2.5.2 圆与圆的位置关系 7 题型分类
一、圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系的判断
方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r1，r2 |r1－r2|＜d
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
的关系 ＜r1＋r2
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C ：x21 ＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，
C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，
2 2
{x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，联立方程得 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2 组 1 组 0 组
两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
二、圆与圆位置关系的应用
设圆 C 2 21：x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆 C1与 C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一
结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的
公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
三、圆与圆的公切线
1．公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公切线条数 4 3 2 1 0
2．公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离 d=r 求解.
（一）
圆与圆位置关系的判断
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出
两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位
置关系．
题型 1：判断两圆的位置关系
1-1．（2024 2 2 2 2高二下·江苏扬州·开学考试）圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x + y + 6x + 8y - 24 = 0 的位置关系为
（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
1-2．（2024 2 2高二下·安徽·阶段练习）圆C1 : x + y - 6x - 7 = 0与圆C 2 22 : x + y + 2 7 y + 6 = 0的位置关系是
（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
1-3．（2024 高二下·江西萍乡·阶段练习）圆 O： x2 + y2 =1与圆 C: x2 + y2 + 6y + 5 = 0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
题型 2：由圆的位置关系求参数
2-1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知圆C1 : x
2 + (y - 2)2 = 5，圆C2 过点 2, -1 且与圆C1相切于点 2,1 ，则
圆C2 的方程为 .
2-2 2．（2024 高三下·福建宁德·阶段练习）已知圆O1 : (x - m) + (y + 2)
2 = 9与圆O2 : (x + n)
2 + (y + 2)2 =1内切，
则m2 + n2 的最小值为
2-3．（2024 高二上·全国·课后作业）若两圆 (x +1)2 + y2 = 4和圆 (x - a)2 + y2 =1相交，则 a 的取值范围是
（ ）
A．0 < a < 2 B．0 < a < 2 或-4 < a < -2
C．-4 < a < -2 D． 2 < a < 4或-2 < a < 0
2-4．（2024 2 2
2 2
高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆C1： x -1 + y + 2 = r 2 r > 0 与圆C2 ： x - 4 + y - 2 =16
有公共点，则 r 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 1,5 C． 1,9 D． 5,9
（二）
圆与圆相交有关的问题
1．圆系方程
一般地过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆的方程
可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出
λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所
在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，
根据勾股定理求解．
4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程．
题型 3：求两圆公共弦方程及公共弦长
3-1．（2024 高二下·全国·阶段练习）已知圆C 2 2 2 2 21： (x +1) + y = r 过圆C2 ： (x - 4) + ( y -1) = 4 的圆心，则两
圆相交弦的方程为 .
3-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C1： (x - 4)2 + (y - 3)2 =16与圆C 22 ： x + y2 - 2x + 2y - 9 = 0，若两
圆相交于 A，B 两点，则 AB =
3-3．（2024·河南·二模）若圆C1 : x
2 + y2 =1 2 2与圆C2 : (x - a) + ( y - b) = 1的公共弦 AB 的长为 1，则直线 AB
的方程为（ ）
A． 2ax + by -1 = 0 B． 2ax + by - 3 = 0
C． 2ax + 2by -1 = 0 D． 2ax + 2by - 3 = 0
3-4．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆C : x2 + y21 - 2 3x + a = 0
2
与圆C : x22 + y -1 =1有两个公共点A 、
B ，且 AB = 2 ，则实数 a =（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
3-5 2 2．（2024 高二上·湖南张家界·期末）已知两圆C1 : x + y - 4 y = 0，C2 : (x - 2)
2 + y2 = m2 (m > 0)．
(1) m 取何值时两圆外切？
(2)当m = 2 时，求两圆的公共弦所在直线 l的方程和公共弦的长．
（三）
圆与圆的位置关系的应用
1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解.
2．公切线的方程：由圆心到切线的距离 d=r 求解.
3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求
解．
题型 4：两圆的公切线的条数
4-1．（2024 高二上·山东青岛· C 2 2 2 2期末）圆 1 : x + y + 2x + 8y -8 = 0 与圆C2 : x + y - 4x - 4y -8 = 0的公切线条
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4-2．（2024 2 2 2 2高二上·四川遂宁·期末）若圆C1 : (x -1) + y =1与圆C2 : (x - 5) + (y - 3) = 30 - m有且仅有 3 条公
切线，则 m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．-11
4-3．（2024·
2
广西北海·一模）已知圆C1： x - 3 + y + 4 2 =1与C2 ： x - a 2 + y - a + 3 2 = 9恰好有 4 条公切
线，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,0 4,+ B． - ,1- 6 U 1+ 6, +
C． 0,4 D． - , -1 3,+
4-4．（2024·山西·模拟预测）已知圆C x2 + y - a 2： = a21 a > 0 的圆心到直线 x - y - 2 = 0 的距离为 2 2 ，
则圆C1与圆C2 ： x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0的公切线共有（ ）
A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条
4-5．（2024 高二上·安徽滁州·期末）圆C 21： x + y2 - 6x -10y - 2 = 0与圆C 2 22 ： x + y + 4x +14y + 4 = 0公切线
的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 5：两圆的公切线方程
5-1．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C1 : x
2 + y2 = m2 (m > 0)与圆C : x22 + y
2 - 2x - 4y - 20 = 0恰有两条公
切线，则满足题意的一个m 的取值为 ；此时公切线的方程为 .
5-2．（2024 高二上·山东聊城·期末）已知圆C ： x2 + y2 =1与圆C ： x21 2 + y2 -8x + 6y + m = 0相内切，则C1与
C2 的公切线方程为（ ）
A．3x - 4y - 5 = 0 B．3x - 4y + 5 = 0
C． 4x - 3y - 5 = 0 D． 4x - 3y + 5 = 0
5-3．（2024·陕西渭南·二模）写出与圆 x2 + y2 =1和圆 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 都相切的一条直线的方
程 .
题型 6：两圆的公切线长
6-1．（2024 · 2 2 2 2高一 全国·课后作业）求圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x + y + 20x + 84 = 0 的内公切线所在直线方程
及内公切线的长．
6-2．（2024 高二上·广东云浮·期中）已知圆 A 的方程为 x2 + y2 - 2x - 2y - 7 = 0，圆 B 的方程为
x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 .
(1)判断圆 A 与圆 B 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
题型 7：与圆有关的最值问题
7-1．（2023 秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆C : x2 + y2 - 2x + m = 0与圆
x + 3 2 + y + 3 2 = 4外切，点 P 是圆 C 上一动点，则点 P 到直线5x +12y + 8 = 0的距离的最大值为
7-2．（2023·全国· 2 2高二专题练习）已知圆 C： x -1 + y - 2 = 5，圆C 是以圆 x2 + y2 =1上任意一点为圆心，
半径为 1 的圆．圆 C 与圆C 交于 A，B 两点，则当 ACB 最大时， CC =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
7-3．【多选】（2023 秋·江西萍乡·高二统考期中）已知圆C 21： x + y2 - 2x = 0与圆C 2 22 ： x + y - 4x - 2y + 4 = 0
相交于A ， B 两点，下列说法正确的是（ ）
A．直线 AB 的一般式方程为 x + y - 2 = 0
B．公共弦长 AB = 2
C．过A ， B ，C1三点 ( 其中点C1为圆C1的圆心 )的圆的一般方程为 x2 + y2 - 3x - y + 2 = 0
D．同时与圆C1和圆C
3 1 2
2 相内切的最大圆的方程为 (x - )2 + (y - )2 = (1- )2
2 2 2
7-4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设圆 O: x2 + y2 = 4，直线 l : 2x + y + 5 = 0，P 为 l 上的动点．过点 P
作圆 O 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线 l 与圆 O 相交
8 4
B ．直线 AB 恒过定点 - , -5 5 ÷è
C．当 P 的坐标为 -2，-1 时， APB最大
D．当 PO × | AB |最小时，直线 AB 的方程为 2x + y + 4 = 0
7-5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 M 的方程为： x2 + y2 + ax + ay - 2a - 4 = 0 ，（ a R ），点
P 1,1 ，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点 P 的任意直线与圆 M 都相交
1
B．若圆 M 与直线 x + y + 2 = 0 无交点，则 a - , + ÷
è 2
C．圆 M 面积最小时的圆与圆 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0有三条公切线
D．无论 a 为何值，圆 M 都有弦长为 2 2 的弦，且被点 P 平分
7-6 2023· · O : x2 + y2 = r 2 O : (x - 3)2 + y2 = r 2．（ 全国 高二专题练习）已知圆 1 1 与圆 2 2 r1, r2 > 0 相交于M , N 两点，
点M 位于 x 轴上方，且两圆在点M 处的切线相互垂直.
(1) 2求 r1 + r
2
2 的值；
(2)若直线 l与圆O1 圆O2 分别切于P,Q 两点，求 | PQ |的最大值.
一、单选题
1．（2024 高二上· 2 2贵州黔东南·期末）已知圆C1 : x + y =1与圆C2 : x - 2
2 + y - 2 2 = r 2 r >1 有两个交点，
则 r 的取值范围是（ ）
A． 1, 2 +1 B． 2 2 -1,2 2 +1
C． 1, 2 +1ù D． é 2 2 -1,2 2 +1ù
2 2024 · · C : (x -1)2 + (y + 2)2 =1 C : (x +1)2 + (y - 3)2．（ 高二上 湖南郴州 期末）与两圆 1 和 2 = 9 都相切的直线有
（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024· 2 2 2 2山西·模拟预测）已知圆C1 : x + (y - 2) = 5和C2 : (x + 2) + y = 5交于 A，B 两点，则 | AB |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 23 D． 2 23
4．（2024 · 2 2 2 2高二上 安徽芜湖·阶段练习）设圆C1 : x + y - 2x + 4y = 4 ，圆C2 : x + y + 6x + 8y + 24 = 0 ，则圆
C1，C2 的位置（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5 2 2 2 2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知圆C1：x + y + 2x - 6y +1 = 0与圆C2：x + y - 4x + 2y -11 = 0，求两
圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．3x + 4y + 6 = 0 B．3x + 4y - 6 = 0
C．3x - 4y - 6 = 0 D．3x - 4y + 6 = 0
6．（2024 高二上·浙江丽水· 2 2期末）若圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x
2 + y2 - 2mx + m2 - m = 0外切，则实数m =
（ ）
A．－1 B．1 C．1 或 4 D．4
7．（2024 高二上·福建宁德·期中）圆 (x - 2)2 + y - 2 2 =1 2与圆 x +1 + y + 2 2 = 25的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
8 2 2．（2024 高二上·安徽滁州·期末）已知圆C ： x -1 + y + 2 = 4，P 为直线 l： x - 2y + 5 = 0上的一点，过
点 P 作圆C 的切线，切点分别为A ， B ，当 PC × AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x + 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 2 = 0 C． x - 2y - 2 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
9．（2024 高二下·河南洛阳· 2 2期末）已知点 P 为直线 y = x +1上的一点，M，N 分别为圆C1： x - 4 + y -1 =1
2
与圆C ： x22 + y - 4 = 1上的点，则 PM | + | PN 的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
10 2 2．（2024 高二上·广西河池·期末）已知点 P 是圆C1 : (x + 2) + (y +10) = 4 上的一点，过点 P 作圆
C2 : (x - 3)
2 + (y - 2)2 =1的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． 2 30 -1 B． 2 30 C． 2 30 +1 D． 2 30 + 2
11．（2024·全国·模拟预测）已知圆O1 : (x - 2)
2 + (y - 3)2 = 4 2 2，圆O2 : x + y + 2x + 2y - 7 = 0 ，则同时与圆O1
和圆O2相切的直线有（ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．0 条
12．（2024 2 2 2高二上·上海杨浦·期末）两个圆C1： x + y + 2ax + a - 4 = 0 a R 与C2 ：
x2 + y2 - 2by -1+ b2 = 0 b R 恰有三条公切线，则 a + b 的最大值为（ ）
A．3 2 B．-3 2 C．6 D．－6
13．（2024 高二上·河北保定· 2 2 2 2期末）若圆C1 : x + y - 2x + 4 y + m = 0与圆C2 : x + y + 2x -1 = 0恰有两条公共
的切线，则 m 的取值范围为（ ）
A． (-13,3) B． (3,5) C． (- ,5) D． (- ,3)
14．（2024 高二上·全国·课前预习）圆 x2 + y2 =1 与圆 x2 + y2 + 2x + 2y +1 = 0 的交点坐标为（ ）
A． (1,0) 和 0,1 B． (1,0)和 0, -1
C． (-1,0) 和 0, -1 D． -1,0 和 0,1
15．（2024· 2 2河北唐山·二模）已知圆C 2 21： x + y - 2x = 0，圆C2 ： x - 3 + y -1 = 4，则C1与C2 的位置关
系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
16．（2024 高二上·贵州遵义· 2 2期末）圆C1 : (x + 2) + (y + 4) = 25与圆C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的公切线的条数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2024· · O : x2 + y2 =1 O ：x2 2安徽滁州 模拟预测）已知圆 1 与圆 2 + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 相交所
得的公共弦长为 2 ，则圆O2的半径 r = （ ）
A．1 B． 3 C． 5 或 1 D． 5
18．（2024·广东茂名·二模）已知平面 xOy 内的动点 P ，直线 l： x sinq + y cosq =1，当q 变化时点 P 始终不
在直线 l上，点Q为eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的动点，则 PQ 的取值范围为（ ）
A． 17 - 2, 17 B． 17 - 2, 17 + 2ù
C． é 17 - 2, 17 + 2 D． 17 - 2, 17 + 2
uuur uuur
19．（2024·北京通州·模拟预测）在平面直角坐标系内，点 O 是坐标原点，动点 B，C 满足 | OB |=| OC |= 2 ，
uuur uuur uuur
OB ×OC = 0，A 为线段BC 中点，P 为圆 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 任意一点，则 AP 的取值范围是（ ）
A． 2,8 B． 3,8 C． 2,7 D． 3,7
20．（2024·北京海淀·二模）已知动直线 l与圆O : x2 + y2 = 4 交于A ， B 两点，且 AOB =120°．若 l与圆
(x - 2)2 + y2 = 25相交所得的弦长为 t，则 t的最大值与最小值之差为（ ）
A．10 - 4 6 B．1 C． 4 6 -8 D．2
21．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知圆C : (x - 3)2 + (y - 4)2 =1和两点 A a,0 ，B -a,0 (a > 0) ，若圆 C
上至少存在一点 P，使得 APB > 90°，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 4,6 B． 4, + C． 4, + D． 6, +
22．（2024 高二上·陕西西安·期末）已知两圆 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0和 x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0恰有三条公
1 1
切线，若 a R ，b R ，且 ab 0，则 2 + 2 的最小值为（ ）a b
16 32 16 32
A． B． C． D9 ．25 25 9
二、多选题
23．（2024 高二上·云南大理·期末）点 P 在圆C ： x21 + y2 =1上，点Q在圆C ： x2 + y22 - 6x + 4y + 9 = 0上，则
（ ）
A． PQ 的最小值为 13 - 3
B． PQ 的最大值为 13
2
C．两个圆心所在的直线斜率为-
3
D．两个圆公共弦所在直线的方程为6x - 4y -10 = 0
24．（2024 高二·全国·课后作业）已知圆 M : x - 2 2 + y -1 2 =1 2，圆 N : x + 2 + y +1 2 =1，则下列是 M，
N 两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． x - 2y + 5 = 0 D． x - 2y - 5 = 0
25．（2024 高二下·河南·阶段练习）已知圆C1 : x
2 + y2 - 6y + 5 = 0 2 2和圆C2 : x + y - 8x + 7 = 0，则下列结论正
确的是（ ）
A．圆C1与圆C2 外切
B．直线 y = x 与圆C1相切
C．直线 y = x 被圆C2 所截得的弦长为 2
D．若M , N 分别为圆C1和圆C2 上一点，则 MN 的最大值为 10
三、填空题
26 2 2 2 2．（2024 高一·全国·课后作业）圆C1 : x + y =1与圆C2 : x + y + 2x + 2y +1 = 0的交点坐标为 .
