． - ,1
（四）
求圆的一般方程
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程
组解出系数得到方程．
题型 6：求圆的一般方程
6-1．（2024 高一下·湖南株洲·期末）圆 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0的圆心坐标是（ ）
A． -2,4 B． 2, -4
C． -1,2 D． 1, -2
6-2．（2024 高二上·全国·课后作业）过直线2x - y +1 = 0和圆 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交点且过原点的圆的方程
是 ．
6-3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知VABC 的三个顶点 A 1, -2 ，B 0,5 ，C -3, -4 ．那么三角形外
接圆的方程是 ．
6-4．（24-25 高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是 5,6 ，
3, -4 ，则这个圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 + 4x - 2y - 7 = 0 B． x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0
C． x2 + y2 + 8x + 2y - 6 = 0 D． x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0
6-5．（2024 高二上·河北沧州·期末）在△OAB 中，O 是坐标原点， A -2,2 ，B 1,3 ．
(1)求 AB 边上的高所在直线的方程；
(2)求△OAB 的外接圆方程
题型 7：圆过定点问题
7-1 2 2．（2024 高二上·安徽·阶段练习）若圆C：x + y - m - 2 x + m - 2 y + m2 - 3m + 2 = 0过坐标原点，则实
数 m 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2 或 1 D．－2 或－1
7-2．（2024 高二下·上海徐汇·期中）对任意实数m ，圆 x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 恒过定点，则定点坐标
为 ．
7-3．（2024 高二上·江西吉安·期中）已知方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0表示的曲线恒过第三象限内的一个定
点A ，若点A 又在直线 l：mx + ny +1 = 0上，则 2m + 2n =
A．1 B．2 C．3 D．4
7-4．（2024 高二上·浙江温州·期中）点P x, y 是直线 2x + y - 5 = 0上任意一点，O是坐标原点，则以OP 为
直径的圆经过定点（ ）
A． 0,0 和 1,1 B． 0,0 和 2,2 C． 0,0 和 1,2 D． 0,0 和 2,1
（五）
圆上的点到定点的最大、最小距离
设 A的方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 ，圆心 A(a,b) ，点 M 是 A上的动点，点 P 为平面内一点；记
d =| PA |;
①若点 P 在 A外，则 | PM |max = d + r ; | PM |min = d - r
②若点 P 在 A上，则 | PM |max = 2r ; | PM |min = 0
③若点 P 在 A内，则 | PM |max = d + r ; | PM |min = r - d
题型 8：与圆有关的最值问题
8-1．（2024·甘肃酒泉·三模）点M 在圆C : x2 + (y -1)2 = 4 上，点 N 2 3,3 ，则 MN 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8-2．（2024 高一下·广西·阶段练习）若复数 z 满足 z - 2 - 5i = 2，则 z +1- i 的最大值为（ ）
A．5 + 2 B．5 + 2 2 C．7 D． 41
8-3．（2024 高二上·四川巴中·期末）已知圆 C 过点 A -2,0 , B 2，4 ，当圆 C 到原点 O 的距离最小时，圆 C
的标准方程为 ．
8-4．（2024·
2
广东佛山·模拟预测）已知圆 C： x -1 + y2 = 4，过点 A 0,1 的两条直线 l1， l2互相垂直，圆心
C 到直线 l1， l2的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d1d2的最大值为（ ）
A 2． B．1 C． 2 D．42
（六）
求动点的轨迹方程
1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”：
四步：（1）建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x,y).
（2）写出适合条件的点 M 的集合 P=P{M|P(M)}.
（3）将 P(M)“翻译”成代数方程 f(x,y)=0.
（4）化简代数方程 f(x,y)=0 为最简形式.
一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.
2、求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
题型 9：求动点的轨迹方程
9-1．（2024 高二上·山东青岛·期中）已知圆心为 C 的圆经过 A 1,1 ，B 2, -2 两点，且圆心 C 在直线
l : x - y +1 = 0上.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设 P 为圆 C 上的一个动点，O 为坐标原点，求 OP 的中点 M 的轨迹方程.
9-2．（2024 高二上·山东日照·阶段练习）已知圆 C 经过点 A 3,1 ，B -1,3 且圆心 C 在直线3x - y - 2 = 0上.
(1)求圆 C 方程；
(2)若 E 点为圆 C 上任意一点，且点F 4,0 ，求线段 EF 的中点 M 的轨迹方程.
9-3．（2024 2 2 2高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程 x + y + 2kx + 4k +10 y + 6k + 21k +19 = 0表示圆，其圆
心为C .
(1)求圆心坐标以及该圆半径 r 的取值范围；
(2)若 k = -2 ，线段 AB 的端点A 的坐标为 0,4 ，端点 B 在圆C 上运动，求线段 AB 中点M 的轨迹方程.
9-4．（2024 高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆 C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0)．
(1)求圆 C 的方程：
(2)已知 O 为坐标原点，点 A 在圆 C 上运动，求线段OA的中点 P 的轨迹方程．
一、单选题
1．（2024 高二上·吉林长春·期中）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的内部，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
2．（2024 高一下·黑龙江黑河·课后作业）圆 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圆心、半径是（ ）
A． 1, -2 ，4 B． 1, -2 ，2 C． -1,2 ，4 D． -1,2 ，2
3．（2024·北京海淀·三模）若直线 2x + y -1 = 0是圆 x2 + y + a 2 = 1的一条对称轴，则 a =（ ）
1 1
A．-1 B．1 C． D．-
2 2
4．（2024 高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点 -3,4 ，且过原点，则它的方程为
（ ）
A． x - 3 2 + y - 4 2 = 5 B． x + 3 2 + y + 4 2 = 25
C 2 2 2 2． x + 3 + y - 4 = 5 D． x + 3 + y - 4 = 25
5 2024 · · x2 2．（ 高二 全国 课后作业）如果圆 + y + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 - 4F > 0 关于直线 y = x 对称，则有
（ ）
A．D + E = 0 B．D = E
C．D = F D．E = F
6．（2024 高二上·安徽·阶段练习）已知圆C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0，则过点P -1, -2 的直线 l 与圆 C 交于 A，B
两点，则 AB 的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． 2 5 D． 2 10
7．（2024 高二上·山东潍坊·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径
为 5 ；乙：该圆经过点 3,3 ；丙：该圆的圆心为 2,1 ；丁：该圆经过点 7,0 ．如果只有一位同学的结论
是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024 高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点P 1,2 为圆 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 外一点，则实数m 的取值范
围为（ ）
A． 2, 17 17 17+ B． - ,
ù
C．
4 ÷
2, D 2,
è è 4
． ÷
ú è 4
9 2 2．（2024 高二上·河北保定·期末）圆 x + 2 + y -12 = 4关于直线 x - y + 4 = 0对称的圆的方程为（ ）
A． x + 6 2 + y + 4 2 = 4 B． x + 8 2 + y + 2 2 = 4
C． x -8 2 + y - 2 2 = 4 D x - 6 2 + y - 4 2． = 4
10．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知点 P 在圆 x2 - 2 3x + y2 - 2y = 0 上，则点 P 到 x 轴的距离的
最大值为（ ）
A．2 B．3 C． 3 D． 3 + 2
11．（2024 高二下·山东青岛·期中）圆 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0上的点到直线 x + y + 6 = 0的最大距离是（ ）
A． 2 2 B．4 2 C．8 2 D．16 2
12．（2024 高二上·广东揭阳·阶段练习）若点P 1,1 为圆 x2 + y2 - 6x = 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线
的方程为（ ）
A．2x + y - 3 = 0 B． x - 2y +1 = 0 C． x + 2y - 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
13．（2024 高二上·全国·课后作业）若圆 x2 + y2 - 2x - 4y = 0的圆心到直线 x - y + a = 0 2的距离为 ，则实数
2
a 的值为（ ）
A．0 或 2 B．0 或-2
1
C．0 或 D．-2 或 2
2
14．（2024 高二上·浙江宁波·期中）过三点 A 4, -2 , B 1, -1 ,C 1,4 的圆的一般方程为（ ）
A． x2 + y2 + 7x - 3y + 2 = 0 B． x2 + y2 + 7x + 3y + 2 = 0
C． x2 + y2 - 7x + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0
15．（2024 高二下·云南·阶段练习）已知直线 x + 3 y = 1经过圆 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圆心，其中mn > 0，则
3 1
+ 的最小值为（
m n ）
A．7 B．8 C．9 D．12
16．（2024 高三上·广东惠州· x +1 2阶段练习）已知圆 + y + 2 2 = 4关于直线 ax + by +1 = 0（ a > 0， b > 0）
1 2
对称，则 + 的最小值为（ ）
a b
5
A． B．9 C．4 D．8
2
17．（2024 高二上·河南许昌·阶段练习）方程 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0表示圆，则实数 a 的可能取值为
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．-2
18．（2024 高二上·安徽合肥·期中）已知方程 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圆，则 k 的取值范围是（ ）
A． - , -1 3, 1+ B． - , - 3 ÷è
- ,-1 3- , + C． D．
è 2 ÷
19．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知P1 0,2 、P2 4,4 两点，若圆M 以P1P2
为直径，则圆M 的标准方程为（ ）
A． x - 2 2 + y - 3 2 = 5 B x - 2 2． + y - 3 2 = 5
C． x -1 2 + y - 4 2 = 5 D． x -1 2 + y - 4 2 = 5
20 2．（2024 高二上·北京·期末）设A 是圆C : x +1 + y2 = 9上的动点，PA是圆的切线，且 PA = 4，则点 P
到点Q 8,0 距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
21．（2024·甘肃·三模）已知A ，B 是圆O : x2 + y2 = 4 上的两个动点，若点P 1,2 在以 AB 为直径的圆上，则
AB 的最大值为（ ）
A． 6 + 2 B． 5 + 3 C． 2 6 - 2 D． 2 5 - 3
22．（2024·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知 A(-3,4) ， B(-3,1)，动点 P(x, y) 满足 | PA |= 2 | PB |，
则 (x -1)2 + (y - t)2 （ t R ）的最小值是（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．16
23．（2024
2 2
高二下·四川广安·阶段练习）动直线mx + ny -1 = 0 m > 0, n > 0 平分圆 x -1 + y -1 =1的周长，
4n 1
则 + 的最小值（
m 1 2n ）+
3 5 5 9
A． B． C． D．
2 2 4 4
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数 z 满足 z + i =1，则 z +1 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．3
25．（2024 高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 3 的圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 - 2x - 3y = 0 B． x2 + y2 + 2x - 3y = 0
C． x2 + y2 - 2x + 3y = 0 D． x2 + y2 + 2x + 3y = 0
二、多选题
26 2 2．（2024 高二上·全国·课后作业）（多选）点 1,1 在圆 x - a + y + a = 4的内部，则 a的取值不可能是
（ ）
1
A．-2 B．-
2
1
C． D． 2
2
27．（2024 高二上·江苏苏州·阶段练习）过点 A(1,-1)与B(-1,1)且半径为 2 的圆的方程可以为（ ）
A． (x - 3)2 + (y +1)2 = 4 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 4
C． (x +1)2 + (y +1)2 = 4 D． (x + 3)2 + (y -1)2 = 4
28．（2024 高二上·甘肃酒泉·期中）已知点P 1,2 在圆C : x2 + y2 + kx + 4y + k 2 +1 = 0的外部，则 k 的取值可
能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D． 2
29．（2024 高二上·全国·课后作业）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0 B． x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0
C． x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0 D． x2 + y2 - 3xy -12 = 0
三、填空题
30．（2024 高一下·四川乐山·期末）点 (1,0)与圆 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置关系是 ．（填“在圆
内”、“在圆上”、“在圆外”）
31．（2024 高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，A 6,0 , B 6,1 点 P 满足 PO = 2 PA ，则动点
P 的运动轨迹方程为 ； PB + 2 PA 的最小值为 .
32．（2024 高二上·全国·课后作业）过点 A 8,0 的直线与圆 x2 + y2 = 4交于点 B，则线段 AB 中点 P 的轨迹方
程为 .
33．（2024 高二下·上海徐汇·期中）点M 与两个定点O 0,0 ，P 2,0 的距离的比为3:1，则点M 的轨迹方
程为 ．
34．（2024 高二上·辽宁大连·期中）对于任意实数 λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0 恒过定点 .
35．（2024 高一·全国·课后作业）已知方程 x2 + y2 - 2ax + 2(a - 2)y + 2 = 0 表示圆，其中 a R ，且 a≠1，则不
论 a 取不为 1 的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 .
36．（2024 高二上·浙江湖州·期末）已知直线 l1平分圆C : (x - 2)2 + y2 = 2且与 l2 : 6x + 4y -1 = 0 互相平行，则
l1, l2 的距离是 .
37．（2024 高二下·上海·开学考试）对任意实数m ，圆 x2 + y2 - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 恒过定点，则其坐标
为 .
38．（2024 高二上·湖北·期中）过点 1,2 可作圆 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0的两条切线，则实数 k 的取值范
围 .
39．（2024 高二上·广东惠州·阶段练习）若点M 3,0 是圆 x2 + y2 -8x - 4y +10 = 0 内一点，则过点M 3,0 的
最长的弦所在的直线方程是 .