27．（2024 高二·全国·课后作业）圆 x2 + y2 - 2x - 3 = 0与 x2 + y2 - 4x + 2y + 3 = 0 的交点坐标为 .
28．（2024·广西玉林·二模）写出一个半径为 1，且与圆 (x -1)2 + y2 = 4外切的圆的标准方程： ．
29 2024 · · C : x2 2 2 2 2．（ 高二上 四川资阳 期中）已知圆 1 + y = m (m > 0)与圆C2 : x + y - 2x - 4y -15 = 0 恰有两条
公切线，则实数m 的取值范围 ．
30 2 2 2．（2024 高三·天津·专题练习）已知圆C : x + y = 4与圆C : x21 2 + y - a = 9(a > 0) 外切，此时直线
l : x + y - 3 = 0被圆C2 所截的弦长为 ．
31．（2024·天津和平·二模）圆 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 与圆 x2 + y2 = 4的公共弦所在的直线方程为 ．
32．（2024·河南郑州·一模）经过点P 1,1 以及圆 x2 + y2 - 4 = 0与 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交点的圆的方程
为 ．
33．（2024 高三下·河南濮阳·开学考试）已知圆C1，C2 的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5．若圆C 的
圆心在 x 轴正半轴上，且与圆C1，C2 均内切，则圆 C 的标准方程为 ．
34．（2024 高二上·贵州遵义·阶段练习）圆C1： x2 + y2 + 6x - 4y = 0和圆C 2 22 ： x + y - 6y = 0交于 A，B 两点，
则线段 AB 的垂直平分线的方程是 .
35．（2024 高二下·广东广州·期末）写出与圆 x - 4 2 + y + 3 2 =16和圆 x2 + y2 =1都相切的一条直线的方
程 .
36．（2024· 2 2 2 2浙江嘉兴·二模）已知圆C1 : (x - a) + y = 4与C2 : x + (y - b) =1 a,b R 交于 A, B两点.若存在
a，使得 AB = 2 ，则b 的取值范围为 .
37．（2024 高三下·安徽池州·阶段练习）已知eM : x2 + y2 - 2x - 2y +1 = 0，直线 l : x + 2y + 2 = 0, P为 l上的动
点，过点 P 作eM 的切线PA, PB，切点为 A, B，当 PM × AB 最小时，直线 AB 的方程为 .
38 2024· · C : x2 2．（ 河北衡水 三模）若圆 1 + y =1和C2 : x
2 1+ y2 - 2 3ax - 2ay - 5a = 0 a > ÷ 有且仅有一条公切
è 2
线，则 a = ；此公切线的方程为
四、解答题
39．（2024 高二上·河北保定·期末）已知圆C1 : x
2 + y2 =10 与圆C2 : x
2 + y2 + 2x + 2y - 7 = 0
(1)求证：圆C1与圆C2 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 x + y - 6 = 0 上的圆的方程．
40．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，已知点 A、B 的坐标分别是 (-3,0), (3,0)，点 C 为线段 AB 上任一
点，P、Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆O1，O2 的外公切线的切点，求线段 PQ 的中点的轨迹方程.
41．（2024 高二·全国·课后作业）已知圆M : x2 + y2 =10 和圆 N : x2 + y2 + 2x + 2y -14 = 0，求过两圆交点，且
面积最小的圆的方程．
42．（2024 高一下·山东临沂·期末）已知圆C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0．
(1)若直线 l1过定点 A 1，1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2：x - y + 2 = 0上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程．
43．（2024 高二上· 2 2 2 2全国·单元测试）求过两圆C1 : x + y - 2y - 4 = 0和圆C2 : x + y - 4x + 2 y = 0的交点，且
圆心在直线 l : 2x + 4y -1 = 0 上的圆的方程.
44．（2024 高二上·浙江·期中）已知圆O : x2 + y2 =1，圆M : (x - 2)2 + (y -1)2 = 9．
(1)求两圆的公共弦长；
(2)求两圆的公切线方程．
45．（2024 高一下·江苏无锡·期中）已知圆 C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点 A（m，0），B（0，n），其中
m，n 为正实数．
(1)当 a＝m＝n＝3 时，判断直线 AB 与圆 C 的位置关系；
(2)当 a＝4 时，若对于圆 C 上任意一点 P 均有 PA＝λPO 成立（O 为坐标原点），求实数 m，λ 的值；
(3)当 m＝2，n＝4 时，对于线段 AB 上的任意一点 P，若在圆 C 上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线
段 PN 的中点，求实数 a 的取值范围．
46．（2024 2 2高二下·上海黄浦·阶段练习）已知圆C1 : (x + 3) + (y -1) = 4 和圆C2 : (x - 4)
2 + ( y - 5)2 = r2(r > 0)
(1)若圆C1与圆C2 相交于 A, B两点，求 r 的取值范围，并求直线 AB 的方程（用含有 r 的方程表示）
uuur uuur
(2)若直线 l : y = kx +1与圆C1交于P,Q 两点，且OP ×OQ = 4，求实数 k 的值
47．（2024 高二下·上海黄浦·期中）已知直线 l : x = my -1，圆C : x2 + y2 + 4x = 0 .
(1)证明：直线 l与圆C 相交；
(2)设直线 l与C 的两个交点分别为A 、 B ，弦 AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为 l1，在点 B 处的切线为 l2， l1与 l2的交点为Q .证明：Q，A，
B，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q是否恒在一条定直线上 若是，请求出这条直线的方程；若不是，
说明理由.2.5.2 圆与圆的位置关系 7 题型分类
一、圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系的判断
方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r1，r2 |r1－r2|＜d
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
的关系 ＜r1＋r2
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C ：x21 ＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，
C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，
2 2
{x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，联立方程得 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2 组 1 组 0 组
两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
二、圆与圆位置关系的应用
设圆 C 2 21：x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆 C1与 C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一
结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的
公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
三、圆与圆的公切线
1．公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公切线条数 4 3 2 1 0
2．公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离 d=r 求解.
（一）
圆与圆位置关系的判断
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出
两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位
置关系．
题型 1：判断两圆的位置关系
1-1．（2024 2 2 2 2高二下·江苏扬州·开学考试）圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x + y + 6x + 8y - 24 = 0 的位置关系为
（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
C : x2 + y2 + 6x + 8y - 24 = 0 x + 3 2 2【详解】由题意可得 2 + y + 4 = 49，
故两圆的圆心分别为：C1 0,0 ,C2 -3,-4 ，设两圆半径分别为 r1, r2，则 r1 = 2, r2 = 7，
易知 r2 - r1 = 5 = C1C2 = -3- 0
2 + -4 - 0 2 ，故两圆内切.
故选：B
1-2．（2024 高二下·安徽· 2 2阶段练习）圆C1 : x + y - 6x - 7 = 0与圆C 2 22 : x + y + 2 7 y + 6 = 0的位置关系是
（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.
【详解】两圆化为标准形式，可得C1 : (x - 3)
2 + y2 =16 与圆C2 : x
2 + (y + 7)2 =1，
可知半径 r1 = 4， r2 =1，于是 C1C2 = (3 - 0)
2 + (0 + 7)2 = 4，
而3 = r1 - r2 < 4 < r1 + r2 = 5，故两圆相交，
故选：C .
1-3．（2024 高二下·江西萍乡·阶段练习）圆 O： x2 + y2 =1与圆 C: x2 + y2 + 6y + 5 = 0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【分析】利用两圆外切的定义判断即可.
【详解】圆O是以O(0,0) 为圆心，半径 r1 =1的圆，
圆C : x2 + y2 + 6y + 5 = 0改写成标准方程为 x2 + y + 3 2 = 4，则圆C 是以C(0, -3)为圆心，半径 r2 = 2的圆，
则 OC = 3， r1 + r2 =3，所以两圆外切，
故选：C .
题型 2：由圆的位置关系求参数
2-1．（2024· 2河南商丘·模拟预测）已知圆C1 : x + (y - 2)
2 = 5，圆C2 过点 2, -1 且与圆C1相切于点 2,1 ，则
圆C2 的方程为 .
【答案】 (x - 4)2 + y2 = 5
【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆C2 中弦的垂直平分线交点即为C2 ，再求出半径，即可得圆C2 的
方程.
【详解】如图所示：
过点 0,2 和 2,1 的直线方程为 x + 2y - 4 = 0，以点 2, -1 和点 2,1 为端点的线段的垂直平分线为 y = 0 .
ìx + 2y - 4 = 0
由 í 得C2 4,0 ，则圆Cy 0, 2 的半径 r = 2
2
= +1
2 = 5 ，
所以圆C2 的方程为 (x - 4)2 + y2 = 5 .
故答案为： (x - 4)2 + y2 = 5
2-2．（2024 2 2高三下·福建宁德·阶段练习）已知圆O1 : (x - m) + (y + 2) = 9与圆O2 : (x + n)
2 + (y + 2)2 =1内切，
则m2 + n2 的最小值为
【答案】2
【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．
【详解】圆O1的圆心为 (m,-2)，半径为 r1 = 3，圆O2的圆心为 (-n,-2) ，半径为 r2 =1，
\两圆的圆心距 d =| m + n |，
Q \| m + n |= 2 m2 + n2 + 2mn = 4 4 - m2 2两圆内切， ，可得 + n = 2mn m2 + n2 ，
所以m2 + n2 2．当且仅当 m = n = 1时，取得最小值，m2 + n2 的最小值为 2．
故答案为：2．
2-3．（2024 高二上·全国·课后作业）若两圆 (x +1)2 + y2 = 4和圆 (x - a)2 + y2 =1相交，则 a 的取值范围是
（ ）
A．0 < a < 2 B．0 < a < 2 或-4 < a < -2
C．-4 < a < -2 D． 2 < a < 4或-2 < a < 0
【答案】B
2
【分析】圆 x +1 + y2 = 4与圆 x - a 2 + y2 =1相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之
和，解不等式．
【详解】Q圆 x +1 2 + y2 = 4与圆 x - a 2 + y2 =1相交，
\两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
2 -1< a +1 2即 + 0 < 2 +1，所以1 < a +1 < 3 .
解得0 < a < 2 或-4 < a < -2 .
故选：B
2-4．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆C1： x -1 2 + y + 2 2 = r 2 r > 0 与圆C2 ： x - 4 2 + y - 2 2 =16
有公共点，则 r 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 1,5 C． 1,9 D． 5,9
【答案】C
【分析】根据题意得到 r - 4 C1C2 r + 4，再解不等式即可.
【详解】由题知：C1 1, -2 ， r1 = r ，C2 4,2 ， r2 = 4，
C C = 1- 4 2 + -2 - 2 21 2 = 5 .
因为C1和C2 有公共点，所以 r - 4 C1C2 r + 4，
解得1 r 9 .
故选：C
（二）
圆与圆相交有关的问题
1．圆系方程
一般地过圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C ：x22 ＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交点的圆的方程
可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出
λ，即可得圆的方程．
2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆 C1：x2＋y2＋D 2 21x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所
在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，
根据勾股定理求解．
4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程．
题型 3：求两圆公共弦方程及公共弦长
3-1．（2024 高二下·全国·阶段练习）已知圆C1： (x +1)2 + y2 = r2 过圆C2 ： (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 的圆心，则两
圆相交弦的方程为 .
【答案】5x + y -19 = 0
【分析】求出 r 2 ，得到圆C1，两圆相减得到相交弦方程.
【详解】圆C2 ： (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 的圆心坐标为 4,1 ，
因为圆C 过圆C 的圆心，所以 (4 +1)21 2 +12 = r 2，
所以 r 2 = 26，所以C1： (x +1)2 + y2 = 26，
两圆的方程相减可得相交弦方程为5x + y -19 = 0 .
故答案为：5x + y -19 = 0 .
3-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知圆C1： (x - 4)2 + (y - 3)2 =16与圆C2 ： x2 + y2 - 2x + 2y - 9 = 0，若两
圆相交于 A，B 两点，则 AB =
【答案】 2 7
【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解.
【详解】圆C1的方程为 (x - 4)2 + (y - 3)2 =16，即 x2 + y2 -8x - 6y + 9 = 0 ①，
又圆C ： x2 + y22 - 2x + 2y - 9 = 0 ②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为6x + 8y -18 = 0,
24 + 24 -18圆C1的圆心 4,3 到直线的距离 d = = 3，
62 + 82
所以 AB = 2 16 - 9 = 2 7 ．
故答案为: 2 7 .
3-3 2024· · C : x2 2．（ 河南 二模）若圆 1 + y =1与圆C2 : (x - a)
2 + ( y - b)2 = 1的公共弦 AB 的长为 1，则直线 AB
的方程为（ ）
A． 2ax + by -1 = 0 B． 2ax + by - 3 = 0
C． 2ax + 2by -1 = 0 D． 2ax + 2by - 3 = 0
【答案】D
【分析】将两圆方程相减得到直线 AB 的方程为 a2 + b2 - 2ax - 2by = 0，然后再根据公共弦 AB 的长为1即可
求解.
【详解】将两圆方程相减可得直线 AB 的方程为 a2 + b2 - 2ax - 2by = 0，
即 2ax + 2by - a2 - b2 = 0，
因为圆C1的圆心为 (0,0)，半径为1，且公共弦 AB 的长为1，
则C1(0,0)到直线 2ax + 2by - a2 - b2 = 0
3
的距离为 ，
2
a2 + b2 3
所以 = ，解得 a2 + b2 = 3，
4(a2 + b2 ) 2
所以直线 AB 的方程为 2ax + 2by - 3 = 0，
故选：D.
3-4．（2024 高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆C1 : x
2 + y2 - 2 3x + a = 0与圆C : x22 + y -1
2 =1有两个公共点A 、
B ，且 AB = 2 ，则实数 a =（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
【答案】C
【分析】根据一般方程表示圆以及两圆相交可得出关于 a的不等式组，求出直线 AB 的方程，分析可知直线
AB 经过圆心C2 ，将圆心C2 的坐标代入直线 AB 的方程，可求得实数 a的值，再进行检验即可.
【详解】对于圆C1，有12 - 4a > 0，可得 a < 3，
2
圆C1的标准方程为 x - 3 + y2 = 3- a ，圆心为C1 3,0 ，半径为 r1 = 3- a ，
圆C2 的圆心为C2 0,1 ，半径为 r2 =1，且 C1C2 = 2，
因为两圆有两个公共点A 、 B ，则 3 - a -1 < C1C2 < 3- a +1，
即 3- a -1 < 2 < 3- a +1，
将两圆方程作差可得 2 3x - 2y - a = 0，
因为 AB = 2r2 ，则直线 AB 过圆心C2 ，所以，-2 - a = 0，解得 a = -2 ，
满足 3- a -1 < 2 < 3 - a +1.
因此， a = -2 .
故选：C.
3-5．（2024 2 2 2 2 2高二上·湖南张家界·期末）已知两圆C1 : x + y - 4 y = 0，C2 : (x - 2) + y = m (m > 0)．
(1) m 取何值时两圆外切？
(2)当m = 2 时，求两圆的公共弦所在直线 l的方程和公共弦的长．
【答案】(1) m = 2 2 - 2
(2)两圆的公共弦所在直线 l的方程为 x - y = 0，两圆的公共弦的长为 2 2
【分析】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案；
（2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆C1圆心距离，后可得弦长.
【详解】（1）因为圆C1的标准方程为 x2 + (y - 2)2 = 4，
所以两圆的圆心分别为 0,2 ， 2,0 ，半径分别为 2，m .
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则 (0 - 2)2 + (2 - 0)2 = 2 + m，结合m > 0，
解得m = 2 2 - 2；
（2）当m = 2 时，圆C2 的一般方程为 x2 + y2 - 4x = 0
两圆一般方程相减得：4x - 4 y = 0，
所以两圆的公共弦所在直线 l的方程为 x - y = 0
0 - 2
圆C1圆心 0,2 到 l的距离为 = 212 + (-1)2
故两圆的公共弦的长为 2 22 - 2 = 2 2 ．
（三）
圆与圆的位置关系的应用
1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解.
2．公切线的方程：由圆心到切线的距离 d=r 求解.
3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求
解．
题型 4：两圆的公切线的条数
4-1．（2024 高二上·山东青岛·期末）圆C1 : x
2 + y2 + 2x + 8y -8 = 0 与圆C2 : x
2 + y2 - 4x - 4y -8 = 0的公切线条
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆
相交，即可得出答案.
C x2 + y2 + 2x + 8y -8 = 0 C -1, -4 2
2 + 82 - 4 -8
【详解】由圆 1方程 ，可得圆心 1 ，半径 r = = 5；1 2
2 2
由圆C2 方程 x2 + y2 - 4x - 4y -8 = 0 -4 + -4 - 4 -8，可得圆心C2 2,2 ，半径 r2 = = 4 .2
C C = -1- 2 2 + -4 - 2 2所以， = 3 5 ，且 r1 - r2 =1 < C1C2 < 9 = r1 + r1 2 2，
所以两圆相交，公切线条数为 2.
故选：C.
4-2 2 2．（2024 高二上·四川遂宁·期末）若圆C1 : (x -1) + y =1与圆C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 30 - m有且仅有 3 条公
切线，则 m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．-11
【答案】A
【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆C1与圆C2 有且仅有 3 条公切线，可得两圆外切，则
C1C2 = r1 + r2 ，从而可得答案.
C : (x -1)2【详解】圆 1 + y
2 =1的圆心C1 1,0 ，半径 r1 =1，
圆C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 30 - m的圆心C2 5,3 ，半径 r2 = 30 - m ，
因为圆C1与圆C2 有且仅有 3 条公切线，
所以两圆外切，
则 C1C2 = r1 + r2 ，
ì 5 =1+ 30 - m
即 í ，解得m =14 .
30 - m > 0
故选：A.
4-3．（2024·
2 2
广西北海·一模）已知圆C1： x - 3 + y + 4 =1与C2 ： x - a 2 + y - a + 3 2 = 9恰好有 4 条公切
线，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,0 4,+ B． - ,1- 6 U 1+ 6, +
C． 0,4 D． - , -1 3,+
【答案】D
【分析】根据两圆有 4 条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得 a的取值范围.
2 2 2 2
【详解】因为圆C1： x - 3 + y + 4 =1与C2 ： x - a + y - a + 3 = 9恰好有 4 条公切线，所以圆C1与C2
a - 3 2外离，所以 + a - 3 + 4 2 > 4，解得 a > 3或 a < -1，即实数 a的取值范围是 - , -1 3,+ .
故选：D.
4-4．（2024·
2
山西·模拟预测）已知圆C ： x21 + y - a = a2 a > 0 的圆心到直线 x - y - 2 = 0 的距离为 2 2 ，
则圆C1与圆C2 ： x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0的公切线共有（ ）
A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条
【答案】B
【分析】先根据题意求得 a = 2，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆
内切，即可知道公切线只有 1 条.
2
【详解】圆C1： x2 + y - a = a2 的圆心为 0,a ，半径为 a，
0 - a - 2
所以圆心到直线 x - y - 2 = 0 的距离为 d = = 2 2 ，解得 a = 2或 a = -6 ．
12 +12
因为 a > 0，所以 a = 2 .
所以圆C ： x21 + y - 2 2 = 4的圆心为C1 0,2 ，半径为 r1 = 2．
圆C ： x2 22 + y - 2x - 4y + 4 = 0的标准方程为 x -1 2 + y - 2 2 =1，
圆心坐标为C2 1,2 ，半径 r2 =1，
圆心距 d = 0 -1 2 + 2 - 2 2 =1 = r1 - r2，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有 1 条.
故选：B．
4-5．（2024 高二上·安徽滁州·期末）圆C 2 2 2 21： x + y - 6x -10y - 2 = 0与圆C2 ： x + y + 4x +14y + 4 = 0公切线
的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.
2 2
【详解】根据题意，圆C ： x21 + y2 - 6x -10y - 2 = 0，即 x - 3 + y - 5 = 36，
其圆心为 3,5 ，半径 r = 6；
圆C ： x2 22 + y + 4x +14y + 4 = 0，即 x + 2 2 + y + 7 2 = 49，
其圆心为 -2, -7 ，半径R = 7 ，
2 2
两圆的圆心距 C1C2 = -2 - 3 + -7 - 5 =13 = R + r ，所以两圆相外切，
其公切线条数有 3 条．
故选：C．
题型 5：两圆的公切线方程
5-1．（2024 2 2 2 2 2高三·全国·专题练习）已知圆C1 : x + y = m (m > 0)与圆C2 : x + y - 2x - 4y - 20 = 0恰有两条公
切线，则满足题意的一个m 的取值为 ；此时公切线的方程为 .
【答案】 5（答案不唯一） y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 （答案与前空的答案有关联）
【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程.
【详解】圆C2 的圆心为 (1, 2)，半径为 5.
C : x2 + y2 = m2因为圆 1 (m > 0)与圆C2 恰有两条公切线，所以圆C1与圆C2 相交.即 | 5 - m |< C1C2 < 5 + m .
又 C1C2 = 5 ，所以5 - 5 < m < 5 + 5 ，
所以可取m = 5 (答案不唯一.满m (5 - 5,5 + 5)即可).
2 2
此时C1 : x + y = 25 .
因为C1的圆心为 (0,0)，半径为 5，C2 的圆心为 (1, 2)，半径为 5，
所以可设公切线的方程为 y = kx + b，且与两圆圆心所在的直线平行，解得 k = 2，
b
又因为 y = kx + b是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即 = 52 ，解得b = ±5 5 .1+ 2
所以当m = 5时，公切线的方程为 y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 .
故答案为: 5； y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 .
5-2．（2024 高二上·山东聊城·期末）已知圆C ： x2 + y2 =1与圆C ： x2 + y21 2 -8x + 6y + m = 0相内切，则C1与
C2 的公切线方程为（ ）
A．3x - 4y - 5 = 0 B．3x - 4y + 5 = 0
C． 4x - 3y - 5 = 0 D． 4x - 3y + 5 = 0
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【详解】圆C ： x2 + y21 =1的圆心O1(0,0), r1 =1，圆C ： x2 22 + y -8x + 6y + m = 0可化为
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 - m， m < 25 ，则其圆心为O2 (4,-3)，半径为 r2 = 25 - m ，
因为圆C1与圆C2 相内切，所以 r2 -1 = O1O2 ，即 r2 = 4
2 + 32 +1 = 6 ，故m = -11.
ìx2 + y2 =1
由 í 4x - 3y + 5 = 0x2 + y2
，可得 ，
-8x + 6y -11 = 0
即C1与C2 的公切线方程为 4x - 3y + 5 = 0 .
故选：D
5-3．（2024·陕西渭南·二模）写出与圆 x2 + y2 =1和圆 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 都相切的一条直线的方
程 .
【答案】 x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0（三条中任写一条即可）
【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.
【详解】圆 x2 + y2 =1的圆心为 0,0 ，半径为 r1 =1；
圆 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 的圆心为 -3,4 ，半径为 r2 = 4；
0,0 与 -3,4 的距离为5 = r1 + r2 ，所以两圆外切.
过 0,0 与 -3,4 4的直线方程为 y = - x .
3
由图可知，直线 x =1是两圆的公切线，
ì
y
4
= - x
y 4
4
由 í 3 解得 = -
，设 A 1, -
，
3 3
÷
è
x =1
4 4
设两圆的一条公切线方程为 y + = k x -1 , kx - y - - k = 0，
3 3
0,0 kx y 4到直线 - - - k = 0的距离为1，
3
4
- - k
即 3 =1，解得 k
7
= - ，
1+ k 2
24
7 4 7
所以两圆的一条公切线方程为- x - y - + = 0，即7x + 24y + 25 = 0 .
24 3 24
ìx2 + y2 =1
由 í 两式相减并化简得3x - 4y + 5 = 02 ，
x + y
2 + 6x -8y + 9 = 0
所以两圆的公切线方程为 x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0 .
故答案为： x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0（三条中任写一条即可）
题型 6：两圆的公切线长
6-1．（2024 2 2 2 2高一·全国·课后作业）求圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x + y + 20x + 84 = 0 的内公切线所在直线方程
及内公切线的长．
【答案】3x + 4y +10 = 0或3x - 4y +10 = 0，8
【分析】利用两圆的圆心在 x 轴得到内公切线的交点 P 也在 x 轴上，再利用几何性质可求 P 的坐标，最后利
用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程.