40．（2024 高二上·广东东莞·期末）已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 2,1 ，端点A 在圆 (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16
上运动，则线段 AB 的中点M 的轨迹方程是 ．
41．（2024 高二上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知点 A(4,0)，点 P 在圆O : x2 + y2 = 9上运动，则
线段 AP 的中点Q的轨迹方程是 ．
42．（2024 高二下·新疆塔城·开学考试）已知定点 A(4,0)，P 是圆 x2 + y2 = 4上的一动点，Q 是 AP 的中点，则
点 Q 的轨迹方程是 .
43 2 2 2．（2024 高二下·上海宝山·期末）若 2x + m + m y + 2mx + m = 0表示圆，则实数m 的值为 .
44．（2024 高二下·上海崇明·期末）已知两点 P 3,1 、Q 5,-3 ，则以 PQ 为直径的圆的方程是 .
45．（2024 高二·全国·课后作业）方程 x2 + y2 + 4mx - 2y + 5m = 0表示圆的充要条件是 ．
46．（2024 高二上·全国·课后作业）已知圆C : x2 + y2 =1，则圆上的点到点 3,4 距离的最大值为 .
47．（2024 高三下·吉林白城·阶段练习）已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程
是
48．（2024 高二上·重庆沙坪坝·期末）圆 x2 + y2 + 2y - 3 = 0关于直线 x - y - 2 = 0 的对称圆的标准方程
为 .
49．（2024·广东汕头·二模）与圆C : x2 + y2 - x + 2y = 0关于直线 l : x + y = 0对称的圆的标准方程是 .
50．（2024 高二·全国·课后作业）直线 ax + by +1 = 0始终平分圆 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周长，则
a -1 2 + b -1 2 的最小值为 ．
51．（2024 高一下·江苏南京·期中）在VABC 中，AB =1, AC = 2, A = 60o，若VABC 的平面内有一点D满足
uuur uuur
AD2 = AC × AD，则 AD2 + BD2的最小值为 .
52．（2024 高二下·江苏宿迁·开学考试）已知M (m,n) 为圆C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0上任意一点．则
(m -1)2 + (n +1)2 的最大值为
53．（2024· 2山东烟台·二模）已知实数 a,b满足 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 ，则 a2 + b + 2 的最大值为 ．
54．（2024 高二·全国·课后作业）已知圆 C 经过两点P -1, -3 ，Q 2,6 ，且圆心在直线 x + 2y - 4 = 0上，则
圆 C 的一般方程为 ；若直线 l 的方程 x + m y -1 +1 = 0 （m R），圆心 C 到直线 l 的距离是
1，则 m 的值是 ．
四、解答题
55．（2024 高二上·全国·课后作业）求圆 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0关于直线3x - 4y - 5 = 0的对称圆方程.
56．（2024 高三·全国·专题练习）在直角坐标系 xOy 中，线段 MN = 4，且两个端点M 、 N 分别在 x 轴和 y
轴上滑动．求线段MN 的中点C 的轨迹方程；
57．（2024 高二上·新疆克拉玛依·期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线 x - 2y - 3 = 0上，且过点 A 2, -3 , B -2, -5 的圆；
(2)过三点 A 1,0 , B -1,-2 ,C 3,-2 的圆.
58．（2024 高二·江苏·假期作业）写出圆心为 A(2, -3) ,半径为 5 的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7), M 2 (-2,-1)
是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
59．（2008· 2江苏）设平面直角坐标系 xoy中，设二次函数 f (x) = x +2x + b(x R) 的图象与坐标轴有三个交点，
经过这三个交点的圆记为 C．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
60．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）已知VABC 中，点 A -1,5 ， AC 边上中线所在直线 l1的方程为
8x + y -12 = 0， AB 边上的高线所在直线 l2的方程为 x - 3y + 6 = 0 .
(1)求点 B 和点C 的坐标：
(2)以M 1,0 为圆心作一个圆，使得A 、 B 、C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求
这个圆的方程.
61．（2024 高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2 - 2x- 3与两坐标轴的交点都在圆C
上.
(1)求圆C 的方程；
(2)已知O为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA的中点M 的轨迹方程.
62．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知圆C 的圆心在 x 轴上，并且过 A 1,3 ，B 3,3 两点.
(1)求圆C 的方程；
uuuur uuuur
(2)若 P 为圆C 上任意一点，定点M 8,0 ，点Q满足PM = 3QM ，求点Q的轨迹方程.
63．（2024 高二上·海南·阶段练习）已知点 A 1, -2 , B -1,4 ，求
(1)过点 A，B 且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点 A，B 且圆心在直线 2x - y - 4 = 0上的圆的标准方程.
64．（2024 高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知VABC 的顶点B -1,2 ，BC 边上中线 AD
所在直线方程为5x -3y -3 = 0， AB 边上的高CH 所在直线方程为 2x + y - 9 = 0 ，求：
(1)顶点 A 的坐标；
(2)VABC 外接圆的一般方程.2.4 圆的方程 9 题型分类
一、圆的标准方程
1．圆的标准方程
(1)条件：圆心为 C(a，b)，半径长为 r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为 r 的圆的方程是 x2＋y2＝r2.
2．点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点 M 在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点 M 在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点 M 在圆内 |CM|二、圆的一般方程
1．圆的一般方程
当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 称为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2 ( D E－4F＝0 表示一个点 － ，－2 2)
2 2
D2＋E2 ( D E4F>0 ) D ＋E －4F－ 表示以 － ，－ 为圆心,以 为半径的圆2 2 2
（一）
求圆的标准方程
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
2．几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
3．求圆的标准方程的策略:
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还
用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
题型 1：求圆的标准方程
1-1．（2024·陕西西安·模拟预测）过三点 -1,2 、 2,5 、 7,2 的圆的圆心坐标为 .
【答案】 3,1
【分析】根据圆上点坐标列方程，从而圆的方程可求，即可求出圆的圆心坐标.
【详解】设圆的方程为： x - a 2 + y - b 2 = R2，代入点的坐标有：
ì -1- a 2 + 2 - b 2 = R2
ìa = 3 2 a 2 5 í - + - b 2 = R2 ，所以 íb =1 ，
7 - a
2 + 2 - b 2 = R2 R = 17
2
所以圆的方程为： x - 3 + y -1 2 =17 .
故答案为： 3,1 .
1-2．（2024 高二·江苏·假期作业）圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点 (3, -4)，则圆的标准方程为 ．
【答案】 x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
【分析】设圆的方程为 x2 + (y - b)2 = 25，将点 (3, -4)代入圆的方程，求得b 的值，即可求解.
【详解】由题意，设圆的方程为 x2 + (y - b)2 = 25，
因为点 (3, -4)在圆上，可得9 + (-4 - b)2 = 25，解得 b＝0 或 b＝－8，
所以所求圆的方程为 x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
故答案为： x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
1-3 2024 · · C x - 3 2 + y - 4 2．（ 高二 全国 课后作业）已知圆 ： = 25，O 为原点，则以OC 为直径的圆方程为
（ ）
3 2 2A x + y 2 2 25 B x 3+ + = ． ÷ ． - ÷ + y - 2
2 = 25
è 2 4 è 2
2
C． x - 3 2 + y 4 2 25- = D x 3 2 25． -4 2 ÷ + y - 2 =è 4
【答案】D
【分析】由题意确定以OC 为直径的圆的圆心和半径，即可得答案.
【详解】由圆 C： x - 3 2 + y - 4 2 = 25可知圆心C(3, 4)， | OC |= 5，
3
故以OC 为直径的圆的圆心为 ( , 2)
5
，半径为 ，
2 2
3
2
2 25
故所求圆的方程为： x - ÷ + y - 2 = .
è 2 4
故选：D
1-4．（2024 高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点 A 2, -1 ，且过点B -2,2 ；
(2)过点C 0,0 和点D 0,2 ，半径为 2；
(3) E 1,2 ，F 3,4 为直径的两个端点；
(4)圆心在直线 l : 2x + 3y -8 = 0上，且过点P 1,0 和点Q 3,2 ．
【答案】(1) x - 2 2 + y +1 2 = 25
(2) 2 2x - 3 + y -1 2 = 4或 x + 3 + y -1 2 = 4；
(3) x - 2 2 + y - 3 2 = 2
(4) x -1 2 + y - 2 2 = 4
【分析】（1） r = AB ，利用两点间额距离公式即可求解；
（2
2
）设圆的标准方程为 x - a + y - b 2 = 4，利用待定系数法求解即可；
（3）EF 的中点坐标为 2,3 ，即圆心为 2,3 ，由此再求半径即可求解；
（4
2 2
）设圆的标准方程为 x - a + y - b = r2 ，利用待定系数法求解即可；
【详解】（1）由题意可得 r = AB = 2 + 2 2 + -1- 2 2 = 5，
2
所以圆的标准方程为 x - 2 + y +1 2 = 25；
（2
2 2
）设圆的标准方程为 x - a + y - b = 4，
因为圆过点C 0,0 和点D 0,2 ，
ì 0 - a
2 + 0 - b 2 = 4 ì a = 3 ì a = - 3
所以 í 2 ，解得 í 或 í ，
0 - a + 2 - b
2 = 4 b =1 b =1
2 2
所以圆的标准方程为 x - 3 + y -1 2 = 4或 x + 3 + y -1 2 = 4；
（3）因为EF 的中点坐标为 2,3 ，即圆心为 2,3 ，
r 1半径 = EF = 1- 3 2 + 2 - 4 2 = 2 ，
2
2 2
所以圆的标准方程为 x - 2 + y - 3 = 2；
（4
2
）设圆的标准方程为 x - a + y - b 2 = r2 ，
ì2a + 3b -8 = 0 ìa =1
由题意可得 í 1- a 2 + 0 - b 2 = r 2 ，解得 íb = 2，
2
3- a + 2 b
2 - = r 2 r = 2
所以圆的标准方程为 x -1 2 + y - 2 2 = 4
题型 2：由圆的方程求圆心或半径
2-1．（2024 2高二上·北京·阶段练习）圆C : x -1 + y2 = 2 的圆心到直线 y = x - 3的距离为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
【答案】B
【分析】根据条件得到圆心为 (1,0)，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
2
【详解】因为圆C : x -1 + y2 = 2 的圆心为 (1,0)，
1- 3
所以圆心到直线 y = x - 3的距离为 d = = 2 ，
1+1
故选：B.
2-2．（2024 高二下·安徽宣城·期末）已知直线 ax + by -1 = 0(ab > 0)过圆 (x -1)2 + (y -1)2 = 2022的圆心，则
a2 + b2 的最小值为（ ）
1
A． B．1 C 2． D．2
2 2
【答案】A
【分析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得 a =1- b，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线 ax + by -1 = 0(ab > 0)过圆心，
所以a + b = 1，即 a =1- b，
1 2 1
所以 a2 + b2 = (1- b)2 + b2 = 2b2 - 2b +1 = 2 b -
÷ + ，
è 2 2
b 1 2 2 1所以当 = 时， a + b 的最小值为 .
2 2
故选：A
2-3．【多选】（2024 高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A x -1 2 + y - 2 2．圆 = 5的圆心为 1,2 ，半径为 5
B．圆 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 的圆心为 -2,0 ，半径为 b
C．圆 x - 3 2 + 2y + 2 = 2 的圆心为 3, - 2 ，半径为 2
D．圆 x + 2 2 + y + 2 2 = 5的圆心为 2,2 ，半径为 5
【答案】ABD
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径即可判断四个选项的正误，进而可得符合题意的选项；
2
【详解】对于 A：由圆 x -1 + y - 2 2 = 5可得：圆心为 1,2 ，半径为 5 ，故选项 A 错误；
对于 B：由圆 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 可得：圆心为 -2,0 ，半径为 b ，故选项 B 错误，
2 2
对于 C：由圆 x - 3 + y + 2 = 2 可得：圆心为 3,- 2 ，半径为 2 ，故选项 C 正确；
对于 D：由圆 x + 2 2 + y + 2 2 = 5可得：圆心为 -2, -2 ，半径为 5 ，故选项 D 错误，
故选：ABD.
题型 3：与圆有关的对称问题
3-1．（2024 高二下· 2 2 2 2四川凉山·阶段练习）若圆C1 : (x -1) + y = 9和圆C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9关于直线 l对称，
则直线 l的方程是
【答案】 2x + y + 3 = 0
1
【分析】由题意，先求得线段C1C2 的中点坐标，再求得直线的斜率为 kl = - k 即可.C1C2
2 2 2 2
【详解】解：圆C1 : (x -1) + y = 9的圆心为 1,0 ，圆C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9的圆心为 -3, -2 ，
则线段C1C2 的中点为 -1, -1 ，
因为圆C1 : (x -1)
2 + y2 = 9 2 2和圆C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9关于直线 l对称，
k 1所以 l = - = -2k ，C1C2
所以直线 l的方程是 y +1 = -2 x +1 ，即 2x + y + 3 = 0，
故答案为： 2x + y + 3 = 0
3-2．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圆O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直线 l : x - y = 0 .若圆O2与圆O1关于直
线 l 对称，则圆O2的方程为（ ）
A． (x+1)2 +(y+2)2 =9 B． (x -1)2 + (y - 2)2 = 9
C． (x + 2)2 + (y +1)2 = 9 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 9
【答案】B
【分析】根据对称性求得圆O2的圆心和半径，进而求得圆O2的方程.
【详解】圆O1 : (x - 2)
2 + ( y -1)2 = 9 的圆心为 2,1 ，半径为3，
2,1 关于直线 l : x - y = 0的对称点是 1,2 ，
所以圆O2的圆心是 1,2 ，半径是3，
所以圆O2的方程为 (x -1)2 + (y - 2)2 = 9 .
故选：B
3-3．（2024 高二上·云南昆明·期末）已知圆C 的圆心坐标为 -3,4 ，半径为 2，圆C 与圆C 关于 x 轴对称，
则圆C 的方程为（ ）
A 2 2 2 2． x + 3 + y - 4 = 4 B． x - 3 + y - 4 = 2
C． x + 3 2 + y + 4 2 = 4 D． x + 3 2 + y + 4 2 = 2
【答案】C
【分析】由题意可得圆C 的圆心与点 (-3,4)关于 x 轴对称，从而可求出圆心坐标，进而可求出圆 C 的方程.
【详解】因为圆C 与圆C 关于 x 轴对称，
所以圆C 的圆心与点C(-3,4)关于 x 轴对称，
所以C 的坐标为 (-3, -4)，
又圆C 的半径为 2，所以圆C 半径为 2，
所以圆C 的方程为 (x + 3)2 + (y + 4)2 = 4，
故选：C.
3-4．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圆O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直线 l : x - y +1 = 0 .若圆O2与圆O1关于
直线 l对称，则圆O2的方程为（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9 B． x2 + (y - 3)2 = 9
C． (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9
【答案】B
【分析】求出圆O1的圆心关于直线 l的对称点，即为圆O2的圆心坐标，进而可得圆O2的方程．
【详解】圆O2与圆O1关于直线 l对称，则圆心O1 2,1 与圆O2 a,b 关于 l : x - y +1 = 0对称
ì2 + a 1+ b
- +1 = 0 2 2 ìa - b + 3 = 0
可得 í b 1 ，化简得- í
a = 0,b = 3
a + b
，解得
- 3 = 0
= -1
a - 2
又两圆半径相等，故圆O2的方程为 x2 + (y - 3)2 = 9
故选：B
（二）
点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系：
1．代数法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
假设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：d＜r 点在圆内；d=r 点在圆上；d＞r 点
在圆外.
2．几何法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
点 P（x1,y1)与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系：
（1）当(x1- a) +(y1-b) ＞r 时，则点 P 在圆外.
（2）当(x1- a) +(y1-b) =r 时，则点 P 在圆上.
（3）当(x1- a) +(y1-b) ＜r 时，则点 P 在圆内.
题型 4：判断点与圆的位置关系
4-1．（2024 高二上·吉林长春·阶段练习）若点P(-1, 3)在圆 x2 + y2 = m2 上,则实数m = .
【答案】 2或-2
【分析】由点P(-1, 3)在圆 x2 + y2 = m2 上,则点 P 的坐标满足圆的方程，即 (-1)2 + ( 3)2 = m2 ，再求解即
可.
【详解】解：因为点P(-1, 3)在圆 x2 + y2 = m2 上,则点P(-1, 3)的坐标满足圆 x2 + y2 = m2 的方程，即
(-1)2 + ( 3)2 = m2 ，得1+ 3 = m2 ,解得：m = 2 或-2 .
故答案为 2或-2 .
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，重点考查了运算能力，属基础题.
4-2．（2024 高三·全国·课后作业）已知两直线 y = x + 2k 与 y = 2x + k +1的交点在圆 x2 + y2 = 4的内部，则实数 k
的取值范围是（ ）.
1 k 1A．- < < -1 B．- < k <1
5 5
1
C．- < k <1 D．-23
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.
【详解】圆 x2 + y2 = 4的圆心为 (0,0)，半径为 2，
ìy = x + 2k ìx = k -1
由 íy 2x k 1得 íy 3k 1，则两直线
y = x + 2k 与 y = 2x + k +1的交点为 (k -1,3k -1) ，
= + + = -
1
依题意得 (k -1)2 + (3k -1)2 < 4，解得- < k <1 .
5
故选：B
4-3．（2024
2
高二上·重庆石柱·阶段练习）若点 P m,0 在圆 x -1 + y2 = 4内，则实数m 的取值范围
为 .
【答案】 -1,3
2
【分析】根据点在圆内可得不等式 x -1 < 4，求解即可.
【详解】解：由题意得
Q点 P m,0 在圆 x -1 2 + y2 = 4内
\ ，解得-1 < m < 3
所以实数m 的取值范围为 -1,3
故答案为： -1,3
4-4．（2024 高二上·重庆）点P(1，3)与圆 x2 + y2 = 24的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【答案】B
【分析】计算 P 到圆心的距离和半径作比较即可.
【详解】圆 x2 + y2 = 24的圆心为O 0,0 ，半径 r = 2 6 ， PO = 1+ 9 = 10 < r ，
故点 P 在圆内.
故选：B
4-5．（2024 高二下·上海浦东新·阶段练习）若点 1,1 在圆 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，则实数 a 的取值范围
是 .
【答案】 -4, - 3 U 3, +
【分析】由题意可得关于 a的不等式，求解得答案．
【详解】Q点 (1,1) 在圆 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，
\12 + a2 - 4 1 > 0，且12 +12 +1+ a +1 > 0，
解得-4 < a < - 3 或 a > 3．
\实数 a的取值范围为 -4, - 3 U 3, + ．
故答案为： -4, - 3 U 3, + .
（三）
圆的一般方程的辨析
圆的一般方程：当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 称为圆的一般方
程．
圆的一般方程的辨析:
(1)由圆的一般方程的定义，若 D2＋E2－4F>0 成立，则表示圆，否则不是圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
题型 5：圆的一般方程的辨析
5-1．（2024 高一上·陕西宝鸡·期末）若方程 x2 + y2 - x + y + 2m = 0 表示圆，则m 的取值范围为（ ）
1
A． (- , ) B． (- ,0)
4
1
C． (- , ) D． (- ,-1)
2
【答案】A
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解.
【详解】由题意可得D = -1, E =1, F = 2m,故D2 + E2 - 4F =1+1-8m > 0，
m 1解得 < ，
4
故选：A
5-2．（2024 高二上·黑龙江双鸭山·期中）方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0 表示圆的条件是（ ）
A．m<1 B．m>1
1 1
C．m< D < <14 ． 4 m
【答案】A
【分析】
根据二元二次曲线表示圆，化标准形式即可求解.
【详解】
方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式 (x + 2)2 + (y -1)2 = 5 - 5m ，
表示圆的条件是5 - 5m > 0，解得m <1．
故选：A
5-3．（2024 高二上·江苏盐城·期末）方程 x2 + y2 + 2y + m = 0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ）
A． 1, + B． - ,1
C． 1, + D． - ,1
【答案】B
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
2
【详解】由 x2 + y2 + 2y + m = 0，得 x2 + y +1 =1- m > 0，
解得m <1.
故选：B
（四）
求圆的一般方程
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程
组解出系数得到方程．
题型 6：求圆的一般方程
6-1．（2024 高一下·湖南株洲·期末）圆 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0的圆心坐标是（ ）
A． -2,4 B． 2, -4
C． -1,2 D． 1, -2
【答案】D
【分析】将圆的方向化为标准式，即可得到圆心坐标.
2 2
【详解】圆 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0，即 x -1 + y + 2 = 9 ，
所以圆心为 1, -2 .
故选：D
6-2．（2024 高二上·全国·课后作业）过直线2x - y +1 = 0和圆 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交点且过原点的圆的方程
是 ．
【答案】 x2 + y2 + 28x -15y = 0
【分析】
先将所求圆的方程设为 x2 + y2 - 2x -15 + l(2x - y +1) = 0，再根据所求圆过原点，将 0,0 代入方程解出l ，即
可得到圆的方程.
【详解】设所求圆的方程为 x2 + y2 - 2x -15 + l(2x - y +1) = 0，
因为过直线2x - y +1 = 0和圆 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交点的圆过原点，
所以可得 -15 + l = 0，解得l =15，
将l =15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为： x2 + y2 + 28x -15y = 0．
故答案为： x2 + y2 + 28x -15y = 0 .
6-3．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知VABC 的三个顶点 A 1, -2 ，B 0,5 ，C -3, -4 ．那么三角形外
接圆的方程是 ．
【答案】 x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0
【分析】设VABC 的外接圆方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，然后将三个点的坐标代入求解即可.
【详解】设VABC 的外接圆方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则
ì1+ 4 + D - 2E + F = 0 ìD = 6
í25 + 5E + F = 0
，解得 íE = -2 ，
9 +16 - 3D - 4E + F = 0 F = -15
所以三角形外接圆的方程为 x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0 .
故答案为： x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0
6-4．（24-25 高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是 5,6 ，
3, -4 ，则这个圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 + 4x - 2y - 7 = 0 B． x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0
C． x2 + y2 + 8x + 2y - 6 = 0 D． x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0
【答案】B
【分析】依题意可得 5,6 ， 3, -4 两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的
标准方程，再化为一般式方程.
【详解】由题意可知该圆的圆心为 4,1 ，圆的直径为 (5 - 3)2 + (6 + 4)2 = 2 26 ，则半径为 26 ，
所以圆的方程为 (x - 4)2 + (y -1)2 = 26，即 x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0 .
故选：B．
6-5．（2024 高二上·河北沧州·期末）在△OAB 中，O 是坐标原点， A -2,2 ，B 1,3 ．
(1)求 AB 边上的高所在直线的方程；
(2)求△OAB 的外接圆方程
【答案】(1)3x + y = 0
(2) x2 + y2
1 x 7+ - y = 0
2 2
【分析】（1）先求出 AB 边上的高线的斜率，再利用点斜式求出 AB 边上的高所在直线的方程；
（2）设△OAB的外接圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 - 4F > 0），则把O, A, B的坐标代入求
得D, E, F 的值，可得圆的方程．
1
【详解】（1）∵直线 AB 的斜率 kAB = ，3
∴AB 边上的高所在直线的斜率 k = -3，
又 AB 边上的高所在直线过原点 O，
∴AB 边上的高所在直线的方程为3x + y = 0．
（2）设△OAB的外接圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 - 4F > 0），
ì 1
D =
ì8 - 2D + 2E + F = 0 2
7
则 í10 + D + 3E + F = 0 ，解得 íE = - ，
F = 0
2
F = 0
1 7
∴ OAB 2 2△ 的外接圆方程为 x + y + x - y = 0．
2 2
题型 7：圆过定点问题
7-1 2024 · · C：x2 2 2．（ 高二上 安徽 阶段练习）若圆 + y - m - 2 x + m - 2 y + m - 3m + 2 = 0过坐标原点，则实
数 m 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2 或 1 D．－2 或－1
【答案】A
【分析】把坐标 (0,0)代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将 0,0 代入圆方程，得m2 - 3m + 2 = 0，解得m =1或 2，当m = 2 时， x2 + y2 = 0 ，舍去，所以
m =1.
故选：A．
7-2．（2024 高二下·上海徐汇·期中）对任意实数m ，圆 x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 恒过定点，则定点坐标
为 ．
1,1 1 , 7 【答案】 或
è 5 5 ÷
ìx2 + y2 - 2 = 0
【分析】由已知得 x2 + y2 - 2 - (3x + 6y - 9)m = 0 ，从而 í ，由此能求出定点的坐标．
3x + 6y - 9 = 0
【详解】解： x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 ，即 x2 + y2 - 2 - (3x + 6y - 9)m = 0 ，
ìx2 + y2 - 2 = 0
令 í ，解得 x =1， y =1 x
1 7
，或 = ， y = ，
3x + 6y - 9 = 0 5 5
1 7
所以定点的坐标是 1,1 或 , ÷ ．
è 5 5
故答案为： 1,1 1 , 7 或 ÷ .
è 5 5
7-3．（2024 高二上·江西吉安·期中）已知方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0表示的曲线恒过第三象限内的一个定
点A ，若点A 又在直线 l：mx + ny +1 = 0上，则 2m + 2n =
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
2 2 2 2 ìx
2 + y2 - 2 = 0
【分析】把方程 x + y + 2mx - 2my - 2 = 0化为 x + y - 2 + 2m x - y = 0，解方程组 í ，即得定
x - y = 0
点A 的坐标.把点A 的坐标代入直线 l的方程，即得答案.
【详解】方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0 x2 + y2可化为 - 2 + 2m x - y = 0 .
ìx2 + y2 - 2 = 0
Q ì
x =1 ìx = -1
曲线恒过定点A ，\ í ，解得 í .
x - y = 0 y =1
或 í
y = -1
Q点A 在第三象限，\ A -1,-1 ，代入直线 l的方程mx + ny +1 = 0，
可得m + n =1,\2m + 2n = 2 .
故选： B .
【点睛】本题主要考查曲线过定点，属于中档题.