【详解】C1 0,0 ，C2 -10,0 ， r1 = 2， r2 = 4．
uuuv 1 uuuuv
设内公切线与连心线C1C2 交于点 P ，则 P 在 x 轴上且C1P = PC2 ．2
P x ,0 x 10 10 设 0 ，可得 0 = - ，P - ,0 ．3 ÷è 3
y = k x 10+ kx y 10设内公切线所在直线方程为 ÷ ，即 - + k = 0．
è 3 3
10 k
3 3由 = 2，得 k = ± ．
1+ k 2
4
所以内公切线所在直线方程为3x + 4y +10 = 0或3x - 4y +10 = 0．
2 2
内公切线的长为 C1C2 - r1 + r2 = 102 - 62 = 8．
【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出
外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率 k .
6-2．（2024 高二上·广东云浮·期中）已知圆 A 的方程为 x2 + y2 - 2x - 2y - 7 = 0，圆 B 的方程为
x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 .
(1)判断圆 A 与圆 B 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
238
【答案】(1)两圆相交， 4x + 4y + 5 = 0， ；
4
(2) 7 .
【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出
弦长；
（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.
【详解】（1）圆 A： x -1 2 + y -1 2 = 9，圆 B ： x +1 2 + y +1 2 = 4，
两圆心距 AB = (1+1)2 + (1+1)2 = 2 2 ，
∵ 3- 2 < AB = 2 2 < 3+ 2，
∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得： 4x + 4y + 5 = 0，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为C 、D，则 AB 垂直平分线段CD，
4 1+ 4 1+ 5 13
∵A 到CD的距离 d = = 2 ，
42 + 42 8
∴ CD = 2 r 2A - d
2 238= .
4
（2）设公切线 l切圆 A、圆 B 的切点分别为E ，F ，则四边形 AEFB是直角梯形.
∴ EF 2 = AB 2 - r - r 2A B = 7，
∴ EF = 7 .
题型 7：与圆有关的最值问题
7-1．（2023 秋·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校考阶段练习）已知圆C : x2 + y2 - 2x + m = 0与圆
x + 3 2 + y + 3 2 = 4外切，点 P 是圆 C 上一动点，则点 P 到直线5x +12y + 8 = 0的距离的最大值为
【答案】4
【分析】利用两圆的外切关系先计算m ，再根据圆上一动点到定直线的距离的最值计算即可.
【详解】圆C : x2 + y2 - 2x + m = 0 2化为标准方程为 x -1 + y2 =1- m，
可得C 1,0 ，其半径为 1- m m <1 ，
2 2
圆 x + 3 + y + 3 = 4的圆心为 -3, -3 ，半径为 2，
2
因为两圆外切，所以 1- m + 2 = 1+ 3 + 3 2 ，解得m = -8，
可得圆C 的半径为3，
5 + 0 + 8因为圆心C 1,0 到直线5x +12y + 8 = 0的距离为 =1，
52 +122
则点 P 到直线5x +12y + 8 = 0的距离的最大值为3+1 = 4 .
故答案为：4.
7-2．（2023· · C x -1 2全国 高二专题练习）已知圆 ： + y - 2 2 = 5，圆C 是以圆 x2 + y2 =1上任意一点为圆心，
半径为 1 的圆．圆 C 与圆C 交于 A，B 两点，则当 ACB 最大时， CC =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.
【详解】依题意，在VABC 中， | AC |=| BC |= 5 ，如图，
1 AB π
显然0 < AB 2， ACB 是锐角， ABsin ACB = 2 = ，又函数 y = sin x
在 0, 2 ÷
上递增，
2 AC 2 5 è
因此当且仅当公共弦 AB 最大时， ACB 最大，此时弦 AB 为圆C 的直径，
在Rt△ACC 中， AC C = 90o ,| AC |=1，所以 CC = | AC |2 - | AC |2 = 2 .
故选：D
7-3．【多选】（2023 秋·江西萍乡·高二统考期中）已知圆C ： x21 + y2 - 2x = 0与圆C ： x2 + y22 - 4x - 2y + 4 = 0
相交于A ， B 两点，下列说法正确的是（ ）
A．直线 AB 的一般式方程为 x + y - 2 = 0
B．公共弦长 AB = 2
C．过A ， B ，C1三点 ( 其中点C1为圆C1的圆心 )的圆的一般方程为 x2 + y2 - 3x - y + 2 = 0
D．同时与圆C1和圆C
3 1 2
2 相内切的最大圆的方程为 (x - )2 + (y - )2 = (1- )2
2 2 2
【答案】ABC
【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于 2 r 2 - d 2 即可
求得弦长；设过A ， B 两点的圆的方程将C1 1,0 代入，即可求解；同时与圆C1，圆C2 ，相内切的圆没有最
大，可判断ABCD .
【详解】将圆C ： x2 + y21 - 2x = 0与圆C 2 22 ： x + y - 4x - 2y + 4 = 0相减得 x + y - 2 = 0，
所以直线 AB 的一般式方程为 x + y - 2 = 0，A 正确；
圆心C1 1,0
1- 2 2
，半径等于1，圆心到直线 x + y - 2 = 0的距离为 d = = ，
2 2
AB = 2 r 2 - d 2 1 2= - ( )2 = 2 ，B正确；
2
过A 2 2 2 2， B 两点的圆的方程可设为 x + y - 2x + l x + y - 4x - 2y + 4 = 0，
将C1 1,0 代入，可得l =1，
所以过A ， B ，C 三点 ( 其中点C 为圆C 的圆心 )的圆的一般方程为 x2 + y21 1 1 - 3x - y + 2 = 0，C 正确；
同时与圆C1，圆C2 ，相内切的圆没有最大，D 错误．
故选：ABC．
7-4．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设圆 O: x2 + y2 = 4，直线 l : 2x + y + 5 = 0，P 为 l 上的动点．过点 P
作圆 O 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线 l 与圆 O 相交
8 4
B ．直线 AB 恒过定点 - , -
÷
è 5 5
C．当 P 的坐标为 -2，-1 时， APB最大
D．当 PO × | AB |最小时，直线 AB 的方程为 2x + y + 4 = 0
【答案】BCD
【分析】求出圆心 O 到直线 l的距离 d = 5 .对于 A：由d >r直接判断；对于 B：设P m,-2m - 5 .求出以OP
8 4
为直径的圆 D 的方程，得到直线 AB：-m x + 2y + 5y + 4 = 0 .证明直线 AB 恒过定点 - , - . C
è 5 5 ÷
对于 ：先
判断出
2
要使 APB最大，只需 OPA最大.在直角VOPA中，由 sin OPA = .求出OP最小时 P -2，-1 ，即可判
OP
断；对于 D：利用面积相等得到要使 PO × | AB |最小，只需 PO 最小，即OP ^ l 时，得到 P 的坐标为
-2，-1 ，求出直线 AB.
【详解】圆 O: x2 + y2 = 4的半径 r = 2 .
5
设圆心 O 到直线 l : 2x + y + 5 = 0的距离为 d，则 d = = 5 .
22 +12
对于 A：因为 d = 5 > r ，所以直线 l 与圆 O 相离.故 A 错误；
对于 B：P 为 l : 2x + y + 5 = 0上的动点，可设P m,-2m - 5 .
因为 PA，PB 为过点 P 作圆 O 的两条切线，所以PA ^ OA, PB ^ OB .
所以O, A, P, B四点共圆，其中OP为直径.
m 2m + 5 2 2
设OP 的中点为D ,-
, OD m 2m + 5÷ 则2 2 = ÷ +
- ,
è ÷è 2 è 2
2 2 2 2
所以圆 D 为 x
m
- + y 2m + 5+ m 2m + 5= 2 2
2 ÷ 2 ÷ ÷
+ - ÷ ，即 x - mx + y + 5 + 2m y = 0 .
è è è 2 è 2
所以直线 AB 为圆 D 和圆 O 的相交弦，两圆方程相减得：-mx + 5 + 2m y + 4 = 0 .
即直线 AB：-m x + 2y + 5y + 4 = 0 .
ì 8
x + 2y = 0 x = -ì 5 8 , 4 由 í5y 4 0 解得： í ，所以直线 AB 恒过定点
- - ÷ .故 B 正确；
+ = y 4 5 5= - è
5
对于 C：因为VOPA和△OPB 为直角三角形，且 OP = OP , OA = OB ,所以VOPA @VOPB，
所以 OPA = OPB，所以 APB = 2 OPA .
要使 APB最大，只需 OPA最大.
OA 2
在直角VOPA中， sin OPA = = .
OP OP
1
要使 OPA最大,只需 OP 最小，所以当OP ^ l 时， OP = d = 5 最小，此时 kOP × kl = -1，所以 kOP = ，所2
以直线OP : y
1
= x .
2
ì 1
y = x ìx = -2
由 í 2 ，解得： í ，即当 P 的坐标为 -2，-1 y 1 时， APB最大.故 C 正确； 2x + y + 5 = 0 = -
对于 D：因为直线 AB 为圆 D 和圆 O 的相交弦，所以 AB ^ OP ，且 AB 被OP平分.
1
所以四边形OAPB的面积为 S = PO × | AB | .
2
1
OAPB 2S = 2 PA × | OA |= OP 2 2而四边形 的面积还可以表示为 VOPA - OA × | OA |= OP
2 - 22 × 2
2
1
所以 S = PO × | AB |= OP
2 - 22 ×2 .
2
要使 PO × | AB |最小，只需 PO 最小，即OP ^ l 时，得到 P 的坐标为 -2，-1 .
所以圆D : x2 + 2x + y2 + y = 0 ,
两圆相减得到直线 AB： 2x + y + 4 = 0 .故 D 正确.
故选：BCD.
7-5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 M 的方程为： x2 + y2 + ax + ay - 2a - 4 = 0 ，（ a R ），点
P 1,1 ，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点 P 的任意直线与圆 M 都相交
B
1
．若圆 M 与直线 x + y + 2 = 0无交点，则 a - , + ÷
è 2
C．圆 M 面积最小时的圆与圆 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0有三条公切线
D．无论 a 为何值，圆 M 都有弦长为 2 2 的弦，且被点 P 平分
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断 A 选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断 B 选项，根据圆与
圆的位置关系判断公切线的条数判断 C 选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断 D 选项.
【详解】因为点代入入圆的方程得12 +12 + a + a - 2a - 4 = -2 < 0 ,所以P 1,1 在圆 M 内，
所以过点 P 的任意直线与圆 M 都相交,A 选项正确;
2 2 a a
M M a a a + a + 8a +16 2a
2 + 8a +16 a a - - + 2
圆 圆心 - ,- ÷ , r = = , M - ,- ÷直线 x + y + 2 = 0 2 2 ,
è 2 2 2 2 è 2 2 d = 12 +12
a a
- - + 2 2
若圆 M 与直线 x + y + 2 = 0无交点， d = 2 2 > r 2a + 8a +16= ,
12 +12 2
a a
- - + 2
2 2 a2 + 4a + 8
1
> , -a + 2 > a
2 + 4a + 8 , a2 - 4a + 4 > a2 + 4a + 8 , a < - ,B 选项错误;
12
2
+12 2
2
圆M r 2a + 8a +16= ,当 a = -2 时，圆 M 半径最小则面积最小,
2
2 2
圆 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0 ,Q 3,5 ,R 6 +10 - 4 16- = = 3 2 ,
2
MQ = 1+ 3 2 + 1- 5 2 = 4 2 = R + r = 2 + 3 2 ,
圆 M 面积最小时的圆 M 与圆 Q 外切所以有三条公切线,C 选项正确;
2
a 2 a + 2
2 + 8
无论 为何值， r 2a + 8a +16
= = 2 , 2r 2 2 ,所以圆 M 都有弦长为 2 2 的弦,
2 2
2
MP a a
2 1 2
= 1+
2 2a + 8a +16
2 ÷
+ 1+ ÷ = a + 2a + 2 , r = ,
è è 2 2 2
d r 2 2 2a
2 + 8a +16 2
= - = - 2 2a + 8a + 8 1= = a2 + 2a + 2 , d = MP ,
4 4 2
因为垂直弦平分弦, 圆 M 都有弦长为 2 2 的弦，且被点 P 平分,故 D 选项正确.
故选:ACD.
7-6 2 2 2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆O1 : x + y = r1 与圆O2 : (x - 3)
2 + y2 = r 22 r1, r2 > 0 相交于M , N 两点，
点M 位于 x 轴上方，且两圆在点M 处的切线相互垂直.
(1) 2 2求 r1 + r2 的值；
(2)若直线 l与圆O1 圆O2 分别切于P,Q 两点，求 | PQ |的最大值.
【答案】(1) r 21 + r
2
2 = 9
(2)最大值为 3
【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解 | PQ |的最大值.
【详解】（1）如图，由题意可知O1M 与圆O2 相切，O2M 与圆O1相切，
且MO1 ^ MO2 ，
故 MO 21 + MO
2
2 = 9，
r 2 2即 1 + r2 = 9 .
（2）作O2H ^ O1P于点 H，连接 PQ，
在△O 2 2 21O2H 中， O2H = O1O2 - O1H ，
其中 O2H =| PQ |, O1H = r1 - r2 ，
故 PQ
2 = 9 - r1 - r2
2 = 9 - r 21 - 2r 21r2 + r2 = 2r1r2 ，
2r r r 2 + r 2又 1 2 1 2 = 9，当且仅当 r1 = r2 时取等号，
故 | PQ | 3，
即 | PQ |的最大值为 3.