7-4．（2024 高二上·浙江温州·期中）点P x, y 是直线 2x + y - 5 = 0上任意一点，O是坐标原点，则以OP 为
直径的圆经过定点（ ）
A． 0,0 和 1,1 B． 0,0 和 2,2 C． 0,0 和 1,2 D． 0,0 和 2,1
【答案】D
【分析】设点P t,5 - 2t ，求出以OP 为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点P t,5 2t M t , 5 - 2t- ，则线段OP 的中点为 ÷，
è 2 2
t 2M + 5 - 2t
2 2
圆 的半径为 OM 5t - 20t + 25= = ，
4 2
2
OP t 5 - 2t
2
5t 2 - 20t + 25
所以，以 为直径为圆的方程为 x - ÷ + y - ÷ = ，
è 2 è 2 4
即 x2 + y2 - tx + 2t - 5 y = 0 2，即 x + y2 - 5y + t 2y - x = 0 ，
ì2y - x = 0 ìx = 0 ìx = 2
由 í
x
2 + y2 - 5y = 0，解得 í 或 í ， y = 0 y =1
因此，以OP 为直径的圆经过定点坐标为 0,0 、 2,1 .
故选：D.
（五）
圆上的点到定点的最大、最小距离
设 A的方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 ，圆心 A(a,b) ，点 M 是 A上的动点，点 P 为平面内一点；记
d =| PA |;
①若点 P 在 A外，则 | PM |max = d + r ; | PM |min = d - r
②若点 P 在 A上，则 | PM |max = 2r ; | PM |min = 0
③若点 P 在 A内，则 | PM |max = d + r ; | PM |min = r - d
题型 8：与圆有关的最值问题
8-1．（2024·甘肃酒泉·三模）点M 在圆C : x2 + (y -1)2 = 4 上，点 N 2 3,3 ，则 MN 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】可判断 N 在圆外，则 | MN |max = NC + r ，计算即可．
【详解】圆C : x2 + (y -1)2 = 4 的圆心C(0,1)，半径为 r = 2，
由于 NC = (2 3)2 + (3 -1)2 = 4 > 2,\ N 在圆外，
\| MN |max = NC + r = 4 + 2 = 6．
故选：D.
8-2．（2024 高一下·广西·阶段练习）若复数 z 满足 z - 2 - 5i = 2，则 z +1- i 的最大值为（ ）
A．5 + 2 B．5 + 2 2 C．7 D． 41
【答案】C
【分析】由 z - 2 - 5i = 2知，复数 z 对应的点的轨迹为圆，而 z +1- i 的几何意义为圆上的点与 (-1,1)的距离，
再结合两点距离公式求解即可.
【详解】复数 z 满足 z - 2 - 5i = 2，所以复数 z 对应的点的轨迹是以 2,5 为圆心，2 为半径的圆，
z +1- i 的几何意义为圆上的点与 (-1,1)的距离，
2 2
所以 z +1- i 的最大值为 2 + -1- 2 + 1- 5 = 7 ．
故选：C.
8-3．（2024 高二上·四川巴中·期末）已知圆 C 过点 A -2,0 , B 2，4 ，当圆 C 到原点 O 的距离最小时，圆 C
的标准方程为 ．
2 2
【答案】 x -1 + y -1 =10
【分析】根据圆的几何性质可知圆 C 到原点 O 的距离最小时，则OC / /AB ，进而联立直线方程可得圆心坐
标，即可求解.
4 - 0
【详解】由 A -2,0 , B 2，4 可得线段 AB 中点坐标为 0，2 ，又 kAB = =12 - -2 ，
所以 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2，所以圆心 C 在线段 AB 垂直平分线上，
当圆 C 到原点 O 的距离最小时，则OC / /AB ,所以直线OC 方程为 y = x ，
ìy = x ìx =1
联立 í y x 2 íy 1，所以圆心
C 1,1 ,
= - + =
又半径 r 2 = AC 2 = -2 -1 2 + 0 -1 2 =10 ,故圆的方程为： x -1 2 + y -1 2 =10
2 2
故答案为： x -1 + y -1 =10
8-4．（2024·
2
广东佛山·模拟预测）已知圆 C： x -1 + y2 = 4，过点 A 0,1 的两条直线 l1， l2互相垂直，圆心
C 到直线 l1， l2的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d1d2的最大值为（ ）
A 2． B．1 C．
2 2 D．4
【答案】B
2 2
【分析】由四边形 AECF 是矩形，应用勾股定理可求 d1 + d2 = 2，再利用基本不等式可得答案.
【详解】过圆心 C 分别作直线 l1， l2的垂线，垂足分别为E ，F ．
Q l1， l2互相垂直，所以四边形 AECF 为矩形．
由圆 C： x -1 2 + y2 = 4，可得C 1,0 ，又 A 0,1 ，
\d 2 21 + d2 =| CE |
2 + | CF |2 =| AC |2 = 2 2d1d2 ，
所以 d1d2 1，当且仅当 d1 = d2 =1时取等号，即 d1d2的最大值为 1，
故选：B.
（六）
求动点的轨迹方程
1、求动点的轨迹方程常用方法“四步一回头”：
四步：（1）建立适当坐标系，设出动点 M 的坐标(x,y).
（2）写出适合条件的点 M 的集合 P=P{M|P(M)}.
（3）将 P(M)“翻译”成代数方程 f(x,y)=0.
（4）化简代数方程 f(x,y)=0 为最简形式.
一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.
2、求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
题型 9：求动点的轨迹方程
9-1．（2024 高二上·山东青岛·期中）已知圆心为 C 的圆经过 A 1,1 ，B 2, -2 两点，且圆心 C 在直线
l : x - y +1 = 0上.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)设 P 为圆 C 上的一个动点，O 为坐标原点，求 OP 的中点 M 的轨迹方程.
【答案】(1) (x + 3)2 + ( y + 2)2 = 25；
(2) x 3
2
2 25
+ 2 ÷
+ (y +1) = .
è 4
【分析】（1）设圆心 C 的坐标为 a,b ，可得 a - b +1 = 0 ，结合条件可得 a - 3b - 3 = 0，进而求得圆心的坐标，
半径，即得；
（2）设M x, y ，P x0 , y0 ，进而可得P 2x, 2y ，然后代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.
【详解】（1）设圆心 C 的坐标为 a,b ，半径为 r，
∵圆心 C 在直线 l : x - y +1 = 0上，
∴ a - b +1 = 0 ，
∵圆 C 经过 A 1,1 ，B 2, -2 两点，
∴ CA = CB ，
即 (a -1)2 + (b -1)2 = (a - 2)2 + (b + 2)2 ，
化简得： a - 3b - 3 = 0，又 a - b +1 = 0 ，
所以 a = -3，b = -2，
∴圆心 C 的坐标为 -3, -2 ， r = AC = (1+ 3)2 + (1+ 2)2 = 5，
所以圆 C 的标准方程为： (x + 3)2 + ( y + 2)2 = 25；
（2）设M x, y ，P x0 , y0 ，
∵M 为 OP 的中点，
ì x x0 + 0
=
2 ì x∴ 0
= 2x
í
y y0 + 0
í
y0 = 2y
，
=
2
∴ P 2x, 2y ，
∵P 在圆 C 上，
2
∴ (2x + 3)2 + (2y + 2)2 = 25 x 3 (y 1)2 25，即 + 2 ÷
+ + = ，
è 4
2
∴OP 3 25的中点 M 的轨迹方程为 2 x + ÷ + (y +1) = .
è 2 4
9-2．（2024 高二上·山东日照·阶段练习）已知圆 C 经过点 A 3,1 ，B -1,3 且圆心 C 在直线3x - y - 2 = 0上.
(1)求圆 C 方程；
(2)若 E 点为圆 C 上任意一点，且点F 4,0 ，求线段 EF 的中点 M 的轨迹方程.
【答案】(1) x - 2 2 + y - 4 2 =10；
x - 3 2 + y - 2 2 5(2) = ．
2
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点 M 的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆 C 2的标准方程为 x - a + y - b 2 = r2 ，则
ì 3- a 2 + 1- b 2 = r2
í -1- a 2 + 3 - b 2 = r2 ，
3a - b - 2 = 0
解之得 a = 2, b = 4, r2 = 10，
所以圆 C 2的标准方程为 x - 2 + y - 4 2 =10；
ìx x= 1 + 4
（2）设 M（x，y），E x1, y1 ，由F 4,0 及 M 为线段 EF 2的中点得 í y ， y 1 + 0=
2
ìx1 = 2x - 4
解得 í ,
y1 = 2y
又点 E 在圆 C： (x - 2)2 + (y - 4)2 =10上，
2
所以有 2x - 4 - 2 + 2y - 4 2 =10 ，
x - 3 2 2 5化简得： + y - 2 = ,
2
故所求的轨迹方程为 x - 3 2 + y - 2 2 5= ．
2
9-3．（2024 2 2高二上·江西宜春·阶段练习）已知方程 x + y + 2kx + 4k +10 y + 6k 2 + 21k +19 = 0表示圆，其圆
心为C .
(1)求圆心坐标以及该圆半径 r 的取值范围；
(2)若 k = -2 ，线段 AB 的端点A 的坐标为 0,4 ，端点 B 在圆C 上运动，求线段 AB 中点M 的轨迹方程.
-k, 2k 5- - 5 , 0, ù【答案】(1)
è 2 ú
2
(2) (x -1)2 + 3 y -
÷ =1
è 2
【分析】
（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案；
（2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点 B 的坐标，代入圆方程，可得答案.
【详解】（1）方程 x2 + y2 + 2kx + 4k +10 y + 6k 2 + 21k +19 = 0可变为： (x + k)2 + (y + 2k + 5)2 = -k 2 - k + 6 由
方程表示圆，
所以-k 2 - k + 6 > 0，即得-3 < k < 2，
r k 2 1
2 25 5
\ = - - k + 6 = - k +
÷ +
0,
ù
è 2 4 è 2 ú
.圆心坐标为 -k, -2k - 5 .
（2）当 k = -2 时，圆C 方程为： (x - 2)2 + (y +1)2 = 4，
设M x, y ，又M 为线段 AB 的中点，A 的坐标为 0,4 则B 2x, 2y - 4 ，
由端点 B 在圆C 上运动，
2
\(2x - 2)2 + (2y - 3)2 = 4即 (x -1)2 3+ y -
÷ =1
è 2
2
\线段 AB M (x 1)2 y 3中点 的轨迹方程为 - + -
÷ =1.
è 2
9-4．（2024 高二上·河南濮阳·阶段练习）已知圆 C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0)．
(1)求圆 C 的方程：
(2)已知 O 为坐标原点，点 A 在圆 C 上运动，求线段OA的中点 P 的轨迹方程．
【答案】(1) (x - 3)2 + y2 = 4
2
(2) 3 2 x - ÷ + y = 1
è 2
【分析】（1）设圆C 的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)，将三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0)代
入求解；
（2）设动点 P 的坐标为 x, y ， A 的坐标是 x1, y1 ，由 P 为线段 OA 的中点，得到 x1 = 2x，y1 = 2y ，代
入圆 (x - 3)2 + y2 = 4上的点求解.
【详解】（1）解：设圆C 的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)，
因为圆C 过三个点M (1,0), N (3, 2), R(5,0)，
ì1+ D + F = 0
所以 í9 + 4 + 3D + 2E + F = 0 ，解得D = -6, E = 0, F = 5，
25 + 5D + F = 0
所以圆C 的方程为 x2 + y2 - 6x + 5 = 0，即 (x - 3)2 + y2 = 4．
（2）设动点 P 的坐标为 x, y ， A 的坐标是 x1, y1 ．
x y
由于 P 为线段 OA 的中点，所以 x = 1 ， y = 1 ，
2 2
所以有 x1 = 2x，y1 = 2y ①
A 是圆 (x - 3)2 + y2 = 4上的点，
所以 A 坐标 x1, y x - 3 21 满足： + y21 1 = 4 ②
2
将① ② x 3 代入 整理，得 - + y
2 = 1，
è 2 ÷
3 2
所以 P 的轨迹是以 ,0
÷ 为圆心，以 1
3
2 为半径的圆，方程为 x - ÷ + y
2 =1．
è è 2
一、单选题
1．（2024 高二上·吉林长春·期中）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的内部，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果.
【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的内部，
所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离 d＜2，
即： (1- a)2 + (1+ a)2 < 2 ，整理得：﹣1＜a＜1.
故选：A.
【点睛】本题考查了根据点和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.
2．（2024 高一下·黑龙江黑河·课后作业）圆 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圆心、半径是（ ）
A． 1, -2 ，4 B． 1, -2 ，2 C． -1,2 ，4 D． -1,2 ，2
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程的性质求解．
【详解】圆 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圆心为 (-1,2),半径 r = 2.
故选：D
3．（2024·
2
北京海淀·三模）若直线 2x + y -1 = 0是圆 x2 + y + a = 1的一条对称轴，则 a =（ ）
1 1
A．-1 B．1 C． D．-
2 2
【答案】A
【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.
2
【详解】圆 x2 + y + a = 1的圆心为 0, -a ，因为直线 2x + y -1 = 0是圆的一条对称轴，
所以圆心 0, -a 在直线 2x + y -1 = 0上，所以 2 0 + -a -1 = 0，解得 a = -1 .
故选：A
4．（2024 高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点 -3,4 ，且过原点，则它的方程为
（ ）
A． x - 3 2 + y - 4 2 = 5 B． x + 3 2 + y + 4 2 = 25
C． x + 3 2 + y - 4 2 = 5 D． x + 3 2 + y - 4 2 = 25
【答案】D
【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.
【详解】设圆的半径为 r ，因为圆心是C -3,4 ，且过点 (0,0)，所以 r = 9 +16 = 5，所以半圆的方程为
x + 3 2 + (y - 4)2 = 25，
故选：D.
5．（2024 2 2 2 2高二·全国·课后作业）如果圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 D + E - 4F > 0 关于直线 y = x 对称，则有
（ ）
A．D + E = 0 B．D = E
C．D = F D．E = F
【答案】B
【分析】圆心在直线 y = x 上，代入计算得到答案.
E D
【详解】由圆的对称性知，圆心在直线 y = x 上，故有- = - ，即D = E .
2 2
故选：B
6．（2024 高二上·安徽·阶段练习）已知圆C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0，则过点P -1, -2 的直线 l 与圆 C 交于 A，B
两点，则 AB 的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． 2 5 D． 2 10
【答案】C
【分析】先求得圆的圆心和半径，再根据直线 l 与直线 CP 垂直时，所截得弦长 AB 最短求解．
【详解】因为P -1, -2 ，圆C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0的标准方程为 x + 2 2 + y2 =10，
所以半径 r = 10 ，圆心C -2,0 ，
当直线 l 与直线 CP 垂直时，所截得弦长 AB 最短．此时 CP = 5，
2
所以 AB = 2 r 2 - CP = 2 5 ．
min
故选：C．
7．（2024 高二上·山东潍坊·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径
为 5 ；乙：该圆经过点 3,3 ；丙：该圆的圆心为 2,1 ；丁：该圆经过点 7,0 ．如果只有一位同学的结论
是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】通过假设的方法判断出错误的同学.
【详解】设 A 3,3 , B 2,1, ,C 7,0 .
假设甲错误，乙丙丁正确，
AB = 1+ 22 = 5, BC = 52 +1 = 26 ，
AB BC ，矛盾，所以甲正确.
假设乙错误，甲丙丁正确，
x - 2 2由甲、丙正确可知圆的方程为 + y -1 2 = 5，
C 7,0 不满足上式，矛盾，所以乙正确.
假设丙错误，甲乙丁正确.
由乙丁得 AC = 42 + 32 = 5 > 2 5 ，与半径为 5 矛盾，所以丙正确.
假设丁错误，甲乙丙正确，
2 2
则由甲丙可知圆的方程为 x - 2 + y -1 = 5，
A 3,3 满足上式，符合题意.
综上所述，结论错误的同学是丁.
故选：D
8．（2024 高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点P 1,2 为圆 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 外一点，则实数m 的取值范
围为（ ）
A． 2, 17 17 17+ B． - ,
÷ C． 2,
ù
4 ú
D． 2,4 4 ÷è è è
【答案】D
【分析】结合点在圆外条件，及 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 表示圆的方程可得答案.
【详解】因P 1,2 在圆外，则12 + 22 + 1 - 8 + m > 0 ，得m > 2 .
又 x2 + y2 + x 4y
2 17
- + m = 0 表示圆，则12 + -4 - 4m > 0 ，得m < .4
17
综上： 2 < m < .
4
故选：D
9．（2024
2 2
高二上·河北保定·期末）圆 x + 2 + y -12 = 4关于直线 x - y + 4 = 0对称的圆的方程为（ ）
A． x + 6 2 + y + 4 2 = 4 B． x + 8 2 + y + 2 2 = 4
C． x -8 2 + y - 2 2 = 4 D x - 6 2． + y - 4 2 = 4
【答案】C
【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程.
【详解】设圆 x + 2 2 + y -12 2 = 4的圆心 (-2,12)
关于直线 x - y + 4 = 0对称的点为 (a , b ) ，
ìb -12
= -1 a + 2 ìa + b =10 ìa = 8
则有 ía 2 b 12 整理得 í 解得 í ， - +- + 4 = 0 a - b = 6 b = 2
2 2
因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为 2，
2
所以所求圆方程为 x -8 + y - 2 2 = 4，
故选:C.
10．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知点 P 在圆 x2 - 2 3x + y2 - 2y = 0 上，则点 P 到 x 轴的距离的
最大值为（ ）
A．2 B．3 C． 3 D． 3 + 2
【答案】B
【分析】先根据圆的一般方程求出圆心半径，再结合问题计算即可.
【详解】圆 x2 2 2- 2 3x + y - 2y = 0 ,即圆 x - 3 + y -1 2 = 4，
圆心为 3,1 ，半径 r = 2，得点 P 到 x 轴的距离的最大值为 d = r +1 = 2 +1 = 3 .
故选：B.
11．（2024 高二下·山东青岛·期中）圆 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0上的点到直线 x + y + 6 = 0的最大距离是（ ）
A． 2 2 B．4 2 C．8 2 D．16 2
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半
径.
【详解】圆 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0 x - 2 2 + y - 2 2化为标准方程得 =18，
2 + 2 + 6
圆心坐标为 2,2 ，半径为3 2，圆心到直线 x + y + 6 = 0的距离为 = 5 2
2
所以圆上的点到直线 x + y + 6 = 0的最大距离为5 2 + 3 2 = 8 2 .
故选:C.
12．（2024 高二上·广东揭阳·阶段练习）若点P 1,1 为圆 x2 + y2 - 6x = 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线
的方程为（ ）
A．2x + y - 3 = 0 B． x - 2y +1 = 0 C． x + 2y - 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】D
【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心A 坐标，由 AP ^ MN ，可求得弦 MN 所在直线的斜率，点斜式
求方程.
2
【详解】圆的标准方程为 x - 3 + y2 = 9，圆心 A 3,0 ．因为点P 1,1 为弦 MN 的中点，所以 AP ^ MN ，
k 1- 0 1又 AP 的斜率 = = - ，所以直线 MN 的斜率为 2，弦 MN 所在直线的方程为 y -1 = 2 x -1 ，即
1- 3 2
2x - y -1 = 0 .
故选：D
13．（2024 2高二上·全国·课后作业）若圆 x2 + y2 - 2x - 4y = 0的圆心到直线 x - y + a = 0的距离为 ，则实数
2
a 的值为（ ）
A．0 或 2 B．0 或-2
1
C．0 或 D．-2 或 2
2
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心C 1,2 ，进而表示出圆心到直线的距离，结合已知条件，列出
关系式，求解即可得出答案.
2 2
【详解】将圆的方程化为标准方程为： x -1 + y - 2 = 5，
所以，圆心为C 1,2 ，半径 r = 5 .
2
因为圆心C 1,2 到直线的距离为 ，
2
1- 2 + a 2
所以， = ，即 a -1 =1，
2 2
所以 a -1 = ±1，所以 a = 0或 a = 2 .
故选：A.
14．（2024 高二上·浙江宁波·期中）过三点 A 4, -2 , B 1, -1 ,C 1,4 的圆的一般方程为（ ）
A． x2 + y2 + 7x - 3y + 2 = 0 B． x2 + y2 + 7x + 3y + 2 = 0
C． x2 + y2 - 7x + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0
【答案】D
【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.
【详解】设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，将 A，B，C 三点的坐标代入方程，
ì D - E + F = -2 ìD = -7
整理可得 íD + 4E + F = -17
，解得 íE = -3，
4D - 2E + F = -20 F = 2
故所求的圆的一般方程为 x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0，
故选：D．
15．（2024 高二下·云南·阶段练习）已知直线 x + 3 y = 1经过圆 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圆心，其中mn > 0，则
3 1
+ 的最小值为（
m n ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】因为直线 x + 3 y = 1经过圆 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圆心 m, n ，
故m + 3n = 1，
3 1 3 1 9n m 9n m
所以 + = m + 3n +
m n m n ÷
= 6 + + 6 + 2 × =12 ，
è m n m n
9n m 1
当且仅当 = ，即m = 3n = 时，等号成立.
m n 2
故选：D
16．（2024 2高三上·广东惠州·阶段练习）已知圆 x +1 + y + 2 2 = 4关于直线 ax + by +1 = 0（ a > 0， b > 0）
1 2
对称，则 + 的最小值为（ ）
a b
5
A． B．9 C．4 D．8
2
【答案】B
【分析】由题可得 a + 2b =1 a > 0,b > 0 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆 x +1 2 + y + 2 2 = 4的圆心为 -1, -2 ，依题意，点 -1, -2 在直线 ax + by +1 = 0上，
因此-a - 2b +1 = 0，即 a + 2b =1 a > 0,b > 0 ，
∴ 1 2 1 2 2b 2a+ = + ÷ a + 2b = 5 + + 5 2
2b 2a
+ × = 9，
a b è a b a b a b
2b 2a 1
当且仅当 = ，即 a = b = 时取“=”，
a b 3
1 2
所以 + 的最小值为 9.
a b
故选：B.
17．（2024 高二上·河南许昌·阶段练习）方程 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0表示圆，则实数 a 的可能取值为
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．-2
【答案】D
【分析】先把 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0整理成圆的标准形式，满足右边关于 a的表达式大于零.
2 2
【详解】由 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0 a 5a，可得 x - ÷ + y + a
2 = - 2a -1，
è 2 4
5a2
所以 - 2a -1 > 0，
4
a 2解得 < - 或 a > 2，
5
选项中只有-2符合题意.
故选：D.
18．（2024 高二上·安徽合肥·期中）已知方程 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圆，则 k 的取值范围是（ ）
1
A． - , -1 3,+ B． - , -
3 ֏
C． - , 3-1 D． - , +
2 ֏
【答案】C
【分析】直接根据圆一般方程的判断条件D2 + E2 - 4F > 0，解不等式即可得参数 k 的取值范围.
【详解】因为 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圆，
2
所以 D2 + E2 - 4F = -2 - 4 2 + k > 0，解得 k < -1，
得 k 的取值范围是 - ,-1 .
故选：C
19．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知P1 0,2 、P2 4,4 两点，若圆M 以P1P2
为直径，则圆M 的标准方程为（ ）
A． x - 2 2 + y - 3 2 = 5 B． x - 2 2 + y - 3 2 = 5
C 2 2． x -1 + y - 4 = 5 D． x -1 2 + y - 4 2 = 5
【答案】A
【分析】求出圆心M 坐标以及圆M 的半径，即可得出圆M 的标准方程.
0 + 4 2 + 4
【详解】由题意可知，圆心M 的横坐标为 = 2 ，纵坐标为 = 3，即点M 2,3 ，
2 2
M MP = 2 - 0 2 2圆 的半径为 1 + 3- 2 = 5 ，
2 2
因此，圆M 的标准方程为 x - 2 + y - 3 = 5 .
故选：A.
20．（2024 高二上·北京·期末）设A 是圆C : x +1 2 + y2 = 9上的动点，PA是圆的切线，且 PA = 4，则点 P
到点Q 8,0 距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题首先可根据题意得出 PC = 5，则点 P 的轨迹方程为 x +1 2 + y2 = 25 ，然后用圆心到点Q 8,0
的距离减去半径即可得出结果.
2
【详解】解：由圆的方程 x +1 + y2 = 9，易知圆心C -1,0 ，半径为3，
因为PA是圆的切线，且 PA = 4，
所以 PC 2 = PA 2 + 32 = 25， PC = 5，
2
所以，点 P 的轨迹方程为 x +1 + y2 = 25 ，
点 P 2到点Q 8,0 距离的最小值为 8 +1 + 0 - 5 = 4，
故选：D.
21．（2024·甘肃·三模）已知A ，B 是圆O : x2 + y2 = 4 上的两个动点，若点P 1,2 在以 AB 为直径的圆上，则
AB 的最大值为（ ）
A． 6 + 2 B． 5 + 3 C． 2 6 - 2 D． 2 5 - 3
【答案】B
2 2
【分析】设 AB 的中点为M ，得到 AM = BM = PM ，根据OM ^ AB，得到 OM + PM = 4，设
2
M x, y 1 2 3，求得 x - ÷ + y -1 = ，得出点M 的轨迹，再由 AB = 2 PM 可知，当 PM 取最大值时， AB
è 2 4
取最大值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设 AB 的中点为M ，连接PM ，
因为点P 1,2 在以 AB 为直径的圆上，所以PA ^ PB，
所以 AM = BM
1
= PM = AB ，
2
连接 AO ，BO，MO ，则 AO = BO = 2，所以OM ^ AB，
所以 OM 2 + AM 2 = OM 2 + PM 2 = OA 2 = 4，
2
M x, y x2 + y2 + x -1 2设 ，则 + y - 2 2 = 4 1 ，整理得 x - ÷ + y -1
2 3= ，
è 2 4
1M 3所以点 的轨迹是以点 ,12 ÷为圆心， 为半径的圆，è 2
因为 AB = 2 PM ，所以当 PM 取最大值时， AB 取最大值，
2
PM 1 1 2 1 2 3 5 + 3又因为 = - ÷ + - + = ，max è 2 2 2
故 AB 的最大值为 5 + 3 .