一、单选题
1．（2024 · 2 2 2 2高二上 贵州黔东南·期末）已知圆C1 : x + y =1与圆C2 : x - 2 + y - 2 = r 2 r >1 有两个交点，
则 r 的取值范围是（ ）
A． 1, 2 +1 B． 2 2 -1,2 2 +1
C． 1, 2 +1ù D． é 2 2 -1,2 2 +1ù
【答案】B
【分析】根据两圆相交的性质直接得出.
【详解】由题意知，圆心C1 0,0 与圆心C2 2,2 ，
则圆心距 C1C2 = 2 2 ，
因为圆C1与圆C2 有两个交点，
则圆C1与圆C2 相交，
则 r -1< C1C2 < r +1，
解得 2 2 -1 < r < 2 2 +1．
故选：B.
2．（2024 2 2 2 2高二上·湖南郴州·期末）与两圆C1 : (x -1) + (y + 2) =1和C2 : (x +1) + (y - 3) = 9 都相切的直线有
（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.
【详解】由题意知，C1(1, -2), r1 =1,C2 (-1,3), r2 = 3，
所以圆心距 d = C1C2 = (1+1)
2 + (-2 - 3)2 = 29 > r1 + r2 = 4 ,
所以两圆相离，公切线有 4 条.
故选：D.
3．（2024·山西·模拟预测）已知圆C1 : x
2 + (y - 2)2 = 5 C : (x + 2)2和 2 + y
2 = 5交于 A，B 两点，则 | AB |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 23 D． 2 23
【答案】B
【分析】
先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得 AB .
【详解】
将 x2 + ( y - 2)2 = 5和 (x + 2)2 + y2 = 5相减得直线 AB : y = -x ，
d 2点 (0,2)到直线 x + y = 0的距离 = = 2 ，
2
所以 AB = 2 5 - 2 = 2 3．
故选：B
4 2 2 2 2．（2024 高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆C1 : x + y - 2x + 4y = 4 ，圆C2 : x + y + 6x + 8y + 24 = 0 ，则圆
C1，C2 的位置（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D
【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较
即可得出答案.
【详解】圆C : x21 + y
2 - 2x + 4y = 4 ，化为 x -1 2 + y + 2 2 = 9 ，圆心为 1, -2 ，半径为 r1 = 3；
C : x2圆 2 + y
2 + 6x + 8y + 24 = 0 ，化为 x + 3 2 + y + 4 2 =1，圆心为 -3, -4 ，半径为 r2 =1；
1+ 3 2 + -2 + 4 2两圆心距离为： = 2 5 ，
Qr1 + r2 = 4 < 2 5 ，
\圆C1与C2 外离，
故选：D.
5．（2024 2 2高二上·全国·课后作业）已知圆C1：x + y + 2x - 6y +1 = 0
2 2
与圆C2：x + y - 4x + 2y -11 = 0，求两
圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．3x + 4y + 6 = 0 B．3x + 4y - 6 = 0
C．3x - 4y - 6 = 0 D．3x - 4y + 6 = 0
【答案】D
【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.
【详解】将两个圆的方程相减，得 3x－4y＋6＝0.
故选：D.
6．（2024 高二上·浙江丽水· C : x2 + y2 = 4 C : x2 + y2 - 2mx + m2期末）若圆 1 与圆 2 - m = 0外切，则实数m =
（ ）
A．－1 B．1 C．1 或 4 D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
C : x - m 2【详解】由条件化简得 2 + y2 = m,\m > 0，即两圆圆心为C1 0,0 ,C2 m,0 ，
设其半径分别为 r1, r2， r1 = 2, r2 = m ，所以有 C1C2 = m = r1 + r2 = 2 + m m = 4 .
故选：D
7．（2024 高二上·福建宁德·期中）圆 (x - 2)2 + y - 2 2 =1与圆 x +1 2 + y + 2 2 = 25的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.
【详解】圆 (x - 2)2 + y - 2 2 =1的圆心C1(2, 2) ，半径 r1 =1，
圆 x +1 2 + y + 2 2 = 25的圆心C2(-1,-2) ，半径 r2 = 5，
于是 | C1C2 |= (-1- 2)
2 + (-2 - 2)2 = 5 (r2 - r1, r2 + r1)，
所以两圆相交.
故选：B
8．（2024 高二上·
2 2
安徽滁州·期末）已知圆C ： x -1 + y + 2 = 4， P 为直线 l： x - 2y + 5 = 0上的一点，过
点 P 作圆C 的切线，切点分别为A ， B ，当 PC × AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x + 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 2 = 0 C． x - 2y - 2 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
【答案】D
【分析】
首先根据题意得到当PC ^ l 时，此时 PC × AB 取得最小值，求出以PC 为直径的圆的方程为 x2 + y2 = 5，再
求两圆的公共弦方程即可.
【详解】
由圆的知识可知， P ，A ， B ，C 四点共圆，且PC ^ AB，
所以 PC × AB = 4SVPAC = 4 PA ，
又 PA = PC 2 - 4 ，当PC ^ l 时，此时 PC 取得最小值，
此时直线PC 的方程为 y + 2 = -2 x -1 ，即 2x + y = 0 ，
ì2x + y = 0 ìx = -1
í ，解得 í ，即P -1, 2 .
x - 2y + 5 = 0 y = 2
所以PC 的中点为 0,0 ， PC = 22 + 42 = 2 5
所以以PC 为直径的圆的方程为 x2 + y2 = 5，
又圆C 2： x -1 + y + 2 2 = 4，即 x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0，
两圆的方程相减可得： x - 2y - 3 = 0，即直线 AB 的方程为 x - 2y - 3 = 0．
故选：D
9．（2024 高二下·河南洛阳·期末）已知点 P 为直线 y = x +1上的一点，M，N 分别为圆C1： x - 4 2 + y -1 2 =1
与圆C 22 ： x + y - 4 2 = 1上的点，则 PM | + | PN 的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分别求得圆C1,C2 的圆心坐标和半径，求得 C1C2 = 5，结合图象，得 | PM | + | PN | 5 - r1 - r2 ，即可
求解.
2 2
【详解】如图所示，由圆C1 : (x - 4) + (y -1) =1，可得圆心C1(4,1)，半径为 r1 =1，
圆C 22 : x + (y - 4)
2 = 1，可得圆心C2 (0, 4) ，半径为 r2 =1，
可得圆心距 C 21C2 = (4 - 0) + (1- 4)
2 = 5，
如图， PM PC1 - r1 ， PN PC2 - r2
所以 | PM | + | PN | PC1 + PC2 - r1 - r2 = PC1 + PC2 - 2 C1C2 - 2 = 3，
当M , N ,C1,C2 , P 共线时，取得最小值，
故 | PM | + | PN |的最小值为3 .
故选：B
10．（2024 2 2高二上·广西河池·期末）已知点 P 是圆C1 : (x + 2) + (y +10) = 4 上的一点，过点 P 作圆
C2 : (x - 3)
2 + (y - 2)2 =1的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． 2 30 -1 B． 2 30 C． 2 30 +1 D． 2 30 + 2
【答案】B
【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当P,C1,C2 共线且点 P 在C1C2 之
间时， PC2 最小，由勾股定理即可求解.
2
【详解】切线长 d = PC2 -1，所以当 PC2 取得最小值时，切线长取得最小值.当P,C1,C2 共线且点 P 在
C1C2 之间时，
PC 22 最小，由于 C2C1 = -2 - 3 + -10 - 2
2 =13 ,所以 PC2 min = C1C2 - 2 = C1C2 - PC1 =11，
所以 d 2min = 11 -1 = 2 30 .
故选：B .
11．（2024· 2全国·模拟预测）已知圆O1 : (x - 2) + (y - 3)
2 = 4 O : x2 2，圆 2 + y + 2x + 2y - 7 = 0 ，则同时与圆O1
和圆O2相切的直线有（ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．0 条
【答案】B
【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.
O : x - 2 2【详解】由圆 1 + y - 3
2 = 4，则圆心O1 2,3 ，半径 r1 = 2；
O : x2 + y2由圆 2 + 2x + 2y - 7 = 0
2 2
，整理可得 x +1 + y +1 = 9 ，则圆心O2 -1, -1 ，半径 r2 = 3；
由 O1O2 = 2 +1
2 + 3+1 2 = 5 = r1 + r2 ，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有 3 条.
故选：B.
12．（2024 2 2 2高二上·上海杨浦·期末）两个圆C1： x + y + 2ax + a - 4 = 0 a R 与C2 ：
x2 + y2 - 2by -1+ b2 = 0 b R 恰有三条公切线，则 a + b 的最大值为（ ）
A．3 2 B．-3 2 C．6 D．－6
【答案】A
【分析】将圆C1与圆C2 的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即 C1C2 = r1 + r2 ，
代入整理可得 a2 + b2 = 9，然后根据基本不等式即得.
2
【详解】由已知可得，圆C1的方程可化为 x + a + y2 = 4，圆心为C1 -a,0 ，半径 r1 = 2；
圆C 22 的方程可化为 x + y - b 2 =1，圆心为C2 0,b ，半径 r2 =1 .
因为圆C1与圆C2 恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有 C1C2 = r + r ，即 a21 2 + b2 = 3，所以 a2 + b2 = 9 .
又 a + b 2 = a2 + b2 + 2ab 2 a2 + b2 =18，当且仅当 a = b时，等号成立，
所以-3 2 a + b 3 2 .
故选：A.
13 2 2．（2024 高二上·河北保定·期末）若圆C1 : x + y - 2x + 4 y + m = 0 C : x
2
与圆 2 + y
2 + 2x -1 = 0恰有两条公共
的切线，则 m 的取值范围为（ ）
A． (-13,3) B． (3,5) C． (- ,5) D． (- ,3)
【答案】A
【分析】根据两圆的公切线性质，结合两圆的位置关系进行求解即可.
【详解】由 x2 + y2 - 2x + 4y + m = 0 (x -1)2 + (y + 2)2 = 5 - m 5 - m > 0 m < 5，
所以C1(1, -2)，半径 5 - m ，
由 x2 + y2 + 2x -1 = 0 (x +1)2 + y2 = 2，所以C2 (-1,0)，半径为 2 ，
C : x2 2因为圆 1 + y - 2x + 4 y + m = 0与圆C2 : x
2 + y2 + 2x -1 = 0恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，
于是有 5 - m - 2 < 1+1 2 + -2 2 < 5 - m + 2 -13 < m < 3，而m < 5，
所以 m 的取值范围为 (-13,3) ，
故选：A
14．（2024 高二上·全国·课前预习）圆 x2 + y2 =1 与圆 x2 + y2 + 2x + 2y +1 = 0 的交点坐标为（ ）
A． (1,0) 和 0,1 B． (1,0)和 0, -1
C． (-1,0) 和 0, -1 D． -1,0 和 0,1
【答案】C
【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.
ìx2 + y2 =1
【详解】由 í 2 ,可得 x + y +1 = 0，即 y=- x- 1，
x + y
2 + 2x + 2y +1 = 0
代入 x2 + y2 =1，解得 x = -1或 x = 0，
ìx = -1 ìx = 0
故得 í ,
y = 0
或 í
y = -1
所以两圆的交点坐标为 (-1,0) 和 0, -1 ,
故选:C
15．（2024·河北唐山·二模）已知圆C ： x2 + y21 - 2x = 0，圆C2 ： x - 3 2 + y -1 2 = 4，则C1与C2 的位置关
系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可.
【详解】圆C1的圆心为 1,0 ， r1 =1
圆C2 的圆心为 3,1 ， r2 = 2
所以 r2 - r1 < C1C2 = 3-1
2 + (1- 0)2 = 5 < r2 + r1
所以圆C1与C2 的位置关系是相交.
故选: C.
16 2024 · · C : (x + 2)2．（ 高二上 贵州遵义 期末）圆 1 + (y + 4)
2 = 25与圆C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的公切线的条数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
2 2
【详解】圆C1 : (x + 2) + (y + 4) = 25的圆心坐标为 (-2, -4)，半径为 5；
圆C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的圆心坐标为 (-1,0) ，半径为 3，
所以两圆的圆心距为 d = 1+16 = 17 ，
因为5 - 3 < 17 < 5 + 3，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有 2 条.
故选：B.
17 2024· · O : x2 + y2 =1 O ：x2 2．（ 安徽滁州 模拟预测）已知圆 1 与圆 2 + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 相交所
得的公共弦长为 2 ，则圆O2的半径 r = （ ）
A．1 B． 3 C． 5 或 1 D． 5
【答案】D
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆O2圆心与半径表达式可得答案.
2 2
【详解】x2 + y 2 = 1与O2：x + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 两式相减得 l : 2x - 2y - 1 - F = 0 ，即
公共弦所在直线方程.
圆O
2 2
2方程可化为O2 : x - 1 + y + 1 = 2 - F ，可得圆心O2 1, -1 ，O2半径 r = 2 - F .则圆心O2到 l的
2 + 2 - F - 1 3 - F
距离为 d = = ，
4 + 4 2 2
2 2
2 3 - F 2
半弦长为 ，则有 ÷ + ÷
2 F = -3
÷÷ = r = 2 - F ，解得 或F =1（舍），此时 r = 5
.
2 è 2 2 è 2
故选：D .
18．（2024·广东茂名·二模）已知平面 xOy 内的动点 P ，直线 l： x sinq + y cosq =1，当q 变化时点 P 始终不
在直线 l上，点Q为eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的动点，则 PQ 的取值范围为（ ）
A． 17 - 2, 17 B． 17 - 2, 17 + 2ù
C． é 17 - 2, 17 + 2 D． 17 - 2, 17 + 2
【答案】D
【分析】根据题意可分析出点 P 在eO ： x2 + y2 =1，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解.