故选：B.
22．（2024·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系内，已知 A(-3,4) ， B(-3,1)，动点 P(x, y) 满足 | PA |= 2 | PB |，
则 (x -1)2 + (y - t)2 （ t R ）的最小值是（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．16
【答案】C
【分析】由题意求出点 P 的轨迹方程，则 x -1 2 + y - t 2 可以看成圆 x + 3 2 + y2 = 4上动点P x, y 与定
直线 x =1上动点Q 1, t 的距离，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】因为 A -3,4 ，B -3,1 ，动点P x, y 满足 PA = 2 PB ，
则 x + 3 2 + y - 4 2 = 4 x + 3 2 + 4 y -1 2 2，整理得 x + 3 + y2 = 4，
2x -1 2 + y - t 2 可以看成圆 x + 3 + y2 = 4上动点P x, y 与定直线 x =1上动点Q 1, t 的距离，
其最小值为圆心M -3,0 到直线 x =1的距离减去圆的半径 2，即 PQ 4 - 2 = 2 ，
2 2
因此， x -1 + y - t 的最小值是 22 = 4，
故选：C.
23．（2024 高二下·
2 2
四川广安·阶段练习）动直线mx + ny -1 = 0 m > 0, n > 0 平分圆 x -1 + y -1 =1的周长，
4n 1
则 + 的最小值（ ）m +1 2n
3 5 5 9
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】D
【分析】由题意，动直线mx + ny -1 = 0 过圆 x -1 2 + y -1 2 =1的圆心 1,1 ，则m + n =1，代入所给式子并
变形，利用基本不等式求解.
【详解】由题意，动直线mx + ny -1 = 0 过圆 x -1 2 + y -1 2 =1的圆心 1,1 ，
则m + n =1，又m > 0,n > 0，
4n 1 4n m + n 2 1 m 1 1
+ = + = + + + 2 2 1 m 1+ 1 9+ =
则 m +1 2n 2m + n 2n m 1+ 2
è n 2 ÷ 4 m 1+ 2
è n 2 ÷ 4 4 ，
n 2 n 2
m 1
当且仅当 + = 2
3 2
且m + n =1，即m = , n = 时，等号成立，
n 2 5 5
4n 1 9
故 + 的最小值为 .
m +1 2n 4
故选：D.
24．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数 z 满足 z + i =1，则 z +1 的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．3
【答案】C
【分析】设 z = a + bi,a,b R ，得出 a,b的关系，结合其几何意义求解最值.
【详解】设 z = a + bi,a,b R ，
因为 | z + i |= a + b +1 i =1，
所以 a2 + b +1 2 =1，
2
因为 | z +1|= a +1+ bi = a +1 + b2 ，
所以 z +1 2相当于圆 a2 + b +1 =1上的点到点 -1,0 距离，
所以 z +1 的最大值为圆心 0, -1 到点 -1,0 距离与圆的半径1的和，即 2 +1.
故选：C.
25．（2024 高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 3 的圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 - 2x - 3y = 0 B． x2 + y2 + 2x - 3y = 0
C． x2 + y2 - 2x + 3y = 0 D． x2 + y2 + 2x + 3y = 0
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,(D2 + E2 - 4F > 0) ，
由题意知,圆过点 0,0 ， 2,0 和 0,3 ，
ìF = 0 ìD = -2
所以 í4 + 2D + F = 0，解得 íE = -3 ，
9 + 3E + F = 0 F = 0
所以所求圆的方程为 x2 + y2 - 2x - 3y = 0 .
故选：A
二、多选题
26．（2024 高二上·全国·课后作业）（多选）点 1,1 在圆 x - a 2 + y + a 2 = 4的内部，则 a的取值不可能是
（ ）
1
A．-2 B．-
2
1
C． D． 2
2
【答案】AD
【分析】求出实数 a的取值范围，即可得出合适的选项.
2 2
【详解】由已知条件可得 1- a + 1+ a < 4，即 2a2 + 2 < 4，解得-1 < a < 1 .
故选：AD.
27．（2024 高二上·江苏苏州·阶段练习）过点 A(1,-1)与B(-1,1)且半径为 2 的圆的方程可以为（ ）
A． (x - 3)2 + (y +1)2 = 4 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 4
C． (x +1)2 + (y +1)2 = 4 D． (x + 3)2 + (y -1)2 = 4
【答案】BC
【分析】先根据圆过点 A(1,-1)与B(-1,1)，得出圆心在线段 AB 的垂直平分线上，求出圆心所在的直线方程，
设出圆心坐标，再代入 A(1,-1)或B(-1,1)，求出圆心坐标，进而求出圆的方程.
【详解】因为圆过点 A(1,-1)与B(-1,1)
1- -1
，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，其中 kAB = = -1，设-1-1
圆心所在的直线为 l，则 kAB × kl = -1，解得： kl =1，又因为
A(1,-1)与B(-1,1)的中点坐标为 0,0 ，所以直线 l 为 y = x ，设圆心坐标为 m, m ，因为半径为 2，所以圆
的方程为： (x - m)2 + (y - m)2 = 4，代入 A(1,-1)得： (1- m)2 + (-1- m)2 = 4，解得：m = ±1，综上圆的方程
为 (x -1)2 + (y -1)2 = 4或 (x +1)2 + (y +1)2 = 4 .
故选：BC
28．（2024 高二上·甘肃酒泉·期中）已知点P 1,2 在圆C : x2 + y2 + kx + 4y + k 2 +1 = 0的外部，则 k 的取值可
能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D． 2
【答案】AC
【分析】根据点在圆外的条件，列不等式求 k 的取值范围.
ì 2 k +16 - 4 k 2 +1 > 0
【详解】由题意可得 í ，解得-2 1+ 4 + k + 8 + k +1 > 0
故选：AC.
29．（2024 高二上·全国·课后作业）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0 B． x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0
C． x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0 D． x2 + y2 - 3xy -12 = 0
【答案】BCD
【分析】根据二元二次方程表示圆条件，逐项判定，即可求解。
【详解】根据二元二次方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件，
对于 A 中，方程 x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0，可得 (-2)2 + 42 - 4 3 = 8 > 0 ，
所以方程是圆的一般方程；
对于 B 中，方程 x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0 2，可得 -2 + 22 - 4 7 = -20 < 0，
所以方程不是圆的一般方程；
对于 C 中，方程 x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0中， x2和 y2的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于 D 中，方程 x2 + y2 - 3xy -12 = 0中，存在 xy项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
三、填空题
30．（2024 高一下·四川乐山·期末）点 (1,0)与圆 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置关系是 ．（填“在圆
内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【分析】利用点 (1,0)到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点 (1,0)与圆 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置
关系即可.
【详解】圆 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的圆心坐标为 (2,1)，半径为 2
点 (1,0)到圆心的距离 (2 -1)2 + (1- 0)2 = 2 ，
因为 2 < 2，所以点 (1,0)在圆内．
故答案为：在圆内
31．（2024 高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，A 6,0 , B 6,1 点 P 满足 PO = 2 PA ，则动点 P
的运动轨迹方程为 ； PB + 2 PA 的最小值为 .
【答案】 (x - 8)2 + y2 = 16 37
【分析】设出P x, y ，由题意列出方程组，化简即可得到点 P 的轨迹方程；
【详解】设P x, y ，由题意可得 x - 0 2 + y - 0 2 = 2 x - 6 2 + y - 0 2 ，
整理得 (x - 8)2 + y2 = 16，故动点 P 的运动轨迹方程为 (x - 8)2 + y2 = 16，
如图所示，点 P 的轨迹为以 8,0 为圆心， 4为半径的圆，点 B 在圆内部，
所以 PB + 2 PA = PB + PO BO = 6 - 0 2 + 1- 0 2 = 37 ，
当且仅当 P 在线段BO上时等号成立，
所以 PB + 2 PA 的最小值为 37 ，
故答案为： (x - 8)2 + y2 = 16； 37
32．（2024 高二上·全国·课后作业）过点 A 8,0 的直线与圆 x2 + y2 = 4交于点 B，则线段 AB 中点 P 的轨迹方
程为 .
2
【答案】 x - 4 + y2 =1
【分析】设点 P 的坐标为 (x, y)，点 B 为 x1, y1 ，结合中点坐标公式可得 x1 = 2x -8, y1 = 2y ，代入圆的方程
即可求解.
【详解】设点 P 的坐标为 (x, y)，点 B 为 x1, y1 ，
由题意，结合中点坐标公式可得 x1 = 2x -8, y1 = 2y ，
故 2x -8 2 + 2y 2 = 4 2，化简得 x - 4 + y2 =1.
即线段 AB 中点 P 的轨迹方程为 x - 4 2 + y2 =1.
x - 4 2故答案为： + y2 =1
33．（2024 高二下·上海徐汇·期中）点M 与两个定点O 0,0 ，P 2,0 的距离的比为3:1，则点M 的轨迹方
程为 ．
(x 9【答案】 - )2 + y2
9
=
4 16
x2 + y2
【分析】设出动点M (x, y)，利用条件得到 = 3，再化简即可得到结果.
(x - 2)2 + y2
x2 + y2
【详解】设点M (x, y)，由题知 = 3，两边平方化简得 2x2 + 2y2 - 9x + 9 = 0，即
(x - 2)2 + y2
(x 9- )2 + y2 9= ，
4 16
9
M 2 2
9
所以点 的轨迹方程为 (x - ) + y = .
4 16
(x 9 9故答案为： - )2 + y2 = .
4 16
34．（2024 高二上·辽宁大连·期中）对于任意实数 λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0 恒过定点 .
【答案】(1，3)和(1，-3)
2 2
【解析】先将曲线方程整理成 x + y + 6x -16 + l x2 + y2 - 4x - 6 = 0 ，可得 x2 + y2 + 6x -16 = 0 且
x2 + y2 - 4x - 6 = 0，从而得出答案.
1+ l x2【详解】曲线 + 1+ l y2 + 6- 4l x -16-6l = 0可化为 x2 + y2 + 6x -16 + l x2 + y2 - 4x - 6 = 0 ，
∴ x2 + y2 + 6x -16 = 0 且 x2 + y2 - 4x - 6 = 0，
可得恒过定点(1，3)和 1，- 3 .
故答案为：(1，3)和 1，- 3
【点睛】本题考查曲线过定点问题，考查方程思想，属于基础题.
35．（2024 高一·全国·课后作业）已知方程 x2 + y2 - 2ax + 2(a - 2)y + 2 = 0 表示圆，其中 a R ，且 a≠1，则不
论 a 取不为 1 的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 .
【答案】（1，1）
2 2
【分析】将已知圆的方程整理得到 x2 + y2
ìx + y - 4y + 2 = 0
- 4y + 2 + 2a(y - x) = 0，联立 í ，即可求出结
y - x = 0
果.
【详解】由已知得 x2 + y2 - 4y + 2 + 2a(y - x) = 0，它表示过圆 x2 + y2 - 4y + 2 = 0与直线 y - x = 0交点的圆.
ìx2 + y2 - 4y + 2 = 0 ìx =1,
由 í ，解得 í
y - x = 0 y =1,
即定点坐标为（1，1）.
故答案为（1，1）
【点睛】本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型.
36．（2024 高二上·浙江湖州·期末）已知直线 l1平分圆C : (x - 2)2 + y2 = 2且与 l2 : 6x + 4y -1 = 0 互相平行，则
l1, l2 的距离是 .
11 13 11
【答案】 / 13
26 26
【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆 C 的圆心到直线 l2的距离作答.
【详解】因为直线 l 平分圆C : (x - 2)2 + y21 = 2，于是直线 l1过圆心C(2,0) ，
l , l d | 6 2 + 4 0 -1| 11 13所以 1 2 的距离 = = .
62 + 42 26
11 13
故答案为：
26
37．（2024 高二下·上海·开学考试）对任意实数m ，圆 x2 + y2 - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 恒过定点，则其坐标
为 .
1 7
【答案】 1,1 、 ,5 5 ÷è
【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
2 2 ìx + 2y - 3 = 0【详解】由 x + y - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 由得-2m x + 2y - 3 + x2 + y2 - 2 = 0，故 í 2 2
x + y - 2 = 0
，解得
ì 1
ìx =1 x = 5
íy =1或 í
.
y 7=
5
故填： 1,1 1、 ,
7
.
è 5 5 ÷
【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，
属于基础题.
38．（2024 高二上·湖北·期中）过点 1,2 可作圆 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0的两条切线，则实数 k 的取值范
围 .
【答案】 -1,3
【分析】由题意可知，方程 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0表示圆，点 1,2 在圆外，列出不等式组，求解即可.
【详解】因为方程 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0表示圆，
过点 1,2 可作圆的两条切线，则点 1,2 在圆外，
ì22 + (-4)2 - 4(k + 2) > 0
所以 í ，解得：-1 < k < 3 .
1+ 4 + 2 -8 + k + 2 > 0
故答案为： -1,3 .
39．（2024 高二上·广东惠州·阶段练习）若点M 3,0 是圆 x2 + y2 -8x - 4y +10 = 0 内一点，则过点M 3,0 的
最长的弦所在的直线方程是 .
【答案】 2x - y - 6 = 0
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标，结合圆的特点得到过点M 的弦经过圆心时，弦长最长，然后利用圆
心坐标、点M 坐标求直线方程即可.
【详解】圆 x2 + y2
2 - 0
-8x - 4y +10 = 0 x - 4 2可整理为 + y - 2 2 =10，所以圆心O 4,2 ， kOM = = 2 ，4 - 3
当过点M 的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点M 的最长的弦所在的直线方程为 y - 0 = 2 x - 3 ，整理得
2x - y - 6 = 0 .
故答案为： 2x - y - 6 = 0 .
40．（2024 高二上·广东东莞·期末）已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 2,1 ，端点A 在圆 (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16
上运动，则线段 AB 的中点M 的轨迹方程是 ．
【答案】 x2 + y - 2 2 = 4
ìx = 2x - 2
【分析】设 A x0 , y 00 ，M x, y ，根据中点坐标公式可得 íy 2y 1，代入圆的方程，整理即可得到M 的 0 = -
轨迹方程.
2 2
【详解】设 A x0 , y0 ，M x, y ，则由已知可得 (x0 + 2) + (y0 - 3) =16 .
ì
x
x + 2
= 0
2 ìx0 = 2x - 2
又M 是线段 AB 的中点，所以有 í
y y0 +1
，所以 í
y0 = 2y 1
，
-
=
2
所以有 (2x - 2 + 2)2 + (2y -1- 3)2 =16 2，整理可得 x2 + y - 2 = 4 .
所以M 的轨迹方程是 x2 + y - 2 2 = 4 .
x2 + y - 2 2故答案为： = 4 .
41．（2024 高二上·浙江丽水·期末）在平面直角坐标系中，已知点 A(4,0)，点 P 在圆O : x2 + y2 = 9上运动，则
线段 AP 的中点Q的轨迹方程是 ．
【答案】 x - 2 2 9+ y2 =
4
【分析】由几何性质计算即可.
【详解】
如图所示，取 OA 中点 D，连接 DQ，则 DQ 为△APO的一条中位线，D 2,0 ，
1 3
即有 DQ∥OP，且 PO = DQ = ，故 Q 在以 D 为圆心，DQ 长为半径的圆上，
2 2
所以 Q 的轨迹方程为 x - 2 2 + y2 9= .
4
2 2 9
故答案为： x - 2 + y = .
4
42．（2024 高二下·新疆塔城·开学考试）已知定点 A(4,0)，P 是圆 x2 + y2 = 4上的一动点，Q 是 AP 的中点，则
点 Q 的轨迹方程是 .
【答案】 (x - 2)2 + y2 =1
【分析】运用相关点法求轨迹方程，设出 P、Q 两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点 P 满足的
圆的方程即可.
【详解】如图所示，
设P(x0 , y0 )，Q(x, y) x2 + y2，则 0 0 = 4，①
因为 Q 为 AP 的中点，
ì x0 + 4
= x 2 ìx = 2x - 4
所以 í
0
í ，②
y0 + 0 y = 2y= y 0
2
所以由①②得： (2x - 4)2 + (2y)2 = 4，即： (x - 2)2 + y2 =1，
所以点 Q 的轨迹方程为： (x - 2)2 + y2 =1.
故答案为： (x - 2)2 + y2 =1.
43 2 2 2．（2024 高二下·上海宝山·期末）若 2x + m + m y + 2mx + m = 0表示圆，则实数m 的值为 .
【答案】-2
【分析】
依题意可得m2 + m = 2，解得m ，再代入检验.
2
【详解】因为 2x + m2 + m y2 + 2mx + m = 0表示圆，所以m2 + m = 2，
解得m =1或m = -2，
2
当m =1时方程 2x2 + 2y2 + 2x +1 = 0 1 ，即 2 1 x + ÷ + y = - ，不表示任何图形，故舍去；
è 2 4
2
当m = -2时方程 2x2 + 2y2 - 4x - 2 = 0，即 x -1 + y2 = 2，表示以 1,0 为圆心， 2 为半径的圆，符合题意；
故答案为：-2
44．（2024 高二下·上海崇明·期末）已知两点 P 3,1 、Q 5,-3 ，则以 PQ 为直径的圆的方程是 .
2
【答案】 x - 4 + y +1 2 = 5
【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可.
【详解】Q P 3,1 、Q 5,-3 ,\PQ 的中点坐标为 (4, -1)，即为圆心坐标，
PQ
又 PQ = (5 - 3)2 + (-3 -1)2 = 2 5, \圆的半径为 = 5,
2
则所求圆的方程为 x - 4 2 + y +1 2 = 5 .
x - 4 2故答案为： + y +1 2 = 5 .
45．（2024 高二·全国·课后作业）方程 x2 + y2 + 4mx - 2y + 5m = 0表示圆的充要条件是 ．
m 1【答案】 < 或m >1
4
【分析】由方程表示圆得到不等式，求解即可.
2 1
【详解】由题意知： 4m + (-2)2 - 4 ×5m > 0，即 4m2 - 5m +1 > 0，解得m < 或m >1.4
1
故答案为：m < 或m >1.
4
46．（2024 高二上·全国·课后作业）已知圆C : x2 + y2 =1，则圆上的点到点 3,4 距离的最大值为 .
【答案】6
【分析】求出圆心到点 3,4 的距离加上半径即为圆上的点到点 3,4 距离的最大值.
【详解】因为圆C 的方程为 x2 + y2 =1，
所以圆心坐标为 0,0 ，半径 r =1 ,
又圆心 0,0 到点 3,4 的距离为 32 + 42 = 5，
所以圆上的点到点 3,4 的距离的最大值为5 +1 = 6，
故答案为：6
47．（2024 高三下·吉林白城·阶段练习）已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则圆 C 的方程
是
【答案】 x2 + y +1 2 =1
【分析】设圆心 A(1,0)关于直线 y = -x 对称点C m,n ，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出
m, n的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于 1，求出圆C 的标准方程.
2
【详解】圆 A x -1 + y2 =1圆心为 A(1,0)，半径等于 1，
设圆心 A(1,0)关于直线 y = -x 对称点C m, n ，
n - 0
则有 -1 = -1 n + 0 m +1，且 = - ，
m -1 2 2
解得m = 0, n = -1，故点C 0, -1 ，
由于对称圆C 的半径与圆 A : x -1 2 + y2 =1的半径相等，
2
故圆C 的方程为 x2 + y +1 =1，
故答案为 x2 + y +1 2 =1.
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要
有以下三种题型：（1）点关于直线对称，P x, y 关于直线 l的对称点P ' m, n y - n，利用 kl = -1，且 点x - m
x + m
,
y + n
÷ 在对称轴 l上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点
è 2 2
以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方
法（1）利用逆代法求解.
48．（2024 高二上·重庆沙坪坝·期末）圆 x2 + y2 + 2y - 3 = 0关于直线 x - y - 2 = 0 的对称圆的标准方程
为 .
【答案】 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线 x - y - 2 = 0 的对称点坐标，即可作答.
【详解】圆 x2 + (y +1)2 = 4的圆心C(0,-1)，半径 r = 2，
设点C(0,-1)关于直线 x - y - 2 = 0 的对称点C (a,b)，
ìb +1 = -1
a
则有 í ，解得 a =1,b = -2a b 1 ，因此所求圆的圆心
C (1, -2)，半径为 r = 2，
-- - 2 = 0
2 2
所以所求圆的标准方程为： (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 .
故答案为： (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
49．（2024·广东汕头·二模）与圆C : x2 + y2 - x + 2y = 0关于直线 l : x + y = 0对称的圆的标准方程是 .
2
【答案】 (x -1)2 + y
1 5
+
2 ÷
=
è 4
【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.
【详解】圆C : x2
1
+ y2 - x + 2y = 0的圆心C
,-1
5
÷ ，半径 ，
è 2 2
C 1点 ,-1
÷ 关于直线 l : x + y
1
= 0 对称的点坐标为C
2
1, - ÷
è è 2
2
1 5
则所求圆的标准方程为 (x -1)2 + y + 2 ÷
=
è 4
1 2
故答案为： (x
5
-1)2 + y + 2 ÷
=
è 4
50．（2024 高二·全国·课后作业）直线 ax + by +1 = 0始终平分圆 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周长，则
a -1 2 + b -1 2 的最小值为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】由题意可得直线 ax + by +1 = 0过圆心，再将b 用 a表示，结合二次函数即可得解.
【详解】解：圆 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0 2 2化为标准方程： x + 2 + y +1 = 4，
圆心为 -2, -1 ，
因为直线 ax + by +1 = 0始终平分圆 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周长，
所以直线 ax + by +1 = 0过圆心 -2, -1 ，
则 2a + b =1，所以b =1- 2a，
2
则 a -1 2 + b -1 2 = a2 - 2a +1+ 1 2a 1 4- -1 2 = 5a2 - 2a +1 = 5 a - ÷ + ，
è 5 5
a 4= 2 2 4当 时， a -1 + b -1 取得最小值 .
5 5
4
故答案为： .
5
51．（2024 高一下·江苏南京·期中）在VABC 中，AB =1, AC = 2, A = 60o，若VABC 的平面内有一点D满足
uuur uuur
AD2 = AC × AD，则 AD2 + BD2的最小值为 .
【答案】 4 - 2 3
【分析】建立直角坐标系，运用平面向量求出点 D 的运动轨迹，再利用几何意义求解.
【详解】
由题意，由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2ABgAC cos A =1+ 4 - 2 = 3 ，
BC2 + AB2
π
= AC2 ，\ B = , BC = 3 ，即以 B 为原点，BA所在直线为 y 轴，BC 所在直线为 x 轴建立平2
面直角坐标系，
uuur uuur
则B 0,0 , A 0,1 ,C 3,0 ，设D x, y ，则 AC = 3, -1 , AD = x, y -1 ，
uuur uuur 2 2
由已知 AD2 = AC × AD, x2 + (y -1)2 = 3x +1- y, x
3 y 1- + - ÷÷ ÷ =1 ，
è 2 è 2
3
即点 D 是在以 AC 的中点O ,
1
÷÷ 为圆心，半径为 1 的圆周上，
è 2 2
é 1 2 ù 1 2AD2 + BD2 = x2 + (y -1)2 + x2 + y2 = 2 êx2 +
y -
÷ ú +
1
，即是求 x2 + y -
è 2 2 2 ÷
的最小值，
ê ú è
1
其几何意义为圆周上的一点 D 到 AB 的中点E 0, ÷ 的距离的平方的最小值，显然当 D，E，O 共线时 DE
è 2
2
2 最小（如上图），即DE = 1
3 7
-
2 ÷÷
= - 3 ，
è 4
7 1
\ AD2 + BD2 的最小值为 2 - 3 ÷ + = 4 - 2 3 ；
è 4 2
故答案为： 4 - 2 3 .
52．（2024 高二下·江苏宿迁·开学考试）已知M (m,n) 为圆C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0上任意一点．则
(m -1)2 + (n +1)2 的最大值为
【答案】 10 + 2 / 2 + 10
【分析】由 (m -1)2 + (n +1)2 表示点 (m, n)与点 (1, -1) 之间的距离，可转化为圆 C 上的点 M 到点 (1, -1) 的距
离．
【详解】圆C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0即 (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4，
故圆心C(2,2) ，半径为 r = 2，
又 (m -1)2 + (n +1)2 表示圆 C 上的点 M 到点 (1, -1) 的距离，
故其最大值为 (2 -1)2 + (2 +1)2 + 2 = 10 + 2，
故答案为： 10 + 2.
53．（2024·山东烟台·二模）已知实数 a,b 2满足 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 ，则 a2 + b + 2 的最大值为 ．
【答案】9 + 4 2 / 4 2 + 9
【分析】设点 A a,b ，B 0, -2 则问题转化为圆上一点A 与圆外一点 B 之间距离 AB 的最大值的平方，根
据点与圆的位置关系求解即可.
2
【详解】方程 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 整理得 a - 2 + b2 =1，设点 A a,b C : x - 2 2，即点A 是圆 + y2 =1上一点
又点B 0, -2 2在圆C : x - 2 + y2 =1外，所以 AB = a2 + b + 2 2 ，
2 2
2
则 AB = BC + r = 2 - 0 + 0 + 2 +1 = 2 2 +1，所以 a2 + b + 2 的最大值为 2 2 +1 = 9 + 4 2 .max
故答案为：9 + 4 2 .
54．（2024 高二·全国·课后作业）已知圆 C 经过两点P -1, -3 ，Q 2,6 ，且圆心在直线 x + 2y - 4 = 0上，则
圆 C 的一般方程为 ；若直线 l 的方程 x + m y -1 +1 = 0 （m R），圆心 C 到直线 l 的距离是
1，则 m 的值是 ．
【答案】 x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ±2 2
【分析】根据题意，结合待定系数法与以及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】设圆 C 的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
ì
1+ 9 - D - 3E + F = 0 ìD = -4
由条件，得 í4 + 36 + 2D + 6E + F = 0
，解得 íE = -2 ，
D E
F = -20
- + 2 - - 4 = 0
2 è 2
÷
因此圆的一般方程为 x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ，
故圆心C 2,1 ，因此圆心到直线 l 的距离 d
3
= =1
2 2 ，解得m = ±2 2 ．m +1
故答案为： x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ；±2 2 .