0 + 0 -1
【详解】由原点O到直线 l： x sinq + y cosq =1的距离为 d = =1，
cos2 q + sin2 q
可知直线 l是eO ： x2 + y2 =1的切线，又动直线始终没有经过点 P ，所以点 P 在该圆内，
因为点Q为eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的动点，且C 4,1 ， r =1，
∴ OC - 2 < PQ < OC + 2，又 | OC |= 42 +12 = 17 ，
即 PQ 的取值范围为 17 - 2, 17 + 2 ，
故选：D
uuur uuur
19．（2024·北京通州·模拟预测）在平面直角坐标系内，点 O 是坐标原点，动点 B，C 满足 | OB |=| OC |= 2 ，
uuur uuur uuur
OB ×OC = 0，A 为线段BC 中点，P 为圆 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 任意一点，则 AP 的取值范围是（ ）
A． 2,8 B． 3,8 C． 2,7 D． 3,7
【答案】A
uuur
【分析】根据题意得 A 为圆O : x2 + y2 =1任意一点，设圆 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 的圆心为 M，从而得到 AP 为
圆 O 与圆 M 这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．
uuur uuur
【详解】由OB ×OC = 0，则OB ^ OC ，
uuur uuur uuur
又 | OB |=| OC |= 2 ，且 A 为线段BC 中点，则 | OA |=1，
所以 A 为圆O : x2 + y2 =1任意一点，
uuuur
设圆 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 的圆心为 M，则 OM = 5，
uuuur
又 | OM = 5 1+ 2，所以圆 O 与圆 M 相离，
uuur
所以 AP 的几何意义为圆 O 与圆 M 这两圆上的点之间的距离，
uuur uuuur uuur uuur
所以 AP = OM + AO + MP = 5 +1+ 2 = 8，
max
uuur uuuur uuur uuur
AP = OM - AO - MP = 5 -1- 2 = 2，
min
uuur
所以 AP 的取值范围为 2,8 ．
故选：A．
uuur
【点睛】关键点点睛：依题意得 AP 的几何意义为圆 x2 + y2 =1与圆 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 这两圆上的点之间
的距离是解答此题的关键．
20．（2024·北京海淀·二模）已知动直线 l与圆O : x2 + y2 = 4 交于A ， B 两点，且 AOB =120°．若 l与圆
(x - 2)2 + y2 = 25相交所得的弦长为 t，则 t的最大值与最小值之差为（ ）
A．10 - 4 6 B．1 C． 4 6 -8 D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆 (x - 2)2 + y2 = 25的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线
段 AB 的中点为C ，从而得到动直线 l在圆 x2 + y2 =1上做切线运动，当动直线 l与 x 轴垂直且点C 的坐标为
(-1,0) 时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆 (x - 2)2 + y2 = 25的圆心 (2,0)在圆O : x2 + y2 = 4 上，
则当动直线经过圆心，即点A 或 B 与圆心 (2,0)重合时，如图 1，
此时弦长 t取得最大值，且最大值为 tmax = 2 5 =10；
设线段 AB 的中点为C ，
在VAOB 中，由OA = OB = 2，且 AOB =120°，则OC =1，
则动直线 l在圆 x2 + y2 =1上做切线运动，
所以当动直线 l与 x 轴垂直，且点C 的坐标为 (-1,0) 时，如图 2，
此时弦长 t取得最小值，且最小值为 t 2min = 2 5 - 3
2 = 8，
所以 t的最大值与最小值之差为 2．
故选：D．
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径 r ，弦心距 d ，则弦长为 t = 2 r 2 - d 2 ；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式 AB = 1+ k 2 × x1 - x2 ．
21．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知圆C : (x - 3)2 + (y - 4)2 =1和两点 A a,0 ，B -a,0 (a > 0) ，若圆 C
上至少存在一点 P，使得 APB > 90°，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 4,6 B． 4, + C． 4, + D． 6, +
【答案】B
【分析】由题意，圆C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1与圆 O： x2 + y2 = a2 位置关系为相交，内切或内含，从而求得
实数 a 的取值范围.
【详解】圆 C： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1的圆心C 3,4 ，半径 r =1，
∵圆 C 上至少存在一点 P，使得 APB > 90°，
∴圆C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1与圆 O： x2 + y2 = a2 位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆 O： x2 + y2 = a2 的圆心O 0,0 ，半径 R = a ，
则 OC < r + R ，即 a +1 > 5，∴ a > 4．
故选：B．
22．（2024 高二上·陕西西安·期末）已知两圆 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0和 x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0恰有三条公
1 1
切线，若 a R ，b R ，且 ab 0，则 + 的最小值为（ ）
a2 b2
16 32 16 32
A． B． C． D．
25 25 9 9
【答案】A
【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到9a2 + b2 = 25，变换得到
1 1 1
+
1 1 2 2
2 2 = 2 + 2 ÷ 9a + b ，展开利用均值不等式计算得到答案.a b 25 è a b
【详解】 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0 2，即 x + 3a + y2 = 4，圆心O1 -3a,0 ，R1 = 2；
x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0，即 x2 + y - b 2 = 9，圆心O2 0,b ，半径 R2 = 3；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故 O O 2 21 2 = 9a + b = R1 + R2 = 5，
即9a2 + b2 = 25，
1 1 1 1 1 1 b2 9a2 9a2 b2 1
b2 9a2 16
2 + 2 = 2 + 2 ÷ + = 2 +a b 25 è a b 25 a b2
+10÷ 2 × +10÷ = .è 25 è a
2 b2 ÷ 25
b2 9a2 a2 25 25当且仅当 2 =
2
2 ，即 = ，b = 时等号成立.a b 12 4
故选：A
二、多选题
23．（2024 高二上·云南大理·期末）点 P 在圆C ：x21 + y2 =1上，点Q在圆C2 ：x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0上，则
（ ）
A． PQ 的最小值为 13 - 3
B． PQ 的最大值为 13
2
C．两个圆心所在的直线斜率为-
3
D．两个圆公共弦所在直线的方程为6x - 4y -10 = 0
【答案】AC
【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系，故可判断 D 的正误，求出 PQ 的最值后可判断
AB 的正误，利用公式可求连心线的斜率，故可判断 C 的正误.
【详解】根据题意，圆C1： x2 + y2 =1，其圆心C1 0,0 ，半径R = 1，
圆C2 ： x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0，即 x - 3 2 + y + 2 2 = 4 ，其圆心C2 3, -2 ，半径 r = 2，
则圆心距 C1C2 = 9 + 4 = 13 > R + r = 3，两圆外离，不存在公共弦，故 D 不正确；
PQ 的最小值为 C1C2 - R - r = 13 - 3，最大值为 C1C2 + R + r = 13 + 3，
故 A 正确，B 不正确；
对于 C，圆心C1 0,0 ，圆心C2 3, -2 ，
-2 - 0 2
则两个圆心所在直线斜率 k = = - ，故 C 正确，
3- 0 3
故选：AC.
24．（2024 2 2高二·全国·课后作业）已知圆 M : x - 2 + y -1 =1，圆 N : x + 2 2 + y +1 2 =1，则下列是 M，
N 两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． x - 2y + 5 = 0 D． x - 2y - 5 = 0
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点 O
对称，即可知有两条公切线过原点 O，另两条公切线与直线 MN 平行，设出直线方程，再根据点到直线的
距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆 M 的圆心为 M（2，1），半径 r1 =1．圆 N 的圆心为 N（－2，－1），半径 r2 =1．圆心距
d = 2 5 > 2，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点 O 对称，则有两条切线过原点 O，设切线方程
2k -1 4
为 y＝kx，则圆心到直线的距离 =1，解得 k＝0 或 k = ，对应方程分别为 y＝0，4x－3y＝0．另两条
1+ k 2 3
b
1 =1
MN l : y = x y 1= x + b b 5切线与直线 平行，而 MN ，设切线方程为 ，则 ，解得2 2 1 = ±
，切线方程为
1+
4 2
x - 2y + 5 = 0 ， x - 2y - 5 = 0．
故选：ACD．
25．（2024 2高二下·河南·阶段练习）已知圆C1 : x + y
2 - 6y + 5 = 0和圆C : x22 + y
2 - 8x + 7 = 0，则下列结论正
确的是（ ）
A．圆C1与圆C2 外切
B．直线 y = x 与圆C1相切
C．直线 y = x 被圆C2 所截得的弦长为 2
D．若M , N 分别为圆C1和圆C2 上一点，则 MN 的最大值为 10
【答案】ACD
【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可.
【详解】圆C1 : x
2 + y2 - 6y + 5 = 0化为 x2 + (y - 3)2 = 4，圆心坐标为 0,3 ，半径为 2，
2 2
圆C2 : x + y - 8x + 7 = 0化为 (x - 4)2 + y2 = 9，圆心坐标为 4,0 ，半径为 3.
因为两个圆的圆心距为 32 + 42 = 5，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，A 正确.
C 0 - 3 3 2圆 1的圆心到直线 y = x 的距离为 = 2，所以直线 y = x 与圆C1不相切，B错误.
2 2
4 - 0
圆C2 的圆心到直线 y = x 的距离为 = 2 2 ，直线 y = x 被圆C2 所截得的弦长为 2 32 - (2 2)2 = 2，C 正
2
确.
若M , N 分别为圆C1和圆C2 上一点，则 MN 的最大值为 2 2 + 2 3 =10，D 正确.
故选：ACD
三、填空题
26．（2024 高一·全国·课后作业）圆C1 : x
2 + y2 =1 2与圆C2 : x + y
2 + 2x + 2y +1 = 0的交点坐标为 .
【答案】 (0, -1), (-1,0)
【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可.
ì x2 + y2 =1
【详解】联立两个圆的方程： í ，C2 2 1方程带入C2 ，先得到 x + y + 2x + 2y +1 = 0
ìx + y +1= 0
x + y +1 = 0 ，在联立 í 2 2 ，得到 x
2 + (-x -1)2 =1，解得 x = 0或 x = -1，对应的 y 值为 y = -1或 y = 0 ，
x + y =1
于是得到两圆交点： (0, -1), (-1,0) .
故答案为： (0, -1), (-1,0) .
27．（2024 高二·全国·课后作业）圆 x2 + y2 - 2x - 3 = 0与 x2 + y2 - 4x + 2y + 3 = 0 的交点坐标为 .
【答案】 1，- 2 和 3，0
【分析】联立两圆的方程即可求解.
ìx2 + y2 - 2x - 3 = 0
【详解】联立 í 2 2 ，两式相减得 x=y + 3，将其代入 x
2 + y2 - 2x - 3 = 0中得 y = 0 或
x + y - 4x + 2y + 3 = 0
ìx = 3 ìx =1y = -2，进而得 íy = 0或 í ， y = -2
所以交点坐标为 1，- 2 ， 3，0
故答案为： 1，- 2 和 3，0
28．（2024·广西玉林·二模）写出一个半径为 1，且与圆 (x -1)2 + y2 = 4外切的圆的标准方程： ．
【答案】 (x - 4)2 + y2 =1（答案不唯一，方程满足 (x - a)2 + (y - b)2 =1且 (a -1)2 + b2 = 9即可）
【分析】设所求圆的方程为 (x - a)2 + (y - b)2 =1，根据两圆外切可得 a，b 关系，随意取一组值即可.
【详解】依题意可设所求圆的方程为 (x - a)2 + (y - b)2 =1，根据两圆外切得两圆的圆心距为
(a -1)2 + b2 =1+ 2，即 (a -1)2 + b2 = 9．
令b = 0，则 a = 4，所求圆的方程可以为 (x - 4)2 + y2 =1.
故答案为： (x - 4)2 + y2 =1（答案不唯一）
29．（2024 2 2 2 2 2高二上·四川资阳·期中）已知圆C1 : x + y = m (m > 0)与圆C2 : x + y - 2x - 4y -15 = 0 恰有两条
公切线，则实数m 的取值范围 ．
【答案】 ( 5,3 5)
【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.
【详解】由 x2 + y2 - 2x - 4y -15 = 0，即 (x -1)2 + (y - 2)2 = 20，
可知圆C2 的圆心为 (1, 2)，半径为 2 5 ；
因为圆C1与圆C2 恰有两条公切线，所以圆C1与圆C2 相交，
则 | 2 5 - m |<| C1C2 |< 2 5 + m，∵ | C1C2 |= (1- 0)
2 + (2 - 0)2 = 5，
解得： 5 < m < 3 5 ，即m 的取值范围是 ( 5,3 5) .
故答案为： ( 5,3 5) .
30．（2024 高三· 2 2
2
天津·专题练习）已知圆C1 : x + y = 4与圆C2 : x
2 + y - a = 9(a > 0) 外切，此时直线
l : x + y - 3 = 0被圆C2 所截的弦长为 ．
【答案】 2 7
【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得 a，接着计算C2 到直线的距离，最后根据圆的弦
长公式计算可得结果.
【详解】由题意可得： a = 2 + 3 = 5，
即圆C : x22 + y - a
2 = 9(a > 0) 的圆心为 (0,5) ，半径为3，
d 2即圆心到直线 l : x + y - 3 = 0的距离为 = = 2 ，
2
故所截弦长为 2 9 - 2 = 2 7 ．
故答案为： 2 7
31．（2024·天津和平·二模）圆 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 与圆 x2 + y2 = 4的公共弦所在的直线方程为 ．
【答案】 x - y + 2 = 0
【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.