四、解答题
55．（2024 高二上·全国·课后作业）求圆 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0关于直线3x - 4y - 5 = 0的对称圆方程.
2
x 32 y 26
2
【答案】 - ÷ + +
÷ =1
è 5 è 5
【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线3x - 4y - 5 = 0对称的点的坐标，则可求对
称圆的方程.
【详解】由 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0 x + 2 2 + y - 6 2可得 =1，
故圆心坐标为 P -2,6 ，半径为 1，
设点 P 关于直线3x - 4y - 5 = 0的对称点为P a,b ，
ì3 a - 2 b+6 32 × - 4 × - 5=0
ì a =
2 2 5 P 32 26 则有 í b 6 4 ，解得- í 26 ，故
,-
5 5 ÷
，
= - b= - è
a+2 3 5
2 2
所以圆 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0关于直线3x - 4y - 5 = 0 x 32 y 26 的对称圆的方程为： - ÷ + + ÷ =1 .
è 5 è 5
56．（2024 高三·全国·专题练习）在直角坐标系 xOy 中，线段 MN = 4，且两个端点M 、 N 分别在 x 轴和 y
轴上滑动．求线段MN 的中点C 的轨迹方程；
【答案】 x2 + y2 = 4
【分析】设M a,0 , N 0,b ，C x, y ，由C 为线段MN 的中点列关系式，根据两点距离公式表示 MN = 4，
从而转化为关于 x, y的方程即可得C 的轨迹方程.
【详解】
设M a,0 , N 0,b ，线段MN 的中点C x, y ，
a + 0 a 0 + b b
因为C 为线段MN 的中点，\ x = = , y = = ，
2 2 2 2
Q MN = a - 0 2 + 0 - b 2 = 4，
\a2 + b2 = 16，即 2x 2 + 2y 2 =16，得 x2 + y2 = 4 .
所以点C 的轨迹方程是 x2 + y2 = 4．
57．（2024 高二上·新疆克拉玛依·期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线 x - 2y - 3 = 0上，且过点 A 2, -3 , B -2, -5 的圆；
(2)过三点 A 1,0 , B -1,-2 ,C 3,-2 的圆.
【答案】(1) (x +1)2 + (y + 2)2 = 10
(2) x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0
ì 2 - a 2 + -3 - b 2 = r2
1 x - a 2 【分析】（ ）首先设圆的标准方程为 + y - b 2 = r 2 ，根据题意得到 í -2 - a 2 + -5 - b 2 = r 2 ，再解
a - 2b - 3 = 0
方程组即可.
（2）首先设圆的一般方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，D2 + E2 - 4F > 0，根据题意得到
ì1+ D + F = 0
í1+ 4 - D - 2E + F = 0 ，再解方程组即可.
9 + 4 + 3D - 2E + F = 0
【详解】（1）设圆的标准方程为 x - a 2 + y - b 2 = r2 ，由题知：
ì 2 - a 2 + -3 - b 2 = r2
ìa = -1
í -2 - a 2 + -5 - b 2 = r 2 ，解得 íb = -2 .
a - 2b - 3 = 0
r
2 =10
所以圆的标准方程为： (x +1)2 + (y + 2)2 = 10 .
（2）设圆的一般方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，D2 + E2 - 4F > 0，
ì1+ D + F = 0 ìD = -2
1+ 4 - D - 2E + F = 0 由题知： í íE = 4 ，
9 + 4 + 3D - 2E + F = 0 F =1
所以圆的方程为： x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0 .
58．（2024 高二·江苏·假期作业）写出圆心为 A(2, -3) ,半径为 5 的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7), M 2 (-2,-1)
是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆
内.
【详解】圆心为 A(2, -3) ,半径为 5 的圆的标准方程是 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25．
把点M1(5,-7) 的坐标代入方程 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25的左边,
得 (5 - 2)2 + (-7 + 3)2 = 25 ,左右两边相等,
点M1的坐标满足圆的方程,所以点M1在这个圆上．
把点M 2 (-2,-1)的坐标代入方程 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25的左边,
得 (-2 - 2)2 + (-1+ 3)2 = 20 ,左右两边不相等,
点M 2 的坐标不满足圆的方程,所以点M 2 不在这个圆上．
又因为点M 2 到圆心 A 的距离 d = M 2 A = (-2 - 2)2 + (-1+ 3)2 = 2 5 < 5．
故点M 2 在圆内．
59．（2008·江苏）设平面直角坐标系 xoy中，设二次函数 f (x) = x 2 +2x + b(x R) 的图象与坐标轴有三个交点，
经过这三个交点的圆记为 C．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）求圆C 的方程；
（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【答案】（1）b <1且b 0
（2） x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0
（3）过定点，证明见解析．
【详解】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
D > 0
（1）{ b <1且b 0f (0) 0
（2）设所求圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0．
令 x2 + Dx + F = 0 D = 2, F = b
又 x = 0时 y = b，从而E = -b -1．
所以圆的方程为 x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0．
（3） x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0整理为 x2 + y2 + 2x - y + b(1- y) = 0，过曲线
C : x2 + y2 + 2x - y = 0与 l :1- y = 0的交点，即过定点( 0, 1)与 (-2,1) ．
60．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）已知VABC 中，点 A -1,5 ， AC 边上中线所在直线 l1的方程为
8x + y -12 = 0， AB 边上的高线所在直线 l2的方程为 x - 3y + 6 = 0 .
(1)求点 B 和点C 的坐标：
(2)以M 1,0 为圆心作一个圆，使得A 、 B 、C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求
这个圆的方程.
【答案】(1) B 2, -4 ，C 3,3
(2) x -1 2 + y2 =17
【分析】（1）求出直线 AB 的方程，联立直线 AB 和直线 l1的方程可求得点 B 的坐标，设点C m, n ，根据点
C 在直线 l2上以及线段 AC 的中点在 l1上可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点C
的坐标；
（2）计算出 AM 、 BM 、 CM ，比较大小后可得出圆M 的半径，即可得出圆M 的方程.
【详解】（1）解：因为 AB 边上的高线所在直线 l2的方程为 x - 3y + 6 = 0，
l 1且直线 2的斜率为 ，则kAB =-3，故直线 AB 的方程为 y - 5 = -3 x +1 ，即3x + y - 2 = 0 ，3
ì3x + y - 2 = 0 ìx = 2
联立直线 AB 和直线 l1的方程可得 í8x y 12 0，解得 í ，即点
B 2, -4 ，
+ - = y = -4
m -1
设点C m, n ，则线段 AC 的中点为D ,
n + 5
÷，
è 2 2
ì8 m -1 n + 5 + -12 = 0
由题意可得 í 2 2 ，解得m = n = 3，即点C 3,3 .
m - 3n + 6 = 0
（2 2）解：因为 AM = -1-1 + 5 - 0 2 = 29 ， BM = 2 -1 2 + -4 - 0 2 = 17 ，
CM = 3 -1 2 + 3 - 0 2 = 13 ，则 CM < BM < AM ，
故圆M 的半径为 BM = 17 2，所以，圆M 的方程为 x -1 + y2 =17 .
61．（2024 高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2 - 2x- 3与两坐标轴的交点都在圆C
上.
(1)求圆C 的方程；
(2)已知O为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA的中点M 的轨迹方程.
【答案】(1) x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0
3
(2) x2 + y2 - x + y - = 0
4
【分析】（1）求得曲线 y=x2 - 2x- 3与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆C 的方程.
（2）利用代入法求得M 的轨迹方程.
【详解】（1）由 y=x2 - 2x- 3，
令 y = 0 ，解得 x = -1或 x = 3；令 x = 0，得 y=- 3，
所以圆C 过 0, -3 , 3,0 , -1,0 .
设圆C 的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
ì9 - 3E + F = 0
í9 + 3D + F = 0 ，解得D = -2, E = 2, F = -3，
1- D + F = 0
所以圆C 的方程为 x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0 .
（2）设M x, y ，则 A 2x, 2y ，
将A 的坐标代入圆C 的方程得 4x2 + 4y2 - 4x + 4y - 3 = 0，
2 2 3
即 x + y - x + y - = 0 .
4
62．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知圆C 的圆心在 x 轴上，并且过 A 1,3 ，B 3,3 两点.
(1)求圆C 的方程；
uuuur uuuur
(2)若 P 为圆C 上任意一点，定点M 8,0 ，点Q满足PM = 3QM ，求点Q的轨迹方程.
【答案】(1) x - 2 2 + y2 =10
(2) x - 6 2 + y 2 10=
9
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
uuuur uuuur ìx0 = 3x -16
（2）设点P x0 , y0 ，Q x, y ，由PM = 3QM 得 íy ，代入圆的方程即得解. 0 = 3y
【详解】（1）由题意可知， AB 的中点为 2,3 ， kAB = 0 ，所以 AB 的中垂线方程为 x = 2，
2
它与 x 轴的交点为圆心C 2,0 ，又半径 r = AC = 10 ，所以圆C 的方程为 x - 2 + y2 =10；
uuuur uuuur
（2）设P x0 , y0 ，Q x, y ，由PM = 3QM ，得 8 - x0 ,-y0 = 3 8 - x,-y ，
ìx0 = 3x -16 2
所以 í P Cy 3y ，又点 在圆 上，故 x0 - 2 + y
2
0 =10，
0 =
2 2 2 2 10
所以 3x -18 + 3y =10 ，化简得Q的轨迹方程为 x - 6 + y =
9
63．（2024 高二上·海南·阶段练习）已知点 A 1, -2 , B -1,4 ，求
(1)过点 A，B 且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点 A，B 且圆心在直线 2x - y - 4 = 0上的圆的标准方程.
(1) x2 + y -1 2【答案】 =10
(2) x - 3 2 + y - 2 2 = 20
【分析】（1）所求的圆，即以 AB 为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；
（2）解法一：求出 AB 的垂直平分线的方程是 x - 3y + 3 = 0 ，又圆心在直线 2x - y - 4 = 0上，得两直线交点
为圆心，即圆心坐标是C 3,2 ， r =| AC |= 2 5 ，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．
【详解】（1）当 AB 为直径时，过 A，B 的圆的半径最小，从而周长最小．
1
即 AB 的中点 0,1 为圆心，半径 r = | AB |= 10 ，
2
2
则圆的标准方程为 x2 + y -1 =10．
1
（2）解法一： AB 的斜率为 k = -3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y -1 = x，即 x - 3y + 3 = 0 ，
3
由圆心在直线 2x - y - 4 = 0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C 3,2 ．
r = AC = (1- 3)2 + (-2 - 2)2 = 2 5 ．
2 2
故所求圆的标准方程是 x - 3 + y - 2 = 20．
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为 x - a 2 + y - b 2 = r2 ，
ì(1- a)2 + (-2 - b)2 = r2 , ìa = 3,
则 í(-1- a)2 + (4 - b)2 = r2 ,
íb = 2,
2a - b - 4 = 0,
r
2 = 20,
2
故所求圆的标准方程为 x - 3 + y - 2 2 = 20．
64．（2024 高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知VABC 的顶点B -1,2 ，BC 边上中线 AD
所在直线方程为5x -3y -3 = 0， AB 边上的高CH 所在直线方程为 2x + y - 9 = 0 ，求：
(1)顶点 A 的坐标；
(2)VABC 外接圆的一般方程.
【答案】(1) A 3, 4 ；
(2) 7x2 + 7 y2 - 22x - 26y - 5 = 0 .
【分析】（1）求出直线 AB 的方程，与直线 AD 联立，即可求出 A 的坐标；（2）先求出点 C 的坐标，利用待
定系数法求出VABC 外接圆的一般方程.
【详解】（1）因为 AB 边上的高CH 所在直线方程为 2x + y - 9 = 0 ，
所以 kAB -2 = -1
1
,解得： kAB = .2
所以直线 AB 的方程为 y - 2
1
= x +1 ，即 x - 2y + 5 = 0 .
2
ì5x - 3y - 3 = 0 ìx = 3
由 íx 2y 5 0 解得：- + = í ，即
A 3, 4 .
y = 4
2x y 9 0 C t,9 2t t -1,11- 2t （2）因为点 C 在直线 + - = 上，所以可设 - ，则BC 中点为 ÷ .
è 2 2
t -1,11- 2t 5x 3y 3 0 5 t -1 3 11- 2t把 ÷代入直线 AD ： - - = ，有 ÷ -
÷ - 3 = 0 ，解得： t = 4，所以
è 2 2 è 2 è 2
C 4,1 .
经过 A 3, 4 ，B -1,2 ，C 4,1 可设为： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,
ìD 22= -
ì32 + 42 + 3D + 4E + F = 0 7
2 2 26
所以 í -1 + 2 - D + 2E + F = 0 ，解得： íE = - ,
2 2 7
4 +1 + 4D + E + F = 0
5
F = - 7
所以VABC 外接圆的方程为7x2 + 7 y2 - 22x - 26y - 5 = 0 .