ìx2 + y2 - 4x + 4y -12 = 0
【详解】联立 í 2 2 ，两式相减得 x - y + 2 = 0 .
x + y = 4
故答案为： x - y + 2 = 0
32．（2024·河南郑州·一模）经过点P 1,1 以及圆 x2 + y2 - 4 = 0与 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交点的圆的方程
为 ．
【答案】 x2 + y2 + x - y - 2 = 0
【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.
ìx2 + y2 - 4 = 0
【详解】联立 í 2 2 ，整理得 y = x + 2 ，
x + y - 4x + 4y -12 = 0
代入 x2 + y2 - 4 = 0，得 x2 + 2x = 0，解得 x = 0或 x = -2，
则圆 x2 + y2 - 4 = 0与 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交点坐标为 (0, 2), (-2,0)，
设经过点P 1,1 以及 (0, 2), (-2,0)的圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,
ì2 + D + E + F = 0 ìD =1
则 í4 + 2E + F = 0 ，解得 íE = -1 ，
4 - 2D + F = 0 F = -2
故经过点P 1,1 以及圆 x2 + y2 - 4 = 0与 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交点的圆的方程为 x2 + y2 + x - y - 2 = 0，
故答案为： x2 + y2 + x - y - 2 = 0
33．（2024 高三下·河南濮阳·开学考试）已知圆C1，C2 的圆心都在坐标原点，半径分别为1与5．若圆C 的
圆心在 x 轴正半轴上，且与圆C1，C2 均内切，则圆 C 的标准方程为 ．
【答案】 x - 2 2 + y2 = 9
【分析】依题意求出圆心的横坐标与半径，即可得解.
C 5 + -1 5 - -1 【详解】解：依题意可知圆心 的横坐标为 = 2，半径为 = 3，
2 2
2
故圆C 的标准方程为 x - 2 + y2 = 9 .
2
故答案为： x - 2 + y2 = 9 .
34．（2024 高二上·贵州遵义·阶段练习）圆C 2 2 2 21： x + y + 6x - 4y = 0和圆C2 ： x + y - 6y = 0交于 A，B 两点，
则线段 AB 的垂直平分线的方程是 .
【答案】 x - 3y + 9 = 0
【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，
【详解】圆C1方程为 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 13，圆C 2 22 方程为 x + (y - 3) = 9，
则圆心分别为C1(-3,2)，C2 (0,3)，两圆相交于 A, B两点，则线段 AB 的垂直平分线即为直线C1C2 ，
k 3- 2 1C C = = ，则直线C1C2 的方程为 y
1
= x + 3
1 2 0 ( 3) 3 ，即
x - 3y + 9 = 0，
- - 3
故答案为： x - 3y + 9 = 0
35．（2024
2 2
高二下·广东广州·期末）写出与圆 x - 4 + y + 3 =16和圆 x2 + y2 =1都相切的一条直线的方
程 .
【答案】 y =1（答案不唯一， 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0均可以）
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆 x2 + y2 =1的圆心为O 0,0 2 2，半径为 1；圆 x - 4 + y + 3 =16的圆心为C 4, -3 ，半径为 4，
圆心距为 OC = 5，所以两圆外切，
如图，有三条切线 l1，l2，l3 ，易得切线 l1的方程为 y =1；
3 4 4
因为 l3 ^ OC ，且 kOC = - ，所以 kl = ，设 l3 : y = x + b，即 4x - 3y + 3b = 0，则O 0,0 到 l3 的距离4 3 3 3
3b 5 5
=1，解得b = （舍去）或- ，所以 l3 : 4x - 3y - 5 = 0；5 3 3
ìy 3= - x
可知 l1和 l
3 4
2关于OC : y = - x对称，联立 4 ，解得 - ,1 在 l 上，4 í ÷ 2 y =1 è 3
ì y0 +1 3 x
= -
0
l 0,1 OC x , y 2 4 2在 1上取点 ，设其关于 的对称点为 0 0 ，则 í
y0 -1 3
，
- ÷ = -1 x0 è 4
ì
x
24
= - 7
0 25 - -1 24
解得 í k = 25 = -
y 7
，则 l ，2 24 4
= - - +
7
0 25 25 3
所以直线 l2 : y -1
24 x 4= - + ÷，即 24x + 7 y + 25 = 0，7 è 3
综上，切线方程为 y =1或 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0 .
故答案为： y =1（答案不唯一， 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0均可以）
36 2024· · C : (x - a)2 + y2 = 4 C : x2 + (y - b)2．（ 浙江嘉兴 二模）已知圆 1 与 2 =1 a,b R 交于 A, B两点.若存在
a，使得 AB = 2 ，则b 的取值范围为 .
【答案】 é ù - 3, 3
【分析】根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线 AB 的方程，利用直线与圆相交弦长公式，求得 a,b
满足的等式关系，根据方程有解，即可得b 的取值范围.
【详解】圆C1 : (x - a)
2 + y2 = 4的圆心C1 a,0 ，半径 r1 = 2 2 2，圆C2 : x + (y - b) =1的圆心C2 0,b ，半径
r2 =1
若两圆相交，则 r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，所以1 < a2 + b2 < 3，即1< a2 + b2 < 9，
又两圆相交弦 AB 所在直线方程为： (x - a)2 + y2 - x2 - (y - b)2 = 4 -1即 2ax - 2by - a2 + b2 + 3 = 0
2a2 - 0 - a2 + b2 + 3
所以圆心C1 a,0 到直线 AB 的距离 d1 = ，圆心C2 0,b 到直线 AB 的距离
4a2 + 4b2
0 - 2b2 - a2 + b2 + 3
d2 = ，
4a2 + 4b2
ì a2 + b2 + 3
= 3
ìd = 3 4a2 + 4b2
则弦长 AB = 2 r 21 - d
2 2
1 = 2 r2 - d
2
2 = 2，所以 í
1 ，则 í ，所以 a2 + b2 = 3，
d 22 = 0 a + b2 - 3
= 0
4a2 + 4b2
若存在 a，使得 AB = 2 ，则b2 3，即- 3 b 3，所以b 的取值范围为 é ù - 3, 3 .
故答案为： é - 3, 3ù .
37．（2024 高三下·安徽池州·阶段练习）已知eM : x2 + y2 - 2x - 2y +1 = 0，直线 l : x + 2y + 2 = 0, P为 l上的动
点，过点 P 作eM 的切线PA, PB，切点为 A, B，当 PM × AB 最小时，直线 AB 的方程为 .
【答案】 x + 2y - 2 = 0
【分析】由题意分析可得 PM × AB = 2 | PM |2 -1，当直线MP ^ l 时， PM × AB 最小，此时求出以MP 为
直径的圆的方程，两圆方程联立即可求得直线 AB 的方程.
【详解】圆的方程可化为 (x -1)2 + (y -1)2 = 1，则圆心M 1,1 ，半径 r =1，
1 1+ 2 1+ 2
可得点M 到直线 l的距离为 d = = 5 >1，
12 + 22
所以直线 l与圆相离，
依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB ^ PM ，
所以 PM × AB
1
= 4SVPAM = 4 PA AM = 2 PA = 2 | PM |
2 -1，
2
原题意等价于 PM 取到最小值，
当直线MP ^ l 时， MP = d = 5 ，此时 PM × ABmin 最小.
\MP的直线方程为： y = 2 x -1 +1 = 2x -1，
ìy = 2x -1 ìx = 0
与 l联立 í P 0, -1
x
，解得：
+ 2y + 2 = 0 í y = -1
，即 ，
1
则MP 的中点为 ,0 ，
è 2 ÷
2 2
1 5
所以以MP 为直径的圆的方程为 x - ÷ + y
2 = ÷÷ ，即 x
2 + y2 - x -1 = 0 ，
è 2 è 2
两圆的方程相减可得： x + 2y - 2 = 0，
即直线 AB 的方程为 x + 2y - 2 = 0 .
故答案为： x + 2y - 2 = 0 .
38．（2024· 2 2河北衡水·三模）若圆C1 : x + y =1和C2 : x
2 1+ y2 - 2 3ax - 2ay - 5a = 0 a > 2 ÷
有且仅有一条公切
è
线，则 a = ；此公切线的方程为
【答案】 1 3x + y + 2 = 0
【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求 a，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出
斜率即可求解.
【详解】如图，
由题意得C1与C
2
2 相内切，又C2 : (x - 3a) + (y - a)
2 = 4a2 + 5a a 1> ÷，
è 2
所以 C1C2 = 3a
2 + a2 = 4a2 + 5a -1，
所以 2a +1 = 4a2 + 5a ，解得 a =1，
所以C2 3,1 k 1 3， C C = = ．1 2 3 3
ì
ìx2 2
3
+ y =1 x = - ,
í 2联立 2x - 3 + y -1 2 ，解得 í = 9 y 1 = - , 2
3
所以切点的坐标为 - ,
1
- ，
è 2 2 ÷
÷
1 3 x 3
故所求公切线的方程为 y + = - + 2 ÷÷
，即 3x + y + 2 = 0．
2 è
故答案为：1； 3x + y + 2 = 0
四、解答题
39．（2024 2 2 2 2高二上·河北保定·期末）已知圆C1 : x + y =10 与圆C2 : x + y + 2x + 2y - 7 = 0
(1)求证：圆C1与圆C2 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 x + y - 6 = 0 上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2x + 2y + 3 = 0
(3) x2 + y2 - 6x - 6y -19 = 0
【分析】（1）根据圆C1与圆C2 圆心距与两半径关系证明；
（2）两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程；
（3）设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解.
1 C : x2 + y2【详解】（ ）圆 1 =10 ，圆心坐标为C1 0,0 ，半径 r1 = 10 ，
C : x2圆 2 + y
2 + 2x + 2y - 7 = 0 2化成标准方程为 x +1 + y +1 2 = 9 ，圆心坐标为C2 -1, -1 ，半径 r2 = 3，
圆心距 C1C
2
2 = 1 +1
2 = 2 ， r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，所以圆C1与圆C2 相交.
（2）两圆方程相减，得 2x + 2y + 3 = 0 ，所以两圆公共弦所在直线的方程为 2x + 2y + 3 = 0 .
3 2 2 2 2（ ）设所求圆的方程为 x + y + 2x + 2y - 7 + l x + y -10 = 0 l -1 ，即
1+ l x2 + 1+ l y2 + 2x + 2y - 7 -10l 1= 0 ，圆心坐标为 - ,
1
- ÷，代入直线 x + y - 6 = 0 可得
è 1+ l 1+ l
1 1
- - - 6 = 0 4，解得l = - ，所求圆的方程为 x2 + y2 - 6x - 6y -19 = 0
1+ l 1+ l 3
40．（2024 高二上·全国·课后作业）如图，已知点 A、B 的坐标分别是 (-3,0), (3,0)，点 C 为线段 AB 上任一
点，P、Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆O1，O2 的外公切线的切点，求线段 PQ 的中点的轨迹方程.
【答案】 x2 + 4y2 = 9(-3 < x < 3)
【分析】作出两圆的内公切线，由圆的知识，内公切线与外公切线的交点，即为 PQ 的中点，再利用切线长
的性质建立几何关系，化简即可求出轨迹方程.
【详解】过 C 作MC ^ AB ，交 PQ于点M ，则MC 是两圆的内公切线，
因为直线 PQ为两圆的外公切线，
由切线长知识可得， MC = MQ ， MC = MP ，
所以M 是线段 PQ 的中点，
M (x, y) C(x,0) O (-3 + x 3 + x设 ，则 ， 1 ,0)，O2 ( ,0)，2 2
o
连接O1M ，O1P ，O2M ，O2Q，则 O1PM = O2QM = 90
又因为 MC = MP ， MO1 = MO1 ， MC = MQ ， MO2 = MO2 ,
所以VO1PM≌VO1CM ，VO2QM≌VO2CM ，
所以 O1MP = O1MC ， O2MQ = O2MC ，
O MO = 90o MO 2从而可得 1 2 ，所以 1 + MO
2
2 = O
2
1O2 ，
(x -3 + x- )2所以 + y 2 (x
3 + x
+ - )2 + y 2 (-3 + x 3 + x= - )2 ，
2 2 2 2
所以 x2 + 4y2 = 9 ，
因为点C 是线段 AB 上任一点， AC 和BC 为直径，
所以-3 < x < 3，
所以线段 PQ 的中点的轨迹方程为 x2 + 4y2 = 9(-3 < x < 3) .
41．（2024 高二·全国·课后作业）已知圆M : x2 + y2 =10 和圆 N : x2 + y2 + 2x + 2y -14 = 0，求过两圆交点，且
面积最小的圆的方程．
【答案】 (x-1)2 + (y -1)2 = 8
【分析】设两圆交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆就是所求的圆，联立两圆，求得公共弦方程，再求得两
圆圆心连线的方程，即可求得圆心坐标，根据弦长公式，求得弦 AB 的长，可得圆的半径，即可得答案.
【详解】设两圆交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆就是所求的圆．
ìx2 + y2 =10
联立 í 2 2 ，可得直线 AB 的方程为 x + y - 2 = 0．
x + y + 2x + 2y -14 = 0
又圆 M 的圆心 (0,0)，圆 N 的圆心 (-1,-1)
所以两圆圆心连线的方程为 x - y = 0．
ìx + y - 2 = 0
解方程组 í (1,1)
x - y 0
，可得圆心坐标为 ．
=
圆心M (0,0)到直线 AB 的距离为 d = 2 ，圆 M 的半径为 r = 10 ，
弦 AB 的长为 AB = 2 r 2 - d 2 = 4 2 ，则所求圆的半径为 2 2 ，
所以所求圆的方程为 (x-1)2 + (y -1)2 = 8．
42．（2024 高一下·山东临沂·期末）已知圆C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0．
(1)若直线 l1过定点 A 1，1 ，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；
(2)若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2：x - y + 2 = 0上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程．
【答案】(1) x =1或5x -12y + 7 = 0
(2) (x +1)2 + (y -1)2 = 9 或 (x - 6)2 + (y -8)2 = 9
【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【详解】（1）圆C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0
化为标准方程为 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 ，
所以圆 C 的圆心为 3，4 ，半径为 2．
①若直线 l1的斜率不存在，即直线为 x =1，符合题意．
②若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y -1 = k x -1 ．即 kx - y - k +1 = 0．
由题意知，圆心 3，4 到已知直线 l1的距离等于半径 2，
3k - 4 - k +1 2k - 3
所以 = 2 = 2
k 2
，即 ，
+1 k 2 +1
k 5解得 = ，所以直线方程为5x -12y + 7 = 0．
12
综上，所求直线 l1的方程为 x =1或5x -12y + 7 = 0．
（2）依题意，设D a, a + 2 ．
又已知圆 C 的圆心为 3，4 ，半径为 2，
由两圆外切，可知 CD = 3 + 2 = 5，
所以 (a - 3)2 + (a + 2 - 4)2 = 5，
解得 a = -1或 a = 6．所以D -1,1 或D 6,8 ，
所以所求圆 D 的方程为 (x +1)2 + (y -1)2 = 9 或 (x - 6)2 + (y -8)2 = 9．
【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．
（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程
可求得直线的方程．
（2）设出圆 D 圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得 a 的值，从而求得圆 D
的方程．
43．（2024 2 2 2 2高二上·全国·单元测试）求过两圆C1 : x + y - 2y - 4 = 0和圆C2 : x + y - 4x + 2 y = 0的交点，且
圆心在直线 l : 2x + 4y -1 = 0 上的圆的方程.
【答案】 x2 + y2 - 3x + y -1 = 0
【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线 l的方程，
从而求出圆的方程.
2 2 2 2
【详解】设圆的方程为 x + y - 4x + 2y + l(x + y - 2y - 4) = 0 l -1 ，
2
则 1+ l x - 4x + 1+ l y2 + 2 - 2l y - 4l = 0 ，
2 4 2 l -1
即 x + y2 - x
2 - 2l y 4l+ - = 0 ，所以圆心坐标为 ,
1+ l 1+ l 1+ l è1+ l 1
，
+ l ÷
2 , l -1 把圆心坐标 ÷代入 2x + 4y -1 = 0 2
2
得 + 4
l -1
-1 = 0 1，解得l =
è1
，
+ l 1+ l 1+ l 1+ l 3
所以所求圆的方程为 x2 + y2 - 3x + y -1 = 0 ．
44．（2024 高二上·浙江·期中）已知圆O : x2 + y2 =1，圆M : (x - 2)2 + (y -1)2 = 9．
(1)求两圆的公共弦长；
(2)求两圆的公切线方程．
【答案】(1) 55
5
(2) x 1 y
3 5
= - 和 = - x -
4 4
【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点O到 l的距离，利用半径、O到 l的距离、公共弦
长的一半构成的直角三角形可得答案；
1
（2）由图象、方程特征可知一条公切线为： x=-1；求出直线OM 与 x=-1的交点 -1, - ÷ ，设另一条公切
è 2
1
线的方程为 y + = k(x +1) ，利用点M 2,1 到此公切线的距离解得 k ，可得答案.
2
【详解】（1）易知圆O的圆心 0,0 ，半径为 1，圆M 的圆心(2,1)，半径为 3，
两圆方程O : x2 + y2 =1 M : x - 2 2、 + y -1 2 = 9 相减可得公共弦直线方程为
l : 4x 3+ 2y + 3 = 0，所以点O到 l的距离为 d 3 5= = ，
16 + 4 10
2
AB 2 12 3 5
55
所以公共弦长为 = - ÷÷ = ；
è 10 5
（2）因为圆O的圆心 0,0 ，半径为 1，圆M 的圆心(2,1)，半径为 3，
由图象可知，有一条公切线为： x=-1，
1
直线OM : y
1
= x与 x=-1
的交点为 -1, -
÷ ，2 è 2
1 1
设另一条公切线的方程为 y + = k x +1 ，也即 kx - y + k - = 0，
2 2
3k 3-
则点M 2,1 3到此公切线的距离 d = 2 = 3，解得： k = - ，
k 2
4
+1
3
所以另一条公切线的方程为： y = - x
5
- ，
4 4
3 5
综上，两圆的公切线方程为 x=-1和 y = - x - ．
4 4
45．（2024 高一下·江苏无锡·期中）已知圆 C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点 A（m，0），B（0，n），其中
m，n 为正实数．
(1)当 a＝m＝n＝3 时，判断直线 AB 与圆 C 的位置关系；
(2)当 a＝4 时，若对于圆 C 上任意一点 P 均有 PA＝λPO 成立（O 为坐标原点），求实数 m，λ 的值；
(3)当 m＝2，n＝4 时，对于线段 AB 上的任意一点 P，若在圆 C 上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线
段 PN 的中点，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1)相离
(2)m＝3，λ＝2
é17
(3) ê ,
36
÷
9 5
【分析】（1）把 a＝m＝n＝3 分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离,即可判断直线与圆的位置关系；
（2 2 2 2）设点 P（x，y），由 PA＝λPO，得 l -1 x + l -1 y2 + 2mx - m2 = 0 ，结合 x +1 2 + y2 = 4，化简得
2 m - l 2 +1 x - m2 + 3 l 2 -1 = 0 ，由 P 为圆 C 上任意一点，列式求得实数 m，λ 的值；
（3）求出直线方程，由点P, N 的坐标得到点M 的坐标，将点 M，N 的坐标代入圆 C 的方程，利用方程有
解，以及直线 AB 与圆C 相离，即可求解 a 的范围．
【详解】（1）当 a＝3 时，圆心为 -1,0 ，半径为 3，
当 m＝n＝3 时，直线 AB 方程为 x + y - 3 = 0，
-1- 3
∴圆心到直线距离为 d = = 2 2 ，
2
∵ 3 < 2 2 ，∴直线与圆相离；
2 P x y PO x2 y2 PA = x - m 2（ ）设点 （ ， ），则 = + ， + y2 ，
2
∵PA＝λPO，∴ x - m + y2 = l 2 x2 + y2 ，
即 l 2 -1 x2 + l 2 -1 y2 + 2mx - m2 = 0 ，
x +1 2由 + y2 = 4得， x2 + y2 + 2x - 3 = 0，∴ x2 + y2 = 3 - 2x，
代入得， l 2 -1 3- 2x + 2mx - m2 = 0 ，
2 m - l 2 +1 x - m2化简得 + 3 l 2 -1 = 0 ，
ìm - l
2 +1 = 0
∵P 为圆 C 上任意一点，∴ í
-m2 + 3 l 2 ， -1 = 0
又 m，λ＞0，解得 m＝3，λ＝2；
x y
（3）直线 AB 的方程为 + =1，设P t, 4 - 2t , 0 t 2 ，N（x，y），
2 4
x + t
∵点 M 是线段 PN 的中点，\M , 2
y
- t + ，
è 2 2 ÷
ì x +1 2 + y2 = a
又 M，N 都在圆 C：（x+1）2+y2＝a 上， í x + t 2 2 ，
+1
2 t y÷ + - +
÷ = a
è 2 è 2
ì x +1
2 + y2 = a
即 í ．
x + t + 2
2 + y + 4 - 2t 2 = 4a
∵关于 x，y 的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心， a 为半径的圆与以 -t - 2,2t - 4 为圆心，2 a 为半径
的圆有公共点，
∴ a t +1 2 + 2t - 4 2 9a ，
2 2
又 P 为线段 AB 上的任意一点，∴ a t +1 + 2t - 4 9a 对所有0 t 2成立．
2 é36 ù
而 f t = t 7 36+1 2 + 2t - 4 2 = 5 t -
+ 在[0，2]上的值域为 ,17 ，
è 5 ÷ 5 ê 5 ú
ìa 36 17 a 36∴ í 5 ，即 ．
9a 17 9 5
-2 + 0 - 4 36
根据题意可知线段 AB 与圆 C 无公共点，∴ a < ，则 a < ．
5 5
é17 36
故实数 a 的取值范围为 ê , ． 9 5 ÷
46．（2024 2 2 2 2 2高二下·上海黄浦·阶段练习）已知圆C1 : (x + 3) + (y -1) = 4 和圆C2 : (x - 4) + ( y - 5) = r (r > 0)
(1)若圆C1与圆C2 相交于 A, B两点，求 r 的取值范围，并求直线 AB 的方程（用含有 r 的方程表示）
uuur uuur
(2)若直线 l : y = kx +1与圆C1交于P,Q 两点，且OP ×OQ = 4，求实数 k 的值
【答案】(1) 65 - 2, 65 + 2 ；14x + 8y - 35 + r 2 = 0
(2) 3- 5
2
【分析】（1）根据两圆相交，得到 r - 2 < C1C2 < r + 2，求出 r 的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线 AB
的方程；
uuur uuur
（2）联立直线 l : y = kx +1与圆C1，得到两根之和，两根之积，利用OP ×OQ = 4求出 k 的值，并结合根的判
别式舍去不合要求的根.
【详解】（1）圆C1的圆心为 -3,1 ，半径为 2，圆C2 的圆心为 4,5 ，半径为 r ，
因为圆C1与圆C2 相交于 A, B两点，则 r - 2 < (4 + 3)2 + 42 < r + 2 ，
解得 r 65 - 2, 65 + 2 ，
C : (x + 3)2 + (y -1)2 = 4 C : (x - 4)2 + ( y - 5)2 = r21 与 2 (r > 0) 相减得，
直线 AB 的方程为14x + 8y - 35 + r 2 = 0；
ì 2 2
（2）设P x1, y1 ,Q x2 , y
x + 3 + y -1 = 4
2 ，则联立 í ，
y = kx +1
得 k 2 +1 x2 + 6x + 5 = 0，
则Δ = 36 - 4 5 k 2 +1 > 0 4 k 2 < ，5
6 5
则 x1 + x2 = - k 2
, x x = ，
+1 1 2 k 2 +1
uuur uuur
QOP ×OQ = 4，
\ x 21x2 + y1 y2 = x1x2 + kx1 +1 kx2 +1 = k +1 x1x2 + k x1 + x2 +1
= k 2 +1 5 -6 + k k 2 +1 k 2 +1+1
6k 2 - 6k + 6
= 2 = 4，k +1
k 3- 5 3 + 5解得 = ，或 k = ，
2 2
k 3 + 5
4 3- 5
其中 = 2不满足 k < ，舍去， k = 满足要去，
2 5 2
3- 5
则实数 k 的值为 .
2
47．（2024 高二下·上海黄浦·期中）已知直线 l : x = my -1，圆C : x2 + y2 + 4x = 0 .
(1)证明：直线 l与圆C 相交；
(2)设直线 l与C 的两个交点分别为A 、 B ，弦 AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为 l1，在点 B 处的切线为 l2， l1与 l2的交点为Q .证明：Q，A，
B，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q是否恒在一条定直线上 若是，请求出这条直线的方程；若不是，
说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) x2 + y2 + 3x + 2 = 0 x -2
(3)Q，A，B，C 四点共圆的证明见解析，点 Q 恒在直线 x = 2上，理由见解析
【分析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可；
（2）求出圆的圆心坐标，设出 M 的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可；
（3）设点Q x0 , y0 ，证明 Q，A，B，C 四点共圆，求出圆的方程，求出与圆C 相交弦的方程，即为直线 l
的方程，可求点Q坐标的特征．
【详解】（1）证明：如图所示，
圆C : x2 + y2 + 4x = 0 x + 2 2，化成标准方程为 + y2 = 4 ，圆心C -2,0 ，半径为 2，
直线 l : x = my -1过定点P -1,0 ，定点到圆心距离为 1，即P -1,0 在圆内，故直线 l 与圆 C 相交；
（2）l 与 C 的两个交点分别为 A、B，弦 AB 的中点为 M，
uuuur uuuur
设点M x, y ，由垂径定理得CM ^ PM ，即 x + 2, y × x +1, y = 0 ，整理得 x2 + y2 + 3x + 2 = 0 ，
直线 l 不过圆心 C，则 x -2 ，
2 2
所以点 M 的轨迹方程为 x + y + 3x + 2 = 0 x -2 ；
（3）依题意有CA ^ AQ，CB ^ BQ，
四边形 QACB 对角互补，所以 Q，A，B，C 四点共圆， 且 QC 为圆的直径，
2 2
设Q x , y x，则圆心坐标为 0 - 2 y0 (x + 2) + y0 0 , ÷， 半径为 0 0 ，
è 2 2 2
2
2 2
x0 - 2 y 0 (x0 + 2)
2 + y2 0
则圆的标准方程为 x - ÷ + y - = ÷ ，
è 2 è 2 ÷ ÷è 2
x2 + y2整理得 + (2 - x0 )x - y0 y - 2x0 = 0，与圆 C 的方程C : x2 + y2 + 4x = 0联立，
消去二次项得∶ (x0 + 2)x + y0 y + 2x0 = 0，即为直线 l 的方程，
因为直线 l : x = my -1过定点P -1,0 ，所以 2x0 = x0 + 2 ，解得：x0 = 2，
所以当 m 变化时，点 Q 恒在直线 x = 2上．
